Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Átírás

1 Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005

2 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 998 Fehér Mári - Hnich József - Libor Józsefné Dr - Mdrs Lászlóné Dr - Ngy Tmás: Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény, Student Kidó, Szolnok, 005 Horváth Jenőné Dr - Libor Józsefné Dr - Mdrs Lászlóné Dr: Tnulási útmuttó Gzdsági mtemtik I tárgyhoz, Student Kidó, Szolnok, 997 Tnnygíró: Dr Mdrs Lászlóné Távokttási szerkesztő: Fzeks Judit Kidványszerkesztő: Román Gábor Soroztszerkesztő: Zrk Dénes Nyomdi kivitelezés: Mpress Kft Kidj Szolnoki Főiskol Felelős kidó: Dr Törzsök Év főigzgtó Szolnoki Főiskol, 005 szeptember Minden jog fenntrtv A Tntárgyi kluzt, vgy nnk részeit tilos bármilyen formábn, illetve eszközzel másolni, terjeszteni vgy közölni Kidó engedélye nélkül

3 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Trtlom Trtlom A kluz szerkezete 4 Bevezetés 5 Hlmzelmélet, vlós függvények Az nlízis tárgy, fejlődése és szerepe tudományokbn 9 Számsoroztok és sorok A sorozt foglm, megdási módji, soroztok tuljdonsági Konvergens számsoroztok és műveletek Tágbb értelemben vett htárérték, végtelen sorok 6 Függvények htárértéke végesben, végtelenben, tágbb értelemben vett htárérték Függvények folytonosság 5 Differenciálszámítás Differenciálhánydos foglm, deriváltfüggvény Differenciálszámítás geometrii lklmzás 9 Beküldendő feldt I 6 Differenciálhtó függvények néhány lokális és globális tuljdonságánk vizsgált 9 Teljes függvényvizsgált 4 Többváltozós vlós függvények foglm, szemléltetése, differenciálás, szélsőértéke 46 Htározott integrál 5 Primitív függvény, htároztln integrál, integrálási szbályok 54 Beküldendő feldt II58 A Newton Leibniz szbály, néhány területszámítási feldt, improprius integrál 6 Mátriritmetik Mátriok gzdsági lklmzás 65 Melléklet

4 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A kluz szerkezete A kluz feldolgozáskor fontos, hogy értse jelrendszerünket Íme legfontosbbk: Így djuk meg, hogy mennyi ideig trt egy lecke feldolgozás Célkitűzés: Így jelöljük, h tntárgy, vgy lecke célkitűzését djuk meg H ezt z ikont látj, tnkönyvet kell fellpozni Önellenőrző feldt H ezt keretet látj, rr kérjük, oldj meg egy erre rendszeresített füzetében feldtot, h elkészült, ellenőrizze mgát lecke végén tlálhtó megoldás lpján! Beküldendő feldt H ezt z ikont látj, megoldást nem tlálj meg, feldtát be kell küldenie Főiskolár tutoránk 4

5 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Bevezetés Kedves Hllgtónk! Örömmel vettük, hogy elkezdte Gzdsági mtemtik I (Anlízis) tárgy tnulását Ez tárgy Főiskolánkon lpozó jellegű, és kötelezően előírt tárgyk soráb trtozik Reméljük, hogy gzdsági tárgyk későbbi elsjátításához hsznos ismereteket szerez mjd z Anlízis tnulás során A Tnszék okttói igyekeztek z Ön számár könnyen feldolgozhtóvá tenni tnnygot, melyet tntárgyi kluz segítségével kevesebb energiávl és időráfordítássl tnulht meg Reméljük, hogy hsznos és érdekes feldtokt tudtunk összeállítni hhoz, hogy önállón is ellenőrizze megszerzett ismereteit egy-egy témkörben Bízunk benne, hogy kurzus végeztével, könnyedén teljesíti mjd tárgy követelményeit, és félév végén sikeres vizsgát tesz Hogyn hsználj Tntárgyi kluzt? A Kluz célj, hogy megkönnyítse elsjátítni Önnek z Anlízis tárgy tnnygát, és segítse teljesíteni követelményeket, nem utolsó sorbn felkészítse Önt vizsgár A Kluzbn tárgyt kisebb egységekre, ún leckékre bontottuk, és minden leckében megdtuk, hogy mely tnnygrészeket kell feldolgozni Támpontul megdtuk lecke célját, és cél eléréséhez szükséges feldtokt is, hogy ráirányítsuk figyelmét lényegre, és egyben érdekesebbé tegyük feldolgozást A tntárgy kreditszám A tntárgy 4 kredites, tehát összesen 0 tnulási ór szükséges feldolgozásához Az egyes leckéknél külön is jeleztük, hogy mekkor időráfordítást igényelnek Öntől A tárgy tnulásánk célj, hogy kurzus végére Ön képes legyen olyn mértékű jártsságot szerezni z nlízis eszközeinek hsználtábn: hogy gzdsági folymtok elemzése, tervezése során lklmzni tudj z egy, illetve több változótól függő mennyiségek vizsgálti módszereit Fogllkozunk soroztokkl és sorokkl; egyváltozós vlós függvények folytonosságávl; htárértékével; differenciálásávl; integrálásávl; kétváltozós függvények differenciálásávl és helyi szélsőértékével Mindegyik nygrész okttásánál igyekszünk kitérni legközvetlenebb gzdsági lklmzások megismertetésére is Reméljük hogy kurzus végére sikerül korszerű, közgzdsági gykorltbn jól lklmzhtó függvénytni szemléletet kilkítni 5

6 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A tntárgy lezárás A szorglmi időszk láírássl zárul Az láírás és vizsgár bocsátás feltétele két beküldendő feldtsor hiánytln bedás, tárgy felvételekor egyeztetett időpontr A vizsgkövetelmény: kollokvium A kollokviumon számonkérés írásbn történik, egy 60 perces dolgozt formájábn Az írásbeli dolgozt elérhető pontszám: 00 Elégtelen kollokviumi érdemjegyet kp z hllgtó, kinek dolgozt nem éri el z 5 pontot A kollokviumi jegyet z elért 5 pont feletti pontszám esetén következőképpen htározzuk meg: 0 50 elégtelen () 5 66 elégséges () közepes () jó (4) jeles (5) A kollokviumi dolgozt trtlm: Tnult foglmk, tételek, ismerete; A temtikábn megjelölt bizonyítások levezetése; Az elmélethez szorosn kpcsolódó feldtok z nlízis témköréből Hogyn tnuljon? Mindenekelőtt rendszeresen, és lposn Ehhez Tntárgyi kluz ngy segítséget nyújt Jvsoljuk ezért, hogy leckék megtnulásánál kövesse Tntárgyi kluz útmuttásit Minden leckénél először megjelölt kisebb egységeket tnulj meg könyvből, mjd tekintse át hozzá Feldtgyűjtemény kidolgozott feldtit Az önellenőrző feldtokt úgy állítottuk össze, hogy elmélyítse z elmélet megértését, és z egyes leckékben tlálhtó típusfeldtokbn történő lklmzást A Feldtgyűjteményből érdemes minél több példát önállón is megoldni különböző feldt-megoldási technikák gykorlásához Végül mindig ellenőrizze tudásszintjét Tnulási útmuttó kijelölt feldti lpján Csk kkor lépjen tovább egy-egy leckéről z újbb leckéhez, h megfelelő tudásszintet már elérte (Pl vizsgán is szükséges minimum 5 %-ot) A leckékben ngyon sok önellenőrző feldt vn Ezeknek megoldását nem ellenőrzi Önön kívül senki, de nem is ez céljuk Az önellenőrző feldtok elvégzése segítségével értheti meg kijelölt tnnyg lényegét Ne cspj be mgát! H egy önellenőrző feldtot nem tud megoldni, kkor érdemes zzl z nygrésszel tovább fogllkozni, nehogy vizsgázttó hívj mjd fel kollokviumon figyelmet hiányosságir! H úgy érzi, hogy semmiképpen sem tud megoldni egy-egy feldtot, keresse meg tnulótársit, bizonyár tudnk segíteni H ez sem megy, írjon, vgy telefonáljon Főiskol megdott címére, számár, és mi segítünk Önnek Fontos, hogy leckék sorrendjében készítsen mgánk egy tnulási ütemtervet, lehetőleg pontos dátumokkl megjelölve! Az ütemtervet készítheti egy sját füzetbe, vgy Főiskolától kpott nptárb Fontos, hogy z Ön áltl válsztott tempó szerint beküldendő feldtok htáridőre elkészüljenek, és tervezett vizsgidőpontr minden leckét befejezzen Figyeljen rr, hogy egyenletesen ossz el z nygot, mert z elsjátított részeknek mindig el is kell mélyülnie, és ehhez idő kell! H véletlenül torlódnk feldti (kár mgánéleti okok, kár más tntárgyk mitt), kkor lemrdást minél előbb 6

