Matematika II. Műszaki informatikai mérnökasszisztens. Galambos Gábor JGYPK

Átírás

1 ..7. Mtemtik II. Műszki iformtiki méröksszisztes Glmos Gáor JGYPK - Mtemtik II. A Mtemtik II. fő témái: Itervllum, távolság, köryezet Vlós függvéyek Számsoroztok és sorok Függvéyek htárértéke, folytoosság Differeciálszámítás Differeciálhtó függvéyek vizsgált Itegrálszámítás és lklmzási Mtemtik II.

2 ..7. A vlós számok iómredszere I. I. Testiómák Defiiálhtó két művelet: z összedás és szorzás. Midkét művelet kommuttív és sszocitív + = + = (+)+c = +(+c) ()c = (c) Aműveletek követik disztriutív törvéyt (+c) = + c V hlmz zérus elem () és egység elem (): + = = Mide eseté z + = és z = ( ) egyeletek v megoldás. (létezik z dditív és multipliktív iverz elem) Mtemtik II. II. Redezettségi iómák: A vlós számok iómredszere II. A vlós számok hlmz redezett hlmz, zz értelmezhetük ee egy redezettségi relációt. Az > ill. <relációkzt jeletik, hogy pozitív ill. egtív, és > jeletése z, hogy >. A defiiált ( > ) reláció redelkezik következő tuljdoságokkl: H,, kkor z =, >,<állítások közül egy és csk egy teljesül H <, kkor +c<+cmide,,c. H >és>, kkor > mide,,c. H >és <, kkor < mide,,c. Mtemtik II.

3 ..7. A vlós számok iómredszere III. III. Archimedesi ióm: Mide vló számál v gyo természetes szám. IV. Ctor ióm: egymás sktulyázott zárt itervllumok sorozták midig v közös potj. Más szóvl: h dott két számsorozt: úgy, hogy tetszőleges -re, kkor z itervllumokk v közös része.,,..., Mtemtik II. 5 A vlós számok iómáik ismeretée eizoyíthtó, hogy létezik: A izoyítás kostruktív: [, ] [,] = ige em [, ], = +, ], [ Mtemtik II. 6

4 ..7. Így egy itervllumsoroztot defiiáluk, melye mide -re () A Ctor-ióm szerit eek z itervllumsoroztk v közös eleme. Jelöljük ezt c-vel. Ugykkor c-ről tudjuk, hogy () mitt Ezért c c ()-hez hsoló iduljuk most ki ( )( ) c ( ) () egyelőtleségekől. Mtemtik II. 7 Elvégezve hsoló műveleteket zt kpjuk, hogy c ()-ől és ()-ól zt kpjuk, hogy c () Ami zt jeleti, hogy c tetszőlegese közel kerülhet -höz, h -et elég gyr válsztjuk. Ezért c em lehet pozitív szám. Így c = Amiől zt kpjuk, hogy Tehát téyleg létezik. c Mtemtik II. 8

5 ..7.. Foglmk Két hlmz egyértelmű hozzáredelését függvéyek evezzük. A: B: y = f() y értelmezési trtomáy képhlmz Mtemtik II. 9 Az A hlmz vlmely eleméhez redelt B hlmzeli elemet függvéyértékek evezzük és f()-vl jelöljük, hol A. A függvéyértékek hlmzát értékkészletek evezzük. A függvéy értelmezési trtomáyát D f -fel, z értékkészletét pedig R f -fel jelöljük. A fetiekől következik, hogy R f B. Egy függvéyt kkor tekitük dottk, h dott z értelmezési trtomáy és hozzáredelési utsítás: f(), A. f() =, N. g() =, R. h() =, R. Mtemtik II. 5

6 ..7. Az f és g függvéyt kkor modjuk egyelőkek, hd f =D g és mide D f eseté f() = g(). Azoos-e két kifejezés? f ( ) g( ) D f = R és D g = R \ {} g( ) f ( ) Mtemtik II. H z f függvéy értelmezési trtomáy is és értékkészlete is vlós számok hlmzák részhlmz, kkor vlós-vlós függvéyről vgy egyváltozós vlós függvéyről eszélük. Az egyváltozós vlós függvéy grfikojá z (;f()) koordiátájú potok hlmzát értjük Descrtes-féle koordiát redszere, hol D f. Mtemtik II. 6

7 ..7. Itervllumok Legye, és <.Az ezek áltl meghtározott yílt itervllumo zt számhlmzt értjük, mely (,) = { < <.} Legye, és <.Az ezek áltl meghtározott zárt itervllumo zt számhlmzt értjük, mely [,] = {.} Legye, és <.Az ezek áltl meghtározott lról zárt joról yílt itervllumo zt számhlmzt értjük, mely [,) = { <.} Legye, és <.Az ezek áltl meghtározott joról zárt lról yílt itervllumo zt számhlmzt értjük, mely (,] = { <.} Mtemtik II. Itervllumk evezzük még z lái számhlmzokt is: (-,) = { < } (-,] = { } (, + ) = { >} [, + ) = { } (-, + ) = Mtemtik II. 7

8 ..7. A köryezet és távolság kpcsolt Távolság defiíciój vlós számokr és dimeziór kiterjesztve. A távolság tuljdosági A köryezet és távolság viszoy. Belső pot, htárpot. Zárt hlmz, yílt hlmz. Mtemtik II. 5 Az A és B hlmzokk z A B szimólumml jelölt Descrtes-féle szorztá z összes oly redezett (,) párokól álló hlmzt értjük, melyekre A és B. Jelölése: A B = { (,) A és B }. H A = B, kkor z A A helyett z A jelölést is hszáljuk. H A, B, kkor redezett számpárokról eszélük. Pl. Legye A = {,, } és B = {e, f} e f (, e) (, f ) A B = (, e) (, f ) (, e) (, f ) Mtemtik II. 6 8

9 ..7. A tálázt felfoghtó egy speciális szorzótálák. A szorzthlmz elemeiek számát két hlmz elemeiek szorzt dj. Tétel: A Descrtes-szorzás művelete em kommuttív. (Nem felcserélhető). A szorzthlmz kettőél tö hlmz szorztár is értelmezett, ekkor redezett hármsok, égyesek, st. leszek szorzthlmz elemei. H z dr hlmz midegyike vlós számok hlmzávl egyelő, kkor szokás z jelölést hszáli. A szorzthlmz lehetővé teszi mtemtiki lkztok kostrukcióját is: Mtemtik II. 7 N N Mtemtik II. 8 9

10 ..7. Az < vlós számok távolságá számegyees és potjik távolságát értjük: (, ) A számsík = (, ) és = (, ) potjik távolságát értékkel defiiáljuk. (, ) Az = (,,, ) és = (,,, ) potjik távolságát értékkel defiiáljuk. (, ) i i i Mtemtik II. 9 A fete defiiált távolság foglom z lái tuljdoságokkl redelkezik: ρ(, ) ρ(, ) = kkor és csk kkor, h =. ρ(, ) = ρ(, ) ρ(, ) ρ(, c) + ρ(c, ) Vlmely potk δ > sugrú köryezeté zo potjik hlmzát értjük, melyek -tól vló távolság kise δ- ál, zz k ) (, ), R ( Mtemtik II.

11 ..7. Egy hely δ sugrú köryezete (másik defiíció) Legye R és δ R +. Az hely δ sugrú köryezeté z ( δ, + δ) itervllumot értjük és k δ ( )-l jelöljük. H ( δ, + δ), kkor <δ. Az hely szigorú érteleme vett δ sugrú köryezeté z ( δ, + δ) \{ } itervllumot értjük és k δ ( )\{ } -l jelöljük. H ( δ, + δ)\{ }, kkor <δ. Az hely loldli δ sugrú köryezeté z ( δ, ) itervllumot értjük és k δ ( )-l jelöljük. Az hely jooldli δ sugrú köryezeté z (, + δ) itervllumot értjük és k δ ( +)-l jelöljük. Mtemtik II. Egy H hlmzk egy első potj, h-k v oly köryezete, mely része H-k. Egy H hlmzk egy htárpotj, h -k ármely köryezetée H-k is és H komplemeteréek is v potj. H egy H hlmzk mide potj első pot, kkor H-t yílt hlmzk, h mide htárpotját trtlmzz, kkor zárt hlmzk evezzük. Mtemtik II.

12 ..7. Függvéytuljdoságok Az f függvéy zérus helyéek evezzük zt z értelmezési trtomáyeli elemet, hol felvett függvéyérték zérus, zz D f, f() =. Péld: Árázoljuk z f() = függvéyt [-;] itervllumo és htározzuk meg zérus helyeit! Az egyelet gyökei: = - =. Mtemtik II. Péld: Árázoljuk z f() = si függvéyt, és htározzuk meg zérushelyeit! f() = si = si Ezért megoldás: 5 k k k Z. 6 6 Mtemtik II.

13 ..7. Függvéyek pritás Az f függvéyt párosk evezzük, h mide D f eseté - D f és f(-) = f(). Péld: Vizsgáljuk meg z f() = függvéyt párosság szempotjáól! A függvéy grfikoj tegelyese tükrös z f() tegelyre. Mtemtik II. 5 Az f függvéyt pártlk evezzük, h mide D f eseté - D f és f(-) = -f(). Péld: Vizsgáljuk meg z f() = függvéyt párosság szempotjáól! A függvéy grfikoj tükrös z origór. Mtemtik II. 6

14 ..7. Függvéyek korlátosság Az f függvéyt z értelmezési trtomáyá vgy k vlmely A részhlmzá felülről korlátosk evezzük, h létezik oly K R vlós szám, hogy mide A eseté f() K. Az f függvéyt z értelmezési trtomáyá vgy k vlmely A részhlmzá lulról korlátosk evezzük, h létezik oly K R vlós szám, hogy mide A eseté f() K. Az f függvéyt z értelmezési trtomáyá vgy k vlmely A részhlmzá korlátosk evezzük, h függvéy lulról és felülről is korlátos. Mtemtik II. 7 Péld: Vizsgáljuk meg z f() = si + függvéyt korlátosság szempotjáól! A si + függvéy értékei z [;] itervllum esek, így függvéy lulról és felülről is korlátos, zz korlátos. Mtemtik II. 8

15 ..7. Függvéyek mootoitás Az f függvéyt z értelmezési trtomáy vlmely A (A D f ) részhlmzá mooto övekvőek evezzük, h tetszőleges, A, < eseté f( ) f( ). H < eseté f( )<f( ), kkor függvéyt szigorú mooto övekvőek evezzük Az f függvéyt z értelmezési trtomáy vlmely A (A D f ) részhlmzá mooto csökkeőek evezzük, h tetszőleges, A, < eseté f( ) f( ). H < eseté f( )>f( ), kkor függvéyt szigorú mooto csökkeőek evezzük Mtemtik II. 9 Péld: Vizsgáljuk meg z f() = e függvéyt mootoitás szempotjáól! f() = e Az egyél gyo lpú htváyok esetée h kitevőt öveljük, kkor htváy értéke is ő Ezért h <, kkor e e. Tehát függvéy szigorú mooto övekvő. Mtemtik II. 5

16 ..7. Függvéyek szélsőértékhelyei Legye dott z f függvéy, és legye H z értelmezési trtomáy vlmely részhlmz (H D f ). Az H z f-ek miimumhelye, h mide H, ( ) eseté f() f( ). Az H z f-ek mimumhelye, h mide H, ( ) eseté f() f( ). A miimum és mimumhelyeket együttese szélsőértékhelyekek evezzük. H -k v oly K köryezete (KD f ), hogy mide D f K és eseté f() f( ),(vgy f() f( )), kkor függvéyek lokális szélsőértékhelye. H H D f, kkor függvéyek szolút szélsőértékhelye. Mtemtik II. Péld: Vizsgáljuk meg z f() = (+) - függvéyt szélsőértékek szempotjáól! A függvéyek z =- helye szolút miimum helye v. Mtemtik II. 6

17 ..7. Periódikus függvéyek Az f függvéyt periodikusk evezzük, h létezik oly p > vlós és k egész szám, hogy mide D f eseté +kp D f,ésf(+kp) = f(). Avlósp számot periódusk evezzük. A trigoometrikus függvéyek periodikusk. Pl. si függvéy periódus π. Péld: Vizsgáljuk meg z f() = [] törtrész függvéyt periodicitás szempotjáól! A függvéy periodikus, és periódus. Mtemtik II. Kove és kokáv függvéyek Legye dott z f függvéy és, D f, <.Legye továá és z [;] itervllum két tetszőleges potj ( < ). Legye e z f( ) és f( ) potoko áthldó szelő. Az f függvéyt z [;] itervllumo koveek evezzük, h ármely oly D f re, melyre << igz, hogy f() < e(). Az f függvéyt z [;] itervllumo kokávk evezzük, h ármely oly D f re, melyre << igz, hogy f() > e(). H z D f helyek v oly jo és loldli köryezete, hogy függvéy z egyike kove, másik kokáv, kkor z helyet ifleiós potk evezzük. Mtemtik II. 7

18 ..7. Péld: kove függvéy e() f() < e(). f() Mtemtik II. 5 Péld: ifleiós pot A függvéy (-;] itervllumo kokáv, [,+ ) itervllumo kove, ezért z = pot függvéy ifleiós potj. Mtemtik II. 6 8

19 ..7. Műveletek függvéyekkel Legye dott z f és g függvéy D f és D g értelmezési trtomáyl, vlmit egy c kosts. Tegyük fel, hogy D f D g. Ekkor Az f függvéy kostsszorosá zt cf függvéyt értjük, melyre D cf = D f, és mide D f -re (cf )()=cf(). Két függvéy összegé zt z (f+g) függvéyt értjük, melyre D f+g =D f D g, és mide D f D g -re (f+g)()=f()+g(). Két függvéy szorztá zt z (fg) függvéyt értjük, melyre D fg = D f D g, és mide D f D g -re (fg)()=f() g(). f Két függvéy háydosá zt z függvéyt értjük, melyre D f/g =D f D g, és mide D f D g -re ()=. g f ( ) g( ) 7 Legye dott z és g függvéy. Tegyük fel, hogy D f R g =A, és A. Legye D z hlmz, mely része g értelmezési trtomáyák és képe z A hlmz. Tegyük fel, hogy z f függvéy z A hlmzt z E R f hlmzr képezi le. Azt függvéyt, mely D hlmzhoz z E hlmzt redeli (értékkészletkét), összetett függvéyek evezzük és f g-vel jelöljük. Az f-t külső,g-t pedig első függvéyek evezzük. (f g)() = f(g()) R g D f R f g f E D A Mtemtik II. 8 9

20 ..7. Péld: Htározzuk meg zt legőve hlmzt, melye z f() = lg ( ) függvéy értelmezhető. A külső függvéy logritmus függvéy, első függvéy htváyfüggvéy. A első függvéy értelmezési trtomáy vlós számok hlmz. Mivel logritmus függvéy értelmezési trtomáy pozitív vlós számok hlmz, ezért > k kell teljesüli. Ezért >vgy <-. Ezért z f összetett függvéy értelmezési trtomáy D f =R\[-; ]. Mtemtik II. 9 Iverz függvéy Legye z f függvéy külcsööse egyértelmű (, D f, kkor f( ) f( )). Azt függvéyt, mely z f függvéy értékkészleté (R f ) v értelmezve, és z y R f elemhez zt z egyetle D f elemet redeli, melyre f() =y, zf függvéy iverzéek evezzük és f - gyel jelöljük: f - (y) = Megjegyzések: Az értelmezési trtomáy és z értékkészlet iverz képzésél megcserélődik. (f - ) - =f. Egy függvéy és iverzéek grfikoj tükrös z y=egyeesre. H D f =R f, kkor fºf - =f - ºf. H egy függvéy szigorú mooto, kkor v iverze. (Ez elegedő de em szükséges feltétel!) Mtemtik II.

21 ..7. Péld : Adjuk meg z f() = függvéy iverzét! D f = R f = R. A hozzárredelés kölcsööse egyértelmű, tehát létezik z iverz függvéy. (Rádásul függvéy mooto övekvő.) A defiíció lpjá f - (y) =, ezért y. Mtemtik II. Péld : Adjuk meg z f() = e függvéy iverzét! D f = (-, ), R f = (, ). A hozzárredelés kölcsööse egyértelmű, tehát létezik z iverz függvéy. (Rádásul függvéy mooto övekvő.) A defiíció lpjá f - (y) =, ezért = log y. f() = e f() = log() Mtemtik II.

22 ..7. A trigoometrikus függvéyek iverzei (ciklometrikus függvéyek) f ( ) si Df, ( ) rcsi f D f, f ( ) rccos, f ( ) cos D f D f, f ( ) tg D f, f ( ) rctg D f R f ( ) ctg D f, f ( ) rcctg D R f Mtemtik II. A hiperolikus függvéyek és iverzeik e sh e ch e e sh th ch ch cth sh D f D f D D, rsh l D,, rch l D,, rth l, f D f, rcth l, f D f f f Mtemtik II.

23 ..7. Külső függvéytrszformációk htás függvéy grfikojár A külső függvéytrszformációál midig kiszámított függvéyértéke hjtuk végre trszformációt. Eredméye midig z y tegely iráyá törtéő változás. Legye dott z f függvéy grfikoj. Az f+c, c függvéy grfikoj z f függvéy grfikoják y tegely meti eltolásávl yerhető. Az eltolás gyság c, iráy megegyezik c előjelével. A f függvéy grfikoj z f ek tegelyre votkozó tükörképe. A cf függvéy grfikoj z f-ek y tegely meti yújtásávl (c > ), vgy zsugorításávl ( < c < ) kphtó. H c egtív, kkor lklmzzuk még z előző potól dódó tükrözést is. Mtemtik II. 5 Belső függvéytrszformációk htás függvéy grfikojár A első függvéytrszformációál midig függetle változó hjtuk végre trszformációt. Eredméye midig z tegely iráyá törtéő változás. Legye dott z f függvéy grfikoj. Az f(+),, + D f függvéy grfikoj z f függvéy grfikoják tegely meti eltolásávl yerhető. Azeltolás gyság, iráy elletétes előjelével. A f (-) függvéy grfikoj z f ek y tegelyre votkozó tükörképe. A f () függvéy grfikoj z f-ek tegely meti zsugorításávl ( >), vgy yújtásávl ( <<) kphtó. H egtív, kkor lklmzzuk még z előző potól dódó tükrözést is. Mtemtik II. 6

24 ..7. Péld: Árázoljuk z f() = -(-) + függvéyt. f()= f()=(-) f()=-(-) + f()=-(-) Mtemtik II. 7 Az elemi függvéyek hlmzát lkotják Kostsfüggvéyek Htváyfüggvéyek Epoeciális függvéyek Trigoometrikus függvéyek és z ezekől véges számú összedássl, kivoássl, szorzássl, osztássl, összetett- és iverz-függvéy képzéssel előállíthtó függvéyek. Mtemtik II. 8

25 ..7. Függvéyek htárértéke Négy esetet külööztetük meg ttól függőe, hogy hol vizsgáljuk htárértéket, és z véges vgy végtele. Mtemtik II. 9 Végtelee vett véges htárérték Az f() függvéyek + -e htárértéke z A szám, h ármely ε > hoz létezik oly K küszöszám, hogy vlháyszor > K és D f, kkor f() A <ε. Jelölése: lim f ( ) A. Az f() függvéyek - -e htárértéke z A szám, h ármely ε > hoz létezik oly K küszöszám, hogy vlháyszor < K és D f, kkor f() A <ε. Jelölése: lim f ( ) A. Mtemtik II. 5 5

26 ..7. Péld: Árázolj z függvéyt, és dj meg htárérkét -e! f ( ) lim A függvéy páros, ezért grfikoj tükrös z y tegelyre. Mtemtik II. 5 Végtelee vett végtele htárérték Az f() függvéyek + -e htárértéke +, hármelyp számhoz létezik oly K küszöszám, hogy vlháyszor > K és D f, kkor f()>p. Jelölése: lim f ( ). Az f() függvéyek + -e htárértéke -, hármelyp számhoz létezik oly K küszöszám, hogy vlháyszor > K és D f, kkor f()<p. Jelölése: lim f ( ). Mtemtik II. 5 6

27 ..7. Az f() függvéyek - -e htárértéke +, hármelyp számhoz létezik oly K küszöszám, hogy vlháyszor < K és D f, kkor f()>p. Jelölése: lim f ( ). Az f() függvéyek - -e htárértéke -, hármelyp számhoz létezik oly K küszöszám, hogy vlháyszor < K és D f, kkor f()<p. Jelölése: lim f ( ). Mtemtik II. 5 Péld: Árázolj z függvéyt, és dj meg htárérkét -e! f ( ) lim A függvéy páros, ezért grfikoj tükrös z y tegelyre. Mtemtik II. 5 7

28 ..7. Péld: Árázolj z függvéyt, és dj meg htárérkét -e! f ( ) lim lim Mtemtik II. 55 Véges helye vett végtele htárérték Az f() függvéyek z htárértéke +, hármelyp számhoz létezik oly δ >(δ + ) vlós szám, hogy vlháyszor k δ ( )\{ }és D f, kkor f()>p. Jelölése: lim f ( ). Az f() függvéyek z htárértéke -, hármelyp számhoz létezik oly δ >(δ +) vlós szám, hogy vlháyszor k δ ( )\{ }és D f, kkor f()<p. Jelölése: lim f ( ). Mtemtik II. 56 8

29 ..7. függvéyt, és dj meg htárér- Péld: Árázolj z f ( ) két z = pot! lim lim Mtemtik II. 57 Véges helye vett véges htárérték Az f() függvéyek z jooldli htárértéke z A, h ármely ε + számhoz létezik oly δ + vlós szám, hogy vlháyszor k δ ( +) D f, midyiszor f() A <ε. Jelölése: lim f ( ) A. Az f() függvéyek z loldli htárértéke z A, h ármely ε + számhoz létezik oly δ + vlós szám, hogy vlháyszor k δ ( -) D f, midyiszor f() A <ε. Jelölése: lim f ( ) A. Mtemtik II. 58 9

30 ..7. Tétel: H z f függvéyek létezik z helye loldli és jooldli htárértéke, és kkor lim f ( ) lim f ( ) A. lim f ( ) A. Tétel: H z f függvéyek létezik z helye htárértéke, kkor z egyértelműe meghtározott. Mtemtik II Péld: Árázolj z f ( ) 5 htárértékétz = 5 pot! függvéyt, és dj meg lim ( 5 ) 5 5 lim ( 5 ) Mtemtik II. 6

31 ..7. Műveleti tételek Tétel: Legye z f() függvéyek + -e htárértéke z A és legye c tetszőleges. Ekkor létezik cf függvéyek is htárértéke, és lim c f ( ) c lim f ( ) ca. Tétel: Legye z f() függvéyek + -e htárértéke z A és g() függvéyek + -e htárértéke B. Ekkor létezik z f±gfüggvéyek is htárértéke, és lim f ( ) g ( ) lim f ( ) lim g ( ) A B. Mtemtik II. 6 Tétel: Legye z f() függvéyek + -e htárértéke z A és g() függvéyek + -e htárértéke B. Ekkor létezik z fg függvéyek is htárértéke, és lim f ( ) g ( ) lim f ( ) lim g ( ) A B. Tétel: Legye z f() függvéyek + -e htárértéke z A és g() függvéyek + -e htárértéke B, holb. Ekkor létezik z f/gfüggvéyek is htárértéke, és f ( ) lim g ( ) lim f ( ) lim g ( ) A. B Mtemtik II. 6

32 ..7. Az előző állítások igzk véges helye vett htárérték eseté is: Tétel: Legye z f() függvéyek z helye vett htárértéke z A és legye c tetszőleges. Ekkor létezik cf függvéyek is htárértéke, és lim c f ( ) c lim f ( ) ca. Tétel: Legye z f() függvéyek z helye vett htárértéke z A és g() függvéyek z helye vett htárértéke B. Ekkor létezik z f±gfüggvéyek is htárértéke, és lim f ( ) g ( ) lim f ( ) lim g ( ) A B. Mtemtik II. 6 Tétel: Legye z f() függvéyek z helye vett htárértéke z A és g() függvéyek z helye vett htárértéke B. Ekkor létezik z fg függvéyek is htárértéke, és lim f ( ) g ( ) lim f ( ) lim g ( ) A B. Tétel: Legye z f() függvéyek z helye vett htárértéke z A és g() függvéyek z helye vett htárértéke B, hol B. Ekkor létezik z f/gfüggvéyek is htárértéke, és f ( ) lim f ( ) A lim. g ( ) lim g ( ) B Mtemtik II. 6

33 ..7. függvéyt, és dj meg htárér- Péld: Árázolj z f ( ) két -e és = is! lim lim lim lim Ezért függvéyek - ics htárértéke. Mtemtik II. 65 si Tétel: lim Tétel: Tétel: Tétel: Tétel: lim lim log lim lim Nevezetes htárértékek k e e ( ) l l Tétel: lim k D f R \ D f R \ D f R \ k R \ D f R \ D f R \ Mtemtik II. 66

34 ..7. Péld: Htározzuk meg =helye! si f ( ) 5 függvéy htárértékét z Alkítsuk át z f() függvéyt: si si si vegyük figyeleme, hogy h, kkor. Ezért si si lim lim 5 5 si lim 5. 5 Mtemtik II. 67 Péld: Htározzuk meg =helye! f ( ) függvéy htárértékét z Alkítsuk át z f() függvéyt: Ezért lim lim l. Mtemtik II. 68

35 Mtemtik II Péld: Htározzuk meg függvéy htárértékét z =+ helye! Alkítsuk át z f() függvéyt: Ezért hszálv műveletekre votkozó tételeket is kpjuk, hogy ) ( f. lim lim Mtemtik II. 7 7 Függvéyek folytoosság Az f függvéyt z D f helye folytoosk evezzük, h létezik függvéyek z helye htárértéke és z egyelő függvéy helyettesítési értékével, zz ). ( ) ( lim f f Az f függvéyt z D f helye joról folytoosk evezzük, h létezik függvéyek z helye jooldli htárértéke és z egyelő függvéy helyettesítési értékével, zz ). ( ) ( lim f f Az f függvéyt z D f helye lról folytoosk evezzük, h létezik függvéyek z helye loldli htárértéke és z egyelő függvéy helyettesítési értékével, zz ). ( ) ( lim f f

36 ..7. Figyeljük meg, hogy folytoosság poteli tuljdoság! Az f függvéyt z [,] itervllumo folytoosk evezzük, h függvéy z itervllum mide potjá folytoos, továá z itervllum l végpotjá joról-, jo végpotjá pedig lról folytoos. Tétel: Legye z f és g függvéy z helye folytoos. Ekkor cf is folytoos z helye, hol c. f g is folytoos z helye, hol D f Dg. f g is folytoos z helye, hol D f Dg. f / g is folytoos z helye, hol D f Dg és g( ). f g is folytoos z helye, h g folytoos z helye és f folytoos g( ) helye. Mtemtik II. 7 Tétel: Mide elemei függvéy z értelmezési trtomáy mide potjá folytoos. H z f függvéy z helye em folytoos, de vlmely ε + köryezetée folytoos, kkor z potot szkdási helyek evezzük. Mtemtik II. 7 6

37 ..7. A fetiek közül. árá tlálhtó szkdási pot z u. megszütethető szkdás, töi szkdási pot em szütethető meg. Mtemtik II. 7 Péld: Htározzuk meg f ( ) függvéy htárértékét z = helye! Az függvéy értelmezése lpjá függvéy következő lk írhtó fel:, h > f ( ), h < Vizsgáljuk meg külö-külö jo- illetve l-oldli htárértékeket: lim f ( ), lim f ( ). A két htárérték megegyezik, ezért v htárértéke függvéyek, és z: lim f ( ). Ez szkdási hely megszütethető, h z = helye függvéyek z f() = értéket djuk. Mtemtik II. 7 7

38 ..7. Differeciálszámítás Legye dott z f() függvéy, és legye D f. Ekkor f ( ) f ( ) f ( függvéyt z helyhez trtozó differeciháydos függvéyek evezzük. ) Mtemtik II. 75 A differeciháydos em más, mit z dott f() függvéy f() és f( ) potjá átmeő szelő meredeksége: f() f( ) f() f( ) f ( ) f ( ) f ( m ) Mtemtik II. 76 8

39 ..7. H létezik z f() függvéy helyhez trtozó differeciháydos függvéyéek htárértéke z helye, kkor zt z f() függvéy f ( ) f ( f ( ) ) differeciálháydosák evezzük, és függvéyt z dott pot differeciálhtók modjuk. f ( ) f ( ) f ( ) lim A differeciálháydos geometrii jeletése: z f() függvéy dott potjá húzott éritő meredeksége. (Eek elátásár vizsgáljuk meg z előző oldl áráját! Mtemtik II. 77 A differeciálhtóság is poteli foglom. Tekitsük z f függvéy értelmezési trtomáyák zt részhlmzát, melye függvéy differeciálhtó. Jelöljük ezt hlmzt A-vl. Defiiáljuk zt függvéyt, melyek értelmezési trtomáy A, és mide A elemhez függvéyértékkét z helyhez trtozó differeciálháydost redeli. Ekkor z f () vel jelölt függvéyt z f() függvéy differeciálháydos függvéyéek (deriváltják) evezzük. Mtemtik II. 78 9

40 ..7. Tétel: Az f()=c, c, függvéy differeciálháydos ull. Biz. Iduljuk ki defiícióól. H f() differeciálhtó z helye, kkor f ( ) f ( ) c c f ( ) lim lim. Mtemtik II. 79 Tétel: Az f()= függvéy differeciálháydos. Biz. Iduljuk ki defiícióól. H f() differeciálhtó z helye, kkor f ( ) f ( ) f ( ) lim lim. Mtemtik II. 8

41 ..7. Tétel: Az f()=, függvéy differeciálháydos. Biz. Iduljuk ki defiícióól. H f() differeciálhtó z helye, kkor f ( Ezért f ( ) f ( ) ) lim lim lim lim f ( ).. Mtemtik II. 8 Péld: Htározzuk meg z f() = függvéy differeciálháydos függvéyéek értékét z =helye! Mivel f ( ), ezért f ( ) 8. Mtemtik II. 8

42 ..7. Egy függvéyt z D f helye joról ill. lról differeciálhtók moduk, h differeci háydos függvéyek z pot létezik jooldli, ill. loldli htárértéke, és zok végesek. Jelölésük: f f ' ( ) ( ) ( ) lim f f ' ( ) ( ) ( ) lim f f Tétel: H egy függvéyek vlmely helyé létezik jooldli és loldli deriváltj, és ezek megegyezek, kkor függvéy z dott helye differeciálhtó. Mtemtik II. 8 Péld: Vizsgáljuk meg, hogy z, h f ( ), h > függvéy differeciálhtó-e z =helye? Mtemtik II. 8

43 ..7. A differeciálháydos kkor létezik, h jooldli és loldli deriváltk megegyezek: ' f ( ) f ( ) f( ) lim lim lim f ( ' ) lim f ( ) f ( ) lim Mivel két érték em egyezik meg, ezért függvéy z = pot em differeciálhtó. lim. Áltlá igz z, hogy egy folytoos függvéy töréspotjá em differeciálhtó. Tétel: H z f függvéy z D f helye differeciálhtó, kkor eze helye függvéy folytoos. (Fotos: folytoosság csk szükséges de em elegedő feltétel differeciálhtósághoz!) Mtemtik II. 85 A differeciálháydos geometrii jeletése mellett v egy gyo fotos fiziki jeletése is: Az út-idő függvéy idő szeriti deriváltj t időpillt megegyezik pilltyi seességgel. A seesség-idő függvéy idő szeriti differeciálháydos dj gyorsulást t időpot. Mtemtik II. 86

44 ..7. A differeciálás műveleti szályi Tétel: legye f differeciálhtó z D f helye, és legye c tetszőleges kosts. Ekkor cf is differeciálhtó z helye, és c f ( ) c f ( ) Tétel: legye f és g differeciálhtó z D f D g helye, és legye c tetszőleges kosts. Ekkor f g is differeciálhtó z helye, és f ( ) g( ) f ( ) g( ) Tétel: legye f és g differeciálhtó z D f D g helye, és legye c tetszőleges kosts. Ekkor fgisdiffereciálhtó z helye, és f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Mtemtik II. 87 Tétel: legye g differeciálhtó z D f helye, és tegyük fel, hogy g( ). Ekkor /g is differeciálhtó z helye, és g( ) g( ) g ( ) Tétel: legye f és g differeciálhtó z D f D g helye, és g( ). Ekkor f/gis differeciálhtó z helye, és f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) g ( ) Tétel: legye g differeciálhtó z D g helye, és f differeciálhtó g( ) D f. Ekkor f gösszetett függvéy is differeciálhtó z helye, és f ( ) g( ) f ( g( )) g( ) Mtemtik II. 88

45 ..7. Elemi függvéyek deriváltji I. f() f () f() f () c c k k k k- l si cos l cos -si e e tg cos log l ctg si Mtemtik II. 89 Elemi függvéyek deriváltji II. f() f () f() f () rcsi ch sh rccos th ch rctg cth sh rcctg rsh sh ch rch Mtemtik II. 9 5

46 ..7. Péld-: Differeciálj z f ( ) cos függvéyt! Aműveleti tételek lpjá tgokét kell differeciáli: f ( ) cos si Mtemtik II. 9 Péld-: Differeciálj z f ( ) si cos függvéyt! Aműveleti tételek lpjá tgokét kell differeciáli: si cos f ( ) Itt z első tg egy szorzt, második tg kosts: si cos si cos f ( ) ( si cos ) Mtemtik II. 9 6

47 ..7. Péld-: Differeciálj z f ( ) tg(5) függvéyt! Itt egy összetett függvéy v, melye külső függvéy tg függvéy, első függvéy z 5 függvéy. Ezért f ( ) tg 5 cos (5) 5 tg(5)(5) 5 cos (5) Mtemtik II. 9 Mgs redű differeciálháydosok H z f és z f ' függvéy is deriválhtó z helye, kkor z f '' z f függvéy helye vett második deriváltják evezzük. Alóg módo juthtuk el z -dik derivált foglmához. Jelölések: f '(), f ''(), f '''(), f () (),, f () (), Mtemtik II. 9 7

48 ..7. Péld-: Adj meg z f() = függvéy első 5 deriváltját! f '() =, f''()=, f '''()=, f () () =, f (5) ()= Péld-: Adj meg z f() = si függvéy első 8 deriváltját! (si )' =cos, (si)'' =-si, (si )'''()=-cos, (si) () =si, (si ) (5) =cos, (si) (6) =-si, (si ) (7) ()=-cos, (si) (8) =si, Mtemtik II. 95 A differeciálás lklmzási. A L Hospitl szály Tétel: Legyeek z f és g függvéyek z hely vlmely köryezetée differeciálhtók, és - folytoosk. Tegyük fel továá, hogy f( )=g( )=. f ( ) f ( ) H létezik lim véges htárérték, kkor létezik lim g ( ) g( ) htárérték is, és f ( ) f ( ) lim lim g( ) g( ) Mtemtik II. 96 8

49 ..7. Tétel: Legyeek z f és g függvéyek z hely vlmely köryezetée differeciálhtók, és - folytoosk. Tegyük fel továá, hogy lim f ( ) lim g ( ). H létezik htárérték is, és f ( ) lim g( ) véges htárérték, kkor létezik f ( ) lim g( ) f ( ) lim g( ) f ( ) lim g( ) Mtemtik II. 97 Megjegyzések: Azelői tétel igzolhtó - -re is. H függvéy, htároztl lkú, kkor tételek közvetleül lklmzhtók, míg töi esete először kifejezést át kell lkíti. Fotos: em háydos függvéyt kell differeciáli, hem külö deriváljuk számlálót és evezőtis! A L Hospitl szály töször is lklmzhtó egymás utá, h művelet végrehjtás utá ugyilye típusú htárértéket kpuk. Mtemtik II. 98 9

50 ..7. Péld: Számítsuk ki f ( ) lim si Mivel limsi és lim függvéy htárértékét! ezért ( ) f ( ) lim lim si si lim. cos Mtemtik II. 99 Függvéyvizsgált I. Függvéyek övekedése, csökkeése Tétel: Legye z f függvéy z [,] itervllumo folytoos és z (,)- differeciálhtó. Legye f () = mide (,). Ekkor z f függvéy z [,] itervllumo álldó. Tétel: Legye z f függvéy z [,] itervllumo folytoos és z (,)- differeciálhtó. Ekkor Az f függvéy z [,] itervllumo kkor és csk kkor mooto övekvő h f () mide (,). Tétel: Legye z f függvéy z [,] itervllumo folytoos és z (,)- differeciálhtó. Ekkor Az f függvéy z [,] itervllumo kkor és csk kkor mooto csökkeő h f () mide (,). Mtemtik II. 5

51 ..7. Tétel: Legye z f függvéy z [,] itervllumo folytoos és z (,)- differeciálhtó. Ekkor z f függvéy z [,] itervllumo kkor és csk kkor szigorú mooto övekvő h f () > mide (,). Tétel: Legye z f függvéy z [,] itervllumo folytoos és z (,)- differeciálhtó. Ekkor z f függvéy z [,] itervllumo kkor és csk kkor szigorú mooto csökkeő h f () < mide (,). Mtemtik II. Péld: Vizsgáljuk meg z f ( ) ( ) függvéyt mootoitás szempotjáól z értelmezési trtomáyá, h D f =. A övekedési viszoyokt z első derivált előjele htározz meg. Differeciáljuk függvéyt: f ( ) ( ) A függvéy szigorú mooto övekvő,hf' ()>: ( ). A függvéy szigorú mooto csökkeő,h ( ). Mtemtik II. 5

52 ..7. Vló, függvéy lkj: Mtemtik II. Függvéyvizsgált II. Szélsőérték meghtározás Tétel: Legye z f függvéy z helye differeciálhtó. H f-ek z helye létezik lokális szélsőértéke, kkor f '( )=. Tétel: Legye z f függvéy z helye kétszer differeciálhtó. H f '( )=ésf''( ) >, kkor f-ek z helye lokális miimum v. Tétel: Legye z f függvéy z helye kétszer differeciálhtó. H f '( )=ésf''( ) <, kkor f-ek z helye lokális mimum v. Mtemtik II. 5

53 ..7. Péld: Htározz meg z f ( ) függvéy szélsőértékeit! A szélsőérték létezésére votkozó tétel lpjá htározzuk meg z első deriváltk zérushelyeit: miől kpjuk, hogy. f ( ) Ezzel lehetséges szélsőértékeket kptuk meg. Vizsgáljuk most második deriváltkt lehetséges szélsőérték helyeke: f ( ) 6, és így f ( ), f ( ). A második derivált z = helye egtív, ezért itt lokális mimum v függvéyek, z = - helye pedig pozitív, ezért itt lokális miimum v függvéyek. Mtemtik II. 5 Függvéyvizsgált III. Alki viszoyok, ifleió Tétel: Legye z f függvéy z [,] itervllumo kétszer differeciálhtó. Ahhoz függvéy z itervllumo kove (kokáv) legye, szükséges és elegedő feltétel, hogy z f '() függvéy z itervllumo szigorú mooto övekvő (csökkeő) legye, zz f''() >, (ill. f''() < ) mide (,)-re. Tétel (z ifleiós hely létezéséek szükséges feltétele): Legye z f függvéy z helye kétszer differeciálhtó, és itt függvéyek ifleiój v, kkor f''( )=. Tétel (z ifleiós hely létezéséek elégséges feltétele): Legye z f függvéy z helye kétszer differeciálhtó, és legye f''( )=. Ekkor z f függvéyek z helye ifleiój v. Mtemtik II. 6 5

54 ..7. Péld: Htározzuk meg z f ( ) l, D f = függvéy ifleióshelyét, és állpíts meg, mely itervllumo kove és kokáv függvéy. Az ifleióshely létezésére votkozó tétel lpjá keressük meg második derivált zérushelyeit: f ( ) l l, és f ( ). A második derivált sosem ull, így ics ifleiós hely. Vizsgáljuk meg második derivált előjelét: ez kifejezés kkor egtív, h <, és kkor pozitív, h >. A függvéy értelmezési trtomáy pozitív vlós számok hlmz, tehát függvéy mideütt kove. Mtemtik II. 7 A függvéyvizsgált lépései Az értelmezési trtomáy megállpítás Zérushelyek meghtározás Szimmetrituljdoságok: párosság, pártlság, periodicitás Folytoosság, szkdási helyek meghtározás. Htárértékek meghtározás szkdási helyek jo ill. loldlá, vlmit z itervllum végpotji. Mootoitás, szélsőérték vizsgált. Alki viszoyok: kove, kokáv trtomáyok, ifleiós potok meghtározás. A függvéy grfikoják megrjzolás. Értékkészlet meghtározás. Mtemtik II. 8 5

55 ..7. Péld: Végezze el teljeskörű függvéyvizsgáltot z f ( ) függvéye!. A függvéy értelmezési trtomáy: D f =.. A zérushelyek meghtározás:?, Mtemtik II. 9. Szimmetrituljdoságok. A függvéy páros, mert ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) A htváyfüggvéyek em periodikusk, így külöségük sem z.. Folytoosság, szkdási helyek, htárérték: htváyfüggvéyek folytoosk mide D f helye, szkdási hely ics. f ( ) lim f ( ) lim f ( ) 5.Mootoitás, szélsőérték: szélsőérték ott lehet, hol függvéy differeciálháydos ull. f ( ) ( ),, Mtemtik II. 55

56 ..7. Az első derivált előjele dj téyleges mootoitást: ( ), vgy Ezeke z itervllumoko függvéy szigorú mooto csökkeő. ( ), vgy Ezeke z itervllumoko függvéy szigorú mooto övekvő. A második derivált előjele szélsőérték helyeke szolgálttj szélsőértékeket: f ( ) 6 Amiől dódik, hogy f ( ) f ( ) f ( ) Ezért függvéyek miimumhelye v +-e és --e, és mimumhelye v -. Mtemtik II. 6. Alki viszoyok: f ( ) h 6. Amiől kpjuk, hogy Ezeke z itervllumoko függvéy kove. Hsoló: f ( ) h 6. Amiől: Itt függvéy kokáv. Mtemtik II. 56

57 ..7. Ahol függvéy koveől kokáv megy át ifleiós potj v. Ezek potok: ott függvéyek Mtemtik II. - Az f ( ) függvéy grfikoj Mtemtik II. 57

58 ..7.. Soroztok Azokt függvéyeket, melyek értelmezési trtomáy pozitív egész számok hlmz ( jelölése N ), képhlmz vlós számok hlmz, soroztk evezzük. Az függvéy N helye vett helyettesítési értékét sorozt - edik eleméek evezzük és ()= -el jelöljük. A sorozt megdhtó Képlettel: vgy N Rekurziós formulávl: Felsorolássl:,,,,,, 8 5 Mooto soroztok Az { } N soroztot (szigorú) mooto csökkeőek evezzük, h mide N eseté - ( < - ). Az { } N soroztot (szigorú) mooto övekvőek evezzük, h mide N eseté - ( > - ). Azokt z { } N soroztokt, melyek mide N eseté vgy mooto őek vgy mooto csökkeek, mooto soroztk evezzük. 6 58

59 ..7. Korlátos soroztok Az { } N soroztot felülről korlátosk evezzük, h létezik oly K R, hogy mide N eseté K. Az { } N soroztot lulról korlátosk evezzük, h létezik oly k R, hogy mide N eseté k. Az { } N soroztot korlátosk evezzük, h lulról is és felülről is korlátos. Mtemtik II. 7 Koverges és diverges soroztok Az { } N soroztk létezik z A véges htárértéke, h mide ε > számhoz létezik oly (ε) N küszöszám (küszöide), melyre igz, hogy h >, kkor A < ε. Jelölése lim ({ } N ) = A H z { } N soroztk létezik z A véges htárértéke, kkor soroztot kovergesek evezzük, egyékét sorozt diverges. H lim ({ } N ) =, kkor soroztot zérussoroztk evezzük. Mtemtik II. 8 59

60 ..7. Tétel ( Redőr elv ): Legyeek dottk z { } N, { } N, {c } N soroztok, és legye { } N és { } N koverges. H lim { } N = lim { } N = A és mide >N -r teljesül, hogy c, kkor {c } N sorozt is koverges, és lim ({c } N )= A. Mtemtik II. Soroztokr votkozó tételek Tétel :Hz{ } N sorozt koverges, kkor csk egy htárértéke v, zz htárérték egyértelmű. (Uicitás). Tétel :Hz{ } N sorozt koverges, kkor korlátos. A korlátosság szükséges, de em elégséges feltétel. (Tekitsük {(-) } N soroztot. Tétel: Hz{ } N sorozt mooto övekvő (csökkeő) ésfelülről (lulról) korlátos, kkor koverges. A feltétel csk elégséges, de szükséges, mert kovergeciáól em következik mootoitás. pl. Mtemtik II. N 6

61 ..7. Műveletek véges htárértékű soroztokkl Tétel: Legye z { } N sorozt koverges és c tetszőleges vlós szám. Ekkor c{ } N = {c } N sorozt is koverges, és lim {c } N = c lim { } N. Tétel: Legye lim { } N =Aéslim{ } N =B,(zz midkét sorozt koverges). Ekkor igzk következő állítások: lim ({ + } N ) = lim { } N + lim { } N = A + B. lim ({ } N ) = lim { } N lim { } N = A B. lim ({ } N ) = lim { } N lim { } N = A B. Ameyie véges sok elemtől eltekitve ésb, kkor lim N lim lim N Mtemtik II. N A B N Végtele htárértékű soroztok Az { } N soroztk tág érteleme vett htárértéke +, h mide P R számhoz létezik oly N N küszöszám, melyre igz, hogy h > N, kkor > P. Jelölése lim ({ } N ) = +. Az { } N soroztk tág érteleme vett htárértéke, h mide P R számhoz létezik oly N N küszöszám, melyre igz, hogy h > N, kkor < P. Jelölése lim ({ } N ) =. Mtemtik II. 6

62 ..7. Műveletek végtele htárértékű soroztokkl Tétel: Legye z { } N sorozt htárértéke +. Ekkor h c lim( c) N h c h c Tétel: Legye z { } N sorozt koverges, és lim { } N =A. Legye továá lim { } N =+. Ekkor lim( ) N,, h h A A Tétel: Legyez{ } N és { } N sorozt koverges úgy, hogy lim { } N =A éslim { } N =és >mide N-re. Ekkor, h A lim, h A N Mtemtik II. Tétel: Legyez{ } N sorozt korlátos, és lim { } N =+. Ekkor lim( ) lim( lim, ) h Tétel: Legye z { } N és { } N két oly sorozt, melyre teljesül, hogy létezik oly k>n, hogy h >k, kkor. Ekkor: h lim { } N =+, kkor lim { } N =+. h lim { } N =, kkor lim { } N =. Mtemtik II. 6

63 ..7. Nevezetes soroztok I. Tétel: Az N sorozt koverges, és lim N. Tétel: Legye c tetszőleges vlós szám. Ekkor, h h lim c N h em létezik h c, c, c, c Mtemtik II. 5 Nevezetes soroztok II. Tétel: Az sorozt koverges, és lim e. N N k k Tétel: Tetszőleges k vlós szám eseté lim e. Tétel: lim. N Tétel: lim, h R. N! N Tétel:Tetszőleges vlós szám eseté lim. N 6

64 Mtemtik II. 7 Péld: Htározzuk meg z sorozt htárértékét, és djuk meg z ε = - hez trtozó küszöideet! Alkítsuk át -t következőképpe: Hszáljuk z előző tételeket:.. lim lim lim lim N N N N Mtemtik II. 8 A második rész kiszámításához hszáljuk fel, hogy Helyettesítsük e htárérték defiíciójá: Tudjuk, hogy N, ezért, ezért z egyelőtleség: Amiől kpjuk, hogy N = 5.. és, - A. A. -

65 Mtemtik II. 9 Péld: Htározzuk meg z sorozt htárértékét! Alkítsák át -t következőképpe: Amiől dódik, hogy lim 5 5 N Mtemtik II. Tétel(Cuchy-féle kovergeci kritérium): Az { } N sorozt kkor és csk kkor koverges, h ármely ε > hoz megdhtó oly N(ε) küszöszám, hogy h, m > N, kkor m < ε. A tétel jeletése: sorozt kkor és csk kkor koverges, h elég gy idetől kezdve z elemei tetszőlegese keveset térek el egymástól. Biz.????

66 ..7. Megjegyzés: H sorozt poliomok háydos, kkor evező ill. számláló fokszámától függőe három esetet külööztetük meg: H számláló fokszám gyo, mit evező fokszám, kkor htárérték vgy + vgy, legmgs fokú tgok együtthtóik előjelétől függőe. H számláló fokszám megegyezik evező fokszámávl, kkor htárérték legmgs fokú tgok együtthtóik háydosávl egyelő. H számláló fokszám kise, mit evező fokszám, kkor htárérték. Mtemtik II. Sorok Feldt: Adott egy szksz, melyek hossz <. Mérjük fel szkszt egy egyeesre, mjd mérjük fel felét, z egyhrmdát, egyedét, és így tová. Folytssuk z eljárást végteleségig. 5 6 Mekkor lesz felmért szkszok összhossz? Mtemtik II. 66

67 ..7. Feldt: Tekitsük zt görevolt, mely oly félkörívekől áll, melyek sugri egy r sugár -ed részei ( =,,, ). r r r r 8 Mekkor lesz felmért körívek összhossz? Midkét esete végtele sok tg összegét kell kiszámíti, és ez prolémát okozht. Mtemtik II. Legye dott z { } sorozt. Az { } sorozt elemeiől képzett {S } soroztot, melyek elemeit z S k k képlettel djuk meg, végtele sork evezzük, és -el jelöljük. k k S -t végtele sor -dik részletösszegéek evezzük, z -t sor - dik tgják hívjuk. Péld: Tekitsük z S S S k k k k k k 6 hrmoikus soroztot. Ekkor 5 S k k 5 7 S 5 k 6 k lim S k k Mtemtik II. 67

68 ..7. Az k k sort kovergesek evezzük, h z {S } sorozt koverges. Az S lim S számot sor összegéek evezzük. A sort divergesek evezzük, h em koverges. Hsolítsuk össze geometrii sorozt és előle képzett végtele geometrii sor kovergeciáját. Péld: Tekitsük z S S S k k k k k k 7 8 mérti soroztot. Ekkor S k k S k k 5 6 lim S S k k Mtemtik II. 5 k Az k sort szolút kovergesek evezzük, h k k sor koverges. H egy sor koverges, de em szolút koverges, kkor feltételese koverges. Péld: k ( ) k sor feltételese koverges. k Mtemtik II. 6 68

69 ..7. Tétel: H egy sor szolút koverges, kkor koverges is. Biz: Legye {S } részletösszegek sorozt, {A } pedig sor tgjik szolút értékeiől összeállított sor részletösszegeiek sorozt, zz S A feltétel szerit {S } koverges sorozt, ezért soroztokr votkozó Cuchy kritérium szerit mide ε >-hoz létezik oly N(ε) természetes szám, hogy mide oly m, természetes számpárr, melyre m> N(ε), igz, hogy A m -A <ε. Így m k k Tehát z {S } sorozt is Cuchy sorozt, ezért koverges., A k k k m Sm S k Am A Am A. k k Mtemtik II. 7 A következő tételekél z lái feltételek és jelölések teljesülek: Legye dott z k k sor, és Legye k k egy em egtív tgú sor. A k k sor részletösszegeiek soroztát {B } jelöli, A k k sor részletösszegeiek soroztát {A } jelöli. Mtemtik II. 8 69

70 ..7. Tétel: H és sor koverges, és λ és μ tetszőleges vlós számok, kkor k k k k k k k sor is koverges, és Biz: k k k k k k Jelölje két sor részletösszegeiek soroztát {A }és{b }, sorok összegét A és B. Legye ε >tetszőleges, defiiáljuk A B értékeket. Mivel {A }és{b } koverges, ezért mid ε A -hoz mid ε B -hez trtozik egy N A ill. N B küszöszám, melyre igz, hogy h > N A, kkor A A <ε A, és h >N, kkor B B <ε B. Mtemtik II. 9 k. Válsszuk most N(ε)-t elég gyk, zz legye N( ) m N( A ), N( B ) Ekkor, h N(ε), kkor A B A B A A B B A B. Összefoódás vektorokál tultkkl, tétel átfoglmzv: Koverges soroztok lieáris komiációj is koverges sorozt. (A lieáris komiáció em vezet ki koverges soroztok hlmzáól.) Mtemtik II. 7

71 ..7. Tétel ( Cuchy-féle kovergeci kritérium): A sor kkor k k és csk kkor koverges, h mide ε >-hoz létezik oly N(ε) természetes szám, hogy mide oly m, természetes szám-párr, melyre m> N(ε), feáll m k k egyelőtleség. Biz: A soroztokr votkozó Cuchy kritériumot lklmzzuk z {S } részletösszeg-soroztr. (Eszerit: z {S } sorozt kkor és csk kkor koverges, h mide ε > -hoz létezik oly N(ε) természetes szám, hogy mide oly m, természetes számpárr, melyre m> N(ε), feáll z S m -S <ε egyelőtleség. Mivel S -S m m k k ezért tétel állítás zol következik. Mtemtik II. Értelmezzük tétel állítását! Mide ε >-hoz meg lehet di egy oly N(ε) természetes számot, hogy z esete, h sorozt N(ε)-ál gyo ideű elemeit összedjuk, kkor z összeg értéke kise lesz, mit z előre meg-dott ε. Miél kisere válsztjuk ε értékét, ál gyo lesz N(ε) értéke. Mivel m-re csk yi kikötés v, hogy m>,ezzt jeleti, hogy m értéke tetszőlegese gy lehet, zz koverges soroztál sorozt hátsó szeletéek egyre kiseek kell lei. Mtemtik II. 7

72 ..7. k Következméy: A k sorozt kovergeciáják szükséges feltétele, hogy z { } sorozt ullsorozt legye. Biz: Tegyük fel, hogy sor koverges. Ekkor z előző tétel szerit mide ε >-hoz létezik oly N(ε) természetes szám, hogy h m=+ és N(ε), kkor + <ε. Ezért z + sorozt ullsorozt. Mivel ezt soroztot úgy kpjuk z soroztól, hogy ól elhgyjuk z első elemet, ezért két sorozt kovergecituljdosági megegyezek. Ezért <εis teljesül. Így z sorozt is ullsorozt. Mtemtik II. A feltétel csk szükséges, de em elégséges. Eek izoyításához vizsgáljuk meg l sort kovergeci oldláról. A feltétel yílvá teljesül, hisze lim l lim l, de részletösszegek sorozt em koverges, ugyis S l l l l l( ) l l( ), és ez végtelee trt, h. Mtemtik II. 7

73 ..7. Feldt: Koverges-e z sor? 6 ( ) Az előző tétel lpjá először vizsgáljuk, hogy szükséges feltétel teljesül-e? lim lim. ( ) Meg kell mutti, hogy részletösszegek sorozták v véges htárértéke. Vegyük észre, hogy ( ) Ez lpjá S (*). Mtemtik II. 5 Ezért S lim S lim. Tehát sor koverges, és összege. A (*) zoosság izoyítás. Botsuk prciális törtekre l oldlt: B A ( ) Ekkor teljesüli kell, hogy A B( ) ( A B) B lklmzzuk z egyelő együtthtók módszerét. Ezért A B B miek megoldás: B = és A = -. Mtemtik II. 6 7

74 ..7. A korlátos. sort korlátosk modjuk, h részletösszegek sorozt Tétel: H egy Biz. sor koverges, kkor korlátos is. H sor koverges, kkor korlátos is. H korlátos sorozt, kkor részletösszegek sorozt is korlátos. H részletösszegek sorozt korlátos, kkor sor korlátos. Megjegyzés: tétel megfordítás áltlá em igz. A sorozt korlátosságáól em következik kovergeci. Péld: Mtemtik II. 7 Tétel: H egy koverges. Biz. sor em egtív tgú és korlátos, kkor H sor korlátos, kkor részletösszegek sorozt is korlátos. A em-egtivitás mitt részletösszegek sorozt mooto övekvő soroztot lkot. H részletösszegek sorozt mooto és korlátos, kkor soroztokr votkozó tétel szerit részletösszegek sorozt koverges. H részletösszegek sorozt koverges, kkor defiíció szerit sor koverges. Mtemtik II. 8 7

75 ..7. Nevezetes sorok I. Hrmoikus sor: Tétel: A hrmoikus sor diverges. Biz. Tegyük fel, hogy z állítás em igz. Ekkor sor koverges. Ezért részletösszegek sorozt is koverges, és htárértékük ugyz szám. Ezért: lim S lim S S S Ezért S S S S. lim Mtemtik II. 9 Vizsgáljuk meg z S S külöséget: S S Ez zt jeleti, hogy S S. lim em állht. Ezért hrmoikus sor em teljesíti kovergeciár votkozó szükséges feltételt. Ezért sor em lehet koverges. A hrmoikus sor ismeretée válszt tuduk di korá felvetett első feldt megoldásár Mtemtik II. 5 75

76 ..7. A felmért szkszok összhosszár válsz következő: Láttuk, hogy z összhossz végtele sorrl dhtó meg. Mivel hrmoikus sor diverges, ezért felmért szkszok összhossz végtele! Mtemtik II. 5 Nevezetes sorok II. Geometrii sor: q q q q hol q. Tétel:, h q S q, h q q Azz geometrii sor q < eseté koverges, és q >eseté diverges. A geometrii sor ismeretée válszt tuduk di korá felvetett második feldt megoldásár. Mtemtik II. 5 76

77 ..7. Most z ívhosszk összegét r I r r r végtele sorrl dhtó meg. Az összegzése egy oly geometrii sor áll, melyre q <. Ezért z ívhossz: S r r, q zz szkszok összhossz véges! (Éppe kkor, mit kiiduló kör kerülete.) r Mtemtik II. 5 Nevezetes sorok III. Hiperhrmoikus sor: hol p >. k k p p p p Tétel. hiperhrmoikus sor koverges. Biz. A tétel izoyításához elegedő kimutti, hogy sor részletöszszegei mooto övekvő és korlátos soroztot lkotk. A mooto övekedés zol következik ól, hogy sor emegtív tgú. A korlátosság izoyítás: Mtemtik II. 5 77

78 Mtemtik II. 55 Vizsgáljuk sor -edik részletösszegét: Csökketsük jo oldlo evezőket oly módo, hogy evező helyée i -t mide oly esete, mikor evező értéke [ i, i+ ) itervllum esik: Mivel [ i, i+ ) itervllum midig i dr egész szám esik, ezért feti összege z egyform evezőjű tgok szám midig i. Ez lól csk z utolsó szelet lehet kivétel. (H em i lkú, kkor egészítsük ki jo oldlt megfelelő számú elemmel.) Így sor következőképpe írhtó fel: p p p p p p p p k p k S. 8 p p p p p p p p k p k S Mtemtik II. 56 p i p p p p p p p k p k S ) ( 8 A jo oldl egy /( p- ) kvóciesű geometrii sor i-edik részletösszege. Jelőljük ezt s i -vel. H /(p-) <, zz p >, kkor Ezért hipergeometrikus sor korlátos. p i i p p p p ) ( i ip p p p p 6 8. ) ( ) ( ) ( ) ( p i p p p p. lim p i i i s s S

79 ..7. Nevezetes sorok IV. Leiitz-féle sor: ( ) 5 Áltláos vizsgáljuk prolémát: Tétel. H lteráló sor z >, és tgok áltl lkotott { } sorozt mooto csökkeő és zérushoz trt, kkor sor koverges. Mtemtik II. 57 Továi kovergeci-kritériumok Tétel: Legye { } egy emegtív elemű sorozt. A koverges, h részletösszegeiek sorozt korlátos. Biz: k k sor Szükséges: Jelölje részletösszegek soroztát { }. Legye sor koverges, zz {S } sorozt koverges. Ekkor {S } soroztokr votkozó tétel szerit korlátos. Elegedő: Legye {S } sorozt korlátos. Ekkor mide -re S + S = +. Ezért z {S } sorozt mooto övekvő. A soroztokál láttuk, hogy mooto korlátos sorozt koverges, így z {S }sorozt kover-ges. Mtemtik II

80 ..7. Tétel (Mjorás Kritérium): H k sor szo- oly N, hogy mide N-re, kkor z lút koverges. Biz: k sor koverges, és v k A feltételől következik, hogy m> N-re. k k k k A Cuchy féle kovergeci kritérium mitt elegedő megmutti, hogy z A sorozt Cuchy sorozt. k Mivel k koverges, ezért ármely ε > -hoz v oly küszöide N (ε) = m (N, N(ε)) hol N(ε)-r teljesül, hogy h m m > N (ε), kkor k melyre h m > N (ε), kkor k m m m k k k k k vgyis z {A } sorozt Cuchy sorozt z N (ε) küszöideszel. Mtemtik II. 59 k k Feldt: Dötsük el, hogy koverges-e z lái sor: Mivel mide -re teljesül, és jo oldlo álló geometrii sor koverges, ezért feldt szereplő sor is koverges. Mtemtik II. 6 8

81 ..7. Tétel (Miorás Kritérium): H k oly N, hogy mide N-re, kkor z szolút koverges. k sor diverges, és v k k sor em A tétel izoyítás Mjorás Kritériumál hszált eljárás segítségével elvégezhető. Mtemtik II. 6 pozi- Tétel (D'Almert-féle háydos kritérium-): H tív tgú sor egy N küszöidetől kezdve z q egyelőtleség teljesül, kkor sor koverges. Biz: A feltétel mitt h > N. Legye = N +. Ekkor N q. N q q N N N N p q q p N p N q Mtemtik II. 6 8

82 ..7. Mivel jo oldl tgjiól képezett sor koverges (mert q < ), és mjorálj p q p N p q p N p N q p sort egy -től kezdve sor, ezért Mjorás Kritérium szerit sor is koverges. Mtemtik II. 6 Feldt: Koverges-e!! sor? Alklmzzuk háydos kritériumot! Ezért sor koverges.! ( )! (!) ( ) ()! (!) ( )!! ()! ( ) ()! ()!( )( ) Mtemtik II. 6 8

83 ..7. Tétel (D'Almert-féle háydos kritérium-): H pozitív tgú sor egy N küszöidetől kezdve z q egyelőtleség teljesül, kkor sor diverges. Gykorlti számítások sorá sokszor hszálhtó D'Almert-féle kovergeci kritérium tételeire lpuló következő tétel: Tétel: H sor tgji pozitívk, és htárérték lim létezik és h lim, kkor sor koverges, h lim, kkor sor diverges h lim, kkor háydos kritérium em hszálhtó. Mtemtik II. 65 Feldt: Koverges-e! sor? Alklmzzuk háydos kritériumot!! ( ) lim! Ezért sor koverges. ( )! ( ) lim lim!( ) ( ) lim lim lim ( ). e Mtemtik II. 66 8

84 ..7. Tétel (Cuchy-féle gyökkritérium): H egy N küszöszámtól kezdve z kkor sor koverges. Biz: A feltétel szerit q, h N. pozitív tgú sor q egyelőtleség teljesül, Ezért q h N. Ez éppe zt jeleti, hogy sort q ( < q <) koverges geometrii sor mjorálj egy dott N idetől. Hszálv Mjorás Kritériumot zt kpjuk, hogy sor koverges. Mtemtik II. 67 Feldt: Koverges-e 5 8 sor? Alklmzzuk gyök-kritériumot! mide -re. Ezért sor koverges Gykorlti számításokál célszerű következő gyökkritériumo lpuló tételt lklmzi: Mtemtik II. 68 8

85 ..7. Tétel: H sor tgji pozitívk, és htárérték lim létezik, és h h h lim, kkor sor koverges, lim, kkor sor diverges, lim, kkor gyök-kritérium em hszálhtó kovergeci eldötésére. Mtemtik II. 69 Feldt: Koverges-e sor? Mivel tört evezője mgs rede trt végtelee, mit számláló, ezért tört zérushoz kovergál. Vizsgáljuk meg gyökkritérium segítségével, hogy mely elégséges feltétel teljesül kovegeciához: lim lim. Itt felhszáltuk, hogy Ezért sor koverges. lim. Mtemtik II. 7 85

86 ..7. Feldtok sorok kovergeciáják meghtározásár Feldt: Koverges-e sor?! A szükséges feltétel teljesül. (Az sorozt ullsorozt.)! Alklmzzuk háydos kritériumot! ( )!! lim lim lim. ( )!! Ezért sor koverges. Mtemtik II. 7 Feldt: Koverges-e sor? A szükséges feltétel teljesül. (A lim evezetes htárérték mitt.) Alklmzzuk gyök-kritériumot! lim lim. Ezért sor koverges. Mtemtik II. 7 86

87 ..7. Feldt: Koverges-e sor? Vizsgáljuk először szükséges feltétel teljesülését. Mivel lim, Ezért szükséges feltétel em teljesül. Így sor em koverges. Mtemtik II. 7 Feldtok sorok összegéek meghtározásához Feldt: Htározzuk meg végtele sor összegét! Írjuk fel prciális tört lk sor áltláos tgját! Eől kpjuk, hogy A A B B ( A B ) ( A B ) Alklmzzuk z egyelő együtthtók módszerét: A B A B és A B Amiől: A és B Mtemtik II. 7 87

88 Mtemtik II. 75 Tehát Így z -edik részletösszeg: Eől sor összegére dódik: k k k S lim lim lim S S Mtemtik II. 76 Feldt: Htározzuk meg végtele sor összegét! Vegyük észre, hogy sorozt áltláos tgj következő lk írhtó fel: Ezért sor összege: A zárójele egy oly geometrii sor áll, melyre q = /5. Ezért 5 5 S ) ( S

89 ..7. Függvéysorok Az f (), f (), f (), függvéysorozt elemeiől képezett k összeget függvéysork evezzük. fk ( ) f ( ) f( )... fk ( )... A függvéysor értelmezési trtomáy: D D f Az s ( ) evezzük. k f k ( ) összeget sor. részlet összegfüggvéyek Az r ( ) evezzük. f k k ( ) összeget sor. mrdék összegfüggvéyek Mtemtik II. 77 Az értelmezési trtomáy egy H D részhlmzát függvéysor kovergeci trtomáyák evezzük, h ármely H-r lim s ( ) htárérték létezik. (Potokéti kovergeci) Következméy: kovergeci trtomáyo lim ( ). Az s( ) lim s ( ) f k ( ) k r összeget sor összegfüggvéyek evezzük. ( H ). Péld Tehát k, h. k s( ), h H (,). Mtemtik II

90 ..7. A függvéysor egyeletese kovergál z összegfüggvéyhez kovergeciitervllum egy H H részitervllumá, h s egyeletese kovergál s-hez. Péld: k egyeletese kovergál z s( ) függvéyhez k H, itervllumo, mert lim sup k lim sup / / k / / Tétel: H z k f k ( ) egyeletese kovergál H -, kkor pototokét koverges. Mtemtik II. 79 Péld A si ármely R eseté, és sorozt koverges. sorozt egyeletese koverges R-e, mert f ( ) Mtemtik II. 8 9

91 ..7. Az k f k ( ) koverges. szolút koverges z -, h k f k ( ) Következméy: H egy kkor ott koverges is. k f k ( ) sor szolút koverges -, Mtemtik II. 8 Htváysorok Két típusú htváysort ismerük: k k k k ( ) k k : z középpot körül. : z origó körül. k Elegedő z k típusú sorokkl fogllkozi, mert z k középpotú htváysor ξ = helyettesítéssel k lkr hozhtó. k k Mtemtik II. 8 9

92 ..7. Péld: Htváysor például geometrii sor. Ez sor koverges, h <. Ezért k k k k htváysor kovergecitrtomáy (-, ) itervllum, zz z = pot r = sugrú köryezete. Mtemtik II. 8 k k Tétel: H k sor -e diverges, kkor ármely > pot is diverges. (Eél tö is igz: ezeke potok sor szolút koverges.) Következméy: két feti tétel egyees következméye, hogy egy htváysor kovergecittomáy midig egy =középpotú itervllum. Legye H z értelmezési trtomáy és R kovergecisugár. Ekkor következő esetek lehetségesek. H={}, kkor R=. R e R : R e R? (Mide esete vi koverges diverges zsgáli kell.) H = R, kkor R = R. Mtemtik II. 8 9

93 ..7. k A korái megjegyzéseket felhszálv k ( ) htváysor kovergecitrtomáy egy középpotú k itervllum. Ee z esete htváysor z < R-e koverges, z > R-e diverges, végpotokt külö kell vizsgáli. Hogy htározhtó meg R? Mtemtik II. 85 A kovergecisugár meghtározás htváysorok eseté A kovergecisugár meghtározás pozitív tgú sorokr votkozó háydos és gyökkritérium lklmzásávl törtéik. Mivel htváysor kovergecitrtomáy megegyezik sor kovergecitrtomáyávl (pozitív tgú sorok eseté), ezért z utói kovergecitrtomáyát kell meghtározi. Mtemtik II. 86 9

94 ..7. Vizsgáljuk először háydoskritérium lklmzását. A tétel szerit htváysor kkor koverges, h lim reláció teljesül. Meg kell vizsgáli, hogy milye -kre teljesülek feltételek. Mivel lim lim Azt kell tehát vizsgáli, hogy mikor teljesül, h p = p. Mtemtik II. 87 zz, h p (*) Tehát htváysor oly -ekre lesz koverges, melyekre (*) feltétel teljesül. Ez pedig zt jeleti, hogy r = /p, hol p lim htváysor kovergecisugr Mtemtik II. 88 9

95 ..7. Vizsgáljuk most gyök-kritérium lklmzását. A tétel szerit htváysor kkor koverges, h lim reláció teljesül. Meg kell vizsgáli, hogy milye -kre teljesülek feltételek. Mivel lim lim. = p Azt kell tehát vizsgáli, hogy mikor teljesül, h p Mtemtik II. 89 zz, h p (*) Tehát htváysor oly -ekre lesz koverges, melyekre (*) feltétel teljesül. Ez pedig zt jeleti, hogy r = /p, hol p lim htváysor kovergecisugr Mtemtik II. 9 95

96 ..7. Feldtok kovergecisugár meghtározásár Feldt: Htározzuk meg! htváysor kovergecisugrát! Alklmzzuk háydoskritériumot: ( )!! p lim lim ( )!! Tehát kovergecisugár: r. p lim ( ) Mtemtik II. 9 htváysor kovergecisug- Feldt: Htározzuk meg rát!! Alklmzzuk háydoskritériumot: p lim ( )! ( )! lim ( )!!( ) lim ( ) ( ) lim ( ) Tehát kovergecisugár: lim ( ) r p e e. Mtemtik II. 9 96

97 ..7. htváysor kovergecisug- Feldt: Htározzuk meg rát! Alklmzzuk gyök-kritériumot: p lim lim Tehát kovergecisugár: r p. Mtemtik II. 9 htváysor kovergecisug- Feldt: Htározzuk meg rát! Alklmzzuk gyök-kritériumot: p lim lim Tehát kovergecisugár: r p. Mtemtik II. 9 97

98 Mtemtik II. 95 Htváysor differeciálás és itegrálás Tétel: Egy htváysor kovergecitrtomáy elsejée tgokét deriválhtó, derivált sor is koverges lesz z eredeti kovergecitrtomáy, és derivált sor összegfüggvéye z eredeti sor összegfüggvéyéyéek deriváltj. Péld: Tekitsük következő htváysort: Ismert, hogy htváysor kovergecisugr r =. Deriválv: A derivált sor kovergecisugr: és így r =. ) (, lim p Mtemtik II. 96 Tétel: Egy htváysor kovergecitrtomáy elsejée tgokét itegrálhtó, z itegrált sor is koverges lesz z eredeti kovergecitrtomáy, és z itegrált sor összegfüggvéye z eredeti sor összegfüggvéyéyéek htároztl itegráltj. Péld: Tekitsük következő htváysort: Ismert, hogy htváysor kovergecisugr r =. Itegrálv: A derivált sor kovergecisugr: és így r =. l, lim p

99 ..7. A Mc-Luri sor és Tylor sor Az előzőeke láttuk, hogy h < ( ) h < l h < H dott egy f() függvéy, és ehhez megdhtó egy oly htváysor, melyek z összegfüggvéye f(), kkor z f() függvéyt htváysor fejthetőek evezzük. Mtemtik II. 97 Legye dott (-, ) itervllumo értelmezett, htváysor fejthető f() függvéy. Ekkor függvéy előállíthtó következő lk: f ( ) Ee z előállítás em ismerjük z i együtthtók értékét. Az együtthtók meghtározhtók f() és deriváltjik z = helye felvett értékeiek segítségével: f ( ) Mivel z f() függvéy htváysor létezik, ezért hszálhtjuk deriválásr votkozó tételt: f ( ) Így f ( ) Mtemtik II

100 ..7. H most z f'() függvéyre lklmzzuk differeciálás szályát, kkor zt kpjuk, hogy f ( ) 6... ( )... miől kpjuk, hogy f ( ) Folytssuk z eljárás. Ekkor z. lépés utá kpjuk, hogy f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ()! Összefogllv: keresett együtthtókt z f() függvéy megfelelő deriváltjik z = helye vett helyettesítési értékei szolgálttják.... Mtemtik II. 99 f ( ) f ( ). f ( ) f ( )! ezért ezért f () f ()! ( ) f ()! ezért f ) ()! ( Mtemtik II.

101 ..7. Így z f() függvéy = pot körüli htváysorrl törtéő előállításár kptuk: f () f () f () f ( ) f ()!!! ( ) f ()! Az f() függvéyek ezt z előállítását függvéy Mc-Luri sorák evezzük. Kérdés: Hogy lehet egy f() függvéyek z = pot körüli (r ézve szimmetrikus kovergecitrtomáyú) lkú htváysorát felíri? ( ) Mtemtik II. Kövessük Mc-Luri sor felírásáál lklmzott eljárást. Most z = helyettesítési érték dj keresett együtthtók értékét: f ( ). f ( ) f ( ) f ( )! ( ) f ( )! ezért ezért ezért f ( ) f ( )! f ) ( )! ( Mtemtik II.

102 ..7. Így z f() függvéy = pot körüli htváysorrl törtéő előállításár kptuk: f ( ) f ( ) f ( )! f ( )! ( )! ( ) f Az f() függvéyek ezt z előállítását függvéy Tylor sorák evezzük. Mtemtik II. Feldtok függvéyek Mc-Luri és Tylor sorák felírásár Írjuk fel z y = függvéy Mc-Luri sorát! Htározzuk meg z együtthtókt: f () f () l f ()! ( ) f ()! l l l!! l l!! Mtemtik II.

103 ..7. Így z y = függvéy Mc-Luri sor: l l l l!!! Mtemtik II. 5 Fejtsük Tylor sor z y = l függvéyt z = e pot körül! Htározzuk meg először z együtthtókt: f ( e) f ( e) e f ( e)! e Így z y = l függvéy Tylor sor: ( ) ( e) e f! l e e e e e e Mtemtik II. 6

104 ..7. Fejtsük Tylor sor z y = - +- függvéyt z = pot körül! Htározzuk mg z együthtókt: f () f () f ( ) 6 5 5! () f 5! 6 Így függvéy Tylor sor: 5 5 Mtemtik II. 7 Nevezetes függvéyek htváysor Htározzuk meg z y = e függvéy Mc-Luri sorát! Iduljuk ki z y = Mc-Luri soráól: l l l l! Vegyük figyeleme, hogy = e esete l e =. Így! e!!! H =, kkor z e szám sorfejtését kpjuk: e!!!!! Mtemtik II. 8

105 ..7. Htározzuk meg z y = si függvéy Mc-Luri sorát! Vizsgáljuk először z y = si függvéy deriváltjit: y cos y si y cos ( y ) si Látjuk, hogy si függvéyek mide egyedik deriváltj megegyezik: ( y ) cos ( y ) si ( y ) cos ( y ) si Mtemtik II. 9 Így = helye helye felvett értékek: (si ) () (si ) () () () (si ) (si ) Így si függvéy Mc-Luri sorá z z együtthtók: f () f () f () f ( ) f ()!!! Ezért si = =! 5 7! 5! 7! (k) f () k k!! k k k k k! Mtemtik II. 5

106 ..7. Az y = cos függvéy Mc-Luri sor hsoló godoltmeettel számíthtó ki. A differeciálháydosok periodicitás itt is érvéyesül. A pártl ideű tgok együtthtói leszek zérusok. Ezért: cos!! 6 6! k k! k Mtemtik II. Itegrálszámítás és lklmzási A primitív függvéy, htároztl itegrál Elemi függvéyek htároztl itegrálj Itegrálási szályok A htározott itegrál foglm és tuljdosági A Newto-Leiiz szály Az itegrálszámítás lklmzási Mtemtik II. 6

107 ..7. A primitív függvéy A differeciálszámítás sorá megismertük zt, hogy egy f() függvéy f () deriváltját hogy lehet megdi függvéy ismeretée. A kérdés z, hogy differeciálháydos ismeretée hogy lehet meghtározi z f() függvéyt? Erre kérdésre d válszt z itegrálszámítás. Akkor modjuk, hogy z F() függvéy primitív függvéye z f() függvéyek z I R itervllum, h F folytoos z I- és mide első potjá F () =f(). Mtemtik II. Péld: Vegyük észre, hogy z f() = függvéy primitív függvéye számegyeese z függvéy, mert F ()= = f(). F( ) Hsoló megfotolás lpjá láthtó z is, hogy ( ) F és F( ) Függvéyek ugycsk primitív függvéyei z f() függvéyek. (Ez egyszerűe dódik ól, hogy kosts differeciálháydos.) Tétel: H f-ek z I itervllum v primitív függvéye, kkor végtele sok primitív függvéye v, melyek csk egy dditív kosts térek el egymástól. Mtemtik II. 7

108 ..7. Egy f függvéy htároztl itegrálják modjuk z I R itervllum z f függvéy primitív függvéyeiek hlmzát. Jele f ( ) d Az itegrál mögötti részt itegrdusk, z változót itegrációs együtthtók evezzük. A htároztl itegrál defiíciójáól következik, hogy f ( ) d F ( ) C, C R Egy függvéy htároztl itegrálját megdi zt jeleti, hogy megkeressük hozzá trtozó összes primitív függvéyt. Mtemtik II. 5 Péld: Htározzuk meg f primitív függvéyeit, h f ( ) Megoldás: C, R A korái tétel mitt, h grfikus krjuk árázoli külööző primitív függvéyeket, kkor zok oly párhuzmos göresereget lkotk, melyek z y tegely meté vk eltolv. (Ld. A következő oldlt.) Mtemtik II. 6 8

109 ..7. f()= F( ) F( ) F( ) Mtemtik II. 7 Az elemi függvéyek htároztl itegrálji d C d l C sid cos C cosd si C si cos d ctgc d tgc -, R e d e C d C l Mtemtik II. 8 9

110 ..7. Itegrálási szályok Tétel: Tegyük fel, hogy f-ek és g-ek létezik primitív függvéye z I itervllum. Akkor cf-ek és (f +g)-ek is v primitív függvéye, és cf ( ) d c f ( ) d ( ) g ( ) d f ( ) d f g ( ) d Mtemtik II. 9 Péld: keressük z f() = + 5+ függvéy htároztl itegrálját! f ( ) d 5 5 d 5 5 d 5 d d C d Péld: keressük z f( ) függvéy htároztl itegrálját! d d d d d l C Mtemtik II.

111 ..7. Tétel: Tegyük fel, hogy f()-ek F primitív függvéye z I itervllum, és + I. Akkor Biz. f ( ) d F( ) C F( ) F( ) F( ) f ( ) Mtemtik II. Péld: keressük z f()=(+) függvéy htároztl itegrálját! d C 8 C Péld: keressük z f() = cos(+) függvéy htároztl itegrálját! cos( ) d si( ) C Mtemtik II.

112 ..7. Mtemtik II. Tétel: Tegyük fel, hogy f() differeciálhtó és F primitív függvéye z I itervllum, és -. Akkor C f d f f ) ( ) ( ) ( Biz. f f f f C f Figyeljük meg, hogy változtttuk jelölése! Mtemtik II. Péld: keressük z f =(+) függvéy htároztl itegrálját! C d Péld: keressük z függvéy htároztl itegrálját! f 6 d d d d

113 ..7. Tétel: Tegyük fel, hogy f differeciálhtó z I itervllum, és f(), I. Akkor f f l C Péld: keressük z f 5 függvéy htároztl itegrálját! d d l 5 C Mtemtik II. 5 Prciális itegrálás A szorztfüggvéy differeciálási szályák megfordításáól dódó itegrálási szályt prciális itegrálásk evezzük. Tétel: Tegyük fel, hogy f és g folytoos és differeciálhtó z I itervllum. Akkor Biz. fg Itegráljuk midkét oldlt: Amiől átredezéssel megkpjuk tétel állítását. fg fg f g f g fg fg f g fg Mtemtik II. 6

114 ..7. Péld: keressük z e d htároztl itegrál értékét! Legye f()= és gʹ()=e. Ekkor fʹ()=ésg()=e.így e d e e d e e C Mtemtik II. 7 Itegrálás helyettesítéssel A helyettesítéses itegráláshoz léyegée z összetett függvéy differeciálási szályák megfordításávl juthtuk el. Tétel: Tegyük fel, hogy g függvéy differeciálhtó z I itervllum,ésf () =f(), hol g(i). Akkor f ( g( )) g ( ) d F( g( )) C. Péld: keressük z e d htároztl itegrál értékét! Az első téyező egy összetett függvéy, melyek első függvéye g: g()=. Az itegrdus em megfelelő - f g( ) g( ) - lkú, h szorozzuk és osztjuk is -vel, kkor kívát form elérhető: e d e d e C. VIG BSc Mtemtik II. II. 8

115 ..7. A htározott itegrál foglm Keressük k síkidomk területét, melyet z f() = göre, z tegely és z =egyees htárol. Jelöljük feti prolikus háromszög területét T-vel, és osszuk fel [,] itervllumot egyelő hosszúságú ekvidiszts részitervllumr. Legyeek z osztópotok: hol A T területek egy lsó ecslését kpjuk, h mide részitevllumo egy oly tégllpk területét számítjuk ki, melyek lpj részitervllum hossz, mgsság részitervllum l végpotjá felvett függvéyérték i i Mtemtik II. 9 Így prolikus háromszög területét lulról egy törtvolll htárolt sokszög területével közelítjük meg: i - - = Mtemtik II. 5