A valós számok halmaza

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A valós számok halmaza"

Átírás

1 Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

2 Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós számok hlmzák zoosításár lklms z láik felsorolt tuljdoságok összessége. A tuljdoságok (xiómák) 3 csoportj: test xiómák redezési xióm teljességi xióm Megjegyzés Ezeket tuljdoságokt mideki természetes módo hszálj számolások sorá. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

3 Vlós számok, komplex számok 3 Test xiómák Értelmezve v egy :R R R művelet (összedás), melyre feállk következő tuljdoságok: kommuttív, zz mide, R eseté sszocitív, zz mide,,c R eseté ( ) c ( c ) Létezik dditív egység, zz létezik 0 R elem, melyre mide R eseté 0 Létezik dditív iverz, zz mide R eseté létezik oly (-) R elem, melyre (-) 0 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

4 Vlós számok, komplex számok 4 Értelmezve v egy :R R R művelet (szorzás), melyre feállk következő tuljdoságok kommuttív, zz mide, R eseté sszocitív, zz mide,,c R eseté ( ) c ( c ) Létezik multipliktív egység, zz létezik R elem, melyre mide R eseté Az dditív egysége kívül mide elemek létezik multipliktív iverze, zz mide 0 R eseté létezik oly - R elem, melyre ( - ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

5 Vlós számok, komplex számok 5 Az összedás és szorzás műveleteket összekpcsolj disztriutivitás, zz mide,,c R eseté ( c) c Megjegyzés Továi jelölések: Kivoás: (-) Osztás: / - A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

6 Vlós számok, komplex számok 6 Redezési xióm Az R hlmzo értelmezve v egy oly redezési reláció, mely z összedásés szorzás műveletekkel következő kpcsolt v: ármely,,c R eseté h, kkor c c h 0és 0, kkor 0 Megjegyzés Továi jelölések: Azt, hogy és úgy jelöljük, hogy < A pozitív számok hlmz: R { x R 0<x } A egtív számok hlmz: R - { x R x<0 } A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

7 Vlós számok, komplex számok 7 Az test xiómákt és redezési xiómát teljesítő hlmzokt redezett testekek evezzük. A vlós számok hlmz mellett például rcioális számok hlmz is redezett test. A vlós számok hlmzák itt leírt xiómredszerhez trtozó tuljdoságok közül egyedül teljességi xiómát em teljesíti rcioális számok hlmz. Redezett hlmz ármely két elem összehsolíthtó, így értelmezhető z lsó és felső korlát, vlmit korlátosság foglm. A teljességi xióm megfoglmzás előtt korlátosság foglmát kell defiiáluk. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

8 Vlós számok, komplex számok 8 Defiíció: felülről korlátos hlmz Az A R hlmz felülről korlátos, h v oly K vlós szám, mely gyo vgy egyelő z A hlmz mide eleméél (mide A eseté K) Defiíció: lulról korlátos hlmz Az A R hlmz lulról korlátos, h v oly k vlós szám, mely kise vgy egyelő z A hlmz mide eleméél (mide A eseté k ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

9 Vlós számok, komplex számok 9 Megjegyzések. Vegyük észre, hogy korlát em feltétleül eleme hlmzk!. H z A R hlmz felülről korlátos, kkor végtele sok felső korlátj v. Defiíció: szupremum A legkise felső korlátot (h v ilye) potos felső korlátk (vgy szupremumk) evezzük. Jelölése: sup A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

10 Vlós számok, komplex számok 0 Megjegyzés H z A R hlmz lulról korlátos, kkor végtele sok lsó korlátj v. Defiíció: ifium A leggyo lsó korlátot (h v ilye) potos lsó korlátk (vgy ifiumk) evezzük. Jelölése: if A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