7 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás igyekezzen behozni Inkább félév korábbi időszkibn vállljon többet, mert z tpsztlt, hogy vizsgához közeledve vészesen fogy z idő, és ilyenkor z okttók is leterheltebbek A beküldendő feldtokt mindenképpen oldj meg! Ezzel egyrészt tovább gykorol, másrészt szintetizálj egy-egy ngyobb egység ismeretnygát Mivel beküldött feldtit tnszék egy okttój még vizsg előtt értékeli, így időben segítséget kpht helyre tenni bizonyos félreértéseket, feltárni olyn hiányosságokt, melyek vizsgát veszélyeztethetik Ezen kívül tnácsokt is kpht, hogy miként jvíthtj teljesítményét Kérjük, hogy megoldásokt e-mil cstolmányként küldje el képzésszervező tutorához, Mtemtik-sttisztik Tnszék e-mil címére Amennyiben feldtát hgyományos formábn, kék tintávl és jól olvshtón készíti el, esetleg személyesen is behozhtj, vgy kár postán is eljuttthtj Tnszék címére A dolgozt megérkezése npján (legkésőbb másnp) e-milben visszjelzést kp rról, hogy z írásművet megkptuk Szöveges értékelésre egy héten belül számítht A tnuláshoz következő kidványokt hsználj Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 998 Fehér Mári-Hnich József-Libor Józsefné dr-mdrs Lászlóné dr-ngy Tmás: Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény, Student Kidó, Szolnok, 005 Horváth Jenőné dr-libor Józsefné dr- Mdrs Lászlóné dr: Tnulási útmuttó Gzdsági mtemtik I tárgyhoz, Student Kidó, Szolnok, 997 A mátriritmetik elemei és gykorlti lklmzási: Tntárgyi kluz melléklete Ajánlott irodlom Sydsœter Hmmond: Mtemtik közgzdászoknk AULA Kidó Budpest, 998 Bárczy Brnbás: Differenciálszámítás Példtár Műszki Könyvkidó Budpest, 00 Bárczy Brnbás: Integrálszámítás Példtár Műszki Könyvkidó Budpest, 00 Denkinger Géz: Anlízis Tnkönyvkidó, Budpest, 980 Denkinger-Gyurkó: Anlízis gykorltok Tnkönyvkidó Budpest, 990 A tntárgy tnulástámogtás, zz milyen segítséget kp tnulmányihoz A tntárgyt lpvetően önállón kell elsjátítni, hgyományos elődás, vgy gykorlt nem trtozik hozzá A tntárgy feldolgozás során lehetősége lesz egy lklomml személyesen konzultálni szktutorávl Ennek részleteiről tntárgy felvételekor tájékoztttuk A tlálkozás előtt fel kell vennie kpcsoltot képzésszervező tutorávl, kinek nevét és elérhetőségét tntárgy felvételekor megdtuk Önnek 7

8 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Tnulási ütemtervem Lecke Időigény Típus Mikor tnulom? Hlmzelmélet, vlós függvények ór Feldolgozó Számsoroztok és sorok 0 ór Feldolgozó Függvények htárértéke 6 ór Feldolgozó 4 Függvények folytonosság 8 ór Feldolgozó 5 Differenciálszámítás ór Feldolgozó 6 Beküldendő feldt I ór Beküldendő 7 Differenciálhtó függvények vizsgált 0 ór Feldolgozó 8 Teljes függvényvizsgált 0 ór Feldolgozó 9 Többváltozós vlós függvények 0 ór Feldolgozó 0 Htározott integrál 8 ór Feldolgozó Htároztln integrál 0 ór Feldolgozó Beküldendő feldt II ór Beküldendő A Newton Leibniz szbály 0 ór Feldolgozó 4 Mátriritmetik Mátriok gzdsági lklmzás 0 ór Feldolgozó H pontos dátumokkl megjelölve elkészítette tnulási ütemtervét, kkor nincs más hátr, kezdődhet z első tnór Készítse ki tnkönyvét, feldtgyűjteményét, Tntárgyi kluzát, Tnulási útmuttóját, jegyzetfüzetét, és kezdje meg tntárgy feldolgozását! Sok sikert kívánunk! 8

9 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Hlmzelmélet, vlós függvények Az nlízis tárgy, fejlődése és szerepe tudományokbn A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább ór Ennyi idő minimálisn szükséges nnk is, ki középiskolábn jól megtnult ezt z nygrészt és így vlójábn csk újból át kell ismételnie Természetesen z nyg tárgylás nemcsk középiskoli nyg ismétlésére szorítkozik, mert több olyn új foglmt, tételt is megtnulunk, melyekre z nlízis tárgylás során szükségünk lesz Bevezetés A hlmzelmélet melynek mtemtik egyik leglpvetőbb foglmként játszott szerepe csk z 880-s évektől vált nyilvánvlóvá (Georg Cntor felfedezései nyomán) mtemtiki nlízis lpjánk tekinthető A közgzdsági gykorltbn dolgokt rendszeresen dott szempontok szerint zonos, vgy éppen különböző osztályokb soroljuk, zz dolgokr vlmilyen szempont lpján együtt tekintünk A mtemtikábn ilyenkor zt mondjuk, hogy közös hlmzb soroljuk z elemeket Már meglevő hlmzokból z ún hlmzműveletek, és műveleti tuljdonságok segítségével újbb hlmzok szármztthtók A közgzdságtnbn, mtemtikábn és mindennpi életben is gykrn szükséges egy hlmz elemeihez egy másik hlmz elemeit hozzárendelni A különböző hlmzok elemei közötti hozzárendelések közül témábn hngsúlyosn emeljük ki függvénykpcsoltot A függvények szerepe ugynis lpvető közgzdsági elméletben és gykorltbn egyránt A későbbi leckék nygánk fontos lpját képezik hlmzelméleti és függvénytni lpismeretek Az elméleti rész tk 9-44, ill z oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I feldtgyűjtemény és Tnulási útmuttó és fejezetében tlálj meg 9

10 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A tnnyg áttnulmányozás után Ön képes lesz: definiálni hlmz foglmát; definiálni nnk megdási módjit; definiálni z lphlmz, részhlmz, vlódi részhlmz, z üres hlmz, véges és végtelen hlmz foglmát; bemuttni hlmzokkl kpcsoltos műveleteket, és ezek tuljdonságit; ismertetni de Morgn zonosságokt és beolvsztási szbályokt; meghtározni és feldtokbn lklmzni htványhlmz, hlmzrendszer, hlmzlgebr foglmit; értelmezni vlós számok hlmzát, nnk részhlmzit (rc szám, irrc szám, egész szám, természetes szám); felsorolni vlós számok iómáit, lklmzni felső/lsó htár iómákt; definiálni rendezett szám n-eseket; meghtározni két vgy több hlmz Descrtes-féle szorztát; megdni z intervllum, távolság, környezet, hlmzok számosság, belső pont, htárpont, zárt és nyílt hlmz foglmink jelentését, ezeket lklmzni; felsorolni z elemi függvényeket és ezek lpvető jellemzőit; felrjzolni ugynezen elemi függvényeket jellemzőik lpján; feldtokbn lklmzni függvények közötti műveleteket (összeg, különbség, sklárrl vló szorzás, szorzt, hánydos); felrjzolni szkszonként lineáris függvényeket, illetve Dirichlet-féle függvényt; megdni z összetett függvény, vlmint z inverz függvény foglmát, és konkrét példákbn lklmzni Kezdjük tnulást z első három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv 9-4 oldlin tlálhtó,, témáink feldolgozásávl Ebben részben átismételjük, rendszerezzük és z -es tétellel kiegészítjük középiskolábn tnult hlmzelméleti ismereteket A hlmzelméleti lpfoglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény témájánk mintfeldtit önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy hlmzt htároznk-e meg következő megfoglmzások: A = { kis számok}; B = { R és > 0}; C = { R és + = 0}; D = { okos gondoltok}; E = { mgyr kárty színei} megoldás: A válszokt ellenőrizheti példtár Megoldások z első fejezethez c rész -es feldtánál 0

11 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Adottk z A = { ;4;6}, = { ;5;6}, B C = { 5;6;} és = { 6} Döntse el, hogy melyik igz következő állítások közül! C ; 6 B ; A C ; B = C ; B A D elemekből álló hlmzok önellenőrző feldt Igzolj hlmzok egyesítésének sszocitív tuljdonságát! megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó fejezet Válszok z ellenőrző kérdésekre c részének feldtánál 0 oldlon ellenőrizhető 4 önellenőrző feldt Legyenek z A és B hlmzok egy H lphlmz vlódi részhlmzi Jelölje meg, hogy z lábbi állítások közül melyek igzk! H B = B ; H B = H ; B H = B ; H A = 0/ ; A B = H ; A B = H? 4 megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó fejezet Gykorló feldtok megoldás c részének feldtánál oldlon ellenőrizhető 5 önellenőrző feldt Adottk következő hlmzok: A = { R < } ; B = { R < } ; C = { R } ; D = { R 0 < } ; E = { R < } ; F = { R < < } Ábrázolj számegyenesen z lábbi hlmzokt: A B C \ A ; ( A \ B) ( F \ C) ; ( E \ F ) ( C \ D) ; A \ E ; E \ A ; D E F ; D \ F E A! ( ) ( ) 5 megoldás: A válszokt ellenőrizheti példtár Megoldások z első fejezethez c rész 5-ös feldtánál

12 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 önellenőrző feldt Bizonyíts be következő összefüggések fennállását! A B = ( A B) \ ( A B) ; ( A B) \ C = ( A \ C) ( B \ C) ; ( A \ B) \ C = A \ ( B C) ; A { A \ [ B \ ( B \ C) ]} = A B C \! 6 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti példtár Megoldások z első fejezethez c rész -s feldtánál Folytssuk tém feldolgozását tnkönyv 4-es részének feldolgozásávl Itt tláljuk htványhlmz, hlmzrendszer, hlmzlgebr foglmkt, melyekre nem csk z nlízisben, de (átfoglmzássl ugyn) vlószínűségszámításbn is szükségünk lesz 7 önellenőrző feldt Töltse ki hiányzó részeket z lábbi definíciókbn! Vlmely A hlmz z A hlmz htványhlmzánk nevezzük H egy Ω hlmz elemei hlmzok, kkor Ω-t nevezzük A H lphlmz (nem feltétlenül összes) részhlmziból álló Ω hlmzrendszert hlmzlgebránk nevezzük, h, vlmint A Ω 7 megoldás: Vesse össze válszit tk 4 oldlán leírt definíciókkl 8 önellenőrző feldt Igz-e, hogy hlmzlgebrábn mindig benne vn z 0/ is? 8 megoldás: Ellenőrizze válszt Tnulási útmuttó fejezet Válszok z ellenőrző kérdések c rész 4 kérdésénél 0 oldlon 9 önellenőrző feldt Legyen lphlmzunk vlós számok hlmz és legyen Ω = { R ; Q; Q ;0/ } Vizsgálj meg, hogy Ω hlmzlgebrát lkot-e? 9megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó fejezet Gykorló feldtok megoldás c rész feldtánál oldlon

13 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A 4-8 célkitűzésekben megfoglmzottk eléréséhez tnulmányozzuk tnkönyv 5-9 oldlin leírtkt Itt egyrészt összefoglljuk és rendszerezzük középiskolábn számhlmzokról tnult ismereteket, másrészt kiegészítjük számhlmzok korlátosság, felső (lsó) htár iómáj, belső pont, htárpont, nyílt és zárt hlmz foglmivl 0 önellenőrző feldt Jvíts ki hibákt következő foglmkbn! Vlmely H R hlmznk belső pontj, h bármely környezete része H-nk Az H-nk htárpontj, h -nk vn olyn környezete, melyben H-nk is, H komplementerének is vn pontj (Itt H komplementere z R lphlmzr vontkozik) H egy H R hlmz minden htárpontját trtlmzz zárt hlmznk, h minden pontj belső pont, kkor nyílt hlmznk nevezzük 0 megoldás: Vesse össze válszit tk 4 oldlán leírt definíciókkl önellenőrző feldt Válszoljon következő kérdésekre! Egy A felülről korlátos hlmznk hány felső korlátj és hány felső htár vn? Vn-e, s h igen mi lesz z N hlmz infimum, illetve supremum? Vn-e olyn A és B hlmz (h igen, kkor djon is meg ilyet), melyre A B = B A, vgyis Descrtes-féle szorztuk kommuttív? Egy n R pont > 0 δ sugrú környezete zárt vgy nyílt hlmz? Lehet-e 0 és z természetes számok között végtelen sok rcionális, illetve irrcionális szám? Melyik hlmznk vn több eleme: -ml, vgy 7-tel oszthtó pozitív számok hlmzánk? megoldás: A kérdésekre dott válszink helyességét ellenőrizze Tnulási útmuttó Válszok z ellenőrző kérdésekre c részének 5-0 pontjit sorbn áttekintve 0 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 6; 7; 9; 0; 5; 9; 44-es feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény fejezete Megoldások z első fejezethez c részének, kérdésben megdott számú feldtinál H vlmelyik péld megoldás nem sikerült, kkor jvsoljuk, hogy térjen vissz z dott péld megoldásához kpcsolódó elméleti rész tnulmányozásához

