Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. útmutatások. x arányt, vagy

Átírás

1 Elem lgebr. útmuttások A.. Négyzetre emeléssel szmmetrkussá tehetjük törtet. Más megoldás lehetőségek: A homogé másodfokú egyeletből megkphtjuk z y ráyt, vgy lklmzhtuk prméterezést: + y y = p prméterezéssel megoldjuk z egyeletredszert. + y y = ±. A.. Botsuk prcáls törtekre!, 5 ± =, h 0. A.. Jelölések: : kezdő láyok, y: hldó láyok, z: kezdő fúk, w: hldó fúk. Ekkor z + w z + z w = 0,55( + y + z + w), = és keresedő. w y + w y z + w w Írjuk fel -t, s mutssuk meg, hogy = 0,55. w y + w y 9 =. w A.4. H 0, kkor lklmzzuk z = Egy másk lehetőség: vzsgáljuk két függvéy htárértékét -be. =, b = 0. =. A.5. Az egyeletet átlkítv ( )( ) 0 b, mjd = 0 helyettesítést. Mtemtk Okttás Portál, / 4

2 A megoldásszám. Elem lgebr. útmuttások A.. Szorozzuk be z egyeletet ( + ) ( )-vel, s hszáljuk fel 00 b 00 evezetes szorzttá lkítását. =. A.. Szorozzuk meg z egyeletet + y + z-vel! A.. Redezés utá ( + b) + ( + b) + ( + b)b = ( + b)( + )(b + ) = 0. Itt = b eseté mde 0 megoldás; b eseté = vgy = b. A.4. Ld. z előző feldtot. Redezve ( + b)(b + c)( + c) = 0 dódk, mből z állítás következk. Megjegyzés: Rég KöML-feldt volt következő: Bzoyítsuk be, hogy h + y + z = és + + =, kkor z, y, z számok közül vlmelyk egyelő -vl. y z A.5. Mutssuk meg, hogy f () + f =. 00. Egészrész, törtrész. A.. Mutssuk meg, hogy cs megoldás, h ) < ; ) ; ). = 5. A.. Adjuk össze három egyeletet, és hszáljuk fel, hogy [r] + {r} = r. Mtemtk Okttás Portál, / 4

3 (, y, z) = (00,5; 00,95; 99,05). A.. ) m < (m + ). b) Az előzőek lpjá = m, m + m vgy m + m lehet. A (mod 997), ezért z,,,, 995 számok külöböző, emzérus mrdékokt dk (mod 997). Így z = átírás utá z összeg mellett törtrészek összege zérus élkül teljes mrdékredszer mtt. 997 A.5. Mutssuk meg, hogy =,,, eseté teljes mrdékredszert lkot mod! Az összeg értéke emtt 0 = Egészrész, törtrész. A4.. Mutssuk meg, hogy <! A4.. Alkítsuk teljes égyzetté gyök ltt kfejezést, s jobb oldl értékkészlete lpjá vzsgáljuk meg z egyes eseteket. ([ s] = vgy [ s] = lehetséges csk.) = 0 vgy < A4.. Mde -re és ( + ) között drb egész szám v, melyek egész része. Mvel 00 = , keresett összeg ( + ) Megjegyzés: 4 = Mtemtk Okttás Portál, / 4

4 Hsoló feldtot tűztek k z 984. év erdély Kockfej mtemtk verseye, e szármzk z lább áltláosítások (Becze Mhály: Erdély és emzetköz mgyr mtemtk verseyek, 997, Fulgur): Bzoyítsuk be, hogy ) [ ] + [ ] [ ] b) [ ] [ ] [ ] c/ [ ] [ ] [ ] = 6 ( )( ); + = 6 ( )(4 + ); + = 4 ( )( + ); = ( )( + )( )(+)(5 6). 60 d/ [ ] [ ] ( )[ ] A4.4. A + > + + egyelőtleség segítségével mutssuk meg, hogy < < és szomszédos természetes számok, közöttük em lehet égyzetszám. A4.5. Mvel = <, ( + ) + ( ) kfejtett lkj α él gyobb és α + - α él ksebb páros egész szám lesz. Megjegyzés: Egy többféle áltláosítás lehetőség közül: Legye α = +. Bzoyítsuk be, hogy α [α ] = α, h emegtív egész. Mgsbbfokú egyeletek. A5.. Vegyük észre, hogy = + 4 és b = 5 + helyettesítéssel z egyelet + b = ( + b) lkú lesz. = 4, Megjegyzés:,, ( = háromszoros gyök). Ugyezt feldtot tűzték k z 99. év vác II.Nemzetköz Mgyr Mtemtkversey. osztályos számár. A5.. Alklmzzuk = helyettesítést. Mtemtk Okttás Portál, 4 / 4

5 . A5.. A Vet-formulák felhszálásávl égy egyeletet kpuk égy smeretleel. Ie p-re hrmdfokú egyeletet dódk, melyek egy gyökét köye megtlálhtjuk. A5.4. Nylvá Z. Az, b, c gyökök eseté írjuk fel gyökök és együtthtók között összefüggéseket z + b + c, b + bc + c és bc kfejezésekre, s e fejezzük k + b + c -et. Kpjuk: + b + c = 6. = ±. A5.5. ) Alklmzzuk számt-mért közép között egyelőtleséget z y, yz, z számokr, e yz 8; mjd,, y, z számokr lklmzv z egyelőtleséget, yz 8, s egyelőség eseté = y = z =. b) Az + y + z, y + yz + z és yz segítségével írjuk fel hrmdfokú egyelet Vetformulát: + y + z =, y + yz + z = és yz = + eseté z f(t) = t t + t = 0 egyelet három gyöke, y és z. Legye pl. = 7; ekkor f( 5) < 0, f( 4) > 0, f( ) > 0, f( ) < 0, f(0) > 0. Mgsbbfokú egyeletek. A6.. A égyzetre emelések utá kpott egyedfokú egyeletek = és = s gyöke. =. Másodk megoldás: Bevezetve t = smeretlet és z f(t) = 4 t függvéyt z egyelet f(f(t)) = t lkú. f fogyó, így lehet oly megoldás s, melyre f(t) t, ekkor vszot t és f(t) s megoldások. H v t f(t) lkú megoldáspár s, kkor t = f(t) típussl együtt v három megoldás égyzetre emelések utá kpott egyedfokú egyeletek. Így kell lee egy egyedkek s, m csk t f(t) típusú lehet, így vszot már öt megoldást kpuk, m elletmodás. A6.. Az ( + + ) 4 külöbség szorzttá lkíthtó. = ( = ) és = ( = ). Mtemtk Okttás Portál, 5 / 4

6 A6.. Az = tgα (ekkor tgβ = ) helyettesítéssel szmmetrkus (htodfokú) egyeletet kpuk. Az + = y bevezetése utá dódó hrmdfokú egyeletek y = 4 gyöke. tgα = ±. Ie háromszög két hegyesszöge 5 és 75. A6.4. A gyökök 0-r szmmetrkus helyzetűek. 8 =. 9 A6.5. Az egyees egyeletéek felírás utá metszéspotokr hrmdfokú egyeletet kpuk, melyek két gyökét smerjük. = 99. Algebr egyeletredszerek. A7.. Adjuk össze z egyeleteket, és lkítsuk égyzetösszeggé! (,,, 4, 5) = (,,, 4, 5). A7.. Legye pl. y = p, s lklmzzuk Vet-formulákt és z elem szmmetrkus polomok tételét! A lehetséges értékek: {,, 0,, }. A7.. A cklkus szmmetr mtt z egyeletredszerek potos kkor v egy, y, z megoldás, h = y = z. Ekkor z egyeleteket összedv lkítsuk k égyzetösszegeket. p = ±. by cz A7.4. Mutssuk meg, hogy + + = ( = y b = z c). y z Mtemtk Okttás Portál, 6 / 4

7 b c bc A7.5. A 4 = egyelet helyettesítéssel 4 = + y + z + yz lkb yz z y yz írhtó; e pedg áttérhetük 4 = 4s u + 4s v + z + 4su sv z egyeletre. Az = yz s u, b = z s v, c = y(cosu cos v s u s v) összefüggéseket felhszálv z első egyeletből ( cosv y cosu) + ( s v + y s u z ) = 0 b + c c + + b (, y, z) =,,.. Algebr egyeletredszerek. A8.. A másodk egyelet szorzttá lkíthtó, pl. -et prméterek tektve. (, y) = (, 6), (, 6), (0, 4), ( 5, 9), (9, 99). A8.. Vojuk k másodk egyeletből z elsőt: ( )( ) + ( )( ) ( 00 )( 00 ) = 0, mjd bl oldlt lkítsuk em-egtív együtthtójú égyzetösszegekké. k =, k 00. A8.. Ld. A.7.. {0,,}. A8.4. Adjuk össze z egyeletek égyzetét! + b = 00. Megjegyzés: H z = + b, kkor z = és így ( z z) = 00, zz + b = z z = 00. A8.5. Az első egyeletből geometr megfotolásokkl 4y = dódk. (Az A(0; 0), B(4; ), P(; y) potokr PA + PB = AB.) Mtemtk Okttás Portál, 7 / 4

8 (; y) = (;,5). Algebr egyelőtleségek. A9.. A ( c) + (b c) + ( b) ( c) átlkítás utá írjuk fel kfejezést égyzetek összegekét! A mmum értéke és kkor dódk, h (, b, c) = (,, ). A9.. Vzsgáljuk meg z y kfejezés és gyságvszoyát, pl. b előjele lpjá! y A9.. ) Először mutssuk meg, hogy, mjd szmmetrkus + y 4 egyelőtleségeket lklmzzuk több tgr s. b) = y = z = t = 4. A9.4. Alklmzzuk z + b =, + c = y, b + c = z (, y, z > 0) helyettesítést, s mutssuk meg, hogy, y, z lehet egy háromszög három oldl. Ekkor s = + y + z bevezetésével y s(s )(s y)(s z). b A9.5. A Vet-formulákt lklmzv =, = =. b Felírv z (,,..., ) és,,..., vektorokr Cuchy-Schwrtz-Buykovszkj- egyelőtleséget, kpjuk, hogy csk z = =... = = esetbe állht fe egyelőség. Algebr egyelőtleségek. A0.. Az 6 + = + átlkítás segít z lsó becslésbe; z + = + pedg felső becslést dj. (Alklmzzuk recprok-egyelőtleséget.) A0.. A feltételt átlkítv bc bc. Ezt célállítássl egybevetve elég belát, hogy 0( + b + c bc ) b + 5c. Alklmzzuk Cuchy-Schwrtz-Buykovszkjegyelőtleséget z (,, 5) és (, b, c) vektorokr! Más megoldás lehetőség: Mtemtk Okttás Portál, 8 / 4

9 A 0 (c + 5b) + 0b + 0c 0bc 0 prméteres egyelőtleségbe (z változób másodfokú) vzsgálhtjuk dszkrmást (esetleg újbb másodfokú prméterezéssel). A0.. Az drekt feltevésből b bc c ; fejtsük k ( + b c) -t. A0.4. Iduljuk k ( + b + c) kfejtett lkjából s becsüljük lulról b-t b -tel stb. k b A0.5. Alklmzzuk b = k helyettesítést, ekkor < k b < bzoyítdó + k egyelőtleség. Mvel = (k + b), bomáls tételből jobboldl egyelőtleség következk. k b k b k Ezutá mutssuk meg, hogy tetszőleges j > 0-r >, s ebből már következk k+ j b j k b k + j bl oldl egyelőtleség. Algebr egyelőtleségek. A.. Gyökteleítsük bl oldl tört evezőjét, mjd lklmzzuk z y = + helyettesítést. < <, 0. A.. A kfejezés és y változókb szmmetrkus, ezért y z és z y és z y megvzsgáldó esetek. Alklmzzuk z első esetbe y = + ε és z = + ε + δ helyettesítést (ε, δ 0), s hsolót másk esetbe s. A hrmdk eset trváls. A.. Mutssuk meg, hogy + y + z. + y + z A.4. Ige, következk. Előbb mutssuk meg, hogy gz z egyelőtleség 4 tgr, mjd + + lklmzzuk kpott eredméyt,, és tgokr! Megjegyzés: Tetszőleges -re s dódk, hogy Jese-egyelőtleség f f () + f ( ) f ( ) ; ez Mtemtk Okttás Portál, 9 / 4

10 A.5. Legye = (b ), = b (c ), = c ( ), b =, c + y =, b + y c =, s lklmzzuk z (,, ) és (y, y, y) vektorokr Cuchy + y Schwrtz egyelőtleséget. Ebből következőe elég belát, hogy 4 (b + ) + b (c + ) + c ( + ). Ehhez hszáljuk fel z + b + c = feltételt és lklmzzuk redezés tételt. Egyelőség z = b = c = esetbe teljesül. Algebr egyelőtleségek 4. A.. Két esetet vzsgáljuk és y (külöböző) előjele lpjá. A mmum, h = és y =. A = ( ) ( ). A.. Az ((y) + b(y) + c) (( ) + b( ) + c)((y ) + b(y ) + c) egyelőtleség átlkítás utá 0 b y ( + y y) + c( 4 + y 4 y ) + bc( + y y) lkot ölt. A.4. A Cuchy-Schwrtz egyelőtleségből ( b( + b) c(b + c) ( + c) b c ( + b) + (b + c) + ( + c) ) átfoglmzv elég belát, hogy ( + b + c) Ezutá lklmzhtjuk b c számt és égyzetes közép között egyelőtleséget. A.5. Az egyelőtleséget átlkítv 6( b) 7c + 0( b) /. H α, β, γ három gyök, Vet-formulákkl 6(α + β + γ)(α + β + γ ) 7αβγ + 0(α + β + γ ) / bzoyítdó egyelőtleség. H α + β + γ 0, botsuk meg szmmetrát: α β γ, s lklmzzuk z α + β + γ = 9 helyettesítést. Ie α =, β = γ = következk. Egyelőség kkor és csk kkor lehet, h (α, β, γ) = ( t, t, t), ll. ezek permutácó. (, b, c) = ( t, 0, 4t ). Algebr egyelőtleségek 5., ezt Mtemtk Okttás Portál, 0 / 4

11 A.. Alklmzzuk z = + d, y = d szmmetrzácót (0 d )! b A.. Legye = p, = q, ekkor p + q + + = 4 és p + q + mmumát b c p q p q keressük. Mvel p és q ellekező előjelű, pl. p + és így q + 6. p q p + q +. p q A.. H evezőket megöveljük re, z összeget csökketettük; ugykkor z eredet összeget dj K, G. A.4. Iduljuk k z + b b 4 típusú egyelőtleségekből. Más megoldás lehetőség: A Cuchy Schwrz Buykovszk egyelőtleséget lklmzhtjuk z b c d,,, és ( + b, b + c, c + d, d + ) vektorokr. + b b + c c + d d + A.5. ( y) = + y + y ( + y) +, mjd legye = + b c, y = b + c; ekkor + b c + b + c. Htváyközepek. A4.. Párosítsuk z, 00 számokt s lklmzzuk rájuk számt mért közép között egyelőtleséget! A4.. Alklmzzuk számt-mért közép között egyelőtleséget z, y, y, 4y, z, z számokr! (, y, z) = (4,, 4) eseté 96 mmum. A4.. A mért és égyzetes közép között egyelőtleség mtt elég belát, hogy Mtemtk Okttás Portál, / 4

12 ( p+ + b p+ + c p+ ) p (b + c ) + b p (c + ) + c p ( + b ), ehhez pedg hszáljuk fel, hogy p+ + b p+ p b + b p. A4.4. Alklmzzuk számt-mért közép között egyelőtleséget z,, számokr, b c mjd z, b, c számokr számt-égyzetes közép között egyelőtleséget. Ezekből következk, hogy + b + c + +, s e szorozzuk b c ( ) + b + c + -tel. Egyelőség z = b = c esetbe állht fe. A4.5. Legye y = α, ekkor S = (α ) + (α ) + + (α ) 0 z állítás. Az S = (α ) + (α ) + + (α ) bevezetésével S = S( ) + S( ) + + S ( ) + S. Ezutá elég belát, hogy S 0, mely számt-mért közép között egyelőtleségből következk z α, α,, α, számokr felírv. Megjegyzés: Az állítás z Abel-egyelőtleség ylvávló következméye. Htváyközepek. A5.. A 7(b + bc + c)( + b + c) ( + b + c) + 9(bc) egyelőtleségből b + b + b c + c b + c + c ( + b + c ) következk. Ie számt-mért közép között egyelőtleség párokét felírásávl léphetük tovább, pl. z,, b számokr lklmzv stb. A5.. Iduljuk k z bc és bc számokr felírt számt és mért közép között egyelőtleségből! (Következméy: bc + bc.) A5.. Négyzetre emelés és =, y = b helyettesítés utá kpjuk, hogy k + b 4 b b A és számokr felírv zámt mért közép között egyelőtleséget, b. + b, s e k 4. b Más megoldás lehetőség: Mtemtk Okttás Portál, / 4

13 A c = b helyettesítés utá vzsgáljuk meg, hogy c (k 4)c + 0 egyelőtleségek mlye k értékekre v megoldás. k = +. A5.4. Vezessük be z = + y + z, b = y + yz + z, c = bc szmmetrkus helyettesítést, mjd lklmzzuk z, b, c számokr számt-mért közép között egyelőtleséget, cskúgy, mt z y, yz, z, 4 számokr. Az r 8 és r 8 feltételekből r = 8. = y = z =. b c A5.5. Alklmzzuk számt mért közép között egyelőtleséget z,, b c poztív számokr, mjd hsoló módo mutssuk meg, hogy ( )( b)( c) bc. Másodk megoldás: Mutssuk meg, hogy z f() = Jese-egyelőtleséget. függvéy [0; [ tervllumo kove, s lklmzzuk Htváyközepek. A6.. Alklmzzuk z összefüggést! 6, 6, 6, 6 y, 6 y, z 6 számokr számt-mért közép között A mmum 6 6. A6.. ) Pl. + b = stb. helyettesítés utá lklmzzuk számt mért közép között egyelőtleséget. b) Iduljuk k 4 + b + b típusú egyelőtleségekből! A6.. ) Az 00 számr 00( 00) 4. b) Nem, ellepéld pl. k =, k 00, és m =, 00 m 00. Mtemtk Okttás Portál, / 4

14 c) H k leglább egy számr, kkor z állítás teljesül. Egyébkét z 4 becsülhetük. 00 -el A6.4. ) Az = t helyettesítéssel + t = b. Súlyozott htváyközepeket lklmzv ( + b ( t ) -t (t ) t < + t ) t. Kpjuk: b b < + t t <. ( ) b) Az ) feldt b b < egyelőtleségéből már következk. A6.5. Vegyük észre, hogy h + =, kkor = = = + + = + + = = = + = tgokr számt-égyzetes közép között egyelőtleséget. + = 0, s így. Ezutá lklmzzuk szomszédos és + Htváyközepek 4. A7.. A z = ( y) ( z + )(z + 8) helyettesítéssel mmumát keressük, m recprokegyelőtleséggel vgy számt-mért közép között egyelőtleség lklmzásávl z htározhtó meg. C = 8, h (, y) = ( +, + ), (, ), ( +, + ), (, ). A7.. Alklmzzuk számt hrmokus közép között egyelőtleséget z, y y z z z,,,, számokr. A mmum 6. A7.. Legyeek számok 5 b. A számt égyzetes közép között 5 5 egyelőtleség mtt 0, s e b-re másodfokú kfejezést kpuk. 5 = = típusú átlkításokt, s lklmzzuk számt- + b + c A7.4. Végezzük el z = + c( + ) mért közép között összefüggést. Mtemtk Okttás Portál, 4 / 4

15 A7.5. Becsüljük és lklmzzuk számt-mért közép között összefüggést: ( + b)(b c)(c + ) ( + b) (b + c) ( + c) = ( + b)(b + c)( + c) 5 b bc c. Számt soroztok A8.. H kezdőtg > 0, dfferec d, kkor z első 999 tg összegére d = 000. Ie d =, s eek kell 0 és közé ese < <. 999 A8.. Mutssuk meg z 5-ös mrdékok vzsgáltávl, hogy, s djuk kostrukcót. Legfeljebb három tgú lehet sorozt; =, = 4, = 6. A8.. Jelöljük z,,, számok átlgát z-vel. Ekkor = z A8.4. Legye r beírt kör átmérője, d sorozt dfferecáj, s félkerület. A területet (r + d) kétféleképpe felírv sr = s(s (r + d))(s (r + d))(s (r + d)). Mvel s =, 6r = r + 4d következk, tehát z oldlk r + d = d stb. A8.5. = + 7, = 7094, = stb. Soroztok A9.. Az első éháy tgot felírv 7, 4, 7, 0, 5, 8,, 5, -hosszú peródust vehetük észre. A9.. Vegyük észre, hogy f() + f =! Mtemtk Okttás Portál, 5 / 4

16 Az összeg értéke. A9.. Megjeleek -től kezdődőe Fbocc-számok. 44. A9.4. H sorozt p és q két tgj (p > q) ugyzt mrdékot dj (mod ), kkor p = q + m. A9.5. Vegyük észre, hogy z. és (0 ). tg összege. Az összeg értéke 5. Rekurzók. A0.. ) A rekurzó mtt potos kkor oszthtó 5-tel, h s. b) Pl. z + = 4 5 átlkítás mtt + potos kkor oszthtó -ml, h h s, ezért elég megvzsgál, és értékét mod. ) H pártl. b) h = 6k + lkú. A0.. Mutssuk meg, hogy + = k, s e 4m = 4mk +, 4m+ = k, 4m+ = (4m + )k, 4m+ =. k =,, 87, 667, 00. A0.. u = 995 em prím. Ezutá mutssuk meg pl. m (m ) szert teljes dukcóvl, hogy um = um(um + um ) és um + = u m + u m. Ncs prím tgj soroztk. A0.4. Vegyük észre, hogy prtásától függőe + + = + vgy 4+. Másképpe: Mtemtk Okttás Portál, 6 / 4

17 A rekurzóból = +, ho redezés utá b = = = b ( 4). b =, b = 4 egészek és így + = b egész, e + poztív (b ). A0.5. Legye b = + + és c = + 5+, ekkor 5+ = b+ + b, + = b+ b, végül c+ c = b + b. Ie c+ b + = c b, vgys külöbségsorozt álldó. c b = 67, s mvel c = m égyzetszám, (m + b)(m b) = 67. Megmutthtó, hogy c sorozt mooto, s ezért = z egyetle megoldás. Rekurzók. A.. Mutssuk meg, hogy 5 = 0 és 6 =, s ezért sorozt perodkus =. 0 + Másképpe: A rekurzóból: = + + = +, ho + = = = ( + ), tehát sorozt öt szert perodkus. A.. Összedv z + = + + típusú egyeleteket, 00 = ; 99 ezutá mutssuk meg (tudvá, hogy sorozt övekvő), hogy jobb oldl em ér el 5- öt. [00] = 4. A.. Először mutssuk meg, hogy sorozt szgorú mooto övekvő. Mvel >, h ± >, z + = tört em dht ± értékek mdegykére egész értéket. Ezutá elég belát, hogy z =, =, + = + - rekurzó kelégít soroztot. A.4. Először bzoyítsuk szert teljes dukcóvl, hogy k és E reltív prímek. Ezutá mutssuk meg, hogy > m eseté E = qmem + k lkb írhtó, hol qm egész szám. Ie már következk, hogy E és Em reltív prímek. Mtemtk Okttás Portál, 7 / 4

18 A.5. Vegyük észre, hogy ( + ) = + b és ( ) = b = Z, s e ( ) ( ) b. lkú, hol, b H páros, ( ) = b + b, h pártl, ( ) = + Rekurzók.. A.. A mrdékok 0-hosszú cklust lkotk.. A.. Adjuk össze z -re felírt egyeleteket! 995 = 995!, áltláb =!. A.. b+ =, + =. Mvel (, ) =, zt mutssuk meg teljes dukcóvl, hogy + reltív prím mde korább tghoz. A.4. Mutssuk meg pl. teljes dukcóvl, hogy =, s ebből z állítás lgebr átlkításokkl dódk. A.5. A rekurzót átlkítv y+ y+y + y + = 0, mjd helyére -et helyettesítve (y+ y-)(y+ y + y-) = 0. Ezutá lklmzzuk teljes dukcót! Polomok A.. Két másodfokú polom szorztát z együtthtók egyeztetéséek módszerével keressük. A.. Egyeztessük másodfokú polom együtthtót! Ht megoldás v: p() = ± ( 9), vgy p() = ± ( ± 6 + 9). Mtemtk Okttás Portál, 8 / 4

19 A.. Vzsgáljuk meg P() = + b + c + d + polomr felírhtó egyeletet. Az együtthtók egyeztetése utá + c = c, ll. b b + d = d összefüggéseket kpjuk. P() = + d, hol, d tetszőleges vlós számok. Más megoldás lehetőség: Helyettesítsük helyébe -et és -et! A.4. Helyettesítsük redre z =, =, mjd = 4 értékeket z egyeletbe! Ie p() = ( )( 4)( 8)q() következk, melyet vsszhelyettesítve q() = q() mde -re. Ez csk úgy lehetséges, h q() kosts polom. p() = c( )( 4)( 8), c R. A.5. A bomáls tétel szert ( + ) p kfejtett lkjáb együtthtój p p(p )...(p + ) =, s ez p többszöröse. Ezutá vzsgáljuk meg sorr ( + ) p = ( +! ) ( + ) p = + ( + ) + ( + + ) + + p p együtthtót. Rcoáls számok A4.. ) Idrekt okoskodássl elletmodást kpuk számelmélet lptételével. log b) Pl.. A4.. Az {} sorozt perodkus, hsze véges sok végződés lehetséges. Megjegyzés: Egyébkét 9(9 + 8) + 8 = (mod 0) mtt peródus hossz. Hsoló mutthtó meg, hogy tetszőlegese sok utolsó számjegyet és tetszőleges mgsbbredű, egész együtthtós leárs rekurzót tektve s gz z állítás. A4.. H rcoáls, z [] = 0 egyelet dszkrmásák égyzetszámk kellee lee, de ez em teljesül. Mtemtk Okttás Portál, 9 / 4

20 A4.4. Mutssuk meg, hogy = y lkú, hol y egész; mjd z y y + 9m = 0 egyelet gyökere votkozó Vet-formulákt lklmzhtjuk. (Az + b + c = 9 egyeletek léyegébe két külöböző megoldás v.) m = 0. A4.5. Vegyük fel (0, ) poto áthldó, rcoáls meredekségű egyeeseket. Algebr trgoometr A5.. Párosítsuk s α s α és cosα cos α tgokt! A kfejezés értéke. A5.. Először lássuk be, hogy cosα + cosα ; ezutá lklmzzuk ( cos + cos + cos4 + + cos ) ( cos + cos ) + ( cos + cos4 ) + + ( cos + cos ) becslést. s( α + β) A5.. tgα + tgβ = átlkítás utá elég megmutt, hogy cos α cosβ cos α cosβ + cos α cos β cos α cosβ (tt pedg teljes égyzetté lkíthtuk). α R A5.4. ) Mutssuk meg, hogy cos = + s(α) és s(α) + s(β) + s(γ) = 4sαsβsγ, vlmt lklmzzuk háromszögek területképletet! b) Alklmzzuk számt és égyzetes közép között egyelőtleséget α β γ cos, b cos, c cos számokr. cosα A5.5. Az drekt feltételből cos + cos + + cos > (s s ) s α cosα, e (s + s + + s) + (cos + cos + + cos) >. Ugykkor bl oldl. ( drb egységvektor összege bszolút értékéek égyzete.) Függvéyek, függvéyegyeletek. Mtemtk Okttás Portál, 0 / 4

21 A6.. Helyettesítsük -et, mjd -et, s küszöböljük k z f -es tgokt. f () = + 8. A6.. Mutssuk meg, hogy f () + f = A6.. Vegyük észre, hogy f() z szám -es számredszerbel lkjáb számjegyek összege. f() mmum 0, s ezeket felvesz z 0, 55, 79, 99, 98 helyeke. A6.4. Előbb írjuk fel páros helyettesítés értékeket, s szorozzuk össze z egyeleteket; mjd ugyezt végezzük el pártl helyettesítés értékekre s. Ie lgebr átlkításokkl következk már z állítás. A6.5. Helyettesítsük y helyére -et, mjd helyébe 0-t! f() = 4 5. Függvéyek, függvéyegyeletek. A7.. Hldjuk külső függvéy felől! megoldás v: = vgy =. A7.. Helyettesítsük -et helyébe, s ejtsük k f( )-et. () = f Mtemtk Okttás Portál, / 4

22 A7.. Először mutssuk meg z együtthtók egyeztetésével, hogy 8, mjd összegezzük f[( + )] f[( )]-et z =,,, 7 értékekre. p() = f () = + A7.4. Tektsük g() = f() függvéyt! Erre z ) és c) feltétel érvéybe mrd, b) g( + ) = g() lkr módosul. Az első két feltételből g(0) = g( ) = 0, mjd 0, eseté áltláb s megmutthtjuk, hogy g() = g(). f() =. A7.5. Alklmzzuk z = y = 0 helyettesítést, mjd hldjuk szert, hogy f(0) = vgy f(0) = 0. (Ez utóbb ehezebb; = y = helyettesítés utá f() = 0 vgy f() = lehet.) f() = 0, f() = vgy f() =. Függvéyek, függvéyegyeletek. A8.. H f() perodkus, kkor f() + f( ) s z; de cos( ) zérushelye em perodkusk. Nem. A8.. Legye legksebb egész szám, melyre f() <, h 0. Mutssuk meg, hogy ekkor f Ncs lye függvéy. <, f >, s helyettesítsük z eredet egyeletbe helyére -et. A8.. Pártl prímekre ) mtt f(p) = f()f(p). Redre meghtározhtjuk f(4), f(5), f(7) értéket f() függvéyébe, mjd f() = f(4 ) és f() = f(5 + 7) összefüggésekből f()-t. Hsoló folytthtjuk f(5), f(7), f(4), f(), f() stb. értékekkel. Mtemtk Okttás Portál, / 4

23 A8.4. Legye p = lkú (p, q reltív prím egész számok, p > 0, q 0), és mutssuk meg, q p hogy feltételekek eleget tevő függvéyre f = pq +. q 5 6 (p, q) = (, 000), (6, 5) és fordítv; így = 000,,, lehet. A8.5. Helyettesítsük = y = 0-t z egyeletbe, mjd vegyük észre, hogy f() + f(b) = ( b ) f, mjd =,b = y helyettesítéssel g( + y) = g() + g(y), mde poztív, y-r; zt pedg tudjuk, hogy leárs függvéy eze egyelet megoldás. f + kelégít függvéyegyeletet. Ie g() = ( ) f() = k, 0. Alízs A9.. Szorozzuk meg ( )-szel, mjd ( ) -tel és ( ) -l s-et! + s = ( ). A9.. Mvel d+ = u+ v+ = 4 (u v) s d =, d+ = lkjából küszöböljük k v-et. 4. Ezutá u+ rekurzív u = 4, v = u + 4, mdkét sorozt htárértéke. A9.. Mvel + + = (+ ), külöbségsorozt mért sorozt. Eek kovergecáj elégséges feltétel. k =. Megjegyzés: Mtemtk Okttás Portál, / 4

24 A sorozt tgj között összefüggésekre mutt rá z A..4. feldt. A y y + +, s = + y helyettesítéssel + y y + y ( + y) + + mmumát keressük. Célt érhetük pl. derválás segítségével. A mmáls érték = y = eseté 7. A9.5. Mutssuk meg, hogy z f() = l ( + ) 0. + függvéy pártl. Mtemtk Okttás Portál, 4 / 4