SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

Átírás

1 A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; i) 0; ; 999 ; j) ; -; ; A soroztok egy lehetséges hozzáredelési szbályát djuk meg, természetese más megoldás is elképzelhetõ. ) - ; 8 ; 0; 0 b) - 9 8; ; 9; 0 00 c) - 00 ; ; ; d) + ( -) ; ; 8; 0 + e) (-) ; - ; ; f) (-) ; - ; ; 0-8 g) ; - 0 ; - 0 ; Oldjuk meg + egyeletet!, tehát, Legye sorozt két szomszédos eleme k és k+. Azt kell megvizsgáli, hogy lehet-e k+ - k, zz ( k+ ) + - ( k+ ) feltétel elletmodásr vezet. Azt kptuk, hogy soroztb két szomszédos elem külöbsége, és em lehet.

2 . Keressük zt z természetes számot, melyre (-) + 00 (-) 99 Ez em teljesülhet, hisze z egyelõség bl oldl mide pártl természetes számr egtív Oldjuk meg természetes számok hlmzá + - egyeletet! dódik, zz. 8 Keressük zt z természetes számot, melyre < Mivel - mide pozitív természetes számr pozitív, ezért ez kkor teljesülhet, h + < 0. Ilye természetes szám em létezik, tehát soroztk ics egtív eleme.. ) b) - + 8

3 A SOROZAT MEGADÁSA c) d) e) + f) ( + ) g) h) + - 9

4 i) j) - - k) l) Egy oldlú sokszög egy csúcsából húzhtó átlók szám: -. E szerit 0 oldlú sokszög egy csúcsából húzhtó 00 átló. Az 0 oldlú sokszög egy csúcsából átló húzhtó. 0. Egy oldlú sokszögek ( - ) v. átlój v. Egy 0 oldlú sokszögek így átlój. Ige lehet. Az oldlú sokszögek átlój v. Bebizoyíthtó, hogy másik sokszög ilye tuljdoságokkl em redelkezik.. Az egy csúcsból húzhtó átlók z oldlú sokszöget - drb háromszögre osztják. Így 0 oldlú sokszög eseté lesz háromszögek szám 00.. Az oldlú sokszög belsõ szögeiek összege: ( - ) 80. Így háromszög belsõ szögeiek összege 80, égyszögé pedig 0. 80

5 A SOROZAT MEGADÁSA. Egy oldlú szbályos sokszög egy oldlához trtozó középpoti szög gyság: 0. A feldt szerit: 0 < 0 > Leglább oldl v szbályos sokszögek.. Egy oldlú szbályos sokszög egy belsõ szögéek gyság: A feldt szerit: Legfeljebb oldl lehet sokszögek. Számti soroztok. A lehetséges számti soroztok: ) c) - + e) b c c f) ) - + b) - + c) - + d) - e) + f) ) 0 + 9d egyelõség lpjá: 0 0. b) + ( -) c) S + 9d ) b) S 0 0 c) ( -) lpjá ( -) 0 9 A sorozt 9. eleme lesz ) 0 + ( 0 -) d lpjá ( - ) b) S 0 0 8

6 c) Keressük zt természetes számot, melyre: + ( -) ( - ) -99 8, ez em megoldás természetes számok hlmzá, tehát soroztk em eleme ) A számti sorozt eseté teljesül, hogy. ) d b) S b) Az 0 + 9d egyelõség lpjá, hol d, dódik. c) ( ). + 8 k l. ) l k b) d - l- k c) Az + d egyelõség lpjá - d k - k- l.. Elõször célszerû b) kérdésre válszoli! - 0 b) d ) d c) ( ) ( ).. Elõször c) pot kérdésére válszolv: 8-8 d - ) d b) d c) d d) ) d c) 0 0 ( > term. szám) b) - d

