A motiválás lehetőségei az algebra tanításában

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A motiválás lehetőségei az algebra tanításában"

Átírás

1 A motiválás lehetőségei z lgebr tnításábn Szkdolgozt Készítette: Sár Csenge Mtemtik Bsc, tnári szkirány Témvezető: Somfi Zsuzs ELTE TTK Mtemtiktnítási és Módszertni Központ Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Budpest, 010

2 Trtlomjegyzék Bevezetés Motiválás Egyenletek Egyenlet definíciój Egyenletek osztályozás Ekvivlens egyenletek A másodfokú egyenlet Másodfokú egyenlet definíciój Hogyn oldhtó meg egy másodfokú egyenlet? Komple számok Hogyn lehet minél izglmsbbn bevezetni komple számokt középiskolábn? Komple szám foglm Műveletek komple számokkl Komple számok tuljdonsági Feldtok Másodfokú egyenletre vezethető problémák Bevezetésként nézzünk meg egy ókori feldtot A hrmdfokú egyenlet A hrmdfokú egyenlet megoldás Crdno-képlet Feldtok Egyenletrendszerek Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek A lineáris lgebri egyenlet Az egyenletrendszer definíciój Középiskoli megoldási módszerek... 4

3 .. Lineáris többismeretlenes egyenletrendszerek Guss-féle kiküszöbölés (Guss-elimináció) Feldtok Összegzés... 4 Köszönetnyilvánítás... 4 Melléklet Irodlomjegyzék... 46

4 Bevezetés Amikor szkdolgozti témámt válsztottm, z első szempont z volt, hogy miről írni szeretnék, z kpcsolódjon tnári szkirányhoz. A második pedig z, hogy olyn mtemtiki témkört foglljon mgáb, mit szerettem tnulni z egyetemen és középiskolábn is. Így esett válsztásom motiválás mtemtikábn címre, melyet ztán leszűkítettem z lgebrtnításbn vló motiválásr. Szkdolgoztombn rr kérdésre keresem válszokt, hogy vjon mivel kelthetem fel diákok érdeklődését mtemtik tnításábn, zon belül pedig z lgebrábn. Mindvégig feltételezem, hogy olyn gyerekek motiválásáról vn szó, kik érdeklődnek mtemtik iránt. Ez zért fontos, mert ngyrészt mtemtik eszközeivel próbálom motiválás lehetőségeit bemuttni és csk kisebb részben pszichológiávl. Az utóbbi persze ngyon lényeges, legfőképpen kkor, h olyn gyerekekről vn szó, kik lpvetően nem érdeklődnek mtemtik iránt, vgy egyéb tnulási nehézségeik vnnk. Egyetemi tnulmányim előtt gimnáziumbn, reáltgozton tnultm mtemtikát. A tnórákon kívül jártm szkkörre, hol olyn érdekes feldtokt oldottunk meg, mik z óri nyghoz kpcsolódtk, de túlmutttk középiskoli tnnygon. Egyfjt előkészítése volt ez z egyetemi mtemtiki tnulmányoknk. Ennek mintájár szeretném szkdolgoztomt felépíteni. Vgyis középiskoli tnnygból kiindulv szeretnék eljutni olyn egyetemi nygrészekig, melyeket ugyn teljesség igénye nélkül, de meg lehet muttni z érdeklődő és egyetemre készülő diákoknk. A középiskoli lgebr tnnyg z egyik legterjedelmesebb és legtöbbet tgllt nygrész, mit diákok elsjátítnk mtemtikán belül. Természetesen nem teljes lgebr nygot fogom ebből szemszögből megvizsgálni, hnem nnk egyes részeit. Ilyen például z egyenletek megoldás, melyen keresztül bevezethető komple számok foglm; vgy z első-, másod-, illetve mgsbb fokú egyenletek megoldásánk lehetőségei. Amikor megkérdeztem pár ismerősömet, hogy mire emlékeznek középiskoli lgebr tnulmányikból, szinte mindenki zt válszolt, hogy leginkább rr, mikor oldlkon keresztül vezettek le egy egyenletet, míg végül megoldásr jutottk. Vlóbn, legtöbb nem mtemtikávl fogllkozó ember emléke ez z lgebráról. Nem is tévednek ngyot, hiszen z lgebr XIX. százd közepéig z egyenletek megoldásávl vló fogllkozást, z egyenletek tudományát jelentette. Azonbn m már, ki középiskol után 4

5 is fogllkozik ezzel tudományággl, z tudj, hogy ennél sokkl többről vn szó. Olyn összefüggésekről, melyek mtemtik más területein is ngy segítséget nyújtnk, mint például geometriábn, numerikus nlízisben, sőt más természettudományi ágkbn is. Ezért trtom ngyon fontosnk, hogy már középiskolábn felhívjuk figyelmet rr, hogy mire lesz szüksége diákoknk későbbiekben. Legyen ez kár egy definíció, egy tétel, vgy egy típusfeldt. Jó, h látják, hogy ngyon hsznos mit tnulnk, mert ez is egyfjt motiváció lehet számukr. Erről részletesebben következő fejezetben lesz szó. 5

6 1. Motiválás Motiválás nélkül nincs tnulás. 1 A tnulás motiválás nem más, mint egy kívántos célállpot elérésére vló késztetés, irányítás, koordinálás tnuló tnulási tevékenységére vló ösztönzése céljából. Vgyis tnári munk legfontosbb feldt tnulók számár legmegfelelőbb motivációs segítség nyújtás, vlmint tudás htékony közvetítése. Ezt különböző eszközökkel érhetik el pedgógusok. Először nézzük meg tnítási órához fűződő motivációs tényezőket, melyek tnórák szervezési formáibn rejlő motiválást jelentik, mi összefüggésben vn tnulói ktivitássl. Ez ltt zt értem, hogy tnítás megfelelő minőségével és z ebből következő eredményes tnulássl lehet motiválni tnulót. Vgyis: - mgánk tnnygnk kell ktivizáló tényezőnek lennie; - érdemes lklmzni csoportmunkát és z önálló munkát, mert ezek megszervezése több lehetőséget d tnulók önállóságánk, kezdeményezőkészségének kibontkozásár, mely z lkotó ktivitás, kretivitás kritérium; - mivel gondolkodás ktivitás olyn feldtokkl kpcsoltbn ébred fel tnulókbn, melyeket nem lehet z áltluk ddig megismert módokon megoldni - igényük lesz feldt megoldásához vezető utk megismerésére, ezért érdemes minél több olyn feldtot feldni z órán, melyben új gondoltok mentén hldv lehet megoldni zokt; - fontos tényező problém iránti érdeklődés felkeltése, melynek lényege, hogy tnulókt szituáció trtlmi oldl érdekelje; - tnítási órán ngyon fontos szerepe vn z optimális, komple értékelésnek, vlmint folymtos visszjelzéseknek, melyek segíthetik diákokt bbn, hogy meg tudják állpítni, hol trtnk tnnygbn (optimális értékelés: ngyobb számbn trtlmz pozitív visszjelzést, de nem zárj ki negtív visszjelzést; komple értékelés: tudás, mgtrtás, személyiség értékelése együttesen); 1 Réthy Endréné: Motiváció, tnulás, tnítás Miért tnulunk jól vgy rosszul?, Nemzetközi tnkönyvkidó, Budpest, 00 Réthy Endréné: Motiváció, tnulás, tnítás Miért tnulunk jól vgy rosszul?, Nemzetközi tnkönyvkidó, Budpest, 00 (80.o.) 6

7 - továbbá ngy jelentősége vn tnítási ór légkörének, tnár-diák viszony jellegének. H ezek z lpvető tényezők meg vnnk egy órán, kkor tnár elérheti célját, mely nem más, mint hogy felkeltse tnulók érdeklődését és ezt z állpotot folymtosn ébren tudj trtni, fejlessze folymtos tnulás igényének kilkulását, és segítsen leküzdeni tnulás ellen htó tényezőket. Ezek áltl tnár és diák közt létre jöhet ktív együttműködés, mely közös munk htékonyságánk lpvető pillére. Szkdolgoztom szempontjából, zonbn hngsúlyosbb szerephez jut tnítási nyg áltli ösztönzés, melynek főbb elvárási következők: - feldtok struktúráj legyen változtos, jól követhető, férjen bele z ór- és tnterv keretébe, vlmint nehézségi fok z dott csoportnk megfelelő legyen; - fontos tnnyg vonzerejének kiknázás, tém problémásítás, problémszituációk tervezése; - jelentős hngsúlyt kell fektetni tnulndó ismeretek hsznosságánk, hsználhtóságánk tudtosításár; - vlmint z órár vló felkészüléskor számb kell venni várhtó tnulási-tnítási nehézségeket. A fent említett pontokból látszik, hogy tnároknk ngyon felkészültnek kell lenniük mind pszichológii-pedgógii, mind szkmi szempontból - hhoz, hogy minden lklomml elérjék céljukt. Ahhoz, hogy teljes képet kpjunk motiválás és motiváltság közti kpcsoltról, meg kell említenem zt is, hogy tnulásr vló motiválás nem csk tnár feldt. A közös munk z, mi áltl létre tud jönni htékony tnulás. Vgyis diáknk is ugynolyn kemény munk ez, hiszen tnulás egy olyn önszbályozó folymt, melyet tnuló sját mg htároz meg. A tnuló mg lkítj ki sját motivációs struktúráját és itt jön képbe tnári segítség jelentősége, mert motivációs rendszer lkításábn gyereket motiválássl kell segítenie pedgógusnk. Pszichológiilg fontos tényező tnítás-tnulási folymtbn külső motiváció rányink fokoztos eltolás belső motiváció felé. Ez folymt önszbályozó interkciókon keresztül vlósul meg. Az önszbályozott tnulás lényege, hogy tnuló 7

