Emelt szintű érettségi matematikából 2019

Átírás

1 Emelt szitű érettségi mtemtikából 09 Segédlet szóbeli vizsgához Fábiá Istvá Duújváros, 08 Kézirt

2 A témkörök kidolgozását legjobb tudásom szerit igyekeztem megtei. Azob többszöri átézés utá is mrdhttk bee hibák, hiáyosságok. Eek következtébe: Jogi yiltkozt Ebbe kézirtb legjobb meggyőződésem szerit megbízhtó iformációkt közlök. Nem válllok kötelezettséget és grciát z iformációk teljességéek vgy potosságák hiáyából dódó következméyekért, em vgyok kötelezhető kézirtb tlálhtó iformációk jvításár és frissítésére, továbbá em válllok felelősséget kézirtb tlálhtó iformációk hszáltából eredő bármilye természetű kárért. A felelősség elhárítás A kézirt redeltetése csupá személyes hszált, célj, hogy mtemtikából z emelt szitű szóbeli érettségi vizsgár vló felkészüléshez támogtást yújtso. Nem grtálom, hogy kézirt teljes mértékbe kielégíti felhszáló igéyeit. Nem viselek semmilye közvetle vgy közvetett felelősséget károkért, melyeket felhszálók vgy hrmdik felek okoztk kézirt helyes vgy helytele hszáltávl mgukk vgy másokk. Fetrtom mgmk jogot, hogy bármikor, előzetes figyelmeztetés élkül módosítsm kézirtot. A kézirt lezárv: 08. december 7.

3 Trtlomjegyzék Előszó... 5 Bevezetés... 6 Vizsgázói tktikák szóbeli... 8 Kidolgozott tételek tétel: Hlmzok, hlmzműveletek. Nevezetes pothlmzok síkb és térbe tétel: Rcioális és irrcioális számok. Műveletek rcioális és irrcioális számok hlmzá. Közöséges törtek és tizedes törtek. Hlmzok számosság tétel: Oszthtóság, oszthtósági szbályok és tételek. Prímszámok. Számredszerek tétel: A mtemtiki logik elemei. Logiki műveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltételek, bemuttásuk tételek megfoglmzásáb és bizoyításáb tétel: Htváyozás, htváyfoglom kiterjesztése, htváyozás zoossági. Az -edik gyök foglm. A égyzetgyök zoossági. Htváyfüggvéyek és égyzetgyökfüggvéy tétel: A logritmus foglm és zoossági. Az expoeciális és logritmusfüggvéy. Az iverzfüggvéy tétel: Másodfokú egyeletek és egyelőtleségek. Másodfokúr visszvezethető egyeletek. Egyeletek ekvivleciáj, gyökvesztés, hmis gyök, elleőrzés tétel: A leíró sttisztik jellemzői, digrmok. Nevezetes középértékek tétel: Függvéyti lpismeretek, függvéyek tuljdosági, htárérték, folytoosság. Számsoroztok. A számti sorozt, z első tg összege tétel: Mérti sorozt, z első tg összege, végtele mérti sor. Kmtszámítás, gyűjtőjárdék, törlesztőrészlet. Expoeciális folymtok társdlomb és természetbe tétel: A differeciálháydos foglm, deriválási szbályok. A differeciálszámítás lklmzási (éritő, függvéyvizsgált, szélsőérték-feldtok) tétel: Derékszögű háromszögekre votkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvéyei. Összefüggések hegyesszögek szögfüggvéyei között. A szögfüggvéyek áltláosítás tétel: Háromszögek evezetes voli, potji és körei tétel: Összefüggések z áltláos háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között tétel: Egybevágósági trszformációk, lkztok egybevágóság. Szimmetri. Hsolósági trszformációk. Hsoló síkidomok kerülete és területe, hsoló testek felszíe és térfogt. A hsolóság lklmzási síkgeometrii tételek bizoyításáb tétel: Kovex sokszögek tuljdosági. Szbályos sokszögek. Gráfok tétel: A kör és részei. Kerületi szög, középpoti szög, látószög. Húrégyszögek, éritőégyszögek

4 8. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbotási tétel. Vektorok koordiátái. Skláris szorzt tétel: Szkszok és egyeesek koordiátsíko. Párhuzmos és merőleges egyeesek. Elsőfokú egyelőtleségek, egyeletredszerek grfikus megoldás tétel: A kör és prbol elemi úto és koordiátsíko. Kör és egyees, prbol és egyees kölcsöös helyzete. Másodfokú egyelőtleségek grfikus megoldás tétel: Térelemek távolság és szöge. Térbeli lkztok. Felszí- és térfogtszámítás tétel: Területszámítás elemi úto és z itegrálszámítás felhszálásávl tétel: Kombiációk. Biomiális tétel, Pscl-háromszög. A vlószíűség kiszámításák kombitorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás tétel: Permutációk, vriációk. A biomiális eloszlás. A vlószíűség kiszámításák geometrii modellje tétel: Bizoyítási módszerek és bemuttásuk tételek bizoyításáb.... Felhszált irodlom számú kiegészítés A vlós számok xiómredszere ( vlós számtest) számú kiegészítés Vektorok, vektortér, skláris és vektoriális szorzt... 8 Képlettár

5 Szffik és külööse! Ksmírk( ), kik segítettek és segíteek elviseli z elviselhetetlet Előszó Több évtizede títok emelt órszámú csoportokt (hívták már fkultációk, ESZÉF-ek stb.), és készítem föl diákjimt egyetemi-főiskoli felvételire. Ak idejé ú. közpoti írásbeli érettségi-felvételi dolgoztot kellett íriuk, mjd z áltluk megjelölt felsőokttási itézméybe szóbeli vizsgár hívták be őket több oly títváyom volt, kiek így három helyre is el kellett meie. E vizsgáko z ott títók kérdezték őket, kik áltláb em ismerték potos középiskoli ygot, jó esetbe zért volt köztük középiskoli tár. Mgm is többször voltm felvételi bizottság tgj Duújvárosi Egyeteme mid mtemtikából, mid fizikából. 005 utá, kétszitű érettségi bevezetésével gymértékbe egyszerűsödött helyzet, egyetle szóbeli vizsgát kell csk tei, és bizottságok tgji is középiskoli tárok, kik tisztáb vk tyggl. É örültem eek változásk. Sjos zob törtétek más változások is: vlmikor diákokk még ki lehetett di külöböző témköröket öálló feldolgozásr, melyeket ztá órá közöse megbeszéltük, így készülve szóbelire. Mert kkorib még z előírt tyg és redelkezésre álló időkeret ezt megegedte. M már erre idők sics (legfeljebb z érettségi írásbelik utái és szóbelik előtti időszkb), illetve tulók hozzáállás is megváltozott jobb szeretek már meglévő ygokt megtuli. (Feleségem ki mgyrtár gyo plsztikus foglmzott: tizeöt éve még csk éháy gyerek volt, ki em olvst el kötelező olvsmáyokt, tíz éve csk éháy gyerek volt, ki em olvst el kötelező olvsmáyok rövidített kivotát, újbb pedig már csk éháy diák v, ki elolvss leglább rövidített változtot ) Ezt z igéyt felismerve köyvkidók mide évbe megjeletetek külöböző kidváyokt ebből célból (émelyikükbe sjos szkmi tévedések is előfordulk gy számb). Megítélésem szerit zob ezek köyvek terjedelem-ár kpcsolt em elhygolhtó mivolt mitt jóvl többet trtlmzk, mit mi vlób szükséges egy sikeres szóbelihez, és mi belefér 0 percbe. Ez vezetett od, hogy megpróbáljk összeállíti egy oly segédygot, mely megtulhtó, és véleméyem szerit! elegedő egy sikeres szóbeli vizsgához. Remélem, sikerrel járok. A szerzői jogokról: dolgoztom szbdo felhszálhtó, átírhtó, kiegészíthető és jvíthtó (Public Domi) rá vló hivtkozást pedig megköszööm Az esetlegese előforduló hibákt, kérem, írják meg pisti@fbifmily.hu ímélcímre, hogy jvíti tudjm zokt. 5

6 Bevezetés A következőkbe éháy fotos tudivló z érettségi vizsg részletes követelméyeit trtlmzó 40/00. számú OM-redeletből ( mtemtikár votkozó rész): Az emelt szitű szóbeli vizsg közpoti tételsor lpjá zjlik. A tételt vizsgázók öálló kell kifejteie. Közbekérdezi csk kkor lehet, h teljese helytele úto idult el, vgy yilvávló, hogy elkdt. (Ez esetbe segítő kérdést lehet feltei, meyibe z még felelési időbe belefér.) A szóbeli vizsgár leglább húsz tételt kell készítei. A tételsort úgy kell összeállíti, hogy temtikilg fedje le követelméyredszert. A tételek feldtit mide évbe frissítei kell. Vizsgázókét szükséges segédeszköz tételsorb szereplő feldtokhoz kpcsolódó összefüggéseket trtlmzó képlettár, melyet vizsgbizottságot működtető itézméy biztosít, továbbá szöveges dtok tárolásár és megjeleítésére em lklms zsebszámológép, körző, volzó, szögmérő, melyekről vizsgázó godoskodik. Az egyes tételek egy-egy témából kerülek ki. A tétel címébe megjelölt témát logikus, ráyos felépített, szbd elődásb kell kifejteie vizsgázók. A feleletbe feltétleül szerepeliük kell z lábbi részletekek: egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szeriti defiíció potos kimodás; egy, témához trtozó, vizsgázó válsztás szeriti tétel potos kimodás és bizoyítás; kitűzött feldt megoldás; tém mtemtiká belüli vgy zo kívüli lklmzás, illetve mtemtiktörtéeti votkozás (több ismertetése vgy egy részletesebb bemuttás). A tételeket úgy kell összeállíti, hogy ehézségük (z áltluk átfogott tygrészek gyság és mélysége) közel zoos legye. Ügyeli kell rr, hogy tételbe kitűzött feldt ehézsége z egyes tételeket tekitve körülbelül zoos legye. A vizsgá hszálhtó képlettárt és tételcímeket yilváosságr kell hozi. A szóbeli vizsgrész értékelése A szóbeli vizsgá elérhető potszám 35. Az értékelés közpoti értékelési útmuttó lpjá törtéik. Az értékelési szempotok A felelet trtlmi összetétele, felépítéséek szerkezete 0 pot, eze belül - Logikus felépítés, szerkesztettség, trtlmi gzdgság 6 pot Ebbe potb kell értékeli feleletbe szereplő, témához illő defiíciókk, kimodott tételek és bizoyításák ehézségét is. - A felelet mtemtiki trtlmi helyessége 4 pot A feleletbe szereplő, témához illő defiíció helyes kimodás pot H több defiíciót is elmod, kkor defiíciór dhtó pottl legjobbt kell értékeli. 6

7 A feleletbe szereplő, témához illő tétel helyes kimodás és bizoyítás 6 pot, eze belül - A tétel helyes kimodás pot - A tétel helyes bizoyítás 4 pot A kitűzött feldt helyes megoldás 8 pot. H feldtot csk vizsgázttó segítségével tudj elkezdei, kkor mximum 5 pot dhtó. Alklmzások ismertetése 4 pot. Egy, tételhez illő lklmzás vgy mtemtiktörtéeti votkozás részletes kifejtése, vgy 3-4 léyegese eltérő lklmzás vgy mtemtiktörtéeti votkozás rövid ismertetése. Mtemtiki yelvhszált, kommuikációs készség 5 pot, eze belül - Mtemtiki yelvhszált pot - Öálló, folymtos elődásmód pot - Kommuikáció pot (Ez utóbbi pot kkor is jár, h vizsgázó öálló felelete utá em volt szükség kérdésre.) Mgm is több éve vizsgázttok emelt szite, hol elökkét, hol kérdező tárkét, sok jó és rossz feleletet hllottm. A vizsgázók áltl elkövetett hibák áltláb ( tudáshiáyo túl ) z eze jogszbályb megfoglmzottk, z értékelési szempotok em ismeretéek következméyei. Így írásomt igyekszem fetiek figyelembevételével elköveti, külöös tekitettel redelkezésre álló 0 perces időre. Néháy fotos megjegyzés, rövidítésmgyrázt: - Nálm egy tételbizoyítás következőkből áll: Tétel: potos kimodás. Bizoyítás: értelemszerűe, továbbá bizoyítás befejeztét midig jelezi kell vlhogy, például Ezt krtuk bizoyíti. vgy Q. e. d. vgy Ez volt tétel állítás. vgy álm //. - Ügyeljük rr, hogy válsztott tétel bizoyítás e legye gyo köyű, ugyis bizottság eek ehézségét is értékeli logikus felépítés, szerkesztettség, trtlmi gzdgság 6 pot -jáb. - Geometrifeldtokál elkerülhetetle egy jó ábr, eek felhszálásár é midig hszálom HÁJ! jelölést, mely Hszáljuk z ábr jelöléseit! modt rövidítése. - További rövidítések: T = tétel, D = defiíció. - Írásomb mtemtiki kifejezéseket MthType progrmml készítettem, míg z ábrákt GeoGebr felhszálásávl. - A dolgozt 09. májusi vizsgidőszkr kidott témkörök lpjá készült (ez gyjából megegyezik korábbi évek témköreivel). 7

8 Vizsgázói tktikák szóbeli Körülbelül 50 sját letett vizsgá túl tpsztltim következők: - em lehet mide tételt egyformá jól megtuli; - tudomásul kell vei, hogy vk jobb és kevésbé jobb tételek; - em szbd előre eldötei, hogy ezt tételt krom, másikt meg em kihúzi. H ugyis em jö össze célom, kkor köye leblokkolhtok és így biztos rossz is lesz z tétel. Már z ősember is külöböző mágikus eljárásokt vetett be k érdekébe, hogy előzetese biztosíts cselekedete sikerességét e féljük mi se ettől! Modogssuk mgukk, hogy sikerüli fog vizsg, erősítsük mgukb hitet! Higgyék el, ez sokt jelet. Oliver Cromwell, z gol polgári forrdlom egyik vezetőjéek modását szoktm ezzel kpcsoltb idézi: Bízz Istebe, és trtsd szárzo puskport! szólt dötő cst előtti esős esté ktoáihoz. Tuljuk, ztá bízzuk mgukb. A feleletre legfeljebb 0 perc áll redelkezésre, ezltt kell ismerteti kitűzött feldt megoldását, illetve elmodi tételt vizsgázó áltl válsztott sorredbe. H megítélésük szerit sikerült megoldi z áltláb em túl ehéz feldtot, kkor érdemes zzl kezdei, hogy ztá mrdék időt teljes egészébe tétel elmodásár fordíthssuk, figyelve rr, hogy z lklmzások kifejtésére is jusso idők (erre egyébkét felelet közbe szoktk is vizsgázttók figyelmezteti). Ellekező esetbe kezdjük tétel kifejtésével, előzetese jelezve vizsgbizottságk, hogy feldttl em vgy em teljese boldogultuk. Ezzel felhívjuk figyelmüket rr, hogy feldttl kpcsoltb még dolguk lesz, hogy erre is száiuk kell időt. Arr z esetre, h egyik résszel sem boldogultuk, em igzá tudok jó tácsot di 8

9 Kidolgozott tételek 9

10 . tétel: Hlmzok, hlmzműveletek. Nevezetes pothlmzok síkb és térbe. A hlmz mtemtik egyik legfotosbb foglm, mi tudásuk szerit mtemtiki ismereteik teljes egészébe visszvezethetők hlmzelméletre. A hlmzelmélet fejlődése 9. százd végé idult, és 0. százdb yerte el jeleleg ismert formáját. A hlmz és z eleme foglmát em defiiáljuk, lpfoglomk tekitjük, legfeljebb más szvkkl (összesség, csoport, bee v stb.) tudjuk körülíri. Megállpodás szerit kkor beszélhetük hlmzról, h bármely dologról egyértelműe eldöthető, hogy hozzátrtozik vgy em. A hlmz elemeit áltláb kisbetűvel, mgát hlmzt gybetűvel jelöljük: A; b A. Egy hlmzb egy elem potos egyszer szerepel. Néháy speciális számhlmz külö evet kpott, ezek jelét vstg betűvel írjuk: N; Z; Q; Q*; R, illetve Z + ; R - stb. A hlmzokt megdhtjuk elemeik felsorolásávl vgy hlmz elemeire jellemző tuljdosággl, : = ; ; ; : = + 5 C : = József Attil versei. A bcd ; { } például: { } B x Z x ; { } D: Azt hlmzt, melyek egyetle eleme sics, üres hlmzk evezzük. Jele: { } vgy. D: Két hlmz egyelő, h ugyzok z elemeik, jelbe A= B. A hlmzok közti kpcsoltok jellemzésére bevezetük két új foglmt: D: Az A hlmz részhlmz B hlmzk, h A mide eleme eleme B-ek is; A B. Az A hlmz vlódi részhlmz B hlmzk, h A mide eleme eleme B-ek is, de B-ek v oly eleme, mely em eleme A-k; A B. A részhlmz kpcsoltr igzk következő tételek: T: A A. T: H A Bés B C, kkor A C. T: H A Bés B A, kkor A= bizoyításár. A hlmzok között műveleteket defiiáluk, legfotosbbk: B. Ezt tételt gykr hszáljuk két hlmz egyelőségéek D: A egyesítése (uiój) B-vel zo elemek hlmz, melyek leglább z egyik hlmzk elemei. { } A B: = xx A x B D: A metszete B-vel zo elemek hlmz, melyek midkét hlmzk elemei. { } A B: = xx A x B D: A külöbség B zo elemek hlmz, melyek elemei A-k, de em elemei B-ek. A\ B:= { xx A x B }. 0

11 D: A szimmetrikus külöbség B zo elemek hlmz, melyek vgy A-k, vgy B-ek elemei. A B: = { x x A x B x A B } vgy másképp : = ( \ ) ( \ ) A B A B B A. D: A Descrtes- vgy direktszorzt B-vel zo redezett számpárok hlmz, melyek első tgj z A hlmz, második tgj B hlmz eleme. {( ) } AxB: = ; b A b B T: Az uió- és metszetképzés idempotes, kommuttív, sszocitív és midkettő disztributív másikr ézve. A A= A A A= A A B= B A A B= B A ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = ( A C) ( B C) ( A B) C = ( A C) ( B C) A hlmzokr votkozó tételek bizoyításár, feldtok megoldásár legtöbbször Ve-digrmot hszáluk. A következő tételt is eek segítségével bizoyítom. Tétel: Tetszőleges A, B és C hlmzok eseté ( A B) C = ( A C) ( B C ). Bizoyítás: Ábrázoljuk z egyelőség midkét oldlát Ve-digrmo! A bl oldl: Előbb mjd A jobb oldl: Előbb mjd mjd A két utolsó rjzot összehsolítv láthtjuk két oldl egyezőségét. //

12 További fotos művelet komplemeterképzés. Eek meghtározásához értelmezük kell z ú. lphlmzt vgy uiverzumot. D: Egy feldttl, problémávl kpcsoltb hozhtó összes dolog lkotj feldtr, problémár votkozó lphlmzt vgy uiverzumot. Áltláb H-vl vgy U-vl jelöljük. D: Az A hlmz H-r votkozó komplemeteré értjük H zo elemeiek hlmzát, melyek em elemei A-k. Jele: A. Nyilvá A= H \ A, továbbá A= A. A komplemeterképzésre votkozó két legfotosbb tételt z ú. De Morg-zoosságok képviselik: A B= A B A B= A B Fetiek lpjá beláthtó következő tétel: Bármely hlmzokr votkozó műveletsor felírhtó (megfelelő zárójelezéssel) csk uió- és komplemeterképzéssel, vgy csk metszet- és komplemeterképzéssel. Nevezetes pothlmzok (mérti helyek) D: Nevezetes pothlmzoko áltláb z ú. távolsággl jellemzett pothlmzokt értjük. Például: Azo potok hlmz síkb, melyek sík egy dott potjától dott távolságr vk, kör (körvol). (Az dott potot kör középpotják, z dott távolságot kör sugrák evezzük.) Bár ez defiíciók látszik, mégsem z, hem egy szükséges és elegedő feltételt megfoglmzó tétel. Tlá e tuljdoság jobb kitűik következő evezetes pothlmz meghtározásából: T: Azo potok hlmz síkb, melyek egyelő távolságr vk sík két külöböző potjától, két potot összekötő szksz szkszfelező merőlegese. Ugyis defiíció szerit szkszfelező merőleges z z egyees, mely illeszkedik szksz felezőpotjár, és merőleges szkszr. Így feti megfoglmzás következő két tételt fogllj mgáb:. A szkszfelező merőleges mide potj egyelő távolságr v szksz két végpotjától.. H egy pot egyelő távolságr v egy szksz két végpotjától, kkor illeszkedik szksz szkszfelező merőlegesére. További evezetes pothlmzok: T: Azo potok hlmz síkb, melyek egyelő távolságr vk sík két metsző egyeesétől, két egyees meghtározt égy szög két szögfelező egyeese. T: Azo potok hlmz síkb, melyek egyelő távolságr vk sík két, egymássl párhuzmos egyeesétől, két egyees távolságát felező, zokkl párhuzmos egyees. T: Azo potok hlmz síkb, melyek egyelő távolságr vk sík egy egyeesétől és egy rr em illeszkedő pottól, prbol. (Az dott egyees prbol vezéregyeese (direktrixe), z dott pot prbol fókuszpotj, z egyees és pot távolság pedig prbol prmétere.)

13 T: Azo potok hlmz síkb, melyekek sík két (em feltétleül külöböző) potjától mért távolságik összege két pot távolságáál gyobb, dott szksz hosszávl egyelő, z ellipszis. (Az dott potokt z ellipszis fókuszpotjik evezzük.) T: Azo potok hlmz síkb, melyekek sík két külöböző potjától mért távolságik külöbsége két pot távolságáál kisebb, dott szksz hosszávl egyelő, hiperbol. (Az dott potokt hiperbol fókuszpotjik evezzük.) Az utóbbi három mérti helyet (ideértve kört is) kúpszeletek evezzük (lehetséges más geometrii meghtározásuk mitt). A térbe vizsgálv feti tételeket következő lógiákt kpjuk: - kör gömb; - szkszfelező merőleges szkszfelező sík; - szögfelező egyees szögfelező sík; - párhuzmos egyees párhuzmos sík; - prbol forgási prboloid (pot és sík); - ellipszis forgási ellipszoid; - hiperbol forgási hiperboloid. A térbe további evezetes pothlmzokt is megfoglmzhtuk. Alklmzások: A hlmzokt mtemtik mide területé hszáljuk, például függvéyek, egyeletek, egyelőtleségek értelmezési trtomáyák meghtározáskor, z értékkészlet és megoldáshlmz vizsgáltkor, z iformtikáb és sttisztikáb z dtbázisok felépítésébe, és zok külöböző lekérdezéseibe (Google, Yhoo stb.), elemzéseibe (épszámlálások, közvéleméy-kuttások stb.). A evezetes pothlmzok középiskoláb jellemző felhszálás geometrii szerkesztésekbe és bizoyításokb törtéik ( szerkesztésekél áltláb potot szerkesztük, két evezetes pothlmz segítségével). További felhszálásuk törtéhet például csillgásztb (kúpszeletek), vgy külöböző számítógépes grfikák készítésébe. Megjegyzés: Ameyibe tételhez trtozó feldt bizoyított tétel belátás lee, jvslom helyette De Morg-zoosságok belátását. 3

14 . tétel: Rcioális és irrcioális számok. Műveletek rcioális és irrcioális számok hlmzá. Közöséges törtek és tizedes törtek. Hlmzok számosság. Ebbe témkörbe csk vlós számok hlmzávl és k részhlmzivl fogllkozom. Megtrtv középiskolás felépítés lpvetőe törtéeti megközelítésmódját, mégis törekszem z egzkt felépítésre. (Bővebbe erről z. számú kiegészítésbe.) A továbbikb számo vlós számot értek, melyek hlmzát következőképpe htározom meg (Kosztoláyi és mtsi, 009, 9): D: A számegyees oly egyees, melye kijelölük két potot, z egyikhez 0, másikhoz z vlós számot redeljük. A két pot távolságát egységek evezzük. D: A számegyees mide potjához trtozik egy vlós szám, és fordítv, mide vlós számhoz trtozik egy pot számegyeese. (Azz vlós számok hlmz és számegyees potji között létezik kölcsööse egyértelmű megfeleltetés.) A vlós számok hlmzák betűjele. A kori ember z életbe felmerült számlálási problémák megoldásáb em üres hlmzok elemszámák (drbszámák) meghtározásár lkott meg számokt. Eredetileg ezeket eveztük természetes számokk: z ; ; 3; számolás eredméyét (hlmzát), újbb beleértjük 0 számot is. A természetes számok hlmzák betűjele. Két műveletet értelmezett rjtuk: z egyesítésüket, ez lett z összedás, illetve többszörözésüket, ez lett szorzás. Midkét művelet kommuttív és sszocitív, szorzás pedig disztributív z összedásr ézve, de ez fordítv em igz, ezért evezzük szorzást erősebb műveletek. A természetes számok hlmz zárt z összedásr és szorzásr ézve, zz művelet elvégzése em vezet ki hlmzból, művelet eredméye is természetes szám. A két művelet iverz művelete zob em midig hjthtó végre természetes számok hlmzá, ezért vált szükségessé ( permecielv lklmzásávl) 0 és egtív egész számok (kivoás), illetve rcioális számok (osztás 0-tól külöböző egésszel) értelmezése. Az egész számok hlmzák betűjele. E égy műveletet egybe lpműveletek evezzük. D: Azokt számokt, melyek felírhtók két egész szám háydoskét, rcioális számk evezzük. A rcioális számok hlmzák betűjele. D: Azokt számokt, melyek em írhtók fel két egész szám háydoskét, irrcioális számokk evezzük. Az irrcioális számok hlmzák betűjele. Azokt z irrcioális számokt, melyek gyökei egy rcioális együtthtójú poliomegyeletek, 5 3 lgebri számokk evezzük (ilye például vgy ). Vk oly irrcioális számok is, 7 melyek em gyökei egyetle rcioális együtthtójú poliomegyeletek sem, ezeket trszcedes számokk evezzük (ilye például π vgy z e). A két defiícióból következőe = és =. A vlós számtest xiomtikus felépítése lpjá rcioális és irrcioális számokt ezzel ekvivles módo is tudjuk defiiáli: 4

15 T: Mide vlós számk létezik egyértelműe meghtározott tizedes tört lkj. D: Azokt vlós számokt, melyek tizedes tört lkj véges vgy végtele, szkszos tizedes tört, rcioális számokk evezzük. D: Azokt vlós számokt, melyek tizedes tört lkj végtele, em szkszos tizedes tört, irrcioális számokk evezzük. T: Egy rcioális szám tizedes tört lkj kkor és csk kkor véges, h két egész szám tovább em egyszerűsíthető háydoskét felírt lkjáb evező prímtéyezős felbotásáb csk és/vgy 5 prímszámok szerepelek. (Megjegyzés: Alóg állítások igzk bb z esetbe, h számredszer lpjául em 0 számot válsztjuk.) Műveletek rcioális és irrcioális számok hlmzá Midkét hlmzb z összedás és szorzás kommuttív és sszocitív, szorzás (és z osztás) disztributív z összedásr és kivoásr ézve. A rcioális számok hlmzák legfotosbb tuljdosági (tételek): () A rcioális számok hlmz sem lulról, sem felülről em korlátos. () A rcioális számok hlmz zárt égy lpműveletre ézve. (3) A rcioális számok hlmz sűrű, zz bármely két rcioális szám között v további rcioális szám. (Ebből már következik, hogy bármely két rcioális szám között végtele sok rcioális szám v.) Az irrcioális számok hlmzák legfotosbb tuljdosági (tételek): () Az irrcioális számok hlmz sem lulról, sem felülről em korlátos. () Az irrcioális számok hlmz em zárt égy lpműveletre ézve. (3) Az irrcioális számok hlmz sűrű, zz bármely két irrcioális szám között v további irrcioális szám. (Ebből már következik, hogy bármely két irrcioális szám között végtele sok irrcioális szám v.) A rcioális és z irrcioális számok közti további fotosbb összefüggések (tételek): () Bármely két rcioális szám között v irrcioális szám. (Ebből már következik, hogy végtele sok is v.) () Bármely két irrcioális szám között v rcioális szám. (Ebből már következik, hogy végtele sok is v.) (3) Egy rcioális és egy irrcioális számml elvégzett lpművelet eredméye irrcioális szám. Törtek A hétközpi életbe háromféle törtet hszáluk vlós számok felírásár: közöséges tört, vegyes tört és tizedes tört. 5

16 Rcioális számok eseté például: 3 = = 3,4857 ( π irrcioális szám Archimédesz áltl dott 7 7 z áltláos hszált 3,4-él jobb közelítése). A szkszos tizedes törtek jelölésébe szkszt kezdő- és végszámjegy fölé tett pottl jelöljük (mit fetebb), szksz evezőél legfeljebb eggyel rövidebb hosszú lehet. Mivel számok közti szorzásál em szoktuk (em kötelező) kitei műveleti jelet, ezért vegyes 3 tört lkú felírást célszerű elkerüli, mert eheze döthető el, hogy 3 = vgy 3 = 3 =, eek eldötésébe csk szövegköryezet segíthet, például () x+ 8= 3 D= egyelet eseté vegyes tört; 7 () x + 8 ; = D = x + = egyeletmegoldás sorá 3 =, zz közöséges tört Hlmzok számosság Egy hlmzb vgy véges sok, vgy végtele sok elem tlálhtó. D: Véges sok elemet trtlmzó A hlmz számosságá z A hlmzt lkotó elemek drbszámát értjük, jele A. Véges hlmz számosság tehát egy természetes szám, 0 z üres hlmz elemszám. Végtele sok elemet trtlmzó hlmz eseté hlmz számosságát hsoló módo jelöljük, például, ez yilvá em egy természetes szám, foglmát más módo kell meghtározi, ehhez függvéyti segítséget hívuk: D: Az A és B hlmzok egyelő számosságúk (más éve ekvivlesek), h létezik oly f függvéy, melyre f : A B kölcsööse egyértelmű és ráképezés (bijektív, zz A mide eleméhez B potos egy eleme trtozik és fordítv, illetve R f = B). Hlmzok ekvivleciáját többféle módo jelölhetjük, é jelet fogom hszáli (Schultz és Trcsy, 03). Az ekvivleci em reláció, mert ehhez létezie kellee hlmzok hlmzák. T: Legyeek A, B és C tetszőleges hlmzok. Ekkor () A A; () H A B, kkor B A. (3) H A B és B C, kkor A C. Az ekvivleci segítségével tudjuk vlójáb defiiáli végtele és véges hlmz foglmát: D: Az A hlmz végtele, h v oly B A, melyre A B. D: Az A hlmz véges, h em végtele. (Ez ekvivles korább dott meghtározássl.) 6

17 Nyilvávló, hogy + eseté { ;;...; } + /, + számosságot megszámlálhtó végtele számosságk evezzük, jele À 0 ( lef ull, z lef héber ábécé első betűje). A megszámlálhtó végtele és véges hlmzokt együtt megszámlálhtó hlmzokk evezzük. Tétel: + + = = = = Bizoyítás: A fet megdott tételek közül = tételt fogom bizoyíti Ctor-féle átlós + + módszer segítségével (Schultz és Trcsy, 03, 378). Írjuk föl egy tábláztb egymás lá z,, 3 stb. evezőjű törteket. Így felírjuk z összes pozitív rcioális számot, midegyiket többször is ( bővített lkok mitt). A piros vol segítségével berjzoltuk egy bejárási útvolt. Megduk egy f : + + függvéyt következő módo:,, 3, 3 4, 5 (zt törtet, melyek értéke 3 korább már szerepelt, kihgyjuk), és így tovább. Így mide pozitív egész számhoz hozzáredeltük egy pozitív rcioális számot, + + és fordítv, tehát f bijekció, zz. // A számosságok között is tuduk < relációt defiiáli. D: A < B, h B B, hogy A B, de A / B. D: Az A hlmz htváyhlmzák evezzük z A hlmz összes részhlmzából álló hlmzt, jele H A. T: A < HA. T: H A =, emegtív egész, kkor H =. T: Bármely számosságál v gyobb számosság. T: A vlós számok hlmz em megszámlálhtó. A D: A vlós számok hlmzák számosságát kotiuum számosságk evezzük, jele c, gót kis cé. T: () = () c > À 0 (3) = = ] 0;[ = { z -dimeziós terek potji} A II. Nemzetközi Mtemtiki Kogresszus 900. ugusztus 6. között ülésezett Párizsb. Dvid Hilbert, világ kkor már elismerte egyik leggyobb mtemtikus ugusztus 8-á Mtemtiki 7

18 problémák címmel trtott később óriási jeletőségre szert tevő elődást, melybe felsorolt mtemtik szerite legfotosbb problémáit. Ezek között első helye említette Ctor-féle kotiuumhipotézist: ics számosság megszámlálhtó végtele és kotiuum számosság között. Kurt Gödel 940-be bebizoyított, hogy kotiuumhipotézis em cáfolhtó hlmzelmélet xiomtikus felépítésbe, míg Pul Cohe 963-b belátt, hogy em is bizoyíthtó. A kettő együtt zt jeleti, hogy z állítás kozisztes és függetle, vgyis sem z állítás elfogdás, sem z állítás tgdásák elfogdás em okoz elletmodást, összhgb Gödel-féle emteljességi tétellel. Alklmzások A mtemtik, de hétközpi élet mide területé is hszáljuk számokt elsősorb z egészeket és (kerekített) tizedes törteket, továbbá rjtuk értelmezett műveleteket. Tizedes törtek hszált eseté külöös figyelmet kell fordítuk közelítő számítások hibáir, hogy megkívát potosságú eredméyeket kpjuk. Középiskoláb számításokt szükséges és elegedő égy értékes jegy potossággl végezi. Megjegyzés: Mgák végteleek (és em végtele számosságokk!) jelölésére Joh Wllis, 7. százdi gol mtemtikus vezette be jelet, melyet mi pig hszáluk külöböző jelölésekbe, például: [ 3; [ ; ; lim stb. x i i x = 8

19 3. tétel: Oszthtóság, oszthtósági szbályok és tételek. Prímszámok. Számredszerek. A számelmélet elsősorb pozitív egész számok tuljdoságit kuttj. Az elmélet zob em csk z egész számokt hszálj, ugyis jó éháy tétele vlós vgy komplex számok tuljdoságik felhszálásávl bizoyíthtó legköyebbe. Ugykkor természetes számok jól hszálhtók vlós számok vizsgáltár (például irrcioális volták bizoyításár). A következőkbe betűk h csk mást em moduk egész számokt jeleteek. D: Azt modjuk, hogy b szám oszthtó em ull számml, h v oly c szám, melyre b = c. Jelölése: b, em osztój jelölése b. A defiíció segítségével köye bizoyíthtók z lábbi tételek: T: () H b, kkor cb. () H b és bc, kkor c. (3) H b és c, kkor db + ec. (4) H b és b, kkor = ± b. (5) H b és > 0, b > 0, kkor b. (6) H m 0, kkor b m mb. A következőkbe feldtok megoldásáb z egyik leggykrbb hszált tételt modom ki. T: (A mrdékos osztás tétele.) Tetszőleges > 0 és b számokhoz létezik oly egyértelműe meghtározott q és m szám, melyekre b = q + m, hol 0 m<. H b, kkor m kielégíti z erősebb 0 < m< egyelőtleséget is. q-t háydosk, m-et mrdékk evezzük. E tétel lklmzásáál szorzás sorredjére figyeli kell, mert 3 = és 3 = 4 3+ felírás em ugyzt jeleti. D: Az számot b és c szám közös osztóják evezzük, h b és c. T: H b és c egyike sem ull, kkor midkét számk véges sok osztój v, így közös osztók szám is véges, tehát v köztük leggyobb. Jele: ( bc ; ) (leggyobb közös osztó = lko). A tételből z is következik, hogy pozitív számok eseté ( bc ; ). D: H ( ) bc ; =, kkor b-t és c-t reltív prímekek evezzük. D: H b és cb, kkor b számot z és c szám közös többszöröséek evezzük. T: A közös többszörösök között v legkisebb (legkisebb közös többszörös, lkkt). Az lkkt jelölése: [ c ; ]. Több szám leggyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét, hsoló módo defiiáljuk, illetve jelöljük. 9

20 T: Pozitív és b számok eseté ( ; ) [ ; ] b b = b. E tétel csk két szám eseté érvéyes, gykr hszáljuk z [ b ; ] meghtározásár kkor, h és b elég gyok, ekkor ( b ; ) -t mrdékos osztássl gyorsbb kiszámíti. Oszthtósági szbályok tízes számredszerbe Feldtok megoldás sorá gykr hszáljuk következő oszthtósági szbályokt (tételeket): T: () Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -vel, h utolsó számjegye oszthtó -vel. () Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 3-ml, h számjegyeiek összege oszthtó 3-ml. (3) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 4-gyel, h z utolsó két számjegyéből álló szám oszthtó 4-gyel. (4) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 5-tel, h utolsó számjegye 0 vgy 5. (5) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 6-tl, h oszthtó -vel és 3-ml. (6) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 7-tel, h számjegyeit hátulról hármsávl csoportosítv és váltkozó előjellel összedv kpott szám oszthtó 7-tel. (7) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 8-cl, h z utolsó három számjegyéből álló szám oszthtó 8-cl. (8) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 9-cel, h számjegyeiek összege oszthtó 9-cel. (9) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó 0-zel, h utolsó számjegye 0. (0) Egy szám kkor és csk kkor oszthtó -gyel, h számjegyeit váltkozó előjellel összedv kpott összeg oszthtó -gyel. Prímszámok D: A p > egész számot prímszámk (törzsszámk vgy rövide prímek) evezzük, h p-ek ics oly d osztój, melyre < d < p. H z egész szám em prím, kkor összetett számk evezzük. A 0 se em prím, se em összetett szám. Két ehhez kpcsolódó fotos tétel: T: Mide > egész szám felírhtó prímek szorztkét (lehetséges, hogy szorzt csk egytéyezős). T: Bármely > egész szám felbotás prímek szorztár egyértelmű, eltekitve prímek sorredjétől ( számelmélet lptétele). A számelmélet lptételéek lklmzáskor gykr írjuk föl számot ú. koikus lkb: α3 p p p p k α α αk = További tételek prímszámokról: Tétel: A prímszámok szám végtele (Eukleidész). 0

21 Bizoyítás: Idirekt úto bizoyítuk, zz tegyük föl, hogy csk véges sok prím v: p; p; p3;...; p k. Tekitsük z = p... p p3 p k + számot! A mrdékos osztás tétele mitt -et bármely feti prímmel mrdékos osztv -et kpuk mrdékul, tehát egyetle prímmel sem oszthtó. Ebből következik, hogy vgy prím, vgy v oly p prímosztój, mely külöbözik p; p; p3;...; p k prímektől. Midkét lehetőség elletmod feltevésükek. // Tétel: A prímek soroztáb tetszőlegese gy hézg v, zz tetszőleges k pozitív egész számhoz létezik k egymás utái összetett szám. Bizoyítás: Tekitsük következő számokt: ( ) ( ) ( ) ( ) k+! + ; k+! + 3;...; k+! + k; k+! + k+. Midegyik szám összetett, mivel j osztój ( k ) +! + j egészek, h j k+. Ez utóbbi tétel zt sejteti, hogy prímek elég egyelőtleül oszlk el. A számelmélet egyik legmeglepőbb eredméye (prímszámtétel) szerit zob h π ( ) -el jelöljük z -él kisebb prímek számát, kkor lim ( ) l π =, zz gy -ek eseté z -él kisebb prímek szám fordított ráyos z l háydossl. α α α3 αk Tétel: Az >, = p p p3... p k egész szám pozitív osztóik szám ( ) ( ) ( ) ( ) d α α α3 α k ( ) = Bizoyítás: Legye r. Emitt = q r. Vessük ezt össze koikus lkjávl! α3 q r p p p p k α α αk = = 3..., melyből számelmélet lptétele szerit z következik, hogy r koikus lkjáb is csk p i prímek β fordulhtk elő, legfeljebb z α i-edik β 3 k htváyo, i k. És fordítv: mide r p p p β β = 3... p k lkú szám hol 0 βi α és i i k osztój lesz -ek. Ahhoz, hogy összes pozitív osztóit megkpjuk, β kitevőket egymástól függetleül, i ( i ) féleképpe válszthtjuk meg, ezért ( ) = ( + ) ( + ) ( + )... ( + ). // d α α α α k 3 α + - A prímszámok segítségével áltláb köye meg tudjuk htározi két vgy több szám lko-ját és lkkt-jét. T: Két vgy több szám leggyobb közös osztój számok koikus lkjáb szereplő közös prímtéyezők legkisebb htváyo vett szorzt. T: Két vgy több szám legkisebb közös többszöröse számok koikus lkjáb szereplő összes prímtéyező leggyobb htváyo vett szorzt. Ngy számok eseté koikus lk meghtározás (z ksztófmódszerrel) ehéz és hosszdlms eljárás lehet, ilyekor két szám lkkt-jét úgy számoljuk ki, hogy előbb lko-jukt htározzuk meg

22 mrdékos osztások soroztávl, mjd z ( ; ) [ ; ] [ ;9 68 ] eseté: = = = = 498 b b = btétel lpjá számoljuk ki lkkt-jüket. Például A két szám leggyobb közös osztój z utolsó em ull mrdék, tehát ( ;9 68) = 498, ho [ ;9 68] = = (E módszer másik előye, hogy 498 köye tuduk rá rövid számítógépes progrmot íri, ciklus lklmzásávl.) Több szám lko-ják meghtározásához kettesével szoktuk boti, és z lko-k lko-ját keressük. Számredszerek A kezdetekbe számokt betűkkel jelölték (föícii, ógörög, héber vgy rómi számok), de z ezekkel vló számolás ige ehézkes volt, gy előrelépést jeletett m hszáltos helyi értékes írásmód bevezetése (mj kultúr, Idi), mely jeletőse megköyítette z lpműveletek elvégzését. A törtéelem folymá többféle számredszert is hszáltk z emberek hétközpi számolások sorá ttól függőe, hogy mit tekitettek elsődleges segítségek/célk. Így tízest és húszst ( kezeke, illetve kezeke és lábko lévő ujjk szám mitt), vgy tizekettest és htvst ( több részre vló köyű oszthtóság mitt). Az iformtik fejlődése mitt került előtérbe kettes (biáris) és tizehtos (hexdecimális) számredszer. A htvs számredszer emlékét őrzi fok-perc-másodperc beosztás, tizekettesét z golszász yelvekbe és számjegyek öálló eve (vlmit z Egyesült Királyságb 97-ig z fot = 0 shillig, shillig = pey átváltás fizetőeszközökél). A mgyr yelv is őrzi vlmikori tizekettes számredszert tuct () és gytuct ( = tuct tuct, 44) (szám)evekbe. Tizekettes számredszerbe egyébkét köyű z ujjiko számoli, muttó-, középső, gyűrűsés kisujjuk 3-3 percét hszálv. Mide bizoyl fizetéssel kpcsoltb gesztussá vált mozdult hüvelyk-, muttó-, és középső ujjk hegyéek összedörzsölése is erre vezethető vissz. A számok helyi értékes felíráskor z -es számredszerbe, számjegyek hlmz {0; ; ; ; -}. Jobbról z első helyre kerülek z egyesek, mjd blr hldv számjegy értékei: ; ; 3 ; leszek helyi értékek. Ezekkel számokkl szorozv dódk számjegyek vlódi értékei. A helyi értékes számírási redszerekbe lpvető 0 számjegy hszált, hisze ez teszi lehetővé, hogy kimrdjo egy gyságred. Jelölése: bcde vgy bcde, hol bcde e d c b 3 4 = Az lpproblém ebbe tárgykörbe külöböző számírások, számredszerek egymásb vló átírás. Tekitsük z MMXVII rómi számot. Eek értéke tízes számredszerbe 07. Ezt más lpú számredszerbe mrdékos osztássl tudjuk átíri, például yolcsb: 07 = = = = 374 3= = 08 8

23 H például 5-ös számredszerből kell átíri 7-esbe, kkor érdemesebb ( megszokott 0-es lpú számolásuk mitt) előbb átíri 0-esbe, mjd o 7-esbe. A számítástechikáb hszált -es, 8-s és 6-os számredszerek között köyű z átváltás: - esbe felírt számot hátulról csoportosítjuk hármsávl, illetve égyesével, és csoportokt írjuk át számjegyekké, mjd ezeket egymás mellé. A kettesbe vló átírásál eek z eljárásk fordítottját hszáljuk: 3748 = 00 00, mert 8 = 00; 48 = 00; 78 = ; 38 = 0, illetve 0000 = = 7(3) 6, mert = 76; 0 = (3) 6; 000 =. 6 A hexdecimális számredszerbe 9-esél gyobb számjegyek jelölésére redre z A; B; C; D; E; F betűket hszáljuk, így potos leírás: MMXVII = 07 = = 3748 = 7D. 6 Azt, hogy egy szám hexdecimális, gykr egy eléje tett $ vgy # jellel jelölik: 7D6 = $7D = #7D. Alklmzások A prímszámokt z lpvető számolásokb törtek egyszerűsítéséél és összedásáál hszáljuk z lko és z lkkt meghtározásához. Az egész számok hlmzá értelmezett, ú. dioftoszi egyeleteket, problémákt legtöbbször oszthtósággl, mrdékos osztás segítségével oldjuk meg. Hexdecimális számredszerrel m embere legtöbbször mobiltelefojá, számítógépé tlálkozik, sőt hszáli is kell: külöböző eszközök közötti iformációátdást biztosító hálózti kártyák midegyike redelkezik egyedi, ú. MAC-címmel, mellyel hálózt zoosítj z eszközt. Ezt meg kell di legtöbb esetbe, például egy WiFi elérést biztosító routerek, hogy felegedje hálóztr. Alkj: égy hexdecimális szám, kötőjelekkel elválsztv. És még hosszs lehete soroli Megjegyzés: Ez tétel kicsit hosszbb lett ál, mit mi 5 percbe belefér. Eek két ok v: ) Miót z eszemet tudom, számelmélet kedvec témköröm mtemtiká belül, ebből írtm k idejé szkdolgoztom is (második helye z lízis ). ) Itt három tételt is bizoyítottm: () végtele sok prím v (Eukleidész) vizsgázók áltláb ezt válsztják, csk sjos ez túl köyű és túl rövid ktegóri; (b) tetszőlegese gy hézg v prímek között ez szité z előző ktegóriáb trtozik; (c) pozitív osztók szám é ezt jálom, mert ez már vlmivel erősebb z előző kettőél. A válsztás Öökre v bízv 3

24 4. tétel: A mtemtiki logik elemei. Logiki műveletek. Állítás és megfordítás, szükséges és elégséges feltételek, bemuttásuk tételek megfoglmzásáb és bizoyításáb. A logik törtéete A logik vlójáb em (csk) mtemtik mit tudomáy része, hem z emberi godolkodás legfotosbb törvéyeit, helyes következtetések szbályit foglmzz meg, vlmikor öálló tárgykét is tították. Alpjit Szókrtész és követői, szofisták rkták le (kik szvk és modtok jeletését próbálták meg tisztázi), mjd Arisztotelész dolgozt ki részletese máig hszált szbályokt, melyeket hlál utá közel háromszáz évvel Orgo (Eszköz) éve foglltk össze. A feldtmegoldásokb mi pig hszáljuk jelölésmódját: premisszák Mide ember hldó. Szókrtész ember. v = 0 km / h t = 5perc 4 koklúzió Szókrtész hldó. s =? A logik fejlődése 9. százd végé, Gottlob Frege mukásságávl idult csk újr, 0. százdb pedig többek között Bertrd Russell, Ludwig Wittgestei, Alfred Trski és Kurt Gödel formálták tovább. A mtemtik szempotjából külööse Russell és Gödel mukásság fotos: előbbi Alfred North Whiteheddel közöse írt A mtemtik lpji című művébe mtemtik xiomtikus meglpozásár tett kísérletet, míg Gödel emteljességi tétele épp z xiomtikus felépítés egyik fotos tuljdoságát modj ki: mide elletmodásmetes xiómredszer, mely trtlmzz természetes számok xiómredszerét, em teljes, zz vk bee eldöthetetle problémák (mit például Eukleidész evezetes párhuzmossági xiómáj). A mtemtiki logik A logik lpfeldt, hogy oly formi kritériumokt tárjo fel, melyek szerit z dott igz vgy igzk feltételezett állítások (zz premisszák) eseté helyese következtethetük egy kijeletés ( koklúzió) igzságár. A logik legegyszerűbb ág z ítéletklkulus, melyek lpfoglmi z ítélet (állítás), logiki értékek (i; h), és egy, z ítéletek hlmzá értelmezett függvéy, melyek képhlmz logiki értékek hlmz, mely mide ítélethez egyértelmű módo redel egy logiki értéket. D: Ítéletek (állításk, kijeletések) evezük mide oly kijelető modtot, melyről egyértelműe eldöthető, hogy igz vgy hmis. H z állításokt tgdószóvl látjuk el vgy kötőszvkkl kpcsoljuk össze, kkor logiki műveletet kpuk, melyeket igzságtáblázttl duk meg. A következőkbe logik lpműveleteit defiiáljuk igzságtáblázttl:. Negáció (tgdás, em A, jele ) A A i h h i Nyilvá ( A) = A.

25 . Kojukció ( A és B, jele ) A B A B i i i i h h h i h h h h Csk kkor igz, h midkét tgj igz. 3. Diszjukció ( A vgy B, megegedő vgy, jele ) A B A B i i i i h i h i i h h h Csk kkor hmis, h midkét tgj hmis. 4. Implikáció (következik, h A, kkor B, jele ) A B A B i i i i h h h i i h h i Csk kkor hmis, h előtgj igz, utótgj hmis (igz állításból em következhet hmis állítás). 5. Ekvivleci (egyeértékűség, kkor és csk kkor A, h B, jele ) A B A B i i i i h h h i h h h i Akkor és csk kkor igz, h elő- és utótgj zoos logiki értékű. A midepi beszédbe gykr hszáljuk vgy szót kizáró vgy (csk z egyik) értelembe, de ezt köyű észrevei: ilyekor midig vgy, vgy szókpcsoltot hszáljuk. Az állításokb gykr hszáluk kvtorokt. A kvtifikáció (Arisztotelész) léyege következő. A hldó. yitott modtból em csk úgy kphtuk zárt modtot (ítéletet), hogy egy evet helyettesítük kitöltetle helyre: Szókrtész hldó. Ítéletet kpuk úgy is, h yitott modtot záró lyok számár teszük vlmilye állítást: Mide ember hldó. (uiverzális kvtifikáció), V oly (létezik) ember, ki hldó. (egziszteciális kvtifikáció), Ezer oly ember v, ki hldó. (umerikus kvtifikáció). Ezek jelölésére hszáljuk z uiverzális kvtort (, mide, bármely, összes, vlmeyi kifejezésére), z egziszteciális kvtort (, v oly, létezik kifejezésére), ez utóbbi speciális esete!, mellyel potos egy létezik kifejezést jelöljük. 5

26 Ezekkel jelölésekkel mjd z egyetemi tulmáyik sorá sűrű fogk tlálkozi külöböző mtemtikköyvekbe és -jegyzetekbe. A logiki műveletek tuljdosági A tgdás jó hszált redkívül fotos mtemtikáb, de hétközpi életbe is. Például Mide emberek két feje v. állítást tgdhtjuk egészébe (z állítmáyáb) Nics mide emberek két feje., de kibotv is: V oly ember, kiek ics két feje. A klsszikus rossz tgdás Mide emberek egy feje v. állítás. Igzságtáblázttl köye beláthtó, hogy 6 ) A B= ( A B) ( B A ); b) A B= ( A) B; ezért elegedő z és és vgy műveleteket vizsgáli. Tétel: A kojukció és diszjukció idempotes, kommuttív, sszocitív és disztributív másikr ézve. () A A= A () A A= A (3) A B= B A (4) A B= B A (5) ( A B) C = A ( B C) (6) ( A B) C = A ( B C) (7) ( A B) C = ( A C) ( B C) (8) ( A B) C = ( A C) ( B C) Bizoyítás: Csk (7) zoosságot bizoyítom ítéletklkulus segítségével. A B C ( A B ) ( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A C) ( B C ) i i i i i i i i i i h i h h h h i h i i i i h i i h h i h h h h h i i i i h i i h i h i h h h h h h i h h h h h h h h h h h h h Mivel két oldl áltl dott eredméyek mide lehetséges esetre megegyezek, ezért (7) vlób zoosság. // További fotos összefüggés két De Morg-zoosság: A B= A B és A B= A B. A következőkbe állításokkl és megfordításukkl fogllkozom. A mtemtiki tételek (állítások) legtöbbje h A, kkor B típusú, zz implikáció. Eek megfordításá h B, kkor A állítást értjük. Abból, hogy egy A B állítás igz, áltláb em következik, hogy B A állítás is igz lee. H z A B állítás igz, kkor zt modjuk, hogy A elégséges (de em feltétle szükséges) feltétele B- ek, illetve B szükséges (de em feltétleül elégséges) feltétele A-k. Tekitsük következő igz állítást: H egy égyszög prlelogrmm, kkor égyszög trpéz. A égyszög prlelogrmmság elégséges feltétel hhoz, hogy trpéz legye (de em szükséges), és

27 szükséges (de em elégséges) feltétel égyszög prlelogrmmságához, hogy trpéz legye. A feti állítás megfordítás ( H egy égyszög trpéz, kkor égyszög prlelogrmm. ) yilvá hmis. H z A Bállítás ( A kkor és csk kkor, h B ) igz, kkor zt modjuk, hogy A szükséges és elegedő feltétele B-ek (és fordítv). Az Egy egész szám kkor és csk kkor oszthtó -vel, h oszthtó 3-ml és 4-gyel. igz állításb 3-ml és 4-gyel vló oszthtóság szükséges és elégséges feltétel is hhoz, hogy szám oszthtó legye -vel. Tételek direkt bizoyításáb zt hszáljuk ki, hogy z implikáció trzitív, zz h kkor A C, másképp: ( A B) ( B C) A C. ( ) ( ) A Bés B C, Az idirekt (reductio d bsurdum típusú) bizoyítások esetébe pedig zt hszáljuk ki, hogy A B= A B= B A= ( B) A= B A, zz h B em igz, kkor A sem. 7

28 5. tétel: Htváyozás, htváyfoglom kiterjesztése, htváyozás zoossági. Az -edik gyök foglm. A égyzetgyök zoossági. Htváyfüggvéyek és égyzetgyökfüggvéy. A htváyozás kétváltozós művelet, melyet eredetileg egy oly szorzt rövid leírásár hszáltk, melyek téyezői megegyezek: + D: { }, \ eseté : =..., hol htváy lpj, htváy kitevője és htváy értéke. drb A htváyozásr igzk következő zoosságok: m + m () = m () = 0, m+ m (4) = b 0 b b m m (5) ( ) = T: (3) b = ( b) Ahhoz, hogy () zoosság bármely két egész kitevőre teljesüljö, defiiáluk kell 0, és egtív egész kitevőjű htváyokt is. A defiíciók ki kell elégíteie zt feltételt, hogy z zoosságok továbbr is érvéybe mrdjk ezt evezzük permecielvek. Az eek eleget tevő defiíciók következők: D: : =, : =, h 0 és eseté : =, 0. 0 (A 0 0 -t em lehet elletmodásmetese értelmezi, 0 mide pozitív egész kitevőjű htváy 0, így kézefekvő lee ez defiíció, de bizoyos esetekbe célszerű (és szokás) z értéket di eki, például: f : x x ( + x) = x i= 0 i i= 0 i i Itt x = 0 eseté z x 0 = értékkel számoluk.) i A permecielv lpjá tudjuk kiterjesztei htváyozás foglmát rcioális kitevőre, ehhez z (5) zoosságot hszáljuk fel. Az egyértelműség mitt egtív számok rcioális kitevőjű htváyit em értelmezzük, 0-k pedig csk pozitív rcioális kitevőjű htváyit értelmezzük, ezek értéke 0. + D: { } p q, p, q \ 0 eseté legye z pozitív vlós szám, melyek q-dik htváy p. 8

29 E defiíció eseté érvéybe mrdk htváyozás zoossági rcioális kitevőre is. Az -edik gyök defiíciój és zoossági utá z ()-et bizoyíti is fogom. Pozitív vlós számokk tudjuk értelmezi z irrcioális kitevőjű htváyit is következő tételek lpjá: r r T: H > vlós szám és r < r rcioális számok, kkor <, h pedig 0 < < vlós szám, kkor >. r r x (Ez tétel zt modj ki, hogy z f : x, expoeciális függvéy szigorú mooto.) T: H > vlós szám, kkor tetszőleges x vlós számr sup { r s : r, r< x} = if { : s, x< s} 0 < < vlós szám, kkor if { r s : r, r< x} = sup { : s, x< s}.. H (Ez tétel teljességi xiómá lpul mide felülről korlátos és em üres hlmzk v legkisebb felső korlátj.) D: H > vlós szám, kkor tetszőleges x vlós számr x legye r s sup { : r, r< x} = if { : s, x< s} számr x legye z if { r s : r, r< x} = sup { : s, x< s} vlós szám. H 0 < < vlós szám, kkor tetszőleges x vlós x. : =. A 0 mide pozitív irrcioális kitevőjű htváyát 0 értékűek defiiáljuk. Az -edik gyök foglm A htváyozás mit művelet megfordítását gyökvoásk evezzük: itt htváy értékéek és kitevőjéek z ismeretébe keressük z lpot, jele, hol gyökkitevő, rövide kitevő. Az egyértelműség mitt külö kell defiiáluk gyökvoást páros és pártl kitevőre: D: + = k ( k ) és \ eseté legye z emegtív szám, melyek -edik htváy ; + = k + ( k ) és eseté legye z szám, melyek -edik htváy. A gyökvoás defiíciój lpjá törtkitevős htváyt defiiálhtjuk következőképpe is: D: + + { } q p, p, q \ eseté : =. p q A égyzetgyökvoás zoossági A égyzetgyökvoás jele. A htváyozás zoosságik felhszálásávl köye igzolhtók égyzetgyökvoás zoossági is: 9

30 T: (6) b= b b ; \ ; (7) = b ; \ ; b 0; b b ( ) (8) = \ ;. További fotos zoosság, hogy eseté =. Az () (3) zoosságok igzk tetszőleges gyökkitevő eseté is ( megfelelő értelmezési trtomáyo), m m továbbá ( ) m m m m = és = és =. A korább ígért tételbizoyítás: + p r Tétel: H, =, m= q s + rcioális számok pr qs { } ( ;,, \ ), kkor m m = +. Bizoyítás: p r ps+ qr p r + m q s q p s r qs ps qs qr qs ps qr qs ps+ qr qs q s + m = = = = = = = =. // Htváyfüggvéyek Htváyfüggvéyek evezzük z x x hozzáredelési szbállyl dott függvéyt, hol tetszőleges, ullától külöböző álldó. A függvéy értelmezési trtomáy -től függ. + Ebbe témkörbe csk z eseteket (pozitív egész kitevőjű htváyfüggvéyek) vizsgáljuk. A függvéyek jól láthtó módo három külöböző csoportr bothtók: () = ; () = k; (3) = k + ( k + ). A függvéyek jellemzése három esetet külö vizsgálv: 30

31 Szempot = = k = k + Értelmezési trtomáy: R R R Értékkészlet: R R\R - R Zérushely: x = 0 x = 0 x = 0 Szélsőértékek: - mximum ics, felülről em korlátos ics, felülről em korlátos ics, felülről em korlátos - mximumhely - miimum ics, lulról em korlátos y = 0 ics, lulról em korlátos - miimumhely x = 0 Pritás: pártl páros pártl Periodikusság: em periodikus em periodikus em periodikus Növekedési viszoyok: szigorú mooto övekvő ] ;0] szigorú mooto csökkeő; 0; szigorú [ [ szigorú mooto övekvő mooto övekvő Függvéygörbe lkj: egyees kovex ] ;0] kokáv; ]0; ] kovex A égyzetgyökfüggvéy A égyzetgyökfüggvéy [ 0; ] értelmezési trtomáyr szűkített x x függvéy iverz függvéye. A égyzetgyökfüggvéy jellemzése: Értelmezési trtomáy: R\R - Értékkészlet: R\R - Zérushely: x = 0 Szélsőértékek: - mximum ics, felülről em korlátos 3

32 - mximumhely - miimum y = 0 - miimumhely x = 0 Pritás: em páros és em pártl Periodikusság: em periodikus Növekedési viszoyok: szigorú mooto övekvő Függvéygörbe lkj: kokáv Alklmzások: A htváyozás és gyökvoás zoosságit mtemtik mide ágáb hszáljuk, ide bármit fel lehet soroli z elsőfokúál mgsbb redű egyeletek, egyelőtleségek megoldásától kezdve hosszúság-, terület- és térfogtszámításig. A értelmezése révé eljutuk komplex számok hlmzához. 3

33 6. tétel: A logritmus foglm és zoossági. Az expoeciális és logritmusfüggvéy. Az iverzfüggvéy. A htváyozás defiícióják kiterjesztése vlós kitevőjű htváyr lehetővé tette z + x > f : R R x 0 függvéy értelmezését, melyet expoeciális függvéyek evezük. Az expoeciális függvéy jellemzése: Szempot > = 0 < < Értelmezési trtomáy: R R R Értékkészlet: R + {} R + Zérushely: ics ics ics Szélsőértékek: - mximum ics, felülről em korlátos y = ics, felülről em korlátos - mximumhely x - miimum ics, lulról korlátos, leggyobb lsó korlát k = 0 y = ics, lulról korlátos, leggyobb lsó korlát k = 0 - miimumhely x Pritás: em páros és em pártl páros em páros és em pártl Periodikusság: em periodikus periodikus, periódushossz ics* em periodikus Növekedési viszoyok: szigorú mooto kosts övekvő Függvéygörbe lkj: kovex vízszites egyees kovex szigorú mooto csökkeő *A periódushossz egyik lehetséges értelmezése mitt. 33

34 Továbbá htváyozás mit művelet megfordítás is szükségessé vált: míg htváyozásál dott lp és b kitevő eseté keressük htváy értékét, itt dott htváyértékhez keressük zt kitevőt, melyre z lpot emelve megkpjuk htváyértéket. E műveletet evezzük logritmusk, melyet következőképpe defiiáluk: log D: log b jeleti zt htváykitevőt, melyre -t emelve b-t kpuk. Azz b = b. A vlós kitevőjű htváy értelmezése mitt ; b > 0 és. (Mivel bármely vlós x-re x =, ezért ics -es lpú logritmus.) Az lp z kivételével tetszőleges pozitív szám lehet, de gykorltb csk két lpot hszáluk, 0-est és z e számot, ezek jelölése lg, illetve l, ez utóbbib z betű logritmus turlis, természetes lpú logritmusr utl. (Az e számot következőképpe értelmezzük: e = lim +,78, mely mid mtemtikáb, mid természettudomáyokb gy jeletőséggel bír (betűjelét Leohrd Eulerről kpt). A logritmusr votkozó legfotosbb zoosságok ( xyc ; ; ; > 0, c ;, ): Tétel: () log x + log y = log ( xy) () log x log y = log (3) log x = log x (4) log log x c x = log c x y Bizoyítás: Ezek közül most csk ()-et bizoyítom, többi igzolás hsoló módo törtéhet logritmus defiíciójár és htváyozás zoosságir törtéő hivtkozássl. A logritmus defiíciój szerit x = y = xy = Így egyrészt másrészt log x log y log xy log x logy log x+ logy = = =, xy htváyozás zoosság mitt xy = log ( xy). E kettőt összevetve xy log x+ log y log ( xy) = = Mivel z expoeciális függvéy szigorú mooto, ezért log x + log y = log ( xy ). // 34

35 Tetszőleges lpú logritmust is ki tuduk számoli (4) zoosság (áttérés más lpú logritmusr) segítségével. A logritmusk számológépek megjeleése volt gy jeletősége, eek segítségével lehetett köyebbe kiszámoli szorztok, háydosok és htváyok értékét, gy segítség volt ebbe z ú. logrléc, ekem ilye volt 70-es évekbe: M már legtöbb számológép képes tetszőleges lpú logritmus kiszámításár is, így logritmus elvesztette jeletőségét számolásokb. A logritmusfüggvéy D: Az f : + x log x ( > 0; ) függvéyt evezzük logritmusfüggvéyek. Más megfoglmzássl logritmusfüggvéy z ugyoly lpú expoeciális függvéy iverz x y függvéye ( y = x = y =log x ). A logritmusfüggvéy képe is logritmus lpjától függ: A logritmusfüggvéy jellemzése: Szempot > 0 < < Értelmezési trtomáy: R + R + Értékkészlet: R R Zérushely: x = x = Szélsőértékek: - mximum ics, felülről em korlátos ics, felülről em korlátos 35

36 - mximumhely - miimum ics, lulról em korlátos ics, lulról em korlátos - miimumhely Pritás: em páros és em pártl em páros és em pártl Periodikusság: em periodikus em periodikus Növekedési viszoyok: szigorú mooto övekvő szigorú mooto csökkeő Függvéygörbe lkj: kokáv kovex Az iverzfüggvéy: D: H z f : D Rfüggvéy mide egyes R-beli y értékére egyetleegy oly D-beli x érték létezik, melyre teljesül, hogy fx ( ) = y, kkor mide egyes y Relem eseté f ( y) jelöli zt z egyetle egy D-beli elemet, melyre f( f ( y)) = y teljesül. Ekkor f -el jelöljük, és z f iverzfüggvéyéek modjuk z f : R D y f ( y) függvéyt. Az iverzség szimmetrikus reláció függvéyek között: h g iverz függvéye f-ek, kkor f is iverz függvéye g-ek. Például z expoeciális függvéyek ( = kivételével) iverzei logritmusfüggvéyek, vgy pártl kitevőjű htváyfüggvéyek iverzei megfelelő gyökfüggvéyek (és fordítv), illetve függvéyek egy jeletős csoportják csk z értelmezési trtomáyuk leszűkítésével (hogy kölcsööse egyértelmű leképezések legyeek) tudjuk megdi z iverzfüggvéyét, ilyeek például páros kitevőjű htváyfüggvéyek, továbbá szögfüggvéyek (ez utóbbik iverzeit rkusz függvéyekek evezzük {rcsi(x) stb.}), zob számológépeke si stb. yomógombbl tudjuk számoli zokt. A defiíció következméye, hogy z f és z f függvéyek grfikoji egymás tükörképei z y = x egyeesre ézve. Alklmzások: A mtemtiká belül (z expoeciális és logritmikus egyeletek és egyelőtleségek megoldásá túl) elsősorb soroztokál (legikább mértiál), kmt-, kmtoskmt-, törlesztőrészlet- és életjárdék-számításokál hszáljuk. A fizikáb például légyomás mgsságfüggését leíró brometrikus mgsságformuláb, rdioktív ygok bomlási törvéyébe, molekuláris hőelméletbe (hőmérséklet, etrópi) hszáljuk. A hgerősség mérésére hszált decibel skál szité logritmikus, hogy udióeszközeik hgerőszbályzój is. A kémiáb ilye ph-skál kémhtás jellemzésére, biológiáb is számos expoeciális törvéyel (járváyterjedés, egér-elefát görbe stb.) tlálkozuk. Feltétle meg kell még említeük pl. hálózttudomáyb is hszált htváyfüggvéyeloszlásokt, de számos gzdsági és társdlmi törvéyt is fel lehet soroli itt. 36

37 7. tétel: Másodfokú egyeletek és egyelőtleségek. Másodfokúr visszvezethető egyeletek. Egyeletek ekvivleciáj, gyökvesztés, hmis gyök, elleőrzés. Az egyelet, egyelőtleség foglmát többféleképpe szokták meghtározi, szeritem következő legjobb: D: Az egyelet (egyelőtleség) oly logiki függvéy, melyek állítás (yitott modt) két, egyelőségjellel (relációjellel) összekpcsolt mtemtiki kifejezés, melyek részeit bl oldlk és jobb oldlk evezzük. A logiki függvéy értelmezési trtomáy z egyelet (egyelőtleség) értelmezési trtomáy. Az értelmezési trtomáy zo részhlmzát, melyhez logiki függvéy z igz értéket redeli, z egyelet (egyelőtleség) megoldáshlmzák (igzsághlmzák) evezzük. Egyelet eseté megoldáshlmz elemeit gyökek evezzük. Az egyelet (egyelőtleség) értelmezési trtomáyától és állításától függőe beszélük skláregyeletről, vektoregyeletről, tezoregyeletről stb. Eek lpjá köyű defiiáli z zoosság és z ekvivleci foglmát is. D: Azokt z egyeleteket (egyelőtleségeket), melyek értelmezési trtomáy és megoldáshlmz megegyezik, zoosságk evezzük. D: Két egyeletet (egyelőtleséget) kkor evezük ekvivlesek, h értelmezési trtomáyuk és megoldáshlmzuk megegyezik. Feldtokb gykr em dják meg z egyelet (egyelőtleség) értelmezési trtomáyát (vgy csk egy kiidulási hlmzt dk meg). Abb állpodtuk meg, hogy ekkor z egyismeretlees egyelet (egyelőtleség) értelmezési trtomáy vlós számok hlmzák z legbővebb részhlmz, melye z dott kifejezés értelmezhető. (Ezt z elvet lklmzzuk többismeretlees egyelet, egyelőtleség eseté is.) Másodfokú egyeletek D: Az egyismeretlees másodfokú egyelet egy oly egyelet, mely ekvivles lgebri átlkításokkl oly egyelet lkjár hozhtó, melyek egyik oldlá másodfokú poliom szerepel, másik oldlá pedig ull (redukált lk). A másodfokú egyelet áltláos koikus lkj: x + bx + c = 0, hol ; b; c, 0, D =. Tétel: Az x + bx + c = 0, hol ; b; c, 0, D = másodfokú egyelet megoldóképlete: b ± b 4c x, =. Bizoyítás: Osszuk el z egyeletet z 0 együtthtóvl, mjd kpott kifejezést botsuk teljes égyzetté! 37

38 x bx c x + + = 0 /: 0 b c + x+ = 0 4 x x x x x b c b b c b b c b b c + + = + + = + + = + = b b 4c Redezés utá kpjuk, hogy x + = 4 A D = b 4c kifejezést másodfokú egyelet diszkrimiásák evezzük. Eek értékétől függőe három esetet külöböztetük meg: I. D > 0 eseté =, emitt b 4c b 4c 4 b b 4c x + = II. III. b b 4c x + =± b b 4c b ± b 4c x, = ± = Ebbe z esetbe másodfokú egyeletek két külöböző vlós gyöke v. b D = 0 eseté x + = 0, melyből b x + = 0 b x = Ebbe z esetbe másodfokú egyeletek két egybeeső vlós gyöke v (más megközelítésmódb: egy vlós gyöke v), megoldóképlet ebbe z esetbe is jó eredméyt d. b b 4c D < 0 eseté x + = < 0 egyeletek ics vlós gyöke. A megoldóképlet 4 ebbe z esetbe is hszálhtó, mert gyök ltt lévő egtív számból következtethetük vlós gyökök hiáyár. // A következő két tételt megoldóképlet hszáltávl is igzolhtjuk: T: A P( x) = x + bx + c ( ; b; c, 0, D = ) poliom gyöktéyezős lkj P( x) ( x x )( x x ) =, hol x és x z x + bx + c = 0 másodfokú egyelet gyökei. H z egyeletek icseek gyökei, kkor poliom em bothtó szorzttá. T: Az x + bx + c = 0 ( ; b; c, 0, D = ) másodfokú egyelet gyökeire (h vk): b I. x+ x = ; 38

39 c II. x x =. (Gyökök és együtthtók közti összefüggések vgy Viète-képletek) Másodfokú egyelőtleségek Az egyszerűbb másodfokú egyelőtleségeket grfikus úto (esetleg lgebri kiegészítéssel) oldjuk meg. Nullár redezés utá ábrázoljuk másodfokú függvéyt, mjd leolvssuk megoldáshlmzt. Például: Oldjuk meg! ( ) x 6 + x 7 D= Zárójelfelbotás és redezés utá 0 x 6x+ 7 Az ábrázolásból: M = [ 9;3] A törtes egyelőtleségeket célszerűe ullár redezés, közös evezőre hozás és szorzttá botás (gyöktéyezős lk) utá, előjelvizsgálttl oldjuk meg: Oldjuk meg vlós számok hlmzá! 3 < D = \ ;3 x x 3 5 3( x ) x 3 0 < ( x )( x 3) { } 5 3 Eek lpjá: M = ] ; [ ; ] 3; [ A legtöbb égyzetgyökös egyelőtleség is grfikus úto oldhtó meg, metszéspotok leolvsás (vgy egyeletmegoldás) meghtározás utá. Egy péld következő oldlo: 39

40 x 5+ x 5 K = Átredezés és ÉT-vizsgált utá: [ [ x 5 x + 5 D= 5; A megoldáshlmz: M = [ 5;9] Másodfokú egyeletre visszvezethető egyeletek Áltláb két fő egyelettípust szoktuk idesoroli: ) égyzetgyökös egyeletek, melyek (egy vgy két) égyzetre emelés utá másodfokú egyeletre vezetek, például x + x+ 5= 6. Hmis gyökök megjeleésére számíthtuk! b) zokt, melyek vlmilye lklms új ismeretle bevezetésével leszek másodfokú egyeletek, itt mgsbb fokú, expoeciális és trigoometrikus egyeletek gykorik: 3 () 3x 36x+ = 36 y: = x x x x 4 x+ x x () 4 = 6 + y : = x+ x= x= x y = x (3) 3cos si cos si, mjd : si Gyökvesztés, hmis gyök Az egyeletek lgebri megoldás sorá gykr kéyteleek vgyuk em ekvivles műveleteket is végrehjti, például legtöbb gyökös egyeletél em kerülhető ki égyzetre emelés. Sokszor előfordul z is, hogy megoldás sorá oly zoosságot lklmzuk, mely em teljesül mide vlós szám eseté, erre logritmus zoossági legjobb példák. H z lgebri megoldás sorá végrehjtott művelet bővíti z eredeti értelmezési trtomáyt (például égyzetre emelés), kkor oly gyököt is kphtuk, mely például z eredeti értelmezési trtomáyb ics bee ezeket szokás hmis gyökek evezi. H oly műveletet hjtuk végre, mely szűkíti z értelmezési trtomáyt, kkor pedig gyökvesztés léphet fel. Gyököt veszíthetük kkor is, h ismeretlet trtlmzó téyezővel osztuk, előfordulht ugyis, hogy z osztó értéke z ismeretle vlmely értékére ézve 0. Két logritmusos péld ezekre z esetekre: x= D= x = D= x = = D= x= D= + () lg () lg \ 0 { } lg lg00 \ 0 lg x D x D = 00 = lg = = x =± 0 D= x= 0 D=, ()-él hmis gyököt kpuk, ()-él pedig gyököt vesztük második sorbeli értelmezésitrtomáyváltozás mitt. + + { } 40

41 Ezek kiszűrése mitt (is) célszerű z eredeti egyeletbe behelyettesítve leelleőrizi kpott gyököket. Alklmzások A mtemtik szite mide ágáb olduk meg egyeleteket, koordiátgeometri geometri és z lgebr kpcsoltár épül. De egyeletmegoldássl mide más tudomáyb is tlálkozuk, fizikától kémiá és biológiá át közgzdságtig. A másodfokú egyeletek eze egyeletek jeletős részét teszik ki. 4

42 8. tétel: A leíró sttisztik jellemzői, digrmok. Nevezetes középértékek. D: A sttisztik vlóság számszerű iformációik megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére iráyuló gykorlti tevékeység és tudomáy, mely mért vgy gyűjtött dtoko lpszik. Az egyértelműség végett éháy foglmt meg kell külöböztetük egymástól, így külöbözik egymástól z dt és z elem, vlmit z dtsokság és hlmz. Míg egy hlmzb egy elem egyszer fordul elő, ddig egy dtsokságb egy dt többször is bee lehet. Továbbá egy hlmzb z elemek sorredje em számít, míg egy dtsokságb z dtok sorredje is gykr fotos jellemző (árfolymok, lázgörbe stb.). Adtsokságok jellemzői D: Az dtsokság leggyobb és legkisebb dták külöbségét terjedelemek evezzük. Az dtok dott szempotok szeriti feldolgozásához, elemzéséhez zokt gyság szerit osztályokr bothtjuk, ezek osztályterjedelme lehet egyelő vgy külöböző is. D: Az zoos dtok előfordulásák számát gykoriságk evezzük, ezek teljes dtsoksághoz viszoyított ráyát pedig reltív gykoriságk. Az dtsokság egészét középértékekkel és középértékektől vló eltéréssel jellemezhetjük. Középértékek: () átlg: Az { } ; ; 3;...; dtsokság átlgá bee szereplő dtok számti közepét i i= értjük: = =. H z dtsokságb vk egyform dtok, kkor k i i l z átlgot ezek súlyozott közepekét is számolhtjuk: i= =, hol l ki =. i= k () módusz: z dtsokságb leggykrbb előforduló dt. H több ilye is v, kkor reltív gykoriságuk függvéyekét vgy midegyiket móduszk evezzük, vgy zt modjuk, hogy z dtsokságk ics módusz. (3) mediá: z dtokt gyság szeriti (övekvő vgy csökkeő) sorredbe redezve középső dt. H pártl szám, kkor v ilye, h páros, kkor két középső számti közepe. Eltérések középértékektől: Egy (például fiziki) mérés sorá mérés jóságák jellemzése végett redkívül fotos mért dtok átlgák meghtározásá túl mérés hibhtárák meghtározás is. Eek jellemzésére em hszálhtjuk z átlgtól vló eltérés átlgát, hisze z mide esetbe 0 lee. Emitt két meyiséggel szoktuk jellemezi ezt: l i= i 4

43 () átlgos bszolút eltérés: ez z eltérések bszolút értékéek számt közepe: S i= ( ) == i ; () szórás: z eltérések égyzetes közepe, zz D ( ) = Az dtsokságok megjeleítése digrmok i= ( ) i Egy jó kép többet mod ezer szóál. szokták modi fotósok, és ez votkozik z dtsokságok jellemzőiek bemuttásár is, melyeket külöböző típusú digrmoko szoktuk megtei. Az dtsokság jellegéek megfelelőe következő digrmokt hszáljuk (illik hszáli ): () h z ugybb z időbe keletkező (létező) zoos dtok egymáshoz és teljes dthlmzhoz viszoyított ráyát kívájuk bemutti, kkor kör- vgy szlgdigrmot hszáluk (például iskoli dolgoztok miősítése, válsztásoko külöböző pártokr ledott szvztok szám stb.). Ekkor körcikkek középpoti szöge, illetve szlgdrbok hossz egyeese ráyos reltív gykorisággl. () h z ugybb z időbe keletkező (létező) zoos dtok egymáshoz viszoyított ráyát és z egyes dtok gykoriságát kívájuk bemutti, kkor oszlopdigrmot hszáluk (például iskoli dolgoztok miősítése, válsztásoko külöböző pártokr ledott szvztok szám stb.). Ekkor z egyes (zoos dthoz trtozó) oszlopok mgsság z egyes zoos dtok gykoriság lesz. (3) h z dtok mellett keletkezésük sorredje is fotos, kkor voldigrmot hszáluk (például devizárfolymok, lázgörbe stb.). Ekkor diszkrét potokt össze szoktuk köti. Oszlop- és voldigrm eseté z dtok értékét (függőleges tegely) em midig z y = 0 egyeeshez viszoyítjuk, ez jellemezi kívát dtsokság jellegétől is függ (tőzsdeidex vs. egy ország lkosságák szám, h csk gyságár vgyuk kívácsik, em változás mértékére). Sir Wisto Churchillek tuljdoítják következő modást: Csk k sttisztikák hiszek, melyet mgm hmisítottm. Bár vlószíűleg em tőle, hem mide bizoyl egy émet politikustól szármzik ( II. világháború idejéből), erre ekük is figyelük kell digrmok megtekitésekor, mert köye lehet mipuláli godolkodásukt digrmokkl. Bár vk egyértelmű, szádékos megtévesztések is. Nevezetes közepek A mtemtikáb egy pozitív dtokból álló dtsokság jellemzésére égy, ú. evezetes közepet szoktuk hszáli ( ): ; ; ;...;, D: Az { } 3 + i i= számok számti közepé z A ( i) = i számot értjük. 43

44 + ; ; 3;...;, i számok mérti közepé G ( ) i... D: Az { } ; ; ;...;, D: Az { } 3 + i számok hrmoikus közepé = számot értjük. H ( ) = i i= i számot értjük. ; ; ;...;, D: Az { } 3 + i számok égyzetes (kvdrtikus) közepé A égy evezetes közép közt következő összefüggés áll fö: + T: Az ; ; 3;...;, (, ) vlós számok eseté mi i ( ) H( ) G( ) A( ) Q( ) mx( ), és i i i i i i egyelőség kkor és csk kkor áll fö, h = = 3 =... =. E tétel állítási közül egy speciális esetet fogok bizoyíti: Q ( ) = i i= i számot értjük. + b + Tétel: H b ;, kkor, zz két pozitív szám hrmoikus közepe kisebb vgy + b egyelő, mit számti közepük, továbbá egyelőség kkor és csk kkor áll fö, h = b. + Bizoyítás: Ekvivles átlkításokt végzük. Mivel b ;, ezért + b + b b + b / ( + b) > 0 + b ( ) 4b + b ( b) 4 / 4 b + b + b b 0 b + b 0, mi midig teljesül, és egyelőség kkor és csk kkor áll fö, h = b. // Alklmzások Sttisztikákt mid természet-, mid társdlomtudomáyokb redkívül gykr hszáluk külöböző folymtok időbeli jellemzésére, illetve egy dott időpotbeli állpotuk rögzítésére. Csk éháy péld: devizárfolymok, tőzsdeidexek, egy közösség életkor szeriti megoszlás (korf), lázgörbe, pártszimpáti stb. A evezetes közepeket pedig gykr hszáljuk szélsőérték-feldtok megoldás sorá, függvéyek mximumák és miimumák meghtározáskor stb. 44

45 9. tétel: Függvéyti lpismeretek, függvéyek tuljdosági, htárérték, folytoosság. Számsoroztok. A számti sorozt, z első tg összege. A függvéy mtemtik legfotosbb foglmi közé trtozik. D: Adott két (em feltétleül külöböző) hlmz, A és B. Azokt z egyértelmű hozzáredeléseket, melyek z A hlmz elemeihez B hlmz elemeit redelik, függvéyekek evezzük. Az A hlmz függvéy lphlmz, B pedig képhlmz. Az A hlmz zo részhlmzát, mely elemeihez téylegese törtéik hozzáredelés, értelmezési trtomáyk (D), B hlmz zo részhlmzát, melyek elemei téylegese hozzáredelődek, értékkészletek (R) evezzük. Jelbe: f: D R x fx ( ). D: Két függvéyt kkor tekitük egyelőek, h értelmezési trtomáyuk ugyz, és közös értelmezési trtomáy mide egyes x eleméhez két függvéy ugyzt z értéket redeli. A függvéyeket következő szempotok szerit jellemezzük (célszerűe ebbe sorredbe): - értelmezési trtomáy; - értékkészlet (ezt áltláb szélsőértékek, korlátosság vizsgált utá utólg írjuk be); - zérushelyek; - szélsőértékek (korlátosság, htárértékek ± -be, illetve szkdási potokb); - pritás; - periodikusság; - övekedési viszoyok (mootoitás, függvéy meete); - függvéygörbe lkj (kovexitás, iflexiós potok); - folytoosság. A globális tuljdoságok közé soroljuk zokt, melyek teljes értelmezési trtomáyr votkozk (értelmezési trtomáy, értékkészlet, korlátosság, pritás, periodikusság, folytoosság), többit pedig lokális tuljdoságok közé soroljuk. A teljes függvéyvizsgálthoz erős eszközük differeciálszámítás, ez zob egy másik témkörbe szerepel. Néháy, ebbe témkörbe szereplő tuljdoság meghtározás: D: Az f függvéy páros, h x D eseté x D, és f ( x) = f ( x). f f D: Az f függvéy periodikus, h p +, hogy x D eseté x + p D, és f ( x + p) = f ( x) f f. A legkisebb ilye p pozitív vlós számot (h létezik) függvéy periódushosszák evezzük. (Más defiíciók bármely feti tuljdoságú p-t periódushosszk tekiteek.) ; x f D: Az f függvéy szigorú mooto övekvő, h x D eseté h ; x f D: Az f függvéy mooto csökkeő, h x D eseté h x x < x, kkor f( x ) f( x ) < x, kkor f( x ) f( x ). <. A függvéyek htárértékét és folytoosságát célszerűe soroztok ismertetése utá vizsgálom. A hétközpi életbe sorozt szó zoos vgy hsoló dolgok egymást követő sorát jeleti. A mtemtikáb hszált foglom eek megfelelőe következő: 45

46 D: A pozitív egész számok hlmzá értelmezett vlós értékű függvéyeket számsoroztk (rövide: soroztk) evezzük. A függvéy áltl z pozitív egészhez redelt értéket sorozt -edik tgják (éh eleméek) evezzük, -et pedig tg idexéek. H függvéy mide pozitív egészhez ugyzt vlós számot redeli, kkor zt kosts soroztk evezzük. A soroztokt függvéyektől kissé eltérőe jelöljük, betűjelük áltláb z ábécé elejéről egy kisbetű: : + ( ) vgy { }, továbbá sorozt -edik tgj A soroztokhoz kpcsolódó legfotosbb foglmk és tételek:. Korlátosság D: Az ( ) + sorozt lulról korlátos, h létezik oly k, hogy eseté k. A k számot sorozt lsó korlátják evezzük (h létezik, kkor végtele sok ilye v), közülük leggyobbt pedig z ( ) sorozt leggyobb lsó korlátják (ifimum, k*). D: Az ( ) + sorozt felülről korlátos, h létezik oly K, hogy eseté K. A K számot sorozt felső korlátják evezzük (h létezik, kkor végtele sok ilye v), közülük legkisebbet pedig z ( ) sorozt legkisebb felső korlátják evezzük (szuprémum, K*). sorozt korlátos, h lulról és felülről is korlátos. (Azz létezik oly κ \, hogy + eseté.) D: Az ( ) κ Mootoitás D: Az ( ) D: Az ( ) D: Az ( ) D: Az ( ) + sorozt szigorú mooto övekvő, h m ;, > meseté > m. + sorozt szigorú mooto csökkeő, h m ;, > meseté < m. + sorozt mooto övekvő, h m ;, > meseté m. + sorozt mooto övekvő, h m ;, > meseté m. E soroztokt összefoglló éve mooto soroztokk evezzük. Kovergeci A kovergeci foglm soroztok htárértékéek foglmához trtozik. D: Az szám ε sugrú köryezeté ( ; ε, ε > 0 számegyeese. ) értjük z ] ε; ε[ + yitott itervllumot 46

47 D: Az ( ) soroztk v htárértéke (z ( ) sorozt koverges), h v oly szám, hogy z szám bármely ε sugrú köryezetébe sorozt mjdem mide tgj bee v. (Vgyis z szám ε sugrú köryezeté kívül soroztk legfeljebb véges sok tgj lehet.) Jelölése: lim( ) vgy = vgy lim =. Ezzel defiícióvl ekvivles ( sokszor jobb hszálhtó) következő meghtározás: D: Az ( ) soroztk v htárértéke (z ( ) + ε > 0 számhoz N küszöbszám, hogy h > N, kkor < ε. D: Az ( ) sorozt diverges, h em koverges. A diverges soroztok két sűrű hszált típus: sorozt koverges), h v oly szám, hogy D: Azt modjuk, hogy z ( ) sorozt végtelebe divergál ( ), h + N küszöbszám, hogy h > N, kkor > K. D: Azt modjuk, hogy z ( ) sorozt míusz végtelebe divergál ( ), h + N küszöbszám, hogy h > N, kkor < k. Néháy fotos és gykr hszált tétel soroztok kovergeciájávl kpcsoltb: T: Koverges soroztk egy htárértéke v. T: Mide koverges sorozt korlátos. T: H egy sorozt mooto és korlátos, kkor koverges. K számhoz k számhoz E foglmk és tételek segítségével tudjuk egyszerűe meghtározi függvéyek htárértékét és folytoosságát: Véges htárérték végesbe D: Legye z f( x ) függvéy z x 0 hely vlmely köryezetébe értelmezve (kivéve esetleg z x 0 helyet). Azt modjuk, hogy z f( x ) függvéy htárértéke z x 0 helye A, h x x0( x D, x 0) f x sorozt eseté f( x) A. (Vgy: ε > 0 számhoz δ > 0 szám, hogy h x x0 < δ, x x0, kkor f( x) A< ε {Heie-, illetve Cuchy-féle defiíció}). Véges htárérték végtelebe Azt modjuk, hogy z f( x ) függvéy htárértéke + -be A, h x + ( x D f ) sorozt eseté A. (Vgy: ε > 0 számhoz K szám, hogy h x> K, kkor f( x) A< ε ). f( x) 47

48 Végtele htárérték végesbe D: Legye z f( x ) függvéy z x 0 hely vlmely köryezetébe értelmezve (kivéve esetleg z x 0 helyet). Azt modjuk, hogy z f( x ) függvéy htárértéke z x 0 helye +, h x x0( x D, x 0) f x sorozt eseté f( x) +. Végtele htárérték végtelebe Azt modjuk, hogy z f( x ) függvéy htárértéke + -be +, h x + ( x D ) sorozt eseté f( x) +. f Folytoosság A htárérték foglmák segítségével tudjuk defiiáli függvéyek folytoosságát: D: Az f( x ) függvéy folytoos z x 0 helye, h függvéy eze helye értelmezve v, továbbá eze helye v htárértéke, és ez htárérték egyelő z e helye felvett függvéyértékkel. D: Az ( ) f x függvéy folytoos z [ ; ] b itervllumo, h z itervllum bármely belső potjáb folytoos, blvégpotb jobbról, jobbvégpotb blról. A folytoosság legfotosbb és legtöbbször lklmzott következméyei: T: Zárt itervllumo folytoos függvéyek v leggyobb értéke (mximum) és legkisebb értéke (miimum) (Weierstrss-tétel). f x függvéy folytoos z [ ; ] T: H z ( ) bzárt itervllumo, kkor függvéy f ( ) és fb ( ) között mide értéket felvesz (Bolzo-tétel). T: Zárt itervllumo folytoos és ivertálhtó függvéy értékkészlete egy zárt itervllum, és eze függvéy iverze folytoos. A számti sorozt D: Azokt számsoroztokt, melyekbe z egymást követő tgok külöbsége álldó, számti + soroztk evezzük. Azz: eseté + = álldó = d, hol d számti sorozt külöbsége (differeciáj). A számti sorozt -dik tgját és z első tg összegét számti sorozt első tgják és külöbségéek ismeretébe következő tételek lpjá lehet kiszámíti: Tétel: H számti sorozt első tgj, külöbsége d, kkor 48 ( ) () = + d; + + ( ) d () S = =.

49 Bizoyítás: A () tételt fogom bizoyíti. A kis Guss módszerét követve írjuk fel számti sorozt első tgják összegét kétféleképpe, mjd djuk össze zokt! ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) S d d... d d ; S = + d + d d + d. = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = = +, drb melyből -vel osztv tétel első feléek állítását kpjuk, míg h ebbe behelyettesítjük z ()-be szereplő kifejezést, megkpjuk második felét is. // i+ + i A sorozt o kpt evét, hogy h i< egész, kkor =, zz sorozt bármely tgj z ugyyivl előtte és utá lévő tgok számti közepe. Alklmzások A soroztok kovergeciáját gykr hszáljuk függvéyek végtelebe vett htárértékéek meghtározásához, folytoosságuk megmuttásához (Heie-féle defiíció). Néháy evezetes sorozt és htárértékük: (i) (ii) (iii) lim + = e, természetes lpú logritmus lpszám (Euler-féle szám); Legye S z első pozitív egész szám égyzete reciprokák összege, zz π S = Ekkor lim S = ; 3 6 Legye S z első prímszám reciprokák összege, zz S = Ekkor lim S =. 3 5 p A számti sorozthoz (is) kpcsolhtó további evezetes (és gykr hszált) összegek: () Az első pozitív egész szám összege ( + ) i = ; (b) Az első pozitív egész szám égyzetéek összege ( + )( + ) i = ; 3 (c) Az első pozitív egész szám köbéek összege + i = i=. i= i= 6 ( ) A hétközpi életbe (jó közelítéssel) számti soroztot lkot például szíházi ézőterek, stdiook sorib lévő ülőhelyek szám. A ruhygokt végekbe árulják, itt z egy meetbe lévő yghosszk lkotk számti soroztot. 49

50 0. tétel: Mérti sorozt, z első tg összege, végtele mérti sor. Kmtszámítás, gyűjtőjárdék, törlesztőrészlet. Expoeciális folymtok társdlomb és természetbe. A mérti sorozt foglmát már z ókori egyiptomik is ismerték, és összegük is érdekelte őket. Kokrét feldtok eseté ki is tudták számoli z összeget. Megtlálták ugyis Rhid-ppiruszo (i. e. 750) következő feldt mely később feldtgyűjteméyekbe és épi tlálós kérdésekbe is felbukkt ige tömör megoldását: H 7 ház midegyikébe 7 mcsk v, midegyik megfogott 7 egeret, mide egér megevett 7 búzszemet, mide búzszemből 7 hekt búz termett vol, kkor háy hekt búz lett vol bból? A ppiruszo mg feldt em szerepel, csk megoldás szűkszvú leírás ( Ház: 7 mcsk: 49 egér: stb.), de lehetetle em rájöi, továbbá ppirusz sem utl z összegképlet ismeretére: végigszámolták sorozt tgjit, és úgy dták össze. Hsoló péld szerepel egy 9. százdi gol oszesz modókáb: 50 As I ws goig to St. Ives, I met m with seve wives, Every wife hd seve scks, Every sck hd seve cts, Every ct hd seve kits, Kits, cts, scks d wives, How my were goig to St. Ives? Ez péld z egyiptomitól yib tér el, hogy beugrtós feldt: csk egyvlki met St. Ives-b, mégpedig vers elbeszélője, z sszoyos-zsákos kompái St. Ives felől jött, em pedig od met). (Forrás: ) A mérti sorozt eredeti, rekurzív defiíciój következő: D: Azokt számsoroztokt, melyekbe z egymást követő tgok háydos álldó, mérti soroztk evezzük. Azz: + + eseté = álldó = q, hol q mérti sorozt háydos (kvóciese). Ez defiíció kizárj zt, hogy sorozt bármely tgj, illetve kvóciese 0 legye, elletétbe z = + q defiícióvl. A mérti sorozt -dik tgját és z első tg összegét mérti sorozt első tgják és háydosák ismeretébe következő tételek lpjá lehet kiszámíti: Tétel: H mérti sorozt első tgj, háydos q, kkor () = q () q = eseté S = q (3) q eseté S = q Bizoyítás: A (3) tételt fogom bizoyíti. Az () tételt felhszálv

51 S = + q + q q + q / q 0 3 Sq = q + q + q q + q Sq S = q S = q S ( q ) = ( q ) / : ( q ) 0 q Ezt krtuk bizoyíti. A végtele mérti sor i D: A q, ú. végtele összeget végtele mérti sork evezzük. i= i D: H lim q htárérték létezik és véges, kkor zt végtele mérti sor összegéek evezzük, = i és S-sel jelöljük. T: H mérti sorozt első tgj, és háydos bszolút értéke kisebb, mit, kkor S =. q E tételt köyű bizoyíti, felhszálv mérti sorozt első tgják összegére votkozó képletet, illetve zt tételt, hogy h q <, kkor limq = 0. A végtele mérti sor összegképletéek felhszálásávl tudjuk végtele szkszos tizedes törteket bc két egész szám háydoskét felíri, például 0, bc =. (Vö.: A rcioális számok kétféle 3 0 defiíciój.) Kmtszámítás Közgzdsági megfoglmzás szerit kmt péz időértékéek megtestesülése. H egy pézösszeget (betét) (jellemzőe) egy bkb elhelyezük, kkor bk pézük hszáltáért betétükre bizoyos kmtot d. A kmt és betét százlékb kifejezett háydosát kmtlábk evezzük. Hsoló, h bk pézét hszáljuk, kkor ezért felvett hitelért bizoyos elleszolgálttást kell yújtuk. A továbbikb zzl feltevéssel élük, hogy futmidő ltt kmtláb mértéke em változik (mi vlóságb elég ritk). Jó, h tudjuk, hogy gykorltb betétek és hitelek kmtszámítási módj eltérő. A omiális kmtozás (évleges vgy egyszerű kmtozás) sorá kiiduló összeg (z lptőke) bizoyos százlékb kifejezett háydát szbályos időközökét (kmtperiódus) hozzádják tőkéhez. Ezt százlékot kmtlábk evezzük. 5

52 A bki hirdetésekből ismert EBKM (egységesített betéti kmtláb muttó) is omiális kmtozás módszerével számítódik. Eek bkok részéről prktikus ok, hogy z éves omiális kmtból számított egy évél rövidebb távr szóló kmt mgsbb, mit éve belül z ú. effektív hozm ( kmtos kmt), így z ügyfelekek többek tűhet. Számítási módj: p Vt = V0 + t, hol V 0 kezdőtőke, t futmidő kmtperiódusok számáb 00 kifejezve, p kmtláb és V t tőke futmidő végé. Nomiális kmtozás eseté kmtperiódusok végé kpott összegek számti soroztot lkotk. Az effektív hozm (kmtos kmt) számításáál kmtperiódus végé kmtot em fizetik ki, hem hozzádják tőkéhez, és ez következő időszkb többletkmtot eredméyez, így kpott kmt is kmtozik. A kmtjóváírás gykorltb legtöbbször többévete, évete, vgy hvot törtéik. A gykorltb bkok betéti kmtot kmtoskmt-számítás szerit számolják. Hitelfelvétel eseté THM-et (teljes hiteldíj muttó) is jellemzőe kmtos kmt módszerével számolják ki. t p Számítási módj: Vt = V 0 +, ekkor kmtperiódusok végé kpott összegek oly, 0-dik 00 p tggl kezdődő mérti soroztot lkotk, melybe q = (Megjegyzés: A kmto kívül z EBKM és THM is trtlmz (pozitív, illetve egtív előjellel) további összetevőket: kezelési költség, hitelbírálti díj, kmtdó stb. Továbbá z ifláció is csökketi pézük értékét, ezért befektetés eseté célszerűbb z ú. reálkmttl számoluk ez kár egtív is lehet.) Járdékszámítás Az egyelő időközökbe fizetett összegek soroztát járdékk evezzük. Az egyszerűség érdekébe feltételezzük, hogy: - befizetési időközök megegyezek kmtperiódussl, - mide lklomml ugykkor összeget fizetük be. H kmtperiódus egy év, kkor z egy-egy lklomml befizetett összeget uitásk evezzük. Kétféle járdékfizetést vizsgáluk: - gyűjtőjárdék: ekkor bkb befizetett összegekkel pézgyűjtés cél, - törlesztőjárdék: ekkor feálló trtozást krjuk kiegyelítei (hiteltörlesztés). Gyűjtőjárdék: éve át mide év elejé befizetük összeget, z éves kmtláb legye p. Az utolsó befizetés utá p egy évvel felvehető pézösszeget jelöljük S -el, q : = +. Ekkor 00 5

53 Periódusidő Tőke periódusidő elejé Tőke periódusidő végé. S = q. S + S = (q + )q = q + q 3. S + S 3 = (q + q + )q = q 3 + q + q. S - + S = (q - + q q + )q = q + q q + q Vegyük észre, hogy z utolsó összeg egy oly mérti sorozt első tgják összege, hol = q, p + q p háydos pedig q, emitt 00 S = q = +. q 00 p 00 Törlesztőjárdék: t hitelt vettük föl év futmidővel, z éves kmtláb legye p. A törlesztés mide év végé esedékes, p összege legye A, q : = +. Ekkor: 00 Periódusidő Hitel periódusidő elejé Hitel periódusidő végé ( törlesztés utá). t t = tq - A. t t = (tq - A)q - A = tq Aq - A 3. t t 3 = (tq - Aq - A)q - A = tq 3 - Aq - Aq - A. t - t = (tq - - Aq Aq - A)q - A = tq - Aq Aq - Aq - A Az -szeri törlesztés utá kmtostól visszfizettük felvett hitelt, tehát t = 0. Így =... = 0, ho t tq Aq Aq Aq A tq Aq Aq... Aq A = Vegyük észre, hogy jobb oldlo álló összeg egy oly mérti sorozt első tgják összege, hol = A, háydos pedig q. Így tq q = A, melyből q p q p A = tq = t 00 + q 00 p + 00 Expoeciális folymtok társdlomb és természetbe Npjik egyik leggyobb társdlmi problémáj Föld épességéek várhtó expoeciális gyrpodás. Az emberiség hosszú törtéelme sorá 800 körül érte csk el z egymilliárd főt, eek megduplázódásár viszot már csk 30 évre volt szükség 930-r épesség kétmilliárd, 959-re már 3 milliárd fő volt, mjd rohmos övekedés eredméyeképp 0-re 7 milliárd főt is elérte; m körülbelül 7,5 milliárd ember él Földö. Az ENSZ becslései lpjá 8 milliárd főt 04 tvszá, 0 milliárd főt pedig 056-b éri mjd el z emberiség. Külööse erős ez folymt Afrikáb, hol m kb., milliárd fő él, míg 056-b már várhtó,7 milliárd. Ázsiáb (külöös tekitettel Kíár) kicsit mérséklődött övekedési ütem, de még itt is jeletős övekedés várhtó: mi 4,5 milliárdról 53

54 várhtó 5,3 milliárdr gyrpszik. Ezt em képes ellesúlyozi Európ egtív övekedési üteme, lkosságcsökkeése. Hsoló expoeciális folymt jellemzi hírek terjedését (például Fcebooko), egy járváy lefolyását, z MLM típusú üzleteket vgy egy ország GDP-jéek és z ott várhtó élettrtmk kpcsoltát. A biológiáb ilye például bktériumok szporodás vgy övéyek övekedése, kémiáb z oldódások időbeli lezjlás, fizikáb rdioktív ygok bomlás, z tombombáb eutrook számák övekedése stb. Természetese ezek társdlmi és természeti folymtok em tisztá expoeciálisk, hisze peremfeltételek korlátozzák, fékezik változásokt. (Megjegyzés: Ez tétel zért lett ilye hosszú, mert járdékok levezetésével együtt három tételt bizoyítottuk. A két járdékképletet végül is meg lehet jegyezi ) 54

55 . tétel: A differeciálháydos foglm, deriválási szbályok. A differeciálszámítás lklmzási (éritő, függvéyvizsgált, szélsőérték-feldtok). A differeciálszámítás (deriválás) A 7. százdb, egymástól függetleül Isc Newto és Gottfried Wilhelm Leibiz dolgozt ki differeciálszámítás (és ezzel párhuzmos z itegrálszámítás) lpjit, elsősorb fizik áltl felvetett problémák (változó mozgások leírás stb.) megoldásár. A m hszáltos jelöléseket Leibizek köszöhetjük, míg megközelítés módját ikább Newtok. A végteleül kicsiy meyiségekkel vló számolás lpjit két görög mtemtikus, Eudoxosz ( kimerítés módszere) és Archimédesz (kétoldli közelítés) vetette meg, és lklmzt sikerrel. A Newto és Leibiz áltl kidolgozott eljárás több szempotból is hiáyos volt (htárérték-számítás, folytoosság stb.), csk 9. százdb dolgozták ki potos, itt elsősorb Augusti Cuchy és Georg Friedrich Berhrd Riem evét és mukásságát kell megemlítei. A Newto és Leibiz számár legfotosbb kérdések következők voltk:. Mit értsük egy görbe dott potjá átmeő éritőjé?. Hogy számolhtó ki egy síkidom területe? 3. Hogy oldjuk meg szélsőérték-problémákt? Az éritőproblém megoldás léyegébe egy függvéy dott helye vett htárértékéek meghtározásár vezethető vissz. D: Legye z f függvéy z x 0 pot vlmely köryezetébe értelmezve. H z fx ( ) fx ( 0) ú. x x0 külöbségi (differeci-) háydos függvéyek létezik htárértéke z x 0 helye, kkor z f függvéyt z x 0 potb differeciálhtók evezzük. A fx ( ) fx ( 0) lim htárértéket z f függvéy x 0 potbeli x x0 x x0 differeciálháydosák (deriváltják) evezzük. Jelölése fx ( ) fx ( 0) f'( x0) = lim. x x 0 x x A differeciálhtóság egyik legfotosbb következméye: T: H z f függvéy differeciálhtó x 0-b, kkor f folytoos is x 0-b. A differeciálháydos segítségével tudjuk értelmezi z éritő foglmát: D: Legye z f függvéy differeciálhtó z x 0 potb. A függvéy grfikoják z ( x0; fx ( 0) ) pothoz trtozó éritőjé z y= f'( x) ( x x) + fx ( ) egyeletű egyeest értjük A potbeli derivált segítségével tudjuk értelmezi egy függvéy deriváltfüggvéyét: D: Az f függvéy deriváltfüggvéyéek (differeciálháydos-függvéyéek) evezzük zt z f függvéyt, mely értelmezve v zoko z x 0 helyeke, hol f differeciálhtó, és ott z értéke f (x 0). Továbbá: D: Az f függvéy második deriváltfüggvéyéek evezzük z f függvéy deriváltfüggvéyét, meyibe létezik, jele f. 0 55

56 Például gyorsulást z út-idő függvéy második deriváltjkét tudjuk meghtározi. Ezt z eljárást folyttv további deriváltfüggvéyeket tuduk defiiáli. Deriválási szbályok Csk éháy legfotosbb szbályokból ( képlettárb is megtlálhtók): ( ) ( ) c f ' = c f ', hol c ; f ± g ' = f ' ± g'; f f' g f g' f g ' = f' g+ f g'; ', h g 0; g = g f g ' = f'( g) g'. ( ) ( ( )) Néháy elemi függvéy deriváltfüggvéye: ( c)' = 0 ( c ); ( x )' = x ; x x ( e )' = e ; (l x)' = ; x (si x)' = cos x; (cos x)' = si x; ( tgx)' = ; ( ctgx)' = cos x si x A fetiek közül z egyiket válsztottm témához trtozó bizoyításk: + Tétel: Az fx ( ) = x, D =, függvéy deriváltfüggvéye f f'( x) = x. i i Bizoyítás: A bizoyításb felhszálom z b = ( b)( + b b b + b ) zoosságot. Az x függvéy x 0 potbeli differeciálháydosár: fx ( ) fx ( ) x x ( x x)( x + x x x x +... xx + x ) f'( x ) = lim = lim = lim = 0 x x0 i i x x0 x x x x0 0 0 x x x x 0 x x0 i i = lim( x + x x x x +... x x + x ) = x. Mivel ez bármely x0 D eseté teljesül, ezért f f'( x) = x. // A differeciálszámítás lklmzási A mtemtiká (és fiziká) belül legfotosbb lklmzási területek közül z éritő egyeletéek meghtározásávl már fogllkoztm. A teljes függvéyvizsgált sorá következő gyo fotos tételeket hszáljuk függvéyek tuljdoságik meghtározásához: T: H z f függvéy differeciálhtó z ]; b[ yílt itervllumo, továbbá z < x 0 < b potb f (x 0) = 0, és f x 0-b előjelet vált, kkor f-ek x 0-b helyi szélsőértéke v: helyi mximum, h f előjele pozitívról egtívr változik, helyi miimum, h z előjel egtívról pozitívr változik. 56

57 T: H z f függvéy kétszer differeciálhtó z ]; b[ yílt itervllumo, továbbá z < x 0 < b potb f (x 0) = 0 és f (x 0) < 0, kkor f-ek x 0-b helyi mximum v, h f (x 0) > 0, kkor f-ek x 0-b helyi miimum v. T: Legye z f függvéy kétszer differeciálhtó z ]; b[ yílt itervllumo. Az f potos kkor kovex (kokáv) z ]; b[-, h f''( x0) 0 ( ''( 0) 0 f x ) bármely x ] b[ eseté. 0 ; T: H z x 0 potb f''( x 0) előjelet vált, kkor ott f-ek iflexiós potj v. A szélsőérték-feldtok kedveceim közé trtozk, lévé hogy jól meghtározott megoldási módjuk v: () észrevehetők o, hogy vlmiek legkisebb vgy leggyobb értékét keressük; () egy változót válsztv felírjuk keresett meyiséget változó függvéyébe; (3) megkeressük e függvéy szélsőértékét ( feldttól függőe teljes égyzetté botássl vgy differeciálássl). A mtemtiká kívüli lklmzások (fizik, kémi, biológi, pézügyi számítások, közgzdságt, társdlmi folymtok leírás stb.) közös jellemzője, hogy áltláb vlmilye folymt változási gyorsságák meghtározásár hszáljuk. Csk éháy kokrét péld ezek közül: pilltyi sebesség és gyorsulás kiszámítás; kémii rekciók hőmérsékletfüggése; egy populáció dimikus egyesúlyák meghtározás; költség-hszo elemzések, optimlizálási problémák megoldás; társdlmi folymtok vizsgált, időbeli előrejelzése stb. 57

58 . tétel: Derékszögű háromszögekre votkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvéyei. Összefüggések hegyesszögek szögfüggvéyei között. A szögfüggvéyek áltláosítás. Ez tétel z egyik legkegyetleebb 4-ből, de csk mérete mitt és ezzel vizsgázttók is tisztáb vk. Ne is törekedjük rr, hogy mide idetrtozó defiíciót és tételt elmodjuk, ellebe ügyeljük rr, hogy tétel mid égy fő részét éritsük feleletükbe. D: A derékszögű háromszögbe derékszög szárit befogók, vele szemközti oldlt átfogók evezzük. A derékszögű háromszögekre votkozó legfotosbb tételek:. Pitgorsz tétele: A derékszögű háromszög befogóik égyzetösszege egyelő z átfogó égyzetével.. Pitgorsz tételéek megfordítás: H egy háromszög két oldlák égyzetösszege egyelő hrmdik oldl égyzetével, kkor háromszög derékszögű. 3. Thlész tétele: H egy kör egyik átmérőjéek két végpotját összekötjük körvol átmérővégpotoktól külöböző bármely más potjávl, kkor derékszögű háromszöget kpuk. 4. Thlész tételéek megfordítás: Az zoos átfogójú derékszögű háromszögek derékszögű csúcsi z átfogó mit átmérő fölé szerkesztett körre illeszkedek (Thlész-kör). 5. Mgsságtétel: A derékszögű háromszög átfogóhoz trtozó mgsság két oly részre vágj z átfogót, melyekek mérti közepe. 6. Befogótétel: A derékszögű háromszög befogój mérti közép z átfogó és befogó átfogór eső merőleges vetülete között. Ezek közül itt kedvecemet, Thlész tételéek megfordítását fogom bizoyíti. Bizoyítás: Idirekt úto bizoyítuk. Tegyük föl, hogy derékszögű csúcs em illeszkedik z átfogó Thlész-körére. Ekkor két eset lehet: vgy k belsejébe, vgy zo kívül helyezkedik el. H derékszögű csúcs Thlész-kör belsejébe v, kkor hosszbbítsuk meg háromszög AC befogóját Thlész-körrel vló P metszéspotjáig. Az ábr jelölései szerit ekkor Thlész tétele mitt BPA = 90, ugykkor PCB is derékszög ( BCA külső szöge lévé), de ez elletmodásr vezet, ugyis így BPC belső szögeiek összege gyobb lee 80 o -ál. 58

59 H derékszögű csúcs Thlész-körö kívül v, kkor legye háromszög AC befogóják Thlész-körrel vló metszéspotj P. Az ábr jelölései szerit ekkor Thlész tétele mitt BPA = 90, ugykkor CPB is derékszög ( BPA külső szöge lévé), de ez elletmodásr vezet, ugyis így BPC belső szögeiek összege gyobb lee 80 o - ál. // A hegyesszögek szögfüggvéyei Emitt két háromszög hsoló, hsolóság b c ráy k = = =. ' b' c ' Legye z ABC és z A B C derékszögű háromszögekbe egy-egy hegyesszög (α) egyelő. Ebből következik, hogy ' ' b b' = ; = ; =, zz z egyelő b b' c c' c c ' hegyesszögű derékszögű háromszögek oldlik háydos álldó, és ez z álldó derékszögű háromszög hegyesszögére jellemző. Eze háydosokkl tudjuk defiiáli hegyesszögek szögfüggvéyeit: szöggel szemközti befogó szög melletti befogó siα = cosα = átfogó átfogó szöggel szemközti befogó szög melletti befogó tgα = ctgα = szög melletti befogó szöggel szemközti befogó (A sziusz reciprokát szög szekásák, kosziuszét szög koszekásák evezzük, de ezeket em hszáljuk középiskoláb.) Nyilvávló igzk következő egyelőségek (összefüggések hegyesszögek szögfüggvéyei között): ( ) ( ) ( 90 ) ( 90 ) si 90 α = cosα cos 90 α = siα tg α = ctgα ctg α = tgα tgα = ctgα = ctgα tgα siα cosα tgα = ctgα = cosα siα A Pitgorsz-tétel segítségével levezethető következő tétel: T: Bármely α hegyesszögre si α + cos α =. (Ez z ú. trigoometrikus Pitgorsz-tétel.) 59

60 Az egyelő szárú derékszögű háromszögből és egy fél szbályos háromszögből levezethetők z ú. evezetes szögek (30 o, 45 o és 60 o ) szögfüggvéyeiek, illetve szögfelezőtétel felhszálásávl ezek félszögei szögfüggvéyeiek potos értékei. A szögfüggvéyek áltláosítás A szög foglmák eredeti meghtározás szerit szögek gyság 0 o és 360 o közé esik, célszerűek tűt ezek szögfüggvéyeiek értelmezése is, mjd elsősorb fiziki feldtok megoldásár értelmeztük forgásszöget, illetve ezek szögfüggvéyeit, természetese permeci elvéek figyelembe vételével. D: Az i egységvektor α szögű elforgtottják első koordiátáját szög kosziuszák, második koordiátáját szög sziuszák evezzük. A defiícióból következik, hogy bármely α szögre si α,cosα, továbbá ekkor is igz trigoometrikus Pitgorsz-tétel. A szöget mérhetjük fokb és rdiáb is. A tges és kotges szögfüggvéyt sziusz és kosziusz szögfüggvéyek segítségével értelmezzük. D: Bármely α 90 + k 80, k Z eseté D: Bármely α 0 + k 80, k Z eseté α tg α = si. cosα α ctg α = cos. siα Alklmzások: Tlá derékszögű háromszögekre és hegyesszögek szögfüggvéyeire votkozó összefüggéseket lklmzzuk leggykrbb hétközpi életbe: külöböző testek felszíéek és térfogták meghtározás (pl. csládi házk vkolásához és festéséhez); távolságok és mgsságok meghtározás teodolit segítségével. A műszki mechikáb hjtószíjk hosszák meghtározás, gépelemek illesztése, vikli meghtározás vágásokhoz stb. trtozik ezek közé. De külöböző fiziki problémák megoldásáb is hszáljuk: ferde hjítás hosszák és mgsságák kiszámításához (ideértve ktoi lklmzásokt is), mukvégzés kiszámításához, lejtőre tett testek mozgásák leírásához. 60

61 3. tétel: Háromszögek evezetes voli, potji és körei. Az ABC -be szokásos jelölésekkel legfotosbb potok, egyeesek és körök: - csúcspotji: A; B és C; - csúcsivl szemközti oldlk: ; b és c; - belső és külső szögei: α; β és γ; illetve α ; β és γ ; - oldlfelező potji: F ; F b és F c; - oldlfelező merőlegesei: f ; f b és f c; - oldlfelező merőlegeseiek metszéspotj: O k; - belső és külső szögfelezői: f α; f β és f γ; illetve f α; f β és f γ; - belső és külső szögfelezőiek metszéspotji: O be; O k; O kb és O kc; - mgsságvoli (illetve mgssági): m ; m b és m c; - mgsságtlppotji: T ; T b és T c; - mgsságpotj: M; - középvoli: k ; k b és k c; - súlyvoli: s ; s b és s c; - súlypotj: S. Az ezekhez kpcsolódó legfotosbb defiíciók, tételek: D: A köré írt (körülírt vgy körülírhtó) köre z kör, mely összes csúcsá átmegy. T: A oldlfelező merőlegesei egy potb metszik egymást. Ez pot köré írhtó köréek középpotj. A hegyesszögű köré írt köréek középpotj belsejébe, tompszögűé -ö kívül v, míg derékszögű köré írt köre Thlész-köre, z átfogó két végpotjávl együtt. 6

62 D: A beírt köre vgy -be írt kör oly kör, mely mide oldlát ériti. D: A hozzáírt köre egyik oldlát és másik két oldlák meghosszbbítását éritő kör. T: A belső szögfelezői egy potb metszik egymást. Ez pot beírhtó köréek középpotj. T: A egy belső szögéek és másik két szöge külső szögéek szögfelezője egy potb metszi egymást. Ez pot -höz kívülről hozzáírhtó kör középpotj (három ilye pot v). D: A mgsságvolá háromszög egyik csúcsából szemközti oldl egyeesére bocsátott merőleges egyeest értjük. A dott oldlák és z zzl szemközti csúcsák távolság dott oldlához trtozó mgsság. A mgsságvol és z oldl egyeeséek metszéspotját mgsság tlppotják evezzük. T: A mgsságvoli egy potb metszik egymást. Ez pot mgsságpotj. A hegyesszögű mgsságpotj belsejébe, tompszögűé -ö kívül v, míg derékszögű mgsságpotj derékszögű csúcs. 6

63 D: A két oldlák felezőpotját összekötő szkszt háromszög középvolák evezzük. T: A középvol párhuzmos hrmdik oldlll, és fele oly hosszú. D: A csúcspotjit szemközti oldl felezőpotjivl összekötő szkszokt (illetve egyeeseket) súlyvolik evezzük. T: A súlyvoli egy potb metszik egymást, ez pot háromszög súlypotj. A súlypot súlyvolkt úgy hrmdolj, hogy z oldlkhoz v közelebb. Bizoyítás: E tétel bizoyítását többféleképpe tultuk középiskoláb: hsolósági, vektoros, koordiátgeometrii módszerekkel is beláttuk. É most egy egybevágósági bizoyítást dok. HÁJ! Legye S z ABC s és s b súlyvolák metszéspotj, F z AS, F BS szksz felezőpotj. Az F bf szksz z ABC háromszög c oldlához trtozó középvol, ezért párhuzmos vele és fele kkor. Az ABS háromszögbe ugyilye okál fogv F F is párhuzmos c-vel és fele kkor. Lévé z F F F F b égyszög két szemközti oldl párhuzmos és egyelő hosszú, ezért z prlelogrmm. Mivel prlelogrmm átlói felezik egymást, ezért AF = F S = SF, illetve BF = F S = SF b. Tehát S midkét súlyvolt tételbe szereplő módo hrmdolj. A s és s c súlyvolák S metszéspotjár lklmzv z előbbi eljárást, ugyezt kpjuk, emitt S = S, tehát három súlyvol egy potb metszi egymást, és ez midhármt tételbe szereplő módo hrmdolj. // Néháy további evezetes tétel ehhez kpcsolódó T: Bármely -be z oldlk felezőpotji, mgsságok tlppotji és mgsságpotot csúcsokkl összekötő szkszok felezőpotji egy körre illeszkedek (kilec pot köre vgy Feuerbchkör). 63

64 A Feuerbch-kör éháy érdekes tuljdoság: () A Feuerbch-kör sugr felekkor, mit háromszög körülírt köréek sugr. () A háromszög körülírt köréek bármely potját mgsságpottl összekötő szksz felezőpotj rjt v Feuerbch-körö. (3) A Feuerbch-kör középpotj rjt v háromszög Euler-egyeesé, és felezi háromszög mgsságpotj és körülírt kör középpotj közötti szkszt. (4) A Feuerbch-kör kívülről ériti háromszög hozzáírt köreit és belülről ériti beírt körét (Feuerbch-tétel). T: Bármely -be mgsságpot, körülírt kör középpotj, súlypot és Feuerbch-kör középpotj egy egyeesre illeszkedik (Euleregyees). A Feuerbch-kör középpotj felezi, súlypot pedig : ráyb osztj körülírt kör középpotját és mgsságpotot összekötő szkszt. D: A izogoális potj (Fermt Torricellipotj) z pot, melyet csúcsivl összekötve z összekötő szkszok együttes hossz miimális. T: H egy -be leggyobb szög kisebb mit 0 o, kkor izogoális potj z pot, melyből mide oldl 0 o -os szögbe látszik, ellekező esetbe z izogoális pot leggyobb szög csúcs. Alklmzások: A -ek evezetes potjit, egyeeseit és köreit legtöbbször geometrii bizoyításokb és szerkesztésekbe hszáljuk föl. 64

65 Például mgát mgsságvolk metszéspotjár votkozó tételt is háromszögek oldlfelező egyeeseire votkozó tétel felhszálásávl látjuk be, koordiátgeometrii feldtok sorá is számtlszor hszáljuk. Bizoyos szélsőérték-feldtok megoldás sorá is hivtkozuk rájuk. Épületek, gépek tervezése sorá is sokszor hívjuk segítségül ezeket. 65

66 4. tétel: Összefüggések z áltláos háromszögek oldli között, szögei között, oldli és szögei között. A háromszög oldli közti összefüggések A háromszög oldli közti leglpvetőbb összefüggést háromszög-egyelőtleségek jeletik. T: Bármely háromszögbe két oldl összege gyobb, mit hrmdik oldl, illetve bármely két oldl külöbsége kisebb, mit hrmdik oldl. A szokás jelölésekkel: + b> c; b+ c> ; c+ > b; b < c; b c < és c < b. A háromszög szögei közti összefüggések D: A háromszög belső szögeiek mellékszögeit külső szögek evezzük. T: A háromszög bármely külső szöge em mellette fekvő belső szögek összege. T: A háromszög belső szögeiek összege 80 o. T: A háromszög külső szögeiek összege 360 o. Ez utóbbi három tétel bizoyítás evezetes szögpárokr épül, és leggykrbb hszált tételek közé trtozik (h em is midig hivtkozuk rájuk). Összefüggések háromszög oldli és szögei között E tételek két csoportb sorolhtók: kvlittív és kvtittív összefüggéseket foglmzk meg. Kvlittív megállpítások: T: Bármely háromszögbe egyelő oldlkkl szembe egyelő szögek vk, és fordítv, egyelő szögekkel szembe egyelő oldlk vk. T: Bármely háromszögbe gyobb oldlll szembe gyobb szög v, és fordítv, gyobb szöggel szembe gyobb oldl v. E égy tételt szité gykr hszáljuk, külööse trigoometrikus feldtok megoldás sorá. Feti megfoglmzásuk rövid, de mtemtikilg helyes. Ameyibe h A, kkor B lkb szereték kimodi ezeket, kkor például z első így szól: T: H egy háromszögbe két oldl egyelő hosszú, kkor velük szemközti szögek egyelő gyságúk, és fordítv, h egy háromszögbe két szög egyelő gy, kkor velük szemközti oldlk egyelő hosszúk. E tételek csk beük szereplő meyiségek gyságredi (miőségi) összefüggéseiről dk felvilágosítást, számszerű viszoyokról, meyiségi összefüggésekről em. Ezeket következő tételek modják ki. 66

67 Kvtittív megállpítások: A trigoometrikus feldtokb leggykrbb hszált két tétel trtozik ide: sziusztétel és kosziusztétel. Tétel: Bármely háromszögbe z oldlk úgy ráylk egymáshoz, mit velük szemközti szögek sziuszi (sziusztétel). A szokásos jelölésekkel: : b: c= si α: si β : siγ vgy b c = =. siα siβ siγ Bizoyítás: Írjuk föl háromszög területét (két oldl szorozv bezárt szög sziuszávl és osztv kettővel) háromféleképpe! bsiγ bcsiα csiβ t = = = / 0 bc t siγ siα siβ = = = bc c b Mivel tételbe (és bizoyításb) szereplő összes meyiség pozitív, ezért vehetjük z egyelet reciprokát, s így tétel állítását kpjuk. // T: Bármely háromszögbe szokásos jelölésekkel kosziusztétel: - oldlr felírv: c = + b bcosγ ; + b c - szögre felírv: cosγ =. b Természetese bármely más oldlr és szögre lóg tételek igzk. (Derékszögű háromszög eseté Pitgorsz-tételt kpjuk.) Egy háromszög kkor dott, h ismerjük három, egymástól függetle dtát (hosszk, szögek). Emitt legtöbb, háromszögre votkozó geometrii feldtb három dt ismeretébe kell kiszámítuk háromszög további dtit. H z dott és keresett meyiségek két hosszúság és két szög, kkor sziusztételt írjuk fel (célszerűe z ismeretle meyiséggel kezdve bl oldli tört számlálójáb), h pedig három hosszúság és egy szög, kkor kosziusztételt szöggel szemközti oldlr. Alklmzások A mtemtiká belüli lklmzások mellett mid mi pig redkívül fotos és gykr hszált gykorlti életbe sziusz- és kosziusztétel. Elsődleges lklmzásuk földmérésbe és térképészetbe törtéik, k elleére, hogy m már redelkezésükre állk légi féyképek és GPS-koordiáták. Ezt z mgyrázz, hogy polgári életbe jeleleg ilye célr hszált műholdvevők potosság sok esetbe em éri el kellő szitet, 5-0 méteres hibhtárrl dolgozk. Speciális geodézii GPS-eszközökkel (két külöböző helye lévő vevő stb.) el lehet éri z - cetiméteres potosságot is, de ezek ige drágák és em is hozzáférhetők. Közműlgutk, megfelelő lejtésű eső- és szeyvízelvezető cstorák tervezéshez és kivitelezéséhez mi pig teodolitot hszáluk, és mért dtokból háromszögeléssel htározzuk meg keresett értékeket. 67

68 H elromlik áltláb lemerül! GPS-ük, z okostelefouk, kkor még midig ott v ekük térkép és tájoló, hogy zok segítségével htározzuk meg helyzetük, illetve követi kívát iráyt. Megjegyzés Ez tétel címe mitt trtlmilg ige kevés ismeretyg elmodását teszi lehetővé. Eze úgy lehet legikább segítei, h több tételt is bizoyítuk, vgy h egy tételre több bizoyítást is duk. Erre egy péld: Tétel: Bármely háromszögbe z oldl és vele szemközti szög sziuszák háydos álldó, háromszög köré írt köréek z átmérője ( sziusztétel egy, korább kimodottl ekvivles lkj). Bizoyítás: HÁJ! Az ABC köré írt körébe BCA = γ kerületi szög, ezért kerületi és középpoti szögek tétele mitt hozzátrtozó középpoti szög BOk A = γ. Mivel z ABO k egyelő szárú, ezért z AB oldlhoz trtozó mgsság felezi z AB oldlt és BOk A -et is. Így z ATO k c derékszögű -be si γ = c R = R, c melyet redezve R siγ =. A másik két szögre hsoló bizoyítuk. // E tétel fotos következméye, hogy háromszög területét így is számolhtjuk: c b bsiγ bc t = = R =. 4R 68

69 5. tétel: Egybevágósági trszformációk, lkztok egybevágóság. Szimmetri. Hsolósági trszformációk. Hsoló síkidomok kerülete és területe, hsoló testek felszíe és térfogt. A hsolóság lklmzási síkgeometrii tételek bizoyításáb. Egybevágóság D: Azokt függvéyeket, melyek értelmezési trtomáy és értékkészlete is pothlmz, geometrii trszformációk evezzük. P D eseté P f ( P): = P'. P-t ősek, P -et képek evezzük. f Eze függvéyek jellemzését számhlmzo értelmezett számértékű függvéyektől eltérő módo következő szempotok szerit végezzük: kölcsöös egyértelműség, szimmetri, fix- és ivriás lkztok, távolság-, szög- és körüljárásiiráy-trtás. Ezek közül egyet defiiálok: D: Az f geometrii trszformáció szimmetrikus, h P D eseté f ( f ( P)): = P'' = P. A geometrii trszformációk közül kiemelkedőe fotosk távolságtrtó leképezések. D: A távolságtrtó geometrii trszformációkt egybevágósági trszformációk evezzük. Eek segítségével tudjuk meghtározi z egybevágóság foglmát: D: Két síkidom (test) egybevágó, h v oly egybevágósági trszformáció, mely egyiket másikb viszi. A síkbeli egybevágósági trszformációk öt lpesete: tegelyes tükrözés, középpotos tükrözés, pot körüli forgtás, eltolás, idetitás (zoos leképezés). Az utolsó égy előállíthtó két tegelyes tükrözés szorztkét (egymás utái végrehjtáskét). Ez szorzási művelet (áltláb) em kommuttív! A térbeli egybevágósági trszformációk éháy lpesete: középpotos tükrözés, tegelyes tükrözés, síkr vló tükrözés, egyees körüli elforgtás, eltolás, idetitás. Néháy tétel z egybevágóságr: T: Két kör (gömb) egybevágó, h sugruk egyelő. T: Két sokszög egybevágó, h - megfelelő oldlik és átlóik párokét egyelők; vgy - megfelelő oldlik és szögeik párokét egyelők. A gykorltb ez utóbbit ehézkessége mitt em hszáljuk, célszerűe háromszögekre botjuk őket, és zok egybevágóságát bizoyítjuk. A háromszögek egybevágóságák lpesetei: T: Két háromszög egybevágó, h - megfelelő oldlik párokét egyelők; - két-két oldluk és z zok áltl bezárt szögek párokét egyelők; - két-két oldluk és hosszbbkkl szemközti szögek párokét egyelők; - egy oldluk és z zo fekvő két szög párokét egyelő. f 69

70 Szimmetri D: Egy síkidom (test) szimmetrikus, h v oly z idetitástól külöböző egybevágósági trszformáció, melyre ézve ivriás (ömg képe). Például: - tegelyese szimmetrikus síkidom: kör, egyelő szárú háromszög, égyzet, rombusz, deltoid, tégllp, húrtrpéz, szbályos sokszögek ( szimmetri tegellyel); - középpotos szimmetrikus síkidom: kör, prlelogrmm, oldlú szbályos sokszögek; - forgásszimmetrikus síkidom: kör, szbályos sokszögek. (Eltolásszimmetrikus síkidom em létezik!) Hsolóság D: Középpotos hsolóságk evezzük következő geometrii trszformációt: Adott egy O pot és egy λ 0 vlós szám ( hsolóság ráy). A tér mide egyes P potjához redeljük hozzá egy P potot következőképpe: - h P = O, kkor P = P; - h P O, kkor P z OP egyees zo potj, melyre OP' = λ OP, és h λ > 0, kkor P z OP félegyees potj, h λ < 0, kkor P-t és P -et O elválsztj egymástól. D: Egy középpotos hsolóság és egy egybevágósági trszformáció szorztát (egymás utái végrehjtását) hsolósági trszformációk evezzük. D: Két síkidom (test) hsoló, h v oly hsolósági trszformáció, mely egyiket másikb viszi Az egybevágóságál írt tételek lógiái hsolóság eseté: T: Két kör (gömb) hsoló. T: Két sokszög hsoló, h - megfelelő oldlik és átlóik ráy párokét egyelő; vgy - megfelelő oldlik ráy egyelő, és megfelelő szögeik párokét egyelők. A háromszögek hsolóságák lpesetei: T: Két háromszög hsoló, h - megfelelő oldlik ráy egyelő; - két-két oldluk ráy és z zok áltl bezárt szögek egyelők; - két-két oldluk ráy és hosszbbkkl szemközti szögek egyelők; - két szögük párokét egyelő. További három fotos tétel: T: Hsoló síkidomok kerületéek ráy hsolóság ráy. T: Hsoló síkidomok területéek (testek felszíéek) ráy hsolóság ráyák égyzete. T: Hsoló testek térfogták ráy hsolóság ráyák köbe. 70

71 A hsolóság lklmzási síkgeometrii tételek bizoyításáb A hsolósági bizoyítást igéylő tételek legtöbbje jól felismerhető o, hogy tétel állítás b= c dlkú, hol ; b; c és d szkszokt jelölek ( mérti közepes tételek is ide trtozk, lévé = bc = bc ). A bizoyítások közös voás, hogy megmuttjuk, égy szksz lkott két háromszögbe két-két szög párokét egyelő. Emitt két háromszög hsoló, és ezért megfelelő oldlk ráy megegyezik. Ezt átredezve kpjuk tétel állítását. Hogy melyik lesz két hsoló háromszög, zt z b= c d állítás átredezésével kpjuk: = d, hol és d z egyik háromszög oldli, és c és b másik c b háromszög megfelelő (egyelő szögekkel szemközti) oldli. A legfotosbb (legtöbbször hszált) hsolósági tételek következők: - háromszögbe külső és belső szögfelezőkre votkozó szögfelezőtételek; - pot körre votkozó htváy (három eset pot és körvol kölcsöös helyzetéek megfelelőe); - háromszög súlyvolir votkozó tétel; - háromszög Euler-egyeese; - háromszög Feuerbch-köre (kilec pot köre); - derékszögű háromszögbe mgsság- és befogótétel. A következőkbe egy áltlm gyo kedvelt tételt fogok bizoyíti (976-b, végzésemkor ez volt közös érettségi-felvételi írásbeli vizsg 8., utolsó feldt). Tétel: Bármely háromszögbe mgsságpot mgsságokt két oly szkszr botj, melyek szorzt függetle válsztott mgsságtól. Bizoyítás: A tétel állítás MA MT = MB MTb = MC MT. c Három esetet vizsgáluk, derékszögű, hegyesszögű és tompszögű háromszögeket. () Derékszögű háromszög eseté mgsságpot és derékszögű csúcs egybeesik, ezért tételbe szereplő szorztok mide mgsságr ézve 0-t dk eredméyül. () Hegyesszögű háromszög eseté hszáljuk z ábr jelöléseit! Az MATc CMT, mert két-két szögük párokét egyelő: - midkettőek v derékszöge; - z egyíves szögek csúcsszögek. A hsolóság ráy MA MT λ = c MC =, melyből redezés MT utá MA MT = MC MT. c Másik két mgsságr ézve hsoló módo kpjuk, hogy MA MT = MB MT, zz b MA MT = MB MTb = MC MT. c 7

72 (3) Tompszögű háromszög eseté ugyígy bizoyítuk: Ebbe z esetbe z egyíves szögek zért egyelők, mert midkette pótszögei BCM - ek BCT -be, illetve CMT -be. // c (Megjegyzés: A tételbe levő szorztok értékét, pot körre votkozó htváyához hsoló, szokás előjellel elláti: hegyesszögű háromszögbe egtív, tompszögűbe pozitív, k megfelelőe, milye szkszokból képzett vektorok skláris szorzt lee.) Alklmzások: Az egybevágóságot és hsolóságot geometrii tételek bizoyításá túl elsősorb szerkesztésekél hszáljuk. Redkívül szépek hsolósági szerkesztést igéylő feldtok, például: szerkesszük háromszöget, h dott három mgsság. A hsolóságot gykr hszáljuk terület-, felszí- és térfogtszámításál is, redkívül leegyszerűsítheti feldtok megoldását. A hétközpi gykorltb hsolóságot lklmzuk mgs tárgyk (épületek, fák stb.) mgsságák meghtározásához. További fotos felhszálási területe térképészet, illetve külöböző dolgokról készült tervrjzok készítése (épületek terv- és lprjz, kiürítési tervek, külöböző gépek, gépelemek műszki rjz stb.) A csillgászti távolságok meghtározásáb is fotos szerepe v-volt, hsolóság segítségével htározt meg i. e. 75-be Ertosztheész Föld kerületét. 7

73 6. tétel: Kovex sokszögek tuljdosági. Szbályos sokszögek. Gráfok. D: Azokt síkidomokt, melyeket véges sok, egymáshoz cstlkozó szksz lkott zárt görbe (zárt töröttvol) htárol, sokszögek (poligok) evezzük. A szkszokt oldlkk, ezek tlálkozási potjit csúcsokk evezzük. D: Egyszerű sokszögek evezzük z oly sokszögeket, melyek oldli em keresztezik egymást. (A középiskoláb csk ilyeekkel fogllkozuk.) A sokszögeket sokféle szempot szerit osztályozhtjuk, ezek közül éháy: () oldlszám: áltláb ez z elsődleges oldlú sokszög ( 3 ); () kovexitás: kovex, h mide belső szöge kovex, kokáv, h v kokáv szöge; (3) szimmetri: vk tegelyese szimmetrikus, középpotos szimmetrikus és forgásszimmetrikus sokszögek. (4) egyéb: éritő-, illetve húrsokszögek (meyibe v beírt, illetve körül írt körük). A kovex sokszögek tuljdosági közül legfotosbbk: T: Az oldlú kovex sokszög belső szögeiek összege ( ) T: Az oldlú kovex sokszög külső szögeiek összege 360. T: Az oldlú kovex sokszög átlóik szám ( 3). 80 A feti tételek egyszerűe bizoyíthtók sokszögek háromszögekre drbolásávl, illetve kombitorikus módo (vgy teljes idukcióvl). Az áltláos sokszögek területét háromszögekre botássl szoktuk kiszámoli, terület dditív tuljdoság lpjá.. Szbályos sokszögek D: Azokt sokszögeket, melyekek mide oldl és mide szöge egyelő, szbályos sokszögek evezzük. A szbályos sokszögek forgásszimmetrikusk, ezért egymássl egybevágó, egyelő szárú háromszögekre bothtók. Eek lpjá: T: Az oldlú, oldlhosszúságú szbályos sokszög kerülete k=. 80 ctg Tétel: Az oldlú, oldlhosszúságú szbályos sokszög területe t = 4. Bizoyítás: Az oldlú szbályos sokszög csúcspotjit körül írt kör középpotjávl összekötve drb egymássl egybevágó, egyelő szárú háromszöget kpuk. HÁJ! 73

74 Mivel z egyelő szárú háromszög mgsság felezi z lpot és szárszöget is, ezért 80 r ctg =, ho r 80 = ctg Ie egy háromszög területe: t m r 80 4 ctg = = =. Ie z oldlú szbályos sokszög területe:. 80 ctg t = 4. // A terület feti ábr segítségével kifejezhető beírt (r) és körül írt (R) kör sugrávl is. 360 R si 80 T: t = r tg = Gráfok A gráfelmélet mtemtik (eze belül kombitorik) egyik legfitlbb és legjobb fejlődő ág, k elleére, hogy z első, végsősoro gráfelméleti problémák már több ezer évesek (huszárvádorlás-problém stb.), első mtemtik megjeleése Leohrd Euler evéhez köthető, köigsbergi hidk problémáják vizsgáltávl. Fejlődéséhez jeletős mértékbe járultk hozzá mgyr mtemtikusok, z első gráfelméleti köyv szerzője Kőig Dées volt (936). D: A gráf dolgok (csomópotok, csúcsok) és rjtuk értelmezett összeköttetések (élek) hlmz. Egy gráfot megdhtuk csúcsik és éleiek felsorolásávl, vgy szemléletesebbe egy digrm (rjz, gráf) formájáb, hol potok felelek meg gráf csúcsik, z őket összekötő ívek pedig z élekek. A két megdási mód ekvivles, zz gráf pusztá egy struktúr, semmilye megjeleítési iformációt em trtlmz, így külöböző digrmok is trtozhtk ugyhhoz gráfhoz. D: Két gráfot izomorfk evezük, h potjik és éleik kölcsööse egyértelműe és illeszkedéstrtó megfeleltethetők egymásk. Alpértelmezésbe gráf iráyíttl, zz em teszük külöbséget z A-ból B-be, illetve B-ből A-b meő élek között. Ezzel szembe z iráyított gráfokb két iráyk iráyított élek felelek meg. (Az iráyított gráfokr jó péld z várostérkép {vigációs szoftverek}, hol jelölik z egyiráyú utcákt.) 74

75 Szité lpértelmezésbe, gráf csúcsi címkézettek, zz meg lehet külöbözteti őket. Bizoyos problémák zob köyebbe kezelhetők, h em külöböztetjük meg csúcspotokt. Persze egyegy csúcspot így is megkülöböztethető mrdht egyéb jellemzőik lpjá, mit például vele szomszédos csúcsok szám. Hsoló, gráf élei lpértelmezésbe címkézettek, de előfordulht hogy ezt em követeljük meg. Az oly gráfok, mikbe sem csúcspotok, sem z élek em címkézettek, címkézetle gráfok. D: Az egy csúcsot ömgávl összekötő élt hurokélek evezzük. D: H két csúcsot több él is összeköt, kkor zokt többszörös élekek evezzük. D: Egy csúcspot fokszám rá illeszkedő élek szám. H ez ull (zz z dott csúcsr em illeszkedik él), kkor csúcs izolált. T: Bármely gráfb fokszámok összege z élek számák kétszerese. (Fokszámtétel. Ezzel ekvivles megfoglmzás: bármely gráfb pártl fokszámú potok szám páros.) D: Az út élek egymáshoz cstlkozó sorozt, mely egy csúcsot legfeljebb egyszer trtlmz. D: A kör élek oly egymáshoz cstlkozó sorozt, mely záródik (zz z utolsó és z első élek v közös végpotj), és ics ismétlődő csúcs. D: Egy gráfot összefüggőek evezük, h bármely két külöböző csúcs között hld út. D: Azokt gráfokt, melyekbe ics hurokél, és icseek többszörös élek, egyszerű gráfk evezzük. D: Az oly egyszerű gráfot, melybe bármely potból bármely tőle külöböző potb vezet él, teljes gráfk evezzük. T: Az potú teljes gráf éleiek szám ( ) D: H egy gráf összefüggő, és em trtlmz kört, kkor zt fák evezzük. A fgráfokr több tételt is kimoduk: T: A f bármely két potját egyetle út köti össze. T: Egy fák bármely élét elhgyv már em összefüggő gráfot kpuk. T: H egy fák bármely két oly potját összekötjük, melyek eddig em voltk összekötve, kkor gráfb már lesz kör. T: Mide többpotú fák ( ) v elsőfokú potj. T: Az potú fák éle v. Néháy további fotos meghtározás: D: A Hmilto-kör egy, gráf mide csúcsá potos egyszer áthldó kör. D: Az Euler-kör egy, gráf mide élé potos egyszer áthldó kör. D: A G egyszerű gráf H komplemetere oly gráf, melyek csúcsi megegyezek G csúcsivl, és két csúcs között potos kkor v él, h G-be em volt. 75

76 Alklmzások A gykorlti életbe hszált tárgyik jeletős része vgy kör lpú, vgy szbályos sokszög lpú test, ezek felszíéek, illetve térfogták meghtározás lpkövetelméy. Sok kombitorikuskészség- és szemléletfejlesztő játék hszál sokszögeket, ilyeek például Tgrm vgy polioimók. Ezek Wllce Bolyi Gerwie-tétele lpszk (z egyelő területű sokszögek átdrbolhtók egymásb). Sokféle hétközpi feldt megoldás (mtemtiki modellje) gráfelméleti problémár vezet, éháy ezek közül: - miimális költségű hálózt (víz, villy, út stb.) kiépítése (miimális feszítő f); - térképek szíezése (ötszí-tétel, égyszí-tétel); - z utzó ügyök problémáj; - közösségek szociológii vizsgált stb. A XXI. százdr egy ehhez kpcsolódó új tudomáyág is kilkult: hálóztelmélet. Ebbe szité gy szerepe volt mgyr tudósokk (Brbási Albert László, Albert Rék, Lovász László). Akit e kérdés bővebbe is érdekel, itt további részleteket tlál. Megjegyzés: Az áltlm bizoyított tétel helyett bármely másik is válszthtó, de mgm részéről zokt bizoyításokt még eél is egyszerűbbek vélem... 76

77 7. tétel: A kör és részei. Kerületi szög, középpoti szög, látószög. Húrégyszögek, éritőégyszögek. D: A kör zo potok hlmz síkb, melyek egy dott pottól (középpot) dott távolságr (sugár) vk. A defiícióból kitűik, hogy () kör megevezés körvolt jeleti. Gykr sík körvol htárolt részét is körek evezzük (például, mikor kör területéről beszélük), zob eek potos megevezése körlemez vgy körlp, mely lehet zárt vgy yitott, ttól függőe, hogy körvol hozzátrtozik vgy sem; () kör középpotj em trtozik körhöz; (3) sík zo potji, melyek távolság középpottól sugárál kisebb, körvol belsejébe vk, zok pedig, melyek távolság középpottól sugárál gyobb, körvolo kívül. A síkb egy körek és egy egyeesek 0, vgy közös potj lehet. D: Azt egyeest, melyek ics közös potj körrel, elkerülő egyeesek evezzük. D: Azt z egyeest, melyek egy közös potj v körrel, éritőek evezzük, közös potot pedig éritési potk. D: Azt z egyeest, melyek két közös potj v körrel, kör szelőjéek evezzük. D: A körvolt közös potok két körívre botják, jelölésük AB és BA, pozitív forgásiráyk megfelelőe. D: A körív végpotjib húzott sugrk szögét körívhez trtozó középpoti szögek evezzük. D: A kör szelőjéek közös potok közti szkszát kör húrják evezzük. D: A kör középpotját trtlmzó húrokt kör átmérőjéek evezzük (z átmérő hossz sugár kétszerese). D: A körlpot szelő két körszeletre botj. D: A körív és z ív végpotjib húzott sugrk meghtározt síkidomot körcikkek evezzük. D: Az zoos középpotú köröket kocetrikus (vgy egyközepű) körökek evezzük. D: A két kocetrikus kör (körcikk) közrefogt síkidomot körgyűrűek (körgyűrűcikkek) evezzük. T: A kör bármely potjáb potos egy éritő húzhtó körhöz, z éritő és z éritési potb húzott sugár merőleges egymásr. T: Bármely körbe körvol hosszák ( kör kerülete) és kör átmérőjéek háydos álldó. Az álldót π-vel jelöljük, értéke égy jegy potossággl 3,4. k= πr. 77

78 π πd T: Bármely körbe kör területéek és kör átmérője égyzetéek háydos. t= = r π. 4 4 T: Egy körbe középpoti szögek ráy megegyezik hozzájuk trtozó ívek hosszávl és hozzájuk trtozó körcikkek területével. rπα E három tétel felhszálásávl kör dott ívéek hossz i= rα =, dott körcikkéek területe 80 ri r α r πα tkc = = =, hol r kör sugr, α, illetve α z ívhez (körcikkhez) trtozó középpoti 360 szög gyság rdiáb, illetve fokb mérve. Körszeletek kerületét körív és húr hosszák összegekét kpjuk, területüket pedig körcikk és z OAB, ú. középpoti háromszög területére vezetjük vissz. Kerületi és középpoti szögek D: H egy kovex szög csúcs illeszkedik egy körre, szári pedig kör egy-egy húrjár, kkor szöget kerületi szögek evezzük. A körvolk kerületi szög szári közé eső részét kerületi szöghöz trtozó ívek evezzük, ilye értelembe beszélük dott ívhez trtozó vgy dott íve yugvó kerületi szögről, melyet áltláb β-vl jelölük. D: A kör egy húrják és húrvégpotb körhöz húzott éritőek szögét éritő szárú kerületi szögek evezzük. Tétel: Adott körbe dott ívhez trtozó középpoti szög midig kétszerese z ívhez trtozó kerületi szögek. Bizoyítás: A bizoyításb égy esetet vizsgáluk. Hszáljuk z ábrák jelöléseit! 78 () A kör középpotj illeszkedik kerületi szög egyik szárár: Ebbe z esetbe POB háromszög egyelő szárú, mert két oldl kör sugr. Ezért lpo fekvő, β-vl jelölt szögei egyelő gyok. Az ívhez trtozó α középpoti szög eek háromszögek külső szöge, mely em mellette fekvő két belső szög összegével egyelő, tehát α = β. () A kör középpotj kerületi szög belsejébe v: Ebbe z esetbe húzzuk be PO egyeest! Ez z egyees kerületi és középpoti szöget is két-két oly részre vágj, melyekek összege, továbbá ezek z ()- ek megfelelő szögek. Emitt (3) A kör középpotj kerületi szögö kívül v: ( ) α = α + α = β + β = β + β = β.

79 Ebbe z esetbe is húzzuk be PO egyeest! Ekkor két oly új kerületi és középpoti szög jö létre, melyekek tételbe szereplő szögek külöbségei, továbbá ezek z ()-ek megfelelő szögek. Emitt ( ) α = α α = β β = β β = β. (4) Éritő szárú kerületi szög eseté három esetet külöböztetük meg: β < 90 ; β = 90 és β > 90. Legye először β < 90! Húzzuk be z ABO egyelő szárú háromszög lphoz trtozó mgsságát, mely felezi z ívhez trtozó α középpoti szöget! Mivel z éritő merőleges z éritési potb húzott sugárr, ezért z éritő szárú kerületi szög és z AOT merőleges szárú szögek, így egyelők. Tehát α = β. β = 90 eseté z AB húr egybe átmérő is, így teljesül tétel állítás. β > 90 eseté z AOB egyelő szárú háromszög lpo fekvő szögei β 90 gyságúk, így z AOB = 80 ( β 90 ) = 360 β. Ebből már következik, hogy z AB -hez trtozó középpoti szög gyság β (ábr következő oldlo). 79

80 Tehát tétel állítását z összes lehetséges esetre beláttuk. // E tétel közvetle következméyei: T: Adott körbe z zoos íve yugvó kerületi szögek egyelők. T: Azoos sugrú körökbe z ugyoly hosszú íveke yugvó kerületi szögek egyelők. Látószög, látókörív A látószög hétközpi értelmezése: legkisebb oly szög, mekkorár szemüket ki kell yituk hhoz, hogy ézett tárgyt éppe lássuk, hogy beleférje látómezőkbe. D: Egy síkidom látószögé z dott potból síkidomhoz húzhtó éritők (egy közös potú vgy szkszú egyeesek) szögét értjük. D: Adott síkb egy AB szksz és egy P pot. H APB = α AB szksz α szögbe látszik. Szemléletese:, kkor zt modjuk, hogy P potból z T: Azo potok hlmz síkb, melyekből sík egy dott AB szksz dott α (0 < α < 80 ) szögbe látszik, két, z AB egyeesére szimmetrikus elhelyezkedő yílt körív. 80

81 A látószögkörívek lkj szög gyságától függ: Derékszög eseté Thlész tételét és megfordítását kpjuk. Látókörívet z éritő szárú kerületi szög segítségével szerkesztük. Húrégyszögek D: Az ABCD égyszög húrégyszög, h csúcsi egy körre illeszkedek. T: Egy égyszög kkor és csk kkor húrégyszög, h szemközti szögeiek összege 80 o. Három húrégyszögekre votkozó evezetes tétel: T: Bármely húrégyszögbe szemközti oldlk szorzták összege z átlók szorztávl egyelő (Ptolemiosz tétele): ef = c + bd. T: A húrégyszög területe t= ( s )( s b)( s c)( s d), hol ; b; c; d + b+ c+ d húrégyszög oldli és s =, húrégyszög félkerülete (Brhmgupt tétele). T: Egy trpéz kkor és csk kkor szimmetrikus trpéz, h húrégyszög (húrtrpéz). D: Egy sokszöget húrsokszögek evezük, h csúcsi egy körre illeszkedek. T: A szbályos sokszögek húrsokszögek. 8

82 Éritőégyszögek D: Azokt égyszögeket, melyekek v beírhtó körük, éritőégyszögek evezzük. T: Egy kovex égyszög kkor és csk kkor éritőégyszög, h szemközti oldlik összege egyelő, + c = b + d. D: Egy sokszöget éritősokszögek evezük, h v beírhtó köre. T: A szbályos sokszögek éritősokszögek. Alklmzások A mtemtiká belüli lklmzások közé vehetjük kúpok, csok kúpok plástják kiszámítását stb. A kör és részei kiszámításák számtl felhszálási területe v mechiki eszközök és gépek tervezése sorá: lácos és kúpos fogskerékáttétek, szíjhjtások, dugttyúk holtpotják kiegyesúlyozás (gőzgépek hjtott kerekeiek lkj). Idesorolhtjuk még z lsó- és felsőpályás hidk trtóelemei hosszák meghtározását, külöböző építészeti megoldások (boltívek, kupolák stb.) tervezését is. Szíházk, mozik, külöböző redezvéytermek tervezéséél tekitettel kell leük megfelelő, miél gyobb látószög elérésére, jegyárk meghtározáskor célszerű ezt is figyelembe vei. 8

83 8. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbotási tétel. Vektorok koordiátái. Skláris szorzt. A vektorok bevezetésére elsősorb fiziki problémák megoldás srkllt mtemtikusokt és fizikusokt. Idetrtozik mozgások kiemtiki (elmozdulás, sebesség, gyorsulás) és dimiki (erő, ledület, forgtóyomték, perdület) leírás. A mező foglmák kilkulás is szoros összefügg z elektromos, mágeses és grvitációs térerősség jellemzésével. A vektorok mtemtiki eszköztáruk egyik gyo fotos eszközét jeletik, foglmukt zob csk komoly elvotkozttás utá tudjuk megdi (bővebbe. számú kiegészítésbe). Középiskoláb még szemléletes meghtározásál mrduk: D: Az iráyított szkszokt vektorokk evezzük. A szksz ttól iráyított, hogy v kezdő- és végpotj. Jelölésük: ; ; ; PQ. D: Azokt vektorokt, melyek kezdőpotj sík ( tér) egy rögzített O potj, helyvektork evezzük. A em helyvektorokt szbd vektork evezzük. A vektorokt két meyiséggel tudjuk, kell jellemezük: hosszukkl és z iráyukkl. A vektorok hosszát bszolútérték-jellel jelöljük: ; ; PQ. Ezért vektor hossz, gyság és bszolút értéke ugyzt foglmt jeleti. A vektorok iráyát egy rögzített félegyeeshez (iráyvektorhoz) viszoyítv htározzuk meg. D: A ull hosszúságú vektort ullvektork evezzük, jele 0; 0 vgy 0, iráy tetszőleges. A ullvektor mit iráyított szksz kezdő- és végpotj megegyezik. A tetszőleges iráy yit tesz, hogy midig yi, meyi szükséges: 0 lehet párhuzmos és merőleges is egy másik vektorhoz viszoyítv. D: Két vektort egyelőek moduk, h hosszuk és iráyuk megegyezik. D: Két vektor egymás elletettje, h hosszuk megegyezik, iráyuk pedig elletétes. Az elletettje -. D: Két (em ull) vektor szögé következőt értjük: - h iráyuk megegyezik, kkor szögük 0 o ; - h iráyuk elletétes, kkor szögük 80 o ; - mide más esetbe két vektor iráy áltl meghtározott két szög közül kisebb. Műveletek vektorokkl A vektorok között műveleteket értelmezük. D: Az és b összegé zt vektort értjük, melyet úgy kpuk meg, hogy z végpotjáb ömgávl párhuzmos eltoljuk b kezdőpotját, mjd vesszük z kezdőpotjából z eltolt b végpotjáb muttó iráyított szkszt. 83

84 Ezzel módszerrel egyszerre több vektort is össze tuduk di, lácb fűzve zokt. D: Az és b külöbségé zt c vektort értjük, melyre = b + c. Ezzel ekvivles z defiíció, hogy z -hoz hozzádjuk b elletettjét. Nyilvá b és b egymás elletettjei, továbbá h z A és B potb muttó helyvektorok és b, kkor AB = b. Két (em párhuzmos és em ull) vektor összegét és külöbségét megkphtjuk prlelogrmmmódszerrel is: Két vektor közös kezdőpotból felmérve kifeszít egy prlelogrmmát. A prlelogrmm közös kezdőpotból iduló átlój két vektor összege, másik átlój két vektor külöbsége, mely kisebbítedőbe mutt. A vektorösszedás műveleti tuljdosági: T: Bármely ; b és c vektorr () kommuttív: + b = b + ; () sszocitív: ( + b) + c = + (b + c). Defiiáljuk vektor szorzását vlós számml: D: Tetszőleges vektor és k szám eseté k > 0 eseté z vektor, melyek hossz k és iráy -vl megegyező; k : = k = 0 eseté 0; k < 0 eseté z vektor, melyek hossz k és iráy -vl elletétes. A vektorok számml szorzásák tuljdosági: T: Bármely ; b vektor és kl ; szám eseté: () ( kl) = k( l ) ; () k + l = ( k+ l) (3) k + k = k( + ) és b b. Vektor felbotás összetevőkre, vektor koordiátái Legyeek z S síkb és b em egyiráyú (és em ull) vektorok. 84

85 T: Az S sík bármely c vektorához létezik oly egyértelműe meghtározott c és c vlós szám, hogy c= c + c b. D: A cés cb vektorokt c vektor, illetve b iráyú összetevőiek evezzük. H tételbe szereplő és b vektorok z S sík helyvektori, kkor ezek bázisredszer lkotk, melyre egy koordiát-redszer építhető. H = b = és b, kkor ezek ortoormált bázisredszert (orto=merőleges, ormált=egységyi hosszú) lkotk ilye z áltluk hszált Descrtes-féle koordiát-redszer. A Descrtes-féle koordiát-redszer bázisvektorit i-vel (x iráyú) és j-vel (y iráyú) jelöljük. A vektorfelbotási tétel mitt bármely vektor eseté = i+ j, hol és egyértelműe meghtározott vlós számok. D: Az és számokt z vektor koordiátáik evezzük, jelbe ( ; ); -et bszcisszák, -t ordiáták evezzük. Térbe vizsgálv vektorokt, z tegely iráyú egységvektort k-vl jelöljük, koordiát eve pplikát. A vektor hosszár ézve pedig: T: Bármely ( ; ) vektor eseté ( ) ; = +. A vektorkoordiáták segítségével köye elvégezhetők műveletek is: T: Bármely ( ; ); b(b ; b ) vektor és k szám eseté: () ( ; ) ± ( b; b) = ( ± )( ± b; ± b) () k( ; ) = ( k )( k ; k ). b b ; A koordiátgeometriáb gykr v szükségük rr, hogy egy vektort 90 o -kl elforgssuk (felírjuk egy rá merőleges vektort), ez köye megtehető koordiáták segítségével: T: Bármely ( ; ) vektor eseté () ( ; ) vektor +90 o -os elforgtottj '( ; ) ; () ( ; ) vektor -90 o -os elforgtottj ( ) '' ;. Vektorok skláris szorzt Szité fiziki problémák például muk (erő x elmozdulás) kiszámítás tette szükségessé, hogy két vektor szorztát is értelmezzük. D: Az és b vektorok skláris szorztá z b cos ( b ; ) vlós számot értjük. (A skláris szorzt vlójáb em tekithető hgyomáyos értelembe vett műveletek, mert eredméye kivezet bból hlmzból, melye értelmezzük: két szám összege, külöbsége, szorzt 85

86 is szám, hogy két vektor összege és külöbsége is vektor ezzel elletétbe két vektor skláris szorzt számot d eredméyül.) A skláris szorzt tuljdosági: T: Bármely ; b és c vektor és k szám eseté: () b = b (kommuttív); () k( b) = ( k) b = ( kb ) ; (3) ( ± b) c = c ± bc (disztributív z összedásr és kivoásr ézve). Skláris szorzt eseté z sszocitív tuljdoság ( ( b ) c= ( bc ) ) em értelmezhető, mert bee szereplő két szorzás em ugyzt műveletet jeleti: bl oldlo zárójelbe skláris szorzt, zárójel utá pedig vektor szorzás számml szerepel. Az egyelőség egyébkét áltláb em is áll fe, mert bl oldl egy c-vel párhuzmos vektort, jobb pedig egy -vl párhuzmos vektort eredméyez. Az egyik leggykrbb hszált, skláris szorztr votkozó tétel: T: Két vektor kkor és csk kkor merőleges egymásr, h skláris szorztuk 0. A skláris szorztot köyű kiszámíti vektorok koordiátáiból: Tétel: Bármely ( ; ); b(b ; b ) vektor eseté b = b + b. Bizoyítás: Felhszálv, hogy skláris szorzt disztributív z összedásr ézve, továbbá vektorműveletekre érvéyes tételeket: ( ; ) ( b ; b ) ( )( b b ) ( )( b ) ( )( b ) ( )( b ) ( )( b ) b = i+ j i+ j = i i + i j + j i + j j = = bii+ bij+ bji + bjj. i j ij ji, továbbá ii = i i cos0 = = és jj = hsoló. Mivel ezért = = 0 ( ) ( ) ; b b; b = b + b. // Térbeli vektorok eseté hsoló kpjuk, hogy ( ) b ( ) Ezért ; ; b; b; b = b + b + b Ez tétel lehetővé teszi, hogy egyszerűe és gyors meghtározzuk két vektor vgy (ormálvektorik felhszálásávl) két egyees hjlásszögét: ( ; ) ( b; b) ( ; ) ( b; b) cos ( ; ) ( ; ) b( b; b) b b b = b b ( ; ) b( b; b) cos ( b ; ) = b + b. = + Amelyből ( b) b + b b + b cos ; = =. ( ; ) b( b; b) + b + b 86

87 Alklmzások Vektorok segítségével köye bizoyíthtók elemi geometrii tételek (súlypot, mgsságpottl kpcsoltos tételek, szögfelezőtétel stb.), de legfotosbb felhszálási területük középiskoláb koordiát-geometri (egyeesek egyeletéek felírás, éritő meghtározás stb.). A legfotosbb fiziki lklmzásokt már említettem, z iformtikáb pedig leggykrbb képábrázolási és -szerkesztési eljárásokb hszáljuk (vektorgrfik). 87

88 9. tétel: Szkszok és egyeesek koordiátsíko. Párhuzmos és merőleges egyeesek. Elsőfokú egyelőtleségek, egyeletredszerek grfikus megoldás. Szkszt koordiátsíko (-térbe, és áltláb is) két végpotják megdásávl duk meg. D: A koordiátsíko (-térbe) z origóból egy dott potb muttó vektort z dott pot helyvektorák evezzük, és koordiátái végpot koordiátáit értjük. A( ; ) ( ; ) T: Az A ( ; ) és Bb ( ; b ) potok meghtározt szksz hossz AB = AB( b ; b ) = b + b ( ) ( ) T: Az A ( ; ) és Bb ( ; b ) potok meghtározt szksz felezőpotják koordiátái. F AB + b + b ; Tétel: Az A ( ; ) és Bb ( ; b ) potok meghtározt szkszt k : l ráyb osztó P pot koordiátái: l+ kb l+ kb P ;. k+ l k+ l Bizoyítás: HÁJ! Ekkor p = + AP k k( b ) k( b ) k( b ) k( b ) AP = AB AP ; p = ( ; ) + AP ;, k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l AB = b = AB( b ; b ) ho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k b k b k+ l k b k+ l k b l+ kb l+ kb p= p + ; + = p + ; + = p ;, k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l melyből l+ kb l+ kb P ;. // k+ l k+ l Az egyees és egyeletei 88

89 A koordiátsíko egy egyeest következő dtokkl szoktuk megdi: - két potjávl; - egy potjávl és egy, z egyeesre merőleges vektorrl (ormálvektor); - egy potjávl és egy, z egyeessel párhuzmos vektorrl (iráyvektor); - egy potjávl és z egyees x tegellyel bezárt iráyszögével vgy meredekségével. D: Az iráyszög tgesét h létezik z egyees iráytgeséek vgy meredekségéek evezzük. D: Görbe egyeletéek zt z egyeletet evezzük, melyek gyökei és görbe potjik koordiátái között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés v. Tétel: A P ( x ; y ) poto átmeő, ( ; ) AB ormálvektorú egyees egyelete Ax By Ax0 By0 P e PP PP = + = +. Bizoyítás: P legye z e egyees egy tetszőleges potj! Felírv vektorok koordiátáit, lklmzv koordiátáivl dott vektorok skláris szorzták kiszámításár votkozó összefüggést, és redezve kpott egyeletet, tétel állítását kpjuk. // Tétel: A P ( x ; y ) poto átmeő, ( ; ) Bizoyítás: A ( ; ) koordiátái v ( ; v) v v v iráyvektorú egyees egyelete vx vy vx 0 vy 0 =. v v v iráyvektort kl elforgtv z egyees egy ormálvektorát kpjuk, eek. Ezt beírv z egyees ormálvektoros egyeletébe tétel állítását kpjuk. // Két poto átmeő egyees egyeletét úgy írjuk föl, hogy először két potot összekötő vektort htározzuk meg (ez iráyvektor lesz), mjd eek segítségével felírjuk z egyees iráyvektoros egyeletét. v v ; v, v 0 iráyvektorú egyees meredeksége v T: A ( ) Így z egyees iráyvektoros egyeletéből kpjuk, hogy m =. v T: A P ( x ; y ) poto átmeő, m meredekségű egyees egyelete y y m( x x ) =. 0 0 Párhuzmos és merőleges egyeesek koordiátsíkb Legye e és f két egyees z xy koordiátsíkb. Ekkor szokásos jelölésekkel: T: ( ) ( ) e = k f, k \ 0 e f = 0 e f ve = k vf, k \ 0 e f ve vf = 0 me = mf me mf = E tételek állítási yilvávló következek korább megdott defiíciókból és tételekből. Elsőfokú egyelőtleségek, egyeletredszerek grfikus megoldás A kétismeretlees elsőfokú egyelőtleségek áltláos lkj x + by + c < / / / > 0, ; b; c. 89

90 Ezek megoldáshlmzát koordiátsíko köye tudjuk ábrázoli. - Ábrázoljuk z x + by + c = 0 egyeletű egyeest. - A b 0 esetbe megoldáshlmzt koordiátsíkk z egyees ltti vgy feletti yitott vgy zárt félsíkj potji lkotják; - A b = 0 esetbe megoldáshlmzt koordiátsíkk z egyees bl vgy jobb oldlá lévő yitott vgy zárt félsíkj potji lkotják. A kétismeretlees elsőfokú egyeletredszerek áltláos lkj x + by + c = 0 dx + ey + f = 0, hol bcde ; ; ; ; ; f. Az egyeletredszer grfikus megoldás sorá ábrázoljuk két egyelethez trtozó egyeeseket, és két egyees grfikoj metszéspotják koordiátái dják z egyeletredszer gyökét. Optimális esetbe metszéspot koordiátái leolvshtók z ábráról, külöbe kéyteleek vgyuk z egyeletredszert lgebri úto megoldi. H két egyeesek ics metszéspotj (párhuzmosk), kkor z egyeletredszerek ics gyöke. H két egyees egybeesik, kkor z egyeletredszerek végtele sok gyöke v. Alklmzások Legtöbbször elemi geometrii feldtok, tételek koordiátgeometrii megoldás, bizoyítás sorá hszáljuk fetieket. A gykorlti életbe elsősorb költség-hszo elemzésekre, lieáris progrmozási feldtok megoldásár hszáljuk e módszert. Normálvektor em csk egyeesekek v: bármely görbe vgy felület dott potbeli ormálvektorá potb görbe éritőjére, illetve felület éritősíkjár állított merőleges vektort értjük. 90

91 0. tétel: A kör és prbol elemi úto és koordiátsíko. Kör és egyees, prbol és egyees kölcsöös helyzete. Másodfokú egyelőtleségek grfikus megoldás. A égy kúpszelet (kör, ellipszis, prbol és hiperbol) közül kör és prbol vizsgált elsősorb sok mtemtiki, csillgászti és fiziki lklmzásuk mitt már görög mtemtikáb is kiemelt szerepet játszott (külööse pergi Apollóiosz fogllkozott vele sokt), ez tette idokolttá koordiátgeometrii vizsgáltukt is. Kúpszeletet kkor kpuk, h egy végtele forgáskúp-plástot egy síkkl elmetszük. A sík tegelyhez (illetve lkotóhoz) viszoyított helyzetétől függőe kört vgy ellipszist vgy prbolát vgy hiperbolát yerük. A kúpszeleteket távolsággl jellemzett mérti helykét is megdhtjuk: T: Azo potok hlmz síkb, melyek dott távolságr vk sík egy dott potjától, kör. (Az dott pot kör középpotj, z dott távolság kör sugr.) T: Azo potok hlmz síkb, melyek távolságák összege sík két dott potjától két pot távolságáál gyobb álldó, z ellipszis. T: Azo potok hlmz síkb, melyek egyelő távolságr vk sík egy egyeesétől és egy rr em illeszkedő pottól, prbol. (Az dott egyees prbol vezéregyeese (direktrixe), z dott pot prbol fókuszpotj, z egyees és pot távolság pedig prbol prmétere.) T: Azo potok hlmz síkb, melyek távolságák külöbsége sík két dott potjától két pot távolságáál kisebb álldó, hiperbol. Kúpszeletek koordiátsíko: D: Görbe egyeletéek zt z egyeletet evezzük, melyek gyökei és görbe potjik koordiátái között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés v. x u + y v = r. T: Az xy koordiátsíkb C(u; v) középpotú, r sugrú kör egyelete: ( ) ( ) A kör defiíciójából következőe körvol htárolt síkrész belső potjik koordiátáir x u y v r x u + y v > r. ( ) + ( ) <, míg körvolo kívüli potok koordiátáir ( ) ( ) A köregyeletbe zárójeleket felbotv és ullár redezve oly kétismeretlees másodfokú egyeletet kpuk, melybe égyzetek együtthtój megegyezik, és ics bee xy-os tg. 9

92 Fordítv: Az x + y + bx + cy + d = 0 ( ; b; c; d, 0) lkú kétismeretlees másodfokú egyelet d (teljes égyzetté lkítássl meghtározhtó) értékétől függőe vgy egy köregyelet, vgy ú. ull- vgy képzetes kör egyelete. T: Azo potok hlmz síkb, melyek egyelő távolságr vk sík egy egyeesétől és egy rr em illeszkedő pottól, prbol. (Az dott egyees prbol vezéregyeese (direktrixe), z dott pot prbol fókuszpotj, z egyees és pot távolság pedig prbol prmétere.) D: A fókuszpot és vezéregyees távolságát felező potot prbol csúcspotják evezzük ( sík dott tuljdoságú potji közül ez v legközelebb midkettőhöz). Középiskoláb csk oly prbolák egyeletével fogllkozuk, melyek tegelye ( potból vezéregyeesre állított merőleges) vlmelyik koordiáttegellyel párhuzmos. Tétel: Az xy koordiátsíkb z origó csúcspotú, z y tegellyel párhuzmos tegelyű, p prméterű prbol egyelete y= x. p Bizoyítás: HÁJ! p mivel egyees és rr em illeszkedő pot távolság pozitív vlós szám. Eek p következtébe fókuszpotj koordiátái F(0; ), p vezéregyeeséek egyelete v: y=. A P(x; y) koordiátájú pot kkor és csk kkor illeszkedik prbolár, h dpf ( ; ) = dpv ( ; ), zz p p 0 ( x 0) + y = y+. Mivel emegtív vlós számok hlmzá égyzetre emelés ekvivles művelet, ezért p p x + y py + = y + py +, melyet redezve 4 4 x = py, melyből (p > 0 lévé) p-vel osztv tétel állítását kpjuk. // A lefelé álló prbolák (hol fókuszpot vezéregyees ltt tlálhtó) egyeletét úgy kpjuk meg, h z egyeletbe prméterül pot és egyees távolságák -szeresét vesszük. Ezt szokás prbol tegelypoti egyeletéek is evezi. Hsoló módo (vgy másodfokú függvéy trszformációják segítségével) kpjuk, hogy: T: Az xy koordiátsíkb C(u; v) csúcspotú, z y tegellyel párhuzmos tegelyű, p prméterű prbol egyelete y= ( x u) + v (csúcspoti egyelet). p 9

93 Továbbá: T: Az xy koordiátsíkb C(u; v) csúcspotú, z x tegellyel párhuzmos tegelyű, p prméterű prbol egyelete x= ( y v) + u. p A feti prbolák egyelete tehát vgy x + bx + cy + d = 0 ( ; b; c; d, ; c 0), vgy = 0 ( ; ; ;, ; 0) lkú kétismeretlees másodfokú egyelet. Mide ilye y by cx d b c d c lkú egyelet egybe egy prbol egyelete. (Itt láttuk be zt korább, szemléletből elfogdott tételt, hogy másodfokú függvéy képe egy prbol.) A kör és z egyees kölcsöös helyzete Két görbe kölcsöös helyzetéek meghtározás áltláb görbék közös potji számák meghtározását jeleti. A koordiátgeometriáb közös potok koordiátáit két görbe egyeletéből álló egyeletredszer gyökeikét kpjuk. H kör és z egyees egyeletéből álló egyeletredszerek két gyökpárj v, kkor z egyeest kör szelőjéek evezzük, h egy, kkor éritőjéek, h egy sics, kkor z egyees elkerüli kört midez összhgb v z elemi geometriáb megfoglmzottkkl. A prbol és z egyees kölcsöös helyzete H prbol és z egyees egyeletéből álló egyeletredszerek két gyökpárj v, kkor z egyeest prbol szelőjéek evezzük, h egy, kkor h prbol tegelye em párhuzmos z egyeessel, z éritőjéek, h párhuzmos, kkor pedig átmetsző egyeeséek evezzük. H egy közös pot sics, kkor z egyees elkerüli prbolát ez is összhgb v z elemi geometriáb megfoglmzottkkl. Másodfokú egyelőtleségek grfikus megoldás Másodfokú egyelőtleségek megoldásák legegyszerűbb (így legszebb) megoldási módj grfikus megoldás. Az egyismeretlees másodfokú egyelőtleségek áltláos lkj x bx c b c + + < / / / > 0( ; ;, 0). A bl oldlt függvéykét ábrázolv mide esetbe egy y tegellyel párhuzmos tegelyű prbolát kpuk. Eek kell megkeresük zérushelyeit, mjd ezek ismeretébe felíri z egyelőtleség megoldáshlmzát (M). Vegyük egy példát: x + bx + c 0 ( ; b; c, < 0), D =. A függvéy képe ekkor egy lefelé álló prbol lesz. Azokt z x-eket keressük, melyek eseté függvéy képe z x tegely fölött hld vgy illeszkedik rá. 93

94 Az x + bx + c = 0 másodfokú egyeletek ; b és c értékétől függőe 0, vgy gyöke lehet: - h ics gyök, kkor M = ; - h egy gyök v, kkor M= { x, }; - h két gyök v, kkor M [ x ; x ] =. A többi típusb trtozó egyelőtleséget hsoló módo oldjuk meg. Kétismeretlees másodfokú egyelőtleségek grfikus megoldás külöböző kúpszeletek külső vgy belső potji lkott síkrész megkeresését jeleti, ezekkel most em fogllkozom öálló témkör lehete. Alklmzások A mtemtiká belül jellemző módo szélsőérték-feldtok megoldásár, dott tuljdoságú pothlmzok megkeresésére, geometrii bizoyításokr (Apollóiusz-kör, súlypot stb.) hszáljuk. Néháy fiziki lklmzás: - csillgásztb z égitestek mozgásák leírás, pályegyeletük felírás; - geometrii optik (gömb- és prboltükrök, lecsék); - ferde hjítások leírás; - sttik (z építészetbe külöböző lkú kupolák, hidk tervezése stb.). 94

95 . tétel: Térelemek távolság és szöge. Térbeli lkztok. Felszí- és térfogtszámítás. A geometriáb potot, z egyeest és síkot tekitjük térelemek. Ahhoz, hogy ezek távolságát meg tudjuk htározi, célszerű mgát távolságot meghtározi. D: Két pot távolságá z zokt összekötő szksz hosszát értjük. A defiícióból következik, hogy PQ d( PQ) h P= Q. ; pot eseté ; 0, és egyelőség kkor és csk kkor v, D: Két (em üres) pothlmz távolságá hlmzok potji közti távolságok leggyobb lsó korlátját H A és B két pothlmz, kkor d( A; B) = if d ; b, hol A és b B. ( ) értjük: ( ) Például számegyeese h - A= { 0 } és B= { b b }, - A= { < 0} és B= { b b> } kkor dab=; ( ; ), dab ( ; ) kkor is. Térelemek távolság Ezek utá kérdezett távolságok (d): () pot és pot távolságát már defiiáltuk; () pot és egyees távolság - h pot illeszkedik z egyeesre, kkor d = 0; - h pot em illeszkedik z egyeesre, kkor potból z egyeesre bocsátott merőleges szksz hossz; (3) pot és sík távolság - h pot illeszkedik síkr, kkor d = 0; - h pot em illeszkedik síkr, kkor potból síkr bocsátott merőleges szksz hossz; (4) egyees és egyees távolság - h két egyees egybeeső vgy metsző, kkor d = 0; - h két egyees párhuzmos, kkor z egyeesekre bárhol állított merőleges egyees párhuzmos egyeesek közti szkszák hossz; - h két egyees kitérő, kkor létezik potos egy egyees, mely midkét egyeest merőlegese metszi (ormál trszverzális); két kitérő egyees távolság ormál trszverzáliso lévő metszéspotok távolság; (5) egyees és sík távolság - h z egyees illeszkedik síkr vgy döfi zt, kkor d = 0; - h z egyees párhuzmos síkkl, kkor z egyees egy tetszőleges potják síktól vló távolság; (6) sík és sík távolság - h két sík egybeeső vgy metsző, kkor d = 0; - h két sík párhuzmos, kkor z egyik sík egy tetszőleges potják másik síktól vló távolság. 95

96 Térelemek szöge Pot más térelemmel bezárt szögét em értelmezzük. D: Két metsző egyees hjlásszögé keletkező égy szögtrtomáy közül em gyobbkt értjük. H égy szög megegyezik, kkor zt modjuk, hogy z egyeesek merőlegesek egymásr. Így kérdezett szögek (α ): () egyees és egyees hjlásszöge: - h z egyeesek egybeesők vgy párhuzmosk, kkor α = 0 o (esetleg 80 0 ); - metsző egyeesek szögét már defiiáltuk; - kitérő egyeesek hjlásszögé zt szöget értjük, melyet egy dott poto át velük párhuzmos húzott metsző egyeesek zárk be; () egyees és sík hjlásszöge: - h z egyees illeszkedik síkr, vgy párhuzmos vele, kkor α = 0 o (esetleg 80 0 ); - h z egyees döfi síkot, kkor z egyees és sík döféspotr illeszkedő egyeesei áltl bezárt szögek miimumát. Ez z egyees és z egyees síkr eső merőleges vetületéek szöge. (3) sík és sík hjlásszöge: - h síkok egybeesők vgy párhuzmosk, kkor α = 0 o (esetleg 80 0 ); - metsző síkok hjlásszöge z szög, melyet úgy kpuk meg, hogy metszésvol bármely potjáb merőleges állítuk rr midkét síkb, és e merőlegesek szögét tekitjük. Térbeli lkztok Térbeli lkzto áltláb tér zo potjik hlmzát értjük, melyeket egy zárt felület htárol (testek), illetve mgát felület potjit, például: D: A gömb zo potok hlmz térbe, melyek tér egy dott potjától (középpot) dott távolságr (sugár) vk. Tehát gömb defiíció szerit egy felület, de mikor eek felszíéről vgy térfogtáról beszélük, kkor mgát testet értjük ltt (felszíe csk testek lehet). A testeket többféle szempot szerit csoportosíthtjuk. A testek lehetek kovexek (például gömb) vgy kokávok (például tórusz), tömörek (például tekegolyó) vgy üregesek (például teiszlbd). A htároló felületek lehetek síkidomok és/vgy síkb kiteríthető felületek (poliéderek, hegerszerű és kúpszerű testek stb.), illetve síkb em kiteríthető felületek (gömb, ellipszoid stb.). Szármzttásuk szerit lehetek például forgástestek (ellipszoid) vgy csokolt testek (például csok gúl), de beszélük egyees és ferde testekről, szbályos (például szbályos égyoldlú gúl, pirmis) testekről is. A testek között fotos helyet fogllk el poliéderek (sokszögek htárolt testek). T: A kovex poliéderek csúcsi és lpji számák összege kettővel gyobb z élek számáál (Euler). 96

97 Ide trtozk Pltó-féle szbályos testek is: D: Azokt kovex poliédereket evezzük szbályosk, melyeket egybevágó szbályos sokszögek htárolk, továbbá élszögeik és lpszögeik egyelők. Öt Pltó-féle szbályos test v: szbályos tetréder, hexéder, oktéder, dodekéder és ikozéder, ezeket redre szbályos háromszögek, égyszögek, háromszögek, ötszögek és háromszögek htárolják. H szbályos testek lpközéppotjit összekötjük, újr szbályos testet kpuk: tetréder tetréder; hexéder oktéder; oktéder hexéder; dodekéder ikozéder; ikozéder dodekéder. Testek felszíe Síkidomok és/vgy síkb kiteríthető felületekkel htárolt testek felszíé (A) htároló felületek területéek összegét értjük. Szokás test lplpjáról, fedőlpjáról és plástjáról beszéli (például egyees csok körkúp), ezek felszíét részek területéek kiszámítás utá összegzéssel kpjuk A= T+ t+ P. H testek v síkb ki em teríthető felülete is (például félgömb), kkor ezek felszíét beírt és köré írt poliéderek felszíéek (megegyező) htárértékekét értelmezzük. Forgástestek felszíét itegrálszámítássl is meg tudjuk htározi. Néháy gykrbb előforduló test felszíe: - tégltest: = ( + + ) A b bc c, hol ; b és c z egy csúcsb futó élek hossz; - egyees körkúp: A= rπ ( r+ ), hol r z lpkör sugr, kúp lkotój; - egyees csok körkúp: A π R r ( R r), ( ) csok körkúp lkotóják hossz; - gömb: A= 4 r π, hol r gömb sugr. = hol R z lpkör, r fedőkör sugr, pedig Testek térfogt Középiskoláb térfogtot következőképpe htározzuk meg: D: Elfogdjuk, hogy létezik oly, tér hlmzi (testek) értelmezett, emegtív értékű V függvéy (térfogt), mely eleget tesz következő feltételekek: - egymásb em yúló testek együttes térfogt testek térfogták összege; - egybevágó testek térfogt megegyezik; - z egységkock térfogt. A térfogt defiícióják felhszálásávl bizoyíthtók következő tételek: T: Az oldlú kock térfogt V = 3. T: Az, b és c oldlú tégltest térfogt V = bc. 97

98 T: A T lpterületű, m mgsságú hegerszerű testek térfogt V = Tm. Tm T: A T lpterületű, m mgsságú kúpszerű testek térfogt V =. 3 m T: A T lpterületű, t fedőterületű, m mgsságú csok kúpok térfogt V = ( T + t + Tt ). 3 A következőkbe z egyees csok körkúp térfogtár votkozó tételt bizoyítom. Tétel: Az egyees csok körkúp térfogt V ( R r Rr ) sugr és m csok körkúp mgsság. Bizoyítás: A bizoyításb felhszálom, hogy h z ( ) πm = + +, hol R z lpkör, r fedőkör 3 fx függvéy z [ ; ] b-o folytoos, és ott fx ( ) 0, kkor z x tegely körüli megforgtáskor kpott test térfogt V = π f ( x) dx. HÁJ! A csok kúpot úgy kpjuk meg, h PQ szkszr illeszkedő lieáris függvéyt [0; m]-o megforgtjuk z x tegely körül. Az fx ( ) függvéyt fx ( ) = x+ blkb keressük. P(0; r) fx ( ) r= 0 + b; Q( m; R) f ( x) R = m + b. R r Ie b = r, illetve =, melyből m R r fx ( ) = x+ r. m Tehát csok kúp térfogt m R r V = π x + r dx. m m m m m m R r R r R r R r R r V = π x + r dx = π x r x r dx π x dx rπ xdx r π dx m + + = + + = m m m m m m 3 R r x R r x m R r m R r m r r [ x] r r m 0 m 3 m m 3 m πm πm = π + π + π = π + π + π = = R Rr r 3 ( ) ( ) ( ) πm + r R r πm + r πm = R Rr + r + 3rR 3r + 3 r = R + Rr + r. // b Alklmzások Csk műszki élet területéről hozok példákt: 98 - hjlásszögek és távolságok: utk, utópályák tervezésekor figyeli kell domborztr (yomvol-kijelölés), megegedett leggyobb süllyedési és emelkedési szögek betrtásár; törekedi kell legrövidebb távolságok meghtározásár is (építési költségek); - térfogt: testek tömegéek meghtározás z ygsűrűség függvéyébe szité fotos feldt (sttik);

99 - térfogt és felszí: külöböző termékek kiszereléséek optimális meghtározás (miimális térfogt szállításhoz, miimális felszí csomgoláshoz, legjobb lk megtlálás). 99

100 . tétel: Területszámítás elemi úto és z itegrálszámítás felhszálásávl. A terület síkidomok kiterjedését jellemző meyiség, foglom térbeli megfelelője testek felszíe. Már Eukleidész is fogllkozott ezzel z Elemekbe, de mgát területet sem z lpfoglmk között em sorolt fel, sem másutt em defiiált, két sokszöget egyelő területűek modott, h egymásb átdrbolhtók, zz z egyiket véges sok részre vágv kpott drbokból másik lefedhető és viszot. Eudoxosz kimerítéses módszerét lklmzv Arkhimédész már elég precíze terjesztette ki görbevolú lkztokr is területegyelőség foglmát, de foglmt már előtte is hszálták, például khioszi Hippokrtész ról elevezett holdcskák területéek kiszámításkor. A későbbiekbe Bovetur Cvlieri, Blise Pscl, Pierre de Fermt, Isc Newto és Gottfried Wilhelm Leibiz fogllkozott kimerítőe ezzel témávl. A terület moder defiíciój Cmille Jordtól és Giuseppe Peotól szármzik 9. százd végéről, melyet 0. százd elejé Heri Lebesgue tökéletesített, kiterjesztve középiskoláb tult Riem-itegrál foglmát (Lebesgue-itegrál). Középiskoláb területet következőképpe htározzuk meg: D: Elfogdjuk, hogy létezik oly, sík hlmzi (síkidomok) értelmezett, emegtív értékű t függvéy (terület), mely eleget tesz következő feltételekek: - egymásb em yúló síkidomok együttes területe síkidomok területéek összege; - egybevágó síkidomok területe megegyezik; - z egységégyzete területe. Sokszögek területe A terület defiícióják felhszálásávl bizoyíthtók következő tételek: T: Az oldlú égyzet területe t=. T: Az és b oldlú tégllp területe t = b. T: Az oldlú, m mgsságú prlelogrmm területe t = m. Mivel mide sokszög felbothtó háromszögekre, ezért külöös fotos háromszögek területéek kiszámítás. Ezt háromszög külöböző dtik ismeretébe következőképpe tehetjük meg: T: A háromszög területe szokásos jelölésekkel m bsiγ siβsiγ bc t= = = = s( s )( s b)( s c) = rs=. siα 4R Feldtok megoldás sorá gykr számítjuk ki háromszög területét megdott dtok segítségével, hogy ezutá háromszög egy másik területképletéből htározzuk meg keresett meyiséget. Ngyo sokszor tlálkozuk egyelő oldlú háromszögekkel problémák megoldás 3 sorá, eek területe t =. 4 00

101 Néháy további evezetes sokszög területképlete szokásos jelölésekkel: ef ef siφ - prlelogrmm: t = bsiγ = = ; + c - trpéz: t = m = km ; ef - deltoid: t = ; ef - rombusz: t= siγ = ; - húrégyszög: t= ( s )( s b)( s c)( s d) ; - éritőégyszög: t = rs ; 80 ctg - oldlú szbályos sokszög: t= 4. Görbe volll htárolt síkidomok területéek meghtározás E síkidomok területét áltláb kétféle módo tudjuk meghtározi: síkidomb beírt és körülírt sokszögek területéek htárértékekét, illetve z itegrálszámítás felhszálásávl. T: Legye f(x) z [; b]-o értelmezett, emegtív értékű, folytoos függvéy. Az x =, x = b, y = f(x) görbék és z x tegely htárolt síkidom területe t = f ( x) dx. H f(x)-től em követeljük meg, hogy emegtív értékű legye, kkor feti htározott itegrál görbe és z x tegely htárolt síkidomok területéek előjeles összegét dj. E tétel segítségével bizoyítom, hogy: Tétel: Az r sugrú kör területe t= r π. Bizoyítás: Helyezzük kör síkjár egy xy koordiát-redszert úgy, hogy k origój kör középpotj legye, és hszáljuk z ábr jelöléseit! b A kör egyelete ekkor x + y = r, kör x tegely feletti ívéek egyelete pedig y= r x. A félkör területét emitt z r r x dx htározott itegrálll tudjuk r kiszámíti. r r r r x dx = r x dx = 0 Végezzük el z x= rcosα helyettesítést, ekkor dx = r siαdα, így 0

102 π π π 0 cosα π π siα π siπ si0 r π ( ) = r r cos α( rsi α) dα = r si αdα = r dα = r cosα dα = = r α = r 0. = 0 A kör területe eek kétszerese, tehát t= r π. // Két folytoos függvéy áltl htárolt síkidom területét függetleül ttól, hogy z z x tegelyhez viszoyítv hol tlálhtó úgy htározzuk meg, hogy kiszámítjuk két függvéy legtávolbbi metszéspotjit, mjd e kettő közötti itervllumo itegráljuk két függvéy külöbségét, és k vesszük z bszolút értékét: x x ( ( ) ( )) t = f x g x dx. A kör részeiek területe A kör területképletéek ismeretébe köye számíthtjuk körcikk (és körszelet) területét is, felhszálv, hogy körcikk területe és ívhossz egyeese ráyos középpoti szögével: ri r α r α tkc = = = 360. Kokrét feldtokb képletek helyett célszerűbb egyedik ráyos számításávl meghtározi körcikk területét: t kc α X. r π π A körszelet területéek meghtározáskor pedig, h k középpoti szöge kovex, kkor előbb kiszámítjuk hozzátrtozó körcikk területét, mjd bból kivojuk kettő külöbségét lkotó egyelő szárú háromszög területét. H középpoti szög kokáv, kkor előbb célszerűe kiszámoljuk eki megfelelő kovex szöghöz trtozó körszelet területét, és zt kivojuk kör területéből. Körgyűrűk, körgyűrűcikkek területét szité kör és részei területére célszerű visszvezeti. Alklmzások: A területszámítás mtemtik egyik leggykoribb lklmzási területe hétközpi életbe, például lkásépítésél, -felújításál szükséges burkolóygok meyiségéek kiszámításár. A fizikáb is sok helyütt hszáljuk: változó erő mukáják kiszámításár (rugó eergiáj, táguló gáz mukáj, grvitációs poteciális eergi stb.), továbbá változó sebességű mozgások sorá megtett út kiszámításár, váltkozó árm effektív teljesítméyéek (z effektív ármerősségek és feszültségek) meghtározásár és hossz lehete soroli még. 0

103 3. tétel: Kombiációk. Biomiális tétel, Pscl-háromszög. A vlószíűség kiszámításák kombitorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás. A 6. százdb Géu városállm gytács, szeátorok kormáyzó testülete oly módo újult meg, hogy tgji köréből évekét öte kiváltk. Az öt megüresedett helyre előbb 0, később 90 jelölt közül, sorsolás útjá delegálták z új szeátorokt. A géui polgárság évről évre izgtott várt z üepélyes válsztásokt, és persze szite midyi fogdásokt kötöttek z öt polgár személyére. Aki leglább két új tácstg evét eltlált, már vlmilye mértékű jutlomhoz juthtott. A legtöbbet természetese z fogdó vághtt zsebre, ki mid z öt újdosült szeátor evét megjósolt. A fogdások oly épszerűvé váltk, hogy külö irod, mjd később irodhálózt szervezésére volt szükség. Ez játék mpság lottó éve közismert és közkedvelt: 90 szám közül kell kiválszti 5-öt úgy, hogy kiválsztás sorredje em számít. A mtemtikáb z ilye típusú kiválsztásokt kombiációk evezzük. D: H elem közül kiválsztuk k elemet ( k ) úgy, hogy mide elem legfeljebb egyszer válszthtó, és em számít kiválsztás sorredje, kkor z elem egy k-d osztályú ismétlés élküli kombiációját kpjuk. T: elem k-d osztályú ismétlés élküli kombiációik szám C k k V! = = = k! k! k! k. ( ) A feti módo defiiált jelölést biomiális együtthtók evezzük. k D: H elem közül kiválsztuk k elemet ( k ) úgy, hogy mide elem többször is válszthtó, és em számít kiválsztás sorredje, kkor z elem egy k-d osztályú ismétléses kombiációját kpjuk. T: elem k-d osztályú ismétléses kombiációik szám C + k = k. ki, A biomiális együtthtó elevezést következő, biomiális tétel idokolj, mely egy kéttgú összeg pozitív egész kitevőjű htváyár votkozik: k k Tétel: H pozitív egész szám, kkor ( + b) = b. k= 0 k Bizoyítás: H =, kkor ( ) + = + = + eseté ( + b) = ( + b) ( + b)... ( + b) b b b, igz tétel állítás. 0 drb. Végezzük el szorzást! A zárójelfelbotás szbály k k mitt (mide tgot mide tggl meg kell szorozi) kpott összeg mide tgj b lkú lesz. Ilye tgot yiszor kpuk, háyféleképpe z drb téyezőből ki tuduk válszti k drbot 03

104 (ezekből b-t vesszük szorzótéyezőkét, többiből pedig z -t) úgy, hogy kiválsztás sorredje k em számít. Ezek szám C =, tehát bizoyítdó állítást kpjuk. // k Szité biomiális együtthtókkl tlálkozuk Blise Pscl frci szerzetes, filozófus, fizikus és mtemtikus híres háromszögébe. Itt mide tgot úgy kpuk meg, hogy összedjuk fölötte lévő kettőt. További érdekes tuljdoságit vehetjük észre biomiális együtthtókk: sít..... T: () = ( szimmetrikus); k k () + = ( Pscl- háromszög képzési szbály). k k k T: elemű hlmz k elemű részhlmzik szám k. T: elemű hlmz részhlmzik szám =. (Ez biomiális 0 k tétel lklmzás z = b = esetre, továbbá Pscl-háromszög + -dik soráb szereplő számok összege.) A vlószíűség kiszámításák kombitorikus modellje Szité 7. százdb élt Blise Psclhoz köthető véletle jeleségek mtemtiki eszközökkel vló vizsgálták létrejötte, vlószíűségszámítás kezdete. Eek moder, xiomtikus meglpozását és kidolgozását Adrej Nyikoljevics Kolmogorov végezte el 0. százd 30-s éveibe. D: Legye H egy em üres hlmz. A H hlmz eve eseméytér. - Az eseméytér részhlmzit eseméyekek evezzük. - Az H, ezért z eseméy, eve lehetetle eseméy. - A H H, ezért H eseméy, eve biztos eseméy. - A H egyelemű részhlmzi z elemi eseméyek. Az eseméyek között műveleteket defiiáluk hlmzműveletek segítségével: D: Legye H egy eseméytér, és A és B tetszőleges eseméyek H-b. () A+ B= A B () A B= A B (3) A B= A\ B (4) A= H A (5) H A B =, kkor A és B kizáró eseméyek. 04

105 Az eseméyek összege és szorzt kommuttív és sszocitív, továbbá igzk rájuk De Morgzoosságok. A Kolmogorov-xiómák: Legye H egy eseméytér. Létezik z eseméytér eseméyeiek hlmzá értelmezett P függvéy, melyre teljesülek z lábbi tuljdoságok: I. Bármely A eseméyre 0 PA ( ). II. PH ( ) =. III. H A; A;...; A egymást párokét kizáró eseméyek, kkor PA ( + A A) = PA ( ) + PA ( ) PA ( ) D: A P függvéy eve vlószíűség. Ezek utá rátérek vlószíűségszámítás kombitorikus modelljéek ismertetésére. D: H H eseméytér em üres véges hlmz, és mide elemi eseméyéek vlószíűsége egyelő, kkor ezt z eseméyteret z eseméyeivel és rjtuk értelmezett műveletekkel együtt klsszikus vlószíűségi mezőek evezzük. A kombitorikus vlószíűségek áltláb ilye tuljdoságúk (pézfeldobás, kockdobás, kártylpok kihúzás stb.). T: H H klsszikus vlószíűségi mező, és elemi eseméyeiek szám ( H = ), kkor z elemi eseméyek vlószíűsége. T: H H klsszikus vlószíűségi mező, továbbá H =, és z A eseméyre igz, hogy A = k, kkor k PA ( ) =. Fetiek lpjá tudjuk egy kombitorikus vlószíűség értékét meghtározi következő tört értékekét: kedvező esetek szám p =. összes eset szám A hipergeometrii eloszlás Tekitsük most egy oly lottójátékot, hol N (35, 45, 90) elem közül kell (7, 6, 5) elemet kiválszti úgy, hogy mide elemet csk egyszer válszthtuk, és em számít kiválsztás sorredje (skdiáv, htos és ötös lottó). A ξ vlószíűségi változó értékei legyeek tláltok számi N i { 0;;;...; i i }. Ekkor k vlószíűsége, hogy i tláltuk lesz P( ξ = i) =. N H N elem között s jó elemek szám, és ( s N) elemet válsztuk ki úgy, hogy mide elemet csk egyszer válszthtuk, és em számít kiválsztás sorredje, továbbá ξ vlószíűségi változó i 0;;;...;, kkor z i tlált vlószíűsége értékei legyeek tláltok számi { } 05

106 s N s i i P( ξ = i) =. N Az ilye típusú ξ vlószíűségi változókt evezzük hipergeometrikus eloszlásúkk. (A ξ vlószíűségi változó értékeihez trtozó vlószíűségek hlmzát evezzük ξ eloszlásák.) Gykorlti lklmzások: Kombiációkkl sok helyütt tlálkozuk, például szerecsejátékokb ( külöböző lottók), pókerközvetítések közbe is eek segítségével számolják játék közbe z egyes játékosok yerési esélyeit. Kedvelt péld, h fgylltot kérük kehelybe. Vlószíűségszámítássl klkulálják díjkt külöböző életbiztosításokb, gépjárműfelősségbiztosításokb. A külöböző gyárk miőségbiztosításáb fotos szerepet játszik gyártás közbei mitvételes miőség-elleőrzés, elvileg z erre jellemző értékeket hipergeometrikus eloszlás szerit kellee számoli. s Hipergeometrikus eloszlás eseté zob várhtó értéket z M( ξ ) =, illetve szórást N s N s N D( ξ) = képlettel lehet meghtározi, ezekből kellee gyártás jóságár N N N visszkövetkezteti, mi ige ehéz feldt. Mivel zob gykorltb mitát áltláb ál jóvl gyobb elemszámú vizsgálti ygból veszik, így biomiális eloszlás is jól közelíti eze értékeket. Így gyártási folymt jóságár (vlószíűségére) többszöri mitvétel lpjá, biomiális eloszlássl számolt várhtó értékből és szórásból htározzák meg ( D ( ξ) p = ). M ( ξ) 06

107 4. tétel: Permutációk, vriációk. A biomiális eloszlás. A vlószíűség kiszámításák geometrii modellje. A klsszikus kombitorik egy véges hlmz (dtsokság) elemeiek (dtik) dott szempotok szeriti sorb redezésével, más megfoglmzássl z elemek (dtok) dott szempotok szeriti lehetséges kiválsztásávl, ezek számávl fogllkozik. A köyebb és egyszerűbb leírás mitt defiiáljuk fktoriális műveletet! D: ( ) ( )..., h ; eseté!: =, h <. D: Az elemű hlmz elemeiek egy sorb redezését z elem (egy) permutációják evezzük. Tétel: Az elemű hlmz összes permutációik szám P =! Bizoyítás: Az állítást szeriti teljes idukcióvl bizoyítjuk. I. = 0 eseté z üres hlmz elemeit kell sorb redezi, ezt egyféle módo tehetjük meg (sehogy). = eseté z egy elemet szité egyféle módo tudjuk sorb redezi, úgy, hogy leírjuk. II. Tegyük föl, hogy = k eseté k elem lehetséges sorb redezéseiek szám k!. III. Belátjuk, hogy = k + eseté k + elem lehetséges sorb redezéseiek szám (k + )! Godoltb vegyük ki egy elemet k + elem közül! A mrdék k elemet k! féleképpe lehet sorb redezi. A godoltb kivett egy elemet egy ilye sorb redezésbe k + helyre tehetjük: k elem közti k helyre, vgy sorb redezés elejére, vgy sorb redezés végére, így k + elem egy sorb redezését kpjuk. Azz k elem egy sorb redezéséből k + elem k + sorb redezését kpjuk, tehát ( ) ( ) ( ) P = k P k k + = + k! k + = k +! // H sorb redezedő elemek között vk egyformák, kkor em hlmzról, hem dtsokságról beszélük (egy hlmzb egy elem egyszer fordul elő). D: Az dtból álló dtsokság dtik egy sorb redezését z dt (egy) ismétléses permutációják evezzük. T: Az elemű dtsokság összes ismétléses permutációik szám i ( k + k kl )! P = ( = k + k kl). k! k!... k! l (H k = k =... = k l =, zz z dtok közt icseek egyformák, képlet kkor is helyese dj meg permutációk számát.) A sorb redezések egy másik fjtáját vriációk jeletik, ezt már kiválsztáskét defiiáljuk. D: H egy elemű hlmzból kiválsztuk k elemet ( k ) úgy, hogy egy elemet csk egyszer egy válszthtuk, és számít kiválsztás sorredje, kkor z elem egy k-d osztályú ismétlés élküli vriációját kpjuk. 07

108 k T: elem k-d osztályú ismétlés élküli vriációik szám V ( )... ( k ) (k = eseté yilvá z elem egy permutációját kpjuk, ekkor V 08 = + = =!!!!! = 0! = =.) ( )! ( k) D: H egy elemű hlmzból kiválsztuk k elemet úgy, hogy egy elemet többször is válszthtuk, és számít kiválsztás sorredje, kkor z elem egy k-d osztályú ismétléses vriációját kpjuk. ki, k T: elem k-d osztályú ismétléses vriációik szám V =... =. A biomiális eloszlás Ebbe tételbe em feldtuk vlószíűség teljes értelmezése, ezért csk zokkl foglmkkl és tételekkel fogllkozom, melyek címbe megjelölt foglomr votkozk. A biomiális eloszlás egy klsszikus feldt, hogy h egy szbályos dobókockát ötször feldobuk, kkor meyi k vlószíűsége, hogy potos kétszer dobuk 6-ost. A htosdobás vlószíűsége 5 p =, emhtos-dobás vlószíűsége yilvá p= p=. A biomiális elevezést z idokolj, 6 6 hogy egy eseméyek két, egymást kizáró kimeetele v. A következőkbe éháy foglmt defiiálok: D: Az oly függvéyt, melyek értelmezési trtomáy egy eseméytér elemi eseméyeiek hlmz, képhlmz pedig vlós számok hlmz, vlószíűségi változók evezük. k drb D: A vlószíűségi változó értékkészlete lehetséges értékeiek hlmz. D: A ξ ( kszi ) véges vlószíűségi változó lehetséges értékeiek hlmz legye { } P( ξ = ) x vlószíűségek hlmzát ξ eloszlásák evezzük. i.! x ; x ;...; x. Ekkor A vlószíűségi változók jellemzésére gykorlti okokból két evezetes értéket hszáluk: vlószíűségi változó várhtó értékét és szórását. H igz z z állítás, hogy z eseméyek reltív gykoriság sok kísérlet esetébe vlószíűséghez gy eséllyel közel v, kkor sok kísérlet esetébe kimetelek átlg gy eséllyel súlyozott középhez lesz közel. Ez idokolj várhtó érték lábbi defiícióját: D: H ξ vlószíűségi változó lehetséges értékeiek hlmz { } M( ξ) = x P( ξ = x ) összeget vlószíűségi változó várhtó értékéek evezzük. i= i i A várhtó értéktől vló eltérés jellemzésére vlószíűségi változó szórását vezetjük be: D: H ξ vlószíűségi változó várhtó értéke ( ξ) M, kkor z η = ( ξ ( ξ) ) várhtó értékét ξ szóráségyzetéek evezzük. A ξ szórás ( ξ) = ( ξ ( ξ) ) A szórás kiszámítását sok esetbe megköyíti következő tétel: x; x;...; x, kkor z M vlószíűségi változó ( ) D M M.

109 T: H ξ vlószíűségi változó várhtó értéke M ( ξ), szórás D ( ξ), kkor D ( ξ) = M( ξ ) M ( ξ). Ezek utá defiiálom biomiális eloszlású vlószíűségi változót: D: H ξ vlószíűségi változó lehetséges értékeiek hlmz { 0;;;...; }, hol pozitív egész szám, i i és eloszlás P( ξ = i) = p ( p), hol 0 p vlós szám, kkor ξ biomiális eloszlású i vlószíűségi változó ( és p vlószíűségi változó prméterei). Nem bizoyítom következő tételt: T: H ξ és p prméterű biomiális eloszlású vlószíűségi változó, kkor M( ξ ) = p, illetve ( ) D( ξ ) = p p. Kiiduló feldtuk ilye eloszlást mutt ( kedvező esetek szám/z összes eset szám háydosák kombitoriki úto törtéő meghtározás lpjá is): ξ = , keresett vlószíűség 50, ξ = = 5 M ( ) és D ( ξ) = 5 = Vegyük észre, hogy vissztevéses mitvétel eseté biomiális eloszlás lklmzhtó. A vlószíűség kiszámításák geometrii modellje D: H z eseméytér em megszámlálhtó hlmz, de mérhető (például v hossz, területe vgy térfogt), z eseméyei mérhetők, és vlószíűségük egyeese ráyos méretükkel, kkor ezt z eseméyteret geometrii vlószíűségi mezőek evezzük. Néháy péld geometrii vlószíűségi mezőre: céltáblár lövés, Buffo-féle tűproblém, két ember tlálkozás megdott időközbe, megdott ott trtózkodási idővel. A Kolmogorov-xiómák segítségével egyszerűe igzolhtó következő tétel: T: H egy geometrii vlószíűségi mező eseméytere H, rjt értelmezett mérték (például hossz, µ terület vgy térfogt) μ, kkor bármely A eseméyre igz, hogy = ( A PA ( ) ) µ ( H ). Alklmzások: Vriációkkl sok helyütt tlálkozuk, például sportfogdásb, ilye lóverseye hármsbefutó (ismétlés élküli) vgy totó (ismétléses). Vlószíűségszámítássl klkulálják díjkt külöböző életbiztosításokb, gépjárműfelősségbiztosításokb. A külöböző gyárk miőségbiztosításáb fotos szerepet játszik gyártás közbei mitvételes miőség-elleőrzés, elvileg z erre jellemző értékeket hipergeometrikus eloszlás szerit kellee számoli, de mivel gykorltb mitát áltláb ál jóvl gyobb elemszámú vizsgálti ygból veszik, így biomiális eloszlás is jól közelíti eze értékeket. A gyártási 09

110 folymt jóságát (vlószíűségét) többszöri mitvétel lpjá számolt várhtó értékből és szórásból számolják ki: mivel ξ ( ) D( ) = p p = M( ξ) ( p ), ezért D ( ξ) p =. M ( ξ) 0

111 5. tétel: Bizoyítási módszerek és bemuttásuk tételek bizoyításáb. A középiskoli mtemtikáb égyféle bizoyítási módszert szoktuk hszáli. Ezek közül leggykoribb z ú. direkt bizoyítás. D: Direkt bizoyításk evezzük zt z eljárást, mikor igz feltételekből (xiómák, korább bizoyított tételek), helyes logiki lépések sorá bizoyítdó állításhoz jutuk. Tétel: H egy kör egyik átmérőjéek két végpotját összekötjük körvol átmérővégpotoktól külöböző bármely más potjávl, kkor derékszögű háromszöget kpuk (Thlész tétele). Bizoyítás: HÁJ! Be kell látuk, hogy BPA = 90. Mivel OA = OB = OP, kör sugr, ezért z AOP, illetve POB egyelő szárúk, így lpo fekvő szögeik (α, illetve β) megegyezek. Így z ABP háromszög belső szögeiek összegére: α β ( α β) = 80, melyből v. // α + β = 90, tehát P-él derékszög D: Idirekt bizoyításk evezzük zt z eljárást, mikor feltételezzük bizoyítdó állítás tgdását, mjd helyes logiki lépések sorá elletmodásr jutuk. Tétel: A irrcioális szám. Bizoyítás: Tegyük föl, hogy tétel állításávl szembe em irrcioális, hem rcioális szám. pq ;. Emitt felírhtó p q lkb, hol + p Emeljük égyzetre = q művelet)! Így kpjuk, hogy egyelőséget ( pozitív számok hlmzá égyzetre emelés ekvivles p = q q = p,, melyből mi elletmod számelmélet lptételéek, mert midkét oldlo egész szám áll, bl oldlo zob pártl htváyo szerepel, míg jobb oldlo vgy páros htváyo, vgy egyáltlá em szerepel. //

112 A mtemtik hrmdik gyo fotos és ige sokszor hszált bizoyítási módszere teljes idukció, mellyel áltláb (vlhotól kezdve) z összes természetes számr votkozó állítást látuk be. A módszer teljes idukció elvé lpul, mely szerit {h egy állítás teljesül vlmely (kezdő) természetes számr}, és {h teljesül egy ( kezdő számál em kisebb) természetes számr}, kkor teljesül következőre is (más éve: öröklődik)}, kkor {z állítás teljesül z összes, kezdő számál em kisebb természetes számr}. Tétel: H egy számti sorozt első tgj, külöbsége d, kkor számti sorozt első tgják ( ) + d összege S =. Bizoyítás: szeriti teljes idukcióvl bizoyítuk. ( ) + d I. = eseté S = =, zz igz tétel állítás. + II. Tegyük fel, hogy = k eseté teljesül tétel állítás, zz ( k ) d S = k. (Ezt idukciós k feltevések evezzük, melyet következő lépésbe fel foguk hszáli.) III. Belátjuk, hogy = k + -re is teljesül tétel állítás, zz ( ) + k+ d + kd S = + ( k+ ) = ( k + k ). S = S +, illetve = + kd k+, így ( ) ( ) Felhszáljuk, hogy k+ k k+ + k d k+ k k d + kd S = k + + kd = + = k+ ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + = k kd k = k kd k = kd ( k + ). // Végül egyedik bizoyítási módszer z, mely sktulyelve lpszik. E szerit: T: H drb tárgyt k drb sktulyáb helyezük el, és > kp, kkor biztos lesz leglább egy oly sktuly, melyikbe leglább p + tárgy kerül. Tétel: H p és q pozitív egész számok, kkor p q szám tizedes tört lkj vgy véges, vgy végtele, de szkszos tizedes tört (zz rcioális szám). Bizoyítás: Osszuk el hgyomáyos módo p egész számot q egész számml. Az osztás sorá fellépő lehetséges osztási mrdékok 0; ; ; ; q (q drb). H v 0 mrdék, kkor z osztás ebbe lépésbe befejeződik, zz tizedes tört lk véges. H ics 0 osztási mrdék, kkor legfeljebb q drb osztási mrdék léphet föl, tehát legfeljebb q-dik osztásál már oly mrdékot kpuk, mely korább már volt, zz ie ismétlődi fogk tizedes tört jegyei, így tehát oly szkszos tizedes törtet kpuk, hol szksz hossz legfeljebb q hosszúságú. // Gykorlti lklmzáskét z összes, középiskoláb tult tételt fel lehet hozi, midegyiket vlmelyik feti módszer segítségével bizoyítottuk.

113 Egy tréfás feldt búcsúzóul: Lássuk be, hogy Budpeste 05-be leglább oly ember élt, kikek ugyyi hjszál volt. (Budpest lkosság ekkor fő volt, z emberi hjszálk szám pedig hjszítől is függőe! 70 és 50 ezer között változik.) Megjegyzés: Az utóbbi évtizedekbe számítástechik rohmléptékű fejlődésével megjeletek számítógéppel támogtott bizoyítások. Elsőkét 976-b látt be égyszí-tételt Keeth Appel és Wolfgg Hke, míg z 6-be megfoglmzott Kepler-sejtést (hogy lehet egybevágó gömbökkel legsűrűbbe kitöltei egy térrészt) 998-b látt be Thoms Hles. 3

114 Felhszált irodlom. Ed: Dr. Frks Miklós (974). Mtemtiki kislexiko. Budpest: Műszki Köyvkidó.. Hjós Gy. (97). Bevezetés geometriáb. Budpest: Tköyvkidó. 3. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (009). Sokszíű mtemtik 9. Szeged: Mozik Kidó. 4. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (04). Sokszíű mtemtik 0. Szeged: Mozik Kidó. 5. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (04b). Sokszíű mtemtik. Szeged: Mozik Kidó. 6. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (04c). Sokszíű mtemtik. Szeged: Mozik Kidó. 7. Leidler L. (974). Alízis I. Szeged: JATE Bolyi Itézet, jegyzet. 8. Nive, I. & Zuckerm, H. S. (978). Bevezetés számelméletbe. Budpest: Műszki Köyvkidó. 9. Schultz J. & Trcsy T. (03). Mtemtik - emelt szit. Szeged: Mxim Köyvkidó. 0. Siposs A. (07): Emelt szitű érettségi 07 kidolgozott szóbeli tételek Mtemtik. Budpest: Corvi Kidó Kft.. és 35 éves tári tpsztltom 4

115 . számú kiegészítés A vlós számok xiómredszere ( vlós számtest) A görög mtemtikáb csk z egyél gyobb pozitív egészeket tekitették számk (z EGY mideek z lpj), és bár törtekkel ugyúgy számoltk, mit mi, zokt em tekitették számk, hem csk két egész összemérhetőségéből dódó ráyk. Meyiségeket összemérhetőek moduk, h ugyzo mértékkel mérhetők, összemérhetetleek pedig, h em tlálhtó hozzájuk közös mérték. htározz meg két foglmt Eukleidész z Elemek X. köyvéek elejé, mely rcioális és irrcioális számok elkülöítéséek felel meg. A középiskoli mtemtiktításb, számfoglom törtéeti fejlődését követve, természetes számoktól hlduk vlós számok felé. A permecielvet követve úgy terjesztjük ki szám foglmát, hogy természetes számok hlmzá bevezetett két művelet (összedás és szorzás), továbbá ezek megfordítási kiterjesztett hlmzo midig végrehjthtók legyeek ( művelet eredméye is eleme legye hlmzk, zz hlmz zárt legye műveletekre ézve). Ezt z elvet követve jutuk el rcioális számok hlmzáig, mely ilye tuljdoságú. Ezt követőe szereték megfordíti bevezetett következő műveletet, égyzetre emelést. A égyzetgyökvoás zob kivezet rcioális számok hlmzából, ezért egészítjük ki zt z irrcioális (em rcioális) számok hlmzávl, hogy ztá két diszjukt hlmz uióját vlós számokk evezzük. Ezzel módszerrel zob lpvetőe logiki problémák vk. Tekitsük rcioális és irrcioális számok legtöbb tköyvbe szereplő defiícióját (szerecsére Sokszíű mtemtik-sorozt em ilye): D: Azokt számokt, melyek felírhtók két egész szám háydoskét, rcioális számokk evezzük. D: Azokt számokt, melyek em írhtók fel két egész szám háydoskét, irrcioális számokk evezzük. D: A rcioális számokt és z irrcioális számokt együtt vlós számk evezzük. A problém léyege következő: mide defiíció vlmilye lphlmz zo elemeit htározz meg, melyek eleget teszek bizoyos feltételek. Tekitsük például szkszfelező merőleges foglmák meghtározását! D: Legyeek dottk z S síkb z A B potok. Az AB szksz szkszfelező merőlegeséek evezzük sík zo egyeesét, mely illeszkedik szksz felezőpotjár, és merőleges rr. Tehát f : e { S egyeesei} AB =, melyre AB F e és e AB. A rcioális és irrcioális számok feti defiíciójából éppe z lphlmz megdás hiáyzik: mik zok számok? Aztá számok foglmát éppe e két meghtározás segítségével defiiálj tehát egy foglmt ömgávl htároz meg, ez logiki hib. Eek következtébe előbb vlós számok foglmát, vlós számok hlmzát kell meghtározi, hogy ztá k részhlmzikét defiiálhssuk többi evezetes számhlmzt. Erre geometriáb látott xiomtikus felépítés d lehetőséget. 5

116 A vlós számok xiómredszere Legye z hlmz, melyre teljesülek következő xiómák: I. Testxiómák Értelmezve v be két (kétváltozós) művelet + : (összedás) és : (szorzás), melyek kielégítik következőket: () xy ; eseté x+ y= y+ x(z összedás kommuttív); () xy ; eseté x y= y x( szorzás kommuttív); (3) xyz ; ; eseté ( x+ y) + z= x+ ( y+ z) és ( x y) z= x ( y z) (z összedás és szorzás sszocitív); (4) xyz ; ; eseté ( x+ y) z= ( x z) + ( y z) ( szorzás disztributív z összedásr ézve); (5) 0, melyre x eseté x+ 0 = 0 + x= x (dditív egységelem, zéruselem); (6), melyre x eseté x = x= x (multipliktív egységelem); (7) x eseté ( x), melyre x+ ( x) = ( x) + x= 0 (dditív iverz); x \ 0 eseté x, melyre x x = x x= (multipliktív iverz). (8) { } II. Redezési xiómák Értelmezve v z testbe egy redezési reláció, zz egy reflexív, tiszimmetrikus, trzitív és lieáris reláció, melyre () x; y; z és x y eseté x+ z y+ z (z összedás mooto); () xyz ; ;, z 0 és x yeseté x z y z( szorzás mooto). III. Teljességi xióm Az redezett testbe mide em üres, felülről korlátos hlmzk v legkisebb felső korlátj. Bizoyíthtó, hogy ilye hlmz létezik, és bizoyos értelembe egyértelműe meghtározott. Az hlmz egyik modellje vlós számok hlmz, egy másik modellje számegyees; vlós számok hlmz és számegyees potji között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés létezik. evezetes részhlmzi D: Egy A hlmzt iduktívk evezük, h teljesülek z lábbik () A ; () h x A, kkor x+ A. T: A vlós számok hlmzáb létezik legszűkebb iduktív hlmz. D: A fetiek szerit egyértelműe meghtározott legszűkebb iduktív hlmzt természetes számok hlmzák hívjuk, és z szimbólumml jelöljük, elemeit természetes számokk modjuk. T: A természetes számok hlmz teljesíti Peo-xiómákt, zz () ; () h, kkor + ; 6

117 (3) h A oly hlmz, mely teljesíti z () és () tuljdoságokt, kkor A = (ez z xióm teljes idukciós bizoyítások lpj). D: Az x számot egész számk evezzük, h létezek oly m ; számok, melyekre x = m. Az egész számok hlmzár jelölést hszáljuk. D: Az x számot rcioális számk evezzük, h létezek oly p és q \{ 0} számok, hogy p x =. A rcioális számok hlmzár jelölést hszáljuk. q D: Az irrcioális számok hlmzá z \ hlmzt értjük. Az irrcioális számok hlmzár jelölést hszáljuk. A vlós számok és számegyees, vlós számok tizedes tört lkj A számegyees vlós számok grfiki reprezetálásár hszált grfiki eszköz, Joh Wllis, 7. százdb élt gol mtemtikus vezette be. A számegyees két kitütetett potj z dditív (0) és multipliktív () egységelem, ezek geometrii és lgebri távolság z egység. A számegyees mide potjához egyértelmű módo hozzá tuduk redeli egy tizedes törtet (z egység tízes osztásik és továbbosztásik segítségével), mely vgy véges, vgy végtele szkszos, vgy végtele em szkszos tizedes tört. (Az egyértelműséget úgy biztosítjuk, hogy vlhotól kezdve csup 9-est trtlmzó számot em tekitjük tizedes törtek.) Mivel mid vlós számok hlmz, mid számegyees z hlmz egy-egy modellje, ezért rcioális és irrcioális számok defiícióját z lábbi módo is meg tudjuk di: D: Azokt vlós számokt, melyek tizedes tört lkj véges, vgy végtele, de szkszos tizedes tört, rcioális számokk evezzük. D: Azokt vlós számokt, melyek tizedes tört lkj végtele em szkszos tizedes tört, irrcioális számokk evezzük. 7

118 . számú kiegészítés Vektorok, vektortér, skláris és vektoriális szorzt A vektor foglmák potos defiíciójához godoljuk végig, mit (geometrii) értelmezésükről eddig modtuk: vektor iráyított szksz. A következőkbe először csk síkbeli vektorokkl fogllkozom, kétfelől is közelítve kérdéshez. Iráyított szkszok Tekitsük síkb egy ABCD prlelogrmmát, és vegyük föl egy O votkozttási potot! Az ábráb berjzoltuk csúcsokb muttó helyvektorokt, és prlelogrmm oldlit iráyítottuk, így kptuk égy külöböző (em egyezek meg kezdő- és végpotjik!) iráyított szkszt: AB; AD; BC; és DC. Nyilvá AB = DC = b = c d= p AD = BC= d-= c- b= q, és hol p és q helyvektorok. Tehát z ábrá három-három egyelő vektor tlálhtó, ezek koordiátái hármsávl megegyezek: zoosk p és q helyvektorok végpotjik koordiátáivl. És ez utóbbi megállpítás igz mide oly további vektorr is, mely z itt szereplő iráyított szkszokkl egyiráyú és egyelő hosszú ilyet végtele sokt tláluk. Mi idokolj, hogy megkülöböztessük őket? A párhuzmos eltolás mit geometrii trszformáció e f és d e; f =, hol. Jelöljük f e-vel zt geometrii trszformációt, melyet z e, mjd z f egyeesre vló tegelyes tükrözés egymás utái végrehjtásávl kpuk. (A (krik) geometrii trszformációk hlmzá értelmezett kétváltozós művelet, két geometrii trszformáció szorzták hívjuk. Mivel geometrii trszformációk is függvéyek, ezért ( f e)( P) = f( e( P) ), összetett függvéy, így geometrii trszformációk szorztát jobbról blr hldv kell elvégezi.) Legye e és f két oly egyees, melyre ( ) Akkor lássuk feti művelet eredméyét! A rjzról jól láthtó, hogy f e, két tegelyes tükrözés szorzt egy oly párhuzmos eltolást eredméyez, mely z egyeesekre merőleges, iráy e-től f felé mutt, gyság pedig két egyees távolságák kétszerese (). Azz EE '' = FF '', két egymássl egyelő iráyított szksz. + 8

119 Legyeek most e; f; g és h sík oly egyeesei, melyekre e f g h (ebbe sorredbe) és ( ) ( ) d ef ; = d gh ; =. Ekkor z f e és h g külöböző geometrii trszformációk ugyzt párhuzmos eltolást eredméyezik, melyekhez végtele sok, egymássl egyelő iráyított szksz trtozik. Miért külöböztessük meg ezeket? Mielőtt megdák vektor potos foglmát, egy fotos új foglom: Ekvivlecireláció D: A mtemtikáb ekvivlecireláció ltt oly relációt értük, mely egyszerre reflexív, szimmetrikus és trzitív egy hlmzo, zz ekvivlecireláció H-, h bármely bc ; ; Heseté: () ; () H b, kkor b ; (3) H b és b c, kkor c. (Az eddig megismert relációk közül ( egybevágóság) és ( hsolóság) relációk ekvivleci relációk, ; ; relációk em zok.) Ezek utá defiiáljuk vektort! A vektor Az S sík két potj meghtároz egy szkszt. H egyiket kezdőpotk, másikt végpotk evezzük, kkor ezek meghtározk egy iráyított szkszt. Tehát z iráyított szksz sík potjiból lkotott redezett pár: AB = ( A; B) S S. Két iráyított szkszt ekvivlesek tekitük, h zoos gyságúk és iráyúk, jelölése AB CD. Az iráyított szkszok hlmzá értelmezett reláció ekvivlecireláció, mert: () reflexív: AB AB; () szimmetrikus: h AB CD, kkor CD AB és (3) trzitív: h AB CD és CD EF, kkor AB EF. D: Az iráyított szkszok hlmzák ekvivlecireláció áltl defiiált osztályit vektorokk evezzük. Két (vgy több) zoos hosszúságú és iráyú iráyított szksz ugyk z osztályk (vektork) képviselője (reprezetás). Amikor reprezetások áltl képviselt osztályokkl (vektorokkl) műveletet végzük (például két vektort összeduk), kkor szerkesztéshez bármelyiküket hszálhtjuk, ezért ezeket szbd vektorokk evezzük. 9

120 Ezzel defiícióvl yilvávló z is, hogy párhuzmos eltolást mit geometrii trszformációt z S sík egy ekvivleciosztályávl (vektorávl) djuk meg, melyet bármely iráyított szksz reprezetálht. Az S síkb egy O votkozttási potot válsztv (és bázisvektorokkl felépítve egy koordiátredszert) mide szbd vektork potos egy O-ból iduló reprezetás (helyvektor) v, és mide helyvektor eleme vlmely ekvivleciosztályk. A helyvektorok végpotjik koordiátái és sík potjik koordiátái között így egy kölcsööse egyértelmű leképezés, megfeleltetés hozhtó létre. Emitt vektort úgy is lehet tekitei, mit több számból álló csoportot, melyet síkb redezett számpárk, térbe redezett számhármsk z dimeziós térbe redezett szám -esek moduk. Ezzel egy egésze áltláos, új foglomig juthtuk el: A vektortér D: Legye T egy test (például vlós vgy komplex számok hlmz, bővebbe z. számú kiegészítésbe). Egy V em üres hlmzt vektortérek evezük T test felett, h () A V hlmzo értelmezve v egy összedás evű művelet (egy + :V V V függvéy), mely b ; V elempárhoz hozzáredel egy és csk egy V-beli elemet ( + b ), továbbá () T és V között értelmezve v egy sklárrl vló szorzás evű művelet (egy :T V V függ véy), mely k T és b V elempárhoz hozzáredel egy és csk egy V-beli elemet ( k ) úgy, hogy z lábbi zoosságok, z ú. vektortérxiómák teljesülek: I. V z összedásr ézve () kommuttív: b ; V eseté + b= b+ ; () sszocitív: V ( + ) + = + ( + ) (3) létezik eutrális elem, V, bc ; ; eseté b c b c, továbbá 0 V ullvektor, melyre V eseté + 0 =, és V eseté létezik oly - V, melyre + - = 0, dditív iverz. (4) ivertálhtó, zz ( ) II. A sklárrl vló szorzásr k T és b ; V eseté k + b = k+ kb ; kl, Tés Veseté k+ l = k+ l ; és () ( ) () ( ) (3) k, l T és V eseté k( l ) = ( kl) (4) V eseté =, hol T test egységeleme. V elemeit vektorokk, T elemeit sklárokk evezzük. A vektortér (más éve lieáris tér) lieáris lgebr egyik leglpvetőbb foglm. A vektorokkl végezhető műveletek legelemibb tuljdoságit xiomtikus defiiálj, z áltluk hszált sík és tér áltláosítás többdimeziós terekre. Jeletősége em csupá elméleti, fizikáb, iformtikáb, komputergrfikáb, továbbá számos más elméleti és lklmzott tudomáyágb játszik fotos szerepet hogy mtemtik más ágiról most e is szóljuk. 0

121 A skláris szorztról H ( ) T =, és ; ;...; ;...; V, hol, vektorokt kpjuk. i i D: H ( ) ( ) i i i i kkor = eseté síkbeli, = 3 eseté térbeli ; ;...; ;...; ; b b ; b ;...; b;...; b V, hol ; b, kkor két vektor skláris szorztá következő összeget értjük: b = b + b b i i b = b i i. i= A vektoriális szorzt Az euklideszi térbe vektorok között tuduk oly szorzási művelet értelmezi, mely em vezet ki vektorok hlmzából, zz művelet eredméye is vektor. D: Legye és b két vektor V euklideszi térbe. Az és b vektor vektori szorztá (jele b) zt c vektort értjük, melyre () c= bsi ( b ; ) és () c merőleges z és b vektor síkjár oly módo, hogy ; b és c ebbe sorredbe jobbsodrású redszert lkot. A vektoriális szorzt iráyát z egyik jobbkézszbállyl tudjuk meghtározi. E műveletek gyo sok érdekes tuljdoság v, többek közt: - em kommuttív; - em sszocitív, de - z összedásr ézve disztributív. A fizikáb gyo sok ilye módo számolhtó meyiséget ismerük: - erő forgtóyomték: M= r F; - egy ygi pot perdülete: N= r p; - mágeses Loretz-erő: F= q( v B ), illetve F= l( ) I B stb.

122 MATEMATIKAI KÉPLETTÁR Htváyok )... )( ( 3 b b b b b b )... )( ( k k k k k k k b b b b b b )... )( ( 3 k k k k k k k b b b b b b Biomiális együtthtók k k k k k Közepek Súlyozott számti közép: g g g g g g A Hrmoikus közép: H Négyzetes közép: Q Háromszögek K = s si si si ) )( )( ( 4 c s b s s s R bc T Négyszögek Húrégyszög: ) )( )( )( ( d s c s b s s T, hol K = s

123 Felszí és térfogt m Csokgúl: V T Tt t 3 Csokkúp: A R r ( R r) m V R Rr r 3 Gömb: A 4R d 3 3 4R d V 3 6 Trigoometrii összefüggések si si cos cossi coscos si si cos tg tg tg tgtg si si si cos cos cos cos cos si cos tg cos cos cos cos si cos si cos si si cos si cos cos si cos si cos cos si Koordiát-geometri Szkszt dott ráyb osztó pot koordiátái: x mx y my x, y, m m hol PP PP m