7 SZÁMTANI SOROZATOK. A megoldás sorá z + ( - ) d összefüggést kell lklmzuk. ) 8 b) - c) d) e) - f) 9 k+ 8l 8. ; ;. Mivel d -, ezért + d Mivel d - -, ezért Mivel d -, így keressük zt z természetes számot, melyre: + ( -) Tehát.. Mivel d -, így keressük zt z természetes számot, melyre: 9 + ( -) 9 Tehát.. A sorozt differeciáj d -( - b) b, így keressük zt z természets számot, melyre + 0b - b+ ( -) b Tehát + 0b Legye, 8. Ezért d. Így megfelelõ számti sorozt: ; ; ; ; 9; ; ; ;.. Legye,. Ezért d ; ; 9; ; ; ;.. Legye, 9 0. Ezértd -. Így megfelelõ számti sorozt: 9-8 ; ; ; ; ; 99 ;...; ; ; 0.. Így megfelelõ számti sorozt: 8

8 . A sorozt differeciáj: d + d.. A sorozt differeciáj: d 0 + d A sorozt differeciáj: d - d H második egyeletbõl kivojuk z elsõt: d+ d d Az elsõ egyelet lpjá A sorozt elsõ eleme -, külöbsége d. 0. Az elsõ egyelet lpjá - - d d - A ásodik egyeletbõl: + d+ + d 8 A sorozt elsõ eleme: 8, külöbsége d -.. Mivel -, zz d, ezért d. Másrészt Ê 9 ˆ + Á + Ë A sorozt elsõ három eleme: ; ;. 8

9 SZÁMTANI SOROZATOK. Mivel 0 - d 80, ezért d. Azt kell megvizsgáli, hogy létezik-e oly természetes szám, melyre ( -0) A sorozt. eleme 80.. Mivel + + és + 9, ezért sorozt 9. eleme.. Mivel 0 - d 0, zz d. Ezért soroztk em lehet pártl szám z eleme.. Az elsõ egyelõség lpjá: 8 - d, d 0, A második egyelõséget osztv -vel: + Így + d.. A feldtk csk oly számti soroztok felelhetek meg, melyek külöbségére igz, hogy d Legye sorozt elsõ eleme. Így + d 8 + d 9 9 H d 0, kkor ics megoldás, hisze dód. H d, kkor és keresett szám:. H d -, kkor és keresett szám:. H d ±, kkor sem kpuk értékére egész számot. Így feldtk két égyjegyû szám tesz eleget: és.. 0 és Hszáljuk fel, hogy 0 + d és 8 + d, így második feltétel: 0 + d 0 + d-0 d - Mivel + d, ezért 0 - (- ) 0. A sorozt elsõ eleme 0. 8

10 8. Mivel - 8 d, így d. 8- d 8 -. Az elsõ száz elem összege: + 99d S Jelöljük z elsõ három elem összegét A-vl, következõ három elemét B-vel. A feldt feltételei szerit: A B-0 A+ B 0 Ezt z egyeletredszert megoldv A és B dódik. Másrészt h sorozt elsõ eleme, külöbsége d: + d + d 0 Eek z egyeletredszerek megoldási:, d 0. d 0. Hszáljuk z S + ( -) összegképletet! ) S 0 b) S 0 0 c) S - d) S 0 99 e) S 0 - f) S g) S 9.. Midegyik esetbe számti soroztokról v szó. 00 ) S b) S c) S + 0. Midegyik esetbe számti soroztok összegét kell meghtározi. ) S b) S c) S Legye, Meghtározdó: S Legye 00, Az -tel oszthtó háromjegyû számok összege így: S