8 önmgát motiválj és tnulási tevékenységet önmg végzi, hiszen belső motiváció jelentősége éppen z, mit tnul, s őszintén érdeklődik iránt. Ezekből z információkból zt végső következtetést vonhtjuk le, hogy megfelelő htékonyságú tnulás elengedhetetlen eszköze motiválás, melyből z következik, hogy tnulási teljesítmény és motiváció egymássl kölcsönhtásbn vn. Réthy Endréné Dr.: Motiváció tnítási órán, Tnkönyvkidó, Budpest, 1978 (6.o.) 8

9 . Egyenletek Egyenlet definíciój Az egyenlet középiskoli definíciój szerint egy olyn kijelentő mondt, melyben egy, vgy esetleg több ismeretlen, változó tlálhtó. A mtemtiki logik kijelentéseknek vgy állításoknk (ítéletnek) nevezi zokt kijelentő mondtokt, melyekről egyértelműen eldönthető, hogy igzk, vgy hmisk. Azt mondjuk, hogy kijelentések, állítások vgy igz, vgy hmis logiki értékkel rendelkeznek. Ezek lpján meghtározhtó, hogy mit értünk egyenlet ltt, megdhtjuk nnk foglmát. 1. Az egyenleteket tekinthetjük logiki függvényeknek, vgyis olyn hiányos állításoknk, melyek logiki értéke ttól függ, hogy változó(k) helyére mit helyettesítünk be. Az egyenlet megoldás során mindig rr kell törekedni, hogy h változó, kkor z összes olyn értéket megtláljuk, melyekre z állítás igz logiki értéket vesz fel. Minden egyenlethez hozzátrtozik egy lphlmz, melyen megoldásokt keressük. H z lphlmzt feldt elején nem djuk meg, kkor vlós számok hlmz z lphlmz. Az egyenlet értelmezési trtományánk nevezzük z lphlmz zon legbővebb részhlmzát, melyen z egyenletben szereplő kifejezések értelmezettek. Az értelmezési trtományból zoknk z elemeknek hlmzát, melyekhez z igz logiki érték trtozik, logiki függvény igzsághlmzánk nevezzük. A logiki függvény értékkészlete pedig z {igz, hmis} kételemű hlmz.. Emellett vn egy szemléletesebb megfoglmzás is, melyben felhsználhtjuk függvényeknél megismert foglmkt. Az egyenleteket tekinthetjük úgy is, minth z egyenlőség két oldlán álló kifejezés egy-egy függvény (f, g) hozzárendelési szbály lenne. Az egyenlet megoldás minden olyn szám, melynél két függvény egyenlő értéket vesz fel. Másképpen foglmzv, hol két függvény helyettesítési értékei egyenlők, zt z egyenlet gyökeinek nevezzük: f ( ) g( ). 4 Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klár, Urbán János, Vincze István: Sokszínű mtemtik 9, Mozik Kidó-Szeged, 005 ( o.) Hjnl Imre, Számdó László, Békéssy Szilvi: Mtemtik gimnáziumok számár 9., Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 00 ( o.) Krdos Gyul: Algebr I., Műszki Könyvkidó, Budpest, 196 (77-8.o.) 9

10 Az egyértelmű, hogy minden ilyen érték csk z f, illetve g függvény értelmezési trtományánk közös részében (metszetében) lehet. A két értelmezési trtomány metszetét z egyenlet értelmezési trtományánk nevezzük. Természetesen bármelyik szemlélettel nézzük z egyenleteket, megoldásuk fontos. Egy egyenletet megoldni zt jelenti, hogy meghtározzuk z egyenlet gyökeit, vgy megállpítjuk, hogy nincs gyöke z egyenletnek. Azonbn z egyenletek megoldáskor nehézségekbe ütközhetünk, ezek mitt pedig lehetőleg olyn átlkításokt kell keresni, melyek nem változttják meg z egyenletek megoldásit (gyökeit). Az egyenletek megoldásánk több módszerével is megismerkedik diák középiskoli tnulmányi során. Ilyenek például grfikus módszer, szorzttá lkítás, illetve lebontogtás, más néven mérleg-elv. Ezekkel most részletesebben nem fogllkozom. Azt zonbn meg kell említeni, hogy z egyenletek sokfélesége mitt nem létezik olyn módszer, melynek lklmzásávl minden egyenlet megoldhtó. Azok szkkifejezések, miket még z egyenletek kpcsán, legelején tisztázni kell, elengedhetetlenek hhoz, hogy diákok hldni tudjnk z nygbn. A mtemtik tnítás tlán egyik legnehezebb feldt, hogy megtníts tnulót helyes szkkifejezések hsználtár. Meg kell tnulniuk olyn szvkt, foglmkt, melyeket csk mtemtikábn hsználnk. Érteniük kell zt is, hogy miről vn szó, mikor diszkriminánsról, együtthtóról és még rengeteg ehhez hsonló kifejezésről beszélnek. Ezért megemlítek még pár, z egyenletek kpcsán gykrn hsznált foglmt..0.. Egyenletek osztályozás Azt mondjuk, hogy egy egyenlet egy-, két-, három-,, n-ismeretlenes, h z egyenletben egy, két, három,, n változó vn. n Az egyismeretlenes egyenletek... n 0 lkr hozhtók, hol 0 1 0, 1,..., n R. Az ilyen egyenleteket összefoglló néven lgebri egyenleteknek nevezzük. Az egyenleteket változók fokszám szerint is osztályozhtjuk, miszerint lehet első-, másod-, hrmd-, vgy mgsbb fokú z egyenlet. 0 10

11 .0.. Ekvivlens egyenletek Azokt z egyenleteket, melyeknek gyökei megegyeznek, ekvivlens (egyenértékű) egyenleteknek nevezzük. Továbbá zokt z átlkításokt, melyekkel vlmely egyenletet vele ekvivlens egyenletté lkítunk, ekvivlens átlkításoknk nevezzük. Szkdolgoztombn csk z n-edfokú lgebri egyenletekkel fogllkozom, mely csk egy kis szelete z egyenletek témkörének. Azért nem térek ki nem lgebri (például trigonometrikus vgy eponenciális) egyenletekre, mert korlátozott terjedelmi feltételek nem teszik lehetővé, hogy részletesen bemutssm z múgy is ngyon tág témkört. H logikusn szeretném felépíteni. fejezetet, kkor z elsőfokú egyenlettel kellene kezdenem, de dolgoztombn z elsőfokú egyenletekkel csk z egyenletrendszerek kpcsán fogllkozom. Ezért. fejezetet másodfokú egyenlet bemuttásávl kezdem. Fontosnk trtom még z elején megemlíteni, hogy. fejezetben csk z egyismeretlenes egyenletekkel fogllkozom és. fejezetben esik szó többismeretlenes egyenletekről. 11

12 .1. A másodfokú egyenlet 5 Azért trtom fontosnk másodfokú egyenletek részletes tárgylását, mert ennek kpcsán tovább lehet lépni középiskoli tnnygból z egyetemire. Továbbá néhány pró trükkel motiválás lehetőségeinek bemuttásár is kísérletet teszek Másodfokú egyenlet definíciój Az olyn egyenletet, melyben z ismeretlen előforduló legmgsbb htvány második htvány, másodfokú egyenletnek nevezzük..1.. Hogyn oldhtó meg egy másodfokú egyenlet? A másodfokú egyenletek lgebri megoldásánk egyik formáj szorzttá lkítás. H 0-r redukált, rendezett lkú egyenletben másodfokú kifejezést két elsőfokú tényező szorztár tudjuk felbontni, kkor z egyenletnek két vlós gyöke létezik. A szorzttá lkítás olykor hosszdlms lehet, ezért egy olyn megoldási módszerrel is megismerkednek diákok, melyet ngyon egyszerűen tudnk lklmzni. Az egyetemen egyik kedves tnárom zt mondt, hogy mtekosok lpvetően lusták, ezért szeretik rövidebb megoldási módszereket. Természetesen ez nem zt jelenti, hogy nem kell ismerni zt z utt, min keresztül megkpjuk rövid és prktikus eljárásokt. Sőt, ngyon fontosnk trtom, hogy diákok tudják, hogy miből lesz cserebogár. Ezért is szükséges másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése középiskolábn. Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet rendezett lkj következő: b c 0, hol z, b, c vlós számok és 0. A bloldlon álló kifejezésben emeljük ki -t: b c 0. Hjnl Imre, Számdó László, Békéssy Szilvi: Mtemtik gimnáziumok számár 10., Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest 00 (46-48.o.) 1

13 1 A második tényezőt egészítsük ki teljes négyzetté:, c b b c b b. A következő lépés szögletes zárójelben álló kifejezés szorzttá lkítás: 1. H 4 4 c b >0, zz c b 4 <0, kkor szögletes zárójelben lévő kifejezést nem tudjuk szorzttá lkítni. Ekkor z egyenletnek nincs vlós gyöke.. H 0 4 c b, kkor z egyenlet egyszerűbb lesz: 0. b Ebből már látszik, hogy ennek z egyenletnek vn megoldás: b. Az egyenlet bl oldlán álló kifejezést írjuk fel szorzt lkbn is: 0 b b. A két elsőfokú tényező mitt ebben zt mondjuk, hogy két vlós gyöke vn z egyenletnek, és ez két gyök egyenlő: b 1 (kétszeres gyök).. H 4 4 c b <0, zz c b 4 >0, kkor szögletes zárójelben lévő kifejezést írjuk fel két tg négyzetének különbségeként, és zt lkítsuk szorzttá. Mindkét tényezőből egy-egy gyököt kpunk. Ekkor, c b c b ezért egyenletünk: 0. 4 c b b

14 A négyzetek különbségét szorzttá lkítjuk: b b b 4c b b 4c b ebből további átlkítássl: b b 4c b b 4c 0, b 4c 0, b 4c 0. Tudjuk, hogy 0, ezért másik két tényezőt vizsgáljuk, z úgynevezett gyöktényezőket. Ezek egy-egy gyököt dnk. Az egyenlet két gyöke: 1 b 4c b b 4c,. A gyököket rövidebb lkbn, összevonv szoktuk felírni: 1, b b 4c. Ezt másodfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük. Mindhárom esetben b 4c kifejezés előjele fontos. Ez z, mi meghtározz, hogy létezik vlós gyöke z egyenletnek, vgy sem. Ezt kifejezést másodfokú egyenlet diszkriminánsánk nevezzük. Jele: D. Tétel: Az b c 0 ( 0) másodfokú egyenletnek Két vlós gyöke vn: 1, b b 4c, h D b 4c >0; Egy vlós gyöke (egy kétszeres gyöke) vn: D b 4c 0; Nincs vlós gyöke, h D b 4c <0. b, h 1 A vlós gyök szükséges és elégséges feltétele: D 0, vgyis z egyenletnek kkor és csk kkor létezik vlós megoldás, h D b 4c 0. 14

15 .. Komple számok Hogyn lehet minél izglmsbbn bevezetni komple számokt középiskolábn? Fontos pedgógii követelmény, hogy z új nyg feldolgozását megelőzze problémából vló kiindulás. Esetünkben ez következő: tudjuk, hogy nem minden másodfokú egyenletnek vn megoldás vlós számhlmzon, ekkor felmerülhet z kérdés, hogy vjon létezik-e olyn számhlmz, melyben minden másodfokú egyenletnek vn gyöke. A problémából vló kiindulás mozgósítj tnulókt feldolgozásr kerülő nyg lényegének felismerésére és megértésére, elindítv megoldást kereső gondolkodási folymtot; belső, kereső ktivitást váltv ki bennük. Középiskolábn nem értelmezzük negtív számból vló négyzetgyökvonást. Azonbn úgy gondolom, h szkkörön zt mondjuk diákoknk, hogy másodfokú egyenlet gyökeire vontkozó tétel utolsó pontjábn megfoglmzottkt ne vegyük figyelembe, vgy, hogy megoldást egy eddig ismeretlen hlmzon értelmezzük, kkor bevezethetjük komple szám foglmát. H következőkben leírt módon bevezetjük és értelmezzük z i számot, ttól kezdve létezik negtív szám négyzetgyöke. Így már tudják tnulók, hogy h komple számok hlmzán oldnk meg egy másodfokú egyenletet, nnk kkor is vn gyöke, h diszkrimináns negtív. Ez elképzelésem szerint egy olyn kiegészítése tnnygnk, melyet érdeklődéssel fogdnk diákok. (Leglábbis, h mgmr visszemlékszem, biztosn felkeltette voln z érdeklődésemet ennek témánk megismerése.) A komple számok bevezetése kpcsán tnár tudtosn tudj motiválni diákokt oly módon, hogy felkelti z érdeklődésüket. Ezt véleményem szerint úgy tudj elérni, hogy z új számok bevezetésével mtemtik egy teljesen új, tnulók számár eddig ismeretlen részét tárj fel előttük. Továbbá, h diákok szemszögéből nézzük komple számokt, kkor zt következtetést vonhtják le tnulók, hogy mtemtik egy olyn tudomány, mely teremt. Például új számokt. Ezekkel trükkökkel kíváncsivá tudjuk tenni diákokt, mely kellő motivációt d számukr további felfedezésekhez. 6 Bárczy Brnbás: Algebr II., Műszki Könyvkidó, Budpest, 196 (51-60.o.) Sárközy András: Komple számok példtár, Műszki Könyvkidó, Budpest, 197 Kiss Emil: Bevezetés z lgebráb, Typote, Budpest, 007 Algebr I. lpszint, elődás jegyzet,

16 Mint hogyn zt szkdolgoztom elején tisztáztm, végig érdeklődő diákok motiválásáról vn szó. Képzeljünk el egy szkkört, hol éppen egyenletek megoldásávl fogllkozunk. Ekkor egy bevezető péld kpcsán térnék rá komple számok tárgylásár. Vnnk olyn vlós együtthtós egyenletek, melyeknek vlós számok körében nem létezik gyökük. Vegyük z 1 egyenletet. Tudjuk, hogy ennek vlós számok körében nincs megoldás, de ez még nem jelenti zt, hogy más hlmzon sincsen. Tegyük fel, hogy létezik egy olyn számhlmz, melyen vn megoldás z 1 egyenletnek. Ez pedig nem más, mint vlós számkör olyn bővítése, melyben negtív számokból vló négyzetgyökvonás is értelmezhető. Így építhető fel komple számok hlmz. Ennek törekvésnek jegyében, nézzük újr z 1 egyenletet. Most már megtehetjük, hogy mindkét oldlból négyzetgyököt vonunk. Ekkor z 1 megoldást kpjuk. A komple számok hlmzánk felépítésekor rr törekszünk, hogy vlós számok kpcsán megismert műveleti tuljdonságok, zonosságok és összefüggések ne változznk bővítéssel. Tehát célunk z, hogy bővebben értelmezett foglom (komple számok hlmz) minél inkább megőrizze szűkebb foglomrendszer (vlós számok hlmz) tuljdonságit. Ezt mtemtikábn permnenci elvnek (állndósági elv) nevezik. Motiváló lehet még tnulók számár, h elmondjuk, hogy z egyetemi lgebr tnnyg első, részletesen tárgylt témköre pont komple számok. Ezt meg kell említeni, mikor szób kerülnek komple számok, mivel tudjuk, hogy középiskolás diák fő motivációjává egyre inkább jövőre vló felkészülés válik, így nnál érdekesebbnek tlálhtják ennek témkörnek megismerését. A kevésbé érdeklődő csoportokbn is be lehet vezetni komple számokt és motiválni lehet diákokt elképzelésem szerint úgy, hogy tnulóknk feldunk egy kis mtemtiktörténeti kuttómunkát. Utánjárhtnk komple számok történetének és következő lklomml kiselődás formájábn be tudnk számolni kuttómunkájukról diáktársiknk. 16

17 ... Komple szám foglm A számfoglom z egész emberiség történelme során fejlődött. A XVI. százdbn olsz mtemtikusok hrmdfokú egyenlet megoldásávl kpcsoltbn vetették fel, hogy érdemes vlós számok foglmát tovább bővíteni. Bombelli z 157-ben megjelent könyvében jvsolt, hogy negtív számok négyzetgyökét is tekintsék számnk. Ezeket számokt elnevezte képzetes számoknk. A képzetes számokt ( új számokt ) csk XVIII. százdbn értelmezte kifogástlnul Guss. Az ő munkásság révén terjedt el komple szám foglm. Definíció: Az vlós számok, 1 bi lkú formális kifejezéseket komple számoknk nevezzük, hol és b i. Jele: C bi b R,. Másképpen foglmzv, zokt számokt, melyek vlós és képzetes részből állnk, komple számoknk nevezzük. A komple számokt áltlábn z, w, u C-vel jelöljük, továbbá felírhtók lkbn, hol Re(z) z vlós része, és b Im(z) z képzetes része. z bi Továbbá két komple szám kkor egyenlő, h vlós és képzetes részeik külön-külön megegyeznek, vgyis z bi c di c, b d, hol, b, c, d R és i 1. Definíció: A z bi komple szám konjugáltj z bi komple szám. Vgyis h két komple szám csk képzetes részük előjelében tér el egymástól, kkor konjugált komple számpárt lkotnk. Definíció: Komple szám bszolút értéke (zc) szám. z zz b nemnegtív vlós 17

18 ... Műveletek komple számokkl Legyen u bi és w c di komple számok, melyekkel következő műveleteket végezhetők el: Összedás u w bi c di c bi di c b di 'b' i Kivonás u w c bi c di bi bi di c b d i c di Szorzás u w bic di c bd di bci i 1 c di bci bdi c bd d bci c di bci bd Ellentett u bi bi Osztás Legyen z bi, w c di és u vi. Nézzük meg részletesebben z osztást. 1. Komple szám osztás vlós számml: z bi -t tudjuk c R\0 -vl osztni z c bi c c b i. c. Komple szám osztás komple számml: Mivel már tudunk komple számokkl összedni, kivonni, szorozni, így célunk, hogy z eddig lklmzott összefüggésekre támszkodv jussunk el z osztásig. Vgyis szorzás műveletét felhsználv z w 1 w z lk felírásár kell törekednünk. ) Ötlet: csináljunk reciprokot: A reciprokkl vló szorzássl zt szeretnénk elérni, hogy z átlkítás végén csk vlós számml kelljen osztni. Ezt következőképpen érjük el: 18

19 1 1 1 bi bi z bi bi bi b 0., hol Vgyis nevező konjugáltjávl bővítettük törtet. Péld: b) w: z, vgyis z w i 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 i 1 i 11 z w megoldásit keressük -re b R\ biu vi c di u bv udi vi c di u bv ( udi vi) c di u bv c, ub v d..4. Komple számok tuljdonsági Állítás: Tetszőleges z, w, u C számokr érvényesek z lábbik: 1. összedás kommuttív z w w z. összedás sszocitív z w u z w u. 0 C, hogy z 0 0 z z 4. z-nek ellentettje, zz olyn w, melyre z w w z 0 5. szorzás kommuttív zw wz 6. szorzás sszocitív zwu zwu Bizonyítás: Legyen z bi, w c di és u yi, ekkor zwu bic di yi c di bci bd yi c cyi di dy bci bcy bd bdyi * z wu bic di yi bic cyi di dy c cyi di dy bci bcy bd bdyi ** * ** zwu zwu 7. 1C, hogy z 1 1 z z 19

20 8. disztributivitás z wu uz uw zw u zu zw Miután megmutttuk diákoknk ezeket z lpvető tudnivlókt komple számokkl kpcsoltbn, feldhtunk pár példát, melyeken keresztül értelmezni és gykorolni tudják z eddig tnultkt...5. Feldtok 1. Számítsuk ki i n (n 0, 1,, ) értékét! 7 Először írjuk fel i htványit: i 0 1 i 1 i i -1 i i i i (-1) -i i 4 i i (-1) 1 i 5 i 4 i 1 i i i 6 i 5 i i i i -1 i 7 i 6 i (-1) i -i Megfigyelhetjük, hogy i 0 i 4 1, i 1 i 5 i, i i 6-1 és i i 7 -i. H még tovább felírjuk i htványit, kkor ugynezt z ismétlődést vehetjük észre. Most meg kell vizsgálnunk, hogy milyen gykrn ismétlődnek 1, i, -1, -i. Észrevesszük, hogy 4-gyel vló mrdékos osztás z, mi közös 0 és 4, 1 és 5, és 6, és 7 között. Ugynis 0 és 4 4-gyel osztv 0 mrdékot, z 1 és z 5 4- gyel osztv 1 mrdékot, és 6 4-gyel osztv mrdékot, és 7 pedig 4- gyel osztv mrdékot d és így tovább. Ebből megállpíthtjuk, hogy i n 1, h n 4-gyel oszthtó; i n i, h n 4-gyel osztv 1 mrdékot d; 7 Sárközy András: Komple számok, Műszki Könyvkidó, Budpest, 197 (8.o.) 0

21 i n -1, h n 4-gyel osztv mrdékot d; i n -i, h n 4-gyel osztv mrdékot d.. Számítsuk ki i 010 értékét! Az előző feldtból tudjuk, csk zt kell megnéznünk, hogy gyel osztv milyen mrdékot d. H elvégezzük mrdékos osztást, megkpjuk, hogy gyel osztv -t d mrdékul. Tehát i Írjuk fel z ) 1 i b) i c) i komple számok konjugáltjit! 8 ) 1 i 1 i b) i ( ) i ( ) i i c) i 0 ( ) i 0 ( i) i 4. Végezzük el kijelölt műveleteket! 9 ) ( 4i) (6i i) ( 6) (4 ) i 8 i b) ( 5 4i) ( i) 5 4i i (5 ) (4 1) i 5i c) (5 i)i 5i i i 15i 6i 15i 6( 1) 6 15i Minden tgot minden tggl megszorzunk. d) 4 i 1 i 4 i 1 i 4 i 8i 1 i1 i 1 i 6i 10 5i 10 5i Osztásnál nevező konjugáltjávl bővítjük törtet. i 8 Sárközy András: Komple számok, Műszki Könyvkidó, Budpest, 197 (5.o.) 9 Sárközy András: Komple számok, Műszki Könyvkidó, Budpest, 197 (6-7.o.) Bárczy Brnbás: Algebr II., Műszki Könyvkidó, 196 (54.o) 1

22 e) 1 i i (1 i)( 4i) ( i) i 6i 4i 8i 4i 5i ( 4i)( 4i) 5i i 4 i i 5i 10i 8 i i 1 i 5 10i 5 10i Először nevező konjugáltjávl bővítjük törtet, mjd közös nevezőre hozunk, és végül számolunk Oldjuk meg z 4 0 vlós együtthtós egyenletet komple számok hlmzán! Ez elképzelésem szerint zért szerencsés feldt középiskolábn, mert másodfokú egyenlet megoldóképletét álmukból felkeltve is tudják diákok. Így megoldóképletbe vló behelyettesítés után már csk negtív számból vló négyzetgyökvonásr kell odfigyelniük tnulóknk, mert csk onnntól kezdve kell i-vel dolgozniuk. 1, b b 4c ( 1) 7 i 7 i 7 6. Oldjuk meg z i i 0 komple számok hlmzán! 10 komple együtthtós egyenletet A megoldóképlet komple számok hlmzán is ugynúgy lklmzhtó, mint vlós számhlmzon, ezért ebben feldtbn is z 5. feldthoz hsonlón csk másodfokú egyenlet megoldóképletébe kell behelyettesíteni. A különbség csk nnyi, hogy műveleteket nem vlós, hnem komple számokkl kell elvégezni. Legyen 1, b i és c ( i), ekkor 10 Algebr I. lpszint, gykorlt,. feldtsor, 007

23 1, b ( i) i b 4c 4i i 4 i 16i 16 i 4 8i 4i észrevesszük, hogy négyzetgyök ltt teljes négyzet áll, tehát i i 4 i i 4 i 1 1 és i 4 i 1 8i Az ellenőrzést sem szbd elfelejteni. Helyettesítsük be 1-et és -t z eredeti egyenletbe. Miután behelyettesítettünk, látjuk, hogy mindkét szám jó megoldásnk bizonyul. Ekkor zt mondjuk, hogy z i i 0 z 1 1 és i komple számok. egyenletet gyökei A komple számokról természetesen sokkl több mindent tnítnk z egyetemen, de célom elsősorbn z volt, hogy érdeklődő középiskolásoknk összeállítsk egy olyn egyetemi nygrésszel kibővített fejezetet, melyet véleményem szerint nem olyn nehéz megérteni. A feldtok megoldási nem igényelnek különösebb önálló gondoltot. A megismert eljárások megértését ellenőrzik, vlmint z lgoritmikus készséget fejlesztik. Erre készségre ngyon ngy szükség vn, hiszen z lgoritmikus gondolkodás mtemtiki képességek egyik áltlános összetevője. Szükséges hhoz, hogy egy diák eredményes legyen mtemtikából és fejlődni tudjon (hhoz viszont nem elegendő, hogy lkotó mtemtikussá váljon). A motiválás szempontjából is fontos szerepe vn z lgoritmikus módszerrel megoldhtó feldtoknk. A diák megtnulj, hogyn kell megoldni egy típusfeldtot, zt is tudj, hogy miért úgy kell megoldni zt. Ez utóbbi zért ngyon fontos, mert nem elég, hogy egy begykorolt műveletsort hjtson végre tnuló, hnem értenie kell nnk menetét. H érti és tudj lklmzni tnultkt, könnyen sikerélményhez jutht. A sikerélmény pedig kdályokt leküzdő, kitrtó tevékenységre srkllj z emberek többségét. Továbbá, h tnulót szkkörön képességeinek megfelelő feldtokkl

