Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Átírás

1 Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás

2 Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek Normált terek és tuljdonságik Metrikus és normált terek teljessé tétele Bnch-terek Véges dimenziós normált terek Az L p (Ω) terek Egyváltozós Szoboljev-terek Elsőrendű Szoboljev-terek Mgsbbrendű Szoboljev-terek L(X, Y ), mint normált tér Hilbert-terek Ortogonlitási tuljdonságok Hilbert-terekben Fourier-sorok Hilbert-térben Folytonos lineáris funkcionálok normált térben Normált tér duális Folytonos lineáris funkcionálok kiterjesztése Normált terek második duális Folytonos lineáris operátorok Bnch-térben Bnch Steinhus-tétel Zárt lineáris leképezések Bnch nyílt leképezés és zárt gráf tétele Folytonos lineáris operátorok Hilbert-térben Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert-térben Gyenge konvergenci Operátorok Hilbert-djungáltj Speciális operátortípusok Öndjungált operátorok Operátoregyenletek megoldhtóság Integrálegyenletek Peremértékfeldtok gyenge (áltlánosított) megoldás Projektorok Izometrikus és unitér operátorok Fourier-trnszformáció Kompkt operátorok Hilbert-térben

3 8. Sjátérték és spektrum Spektrális tuljdonságok Hilbert-térben Kompkt öndjungált operátorok spektrum A. Metrikus terek 61 B. Zorn-lemm 70 C. A ktegóri-tétel 71 C.1. Ktegóri-tétel R-ben C.2. Ktegóri-tétel teljes metrikus térben C.3. Két érdekes ellenpéld elemi nlízisből Irodlomjegyzék 76 3

4 Előszó Ez jegyzet Krátson János áltl őszén lklmzott mtemtikusok számár trtott Funkcionálnlízis című elődás lpján készült. Több helyen zonbn kiegészítettem z elődáson csk vázltosn vgy esetleg úgy sem szerepelt tételekkel és/vgy bizonyításokkl. Így került jegyzetbe gyenge konvergenci foglm, nyílt leképezés és zárt gráf tétel témkörének kifejtése, kompkt operátorok részletesebb tárgylás. A függelékben röviden összefoglltm már ismertnek feltételezett metrikus terek elméletét és külön fejezet fogllkozik Bire ktegóritételével is. Mivel jegyzet csk bevezetést nyújt mtemtik ezen önmgábn és z lklmzások szempontjából is érdekes ágáb, z érdeklődő hllgtók számár jvsoljuk z irodlomjegyzékben szereplő könyvek illetve jegyzetek tnulmányozását. Kiemelném ezek közül [4]-et, mi nemcsk felhsznált topológii lpfoglmkt trtlmzz, hnem sok mást is: numerikus módszereket, integrálelméletet és függvénytereket is, vgyis zt, mi nlízisből hozzátrtozik mtemtiki műveltséghez. Szeretném megköszönni doktorndusztársimnk (Antl István és Besenyei Ádám), jegyzet nemhivtlos lektorink segítségét felmerült problémák megoldásábn. Sokt segítettek nemcsk z elírások, hnem lényeges hibák megkeresésében is. Ugynitt kell még megemlítenem, hogy normált- és Hilbert-terekről szóló fejezetek lpfoglminál Czách László nlízis elődásir, illetve kézirtos jegyzeteire is támszkodtm, ktegóri-tételről szóló függelék összeállításánál pedig Buczolich Zoltán elődási jelentettek ngy segítséget. 4

5 1. fejezet Normált terek Ebben fejezetben bevezetjük z nlízis egyik leglpvetőbb struktúráját, normált tér foglmát. Korábbi tnulmányink során már - remélhetőleg - tlálkoztunk ngyon hsznosnk bizonyult metrikus tér foglmávl, mely egy olyn hlmz volt, melyen dott egy távolságfüggvény. Viszont z elemek között semmilyen összefüggésnek sem kellett fennállni, így műveleteket sem tudtunk elvégezni hlmz elemei között. Ezen segít normált tér foglm, mely egy lgebri struktúráltságot is megkövetel z lphlmztól. Mivel metrikus terek elméletét ismertnek tételezzük fel, ezért függelékben ismertetjük szükséges tudnivlókt és összefoglljuk zokt z eredményeket, melyekre később szükségünk lehet Normált terek és tuljdonságik 1.1. Definíció. Az (X, ) párt normált térnek nevezzük, h X egy K-feletti vektortér, hol K = C vgy R, továbbá : X R + egy olyn függvény, mely teljesíti z lábbi normxiómákt: 1. Minden x X-re x 0 és x = 0 x = 0; 2. Minden λ K-r és x X-re λx = λ x ; 3. Minden x, y X-re x + y x + y. Példák normált terekre: Tekintsük vlós számok hlmzát, mint önmg feletti vektorteret következő normávl: x := x, zz szokásos bszolútérték. Hsonlón normált tér lesz (R n, 2 ), hol 2-es index szokásos euklideszi normát jelenti, zz egy x R n -re x 2 = (x 1, x 2,..., x n ) 2 = n i=1 x2 i. Az előző teret más normákkl is elláthtjuk, fontosk z úgynevezett p-normák, hol egy x R n esetén ( n ) 1/p x i p h 1 p < + x p = i=1 mx x i h p = +. 1 i n H legyen tetszőleges nemüres hlmz és legyen B(H) H-n értelmezett vlós vgy komplex értékű korlátos függvények hlmz. Egy f B(H)-r legyen f = sup H f. 5

6 Legyen I = [, b] egy dott kompkt intervllum és legyen C(I) z I-n értelmezett folytonos függvények hlmz. f mx = sup I f = mx I f. Ugynezen téren megdhtó más norm is, legyen f 1 = I f. Ekkor (C(I), mx ) és (C(I), 1 ) normált terek. Minden normált tér egyben metrikus tér is, ugynis h (X, ) normált tér, x, y X, kkor ϱ(x, y) = x y egy metrikát definiál X-en és ezzel normából szármzttott metrikávl (X, ϱ) metrikus tér is egyben. Felmerülhet tehát z kérdés, hogy h dott egy metrikus tér, kkor bevezethető-e olyn norm téren, hogy z áltl indukált metrik megegyezik z eredetivel, zz elláthtó-e egy metrikus tér normált tér struktúrávl. Természetesen metrikus tér lphlmzánk vektortérnek kell lennie hhoz, hogy kérdés értelmes legyen. A válsz nemleges, vn olyn metrikus tér, melyen nem lehet olyn normát megdni, mi visszdná z eredeti metrikát Lemm. Normált térben minden x, y X-re x y x y. Bizonyítás. Mivel x = (x y) + y, ezért x x y + y, zz x y x y. Mivel x és y szerepe szimmetrikus, ezért y x y x is igz, miből z állítás következik Következmény. A norm folytonos függvény, zz h x n x, kkor x n x. Bizonyítás. Az előző lemm szerint x n x x n x 0, h n Állítás. Az (X, ) normált térben z összedás és sklárrl vló szorzás műveletei folytonosk. Bizonyítás. Legyenek x, y X, (x n ) és (y n ) olyn X-beli soroztok, hogy x n x, y n y és (λ n ) z lptest egy sorozt, melyre λ n λ. Ekkor (x + y) (x n + y n ) x x n + y y n 0, λx λ n x n = λx λx n + λx n λ n x n λ x x n + λ λ n x n 0, mert z (x n ) sorozt konvergenciájából következik, hogy ( x n ) korlátos Definíció. Legyenek X és Y ugynzon számtest feletti vektorterek. Jelölje Hom(X, Y ) z X-en értelmezett Y -b képező lineáris leképezések vektorterét. Mivel folytonosságot szeretnénk definiálni, továbbikbn tegyük fel, hogy tereink normált terek is egyben Definíció. H (X, ) és (Y, ) normált terek, kkor Hom(X, Y )-bn egy részhlmzt (sőt lteret) lkotnk folytonos lineáris leképezések, melyek hlmzát jelölje L(X, Y ). A következő állítás meglepő lehet zok számár, kik eddig csk vlósból vlósb képező függvényekkel tlálkoztk. Ott ugynis egy függvény dott pontbeli folytonosságából ugynez tuljdonság nem következik többi pontr is, hiszen például megdhtó olyn függvény, mely pontosn egy pontbn folytonos. Lineáris leképezések esetén nem ez helyzet Állítás. Egy A Hom(X, Y ) pontosn kkor folytonos egy x 0 X pontbn, h A z egész téren folytonos. Bizonyítás. Nyílván elég z bizonyítni, hogy z x 0 -beli folytonosságból következik, hogy A L(X, Y ). Legyen y X és lássuk be, hogy A szekvenciálisn folytonos y-bn, zz h y n y, kkor Ay n Ay. Ay n = A(y n y + x 0 + y x 0 ) = A(y n y + x 0 ) + Ay Ax 0. Mivel y n y + x 0 x 0, ezért z x 0 -beli folytonosság mitt A(y n y + x 0 ) Ax 0, emitt Ay n Ay. Vgyis egy lineáris leképezés vgy mindenhol folytonos, vgy seholsem z. 6

7 1.8. Definíció. Egy A Hom(X, Y ) lineáris leképezést korlátosnk nevezünk, h létezik olyn K 0 állndó, hogy minden x X esetén Ax K x. A korlátos lineáris leképezések hlmzát jelölje B(X, Y ). Az elnevezés kissé megtévesztő, ugynis nem zt mondj, hogy A képtere korlátos hlmz. Például h X = Y = R szokásos normávl, kkor z identikus leképezés fenti definíció szerint korlátos (K = 1 megfelelő válsztás, de függvény képtere z egész R). Érdemes inkább úgy gondolni korlátos lineáris leképezésekre, hogy z egységgömb képe korlátos hlmz, nevezetesen képhlmz benne vn 0 középpontú K sugrú gömbben. Tehát h A B(X, Y ), kkor z egységgömb képe korlátos hlmz. Ez fordítv is igz, nevezetesen 1.9. Állítás. H A Hom(X, Y ) z egységgömböt korlátos hlmzb viszi, kkor A B(X, Y ). Bizonyítás. A feltevés szerint A(B(0, 1)) Y korlátos hlmz, zz létezik K 0, hogy minden x B(0, 1)-re Ax K. Legyen x 0 tetszőleges, ekkor x 2 x = 1/2, ezért ( ) x A = 1 Ax K, 2 x 2 x zz Ax 2K x. Ez nyílván x = 0-r is teljesül, ezzel bizonyítás kész. Felmerül kérdés, hogy folytonos, illetve korlátos lineáris leképezések hlmzi hogyn viszonyulnk egymáshoz Tétel. L(X, Y ) = B(X, Y ), zz egy lineáris leképezés pontosn kkor folytonos, h korlátos. Bizonyítás. Legyen A B(X, Y ). Ekkor létezik K 0, hogy Ax K x minden x X-re. Vegyünk egy nullához trtó X-beli soroztot: x n 0. Ekkor Ax n A0 = Ax n K x n = K x n 0 0, h n. A fentiek szerint A folytonos nullábn, így z egész téren is. A másik irányhoz tegyük fel, hogy A L(X, Y ). Ekkor speciálisn A folytonos 0 X pontbn is, zz ε > 0-hoz δ > 0, hogy h x δ, kkor Ax ε. Legyen x X tetszőleges nemnull elem és tekintsük x x δ X-et. Ekkor x x δ = δ, tehát A A lineritásást felhsználv kpjuk, hogy Ax ε δ x. ( ) x x δ < ε. Az egyenlőtlenség nyílván x = 0-r is igz, vgyis A korlátos. Meg kell zonbn jegyeznünk, hogy normált terek elméletének vnnk olyn áltlánosítási ( lokálisn konvex terek elmélete), hol szintén értelmezhető folytonos és korlátos operátorok foglm, de z X térre tett egyéb feltételek nélkül csk z L(X, Y ) B(X, Y ) trtlmzás teljesül Metrikus és normált terek teljessé tétele A most következő fejezetben megmuttjuk, hogy egy metrikus teret teljessé lehet tenni lklms elemek hozzávételével. A módszer lényege, hogy nem teljes tér esetén vnnk olyn Cuchysoroztok, melyek nem konvergensek, de limeszeikkel kiegészítve teret már zok leszenek. Természetesen ez nem olyn egyszerű, hiszen nemlétező limeszeket nehéz hozzávenni vlmihez. Az eljárás lpelve hsonló lesz hhoz, mint mikor lgebrábn megmuttják, hogy egy test lgebri elemmel vló bővítése előáll, mint vlmilyen mrdékosztálygyűrű, hol z elem minimálpolinomj áltl generált főideálll fktorizálják le kiindulási test feletti polinomgyűrűt. 7

8 1.11. Definíció. Az (X, ϱ) és (Y, d) metrikus terek izometrikusk, h vn X és Y között metriktrtó bijekció Megjegyzés. Izometri esetén vlójábn elég bijekció helyett szürjekciót megkövetelni, ugynis metriktrtó leképezések utomtikusn injektívek Tétel. Legyen (X, ϱ) metrikus tér. Ekkor ) létezik egy (X, ϱ) teljes metrikus tér és ennek egy Y X ltere, hogy (X, ϱ) és (Y, ϱ Y Y izometrikusk, vlmint Y sűrű ltér X-bn. Bizonyítás. Legyen S z X-beli Cuchy-soroztok hlmz és vezessünk be következő relációt: (x n ) (y n ) lim n ϱ(x n, y n ) = 0. Ez könnyen láthtón egy ekvivlenci-reláció, így tekinthetjük z ekvivlenci-osztályokt, legyen ez X = S/. Tehát z új tér Cuchy-soroztok ekvivlenci-osztályiból fog állni és ezen szeretnénk most metrikát definiálni. Legyen ξ, η X két osztály és legyen ϱ(ξ, η) := lim ϱ(x n, y n ), hol (x n ) ξ, (y n ) η z n osztályok egy-egy reprezentáns eleme. Természetesen be kell látni, hogy ez z osztályok között definiált távolság nem függ reprezentáns soroztoktól és persze limesz is létezik. A ϱ(x n, y n ) ϱ(x m, y m ) ϱ(x n, y n ) ϱ(x n, y m ) + ϱ(x n, y m ) ϱ(x m, y m ) ϱ(x n, y n ) ϱ(x n, y m ) + ϱ(x n, y m ) ϱ(x m, y m ) ϱ(y n, y m ) + ϱ(x n, x m ) egyenlőtlenség szerint (ϱ(x n, y n )) vlós Cuchy-sorozt, így konvergens is, tehát kérdéses limesz létezik. Kell még jóldefiniáltság. Ehhez legyenek (x n ), ( x n ) ξ, (y n ), (ỹ n ) η reprezentánsok megfelelő osztályokból. Ekkor ϱ(x n, y n ) ϱ( x n, ỹ n ) ϱ(x n, y n ) ϱ( x n, y n ) + ϱ( x n, y n ) ϱ( x n, ỹ n ) ϱ(x n, x n ) + ϱ(y n, ỹ n ), és mivel (x n ) ( x n ) és (y n ) (ỹ n ), ezért jobb oldl nullához trt, h n trt végtelenhez, így limesz vlóbn nem függ reprezentáns soroztok válsztásától. Ezzel kívánt metrikus terünk előállt. Könnyen beláthtó, hogy bevezetett ϱ : X X R + függvény vlóbn metrik, hiszen ϱ z volt és limeszképzés megőrzi metriktuljdonságokt. Igzolni kell, hogy vn X-szel izometrikus sűrű ltere, vlmint tér teljes is. H x X, kkor z (x) := (x, x,...) konstns sorozt nyílván Cuchy-sorozt, ezért benne vn vlmelyik ekvivlenci-osztálybn, legyen ez ξ x X. Legyen Y := {ξ x : x X} X. Ekkor X és Y izometrikusk, hol z izometriát két tér között z x ξ x hozzárendelés dj meg. Ez nyílván szürjekció és metriktrtó is, mert ϱ(ξ x1, ξ x2 ) = lim n ϱ(x 1, x 2 ) = ϱ(x 1, x 2 ). Most belátjuk, hogy Y lezártj X, zz Y sűrű ltér. Legyenek ξ X és ε > 0 dottk, be kell látni, hogy létezik olyn ξ x Y, hogy ϱ(ξ, ξ x ) ε. Mivel ξ egy osztály, vegyünk ki belőle egy (x n ) ξ Cuchy-soroztot. Az dott ε-hoz létezik N, hogy minden n, m N-re ϱ(x n, x m ) ε. Legyen (x N ) z (x N, x N,...) sorozt. Nyílván (x N ) ξ xn. Ennek z osztálynk távolság ξ-től ϱ(ξ, ξ xn ) = lim n ϱ(x n, x N ) ε. Végül belátjuk, hogy (X, ϱ) teljes. Ehhez vegyünk egy (ξ k ) Cuchy-soroztot X-bn. Ez tehát ekvivlenci-osztályokból álló sorozt. Rögzített n N esetén ξ n egy osztály és Y sűrűsége mitt 8

9 ε = 1/n-hez vn olyn ξ xn Y, hogy ϱ(ξ n, ξ xn ) 1/n. Tekintsük z (x n ) soroztot X-ben. Ez egy Cuchy-sorozt lesz, ugynis z izometri mitt ϱ(x n, x m ) = ϱ(ξ xn, ξ xm ) ϱ(ξ xn, ξ n ) + ϱ(ξ n, ξ m ) + ϱ(ξ m, ξ xm ) 1 n + ϱ(ξ n, ξ m ) + 1 m és ez tetszőlegesen kicsi lehet, h n, m elég ngy. Ezért benne vn vlmelyik osztálybn, legyen (x n ) ξ. Megmuttjuk, hogy (ξ k ) sorozt éppen ehhez ξ-hez konvergál. H most k, kkor ϱ(ξ k, ξ) ϱ(ξ k, ξ xk ) + ϱ(ξ xk, ξ) 1 k + ϱ(ξ x k, ξ) lim k ϱ(ξ x k, ξ) = lim k lim n ϱ(x k, x n ) = 0, mert (x n ) Cuchy-sorozt. Vgyis lim n ϱ(ξ k, ξ) = 0 és ezt kellett bizonyítni Megjegyzés. Tehát minden metrikus tér beágyzhtó sűrű ltérként egy teljes metrikus térbe. Ez tér izometri erejéig egyértelmű és z (X, ϱ) metrikus tér teljessé tételének nevezzük. Most hsonló tételt fogunk bizonyítni normált terek teljessé tételéről. Minden normált teret be lehet ágyzni sűrű ltérként egy teljes normált térbe művelet- és normtrtó módon Definíció. Egy teljes normált teret Bnch-térnek nevezük Definíció. Az (X, 1 ) és (Y, 2 ) normált terek izometrikusn izomorfk, h vn X és Y között lgebri izomorfizmus, zz művelettrtó bijekció, mely egyben normtrtó is Tétel. Legyen (X, ) normált tér, ekkor létezik ( X, ) ) Bnch-tér és egy Y X sűrű ltér, melyre (Y, Y izometrikusn izomorf (X, )-vl. Bizonyítás. Bevezetve X-en ϱ(x, y) = x y norm áltl indukált metrikát, z előző tétel szerint létezik (X, ϱ) teljessé tétele. X zonbn még csk metrikus tér. Be fogjuk látni, hogy megfelelő módon bevezetve vektortér-műveleteket, X teljes normált tér, és X nem csk izometrikus, hnem izomorf is megfelelő ltérrel. Legyenek (x n ), (y n ) egy-egy ekvivlenci-osztály reprezentánsi. A megfelelő osztályokt jelölje ξ = (x n ) és η = (y n ). Definiáljuk z osztályok közötti összedás és sklárrl vló szorzás műveletét. ξ + η := A z n = (x n + y n ) nyílván Cuchy-sorozt, mert (x n + y n ), c ξ := (cx n ). z n z m = (x n + y n ) (y n + y m ) x n x m + y n y m n,m 0, tehát vn értelme rról z osztályról beszélni, melynek (z n ) reprezentáns. Hsonlón korábbi tételhez, most is be kell látni, hogy művelet jóldefiniált. Vegyünk tehát két másik reprezentánsát z osztályinknk, (ˆx n ) ξ és (ŷ n ) η-t. Be kell látnunk, hogy (x n +y n ) és (ˆx n +ŷ n ) ugynbbn z osztálybn vnnk, másszóvl ekvivlensek. ϱ(x n + y n, ˆx n + ŷ n ) = (x n + y n ) (ˆx n + ŷ n ) x n ˆx n + y n ŷ n n 0, tehát z összedás jóldefiniált. A sklárrl szorzás művelete hsonlón ellenőrizhető. Ezzel tehát X vektortér lesz. Vezessünk be rjt normát, méghozzá ismét reprezentánsok segítségével: h (x n ) ξ, kkor ξ := lim n x n. Mivel x n x m x n x m 0 h n, m, 9

10 ezért ( x n ) vlós Cuchy-sorozt, így konvergens is, tehát limesz létezik. A ξ osztály normáj ismét független reprezentánstól, ugynis h (x n ), (ˆx n ) ξ, kkor xn ˆx n xn ˆx n, és itt jobboldl 0-hoz trt, mert két sorozt ekvivlens. Így norm jóldefiniált, de zt ellenőrizni kell, hogy ez vlóbn norm. Ez könnyen meggondolhtó, hsonlón korábbi tételhez, itt is elég rr hivtkozni, hogy egy normából indultunk ki és limeszképzés megtrtj normtuljdonságokt. Csk zt kell - miképpen metrikus terekre vontkozó tételnél is - jobbn meggondolni, hogy ξ = 0-ból következik, hogy ξ tér nulleleme. H ξ = 0, kkor egy (x n ) ξ-re lim x n = 0, zz x n 0, vgyis (x n ) ekvivlens konstns zérussorozttl, tehát n (x n ) ξ 0. Most megmuttjuk, hogy z osztályokon definiált norm áltl indukált metrik megegyezik már korábbn hsznált ϱ-sl. Legyen ϱ N (ξ, η) = ξ η, ekkor ϱ N (ξ, η) = ξ η = lim n x n y n = lim n ϱ(x n, y n ) = ϱ(ξ, η), így X teljes normált tér. Legyen Y = {ξ x : x X} X, mint korábbn is. A korábbik szerint X és Y izometrikusk, hol Φ : x ξ x hozzárendelés izometri, emitt injektív is. Annyit kell csk belátni, hogy hozzárendelés művelettrtó. Legyen x, y X és Φx = ξ x, Φy = ξ y. Legyen most Φ(x + y) = ξ x+y. Mivel (x + y, x + y,...) ξ x+y és (x + y, x + y,...) = (x, x,...) + (y, y,...), ezért Φ(x + y) = ξ x+y = (x + y) = (x) + (y) = ξ x + ξ y = Φ(x) + Φ(y). A sklárszoros-trtás hsonló módon igzolhtó, így bizonyítás kész. 10

11 2. fejezet Bnch-terek Bnch-térnek nevezzük teljes normált tereket. Ilyenre példát már z előző fejezetben is láttunk: Tekintsük vlós számok hlmzát, mint sját mg feletti vektorteret következő normávl: x := x, zz szokásos bszolútérték. A vlós számsoroztokr vontkozó klsszikus Cuchy-tétel szeint minden Cuchy-sorozt konvergens, tér tehát teljes. Hsonlón Bnch-tér lesz (R n, 2 ), hol 2-es index szokásos euklideszi normát jelenti, zz egy x R n -re x = (x 1, x 2,..., x n ) = n i=1 x2 i. A fenti két péld vlójábn csk speciális esetei z lábbi fontos állításnk, melyet később be is bizonyítunk: minden véges dimenziós normált tér Bnch-tér. (C[, b], mx ), hol egy f C[, b]-re f mx = mx f(t). Az [, b] intervllum helyett t [,b] egy K R n kompkt hlmz is állht Véges dimenziós normált terek A Bnch-terekre dott példák között már utltunk rr, hogy minden véges dimenziós normált tér teljes. Ebben részben ezt tuljdonságot vizsgáljuk meg Definíció. Legyen (X, i ) normált tér i = 1, 2-re. Azt mondjuk, hogy két norm ekvivlens, h ugynzt topológiát generálják Állítás. Egy X normált térben z i (i = 1, 2) normák pontosn kkor ekvivlensek, h léteznek c, C > 0 konstnsok, hogy teljesül minden x X-re. c x 1 x 2 C x 1 (2.1) Normált térben tehát h két norm ekvivlens, kkor nem csk nyílt hlmzok ugynzok, hnem ugynzok konvergens soroztok is. Metrikus terek körében is értelmezhető metrikák ekvivlenciáj, normált terekével megegyező módon. Ott viszont nem ekvivlens (2.1)-nek megfelelő egyenlőtlenség és z, hogy metrikák ugynzt topológiát generálják. H fennáll z z egyenlőtlenség, kkor könnyen láthtón topológiák is egyenlők, ellenben megdhtó egy dott metrikus téren két különböző metrik, melyek ugynzt topológiát generálják, viszont z egyik metrik szerint tér például korlátos (vgy mondjuk teljes), míg másik szerint nem. Az lábbi tétel szerint véges dimenziós vektortéren bármely két norm ugynzt topológiát generálj. 11

12 2.3. Tétel. Véges dimenziós normált téren bármely két norm ekvivlens. Bizonyítás. Legyen e 1, e 2,..., e k bázis X-nek. Ekkor tetszőleges x X felírhtó x = k i=1 x ie i lkbn és z x := mx 1 i k x i kifejezés normát definiál. Legyen egy tetszőleges norm X-en, belátjuk, hogy ez ekvivlens -nel, zz fennáll (2.1) vlmilyen c, C > 0 konstnsokkl. Legyen x X tetszőleges, ekkor ( k k k ) x = x i e i x i e i mx x i e i = C x 1 i k i=1 i=1 mitt z egyik becslés triviális. A másik irányhoz elég zt belátni, hogy h x = 1, kkor x c vlmilyen c > 0-r. Ez vlóbn elég, mert ekkor tetszőleges 0 x X-re x x c = x c x teljesül. Tegyük fel indirekt, hogy nincs ilyen c > 0. Vgyis létezik (x n ) X, hogy x n = 1, de x n > n. Legyen y n := x n, x n ekkor y n = i=1 1 x n és y n = 1. Minden n-re y n felírhtó y n = k i=1 αn i e i lkbn. Ekkor 1 = y n = mx 1 i k αn i α n i mitt minden i = 1,..., k-r (αi n ) korlátos számsorozt. A Bolzno Weierstrss-tétel szerint kiválszthtó olyn részsorozt, hogy α n l i α i minden i = 1,..., k-r, h l. Legyen y X z vektor, minek éppen z α i -k koordinátái, zz y := k i=1 α ie i. Ekkor k y nl y = (α n l i α i ) e i = mx 1 i k αn l i α i 0, i=1 sőt emitt és már bizonyított becslés szerint y nl y C y nl y 0. Másrészt z indirekt feltevés szerint y nl = 1 x nl < 1 n l l 0, miből z következik, hogy y = 0. Viszont y n = 1 minden n-re, emitt y = 1 és ez ellentmondás Tétel. Minden véges dimenziós normált tér Bnch-tér. 12

13 Bizonyítás. Legyen e 1, e 2,..., e k bázis X-ben és (x n ) X egy Cuchy-sorozt. Az előző tételt felhsználv minden ε > 0-hoz létezik N, hogy minden n, m N-re mx 1 i k αm i αi n = x m x n c x m x n < c ε. Emitt (αi n) minden i = 1,..., k-r Cuchy-sorozt. K teljessége mitt αn i x = k i=1 α ie i, kkor x n x C x n x = mx 1 i k αn i α i n 0. α i. H most 2.5. Következmény. Az (X, ) normált tér minden véges dimenziós ltere zárt. Most zt kérdést vizsgáljuk, hogy tér egy eleméhez vn-e legközelebbi eleme egy dott lterének. Normált tér esetén véges dimenziós ltérben vn ilyen távolságminimlizáló elem, ám nem feltétlenül egyértelmű Állítás. Legyen (X, ) normált tér, X 0 X egy véges dimenziós ltér, x 0 X tetszőleges vektor. Ekkor létezik y X 0, melyre d := dist(x 0, X 0 ) = x 0 y. Bizonyítás. Válsszunk olyn (y n ) X 0 soroztot, melyre n := x 0 y n d. Az ( n ) számsorozt konvergens, így korlátos is, zz létezik r > 0, hogy n B(d, r). Ebből következően z (y n ) X 0 vektorsorozt is korlátos. Mivel X 0 véges dimenziós, kiválszthtó egy konvergens részsorozt, y nk y. Véges dimenziós ltér zárt is, így y X 0. A norm folytonosság mitt x 0 y nk x 0 y, htárérték egyértelműségéből pedig d = x 0 y következik. A fenti egyszerű tétel segítségével bizonyíthtó z lábbi lemm, melynek ngyon fontos - később felhsznált - következménye, hogy végtelen dimenzióbn zárt egységgömb nem kompkt hlmz Lemm (Riesz-lemm, első változt). Legyen (X, ) végtelen dimenziós normált tér. Ekkor létezik X-ben olyn (x n ) X vektorsorozt, melyre (i) x n = 1 minden n N-re; (ii) x n x m 1 minden n, m N-re (n m). Bizonyítás. A keresett soroztot rekurzióvl állítjuk elő. Válsszunk egy 0 x X vektort, és legyen x 1 = x x. Tegyük fel, hogy már előállítottuk z x 1, x 2,..., x n 1 vektorokt kívánt tuljdonságokkl. Legyen X n 1 = spn{x 1,..., x n 1 }. Nyílván X n 1 X egy véges dimenziós ltér. Legyen x X olyn, hogy x / X n 1 és legyen d = dist(x, X n 1 ), mi z ltér zártság mitt pozitív. A 2.6. állítás szerint létezik y X n 1, hogy d = x y. Legyen x n = x y. d Nyílván x n = 1. Megmuttjuk, hogy dist(x n, X n 1 ) = 1. dist(x n, X n 1 ) = inf x n y = inf 1 y X n 1 y X n 1 d (x y ) y = 1 inf (x (y + dy). d y X n 1 Legyen z = y + dy. H y befutj z ltér elemeit, kkor z is befutj egész X n 1 -et, ezért dist(x n, X n 1 ) = 1 d inf x z = 1 z X n 1 d dist(x, X n 1) = d d = 1. Mivel tehát x n -nek z ltértől vett távolság 1, így x n x j 1 minden 1 j < n-re. Ennek lemmánk egy másik, gykrbbn hsznált verziój következő: 13

14 2.8. Lemm (Riesz-lemm, második változt). Legyen (X, ) egy normált tér, Y X egy zárt, vlódi ltér, ε > 0 dott. Ekkor létezik e X, hogy (i) e = 1; (ii) y e 1 ε minden y Y -r. Bizonyítás. Legyen x 1 X \ Y egy ltéren kívüli elem (ilyen vn), ekkor d = dist(x 1, Y ) > 0 z ltér zártság mitt. A távolság definíciój mitt létezik x 0 Y, melyre x 1 x 0 < d/(1 ε). Legyen e = x 1 x 0 x 1 x 0. Ennek normáj nyílván 1, (ii) tuljdonság belátásához legyen y Y tetszőleges, ekkor y e = y x 1 x 1 x 0 + x 0 x 1 x 0 = 1 x 1 x 0 ( x 1 x 0 ) y + x 0 x 1. Itt z = ( x 1 x 0 ) y + x 0 Y, tehát y e d x 1 x 0 d d 1 ε = 1 ε Megjegyzés. Itt nem tudtuk hsználni z előző, 2.7. lemm eredményét, mert bizonyítás 2.6. állításon múlt, mi véges dimenziós ltér esetén biztosított minimális távolságr levő elem létezését z ltérben Megjegyzés. Reflexív Bnch-tér (lásd később definíciót) esetén 2.8. lemm ε = 1-el is teljesül, zz vn olyn egységvektor, hogy dist(e, Y ) = 1. Ez tuljdonság vlójábn ekvivlens reflexivitássl, lásd [4]. A funkcionálnlízis lpfoglmi kezdetben z euklideszi terek tuljdonságink áltlánosításiból fejlődtek ki, emitt egy-egy új foglom prototípusként gykrn tekinthetjük R n -et. Gykrn egy tuljdonság mgától értetődően teljesül véges dimenzióbn, így végtelen dimeziós terek tnulmányozás nélkülözhetetlen hhoz, hogy nemtriviális példákt mutssunk. A funkcionálnlízisben z lklmzások szempontjából - és történeti okok mitt is - rendkívül fontosk függvényterek. Most két fontos függvényosztályról lesz szó, melyek mindegyike Bnch-tér Az L p (Ω) terek Legyen Ω R n dott Lebesgue-mérhető hlmz. Tekintsük zon f : Ω R Lebesguemérhető függvényeket, melyekre f p <, hol f p = ( ) 1/p f p h 1 p < +, Ω inf{sup f : N Ω nullmértékű} h p = +. Ω\N Az L p (Ω) tér definíció szerint álljon zon mérhető függvényekből, melyek p-normáj véges. Más lehetséges definíciój is létezik egy függvény végtelen-normájánk: f = inf{r : r 0, λ ({ f > r}) = 0} Megjegyzés. Tetszőleges függvény esetén f f m. m., mert z { f > f + 1 n } hlmz nullmértékű, így ezek uniój is z. 14

15 Tehát egy f függvény végtelen normáj zon számok közül legkisebb, melyek lényegében (esetlegesen egy nullmértékű hlmztól eltekintve) felső korlátji f-nek. Ezért néh végtelen normát függvény lényeges suprémumánk is nevezik és ess sup f -fel jelölik. Most belátjuk, hogy L p (Ω) normált tér. Pontosbbn nem egészen z, hiszen egy függvény normáj nem csk z zonosn 0 függvényre lesz null. Ám ezen segíthetünk zzl, hogy mennyiben két függvény csk egy nullmértékű hlmzon tér el egymástól, kkor zonosnk tekintjük őket, zz tér elemei nem függvények, hnem ekvivlenci-osztályok, hol f g, h f = g m. m. Ezekután z első két normxióm triviálisn teljesül, háromszög-egyenlőtlenség pedig következő tételből dódik Tétel (Minkowski-egyenlőtlenség). Legyen 1 p dott, f, g : Ω R mérhető függvények. Ekkor f + g p f p + g p. Bizonyítás. H p =, kkor f f és g g m. m., ezért f + g f + g f + g m. m., mi egy lényegében felső korlát, zz f + g f + g. Legyen most p véges. H jobb oldl, kkor nincs mit bizonyítni, h 0, vgy vlmelyik tg 0, kkor triviális. Tegyük fel tehát, hogy f p 0 és g p 0. A t t p függvény konvex, így Jensen-egyenlőtlenség szerint 1 ( f p + g p ) p ( f + g ) p = ( f p f p + g p Ω f f p + g p g f p + g p g p ) p f p f p + g p ( ) p ( ) p f g p g +. f p f p + g p g p Mindkét oldlt integrálv kpjuk, hogy zz 1 ( f p + g p ) p Ω ( f + g ) p 1, f + g p f + g p f p + g p Tétel (Hölder-egyenlőtlenség). H 1 p és 1 q olynok, hogy 1 p + 1 q = 1 és f, g mérhető függvények, kkor fg 1 f p g q. Bizonyítás. H jobb oldl 0 vgy végtelen, kkor z állítás triviális. H p = 1 és q = (vgy fordítv), kkor fg = f g f g m. m., emitt fg 1 f 1 g. Legyenek ( ) p ( ) q f g F =, G =. f p g q Mivel t log t függvény konkáv, ezért ( 1 log p F + 1 ) q G 1 p log F + 1 log G, q 15

16 zz Mindkét oldlt integrálv Ω f g = f p g q 1 1 p F + 1 q G F 1/p G 1/q. f g 1 p f p g q = 1 f p p Ω f p + 1 p q Ω honnn átszorzássl dódik kívánt egyenlőtlenség. Ω ( ) p f + 1 ( ) q g = f p q Ω g q g q g q = 1 q p + 1 q = 1, Tétel (Riesz Fischer). L p (Ω) bevezetett normávl teljes, zz Bnch-tér. Bizonyítás. Csk 1 p < esetére bizonyítjuk itt. Legyen (f n ) egy L p (Ω)-beli Cuchysorozt. Ekkor létezik k 0 N, hogy minden m > k 0 -r f m f k0 p < 1/2. Létezik egy olyn k 1 > k 0, hogy minden m > k 1 esetén f m f k1 p < 1/4. Hsonlón folyttv z eljárást, vn olyn k n > k n 1 index, hogy minden m > k n -re f m f kn p < 1/2 n+1. Legyen g n = f k0 + n f ki f ki 1. Mivel g n monoton növő függvénysorozt, létezik g = lim n g n. Mivel g n p f k0 p + i=1 n f ki f p ki 1 f k0 p + i=1 n i=1 1 2 i f k 0 p + 1 = K, ezért g n sorozt monotonitás mitt Beppo Levi tételből kpjuk, hogy g p = lim n gp n = lim g p n n K p, Ω tehát g L p (Ω), zz m. m. véges. Ebből következik, hogy z Ω f k0 + Ω ( ) fkn f kn 1 n=1 függvénysor m. m. pontbn bszolút konvergens, emitt konvergens is. Jelöljük sor összegét f-fel. A sor n-edik részletösszege éppen f kn, tehát f kn f m. m. pontbn. Itt f kn g n, emitt f kn p g n p = gn p K p, zz (f kn f) 0 m. m. és f kn f p 0 m. m. ( ) f kn f = fki f ki 1 Ω i=n+1 Ω Ω f ki f ki 1 + f k0 = g, így f kn f p g p L 1 (Ω), zz f kn f p 0 m. m. és vn L 1 (Ω)-beli mjoráns. Lebesgue dominált konvergenci-tétele szerint Ω f k n f p 0, zz f kn f p p 0, miből következik, hogy f L p (Ω) és f kn f p 0. Ezzel beláttuk, hogy egy tetszőleges L p (Ω)-beli Cuchysoroztnk vn olyn részsorozt, mely konvergens. De ekkor z egész sorozt konvergens kell, hogy legyen. i=1 16

17 2.15. Megjegyzés. A Riesz Fischer tétel bizonyítás során z is kijött, hogy h f n f L p - normábn, kkor kiválszthtó olyn részsorozt, hogy f nk f m. m. ) Ismert, hogy C[, b] z L 1 -normávl ellátv nem teljes tér, hsonlón (C[, b], p sem ) lesz z. Igzolhtó viszont, hogy C[, b] sűrű ltere L p [, b]-nek p-normávl, így (C[, b], p teljessé tétele éppen L p [, b]. Ez z L p (Ω) terek másik bevezetését is lehetővé teszi, nevezetesen éppen folytonos függvények p-normávl ellátott terének teljessé tételét is nevezhetnénk definíció szerint L p (Ω) térnek. Ekkor utomtikusn Bnch-tér lesz, viszont tér elemei nem állnánk rendelkezésre kézzelfoghtó formábn. Viszont ekkor z tétel szerint folytonos függvények sűrű hlmzt lkotnk L p (Ω)-bn, zz tér elemei előállnk folytonos függvények p-normábn vett limeszeiként. Újbb fontos péld Bnch-terekre z l p -terek. Vlójábn z L p -terek definíciójábn nem kellett voln Lebesgue-mértékre szorítkoznunk, éppen ezért áltlábn egy (X, A, µ) mértéktérből kiindulv egy µ-mérhető (másnéven A-mérhető) függvénynek definiálják p-normáját ugynúgy, hogyn mi itt korábbn. Ekkor z l p terek értelmezése következő. Legyen kiindulási mértéktér (N, P(N), µ), hol µ számlálómérték. Ezzel tehát l p = {(x n ) vlós vgy komplex értékű számsorozt, melyre x n p < }, n=1 l = {(x n ) korlátos számsoroztok}. A norm értelmezése hsonló korábbi esethez, ezen mértéktéren korábbi definíciók így szólnk: ( ) 1/p x n p h 1 p < +, (x n ) p = n=1 sup x n h p = +. n A Riesz Fischer tétel érvényes z l p terekre is, ezek tehát Bnch-terek. Vezessünk még be két újbb soroztteret: legyen c kovergens soroztok tere, c 0 pedig nullsoroztok tere, norm mindkét esetben legyen z (x n ) = sup x n. Beláthtó, hogy ezek teljes terek. Végül legyen I = [, b] és C n (I) = {f : f : I R n-szer folytonosn differenciálhtó}, hol egy f C n (I) függvény normáj legyen f C n = n f (k) mx = k= Állítás. (C n (I), C n) Bnch-tér Egyváltozós Szoboljev-terek n k=0 mx I f (k). A következőkben bevezetjük z egyváltozós Szoboljev-tér foglmát, melyek prciális differenciálegyenletek elméletében rendkívül fontosk, ám ott áltlánosbbn, több változór szokás bevezetni. A most dott definíció speciális, kihsználj zt, hogy csk egyváltozós függvényeket vizsgálunk, emitt nem is vihető át z áltlános esetre. Míg itt konkrétn megmondjuk, hogy milyen függvényekből áll tér, z áltlános esetben egy normált tér teljessé tételével definiálják Szoboljev-tereket. Ennek résznek célj inkább z, hogy röviden ismertesse ezen terek néhány tuljdonságát és előkészítse prciális differenciálegyenletek elődást. 17

18 Elsőrendű Szoboljev-terek A továbbikbn legyen I = [, b] korlátos, zárt intervllum. W 1,p (I) := { f f : I R bszolút folytonos függvény, melyre f L p (I) }. Két normát is bevezetünk ezen téren: f := f mx + f L p, f W 1,p := f L p + f L p. Célunk belátni, hogy W 1,p (I) mindkét normávl teljes, zz Bnch-tér. Ehhez elég belátni, hogy két norm ekvivlens és tér teljes vlmelyik normávl Lemm. Legyen (X, 1 ) Bnch-tér és 2 egy másik norm X-en, mi ekvivlens z eredetivel. Ekkor (X, 2 ) is Bnch-tér. Bizonyítás. Vegyünk egy (x n ) Cuchy-soroztot kettes norm szerint X-ben, be kell látni, hogy sorozt konvergens. Tehát minden ε > 0 számhoz létezik N(ε), hogy minden n, m N(ε) esetén x m x n 1 c 2 x m x n 2 c 2 ε, vgyis (x n ) z egyes normábn is Cuchy. Mivel ezzel normávl tér teljes, létezik egy x X, hogy x n x 1 0. Ez z elem kettes norm szerint is limesze lesz soroztunknk, ugynis x n x 2 1 c 1 x n x 1 0, h n. Lássuk most be, hogy fent megdott Szoboljev-tér két normáj ekvivlens Tétel. A W 1,p (I) téren W 1,p. Bizonyítás. Könnyen beláthtó, hogy (p mitt) f p c f vlmilyen c > 0-r. Speciálisn ez f W 1,p (I)-re is igz, sőt f (bszolút) folytonosság mitt f = f mx. Emitt f W 1,p mx{1, c} f. A másik irányú becsléshez vegyük észre, hogy h f W 1,p (I), kkor teljesül rá Newton Leibniz tétel, zz f(y) f(x) + x y f f(x) + f(y) = f(x) + b x y f. f = f(x) + f L 1 f(x) + c f L p teljesül vlmilyen (z előzővel nem feltétlenül megegyező) c > 0 konstnssl. Az egyenlőtlenség két végét integrálv x-szerint kpjuk, hogy (b ) f(y) b mjd leosztv z intervllum hosszávl f(y) Ismét kihsználv f folytonosságát f f + c(b ) f L p c f L p + c(b ) f L p, c b f L p + c f L p f = f mx = mx y I f(y) y I-re. c b f L p + c f L p. c b f L p + (c + 1) f L p mx{ c b, c + 1} ( f L p + f L p) = c f W 1,p. 18

19 2.19. Tétel. W 1,p (I) teljes normávl. Bizonyítás. Legyen (f n ) Cuchy-sorozt norm szerint, ekkor egyrészt (f n ) Cuchy mx -normábn és (f n) Cuchy L p norm szerint. Mivel C(I) teljes mx -normávl, ezért létezik f C(I), hogy f n f egyenletesen. Mivel f n L p (I), ezért létezik g L p (I), hogy f n g L p -normábn. Célunk zt belátni, hogy g = f. Mivel f n g L p 0, ezért f n g L 1 0. Emitt b f n g 0 = b f n Ugynez igz [, b] minden részintervllumár is. Mivel f n W 1,p, ezért miből n esetén dódik, hogy f n (x) = f n () + f(x) = f() + vgyis f g integrálfüggvénye. Ebből következően f W 1,p (I) és f = g. Így f n f mx 0 és f n f L p 0, miből következik, hogy f n f 0. x x Következmény. W 1,p (I) teljes W 1,p norm szerint is Mgsbbrendű Szoboljev-terek Vázltosn ejtenénk csk szót mgsbbrendű Szoboljev-terekről: { } W N,p (I) := f f C N 1 (I), f (N 1) bszolút folytonos függvény, melyre f (N) L p (I). Hsonlón z elsőrendű esethez, itt is bevezethetjük f W N,p = f n, g, N f (k) L, p k=0 b g. normákt. f = N 1 k=0 f (k) mx + f (N) L p Tétel. ( W N,p (I), W N,p) teljes, zz Bnch-tér. Bizonyítás. A bizonyítás hsonló z N = 1 esethez, itt is fennáll két norm ekvivlenciáj és tér teljessége normávl nlóg módon igzolhtó Megjegyzés. A Szoboljev-terek áltlánosítják C N (I)-t. Korábbi nlízisbeli ismereteink szerint (C(I), L 1) nem teljes, de vlójábn (C(I), L p) sem z. Láttuk, hogy ez utóbbi tér teljessé tétele L p (I). Teljesen hsonlón (C N (I), W N,p) nem lesz teljes és W N,p (I) teljessé tétele Megjegyzés. W N,2 (I) nemcsk Bnch-tér, hnem Hilbert-tér is. Ezekre egy rövidebb jelölést is bevezetünk, mit mjd később hsználni is fogunk: H N (I) := W N,2 (I). 19

20 2.4. L(X, Y ), mint normált tér Definíció. H A L(X, Y ), kkor legyen A := sup{ Ax : x 1} z A úgynevezett operátornormáj, vgy egyszerűen csk normáj. Ez egy véges szám, hiszen A korlátos, így vlmilyen K pozitív számr Ax K z egységgömbben. Az is leolvshtó, hogy h K egy korlátosság definíciójábn szereplő konstns, kkor A K. Könnyen megmutthtó, hogy z operátornormát másképpen is ki lehet számítni, nevezetesen Állítás. H A L(X, Y ), kkor { } Ax A = sup x : x X, x 0, = sup{ Ax : x X, x = 1}, = min{k 0 : Ax K x x X} Állítás. H (X, ) és (Y, ) normált terek, kkor (L(X, Y ), ) is normált tér, hol norm fent definiált operátornorm. Mivel már sok dolgot tudunk folytonos lineáris leképezésekről, itt z ideje nnk, hogy példát mutssunk nemfolytonos lineáris leképezésre is. Legyen X = ( C 1 [ π, π], mx ), Y = (R, ). Legyen A Hom(X, Y ) következő lineáris leképezés: (Af) := f (0). Ez leképezés nyílván lineáris. De nem lesz folytonos, ugynis tekintsük z f n (t) = sin nt X-beli soroztot. Ekkor f n = 1 minden n-re és Af n = n cos 0 = n. H A korlátos lenne, kkor létezne olyn K, melyre n = Af n K f n = K minden n N-re, de ez nyílván nem lehetséges Állítás. Legyen (X, X ) normált tér, (Y, Y ) Bnch-tér. Ekkor L(X, Y ) is Bnchtér. Bizonyítás. Legyen (A n ) Cuchy-sorozt L(X, Y )-bn. Rögzített x X-re A n x A m x Y A n A m x X ε x X, zz minden x X-re (A n x) Cuchy-sorozt Y -bn. Mivel Y teljes, ezért létezik x Y, hogy A n x x Y 0, h n. Legyen A z z X-ből Y -b képező operátor, melyre Ax = x. Nyílván A Hom(X, Y ), ugynis h x 1, x 2 X, kkor A n (x 1 + x 2 ) ( x 1 + x 2 ) Y A n x 1 x 1 Y + A n x 2 x 2 Y 0, vgyis A(x 1 +x 2 ) = Ax 1 +Ax 2, sklárszorostrtás hsonlón egyszerű. De több is igz, nevezetesen A L(X, Y ). Mivel (A n ) Cuchy-sorozt és A n A m A n A m, így ( A n ) is Cuchy-sorozt R-ben, így konvergens is, de elég nnyi, hogy korlátos. Így A n x Y K x X teljesül minden x X, n N-re és mivel A n x x = Ax, ezért Ax Y K x X, zz vlóbn A L(X, Y ). Most belátjuk, hogy z (A n ) sorozt ehhez z A operátorhoz konvergál. Mivel Cuchy-soroztról vn szó, ezért minden ε > 0-hoz létezik N N, hogy minden n, m N-re A n x A m x Y ε x X Trtsunk most m-mel végtelenbe, ekkor (A n A)x Y A n A ε, tehát A n A. x X-re Következmény. H K z lptest, kkor L(X, K) mindig teljes tér. ε x X, miből következik, hogy Definíció. Az A Hom(X, K) leképezéseket lineáris funkcionáloknk nevezzük. 20

21 3. fejezet Hilbert-terek A következőkben olyn terekkel fogllkozunk, melyeken értelmezett egy sklárszorzás is z elemek között. Ez ltt következőket értjük: 3.1. Definíció. Legyen H vektortér C felett. Egy, : H H C leképezést sklárszorztnk nevezünk, h 1. Minden y H-r z x x, y leképezés lineáris funkcionál, 2. Minden x, y H-r y, x = x, y, 3. Minden x H x, x 0 és x, x = 0 x = Megjegyzés. Vegyük észre, hogy 3. követelmény értelmes, mert 2. pont mitt x, x vlós értékű. Az 1. és 2. tuljdonságokból dódik, hogy minden x H esetén z y x, y hozzárendeléssel értelmezett funkcionál konjugáltn lineáris, zz x, c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 x, y 1 + c 2 x, y 2. Azz sklárszorzás egy pozitív definit, konjugáltn bilineáris (sesquiliner) leképezés. Néhány egyszerű következménye definíciónk: bármely elemnek 0-vl vett sklárszorzt 0, zz 0, y = 0 minden y H-r. Ennek megfordítás is érvényes, zz h egy x elemnek minden y vektorrl vett sklárszorzt 0, kkor x = 0. Ez nyílván így vn, hiszen ekkor y = x-re felírv x, x = 0 dódik, miből következik, hogy x = Definíció. H H egy C feletti vektortér,, egy sklárszorzt, kkor (H,, )-t euklideszivgy prehilbert térnek nevezzük. Amennyiben csk vlós test felett vgyunk, úgy vlós prehilbert térről beszélünk és ekkor sklárszorzás definíciójábn értelemszerűen konjugálás elhgyhtó. Vlós esetben sklárszorzt tehát egy pozitív definit bilineáris funkcionál H H-n. Minden euklideszi térben természetes módon bevezethető egy norm z x := x, x definícióvl. Könnyen láthtó, hogy ez vlóbn norm, z egyetlen nemtriviális normtuljdonság háromszög-egyenlőtlenség, melynek bizonyításához következő segédeszközre vn szükségünk Állítás (Cuchy Bunykovszkij Schwrz). Minden x, y H-r Bizonyítás. Legyen λ C tetszőleges. Ekkor x, y x y. 0 x λy 2 = x λy, x λy = x 2 λ x, y λ y, x + λ 2 y 2. 21

22 H y = 0, kkor triviálisn igz z egyenlőtlenség, ezért feltehető, hogy y 0. Válsszuk most λ-t x, y / y 2 -nek. Folyttv z egyenlőtlenséget 0 x 2 x, y 2 y 2 x, y 2 y 2 + x, y 2 y 2 = x 2 x, y 2 y 2. Ezt átrendezve kívánt egyenlőtlenséghez jutunk, mit továbbikbn CBS-nek rövidítünk. Így már könnyen ellenőrizhető háromszög-egyenlőtlenség bevezetett normár, ugynis x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + x, y + y, x + y 2 = x 2 + y 2 + 2R x, y x 2 + y x, y x 2 + y x y = ( x + y ) Definíció. A (H,, ) euklideszi teret Hilbert-térnek nevezzük, h H z indukált normávl teljes. A későbbiekben fontosk lesznek Hilbert-terek folytonos lineáris funkcionálji, ezekre egy fontos péld következő: legyen y H rögzített vektor és legyen φ y : H C z leképezés, melyre φ y x = x, y. Ekkor φ y nyílván lineáris és folytonos is, ugynis φ y x = x, y x y, zz φ y korlátos, sőt normáj legfeljebb y. Most néhány példát muttunk Hilbert-térre: R n mint vlós test feletti vektortér (vlós) Hilbert-tér szokásos x, y R n = n x i y i i=1 sklárszorzássl. Az indukált norm éppen z euklideszi-távolság lesz, ezzel pedig tér teljes. C n z, w C n = sklárszorzássl szintén (komplex) Hilbert-tér. L 2 (Ω) = {f : Ω C, Ω f 2 < } z f, g L 2 = sklárszorzássl Hilbert-tér. n z i w i i=1 Ω fg dλ l 2 = {(x n ) : (x n ) C N, n=1 x n 2 < } Hilbert-tér z (x n ), (y n ) l2 = x n y n n=1 sklárszorzássl. A 2-es indexű Szoboljev-terek: W 1,2 (I) = {f : I C bszolút folytonos, f L 2 (I)} és f, g H 1 = b (fg + f g ) dλ. 22

23 Mint zt már korábbn jeleztük, W 1,2 (I) helyett gykrn H 1 (I) jelölés hsználtos. Vegyük észre, hogy ez sklárszorzt nem dj vissz részben bevezetett normát, hiszen ott normát z f W 2,p = f L 2 + f L 2 kifejezés definiált, míg most sklárszorzt áltl indukált normár f H 1 = f 2 L 2 + f 2 L 2 dódik, de két norm ekvivlens. Hsonlón W N,2 (I) teljes lesz z sklárszorzássl. f, g H N = b N f (k) g (k) k= Ortogonlitási tuljdonságok Hilbert-terekben 3.6. Definíció. Legyenek x, y H. Ezek merőlegesek vgy ortogonálisk egymásr (x y), h x, y = 0. H K H egy részhlmz, kkor x K x, k = 0 minden k K-r. Hsonlón h K, M H, kkor K M, h k, m = 0 minden k K, m M-re Definíció. Legyen K H egy tetszőleges részhlmz. A K := {y H : y K} hlmzt K ortogonális kiegészítőjének (vgy ortokomplementumánk) nevezzük. Itt ugyn K bármilyen részhlmz lehet H-nk, z ortokomplementum viszont nem lehet kármilyen Állítás. Minden K H-r K zárt ltér H-bn. Bizonyítás. K nyílván ltér, mert zárt lineáris kombináció képzésre. Ezenkívül zárt is, ugynis h y n K, y n y, kkor sklárszorzás folytonosság mitt 0 = y n, k y, k minden k K-r, így y K szintén teljesül, tehát zárt. A merőlegesség foglmánk áltlánosítás után most következzen néhány jólismert állítás prehilbert-térbeli változt, bizonyításuk egyszerű számolás Állítás. Legyen H prehilbert-tér. Ekkor (Pitgorsz-tétel) H x, y H-r x y, kkor x + y 2 = x 2 + y 2. (Prllelogrmm-szbály) Minden x, y H-r x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + x 2). (3.1) (Polrizációs-egyenlőség) Minden x, y H-r x, y = 1 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2). (3.2) 4 A polrizációs-egyenlőség zért hsznos, mert skláris szorzt kifejezhető egyszerű lineáris kombinációk normáink segítségével. A metrikus terekhez hsonlón itt is felmerül kérdés, hogy h dott egy normált tér, kkor vjon norm szármztthtó-e vlmilyen sklárszorztból, vgyis bevezethető-e olyn sklárszorzt, hogy z áltl indukált norm tér eredeti normájávl megegyezik. A válsz áltlábn itt is tgdó. 23

24 3.10. Állítás. Egy normált tér normáj pontosn kkor szármzik skláris szorztból, h teljesül prllelogrmm-szbály z dott normár. Most vissztérnék z pproximáció kérdéséhez. A 2.6. állítás véges dimenziós ltérre volt érvényes, Hilbert-tér esetén zonbn elég z ltér zártságát feltenni és ekkor már egyértelműség is teljesülni fog Állítás. Legyen H Hilbert-tér, M H nemüres zárt ltér. Ekkor minden z H \ M-re z-nek z M ltértől vett távolság relizálódik, zz létezik egyértelműen egy m M, melyre z m = dist(z, M). Bizonyítás. Legyen d = dist(z, M). A távolság definíciój mitt létezik (m k ) M, melyre z m k d. Írjuk fel prllelogrmm-szbályt z m k és z m l vektorokr: ( 2 z m k 2 + z m l 2) = 2z (m k + m l ) 2 + m k m l 2 = = 4 z m k + m l m k m l 2. H most k, l, kkor bl oldl 4d 2 -hez trt. Vegyük észre, hogy mivel M ltér, ezért (m k + m l )/2 is M-beli, ezért átrendezve z egyenlőséget, zt kpjuk, hogy m k m l 0, h k, l. Vgyis (m k ) Cuchy-sorozt. Legyen m limesze, mi zártság mitt szintén M-beli. Mivel z m k d és z m k z m, ezért d = z m. Ez z m egyértelmű, ugynis tegyük fel, hogy m, m M is minimális távolságr vn z-től. Ekkor léteznek m k m és m k m M-beli soroztok. De kkor m k és m k összefésülése is egy távolság-minimlizáló sorozt, minek z előzőek szerint vn limesze és htárértéke egy olyn M-beli pont, mi minimális távolságr vn z-től. De így z összefésült sorozt minden részsorozt ehhez limeszhez kell, hogy trtson, emitt m = m Tétel (Riesz-féle ortogonális felbontás). Legyen H Hilbert-tér, M H zárt ltér. Ekkor H = M M. Bizonyítás. Legyen x H tetszőleges és x 1 M z vektor, melyre x x 1 = d = dist(x, M). Ilyen z előző tétel szerint létezik. Legyen x 2 = x x 1, be kell látni, hogy x 2 M. Legyen λ C és y M, ekkor x 1 + λy M. Ezért d 2 x (x 1 + λy) 2 = x 2 λy 2 = x 2 2 λ x 2, y λ y, x 2 + λ 2 y 2. Mivel x 2 = d, így 0 λ 2 y 2 λ x 2, y λ y, x 2 teljesül minden y M, λ C-re. H y 0, kkor λ = x 2, y / y 2 válsztássl 0 x 2, y 2 y 2 = x 2, y = 0 0 y M-re, mi y = 0-r is igz, így x 2 M. Minden x egyértelműen írhtó ilyen lkbn, ugynis h x = x 1 + x 2 = y 1 + y 2, hol x 1, y 1 M és x 2, y 2 M, kkor M (x 1 y 1 ) = (y 2 x 2 ) M, zz x 1 = y 1 és x 2 = y Megjegyzés. Néhány kiegészítés tételhez: H x M = x 1 z x vektor M-re vett merőleges vetülete, kkor x M x. A felbontási tétel szerint h M zárt ltér, kkor H = M M. Másrészt M mindig zárt ltér, így H = M ( M ). Vgyis zárt ltér esetén M = ( M ). 24

25 H M ltér, de nem zárt, kkor ( M ) = M. H M csk egy hlmz, kkor ( M ) = [M], z M lineáris burkánk lezártj. H M véges dimenziós ltér és {e 1, e 2,..., e n } egy ortonormált bázis benne, kkor x M = n x, e i e i. i= Fourier-sorok Hilbert-térben Definíció. Egy {e n } n N H vektorsorozt ortonormált rendszer, h elemei páronként ortogonálisk és normáltk Definíció. Egy {e n } n N H vektorsorozt teljes rendszer, h minden x H-r teljesül, hogy h x e n minden N-re, kkor x = 0. Ezek lpján teljes ortonormált rendszer (TONR) foglm világos. Az, hogy {e n } TONR, vlójábn ugynzt jelenti, hogy {e n } mximális ortogonális rendszer, zz nem létezik olyn ortogonális rendszer H-bn, melynek {e n } vlódi részhlmz. Az ortonormált rendszer definíciójábn feltettük, hogy z megszámlálhtó sok elemből áll. Ez vlójábn nem szükséges. Az egyszerűsítés ok z, hogy következőkben végtelen sorokt fogunk vizsgálni és nem definiáltuk eddig, hogy mit értsünk megszámlálhtónál ngyobb számosságú elem összegén. Ezt el is szeretnénk kerülni, emitt mrdunk megszámlálhtó esetnél. Ez rádásul nem is ngy megszorítás, hiszen kiderülne, hogy egy kárhánytgú összeg h konvergens, kkor legfeljebb megszámlálhtó sok nemnull tgj lehetne. H viszont tetszőleges számosságú rendszert megengedünk, kkor bebizonyíthtó, hogy minden prehilbert-térben egy ortonormált rendszert ki lehet egészíteni teljes ortonormált rendszerré, zz mindig létezik teljes ortonormált rendszer. Az is beláthtó, hogy egy tér két teljes ortonormált rendszere zonos számosságú Definíció. Egy {e n } n N H vektorsorozt zárt rendszer, h {e n } lineáris burk sűrű Állítás. Hilbert-térben egy vektorrendszer pontosn kkor teljes, h zárt. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy tetszőleges M H hlmzr M = [M]. Ez következik megjegyzés második és negyedik részéből. Az M pontosn kkor teljes rendszer, h M = {0}, mi z előzőek szerint pontosn kkor teljesül, h [M] = {0}. Ez viszont tétel szerint ekvivlens zzl, hogy [M] = H, zz M zárt rendszer Állítás. Szeprábilis Hilbert-tér esetén tetszőleges M ortonormált rendszer megszámlálhtó. Bizonyítás. Legyen e, f M, ekkor e f 2 = e f, e f = e 2 e, f f, e + f 2 = 2. Tekintsük z M elemei körül vett 2/2-sugrú gömböket. Ezek diszjunktk, így egy H-beli sűrű hlmznk mindegyik gömbben vn eleme, vgyis gömbök szám és ezzel együtt M számosság is legfeljebb megszámlálhtó. Ennek megfordítás is igz, vgyis h vn megszámlálhtó teljes ortonormált rendszer egy Hilbert-térben, kkor z szeprábilis. A rendszer elemeinek rcionális együtthtókkl vett lineáris kombinációi megszámlálhtó sűrű hlmzt lkotnk. 25

26 Szeprábilis esetben könnyen meg is lehet konstruálni (Zorn-lemm nélkül) egy TONR-t, méghozzá úgy, hogy sűrű, megszámlálhtó hlmz elemeit lklms módon megritkítv egy x 1, x 2,... lineárisn független rendszert kpunk, melyből Grm Schmidt-féle ortogonlizációs eljárássl egy ortonormált e 1, e 2,... soroztot kpunk. Erre teljesül, hogy spn{e 1,..., e n } = spn{x 1,..., x n } minden n N-re. Emitt [{e 1, e 2,...}] is sűrű H-bn, tehát {e n } n N zárt rendszer, vgyis teljes rendszer Állítás. Legyen {x n } H ortogonális sorozt. Ekkor x n konvegens n=1 x n 2 n=1 konvegens. Bizonyítás. Legyen s n = n i=1 x i és σ n = n i=1 x i 2 megfelelő részletösszegek. Mivel z ortogonlitás mitt n m esetén s n s m 2 n 2 n = x i = x i 2 = σ n σ m = σ n σ m, i=m+1 i=m+1 mi mitt z egyik sorozt pontosn kkor Cuchy-sorozt, h másik is z. Innen már H és R teljessége mitt következik, hogy két sorozt ekvikonvergens Definíció. Legyen H Hilbert-tér, x H dott. A i=1 x, e i e i sort z x elem {e n } n N rendszer szerinti Fourier-soránk nevezzük. Az α i = x, e i számokt Fourier-együtthtóknk nevezzük Tétel. Legyen H Hilbert-tér, {e n } n N egy TONR. Ekkor tetszőleges x H elem Fouriersor konvergens és összege éppen x. Bizonyítás. Jelöljük x, e i e i -t x i -vel. Mivel {x i } ortogonális vektorok hlmz, ezért x i ortogonális sorozt, mi pontosn kkor konvergens, h x i 2 konvergens. Legyen s n = n i=1 x i, V n = spn{e 1,..., e n }. Ekkor megjegyzés szerint s n = x Vn z x-nek V n véges dimenziós ltérre vett vetülete, emitt s n x, zz s n 2 x 2. Mivel s n 2 = n i=1 x i 2, ezért xi 2 pozitív tgú sor szeletei felülről korlátosk, tehát konvergens. Ebből következően x i is konvergens, legyen z összege s. Be kell látni, hogy s = x. Az {e n } rendszer teljessége mitt ehhez elég zt belátni, hogy s x, e j = 0 minden j-re. A sklárszorzás folytonosság mitt s, e j = x, e i e i, e j = i=1 x, e i e i, e j = i=1 x, e i e i, e j = x, e j, i=1 zz s x, e j = 0 minden j-re, így s = x. A bizonyítás során dódott z lábbi Következmény (Bessel-egyenlőtlenség). Az x H vektor bármely {e n } ortonormált soroztár vontkozó Fourier-együtthtóir x, e n 2 x 2. n= Állítás (Prsevl-egyenlőség). H {e n } n N egy TONR H-bn és dott x H-r α i = x, e i Fourier-együtthtók, kkor x 2 = α i 2. i=1 26