BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
|
|
- János Király
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék
2 ii
3 Trtlomjegyzék 1. Előszó 1 2. Hlmzok, relációk, függvények Hlmzok, relációk, függvények A Hlmzok és relációk Relációk inverze és kompozíciój Függvények Feldtok Hlmzok, relációk, függvények E Ekvivlenci és rendezési reláció Hlmzok számosság Számhlmzok Vlós számok A A vlós számok xiómrendszere Természetes, egész és rcionális számok Felső és lsó htár Intervllumok és környezetek Vlós számok htványi Feldtok Komplex számok A A komplex szám foglm, műveletek Komplex számok trigonometrikus lkj Elemi függvények Vlós-vlós függvények lptuljdonsági A Az elemi függvények A Htványfüggvények Exponenciális és logritmus függvények Trigonometrikus függvények és inverzeik Hiperbolikus függvények és inverzeik iii
4 iv TARTALOMJEGYZÉK Néhány különleges függvény Feldtok Soroztok, sorok Soroztok, sorok A A sorozt foglm és tuljdonsági Sorozt htárértéke Divergens soroztok Sorok Feldtok Soroztok E Sorozt konvergenciáj Műveletek konvergens soroztokkl Részsoroztok Sorozt lim sup-j és lim inf-je Intervllumsorozt Cuchy konvergencikritérium Sorok E Sor konvergenciáj Konvergencikritériumok Végtelen sorok átrendezései Folytonosság Folytonosság A A folytonos függvény foglm és tuljdonsági A műveletek és folytonosság kpcsolt Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági Feldtok Folytonosság E A folytonosság foglm és z átviteli elv Műveletek folytonos függvényekkel Intervllumon folytonos függvények tuljdonsági Az inverzfüggvény folytonosság Egyenletes folytonosság Függvény htárértéke Függvény htárértéke A "Végesben vett, véges" htárérték "Végtelenben vett", illetve "nem véges" htárérték Egyoldli htárérték Feldtok Függvény htárértéke E
5 TARTALOMJEGYZÉK v A htárérték áltlános definíciój és z átviteli elv Műveletek függvények htárértékével Differenciálhtóság Differenciálhtóság A A derivált foglm és geometrii jelentése Elemi függvények deriváltj és deriválási szbályok A derivált kpcsolt függvény tuljdonságivl Többszörös derivált és Tylor-polinom L Hospitl-szbály Feldtok Differenciálhtóság E A derivált foglm és kpcsolt folytonossággl Műveletek differenciálhtó függvényekkel, deriválási szbályok Lokális növekedés, fogyás, lokális szélsőérték Középértéktételek A globális monotonitás elégséges feltételei Konvex és konkáv függvények Tylor-formul L Hospitl-szbály Integrálhtóság, integrálszámítás Integrálszámítás A A Riemnn-integrál foglm és geometrii jelentése A Riemnn-integrál és műveletek kpcsolt Newton Leibniz-formul Primitív függvény Az integrál lklmzási Fourier-sor Az improprius integrál Feldtok Integrálszámítás E Az integrál foglm Az integrálhtóság feltételei Műveletek és z integrál kpcsolt Primitív függvény és Newton Leibniz-formul Függvénysoroztok, függvénysorok Függvénysoroztok, függvénysorok A Függvénysoroztok Függvénysorok Htványsorok
6 vi TARTALOMJEGYZÉK Feldtok Függvénysoroztok, függvénysorok E Függvénysoroztok Függvénysorok Htványsorok, Tylor-sorok Többváltozós függvények Többváltozós függvények A Az n-dimenziós tér Többváltozós függvények Htárérték és folytonosság Feldtok Többváltozós függvények E Metrikus tér Nyílt és zárt hlmzok; kompkt hlmz Folytonos függvények Fixponttétel Többváltozós differenciálás Többváltozós deriválás A Prciális derivált Deriváltmátrix Érintő Szélsőérték Feldtok Többváltozós deriválás E Prciális derivált és deriváltmátrix Második derivált; Tylor-formul Szélsőérték Implicit- és inverzfüggvény tétel Feltételes szélsőérték Vonlintegrál Vonlintegrál A A vonlintegrál foglm és tuljdonsági Potenciál Feldtok Vonlintegrál E A vonlintegrál foglm és tuljdonsági Potenciál
7 TARTALOMJEGYZÉK vii 14.Differenciálegyenletek Differenciálegyenletek A Alpfoglmk Szétválszthtó változójú differenciálegyenlet Alklmzás Feldtok Többváltozós függvény integrálj Többváltozós integrál A A többváltozós integrál foglm Az integrál kiszámítás tégllpon és normáltrtományon Az integrál trnszformációj Feldtok Vektornlízis Vektornlízis A Térgörbék Felületek A nbl Integrálátlkító tételek Feldtok Komplex függvények Komplex soroztok, végtelen sorok Komplex htványsorok Komplex függvény folytonosság Komplex függvény htárértéke Komplex függvény differenciálhtóság Komplex függvények integrálj Primitív függvény, z integrál kiszámítás Tylor-sor, hrmonikus függvények Komplex függvények zérushelyei Becslések Komplex függvény mximum Lurent-sor Szinguláris helyek A reziduum-tétel
8 viii TARTALOMJEGYZÉK
9 1. fejezet Előszó A jegyzet lpvetően z Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Krán nem mtemtik szkos hllgtók nlízis okttásához készült, bár mtemtik lpszkos hllgtók kiegészítésként szintén hsználhtják. A fizikus, geofizikus, térképész, meteorológus, geológus, környezettudomány szkos hllgtók mtemtik okttás évtizedek ót z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék feldt. A jegyzet három szerzője szintén évek, évtizedek ót részt vesz ebben z okttásbn. A jegyzetben tárgylt nlízis nygot számos félévben szerzők már tnították, hosszú évek szkmi és pedgógii tpsztlt vn jegyzet trtlm mögött. Temtikáját tekintve jegyzet természetszerűleg hsonlít számos más nlízis tnkönyvre, zonbn hngsúlyozzuk, hogy ennek ellenére több szempontból hiánypótló szerepet tölt be. Egyrészt más nlízis témájú tnkönyvek ngyobbrészt mtemtik szkos hllgtók számár készültek. A nem mtemtik szkosoknk szóló tnkönyvek pedig más egyetemek speciális igényű hllgtói, pl. mérnök vgy közgzdász hllgtók okttásához illenek. Ez jegyzet z ELTE TTK nem mtemtik szkos hllgtóink igényeihez illeszkedik. Sokéves okttási tpsztlt muttj, hogy hllgtók mtemtikát nem z xiomtikus felépítés mentén sjátítják el, hnem fokoztosn, egyre mélyebb szinten értik meg mtemtiki foglmkt és tételeket. Ezért jegyzet nem hgyományos tárgylásmódot követi, hnem kétszer hld végig fent felsorolt fejezeteken. Először lpszinten tárgyl minden témkört. Ennek keretében inkább módszereket tnít. (A fizik szkon ez rész külön tntárgy Klkulus címen.) Ezután másodéves hllgtók számár ugynzok témkörök mélyebb szinten következnek, hgyományos "tétel-bizonyítás" szemlélet szerint. A jegyzet erősen lklmzás orientált. A térképészeknek fontos görbeelmélet, vgy geofizikusoknk szükséges vektornlízis is helyet kp benne. A fizikus hllgtók megtlálhtják benne vonlintegrál, felületi integrál és komplex függvények tárgylását, illetve nehezebb témköröket is, pl. metrikus terek, vgy implicit függvény tétel. 1
10 2 1. FEJEZET. ELŐSZÓ Köszönetnyilvánítás A szerzők köszönetet mondnk z Eötvös Loránd Tudományegyetem Mtemtiki Intézetében z Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszéken dolgozó kollégáink, kik konstruktív észrevételeikkel támogtták kurzus temtikájánk kilkítását és jegyzet megírását. Köszönet illeti jegyzet lektorát Ngy Bálint tnszékvezető főiskoli docenst, ki mindenre kiterjedő figyelemmel igyekezett jvítni hibákt, és elősegíteni z érthetőséget, és z egységes szerkezetét. A jegyzet TAMOP /2/A/KMR számú pályázt, Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához című projektjének keretében készült.
11 2. fejezet Hlmzok, relációk, függvények Bemuttjuk mtemtik eszközeit, lépten-nyomon hsznált foglmkt, fontos megállpodásokt vezetünk be. Biztos lpokt készítünk további építkezéshez. Gykrn lklmzzuk "minden", illetve "tetszőleges" szvk rövidítésére, "létezik, illetve "vn olyn" kifejezések helyett pedig jelet. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Hlmz foglm és hlmzműveletek Reláció Függvény foglm és tuljdonsági Kompozíció és inverz Hlmz számosság 2.1. Hlmzok, relációk, függvények A Hlmzok és relációk Egy hlmzt kkor tekintünk ismertnek, h minden jól megfoglmzhtó dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzá trtozik vgy nem trtozik hozzá. (Az okos gondolt, szép lány, z elég ngy szám vgy kicsi pozitív szám nem tekinthető jól megfoglmzott dolognk, ezekről nem kérdezzük, hogy benne vnnk-e vlmilyen hlmzbn, hogy lkotnk-e hlmzt.) Legyen A hlmz, x egy jól definiált dolog. H x hozzátrtozik hlmzhoz, kkor ezt x A jelölje. H x nem trtozik hozzá hlmzhoz, kkor ezt x / A jelöli. A hlmz elemeit felsorolhtjuk, például A := {, b, c, d}, vgy értelmes tuljdonsággl djuk meg hlmzt, például B := {x x vlós szám és x 2 < 2}. 3
12 4 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 2.1. Definíció. Legyen A és B hlmz. Azt mondjuk, hogy A része B hlmznk, h minden x A esetén x B. Jele: A B Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A hlmz egyenlő B hlmzzl, h ugynzok z elemei. Jele: A = B. Könnyen meggondolhtó következő tétel: 2.1. Tétel. Legyen A és B hlmz. A = B pontosn kkor, h A B és B A. Néhány eljárást muttunk, melyekkel újbb hlmzokhoz juthtunk Definíció. Legyen A és B hlmz. Az A és B egyesítése (uniój) z hlmz, melyre A B := {x x A vgy x B}. Az A és B metszete (közös része) z hlmz, melyre A B := {x x A és x B}. Az A és B különbsége z hlmz, melyre A \ B := {x x A és x / B}. A metszet és különbség képzése során elképzelhető, hogy egyetlen x dolog sem rendelkezik kívánt tuljdonsággl. Azt hlmzt, melynek bármely jól definiálhtó dolog sem eleme, üres hlmznk nevezzük. Jele:. Legyen H hlmz és A H egy részhlmz. Az A hlmz (H-r vontkozó) komplementerén z A := H \ A hlmzt értjük. De Morgn-zonosságoknk nevezik következő tételt: 2.2. Tétel. Legyen H hlmz, A, B H. Ekkor A B = A B és A B = A B. Legyen és b dolog. Az {, b} hlmz nyilván sok változtbn felírhtó: {, b} = {b, } = {, b, b, } = {, b, b,, b, b} = stb. Ezzel szemben tekintsük lpfoglomnk z (, b) rendezett párt, melynek lényeges tuljdonság legyen, hogy (, b) = (c, d) pontosn kkor, h = c és b = d. A rendezett pár segítségével értelmezzük hlmzok szorztát Definíció. Legyen A, B hlmz. Az A és B Descrtes-szorzt Például A := {2, 3, 5}, B := {1, 3} esetén A B := {(, b) A és b B}. A B = {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3)}.
13 2.1. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A 5 A rendezett pár foglmár épül reláció Definíció. Azt mondjuk, hogy z r hlmz reláció, h minden eleme rendezett pár. Egy mgyr-ngol szótár is egy reláció, hiszen elemei mgyr és neki megfelelő ngol szóból lkotott rendezett párok Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció értelmezési trtomány Az r reláció értékkészlete z D(r) := {x vn olyn y, hogy (x, y) r}. R(r) := {y vn olyn x D(r), hogy (x, y) r}. Nyilván r D(r) R(r). Például r := {(4, 2), (4, 3), (1, 2)} esetén D(r) = {4, 1}, R(r) = {2, 3} Relációk inverze és kompozíciój Két eljárást muttunk be, mellyel dott reláció(k)ból újbb relációhoz juthtunk Definíció. Legyen r reláció. Az r reláció inverze z reláció, mely r 1 := {(s, t) (t, s) r}. Láthtó, hogy r := {(1, 3), (4, 2), (5, 2), (3, 3)} esetén r 1 = {(3, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 3)}. A mgyr-ngol szótár inverze z ngol-mgyr szótár. Értelmezzük relációk kompozícióját (összetett reláció, közvetett reláció) is Definíció. Legyen r, s reláció. Az s belső reláció és r külső reláció kompozíciój legyen r s := {(x, z) vn olyn y R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (x, y) s és (y, z) r}. Például s := {(1, 2), (1, 4), (2, 3)}, r := {(4, 3), (4, 4), (3, 5)} esetén r s := {(1, 3), (1, 4), (2, 5)}. Természetesen elkészíthető z s r reláció is, de ez most s r =. Áltlábn r s s r. Meglepően szép relációk kompozíciójánk inverze és z inverzek kompozíciójánk kpcsolt:
14 6 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 2.3. Tétel. Legyen r, s reláció. Ekkor (r s) 1 = s 1 r 1. Mivel hlmzok egyenlőségét szeretnénk igzolni, megmuttjuk, hogy 1.) (r s) 1 s 1 r 1 és 2.) s 1 r 1 (r s) Legyen (p, t) (r s) 1 (t, p) r s vn olyn q R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (t, q) s és (q, p) r nyilván (p, q) r 1 és (q, t) s 1 (p, t) s 1 r Legyen (u, w) s 1 r 1 vn olyn v R(r 1 ) D(s 1 ) = R(s) D(r) közvetítő elem, hogy (u, v) r 1 és (v, w) s 1 nyilván (w, v) s és (v, u) r (w, u) r s (u, w) (r s) Függvények A függvény speciális reláció Definíció. Legyen f reláció. Azt mondjuk, hogy z f függvény, h bármely (x, y) f és (x, z) f esetén y = z. Például r := {(1, 2), (2, 3), (2, 4)} nem függvény, hiszen (2, 3) r és (2, 4) r, de 3 4; z f := {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} viszont függvény. Néhány megállpodást teszünk függvények körében. H f függvény, kkor (x, y) f esetén y z f függvény x helyen vett helyettesítési értéke, vgy z f függvény z x-hez z y-t rendeli hozzá. Jelölésben: y = f(x). H f függvény és A := D(f), B pedig olyn hlmz, melyre R(f) B (nyilván A függvény értelmezési trtomány, B pedig függvény (egyik) képhlmz), kkor z f A B, f függvény kifejezés helyett z f : A B jelölést hsználjuk ( z f függvény z A hlmzt B hlmzb képezi ). H f függvény és D(f) A, R(f) B, kkor f : A B jelöli ezt ( f z A hlmzból B hlmzb képező függvény ). Például f := {(, α), (b, β), (g, γ), (d, δ), (e, ε)} függvény. Láthtó, hogy β z f függvény b helyen vett helyettesítési értéke, β = f(b). H L ltin betűk, G pedig görög betűk hlmz, kkor f : {, b, g, d, e} G, f() = α, f(b) = β, f(g) = γ, f(d) = δ, f(e) = ε. H csk függvény típusár krunk utlni, elég z f : L G. Természetesen egy függvénynek is vn inverze, ez zonbn nem biztos, hogy függvény lesz Definíció. Legyen f : A B függvény. Azt mondjuk, hogy z f kölcsönösen egyértelmű (injektív), h különböző x 1, x 2 A elemeknek különböző B-beli elemeket feleltet meg, zz bármely x 1, x 2 A, x 1 x 2 esetén f(x 1 ) f(x 2 ).
15 2.2. FELADATOK 7 Könnyen meggondolhtó, hogy kölcsönösen egyértelmű függvény inverze is függvény. Részletesebben: 2.4. Tétel. Legyen f függvény, A := D(f), B := R(f), f kölcsönösen egyértelmű. Ekkor z f inverze f 1 : B A olyn függvény, mely bármely s B ponthoz zt t A pontot rendeli, melyre f(t) = s, (röviden: bármely s B esetén f(f 1 (s)) = s.) Függvények kompozícióját is elkészíthetjük. Szerencsére ez mindig függvény lesz. Legyen g : A B, f : B C. Ekkor relációk kompozíciójánk felhsználásávl megmutthtó, hogy f g : A C, bármely x A esetén (f g)(x) = f(g(x)). Például g függvény minden szám duplájához 1-et djon hozzá (g : R R, g(x) := 2x + 1); z f függvény pedig minden számot emeljen négyzetre (f : R R, f(x) := x 2 ), kkor f g : R R, (f g)(x) = (2x + 1) 2 lesz z f és g kompozíciój. További hsznos foglmk Legyen f : A B és C A. Az f függvény C-re vló leszűkítése z z f C : C B függvény, melyre bármely x C esetén f C (x) := f(x). Legyen f : A B, C A és D B. Az f(c) := {y vn olyn x C, melyre f(x) = y} hlmzt C hlmz f függvénnyel létesített képének nevezzük. Az f 1 (D) := {x f(x) D} hlmz D hlmz f függvényre vontkozó ősképe. (Vigyázt! Az f 1 nem inverzfüggvényt jelöl ebben z esetben.) 2.2. Feldtok 1. Legyen A := {2, 4, 6, 3, 5, 9}, B := {4, 5, 6, 7}, H := {n n egész szám, 1 n 20}. Készítse el z A B, A B, A \ B, B \ A hlmzokt. Mi lesz z A hlmz H-r vontkozó A komplementere? 2. Legyen A := {, b}, B := {, b, c}. A B =? B A =? 3. Legyen r := {(x, y) x, y vlós szám, y = x 2 }. r 1 =? Függvény-e z r? Függvény-e z r 1? 4. Legyen f : R R, f(x) := x 1+x 2. Készítse el z f f, f (f f) függvényeket.
16 8 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 5. Gondoljuk végig egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzének szemléltetését! 6. Gondoljuk meg, hogy egy f : A B kölcsönösen egyértelmű függvény inverzét következő lépésekkel lehet előállítni: 1) Felírjuk, hogy y = f(x). 2) Felcseréljük z x és y változókt : x = f(y). 3) Ebből z egyenletből kifejezzük z y-t z x segítségével: y = g(x). Ez g lesz éppen z f 1 inverzfüggvény. Például: f : R R, f(x) = 2x 1. (Ez kölcsönösen egyértelmű függvény.) 1) y = 2x 1 2) x = 2y 1 3) x + 1 = 2y, y = 1 2 (x + 1). Tehát f 1 : R R, f 1 (x) = 1 2 (x + 1). Szemléltesse is z f és f 1 függvényt! 7. Legyen f : A B, C 1, C 2 A, D 1, D 2 B. Mutssuk meg, hogy f(c 1 C 2 ) = f(c 1 ) f(c 2 ) f(c 1 C 2 ) f(c 1 ) f(c 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ) f 1 (D 1 D 2 ) = f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 ). Igz-e, hogy h C 1 C 2, kkor f(c 1 ) f(c 2 )? Igz-e, hogy h D 1 D 2, kkor f 1 (D 1 ) f 1 (D 2 )? 8. Legyen f : A B, C A, D B. Igz-e, hogy f 1 (f(c)) = C? Igz-e, hogy f(f 1 (D)) = D? 2.3. Hlmzok, relációk, függvények E A rendezett párt lpfoglomnk tekintettük, de lehetőség vn hlmzok segítségével bevezetni rendezett pár foglmát Definíció. Legyen és b. Az (, b) rendezett pár legyen (, b) := {{}, {, b}}. Ezzel z értelmezéssel igzolhtó rendezett párt jellemző tuljdonság Tétel. (, b) = (c, d) = c és b = d. Bizonyítás. ( ) Legyen {{}, {, b}} = {{c}, {c, d}}. 1. Vgy {} = {c}, miből = c következik. Továbbá {, b} = {c, d}, de = c mitt b = d lehet csk.
17 2.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 9 2. Vgy {} = {c, d}, miből c = d és így = c = d következik. Ekkor (c, d) = {{}}, de kkor {} = {, b} is igz, így = b. Tehát = b = c = d. ( ) Nyilvánvló! Ekvivlenci és rendezési reláció A mtemtik néhány kényes foglmát relációkkl és függvényekkel hozzuk kpcsoltb Definíció. Legyen H, r H H, D(r) = H reláció. Azt mondjuk, hogy 1. r reflexív, h x H esetén (x, x) r; 2. r szimmetrikus, h (x, y) r esetén (y, x) r; 3. r ntiszimmetrikus, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, x) r, kkor x = y; 4. r trnzitív, h minden olyn esetben, mikor (x, y) r és (y, z) r, kkor (x, z) r Definíció. H z r reláció reflexív, szimmetrikus és trnzitív, kkor r ekvivlenci-reláció Definíció. H z r reláció reflexív, ntiszimmetrikus és trnzitív, kkor r rendezési reláció. Legyen egy ekvivlenci-reláció H hlmzon (D( ) = H). Állpodjunk meg bbn, hogy (x, y) helyett z x y jelölést hsználjuk. A ekvivlenci-reláció segítségével H hlmzt részhlmzokr bontjuk következő lépésekkel. α) Legyen x H. Az x-hez trtozó ekvivlenci-osztály x / := {y y H, x y}. β) Könnyen beláthtó, hogy h x, z H, kkor vgy x / = z /, vgy x / z / =. Ez zt jelenti, hogy H hlmz felbonthtó közös pont nélküli ekvivlenci-osztályokr. γ) Legyen H / := {X x H, hogy X = x / }. A H / z ekvivlenci-osztályok hlmz. Igzolhtó, hogy
18 10 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK 1. H / elemei közös pont nélküliek ( β) pontbn ezt foglmztuk meg), 2. H / elemeinek (hlmzoknk) z egyesítése kidj H hlmzt. Lássunk két fontos példát erre z eljárásr. 1. Legyen T törtek hlmz, zz { } p T = p, q egész szám, q 0. q A T hlmzon értelmezünk egy relációt: b c d = bc. d Végiggondolhtó, hogy ekvivlenci-reláció. Ekkor b / ekvivlenci-osztályb beletrtozik z összes olyn tört, mely egyenlő z b -vel. A T / hlmz pedig olyn közös elem nélküli hlmzokr vló felbontás T törtek hlmzánk, melyek egyesítéseként visszkpjuk T hlmzt. Az b / egy rcionális szám, T / pedig rcionális számok hlmz. Így válik érthetővé, hogy 1 2 egyenlő 2 4 -del, 6 12-del, hiszen ezek törtek reprezentánsi z 1 2/ rcionális számnk, és rcionális számokkl végzett műveletek során mindig megfelelő reprezentánst húzzuk elő z osztályból. Például zt sugllj, hogy = = / / = 3 6 / / = 7 6 /. 2. A másik példábn E legyen egy sík irányított szkszink hlmz. Bevezetünk E-n egy relációt: legyen b, h z szksz párhuzmos b-vel, zonos irányúk és egyform hosszúk. Könnyen láthtó, hogy ekvivlenci-reláció. Az / trtlmzz z -vl párhuzmos, vele zonos irányú és hosszúságú irányított szkszokt. Egy ilyen osztály legyen egy vektor. Az E / sík vektorink hlmz. Így válik érthetővé, hogy vektorok összedásánál z egyik vektort eltoljuk úgy, hogy két vektor kezdőpontj megegyezzék. Vlójábn mindkét vektorból z lklms reprezentáns irányított szkszt húzzuk elő, zokkl végezzük el műveletet, és z eredő irányított szkszhoz trtozó ekvivlenci-osztály lesz z összedás eredő vektor.
19 2.3. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK E 11 A rendezési relációkkl kpcsoltbn csk két egyszerű példát tárgylunk. Legyen N pozitív egész számok hlmz. Legyen z reláció, melyre b, h vn olyn nemnegtív c egész, hogy + c = b. Ez vlóbn rendezési reláció. Még z is igz, hogy bármely, b N esetén vgy b, vgy b. Az N pozitív egészek hlmzán egy másik relációt is bevezethetünk. Azt mondjuk, hogy osztój b-nek, h vn olyn k pozitív egész, hogy b = k. Az oszthtóság reláció reflexív ( = 1), ntiszimmetrikus (h b = k és = bl, kkor b = blk, miből lk = 1, de ez csk k = 1 és l = 1 esetén igz, tehát = b) és trnzitív (h b = k, c = bl, kkor c = kl, zz osztój c-nek), tehát z oszthtóság is rendezési reláció z N hlmzon. Csk nem olyn szép, mint volt, hiszen, vn olyn, b N, melyre nem osztój b-nek, és b sem osztój -nk. (Például := 4 és b := 7.) Hlmzok számosság Gykrn hsonlítjuk össze hlmzok elemszámát, ezt formlizáljuk z lábbi definícióbn Definíció. Legyen A, B hlmz. Azt mondjuk, hogy A számosság egyenlő B számosságávl, h vn olyn φ : A B függvény, melyre R(φ) = B, és φ kölcsönösen egyértelmű. [Az ilyen φ függvényt bijekciónk nevezzük A és B között.] Például pozitív egészek N hlmz és pozitív páros számok P hlmz egyenlő számosságú, hiszen φ : N P, φ(n) := 2n függvény bijekció N és P között Definíció. Legyen A hlmz. Azt mondjuk, hogy A végtelen (számosságú) hlmz, h A A, A A, hogy φ : A A bijekció. Az előbbi péld éppen zt muttj, hogy N végtelen hlmz Definíció. Legyen A végtelen hlmz. Azt mondjuk, hogy A megszámlálhtó, h φ : N A bijekció. Meglepő, de rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó. Írjuk fel z 1, 2, 3,..., n,... nevezőjű törteket soronként
20 12 2. FEJEZET. HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK A φ : N Q bijekciót úgy készítjük, hogy φ(1) := 0 1, φ(2) := 1 1, φ(3) := 1 2, φ(4) := 1 2,... A rjz szerinti lépegetéssel hldunk, ügyelve rr, hogy olyn törtet ugorjunk át, mely már egyszer sorr került. Ezzel biztosítjuk, hogy vlóbn kölcsönösen egyértelmű mrdjon függvényünk. Láthtó z is, hogy előbb-utóbb minden rcionális számhoz eljutunk, így φ bijekció lesz N és Q között, mi zt jelenti, hogy Q megszámlálhtó.
21 3. fejezet Számhlmzok Kiskorunktól számolunk vlós számokkl, összedjuk, szorozzuk, osztjuk őket, htványozunk, bszolút értékét vesszük számoknk. Egyenleteket, egyenlőtlenségeket rendezünk. Most lefektetjük zt viszonylg egyszerű szbályrendszert, melyből megtnult eljárások levezethetők. Az lábbi témköröket tárgyljuk. Vlós számok hlmz Természetes számok hlmz Egész számok és rcionális számok hlmz Felső és lsó htár Intervllum és környezet Htványozás definíciój és zonossági Komplex számok hlmz Komplex szám trigonometrikus lkj, műveletek 3.1. Vlós számok A A vlós számok xiómrendszere Legyen R nem üres hlmz. Tegyük fel, hogy vn még egy összedásnk nevezett + : R R R és egy szorzásnk nevezett : R R R függvény is, melyek következő tuljdonságokkl rendelkeznek: 1. bármely, b R esetén + b = b + (kommuttivitás) 2. bármely, b, c R esetén + (b + c) = ( + b) + c (sszocitivitás) 13
22 14 3. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK 3. vn olyn 0 R elem, hogy bármely R esetén + 0 = (0 z összedásr nézve semleges elem) 4. bármely R esetén vn olyn R ellentett elem, hogy + ( ) = 0. m1. bármely, b R esetén b = b m2. bármely, b R esetén (b c) = ( b) c m3. vn olyn 1 R elem, hogy bármely R esetén 1 = (1 szorzásr nézve semleges elem) m4. bármely R \ {0} esetén vn olyn 1 R reciprok elem, hogy 1 = 1. d. bármely, b, c R esetén (b+c) = b+c (disztributív szorzás z összedásr nézve) Láthtó, hogy szorzás szbályrendszere 4. követelményben lényegesen eltér z összedástól (egyébként nem is különbözne z összedás és szorzás). A d. is z eltérést erősíti. Tegyük fel, hogy R-en vn egy olyn (kisebb vgy egyenlőnek nevezett) rendezési reláció, mely még következő tuljdonságokkl rendelkezik: r1. bármely, b R esetén vgy b, vgy b. r2. minden olyn esetben, mikor b és c R tetszőleges szám, kkor +c b+c. r3. minden olyn esetben, mikor 0 és 0 b, kkor 0 b. Állpodjunk meg bbn, hogy z b, b helyett < b jelölést hsználunk. (Sjnos < nem rendezési reláció, mert nem reflexív.) Az 1. 4., m1. m4., d., r1. r3. lpján levezethető z összes egyenlőséggel és egyenlőtlenséggel kpcsoltos szbály. Kiegészítésül három foglmt külön is megemlítünk Definíció. Legyen, b R, b 0. Ekkor b := 1 b. Az osztás tehát elvégezhető vlós számokkl Definíció. Legyen x R. Az x bszolút értéke { x, h 0 x x := x, h x 0, x 0. Hsznosk z bszolút értékkel kpcsoltos egyenlőtlenségek.
23 3.1. VALÓS SZÁMOK A Bármely x R esetén 0 x. 2. Legyen x R és ε R, 0 ε. Ekkor x ε, és x ε x ε. 3. Bármely, b R esetén + b + b (háromszög-egyenlőtlenség) 4. Bármely, b R esetén b b. Könnyen igzolhtók ezek z állítások. A 4. bizonyítását megmuttjuk. Tekintsük z = b + b egyenlőtlenséget. Ekkor 3. szerint = b + b b + b. Az r2. szerint b számot mindkét oldlhoz hozzádv nem változik z egyenlőtlenség + ( b ) = b b (3.1) Hsonló meggondolássl b = b + b = b + b + b b / ( b ) b = b (3.2) Az (3.1) és (3.2) 2. tuljdonság szerint (x := b ; ε := b szereposztássl) éppen zt jelenti, hogy b b Természetes, egész és rcionális számok Most elkülönítjük z R egy nevezetes részhlmzát. Legyen N R olyn részhlmz, melyre 1 o 1 N 2 o bármely n N esetén n + 1 N 3 o bármely n N esetén n (z 1 z első elem) 4 o bból, hogy ) S N b) 1 S c) bármely n S esetén n + 1 S következik, hogy S = N. (Teljes indukció.) Az R-nek z ilyen N részhlmzát természetes számok hlmzánk nevezzük. Kiegészítésül álljon itt még néhány megállpodás: Z := N {0} {m R m N} z egész számok hlmz Q := {x R hlmz vn olyn p Z, q N, hogy x = p q } rcionális számok
24 16 3. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK Q := R \ Q z irrcionális számok hlmz Az N segítségével műveleti, rendezési szbályrendszer mellé hrmdik követelményt illesztjük z R-hez. Archimedesz-xióm: Bármely, b R, 0 < számokhoz vn olyn n N, hogy b < n. Az Archimedesz-xióm következményeként megmuttjuk, hogy bármely K R számhoz vn olyn n N természetes szám, melyre K < n, ugynis z := 1, b := K szereposztássl z xióm ilyen természetes számot biztosít. Megmuttjuk zt is, hogy bármely ε R, 0 < ε esetén vn olyn n N természetes szám, hogy 1 n < ε, ugynis legyen := ε és b := 1. Az xióm szerint vn olyn n N, hogy 1 < n ε. Rendre lklmzv megfelelő szbályt 1 < nε / + ( 1) 0 < nε 1 / 1 n 0 < 1 n (nε 1) = ε 1 n 1 n < ε. / + 1 n Az Archimedesz-xiómávl sem vált még minden igényt kielégítővé z R. Szükségünk lesz egy utolsó xiómár, melyet néhány foglomml készítünk elő Felső és lsó htár 3.3. Definíció. Legyen A R, A. Azt mondjuk, hogy A felülről korlátos számhlmz, h vn olyn K R, hogy bármely A esetén K. Az ilyen K z A hlmz egyik felső korlátj. Legyen A R, A felülről korlátos hlmz. Tekintsük B := {K R K felső korlátj z A hlmznk} hlmzt. Legyen α R B hlmz legkisebb eleme, zz olyn szám, melyre 1 o α B (α is felső korlátj z A hlmznk) 2 o bármely K B felső korlátr α K. A kérdés csupán z, hogy vn-e ilyen α R. Felső htár xiómáj: Minden felülről korlátos A R, A hlmznk vn
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Jegyzetek és példtárk mtemtik egyetemi okttásához sorozt Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolultság Anlitikus módszerek pénzügyben és közgzdságtnbn Anlízis feldtgyűjtemény I Anlízis
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Mezei István, Frgó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék ii Trtlomjegyzék 1. Hlmzok, relációk, függvények 1 1.1. Hlmzok,
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE földtudomány szakos hallgatók számára Mezei István, Faragó István, Simon Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék ii Tartalomjegyzék
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z
RészletesebbenAnalízis II. harmadik, javított kiadás
Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenAnalízis jegyzet. Sikolya Eszter ELTE TTK Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék augusztus 31.
Anlízis jegyzet Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 207. ugusztus 3. Trtlomjegyzék. Bevezetés.. Logiki állítások, műveletek, tgdás.....................2. Bizonyítási módszerek............................
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenAnalízis jegyzet Matematikatanári Szakosok részére
Anlízis jegyzet Mtemtiktnári Szkosok részére Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 203. július 2. Előszó Ez jegyzet elsősorbn z áltlános iskoli és középiskoli Mtemtiktnári
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
RészletesebbenHatározott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál
Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett
RészletesebbenANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
Részletesebben= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1
Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n
RészletesebbenGazdasági matematika I. tanmenet
Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.
Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenHatározzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (
9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Részletesebben9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó
RészletesebbenMatematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică
András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA I.
GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenLajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1
Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebbenf függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)
Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
Részletesebben1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMatematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2
Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat
Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete
Részletesebben1. Halmazelméleti alapok
1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
Részletesebbena b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a
44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenImproprius integrálás
Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenMinta feladatsor I. rész
Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése
Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenEgy látószög - feladat
Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
Részletesebben11. évfolyam feladatsorának megoldásai
évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor
RészletesebbenBSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév
BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenDifferenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke
Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenBevezetés a funkcionálanalízisbe
Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált
RészletesebbenMATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok
MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebben4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!
Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben