Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Átírás

1 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év. /4. Htározzuk meg zo vlós számokt, melyekre z lábbi egyelet mide megoldás vlós szám: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4) ( 4)( 5) =. A.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár (juiorok) /4. A Hellé Mtemtiki Társság mtemtikverseyé résztvevő iúkt és láyokt két csoportb osztották: kezdők (dott korosztályig) és hldók. A verseye résztvevő iúk ráy 55%, kezdő iúk és hldó iúk számák ráy megegyezik z összes kezdő és hldó verseyző számák ráyávl. Htározzuk meg kezdő iúk és láyok számák ráyát. A.4. Litvái, 997 Htározzuk meg z, b vlós számokt, h e b = e b mide -re teljesül. A.5. Pá-Ariki Mtemtiki Olimpi 00,. p (idő: 4.5 ór) /. ( i ) i Legye egész szám és > 0 vlós szám. Htározzuk meg ( ) i= = egyelet (,,, ) megoldásik számát, h i [0, ], mide i =,,, eseté. Elemi lgebr. A.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi 00. április, területi versey /. Oldjuk meg z lábbi egyeletet vlós számok körébe: ( ) 00 ( ) 000 ( ) ( ) 999 ( ) ( ) ( ) 999 ( )( ) 000 ( ) 00 = 0. A.. Mcedói, 00, II. ord. 9. év. /4. Mtemtik Okttási Portál, /

2 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek y z Legye, y, z oly vlós szám, melyre =. Bizoyítsuk be, hogy y z z y y z ekkor = 0. y z z y A.. Horvátország, városi versey, 00, 0. év. /4. Oldjuk meg z = egyeletet, h, b ullától külöböző vlós számok. b b A.4. Spyolország, Mtemtiki Olimpi 999,. helyi orduló,. p /. Legyeek, b, c 0 vlós számok (és b c 0), melyekre =. b c b c Bizoyítsuk be, hogy ekkor = b c b c A.5. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. /5. * Htározzuk meg z lábbi összeg értékét, h () =, R : Egészrész, törtrész. ([] és {} z egész részét, illetve törtrészét jeleti) A.. Litvái, 00. október Oldjuk meg z = 4 [] egyeletet! A.. Észtország, 00. október, őszi yílt versey, juiorok, /5. Htározzuk meg zo (, y, z) vlós számhármsokt, melyek eleget teszek z lábbi eltételekek: [y] {z} = 00,; {} y [z] = 00,; [] {y} z = 00,0. A.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. /5. ) Bizoyítsuk be, hogy h = m m, m N, kkor [ ] = m. b) Htározzuk meg z összes természetes számot, melyre [ ] osztj -et. Mtemtik Okttási Portál, /

3 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A.4. Belorusszi, 997, válogtóversey Htározzuk meg z összeget. A.5. (Ary Dáiel-versey speciális mtemtik osztályok számár, hldók, második (dötő) orduló, 979. május.) Htározzuk meg következő összeg értékét: Egészrész, törtrész ([] és {} z egész részét, illetve törtrészét jeleti) A4.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. júius, kezdők Bizoyítsuk be, hogy z 9 [ = egyeletek ics pozitív rcioális megoldás. ] A4.. Litvái, 997 Oldjuk meg [ 7 4] = [ si] egyeletet. A4.. Pá-Ariki Mtemtiki Olimpi, 00. július,. p (idő: 4.5 ór) /. Számítsuk ki [ ] [ ]... [ 00] értékét. A4.4. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges emegtív egész számr ( ) ( ) = (9 8). A4.5. Írország, Mtemtiki Olimpi, 00. május,. orduló (idő: ór) 4/5. H α =, bizoyítsuk be, hogy α [α ] = α, mide = 0,,, eseté. Mgsbbokú egyeletek. A5.. Horvátország, 00, országos versey, 0. év. /4. Mtemtik Okttási Portál, /

4 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Htározzuk meg z lábbi egyelet összes vlós megoldását: ( 4) ( 5 ) = ( ). A5.. Jpá, 990, IMO válogtóversey,. orduló Htározzuk meg z 5 5 = 5 80 egyelet vlós gyökeiek szorztát. A5.. Spyolország, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló /8. Htározzuk meg z p p 0 = 0 egyelet gyökeit, h tudjuk, hogy számti soroztot lkotk (p vlós prméter). A5.4. Olszország, Mtemtiki Olimpi, 00. május, 4/6. Htározzuk meg zo értékeket, melyekre z = 0 egyelet gyökei egész számok! A5.5. Brit Mtemtiki Olimpi, 998 ) Oldjuk meg z lábbi egyeletredszert, h, y, z pozitív számok: y yz z =, yz = y z. b) Mutssuk meg, hogy v oly megoldás is, hol, y, z külöböző, em szükségképpe pozitív számok. Mgsbbokú egyeletek. A6.. Vietám, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. p /. Oldjuk meg z 4 0 = egyeletet. A6.. Bulgári, 00. ebruár Htározzuk meg z prméter midzo értékeit, melyekre z log( ) = 4 egyeletek potos egy megoldás v. A6.. Horvátország, 00, városi versey,. év. 4/4. Htározzuk meg derékszögű háromszög α és β szögét, h tgα tgβ tg α tg β tg α tg β = 70. (Elég tgα és tgβ értékét meghtározi.) A6.4. Litvái, 997 Htározzuk meg z prméter értékét, h z 8 4 = 0 egyelet égy gyöke számti soroztot lkot. Mtemtik Okttási Portál, 4 /

5 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A6.5. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 99,. orduló Az y-síkbeli E görbe egyelete y = A (, 9) és (4, 5) potoko átmeő egyees egy további P potb metszi görbét. Htározzuk meg P -koordiátáját. Algebri egyeletredszerek. A7.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. április, selejtező versey /4. Oldjuk meg z lábbi egyeletredszert vlós számok hlmzá: = = = = 5 5 =, 7, 4,, 4 4. A7.. Görögország, 00, IMO válogtóversey /4. Htározzuk meg z prméter lehetséges értékeit, h z, y, vlós számokr y = y = 5 y 5 =. A7.. Csehország és Szlováki, Mtemtiki Olimpi, 00. december,. orduló Htározzuk meg p vlós prméter értékét úgy, hogy z lábbi egyeletredszerek potos egy megoldás legye: = (p ) py z, y = (p )y pz, z = (p )z p y. A7.4. Horvátország, 00, városi versey, 0. év. /4. Bizoyítsuk be, hogy h = by = cz és by cz = b c. =, kkor y z A7.5. Irá, Mtemtiki Olimpi, 995 Legyeek, b, c pozitív vlós számok, s htározzuk meg zo, y, z vlós számokt, melyekre y z = b c, 4yz ( b y c z) = bc. Algebri egyeletredszerek. Mtemtik Okttási Portál, 5 /

6 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A8.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p (idő: ór) /5. Oldjuk meg z lábbi egyeletredszert: y = ( 8)( ), y (8 4)y (6 6 5 ) = 0. A8.. Horvátország, 00, városi versey, 4. év. /4. Htározzuk meg z lábbi egyeletredszer vlós megoldásit: 00 = 00, = 00. A8.. Görögország, 00. április (juior válogtóversey, dötő) /4. Htározzuk meg z prméter lehetséges értékeit, h z, y, vlós számokr y = y = y =. A8.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 9. év. /5. Az és b vlós számok kielégítik z lábbi egyeleteket: b = 40, b b = 40. Htározzuk meg b értékét. A8.5. Belorusszi, Miszk, 995,. o. Oldjuk meg vlós számok hlmzá z lábbi egyeletredszert: y ( 4) 4y = 4. (y ) = 5, Algebri egyelőtleségek. A9.. Litvái, 00. október Htározzuk meg z 5( b c ) (b 6c bc c) kiejezés miimumát, h, b, c vlós számok. A9.. Észtország, tvszi yílt versey, 00. ebruár, szeiorok, /5. b Legyeek, b vlós számok, b. Bizoyítsuk be, hogy. b b Mtemtik Okttási Portál, 6 /

7 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A9.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. /5. Az, y, z, t pozitív számokr y z t =. y z t ) Bizoyítsuk be, hogy ekkor y y z z t t b) Mikor áll e egyelőség?. A9.4. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. p /. Bizoyítsuk be, hogy pozitív vlós, b, c számokr ( b)( c) bc( b c). A9.5. Ausztráli, Mtemtiki Olimpi, 986, 6. eldt Adottk z, b,,,, vlós számok, b 0. Az... b b = 0 egyelet mide gyöke pozitív szám. Bizoyítsuk be, hogy gyökök egyelők. Algebri egyelőtleségek. A0.. Horvátország, 00, városi versey, 9. év. 4/4. Legye oly vlós szám, melyre 5 =. Bizoyítsuk be, hogy < 6 < 4, A0.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár, /4. c Az, b, c vlós számokr bc 0 és 0. Bizoyítsuk be, hogy ekkor bc 0( b c bc ) b 5c. A0.. Litvái, 997 Az, b és c pozitív számokr b c = 4 7. Bizoyítsuk be, hogy A0.4. Új-Zéld, 990 <. b c bc Bizoyítsuk be, hogy pozitív, b, c számokr h b c és b c, kkor b 5c. A0.5. Ázsii Mtemtiki Olimpi, 000. március, 4/5. Legyeek és k dott pozitív egész számok, > k. Bizoyítsuk be, hogy Mtemtik Okttási Portál, 7 /

8 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek k k ( k) k! < < k!( k)! k k ( k) k. Algebri egyelőtleségek. A.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p (idő: ór) /5. Htározzuk meg z vlós számokt, h ( ) < 8. ( ) A.. Kd, 00. ebruár, Mitob versey Bizoyítsuk be, hogy h, y, z pozitív vlós számok, kkor ( y z)( y) z( z)(y z) 0. A.. Ukrj, Mtemtiki Olimpi, 998. április,. év. Bizoyítsuk be, hogy h, y, z (0; ], kkor y z y z z y yz. y z A.4. Litvái, 00. október Tegyük el, hogy z vlós-vlós üggvéyre ebből, hogy ( ) ( ) ( )? ( ) ( ). Következik-e A.5. Görögország, 00, IMO válogtóversey 4/4. Bizoyítsuk be, hogy h z, b, c em-egtív vlós számokr b c =, kkor b c ( b b c c ). Mikor áll e egyelőség? b c 4 Algebri egyelőtleségek 4. A.. Litvái, 997 Htározzuk meg 5 y miimumát, h és y egész számok és 4 5y = 7. A.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 998,. p (idő: ór) / Mutssuk meg, hogy h 0 vlós szám, kkor 0 4 A.. Mcedói, 00,. orduló 0. év. /4. Mtemtik Okttási Portál, 8 /

9 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A p(t) = t bt c poliom együtthtói emegtív vlós számok. Bizoyítsuk be, hogy (p(y)) p( )p(y ). A.4. Blká Mtemtiki Olimpi, 00, juiorok, 4/4. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges, b, c pozitív vlós számokr 7. b( b) c(b c) ( c) ( b c) A.5. Vietám, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. p /. Az, b, c oly vlós számok, melyekre P() = b c poliomk három vlós (em szükségképpe külöböző) gyöke v. Bizoyítsuk be, hogy ( b). b 7c 6 0 Mikor teljesül z egyelőség? Algebri egyelőtleségek 5. A.. Dél-Arik, Potchestroom-versey, 00. július,. versey (idő: 4.5 ór) /4. Az 0, y 0 vlós számokr y =. Bizoyítsuk be, hogy y ( y ). A.. Litvái, Mtemtiki Olimpi, 998 b c d Az, b, c, d külöböző vlós számokr = 4 és c = bd. Legeljebb mekkor b c d b c d értéket vehet el? c d b A.. Jpá, 990, IMO válogtóversey,. orduló Legye > egész szám. Htározzuk meg K mimumát és G miimumát, h bármely,,, pozitív vlós számokr K <... < G. A.4. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p, (Idő: ór) /5. b c d Az, b, c, d pozitív számok összege. Bizoyítsuk be, hogy b b c c d d, s z egyelőség potos kkor teljesül, h = b = c = d =. 4 A.5. Ázsii Mtemtiki Olimpi, 996 Bizoyítsuk be, hogy háromszög oldli. b c b c c b b c, h, b, c egy Mtemtik Okttási Portál, 9 /

10 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Htváyközepek. A4.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár, juiorok, 4/ Bizoyítsuk be, hogy <. A4.. Brit Mtemtiki Olimpi, 000,. orduló, y, z pozitív vlós számok, yz =. Htározzuk meg 4y 4y z miimumát! A4.. Horvátország, 00, országos versey, 9. év. /4. Bizoyítsuk be, hogy mide, b, c > 0 és p 0 vlós számr teljesül z p b p c p p bc b p c c p b egyelőtleség. A4.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. /5. Bizoyítsuk be, hogy z, b, c pozitív számokr ( b c ) ( b c) b c. b c Mikor áll e egyelőség? A4.5. Észtország, 998, selejtező versey Legyeek,,, és y, y,, y oly vlós számok, melyekre > 0 és y, yy,, yy y. Bizoyítsuk be, hogy ekkor y y y. Htváyközepek. A5.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 9. év. 5/5., b, c emegtív számok, melyekre b c =. Bizoyítsuk be, hogy ekkor 7(b bc c) 9bc. Mikor áll e egyelőség? A5.. Horvátország, 00, országos versey, 0. év. /4. Bizoyítsuk be, hogy h, b, c -él gyobb vlós számok, kkor b c log b c logb c b logc bc c b bc. A5.. Görögország, Mtemtiki Olimpi, 000, /4. Mtemtik Okttási Portál, 0 /

11 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Htározzuk meg zt leggyobb k számot, melyre mide pozitív, y számr. ( y y )( y ) k teljesül A5.4. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. május, országos versey,. p /. Htározzuk meg z összes oly (, y, z) pozitív számokból álló számhármst, melyek kielégítik z lábbi egyeleteket: 4 y z = 6 és =. y z yz A5.5. Írország, Mtemtiki Olimpi, 00. május,. orduló (Idő: ór) 4/5. Bizoyítsuk be, hogy h 0 <, b, c <, kkor egyelőség? b c bc b c bc. Mikor áll e Htváyközepek. A6.. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 998,. orduló y z Htározzuk meg z y z kiejezés mimumát, h, y, z pozitív számok. A6.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 998,. p (Idő: ór) /5. Bizoyítsuk be, hogy h, b, c pozitív számok, kkor 9 ) ; b c b b c c b). b b c c b c A6.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. április, selejtező, 4/4. Tekitsük z 0,,,, 00 vlós számokt. ) Bizoyítsuk be, hogy z k( 00-k), 0 k 00 számok legkisebbike em gyobb, mit 4. b) Kphtuk-e egyelőséget z előző esetbe, h 0 k 00? c) Bizoyítsuk be, hogy z ) állítás kkor is igz, h z 0,,,, 00 számok mid pozitívk. A6.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. 5/5. Bizoyítsuk be, hogy h, b pozitív számok, melyekre < b és b =, kkor Mtemtik Okttási Portál, /

12 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek ) ( ) b < ; b) < b b. b A6.5. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Bizoyítsuk be, hogy h,,, pozitív vlós számok, kkor... ( ). Htváyközepek 4. A7.. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. május, dötő,. p /4. Htározzuk meg leggyobb C vlós számot, melyre h y =, kkor mide vlós, y (( y) 6)(( y) 8) számr ( y) C. Milye (, y) értékekre lép el egyelőség? ( y) A7.. Jpá, 990, NMO válogtóversey Az, y, z pozitív vlós számokr y z =. Htározzuk meg 4 9 miimumát. y z A7.. Kd, 996, yílt versey 6 pozitív szám összege 00, égyzetösszege 000. Bizoyítsuk be, hogy egyik szám sem gyobb, mit 5. A7.4. Ukrj, Mtemtiki Olimpi, 998. április, 9. év. Bizoyítsuk be, hogy h z, b, c pozitív vlós számokr bc =, kkor b bc c. b c A7.5. Törökország, Mtemtiki Olimpi, 998. december,. p (Idő: 4.5 ór) /. Bizoyítsuk be, hogy ( b)(b 4c)(c ) 60bc mide 0 b c vlós számr. Számti soroztok A8.. Spyolország, Mtemtiki Olimpi, 999,. helyi orduló,. p /. Htározzuk meg kezdőtgját k számti soroztk, melyre z lábbik teljesülek: ) A sorozt mide tgj pozitív. ) A diereci 0 és közé esik. Mtemtik Okttási Portál, /

13 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek ) Az első 999 tg összege 000. A8.. Oroszország, Mtemtiki Olimpi, 00, 4. (körzeti) orduló, 0. év. /8. Legeljebb háy pozitív egész számból állht z,,, számti sorozt, h diereciáj, és mide k =,,, -re k prímszám? A8.. Mcedói, 00,. orduló. év. Az,,, számok számti soroztot lkotk. Bizoyítsuk be, hogy... =.... A8.4. Észtország, 00. október, őszi yílt versey, szeiorok, /5. Egy háromszög oldlik hosszi és beírt köréek átmérője ebbe sorredbe számti soroztot lkot. Bizoyítsuk be, hogy háromszög derékszögű. A8.5. Új-Zéld, 99 Mutssuk meg, hogy z, 4, 7, 40, számti soroztb végtele sok lkú természetes szám v. Soroztok A9.. Új-Zéld, Mtemtiki Olimpi, 998,. ktegóri /5. Egy sorozt első tgj 7. Ezutá mide lépésbe kiszámoljuk z előző tg égyzetét, mjd z így kpott szám számjegyeiek összegét -gyel megövelve kpjuk z új tgot. Pl.: 7 = 49, 4 9 = 4 második tg; 4 = 96, 9 6 = 7 következő stb. Mi lesz sorozt 999. tgj? A9.. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. ord.. év. 6/6. Legye () =. Htározzuk meg z Mtemtik Okttási Portál, /

14 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Mtemtik Okttási Portál, 4 / összeget, h pozitív egész szám. A9.. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 998,. ord. Kiválsztuk 0 (egyorm) követ, melyek midegyike ehér vgy ekete, és sorb redezzük őket úgy, hogy két ekete em kerül egymás mellé. (Midkét szíű kőből elegedő meyiségű áll redelkezésükre.) Háyéle sorred készíthető? A9.4. Horvátország, 00, országos versey,. év. 4/4. Legye (), N pozitív egész számok egy övekvő sorozt. Azt modjuk, hogy sorozt k tgj jó, h elírhtó sorozt éháy másik (em szükségképpe külöböző) tgják összegekét. Bizoyítsuk be, hogy véges sok kivétellel sorozt mide tgj jó. A9.5. Ázsii Mtemtiki Olimpi, 000. március, /5. Htározzuk meg z = = 0 0 i i i i S összeget, hol 0 i i =. Rekurziók. A0.. Észtország, tvszi yílt versey, 00. ebruár, juiorok, 4/5. Az,,, soroztr = 0, =, = 5, h >. Mely értékekre oszthtó ) 5-tel, b) 5-tel? A0.. Brit Mtemtiki Olimpi, 000,. ord. Az () soroztot 0 =, = k ( ) -, módo deiiáljuk, hol k, pozitív egész. Htározzuk meg k zo értékeit, melyekre 000 tgj soroztk. A0.. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Az {u} soroztot u0 = 0, u =, u = 995u u ( ) rekurzióvl deiiáljuk. Htározzuk meg zo > értékeket, melyekre u prím.

15 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A0.4. Írország, Mtemtiki Olimpi, 00. május,. orduló (Idő : ór ) 4/5. Az,,, soroztot =, =, =, = módo deiiáljuk. Bizoyítsuk be, hogy pozitív egész szám, h. A0.5. Blká Mtemtiki Olimpi, 00. április, /4. Az,,,, sorozt rekurzív lkj = 0, = 0, =, h >. Htározzuk meg zo pozitív egész értékeket, melyekre 5 égyzetszám. Rekurziók. A.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 998,. p (Idő : ór ) 4/5. Az számsoroztr 0, tetszőleges pozitív vlós számok, Htározzuk meg 998 értékét. A.. Jpá, 990, NMO válogtóversey,. ord. =, h = 0,,, Az {} soroztr = és =, h. Htározzuk meg [00] értékét. A.. Brit Mtemtiki Olimpi, 998,. ord. 4/5. Mutssuk meg, hogy z egész számok hlmzá csk egyetle sorozt v, mely kielégíti következő eltételeket: =, =, 4 = és - = ±, h =,, 4, A.4. Észtország, 998, selejtező Legye k dott pozitív egész szám, s deiiáljuk z (E) soroztot következőképpe: E = k, E = E ke k ( ). Bizoyítsuk be, hogy (E) elemei párokét reltív prímek. A.5. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Legye pozitív egész szám. Bizoyítsuk be, hogy v oly k pozitív egész szám, melyre ( ) = k k. Rekurziók. A.. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 99,. ord. Meyi z 0 =, = és = () módo deiiált {} sorozt 99 tgják 7-tel vett osztási mrdék? Mtemtik Okttási Portál, 5 /

16 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A.. Belorusszi, 995,. év. Az soroztr 0 = = és = ( ) ( ), h 0. Htározzuk meg 995 értékét. A.. Németország, 999, országos versey,. ord. Az,,, és b, b, b, soroztokt = b = és = b, b = b módo deiiáljuk, h =,,, Bizoyítsuk be, hogy z sorozt bármely két eleme reltív prím. A.4. Bulgári, 00. ebruár Az,,,, soroztot következő módo deiiáljuk: = k, = 5k és =,, hol k vlós szám. Bizoyítsuk be, hogy h k =, kkor 7 8 =, h. ([] z egész részét jelöli.) A.5. Brit Mtemtiki Olimpi, 00. ebruár,. ord. (Idő :.5 ór ) /4. Bizoyítsuk be, hogy z y0 =, egész szám. y = y 5y 4, ( 0) sorozt mide tgj Poliomok A.. Mcedói, 00,. ord.. év. Alkítsuk szorzttá P() = poliomot! A.. Litvái, 00. október Htározzuk meg z összes p() poliomot, melyre p()p( ) = 8( ) mide vlós -re teljesül. A.. Cseh és szlovák, 00. október Htározzuk meg vlós együtthtós P() poliomot, h mide vlós -re ( )P( ) ( )P( ) = P(). A.4. Szlovéi, Mtemtiki Olimpi, 998, dötő,. év. /4. Htározzuk meg zo p() vlós együtthtós poliomokt, melyekre igz, hogy mide vlós -re ( 8)p() = 8( )p(). A.5. Kd, 996, olimpii előkészítő (levelező) Mtemtik Okttási Portál, 6 /

17 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Legye p pártl prím és ( ) p = p p. Mutssuk meg, hogy z,, 4,, p (p ), p (p ) számok p többszörösei. Rcioális számok A4.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. 4/5. ) Bizoyítsuk be, hogy log irrcioális szám. b) Vk-e oly, y irrcioális számok, melyekre y rcioális szám? A4.. Szlovéi, Mtemtiki Olimpi, 998,. orduló,. év. /4. Legye tetszőleges számjegy ( {0,,, 9}). Ezutá mide N eseté jeletse 9 98 szám tízes számredszerbeli lkjáb z utolsó számjegyet. Bizoyítsuk be, hogy 0, rcioális szám. A4.. Észtország, 998, dötő Legye oly vlós szám, melyre = [], hol [] z szám egészrészét jeleti. Bizoyítsuk be, hogy em rcioális szám. A4.4. Ausztri, Mtemtiki Olimpi, 00. május, országos versey,. p /. Htározzuk meg z összes oly m egész számot, melyre m = 0 egyelet gyökei rcioális számok. A4.5. Litvái, 00. október Bizoyítsuk be, hogy z origó középpotú egységsugrú kör kerületé végtele sok oly pot v, melyek midkét koordiátáj rcioális szám. Algebri trigoometri A5.. Mcedói, 00,. ord.. év. Htározzuk meg z lábbi kiejezés értékét: si si6 si cos cos6 cos si si si cos cos cos A5.. Litvái, 997 Bizoyítsuk be, hogy mide vlós -re és pozitív egész számr cos cos cos4 cos >. Mtemtik Okttási Portál, 7 /

18 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A5.. Cseh és szlovák Mtemtiki Olimpi, 00. juár,. ord. Mutssuk meg, hogy tetszőleges Mikor áll e egyelőség? π α, β 0, eseté t α tβ. cosα cosβ A5.4. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március, 0. év. 5/5. Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe teljesül z lábbi egyelőség és egyelőtleség (s háromszög élkerülete, r és R beírt, ill. körülírt kör sugr): α β γ ) r cos bcos ccos = s ; R α β γ b) r cos b cos c cos s. R A5.5. Észtország, 00, NMO válogtóversey,. p /. Legye 0 < α < π és,,, oly vlós számok, melyekre si si si siα. Bizoyítsuk be, hogy si( α) si( α) si( α) 0. Függvéyek, üggvéyegyeletek. A6.. Albái, Mtemtiki Olimpi, 00. március,. év. /5. Htározzuk meg z : R * R üggvéyt, h () * =, R. A6.. Észtország, Mtemtiki Olimpi, 999, dötő,. év. /5. Htározzuk meg z 000 kiejezés értékét, h () = A6.. Dél-Arik, Rhodes-versey, 00. április,. orduló (Idő : 4.5 ór ) /. Az : Z Z üggvéyre teljesül, hogy () =, () = () és ( ) = () mide pozitív egész számr. ) Htározzuk meg () mimumát, h N, 00! b) Htározzuk meg zo N, 00 értékeket, melyekre () elveszi mimumát! A6.4. Thiöld, Mtemtiki Olimpi, 00 Mtemtik Okttási Portál, 8 /

19 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A természetes számok hlmzá értelmezett () üggvéyre (0) = () = és ( ) ( ) () =, h. Bizoyítsuk be, hogy mide -re () = és! ( )! ( ) =. ( )! A6.5. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló,. év. /6. Htározzuk meg z : R R üggvéyt, h () = ( ) és ( y) = () (y) 8y 5 mide vlós, y-r. Függvéyek, üggvéyegyeletek. A7.. Brzíli, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló,. év. Tekitsük z () = 4 üggvéyt. Háy megoldás v z (( (()))) = egyeletek, hol z üggvéyt 00-szer lklmzzuk? A7.. Szlovéi, Mtemtiki Olimpi, 998, dötő,. év. /4. Htározzuk meg zo : R R üggvéyeket, melyekre () ( ) = mide R eseté. A7.. Thiöld, Mtemtiki Olimpi, 00 Legye z () = 4 b c üggvéyre [( )] [( )] = 7 (, b, c vlós számok). Htározzuk meg () segítségével p() poliomot, h = ( 4 ) p(), hol p() csk -től ügg. A7.4. Észtország, 996 Htározzuk meg zo : R R üggvéyeket, melyek mide vlós számr eleget teszek z lábbi eltételekek: ) () = ( ); b) ( ) = () ; c) = (), i 0. A7.5. Belorusszi, 997, válogtóversey Htározzuk meg z összes () üggvéyt, melyre : R R, ( y) ()(y) = (y) () (y) teljesül. Függvéyek, üggvéyegyeletek. Mtemtik Okttási Portál, 9 /

20 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek A8.. Litvái, 997 Periodikus z () = si cos( ) üggvéy? A8.. Irá, Mtemtiki Olimpi, 995 V-e oly : R R üggvéy, mely eleget tesz z lábbi eltételekek: ) () =, b) v oly M > 0 vlós szám, melyre M < () < M, c) h 0, kkor ()? = A8.. Írország, Mtemtiki Olimpi, 999,. p (Idő : ór ) /5. Az : N N üggvéyre (hol N pozitív egész számok hlmz) teljesül, hogy ) (b) = ()(b), h és b reltív prímek; b) (p q) = (p) (q), h p és q prímek. Bizoyítsuk be, hogy () =, () = és (999) = 999. A8.4. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló A rcioális számok hlmzát jelöljük Q-vl. Tekitsük zokt z : Q Q üggvéyeket, melyek eleget teszek z lábbi eltételekek: ) (0) =, () = ; ) ( ) () = (( ) ()), mide rcioális -re és egész -re; ) mide emzérus rcioális -re () =. Htározzuk meg z () = 00 egyeletek eleget tevő rcioális számokt. A8.5. Romái, 997, NMO válogtóversey Htározzuk meg zo : R [0, ) üggvéyeket, melyekre mide vlós, y eseté ( y ) = ( y ) (y). Alízis A9.. Horvátország, 00, országos versey,. év. /4. Htározzuk meg z s = 4 9 összeg értékét, h <. A9.. Új-Zéld, 99 Az u és v soroztokt =,, eseté u = 0, u = (u v); v =, v = 4 (u v) módo deiiáljuk. Mtemtik Okttási Portál, 0 /

21 Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek ) Htározzuk meg soroztok első égy tgját. b) Mutssuk meg, hogy u -hoz trt, h közelít végtelehez. c) Meyi v htárértéke? A9.. Bulgári, 00. ebruár Az,,,, soroztot következő módo deiiáljuk: = k, = 5k és =,, hol k vlós szám. sorozt koverges. Htározuk meg zo k értékeket, melyekre z { } = A9.4. Jpá, Mtemtiki Olimpi, 00,. orduló Htározzuk meg z lábbi kiejezés miimumát: y (, y > 0). y y A9.5. Észtország, Mtemtiki Olimpi, 999, dötő,. év. /5. Htározzuk meg ( ) l d értékét. Mtemtik Okttási Portál, /