24 jutlmzzuk, kkor ezen feldtok elvégzésének következtében tnulás fokozhtó, munkáj intenzívebbé válik. Ez állndó elégedettség érzést vált ki diákbn, mely legmegbízhtóbb folymtos motivációs forrás. A jutlmzás tnulás motorj /Hull/ Az áltlm hsznált jutlom/jutlmzás kifejezést pontosítni szeretném. A középiskolásokbn külső motivációról -mi lehet szülő, tnár, diáktársk- áttevődik hngsúly belső motivációr. Ez zért ngyon fontos, mert z eredmény elérésére törekvő motivációhoz z önmotiváció kifejlődésére vn szükség. Ezáltl feldt elvégzése örömérzéshez juttthtj diákot, mely még ngyobb fejlődés hjtóerejévé válht. Pedgógii szempontból kezdetekkor (áltlános iskol) fontos szerepe vn jutlmzásnk, mely áltl diák meg tudj ítélni sját sikereit, illetve hibáit. A kezdeti jutlmzástól zonbn később (középiskol) lépésenként el kell jutni odáig, hogy tnulónk z önmg áltl felállított szint elérése jelentse jutlmt. Életkori/fejlődéslélektni sjátosságuknk köszönhetően fontossá válik számukr, hogy mi iránt érdeklődnek, és mivel későbbiekben fogllkozni szeretnének, zzl kpcsoltbn minél több információhoz jussnk és elsjátítsák zokt. Mikor diák tntárgy trtlm iránt érdeklődik, kkor közvetlen érdeklődésről vn szó, közvetett érdeklődésről pedig kkor beszélünk, mikor jövőbeli hivtásr készülés motívum lesz z érdeklődés legfőbb ok. 4

25 .. Másodfokú egyenletre vezethető problémák Ezt kis kitérőt zért illesztettem bele szkdolgoztomb, mert művészettörténet minor szkom. Úgy gondolom, hogy z is motiválón htht diákokr, h látják, hogy mtemtik milyen sok területen vn jelen, többek között művészetben is. Ez tlán zon tnulók érdeklődését is felkelti mtemtik iránt, kik lpvetően humán beállítottságúk, vgy kik érdeklődnek művészetek iránt. Elképzelésem szerint ez egy olyn témkör, mit például egy diáknp lklmávl lehetne megmuttni tnulóknk. Az ötletet Sokszínű mtemtik 10 tnkönyv dt...1. Bevezetésként nézzünk meg egy ókori feldtot Adott egy 1 méter ngyságú szksz. Ezt osszuk fel két részre úgy, hogy kisebbik résznek ngyobbikhoz vló rány megegyezzék ngyobb résznek z eredeti szkszhoz vló rányávl. Legyen hosszbbik szksz hossz. Ekkor feldt szerint: 1. 1 Rendezzük z egyenletet: Alklmzzuk másodfokú egyenlet megoldóképletét: 1, A feldt szerint egy szksz hosszáról vn szó, így feldt megoldás z Ezt z számot Φ-vel jelöljük és rnymetszésnek nevezzük. 5

26 Definíció: Arnymetszésnek nevezzük egy szksz két olyn részre bontását, melyek közül kisebbik úgy ránylik ngyobbhoz, mint ngyobbik z egészhez. Az rnymetszés egy olyn rányosság, mely művészetben is megtlálhtó. Le Corbusier szerint természetes rányérzék z, mely kitüntetett szerephez jutttj z rnymetszést. Már z ókorbn is megfigyelhető ennek lklmzás. Rájöttek, hogy z rnymetszéssel osztott távolságok kellemes htást keltenek. A görögök szilárd mtemtiki lpokr helyezték építészüket. A Prthenon (1. ábr) erre legszemléletesebb péld, hol többek között z rnymetszés szbályir támszkodv építették meg homlokztot (. ábr). A későbbi korokbn is számos példát tlálunk rr, hogy mtemtik segítségével születtek meg legkiválóbb művészeti lkotások. Miután ezt bevezetőt elmondtuk diákoknk, és ezzel felkeltettük z érdeklődésüket tém iránt, fel lehet dni kuttómunkánk például, hogy keressenek olyn lkotásokt, melyeken z rnymetszés megtlálhtó. Egy másik megoldás rr, hogyn tehetjük még izglmsbbá számukr másodfokú egyenletek témkörénél tárgylt rnymetszés vizsgáltát: Vigyünk mgunkkl olyn képeket, melyeken tudjuk, hogy megtlálhtó z rnymetszés. Adjuk ki feldtnk, hogy keressék meg z lkotásokon z rnymetszést és jelöljék be nnk helyét (. és 4. ábr). Ez feldt szerintem kellő motivációt rejt mgábn, mégpedig zért, mert láthtják diákok, hogy olyn területeken is megjelenik z lgebr, hol nem is gondolnák. A bevezető feldtr vissztérve nnyit szeretnék még elmondni, hogy szöveges feldt megoldásár másodfokú egyenlet segítségével dtunk válszt. Első lépésben el kellett dönteni, hogy szöveg szerint mit válsztunk ismeretlennek, és z többi mennyiséggel milyen kpcsoltbn áll. Ezek lpján, már fel tudtuk írni z egyenletet. Végül ellenőriznünk kellett, hogy feldt szövege lpján melyik érték lesz helyes megoldás. Így hozhtó összefüggésbe z rnymetszés z lgebrávl. 6

27 .4. A hrmdfokú egyenlet A hrmdfokú egyenlet megoldás Először nézzünk olyn példákt, melyek megoldhtók nélkül is, hogy diákok ismernék hrmdfokú egyenlet megoldóképletét. 1. Vegyük z 8 0 vlós együtthtós hrmdfokú egyenletet. Mindkét oldlhoz djunk hozzá 8-t: 8, vegyük észre, hogy 8 -nek hrmdik htvány:, vonjunk köbgyököt mindkét oldlból:. Ennek z egyenletnek megoldásához csupán elemi lépéseket kellett végrehjtni.. Oldjuk meg z egyenletet! 1 Emeljünk ki -et ( 5 6) 0. Egy kéttgú szorzt kkor és csk kkor 0, h vgy z egyik, vgy másik tényezője 0, tehát 0, vgy z Oldjuk meg másodfokú egyenletet (kár megoldóképlet, kár szorzttá lkítás módszerével):,. Természetesen z ellenőrzésről sem szbd megfeledkezni. Helyettesítsük be 1 -et, -t és -t z eredeti egyenletbe. Az ellenőrzés során látjuk, hogy mindhárom szám megoldás z egyenletnek. Vnnk zonbn olyn vlós együtthtós hrmdfokú egyenletek, melyeknél z előbbi eljárások nem vezetnek megoldásr. A másodfokú egyenleteknél láttuk, hogy vn olyn eljárás, mivel minden másodfokú egyenlet megoldhtó komple számok 11 Sárközy András: Komple számok példtár, Műszki Könyvkidó, Budpest, 197 (15-16.o.) 1 7

28 hlmzán. Az kérdés, hogy hrmdfokú egyenletek esetében létezik-e ilyen megoldóképlet. A XVI. százdbn Scipione del Ferro felfedezte z p q lkú hrmdfokú egyenletek megoldási módját, mjd tőle függetlenül Trtgli is. Crdno Ars mgn sive de regulis lgebricis (A ngy tudomány, zz z lgebr törvényeiről) című művében közismertté tette hrmdfokú egyenletek megoldását, ezért nevezték el Crdnoképletnek hrmdfokú egyenletek megoldóképletét. Mielőtt nekiállnánk megoldóképlet levezetésének, ismét hívjuk fel diákok figyelmét rr, mit komple számok kpcsán már megemlítettünk. Itt következőkre gondolok: A XVI. százdbn olsz mtemtikusok hrmdfokú egyenlet megoldásávl kpcsoltbn vetették fel, hogy érdemes vlós számok foglmát tovább bővíteni. Ugynis, h olyn vlós együtthtós hrmdfokú egyenletet krunk megoldni, melynek három vlós gyöke vn, kkor Crdno-képlet lklmzás rr vezet, hogy negtív számból kellene négyzetgyököt vonnunk (mit vlósbn mrdv nem tudunk elvégezni). Ezért vlós számok hlmzát bővíteni kell úgy, hogy negtív (vlós) számból vont gyöknek is mindig legyen értelme. Amint zt.. fejezetben láttuk, z így kpott hlmz komple számok hlmz. Tehát komple számok kilkulás és hrmdfokú egyenletek megoldóképlete közti kpcsolt ngyon szoros. H mindezeket elmondjuk diákoknk, kkor külön fejezetben tárgylt részekről átfogó képet kphtnk..4.. Crdno-képlet 1 A Crdno-képlet levezetése elég hosszdlms és bonyolult, ezért szkkörön is csk ngy körültekintéssel érdemes tárgylni. H mégis megmuttjuk teljes levezetést, kkor lépésenként lposn el kell mgyrázni, mit miért csinálunk és bizonyos részeknél pedig csk utlni kell rr, hogy ez egy nehéz része levezetésnek, ezért nem fejtjük ki bővebben, csk megmuttjuk és el kell fogdniuk diákoknk, hogy z egyik lépés következik másikból. 1 Kiss Emil: Bevezetés z lgebráb, Typote, 007 (7-11.o. és o.) 8

29 y 0 Az by cy d 0 lkú hrmdfokú egyenletek megoldásánál z első lépés z, hogy megfelelő helyettesítéssel új ismeretlent vezetünk be. Minden hrmdfokú egyenlet új ismeretlennel, új együtthtókkl átírhtó p q 0 lkb melyről tudjuk mtemtiktörténetből, hogy sok próbálkozássl jutottk el ehhez z átlkításhoz - következő lépések segítségével: Legyen z y w. Ezzel helyettesítéssel hozzuk egyszerűbb lkr z y by cy d 0 egyenletet. Ahhoz, hogy -es tg ne szerepeljen, b w értéket kell válsztnunk. De megoldásokt most nem kpjuk meg közvetlenül köbgyökvonássl, mert z egyenletben benne mrd z -es tg. Annyit zért elértünk, hogy (z főegyütthtóvl vló osztás után) z egyenlet p q 0 lkú lesz lklms p-re és q-r, melyek z eredeti egyenlet együtthtóiból négy lpművelet segítségével kifejezhetőek. Ennek z egyenletnek megoldásiból z eredeti egyenlet megoldásit megkphtjuk levonásávl. y 0 Következő lépésként igzolnunk kell, hogy z by cy d 0 esetében z b y z egyenlet olyn helyettesítése, mi eltűnteti z Számítsuk ki z p q 0 egyenletben keletkező p és q értékét is. b egyenlet y együtthtóját. Tehát elegendő ezt z új egyenletet megoldnunk. A megoldáshoz vezető ötletet z lábbi zonos átlkítás szolgálttj: ( u v) u u v uv v u v uv( u v) Azz ( u v) uv( u v) ( u v ) 0. Ennél z ötletnél kell megemlítenem mit.4.. bevezetőjében is megtettem, hogy ez z ötlet egy olyn lépés, melynél sok próbálkozás vezetett célhoz. Az ( u v) uv( u v) ( u v ) 0 zonosság hsonlít megoldndó egyenlet p q 0 lkjához. H sikerülne z u és v számokt úgy megválsztni, hogy uv p ( u v ) q egyenletrendszer teljesüljön, kkor u v biztosn z egyenlet megoldás lenne. 9

30 A továbblépéshez nézzük meg, hogy h és b vlós számok, kkor z y y b egyenletrendszer megoldási éppen z z b 0 egyenlet megoldási. A uv p ( u v ) q egyenletrendszerben p emelve,. Ezért u és u és v összege q, szorztuk pedig, z első egyenletet köbre p v qz 0 z másodfokú egyenlet megoldási. Ezt másodfokú egyenletet megoldv u és v értéket köbgyökvonássl állpíthtjuk meg. A számolást elvégezve z úgynevezett Crdno-képletet kpjuk: u v q q p q q p. Megmutttuk, hogy h u és v olyn számok, melyekre u v szám biztosn megoldás z egyenletnek. p uv és u v q, kkor z Vjon ezzel képlettel megkptuk z egyenlet mindegyik megoldását? A kpott gyök(ök) vlóbn megoldás(i) z egyenletnek? Ezen kérdésekre következő tétel dj meg válszt, melyet elképzelésem szerint egyáltlán nem érdemes középiskolábn megmuttni, zonbn tnárnk tisztábn kell lennie vele. Tétel: H Crdno-képletben szereplő u és v köbgyököket úgy válsztjuk, hogy szorztuk p legyen, kkor képlet z egyenlet megoldását szolgálttj, és z egyenlet mindegyik megoldás megkphtó ezen módon. A két köbgyöknek válszthtóolyn u és v értéke, hogy p uv és z egyenlet három gyöke u v, u v, u v, hol primitív hrmdik egységgyök. E három szám között minden gyök nnyiszor szerepel, mennyi multiplicitás. Az ok, miért nem középiskolábn tárgylndónk gondolom ezt tételt, z primitív egységgyök és multiplicitás meghtározás. 0

31 .4.. Feldtok 1. Oldjuk meg z egyenletet Crdno-képlet segítségével! Az vlós együtthtós egyenlet p q 0 lkú, így csk be kell helyettesítünk képletbe: u v q q p q q p H 4 -et visszhelyettesítjük z eredeti egyenletbe, kkor látjuk, hogy biztosn gyöke nnk. Azonbn felmerül kérdés, hogy létezik-e más megoldás. H z egyenletet elosztjuk mrdékosn 4-gyel, kkor egy másodfokú egyenletet kpunk, melynek megoldás megdj további gyökeit z egyenletnek. A polinomosztást feldtbn csk lklmzom, mert terjedelmi okok mitt nincs lehetőségem polinomok témkörére bővebben kitérni. (Sját középiskoli emlékeimet felidézve, tnárom egy feldt kpcsán muttt meg z osztálynk polinomosztást. A későbbiekben nem volt gondj senkinek nnk lklmzásávl.) 1 16 :

32 Vgyis z Egy kéttgú szorzt kkor és csk kkor null, h vgy z egyik, vgy másik tényezője null, tehát: vgy 4, Tehát z hrmdfokú egyenlet megoldás 4 és 1, melyet z eredeti egyenletbe vló behelyettesítéssel ellenőrizhetünk.. Oldjuk meg z egyenletet Crdno-képlet segítségével! Mivel z egyenlet p q 0 lkú, így csk be kell helyettesítenünk Crdno-képletbe: u v q q p q q p i 10 9 i Ahhoz, hogy pontos értéket meg tudják dni diákok, ismerniük kellene komple számok trigonometrikus lkját, melyre szkdolgoztombn nem tértem ki. Ezért fenti hrmdfokú egyenlet megoldását csk ebben z lkbn tudják felírni tnulók.

33 . Egyenletrendszerek 14 Az áltlm válsztott utolsó témkör z egyenletrendszerek. Mivel túl sok tpsztltom még nincs tnítássl kpcsoltbn, ezért csk feltételezni tudom, hogy z egyenletrendszerek megoldásánk gyorsságát növelő, z lgoritmikus készséget fejlesztő Guss-elimináció szintén egy olyn része z egyetemi lgebránk, melyet megmutthtunk középiskolásoknk. Ennek ok, hogy z egyszerűbb feldtokt - mint hogyn zt látni fogjuk egy sém lpján könnyű megoldni. A fejezetben nincs módom mátriszámításr vontkozó részletek leírásár, ezért csk lineáris egyenletrendszerek Guss-módszerrel vló megoldásávl fogllkozom..1. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Fontosnk trtom megemlíteni - még mielőtt bármibe belekezdenénk, hogy z egyenletek és z egyenletrendszerek lphlmzánk most vlós számokt tekintjük A lineáris lgebri egyenlet Definíció: Lineáris lgebri egyenleten olyn lgebri egyenletet értünk, mely (z ismeretlenekre nézve) elsőfokú, zz rendezett lkjábn egyetlen tgj sem trtlmzz két vgy több ismeretlen mennyiség szorztát. Az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet áltlános lkj by c, hol, y R. Minden elsőfokú kétismeretlenes egyenletet végtelen sok (, y) vlós számpár elégít ki, vgyis z egyenletnek végtelen sok vlós gyöke vn. 14 Krdos Gyul: Algebr I. Műszki Könyvkidó, Budpest, 196 ( o.) Hjnl Imre, Számdó László, Békéssy Szilvi: Mtemtik gimnáziumok számár 9., Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 00 (6-75.o.) Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klár, Urbán János, Vincze István: Sokszínű mtemtik 9, Mozik Kidó-Szeged, 005

34 .1.. Az egyenletrendszer definíciój H két egyenlettől zt kívánjuk, hogy egyszerre teljesüljenek, zt mondjuk, hogy ez két egyenlet egyenletrendszert lkot. Tehát két elsőfokú kétismeretlenes egyenlet elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszert lkot. Egyenletrendszert megoldni nnyit jelent, mint meghtározni z ismeretleneknek zokt z értékeit, melyek mindkét egyenletet kielégítik. Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer áltlános lkj: 1 b1 y c1,hol, y és 1,, b 1, b, c 1, c vlós számok. b y c E két egyenletből álló egyenletrendszer megoldási zok z (, y) vlós számpárok, melyek mindkét egyenlet megoldási..1.. Középiskoli megoldási módszerek A lineáris egyenletrendszerek megoldásához megfelelő módszereket kell keresnünk. Ezeket módszereket csk felsorolás szintjén említem meg, mert mire részletesebben ki szeretnék térni z elképzelt szkkörön, és így szkdolgoztombn z z, hogy z egyetemen milyen módszert tnítnk z egyenletrendszerek megoldásár. A középiskoli megoldási módszerek következők: 1. Behelyettesítő módszer: A behelyettesítő módszert, mely z ismeretlenek fokoztos kiküszöbölését jelenti, gykrn Guss-módszernek is nevezik.. Egyenlő együtthtók módszere. Grfikus módszer 4. Összehsonlító módszer 4

35 .. Lineáris többismeretlenes egyenletrendszerek A három, vgy nnál több ismeretlent trtlmzó egyenletrendszerek megoldás közben mindig rr kell törekednünk, hogy egy-egy ismeretlen kiküszöbölésével kevesebb ismeretlent trtlmzó egyenletrendszerhez jussunk, tehát lineáris többismeretlenes egyenletrendszereket behelyettesítési módszerrel legcélszerűbb megoldni. A k egyenletből álló és n ismeretlent trtlmzó lineáris többismeretlenes egyenletrendszer áltlános lkj, mit ***-gl jelölök későbbiekben: k1 1 1 k... 1n n kn n b1 n b n bk Péld: 15 y 6z 8 y 5z 11 y z 11 Vlmelyik egyenletből fejezzük ki z egyik ismeretlent. Legyen ez z első egyenlet, melyből fejezzük ki y-t: y 8 6z Ezt helyettesítsük be második és hrmdik egyenletbe. A behelyettesítés után eggyel kevesebb ismeretlenünk lesz, és eggyel kevesebb egyenletből álló egyenletrendszerünk: 8 6z 5z z z 11 Rendezzük z egyenletrendszert következő módon: 4 7z 5 9z 15 Hjnl Imre, Számdó László, Békéssy Szilvi: Mtemtik gimnáziumok számár 9., Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 00 (74.o.) 5

36 Innen tnult módszerek egyikével - legyen ez z egyenlő együtthtók módszere- fejezzük be z egyenletrendszer megoldását. A második egyenletet szorozzuk meg -vel: 4 7z z 6 Ezek összege: 11z 11 z 1 A kétismeretlenes egyenletrendszer első egyenletébe helyettesítsük be z 1-et, így ki tudjuk számítni z -et: Az első egyenletből fejezzük ki z y-t: y Az egyenletrendszer megoldás tehát:, y 5, z 1. Jól láthtó, hogy ez elég hosszdlms számolást igényel. A Guss-kiküszöbölés bevezetésével, jóvl gyorsbbn eredményre jutunk...1. Guss-féle kiküszöbölés (Guss-elimináció) 16 A Guss-elimináció segítségével tudjuk megdni válszokt lineáris többismeretlenes egyenletrendszerek megoldásávl kpcsoltbn felmerülő kérdésekre, melyek következők: 1. Mi feltétele nnk, hogy egy egyenletrendszer megoldhtó legyen?. Hány megoldás vn egy egyenletrendszernek (h létezik megoldás)?. Hogyn lehet z összes megoldást áttekinteni? 4. Milyen módszerrel juthtunk el z összes megoldáshoz? A Guss-kiküszöbölés során csup olyn lépéseket hjtunk végre, melyek z eredeti egyenletrendszerrel ekvivlens egyenletrendszerre vezetnek. 16 Freud Róbert: Lineáris lgebr, ELTE Eötvös Kidó, Budpest, 007 () 6

37 Definíció: Ekvivlens egyenletrendszereknek nevezzük z olyn egyenletrendszereket, melyek megoldáshlmz megegyezik. Ekvivlens átlkítási lépések: 1. lépés: Szbd z egyenleteket nem null számml szorozni.. lépés: Szbd z egyenlethez hozzádni egy másik egyenlet számszorosát.. lépés: Szbd z egyenletek sorrendjének cseréje. A ***-gl jelölt egyenletrendszert egyszerűbben mátri lkbn tudjuk felírni, hol z i, z és z jeleket elhgyhtjuk. Tehát ***-ból képzett mátri z ij együtthtókból és jobb oldli konstnsokból tevődik össze: k k n n... kn b1 b. b k A mátri bl oldlán álló k n-es mátri z egyenletrendszer együtthtómátri, konstnsokkl kibővített k n 1 -es mátri pedig z egyenletrendszer kibővített mátri. érvényesek. Az egyenletrendszernél lklmzott ekvivlens átlkítási lépések mátriokr is Ekvivlens átlkítási lépések mátriokr: 1. lépés: Szbd vlmelyik sort végigszorozni nem null számml.. lépés: Szbd sorhoz hozzádni egy másik sor sklárszorosát.. lépés: Szbd sorokt felcserélni. Péld: Nézzük z előző példát, melyet behelyettesítés módszerével oldottunk meg. A táblán egymás mellett helyezném el behelyettesítő módszerrel és mátriszá lkított egyenletrendszer Guss-féle kiküszöböléssel vló megoldását, hogy össze tudják hsonlítni két módszert tnulók. 7

38 y 6z 8 y 5z 11 y z 11 Ebből képezzünk kibővített mátriot: Jelöljük z első sort s1 -gyel másodikt s -vel és hrmdikt s -ml. Első lépésként válsszunk ki egy nem null számot bloldlról és krikázzuk be! Így kpjuk vezéregyest: A vezéregyes ltt és fölött mivel mindent ki krunk nullázni, ezért minden sorból vonjuk ki vezéregyes számszorosát, zz s1 s és s s : Az előző két lépést ismételve folyttjuk z eljárást. Válsszuk ki bloldlról második sor hrmdik elemét és krikázzuk be! Osszuk végig sorát 11-gyel: Vonjuk ki második sor számszorosát z első és hrmdik sorból, vgyis s1 15 s és s s : 8

39 Válsszuk ki z első sor második elemét, krikázzuk be és osszuk le sorát - vel: Vonjuk ki hrmdik sorból z első sor számszorosát, zz s s1 : A bekrikázott elemek muttják, hogy, y 5 és z 1. H áltlábn szeretnénk megfoglmzni, hogy Guss-elimináció milyen lépések egymásutánj, kkor következőket mondhtjuk: 1. lépés: Egy nem null elemet kiválsztunk és bekrikázzuk. A sorát leosztjuk vele. Így kpjuk vezéregyest.. lépés: Az oszlopábn többi elemet kinullázzuk.. lépés: Az 1. és. lépéseket ismételjük. Arr ngyon kell figyelni, hogy új krikát új oszlopb és új sorb kell tenni (hol nincs krik)! H már nem tudok krikázni, kkor megállok. Előfordulht, hogy egy sor végig null ( jobboldl is), kkor kihúzzuk zt sort és megmrdt mátriszl számolunk tovább. Egy másik eset, h bloldlon minden végig null, de jobb oldlon nem. H ilyen sor keletkezik, kkor nincs megoldás. Az ilyen sort tilos sornk nevezzük. 4. lépés: A megoldást úgy olvshtjuk le mátriról, hogy z első oszlop jelöli 1 -et, második -t, hrmdik -t és így tovább. A mátri bloldlán lévő számok pedig z egyenletrendszer gyökeit dják, vontkozó i -ekre. 9

40 ... Feldtok Oldjuk meg z lábbi egyenletrendszereket! ) y z y z 4 y z 10 Írjuk fel kibővített mátri lkbn z egyenletrendszert: Válsszuk ki z első sor első elemét és osszuk le z első sort 1-gyel: A vezéregyes ltti oszlopot nullázzuk ki: Válsszuk ki második sor második elemét, krikázzuk be, mjd osszuk le számml sorát: Nullázzuk ki második oszlopot vezéregyes felett és ltt: 17 Algebr 1. lpszint, gykorlt feldtsor, 007 (55-57.o.) 40

41 Válsszuk ki hrmdik sor hrmdik elemét, krikázzuk be és osszuk végig vele sorát: Nullázzuk ki vezéregyes fölötti oszlopot: Ebből z lkból már látszik, hogy 1, y 1 és z. b) z y z y z 0 Írjuk fel z egyenletrendszert kibővített mátri lkbn, mjd Gusselimináció lépéseit lklmzv fejezzük ki -et, y-t és z-t. Ezeket lépéseket z ) feldtrészhez képest formilg egyszerűbben le tudjuk írni következő módon: 1 y z 1 41

42 1. lépés: s s és s s1 ;. lépés: s s ;. lépés: s ; 4. lépés: s1 s és s s. A Guss-elimináció során ismét lgoritmikus lépéseket lklmzunk, mely komple számoknál kitűzött feldtokkl kpcsoltbn már felmerült. Nem szeretném ismételni önmgmt, ezért csk hivtkozok..4. fejezetre, hol bővebben esett szó z lgoritmikus készségről. 4

43 Összegzés Több tnkönyv és feldtgyűjtemény is segítséget nyújtott bbn, hogyn építsem fel dolgoztombn szereplő témköröket. Eleinte ngyon nehéznek bizonyult következetes, jól követhető felépítés létrehozás. Egyre több szkirodlomml megismerkedve és konzulensemnek köszönhetően, úgy érzem sikerült rendszereznem középiskolábn tnultkt és z zokhoz trtozó, számomr fontosnk megítélt egyetemi nygrészeket. A szkdolgozt készítése közben ébredtem rá rr, hogy mennyire fontos jó tnári munk, mely rengeteg szkmi felkészülést és hozzáértést igényel. Sját tpsztlt híján csk feltételezni tudom, hogy dolgoztbn megfoglmzottk működőképesek lehetnek középiskolábn. Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni Somfi Zsuzs Tnárnőnek, hogy tudásávl és szkmi tpsztltávl ngymértékben segítette munkámt, főleg szkdolgozt felépítésének összeállításábn, és nehézkesen, néhol ügyetlenül megfoglmzott részek korrigálásábn. Továbbá brátimnk is szeretném megköszönni, hogy informtiki tudásukkl hozzájárultk képletek megszerkesztéséhez. 4

44 Melléklet 1. ábr (Prthenon). ábr (Prthenon) 44

45 . ábr (Leonrdo d Vinci: Szent Ann hrmdmgávl) 4. ábr (Leonrdo d Vinci: Vitruvin mn) 45

46 Irodlomjegyzék Középiskoli tnkönyvek: Hjnl Imre, Számdó László, Békéssy Szilvi: Mtemtik gimnáziumok számár 9-1., Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 00, 00, 004, 004 Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klár, Urbán János, Vincze István: Sokszínű mtemtik 9-1, Mozik Kidó-Szeged, 005, 00, 006, 006 Egyéb felhsznált irodlom: Algebr I. lpszint elődás jegyzet, 007 Algebr I. lpszint, gykorlt, feldtsorok, 007 Freud Róbert: Lineáris lgebr, ELTE Eötvös Kidó, Budpest, 007 Kiss Emil: Bevezetés z lgebráb, Typote, 007 Sárközy András: Komple számok példtár, Műszki Könyvkidó, Budpest, 197 Dr. Molnár József: Az lgebr és z elemi függvények tnítás, Tnkönyvkidó, Budpest, 1967 Pszichológi pedgógusoknk, Szerkesztette: N. Kollár Ktlin, Szbó Év, Osiris Kidó, Budpest, 004 Réthy Endréné Dr.: Motiváció tnítási órán, Tnkönyvkidó, Budpest, 1978 Réthy Endréné: Motiváció, tnulás, tnítás, Nemzetközi Tnkönyvkidó, Budpest, 00 Richrd R. Skemp: A mtemtiktnulás pszichológiáj, Gondolt, Budpest, 1975 Szkdolgoztombn címsorok elején hivtkoztm zokr szkirodlmkr, melyeket felhsználtm, és melyekből helyenként szó szerint idéztem. Ezeket nem jelöltem külön idézőjellel, mert mtemtikilg helyes megfoglmzás elkerülhetetlenné teszi pontos idézést. 46

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia

Tartalom I. 1. Kohászat. 2. Egyedi Protanium acél. 3. Első osztályú korrózióvédelem. 4. Örökös garancia A profik válsztás pic egyetlen profi minőségű htszögkulcs Trtlom I. 1. Kohászt II. 2. Egyedi Protnium cél 3. Első osztályú korrózióvédelem 10 23 A szbványoknk vló 100%os megfelelés 26 Nincsenek rossz törések,

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés 4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Mindig csak a kitevő?

Mindig csak a kitevő? MATEMATIKA C. évfolym. modul Mindig csk kitevő? Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Mindig csk kitevő? Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő)

- 27 - (11,05 Miskolczi Ferenc megérkezett, a létszám: 21 fő) 27 A ház hét minden npján progrmokkl telített. Kb. 900 fitl fordul meg hetente z állndó progrmokon. A próbák, z összejövetelek hosszú évek ót ugynzon helyen, ugynzon időpontbn vnnk. A megszokottság egyegy

Részletesebben

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Környezetfüggetlen nyelvek

Környezetfüggetlen nyelvek Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz VI. ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2016. feruár 24. A reguláris nyelveket véges

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

Környezetfüggetlen nyelvek

Környezetfüggetlen nyelvek Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2017. ugusztus 3. A reguláris nyelveket véges utomtákkl

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011.

Kerületi Közoktatási Esélyegyenlőségi Program Felülvizsgálata Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzata 2011. Kerületi Közokttási Esélyegyenlőségi Progrm Felülvizsgált Budpest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzt 2011. A felülvizsgált 2010-ben z OKM esélyegyenlőségi szkértője áltl ellenjegyzett és z önkormányzt

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

A lecke célja... A vállalati gazdálkodás célja hét A monopolerő hatása a kínálati magatartásra

A lecke célja... A vállalati gazdálkodás célja hét A monopolerő hatása a kínálati magatartásra 04..07. -3. hét A monopolerő htás kínálti mgtrtásr A tiszt monopólium htárbevétele és mximális profitot biztosító kibocsátás. Hszonkulcs és monopolerő. A monopolerő jóléti htási. Természetes monopólium.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik 1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet.

finanszírozza más városnak, tehát ezt máshonnan finanszírozni nem lehet. 19 finnszírozz más városnk, tehát ezt máshonnn finnszírozni lehet. Amennyiben z mortizációs költség szükségessé váló krbntrtási munkár elég, s melynek forrás csk ez, bbn z esetben z önkormányzt fizeti

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Folyamatba épített előzetes utólagos vezetői ellenőrzés. Tartalom. I. A szabálytalanságok kezelésének eljárásrendje

Folyamatba épített előzetes utólagos vezetői ellenőrzés. Tartalom. I. A szabálytalanságok kezelésének eljárásrendje Melléklet Folymtb épített előzetes utólgos vezetői ellenőrzés Trtlom I. A szbálytlnságok kezelésének eljárásrendje II. Az ellenőrzési nyomvonl III. Folymtábrák IV. A tervezéssel, végrehjtássl, beszámolássl

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1

2000. évi XXV. törvény a kémiai biztonságról1 j)10 R (1)4 2000. évi XXV. törvény kémii biztonságról1 z Országgyűlés figyelembe véve z ember legmgsbb szintű testi és lelki egészségéhez, vlmint z egészséges környezethez fűződő lpvető lkotmányos jogit

Részletesebben

Vektorok (folytatás)

Vektorok (folytatás) Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű

tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen magának, hogy a mozsárkályhát Abból indulnék ki, hogy nem elvétett gondolat-e a fűtőmű lterntívát nem rr, kéményt bete brikettre. 85 tud vinni, tehát nem kényszeríthetjük építsen mgánk, mozsárkályhát T ó t h bból indulnék ki, nem elvétett gondolte fűtőmű megvlósítás, mert kb. 1 milliárd

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc

Győry Ákos: A Titu-lemma. A Titu-lemma. Győry Ákos Földes Ferenc Gimnázium, Miskolc A Titu-lemm Győry Ákos Földes Feren Gimnázium, Miskol Az lái feldtsort jórészt z 5. Rátz László Vándorgyűlésen elhngzott nygól állítottm össze, néhány feldttl kiegészítettem, néhol pedig új izonyításokkl

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása

Végeredmények, emelt szintû feladatok részletes megoldása Végeredmények, emelt szintû feldtok részletes megoldás I. gyökvonás. gyökfoglom kiterjesztése. négyzetgyök lklmzási. számok n-edik gyöke 5. z n-edik gyökfüggvény, z n-edik gyök lklmzás 6 II. Másodfokú

Részletesebben

"ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30.

ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30. -8 4 - (...) "ALAPÍTÓ OKIRAT... (Változtlnul 12. pontig) 12.) Az intézmény vezetőiét pályázt útján Várplot város Önkormányztánk Képviselő-testülete htározott időre nevezi k i. Az áltlános iskolábn két

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e)

2. Egyenletek I. Feladatok 1. a) b) c) d) 2. a) b) c) d) 3. a) b) c) d) e) . Egenletek I. Feldtok. Oldj meg z lábbi egenleteket egenletrendszereket vlós számok hlmzán. ) b) ( ) ( ) 8 Klmár László Mtemtik Versen döntője 99. 8. osztál c) ( ) ( ) ( ) ( ) OKTV II. ktegóri. forduló

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK . Lortóriumi gykorlt LMÉLTI ALAPFOGALMAK. Műveleti erősítők A műveleti erősítőket feszültség erősítésre, összehsonlításr illetve különöző mtemtiki műveletek elvégzésére hsználják (összedás, kivonás, deriválás,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben