Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Átírás

1 Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005

2 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 998 Fehér Mári - Hnich József - Libor Józsefné Dr - Mdrs Lászlóné Dr - Ngy Tmás: Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény, Student Kidó, Szolnok, 005 Horváth Jenőné Dr - Libor Józsefné Dr - Mdrs Lászlóné Dr: Tnulási útmuttó Gzdsági mtemtik I tárgyhoz, Student Kidó, Szolnok, 997 Tnnygíró: Dr Mdrs Lászlóné Távokttási szerkesztő: Fzeks Judit Kidványszerkesztő: Román Gábor Soroztszerkesztő: Zrk Dénes Nyomdi kivitelezés: Mpress Kft Kidj Szolnoki Főiskol Felelős kidó: Dr Törzsök Év főigzgtó Szolnoki Főiskol, 005 szeptember Minden jog fenntrtv A Tntárgyi kluzt, vgy nnk részeit tilos bármilyen formábn, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vgy közölni Kidó engedélye nélkül

3 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Trtlom Trtlom A kluz szerkezete 4 Bevezetés 5 Hlmzelmélet, vlós függvények Az nlízis tárgy, fejlődése és szerepe tudományokbn 9 Számsoroztok és sorok A sorozt foglm, megdási módji, soroztok tuljdonsági Konvergens számsoroztok és műveletek Tágbb értelemben vett htárérték, végtelen sorok 6 Függvények htárértéke végesben, végtelenben, tágbb értelemben vett htárérték Függvények folytonosság 5 Differenciálszámítás Differenciálhánydos foglm, deriváltfüggvény Differenciálszámítás geometrii lklmzás 9 Beküldendő feldt I 6 Differenciálhtó függvények néhány lokális és globális tuljdonságánk vizsgált 9 Teljes függvényvizsgált 4 Többváltozós vlós függvények foglm, szemléltetése, differenciálás, szélsőértéke 46 Htározott integrál 5 Primitív függvény, htároztln integrál, integrálási szbályok 54 Beküldendő feldt II58 A Newton Leibniz szbály, néhány területszámítási feldt, improprius integrál 6 Mátriritmetik Mátriok gzdsági lklmzás 65 Melléklet

4 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A kluz szerkezete A kluz feldolgozáskor fontos, hogy értse jelrendszerünket Íme legfontosbbk: Így djuk meg, hogy mennyi ideig trt egy lecke feldolgozás Célkitűzés: Így jelöljük, h tntárgy, vgy lecke célkitűzését djuk meg H ezt z ikont látj, tnkönyvet kell fellpozni Önellenőrző feldt H ezt keretet látj, rr kérjük, oldj meg egy erre rendszeresített füzetében feldtot, h elkészült, ellenőrizze mgát lecke végén tlálhtó megoldás lpján! Beküldendő feldt H ezt z ikont látj, megoldást nem tlálj meg, feldtát be kell küldenie Főiskolár tutoránk 4

5 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Bevezetés Kedves Hllgtónk! Örömmel vettük, hogy elkezdte Gzdsági mtemtik I (Anlízis) tárgy tnulását Ez tárgy Főiskolánkon lpozó jellegű, és kötelezően előírt tárgyk soráb trtozik Reméljük, hogy gzdsági tárgyk későbbi elsjátításához hsznos ismereteket szerez mjd z Anlízis tnulás során A Tnszék okttói igyekeztek z Ön számár könnyen feldolgozhtóvá tenni tnnygot, melyet tntárgyi kluz segítségével kevesebb energiávl és időráfordítássl tnulht meg Reméljük, hogy hsznos és érdekes feldtokt tudtunk összeállítni hhoz, hogy önállón is ellenőrizze megszerzett ismereteit egy-egy témkörben Bízunk benne, hogy kurzus végeztével, könnyedén teljesíti mjd tárgy követelményeit, és félév végén sikeres vizsgát tesz Hogyn hsználj Tntárgyi kluzt? A Kluz célj, hogy megkönnyítse elsjátítni Önnek z Anlízis tárgy tnnygát, és segítse teljesíteni követelményeket, nem utolsó sorbn felkészítse Önt vizsgár A Kluzbn tárgyt kisebb egységekre, ún leckékre bontottuk, és minden leckében megdtuk, hogy mely tnnygrészeket kell feldolgozni Támpontul megdtuk lecke célját, és cél eléréséhez szükséges feldtokt is, hogy ráirányítsuk figyelmét lényegre, és egyben érdekesebbé tegyük feldolgozást A tntárgy kreditszám A tntárgy 4 kredites, tehát összesen 0 tnulási ór szükséges feldolgozásához Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkor időráfordítást igényelnek Öntől A tárgy tnulásánk célj, hogy kurzus végére Ön képes legyen olyn mértékű jártsságot szerezni z nlízis eszközeinek hsználtábn: hogy gzdsági folymtok elemzése, tervezése során lklmzni tudj z egy, illetve több változótól függő mennyiségek vizsgálti módszereit Fogllkozunk soroztokkl és sorokkl; egyváltozós vlós függvények folytonosságávl; htárértékével; differenciálásávl; integrálásávl; kétváltozós függvények differenciálásávl és helyi szélsőértékével Mindegyik nygrész okttásánál igyekszünk kitérni legközvetlenebb gzdsági lklmzások megismertetésére is Reméljük hogy kurzus végére sikerül korszerű, közgzdsági gykorltbn jól lklmzhtó függvénytni szemléletet kilkítni 5

6 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A tntárgy lezárás A szorglmi időszk láírássl zárul Az láírás és vizsgár bocsátás feltétele két beküldendő feldtsor hiánytln bedás, tárgy felvételekor egyeztetett időpontr A vizsgkövetelmény: kollokvium A kollokviumon számonkérés írásbn történik, egy 60 perces dolgozt formájábn Az írásbeli dolgozt elérhető pontszám: 00 Elégtelen kollokviumi érdemjegyet kp z hllgtó, kinek dolgozt nem éri el z 5 pontot A kollokviumi jegyet z elért 5 pont feletti pontszám esetén következőképpen htározzuk meg: 0 50 elégtelen () 5 66 elégséges () közepes () jó (4) jeles (5) A kollokviumi dolgozt trtlm: Tnult foglmk, tételek, ismerete; A temtikábn megjelölt bizonyítások levezetése; Az elmélethez szorosn kpcsolódó feldtok z nlízis témköréből Hogyn tnuljon? Mindenekelőtt rendszeresen, és lposn Ehhez Tntárgyi kluz ngy segítséget nyújt Jvsoljuk ezért, hogy leckék megtnulásánál kövesse Tntárgyi kluz útmuttásit Minden leckénél először megjelölt kisebb egységeket tnulj meg könyvből, mjd tekintse át hozzá Feldtgyűjtemény kidolgozott feldtit Az önellenőrző feldtokt úgy állítottuk össze, hogy elmélyítse z elmélet megértését, és z egyes leckékben tlálhtó típusfeldtokbn történő lklmzást A Feldtgyűjteményből érdemes minél több példát önállón is megoldni különböző feldt-megoldási technikák gykorlásához Végül mindig ellenőrizze tudásszintjét Tnulási útmuttó kijelölt feldti lpján Csk kkor lépjen tovább egy-egy leckéről z újbb leckéhez, h megfelelő tudásszintet már elérte (Pl vizsgán is szükséges minimum 5 %-ot) A leckékben ngyon sok önellenőrző feldt vn Ezeknek megoldását nem ellenőrzi Önön kívül senki, de nem is ez céljuk Az önellenőrző feldtok elvégzése segítségével értheti meg kijelölt tnnyg lényegét Ne cspj be mgát! H egy önellenőrző feldtot nem tud megoldni, kkor érdemes zzl z nygrésszel tovább fogllkozni, nehogy vizsgázttó hívj mjd fel kollokviumon figyelmet hiányosságir! H úgy érzi, hogy semmiképpen sem tud megoldni egy-egy feldtot, keresse meg tnulótársit, bizonyár tudnk segíteni H ez sem megy, írjon, vgy telefonáljon Főiskol megdott címére, számár, és mi segítünk Önnek Fontos, hogy leckék sorrendjében készítsen mgánk egy tnulási ütemtervet, lehetőleg pontos dátumokkl megjelölve! Az ütemtervet készítheti egy sját füzetbe, vgy Főiskolától kpott nptárb Fontos, hogy z Ön áltl válsztott tempó szerint beküldendő feldtok htáridőre elkészüljenek, és tervezett vizsgidőpontr minden leckét befejezzen Figyeljen rr, hogy egyenletesen ossz el z nygot, mert z elsjátított részeknek mindig el is kell mélyülnie, és ehhez idő kell! H véletlenül torlódnk feldti (kár mgánéleti okok, kár más tntárgyk mitt), kkor lemrdást minél előbb 6

7 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás igyekezzen behozni Inkább félév korábbi időszkibn vállljon többet, mert z tpsztlt, hogy vizsgához közeledve vészesen fogy z idő, és ilyenkor z okttók is leterheltebbek A beküldendő feldtokt mindenképpen oldj meg! Ezzel egyrészt tovább gykorol, másrészt szintetizálj egy-egy ngyobb egység ismeretnygát Mivel beküldött feldtit tnszék egy okttój még vizsg előtt értékeli, így időben segítséget kpht helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyn hiányosságokt, melyek vizsgát veszélyeztethetik Ezen kívül tnácsokt is kpht, hogy miként jvíthtj teljesítményét Kérjük, hogy megoldásokt e-mil cstolmányként küldje el képzésszervező tutorához, Mtemtik-sttisztik Tnszék e-mil címére Amennyiben feldtát hgyományos formábn, kék tintávl és jól olvshtón készíti el, esetleg személyesen is behozhtj, vgy kár postán is eljuttthtj Tnszék címére A dolgozt megérkezése npján (legkésőbb másnp) e-milben visszjelzést kp rról, hogy z írásművet megkptuk Szöveges értékelésre egy héten belül számítht A tnuláshoz következő kidványokt hsználj Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 998 Fehér Mári-Hnich József-Libor Józsefné dr-mdrs Lászlóné dr-ngy Tmás: Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény, Student Kidó, Szolnok, 005 Horváth Jenőné dr-libor Józsefné dr- Mdrs Lászlóné dr: Tnulási útmuttó Gzdsági mtemtik I tárgyhoz, Student Kidó, Szolnok, 997 A mátriritmetik elemei és gykorlti lklmzási: Tntárgyi kluz melléklete Ajánlott irodlom Sydsœter Hmmond: Mtemtik közgzdászoknk AULA Kidó Budpest, 998 Bárczy Brnbás: Differenciálszámítás Példtár Műszki Könyvkidó Budpest, 00 Bárczy Brnbás: Integrálszámítás Példtár Műszki Könyvkidó Budpest, 00 Denkinger Géz: Anlízis Tnkönyvkidó, Budpest, 980 Denkinger-Gyurkó: Anlízis gykorltok Tnkönyvkidó Budpest, 990 A tntárgy tnulástámogtás, zz milyen segítséget kp tnulmányihoz A tntárgyt lpvetően önállón kell elsjátítni, hgyományos elődás, vgy gykorlt nem trtozik hozzá A tntárgy feldolgozás során lehetősége lesz egy lklomml személyesen konzultálni szktutorávl Ennek részleteiről tntárgy felvételekor tájékoztttuk A tlálkozás előtt fel kell vennie kpcsoltot képzésszervező tutorávl, kinek nevét és elérhetőségét tntárgy felvételekor megdtuk Önnek 7

8 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Tnulási ütemtervem Lecke Időigény Típus Mikor tnulom? Hlmzelmélet, vlós függvények ór Feldolgozó Számsoroztok és sorok 0 ór Feldolgozó Függvények htárértéke 6 ór Feldolgozó 4 Függvények folytonosság 8 ór Feldolgozó 5 Differenciálszámítás ór Feldolgozó 6 Beküldendő feldt I ór Beküldendő 7 Differenciálhtó függvények vizsgált 0 ór Feldolgozó 8 Teljes függvényvizsgált 0 ór Feldolgozó 9 Többváltozós vlós függvények 0 ór Feldolgozó 0 Htározott integrál 8 ór Feldolgozó Htároztln integrál 0 ór Feldolgozó Beküldendő feldt II ór Beküldendő A Newton Leibniz szbály 0 ór Feldolgozó 4 Mátriritmetik Mátriok gzdsági lklmzás 0 ór Feldolgozó H pontos dátumokkl megjelölve elkészítette tnulási ütemtervét, kkor nincs más hátr, kezdődhet z első tnór Készítse ki tnkönyvét, feldtgyűjteményét, Tntárgyi kluzát, Tnulási útmuttóját, jegyzetfüzetét, és kezdje meg tntárgy feldolgozását! Sok sikert kívánunk! 8

9 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Hlmzelmélet, vlós függvények Az nlízis tárgy, fejlődése és szerepe tudományokbn A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább ór Ennyi idő minimálisn szükséges nnk is, ki középiskolábn jól megtnult ezt z nygrészt és így vlójábn csk újból át kell ismételnie Természetesen z nyg tárgylás nemcsk középiskoli nyg ismétlésére szorítkozik, mert több olyn új foglmt, tételt is megtnulunk, melyekre z nlízis tárgylás során szükségünk lesz Bevezetés A hlmzelmélet melynek mtemtik egyik leglpvetőbb foglmként játszott szerepe csk z 880-s évektől vált nyilvánvlóvá (Georg Cntor felfedezései nyomán) mtemtiki nlízis lpjánk tekinthető A közgzdsági gykorltbn dolgokt rendszeresen dott szempontok szerint zonos, vgy éppen különböző osztályokb soroljuk, zz dolgokr vlmilyen szempont lpján együtt tekintünk A mtemtikábn ilyenkor zt mondjuk, hogy közös hlmzb soroljuk z elemeket Már meglevő hlmzokból z ún hlmzműveletek, és műveleti tuljdonságok segítségével újbb hlmzok szármztthtók A közgzdságtnbn, mtemtikábn és mindennpi életben is gykrn szükséges egy hlmz elemeihez egy másik hlmz elemeit hozzárendelni A különböző hlmzok elemei közötti hozzárendelések közül témábn hngsúlyosn emeljük ki függvénykpcsoltot A függvények szerepe ugynis lpvető közgzdsági elméletben és gykorltbn egyránt A későbbi leckék nygánk fontos lpját képezik hlmzelméleti és függvénytni lpismeretek Az elméleti rész tk 9-44, ill z oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I feldtgyűjtemény és Tnulási útmuttó és fejezetében tlálj meg 9

10 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A tnnyg áttnulmányozás után Ön képes lesz: definiálni hlmz foglmát; definiálni nnk megdási módjit; definiálni z lphlmz, részhlmz, vlódi részhlmz, z üres hlmz, véges és végtelen hlmz foglmát; bemuttni hlmzokkl kpcsoltos műveleteket, és ezek tuljdonságit; ismertetni de Morgn zonosságokt és beolvsztási szbályokt; meghtározni és feldtokbn lklmzni htványhlmz, hlmzrendszer, hlmzlgebr foglmit; értelmezni vlós számok hlmzát, nnk részhlmzit (rc szám, irrc szám, egész szám, természetes szám); felsorolni vlós számok iómáit, lklmzni felső/lsó htár iómákt; definiálni rendezett szám n-eseket; meghtározni két vgy több hlmz Descrtes-féle szorztát; megdni z intervllum, távolság, környezet, hlmzok számosság, belső pont, htárpont, zárt és nyílt hlmz foglmink jelentését, ezeket lklmzni; felsorolni z elemi függvényeket és ezek lpvető jellemzőit; felrjzolni ugynezen elemi függvényeket jellemzőik lpján; feldtokbn lklmzni függvények közötti műveleteket (összeg, különbség, sklárrl vló szorzás, szorzt, hánydos); felrjzolni szkszonként lineáris függvényeket, illetve Dirichlet-féle függvényt; megdni z összetett függvény, vlmint z inverz függvény foglmát, és konkrét példákbn lklmzni Kezdjük tnulást z első három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv 9-4 oldlin tlálhtó,, témáink feldolgozásávl Ebben részben átismételjük, rendszerezzük és z -es tétellel kiegészítjük középiskolábn tnult hlmzelméleti ismereteket A hlmzelméleti lpfoglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény témájánk mintfeldtit önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy hlmzt htároznk-e meg következő megfoglmzások: A = { kis számok}; B = { R és > 0}; C = { R és + = 0}; D = { okos gondoltok}; E = { mgyr kárty színei} megoldás: A válszokt ellenőrizheti példtár Megoldások z első fejezethez c rész -es feldtánál 0

11 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Adottk z A = { ;4;6}, = { ;5;6}, B C = { 5;6;} és = { 6} Döntse el, hogy melyik igz következő állítások közül! C ; 6 B ; A C ; B = C ; B A D elemekből álló hlmzok önellenőrző feldt Igzolj hlmzok egyesítésének sszocitív tuljdonságát! megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó fejezet Válszok z ellenőrző kérdésekre c részének feldtánál 0 oldlon ellenőrizhető 4 önellenőrző feldt Legyenek z A és B hlmzok egy H lphlmz vlódi részhlmzi Jelölje meg, hogy z lábbi állítások közül melyek igzk! H B = B ; H B = H ; B H = B ; H A = 0/ ; A B = H ; A B = H? 4 megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó fejezet Gykorló feldtok megoldás c részének feldtánál oldlon ellenőrizhető 5 önellenőrző feldt Adottk következő hlmzok: A = { R < } ; B = { R < } ; C = { R } ; D = { R 0 < } ; E = { R < } ; F = { R < < } Ábrázolj számegyenesen z lábbi hlmzokt: A B C \ A ; ( A \ B) ( F \ C) ; ( E \ F ) ( C \ D) ; A \ E ; E \ A ; D E F ; D \ F E A! ( ) ( ) 5 megoldás: A válszokt ellenőrizheti példtár Megoldások z első fejezethez c rész 5-ös feldtánál

12 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 önellenőrző feldt Bizonyíts be következő összefüggések fennállását! A B = ( A B) \ ( A B) ; ( A B) \ C = ( A \ C) ( B \ C) ; ( A \ B) \ C = A \ ( B C) ; A { A \ [ B \ ( B \ C) ]} = A B C \! 6 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti példtár Megoldások z első fejezethez c rész -s feldtánál Folytssuk tém feldolgozását tnkönyv 4-es részének feldolgozásávl Itt tláljuk htványhlmz, hlmzrendszer, hlmzlgebr foglmkt, melyekre nem csk z nlízisben, de (átfoglmzássl ugyn) vlószínűségszámításbn is szükségünk lesz 7 önellenőrző feldt Töltse ki hiányzó részeket z lábbi definíciókbn! Vlmely A hlmz z A hlmz htványhlmzánk nevezzük H egy Ω hlmz elemei hlmzok, kkor Ω-t nevezzük A H lphlmz (nem feltétlenül összes) részhlmziból álló Ω hlmzrendszert hlmzlgebránk nevezzük, h, vlmint A Ω 7 megoldás: Vesse össze válszit tk 4 oldlán leírt definíciókkl 8 önellenőrző feldt Igz-e, hogy hlmzlgebrábn mindig benne vn z 0/ is? 8 megoldás: Ellenőrizze válszt Tnulási útmuttó fejezet Válszok z ellenőrző kérdések c rész 4 kérdésénél 0 oldlon 9 önellenőrző feldt Legyen lphlmzunk vlós számok hlmz és legyen Ω = { R ; Q; Q ;0/ } Vizsgálj meg, hogy Ω hlmzlgebrát lkot-e? 9megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó fejezet Gykorló feldtok megoldás c rész feldtánál oldlon

13 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A 4-8 célkitűzésekben megfoglmzottk eléréséhez tnulmányozzuk tnkönyv 5-9 oldlin leírtkt Itt egyrészt összefoglljuk és rendszerezzük középiskolábn számhlmzokról tnult ismereteket, másrészt kiegészítjük számhlmzok korlátosság, felső (lsó) htár iómáj, belső pont, htárpont, nyílt és zárt hlmz foglmivl 0 önellenőrző feldt Jvíts ki hibákt következő foglmkbn! Vlmely H R hlmznk belső pontj, h bármely környezete része H-nk Az H-nk htárpontj, h -nk vn olyn környezete, melyben H-nk is, H komplementerének is vn pontj (Itt H komplementere z R lphlmzr vontkozik) H egy H R hlmz minden htárpontját trtlmzz zárt hlmznk, h minden pontj belső pont, kkor nyílt hlmznk nevezzük 0 megoldás: Vesse össze válszit tk 4 oldlán leírt definíciókkl önellenőrző feldt Válszoljon következő kérdésekre! Egy A felülről korlátos hlmznk hány felső korlátj és hány felső htár vn? Vn-e, s h igen mi lesz z N hlmz infimum, illetve supremum? Vn-e olyn A és B hlmz (h igen, kkor djon is meg ilyet), melyre A B = B A, vgyis Descrtes-féle szorztuk kommuttív? Egy n R pont > 0 δ sugrú környezete zárt vgy nyílt hlmz? Lehet-e 0 és z természetes számok között végtelen sok rcionális, illetve irrcionális szám? Melyik hlmznk vn több eleme: -ml, vgy 7-tel oszthtó pozitív számok hlmzánk? megoldás: A kérdésekre dott válszink helyességét ellenőrizze Tnulási útmuttó Válszok z ellenőrző kérdésekre c részének 5-0 pontjit sorbn áttekintve 0 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 6; 7; 9; 0; 5; 9; 44-es feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény fejezete Megoldások z első fejezethez c részének, kérdésben megdott számú feldtinál H vlmelyik péld megoldás nem sikerült, kkor jvsoljuk, hogy térjen vissz z dott péld megoldásához kpcsolódó elméleti rész tnulmányozásához

14 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Ezután térjünk rá függvénytni lpismeretek átismétlésére tnkönyv ;; ;4;,5; 6; 7 és 0 fejezetei lpján A 8 és 9-es rész nem kötelező nyg, -es részre pedig mjd 9 témánál kerül sor A középiskoli tnnyg különböző évfolymi tnnygánk több témájábn tárgylt függvénytni ismereteket itt egy helyen összefogllv, rendszerezve tlálj meg H ez z összefogllás kevésnek bizonyul, mrdnk olyn részek, melyek lklmzásábn bizonytln, kkor nyugodtn fellpozhtj középiskoli tnkönyv megfelelő részeit Vlójábn könyv, feldtgyűjtemény és Tnulási útmuttó zonbn bőven elegendő tém átismétléséhez Készség szintjén kell tudni z elemi függvények legfontosbb tuljdonságit, trnszformációit, illetve szkszonként lineáris függvényeket és Dirichletféle függvényt Mivel Dirichlet-féle függvény könyvben nincs definiálv, ezért itt közöljük Dirichlet-féle függvénynek nevezzük z f : f ( ), h rcionális, = R 0, h irrcionális, függvényt Megjegyezzük, hogy ennek z utsítássl megdott függvénynek görbéje Descrtes-féle koordinát-rendszerben nem rjzolhtó fel A függvények tuljdonságink zérushely, korlátosság, pritás, periodikusság, monotonitás, helyi és bszolút szélsőérték pontos ismeretére szükségünk lesz Függvényvizsgált c témábn A függvényekkel végzett műveletek főleg feldtmegoldások szintjén szerepelnek Az összetett és inverz függvény, függvény leszűkítése, bővítése, illetve ezek lklmzás z nlízis szinte minden fejezetének elsjátításához, megértéséhez szükséges Így ezen foglmk mély, lpos ismerete különösen fontos A tnkönyv megfelelő részeinek megtnulás után jvsoljuk, hogy folytss Feldtgyűjtemény kidolgozott mintfeldtink tnulmányozásávl önellenőrző feldt Az elméleti rész elsjátítását ellenőrizze Tnulási útmuttó fejezete Ellenőrző kérdéseinek megoldásávl (5 oldl)! megoldás: A kérdésekre dhtó válszok megtlálhtók Tnulási útmuttó fejezete Válszok z ellenőrző kérdésekre c részben, 8 oldlon 4 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény ; 4; ; ; ; 7; 0; 5; 40; 4; 44; 45;50; 60; 64; 67-es feldtit! 4 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény fejezete Megoldások második fejezethez c rész zonos számú feldtink megoldásánál 4

15 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó és fejezetének Beküldendő feldtit! 5 megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Tnulási útmuttó, illetve oldlin H 4 feldt mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, leglább 5 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudáshoz Befejezés Reméljük, hogy sikeresen vette z első kdályt, mellyel ngyrészt középiskolábn tnult ismereteit eleveníthette fel, mélyítette el Ez biztos lpot jelent mjd következő tém megértéséhez Megoldások megoldás: C hmis, C ; 6 B igz; A C hmis, A C ; B = C igz; B A hmis, B A 5

16 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Számsoroztok és sorok A sorozt foglm, megdási módji, soroztok tuljdonsági Konvergens számsoroztok és műveletek Tágbb értelemben vett htárérték, végtelen sorok A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Ennyi idő minimálisn szükséges hhoz, hogy vlós számsoroztokkl és sorokkl kpcsoltos ismereteket elsjátítsuk Bevezetés Ebben témábn egy speciális függvénytípussl, soroztokkl fogllkozunk Az nlízis egyik lpvető foglmát, függvények htárértékét olyn függvényekre értelmezzük, melyek értelmezési trtomány végtelen hlmz A végtelen hlmzok közül tlán természetes számok hlmz legegyszerűbb, így htárérték foglmát először pozitív természetes számok hlmzán értelmezett függvényekre, számsoroztokr ismerjük meg Mjd zokt legfontosbb tuljdonságokt vesszük sorb, melyek soroztok viselkedésének vizsgáltkor leginkább jellemzőek Fontos, hogy htárérték, monotonitás foglmit feldtokon keresztül is begykoroljuk, elmélyítsük Tnulmányozni fogjuk ebben témábn végtelen sorokt is, melyeknek közgzdsági lklmzások elsősorbn pénzügyi számítások területén igen sok felhsználás fordul elő Az elméleti rész tk 67-9 oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I feldtgyűjtemény és Tnulási útmuttó fejezetében tlálj meg A tém áttnulmányozás után Ön képes lesz: definiálni számsorozt foglmát; feldtokbn lklmzni soroztok tuljdonságit; meghtározni htárérték foglmát; bizonyítni és feldtokbn lklmzni,,, 4/ tételeket; bizonyítni és feldtokbn lklmzni 5, 6, 7 -es tételeket; áltlánosítni htárérték foglmát ( végtelen is htárérték); kimondni 8, 9 tételeket; értelmezni végtelen sort és összegét, vlmint vlós számokból álló végtelen sor összege létezésének feltételeit; meghtározni végtelen mértni sor összegét, mennyiben z létezik Kezdjük tnulást z első két célkitűzés együttes, tnkönyv oldlin tlálhtó, -es témáink feldolgozásávl 6

17 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Gondoljuk át, hogy sorozt specilitás függvényhez képest hogyn muttkozik meg Például soroztok monotonitás függvények monotonitásávl zonos foglom, de soroztoknál elegendő szomszédos tgok ngyságát összehsonlítni, persze minden + n N -r A sorozt foglmánk és tuljdonságink elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény témájánk mintfeldtit önellenőrző feldt Válszoljon z lábbi kérdésekre! Melyik z legszűkebb hlmz, melyhez bármely számsorozt minden tgj hozzátrtozik? Igz-e, hogy z sorozt htodik tgj? n 6 n n+ Igz-e, hogy K + =? megoldás: A válszokt ellenőrizze Tnulási útmuttó fejezete Válszok z ellenőrző kérdésekre c rész első három kérdésének megoldásánál 7 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény fejezetének, 6, 8, 4, 8, 4, 8,, 5, 40-es feldtit! megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész zonos számú feldtinál ellenőrizheti Térjünk ezután vissz tnkönyvhöz, és tnulmányozzuk soroztok konvergenciájávl kpcsoltos, 4 és 5-ös témákt Ezekből részekből elég sok tétel bizonyítását meg kell tnulni Jvsoljuk, hogy csk kkor térjen rá Feldtgyűjtemény mintfeldtink áttekintésére, mikor bizonyításokt már megértette és önállón le is tudj vezetni ezeket A bizonyítások ngybn segítik z önálló feldtmegoldást 7

18 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Válssz ki következő kijelentések közül zokt, melyekhez z igz logiki érték rendelhető! Minden monoton számsorozt konvergens Vn olyn monoton számsorozt, melyik konvergens H egy számsorozt monoton és korlátos, kkor konvergens is megoldás: A válszokt ellenőrizheti Tnulási útmuttó tém Gykorló feldtok megoldási c rész /b feldtánál, 8 oldlon 4 önellenőrző feldt Bizonyíts be -es tételt! 4 megoldás: A bizonyítás tk 7 oldlán ellenőrizhető 5 önellenőrző feldt Oldj meg feldtgyűjtemény 4, 4, 4, 49, 5, 55, 57, 58, 60, 6, 6, 66, 69-es feldtit 5 megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész zonos számú feldtinál ellenőrizheti 6 önellenőrző feldt n + Vizsgálj meg, hogy z n = sorozt tgji hánydik tgtól kezdve esnek n + 6 htárérték ε = 0 4 -en sugrú környezetébe! 6 megoldás: A helyes megoldás Feldtgyűjtemény 8-es feldtánk megoldási részében tlálhtó 7 önellenőrző feldt n Állpíts meg, hogy z n =, n N n + minden n-re 000-nél ngyobb! + sorozt milyen küszöbinde felett lesz 7 megoldás: A válszt megtlálj Tnulási útmuttó Gykorló feldtok megoldási c rész feldtánál, 8 oldlon 8

19 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 8 önellenőrző feldt Végezzen teljes vizsgáltot z soroztoknál! = + n n + 5 n = n N n 7 + n és z ( ) n, 8 megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész 94 és 0-es számú feldtinál ellenőrizheti Végül térjünk rá végtelen sorok viselkedésének tnulmányozásár, melyet tnkönyv 6-os fejezete trtlmz Figyeljünk rr, hogy -es tétel, z bszolút konvergenci és htványsor foglm nem kötelező nyg Mielőtt feldtmegoldásokt elkezdi, tekintse át mintfeldtok megoldásit Feldtgyűjtemény -s részében Ez ngybn segíti z önálló gykorlás eredményességét 9 önellenőrző feldt Válszoljon következő kérdésekre: n Legyen q tetszőleges vlós szám Döntse el, hogy milyen q esetén lesz konvergens ( q ) sorozt, illetve n q végtelen sor, és konvergenci esetén mi lesz sorozt htárértéke, n=0 illetve sor összege? Lehet-e divergens sorok összege konvergens? 9 megoldás: A válszokt ellenőrizheti Tnulási útmuttó tém Válszok z ellenőrző kérdésekre c rész 8 és feldtinál 7 oldlon 0 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény,, 5, 9, feldtit! 0 megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész zonos számú feldtinál ellenőrizheti önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 5 Ellenőrző feldtok című rész feldtit, mjd Tnulási útmuttó fejezetének Beküldendő feldtit! megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Megoldások fejezethez c rész 0-0-es számú feldtinál, mjd Tnulási útmuttó Beküldendő feldtok megoldási c résznél 0 oldlon 9

20 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás H 4 feldt mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, leglább 5 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudáshoz Reméljük, hogy sikerült elsjátítni lecke elméleti nygát, és megfelelő jártsságot szerzett feldtmegoldásbn is Ezután már sokkl könnyebb lesz függvények htárértékét megérteni, hiszen függvény htárértékének foglmát számsoroztok htárértékére vezetjük vissz 0

21 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Függvények htárértéke végesben, végtelenben, tágbb értelemben vett htárérték Az nyg tnulmányozásár fordítndó idő leglább 6 ór Ennyi idő minimálisn szükséges nnk is, ki soroztok htárértékét már készség szinten tudj Bevezetés A függvényekről már sok mindent megtnultunk középiskolábn, de közgzdságtnbn előforduló függvények képének felrjzolásához még további foglmk megismerése is szükséges lesz Ezek egyikének, függvények htárértékének értelmezése lesz ennek leckének legfontosbb célj A htárérték foglmánk kilkítását próbáljuk meg soroztok htárértékére visszvezetni Vizsgáljuk meg, hogyn viselkednek függvények értelmezési trtományuk egy torlódási pontjábn, vgy h független változó értéke ngyon ngy Mjd értelmezzük zt z esetet, mikor htárérték nem egy konkrét vlós szám, hnem ± Ngyon fontos, hogy pontosn értsék ezeket foglmkt, mert htárérték foglmár lpozzuk későbbiekben z nlízis több más foglmát, például folytonosság, differenciálhánydos foglmit Az elméleti rész tnkönyv 9- oldlin tlálhtó, megoldndó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 4, vlmint Tnulási útmuttó 4 fejezetében tlálj meg A lecke áttnulmányozás után Ön képes lesz: meghtározni függvények véges helyen vett htárértékét, htárértékére vontkozó műveletekkel (4 tétel); megoldni ( tnult tételek és nevezetes htárértékek (4, 4 tétel, illetve log ( + ) lim, lim ) segítségével) dott helyen vett htárérték kiszámításávl 0 0 fogllkozó feldtokt; megdni függvények végtelenben vett htárértékét; fentieket feldtokbn lklmzni (összekpcsolv soroztoknál tnult tételekkel (pl + lim, lim, lim q ); definiálni és feldtokbn lklmzni függvény tágbb értelemben vett htárértékét Kezdjük tnulást z első két célkitűzés megvlósításávl, dolgozzuk fel tnkönyv 9-07 oldlin tlálhtó 4-es témát

22 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A függvény véges helyen vett htárértékére két definíció is hsználhtó Az egyik tnkönyvbeli ún Heine-féle definíció, másik Cuchy nevéhez kötődő meghtározás Mivel ez utóbbi definíció segíthet foglom lposbb megértésében itt ezt meghtározást is szerepeltetjük Definíció: Legyen z pont z f függvény értelmezési trtományánk egy torlódási pontj Azt mondjuk, hogy z f függvény helyen vett htárértéke z A vlós szám, h bármely ε > 0 vlós számhoz létezik olyn δ > 0, hogy minden D f \ {} 0 < < δ esetén f ( ) A < ε Bizonyíthtó, hogy Heine-féle és Cuchy-féle definíciók ekvivlensek A tpsztltok zt muttják, hogy htárérték foglm, és definíciór épülő bizonyítások megértése diákok számár nem könnyű feldt Ugynkkor htárérték kiszámításár vontkozó feldtokt viszonylg könnyen begykorolják Ezért fordítsunk több időt foglom és 4-es tétel bizonyításánk megértésére A véges helyen vett htárértékre vontkozó feldtok begykorlás előtt jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény I 4 fejezetének mintfeldtit, vlmint 4 fejezet és mintfeldtát! önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy értelmezhető-e következő függvények htárértéke z = helyen: 9 g : g( ) =, ] ;[ [ 4; ) ; 9 f : f ( ) =, R \ {} ; és h : h = +, R ( ) megoldás: A helyes válsz megtlálhtó Tnulási útmuttó 4 témáj Ellenőrző kérdések megoldási c rész feldtánál 6 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 4; 4;45;48;440; 445; s feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások 4 fejezethez c rész zonos számú feldtinál önellenőrző feldt sin A lim = nevezetes htárérték felhsználásávl htározz meg 0 htárértéket! tg lim 0 7

23 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 önellenőrző feldt log A lim = ln és lim 0 0 felhsználásávl számíts ki lim ( + ) 0 = és ln log lim 0 ( > 0, ) ( + ) nevezetes htárértékek htárértékeket! Folytssuk tém feldolgozását tnkönyv 4 és 4-ms témáink megtnulásávl Az ide vontkozó feldtok begykorlás előtt jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény I 4 fejezetének mintfeldtit, vlmint 4 fejezet mintfeldtát! 5 önellenőrző feldt Egészítse ki z lábbi definíciók hiányzó részeit! Legyen f olyn függvény, melynek értelmezési trtomány hlmz H minden olyn ( n ) számsorozt esetén, melyre lim = ( ) n n n D f igz, hogy lim f ( n )=, kkor zt mondjuk, hogy f -nek létezik htárértéke plusz végtelenben és ez A-vl egyenlő Legyen z f függvény z értelmezve Akkor zt mondjuk, hogy f -nek z helyen vett htárértéke h minden olyn ( n ) számsorozt esetén, melyre = D, igz, hogy lim f ( ) = lim {} n n ( ) n f \ 5 megoldás: A definíciók pontos megfoglmzás tnkönyv 07, illetve 0 oldlin tlálhtók 6 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 4, 44, 47, 4, 4, 40, 47, 40-s példáit! 6 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások 4 fejezethez c rész zonos számú feldtinál n

24 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A 7 önellenőrző feldt lim + = e és htározz meg lim + = e nevezetes htárértékek felhsználásávl + lim + + htárértéket! 7 megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó 4 fejezet Gykorló feldtok megoldás c rész 8/ feldtánk megoldásánál megtlálhtó 8 oldlon 8 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 47, 474, 475, 478, 479, 48-es példáit! 8 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások 4 fejezethez c rész zonos számú feldtinál 9 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 4 fejezetének Beküldendő feldtiból z /b, /b, /b, 4, 5/b jelűeket! 9 megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Tnulási útmuttó 40 oldlán H hét htárérték-számítási feldt mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, leglább 8 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudáshoz Befejezés Reméljük, hogy sikerült htárértékre vontkozó foglmkt megértenie, és tudj lklmzni ezeket htárérték-számítási feldtokbn Áttérhetünk ezután mtemtikábn és gykorlti lklmzásokbn is fontos szerepet játszó folytonos függvények vizsgáltár Megoldások megoldás: tg sin sin lim = lim = lim lim cos megoldás: lim = 0 cos ( ) log + lim = ln ; lim = 0 0 = = 7 ln 7 4

25 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 lecke Függvények folytonosság A mi nyg tnulmányozásár fordítndó idő leglább 8 ór Annk, ki véges helyen vett htárérték foglmát készség szinten elsjátított, ez z idő biztosn elegendőnek bizonyul mjd tém feldolgozásához Bevezetés A közgzdságtnbn fontos szerepet játszik folytonos függvények vizsgált Adott függvény folytonosság áltlábn vlmely jelenség időbeli változását reprezentálj Ilyenkor folytonosság fokoztos, hirtelen változások nélküli változásr utl Ezért gykrn mondjuk zt, hogy egy függvény folytonos, h grfikonj folytonos vonlll megrjzolhtó Ahhoz zonbn, hogy mtemtiki foglomként hsználjuk folytonosságot, pontosn kell definiálnunk, nem elegendő szemléletes lpon nyugvó megfoglmzás A folytonosság dott pontbeli értelmezése szoros kpcsoltbn vn véges helyen vett véges htárérték foglmávl H folytonos vonlll megrjzolhtó f függvény és egy olyn g függvény grfikonját hsonlítjuk össze, melynek z pontbn létezik htárértéke, de g pontbn lyuks, kkor zt mondjuk, hogy f z pontbn folytonos Bemuttjuk tehát, hogy hogyn viselkedik dott helyen egy függvény, mikor htárértéke megegyezik helyettesítési értékével Olyn függvényeket is vizsgálunk, melyek vlmely intervllumon, vgy z értelmezési trtományuk minden pontjábn folytonosk Az elméleti rész tk -7 oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 4, és Tnulási útmuttó 4 fejezetében tlálj meg A lecke áttnulmányozás után Ön képes lesz: megállpítni z egyváltozós vlós függvények dott pontbn vett folytonosságát, eldönteni egy függvényről, hogy dott helyen folytonos-e (féloldli folytonossággl); meghtározni szkdási helyeket, különböző műveletekkel összekpcsolt újbb függvények dott pontbeli folytonosságát (45 tétel); ismertetni véges, zárt intervllumon folytonos függvényekre vontkozó 5 tételt; felsorolni folytonos függvényeket; feldtokon keresztül megmuttni, lklmzni, hogy áltlábn mikor folytonos egy függvény (46 tétel) Kezdjük tnulást z első három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv -6 oldlin tlálhtó 44-es tém ide vontkozó részeinek feldolgozásávl 5

26 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Az dott pontbeli folytonossággl kpcsoltos foglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik Feldtgyűjtemény 4 részének mintfeldtit önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy igzk-e következő állítások! H f függvénynek létezik htárértéke z értelmezési trtomány vlmely pontjábn, kkor z f függvény z pontbn folytonos H z f függvény folytonos z értelmezési trtomány vlmely pontjábn, kkor z pontbn létezik htárértéke Egy függvénynek csk ott lehet htárértéke, hol értelmezve vn megoldás: A helyes válszok megtlálhtók Tnulási útmuttó 4 tém Ellenőrző kérdések megoldási c rész 6 kérdésénél, 6 oldlon önellenőrző feldt Htározz meg, hogy folytonos-e z, R \ f : f ( ) =, = függvény z = helyen? {} önellenőrző feldt Állpíts meg z értékét úgy, hogy z f : f ( ) =, 4, R \ = {} függvény folytonos legyen z 0 = helyen, h tetszőleges vlós szám! Folytssuk tnulást következő három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv 6-7 oldlin tlálhtó 44-es tém ide vontkozó részeinek feldolgozásávl A folytonos függvény foglmánk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy most is gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény 4 részének mintfeldtit Mivel z intervllumon folytonos függvények tuljdonsági későbbi lklmzások szempontjából ngyon fontosk lesznek, ezért ezen helyen összegyűjtöttük zokt tuljdonságokt, melyeket későbbiekben felhsználunk 6

27 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági: Tétel: (BOLZANO-TULAJDONSÁG) Egy intervllumon folytonos függvény ezen intervllum bármely két pontjábn felvett értékei közé eső bármely értéket felvesz e két hely között Tétel: Zárt intervllumon folytonos függvény korlátos ezen z intervllumon Tétel: (WEIERSTRASS) Zárt intervllumon folytonos függvény felveszi infimumát, szuprémumát ezen z intervllumon ; intervllumon, ekkor z f függvény létezéséhez szükséges és elégséges, hogy z f függvény szigorún monoton legyen z Tétel: Legyen z f függvény folytonos z [ b] [ ; b] intervllumon Tétel: H f z [ ; b] intervllumon szigorún monoton folytonos függvény, kkor folytonos zon z [ α; β ] intervllumon, hol α = min{ f ( ), f ( b) } és β = m { f ( ), f ( b) } f is 4 önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy igzk-e következő állítások! H z f függvény és g függvény folytonos, kkor z H z f függvény folytonos és g függvény szkdásos, kkor függvény H z f függvény folytonos és g függvény szkdásos, kkor függvény H z f függvény és g függvény folytonos, kkor f + g is folytonos függvény f + g is szkdásos f g is szkdásos f o g is folytonos függvény 4 megoldás: A helyes válszok megtlálhtók Tnulási útmuttó 4 tém Ellenőrző kérdések megoldási c rész kérdésénél 5 oldlon Kiterjeszthetők-e z 5 önellenőrző feldt 7 f : f függvények úgy, hogy vlós számok hlmzán folytonosk legyenek? ( ) =, R \ {} és g : g( ) = log, R \ {} 5 megoldás: A megoldás megtlálhtó Tnulási útmuttó 4 tém Gykorló feldtok megoldási c rész feldtánál 7 oldlon 7

28 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 önellenőrző feldt Oldj meg Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 4 Folytonosság című fejezetének 488, 490, 49, 49, 495, 498, 400-s feldtit! 6 megoldás: A megoldások feldtgyűjtemény Megoldások negyedik fejezethez c rész zonos számú feldtink megoldásit áttekintve ellenőrizhetők 7 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 4 témájánk /, /, /, 5/ beküldendő feldtit! 7 megoldás: Ellenőrizze megoldásit Tnulási útmuttó 40 oldlán! Befejezés A megoldásokt pontozz úgy, hogy minden tökéletes megoldást 5, minden hibás megoldást 0 ponttl értékeljen H 0 pontból leglább 0 összegyűlt, úgy z elégséges tudássl rendelkezve kezdhet következő tém, Differenciálszámítás tnulmányozásáb Megoldások megoldás: Az f függvény nem folytonos z = helyen, mert lim f = 7 htárérték nem egyezik meg helyettesítési értékkel és f ( ) =, vgyis megoldás: H függvény folytonos z 0 = helyen, kkor htárértéke ezen helyen megegyezik helyettesítési értékkel, vgyis lim f = 4, ezért 4 = -ből = 8

29 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 lecke Differenciálszámítás Differenciálhánydos foglm, deriváltfüggvény Differenciálszámítás geometrii lklmzás A lecke tnulmányozásár fordítndó idő minimum ór A középiskoli nyg ide vontkozó részeinek, illetve z előző témákbn elsjátított ismereteknek szintjétől függően ennél több idő is szükséges lehet A tnulást ezért érdemes középiskolábn tnult elemi függvények, függvénytni lpismeretek, htványozás, gyökvonás és logritmus zonosságink z átismétlésével kezdeni Mjd belső pont, nyílt és zárt hlmz, vlmint függvények htárértékére vontkozó foglmkt elevenítsék fel Csk ezután kezdjék meg lecke feldolgozását Bevezetés Az előző leckékben megismertük függvények néhány igen fontos tuljdonságát Ebben témkörben mtemtiki nlízis tlán legngyobb jelentőségű foglmink: differencihánydos függvény, differenciálhánydos, deriváltfüggvény megismerésével fogllkozunk A gzdsági jellegű tárgyknál tpsztlni fogják, hogy segítségükkel közgzdságtni problémák megértése és megoldás lényegesen könnyebbé válik A differenciálszámítás szerepe közgzdságtn és mtemtik mellett minden más olyn tudományterületen pl műszki tudományok, fizik, kémi stb is jelentős, hol fontos kérdés lehet nnk eldöntése, hogy milyen gyorsn változnk bizonyos mennyiségek Egy dott változás mértékét áltlábn derivált segítségével írhtjuk le A differenciál- és integrálszámítás lpjit XVII százdbn Isc Newton (64-77) és Gottfried Leibniz (646-76) fektette le Az elméleti rész tk -50 oldlin olvshtó A témához kpcsolódó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 5 részében és Tnulási útmuttó 5 fejezetében tlálhtj meg 9

30 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A tnnyg feldolgozás után Ön képes lesz: felírni különböző függvények különbségi-hánydos függvényeit; meghtározni differenciálhánydost és értelmezni nnk geometrii jelentését; megvizsgálni egy függvény differenciálhtóságát; felírni z érintőfüggvényt; felismerni folytonosság és differenciálhtóság közötti kpcsoltot; (tk 6-7 oldl); felismerni és lklmzni z elemi függvények deriváltjit; (tk -6 oldl, illetve oldl); bemuttni derivált meghtározásár kidolgozott módszereket; felírni különböző típusú függvények deriváltjit; deriváltfüggvényt meghtározni deriválási szbályok lklmzásávl (tk 8-4 oldl); mgsbb rendű deriváltkt felírni (tk oldl) Kezdjük tnulást tnkönyv 5-es témájánk feldolgozásávl A - oldlk áttnulmányozás z első négy célkitűzésben megfoglmzott készségek elérését segíti A tém z új foglmk: differencihánydos-függvény, differenciálhánydos bevezetésével, és ezek geometrii értelmezésével indul Fontos, hogy önállón, pontosn ki tudják mondni ezeket foglmkt Ngyon lposn gondolják át geometrii jelentésüket is, hogy z lklmzásuk későbbiekben ne okozzon problémát Ezután differenciálhtóság vizsgált következik Figyeljünk rr, hogy differenciálhtóságot áltlábn függvény értelmezési trtományánk belső pontjibn vizsgáljuk Tlálkozunk olyn függvényekkel, melyek z értelmezési trtományuk több belső pontjábn, illetve értelmezési trtományuk vlmely nyílt, vgy zárt részhlmzán differenciálhtók Számos olyn függvény is dódik, melyek z egész értelmezési trtományukon differenciálhtók A közgzdsági lklmzás mitt gykoroljuk, hogy derivált felhsználásávl hogyn írhtó fel egy függvény dott pontbeli érintője önellenőrző feldt 5 Adott z f : f ( ) =, R differencihánydos függvényt! függvény Írj fel z 0 = ponthoz trtozó megoldás: A megoldást ellenőrizheti példtár 5 fejezete 5 példájánk megoldásánál 0

31 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy differenciálhtó-e z f ( ) 6 7, = +, : f [ ; [ ] ;] függvény z értelmezési trtományánk 0 = pontjábn! megoldás: A megoldást ellenőrizheti példtár 5 fejezete 55 példájánk megoldásánál önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy értelmezhető-e z f : f 5 ( ) = +, [ 5;] { } [ 5;7] függvény differenciálhánydos z 0 = helyen? megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek feldtánk megoldásánál, 44 oldlon Adott z f : f ( ) 4 önellenőrző feldt 0, =,, h h h ] ;0] ] 0; ] ] ; [ függvény Vizsgálj meg, hogy differenciálhtó-e f z értelmezési trtományán? 4 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek feldtánk megoldásánál, 44 oldlon

32 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt Válszoljon következő kérdésekre! Milyen kpcsolt vn egy f függvény D f belső pontbeli differencihánydos függvénye és differenciálhánydos között? egy f függvény differenciálhánydos függvény D f belső pontbeli differencihánydos és z f ' D f helyen vett helyettesítési értéke között? 5 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek 4 feldtánk megoldásánál, 44 oldlon Adott z 6 önellenőrző feldt ( ) = ln( + ), ] ; [ f : f függvény Htározz meg függvény grfikonjánk 0 = bszcisszájú pontjához húzott érintőjének meredekségét! Állpíts meg, hogy mekkor szöget zár be z érintő z tengely pozitív felével! Írj fel z érintő egyenletét! 6 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Gykorló feldtok 5 feldtánk megoldásánál, 46 oldlon Folytssuk z nyg tnulmányozását tnkönyv 5 témájánk feldolgozásávl A 6-7 oldlkon kidolgozott tnnyg differenciálhtó és folytonos függvények kpcsoltávl fogllkozik Mielőtt bármilyen mtemtiki műveletet elvégzünk, mindig át kell gondolnunk, hogy egyáltlán elvégezhető-e vizsgált művelet, illetve, hogy melyek zok feltételek, melyek mellett z dott művelet elvégezhető A könyvbeli példák lpján nyilvánvlóvá válik, hogy differenciálhtó függvények folytonos függvények vlódi részhlmzát lkotják H z f függvény differenciálhtó z 0 helyen, kkor ott folytonos is; de ez z állítás nem megfordíthtó, zz folytonosság differenciálhtóság szükséges, de nem elegendő feltétele Ne felejtse el, hogy z 55-ös tétel bizonyítását is meg kell tnulni könyv levezetése lpján!

33 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 7 önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy z :, h f f ( ) = 5, h ] ;0[ [ 0; + [ függvény differenciálhtó-e z 0 = 0pontbn? Vizsgálj meg, hogy 8 önellenőrző feldt 4, h rcionális g : g( ) = 4, h irrcionális függvény értelmezési trtományánk mely pontjibn folytonos? Állpíts meg, hogy differenciálhtó-e g z 0 = 0 helyen? Adott z 9 önellenőrző feldt ( ) =, R f : f függvény Állpíts meg, hogy differenciálhtó-e f z 0 = helyen! 9 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezet Gykorló feldtok példájánk megoldásként 45 oldlon A tnkönyv 5, 54 és 55-ös témáját egymás után jvsoljuk feldolgozni A -5; 8-46 oldlkon 6-9 célkitűzésben fogllt készségek kilkításához szükséges elméleti ismeretek tlálhtók Itt ismerheti meg zon elemi függvények deriváltjit, illetve zokt deriválási szbályokt, melyek lklmzásávl deriválási művelet rutinszerűvé válht Figyeljen rr, hogy itt deriválás műveletének megértése és elmélyítése mitt z 5, 5, 5, n, 54, 56, 57, 58, 59, 5-es tételek bizonyítását is tudni kell!

34 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 0 önellenőrző feldt Oldj meg példtár 50, 56, 59, 5, 5, 55, 57, 56, 54, 546, 550, 55, 560, 568, 570, 58, 58-es feldtit 0 megoldás: A megoldásokt megtlálj Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 5 fejezetének Megoldás részében önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 5 fejezet Gykorló feldtink 4 példáját 4 oldlról! megoldás: Ellenőrizze megoldást Tnulási útmuttó 46 oldlán! Végül tnulmányozzuk tnkönyv 56-os fejezetét (47-50 oldl), mely többször differenciálhtó függvényeket tárgylj Figyeljünk rr, hogy h egy dott f függvény differenciálhtó, bból még nem következik, hogy kétszer, vgy többször is differenciálhtó, tehát deriválás előtt differenciálhtóságot mindig újból meg kell vizsgálni Ugynkkor bármely rcionális függvény kárhányszor differenciálhtó értelmezési trtományánk minden pontjábn Hsonlón igz ez eponenciális, sinus és cosinus függvényekre is önellenőrző feldt Adjon meg egy olyn függvényt, mi egyszer differenciálhtó, de kétszer már nem! megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek 5 feldtánk megoldásánál, 44 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg példtár 50, 507, 50, 5, 56 és 57-es feldtit! megoldás: A megoldásokt megtlálj Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 5 fejezetének Megoldás részében 4

35 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 önellenőrző feldt A tém végén összefogllásként jvsoljuk, hogy írj le önállón differenci-hánydos függvény, differenciálhánydos és deriváltfüggvény foglmit, mjd bizonyíts be z 5 leckében felsorolt bizonyításokt! Végül oldj meg Tnulási útmuttó Beküldendő feldtok c részének 7 feldtát (47-48 oldl) 4 megoldás: Ellenőrizze z elmélet pontosságát önállón könyv lpján, feldt-megoldásokt pedig Tnulási útmuttó oldlin H foglmk és bizonyítások leglább felét pontosn tudt, kkor z elméleti részt leglább elégséges szinten teljesítette A feldt-megoldások tekintetében, h feldtonként 0 pontot kphtn egy-egy feldt helyes megoldásr, és 0 vgy 0 ponttl értékelnénk egy-egy feldtot, kkor z elégséges tudásszint eléréséhez 70 pontból leglább 5 pontot kell összegyűjtenie H ez nem sikerült, kkor zokt részeket, melyekre vontkozó feldtok hibásnk muttkoztk, újr át kell ismételnie Befejezés Reméljük, hogy jó eredménnyel vette z kdályt, és belátt, hogy differenciálás nem is olyn bonyolult művelet De hogy mennyire fontos és hsznos ez művelet, zt csk következő témábn, differenciálhtó függvények tuljdonságink vizsgáltkor fogj tpsztlni Megoldások 7 megoldás: H felrjzolj függvényt, kkor zonnl látj, hogy f folytonos függvény H ezután meghtározz jobb és bloldli differenciálhánydost z 0 = 0 pontbn kkor láthtj, hogy lim 0 =, de lim =, ezért f folytonos, de nem differenciálhtó függvény 8 megoldás: A megdott g függvény értelmezési trtományánk csk z 0 = 0 pontjábn lesz folytonos és itt egyben differenciálhtó is Figyeljünk rr, hogy egy függvény dott pontbeli differenciálhtóság csk z dott pontbeli folytonosságot biztosítj 5

36 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 lecke Beküldendő feldt I A leckére órát kell szánni, ezen belül feldtok megoldásár 90 perc lenne z ideális idő A továbbikbn másoláshoz, tisztázáshoz szükséges még 0 perc H 90 perc kevés megoldáshoz, ez zt jelenti, még gykorolni kell hsonló feldtokt, hogy feldtsor kidolgozás lerövidüljön Az egyes feldtok munkidejét nem célszerű szétválsztni, érdemes őket folymtosn, egymás után megoldni Így derülhet ki z Ön számár, hogy vlójábn mennyi időre vn szüksége megoldáshoz Bevezetés A következő feldtsor megoldásávl ellenőrizheti z első öt témábn elsjátított ismereteinek tudásszintjét A feldtokt igyekeztünk úgy kiválsztni, hogy vlóbn összefogllják megjelölt leckék nygát A feldtok és kérdések szintje megfelel vizsgán támsztott követelményeknek H vlmelyik feldt megoldás gondot okozn, kkor jvsoljuk, hogy lpozz fel könyv és példtár megfelelő fejezeteit, melyeket újr áttnulmányozv már biztosn nem lesz nehéz megoldás Figyeljen rr, hogy bár itt nem kértünk bizonyítást, mert z könyvből kimásolhtó lenne, vizsgán mindig szerepel leglább egy bizonyítás is! Az első két feldtot Hlmzelmélet témából válsztottuk Szerepelnek benne olyn kérdések, melyek zt mérik fel, hogy középiskoli ismereteket mennyire sikerült felelevenítenie, de olyn foglmkr is rákérdez, melyekkel ebben témábn kiegészítettük korábbi ismereteket A hrmdik és negyedik feldt áltlábn ngyobb hngsúlyt kp vizsgán, szinte minden feldtsorbn szerepel Az ilyen jellegű és szintű feldtok megoldását ezért sokt gykorolj! Az ötödik és htodik feldttl függvények htárértéke, folytonosság és differenciálszámítás témákbn megszerzett tudás mérhető Ugynkkor visszmenőleg is vissztér egyes témák megértéséhez, és feldtmegoldásokhoz is szükséges olyn lényeges foglmkr, mint z inverz függvény és z összetett függvény 6

37 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Beküldendő feldt (-4) Feldt ) Mikor nevezünk egy számhlmzt zártnk? b) Értelmezze két hlmz metszetét! c) Adott z lábbi két hlmz: A = { ; ; 8} és = { 5; ; 8} Adj meg z A B, B \ A és A B hlmzokt! d) Írj fel z A hlmz htványhlmzát! Feldt Legyen dott = { Z / < 0} A = { ; ; ; 4; 5; 9} és = { 0; ; ; ; 8} B H lphlmz, továbbá z ezen értelmezett B hlmzok ) Adj meg z A B hlmzt!, kkor írj fel megdott hlmz htványhlmzát! c) Definiálj z A B hlmzt! feldt 4 n + Adott z n =, n N számsorozt! n 0 b) H C = { ; ; } ) Jellemezze z dott számsoroztot monotonitás, korlátosság és htárérték szempontjából! b) Adj meg z ε =0 4 hez trtozó küszöbszámot! c) Definiálj, hogy mikor nevezünk egy számsoroztot felülről korlátosnk! 4 feldt n + Adott z n =, n N számsorozt! 4n + ) Jellemezze z dott számsoroztot monotonitás, korlátosság és htárérték szempontjából! n b) Htározz meg pozitív tgú mértni sor összegét! n= c) Mikor mondjuk, hogy egy végtelen numerikus sor konvergens? 7

38 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Beküldendő feldt (5-6) 5 feldt ) Értelmezze z f o g összetett függvényt! b) Értelmezze függvény végtelenben vett véges htárértékét! c) Írj fel z f : f ( ) = + 5, R függvény 0 = helyhez trtozó különbségihánydos függvényét mjd ugynebben pontbn htározz meg differenciálhánydost! d) Számíts ki z lábbi htárértékeket: + 6 lim = lim = 9 6 feldt ) Állpíts meg, hogy képezhető-e z f : f ( ) = +, R H igen, kkor képezze is z inverz függvényt! b) Adottk z f : f ( ) = sin, R és g : g( ) = +, R Képezze h = f o g függvényt, mennyiben lehetséges! függvény inverze függvények c) Mikor mondjuk, hogy z egyváltozós vlós függvény értelmezési trtományánk egy D f 0 pontjábn folytonos? A megoldott feldtsort tntárgy felvételekor meghtározott időpontr kell elküldenie szkértő tutoránk A tutor feldtokt egy héten belül kijvítj, és visszjelzést küld Önnek Kérjük, hogy megoldásokt kék tintávl írottn, jól olvshtó formábn készítse mjd juttss el postán tutornk, vgy személyesen hozz be Mtemtik-sttisztik Tnszékre Természetesen e-milhez cstolt mellékletet is küldhet A visszjelzésig se hgyj bb tnulást! A dolgozt bedás után folytss megmrdt két tém folymtos tnulmányozását! 8

39 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 7 lecke Differenciálhtó függvények néhány lokális és globális tuljdonságánk vizsgált A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Ennyi idő minimálisn szükséges nnk is, ki Függvények htárértéke, Függvények folytonosság és Differenciálszámítás témákt már igen jó szinten elsjátított Jvsoljuk, hogy tém feldolgozás előtt ismételje át z előzőekben felsorolt témákt Bevezetés A deriválás közgzdságtni problémák megoldásánál ngyon hsznos mtemtiki módszernek bizonyult Így differenciálás segítségével oldhtók meg gykorltbn például különböző szélsőérték problémák, melyek függvény elsőrendű deriváltjánk segítségével vizsgálhtók A differenciálhtó függvények olyn tuljdonságink megismeréséhez viszont, mint konve, konkáv tuljdonságok másodrendű derivált lklmzás szükséges A közgzdságtnbn hsznált függvények értelmezési trtományuk bizonyos részintervllumin konkávk, más részhlmzokon konveek Azok pontok, hol egy függvény konkávból konvebe megy át, vgy fordítv, z infleiós pont elnevezést kpták Az elméleti rész tk oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 6 és 6, vlmint Tnulási útmuttó 6 fejezetében tlálj meg A tém áttnulmányozásávl Ön képes lesz: megvizsgálni lokális növekedést és fogyást, illetve intervllumon vett monotonitást 6, 6 és 6 tételek lpján; bebizonyítni 6 tételt; megvizsgálni z egyváltozós vlós függvények helyi és bszolút szélsőértékét (64, 65 és 66 tételek;) lklmzni z L Hospitl szbályt; meghtározni konve és konkáv tuljdonságokt (67, 68 tételek); eldönteni, hogy hol vn egy függvénynek infleiós pontj (69 tétel) Kezdjük tnulást z első négy célkitűzés megvlósításávl, melynek elméleti része lpvetően tnkönyv oldlin olvshtó, s 6 és 6-es témákt öleli fel 9

40 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Mivel z L Hospitl szbály lklmzásár szükségünk lesz, de könyvünk ezt részletesen nem tárgylj, ezért itt közöljük L Hospitl-szbály: Az L Hospitl-szbály néven ismert tételek két függvény hánydosánk htárértékével kpcsoltosk, mikor számláló és nevező is nullához, illetve végtelenhez trt, vgy htárérték kiszámítás ezekre z esetekre visszvezethető A 0 0 és, illetve z átlkítások után ilyen lkr hozhtó 0,, htároztln kifejezéseknek nevezzük 0 0, 0, 0 és kifejezéseket Ezek meghtározását teszi lehetővé bizonyos esetekben z L Hospitl-szbály néven ismert eljárás Tétel: Legyenek f és g függvények z hely vlmely (esetleg csk féloldli) környezetében differenciálhtók (z helyet esetleg kivéve) és helyen folytonosk, f ' melyekre f ( ) = g( ) ( ) = 0 Tegyük fel továbbá, hogy lim htárérték létezik és g' ( ) f ( ) f ( ) f '( ) véges Ekkor lim is létezik és lim = lim g( ) g( ) g' ( ) Tétel: Legyenek f és g függvények z hely vlmely (esetleg csk féloldli) környezetében differenciálhtók (z helyet esetleg kivéve) és helyen folytonosk, f ' melyekre ( ) = ( ) ( ) lim f lim g = (vgy ) Tegyük fel továbbá, hogy lim g' ( ) f ( ) f ( ) f '( ) htárérték létezik és véges Ekkor lim is létezik és lim = lim g g g' ( ) Tétel: Legyenek f és g függvények differenciálhtók z ] ; [ intervllumon és f ' lim ( ) = lim ( ) ( ) f g = 0, vgy ± Tegyük fel továbbá, hogy lim htárérték g' ( ) f ( ) f ( ) f '( ) létezik és véges Ekkor lim is létezik és lim = lim g( ) g( ) g' ( ) Feldtmegoldásokbn z L Hospitl-szbályt úgy lklmzzuk, hogy először megvizsgáljuk, hogy htárérték 0 0 vgy típusú-e H nem, kkor visszvezetjük ezekre típusokr Például f 0 = =, vgy 0 = = ( ) g ( ) g ( ) ln = e f ( ) átlkítássl (feltéve, hogy ( ) > ( ) ( ) A többi típus áltlábn 0 f ) 0, mjd típusúvá 0 lkíthtó Ezután számlálót és nevezőt külön-külön deriválv deriváltk hánydosként kpott új hánydos-függvény htárértékét vizsgáljuk meg H ez még mindig htároztln kifejezés lenne, kkor feltételek teljesülése esetén z L Hospitl-szbályt újból lklmzhtjuk 40

41 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Az ebben tnnygrészben szereplő foglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik Feldtgyűjtemény I 6 témájánk 6 pontjábn kidolgozott mintfeldtokt! önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy lehet-e egy f függvénynek értelmezési trtomány egy olyn belső pontjábn is lokális szélsőértéke, hol f nem differenciálhtó! önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy igz-e következő állítások megfordítás? H egy függvény deriváltj egy intervllum minden belső pontjábn pozitív, kkor ott szigorún monoton növekedő H z pont z f függvénynek lokális szélsőértékhelye, kkor '( ) = 0 f önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 6, 6, 64, 67, 60, 64, 68 és 6-es feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény zonos számú feldtink megoldásinál 4 önellenőrző feldt Számíts ki ln lim és lim 0 ( + ) 5 + htárértékeket! Az 5-6 célkitűzésekben megfoglmzottk elérését kezdjük tnkönyv oldlink tnulmányozásávl Mjd tekintsük át Feldtgyűjtemény 6 fejezetének 6 részében kidolgozott mintfeldtokt! 5 önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy igz-e nnk kijelentésnek megfordítás, hogy konve szkszon egy függvény deriváltj monoton növekedő? 5 megoldás: A válszt ellenőrizheti Tnulási útmuttó 6 fejezete Válszok z ellenőrző kérdésekre c rész 55 oldlán 4

42 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 6 részének 6, 65, 68 és 69-es feldtit! 6 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény 6 fejezete zonos számú feldtink megoldásként 7 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 6 fejezete Beküldendő feldtink első öt feldtát! 7 megoldás: A megoldásokt z oldlkon ellenőrizheti Befejezés Pontozz megoldásit: hibátln megoldás esetén feldtonként 0 ponttl, hibás megoldás esetén 0 ponttl H leglább 0 pontot ért el, kkor tudás elégséges és megkezdheti következő tém feldolgozását Megoldások megoldás: Igen, például z f f ( ) =, R : függvény z = 0 pontbn nem differenciálhtó, de lokális minimum vn ezen helyen megoldás: Az első állítás megfordítás nem igz Például z f : f ( ) =, R növekedő, mégis '( 0) = 0 = 0 f függvény minden, zz nem pozitív A második állítás megfordítás sem igz, mert például z f : f ( ) =, R R -re szigorún monoton függvény 0 pontbn vett differenciálhánydos 0, de még sincs szélsőértéke f -nek 0 helyen 4 megoldás: Az első feldtnál számláló és nevező htárértéke is plusz végtelen, így lklmzhtjuk z ln L Hospitl-szbályt Alklmzv lim = lim = 0 lesz A második feldtnál számláló és nevező htárértéke is 0, tehát z L Hospitl-szbály lpján lim 0 5 ( + ) + 5 ( + ) = lim 0 4 = 5 4

43 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 8 lecke Teljes függvényvizsgált A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Ennyi idő minimálisn szükséges nnk is, ki Htárérték, Folytonosság, Differenciálszámítás, Differenciálhtó függvények vizsgált c részeket jól elsjátított Bevezetés A gzdsági életben előforduló függvénykpcsoltok áltlábn nem írhtók le középiskolábn megtnult elemi függvényekkel Ahhoz, hogy egy tetszőleges függvény viselkedését megismerjük, felrjzoljuk grfikonját, ismernünk kell minden egyes nevezetes pontját, és minden közbülső intervllumon függvény lkját és menetét is Ezért ebben leckében összegezzük függvények és grfikonjik diszkussziójávl kpcsoltos, z előző témákbn már bevezetett és megismert kérdéseket Szándékunk, hogy egy hsznos útmuttót állítsunk össze gykorltbn előforduló függvények viselkedésének vizsgáltár Az összefoglló elméleti rész tk 87-9 oldlin tlálhtó A témához kpcsolódó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 6 és Tnulási útmuttó 6 fejezetében tlálj meg A tém áttnulmányozás után Ön képes lesz: megállpítni függvény zérushelyeit; megállpítni, hol páros, illetve pártln, hol periodikus egy függvény; megállpítni vnnk-e lokális és bszolút szélsőérték-helyei; meghtározni monotonitási szkszokt; meghtározni z infleiós pontokt; meghtározni konve-konkáv szkszokt; megállpítni, hogy z értelmezési trtomány torlódási pontjibn létezik-e függvénynek htárértéke, illetve hol folytonos függvény; megállpítni, h függvény értelmezési trtomány nem korlátos hlmz, kkor létezik-e htárértéke ± -ben; megállpítni, mi függvény értékkészlete; felrjzolni z dott függvény grfikonját felsorolt jellemzők lpján A megjelölt célkitűzések elérését ebben leckében nem egyenként vgy csoportonként, hnem egy-egy feldtbn, mindegyik részt felsorolás sorrendjében lklmzv jvsoljuk megvlósítni Kezdjük tnulást tnkönyv 6-es és 6-es kidolgozott példáink tnulmányozásávl 4

44 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A példák kpcsán láthtjuk, hogy miért is kellett megtnulnunk z előző témák foglmit, hogy mennyire hsznosnk bizonyultk korábbi ismeretek egy-egy ismeretlen függvény grfikonjánk felrjzolásánál Folytssuk tnulást Feldtgyűjtemény 6 Teljes függvényvizsgált c részének kidolgozott feldti tnulmányozásávl Csk ezután próbáljuk ki tudásunkt önálló feldtok megoldásávl önellenőrző feldt Pótolj ki hiányzó részeket következő foglmkbn! Legyen z f függvény értelmezési trtományánk egy belső pontj Azt mondjuk, hogy z f függvény z pontbn (szigorún) lokálisn növekedő, h Legyen z f függvény értelmezési trtományánk vlmely I intervllumán differenciálhtó H bármely I esetén, kkor zt mondjuk, hogy f z I intervllumon (szigorún) konve Legyen z f függvény értelmezési trtományánk vlmely belső pontjábn differenciálhtó H z pontbeli érintő z -bn átmetszi z f függvény grfikonját, vgyis z, kkor z pontot z f infleiós pontjánk nevezzük megoldás: A foglmkr dott helyes válszok tnkönyv 66, 80 és 84 oldlin ellenőrizhetőek önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy igzk-e következő kijelentések! H f tágbb értelemben lokálisn növekedő z pontbn, kkor '( ) 0 f H z elsőrendű derivált z pontbn előjelet vált, kkor f -nek z pontbn lokális szélsőértéke vn Az f függvény z I intervllumon pontosn kkor konve, h z intervllum minden f " 0 pontjábn ( ) önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 6 témájánk 65, 660, 666, 674, 678 és 679-es feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások htodik fejezethez c rész zonos számú feldtinál 4 önellenőrző feldt Végezzen teljes vizsgáltot Tnulási útmuttó Gykorló feldtink 8, és Beküldendő feldtok 6 feldtibn megdott függvényeken, és vázolj fel grfikonjikt is! 44

45 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Tnulási útmuttó 58, illetve 6 oldlin H zérushelyek, pritás, lokális szélsőérték, monotonitási szkszok, infleiós pont, konve-konkáv szkszok, htárérték, folytonosság, bszolút szélsőérték, értékkészlet, ábr felrjzolás, feldtrészek mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, kkor 55 = 0 pontból leglább 55 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudás eléréséhez Befejezés Reméljük, hogy feldtmegoldási sikerültek! Ezek után z egyváltozós függvények mintáj lpján kezdje el kétváltozós függvények viselkedésének vizsgáltát Megoldások megoldás: Hmis, f '( ) 0 Igz Igz, feltéve, hogy z f függvény értelmezési trtományánk vlmely I intervllumán kétszer differenciálhtó 45

46 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 9 lecke Többváltozós vlós függvények foglm, szemléltetése, differenciálás, szélsőértéke A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór A tém feldolgozás előtt ismételje át függvények osztályozását, z egyváltozós vlós függvények jellemzőit, differenciálhánydos foglmát, deriválás műveletét Bevezetés Az előző témákbn z egyváltozós vlós függvényeket tnulmányoztuk A gzdsági életben lejátszódó jelenségek többségének leírásához zonbn áltlábn több változó együttes vizsgáltár vn szükség Ebben témábn többváltozós függvények néhány tuljdonságán keresztül bemuttjuk, hogy z egyváltozós függvények tuljdonsági hogyn áltlánosíthtók két, illetve többváltozós esetre A kétváltozós függvényekre tnult foglmkt mindig hsonlítsuk össze z egyváltozós esetre tnultkkl Figyeljünk z értelmezésbeli különbségekre Például kétváltozós esetre monotonitás nem értelmezhető, mert vektorok hlmz nem rendezett hlmz De eltérés muttkozik pl differenciálhánydos értelmezésénél is, mert vektorrl vló osztás nem értelmezhető Ugynkkor hsonlóságokt tlálunk htárérték, folytonosság, lokális szélsőérték értelmezésénél Az elméleti rész tk 6-66, 8, 56-6 és 95-0 oldlin tlálhtó A témához kpcsolódó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 7, és Tnulási útmuttó 7 fejezetében tlálj meg A lecke áttnulmányozás után Ön képes lesz: definiálni két és többváltozós függvény foglmát; szemléltetni szintvonlk segítségével fenti függvényeket; áltlánosítni z egyváltozós eset mintájár kétváltozós függvények folytonosságát, htárértékét; lklmzni prciális deriválást; megvizsgálni lokális szélsőértéket z egyváltozós függvényekre bevezetett szélsőérték-foglmk kétváltozós esetre vló átvitelével; (6 és 6 tétel); lklmzni legkisebb négyzetek módszerét Kezdjük tnulást z első három célkitűzés megvlósításávl, tnkönyv és 45-ös témáink feldolgozásávl Ezek tnkönyv 6-66 és 8 oldlin tlálhtók A foglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik Feldtgyűjtemény 7 tém mintfeldtink, illetve Tnulási útmuttó 7 részének témához kpcsolódó példáit 46

47 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy sík mely pontji tesznek eleget z + y < 4 és < 0 egyenlőtlenség-rendszernek! önellenőrző feldt Adjuk meg sík pontjink zt legbővebb részhlmzát, melyen z f : f (, y) = + y függvény értelmezhető Állpítsuk meg, hogy felveszi-e 0 értéket ez függvény? Adott z önellenőrző feldt (,, ) = + + 7, (, ) f : f R, háromváltozós függvény Írj fel z = (,, ) A pontoz trtozó egyváltozós vlós függvényeket! megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó 7 Tém, Ellenőrző kérdések megoldás c rész kérdésénél, 65 oldlon ellenőrizhető 4 önellenőrző feldt A szintvonls ábrázolás segítségével dj meg z (, y) = + y, (, y) f : f R függvény grfikonját! 4 megoldás: Az ábrázolás lépései Tnulási útmuttó 7 tém, Ellenőrző kérdések megoldás c rész, 6 kérdésénél, 65 oldlon ellenőrizhető Folytssuk lecke feldolgozását negyedik célkitűzés megvlósításávl, tnkönyv 58 és 59-es témáink 56-6 oldlkon tlálhtó feldolgozásávl 47

48 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy fennáll-e ugynz kpcsolt prciális differenciálhtóság és folytonosság között, mely z egyváltozós vlós függvények esetén differenciálhtóság és folytonosság között fennállt! 6 önellenőrző feldt Foglmzz meg, hogy milyen feltételek mellett lesz igz z (, b) f " ( b) f " =? y y, 6 megoldás: Az 5 tétel (6 oldl) segítségével ellenőrizheti válsz helyességét 7 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 7, 76, 79, és 70-es feldtit! 7 megoldás: A megoldásokt Feldtgyűjtemény Megoldások hetedik fejezethez c részének zonos számú feldtinál ellenőrizheti 8 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 75, 78, 7, 77 és 70-s feldtit! 8 megoldás: A megoldásokt Feldtgyűjtemény Megoldások hetedik fejezethez c részének zonos számú feldtinál ellenőrizheti Végül térjünk rá többváltozós függvény szélsőértékével kpcsoltos, tnkönyv 66 ás 67 pontjibn megfoglmzott tnnyg megtnulásár 95-0 oldlig A kétváltozós függvényeknek csk lokális szélsőértékét vizsgáljuk Főként közgzdságtni hsznosíthtóság mitt figyeljünk rr, hogy lokális szélsőérték létezése geometriilg zt jelenti, hogy h z (, b) D f szélsőértékhely, kkor függvény grfikonját z = és b, b D pontbeli érintője párhuzmos lesz z (, y) síkkl y = síkkl elmetszve kpott görbék ( ) f 48

49 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 9 önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy függvényvizsgált lépései közül melyek értelmezhetők többváltozós függvényekre is? 9 megoldás: A válsz Tnulási útmuttó 7 fejezete, Ellenőrző kérdések megoldási c rész feldtánál tlálhtó, 64 oldlon 0 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 74, 747, 748, 75 és 75-s feldtit! 0 megoldás: A megoldásokt Feldtgyűjtemény Megoldások hetedik fejezethez c részének zonos számú feldtinál ellenőrizheti önellenőrző feldt Fejtse ki legkisebb négyzetek módszerének lényegét! Tekintse át, hogy mennyiben kpcsolódik ez módszer többváltozós vlós függvényekhez! megoldás: A válszt tnkönyv 6 oldlán megtlálj önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási úmuttó 7 fejezet Beküldendő feldtit feldt kivételével! megoldás: A megoldásokt megtlálj Tnulási útmuttó 70-7 oldlin Befejezés Pontozz megoldásit feldtonként 5 vgy 0 ponttl szerint, hogy tökéletes, vgy hibáse megoldás H 0 pontból leglább 5-öt sikerült teljesítenie, kkor grtulálunk helyes megoldásokhoz és kezdhetjük következő lecke, Htározott integrál feldolgozását 49

50 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Megoldások megoldás: Az első egyenlőtlenségnek megfelelő pontok z origó körüli, egység sugrú kör belső pontji A második egyenlőtlenség követelményének megfelelő pontok összessége z y tengelytől jobbr levő pontok hlmz Mindkét egyenlőtlenségnek jobboldli félkörlp belső pontji felelnek meg megoldás: A tört nevezője, tehát = 0 és y = 0 helyek kivételével megdott függvény sík bármely pontjábn értelmezhető Ennek ellenére függvényérték például z = és y = értékek esetén 0 lesz 5 megoldás: Nem áll fenn ugynz kpcsolt, mert h egy kétváltozós függvény értelmezési trtományánk egy belső pontjábn mindkét változój szerint prciálisn differenciálhtó, még nem biztos, hogy folytonos is 50

51 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 0 lecke Htározott integrál A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 8 ór Ennyi idő feltétlenül szükséges hhoz, hogy foglmkt pontosn megértse, elgondolkodjon rjtuk Bevezetés A következőkben htározott integrál foglmávl ismerkedünk meg Ezen tém fejlődését mint mtemtik számos más területét is gykorlti életben felmerülő problémák megoldási kísérletei indították el Az egyik ilyen igen egyszerű problém z volt, hogy hogyn htározhtó meg egy áltlános görbe áltl közrezárt terület Ezt kérdést z eddig megismert mtemtiki műveletek felhsználásávl m sem tudnánk megválszolni Pedig már i e 60-bn híres görög mtemtikus, Eudoos, mjd később Archimedes kidolgozott egy ún fokoztos kimerítésként elnevezett módszert, melyben területet ismert geometrii lkztok területeivel közelítették Archimedes után mintegy 900 évnek kellett eltelnie hhoz, hogy síkidomok területének meghtározásábn lényeges előrelépés szülessen, zz kifejlődjön egy új módszer: z integrálszámítás Az integrálszámításr vontkozó ismereteinket véges, zárt intervllumon korlátos és monoton függvények görbe ltti területének meghtározásávl, illetve z erre vontkozó legfontosbb szbályok megismerésével kezdjük Az elméleti rész tk 7- oldlin tlálhtó A témához kpcsolódó feldtokt Gzdsági mtemtik I feldtgyűjtemény 8 és Tnulási útmuttó 8 fejezetében tlálj meg A tém tnulmányozás után Ön képes lesz: meghtározni htározott integrál foglmát; ismertetni htározott integrál numerikus meghtározását; felsorolni htározott integrál tuljdonságit 7, 7, és 7 tételek segítségével Kezdjük tnulást három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv 7- oldlin tlálhtó 74, 75 és 76-os témáink feldolgozásávl A témábn szereplő lpfoglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény I 8 témájánk Mintfeldtát, és Tnulási útmuttó 8 témájánk ide vontkozó feldtit 5

52 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt ) Igz-e, hogy h egy dott beosztást finomítunk, kkor mindig egy finombb kisebb finomságú beosztáshoz jutunk? b) Igz-e, hogy h egy függvény egy véges zárt intervllumon nem korlátos, kkor ott nem is integrálhtó? c) Igz-e, hogy Riemnn-szerinti integrálhtóság szükséges és elégséges feltétele z, hogy z dott véges, zárt intervllum tetszőleges, minden htáron túl finomodó felosztássoroztához trtozó megfelelő lsó és felső összegek sorozti közös htárértékhez konvergáljnk? önellenőrző feldt Jvíts ki hibákt következő összefüggésekben: b f = b f H < b < c, kkor f = f + f b c c b önellenőrző feldt Fejezze be következő megkezdett képleteket, mjd foglmzz meg zokt feltételeket, melyek mellett igzk ezek z összefüggések! b c f = b ( f + g) = megoldás: A megoldás helyességét ellenőrizze 7 tétel újrolvsásávl 0 oldlon 4 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 888 és 889 feldtát! 4 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c rész zonos számú feldtinál 5

53 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt ) Ossz fel [ 0,] intervllumot n egyenlő részre, és írj fel z f : f ( ) = 4, R függvény ezen felosztáshoz trtozó S n és s n közelítő összegét! Igzolj, hogy lim S = lim s! n n n b) Válszoljon z lábbi kérdésekre: Mit nevezünk egy [ b] n, intervllumon értelmezett f függvény dott felosztáshoz trtozó Riemnn-féle közelítő összegének? Mikor mondjuk, hogy z [ b] integrálhtó? Adjon meg egy elégséges feltételt z [ b] Riemnn-integrálhtóságához!, intervllumon értelmezett f függvény Riemnn-szerint, intervllumon értelmezett korlátos f függvény 5 megoldás: Az ) feldt megoldását ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c rész 890/ feldtánál A kérdésekre dhtó válszok tnkönyv 74-es részében megtlálhtók Befejezés Pontozz válszokt úgy, hogy z ) kérdésre 5, többi kérdésre pedig 5 pontot djon hibátln válsz, illetve megoldás esetén A hibás megoldások 0 pontot érnek H sikerült 0 pontból leglább 5 pontot teljesítenie, kkor tudás elégséges hhoz, hogy részletesebben megismerkedjünk deriválás ellentett műveletével, z integrálássl Megoldások megoldás: ) nem igz; b) igz; c) igz ) Egy dott beosztás finomságán (vgy normáján) leghosszbb részintervllumánk hosszát értjük Márpedig újbb osztópontot úgy is válszthtunk, hogy közben leghosszbb részintervllum hossz nem változik b) mert korlátosság z integrálhtóság szükséges feltétele c) Az f véges zárt intervllumon korlátos függvény megoldás: b f = b f = c b f f c b f 5

54 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Primitív függvény, htároztln integrál, integrálási szbályok A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Mivel z integrálás deriválás ellentett művelete, ezért fejezet tnulmányozás előtt érdemes Differenciálszámítás témát lposn átismételni Bevezetés Ebben témábn megtnuljuk, hogy deriváltfüggvény ismeretében z eredeti függvényt hogyn htározhtjuk meg A differenciálás fordított műveleteként értelmezhető htároztln integrált tlálón ntideriváltnk is szokás nevezni A differenciálás és integrálás közötti kpcsolt felfedezése z nlízis legfontosbb eredményei közé trtozik A felismerés főként Newton és Leibniz érdeme Az összetett függvény differenciálásánál tpsztlhtták, hogy végeredményként milyen bonyolult kifejezések is dódtk, így primitív függvény meghtározás sem lesz túl egyszerű feldt De még igen egyszerű függvények esetén sem biztos, hogy egyáltlán létezik primitív függvényük Olyn egyszerű függvényekre például, mint z f f ( ) = e :, R, vgy g : g( ) = +, [, + [ függvény nem dhtók meg olyn elemi függvények, melyeknek megdott függvények deriváltjik Az elmondottkból is látszik hogy z integrálásnál nem dhtó meg olyn áltlános szbály, melynek segítségével minden elemi függvény primitív függvényének meghtározás lehetséges A következőkben olyn elemi függvényeket, illetve módszereket tnulunk meg, melyek segítségével primitív függvény nálunk kötelezően előírt típusú függvényekre meghtározhtó Az elméleti rész tk 04-7 oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I feldtgyűjtemény 8 és Tnulási útmuttó 8 fejezetében tlálj meg A tém áttnulmányozás után Ön képes lesz meghtározni primitív függvény foglmát; megfoglmzni, hogy mit értünk egy függvény htároztln integrálján; megdni z elemi függvények htároztln integráljit és lklmzni is ezeket; bizonyítni (7, 7, 74, 75, 76 tételeket Kezdjük tnulást célkitűzések egymás utáni, tnkönyv 7, 7 és 7-s témáink feldolgozásávl A foglmk elmélyítéséhez és z elemi függvények integrálji, vlmint z integrálási szbályok lklmzásánk előkészítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény 8 témájánk mintfeldtit 54

55 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Az előző leckében láthttuk, hogy htározott integrál értéke egy konkrét szám A primitív függvény h létezik z függvény, melynek deriváltj z eredeti függvény H primitív függvényeket közös koordinát rendszerben ábrázoljuk, kkor zok egymáshoz képest el vnnk tolv z y tengely mentén Egy függvény htároztln integrálj végtelen sok függvény függvény hlmz, melyek csk konstnsbn különböznek egymástól Feldtokbn ezt konstnst mindig szerepeltetnünk kell Tehát f ( ) d = F( ) + c, F ' = f melyre ( ) ( ) Először ellenőrizzük zt, hogy sikerül-e primitív függvény felírás Írjuk fel z f : f önellenőrző feldt ( ) =, R függvény primitív függvényét! Gykrn fordulnk elő olyn feldtok, melyekben primitív függvénynek egy dott ponton kell áthldni Írjuk fel z önellenőrző feldt f : f ( ) = 4 +, R függvénynek zt primitív függvényét, mely áthld P( ;5) ponton! Ezután gykoroljuk nnk mindössze két integrálási szbálynk hsználtát, melyeket áltlános integrálási szbályoknk nevezünk Ne felejtsük el, hogy z c f = c f és z ( g) = f ± f ± g szbályok egymás után véges sokszor megismételhetők önellenőrző feldt Alklmzz z áltlános integrálási szbályokt következő feldtbn: + 4 d =? Ezután célszerű z lpintegrálok gykorlás egyszerű feldtokbn Ilyenkor z integrálás nnyit jelent, hogy z integrndust zonos átlkítássl úgy lkítjuk, hogy vlmelyik (egy vgy több) lpintegrálr vezetjük vissz A Feldtgyűjtemény feldtiból elég sokt megoldv láthtjuk, hogy z elemi függvények integráljir történő visszvezetés nem mindig egyszerű 55

56 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 8, 86, 87, 80, 8, 8, 85, 8, 84-es számú feldtit! 4 megoldás: A helyes megoldások ellenőrizhetők Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c részének zonos számú feldtinál Az előzőekben gykorolt áltlános integrálási szbályok függvény konstnsszorosánk, illetve két függvény összegének és különbségének integrálásár vontkoztk Nem tudunk zonbn bármely szorzt-, hánydos-, összetett, vgy inverz függvény integrálásár szolgáló tételeket felállítni A felsorolt függvények integrálását különböző integrálási módszerek ismeretében végezhetjük el Az integrálási módszerek közül mi tnnygunk összesen öt típust tárgyl Ezért először ismerkedjünk meg lposn ezekkel módszerekkel, zz tnuljuk meg tnkönyv 7, 74, 75, 76 és 77-es tételeit Ne feledkezzünk meg bizonyítások elsjátításáról sem A feldtmegoldásoknál érdemes először tételek lklmzását egyenként gykorolni A tnult integrálási tételek közül kiemeljük z f [ g( ) ] g' ( ) d = F[ g( ) + c] típust Ezt kkor lklmzzuk, h olyn szorztot kell integrálni, melynek z egyik tényezője összetett függvény, másik tényezője pedig belső függvény deriváltj H belső függvényt új változóvl helyettesítjük, mjd úgy integrálunk, minth belső függvényünk lett voln független változó, kkor figyelnünk kell rr, hogy helyettesítéssel integrálhtó függvényhez jussunk Éppen ezért ezt módszert helyettesítéses integrálnk is nevezzük A másik kiemelésre szoruló tétel z f ( ) g ( ) d = f ( ) g( ) f '( ) g( ) ' d ú n Prciális integrálás néven ismert eljárás Ez csk olyn szorztfüggvények integrálásánál lklmzhtó, mely szorztfüggvények egyik tényezője deriválhtó, másik pedig integrálhtó Emellett z lklmzás csk kkor célszerű, h z eredetileg meghtározndó integrál helyett módszert lklmzv egyszerűbb integrálási feldthoz, illetve véges sok lépésben lpintegrálhoz jutunk Az lábbikbn megdunk három olyn szorztfüggvény típust, melyeknél fenti tétel jól lklmzhtó: Típus f ( ) ( ) ( ), ln függvények g' Alklmzások szám: P n, e, sin, cos n log ( ) P n, e, sin, cos, e, sin, cos Természetesen táblázt bővebb is lehetne, ezért hngsúlyoznunk kell, hogy bemuttott tábláztbn csk mi tnnygunkbn előírt típusokt szerepeltettük 56

57 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 86, 87, 84, 844, 847, 848, 850, 85, 854, 859, 864, 876, 877, 879, 88-s számú feldtit! 5 megoldás: A helyes megoldások ellenőrizhetők Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c részének zonos számú feldtinál 6 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 8 fejezet Gykorló feldtok részének és, illetve Beküldendő feldtok c rész első három feldtát 6 megoldás: A megoldások Tnulási útmuttó Gykorló feldtok megoldás, és Beküldendő feldtok megoldás c részek zonos számú feldtinál 79 és 80 oldlkon ellenőrizhetők Befejezés Pontozz megoldásokt 5 vgy 0 ponttl szerint, hogy hibátln, vgy hibás végeredményt kpott Így Beküldendő feldtok feldtánk ) és b) részét külön pontozv mimum 0 pontot kpht Grtulálunk h leglább 5 pontot ért el! Sikerült z integrálás műveletét úgy megtnulni, hogy ezután z integrálszámítás gykorlti lklmzását is könnyedén elsjátítj mjd Megoldások megoldás: Keressük zt függvényt, melyre F '( ) = f ( ) Így F ( ) = + c 4 megoldás: mjd feltételt lklmzv F () = 5 kiszámítjuk c értékét Így feltételnek megfelelő F : F( ) = + +, R primitív függvényt kpjuk megoldás: Tgonként integrálv konstns nem tgonként kerül z integrálok mögé (bár így is kerülhetne) Ilyenkor c konstnsok összegét jelenti Ilyenkor először primitív függvényt írjuk fel: F : F( ) = + + c, R d = d + 4 d = c, 57

58 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Beküldendő feldt II A leckére órát kell szánni, ezen belül feldtok megoldásár 90 perc lenne z ideális idő A továbbikbn másoláshoz, tisztázáshoz szükséges még 0 perc H 90 perc kevés megoldáshoz, ez zt jelenti, még gykorolni kell hsonló feldtokt, hogy feldtsor kidolgozás lerövidüljön Az egyes feldtok munkidejét nem célszerű szétválsztni, érdemes őket folymtosn, egymás után megoldni Így derülhet ki z Ön számár, hogy vlójábn mennyi időre vn szüksége megoldáshoz Bevezetés A következő feldtsor megoldásávl ellenőrizheti 7- témákbn elsjátított ismereteit A feldtokt úgy válsztottuk ki, hogy vlóbn összefogllják megjelölt leckék nygát A feldtok és kérdések szintje megfelel vizsgán támsztott követelményeknek H vlmelyik feldt megoldás gondot okozn, kkor jvsoljuk, hogy lpozz fel könyv és példtár megfelelő fejezeteit, melyeket újr tnulmányozv, már biztosn nem okoz gondot megoldás Figyeljen rr, hogy bár itt nem kértünk bizonyítást, mert z könyvből kimásolhtó lenne, vizsgán mindig szerepel leglább egy bizonyítás is Az első két feldt deriváltfüggvény meghtározás, teljes függvényvizsgált, illetve részleges függvényvizsgált elsjátításánk szintjét méri Azért szerepelnek megdott feldtokbn ezek kérdések összekpcsolódv, mert gykorltbn is egymásr épülnek A teljes függvényvizsgált vlójábn z Anlízis témábn eddig szerepelt foglmk lklmzásánk összefogllás is egyben A hrmdik és negyedik feldt deriválást és nti derivált, zz htároztln integrál lklmzásávl kpcsoltos Mind két műveletet készség szinten kell tudni lklmzni, ez utóbbit csk kijelölt feldttípusokr Az utolsó két feldtbn igyekeztünk zokt kérdéseket kiemelni, melyeket kétváltozós függvények kpcsán feltétlenül tudni kell 58

59 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Beküldendő feldt (-4) feldt ) Végezzen teljes függvényvizsgáltot következő függvény esetében! f : f 4 ( ) =, R b) Adj meg z infleiós pont foglmát! feldt f függvény Htározz meg lokális szélsőérték helyét és értékeit, monotonitási szkszokt és konve, konkáv trtományokt! ) Adott z : f ( ) = +, [ 4;6[ + ln + + b) Deriválj z f f ( ) =, R : 4 ( ) = e + + ( + 4), R 4 g : g 7 és függvényeket! c) Mikor mondjuk, hogy egy függvény 0 D f belső pontbn deriválhtó? fldt f : f = ln, R + Adottk z ( ) függvények ) Deriválj z f függvényt! b) Htározz meg g függvény htároztln integrálját! és g : g( ) =, R \ { 4} + 4 c) Mondj ki zt tételt, melyet z integrál meghtározáskor lklmzott! 4 feldt Végezze el z lábbi műveleteket: + ) d = b) d = ( + ) c) ( + ) ln d = d) Adj meg zokt tételeket, melyeket c) feldt megoldásánál felhsznált! 59

60 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 feldt Beküldendő feldt (5-6) f : f ; y = + y y + y + 7, ; y R függvény Adott z ( ) ( ) ) Írj fel P ( ; ) ponthoz trtozó szintvonlit! b) Foglmzz meg kétváltozós függvény lokális szélsőérték létezésére vontkozó elegendő feltételét! y c) Állpíts meg, hogy g : g( ; y) e y, ( ; y) R helyi szélsőértéke P ( ;0 ) pontbn? 6 feldt Adott z ( ) ( ) = függvénynek létezik-e f : f ; y = y + y y ; y R függvény ) Htározz meg lokális szélsőértékeit! b) Adj meg z f : f + y + + ( ; y) = e + + y ln( + y), ( ; y) R R, > y függvény elsőrendű prciális deriváltjit! c) Mikor mondjuk, hogy egy kétváltozós függvény értelmezési trtományánk egy pontjábn folytonos? A megoldott feldtsort tntárgy felvételekor meghtározott időpontr kell elküldenie szkértő tutoránk A tutor feldtokt egy héten belül kijvítj, és visszjelzést küld Önnek Kérjük, hogy megoldásokt kék tintávl írottn, jól olvshtó formábn készítse mjd juttss el postán tutornk, vgy személyesen hozz be Mtemtik-sttisztik Tnszékre Természetesen e-milhez cstolt mellékletet is küldhet A visszjelzésig se hgyj bb tnulást! A dolgozt bedás után folytss megmrdt két tém folymtos tnulmányozását! 60

61 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke A Newton Leibniz szbály, néhány területszámítási feldt, improprius integrál A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Jvsoljuk, hogy mielőtt z integrálszámítás lklmzásáb belekezd, még egyszer gondolj át htározott integrál foglmát és lényegét, illetve htároztln integrálról tnultkt! Bevezetés Ebben leckében bemuttjuk htározott integrál kiszámítását Newton-Leibniz szbály segítségével Kitérünk rr, hogy mi teendő, h megdott intervllum nem véges zárt intervllum, illetve h függvény nem korlátos vizsgált intervllumon Mjd z integrálszámítás leggykoribb lklmzási lehetőségei közül ismerünk meg néhányt Az elméleti rész tk -46 oldlin tlálhtó A témához kpcsolódó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 8 és Tnulási útmuttó 8 fejezetében tlálj meg A tém áttnulmányozás után Ön képes lesz: kimondni és bizonyítni Newton-Leibniz-féle szbályt; lklmzni Newton-Leibniz-féle képletet területszámítási feldtokbn; lklmzni z integrál kiterjesztését, z improprius integrált; hsználni z integrálást térfogtszámításbn; lklmzni z integrálás kiterjesztését, kettős integrált Kezdjük tnulást z első két célkitűzés egymás utáni, tnkönyv 77 és 78-s témáink feldolgozásávl Ne feledkezzen meg rról, hogy Newton-Leibniz tétel bizonyítását is tudni kell! Az elméleti rész megtnulás után tnulmányozz Feldtgyűjtemény 8 Htározott integrál lklmzási c fejezetének kidolgozott példáit Kezdjük z nyg elsjátításánk ellenőrzését különböző htározott integrálok Newton- Leibniz-formul segítségével történő kiszámításávl önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 89, 894, 896, 800, 805, 806 és 807-es feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c rész zonos számú feldtinál 6

62 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Az integrál geometrii értelmezéséből következik, hogy véges zárt intervllumon korlátos b függvény esetén z ( ) f d megdj függvény grfikonj, z = és = b egyenesek és z tengely áltl közrefogott területet, h 0 b f ezen z intervllumon H ( ) < 0 dott intervllumon, kkor f ( ) d < 0 lesz, így területet z ( ) b f d dj f z Ezekből z összefüggésekből, vlmint z integrálás dditív tuljdonságából következik, hogy h z f függvény z dott intervllumon pozitív és negtív értékeket is felvesz, kkor területet z tengely fölötti és ltti területek összege dj Számíts ki z önellenőrző feldt f : f ( ) =, R függvény görbe ltti területét [ 0,] intervllumon! Számítsuk ki z önellenőrző feldt f : f ( ) =, R függvény görbe ltti területét [ 0,] intervllumon! Gykrn szükség vn rr, hogy két függvény grfikonj áltl közbezárt területet számítsunk ki 4 önellenőrző feldt Oldjuk meg Feldtgyűjtemény 89, 85 és 87-es feldtit! 4 megoldás: A megoldások Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c rész zonos számú feldtink megoldásinál ellenőrizhetők Folytssuk tém feldolgozását hrmdik célkitűzés megvlósításávl, tnkönyv 79 Improprius integrál c részének feldolgozásávl Ez htározott integrál kiterjesztésével fogllkozik Először gykoroljuk zt z esetet, mikor z integrációs intervllum végtelen 5 önellenőrző feldt Számítsuk ki következő improprius integrált: = d! 6

63 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Ezután fogllkozzunk zzl z esettel, mikor megdott függvény nem korlátos z [, b] intervllumon 6 önellenőrző feldt Számíts ki z 4 ( ) d improprius integrált! Végül térjünk rá z utolsó két célkitűzés megvlósításár, tnkönyv 70 és 7-es témáink feldolgozásár Először fogllkozzunk forgástest térfogtánk meghtározásávl Legyen f z [, b] intervllumon folytonos függvény Forgssuk meg z tengely körül Htározzuk meg nnk forgástestnek térfogtát, melyet z dott intervllumon vett függvénygörbe és két ordinát szksz körülforgtásávl kpunk Legyen dott z 7 önellenőrző feldt ( ) =, [ 0,5] f : f függvény Forgssuk meg z f grfikonját z tengely körül! Állpíts meg, hogy milyen lkztot kpunk és mekkor lesz keletkezett forgástest térfogt? 7 megoldás: A megoldást ellenőrizheti Tnulási útmuttó 8 fejezet Gykorló feldtok megoldási c rész 7 feldtánk megoldásánál 79 oldlon Végül gykoroljuk kettős integrált! 8 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 850, 85 és 854-es feldtit! 8 megoldás: A megoldások ellenőrizhetők Feldtgyűjtemény Megoldások nyolcdik fejezethez c rész zonos számú feldtink megoldásinál 9 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó Gykorló feldtiból 4, 5, 6, és Beküldendő feldtok közül z 5 és 6 feldtokt! 9 megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Tnulási útmuttó Gykorló- és beküldendő feldtok megoldási c részeinek zonos számú feldtinál 79 és 80 oldlkon 6

64 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Befejezés Pontozz z egyes feldtokr dott megoldásokt 5, illetve hibás megoldás esetén 0 ponttl Grtulálunk hhoz, h pontszám leglább 5%-át sikerült elérnie Ezután elkezdhetjük egy egészen más tém, mátriok megismerését Megoldások megoldás: T = d = = 0 megoldás: ( ) d + ( ) 0 T = d = + 6 = megoldás: b b = b b b = d lim d lim = lim + = 6 megoldás: 4 4 d = lim = = + = + ( ) ( ) d lim lim ezért z ε 0 ε ε + + ε ε 0 0 ε integrál divergens b 4 64

65 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 lecke Mátriritmetik Mátriok gzdsági lklmzás Az nyg tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Mielőtt z nyg tnulásáb kezd, jvsoljuk, ismételje át középiskolábn vektorokról, vektorokkl történő műveletekről, illetve műveleti tuljdonságokról tnultkt Bevezetés A gzdsági élet szinte minden területén dolgoznk mért, számolt vgy képzelt dtokkl, zz számok sokságávl Egy-egy jelenség vizsgáltához gykrn szükséges rendelkezésre álló dtok csoportosítás, táblázt formájábn történő elrendezése Különösen igz ez sttisztikábn, hol vizsgáltok eredményét leggykrbbn számtábláztokbn közlik A mtemtikábn tégllp lkú számtábláztot mátrink nevezzük Ebben témábn megismerkedünk mátri foglmávl, mátriokkl végezhető műveletekkel és zok tuljdonságivl A mátriok gzdsági lklmzás c mellékletrészben kiemelünk egy példát mátriok széles gzdsági hsznosíthtósági közül, hogy látámsszuk tém fontosságát gzdsági élet területén vló lklmzásokbn Az elméleti és gykorlti rész Mellékletben olvshtó H bővebben kr tájékozódni, kkor jvsoljuk, hogy tnulmányozz Libor Józsefné dr Hnich József: Operációkuttás c főiskoli jegyzet, Operációkuttás példtár és Operációkuttás Tnulási útmuttó első fejezeteit (Student Kidó, Szolnok, 000) A lecke áttnulmányozás után Ön képes lesz: meghtározni egy új objektum, mátri foglmát; áltlánosítni középiskolábn tnult vektorfoglmt, sor és oszlopvektorokkl, mint speciális mátriokkl; egyéb speciális mátriokt felírni; megdni mátriok közötti ngyságrendi relációkt; feldtokbn lklmzni mátriok közötti műveleteket; felsorolni mátriok műveleti tuljdonságit; mátriot trnszponálni; megmuttni egy konkrét összetett gzdsági helyzetben mátriok gykorlti hsznosíthtóságát Kezdjük tnulást z első három célkitűzés egymás utáni, Melléklet - témáink feldolgozásávl Ez rész számokból lkotott mátriokkl fogllkozik Minden számnk mátriritmetikábn elemnek nevezzük, és áltlános jelölése ik fontos jellemzője, hogy 65

66 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás n hánydik sorbn és hánydik oszlopbn tlálhtó Az A = = [ ] M m m K mn i =,, K, m, és k =,, K, n mátrink m sor és n oszlop vn, ezért m n típusú mátrink is nevezzük önellenőrző feldt Adj meg z 4 A = mátri második soránk hrmdik elemét, mjd nevezze meg felírt mátri típusát! K K n ik, önellenőrző feldt Írjon fel egy hrmdrendű négyzetes mátriot, egy null-mátriot, egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátriot! önellenőrző feldt Írjunk fel egy -elemű zérusvektort, minden -elemű egységvektort és egy -elemű összegzővektort! Jvsoljuk, hogy következő négy célkitűzést tnulmányozz egy blokkbn, egymás után Figyeljen rr, hogy mátriok közötti relációk, vlmint műveletek közül mátriok összedás és kivonás csk zonos típusú mátriok esetén értelmezhetők Hsonlón feltételhez vn kötve mátriok szorzás is Az A B szorztot cskis kkor tekintjük értelmezettnek, h z A mátri oszlopink szám megegyezik B mátri sorink számávl Fontos kiemelnünk zt is, hogy kommuttív tuljdonság szorzásr áltlábn nem teljesül, zz A B B A Vegyük észre végül, hogy mátriok áltlános szorzási szbály mgábn fogllj vektorok skláris szorzását is 4 önellenőrző feldt Hsonlíts össze ngyságrendileg z 6 0 A =, B = 5 és C = mátriokt, mjd végezze el z A C műveletet! Az A C művelet elvégezhető, mert mátriok zonos típusúk és A C = 0 66

67 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Végezze el z 5 önellenőrző feldt A = 5 és B = 7 5 mátriokkl z A B és B A szorzásokt, mennyiben lehetséges, mjd képezze z A mátri trnszponáltját! Végül tnulmányozzuk mátriok gykorlti lklmzását Melléklet 8- oldlin 6 önellenőrző feldt Tegyük fel, hogy egy üzem három erőforrás segítségével három különböző terméket állít elő A termékegységre vontkozó ráfordításokt, rendelkezésre álló erőforrás mennyiségeket, z erőforrások egységárit és gyártndó mennyiségeket z lábbi táblázt trtlmzz: Erőforrások termék termék termék Erőforrások mennyisége E 0 50 E E Gyártndó mennyiség (Ft/egység) Képezze z lábbi szorztokt és mgyrázz meg jelentésüket: A termékek egységárit trtlmzó vektor legyen = [ 7,,0] A p =?; A =?; k A p =?; A p =? Pontozz megoldásokt minden válsznál úgy, hogy 5 pontot djon kijelölt mátriművelet helyes elvégzésére, és pontot jelentés megfoglmzásár Hibás megoldásr, illetve válszr most is 0 pont jár H sikerült leglább 6 pontot elérnie, kkor grtulálhtunk hhoz, hogy ebből témából is elérte szükséges tudásszintet Befejezés Ezzel végére ért Gzdsági mtemtik I tárgy tnnygánk, grtulálunk teljesítményéhez! Reméljük, sok gykorlás eredményeképpen sikeres vizsgát tesz mjd! 67

68 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Megoldások megoldás: = 0, és mátri típusú megoldás: 4 Az A = 5 0 mátri hrmdrendű négyzetes (kvdrtikus) mátri, mert sorink 9 7 és oszlopink szám megegyezik és típusú A 0 = mátri null-mátri vgy zérus-mátri, mert minden eleme A B = 0 9 mátri szimmetrikus mátri, mert elemeire teljesül, hogy ik = ki minden i és k esetén, zz z elemek főátlór szimmetrikusn helyezkednek el 0 0 A C = 0 0 mátri ferdén szimmetrikus mátri, mert elemeire teljesül, hogy 0 = minden i és k esetén, zz z elemek főátlór szimmetrikusn helyezkednek el ik ki megoldás: A = [ 0,0, 0] között három különböző egységvektor tlálhtó, melyek z e = [,0, 0], = [ 0,, 0] e = [ 0,0, ] vektorok Az = [,, ] -elemű összegzővektor minden eleme 0 vektor -elemű, nullvektor, mert minden eleme null A -elemű vektorok 4 megoldás: e és A = C, mert zonos típusúk, és megfelelő helyeken megegyeznek z elemek Az A B, és C B, mert zonos típusúk és megdott reláció elemről elemre fennáll 5 megoldás: Az A B szorzás elvégezhető, mert szorzndó mátri oszlopink szám megegyezik szorzómátri sorink számávl és A B = ugynkkor B A szorzás nem végezhető el, mert szorzás elvégezhetőségének feltétele nem áll fenn, hiszen B mátrink négy oszlop, z A mátrink pedig három sor vn 4 Az A mátri trnszponáltj 5 A = lesz, melyet úgy kptunk, hogy megdott mátri sorit felcseréltük z oszlopivl 68

69 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 megoldás: 45 A p = 455, jelentése z egyes erőforrásokból felhsznált mennyiség 0 A = [ 8, 75, 60], jelentése z egyes termékek egy egységének előállításához szükséges erőforrásköltség, más szóvl fjlgos erőforrásköltség 05 k A p = 55, jelentése z egyes erőforrásokból fel nem hsznált mennyiség 70 Mint láthtó, tervezett progrm rendelkezésre álló erőforrás-kpcitássl nem vlósíthtó meg, mert második erőforrás kpcitás nem elegendő A p = 90, mely szám progrm termelési összköltsége Igz, feltéve, hogy z f függvény értelmezési trtományánk vlmely I intervllumán kétszer differenciálhtó 69

70 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Melléklet A mátriritmetik elemei A mátri egy tégllp lkú táblázt, melybe számokt írunk H tábláztnk m sor és n oszlop vn, kkor m n-es m szer n-es típusú mátriról beszélünk H egy mátrink csk egy sor vn, kkor gykrn sorvektornk, h pedig csk egy oszlop vn, kkor oszlopvektornk tekinthetjük Egy m n-es mátri áltlános lkj: A = m m n n n mn A mátriot lkotó ij elemekről beszélünk Ebben jelölési módbn i mindig sorszámot, j pedig z oszlopszámot jelöli i =,m, j =, n Egy m n-es mátriot gykrn ( ij ) m n nyilvánvló, vgy lényegtelen -el vgy egyszerűen ( ) ij -vel jelöljük, h típus Péld: Legyenek dottk z A 5, 8 = B = ( ; ; ;6) 8 C = mátriok A -es, B 4es és C 4-es Továbbá vegyük észre, hogy 5, vlmint zt, hogy b nincs definiálv, hiszen B-nek csk egy sor vn Péld : ij Írjuk fel zt 4 -s ( ) 4 ij i j A = mátriot, melynek elemei = (ebben z esetben, egyértelműen következik, hogy i =, 4 és j =, Melléklet - = c = 6,

71 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Megoldás: Az A mátrink 4 = eleme vn Mivel ij = i j, = -=, = = 0, = és így tovább A teljes mátri következő: A = 4 4 = Def : H m = n, négyzetes mátriról beszélünk Ilyen esetben következő elemek:,, mátri főátlóját, digonálisát lkotják, nn Péld : Tekintsük z lábbi áltlános lineáris egyenletrendszert: m m + + n n mn n n = b n = b = b m melyben m egyenlet és n ismeretlen vn Az -ek együtthtóit természetes módon egy m n-es mátrib írhtjuk, ezt együtthtómátrink nevezzük Következik egy egyenletrendszer és megfelelő együtthtómátri: = 5 = 5 6 Melléklet -

72 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Műveletek mátriokkl Eddig mátriokt tégllp lkú tábláztoknk tekintettük, melyek lklmsk információ tárolásár A mátriok bevezetésének igzi célj zonbn z, hogy olyn hsznos szbályok vnnk velük kpcsoltos műveletekre, melyek (bizonyos mértékig) megfelelnek már ismert lgebri szbályoknk Először megdjuk mátriok egyenlőségének definícióját Def : H A = ( ) és ( ij b ) m n ij m n j-re: = b ij ij Jelölés: A = B B = két m n-es mátri, kkor A és B egyenlők, h minden i és Másképpen foglmzv: A és B egyenlők, h méreteik megegyeznek, és h megfelelő elemeik egyenlők A B, ellenkező esetben Péld 4: t t v Mikor igz, hogy : =? t u u + t + w Megoldás: Az egyenlőség szükséges feltételei, = t, t = v, t = u + ás u = t + w Az egyenleteket megoldv zt kpjuk, hogy két mátri pontosn kkor egyenlő, h: t=, v =, u = 5 és w = Ekkor mindkét mátri z lábbivl egyenlő: 6 5 Mátriok összedás és sklárrl vló szorzás Def : H A = ( ) és ij B = ( b ) m n ij m ( ) n ij + b ij m n A + B = ( ij ) + ( bij ) = ( ij + bij ) = ( cij ) m n m n m n m n, kkor z A és B összege egy m n-es mátri hol c ij = ij + bij Tehát két zonos típusú mátriot úgy dunk össze, hogy megfelelő elemeiket összedjuk Def 4: H α R, kkor, α A = α ( ij ) = ( α ij ) m n m n Tehát egy mátriot úgy szorzunk egy sklárrl, hogy mindegyik elemét megszorozzuk z illető sklárrl Melléklet -

73 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Péld 5: Végezze el z A + B, A és B műveleteket, h: A = 4 0 és 0 B = 0 Megoldás: 6 0 A + B =, A =, B = 0 Megjegyzés: A (-) A mátriot áltlábn A jelöli, és két zonos méretű A és B mátri különbsége A B megegyezik z A + (-)B összeggel Def5: A A mátri ellentettje z A mátrink Def 6: Átlós vgy digonális mátri z olyn négyzetes mátri, melynek főátlóján kívül összes eleme zérus Def 7: Nullmátri z olyn mátri, melynek minden eleme zérus, jelölése: 0 Def 8: Egységmátri z olyn átlósmátri, melynek minden főátlóbeli eleme, többi eleme zérus, jelölése: E Def 9: H z m n típusú A,A,Ak mátriokt rendre megszorozzuk λ,λ,λ,λ k sklárokkl és z így nyert szorztokt összedjuk, kkor λ A + λ A + λa + + λ kak kifejezésnek megfelelő m n típusú mátriot z dott mátriok lineáris kombinációjánk nevezzük Mátriok összedásánk és sklárrl vló szorzásánk szbályi: (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A + 0 = A (α + β)a = αa + βa α(a + B) = αa + αb Melléklet - 4

74 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Melléklet - 5 Mátriok szorzás A mátriok szorzásánk definíciój korántsem nyilvánvló A definíciót lineáris egyenletrendszerek átlkításivl motiválhtjuk (igzolhtjuk) Csk olyn mátriok esetén definiáljuk szorztot, mikor z első szorzótényezőként szereplő mátri oszlopink szám megegyezik második szorzótényezőként szereplő mátri sorink számávl Def 0: Az ( ) ( ) p n ij m n ij b B és A = mátriok C = AB szorzt z m p típusú ( ) p m c ij C mátri, melynek i-edik sorábn és j-edik oszlopábn álló eleme: nj in j i j i ij b b b c = z A mátri i-edik soránk és B mátri j-edik oszlopánk skláris szorzt Fontos észrevétel: BA AB Mátriok szorzását következő képen szemléltethetjük: mp mj m ip ij i p j np nj n kp kj k p j mn mk m in ik i n k c c c c c c c c c b b b b b b b b b Péld 6: H = = 5 4 B és 0 4 A, kkor A és B szorzt következő: ( ) ( ) ( ) ( ) = = AB Péld 7: Tekintsük z lábbi A és B mátriokt:

75 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 0 A = és B = 0 Számíts ki z AB szorztot! Megoldás: Az A mátri -s, B mátri -es, így AB -es mátri: 0 AB = = Mátriok szorzásánk szbályi: (AB)C = A(BC) (sszocitivitás) A(B + C) = AB + AC (blról disztributivitás) (A + B)C = AC + BC (jobbról disztributivitás) Mátriok htványi Def : H A négyzetes mátri, kkor z sszocitivitás értelmében, írhtjuk: AA helyett: A, AAA helyett : A stb Áltlánosítv: A n = AAAA (n - szer) Péld 8: Legyen A = Számíts ki z 0 A és A mátriokt A 4 4 = AA =, A = A A =, A = A A = Def : Azt mátriot, melyet egy A mátriból sorok és oszlopok felcserélésével képezünk, z A mátri trnszponáltjánk nevezzük H egy m n-es mátri trnszponáltját képezzük, A n m-es mátriot kpunk (Szokásos jelölés T még: A*, A ) Melléklet - 6

76 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Melléklet - 7 = = mn n n m m mn m m n n A' A ( ) hol, A' ji ' ij ' ij = = Az i és j indeeket felcseréltük Péld 9: Legyen = = B, 5 0 A Htározz meg A és B -t! Megoldás: = = B', 0 5 A' A trnszponálás szbályi: (A ) = A (A + B) = A + B (αa) = αa (AB) = B A

77 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Gykorlti lklmzás A gzdsági életben igen gykrn vn szükség sok dtot felhsználó számításr Ezen esetekben áttekinthetőbb és egyszerűbb munk mátriritmetik lklmzásávl A továbbikbn csk egy lklmzási területet muttunk be, jelezve, hogy számos gzdsági összefüggést lehet mátri-szimbólumok segítségével igen egyszerű módon leírni Bevezető péld: Egy üzem erőforrás (ez lehet: lpnyg, energi, stb) felhsználásávl 4 féle terméket állít elő Az dott termékfjták egységének előállításához szükséges erőforrások mennyiségét - melyet technológii együtthtónk nevezünk - z lábbi táblázt trtlmzz Szerepel ezen túlmenően rendelkezésre álló készlet - kpcitás - ezen erőforrásokból, tervezett termelési mennyiség z egyes termékekből - progrm -, z erőforrások egységár, vlmint termékek eldási egységár: erőforrás\termék I II III IV kpcitás egységár progrm eldási ár A fenti dtok vizsgáltkor sok-sok kérdés felmerülhet, ezek közül leggykrbbn előfordulókt nézzük: Az üzem végre tudj-e hjtni tervezett termelési progrmját? Más szvkkl: elegendő-e rendelkezésre álló készlet z erőforrásokból termelés végrehjtásához? A termelés végrehjtás után mennyi megmrdt erőforrások értéke? Mekkor termelés költsége? 4 Mekkor z üzem nyeresége vgy vesztesége termékek értékesítése után? Mielőtt válszolnánk kérdésekre, nézzük meg z dtinkt hogyn lehet mátriok segítségével felírni, milyen speciális elnevezéseket hsználunk? A technológii együtthtókból meglkothtjuk z úgynevezett technológii mátriot Ennek nnyi sor lesz, mennyi erőforrásunk vn, és nnyi oszlop mennyi termékek szám (Adott példánkbn 4-es mátri) Mit is jelentenek benne szereplő elemek? Az A technológii mátri ij eleme megmuttj, hogy j termék egy egységének előállításához hány egység kell z i erőforrásból (Példánkbn pl z = 4 zt jelenti, hogy II termék egységének előállításához erőforrásból 4 egység szükséges A technológii mátriunk: A= H pl hrmdik oszlop dtit nézzük, zt látjuk belőle, hogy III termék egy egységének előállításához kell egység z, egység, és egység erőforrásból) Az erőforrásokból rendelkezésre álló mennyiséget z ún kpcitás-vektorrl djuk meg, jelölése: k, jelentése: z i komponense megmuttj, hogy z i erőforrásból hány egység áll rendelkezésre (Példánkbn pl k = 00, vgyis erőforrásból 00 egységet tudunk felhsználni Kpcitásvektorunk: k = [600;00;450]* ) Melléklet - 8

78 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Erőforrásink egységárát z árvektor ( ) trtlmzz, i komponense megmuttj, hogy z i erőforrásnk mennyi z egységár (Példánkbn: = [5; 0; 40]*, vgyis pl z erőforrás egységár 5 pénzegység) A termékekből előállítndó mennyiséget z ún progrmvektor (p*) trtlmzz Az i komponense megmuttj, hogy z i termékből hány egység előállítását tervezik (Példánkbn: p* = [40; 50; 90; 80], vgyis pl IV termékből 80 egységet krnk előállítni) Célszerűen, hogyn tábláztbn is szerepel, ezt már sorvektorként djuk meg Végül termékek eldási egységárát z eldási árvektor trtlmzz (c*) Az i komponense megmuttj, hogy z i termék egy egységét hány pénzegységért értékesítik (Példánkbn: c* = [50;60;00;80], vgyis pl II termék egy egységét 60 pénzegységért értékesíti z üzem) Ezek után vissztérhetünk példábn feltett kérdésekre: Az üzem végre tudj-e hjtni tervezett termelési progrmját? Válszunkhoz először nyilvánvlón meg kell htározni, hogy termelési progrm végrehjtásához mennyi erőforrásr vn szükség fjtánként Mivel termékegységenkénti szükségleteket technológii mátri muttj, természetesen ezzel és progrmvektorrl kell számolnunk H z erőforrást nézzük, ebből szükség vn z I termék előállításához 40 = 80 egységre, II termék előállításához 50 = 50 egységre, III termékhez 90 = 80 egységre, és IV termékhez 80 = 40 egységre, összesen: = 550 egységre Ez viszont nem más, mint z A mátri első sorvektoránk és p vektornk skláris szorzt Hsonlón dódik: erőforrásból szükséges mennyiség z A sorvektoránk és p-nek skláris szorzt, vlmint erőforrásból szükséges mennyiség pedig z A sorvektoránk és p-nek skláris szorzt Vgyis h z A technológii mátriot megszorozzuk p vektorrl, kpott vektor éppen szükséges erőforrásmennyiségeket fogj dni fjtánként Adott példánkbn: Ap = 50 = 0 90 Vgyis z erőforrásból 550, -ból 90 és -ból egység kell 4 féle termék dott mennyiségű előállításához Nyilvánvlón hhoz, hogy progrm végrehjthtó legyen, ennek vektornk legfeljebb kkoránk szbd lennie, mint kpcitásvektornk, hiszen ez utóbbi muttj meg, hogy mennyi vn készleten z dott erőforrásokból Vgyis progrm végrehjtásához Ap k kell hogy teljesüljön (Jól tudjuk, ez zt jelenti, hogy minden elemre rendre teljesülnie kell relációnk Gzdságilg is így vn értelme, hiszen h csk egy erőforrásból többre lenne szükség, mint mennyi vn, kkor már nem lehet progrmot végrehjtni) Példánkbn: Ap = = k, tehát termelési progrm végrehjthtó Melléklet - 9

79 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A termelés végrehjtás után mennyi megmrdt erőforrások értéke? Először nyilvánvlón meg kell htározni, hogy mennyi mrd z egyes erőforrásokból progrm végrehjtás után Ezt értelemszerűen k - Ap vektor fogj dni Példánkbn ez : k-ap= = 0, vgyis z első erőforrásból megmrd 50 egység, másodikból 0, és hrmdikból 40 egység Ezután erőforrások egységárávl kell megszorozni megfelelő mennyiségeket: = 550 Ez viszont nem más, mint z * és (k - Ap) skláris szorzt, vgyis *(k - Ap) (A szorzás elvileg (k - Ap)* lkbn is elvégezhető, de eredményül nekünk egy sklárt kell kpnunk és nem egy -s mátriot, nem is szólv művelet gzdsági értelméről illetve értelmetlenségéről) Kptuk tehát, hogy megmrdt erőforrások értéke 550 pénzegység A disztributív tuljdonság mitt művelet természetesen *k - *Ap lkbn is elvégezhető Nézzük mit jelent ez gzdságilg? Az *k : z erőforrások egységár szorozv készleten lévő erőforrásmennyiségekkel, nyilvánvlón rendelkezésre álló erőforrások értékét fogj muttni Példánkbn: 600 *k = [ ] 00 = pénzegység Míg z *Ap felhsznált erőforrások 450 értékét fogj muttni, mit nevezhetünk termelés költségének is Példánkbn: 550 *Ap = [ ] 90 = 4450 pénzegység A két érték különbsége ebben z esetben is 40 megmrdt erőforrások értékét muttj természetesen, mi példánkbn: 550 pénzegység Mekkor termelés költsége? Erre kérdésre már válszoltunk is kérdés második felében, hiszen szükséges erőforrások mennyiségét, z Ap vektort kell megszoroznunk blról z erőforrások egységárávl, *-gl Vgyis *Ap mi példánkbn 4450 pénzegység volt 4 Mekkor z üzem nyeresége vgy vesztesége termékek értékesítése után? A kérdés megválszolásához még meg kell htároznunk z üzem bevételét z értékesítés során Feltételezve, hogy termelt mennyiséget mrdéktlnul értékesíti, így mennyiség szorozv z eldási árrl dj z üzem bevételét Vgyis c*p vektor fogj dni z értékesítésből szármzó bevételt Példánkbn ez: c*p = [ ] = pénzegység Az üzemi eredmény (nyereség vgy veszteség) z árbevétel és termelési költség különbözete lesz, vgyis: c*p - *Ap A mi példánkbn : = 4950 pénzegység nyeresége vn z üzemnek A disztributivitás mitt (jobbról p-t kiemelve), z eredményt következő művelettel is megkphtjuk: (c*-*a)p Melléklet - 0

80 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Nézzük meg, hogy mit jelentenek gzdságilg benne szereplő kifejezések Az *A-bn z erőforrások egységárivl megszorozzuk z egyes termékegységek előállításához szükséges mennyiségeket Példánkbn: *A = [ ] 0 = [ ] Nézzük meg, hogyn is kptuk z 4 0 egyes elemeket: például 95 = Ez éppen II termék egységének előállítási költsége Hsonlón kpjuk többi elemre is, vgyis z *A nem más mint termelés fjlgos költsége (- termékegység előállítási költsége termékfjtánként) Így c*-ap termékegységenkénti nyereséget vgy veszteséget dj termékfjtánként Példánkbn: [50;60;00;80] - [0;95;0;45] = [-60;-5;70;5] Láthtó, hogy z I és II termék előállítás veszteséges, hiszen - egység előállításán 60, illetve 5 pénzegység veszteség vn, míg III és IV termék egy egységének előállítás 70, illetve 5 pénzegység hsznot hoz z üzemnek Hogy teljes termelési progrm mégis nyereséges, nyilván nnk tudhtó be, hogy nyereséges termékekből gyárt z üzem ngyobb mennyiséget (90, illetve 80 egységet, míg veszteségesekből csk 40 illetve 50 egységet) Nyilvánvlón, h termékegységenkénti eredményt - (c* - *A) vektort - megszorozzuk z értékesített mennyiséggel (p -vel), megkpjuk teljes üzemi eredményt Példánkbn: (c * - *A) p = [ 60 ; 5; 70; 5] = 4950 pénzegység Ezen péld során feltett kérdéseknél többre is válszoltunk, szemléltetve z egyes mátriműveletek gzdsági jelentését is Melléklet -