14 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Ezután térjünk rá függvénytni lpismeretek átismétlésére tnkönyv ;; ;4;,5; 6; 7 és 0 fejezetei lpján A 8 és 9-es rész nem kötelező nyg, -es részre pedig mjd 9 témánál kerül sor A középiskoli tnnyg különböző évfolymi tnnygánk több témájábn tárgylt függvénytni ismereteket itt egy helyen összefogllv, rendszerezve tlálj meg H ez z összefogllás kevésnek bizonyul, mrdnk olyn részek, melyek lklmzásábn bizonytln, kkor nyugodtn fellpozhtj középiskoli tnkönyv megfelelő részeit Vlójábn könyv, feldtgyűjtemény és Tnulási útmuttó zonbn bőven elegendő tém átismétléséhez Készség szintjén kell tudni z elemi függvények legfontosbb tuljdonságit, trnszformációit, illetve szkszonként lineáris függvényeket és Dirichletféle függvényt Mivel Dirichlet-féle függvény könyvben nincs definiálv, ezért itt közöljük Dirichlet-féle függvénynek nevezzük z f : f ( ), h rcionális, = R 0, h irrcionális, függvényt Megjegyezzük, hogy ennek z utsítássl megdott függvénynek görbéje Descrtes-féle koordinát-rendszerben nem rjzolhtó fel A függvények tuljdonságink zérushely, korlátosság, pritás, periodikusság, monotonitás, helyi és bszolút szélsőérték pontos ismeretére szükségünk lesz Függvényvizsgált c témábn A függvényekkel végzett műveletek főleg feldtmegoldások szintjén szerepelnek Az összetett és inverz függvény, függvény leszűkítése, bővítése, illetve ezek lklmzás z nlízis szinte minden fejezetének elsjátításához, megértéséhez szükséges Így ezen foglmk mély, lpos ismerete különösen fontos A tnkönyv megfelelő részeinek megtnulás után jvsoljuk, hogy folytss Feldtgyűjtemény kidolgozott mintfeldtink tnulmányozásávl önellenőrző feldt Az elméleti rész elsjátítását ellenőrizze Tnulási útmuttó fejezete Ellenőrző kérdéseinek megoldásávl (5 oldl)! megoldás: A kérdésekre dhtó válszok megtlálhtók Tnulási útmuttó fejezete Válszok z ellenőrző kérdésekre c részben, 8 oldlon 4 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény ; 4; ; ; ; 7; 0; 5; 40; 4; 44; 45;50; 60; 64; 67-es feldtit! 4 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény fejezete Megoldások második fejezethez c rész zonos számú feldtink megoldásánál 4

15 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó és fejezetének Beküldendő feldtit! 5 megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Tnulási útmuttó, illetve oldlin H 4 feldt mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, leglább 5 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudáshoz Befejezés Reméljük, hogy sikeresen vette z első kdályt, mellyel ngyrészt középiskolábn tnult ismereteit eleveníthette fel, mélyítette el Ez biztos lpot jelent mjd következő tém megértéséhez Megoldások megoldás: C hmis, C ; 6 B igz; A C hmis, A C ; B = C igz; B A hmis, B A 5

16 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Számsoroztok és sorok A sorozt foglm, megdási módji, soroztok tuljdonsági Konvergens számsoroztok és műveletek Tágbb értelemben vett htárérték, végtelen sorok A lecke tnulmányozásár fordítndó idő leglább 0 ór Ennyi idő minimálisn szükséges hhoz, hogy vlós számsoroztokkl és sorokkl kpcsoltos ismereteket elsjátítsuk Bevezetés Ebben témábn egy speciális függvénytípussl, soroztokkl fogllkozunk Az nlízis egyik lpvető foglmát, függvények htárértékét olyn függvényekre értelmezzük, melyek értelmezési trtomány végtelen hlmz A végtelen hlmzok közül tlán természetes számok hlmz legegyszerűbb, így htárérték foglmát először pozitív természetes számok hlmzán értelmezett függvényekre, számsoroztokr ismerjük meg Mjd zokt legfontosbb tuljdonságokt vesszük sorb, melyek soroztok viselkedésének vizsgáltkor leginkább jellemzőek Fontos, hogy htárérték, monotonitás foglmit feldtokon keresztül is begykoroljuk, elmélyítsük Tnulmányozni fogjuk ebben témábn végtelen sorokt is, melyeknek közgzdsági lklmzások elsősorbn pénzügyi számítások területén igen sok felhsználás fordul elő Az elméleti rész tk 67-9 oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I feldtgyűjtemény és Tnulási útmuttó fejezetében tlálj meg A tém áttnulmányozás után Ön képes lesz: definiálni számsorozt foglmát; feldtokbn lklmzni soroztok tuljdonságit; meghtározni htárérték foglmát; bizonyítni és feldtokbn lklmzni,,, 4/ tételeket; bizonyítni és feldtokbn lklmzni 5, 6, 7 -es tételeket; áltlánosítni htárérték foglmát ( végtelen is htárérték); kimondni 8, 9 tételeket; értelmezni végtelen sort és összegét, vlmint vlós számokból álló végtelen sor összege létezésének feltételeit; meghtározni végtelen mértni sor összegét, mennyiben z létezik Kezdjük tnulást z első két célkitűzés együttes, tnkönyv oldlin tlálhtó, -es témáink feldolgozásávl 6

17 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Gondoljuk át, hogy sorozt specilitás függvényhez képest hogyn muttkozik meg Például soroztok monotonitás függvények monotonitásávl zonos foglom, de soroztoknál elegendő szomszédos tgok ngyságát összehsonlítni, persze minden + n N -r A sorozt foglmánk és tuljdonságink elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény témájánk mintfeldtit önellenőrző feldt Válszoljon z lábbi kérdésekre! Melyik z legszűkebb hlmz, melyhez bármely számsorozt minden tgj hozzátrtozik? Igz-e, hogy z sorozt htodik tgj? n 6 n n+ Igz-e, hogy K + =? megoldás: A válszokt ellenőrizze Tnulási útmuttó fejezete Válszok z ellenőrző kérdésekre c rész első három kérdésének megoldásánál 7 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény fejezetének, 6, 8, 4, 8, 4, 8,, 5, 40-es feldtit! megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész zonos számú feldtinál ellenőrizheti Térjünk ezután vissz tnkönyvhöz, és tnulmányozzuk soroztok konvergenciájávl kpcsoltos, 4 és 5-ös témákt Ezekből részekből elég sok tétel bizonyítását meg kell tnulni Jvsoljuk, hogy csk kkor térjen rá Feldtgyűjtemény mintfeldtink áttekintésére, mikor bizonyításokt már megértette és önállón le is tudj vezetni ezeket A bizonyítások ngybn segítik z önálló feldtmegoldást 7

18 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Válssz ki következő kijelentések közül zokt, melyekhez z igz logiki érték rendelhető! Minden monoton számsorozt konvergens Vn olyn monoton számsorozt, melyik konvergens H egy számsorozt monoton és korlátos, kkor konvergens is megoldás: A válszokt ellenőrizheti Tnulási útmuttó tém Gykorló feldtok megoldási c rész /b feldtánál, 8 oldlon 4 önellenőrző feldt Bizonyíts be -es tételt! 4 megoldás: A bizonyítás tk 7 oldlán ellenőrizhető 5 önellenőrző feldt Oldj meg feldtgyűjtemény 4, 4, 4, 49, 5, 55, 57, 58, 60, 6, 6, 66, 69-es feldtit 5 megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész zonos számú feldtinál ellenőrizheti 6 önellenőrző feldt n + Vizsgálj meg, hogy z n = sorozt tgji hánydik tgtól kezdve esnek n + 6 htárérték ε = 0 4 -en sugrú környezetébe! 6 megoldás: A helyes megoldás Feldtgyűjtemény 8-es feldtánk megoldási részében tlálhtó 7 önellenőrző feldt n Állpíts meg, hogy z n =, n N n + minden n-re 000-nél ngyobb! + sorozt milyen küszöbinde felett lesz 7 megoldás: A válszt megtlálj Tnulási útmuttó Gykorló feldtok megoldási c rész feldtánál, 8 oldlon 8

19 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 8 önellenőrző feldt Végezzen teljes vizsgáltot z soroztoknál! = + n n + 5 n = n N n 7 + n és z ( ) n, 8 megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész 94 és 0-es számú feldtinál ellenőrizheti Végül térjünk rá végtelen sorok viselkedésének tnulmányozásár, melyet tnkönyv 6-os fejezete trtlmz Figyeljünk rr, hogy -es tétel, z bszolút konvergenci és htványsor foglm nem kötelező nyg Mielőtt feldtmegoldásokt elkezdi, tekintse át mintfeldtok megoldásit Feldtgyűjtemény -s részében Ez ngybn segíti z önálló gykorlás eredményességét 9 önellenőrző feldt Válszoljon következő kérdésekre: n Legyen q tetszőleges vlós szám Döntse el, hogy milyen q esetén lesz konvergens ( q ) sorozt, illetve n q végtelen sor, és konvergenci esetén mi lesz sorozt htárértéke, n=0 illetve sor összege? Lehet-e divergens sorok összege konvergens? 9 megoldás: A válszokt ellenőrizheti Tnulási útmuttó tém Válszok z ellenőrző kérdésekre c rész 8 és feldtinál 7 oldlon 0 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény,, 5, 9, feldtit! 0 megoldás: A megoldást Feldtgyűjtemény Megoldások fejezethez c rész zonos számú feldtinál ellenőrizheti önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 5 Ellenőrző feldtok című rész feldtit, mjd Tnulási útmuttó fejezetének Beküldendő feldtit! megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Megoldások fejezethez c rész 0-0-es számú feldtinál, mjd Tnulási útmuttó Beküldendő feldtok megoldási c résznél 0 oldlon 9

20 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás H 4 feldt mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, leglább 5 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudáshoz Reméljük, hogy sikerült elsjátítni lecke elméleti nygát, és megfelelő jártsságot szerzett feldtmegoldásbn is Ezután már sokkl könnyebb lesz függvények htárértékét megérteni, hiszen függvény htárértékének foglmát számsoroztok htárértékére vezetjük vissz 0

21 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás lecke Függvények htárértéke végesben, végtelenben, tágbb értelemben vett htárérték Az nyg tnulmányozásár fordítndó idő leglább 6 ór Ennyi idő minimálisn szükséges nnk is, ki soroztok htárértékét már készség szinten tudj Bevezetés A függvényekről már sok mindent megtnultunk középiskolábn, de közgzdságtnbn előforduló függvények képének felrjzolásához még további foglmk megismerése is szükséges lesz Ezek egyikének, függvények htárértékének értelmezése lesz ennek leckének legfontosbb célj A htárérték foglmánk kilkítását próbáljuk meg soroztok htárértékére visszvezetni Vizsgáljuk meg, hogyn viselkednek függvények értelmezési trtományuk egy torlódási pontjábn, vgy h független változó értéke ngyon ngy Mjd értelmezzük zt z esetet, mikor htárérték nem egy konkrét vlós szám, hnem ± Ngyon fontos, hogy pontosn értsék ezeket foglmkt, mert htárérték foglmár lpozzuk későbbiekben z nlízis több más foglmát, például folytonosság, differenciálhánydos foglmit Az elméleti rész tnkönyv 9- oldlin tlálhtó, megoldndó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 4, vlmint Tnulási útmuttó 4 fejezetében tlálj meg A lecke áttnulmányozás után Ön képes lesz: meghtározni függvények véges helyen vett htárértékét, htárértékére vontkozó műveletekkel (4 tétel); megoldni ( tnult tételek és nevezetes htárértékek (4, 4 tétel, illetve log ( + ) lim, lim ) segítségével) dott helyen vett htárérték kiszámításávl 0 0 fogllkozó feldtokt; megdni függvények végtelenben vett htárértékét; fentieket feldtokbn lklmzni (összekpcsolv soroztoknál tnult tételekkel (pl + lim, lim, lim q ); definiálni és feldtokbn lklmzni függvény tágbb értelemben vett htárértékét Kezdjük tnulást z első két célkitűzés megvlósításávl, dolgozzuk fel tnkönyv 9-07 oldlin tlálhtó 4-es témát

22 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A függvény véges helyen vett htárértékére két definíció is hsználhtó Az egyik tnkönyvbeli ún Heine-féle definíció, másik Cuchy nevéhez kötődő meghtározás Mivel ez utóbbi definíció segíthet foglom lposbb megértésében itt ezt meghtározást is szerepeltetjük Definíció: Legyen z pont z f függvény értelmezési trtományánk egy torlódási pontj Azt mondjuk, hogy z f függvény helyen vett htárértéke z A vlós szám, h bármely ε > 0 vlós számhoz létezik olyn δ > 0, hogy minden D f \ {} 0 < < δ esetén f ( ) A < ε Bizonyíthtó, hogy Heine-féle és Cuchy-féle definíciók ekvivlensek A tpsztltok zt muttják, hogy htárérték foglm, és definíciór épülő bizonyítások megértése diákok számár nem könnyű feldt Ugynkkor htárérték kiszámításár vontkozó feldtokt viszonylg könnyen begykorolják Ezért fordítsunk több időt foglom és 4-es tétel bizonyításánk megértésére A véges helyen vett htárértékre vontkozó feldtok begykorlás előtt jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény I 4 fejezetének mintfeldtit, vlmint 4 fejezet és mintfeldtát! önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy értelmezhető-e következő függvények htárértéke z = helyen: 9 g : g( ) =, ] ;[ [ 4; ) ; 9 f : f ( ) =, R \ {} ; és h : h = +, R ( ) megoldás: A helyes válsz megtlálhtó Tnulási útmuttó 4 témáj Ellenőrző kérdések megoldási c rész feldtánál 6 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 4; 4;45;48;440; 445; s feldtit! megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások 4 fejezethez c rész zonos számú feldtinál önellenőrző feldt sin A lim = nevezetes htárérték felhsználásávl htározz meg 0 htárértéket! tg lim 0 7

23 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 önellenőrző feldt log A lim = ln és lim 0 0 felhsználásávl számíts ki lim ( + ) 0 = és ln log lim 0 ( > 0, ) ( + ) nevezetes htárértékek htárértékeket! Folytssuk tém feldolgozását tnkönyv 4 és 4-ms témáink megtnulásávl Az ide vontkozó feldtok begykorlás előtt jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény I 4 fejezetének mintfeldtit, vlmint 4 fejezet mintfeldtát! 5 önellenőrző feldt Egészítse ki z lábbi definíciók hiányzó részeit! Legyen f olyn függvény, melynek értelmezési trtomány hlmz H minden olyn ( n ) számsorozt esetén, melyre lim = ( ) n n n D f igz, hogy lim f ( n )=, kkor zt mondjuk, hogy f -nek létezik htárértéke plusz végtelenben és ez A-vl egyenlő Legyen z f függvény z értelmezve Akkor zt mondjuk, hogy f -nek z helyen vett htárértéke h minden olyn ( n ) számsorozt esetén, melyre = D, igz, hogy lim f ( ) = lim {} n n ( ) n f \ 5 megoldás: A definíciók pontos megfoglmzás tnkönyv 07, illetve 0 oldlin tlálhtók 6 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 4, 44, 47, 4, 4, 40, 47, 40-s példáit! 6 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások 4 fejezethez c rész zonos számú feldtinál n

24 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A 7 önellenőrző feldt lim + = e és htározz meg lim + = e nevezetes htárértékek felhsználásávl + lim + + htárértéket! 7 megoldás: A megoldás Tnulási útmuttó 4 fejezet Gykorló feldtok megoldás c rész 8/ feldtánk megoldásánál megtlálhtó 8 oldlon 8 önellenőrző feldt Oldj meg Feldtgyűjtemény 47, 474, 475, 478, 479, 48-es példáit! 8 megoldás: A megoldásokt ellenőrizheti Feldtgyűjtemény Megoldások 4 fejezethez c rész zonos számú feldtinál 9 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 4 fejezetének Beküldendő feldtiból z /b, /b, /b, 4, 5/b jelűeket! 9 megoldás: Ellenőrizze megoldásokt Tnulási útmuttó 40 oldlán H hét htárérték-számítási feldt mindegyikére 5 vgy 0 pontot kphtn, zz csk tökéletes megoldásokt pontoznánk, leglább 8 pontot kellene összegyűjtenie z elégséges tudáshoz Befejezés Reméljük, hogy sikerült htárértékre vontkozó foglmkt megértenie, és tudj lklmzni ezeket htárérték-számítási feldtokbn Áttérhetünk ezután mtemtikábn és gykorlti lklmzásokbn is fontos szerepet játszó folytonos függvények vizsgáltár Megoldások megoldás: tg sin sin lim = lim = lim lim cos megoldás: lim = 0 cos ( ) log + lim = ln ; lim = 0 0 = = 7 ln 7 4

25 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 lecke Függvények folytonosság A mi nyg tnulmányozásár fordítndó idő leglább 8 ór Annk, ki véges helyen vett htárérték foglmát készség szinten elsjátított, ez z idő biztosn elegendőnek bizonyul mjd tém feldolgozásához Bevezetés A közgzdságtnbn fontos szerepet játszik folytonos függvények vizsgált Adott függvény folytonosság áltlábn vlmely jelenség időbeli változását reprezentálj Ilyenkor folytonosság fokoztos, hirtelen változások nélküli változásr utl Ezért gykrn mondjuk zt, hogy egy függvény folytonos, h grfikonj folytonos vonlll megrjzolhtó Ahhoz zonbn, hogy mtemtiki foglomként hsználjuk folytonosságot, pontosn kell definiálnunk, nem elegendő szemléletes lpon nyugvó megfoglmzás A folytonosság dott pontbeli értelmezése szoros kpcsoltbn vn véges helyen vett véges htárérték foglmávl H folytonos vonlll megrjzolhtó f függvény és egy olyn g függvény grfikonját hsonlítjuk össze, melynek z pontbn létezik htárértéke, de g pontbn lyuks, kkor zt mondjuk, hogy f z pontbn folytonos Bemuttjuk tehát, hogy hogyn viselkedik dott helyen egy függvény, mikor htárértéke megegyezik helyettesítési értékével Olyn függvényeket is vizsgálunk, melyek vlmely intervllumon, vgy z értelmezési trtományuk minden pontjábn folytonosk Az elméleti rész tk -7 oldlin olvshtó A témához tlálhtó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 4, és Tnulási útmuttó 4 fejezetében tlálj meg A lecke áttnulmányozás után Ön képes lesz: megállpítni z egyváltozós vlós függvények dott pontbn vett folytonosságát, eldönteni egy függvényről, hogy dott helyen folytonos-e (féloldli folytonossággl); meghtározni szkdási helyeket, különböző műveletekkel összekpcsolt újbb függvények dott pontbeli folytonosságát (45 tétel); ismertetni véges, zárt intervllumon folytonos függvényekre vontkozó 5 tételt; felsorolni folytonos függvényeket; feldtokon keresztül megmuttni, lklmzni, hogy áltlábn mikor folytonos egy függvény (46 tétel) Kezdjük tnulást z első három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv -6 oldlin tlálhtó 44-es tém ide vontkozó részeinek feldolgozásávl 5

26 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Az dott pontbeli folytonossággl kpcsoltos foglmk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik Feldtgyűjtemény 4 részének mintfeldtit önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy igzk-e következő állítások! H f függvénynek létezik htárértéke z értelmezési trtomány vlmely pontjábn, kkor z f függvény z pontbn folytonos H z f függvény folytonos z értelmezési trtomány vlmely pontjábn, kkor z pontbn létezik htárértéke Egy függvénynek csk ott lehet htárértéke, hol értelmezve vn megoldás: A helyes válszok megtlálhtók Tnulási útmuttó 4 tém Ellenőrző kérdések megoldási c rész 6 kérdésénél, 6 oldlon önellenőrző feldt Htározz meg, hogy folytonos-e z, R \ f : f ( ) =, = függvény z = helyen? {} önellenőrző feldt Állpíts meg z értékét úgy, hogy z f : f ( ) =, 4, R \ = {} függvény folytonos legyen z 0 = helyen, h tetszőleges vlós szám! Folytssuk tnulást következő három célkitűzés egymás utáni, tnkönyv 6-7 oldlin tlálhtó 44-es tém ide vontkozó részeinek feldolgozásávl A folytonos függvény foglmánk elmélyítéséhez jvsoljuk, hogy most is gondosn tnulmányozz Gzdsági mtemtik feldtgyűjtemény 4 részének mintfeldtit Mivel z intervllumon folytonos függvények tuljdonsági későbbi lklmzások szempontjából ngyon fontosk lesznek, ezért ezen helyen összegyűjtöttük zokt tuljdonságokt, melyeket későbbiekben felhsználunk 6

27 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági: Tétel: (BOLZANO-TULAJDONSÁG) Egy intervllumon folytonos függvény ezen intervllum bármely két pontjábn felvett értékei közé eső bármely értéket felvesz e két hely között Tétel: Zárt intervllumon folytonos függvény korlátos ezen z intervllumon Tétel: (WEIERSTRASS) Zárt intervllumon folytonos függvény felveszi infimumát, szuprémumát ezen z intervllumon ; intervllumon, ekkor z f függvény létezéséhez szükséges és elégséges, hogy z f függvény szigorún monoton legyen z Tétel: Legyen z f függvény folytonos z [ b] [ ; b] intervllumon Tétel: H f z [ ; b] intervllumon szigorún monoton folytonos függvény, kkor folytonos zon z [ α; β ] intervllumon, hol α = min{ f ( ), f ( b) } és β = m { f ( ), f ( b) } f is 4 önellenőrző feldt Állpíts meg, hogy igzk-e következő állítások! H z f függvény és g függvény folytonos, kkor z H z f függvény folytonos és g függvény szkdásos, kkor függvény H z f függvény folytonos és g függvény szkdásos, kkor függvény H z f függvény és g függvény folytonos, kkor f + g is folytonos függvény f + g is szkdásos f g is szkdásos f o g is folytonos függvény 4 megoldás: A helyes válszok megtlálhtók Tnulási útmuttó 4 tém Ellenőrző kérdések megoldási c rész kérdésénél 5 oldlon Kiterjeszthetők-e z 5 önellenőrző feldt 7 f : f függvények úgy, hogy vlós számok hlmzán folytonosk legyenek? ( ) =, R \ {} és g : g( ) = log, R \ {} 5 megoldás: A megoldás megtlálhtó Tnulási útmuttó 4 tém Gykorló feldtok megoldási c rész feldtánál 7 oldlon 7

28 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 önellenőrző feldt Oldj meg Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 4 Folytonosság című fejezetének 488, 490, 49, 49, 495, 498, 400-s feldtit! 6 megoldás: A megoldások feldtgyűjtemény Megoldások negyedik fejezethez c rész zonos számú feldtink megoldásit áttekintve ellenőrizhetők 7 önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 4 témájánk /, /, /, 5/ beküldendő feldtit! 7 megoldás: Ellenőrizze megoldásit Tnulási útmuttó 40 oldlán! Befejezés A megoldásokt pontozz úgy, hogy minden tökéletes megoldást 5, minden hibás megoldást 0 ponttl értékeljen H 0 pontból leglább 0 összegyűlt, úgy z elégséges tudássl rendelkezve kezdhet következő tém, Differenciálszámítás tnulmányozásáb Megoldások megoldás: Az f függvény nem folytonos z = helyen, mert lim f = 7 htárérték nem egyezik meg helyettesítési értékkel és f ( ) =, vgyis megoldás: H függvény folytonos z 0 = helyen, kkor htárértéke ezen helyen megegyezik helyettesítési értékkel, vgyis lim f = 4, ezért 4 = -ből = 8

29 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 lecke Differenciálszámítás Differenciálhánydos foglm, deriváltfüggvény Differenciálszámítás geometrii lklmzás A lecke tnulmányozásár fordítndó idő minimum ór A középiskoli nyg ide vontkozó részeinek, illetve z előző témákbn elsjátított ismereteknek szintjétől függően ennél több idő is szükséges lehet A tnulást ezért érdemes középiskolábn tnult elemi függvények, függvénytni lpismeretek, htványozás, gyökvonás és logritmus zonosságink z átismétlésével kezdeni Mjd belső pont, nyílt és zárt hlmz, vlmint függvények htárértékére vontkozó foglmkt elevenítsék fel Csk ezután kezdjék meg lecke feldolgozását Bevezetés Az előző leckékben megismertük függvények néhány igen fontos tuljdonságát Ebben témkörben mtemtiki nlízis tlán legngyobb jelentőségű foglmink: differencihánydos függvény, differenciálhánydos, deriváltfüggvény megismerésével fogllkozunk A gzdsági jellegű tárgyknál tpsztlni fogják, hogy segítségükkel közgzdságtni problémák megértése és megoldás lényegesen könnyebbé válik A differenciálszámítás szerepe közgzdságtn és mtemtik mellett minden más olyn tudományterületen pl műszki tudományok, fizik, kémi stb is jelentős, hol fontos kérdés lehet nnk eldöntése, hogy milyen gyorsn változnk bizonyos mennyiségek Egy dott változás mértékét áltlábn derivált segítségével írhtjuk le A differenciál- és integrálszámítás lpjit XVII százdbn Isc Newton (64-77) és Gottfried Leibniz (646-76) fektette le Az elméleti rész tk -50 oldlin olvshtó A témához kpcsolódó feldtokt Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 5 részében és Tnulási útmuttó 5 fejezetében tlálhtj meg 9

30 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás A tnnyg feldolgozás után Ön képes lesz: felírni különböző függvények különbségi-hánydos függvényeit; meghtározni differenciálhánydost és értelmezni nnk geometrii jelentését; megvizsgálni egy függvény differenciálhtóságát; felírni z érintőfüggvényt; felismerni folytonosság és differenciálhtóság közötti kpcsoltot; (tk 6-7 oldl); felismerni és lklmzni z elemi függvények deriváltjit; (tk -6 oldl, illetve oldl); bemuttni derivált meghtározásár kidolgozott módszereket; felírni különböző típusú függvények deriváltjit; deriváltfüggvényt meghtározni deriválási szbályok lklmzásávl (tk 8-4 oldl); mgsbb rendű deriváltkt felírni (tk oldl) Kezdjük tnulást tnkönyv 5-es témájánk feldolgozásávl A - oldlk áttnulmányozás z első négy célkitűzésben megfoglmzott készségek elérését segíti A tém z új foglmk: differencihánydos-függvény, differenciálhánydos bevezetésével, és ezek geometrii értelmezésével indul Fontos, hogy önállón, pontosn ki tudják mondni ezeket foglmkt Ngyon lposn gondolják át geometrii jelentésüket is, hogy z lklmzásuk későbbiekben ne okozzon problémát Ezután differenciálhtóság vizsgált következik Figyeljünk rr, hogy differenciálhtóságot áltlábn függvény értelmezési trtományánk belső pontjibn vizsgáljuk Tlálkozunk olyn függvényekkel, melyek z értelmezési trtományuk több belső pontjábn, illetve értelmezési trtományuk vlmely nyílt, vgy zárt részhlmzán differenciálhtók Számos olyn függvény is dódik, melyek z egész értelmezési trtományukon differenciálhtók A közgzdsági lklmzás mitt gykoroljuk, hogy derivált felhsználásávl hogyn írhtó fel egy függvény dott pontbeli érintője önellenőrző feldt 5 Adott z f : f ( ) =, R differencihánydos függvényt! függvény Írj fel z 0 = ponthoz trtozó megoldás: A megoldást ellenőrizheti példtár 5 fejezete 5 példájánk megoldásánál 0

31 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy differenciálhtó-e z f ( ) 6 7, = +, : f [ ; [ ] ;] függvény z értelmezési trtományánk 0 = pontjábn! megoldás: A megoldást ellenőrizheti példtár 5 fejezete 55 példájánk megoldásánál önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy értelmezhető-e z f : f 5 ( ) = +, [ 5;] { } [ 5;7] függvény differenciálhánydos z 0 = helyen? megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek feldtánk megoldásánál, 44 oldlon Adott z f : f ( ) 4 önellenőrző feldt 0, =,, h h h ] ;0] ] 0; ] ] ; [ függvény Vizsgálj meg, hogy differenciálhtó-e f z értelmezési trtományán? 4 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek feldtánk megoldásánál, 44 oldlon

32 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 5 önellenőrző feldt Válszoljon következő kérdésekre! Milyen kpcsolt vn egy f függvény D f belső pontbeli differencihánydos függvénye és differenciálhánydos között? egy f függvény differenciálhánydos függvény D f belső pontbeli differencihánydos és z f ' D f helyen vett helyettesítési értéke között? 5 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek 4 feldtánk megoldásánál, 44 oldlon Adott z 6 önellenőrző feldt ( ) = ln( + ), ] ; [ f : f függvény Htározz meg függvény grfikonjánk 0 = bszcisszájú pontjához húzott érintőjének meredekségét! Állpíts meg, hogy mekkor szöget zár be z érintő z tengely pozitív felével! Írj fel z érintő egyenletét! 6 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Gykorló feldtok 5 feldtánk megoldásánál, 46 oldlon Folytssuk z nyg tnulmányozását tnkönyv 5 témájánk feldolgozásávl A 6-7 oldlkon kidolgozott tnnyg differenciálhtó és folytonos függvények kpcsoltávl fogllkozik Mielőtt bármilyen mtemtiki műveletet elvégzünk, mindig át kell gondolnunk, hogy egyáltlán elvégezhető-e vizsgált művelet, illetve, hogy melyek zok feltételek, melyek mellett z dott művelet elvégezhető A könyvbeli példák lpján nyilvánvlóvá válik, hogy differenciálhtó függvények folytonos függvények vlódi részhlmzát lkotják H z f függvény differenciálhtó z 0 helyen, kkor ott folytonos is; de ez z állítás nem megfordíthtó, zz folytonosság differenciálhtóság szükséges, de nem elegendő feltétele Ne felejtse el, hogy z 55-ös tétel bizonyítását is meg kell tnulni könyv levezetése lpján!

33 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 7 önellenőrző feldt Vizsgálj meg, hogy z :, h f f ( ) = 5, h ] ;0[ [ 0; + [ függvény differenciálhtó-e z 0 = 0pontbn? Vizsgálj meg, hogy 8 önellenőrző feldt 4, h rcionális g : g( ) = 4, h irrcionális függvény értelmezési trtományánk mely pontjibn folytonos? Állpíts meg, hogy differenciálhtó-e g z 0 = 0 helyen? Adott z 9 önellenőrző feldt ( ) =, R f : f függvény Állpíts meg, hogy differenciálhtó-e f z 0 = helyen! 9 megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezet Gykorló feldtok példájánk megoldásként 45 oldlon A tnkönyv 5, 54 és 55-ös témáját egymás után jvsoljuk feldolgozni A -5; 8-46 oldlkon 6-9 célkitűzésben fogllt készségek kilkításához szükséges elméleti ismeretek tlálhtók Itt ismerheti meg zon elemi függvények deriváltjit, illetve zokt deriválási szbályokt, melyek lklmzásávl deriválási művelet rutinszerűvé válht Figyeljen rr, hogy itt deriválás műveletének megértése és elmélyítése mitt z 5, 5, 5, n, 54, 56, 57, 58, 59, 5-es tételek bizonyítását is tudni kell!

34 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 0 önellenőrző feldt Oldj meg példtár 50, 56, 59, 5, 5, 55, 57, 56, 54, 546, 550, 55, 560, 568, 570, 58, 58-es feldtit 0 megoldás: A megoldásokt megtlálj Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 5 fejezetének Megoldás részében önellenőrző feldt Oldj meg Tnulási útmuttó 5 fejezet Gykorló feldtink 4 példáját 4 oldlról! megoldás: Ellenőrizze megoldást Tnulási útmuttó 46 oldlán! Végül tnulmányozzuk tnkönyv 56-os fejezetét (47-50 oldl), mely többször differenciálhtó függvényeket tárgylj Figyeljünk rr, hogy h egy dott f függvény differenciálhtó, bból még nem következik, hogy kétszer, vgy többször is differenciálhtó, tehát deriválás előtt differenciálhtóságot mindig újból meg kell vizsgálni Ugynkkor bármely rcionális függvény kárhányszor differenciálhtó értelmezési trtományánk minden pontjábn Hsonlón igz ez eponenciális, sinus és cosinus függvényekre is önellenőrző feldt Adjon meg egy olyn függvényt, mi egyszer differenciálhtó, de kétszer már nem! megoldás: A megoldást megtlálj Tnulási útmuttó 5 fejezete Ellenőrző kérdéseinek 5 feldtánk megoldásánál, 44 oldlon önellenőrző feldt Oldj meg példtár 50, 507, 50, 5, 56 és 57-es feldtit! megoldás: A megoldásokt megtlálj Gzdsági mtemtik I Feldtgyűjtemény 5 fejezetének Megoldás részében 4

35 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 4 önellenőrző feldt A tém végén összefogllásként jvsoljuk, hogy írj le önállón differenci-hánydos függvény, differenciálhánydos és deriváltfüggvény foglmit, mjd bizonyíts be z 5 leckében felsorolt bizonyításokt! Végül oldj meg Tnulási útmuttó Beküldendő feldtok c részének 7 feldtát (47-48 oldl) 4 megoldás: Ellenőrizze z elmélet pontosságát önállón könyv lpján, feldt-megoldásokt pedig Tnulási útmuttó oldlin H foglmk és bizonyítások leglább felét pontosn tudt, kkor z elméleti részt leglább elégséges szinten teljesítette A feldt-megoldások tekintetében, h feldtonként 0 pontot kphtn egy-egy feldt helyes megoldásr, és 0 vgy 0 ponttl értékelnénk egy-egy feldtot, kkor z elégséges tudásszint eléréséhez 70 pontból leglább 5 pontot kell összegyűjtenie H ez nem sikerült, kkor zokt részeket, melyekre vontkozó feldtok hibásnk muttkoztk, újr át kell ismételnie Befejezés Reméljük, hogy jó eredménnyel vette z kdályt, és belátt, hogy differenciálás nem is olyn bonyolult művelet De hogy mennyire fontos és hsznos ez művelet, zt csk következő témábn, differenciálhtó függvények tuljdonságink vizsgáltkor fogj tpsztlni Megoldások 7 megoldás: H felrjzolj függvényt, kkor zonnl látj, hogy f folytonos függvény H ezután meghtározz jobb és bloldli differenciálhánydost z 0 = 0 pontbn kkor láthtj, hogy lim 0 =, de lim =, ezért f folytonos, de nem differenciálhtó függvény 8 megoldás: A megdott g függvény értelmezési trtományánk csk z 0 = 0 pontjábn lesz folytonos és itt egyben differenciálhtó is Figyeljünk rr, hogy egy függvény dott pontbeli differenciálhtóság csk z dott pontbeli folytonosságot biztosítj 5

36 Szolnoki Főiskol Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Távokttás 6 lecke Beküldendő feldt I A leckére órát kell szánni, ezen belül feldtok megoldásár 90 perc lenne z ideális idő A továbbikbn másoláshoz, tisztázáshoz szükséges még 0 perc H 90 perc kevés megoldáshoz, ez zt jelenti, még gykorolni kell hsonló feldtokt, hogy feldtsor kidolgozás lerövidüljön Az egyes feldtok munkidejét nem célszerű szétválsztni, érdemes őket folymtosn, egymás után megoldni Így derülhet ki z Ön számár, hogy vlójábn mennyi időre vn szüksége megoldáshoz Bevezetés A következő feldtsor megoldásávl ellenőrizheti z első öt témábn elsjátított ismereteinek tudásszintjét A feldtokt igyekeztünk úgy kiválsztni, hogy vlóbn összefogllják megjelölt leckék nygát A feldtok és kérdések szintje megfelel vizsgán támsztott követelményeknek H vlmelyik feldt megoldás gondot okozn, kkor jvsoljuk, hogy lpozz fel könyv és példtár megfelelő fejezeteit, melyeket újr áttnulmányozv már biztosn nem lesz nehéz megoldás Figyeljen rr, hogy bár itt nem kértünk bizonyítást, mert z könyvből kimásolhtó lenne, vizsgán mindig szerepel leglább egy bizonyítás is! Az első két feldtot Hlmzelmélet témából válsztottuk Szerepelnek benne olyn kérdések, melyek zt mérik fel, hogy középiskoli ismereteket mennyire sikerült felelevenítenie, de olyn foglmkr is rákérdez, melyekkel ebben témábn kiegészítettük korábbi ismereteket A hrmdik és negyedik feldt áltlábn ngyobb hngsúlyt kp vizsgán, szinte minden feldtsorbn szerepel Az ilyen jellegű és szintű feldtok megoldását ezért sokt gykorolj! Az ötödik és htodik feldttl függvények htárértéke, folytonosság és differenciálszámítás témákbn megszerzett tudás mérhető Ugynkkor visszmenőleg is vissztér egyes témák megértéséhez, és feldtmegoldásokhoz is szükséges olyn lényeges foglmkr, mint z inverz függvény és z összetett függvény 6