11 SZÁMTANI SOROZATOK. A megfelelõ számok számti soroztot lkotk, hol 0, Ezek összege: S A páros számok összegébõl vojuk ki -ml oszthtó páros (-tl oszthtó) számok 98 összegét! A páros kétjegyû számok összege: S A -tl oszthtó 9 héthegyû számok összege: S + 8. A keresett összeg: S S- S.. A számok számti soroztot lkotk, hol 0, Ezek összege: S Legye keresett elemszám. A soroztb és d. Az összegképlet lpjá: + ( -) Az egyeletek két gyöke és -. A feldtk z tesz csk eleget. 9. A soroztb, d. A keresett elemszámot jelölje. ( -) ) S > 00 zz > 00. Az egyelõtleség megoldás: < leglább 8 elemre v szükség. vgy > ª, 0. Ezért ( -) b) S < 00 zz < 00. Az egyelõtleség megoldás: < <- - 0 ª 9,. Legfeljebb 9 elemet vehetük. ( -) c) S zz. Az egyeletek két megoldás v és -. Tehát elemet kell veük soroztból! 8

12 80. Alklmzzuk következõ összefüggéseket! - + d S ) d ; S0 900 b) d ; S 9 8 c) d ; S d) d ; S Alklmzzuk z -( -) d és z S összefüggéseket! ) - 8; S -0 b) 9; S 0 c) ; S d) - 9 ; S Alklmzzuk z + és z S összefüggéseket! d ) 00; S b) ; S -00 c) 00; S 0 00 d) ; S A polcoko levõ köyvek szám számti soroztot lkot, hol, d és 8. A köyvek szám: S Az egyes másodpercekbe megtett utk hossz számti soroztot lkot, hol, d. A. másodpercbe megtett út: +. A. másodperc ltt + megtett út: S. 8. Az ütések szám:,,,..., sorozt kétszeri ismétlõdése. Így z ütések szám: Az elõzõ feldt megoldás szerit z egész órák ütése sorá ütés hgzik el. Egy órá belül egyed órák ütése sorá ütés hgzik el. Ez ór ltt 0 ütést jelet. Így z ór egy p ltt szor üt. 8. A hõmérsékletek oly számti soroztot lkotk, hol d -0,. H eek soroztk z -dik eleme, kkor S, + ( -0, ), Az egyeletet megoldv:,, zz október elsejé, ºC volt. 88

13 SZÁMTANI SOROZATOK 88. A pot megkötött sál hossz oly számti soroztot lkot, hol 8 és d. A szükséges pok szám legye. S 8 + ( - ) 00 Ezt -re megoldv 9 - ª, és dódik. Tehát sál p ltt készül el. 89. Legye szükséges órák szám. Az egyes órák ltt megtett km-ek szám oly számti soroztot lkot, hol és d -. Az összegképlet lpjá: + ( -) ( -) Az egyeletet megoldv és dódik. Ez zt jeleti, hogy ór illetve ór múlv lee kerékpáros z idulási helyétõl km-re. A ór eseté ez zt jeleti, hogy mozgás sorá visszfordul. (A. óráb egy órát pihe, hisze 0.) 90. Az egy perc ltt mérhetõ sebességváltozás km 0 Dv h 0 km km ª,. h h 9. Az egyes sorokb tlálhtó székek szám oly számti soroztot lkot, hol és d. Mivel sor v, ezért székek szám S A sebességek oly számti soroztot lkotk, hol, m s és 0, + d, hisze z elsõ másodperc végé már 0, m s Ezek szerit: + d, 0, + d d 0, kezdõsebességet változás megöveli. A golyó sebessége másodpercekét 0, m s -ot változott. 9. A sorokb tlálhtó helyek szám oly számti sorozt, hol: 8 és d. Mivel sor v, ezért székek szám: 8 S

14 9. Jelöljük sorok számát -el. Az egyes sorokb tlálhtó golyók szám oly d számti sorozt, melyre és d. Az S + ( -) öszefüggést lklmzv: ) + - Az egyeletet megoldv és -. Tehát golyóhoz sorr v szükség. b) Az egyeletet megoldv - + és - - ª, dódik. Ez zt jeleti, hogy sorr v szükségük 9 golyó eseté. 9. Az egyes sorokb tlálhtó háromszögek szám oly számti sorozt, hol és d. Az elsõ 0 sorb tlálhtó háromszögek szám: 9 S A sorokb tlálhtó geredák szám számti soroztot lkot, hol és d -. Összese sor keletkezik. A geredák szám: S + ( - ) A kivett szemek szám számti soroztot lkot, és d. Összese 0-szor vettek kosárból, így z összes szemek szám: 9 S Péter áltl kivett szemek szám oly számti sorozt, hol és d. Összese: 9 S Mivel Péter 00 szemet vett ki, ezért Pálk szem jutott. Mérti soroztok 98. Jelölje számti, b mérti sorozt áltláos tgját. ) Számti s.: ; 8; 0; ; ;... 0 Mérti s.: ; 8; ; ; 8;... b 0 9 b) Számti s.: ; ; 0; -; -; Mérti s.: ; ; ; ; 8 ;... b

15 MÉRTANI SOROZATOK c) Számti s.: ; ; ; ; 0; Mérti s.: ; ; 8 ; 9 ; ;... b 0 8 d) Számti s.: ; ; - ; - ; - ; Mérti s.: ; ; ; ; ;... b e j 99. ) ; 9; ; q b) ; 8; q c) ; ; q d) 8 ; ; q ) b) c) d) (-) F H G I K J 9

16 0. ) F H G I K J - - b) c) F H G I K J - b g d) Hszáljuk fel z q összefüggést! ) q 9 0 F I HG K J 8 b) q - 0 (-) 9-8 c) q d) q - 0. Mivel q - F 0 I HG K J 0 9 F HG I K J 0 -. Ezért kilecedik elem: 9 q q. Felhszálv, hogy q -, F H G I K J - és 8 F H G I K J. 0. q -, így hetedik elem: - F HG I K J q ; - 8 e j ; 9 e j Az q összefüggést felhszálv: ) 0 b) 0 (-) (-) 9 98 F 9 c) 0 I - HG K J - 0 d) 0 00 (0,) 9, 0 - F HG I K J e) ) q 88 b) A két sorozt egyelõ, hisze q q q q q 9 f) 0 e j ª, 9

17 MÉRTANI SOROZATOK 09. ) q b) A két sorozt egyelõ, hisze 9 q 8 q 8 q q q 8 0. Hzáljuk fel, hogy mérti soroztok esetébe igz, hogy - +. A feldtok esetébe vgy - is megoldás lehet. ) ± b) ± c) ±9 d) ± e) ± f) ±.. Hzáljuk fel z - q összefüggést! ) 8 q b) 8 c) q 8 d) ª 0, 9 q.hszáljuk q - összefüggést! ) q d) q fi q ± b) q fi q. lpjá ± lpjá 8 ± q fi q ± c) q fi q. lpjá ±.. A mérti sorozt háydos q. Az S q - összegképlet lpjá: q S. S q - képletet lklmzv: q - S 0 0 F I HG K J - 0 ª, 998-9

18 8. Mivel q -, ezért 0 F - I S 0 HG K J - ª 0, S 0. S 0 e j ª 9, 99-0 F I HG K J -. Mivel q, ezért 0 ª, q fi q vgy q - Az elsõ húsz elem összege: 0 S 0-0 ' ( ) S , vgy (-)-. Felhszálv, hogy q q vgy q -. Az elsõ tíz elem összege: S 0 ' S 0 F HG 0 I - KJ 9 + ª,, vgy 9-0 F - I - HG KJ - + ª 0, Felhszálv, hogy q q 9

19 MÉRTANI SOROZATOK Az elsõ ht elem összege: S 0 F I HG K J Felhszálv z S q - q - összefüggést:. A q ) S 8 F I HG K J -, b) S c) S (-) ( ) d) S -- - és z S q - összefüggések lpjá: q - F I HG K J - - ) q és S - 8 -, vgy q - és S (-) b) q S - (-) - c) q - S -,, A sorozt elemére teljesül, hogy, ezért. Az q összefüggés lpjá q S 0 ' S 0. Az q - vgy q -. Az elsõ 0 elem összege: 0 e j - e + j - 0 e- j - e - j - - összefüggést felhszálv: ( + q) ( + q) q q vgy q' - A sorozt elsõ eleme: UVW q vgy -. ª, 0 ª-, 0 9

20 8. Az q - összefüggés lpjá: ( + q) ( + q) q UVW q 9 q vgy q - vgy -. 0 S 0 9. Az q ' (-) - vgy S összefüggés lpjá: ( - q) ( - q) q 0 UVW q q vgy q - - vgy. 0. Mivel + + ( + q + q ), ezért. S , ezért vgy -. A sorozt elsõ eleme: vgy 0. A sorozt háydos: q vgy q -.., ezért vgy -. Ez lpjá hrmdik elem - 8 vgy. A sorozt elsõ eleme: - vgy. A sorozt háydos: q - vgy q -.. A két egyeletet összedv és 8 dódik. A sorozt háydos q. AZ elsõ eleme: 8 q.. A feldt feltételei szerit: és + +. A háydos és z elsõ elem segítségébel: ( + q + q ) 8 ( + q + q ) q A két egyeletet egymássl osztv q dódik. 9. A sorozt elsõ ht eleme: 9; 8; ; ; ;. 9

21 MÉRTANI SOROZATOK. Az q - összefüggést felhszálv: ( + q + q ) ( + q + q ) q Az egyeleteket egymássl osztv q és. Az elsõ égy elem összege: - 80 S. -. A két egyeletet átlkítv: ( + q + q ) - ( + q + q ) q - Ezeket egymássl osztv q és - dódik.. Az q - összefüggés lpjá: ( + q + q ) -9 ( + q + q ) q 9 Az egyeleteket egymássl osztv q - és - dódik. A sorozt elsõ három eleme: -; ; Mivel, ezért vgy -. H, kkor, h -, kkor 9. Eek megfelelõe sorozt háydos q egyelõség lpjá q ±. Az - 9 em d megoldást, hisze háydosr q - 9 dód. A sorozt elsõ három eleme: ; ; vgy -; ; Mivel és, ezért q. ) S - -. b) Az elsõ hét eleméek szorzt: q q q q q q ( q ) q. 9

22 0. és, ezért q. 0 ) S b)... ( q) ( q )... ( q ) q q 0. A sorozt háydos q. 0 F I HG K J ) S b) 0 q q q 0 q q... ( ) ( )... ( ). Vegyes feldtok. A betét gyság oly mérti soroztot lkot, hol 000 és q A tíz év múlv kpott összeg: q 0 ª 8,8 Ft.. A betét összege legye x. Mivel öt év múlv 000 Ft kmtot kpuk, ez x-szel kifejezve: F I x + x 000 HG 00 K J - Ezt z egyeletet megoldv: x ª 88, Ft betét szükséges.. A 0 év múlv felvehetõ összeg: 0 F I HG K J ª x , F HG I K J 8, Ft.. A betét összege öt év múlv: F F I HG K J HG. Fél év, zz ht hóp elteltével bevétel: F HG x, I K J ª, 0, milló Ft. I K J. Az ifláció mitt vásárlóértéke:. 98

23 VEGYES FELADATOK. A kiidulási összeg legye x. hóp elteltével: F I HG K J 0 x + 00 Az egyeletet megoldv kiidulási összeg gyság x ª 8, Ft. 8. A város lkosság 0 év múlv: x Az ország lkosság év múlv: x F I HG K J ª. F I HG K J ª A száz évvel ezelõtti lkosok szám legye x. 00 F I HG K J 0 x + 00 Az egyeletet megoldv városb száz éve x ª 89-e lktk.. A teiszlbd htodik ütközés utá x 0 0,,8 m mgsr emelkedik.. H kezdeti hõmérséklet gyság x, kkor F I x - HG 00 K J 8 Ismét x ª, C dódik.. A rdioktív yg meyisége oly mérti soroztot lkot, hol q. 8 ór elteltével x 00 8 F I HG K J, mg rdioktív yg mrd.. méteres kút eseté. I. mester bére: Ft. II. mester bére: 0, + 0, + 0, , 0, - Ebbe z esetbe II. mester olcsóbb dolgozik. 0 méteres kút eseté: I. mester bére: Ft. II. mester bére: 0, Ft. - Ekkor már z I. mester sokkl olcsóbb dolgozik! -, Ft. 99

24 . Mivel lók égy láb v, ptkószögek szám:. Így ló ár: 0, + 0, + 0, , 0, - -, Ft.. A féyyláb erõssége oly mérti soroztot lkot, hol q. Öt üveglp utá z itezitás részére csõkke.. A golyó sebesség z ötödik lemez utá x 800 0,8, m s. 8. Legye r 0 cm z elsõ kör sugr és z elsõ égyzet egy oldlák hossz. 00 r r r A körök sugri oly mérti soroztot lkotk, hol r 0 és q. A égyzet oldlir r. Ezek szité mérti soroztot htározk meg, hol 0 és q. A egyedik égyzet egy oldl t cm. A kerületek szité mérti soroztot lkotk: k 0 és q. Az elsõ égy kerület összege: 0 A területek mérti sorozt: t 00 és q. Az elsõ égy terület összege: 00 F HG F HG F I HG K J - I KJ cm, kerülete k I KJ - - cm. - ª,8 cm. r r 0 cm, területe

25 VEGYES FELADATOK 9. A feltétel zt jeleti, hogy bktériumok szám órákét megkétszerezõdik. Egy hét ltt 8 ilye periódus v, ezért bktériumszám: 8 ª, Az egyes emzedékekbe tlálhtó legyek szám következõ módo lkul: I. 00 II III IV Így legyek szám IV. emzedék utá S ª, 0 milliárd A 0 év múlv mérhetõ fállomáy térfogt: V F I HG K J ª 8, m.. A kiömlõ víz meyisége perc elteltével: S 0 099, - ª 88, hl. 099, - A trtályb mrdó víz meyisége: 9000 hl - 88, hl 8,88 hl.. A gép értéke 0 év elteltével: ,9 0 ª 8,8 Ft.. A hírrõl értesülõk szám z idõ függvéyébe: 0 h h h h h... h 8 Oly mérti sorozt dódik, hol, q. ór elteltével hírt ismerõk szám: S A dugttyú egy mozdult utá z edéybe mrdt levegõ yomás szívás elõtti yomás része lesz. mozdult utá kilkuló yomás gyság: 8 F HG I K J p 0, hol p 0 p 8 p ª, P. 0 P 0

26 . A skktáblá mezõ v, így szükséges búzszemek szám: ª, A kért búzmeyiség tömege:, 0 kg, billió to!. Jelölje z -edik égyzet ollát, területét t. Mivel és t, elõször vizsgáljuk meg értékét! Pitgorsz-tételét lklmzv: F I HG K J Áltláb is igz, hogy - Az oldlk oly mérti soroztot lkotk, hol és q. Eszerit: 0 9 e j t Az -edik égyzet oldl legye, területe t. Pitgorsz-tétele lpjá: F I HG K J F + H G I K J Az oldlk oly mérti soroztot lkotk, hol és q kerületéek összege: ( ) A tizedik égyzet területe: t 0 0 F HG I 8 F HG KJ ª 0,00. I KJ - - ª,09. Az elsõ öt égyzet 9. Az -edik szbályos háromszög oldl legye. Az egymást követõ háromszögekre igz, hogy - 0