11 Vlós számok, komplex számok Teljességi xióm A vlós számok hlmzá ármely em üres, felülről korlátos részhlmzk v vlós potos felső korlátj. Vgyis potos felső korlát foglm em mutt ki hlmzól, szeme például rcioális számok hlmzávl (lásd késő). Megjegyzések. A teljességi xiómáól z is következik, hogy R ármely em üres, lulról korlátos részhlmzák v R-eli potos lsó korlátj.. A teljességi xióm szemléletes trtlm: vlós számok hlmz kitölti számegyeest, míg rcioális számok hlmz lyukcsos hgyj. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

12 Vlós számok, komplex számok Péld Tekitsük rcioális számok hlmzát és eek részhlmzát! A { x Q x < π } Az A hlmz felülről korlátos (például 4 Q felső korlátj A- k), de A-k még sics potos felső korlátj rcioális számhlmzo elül. A potos felső korlát csk π szám lehete, de z em rcioális szám. A rcioális számhlmz tehát lyuks hgyj számegyeest π-él. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

13 Vlós számok, komplex számok 3 Defiíció: mximum Legye A R. M A z A hlmz leggyo eleme (mximum), h mide A eseté M. Jelölés: M mx A Defiíció: miimum m A z A hlmz legkise eleme (miimum), h mide A eseté m. Jelölés: m mi A A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

14 Vlós számok, komplex számok 4 Megjegyzés: összefüggés potos korlátok és miimum, mximum között Nem üres, felülről korlátos vlós számhlmzk midig v potos felső korlátj ( teljességi xióm mitt), de em feltétleül v leggyo eleme. Nem üres, lulról korlátos vlós számhlmzk midig v potos lsó korlátj ( teljességi xióm mitt), de em feltétleül v legkise eleme. H viszot létezik leggyo (legkise) elem, kkor z egyelő potos felső (lsó) korláttl. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

15 Vlós számok, komplex számok 5 Példák A[,] B],[ if A sup A mi A mx A if B sup B mi A em létezik mx A em létezik A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

16 Vlós számok, komplex számok 6 Természetes számok hlmz, teljes idukció elve Defiíció: iduktív hlmz Az A R hlmz iduktív, h A A A Iduktív hlmz például: R, [, [ Defiíció: természetes számok hlmz A legszűke iduktív hlmzt (vgyis z összes iduktív hlmz metszetét) természetes számok hlmzák evezzük. Jelölés: N. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

17 Vlós számok, komplex számok 7 Defiíció: sorozt Legye A. Egy f:n A függvéyt z A hlmz elemeiől képzett soroztk evezük. (Bármelyik em üres hlmz elemeiől képezhető sorozt.) Az f:n A sorozt tömör jelölése: (f ) Sorozt eseté z értelmezési trtomáy elemeit idexkét is hszálhtjuk, felhszálv zok természetes sorredjét. f() f sorozt -edik eleme f() f() : f() : f f : f : A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

18 Vlós számok, komplex számok 8 A teljes idukció elve A teljes idukció elve kkor lklmzhtó, h állítások egy soroztáról kruk vlmit igzoli. A izoyítási mód léyege, hogy z egymást követő állítások között kimuttott kpcsolt lpjá z állítás igzság utomtikus dódik midegyik állításr. Defiíció: teljes idukció Tekitsük állítások egy (T ) soroztát. H T igz és T igz T igz ( N), kkor T igz mide N eseté. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

19 Vlós számok, komplex számok 9 Megjegyzés A izoyítási módszer lklmzás tehát két részől áll:. Az első állítás igzságát ki kell mutti.. Igzoli kell, hogy egy állítás igzságáól következik z őt követő állítás igzság ( öröklődés). A következő példák muttják, hogy izoyítás két része egymástól függetle, és csk együtt dják z állítássorozt izoyítását. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

20 Vlós számok, komplex számok 0 Péld Péld rr, hogy kárháy (de véges sok) állítás igzságát elleőrizzük is, ól még em következik teljes állítássorozt igzság. Állítás: Az ! számk ármely természetes szám osztój. (A! jel fktoriálist jelet.) Vizsgált: Az első természetes számr kipróálv z állítást yilvávló igzk tláljuk. (Persze eyi számot legfelje csk számítógépes progrmml tudák kipróáli.) Az állítás mégsem igz mide természetes számr, hisze például z ál gyo prímszámok egyikére sem igz. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

21 Vlós számok, komplex számok Péld Péld rr, hogy z öröklődés igzolásáól ömgá em következik z állítássorozt igzság. Állítás: 7 osztój 3 5 számk ármely természetes szám eseté. Vizsgált ( tuljdoság öröklődőséek kimuttás): Tegyük fel, hogy k vlmely k természetes szám eseté. Köye eláthtjuk, hogy eől következik, hogy k hisze: 3 5 k 5 (3 5 k ) márpedig, h szorzt egyik téyezője osztht egy számml, kkor szorzt is. Az öröklődés tehát működe. De kipróálv z első állítást, vgyis mikor, látjuk hogy em igz. Sőt köye eláthtó, hogy vlójá egyetle természetes szám eseté sem igz z állítás. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

22 Vlós számok, komplex számok A teljes idukció elvéek egy lklmzás: Biomiális tétel izoyítás Jelölés: fktoriális H pozitív egész szám, kkor! 3 (-) Továá defiíció szerit: 0! Jelölés: iomiális együtthtók H pozitív egész szám, k pedig em egtív egész szám és k, kkor k! k!( k)! A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

23 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 3 H pozitív egész szám, és vlós számok, kkor Tétel: iomiális tétel k k 0 k k ) ( Részletezve:... 0 ) (

24 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 4 Példák ) ( Megjegyzés A iomiális tétel állítás kéttgú összegek pozitív egész kitevős htváyiról szól. Úgy is szoktuk foglmzi, hogy formul htváy kifejtéséek módját muttj. Második htváyr emelés: ) ( Hrmdik htváyr emelés:

25 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 5 A iomiális együtthtók két tuljdoság k k k k k A defiíció lpjá midkét egyelőség köye elleőrizhető. A izoyítás felhszáljuk iomiális együtthtók lái tuljdoságit:

26 Vlós számok, komplex számok 6 Bizoyítás. lépés: z első állítás elleőrzése eseté z állítás yilvávló feáll: (). lépés: z öröklődés igzolás Eél lépésél zt próáljuk kimutti, hogy h z állítás igz lee vlmely -re, kkor igz lee ()-re is. Fotos megértei, hogy itt em zt igzoljuk, hogy z állítás igz ()-re, hem zt, hogy h feltételezésük feáll, kkor igz ()-re. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

27 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 7 Tegyük fel, hogy z állítás igz vlmely pozitív egész számr, zz ) ( Ahhoz, hogy tétel állítását teljes idukció elve lpjá izoyítsuk zt kell megmutti, hogy z elői feltételezésől következik z állítás igzság z számr is, zz ) ( Eek megmuttásához z utói egyelőség jo oldlát lkítjuk célszerűe úgy, hogy feltétele szereplő összefüggést fel tudjuk hszáli.

28 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Az egyelőség jo oldlá lévő tgokt célszerűe csoportosítv, és felhszálv iomiális együtthtók tuljdoságit, éppe kívát formát kpjuk z () kifejezésre: ) ( k k k

29 Vlós számok, komplex számok 9 Továi speciális hlmzok Egész számok hlmz: Z N {0} { - N } Rcioális számok hlmz: Q { p / q p Z, q N } A vlós számok ővített hlmz: R R { - } { } A - és szimólumokkl em lehet úgy számoli, mit vlós számokkl. Vk zo oly esetek, mikor formális műveleteket végezhetük ezekkel is. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

30 Vlós számok, komplex számok 30 Bizoyos körülméyek között, például htárérték-számításál, - és szimólumokkl formális elvégezhetük műveleteket. Például: h x R, kkor h 0<x R, kkor továá Számolás - és szimólumokkl - < x <, x ( ), x - ( ) -, x / ( ) x / (- ) 0 x ( ), x (- ) - ( ) ( ) ( ), ( ) (- ) (- ), (- ) (- ) ( ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

31 Vlós számok, komplex számok 3 Aszolút érték függvéy x x, x, h h x x < 0 0 x R Tuljdoságok: x 0, ( x 0 x0) x -x λx λ x xy x y A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

32 Vlós számok, komplex számok 3 Defiíció: vlós számok távolság A d(x,y) x y értéket z x és z y vlós számok távolságák evezzük. Tuljdoságok: mide x,y R eseté d(x,y) 0 ( d(x,y) 0 xy ) d(x,y) d(y,x) d(x,y) d(x,z) d(z,y) (háromszög egyelőtleség) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

33 Vlós számok, komplex számok 33 Defiíció: vlós számok gyság Az x értéket z x vlós szám ormáják (gyságák) evezzük. Tuljdoságok: mide x,y R eseté x 0 ( x 0 x0 ) λx λ x xy x y A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

34 Vlós számok, komplex számok 34 Defiíció: vlós számhlmz korlátosság Egy A R hlmz korlátos, h v oly K R melyre mide x A elem eseté x K (z A-eli elemek gyság em gyo, mit K) Megjegyzés Egy A R hlmz potos kkor korlátos, h v lsó és felső korlátj. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

35 Vlós számok, komplex számok 35 Vlós számhlmz korlátosságák foglmávl köye defiiálhtó vlós értékű függvéyek korlátosság: Defiíció: vlós értékű függvéy korlátosság Az f:a R függvéy korlátos, h z R f hlmz (z f függvéy értékkészlete) korlátos. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

36 Vlós számok, komplex számok 36 Defiíció: yílt köryezet Legye x R, 0<r R. Az x elem r sugrú (szimmetrikus) köryezete: G(x,r) { h R x h < r} Megjegyzés Ez em más, mit z ]x-r, xr[yílt itervllum. A - köryezetei ]-,[ típusú yílt itervllumok ( R). A köryezetei z ], [ típusú yílt itervllumok ( R). A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

37 Vlós számok, komplex számok 37 Defiíció: első pot x A z A hlmz első potj, h x-ek v oly G(x,r) yílt köryezete, melyre G(x,r) A (A pottl együtt k egy yílt köryezete is ee v hlmz.) Defiíció: htárpot x A z A hlmz htárpotj, h x ármely G(x,r) yílt köryezete trtlmz A-eli és R\A-eli potot egyrát A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

38 Vlós számok, komplex számok 38 Defiíció: torlódási pot Legye A R. x R z A hlmz torlódási potj, h x ármely G(x,r) yílt köryezete trtlmz x-től külööző A-eli potot Megjegyzések. A torlódási pot em feltétleül eleme hlmzk.. A első potok egye torlódási potok is. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

39 Vlós számok, komplex számok 39 Példák Az ],[ yílt itervllum mide potj első pot mide potj torlódási pot z és végpotok torlódási potok Az [,] zárt itervllum eseté z és végpotok htárpotok végpotok kivételével mide pot első pot z itervllum mide potj torlódási pot A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

40 Vlós számok, komplex számok 40 Komplex számok A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

41 Vlós számok, komplex számok 4 Defiíció A CR hlmzt komplex számok hlmzák evezzük, meyie z összedás és szorzás műveletek következő módo vk defiiálv: H (,) C és (c,d) C, kkor (, ) ( c, d ) ( c, d ) (, ) ( c, d ) ( c d, d c ) Megjegyzés C test feti műveletekkel. Lásd test xiómákt vlós számok című fejezete. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

42 Vlós számok, komplex számok 4 Defiíció: evezetes komplex számok Additív egység: (0,0) 0 Multipliktív egység: (,0) Imgiárius egység: (0,) i A komplex számok hlmzák defiíciójá szereplő szorzás művelet szerit: zz: i (0,)(0,) (-,0) - i - (, ) ( c, d ) ( c d, d c ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

43 Vlós számok, komplex számok 43 Megjegyzések. A (0,-) komplex számk is - égyzete.. A komplex számok hlmzá gyökvoás hogy zt későieke láti fogjuk korlátlul elvégezhető, így például egtív vlós számokól égyzetgyök vohtó. Például (-6)-k égyzetgyöke 4i, hisze (4i) 6i 6(-) -6 A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

44 Vlós számok, komplex számok 44 Tétel A komplex számok hlmzák { (,0) R } részhlmz zoosíthtó vlós számok hlmzávl z (,0) megfeleltetés lpjá. Ee z érteleme vlós számok hlmz komplex számhlmz részhlmzák tekithető. A továik (,0) helyett egyszerűe -t íruk. Megjegyzés H (,) C, kkor (,) (,0) (,0) (0,) i (, ) ( c, d ) ( c d, d c ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

45 Vlós számok, komplex számok 45 Defiíció: lgeri lk A z(,) C komplex szám lgeri lkjá kifejezést értjük. z i A komplex számok árázolás, komplex számsík Képzetes tegely Vlós tegely A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

46 Vlós számok, komplex számok 46 Defiíció: vlós és képzetes rész A z (,) i C komplex szám Vlós része: Re(z) Képzetes része: Im(z) Defiíció: kojugált A z i komplex szám kojugáltj: z i A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

47 Vlós számok, komplex számok 47 Műveletek z lgeri lk Példák (4i) (3-5i) 7 3i (4i) (3-5i) 7i (4i) (3-5i) 0i 6i 0i 4i 4 3 i 5i 4 3 i 5i 3 3 5i 5i 0i 6i 9 5i 0i 6i i A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

48 Vlós számok, komplex számok 48 Defiíció: szolút érték, rgumetum A z i komplex szám szolút értéke (gyság): r z z z rgumetum (szöge): ϕ, tgϕ ϕ [0,π[ A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

49 Vlós számok, komplex számok 49 Defiíció: trigoometrikus lk A z i komplex szám trigoometrikus lkj, z r z jelölés, vlmit z rcosϕ és rsiϕ összefüggések felhszálásávl: z i r cosϕ r siϕ i r ( cosϕ i siϕ ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

50 Vlós számok, komplex számok 50 Megjegyzés A komplex szám szögéek megdásár hszálhtó fok és rdiá is. Például: 80 o π (rdiá) vgy z 4 ( cos 0 o i si 0 o ) z 4cos π isi 3 π 3 FIGYELEM! A szögfüggvéyeke (si, cos, tg, ctg) kizárólg z esete hszálhtó fok, h z kifejezette egy szög gyságát jeleti. Az említett szögfüggvéyek áltláos defiíciójá, illetve e függvéyek grfikojá z értelmezési trtomáyeli elemek em jeleteek fokot! A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

51 Vlós számok, komplex számok 5 Tétel: műveletek trigoometrikus lk szorzás r (cosϕ i siϕ) r (cosϕ i siϕ htváyozás ) r r (cos( ϕ ϕ) i si( ϕ ϕ)) [ ] r (cosϕ i si ϕ) r (cos ϕ i si ϕ) osztás r (cosϕ i si ϕ ) r (cos( ϕ ϕ) i si( ϕ r (cosϕ i si ϕ ) r ϕ )) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

52 Vlós számok, komplex számok 5 Tétel: gyökvoás Egy komplex számk dr külööző -edik gyöke v (,3, ): r(cosϕ i si ϕ) r cos ϕ k π i si ϕ k π k 0,,,, - Megjegyzés Egy komplex szám -edik gyökei komplex számsík egy origó középpotú körö, egy szályos szög csúcsi helyezkedek el. A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

53 Vlós számok, komplex számok 53 Péld Htározzuk meg z 6 ( cos60 o isi60 o ) komplex szám egyedik gyökeit! 6(cos 60 i si 60 4 o o ) 4 6 cos 60 4 o k o i si 60 4 o k o ( o o o o cos(5 k 90 ) i si(5 k 90 )) ( k 0,,,3 ) k0 z (cos5 o isi5 o ) k z (cos05 o isi05 o ) k z 3 (cos95 o isi95 o ) k3 z 4 (cos85 o isi85 o ) A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