27 F VEGYES FELADATOK A hetedik háromszögre: I HG K J. Kerülete: k. Területe: t 8 ª, Az -edik szbályos háromszög oldl legye, kerülete pedig k. és k. A Pitgorsz-tétel lpjá, z ábr szerit: F - - HG I K J + F H G I K J -. A hetedik háromszög F eseté: HG I K J k. 9 A keresett százlék: k ª, %. k Jelöljük z -edik körgyûrû területét t -el. t ( + ) p - p ( + ) p A körgyûrûk területei számti soroztot htározk meg. t 0 p ª,9.. A f ágik szám következõk szerit lkul éves (8 ág) éves ( ág) éves ( ág) H z ágk számát z -edik évbe jelöli, kkor észrevehetõ, hogy (Fibocci-sorozt) Így 8 + ág lesz fák 8 éves koráb. 0

28 . Az egyes potokb írv, hogy od háyféle módo érkezhetük, z dódik, hogy csúcsr 8 féle úto juthtuk.. Írjuk z egyes potokb, hogy háyféle módo érkezhetük od!. Az egyes mezõkre írjuk, hogy háyféle módo érhetjük el. ) A jobb felsõ srokb úto juthtuk el b) Hsoló kitöltve tábláztot dódik, hogy lehetséges útvolk szám: H sorozt differeciáj d, kkor z elsõ egyelõség: - d d -, zz - A második egyelõség lpjá: (- - d) (-) (- + d) 80 Ezt megoldv d vgy d -. A sorozt elsõ három eleme: -0; -; vgy ; -; -0.. Fejezzük ki z egyes elemeket 0 és sorozt d differeciáják segítségével: 0 - d d d d 0 Az elsõ tizekilec elem összege: S d + 0-8d d

29 VEGYES FELADATOK 8. H z áru eredeti ár x forit, kkor z egyes árcsökkeések htásár z ár: x 0,9 0,9 x 0,8 Ez zt jeleti, hogy z eredeti ár, %-kl csökket. 9. Mide kiötés eseté kiömlõ lkohol meyisége ráyos z edéybe levõ lkohol meyiségével, eek 9 része, így z edéybe mide esetbe rész mrd. 0 0 Mivel kezdetbe 0 l lkohol volt, ezért tizedik kiötés utá: 0 0 F 9I HG 0 K J l ª,9 l lkohol mrd. 80. Legye potok szám. H ezeket úgy vesszük fel körvolo, hogy ezeket összekötve kör belsejéek bármelyik potjáb legfeljebb két összekötõ szksz messe egymást, kkor z egyes esetekbe következõ részek szám z lábbi módo lkul: potok szám r részek szám 8 Ezek utá megfoglmzhtó egy sejtés, mely megdj részek számát z függvéyébe. Arr godolhtuk, hogy r -. Láthtó, hogy képlet eseté helyese dj meg részek számát. H megvizsgáljuk z esetet, kkor zt várjuk, hogy rész keletkezik. Ez zob ics így! esetbe kör részeiek szám csk. A feldt jó példát dht rr, hogy soh em szbd elhmrkodott áltláosíti. 0 pot felvétele eseté legfeljebb síkidom keletkezhet. Ez egy megfelelõ ábr elkészítése eseté még összeszámlálhtó. 8. Jelöljük z illeszthetõ egyeesek számát e-vel. A potokt megfelelõ helyzetbe síko felvéve, következõ táblázt yerhetõ: e 0 Mivel bármelyik pot - másik pottl htároz meg egy egyeest, így h potokét összeszámoljuk és figyelembe vesszük, hogy egy egyeest két pot eseté számoluk, kkor pot eseté z egyeesek szám: ( -) e. 0

30 8. Az egyeesek kkor dk legtöbb metszéspotot, h icseek közöttük párhuzmosk és bármely metszéspotot át csk két egyees hld át. Ilye feltételek eseté következõ tábláztot kpjuk. ( z egyeeses, p potok szám.) p 0 Mivel bármelyik egyees - egyessel d metszéspotot, és bármelyik metszéspot potos két egyees metszéspotjkét jö létre, ezért z áltláos formul következõ lesz: ( -) p. Ezért z egyees legfeljebb ( -) metszéspotot htároz meg síko. 0