54 Vlós számok, komplex számok 54 Péld: hrmdik egységgyökök A z komplex szám hrmdik gyökeit hrmdik egységgyökökek evezzük: 3 3 (cos 0 i si 0) cosk π 3 i sik π 3 k 0,, z 0 cos0 i si 0 z z π cos 3 4π cos 3 π i si 3 π i si i i A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

55 Vlós számok, komplex számok 55 Defiíció: távolság A z i és z i komplex számok távolság: d(z,z) z z ( ) ( ) Defiíció: köryezet A w i komplex szám r (>0) sugrú (yílt) köryezete: G(w,r) { z C : w z < r } A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel!

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK

Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK ..7. Mtemtik II. Műszki iformtiki méröksszisztes http://jgypk.u-szeged.hu/tszek/szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmos Gáor JGYPK - Mtemtik II. A Mtemtik II. fő témái: Itervllum, távolság, köryezet Vlós függvéyek

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)

Részletesebben

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10.

Analízis I. Kidolgozta: Ábrahám Róbert Dr. Szili László előadásai alapján július 10. Alízis I. Kidolgozt: Ábrhám Róbert Dr. Szili László elődási lpjá 200. július 0. Trtlomjegyzék. A vlós számok struktúráj 3.. Az R Dedekid-féle xiómredszere (872:................................ 3.2. R részhlmzi:................................................

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Sorozatok határértéke

Sorozatok határértéke I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

Analízis. Glashütter Andrea

Analízis. Glashütter Andrea Alízis Glshütter Adre Alízis Hlmzok I. Hlmzok Deiíció (hlmz) elemek összessége. Megdás. elemek elsorolásávl (z összes elemet elsorolom, vgy leglá yit, hogy z lpjá következteti lehesse töi elemre); pl A{,,4,7,4,8}..

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A

Részletesebben

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak

Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,

Részletesebben

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Matematika összefoglaló

Matematika összefoglaló Mtemtik összefoglló A középiskoli tg vázltos áttekitése, gkorló feldtok Összeállított: Deák Ottó mestertár Áltláos- és Felsőgeodézi Tszék Mtemtik kozultáció z I. évfolmk A emuttó vázlt Bemuttkozás, kozultáció

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)

1. Primitív függvények (határozatlan integrálok) . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :,

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné

WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA. Gazdaságmatematika 1 Analízis. Oktatási segédanyag Készítette: Pór Andrásné WEKERLE SÁNDOR ÜZLETI FŐISKOLA Gzdságmtemtik Alízis Okttási segédyg Készítette: Pór Adrásé 203 Trtlomjegyzék HALMAZOK... 3 FÜGGVÉNYEK... 0 SOROZATOK... 24 FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA... 29

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kardos Montágh verseny Feladatok Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis

Részletesebben

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy.

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. értékét, ha x, y pozitív valós számok és x 2 + y 2 = 6xy. Orosz Gyul: Külöldi középiskoli mtemtiki verseyek Elemi lgebr. A.. Mcedói, 00, 9. év. I. ord. Htározzuk meg y y értékét, h, y pozitív vlós számok és y = 6y. A.. Horvátország, 00, regioális versey, 0. év.

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

ANALÍZIS II. Bártfai Pál

ANALÍZIS II. Bártfai Pál ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere

Részletesebben

ACTA CAROLUS ROBERTUS

ACTA CAROLUS ROBERTUS ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 ( ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix. Vektorok, átrok dezós átr: egy soról és oszlopól álló szátálázt. L L Jelölés: A A, L hol z -edk sor -edk elee. dezós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló átr. Jelölés: u u,...,, hol z -edk koordát.

Részletesebben

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra . Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó

Részletesebben

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás

Részletesebben

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0 www.esymths.hu mtek ilágos oll Mosózi Arás LINEÁISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOOK esymths.hu DEFINÍCIÓ: A... ektorok lieáris összefüggők, h... úgy is teljesül, hogy oly i Nézzük ezekre péákt!

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben