Emelt szintű érettségi matematikából

Átírás

1 Emelt szitű érettségi matematikából Segédlet a szóbeli vizsgához Fábiá Istvá pisti@fabiafamily.hu Duaújváros, 07 Kézirat

2 A témakörök kidolgozását a legjobb tudásom szerit igyekeztem megtei. Azoba a többszöri átézés utá is maradhattak bee hibák, hiáyosságok. Eek következtébe: Jogi yilatkozat Ebbe a kéziratba legjobb meggyőződésem szerit megbízható iformációkat közlök. Nem vállalok kötelezettséget és garaciát az iformációk teljességéek vagy potosságáak hiáyából adódó következméyekért, em vagyok kötelezhető a kéziratba található iformációk javítására és frissítésére, továbbá em vállalok felelősséget a kéziratba található iformációk haszálatából eredő bármilye természetű kárért. A felelősség elhárítása A kézirat redeltetése csupá a személyes haszálat, célja, hogy matematikából az emelt szitű szóbeli érettségi vizsgára való felkészüléshez támogatást yújtso. Nem garatálom, hogy a kézirat teljes mértékbe kielégíti a felhaszáló igéyeit. Nem viselek semmilye közvetle vagy közvetett felelősséget a károkért, amelyeket a felhaszálók vagy harmadik felek okoztak a kézirat helyes vagy helytele haszálatával magukak vagy másokak. Fetartom magamak a jogot, hogy bármikor, előzetes figyelmeztetés élkül módosítsam a kéziratot. A kézirat lezárva: 07. július 3.

3 Tartalomjegyzék Előszó... 5 Bevezetés... 6 Vizsgázói taktikák a szóbeli... 8 Kidolgozott tételek tétel: Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes pothalmazok a síkba és a térbe tétel: Racioális és irracioális számok. Műveletek a racioális és irracioális számok halmazá. Közöséges törtek és tizedes törtek. Halmazok számossága tétel: Oszthatóság, oszthatósági szabályok és tételek. Prímszámok. Számredszerek tétel: A matematikai logika elemei. Logikai műveletek. Állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásába és bizoyításába tétel: Hatváyozás, a hatváyfogalom kiterjesztése, a hatváyozás azoosságai. Az -edik gyök fogalma. A égyzetgyök azoosságai. Hatváyfüggvéyek és a égyzetgyökfüggvéy tétel: A logaritmus fogalma és azoosságai. Az expoeciális és a logaritmusfüggvéy tétel: Egyeletmegoldási módszerek, ekvivalecia, gyökvesztés, hamis gyök. Másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyeletek tétel: A leíró statisztika jellemzői, diagramok. Nevezetes középértékek tétel: Számsorozatok és tulajdoságaik (korlátosság, mootoitás, kovergecia). Műveletek koverges sorozatokkal. A számtai sorozat, az első tag összege tétel: Mértai sorozat, az első tag összege, végtele mértai sor. Kamatszámítás, gyűjtőjáradék, törlesztőrészlet. Expoeciális folyamatok a társadalomba és a természetbe tétel: Függvéyek lokális és globális tulajdoságai. A differeciálszámítás és alkalmazásai tétel: Derékszögű háromszögekre voatkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvéyei. A szögfüggvéyek általáosítása tétel: Háromszögek evezetes voalai, potjai és körei tétel: Összefüggések az általáos háromszögek oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között tétel: Egybevágóság és hasolóság. A hasolóság alkalmazásai síkgeometriai tételek bizoyításába tétel: A kör és részei. Kerületi szög, középpoti szög, látószög. Húrégyszögek, éritőégyszögek tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbotási tétel. Vektorok koordiátái. Skaláris szorzat tétel: Szakaszok és egyeesek a koordiátasíko. Párhuzamos és merőleges egyeesek. Elsőfokú egyelőtleségek, egyeletredszerek grafikus megoldása

4 9. tétel: A kör és a parabola a koordiátasíko. Kör és egyees, parabola és egyees kölcsöös helyzete. Másodfokú egyelőtleségek grafikus megoldása tétel: Térelemek távolsága és szöge. Térbeli alakzatok. Felszí- és térfogatszámítás tétel: Területszámítás elemi úto és az itegrálszámítás felhaszálásával tétel: Kombiációk. Biomiális tétel, a Pascal-háromszög. A valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás tétel: Permutációk, variációk. A biomiális eloszlás. A valószíűség kiszámításáak geometriai modellje tétel: Bizoyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizoyításába Felhaszált irodalom számú kiegészítés A valós számok axiómaredszere (a valós számtest) számú kiegészítés Vektorok, vektortér, skaláris és vektoriális szorzat Képlettár

5 Szaffiak és külööse! Kasmírak, akik segítettek és segíteek elviseli az elviselhetetlet Előszó Több évtizede taítok emelt óraszámú csoportokat (hívták már fakultációak, ESZÉF-ek stb.), és készítem föl diákjaimat egyetemi-főiskolai felvételire. Aak idejé ú. közpoti írásbeli érettségi-felvételi dolgozatot kellett íriuk, majd az általuk megjelölt felsőoktatási itézméybe szóbeli vizsgára hívták be őket több olya taítváyom volt, akiek így három helyre is el kellett meie. E vizsgáko az ott taítók kérdezték őket, akik általába em ismerték potosa a középiskolai ayagot, jó esetbe azért volt köztük középiskolai taár. Magam is többször voltam felvételi bizottság tagja a Duaújvárosi Egyeteme mid matematikából, mid fizikából. 005 utá, a kétszitű érettségi bevezetésével agymértékbe egyszerűsödött a helyzet, egyetle szóbeli vizsgát kell csak tei, és a bizottságok tagjai is középiskolai taárok, akik tisztába vaak a taayaggal. É örültem eek a változásak. Sajos azoba törtétek más változások is: valamikor a diákokak még ki lehetett adi a külöböző témaköröket öálló feldolgozásra, amelyeket aztá órá közöse megbeszéltük, így készülve a szóbelire. Mert akkoriba még az előírt taayag és a redelkezésre álló időkeret ezt megegedte. Ma már erre idők sics (legfeljebb az érettségi írásbelik utái és szóbelik előtti időszakba), illetve a taulók hozzáállása is megváltozott jobb szeretek már meglévő ayagokat megtauli. (Feleségem aki magyartaár agyo plasztikusa fogalmazott: tizeöt éve még csak éháy gyerek volt, aki em olvasta el a kötelező olvasmáyokat, tíz éve csak éháy gyerek volt, aki em olvasta el a kötelező olvasmáyok rövidített kivoatát, újabba pedig már csak éháy diák va, aki elolvassa legalább a rövidített változatot ) Ezt az igéyt felismerve a köyvkiadók mide évbe megjeletetek külöböző kiadváyokat ebből a célból (émelyikükbe sajos szakmai tévedések is előfordulak agy számba). Megítélésem szerit azoba ezek a köyvek a terjedelem-ár kapcsolat em elhayagolható mivolta miatt jóval többet tartalmazak, mit ami valóba szükséges egy sikeres szóbelihez, és ami belefér 0 percbe. Ez vezetett oda, hogy megpróbáljak összeállítai egy olya segédayagot, amely megtaulható, és véleméyem szerit! elegedő egy sikeres szóbeli vizsgához. Remélem, sikerrel járok. A szerzői jogokról: dolgozatom szabado felhaszálható, átírható, kiegészíthető és javítható (Public Domai) a rá való hivatkozást pedig megköszööm Az esetlegese előforduló hibákat, kérem, írják meg a pisti@fabiafamily.hu ímélcímre, hogy javítai tudjam azokat. 5

6 Bevezetés A következőkbe éháy fotos tudivaló az érettségi vizsga részletes követelméyeit tartalmazó 40/00. számú OM-redeletből (a matematikára voatkozó rész): Az emelt szitű szóbeli vizsga közpoti tételsor alapjá zajlik. A tételt a vizsgázóak öállóa kell kifejteie. Közbekérdezi csak akkor lehet, ha teljese helytele úto idult el, vagy yilvávaló, hogy elakadt. (Ez esetbe segítő kérdést lehet feltei, ameyibe az még a felelési időbe belefér.) A szóbeli vizsgára legalább húsz tételt kell készítei. A tételsort úgy kell összeállítai, hogy tematikailag fedje le a követelméyredszert. A tételek feladatait mide évbe frissítei kell. Vizsgázókét szükséges segédeszköz a tételsorba szereplő feladatokhoz kapcsolódó összefüggéseket tartalmazó képlettár, melyet a vizsgabizottságot működtető itézméy biztosít, továbbá szöveges adatok tárolására és megjeleítésére em alkalmas zsebszámológép, körző, voalzó, szögmérő, melyekről a vizsgázó godoskodik. Az egyes tételek egy-egy témából kerülek ki. A tétel címébe megjelölt témát logikusa, aráyosa felépített, szabad előadásba kell kifejteie a vizsgázóak. A feleletbe feltétleül szerepeliük kell az alábbi részletekek: egy, a témához tartozó, a vizsgázó választása szeriti defiíció potos kimodása; egy, a témához tartozó, a vizsgázó választása szeriti tétel potos kimodása és bizoyítása; a kitűzött feladat megoldása; a téma matematiká belüli vagy azo kívüli alkalmazása, illetve matematikatörtéeti voatkozása (több ismertetése vagy egy részletesebb bemutatása). A tételeket úgy kell összeállítai, hogy a ehézségük (az általuk átfogott taayagrészek agysága és mélysége) közel azoos legye. Ügyeli kell arra, hogy a tételbe kitűzött feladat ehézsége az egyes tételeket tekitve körülbelül azoos legye. A vizsgá haszálható képlettárat és a tételcímeket yilváosságra kell hozi. A szóbeli vizsgarész értékelése A szóbeli vizsgá elérhető potszám 35. Az értékelés közpoti értékelési útmutató alapjá törtéik. Az értékelési szempotok A felelet tartalmi összetétele, felépítéséek szerkezete 0 pot, eze belül - Logikus felépítés, szerkesztettség, tartalmi gazdagság 6 pot Ebbe a potba kell értékeli a feleletbe szereplő, a témához illő defiíciókak, a kimodott tételek és bizoyításáak a ehézségét is. - A felelet matematikai tartalmi helyessége 4 pot A feleletbe szereplő, a témához illő defiíció helyes kimodása pot Ha több defiíciót is elmod, akkor a defiícióra adható pottal a legjobbat kell értékeli. 6

7 A feleletbe szereplő, a témához illő tétel helyes kimodása és bizoyítása 6 pot, eze belül - A tétel helyes kimodása pot - A tétel helyes bizoyítása 4 pot A kitűzött feladat helyes megoldása 8 pot. Ha a feladatot csak a vizsgáztató segítségével tudja elkezdei, akkor maximum 5 pot adható. Alkalmazások ismertetése 4 pot. Egy, a tételhez illő alkalmazás vagy matematikatörtéeti voatkozás részletes kifejtése, vagy 3-4 léyegese eltérő alkalmazás vagy matematikatörtéeti voatkozás rövid ismertetése. Matematikai yelvhaszálat, kommuikációs készség 5 pot, eze belül - Matematikai yelvhaszálat pot - Öálló, folyamatos előadásmód pot - Kommuikáció pot (Ez utóbbi pot akkor is jár, ha a vizsgázó öálló felelete utá em volt szükség kérdésre.) Magam is több éve vizsgáztatok emelt szite, hol elökkét, hol kérdező taárkét, sok jó és rossz feleletet hallottam. A vizsgázók által elkövetett hibák általába (a tudáshiáyo túl ) az eze jogszabályba megfogalmazottak, az értékelési szempotok em ismeretéek következméyei. Így írásomat igyekszem a fetiek figyelembe vételével elköveti, külöös tekitettel a redelkezésre álló 0 perces időre. Néháy fotos megjegyzés, rövidítésmagyarázat: - Nálam egy tételbizoyítás a következőkből áll: Tétel: potos kimodás. Bizoyítás: értelemszerűe, továbbá a bizoyítás befejeztét midig jelezi kell valahogy, például Ezt akartuk bizoyítai. vagy Q. e. d. vagy Ez volt a tétel állítása. vagy álam //. - Ügyeljük arra, hogy a választott tétel bizoyítása e legye agyo köyű, ugyais a bizottság eek ehézségét is értékeli a logikus felépítés, szerkesztettség, tartalmi gazdagság 6 pot -jába. - Geometriafeladatokál elkerülhetetle egy jó ábra, eek felhaszálására é midig haszálom a HÁJ! jelölést, amely a Haszáljuk az ábra jelöléseit! modat rövidítése. - További rövidítések: T = tétel, D = defiíció. - Írásomba a matematikai kifejezéseket a MathType programmal készítettem, míg az ábrákat a GeoGebra felhaszálásával. - A dolgozat a 07. májusi vizsgaidőszakra kiadott témakörök alapjá készült (ez agyjából megegyezik a korábbi évek témaköreivel), szükség eseté a 07 decemberébe az OH által yilváosságra hozadó témakörökek megfelelőe a téli szüetbe át fogom íri. 7

8 Vizsgázói taktikák a szóbeli Körülbelül 50 saját letett vizsgá túl tapasztalataim a következők: - em lehet mide tételt egyformá jól megtauli; - tudomásul kell vei, hogy vaak jobb és kevésbé jobb tételek; - em szabad előre eldötei, hogy ezt a tételt akarom, a másikat meg em kihúzi. Ha ugyais em jö össze a célom, akkor köye leblokkolhatok és így biztos rossz is lesz az a tétel. Már az ősember is külöböző mágikus eljárásokat vetett be aak érdekébe, hogy előzetese biztosítsa cselekedete sikerességét e féljük mi se ettől! Modogassuk magukak, hogy sikerüli fog a vizsga, erősítsük magukba a hitet! Higgyék el, ez sokat jelet. Oliver Cromwell, az agol polgári forradalom egyik vezetőjéek modását szoktam ezzel kapcsolatba idézi: Bízz Istebe, és tartsd szárazo a puskaport! szólt a dötő csata előtti esős esté katoáihoz. Tauljuk, aztá bízzuk magukba. A feleletre legfeljebb 0 perc áll redelkezésre, ezalatt kell ismerteti a kitűzött feladat megoldását, illetve elmodai a tételt a vizsgázó által választott sorredbe. Ha megítélésük szerit sikerült megoldai az általába em túl ehéz feladatot, akkor érdemes azzal kezdei, hogy aztá a maradék időt teljes egészébe a tétel elmodására fordíthassuk, figyelve arra, hogy az alkalmazások kifejtésére is jusso idők (erre egyébkét felelet közbe szoktak is a vizsgáztatók figyelmezteti). Ellekező esetbe kezdjük a tétel kifejtésével, előzetese jelezve a vizsgabizottságak, hogy a feladattal em vagy em teljese boldogultuk. Ezzel felhívjuk a figyelmüket arra, hogy a feladattal kapcsolatba még dolguk lesz, hogy erre is száiuk kell időt. Arra az esetre, ha egyik résszel sem boldogultuk, em igazá tudok jó taácsot adi 8

9 Kidolgozott tételek 9

10 . tétel: Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes pothalmazok a síkba és a térbe. A halmaz a matematika egyik legfotosabb fogalma, mai tudásuk szerit matematikai ismereteik teljes egészébe visszavezethetők a halmazelméletre. A halmazelmélet fejlődése a 9. század végé idult, és a 0. századba yerte el jeleleg ismert formáját. A halmaz és az eleme fogalmát em defiiáljuk, alapfogalomak tekitjük, legfeljebb más szavakkal (összesség, csoport, bee va stb.) tudjuk körülíri. Megállapodás szerit akkor beszélhetük halmazról, ha bármely dologról egyértelműe eldöthető, hogy hozzátartozik vagy em. A halmaz elemeit általába kisbetűvel, magát a halmazt agybetűvel jelöljük: a A; b A. Egy halmazba egy elem potosa egyszer szerepel. Néháy speciális számhalmaz külö evet kapott, ezek jelét vastag betűvel írjuk: N; Z; Q; Q*; R, illetve Z + ; R - stb. A halmazokat megadhatjuk elemeik felsorolásával vagy a halmaz elemeire jellemző tulajdosággal, : = ; ; ; : = + 5 C : = József Attila versei. A abcd ; { } például: { } B x Z x ; { } D: Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük. Jele: { } vagy. D: Két halmaz egyelő, ha ugyaazok az elemeik, jelbe A= B. A halmazok közti kapcsolatok jellemzésére bevezetük két új fogalmat: D: Az A halmaz részhalmaza a B halmazak, ha A mide eleme eleme B-ek is; A B. Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmazak, ha A mide eleme eleme B-ek is, de B-ek va olya eleme, amely em eleme A-ak; A B. A részhalmaz kapcsolatra igazak a következő tételek: T: A A. T: Ha A Bés B C, akkor A C. T: Ha A Bés B A, akkor A= bizoyítására. A halmazok között műveleteket defiiáluk, a legfotosabbak: B. Ezt a tételt gyakra haszáljuk két halmaz egyelőségéek D: A egyesítése (uiója) B-vel azo elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazak elemei. { } A B: = xx A x B D: A metszete B-vel azo elemek halmaza, amelyek midkét halmazak elemei. { } A B: = xx A x B D: A külöbség B azo elemek halmaza, amelyek elemei A-ak, de em elemei B-ek. A\ B:= { xx A x B }. 0

11 D: A szimmetrikus külöbség B azo elemek halmaza, amelyek vagy A-ak, vagy B-ek elemei. A B: = { x x A x B x A B } vagy másképp : = ( \ ) ( \ ) A B A B B A. D: A Descartes- vagy direktszorzata B-vel azo redezett számpárok halmaza, amelyek első tagja az A halmaz, második tagja a B halmaz eleme. {( ) } AxB: = a; b a A b B T: Az uió- és a metszetképzés idempotes, kommutatív, asszociatív és midkettő disztributív a másikra ézve. A A= A A A= A A B= B A A B= B A ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = ( A C) ( B C) ( A B) C = ( A C) ( B C) A halmazokra voatkozó tételek bizoyítására, feladatok megoldására legtöbbször Ve-diagramot haszáluk. A következő tételt is eek segítségével bizoyítom. Tétel: Tetszőleges A, B és C halmazok eseté ( A B) C = ( A C) ( B C ). Bizoyítás: Ábrázoljuk az egyelőség midkét oldalát Ve-diagramo! A bal oldal: Előbb majd A jobb oldal: Előbb majd majd A két utolsó rajzot összehasolítva láthatjuk a két oldal egyezőségét.//

12 További fotos művelet a komplemeterképzés. Eek meghatározásához értelmezük kell az ú. alaphalmazt vagy uiverzumot. D: Egy feladattal, problémával kapcsolatba hozható összes dolog alkotja a feladatra, problémára voatkozó alaphalmazt vagy uiverzumot. Általába H-val vagy U-val jelöljük. D: Az A halmaz H-ra voatkozó komplemeteré értjük H azo elemeiek halmazát, amelyek em elemei A-ak. Jele: A. Nyilvá A= H \ A, továbbá A= A. A komplemeterképzésre voatkozó két legfotosabb tételt az ú. De Morga-azoosságok képviselik: A B= A B A B= A B Fetiek alapjá belátható a következő tétel: Bármely halmazokra voatkozó műveletsor felírható (megfelelő zárójelezéssel) csak uió- és komplemeterképzéssel, vagy csak metszet- és komplemeterképzéssel. Nevezetes pothalmazok (mértai helyek) D: Nevezetes pothalmazoko általába az ú. távolsággal jellemzett pothalmazokat értjük. Például: Azo potok halmaza a síkba, amelyek a sík egy adott potjától adott távolságra vaak, a kör (körvoal). (Az adott potot a kör középpotjáak, az adott távolságot a kör sugaráak evezzük.) Bár ez defiícióak látszik, mégsem az, haem egy szükséges és elegedő feltételt megfogalmazó tétel. Talá e tulajdoság jobba kitűik a következő evezetes pothalmaz meghatározásából: T: Azo potok halmaza a síkba, amelyek egyelő távolságra vaak a sík két külöböző potjától, a két potot összekötő szakasz szakaszfelező merőlegese. Ugyais defiíció szerit a szakaszfelező merőleges az az egyees, amely illeszkedik a szakasz felezőpotjára, és merőleges a szakaszra. Így a feti megfogalmazás a következő két tételt foglalja magába:. A szakaszfelező merőleges mide potja egyelő távolságra va a szakasz két végpotjától.. Ha egy pot egyelő távolságra va egy szakasz két végpotjától, akkor illeszkedik a szakasz szakaszfelező merőlegesére. További evezetes pothalmazok: T: Azo potok halmaza a síkba, amelyek egyelő távolságra vaak a sík két metsző egyeesétől, a két egyees meghatározta égy szög két szögfelező egyeese. T: Azo potok halmaza a síkba, amelyek egyelő távolságra vaak a sík két, egymással párhuzamos egyeesétől, a két egyees távolságát felező, azokkal párhuzamos egyees. T: Azo potok halmaza a síkba, amelyek egyelő távolságra vaak a sík egy egyeesétől és egy arra em illeszkedő pottól, a parabola. (Az adott egyees a parabola vezéregyeese (direktrixe), az adott pot a parabola fókuszpotja, az egyees és a pot távolsága pedig a parabola paramétere.)

13 T: Azo potok halmaza a síkba, amelyekek a sík két (em feltétleül külöböző) potjától mért távolságaiak összege a két pot távolságáál agyobb, adott szakasz hosszával egyelő, az ellipszis. (Az adott potokat az ellipszis fókuszpotjaiak evezzük.) T: Azo potok halmaza a síkba, amelyekek a sík két külöböző potjától mért távolságaiak külöbsége a két pot távolságáál kisebb, adott szakasz hosszával egyelő, a hiperbola. (Az adott potokat a hiperbola fókuszpotjaiak evezzük.) Az utóbbi három mértai helyet (ideértve a kört is) kúpszeletek evezzük (lehetséges más geometriai meghatározásuk miatt). A térbe vizsgálva a feti tételeket a következő aalógiákat kapjuk: - kör gömb; - szakaszfelező merőleges szakaszfelező sík; - szögfelező egyees szögfelező sík; - párhuzamos egyees párhuzamos sík; - parabola forgási paraboloid (pot és sík); - ellipszis forgási ellipszoid; - hiperbola forgási hiperboloid. A térbe további evezetes pothalmazokat is megfogalmazhatuk. Alkalmazások: A halmazokat a matematika mide területé haszáljuk, például függvéyek, egyeletek, egyelőtleségek értelmezési tartomáyáak meghatározásakor, az értékkészlet és a megoldáshalmaz vizsgálatakor, az iformatikába és a statisztikába az adatbázisok felépítésébe, és azok külöböző lekérdezéseibe (Google, Yahoo stb.), elemzéseibe (épszámlálások, közvéleméy-kutatások stb.). A evezetes pothalmazok középiskolába jellemző felhaszálása a geometriai szerkesztésekbe és bizoyításokba törtéik (a szerkesztésekél általába potot szerkesztük, két evezetes pothalmaz segítségével). További felhaszálásuk törtéhet például a csillagászatba (kúpszeletek), vagy külöböző számítógépes grafikák készítésébe. Megjegyzés: Ameyibe a tételhez tartozó feladat a bizoyított tétel belátása lee, javaslom helyette a De Morga-azoosságok belátását. 3

14 . tétel: Racioális és irracioális számok. Műveletek a racioális és irracioális számok halmazá. Közöséges törtek és tizedes törtek. Halmazok számossága. Ebbe a témakörbe csak a valós számok halmazával és aak részhalmazaival foglalkozom. Megtartva a középiskolás felépítés alapvetőe törtéeti megközelítésmódját, mégis törekszem az egzakt felépítésre. (Bővebbe erről az. számú kiegészítésbe.) A továbbiakba számo valós számot értek, amelyek halmazát a következőképpe határozom meg (Kosztoláyi és mtsai, 009, 9): D: A számegyees olya egyees, amelye kijelölük két potot, az egyikhez a 0, a másikhoz az valós számot redeljük. A két pot távolságát egységek evezzük. D: A számegyees mide potjához tartozik egy valós szám, és fordítva, mide valós számhoz tartozik egy pot a számegyeese. (Azaz a valós számok halmaza és a számegyees potjai között létezik kölcsööse egyértelmű megfeleltetés.) A valós számok halmazáak betűjele. A korai ember az életbe felmerült számlálási problémák megoldásába a em üres halmazok elemszámáak (darabszámáak) meghatározására alkotta meg a számokat. Eredetileg ezeket eveztük természetes számokak: az ; ; 3; számolás eredméyét (halmazát), újabba beleértjük a 0 számot is. A természetes számok halmazáak betűjele. Két műveletet értelmezett rajtuk: az egyesítésüket, ez lett az összeadás, illetve a többszörözésüket, ez lett a szorzás. Midkét művelet kommutatív és asszociatív, a szorzás pedig disztributív az összeadásra ézve, de ez fordítva em igaz, ezért evezzük a szorzást erősebb műveletek. A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és szorzásra ézve, azaz a művelet elvégzése em vezet ki a halmazból, a művelet eredméye is természetes szám. A két művelet iverz művelete azoba em midig hajtható végre a természetes számok halmazá, ezért vált szükségessé (a permaeciaelv alkalmazásával) a 0 és a egatív egész számok (kivoás), illetve a racioális számok (osztás 0-tól külöböző egésszel) értelmezése. Az egész számok halmazáak betűjele. E égy műveletet egybe alapműveletek evezzük. D: Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám háyadosakét, racioális számak evezzük. A racioális számok halmazáak betűjele. D: Azokat a számokat, amelyek em írhatók fel két egész szám háyadosakét, irracioális számokak evezzük. Az irracioális számok halmazáak betűjele. Azokat az irracioális számokat, amelyek gyökei egy racioális együtthatójú poliomegyeletek, algebrai számokak evezzük (ilye például a 5 3 vagy a 7 ). Vaak olya irracioális számok is, amelyek em gyökei egyetle racioális együtthatójú poliomegyeletek sem, ezeket traszcedes számokak evezzük (ilye például a π vagy az e). A két defiícióból következőe = és =. A valós számtest axiomatikus felépítése alapjá a racioális és irracioális számokat ezzel ekvivales módo is tudjuk defiiáli: 4

15 T: Mide valós számak létezik egyértelműe meghatározott tizedes tört alakja. D: Azokat a valós számokat, amelyek tizedes tört alakja véges vagy végtele, szakaszos tizedes tört, racioális számokak evezzük. D: Azokat a valós számokat, amelyek tizedes tört alakja végtele, em szakaszos tizedes tört, irracioális számokak evezzük. T: Egy racioális szám tizedes tört alakja akkor és csak akkor véges, ha két egész szám tovább em egyszerűsíthető háyadosakét felírt alakjába a evező prímtéyezős felbotásába csak a és/vagy 5 prímszámok szerepelek. (Megjegyzés: Aalóg állítások igazak abba az esetbe, ha a számredszer alapjául em a 0 számot választjuk.) Műveletek a racioális és irracioális számok halmazá Midkét halmazba az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, a szorzás (és az osztás) disztributív az összeadásra és a kivoásra ézve. A racioális számok halmazáak legfotosabb tulajdoságai (tételek): () A racioális számok halmaza sem alulról, sem felülről em korlátos. () A racioális számok halmaza zárt a égy alapműveletre ézve. (3) A racioális számok halmaza sűrű, azaz bármely két racioális szám között va további racioális szám. (Ebből már következik, hogy bármely két racioális szám között végtele sok racioális szám va.) Az irracioális számok halmazáak legfotosabb tulajdoságai (tételek): () Az irracioális számok halmaza sem alulról, sem felülről em korlátos. () Az irracioális számok halmaza em zárt a égy alapműveletre ézve. (3) Az irracioális számok halmaza sűrű, azaz bármely két irracioális szám között va további irracioális szám. (Ebből már következik, hogy bármely két irracioális szám között végtele sok irracioális szám va.) A racioális és az irracioális számok közti további fotosabb összefüggések (tételek): () Bármely két racioális szám között va irracioális szám. (Ebből már következik, hogy végtele sok is va.) () Bármely két irracioális szám között va racioális szám. (Ebből már következik, hogy végtele sok is va.) (3) Egy racioális és egy irracioális számmal elvégzett alapművelet eredméye irracioális szám. Törtek A hétközapi életbe háromféle törtet haszáluk a valós számok felírására: közöséges tört, vegyes tört és tizedes tört. 5

16 Racioális számok eseté például: 3 = = 3,4857 (a π irracioális szám Archimédesz által adott 7 7 az általáosa haszált 3,4-él jobb közelítése). A szakaszos tizedes törtek jelölésébe a szakaszt a kezdő- és végszámjegy fölé tett pottal jelöljük (mit fetebb), a szakasz a evezőél legfeljebb eggyel rövidebb hosszú lehet. Mivel a számok közti szorzásál em szoktuk (em kötelező) kitei a műveleti jelet, ezért a vegyes 3 tört alakú felírást célszerű elkerüli, mert eheze döthető el, hogy 3 = vagy 3 = 3 =, eek eldötésébe csak a szövegköryezet segíthet, például () x+ 8= 3 D= egyelet eseté vegyes tört; 7 () x + 8 ; = D = x + = egyeletmegoldás sorá 3 =, azaz közöséges tört Halmazok számossága Egy halmazba vagy véges sok, vagy végtele sok elem található. D: Véges sok elemet tartalmazó A halmaz számosságá az A halmazt alkotó elemek darabszámát értjük, jele A. Véges halmaz számossága tehát egy természetes szám, a 0 az üres halmaz elemszáma. Végtele sok elemet tartalmazó halmaz eseté a halmaz számosságát hasoló módo jelöljük, például, ez yilvá em egy természetes szám, a fogalmát más módo kell meghatározi, ehhez függvéytai segítséget hívuk: D: Az A és B halmazok egyelő számosságúak (más éve ekvivalesek), ha létezik olya f függvéy, amelyre f : A B kölcsööse egyértelmű és ráképezés (bijektív, azaz A mide eleméhez B potosa egy eleme tartozik és fordítva, illetve R f = B). Halmazok ekvivaleciáját többféle módo jelölhetjük, é a jelet fogom haszáli (Schultz és Tarcsay, 03). Az ekvivalecia em reláció, mert ehhez létezie kellee a halmazok halmazáak. T: Legyeek A, B és C tetszőleges halmazok. Ekkor () A A; () Ha A B, akkor B A. (3) Ha A B és B C, akkor A C. Az ekvivalecia segítségével tudjuk valójába defiiáli a végtele és a véges halmaz fogalmát: D: Az A halmaz végtele, ha va olya B A, amelyre A B. D: Az A halmaz véges, ha em végtele. (Ez ekvivales a korábba adott meghatározással.) 6

17 + Nyilvávaló, hogy eseté { ;;...; } + /, a + számosságot megszámlálhatóa végtele számosságak evezzük, jele À 0 ( alef ull, az alef a héber ábécé első betűje). A megszámlálhatóa végtele és a véges halmazokat együtt megszámlálható halmazokak evezzük. Tétel: + + = = = = Bizoyítás: A fet megadott tételek közül a = tételt fogom bizoyítai a Cator-féle átlós + + módszer segítségével (Schultz és Tarcsay, 03, 378). Írjuk föl egy táblázatba egymás alá az, a, a 3 stb. evezőjű törteket. Így felírjuk az összes pozitív racioális számot, midegyiket többször is (a bővített alakok miatt). A piros voal segítségével berajzoltuk egy bejárási útvoalat. Megaduk egy f : + + függvéyt a következő módo:,, 3, 3 4, 5 (azt a törtet, amelyek értéke 3 korábba már szerepelt, kihagyjuk), és így tovább. Így mide pozitív egész számhoz hozzáredeltük egy pozitív racioális számot, + + és fordítva, tehát f bijekció, azaz. // A számosságok között is tuduk < relációt defiiáli. D: A < B, ha B B, hogy A B, de A / B. D: Az A halmaz hatváyhalmazáak evezzük az A halmaz összes részhalmazából álló halmazt, jele H A. T: A < HA. T: Ha A =, emegatív egész, akkor H =. T: Bármely számosságál va agyobb számosság. T: A valós számok halmaza em megszámlálható. A D: A valós számok halmazáak számosságát kotiuum számosságak evezzük, jele c, a gót kis cé. T: () = () c > À 0 (3) = = ] 0;[ = { az -dimeziós terek potjai} A II. Nemzetközi Matematikai Kogresszus 900. augusztus 6. között ülésezett Párizsba. David Hilbert, a világ akkor már elismerte egyik legagyobb matematikusa augusztus 8-á Matematikai 7

18 problémák címmel tartott később óriási jeletőségre szert tevő előadást, amelybe felsorolta a matematika szerite legfotosabb problémáit. Ezek között első helye említette a Cator-féle kotiuumhipotézist: ics számosság a megszámlálhatóa végtele és a kotiuum számosság között. Kurt Gödel 940-be bebizoyította, hogy a kotiuumhipotézis em cáfolható a halmazelmélet axiomatikus felépítésbe, míg Paul Cohe 963-ba belátta, hogy em is bizoyítható. A kettő együtt azt jeleti, hogy az állítás kozisztes és függetle, vagyis sem az állítás elfogadása, sem az állítás tagadásáak elfogadása em okoz elletmodást, összhagba a Gödel-féle emteljességi tétellel. Alkalmazások A matematika, de a hétközapi élet mide területé is haszáljuk a számokat elsősorba az egészeket és a (kerekített) tizedes törteket, továbbá a rajtuk értelmezett műveleteket. Tizedes törtek haszálata eseté külöös figyelmet kell fordítauk a közelítő számítások hibáira, hogy a megkívát potosságú eredméyeket kapjuk. Középiskolába a számításokat szükséges és elegedő égy értékes jegy potossággal végezi. Megjegyzés: Magáak a végteleek (és em a végtele számosságokak!) a jelölésére Joh Wallis, 7. századi agol matematikus vezette be a jelet, amelyet a mai apig haszáluk külöböző jelölésekbe, például: [ 3; [ ; ; lim stb. x i i x = 8

19 3. tétel: Oszthatóság, oszthatósági szabályok és tételek. Prímszámok. Számredszerek. A számelmélet elsősorba a pozitív egész számok tulajdoságait kutatja. Az elmélet azoba em csak az egész számokat haszálja, ugyais jó éháy tétele a valós vagy komplex számok tulajdoságaiak felhaszálásával bizoyítható a legköyebbe. Ugyaakkor a természetes számok jól haszálhatók a valós számok vizsgálatára (például a irracioális voltáak bizoyítására). A következőkbe a betűk ha csak mást em moduk egész számokat jeleteek. D: Azt modjuk, hogy a b szám osztható a em ulla a számmal, ha va olya c szám, amelyre b = ca. Jelölése: ab, a em osztója jelölése ab. A defiíció segítségével köye bizoyíthatók az alábbi tételek: T: () Ha ab, akkor a cb. () Ha ab és bc, akkor ac. (3) Ha ab és ac, akkor a db + ec. (4) Ha ab és ba, akkor a= ± b. (5) Ha ab és a > 0, b > 0, akkor a b. (6) Ha m 0, akkor a b ma mb. A következőkbe a feladatok megoldásába az egyik leggyakrabba haszált tételt modom ki. T: (A maradékos osztás tétele.) Tetszőleges a > 0 és b számokhoz létezik olya egyértelműe meghatározott q és m szám, amelyekre b = qa + m, ahol 0 m< a. Ha ab, akkor m kielégíti az erősebb 0 < m< a egyelőtleséget is. q-t háyadosak, m-et maradékak evezzük. E tétel alkalmazásáál a szorzás sorredjére figyeli kell, mert a 3 = és a 3 = 4 3+ felírás em ugyaazt jeleti. D: Az a számot a b és a c szám közös osztójáak evezzük, ha ab és ac. T: Ha b és c egyike sem ulla, akkor midkét számak véges sok osztója va, így a közös osztók száma is véges, tehát va köztük legagyobb. Jele: ( bc ; ) (legagyobb közös osztó = lko). A tételből az is következik, hogy pozitív számok eseté ( bc ; ). D: Ha ( ) bc ; =, akkor b-t és c-t relatív prímekek evezzük. D: Ha ab és cb, akkor a b számot az a és a c szám közös többszöröséek evezzük. T: A közös többszörösök között va legkisebb (legkisebb közös többszörös, lkkt). Az lkkt jelölése: [ ac ; ]. Több szám legagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét, hasoló módo defiiáljuk, illetve jelöljük. 9

20 ab ab = ab. T: Pozitív a és b számok eseté ( ; ) [ ; ] E tétel csak két szám eseté érvéyes, gyakra haszáljuk az [ ab ; ] meghatározására akkor, ha a és b elég agyok, ekkor ( ab ; ) -t maradékos osztással gyorsabb kiszámítai. Oszthatósági szabályok a tízes számredszerbe Feladatok megoldása sorá gyakra haszáljuk a következő oszthatósági szabályokat (tételeket): T: () Egy szám akkor és csak akkor osztható -vel, ha utolsó számjegye osztható -vel. () Egy szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha számjegyeiek összege osztható 3-mal. (3) Egy szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyéből álló szám osztható 4-gyel. (4) Egy szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha utolsó számjegye 0 vagy 5. (5) Egy szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha osztható -vel és 3-mal. (6) Egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha számjegyeit hátulról hármasával csoportosítva és váltakozó előjellel összeadva a kapott szám osztható 7-tel. (7) Egy szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyéből álló szám osztható 8-cal. (8) Egy szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha számjegyeiek összege osztható 9-cel. (9) Egy szám akkor és csak akkor osztható 0-zel, ha utolsó számjegye 0. (0) Egy szám akkor és csak akkor osztható -gyel, ha számjegyeit váltakozó előjellel összeadva a kapott összeg osztható -gyel. Prímszámok D: A p > egész számot prímszámak (törzsszámak vagy rövide prímek) evezzük, ha p-ek ics olya d osztója, amelyre < d < p. Ha az a egész szám em prím, akkor összetett számak evezzük. A 0 se em prím, se em összetett szám. Két ehhez kapcsolódó fotos tétel: T: Mide > egész szám felírható prímek szorzatakét (lehetséges, hogy a szorzat csak egytéyezős). T: Bármely > egész szám felbotása prímek szorzatára egyértelmű, eltekitve a prímek sorredjétől (a számelmélet alaptétele). A számelmélet alaptételéek alkalmazásakor gyakra írjuk föl a számot ú. kaoikus alakba: α3 p p p p k α α αk = További tételek a prímszámokról: Tétel: A prímszámok száma végtele (Eukleidész). 0

21 Bizoyítás: Idirekt úto bizoyítuk, azaz tegyük föl, hogy csak véges sok prím va: p; p; p3;...; p k. Tekitsük az = p... p p3 p k + számot! A maradékos osztás tétele miatt -et bármely feti prímmel maradékosa osztva -et kapuk maradékul, tehát egyetle prímmel sem osztható. Ebből következik, hogy vagy prím, vagy va olya p prímosztója, amely külöbözik a p; p; p3;...; p k prímektől. Midkét lehetőség elletmod feltevésükek. // Tétel: A prímek sorozatába tetszőlegese agy hézag va, azaz tetszőleges k pozitív egész számhoz létezik k egymás utái összetett szám. Bizoyítás: Tekitsük a következő számokat: ( ) ( ) ( ) ( ) k+! + ; k+! + 3;...; k+! + k; k+! + k+. Midegyik szám összetett, mivel j osztója a ( k ) +! + j egészek, ha j k+. Ez utóbbi tétel azt sejteti, hogy a prímek elég egyelőtleül oszlaak el. A számelmélet egyik legmeglepőbb eredméye (prímszámtétel) szerit azoba ha π ( ) -el jelöljük az -él kisebb prímek számát, akkor lim ( ) l π =, azaz agy -ek eseté az -él kisebb prímek száma fordította aráyos az l háyadossal. α α α3 αk Tétel: Az >, = p p p3... p k egész szám pozitív osztóiak száma ( ) ( ) ( ) ( ) d α α α3 α k ( ) = Bizoyítás: Legye r. Emiatt = q r. Vessük ezt össze kaoikus alakjával! α3 q r p p p p k α α αk = = 3..., amelyből a számelmélet alaptétele szerit az következik, hogy r kaoikus alakjába is csak a p i prímek β fordulhatak elő, legfeljebb az α i-edik β 3 k hatváyo, i k. És fordítva: mide r p p p β β = 3... p k alakú szám ahol 0 βi αi és i k osztója lesz -ek. β kitevőket egymástól függetleül, ( ) Ahhoz, hogy összes pozitív osztóit megkapjuk, a i féleképpe választhatjuk meg, ezért d ( ) = ( α+ ) ( α+ ) ( α3+ )... ( α k + ). // α + - A prímszámok segítségével általába köye meg tudjuk határozi két vagy több szám lko-ját és lkkt-jét. T: Két vagy több szám legagyobb közös osztója a számok kaoikus alakjába szereplő közös prímtéyezők legkisebb hatváyo vett szorzata. T: Két vagy több szám legkisebb közös többszöröse a számok kaoikus alakjába szereplő összes prímtéyező legagyobb hatváyo vett szorzata. Nagy számok eseté a kaoikus alak meghatározása (az akasztófamódszerrel) ehéz és hosszadalmas eljárás lehet, ilyekor két szám lkkt-jét úgy számoljuk ki, hogy előbb lko-jukat határozzuk meg i

22 maradékos osztások sorozatával, majd az ( ; ) [ ; ] [ ;9 68 ] eseté: = = = = 498 ab ab = abtétel alapjá számoljuk ki lkkt-jüket. Például A két szám legagyobb közös osztója az utolsó em ulla maradék, tehát ( ;9 68) = 498, ahoa [ ;9 68] = = (E módszer másik előye, hogy 498 köye tuduk rá rövid számítógépes programot íri, ciklus alkalmazásával.) Több szám lko-jáak meghatározásához kettesével szoktuk botai, és az lko-k lko-ját keressük. Számredszerek A kezdetekbe a számokat betűkkel jelölték (föíciai, ógörög, héber vagy római számok), de az ezekkel való számolás ige ehézkes volt, agy előrelépést jeletett a ma haszálatos helyi értékes írásmód bevezetése (maja kultúra, Idia), amely jeletőse megköyítette az alapműveletek elvégzését. A törtéelem folyamá többféle számredszert is haszáltak az emberek a hétközapi számolások sorá attól függőe, hogy mit tekitettek elsődleges segítségek/célak. Így a tízest és húszast (a kezeke, illetve a kezeke és lábako lévő ujjak száma miatt), vagy a tizekettest és a hatvaast (a több részre való köyű oszthatóság miatt). Az iformatika fejlődése miatt került előtérbe a kettes (biáris) és a tizehatos (hexadecimális) számredszer. A hatvaas számredszer emlékét őrzi a fok-perc-másodperc beosztás, a tizekettesét az agolszász yelvekbe a és számjegyek öálló eve (valamit az Egyesült Királyságba 97-ig az fot = 0 shillig, shillig = pey átváltás a fizetőeszközökél). A magyar yelv is őrzi a valamikori tizekettes számredszert a tucat () és a agytucat ( = tucat tucat, 44) (szám)evekbe. Tizekettes számredszerbe egyébkét köyű az ujjaiko számoli, a mutató-, a középső, a gyűrűsés a kisujjuk 3-3 percét haszálva. Mide bizoyal a fizetéssel kapcsolatba gesztussá vált mozdulat a hüvelyk-, a mutató-, és középső ujjak hegyéek összedörzsölése is erre vezethető vissza. A számok helyi értékes felírásakor az -es számredszerbe, a számjegyek halmaza {0; ; ; ; -}. Jobbról az első helyre kerülek az egyesek, majd balra haladva a számjegy értékei: ; ; 3 ; leszek a helyi értékek. Ezekkel a számokkal szorozva adódak a számjegyek valódi értékei. A helyi értékes számírási redszerekbe alapvető a 0 számjegy haszálata, hisze ez teszi lehetővé, hogy kimaradjo egy agyságred. Jelölése: abcde vagy abcde, ahol abcde e d c b a 3 4 = Az alapprobléma ebbe a tárgykörbe a külöböző számírások, számredszerek egymásba való átírása. Tekitsük az MMXVII római számot. Eek értéke tízes számredszerbe 07. Ezt más alapú számredszerbe maradékos osztással tudjuk átíri, például yolcasba: 07 = = = = 374 3= = 08 8

23 Ha például 5-ös számredszerből kell átíri 7-esbe, akkor érdemesebb (a megszokott 0-es alapú számolásuk miatt) előbb átíri 0-esbe, majd oa 7-esbe. A számítástechikába haszált -es, 8-as és 6-os számredszerek között köyű az átváltás: a - esbe felírt számot hátulról csoportosítjuk hármasával, illetve égyesével, és a csoportokat írjuk át számjegyekké, majd ezeket egymás mellé. A kettesbe való átírásál eek az eljárásak a fordítottját haszáljuk: 3748 = 00 00, mert 8 = 00; 48 = 00; 78 = ; 38 = 0, illetve 0000 = = 7(3) 6, mert = 76; 0 = (3) 6; 000 = 6. A hexadecimális számredszerbe a 9-esél agyobb számjegyek jelölésére redre az A; B; C; D; E; F betűket haszáljuk, így a potos leírás: MMXVII = 07 = = 3748 = 7D6. Azt, hogy egy szám hexadecimális, gyakra egy eléje tett $ vagy # jellel jelölik: 7D6 = $7D = #7D. Alkalmazások A prímszámokat az alapvető számolásokba a törtek egyszerűsítéséél és összeadásáál haszáljuk az lko és az lkkt meghatározásához. Az egész számok halmazá értelmezett, ú. diofatoszi egyeleteket, problémákat legtöbbször oszthatósággal, maradékos osztás segítségével oldjuk meg. Hexadecimális számredszerrel a ma embere legtöbbször a mobiltelefojá, számítógépé találkozik, sőt haszália is kell: a külöböző eszközök közötti iformációátadást biztosító hálózati kártyák midegyike redelkezik egyedi, ú. MAC-címmel, amellyel a hálózat azoosítja az eszközt. Ezt meg kell adi a legtöbb esetbe, például egy WiFi elérést biztosító routerek, hogy felegedje a hálózatra. Alakja: égy hexadecimális szám, kötőjelekkel elválasztva. És még hosszasa lehete soroli Megjegyzés: Ez a tétel kicsit hosszabb lett aál, mit ami 5 percbe belefér. Eek két oka va: ) Mióta az eszemet tudom, a számelmélet a kedvec témaköröm a matematiká belül, ebből írtam aak idejé a szakdolgozatom is (második helye az aalízis ). ) Itt három tételt is bizoyítottam: (a) végtele sok prím va (Eukleidész) a vizsgázók általába ezt választják, csak sajos ez a túl köyű és túl rövid kategória; (b) tetszőlegese agy hézag va a prímek között ez szité az előző kategóriába tartozik; (c) a pozitív osztók száma é ezt ajálom, mert ez már valamivel erősebb az előző kettőél. A választás Öökre va bízva 3

24 4. tétel: A matematikai logika elemei. Logikai műveletek. Állítás és megfordítása, szükséges és elégséges feltételek, bemutatásuk tételek megfogalmazásába és bizoyításába. A logika törtéete A logika valójába em (csak) a matematika mit tudomáy része, haem az emberi godolkodás legfotosabb törvéyeit, a helyes következtetések szabályait fogalmazza meg, valamikor öálló tárgykét is taították. Alapjait Szókratész és követői, a szofisták rakták le (akik a szavak és a modatok jeletését próbálták meg tisztázi), majd Arisztotelész dolgozta ki részletese a máig haszált szabályokat, melyeket halála utá közel háromszáz évvel Orgao (Eszköz) éve foglaltak össze. A feladatmegoldásokba a mai apig haszáljuk jelölésmódját: premisszák Mide ember haladó. Szókratész ember. v = 0 km / h t = 5perc 4 koklúzió Szókratész haladó. s =? A logika fejlődése a 9. század végé, Gottlob Frege mukásságával idult csak újra, a 0. századba pedig többek között Bertrad Russell, Ludwig Wittgestei, Alfred Tarski és Kurt Gödel formálták tovább. A matematika szempotjából külööse Russell és Gödel mukássága fotos: előbbi Alfred North Whiteheaddel közöse írt A matematika alapjai című művébe a matematika axiomatikus megalapozására tett kísérletet, míg Gödel emteljességi tétele épp az axiomatikus felépítés egyik fotos tulajdoságát modja ki: mide elletmodásmetes axiómaredszer, amely tartalmazza a természetes számok axiómaredszerét, em teljes, azaz vaak bee eldöthetetle problémák (mit például Eukleidész evezetes párhuzamossági axiómája). A matematikai logika A logika alapfeladata, hogy olya formai kritériumokat tárjo fel, amelyek szerit az adott igaz vagy igazak feltételezett állítások (azaz a premisszák) eseté helyese következtethetük egy kijeletés (a koklúzió) igazságára. A logika legegyszerűbb ága az ítéletkalkulus, amelyek alapfogalmai az ítélet (állítás), a logikai értékek (i; h), és egy, az ítéletek halmazá értelmezett függvéy, amelyek képhalmaza a logikai értékek halmaza, amely mide ítélethez egyértelmű módo redel egy logikai értéket. D: Ítéletek (állításak, kijeletések) evezük mide olya kijelető modatot, amelyről egyértelműe eldöthető, hogy igaz vagy hamis. Ha az állításokat tagadószóval látjuk el vagy kötőszavakkal kapcsoljuk össze, akkor logikai műveletet kapuk, amelyeket igazságtáblázattal aduk meg. A következőkbe a logika alapműveleteit defiiáljuk igazságtáblázattal:. Negáció (tagadás, em A, jele ) A A i h h i Nyilvá ( A) = A.

25 . Kojukció ( A és B, jele ) A B A B i i i i h h h i h h h h Csak akkor igaz, ha midkét tagja igaz. 3. Diszjukció ( A vagy B, megegedő vagy, jele ) A B A B i i i i h i h i i h h h Csak akkor hamis, ha midkét tagja hamis. 4. Implikáció (következik, ha A, akkor B, jele ) A B A B i i i i h h h i i h h i Csak akkor hamis, ha előtagja igaz, utótagja hamis (igaz állításból em következhet hamis állítás). 5. Ekvivalecia (egyeértékűség, akkor és csak akkor A, ha B, jele ) A B A B i i i i h h h i h h h i Akkor és csak akkor igaz, ha elő- és utótagja azoos logikai értékű. A mideapi beszédbe gyakra haszáljuk a vagy szót kizáró vagy (csak az egyik) értelembe, de ezt köyű észrevei: ilyekor midig a vagy, vagy szókapcsolatot haszáljuk. Az állításokba gyakra haszáluk kvatorokat. A kvatifikáció (Arisztotelész) léyege a következő. A haladó. yitott modatból em csak úgy kaphatuk zárt modatot (ítéletet), hogy egy evet helyettesítük a kitöltetle helyre: Szókratész haladó. Ítéletet kapuk úgy is, ha a yitott modatot záró alayok számára teszük valamilye állítást: Mide ember haladó. (uiverzális kvatifikáció), Va olya (létezik) ember, aki haladó. (egziszteciális kvatifikáció), Ezer olya ember va, aki haladó. (umerikus kvatifikáció). Ezek jelölésére haszáljuk az uiverzális kvatort (, a mide, bármely, összes, valameyi kifejezésére), az egziszteciális kvatort (, a va olya, létezik kifejezésére), ez utóbbi speciális esete a!, amellyel a potosa egy létezik kifejezést jelöljük. 5

26 Ezekkel a jelölésekkel majd az egyetemi taulmáyaik sorá sűrű fogak találkozi a külöböző matematikaköyvekbe és -jegyzetekbe. A logikai műveletek tulajdoságai A tagadás jó haszálata redkívül fotos a matematikába, de a hétközapi életbe is. Például a Mide emberek két feje va. állítást tagadhatjuk egészébe (az állítmáyába) Nics mide emberek két feje., de kibotva is: Va olya ember, akiek ics két feje. A klasszikus rossz tagadás a Mide emberek egy feje va. állítás. Igazságtáblázattal köye belátható, hogy 6 a) A B= ( A B) ( B A ); b) A B= ( A) B; ezért elegedő az és és a vagy műveleteket vizsgáli. Tétel: A kojukció és a diszjukció idempotes, kommutatív, asszociatív és disztributív a másikra ézve. () A A= A () A A= A (3) A B= B A (4) A B= B A (5) ( A B) C = A ( B C) (6) ( A B) C = A ( B C) (7) ( A B) C = ( A C) ( B C) (8) ( A B) C = ( A C) ( B C) Bizoyítás: Csak a (7) azoosságot bizoyítom ítéletkalkulus segítségével. A B C ( A B ) ( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A C) ( B C ) i i i i i i i i i i h i h h h h i h i i i i h i i h h i h h h h h i i i i h i i h i h i h h h h h h i h h h h h h h h h h h h h Mivel a két oldal által adott eredméyek mide lehetséges esetre megegyezek, ezért (7) valóba azoosság.// További fotos összefüggés a két De Morga-azoosság: A B= A B és A B= A B. A következőkbe állításokkal és megfordításukkal foglalkozom. A matematikai tételek (állítások) legtöbbje ha A, akkor B típusú, azaz implikáció. Eek megfordításá a ha B, akkor A állítást értjük. Abból, hogy egy A B állítás igaz, általába em következik, hogy a B A állítás is igaz lee. Ha az A B állítás igaz, akkor azt modjuk, hogy A elégséges (de em feltétle szükséges) feltétele B-ek, illetve B szükséges (de em feltétleül elégséges) feltétele A-ak. Tekitsük a következő igaz állítást: Ha egy égyszög paralelogramma, akkor a égyszög trapéz. A égyszög paralelogrammasága elégséges feltétel ahhoz, hogy trapéz legye (de em szükséges), és

27 szükséges (de em elégséges) feltétel a égyszög paralelogrammaságához, hogy trapéz legye. A feti állítás megfordítása ( Ha egy égyszög trapéz, akkor a égyszög paralelogramma. ) yilvá hamis. Ha az A Bállítás ( A akkor és csak akkor, ha B ) igaz, akkor azt modjuk, hogy A szükséges és elegedő feltétele B-ek (és fordítva). Az Egy egész szám akkor és csak akkor osztható -vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel. igaz állításba a 3-mal és 4-gyel való oszthatóság szükséges és elégséges feltétel is ahhoz, hogy a szám osztható legye -vel. Tételek direkt bizoyításába azt haszáljuk ki, hogy az implikáció trazitív, azaz ha akkor A C, másképp: ( A B) ( B C) A C. ( ) ( ) A Bés B C, Az idirekt (reductio ad absurdum típusú) bizoyítások esetébe pedig azt haszáljuk ki, hogy A B= A B= B A= ( B) A= B A, azaz ha B em igaz, akkor A sem. 7

28 5. tétel: Hatváyozás, a hatváyfogalom kiterjesztése, a hatváyozás azoosságai. Az -edik gyök fogalma. A égyzetgyök azoosságai. Hatváyfüggvéyek és a égyzetgyökfüggvéy. A hatváyozás kétváltozós művelet, amelyet eredetileg egy olya szorzat rövid leírására haszáltak, amelyek téyezői megegyezek: + D: { } a, \ eseté a: = aa... a, ahol a a hatváy alapja, a hatváy kitevője és a a hatváy értéke. darab A hatváyozásra igazak a következő azoosságok: m + m () a a = a a m () = a a 0, m+ m a a a (4) = b 0 b b m m (5) ( a ) = a T: (3) a b = ( a b) Ahhoz, hogy a () azoosság bármely két egész kitevőre teljesüljö, defiiáluk kell a 0, és egatív egész kitevőjű hatváyokat is. A defiícióak ki kell elégíteie azt a feltételt, hogy az azoosságok továbbra is érvéybe maradjaak ezt evezzük permaeciaelvek. Az eek eleget tevő defiíciók a következők: D: a : = a, a : =, ha a 0 és eseté a : =, a 0. a 0 (A 0 0 -t em lehet elletmodásmetese értelmezi, a 0 mide pozitív egész kitevőjű hatváy 0, így kézefekvő lee ez a defiíció, de bizoyos esetekbe célszerű (és szokás) az értéket adi eki, például: f : x a x ( + x) = x i= 0 i i= 0 i i Itt x = 0 eseté az x 0 = értékkel számoluk.) i A permaeciaelv alapjá tudjuk kiterjesztei a hatváyozás fogalmát racioális kitevőre, ehhez az (5) azoosságot haszáljuk fel. Az egyértelműség miatt egatív számok racioális kitevőjű hatváyait em értelmezzük, a 0-ak pedig csak a pozitív racioális kitevőjű hatváyait értelmezzük, ezek értéke 0. + D: { } p q a, p, q \ 0 eseté a legye az a pozitív valós szám, amelyek q-adik hatváya a p. 8

29 E defiíció eseté érvéybe maradak a hatváyozás azoosságai racioális kitevőre is. Az -edik gyök defiíciója és azoosságai utá az ()-et bizoyítai is fogom. Pozitív valós számokak tudjuk értelmezi az irracioális kitevőjű hatváyait is a következő tételek alapjá: r r T: Ha a > valós szám és r < r racioális számok, akkor a < a, ha pedig 0 < a < valós szám, akkor a > a. r r x (Ez a tétel azt modja ki, hogy az f : x a, a expoeciális függvéy szigorúa mooto.) T: Ha a > valós szám, akkor tetszőleges x valós számra sup { r s a : r, r< x} = if { a : s, x< s} 0 < a < valós szám, akkor if { r s a : r, r< x} = sup { a : s, x< s}.. Ha (Ez a tétel a teljességi axiómá alapul mide felülről korlátos és em üres halmazak va legkisebb felső korlátja.) D: Ha a > valós szám, akkor tetszőleges x valós számra a x legye a r s sup { a : r, r< x} = if { a : s, x< s} számra a x legye az if { r s a : r, r< x} = sup { a : s, x< s} valós szám. Ha 0 < a < valós szám, akkor tetszőleges x valós x. : =. A 0 mide pozitív irracioális kitevőjű hatváyát 0 értékűek defiiáljuk. Az -edik gyök fogalma A hatváyozás mit művelet megfordítását gyökvoásak evezzük: itt a hatváy értékéek és kitevőjéek az ismeretébe keressük az alapot, jele a, ahol a gyökkitevő, rövide kitevő. Az egyértelműség miatt külö kell defiiáluk a gyökvoást páros és páratla kitevőre: D: + = k ( k ) és a \ eseté a legye az a emegatív szám, amelyek -edik hatváya a; + = k + ( k ) és a eseté a legye az a szám, amelyek -edik hatváya a. A gyökvoás defiíciója alapjá a törtkitevős hatváyt defiiálhatjuk a következőképpe is: + + D: { } q p a, p, q \ eseté a : = a. p q A égyzetgyökvoás azoosságai A égyzetgyökvoás jele a. A hatváyozás azoosságaiak felhaszálásával köye igazolhatóak a égyzetgyökvoás azoosságai is: 9

30 T: (6) a b= ab ab ; \ ; a a (7) = ab ; \ ; b 0; b b ( ) (8) a = a a \ ;. További fotos azoosság, hogy =. a eseté a a Az () (3) azoosságok igazak tetszőleges gyökkitevő eseté is (a megfelelő értelmezési tartomáyo), m m továbbá ( ) m m m m a = a és a = a és a = a. A korábba ígért tételbizoyítás: + p r Tétel: Ha a, =, m= q s ( ;,, \ ), akkor + racioális számok pr qs { } m m a a = a +. Bizoyítás: p r ps+ qr p r + m q s q p s r qs ps qs qr qs ps qr qs ps+ qr qs q s + m a a = a a = a a = a a = a a = a = a = a = a. // Hatváyfüggvéyek Hatváyfüggvéyek evezzük az x x hozzáredelési szabállyal adott függvéyt, ahol tetszőleges, ullától külöböző álladó. A függvéy értelmezési tartomáya -től függ. + Ebbe a témakörbe csak az eseteket (pozitív egész kitevőjű hatváyfüggvéyek) vizsgáljuk. A függvéyek jól látható módo három külöböző csoportra bothatók: () = ; () = k; (3) = k + ( k + ). A függvéyek jellemzése a három esetet külö vizsgálva: 30

31 Szempot = = k = k + Értelmezési tartomáy: R R R Értékkészlet: R R\R - R Zérushely: x = 0 x = 0 x = 0 Szélsőértékek: - maximum ics, felülről em korlátos ics, felülről em korlátos ics, felülről em korlátos - maximumhely - miimum ics, alulról em korlátos y = 0 ics, alulról em korlátos - miimumhely x = 0 Paritás: páratla páros páratla Periodikusság: em periodikus em periodikus em periodikus Növekedési viszoyok: szigorúa mooto övekvő ] ;0] szigorúa mooto csökkeő; 0; szigorúa [ [ szigorúa mooto övekvő mooto övekvő Függvéygörbe alakja: egyees kovex ] ;0] kokáv; ]0; ] kovex A égyzetgyökfüggvéy A égyzetgyökfüggvéy a [ 0; ] értelmezési tartomáyra szűkített x x függvéy iverz függvéye. A égyzetgyökfüggvéy jellemzése: Értelmezési tartomáy: R\R - Értékkészlet: R\R - Zérushely: x = 0 Szélsőértékek: - maximum ics, felülről em korlátos 3

32 - maximumhely - miimum y = 0 - miimumhely x = 0 Paritás: em páros és em páratla Periodikusság: em periodikus Növekedési viszoyok: szigorúa mooto övekvő Függvéygörbe alakja: kokáv Alkalmazások: A hatváyozás és a gyökvoás azoosságait a matematika mide ágába haszáljuk, ide bármit fel lehet soroli az elsőfokúál magasabb redű egyeletek, egyelőtleségek megoldásától kezdve a hosszúság-, terület- és térfogatszámításig. A értelmezése révé eljutuk a komplex számok halmazához. 3

33 6. tétel: A logaritmus fogalma és azoosságai. Az expoeciális és a logaritmusfüggvéy. A hatváyozás defiíciójáak kiterjesztése valós kitevőjű hatváyra lehetővé tette az + x > f : R R x a a 0 függvéy értelmezését, amelyet expoeciális függvéyek evezük. Az expoeciális függvéy jellemzése: Szempot a > a = 0 < a < Értelmezési tartomáy: R R R Értékkészlet: R + {} R + Zérushely: ics ics ics Szélsőértékek: - maximum ics, felülről em korlátos y = ics, felülről em korlátos - maximumhely x - miimum ics, alulról korlátos, legagyobb alsó korlát k = 0 y = ics, alulról korlátos, legagyobb alsó korlát k = 0 - miimumhely x Paritás: em páros és em páratla páros em páros és em páratla Periodikusság: em periodikus periodikus, periódushossza ics* em periodikus Növekedési viszoyok: szigorúa mooto kostas övekvő Függvéygörbe alakja: kovex vízszites egyees kovex szigorúa mooto csökkeő *A periódushossz egyik lehetséges értelmezése miatt. 33

34 Továbbá a hatváyozás mit művelet megfordítása is szükségessé vált: míg a hatváyozásál adott a alap és b kitevő eseté keressük a hatváy értékét, itt adott hatváyértékhez keressük azt a kitevőt, amelyre az a alapot emelve megkapjuk a hatváyértéket. E műveletet evezzük logaritmusak, melyet a következőképpe defiiáluk: log D: log a b jeleti azt a hatváykitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapuk. Azaz a b a = b. A valós kitevőjű hatváy értelmezése miatt a; b > 0 és a. (Mivel bármely valós x-re x =, ezért ics -es alapú logaritmus.) Az a alap az kivételével tetszőleges pozitív szám lehet, de a gyakorlatba csak két alapot haszáluk, a 0-est és az e számot, ezek jelölése lg, illetve l, ez utóbbiba az betű a logaritmus aturalis, természetes alapú logaritmusra utal. (Az e számot a következőképpe értelmezzük: e = lim +,78, amely mid a matematikába, mid a természettudomáyokba agy jeletőséggel bír (betűjelét Leohard Eulerről kapta). A logaritmusra voatkozó legfotosabb azoosságok ( axyc ; ; ; > 0, ac ;, ): Tétel: () log x + log y = log ( xy) () log x log y = log (3) log x = log x (4) log a a a a a a a a log x c x = log a c a x y Bizoyítás: Ezek közül most csak ()-et bizoyítom, a többi igazolása hasoló módo törtéhet a logaritmus defiíciójára és a hatváyozás azoosságaira törtéő hivatkozással. A logaritmus defiíciója szerit x = a y = a xy = a Így egyrészt másrészt loga x loga y loga xy xy a a a loga x logay loga x+ logay = = a hatváyozás azoossága miatt =, = log a ( xy) xy a. E kettőt összevetve xy a a loga x+ loga y log a( xy) = = Mivel az expoeciális függvéy szigorúa mooto, ezért log x + log y = log ( xy ). // a a a 34

35 Tetszőleges alapú logaritmust is ki tuduk számoli a (4) azoosság (áttérés más alapú logaritmusra) segítségével. A logaritmusak a számológépek megjeleése volt agy jeletősége, eek segítségével lehetett köyebbe kiszámoli szorzatok, háyadosok és hatváyok értékét, agy segítség volt ebbe az ú. logarléc, ekem ilye volt a 70-es évekbe: Ma már a legtöbb számológép képes tetszőleges alapú logaritmus kiszámítására is, így a logaritmus elvesztette jeletőségét a számolásokba. A logaritmusfüggvéy D: Az f : + x log x ( a> 0; a ) függvéyt evezzük logaritmusfüggvéyek. a Más megfogalmazással a logaritmusfüggvéy az ugyaolya alapú expoeciális függvéy iverz x y függvéye ( y = a x = a y =log x ). A logaritmusfüggvéy képe is a logaritmus alapjától függ: a A logaritmusfüggvéy jellemzése: Szempot a > 0 < a < Értelmezési tartomáy: R + R + Értékkészlet: R R Zérushely: x = x = Szélsőértékek: - maximum ics, felülről em korlátos ics, felülről em korlátos 35

36 - maximumhely - miimum ics, alulról em korlátos ics, alulról em korlátos - miimumhely Paritás: em páros és em páratla em páros és em páratla Periodikusság: em periodikus em periodikus Növekedési viszoyok: szigorúa mooto övekvő szigorúa mooto csökkeő Függvéygörbe alakja: kokáv kovex Alkalmazások: A matematiká belül (az expoeciális és logaritmikus egyeletek és egyelőtleségek megoldásá túl) elsősorba a sorozatokál (legikább a mértaiál), a kamat-, kamatoskamat-, törlesztőrészlet- és életjáradék-számításokál haszáljuk. A fizikába például a légyomás magasságfüggését leíró barometrikus magasságformulába, a radioaktív ayagok bomlási törvéyébe, a molekuláris hőelméletbe (hőmérséklet, etrópia) haszáljuk. A hagerősség mérésére haszált decibel skála szité logaritmikus, ahogy audióeszközeik hagerőszabályzója is. A kémiába ilye a ph-skála a kémhatás jellemzésére, a biológiába is számos expoeciális törvéyel (járváyterjedés, egér-elefát görbe stb.) találkozuk. Feltétle meg kell még említeük pl. a hálózattudomáyba is haszált hatváyfüggvéyeloszlásokat, de számos gazdasági és társadalmi törvéyt is fel lehet soroli itt. 36

37 7. tétel: Egyeletmegoldási módszerek, ekvivalecia, gyökvesztés, hamis gyök. Másodfokú és másodfokúra visszavezethető egyeletek. Az egyelet, egyelőtleség fogalmát többféleképpe szokták meghatározi, szeritem a következő a legjobb: D: Az egyelet (egyelőtleség) olya logikai függvéy, amelyek állítása (yitott modat) két, egyelőségjellel (relációjellel) összekapcsolt matematikai kifejezés, amelyek részeit bal oldalak és jobb oldalak evezzük. A logikai függvéy értelmezési tartomáya az egyelet (egyelőtleség) értelmezési tartomáya. Az értelmezési tartomáy azo részhalmazát, amelyhez a logikai függvéy az igaz értéket redeli, az egyelet (egyelőtleség) megoldáshalmazáak (igazsághalmazáak) evezzük. Egyelet eseté a megoldáshalmaz elemeit gyökek evezzük. Az egyelet (egyelőtleség) értelmezési tartomáyától és állításától függőe beszélük skaláregyeletről, vektoregyeletről, tezoregyeletről stb. Eek alapjá köyű defiiáli az azoosság és az ekvivalecia fogalmát is. D: Azokat az egyeleteket (egyelőtleségeket), amelyek értelmezési tartomáya és megoldáshalmaza megegyezik, azoosságak evezzük. D: Két egyeletet (egyelőtleséget) akkor evezük ekvivalesek, ha értelmezési tartomáyuk és megoldáshalmazuk megegyezik. Feladatokba gyakra em adják meg az egyelet (egyelőtleség) értelmezési tartomáyát (vagy csak egy kiidulási halmazt adak meg). Abba állapodtuk meg, hogy ekkor az egyismeretlees egyelet (egyelőtleség) értelmezési tartomáya a valós számok halmazáak az a legbővebb részhalmaza, amelye az adott kifejezés értelmezhető. (Ezt az elvet alkalmazzuk többismeretlees egyelet, egyelőtleség eseté is.) Egyeletmegoldási módszerek Háromféle egyeletmegoldási módszert haszáluk: a) grafikus; b) algebrai és c) közelítő. Grafikus megoldás eseté az egyelet bal és jobb oldalát (mit függvéyt vagy pothalmazt) közös koordiáta-redszerbe ábrázoljuk, és leolvassuk a közös potok koordiátáit. Egyismeretlees egyelet eseté a közös potok abszcisszái leszek az egyelet gyökei. E megoldási mód előye a legtöbb esetbe a gyorsasága és egyszerűsége, hátráya, hogy a közös potok koordiátái em midig olvashatók le potosa, ebbe az esetbe megoldásukat algebrai úto kell kiegészíteük, de sok esetbe így egyszerűbb egyeletekhez jutuk, amelyeket már köyebbe tuduk megoldai. 37

38 Az algebrai megoldások több részre bothatók: () értelmezésitartomáy-vizsgálat: egyesével megvizsgálva a matematikai kifejezést alkotó kifejezések értelmezési tartomáyát sok egyelet eseté közös részkét üres halmazt vagy csak éháy elemet tartalmazó halmazt kapuk (amelyeket aztá már egyesével köyű leelleőrizi). Például: Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá! x 5= 3 x vagy Oldjuk meg a következő egyeletet az egész számok halmazá! x 3= 5 x. () értékkészlet-vizsgálat: hasolóképpe járuk el, mit ()-be és hasoló eredméyre is számíthatuk, például a x+ + x 5+ x+ = 0 egyelet eseté. Gyakra fordul elő, hogy kétismeretlees egyeleteket is eek segítségével tuduk megoldai, például ezt: x + 4x+ 5 = cos( π y). A bal oldal, míg a jobb oldal, így egyelőség akkor és csak akkor lehet, ha midkét oldal értéke. (3) szorzattá botás: elsősorba magasabb fokú egyeletek megoldásába haszáljuk, először ullára redezzük az egyeletet, majd kihaszáljuk azt, hogy egy szorzat akkor és csak akkor 3 0, ha valamelyik téyezője 0, például x = 4x 5x. (4) a mérlegelv alkalmazása: a leggyakrabba haszált módszer, az egyelőség két oldalát azoos módo változtatjuk, azaz ekvivales műveleteket hajtuk végre rajtuk. Ezek a következők: összeadás és kivoás, ullától külöböző számmal való szorzás és osztás, illetve szigorúa mooto függvéyek hozzá- és elvétele. Az átalakítások célja, hogy miél egyszerűbb egyeletet kapjuk, a végcél egy x= k, k D alakú egyelet. Közelítő megoldást akkor haszáluk, ha az egyelet algebrai úto em oldható meg. Erre sok gyökközelítő módszert dolgoztak ki, amelyek ige számolásigéyesek. Ma már em haszáljuk ezeket, helyette külöböző számítógépes programokat hívuk segítségül. Ilye például a GeoGebra vagy a Wolfram Alpha, melyek em csak számítógépe futtathatók, de okostelefoo is elérhetők. Az egyeletet ullára redezzük, a másik oldalt pedig ábrázoltatjuk. Az így kapott grafiko zérushelyét a kívát potossággal meg tudjuk határozi, hisze a programok lehetővé teszik az ábrázolás lépésközéek csökketését (azaz tulajdoképpe grafikus úto oldatjuk meg az egyeletet). Gyökvesztés, hamis gyök Az egyeletek algebrai megoldása sorá gyakra kéyteleek vagyuk em ekvivales műveleteket is végrehajtai, például a legtöbb gyökös egyeletél em kerülhető ki a égyzetre emelés. Sokszor előfordul az is, hogy a megoldás sorá olya azoosságot alkalmazuk, amely em teljesül mide valós szám eseté, erre a logaritmus azoosságai a legjobb példák. Ha az algebrai megoldás sorá végrehajtott művelet bővíti az eredeti értelmezési tartomáyt (például a égyzetre emelés), akkor olya gyököt is kaphatuk, amely például az eredeti értelmezési tartomáyba ics bee ezeket szokás hamis gyökek evezi. Ha olya műveletet hajtuk végre, amely szűkíti az értelmezési tartomáyt, akkor pedig gyökvesztés léphet fel. Gyököt veszíthetük akkor is, ha ismeretlet tartalmazó téyezővel osztuk, előfordulhat ugyais, hogy az osztó értéke az ismeretle valamely értékére ézve 0. Két logaritmusos példa ezekre az esetekre: 38

39 x= D= x = D= x = = D= x= D= + () lg () lg \ 0 { } lg lg00 \ 0 lg x D x D = 00 = lg = = x =± 0 D= x= 0 D=, ()-él hamis gyököt kapuk, ()-él pedig gyököt vesztük a második sorbeli értelmezésitartomáyváltozás miatt. Ezek kiszűrése miatt (is) célszerű az eredeti egyeletbe behelyettesítve leelleőrizi a kapott gyököket. + + { } Másodfokú egyeletek D: Az egyismeretlees másodfokú egyelet egy olya egyelet, amely ekvivales algebrai átalakításokkal olya egyelet alakjára hozható, amelyek egyik oldalá másodfokú poliom szerepel, a másik oldalá pedig ulla (redukált alak). A másodfokú egyelet általáos kaoikus alakja: ax + bx + c = 0, ahol a; b; c, a 0, D =. Tétel: Az ax + bx + c = 0, ahol a; b; c, a 0, D = másodfokú egyelet megoldóképlete: b ± b 4ac x, =. a Bizoyítás: Osszuk el az egyeletet az a 0 együtthatóval, majd a kapott kifejezést botsuk teljes égyzetté! ax + bx + c = 0 /: a 0 b c x + x+ = 0 a a b c b b c b b c b b 4ac x + x+ = x+ + = x+ + = x 0 + = a a a a a a 4a a a 4a Redezés utá kapjuk, hogy b b 4ac x + = a 4a A D = b 4ac kifejezést a másodfokú egyelet diszkrimiásáak evezzük. Eek értékétől függőe három esetet külöböztetük meg: I. D > 0 eseté b b ac =, emiatt b 4ac b 4ac 4a a b b 4ac x + = a a 4 x + =± a a b b 4ac b ± b 4ac x, = ± = a a a Ebbe az esetbe a másodfokú egyeletek két külöböző valós gyöke va. 39

40 II. III. b D = 0 eseté x + = 0, amelyből a b x + = 0 a b x = a Ebbe az esetbe a másodfokú egyeletek két egybeeső valós gyöke va (más megközelítésmódba: egy valós gyöke va), a megoldóképlet ebbe az esetbe is jó eredméyt ad. b b 4ac D < 0 eseté a x + = < 0 egyeletek ics valós gyöke. A megoldóképlet a 4a ebbe az esetbe is haszálható, mert a gyök alatt lévő egatív számból következtethetük a valós gyökök hiáyára. // A következő két tételt a megoldóképlet haszálatával is igazolhatjuk: T: A P x ax bx c a b c a D ( ) = + + ( ; ;, 0, = ) poliom gyöktéyezős alakja P( x) a( x x )( x x ) =, ahol x és x az ax + bx + c = 0 másodfokú egyelet gyökei. Ha az egyeletek icseek gyökei, akkor a poliom em botható szorzattá. T: Az ax + bx + c = 0 ( a; b; c, a 0, D = ) másodfokú egyelet gyökeire (ha vaak): b I. x+ x = ; a c II. x x =. a (Gyökök és együtthatók közti összefüggések vagy Viète-képletek) Másodfokú egyeletre visszavezethető egyeletek Általába két fő egyelettípust szoktuk idesoroli: a) égyzetgyökös egyeletek, amelyek (egy vagy két) égyzetre emelés utá másodfokú egyeletre vezetek, például x + x+ 5= 6. Hamis gyökök megjeleésére számíthatuk! b) azokat, amelyek valamilye alkalmas új ismeretle bevezetésével leszek másodfokú egyeletek, itt magasabb fokú, expoeciális és trigoometrikus egyeletek gyakoriak: 3 () 3x 36x+ = 36 y: = x x x x 4 Alkalmazások x+ x x () 4 = 6 + y : = (3) 3cos x+ six= cos x= si x, majd y: = six A matematika szite mide ágába olduk meg egyeleteket, a koordiátageometria a geometria és az algebra kapcsolatára épül. De egyeletmegoldással mide más tudomáyba is találkozuk, a fizikától a kémiá és a biológiá át a közgazdaságtaig. A másodfokú egyeletek eze egyeletek jeletős részét teszik ki. 40

41 8. tétel: A leíró statisztika jellemzői, diagramok. Nevezetes középértékek. D: A statisztika a valóság számszerű iformációiak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére iráyuló gyakorlati tevékeység és tudomáy, amely mért vagy gyűjtött adatoko alapszik. Az egyértelműség végett éháy fogalmat meg kell külöböztetük egymástól, így külöbözik egymástól az adat és az elem, valamit az adatsokaság és a halmaz. Míg egy halmazba egy elem egyszer fordul elő, addig egy adatsokaságba egy adat többször is bee lehet. Továbbá egy halmazba az elemek sorredje em számít, míg egy adatsokaságba az adatok sorredje is gyakra fotos jellemző (árfolyamok, lázgörbe stb.). Adatsokaságok jellemzői D: Az adatsokaság legagyobb és legkisebb adatáak külöbségét terjedelemek evezzük. Az adatok adott szempotok szeriti feldolgozásához, elemzéséhez azokat agyság szerit osztályokra bothatjuk, ezek osztályterjedelme lehet egyelő vagy külöböző is. D: Az azoos adatok előfordulásáak számát gyakoriságak evezzük, ezek teljes adatsokasághoz viszoyított aráyát pedig relatív gyakoriságak. Az adatsokaság egészét középértékekkel és a középértékektől való eltéréssel jellemezhetjük. Középértékek: () átlag: Az { } a ; a ; a ;...; a adatsokaság átlagá a bee szereplő adatok számtai közepét 3 ai a+ a+ a a i= értjük: a = =. Ha az adatsokaságba vaak egyforma adatok, akkor ka i i l i= az átlagot ezek súlyozott közepekét is számolhatjuk: a=, ahol l ki =. i= k () módusz: az adatsokaságba leggyakrabba előforduló adat. Ha több ilye is va, akkor a relatív gyakoriságuk függvéyekét vagy midegyiket móduszak evezzük, vagy azt modjuk, hogy az adatsokaságak ics módusza. (3) mediá: az adatokat agyság szeriti (övekvő vagy csökkeő) sorredbe redezve a középső adat. Ha páratla szám, akkor va ilye, ha páros, akkor a két középső számtai közepe. Eltérések a középértékektől: Egy (például fizikai) mérés sorá a mérés jóságáak jellemzése végett redkívül fotos a mért adatok átlagáak meghatározásá túl a mérés hibahatáráak meghatározása is. Eek jellemzésére em haszálhatjuk az átlagtól való eltérés átlagát, hisze az mide esetbe 0 lee. Emiatt két meyiséggel szoktuk jellemezi ezt: l i= i 4

42 () átlagos abszolút eltérés: ez az eltérések abszolút értékéek számta közepe: S i= ( a) == a a i ; () szórás: az eltérések égyzetes közepe, azaz Da ( ) = Az adatsokaságok megjeleítése diagramok i= ( a a ) i Egy jó kép többet mod ezer szóál. szokták modai a fotósok, és ez voatkozik az adatsokaságok jellemzőiek bemutatására is, amelyeket külöböző típusú diagramoko szoktuk megtei. Az adatsokaság jellegéek megfelelőe a következő diagramokat haszáljuk (illik haszáli ): () ha az ugyaabba az időbe keletkező (létező) azoos adatok egymáshoz és a teljes adathalmazhoz viszoyított aráyát kívájuk bemutati, akkor kör- vagy szalagdiagramot haszáluk (például iskolai dolgozatok miősítése, választásoko külöböző pártokra leadott szavazatok száma stb.). Ekkor a körcikkek középpoti szöge, illetve a szalagdarabok hossza egyeese aráyos a relatív gyakorisággal. () ha az ugyaabba az időbe keletkező (létező) azoos adatok egymáshoz viszoyított aráyát és az egyes adatok gyakoriságát kívájuk bemutati, akkor oszlopdiagramot haszáluk (például iskolai dolgozatok miősítése, választásoko külöböző pártokra leadott szavazatok száma stb.). Ekkor az egyes (azoos adathoz tartozó) oszlopok magassága az egyes azoos adatok gyakorisága lesz. (3) ha az adatok mellett a keletkezésük sorredje is fotos, akkor voaldiagramot haszáluk (például devizaárfolyamok, lázgörbe stb.). Ekkor a diszkrét potokat össze szoktuk köti. Oszlop- és voaldiagram eseté az adatok értékét (függőleges tegely) em midig az y = 0 egyeeshez viszoyítjuk, ez a jellemezi kívát adatsokaság jellegétől is függ (tőzsdeidex vs. egy ország lakosságáak száma, ha csak a agyságára vagyuk kívácsiak, em a változás mértékére). Sir Wisto Churchillek tulajdoítják a következő modást: Csak aak a statisztikáak hiszek, amelyet magam hamisítottam. Bár valószíűleg em tőle, haem mide bizoyal egy émet politikustól származik (a II. világháború idejéből), erre ekük is figyelük kell diagramok megtekitésekor, mert köye lehet maipuláli godolkodásukat a diagramokkal. Bár vaak egyértelmű, szádékos megtévesztések is. Nevezetes közepek A matematikába egy pozitív adatokból álló adatsokaság jellemzésére égy, ú. evezetes közepet szoktuk haszáli ( ): ai + i= a; a; a3;...; a, ai számok számtai közepé az Aa ( i) = D: Az { } számot értjük. 4

43 + a; a; a3;...; a, ai számok mértai közepé a Ga ( ) = aa... a számot értjük. D: Az { } i + a ; a ; a ;...; a, a számok harmoikus közepé a Ha ( ) = D: Az { } 3 i i i= a i számot értjük. + a ; a ; a ;...; a, a számok égyzetes (kvadratikus) közepé a D: Az { } értjük. 3 i Qa ( ) = i i= a i számot A égy evezetes közép közt a következő összefüggés áll fö: + T: Az a; a; a3;...; a, ( a, ) valós számok eseté i mi ( a ) H( a ) G( a ) A( a ) Q( a ) max( a ), és i i i i i i egyelőség akkor és csak akkor áll fö, ha a = a = a3 =... = a. E tétel állításai közül egy speciális esetet fogok bizoyítai: + a+ b Tétel: Ha ab ;, akkor, azaz két pozitív szám harmoikus közepe kisebb vagy egyelő, + a b mit a számtai közepük, továbbá egyelőség akkor és csak akkor áll fö, ha a= b. + Bizoyítás: Ekvivales átalakításokat végzük. Mivel ab ;, ezért a+ b + a b ab a + b / ( a+ b) > 0 a+ b ( ) 4ab a + b ( a b) 4 / 4 ab a + ab + b ab 0 a ab + b 0, ami midig teljesül, és egyelőség akkor és csak akkor áll fö, ha a= b. // Alkalmazások Statisztikákat mid a természet-, mid a társadalomtudomáyokba redkívül gyakra haszáluk külöböző folyamatok időbeli jellemzésére, illetve egy adott időpotbeli állapotuk rögzítésére. Csak éháy példa: devizaárfolyamok, tőzsdeidexek, egy közösség életkor szeriti megoszlása (korfa), lázgörbe, pártszimpátia stb. A evezetes közepeket pedig gyakra haszáljuk szélsőérték-feladatok megoldása sorá, függvéyek maximumáak és miimumáak meghatározásakor stb. 43

44 9. tétel: Számsorozatok és tulajdoságaik (korlátosság, mootoitás, kovergecia). Műveletek koverges sorozatokkal. A számtai sorozat, az első tag összege. A hétközapi életbe a sorozat szó azoos vagy hasoló dolgok egymást követő sorát jeleti. A matematikába haszált fogalom eek megfelelőe a következő: D: A pozitív egész számok halmazá értelmezett valós értékű függvéyeket számsorozatak (rövide: sorozatak) evezzük. A függvéy által az pozitív egészhez redelt értéket a sorozat -edik tagjáak (éha eleméek) evezzük, -et pedig a tag idexéek. Ha a függvéy mide pozitív egészhez ugyaazt a valós számot redeli, akkor azt kostas sorozatak evezzük. A sorozatokat a függvéyektől kissé eltérőe jelöljük, betűjelük általába az ábécé elejéről egy kisbetű: a : + ( ) a vagy { a }, továbbá a sorozat -edik tagja a. A korlátosság és a mootoitás fogalmát a hagyomáyos függvéyre voatkozó defiíció alapjá határozzuk meg. Korlátosság + a sorozat alulról korlátos, ha létezik olya k, hogy eseté a k. A k számot a sorozat alsó korlátjáak evezzük (ha létezik, akkor végtele sok ilye va), közülük a legagyobbat D: Az ( ) pedig az ( a ) sorozat legagyobb alsó korlátjáak (ifimum, k*). + a sorozat felülről korlátos, ha létezik olya K, hogy eseté a K. A K számot a sorozat felső korlátjáak evezzük (ha létezik, akkor végtele sok ilye va), közülük a legkisebbet D: Az ( ) pedig az ( a ) sorozat legkisebb felső korlátjáak evezzük (szuprémum, K*). a sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. (Azaz létezik olya κ \, hogy + eseté a κ.) D: Az ( ) Mootoitás D: Az ( ) D: Az ( ) D: Az ( ) D: Az ( ) a sorozat szigorúa mooto övekvő, ha m ; +, > meseté a > a m. a sorozat szigorúa mooto csökkeő, ha m ; +, > meseté a < a m. a sorozat mooto övekvő, ha m ; +, > meseté a a m. a sorozat mooto övekvő, ha m ; +, > meseté a a m. E sorozatokat összefoglaló éve mooto sorozatokak evezzük. Kovergecia A kovergecia fogalma a sorozatok határértékéek fogalmához tartozik. 44

45 D: Az a szám ε sugarú köryezeté ( a; ε, ε > 0 számegyeese. D: Az ( a ) sorozatak va határértéke (az ( ) ) értjük az ] a ε; a ε[ + yitott itervallumot a a sorozat koverges), ha va olya a szám, hogy az a szám bármely ε sugarú köryezetébe a sorozat majdem mide tagja bee va. (Vagyis az a szám ε sugarú köryezeté kívül a sorozatak legfeljebb véges sok tagja lehet.) Jelölése: lim( ) a a vagy a = a vagy lima = a. Ezzel a defiícióval ekvivales (a sokszor jobba haszálható) következő meghatározás: D: Az ( a ) sorozatak va határértéke (az ( ) + ε > 0 számhoz N küszöbszám, hogy ha > N, akkor a a < ε. D: Az ( a ) sorozat diverges, ha em koverges. A diverges sorozatok két sűrű haszált típusa: a sorozat koverges), ha va olya a szám, hogy D: Azt modjuk, hogy az ( a ) sorozat a végtelebe divergál ( a ), ha + N küszöbszám, hogy ha > N, akkor a > K. D: Azt modjuk, hogy az ( a ) sorozat a míusz végtelebe divergál ( a ), ha + N küszöbszám, hogy ha > N, akkor a < k. Néháy fotos és gyakra haszált tétel a sorozatok kovergeciájával kapcsolatba: T: Koverges sorozatak egy határértéke va. T: Mide koverges sorozat korlátos. T: Ha egy sorozat mooto és korlátos, akkor koverges. K számhoz k számhoz Műveletek koverges sorozatokkal Egy sorozat koverges voltáak eldötése és határértékéek meghatározása sokszor em köyű feladat. A következő tételek eek megköyítését szolgálják. T: Legye az ( a ) sorozat koverges és a sorozat is koverges, és c a c a. Tétel: Legye az ( a ) és a ( ) b sorozat koverges és a koverges, és a± b a± b. a, továbbá c, adott valós szám, akkor a ( c a ) a, b b, akkor az ( a ± b ) sorozat is Bizoyítás: Az összegre voatkozó tételt bizoyítom, azaz megmutatom, hogy + ε > 0 számhoz N küszöbszám, hogy ha > N, akkor ( a+ b) ( a + b) < ε. Legye ε > 0, rögzített szám! Ekkor ( a+ b) ( a+ b) = ( a a) + ( b b) a háromszög-egyelőtleség miatt a a + b b Mivel a a, így 45

46 ε + ε ε > 0 számhoz, így höz is N küszöbszám, hogy ha > N, akkor a a <. Mivel b b, így ε + ε ε > 0 számhoz, így höz is N küszöbszám, hogy ha > N, akkor b b <. Tehát ha N= max ( N; N), akkor ε ε ( a+ b) ( a+ b) a a + b b < + = ε. // T: Legye az ( a ) és a ( b ) sorozat koverges és a a, b b, akkor az ( a b) sorozat is koverges, és a b ab. T: Legye az ( a ) és a ( ) a re, akkor az b T: Legye az ( ) koverges, és b sorozat koverges és a a a sorozat is koverges, és. b b a a sorozat koverges, a a, és 0 a a., b b, továbbá b 0, b 0 mide - a mide -re, akkor a ( ) a sorozat is A számtai sorozat D: Azokat a számsorozatokat, amelyekbe az egymást követő tagok külöbsége álladó, számtai + sorozatak evezzük. Azaz: eseté a+ a = álladó = d, ahol d a számtai sorozat külöbsége (differeciája). A számtai sorozat -dik tagját és az első tag összegét a számtai sorozat első tagjáak és külöbségéek ismeretébe a következő tételek alapjá lehet kiszámítai: Tétel: Ha számtai sorozat első tagja a, külöbsége d, akkor ( ) () a = a + d; a + a a + ( ) d () S = =. Bizoyítás: A () tételt fogom bizoyítai. A kis Gauss módszerét követve írjuk fel a számtai sorozat első tagjáak összegét kétféleképpe, majd adjuk össze azokat! ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) S a a d a d a d a d S = a+ a d + a d a d + a d. = ; + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = a + a + a + a + a + a a + a + a + a = a + a, darab amelyből -vel osztva a tétel első feléek állítását kapjuk, míg ha ebbe behelyettesítjük az ()-be szereplő kifejezést, megkapjuk a második felét is. // 46

47 a i+ a+ i A sorozat oa kapta a evét, hogy ha i< egész, akkor a =, azaz a sorozat bármely tagja az ugyaayival előtte és utáa lévő tagok számtai közepe. Alkalmazások A sorozatok kovergeciáját gyakra haszáljuk a függvéyek végtelebe vett határértékéek meghatározásához, folytoosságuk megmutatásához (Heie-féle defiíció). Néháy evezetes sorozat és határértékük: (i) (ii) (iii) lim + = e, a természetes alapú logaritmus alapszáma (Euler-féle szám); Legye S az első pozitív egész szám égyzete reciprokáak összege, azaz S = Ekkor π lim S = ; 6 Legye S az első prímszám reciprokáak összege, azaz S = Ekkor lim S =. 3 5 p A számtai sorozathoz (is) kapcsolhatóa további evezetes (és gyakra haszált) összegek: ( ) + (a) Az első pozitív egész szám összege i = ; i= ( + )( + ) (b) Az első pozitív egész szám égyzetéek összege i = ; 6 3 (c) Az első pozitív egész szám köbéek összege + i = i=. i= ( ) A hétközapi életbe (jó közelítéssel) számtai sorozatot alkot például a szíházi ézőterek, a stadiook soraiba lévő ülőhelyek száma. A ruhaayagokat végekbe árulják, itt az egy meetbe lévő ayaghosszak alkotak számtai sorozatot. Megjegyzés: A vizsgázók általába a számtai sorozat első tagjáak összegére voatkozó tételt szokták bizoyítai, de ez elég egyszerű. É a másikat választaám 47

48 0. tétel: Mértai sorozat, az első tag összege, végtele mértai sor. Kamatszámítás, gyűjtőjáradék, törlesztőrészlet. Expoeciális folyamatok a társadalomba és a természetbe. A mértai sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket. Kokrét feladatok eseté ki is tudták számoli az összeget. Megtalálták ugyais a Rhid-papiruszo (i. e. 750) a következő feladat amely később feladatgyűjteméyekbe és épi találós kérdésekbe is felbukkat ige tömör megoldását: Ha 7 ház midegyikébe 7 macska va, midegyik megfogott 7 egeret, mide egér megevett 7 búzaszemet, mide búzaszemből 7 hekat búza termett vola, akkor háy hekat búza lett vola abból? A papiruszo maga a feladat em szerepel, csak a megoldás szűkszavú leírása ( Ház: 7 macska: 49 egér: stb.), de lehetetle em rájöi, továbbá a papirusz sem utal az összegképlet ismeretére: végigszámolták a sorozat tagjait, és úgy adták össze. Hasoló példa szerepel egy 9. századi agol oszesz modókába: 48 As I was goig to St. Ives, I met a ma with seve wives, Every wife had seve sacks, Every sack had seve cats, Every cat had seve kits, Kits, cats, sacks ad wives, How may were goig to St. Ives? Ez a példa az egyiptomitól ayiba tér el, hogy beugratós feladat: csak egyvalaki met St. Ives-ba, mégpedig a vers elbeszélője, az asszoyos-zsákos kompáia St. Ives felől jött, em pedig oda met). (Forrás: ) A mértai sorozat eredeti, rekurzív defiíciója a következő: D: Azokat a számsorozatokat, amelyekbe az egymást követő tagok háyadosa álladó, mértai + a+ sorozatak evezzük. Azaz: eseté = álladó = q, ahol q a mértai sorozat háyadosa a (kvóciese). Ez a defiíció kizárja azt, hogy a sorozat bármely tagja, illetve kvóciese 0 legye, elletétbe az a = a + q defiícióval. A mértai sorozat -dik tagját és az első tag összegét a mértai sorozat első tagjáak és háyadosáak ismeretébe a következő tételek alapjá lehet kiszámítai: Tétel: Ha mértai sorozat első tagja a, háyadosa q, akkor () a = a q () q = eseté S = a q (3) q eseté S = a q Bizoyítás: A (3) tételt fogom bizoyítai. Az () tételt felhaszálva

49 S = a+ aq + aq aq + aq / q 0 3 Sq = aq + aq + aq aq + aq Sq S = aq a S a q S ( q ) = a ( q ) / : ( q ) 0 = q Ezt akartuk bizoyítai. A végtele mértai sor D: A i= aq i, ú. végtele összeget végtele mértai sorak evezzük. i D: Ha a lim aq határérték létezik és véges, akkor azt a végtele mértai sor összegéek evezzük, = i és S-sel jelöljük. a T: Ha a mértai sorozat első tagja a, és háyadosa abszolút értéke kisebb, mit, akkor S =. q E tételt köyű bizoyítai, felhaszálva a mértai sorozat első tagjáak összegére voatkozó képletet, illetve azt a tételt, hogy ha q <, akkor limq = 0. A végtele mértai sor összegképletéek felhaszálásával tudjuk a végtele szakaszos tizedes törteket abc két egész szám háyadosakét felíri, például 0, abc =. (Vö.: A racioális számok kétféle 3 0 defiíciója.) Kamatszámítás Közgazdasági megfogalmazás szerit a kamat a péz időértékéek megtestesülése. Ha egy pézösszeget (betét) (jellemzőe) egy bakba elhelyezük, akkor a bak a pézük haszálatáért a betétükre bizoyos kamatot ad. A kamat és a betét százalékba kifejezett háyadosát kamatlábak evezzük. Hasolóa, ha a bak pézét haszáljuk, akkor ezért a felvett hitelért bizoyos elleszolgáltatást kell yújtauk. A továbbiakba azzal a feltevéssel élük, hogy a futamidő alatt a kamatláb mértéke em változik (ami a valóságba elég ritka). Jó, ha tudjuk, hogy a gyakorlatba a betétek és a hitelek kamatszámítási módja eltérő. A omiális kamatozás (évleges vagy egyszerű kamatozás) sorá a kiiduló összeg (az alaptőke) bizoyos százalékba kifejezett háyadát szabályos időközökét (kamatperiódus) hozzáadják a tőkéhez. Ezt a százalékot kamatlábak evezzük. 49

50 A baki hirdetésekből ismert EBKM (egységesített betéti kamatláb mutató) is a omiális kamatozás módszerével számítódik. Eek a bakok részéről praktikus oka, hogy az éves omiális kamatból számított egy évél rövidebb távra szóló kamat magasabb, mit éve belül az ú. effektív hozam (a kamatos kamat), így az ügyfelekek többek tűhet. p Számítási módja: Vt V = 0 + t, ahol V0 a kezdőtőke, t a futamidő a kamatperiódusok számába 00 kifejezve, p a kamatláb és V t a tőke a futamidő végé. Nomiális kamatozás eseté a kamatperiódusok végé kapott összegek számtai sorozatot alkotak. Az effektív hozam (kamatos kamat) számításáál a kamatperiódus végé a kamatot em fizetik ki, haem hozzáadják a tőkéhez, és ez a következő időszakba többletkamatot eredméyez, így a kapott kamat is kamatozik. A kamatjóváírás a gyakorlatba legtöbbször többévete, évete, vagy havota törtéik. A gyakorlatba a bakok a betéti kamatot a kamatoskamat-számítás szerit számolják. Hitelfelvétel eseté a THM-et (teljes hiteldíj mutató) is jellemzőe a kamatos kamat módszerével számolják ki. t p Számítási módja: Vt = V 0 +, ekkor a kamatperiódusok végé kapott összegek olya, 0-dik 00 p taggal kezdődő mértai sorozatot alkotak, amelybe q = (Megjegyzés: A kamato kívül az EBKM és a THM is tartalmaz (pozitív, illetve egatív előjellel) további összetevőket: kezelési költség, hitelbírálati díj, kamatadó stb. Továbbá az ifláció is csökketi pézük értékét, ezért befektetés eseté célszerűbb az ú. reálkamattal számoluk ez akár egatív is lehet.) Járadékszámítás Az egyelő időközökbe fizetett összegek sorozatát járadékak evezzük. Az egyszerűség érdekébe feltételezzük, hogy: - a befizetési időközök megegyezek a kamatperiódussal, - mide alkalommal ugyaakkora összeget fizetük be. Ha a kamatperiódus egy év, akkor az egy-egy alkalommal befizetett összeget auitásak evezzük. Kétféle járadékfizetést vizsgáluk: - gyűjtőjáradék: ekkor a bakba befizetett összegekkel pézgyűjtés a cél, - törlesztőjáradék: ekkor a feálló tartozást akarjuk kiegyelítei (hiteltörlesztés). Gyűjtőjáradék: éve át mide év elejé befizetük a összeget, az éves kamatláb legye p. Az utolsó befizetés utá p egy évvel felvehető pézösszeget jelöljük S -el, q : = +. Ekkor 00 50

51 Periódusidő Tőke a periódusidő elejé Tőke a periódusidő végé. a S = aq. S + a S = (aq + a)q = aq + aq 3. S + a S 3 = (aq + aq + a)q = aq 3 + aq + aq. S - + a S = (aq - + aq aq + a)q = aq + aq aq + aq Vegyük észre, hogy az utolsó összeg egy olya mértai sorozat első tagjáak összege, ahol a = aq, a p + q p 00 háyados pedig q, emiatt S = aq = a +. q 00 p 00 Törlesztőjáradék: t hitelt vettük föl év futamidővel, az éves kamatláb legye p. A törlesztés mide év végé esedékes, p összege legye A, q : = +. Ekkor: 00 Periódusidő Hitel a periódusidő elejé Hitel a periódusidő végé (a törlesztés utá). t t = tq - A. t t = (tq - A)q - A = tq Aq - A 3. t t 3 = (tq - Aq - A)q - A = tq 3 - Aq - Aq - A. t - t = (tq - - Aq Aq - A)q - A = tq - Aq Aq - Aq - A Az -szeri törlesztés utá kamatostól visszafizettük a felvett hitelt, tehát t = 0. Így =... = 0, ahoa t tq Aq Aq Aq A = tq Aq Aq Aq A Vegyük észre, hogy a jobb oldalo álló összeg egy olya mértai sorozat első tagjáak összege, ahol a = A, a háyados pedig q. Így tq q = A q, amelyből p q p A = tq = t 00 + q 00 p + 00 Expoeciális folyamatok a társadalomba és a természetbe Napjaik egyik legagyobb társadalmi problémája a Föld épességéek várható expoeciális gyarapodása. Az emberiség hosszú törtéelme sorá 800 körül érte csak el az egymilliárd főt, eek a megduplázódására viszot már csak 30 évre volt szükség 930-ra a épesség kétmilliárd, 959-re már 3 milliárd fő volt, majd a rohamos övekedés eredméyeképp 0-re a 7 milliárd főt is elérte; ma körülbelül 7,5 milliárd ember él a Földö. Az ENSZ becslései alapjá a 8 milliárd főt 04 tavaszá, a 0 milliárd főt pedig 056-ba éri majd el az emberiség. Külööse erős ez a folyamat Afrikába, ahol ma kb., milliárd fő él, míg 056-ba már várhatóa,7 milliárd. Ázsiába (külöös tekitettel Kíára) 5

52 kicsit mérséklődött a övekedési ütem, de még itt is jeletős övekedés várható: a mai 4,5 milliárdról várhatóa 5,3 milliárdra gyarapszik. Ezt em képes ellesúlyozi Európa egatív övekedési üteme, lakosságcsökkeése. Hasoló expoeciális folyamat jellemzi a hírek terjedését (például a Facebooko), egy járváy lefolyását, az MLM típusú üzleteket vagy egy ország GDP-jéek és az ott várható élettartamak a kapcsolatát. A biológiába ilye a például a baktériumok szaporodása vagy a övéyek övekedése, a kémiába az oldódások időbeli lezajlása, a fizikába a radioaktív ayagok bomlása, az atombombába a eutrook számáak övekedése stb. Természetese ezek a társadalmi és természeti folyamatok em tisztá expoeciálisak, hisze a peremfeltételek korlátozzák, fékezik a változásokat. (Megjegyzés: Ez a tétel azért lett ilye hosszú, mert a járadékok levezetésével együtt három tételt bizoyítottuk. A két járadékképletet végül is meg lehet jegyezi ) 5

53 . tétel: Függvéyek lokális és globális tulajdoságai. A differeciálszámítás és alkalmazásai. A függvéy a matematika legfotosabb fogalmai közé tartozik. D: Adott két (em feltétleül külöböző) halmaz, A és B. Azokat az egyértelmű hozzáredeléseket, amelyek az A halmaz elemeihez a B halmaz elemeit redelik, függvéyekek evezzük. Az A halmaz a függvéy alaphalmaza, a B pedig a képhalmaza. Az A halmaz azo részhalmazát, amely elemeihez téylegese törtéik hozzáredelés, értelmezési tartomáyak (D), a B halmaz azo részhalmazát, amelyek elemei téylegese hozzáredelődek, értékkészletek (R) evezzük. Jelbe: f: D R x fx ( ). D: Két függvéyt akkor tekitük egyelőek, ha értelmezési tartomáyuk ugyaaz, és a közös értelmezési tartomáy mide egyes x eleméhez a két függvéy ugyaazt az értéket redeli. A függvéyeket a következő szempotok szerit jellemezzük (célszerűe ebbe a sorredbe): - értelmezési tartomáy; - értékkészlet (ezt általába a szélsőértékek, korlátosság vizsgálata utá utólag írjuk be); - zérushelyek; - szélsőértékek (korlátosság, határértékek a ± -be, illetve a szakadási potokba); - paritás; - periodikusság; - övekedési viszoyok (mootoitás, függvéy meete); - függvéygörbe alakja (kovexitás, iflexiós potok); - folytoosság. A globális tulajdoságok közé soroljuk azokat, amelyek a teljes értelmezési tartomáyra voatkozak (értelmezési tartomáy, értékkészlet, korlátosság, paritás, periodikusság, folytoosság), a többit pedig a lokális tulajdoságok közé soroljuk. Ebbe a tételbe em feladatuk mide egyes tulajdoság meghatározása, példakét azért egyet defiiálok. + D: Az f függvéy periodikus, ha p, hogy x Df eseté x + p Df, és f ( x + p) = f ( x). A legkisebb ilye p pozitív valós számot (ha létezik) a függvéy periódushosszáak evezzük. (Más defiíciók bármely feti tulajdoságú p-t periódushosszak tekiteek.) A differeciálszámítás (deriválás) A 7. századba, egymástól függetleül Isaac Newto és Gottfried Wilhelm Leibiz dolgozta ki a differeciálszámítás (és ezzel párhuzamosa az itegrálszámítás) alapjait, elsősorba a fizika által felvetett problémák (változó mozgások leírása stb.) megoldására. A ma haszálatos jelöléseket Leibizek köszöhetjük, míg a megközelítés módját ikább Newtoak. A végteleül kicsiy meyiségekkel való számolás alapjait két görög matematikus, Eudoxosz (a kimerítés módszere) és Archimédesz (kétoldali közelítés) vetette meg, és alkalmazta sikerrel. A Newto és Leibiz által kidolgozott eljárás több szempotból is hiáyos volt (határérték-számítás, folytoosság stb.), csak a 53

54 9. századba dolgozták ki potosa, itt elsősorba Augusti Cauchy és Georg Friedrich Berhard Riema evét és mukásságát kell megemlítei. A Newto és Leibiz számára legfotosabb kérdések a következők voltak:. Mit értsük egy görbe adott potjá átmeő éritőjé?. Hogya számolható ki egy síkidom területe? 3. Hogya oldjuk meg szélsőérték-problémákat? Az éritőprobléma megoldása léyegébe egy függvéy adott helye vett határértékéek meghatározására vezethető vissza. fx ( ) fx ( 0) D: Legye az f függvéy az x 0 pot valamely köryezetébe értelmezve. Ha az ú. x x0 külöbségi (differecia-) háyados függvéyek létezik határértéke az x 0 helye, akkor az f függvéyt fx ( ) fx ( 0) az x 0 potba differeciálhatóak evezzük. A lim határértéket az f függvéy x 0 potbeli x x0 x x0 fx ( ) fx ( 0) differeciálháyadosáak (deriváltjáak) evezzük. Jelölése f'( x0) = lim. x x0 x x A differeciálhatóság egyik legfotosabb következméye: T: Ha az f függvéy differeciálható x 0-ba, akkor f folytoos is x 0-ba. A differeciálháyados segítségével tudjuk értelmezi az éritő fogalmát: D: Legye az f függvéy differeciálható az x 0 potba. A függvéy grafikojáak az ( 0; ( 0) ) tartozó éritőjé az y= f'( x) ( x x) + fx ( ) egyeletű egyeest értjük A potbeli derivált segítségével tudjuk értelmezi egy függvéy deriváltfüggvéyét: 0 x fx pothoz D: Az f függvéy deriváltfüggvéyéek (differeciálháyados-függvéyéek) evezzük azt az f függvéyt, amely értelmezve va azoko az x 0 helyeke, ahol f differeciálható, és ott az értéke f (x 0). Továbbá: D: Az f függvéy második deriváltfüggvéyéek evezzük az f függvéy deriváltfüggvéyét, ameyibe létezik, jele f. Például a gyorsulást az út-idő függvéy második deriváltjakét tudjuk meghatározi. Ezt az eljárást folytatva további deriváltfüggvéyeket tuduk defiiáli. Deriválási szabályok Csak éháy a legfotosabb szabályokból (a képlettárba is megtalálhatók): ( ) ( ) c f ' = c f ', ahol c ; f ± g ' = f ' ± g'; f f' g f g' f g ' = f' g+ f g'; ' =, ha g 0; g g ( ) ( ( )) f g ' = f'( g) g'. 54

55 Néháy elemi függvéy deriváltfüggvéye: ( )' 0 ( ); ( )' ; c = c x = x x x ( e )' = e ; (l x)' = ; x (si x)' = cos x; (cos x)' = si x; ( tgx)' = ; ( ctgx)' = cos x si x A fetiek közül az egyiket választottam a témához tartozó bizoyításak: + Tétel: Az fx ( ) = x, D =, függvéy deriváltfüggvéye f f'( x) x =. i i Bizoyítás: A bizoyításba felhaszálom az a b = ( a b)( a + a b a b ab + b ) azoosságot. Az x függvéy x 0 potbeli differeciálháyadosára: i i fx ( ) fx ( 0) x x0 ( x x0)( x + x x x x xx 0 + x0 ) f'( x0) = lim = lim = lim = x x x x x x x x0 x x0 x x0 x x = lim( x + x x x x +... x x + x ) = x. i i Mivel ez bármely x0 Df eseté teljesül, ezért f'( x) x =. // A differeciálszámítás alkalmazásai A matematiká belül a legfotosabb alkalmazási területeket korábba már felsoroltam (görbe éritője egyeletéek felírása, függvéyvizsgálat, szélsőérték-feladatok megoldása). Néháy agyo fotos tétel a függvéyek tulajdoságaiak meghatározásával kapcsolatba: T: Ha az f függvéy differeciálható az ]a; b[ yílt itervallumo, továbbá az a < x 0 < b potba f (x 0) = 0, és f x 0-ba előjelet vált, akkor f-ek x 0-ba helyi szélsőértéke va: helyi maximuma, ha f előjele pozitívról egatívra változik, helyi miimuma, ha az előjel egatívról pozitívra változik. T: Ha az f függvéy kétszer differeciálható az ]a; b[ yílt itervallumo, továbbá az a < x 0 < b potba f (x 0) = 0 és f (x 0) < 0, akkor f-ek x 0-ba helyi maximuma va, ha f (x 0) > 0, akkor f-ek x 0-ba helyi miimuma va. T: Legye az f függvéy kétszer differeciálható az ]a; b[ yílt itervallumo. Az f potosa akkor kovex (kokáv) az ]a; b[-, ha f''( x0) 0 ( ''( 0) 0 f x ) bármely x ] ab[ eseté. 0 ; T: Ha az x 0 potba f''( x 0) előjelet vált, akkor ott f-ek iflexiós potja va. A matematiká kívüli alkalmazások (fizika, kémia, biológia, pézügyi számítások, közgazdaságta, társadalmi folyamatok leírása stb.) közös jellemzője, hogy általába valamilye folyamat változási gyorsaságáak meghatározására haszáljuk. Csak éháy kokrét példa ezek közül: a pillaatyi sebesség és gyorsulás kiszámítása; a kémiai reakciók hőmérsékletfüggése; egy populáció diamikus egyesúlyáak meghatározása; költség-haszo elemzések, optimalizálási problémák megoldása; társadalmi folyamatok vizsgálata, időbeli előrejelzése stb. 55

56 . tétel: Derékszögű háromszögekre voatkozó tételek. A hegyesszögek szögfüggvéyei. A szögfüggvéyek általáosítása. Ez a tétel az egyik legkegyetleebb a 4-ből, de csak a mérete miatt és ezzel a vizsgáztatók is tisztába vaak. Ne is törekedjük arra, hogy mide idetartozó defiíciót és tételt elmodjuk, ellebe ügyeljük arra, hogy a tétel mid a három fő részét éritsük feleletükbe. D: A derékszögű háromszögbe a derékszög szárait befogóak, a vele szemközti oldalt átfogóak evezzük. A derékszögű háromszögekre voatkozó legfotosabb tételek: 56. Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög befogóiak égyzetösszege egyelő az átfogó égyzetével.. Pitagorasz tételéek megfordítása: Ha egy háromszög két oldaláak égyzetösszege egyelő a harmadik oldal égyzetével, akkor a háromszög derékszögű. 3. Thalész tétele: Ha egy kör egyik átmérőjéek két végpotját összekötjük a körvoal átmérővégpotoktól külöböző bármely más potjával, akkor derékszögű háromszöget kapuk. 4. Thalész tételéek megfordítása: Az azoos átfogójú derékszögű háromszögek derékszögű csúcsai az átfogó mit átmérő fölé szerkesztett körre illeszkedek (Thalész-kör). 5. Magasságtétel: A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága két olya részre vágja az átfogót, amelyekek mértai közepe. 6. Befogótétel: A derékszögű háromszög befogója mértai közép az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetülete között. Ezek közül itt a kedvecemet, Thalész tételéek megfordítását fogom bizoyítai. Bizoyítás: Idirekt úto bizoyítuk. Tegyük föl, hogy a derékszögű csúcs em illeszkedik az átfogó Thalész-körére. Ekkor két eset lehet: vagy aak belsejébe, vagy azo kívül helyezkedik el. Ha a derékszögű csúcs a Thalész-kör belsejébe va, akkor hosszabbítsuk meg a háromszög AC befogóját a Thalész-körrel való P metszéspotjáig. Az ábra jelölései szerit ekkor Thalész tétele miatt BPA = 90, ugyaakkor a PCB is derékszög ( BCA külső szöge lévé), de ez elletmodásra vezet, ugyais így a BPC belső szögeiek összege agyobb lee 80 o -ál. Ha a derékszögű csúcs a Thalész-körö kívül va, akkor legye a háromszög AC befogójáak a Thalész-körrel való metszéspotja P. Az ábra jelölései szerit ekkor Thalész tétele miatt BPA = 90, ugyaakkor a CPB is derékszög ( BPA külső szöge lévé), de ez elletmodásra vezet, ugyais így a BPC belső szögeiek összege agyobb lee 80 o - ál. //

57 A hegyesszögek szögfüggvéyei Emiatt a két háromszög hasoló, a hasolóság a b c aráya k = = = a' b' c '. Legye az ABC és az A B C derékszögű háromszögekbe egy-egy hegyesszög (α) egyelő. Ebből következik, hogy a a' a a' b b' = ; = ; =, azaz az egyelő b b' c c' c c ' hegyesszögű derékszögű háromszögek oldalaiak háyadosa álladó, és ez az álladó a derékszögű háromszög hegyesszögére jellemző. Eze háyadosokkal tudjuk defiiáli a hegyesszögek szögfüggvéyeit: szöggel szemközti befogó szög melletti befogó siα = cosα = átfogó átfogó szöggel szemközti befogó szög melletti befogó tgα = ctgα = szög melletti befogó szöggel szemközti befogó (A sziusz reciprokát a szög szekásáak, a kosziuszét a szög koszekásáak evezzük, de ezeket em haszáljuk középiskolába.) Nyilvávalóa igazak a következő egyelőségek: ( ) ( ) ( 90 ) ( 90 ) si 90 α = cosα cos 90 α = siα tg α = ctgα ctg α = tgα tgα = ctgα = ctgα tgα siα cosα tgα = ctgα = cosα siα A Pitagorasz-tétel segítségével levezethető a következő tétel: T: Bármely α hegyesszögre si α + cos α =. (Ez az ú. trigoometrikus Pitagorasz-tétel.) Az egyelő szárú derékszögű háromszögből és egy fél szabályos háromszögből levezethetők az ú. evezetes szögek (30 o, 45 o és 60 o ) szögfüggvéyeiek, illetve a szögfelezőtétel felhaszálásával ezek félszögei szögfüggvéyeiek potos értékei. A szögfüggvéyek általáosítása A szög fogalmáak eredeti meghatározása szerit a szögek agysága 0 o és 360 o közé esik, célszerűek tűt ezek szögfüggvéyeiek értelmezése is, majd elsősorba fizikai feladatok megoldására értelmeztük a forgásszöget, illetve ezek szögfüggvéyeit, természetese a permaecia elvéek figyelembe vételével. 57

58 D: Az i egységvektor α szögű elforgatottjáak első koordiátáját a szög kosziuszáak, második koordiátáját a szög sziuszáak evezzük. A defiícióból következik, hogy bármely α szögre si α,cosα, továbbá ekkor is igaz a trigoometrikus Pitagorasz-tétel. A szöget mérhetjük fokba és radiába is. A tages és kotages szögfüggvéyt a sziusz és kosziusz szögfüggvéyek segítségével értelmezzük. α D: Bármely α 90 + k 80, k Z eseté tg α = si. cosα D: Bármely α 0 + k 80, k Z eseté α ctg α = cos. siα Alkalmazások: Talá a derékszögű háromszögekre és a hegyesszögek szögfüggvéyeire voatkozó összefüggéseket alkalmazzuk leggyakrabba a hétközapi életbe: külöböző testek felszíéek és térfogatáak meghatározása (pl. családi házak vakolásához és festéséhez); távolságok és magasságok meghatározása teodolit segítségével. A műszaki mechaikába hajtószíjak hosszáak meghatározása, gépelemek illesztése, a vikli meghatározása vágásokhoz stb. tartozik ezek közé. De külöböző fizikai problémák megoldásába is haszáljuk: a ferde hajítás hosszáak és magasságáak kiszámításához (ideértve a katoai alkalmazásokat is), a mukavégzés kiszámításához, a lejtőre tett testek mozgásáak leírásához. 58

59 3. tétel: Háromszögek evezetes voalai, potjai és körei. Az ABC -be a szokásos jelölésekkel a legfotosabb potok, egyeesek és körök: - a csúcspotjai: A; B és C; - a csúcsaival szemközti oldalak: a; b és c; - a belső és külső szögei: α; β és γ; illetve α ; β és γ ; - a oldalfelező potjai: F a; F b és F c; - a oldalfelező merőlegesei: f a; f b és f c; - a oldalfelező merőlegeseiek metszéspotja: O k; - a belső és külső szögfelezői: f α; f β és f γ; illetve f α; f β és f γ; - a belső és külső szögfelezőiek metszéspotjai: O be; O ka; O kb és O kc; - a magasságvoalai (illetve magasságai): m a; m b és m c; - a magasságtalppotjai: T a; T b és T c; - a magasságpotja: M; - a középvoalai: k a; k b és k c; - a súlyvoalai: s a; s b és s c; - a súlypotja: S. Az ezekhez kapcsolódó legfotosabb defiíciók, tételek: D: A köré írt (körülírt vagy körülírható) köre az a kör, amely a összes csúcsá átmegy. T: A oldalfelező merőlegesei egy potba metszik egymást. Ez a pot a köré írható köréek középpotja. A hegyesszögű köré írt köréek középpotja a belsejébe, a tompaszögűé a -ö kívül va, míg a derékszögű köré írt köre a Thalész-köre, az átfogó két végpotjával együtt. 59

60 D: A beírt köre vagy a -be írt kör olya kör, amely a mide oldalát ériti. D: A hozzáírt köre a egyik oldalát és a másik két oldaláak a meghosszabbítását éritő kör. T: A belső szögfelezői egy potba metszik egymást. Ez a pot a beírható köréek középpotja. T: A egy belső szögéek és a másik két szöge külső szögéek szögfelezője egy potba metszi egymást. Ez a pot a -höz kívülről hozzáírható kör középpotja (három ilye pot va). D: A magasságvoalá a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyeesére bocsátott merőleges egyeest értjük. A adott oldaláak és az azzal szemközti csúcsáak a távolsága a adott oldalához tartozó magassága. A magasságvoal és az oldal egyeeséek metszéspotját a magasság talppotjáak evezzük. T: A magasságvoalai egy potba metszik egymást. Ez a pot a magasságpotja. A hegyesszögű magasságpotja a belsejébe, a tompaszögűé a -ö kívül va, míg a derékszögű magasságpotja a derékszögű csúcs. D: A két oldaláak felezőpotját összekötő szakaszt a háromszög középvoaláak evezzük. T: A középvoala párhuzamos a harmadik oldallal, és fele olya hosszú. 60

61 D: A csúcspotjait a szemközti oldal felezőpotjaival összekötő szakaszokat (illetve egyeeseket) a súlyvoalaiak evezzük. T: A súlyvoalai egy potba metszik egymást, ez a pot a háromszög súlypotja. A súlypot a súlyvoalakat úgy harmadolja, hogy az oldalakhoz va közelebb. Bizoyítás: E tétel bizoyítását többféleképpe taultuk középiskolába: hasolósági, vektoros, koordiátageometriai módszerekkel is beláttuk. É most egy egybevágósági bizoyítást adok. HÁJ! Legye S az ABC s a és s b súlyvoaláak metszéspotja, F az AS, F a BS szakasz felezőpotja. Az F bf a szakasz az ABC háromszög c oldalához tartozó középvoala, ezért párhuzamos vele és fele akkora. Az ABS háromszögbe ugyailye okál fogva F F is párhuzamos c-vel és fele akkora. Lévé az F F F af b égyszög két szemközti oldala párhuzamos és egyelő hosszú, ezért az paralelogramma. Mivel a paralelogramma átlói felezik egymást, ezért AF = F S = SF a, illetve BF = F S = SF b. Tehát S midkét súlyvoalat a tételbe szereplő módo harmadolja. A s a és s c súlyvoaláak S metszéspotjára alkalmazva az előbbi eljárást, ugyaezt kapjuk, emiatt S = S, tehát a három súlyvoal egy potba metszi egymást, és ez midhármat a tételbe szereplő módo harmadolja. // Néháy további evezetes tétel ehhez kapcsolódóa T: Bármely -be az oldalak felezőpotjai, a magasságok talppotjai és a magasságpotot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpotjai egy körre illeszkedek (kilec pot köre vagy Feuerbachkör). A Feuerbach-kör éháy érdekes tulajdosága: () A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mit a háromszög körülírt köréek a sugara. () A háromszög körülírt köréek bármely potját a magasságpottal összekötő szakasz felezőpotja rajta va a Feuerbach-körö. (3) A Feuerbach-kör középpotja rajta va a háromszög Euler-egyeesé, és felezi a háromszög magasságpotja és a körülírt kör középpotja közötti szakaszt. (4) A Feuerbach-kör kívülről ériti a háromszög hozzáírt köreit és belülről ériti a beírt körét (Feuerbach-tétel). 6

62 T: Bármely -be a magasságpot, a körülírt kör középpotja, a súlypot és a Feuerbach-kör középpotja egy egyeesre illeszkedik (Euleregyees). A Feuerbach-kör középpotja felezi, a súlypot pedig : aráyba osztja a körülírt kör középpotját és a magasságpotot összekötő szakaszt. D: A izogoális potja (Fermat Torricellipotja) az a pot, amelyet a csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza miimális. T: Ha egy -be a legagyobb szög kisebb mit 0 o, akkor a izogoális potja az a pot, amelyből a mide oldala 0 o -os szögbe látszik, ellekező esetbe az izogoális pot a legagyobb szög csúcsa. Alkalmazások: A -ek evezetes potjait, egyeeseit és köreit legtöbbször geometriai bizoyításokba és szerkesztésekbe haszáljuk föl. Például magát a magasságvoalak metszéspotjára voatkozó tételt is a háromszögek oldalfelező egyeeseire voatkozó tétel felhaszálásával látjuk be, koordiátageometriai feladatok sorá is számtalaszor haszáljuk. Bizoyos szélsőérték-feladatok megoldása sorá is hivatkozuk rájuk. Épületek, gépek tervezése sorá is sokszor hívjuk segítségül ezeket. 6

63 4. tétel: Összefüggések az általáos háromszögek oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között. A háromszög oldalai közti összefüggések A háromszög oldalai közti legalapvetőbb összefüggést a háromszög-egyelőtleségek jeletik. T: Bármely háromszögbe két oldal összege agyobb, mit a harmadik oldal, illetve bármely két oldal külöbsége kisebb, mit a harmadik oldal. A szokás jelölésekkel: a+ b> c; b+ c> a; c+ a> b; a b < c; b c < a és c a < b. A háromszög szögei közti összefüggések D: A háromszög belső szögeiek mellékszögeit külső szögek evezzük. T: A háromszög bármely külső szöge a em mellette fekvő belső szögek összege. T: A háromszög belső szögeiek összege 80 o. T: A háromszög külső szögeiek összege 360 o. Ez utóbbi három tétel bizoyítása a evezetes szögpárokra épül, és a leggyakrabba haszált tételek közé tartozik (ha em is midig hivatkozuk rájuk). Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között E tételek két csoportba sorolhatók: kvalitatív és kvatitatív összefüggéseket fogalmazak meg. Kvalitatív megállapítások: T: Bármely háromszögbe egyelő oldalakkal szembe egyelő szögek vaak, és fordítva, egyelő szögekkel szembe egyelő oldalak vaak. T: Bármely háromszögbe a agyobb oldallal szembe agyobb szög va, és fordítva, agyobb szöggel szembe agyobb oldal va. E égy tételt szité gyakra haszáljuk, külööse trigoometrikus feladatok megoldása sorá. Feti megfogalmazásuk rövid, de matematikailag helyes. Ameyibe ha A, akkor B alakba szereték kimodai ezeket, akkor például az első így szóla: T: Ha egy háromszögbe két oldal egyelő hosszú, akkor a velük szemközti szögek egyelő agyságúak, és fordítva, ha egy háromszögbe két szög egyelő agy, akkor a velük szemközti oldalak egyelő hosszúak. E tételek csak a beük szereplő meyiségek agyságredi (miőségi) összefüggéseiről adak felvilágosítást, a számszerű viszoyokról, a meyiségi összefüggésekről em. Ezeket a következő tételek modják ki. 63

64 Kvatitatív megállapítások: A trigoometrikus feladatokba leggyakrabba haszált két tétel tartozik ide: a sziusztétel és a kosziusztétel. Tétel: Bármely háromszögbe az oldalak úgy aráylaak egymáshoz, mit a velük szemközti szögek sziuszai (sziusztétel). A szokásos jelölésekkel: a: b: c= si α: si β : siγ vagy a b c = =. siα siβ siγ Bizoyítás: Írjuk föl a háromszög területét (két oldal szorozva a bezárt szög sziuszával és osztva kettővel) háromféleképpe! absiγ bcsiα casiβ t = = = / 0 abc t siγ siα siβ = = = abc c a b Mivel a tételbe (és bizoyításba) szereplő összes meyiség pozitív, ezért vehetjük az egyelet reciprokát, s így a tétel állítását kapjuk. // T: Bármely háromszögbe a szokásos jelölésekkel a kosziusztétel: - oldalra felírva: c = a + b abcosγ ; a + b c - szögre felírva: cosγ =. ab Természetese bármely más oldalra és szögre aalóg tételek igazak. (Derékszögű háromszög eseté a Pitagorasz-tételt kapjuk.) Egy háromszög akkor adott, ha ismerjük három, egymástól függetle adatát (hosszak, szögek). Emiatt a legtöbb, háromszögre voatkozó geometriai feladatba három adat ismeretébe kell kiszámítauk a háromszög további adatait. Ha az adott és a keresett meyiségek két hosszúság és két szög, akkor a sziusztételt írjuk fel (célszerűe az ismeretle meyiséggel kezdve a bal oldali tört számlálójába), ha pedig három hosszúság és egy szög, akkor a kosziusztételt a szöggel szemközti oldalra. Alkalmazások A matematiká belüli alkalmazások mellett mid a mai apig redkívül fotos és gyakra haszált a gyakorlati életbe a sziusz- és kosziusztétel. Elsődleges alkalmazásuk a földmérésbe és a térképészetbe törtéik, aak elleére, hogy ma már redelkezésükre állak légi féyképek és GPS-koordiáták. Ezt az magyarázza, hogy a polgári életbe jeleleg ilye célra haszált műholdvevők potossága sok esetbe em éri el a kellő szitet, 5-0 méteres hibahatárral dolgozak. Speciális geodéziai GPS-eszközökkel (két külöböző helye lévő vevő stb.) el lehet éri az - cetiméteres potosságot is, de ezek ige drágák és em is hozzáférhetők. Közműalagutak, megfelelő lejtésű eső- és szeyvízelvezető csatorák tervezéshez és kivitelezéséhez a mai apig teodolitot haszáluk, és a mért adatokból háromszögeléssel határozzuk meg a keresett értékeket. 64

65 Ha elromlik általába lemerül! a GPS-ük, az okostelefouk, akkor még midig ott va ekük a térkép és a tájoló, hogy azok segítségével határozzuk meg a helyzetük, illetve a követi kívát iráyt. Megjegyzés Ez a tétel a címe miatt tartalmilag ige kevés ismeretayag elmodását teszi lehetővé. Eze úgy lehet legikább segítei, ha több tételt is bizoyítuk, vagy ha egy tételre több bizoyítást is aduk. Erre egy példa: Tétel: Bármely háromszögbe az oldal és a vele szemközti szög sziuszáak háyadosa álladó, a háromszög köré írt köréek az átmérője (a sziusztétel egy, a korábba kimodottal ekvivales alakja). Bizoyítás: HÁJ! Az ABC köré írt körébe a BCA = γ kerületi szög, ezért a kerületi és középpoti szögek tétele miatt a hozzátartozó középpoti szög BOk A = γ. Mivel az ABO k egyelő szárú, ezért az AB oldalhoz tartozó magasság felezi az AB oldalt és a BOk A -et is. Így az ATO k c derékszögű -be si γ = c R = R, c amelyet redezve R siγ =. A másik két szögre hasolóa bizoyítuk. // E tétel fotos következméye, hogy a háromszög területét így is számolhatjuk: c ab absiγ abc t = = R =. 4R 65

66 5. tétel: Egybevágóság és hasolóság. A hasolóság alkalmazásai síkgeometriai tételek bizoyításába. Egybevágóság D: Azokat a függvéyeket, amelyek értelmezési tartomáya és értékkészlete is pothalmaz, geometriai traszformációak evezzük. P D eseté P f ( P): = P'. P-t ősek, P -et képek evezzük. f Eze függvéyek jellemzését a számhalmazo értelmezett számértékű függvéyektől eltérő módo a következő szempotok szerit végezzük: kölcsöös egyértelműség, szimmetria, fix- és ivariás alakzatok, távolság-, szög- és körüljárásiiráy-tartás. Ezek közül egyet defiiálok: D: Az f geometriai traszformáció szimmetrikus, ha P D eseté f ( f ( P)): = P'' = P. A geometriai traszformációk közül kiemelkedőe fotosak a távolságtartó leképezések. D: A távolságtartó geometriai traszformációkat egybevágósági traszformációak evezzük. Eek segítségével tudjuk meghatározi az egybevágóság fogalmát: D: Két síkidom (test) egybevágó, ha va olya egybevágósági traszformáció, amely egyiket a másikba viszi. A síkbeli egybevágósági traszformációk öt alapesete: tegelyes tükrözés, középpotos tükrözés, pot körüli forgatás, eltolás, idetitás (azoos leképezés). Az utolsó égy előállítható két tegelyes tükrözés szorzatakét (egymás utái végrehajtásakét). Ez a szorzási művelet (általába) em kommutatív! A térbeli egybevágósági traszformációk éháy alapesete: középpotos tükrözés, tegelyes tükrözés, síkra való tükrözés, egyees körüli elforgatás, eltolás, idetitás. Néháy tétel az egybevágóságra: T: Két kör (gömb) egybevágó, ha sugaruk egyelő. T: Két sokszög egybevágó, ha - megfelelő oldalaik és átlóik párokét egyelők; vagy - megfelelő oldalaik és szögeik párokét egyelők. A gyakorlatba ez utóbbit ehézkessége miatt em haszáljuk, célszerűe háromszögekre botjuk őket, és azok egybevágóságát bizoyítjuk. A háromszögek egybevágóságáak alapesetei: T: Két háromszög egybevágó, ha - megfelelő oldalaik párokét egyelők; - két-két oldaluk és az azok által bezárt szögek párokét egyelők; - két-két oldaluk és a hosszabbakkal szemközti szögek párokét egyelők; - egy oldaluk és az azo fekvő két szög párokét egyelő. f 66

67 Hasolóság D: Középpotos hasolóságak evezzük a következő geometriai traszformációt: Adott egy O pot és egy λ 0 valós szám (a hasolóság aráya). A tér mide egyes P potjához redeljük hozzá egy P potot a következőképpe: - ha P = O, akkor P = P; - ha P O, akkor P az OP egyees azo potja, amelyre OP' = λ OP, és ha λ > 0, akkor P az OP félegyees potja, ha λ < 0, akkor P-t és P -et O elválasztja egymástól. D: Egy középpotos hasolóság és egy egybevágósági traszformáció szorzatát (egymás utái végrehajtását) hasolósági traszformációak evezzük. D: Két síkidom (test) hasoló, ha va olya hasolósági traszformáció, amely egyiket a másikba viszi Az egybevágóságál írt tételek aalógiái hasolóság eseté: T: Két kör (gömb) hasoló. T: Két sokszög hasoló, ha - megfelelő oldalaik és átlóik aráya párokét egyelő; vagy - megfelelő oldalaik aráya egyelő, és megfelelő szögeik párokét egyelők. A háromszögek hasolóságáak alapesetei: T: Két háromszög hasoló, ha - megfelelő oldalaik aráya egyelő; - két-két oldaluk aráya és az azok által bezárt szögek egyelők; - két-két oldaluk aráya és a hosszabbakkal szemközti szögek egyelők; - két szögük párokét egyelő. További két fotos tétel: T: Hasoló síkidomok területéek (testek felszíéek) aráya a hasolóság aráyáak égyzete. T: Hasoló testek térfogatáak aráya a hasolóság aráyáak köbe. A hasolóság alkalmazásai síkgeometriai tételek bizoyításába A hasolósági bizoyítást igéylő tételek legtöbbje jól felismerhető oa, hogy a tétel állítása a b= c dalakú, ahol a; b; c és d szakaszokat jelölek (a mértai közepes tételek is ide tartozak, lévé a= bc aa = bc ). A bizoyítások közös voása, hogy megmutatjuk, a égy szakasz alkotta két háromszögbe két-két szög párokét egyelő. Emiatt a két háromszög hasoló, és ezért a megfelelő oldalak aráya megegyezik. Ezt átredezve kapjuk a tétel állítását. Hogy melyik lesz a két hasoló háromszög, azt az a b= c d állítás átredezésével kapjuk: a = d, ahol a és d az egyik háromszög oldalai, és c és b a másik c b háromszög megfelelő (egyelő szögekkel szemközti) oldalai. 67

68 A legfotosabb (legtöbbször haszált) hasolósági tételek a következők: - a háromszögbe a külső és belső szögfelezőkre voatkozó szögfelezőtételek; - pot körre voatkozó hatváya (három eset a pot és a körvoal kölcsöös helyzetéek megfelelőe); - a háromszög súlyvoalaira voatkozó tétel; - a háromszög Euler-egyeese; - a háromszög Feuerbach-köre (kilec pot köre); - derékszögű háromszögbe a magasság- és befogótétel. A következőkbe egy általam agyo kedvelt tételt fogok bizoyítai (976-ba, végzésemkor ez volt közös érettségi-felvételi írásbeli vizsga 8., utolsó feladata). Tétel: Bármely háromszögbe a magasságpot a magasságokat két olya szakaszra botja, amelyek szorzata függetle a választott magasságtól. Bizoyítás: A tétel állítása MA MTa = MB MTb = MC MTc. Három esetet vizsgáluk, derékszögű, hegyesszögű és tompaszögű háromszögeket. () Derékszögű háromszög eseté a magasságpot és a derékszögű csúcs egybeesik, ezért a tételbe szereplő szorzatok mide magasságra ézve 0-t adak eredméyül. () Hegyesszögű háromszög eseté haszáljuk az ábra jelöléseit! Az MATc CMTa, mert két-két szögük párokét egyelő: - midkettőek va derékszöge; - az egyíves szögek csúcsszögek. A hasolóság aráya MA MT λ = c MC = MT, amelyből redezés a utá MA MTa = MC MTc. Másik két magasságra ézve hasoló módo kapjuk, hogy MA MTa = MB MTb, azaz MA MTa = MB MTb = MC MTc. (3) Tompaszögű háromszög eseté ugyaígy bizoyítuk: Ebbe az esetbe az egyíves szögek azért egyelők, mert midkette pótszögei a BCM - ek a BCT -be, illetve a CMT -be. // c (Megjegyzés: A tételbe levő szorzatok értékét, a pot körre voatkozó hatváyához hasolóa, szokás előjellel elláti: hegyesszögű háromszögbe egatív, tompaszögűbe pozitív, aak megfelelőe, amilye a szakaszokból képzett vektorok skaláris szorzata lee.) a 68

69 Alkalmazások: Az egybevágóságot és a hasolóságot a geometriai tételek bizoyításá túl elsősorba a szerkesztésekél haszáljuk. Redkívül szépek a hasolósági szerkesztést igéylő feladatok, például: szerkesszük háromszöget, ha adott a három magassága. A hasolóságot gyakra haszáljuk a terület-, felszí- és térfogatszámításál is, redkívül leegyszerűsítheti a feladatok megoldását. A hétközapi gyakorlatba hasolóságot alkalmazuk magas tárgyak (épületek, fák stb.) magasságáak meghatározásához. További fotos felhaszálási területe a térképészet, illetve a külöböző dolgokról készült tervrajzok készítése (épületek terv- és alaprajza, kiürítési tervek, külöböző gépek, gépelemek műszaki rajza stb.) A csillagászati távolságok meghatározásába is fotos szerepe va-volt, hasolóság segítségével határozta meg i. e. 75-be Eratosztheész a Föld kerületét. 69

70 6. tétel: A kör és részei. Kerületi szög, középpoti szög, látószög. Húrégyszögek, éritőégyszögek. D: A kör azo potok halmaza a síkba, amelyek egy adott pottól (középpot) adott távolságra (sugár) vaak. A defiícióból kitűik, hogy () a kör megevezés a körvoalat jeleti. Gyakra a sík körvoal határolta részét is körek evezzük (például, amikor a kör területéről beszélük), azoba eek potos megevezése körlemez vagy körlap, amely lehet zárt vagy yitott, attól függőe, hogy a körvoal hozzátartozik vagy sem; () a kör középpotja em tartozik a körhöz; (3) a sík azo potjai, amelyek távolsága a középpottól a sugárál kisebb, a körvoal belsejébe vaak, azok pedig, melyek távolsága a középpottól a sugárál agyobb, a körvoalo kívül. A síkba egy körek és egy egyeesek 0, vagy közös potja lehet. D: Azt egyeest, amelyek ics közös potja a körrel, elkerülő egyeesek evezzük. D: Azt az egyeest, amelyek egy közös potja va a körrel, éritőek evezzük, a közös potot pedig éritési potak. D: Azt az egyeest, amelyek két közös potja va a körrel, a kör szelőjéek evezzük. D: A körvoalat a közös potok két körívre botják, jelölésük AB és BA, a pozitív forgásiráyak megfelelőe. D: A körív végpotjaiba húzott sugarak szögét a körívhez tartozó középpoti szögek evezzük. D: A kör szelőjéek a közös potok közti szakaszát a kör húrjáak evezzük. D: A kör középpotját tartalmazó húrokat a kör átmérőjéek evezzük (az átmérő hossza a sugár kétszerese). D: A körlapot a szelő két körszeletre botja. D: A körív és az ív végpotjaiba húzott sugarak meghatározta síkidomot körcikkek evezzük. D: Az azoos középpotú köröket kocetrikus (vagy egyközepű) körökek evezzük. D: A két kocetrikus kör (körcikk) közrefogta síkidomot körgyűrűek (körgyűrűcikkek) evezzük. T: A kör bármely potjába potosa egy éritő húzható a körhöz, az éritő és az éritési potba húzott sugár merőleges egymásra. T: Bármely körbe a körvoal hosszáak (a kör kerülete) és a kör átmérőjéek háyadosa álladó. Az álladót π-vel jelöljük, értéke égy jegy potossággal 3,4. k= πr. 70

71 π πd T: Bármely körbe a kör területéek és a kör átmérője égyzetéek háyadosa. t= = r π. 4 4 T: Egy körbe a középpoti szögek aráya megegyezik a hozzájuk tartozó ívek hosszával és a hozzájuk tartozó körcikkek területével. rπα E három tétel felhaszálásával a kör adott ívéek hossza i= rα =, adott körcikkéek területe 80 ri r α r πα tkc = = =, ahol r a kör sugara, α, illetve α az ívhez (körcikkhez) tartozó középpoti szög 360 agysága radiába, illetve fokba mérve. Körszeletek kerületét a körív és a húr hosszáak összegekét kapjuk, területüket pedig a körcikk és az OAB, ú. középpoti háromszög területére vezetjük vissza. Kerületi és középpoti szögek D: Ha egy kovex szög csúcsa illeszkedik egy körre, szárai pedig a kör egy-egy húrjára, akkor a szöget kerületi szögek evezzük. A körvoalak a kerületi szög szárai közé eső részét a kerületi szöghöz tartozó ívek evezzük, ilye értelembe beszélük adott ívhez tartozó vagy adott íve yugvó kerületi szögről, amelyet általába β-val jelölük. D: A kör egy húrjáak és a húrvégpotba a körhöz húzott éritőek a szögét éritő szárú kerületi szögek evezzük. Tétel: Adott körbe adott ívhez tartozó középpoti szög midig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögek. Bizoyítás: A bizoyításba égy esetet vizsgáluk. Haszáljuk az ábrák jelöléseit! () A kör középpotja illeszkedik a kerületi szög egyik szárára: Ebbe az esetbe a POB háromszög egyelő szárú, mert két oldala a kör sugara. Ezért alapo fekvő, β-val jelölt szögei egyelő agyok. Az ívhez tartozó α középpoti szög eek a háromszögek külső szöge, amely a em mellette fekvő két belső szög összegével egyelő, tehát α = β. () A kör középpotja a kerületi szög belsejébe va: Ebbe az esetbe húzzuk be a PO egyeest! Ez az egyees a kerületi és a középpoti szöget is két-két olya részre vágja, amelyekek összege, továbbá ezek az ()- ek megfelelő szögek. Emiatt α = α + α = β + β = β + β = β. ( ) 7

72 (3) A kör középpotja a kerületi szögö kívül va: Ebbe az esetbe is húzzuk be a PO egyeest! Ekkor két olya új kerületi és középpoti szög jö létre, amelyekek a tételbe szereplő szögek a külöbségei, továbbá ezek az ()-ek megfelelő szögek. Emiatt α = α α = β β = β β = β. ( ) (4) Éritő szárú kerületi szög eseté három esetet külöböztetük meg: β < 90 ; β = 90 β > 90. és Legye először β < 90! Húzzuk be az ABO egyelő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságát, amely felezi az ívhez tartozó α középpoti szöget! Mivel az éritő merőleges az éritési potba húzott sugárra, ezért az éritő szárú kerületi szög és az AOT merőleges szárú szögek, így egyelők. Tehát α = β. β = 90 eseté az AB húr egybe átmérő is, így teljesül a tétel állítása. β > 90 eseté az AOB egyelő szárú háromszög alapo fekvő szögei β 90 agyságúak, így az ( ) AOB = 80 β 90 = 360 β. Ebből már következik, hogy az AB -hez tartozó középpoti szög agysága β (ábra a következő oldalo). 7

73 Tehát a tétel állítását az összes lehetséges esetre beláttuk. // E tétel közvetle következméyei: T: Adott körbe az azoos íve yugvó kerületi szögek egyelők. T: Azoos sugarú körökbe az ugyaolya hosszú íveke yugvó kerületi szögek egyelők. Látószög, látókörív A látószög hétközapi értelmezése: a legkisebb olya szög, amekkorára szemüket ki kell yituk ahhoz, hogy a ézett tárgyat éppe lássuk, hogy beleférje látómezőkbe. D: Egy síkidom látószögé az adott potból a síkidomhoz húzható éritők (egy közös potú vagy szakaszú egyeesek) szögét értjük. D: Adott a síkba egy AB szakasz és egy P pot. Ha APB = α, akkor azt modjuk, hogy a P potból az AB szakasz α szögbe látszik. Szemléletese: T: Azo potok halmaza a síkba, amelyekből a sík egy adott AB szakasza adott α (0 < α < 80 ) szögbe látszik, két, az AB egyeesére szimmetrikusa elhelyezkedő yílt körív. 73

74 A látószögkörívek alakja a szög agyságától függ: Derékszög eseté Thalész tételét és megfordítását kapjuk. Látókörívet az éritő szárú kerületi szög segítségével szerkesztük. Húrégyszögek D: Az ABCD égyszög húrégyszög, ha csúcsai egy körre illeszkedek. T: Egy égyszög akkor és csak akkor húrégyszög, ha szemközti szögeiek összege 80 o. Három húrégyszögekre voatkozó evezetes tétel: T: Bármely húrégyszögbe a szemközti oldalak szorzatáak összege az átlók szorzatával egyelő (Ptolemaiosz tétele): ef = ac + bd. T: A húrégyszög területe t= ( s a)( s b)( s c)( s d), ahol a; b; c; d a a+ b+ c+ d húrégyszög oldalai és s =, a húrégyszög félkerülete (Brahmagupta tétele). T: Egy trapéz akkor és csak akkor szimmetrikus trapéz, ha húrégyszög (húrtrapéz). D: Egy sokszöget húrsokszögek evezük, ha csúcsai egy körre illeszkedek. T: A szabályos sokszögek húrsokszögek. 74

75 Éritőégyszögek D: Azokat a égyszögeket, amelyekek va beírható körük, éritőégyszögek evezzük. T: Egy kovex égyszög akkor és csak akkor éritőégyszög, ha szemközti oldalaiak összege egyelő, a + c = b + d. D: Egy sokszöget éritősokszögek evezük, ha va beírható köre. T: A szabályos sokszögek éritősokszögek. Alkalmazások A matematiká belüli alkalmazások közé vehetjük a kúpok, csoka kúpok palástjáak kiszámítását stb. A kör és részei kiszámításáak számtala felhaszálási területe va a mechaikai eszközök és gépek tervezése sorá: lácos és kúpos fogaskerékáttétek, szíjhajtások, dugattyúk holtpotjáak kiegyesúlyozása (gőzgépek hajtott kerekeiek alakja). Idesorolhatjuk még az alsó- és felsőpályás hidak tartóelemei hosszáak meghatározását, külöböző építészeti megoldások (boltívek, kupolák stb.) tervezését is. Szíházak, mozik, külöböző redezvéytermek tervezéséél tekitettel kell leük a megfelelő, miél agyobb látószög elérésére, a jegyárak meghatározásakor célszerű ezt is figyelembe vei. 75

76 7. tétel: Vektorok, vektorműveletek. Vektorfelbotási tétel. Vektorok koordiátái. Skaláris szorzat. A vektorok bevezetésére elsősorba fizikai problémák megoldása sarkallta a matematikusokat és a fizikusokat. Idetartozik a mozgások kiematikai (elmozdulás, sebesség, gyorsulás) és diamikai (erő, ledület, forgatóyomaték, perdület) leírása. A mező fogalmáak kialakulása is szorosa összefügg az elektromos, mágeses és gravitációs térerősség jellemzésével. A vektorok matematikai eszköztáruk egyik agyo fotos eszközét jeletik, fogalmukat azoba csak komoly elvoatkoztatás utá tudjuk megadi (bővebbe a. számú kiegészítésbe). Középiskolába még a szemléletes meghatározásál maraduk: D: Az iráyított szakaszokat vektorokak evezzük. A szakasz attól iráyított, hogy va kezdő- és végpotja. Jelölésük: a; a; a; PQ. D: Azokat a vektorokat, amelyek kezdőpotja a sík (a tér) egy rögzített O potja, helyvektorak evezzük. A em helyvektorokat szabad vektorak evezzük. A vektorokat két meyiséggel tudjuk, kell jellemezük: a hosszukkal és az iráyukkal. A vektorok hosszát abszolútérték-jellel jelöljük: a a ; a ; PQ. Ezért a vektor hossza, agysága és abszolút értéke ugyaazt a fogalmat jeleti. A vektorok iráyát egy rögzített félegyeeshez (iráyvektorhoz) viszoyítva határozzuk meg. D: A ulla hosszúságú vektort ullvektorak evezzük, jele 0; 0 vagy 0, iráya tetszőleges. A ullvektor mit iráyított szakasz kezdő- és végpotja megegyezik. A tetszőleges iráy ayit tesz, hogy midig ayi, ameyi szükséges: a 0 lehet párhuzamos és merőleges is egy másik vektorhoz viszoyítva. D: Két vektort egyelőek moduk, ha hosszuk és iráyuk megegyezik. D: Két vektor egymás elletettje, ha hosszuk megegyezik, iráyuk pedig elletétes. Az a elletettje -a. D: Két (em ulla) vektor szögé a következőt értjük: - ha iráyuk megegyezik, akkor szögük 0 o ; - ha iráyuk elletétes, akkor szögük 80 o ; - mide más esetbe a két vektor iráya által meghatározott két szög közül a kisebb. Műveletek vektorokkal A vektorok között műveleteket értelmezük. D: Az a és a b összegé azt a vektort értjük, amelyet úgy kapuk meg, hogy az a végpotjába ömagával párhuzamosa eltoljuk a b kezdőpotját, majd vesszük az a kezdőpotjából az eltolt b végpotjába mutató iráyított szakaszt. Ezzel a módszerrel egyszerre több vektort is össze tuduk adi, lácba fűzve azokat. 76

77 D: Az a és a b külöbségé azt a c vektort értjük, amelyre a = b + c. Ezzel ekvivales az a defiíció, hogy az a-hoz hozzáadjuk a b elletettjét. Nyilvá a b és b a egymás elletettjei, továbbá ha az A és a B potba mutató helyvektorok a és b, akkor AB = b a. Két (em párhuzamos és em ulla) vektor összegét és külöbségét megkaphatjuk a paralelogrammamódszerrel is: Két vektor közös kezdőpotból felmérve kifeszít egy paralelogrammát. A paralelogramma közös kezdőpotból iduló átlója a két vektor összege, másik átlója a két vektor külöbsége, amely a kisebbítedőbe mutat. A vektorösszeadás műveleti tulajdoságai: T: Bármely a; b és c vektorra () kommutatív: a + b = b + a; () asszociatív: (a + b) + c = a + (b + c). Defiiáljuk vektor szorzását valós számmal: D: Tetszőleges a vektor és k szám eseté k > 0 eseté az a vektor, amelyek hossza k a és iráya a-val megegyező; k a: = k = 0 eseté 0; k < 0 eseté az a vektor, amelyek hossza k a és iráya a-val elletétes. A vektorok számmal szorzásáak tulajdoságai: T: Bármely a; b vektor és kl ; szám eseté: () ( kl) a= k( la ) ; () k + l = ( k+ l) (3) k + k = k( + ) a a a és a b a b. Vektor felbotása összetevőkre, vektor koordiátái Legyeek az S síkba a és b em egyiráyú (és em ulla) vektorok. T: Az S sík bármely c vektorához létezik olya egyértelműe meghatározott c és c valós szám, hogy c= c a+ c b. 77

78 D: A caés cb vektorokat a c vektor a, illetve b iráyú összetevőiek evezzük. Ha a tételbe szereplő a és b vektorok az S sík helyvektorai, akkor ezek bázisredszer alkotak, amelyre egy koordiáta-redszer építhető. Ha a = b = és a b, akkor ezek ortoormált bázisredszert (orto=merőleges, ormált=egységyi hosszú) alkotak ilye az általuk haszált Descartes-féle koordiáta-redszer. A Descartes-féle koordiáta-redszer bázisvektorait i-vel (x iráyú) és j-vel (y iráyú) jelöljük. A vektorfelbotási tétel miatt bármely a vektor eseté a= ai+ aj, ahol a és a egyértelműe meghatározott valós számok. D: Az a és a számokat az a vektor koordiátáiak evezzük, jelbe a(a ; a ); a -et abszcisszáak, a -t ordiátáak evezzük. Térbe vizsgálva a vektorokat, a z tegely iráyú egységvektort k-val jelöljük, a koordiáta eve applikáta. A vektor hosszára ézve pedig: T: Bármely a(a ; a ) vektor eseté ( ) a a ; a = a + a. A vektorkoordiáták segítségével köye elvégezhetők a műveletek is: T: Bármely a(a ; a ); b(b ; b ) vektor és k szám eseté: () ( a; a) ± ( b; b) = ( ± )( a± b; a± b) () ka( a ; a ) = ( ka )( ka ; ka ). a b a b ; A koordiátageometriába gyakra va szükségük arra, hogy egy vektort 90 o -kal elforgassuk (felírjuk egy rá merőleges vektort), ez köye megtehető a koordiáták segítségével: T: Bármely a(a ; a ) vektor eseté () a(a ; a ) vektor +90 o -os elforgatottja a '( a; a) ; () a(a ; a ) vektor -90 o -os elforgatottja a ( a a ) '' ;. Vektorok skaláris szorzata Szité fizikai problémák például a muka (erő x elmozdulás) kiszámítása tette szükségessé, hogy két vektor szorzatát is értelmezzük. D: Az a és b vektorok skaláris szorzatá az a b cos ( ab ; ) 78 valós számot értjük. (A skaláris szorzat valójába em tekithető hagyomáyos értelembe vett műveletek, mert eredméye kivezet abból a halmazból, amelye értelmezzük: két szám összege, külöbsége, szorzata is szám, ahogy két vektor összege és külöbsége is vektor ezzel elletétbe két vektor skaláris szorzata számot ad eredméyül.) A skaláris szorzat tulajdoságai: T: Bármely a; b és c vektor és k szám eseté:

79 () ab = ba (kommutatív); () k( ) = ( k ) = ( k ) ab a b a b ; (3) ( a± b) c = ac ± bc (disztributív az összeadásra és kivoásra ézve). Skaláris szorzat eseté az asszociatív tulajdoság ( ( ab ) c= a ( bc ) ) em értelmezhető, mert a bee szereplő két szorzás em ugyaazt a műveletet jeleti: a bal oldalo a zárójelbe skaláris szorzat, a zárójel utá pedig vektor szorzása számmal szerepel. Az egyelőség egyébkét általába em is áll fe, mert a bal oldal egy c-vel párhuzamos vektort, a jobb pedig egy a-val párhuzamos vektort eredméyez. Az egyik leggyakrabba haszált, skaláris szorzatra voatkozó tétel: T: Két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0. A skaláris szorzatot köyű kiszámítai a vektorok koordiátáiból: Tétel: Bármely a(a ; a ); b(b ; b ) vektor eseté ab = ab + ab. Bizoyítás: Felhaszálva, hogy a skaláris szorzat disztributív az összeadásra ézve, továbbá a vektorműveletekre érvéyes tételeket: ( a ; a ) ( b ; b ) ( a a )( b b ) ( a )( b ) ( a )( b ) ( a )( b ) ( a )( b ) a b = i+ j i+ j = i i + i j + j i + j j = = abii+ abij+ abji + abjj. Mivel i j ezért ij = ji = 0, továbbá ii = i i cos0 = = és jj = hasolóa. ( ) ( ) a a; a b b; b = ab + ab. // Térbeli vektorok eseté hasolóa kapjuk, hogy a( ) b ( ) Ezért a; a; a b; b; b = ab + ab + ab Ez a tétel lehetővé teszi, hogy egyszerűe és gyorsa meghatározzuk két vektor vagy (ormálvektoraik felhaszálásával) két egyees hajlásszögét: Amelyből ( a; a) ( b; b) ( a; a) ( b; b) cos ( ; ) ( a; a ) b( b; b) ab ab a b = a b ab a( a; a) b( b; b) cos ( ab ; ) = ab + ab. a = + ab + ab ab + ab cos ( ab ; ) = =. a( a ; a ) b( b ; b ) a a b b + + Alkalmazások Vektorok segítségével köye bizoyíthatók elemi geometriai tételek (súlypot, a magasságpottal kapcsolatos tételek, szögfelezőtétel stb.), de legfotosabb felhaszálási területük a középiskolába a koordiáta-geometria (egyeesek egyeletéek felírása, éritő meghatározása stb.). A legfotosabb fizikai alkalmazásokat már említettem, az iformatikába pedig leggyakrabba képábrázolási és -szerkesztési eljárásokba haszáljuk (vektorgrafika). 79

80 8. tétel: Szakaszok és egyeesek a koordiátasíko. Párhuzamos és merőleges egyeesek. Elsőfokú egyelőtleségek, egyeletredszerek grafikus megoldása. Szakaszt a koordiátasíko (-térbe, és általába is) a két végpotjáak megadásával aduk meg. D: A koordiátasíko (-térbe) az origóból egy adott potba mutató vektort az adott pot helyvektoráak evezzük, és koordiátái a végpot koordiátáit értjük. A( a; a) a( a; a) T: Az Aa ( ; a) és Bb ( ; b ) potok meghatározta szakasz hossza AB = AB( b a ; b a ) = b a + b a. ( ) ( ) T: Az Aa ( ; a) és Bb ( ; b ) potok meghatározta szakasz felezőpotjáak koordiátái F AB a+ b a+ b ; Tétel: Az Aa ( ; a) és Bb ( ; b ) potok meghatározta szakaszt k : l aráyba osztó P pot koordiátái: la+ kb la+ kb P ;. k+ l k+ l Bizoyítás: HÁJ! Ekkor p = a + AP k k( b a) k( b a) k( b a) k( b a) AP = AB AP ; p = a( a; a) + AP ;, k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l AB = b a = AB( b a ; b a ) ahoa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k b a k b a k+ l a k b a k+ l a k b a la+ kb la+ kb p= p a+ ; a+ = p + ; + = p ;, k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l k+ l la+ kb la+ kb amelyből P ; k+ l k+ l. // 80

81 Az egyees és egyeletei A koordiátasíko egy egyeest a következő adatokkal szoktuk megadi: - két potjával; - egy potjával és egy, az egyeesre merőleges vektorral (ormálvektor); - egy potjával és egy, az egyeessel párhuzamos vektorral (iráyvektor); - egy potjával és az egyees x tegellyel bezárt iráyszögével vagy meredekségével. D: Az iráyszög tagesét ha létezik az egyees iráytageséek vagy meredekségéek evezzük. D: Görbe egyeletéek azt az egyeletet evezzük, amelyek gyökei és a görbe potjaiak koordiátái között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés va. Tétel: A P ( x ; y ) poto átmeő, ( ; ) AB ormálvektorú egyees egyelete Ax + By = Ax0 + By0. Bizoyítás: P legye az e egyees egy tetszőleges potja! P e PP 0 PP 0 = 0. Felírva a vektorok koordiátáit, alkalmazva a koordiátáival adott vektorok skaláris szorzatáak kiszámítására voatkozó összefüggést, és redezve a kapott egyeletet, a tétel állítását kapjuk. // Tétel: A P ( x ; y ) poto átmeő, ( ; ) Bizoyítás: A ( ; ) koordiátái v ( ; v) v v v iráyvektorú egyees egyelete vx vy vx 0 vy 0 =. v v v iráyvektort kal elforgatva az egyees egy ormálvektorát kapjuk, eek. Ezt beírva az egyees ormálvektoros egyeletébe a tétel állítását kapjuk. // Két poto átmeő egyees egyeletét úgy írjuk föl, hogy először a két potot összekötő vektort határozzuk meg (ez iráyvektor lesz), majd eek segítségével felírjuk az egyees iráyvektoros egyeletét. v v v; v, v 0 iráyvektorú egyees meredeksége m =. v T: A ( ) Így az egyees iráyvektoros egyeletéből kapjuk, hogy T: A P ( x ; y ) poto átmeő, m meredekségű egyees egyelete y y m( x x ) =. 0 0 Párhuzamos és merőleges egyeesek a koordiátasíkba Legye e és f két egyees az xy koordiátasíkba. Ekkor a szokásos jelölésekkel: T: ( ) ( ) e = k f, k \ 0 e f = 0 e f ve = k vf, k \ 0 e f ve vf = 0 me = mf me mf = E tételek állításai yilvávalóa következek a korábba megadott defiíciókból és tételekből. Elsőfokú egyelőtleségek, egyeletredszerek grafikus megoldása A kétismeretlees elsőfokú egyelőtleségek általáos alakja ax + by + c < / / / > 0, a; b; c. 8

82 Ezek megoldáshalmazát a koordiátasíko köye tudjuk ábrázoli. - Ábrázoljuk az ax + by + c = 0 egyeletű egyeest. - A b 0 esetbe a megoldáshalmazt a koordiátasíkak az egyees alatti vagy feletti yitott vagy zárt félsíkja potjai alkotják; - A b = 0 esetbe a megoldáshalmazt a koordiátasíkak az egyees bal vagy jobb oldalá lévő yitott vagy zárt félsíkja potjai alkotják. A kétismeretlees elsőfokú egyeletredszerek általáos alakja ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0, ahol abcde ; ; ; ; ; f. Az egyeletredszer grafikus megoldása sorá ábrázoljuk a két egyelethez tartozó egyeeseket, és a két egyees grafikoja metszéspotjáak koordiátái adják az egyeletredszer gyökét. Optimális esetbe a metszéspot koordiátái leolvashatók az ábráról, külöbe kéyteleek vagyuk az egyeletredszert algebrai úto megoldai. Ha a két egyeesek ics metszéspotja (párhuzamosak), akkor az egyeletredszerek ics gyöke. Ha a két egyees egybeesik, akkor az egyeletredszerek végtele sok gyöke va. Alkalmazások Legtöbbször elemi geometriai feladatok, tételek koordiátageometriai megoldása, bizoyítása sorá haszáljuk a fetieket. A gyakorlati életbe elsősorba költség-haszo elemzésekre, lieáris programozási feladatok megoldására haszáljuk e módszert. Normálvektora em csak egyeesekek va: bármely görbe vagy felület adott potbeli ormálvektorá a potba a görbe éritőjére, illetve a felület éritősíkjára állított merőleges vektort értjük. 8

83 9. tétel: A kör és a parabola a koordiátasíko. Kör és egyees, parabola és egyees kölcsöös helyzete. Másodfokú egyelőtleségek grafikus megoldása. A égy kúpszelet (kör, ellipszis, parabola és hiperbola) közül a kör és parabola vizsgálata elsősorba sok matematikai, csillagászati és fizikai alkalmazásuk miatt már a görög matematikába is kiemelt szerepet játszott, ez tette idokolttá koordiátageometriai vizsgálatukat is. D: Görbe egyeletéek azt az egyeletet evezzük, amelyek gyökei és a görbe potjaiak koordiátái között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés va. x u + y v = r. T: Az xy koordiátasíkba a C(u; v) középpotú, r sugarú kör egyelete: ( ) ( ) A kör defiíciójából következőe a körvoal határolta síkrész belső potjaiak a koordiátáira x u y v r x u + y v > r. ( ) + ( ) <, míg a körvoalo kívüli potok koordiátáira ( ) ( ) A köregyeletbe a zárójeleket felbotva és ullára redezve olya kétismeretlees másodfokú egyeletet kapuk, amelybe a égyzetek együtthatója megegyezik, és ics bee xy-os tag. Fordítva: Az ax + ay + bx + cy + d = 0 ( a; b; c; d, a 0) alakú kétismeretlees másodfokú egyelet d (teljes égyzetté alakítással meghatározható) értékétől függőe vagy egy köregyelet, vagy ú. ullvagy képzetes kör egyelete. T: Azo potok halmaza a síkba, amelyek egyelő távolságra vaak a sík egy egyeesétől és egy arra em illeszkedő pottól, a parabola. (Az adott egyees a parabola vezéregyeese (direktrixe), az adott pot a parabola fókuszpotja, az egyees és a pot távolsága pedig a parabola paramétere.) D: A fókuszpot és a vezéregyees távolságát felező potot a parabola csúcspotjáak evezzük (a sík adott tulajdoságú potjai közül ez va legközelebb midkettőhöz). Középiskolába csak olya parabolák egyeletével foglalkozuk, amelyek tegelye (a potból a vezéregyeesre állított merőleges) valamelyik koordiátategellyel párhuzamos. Tétel: Az xy koordiátasíkba az origó csúcspotú, az y tegellyel párhuzamos tegelyű, p paraméterű parabola egyelete y= x. p Bizoyítás: HÁJ! p mivel egyees és arra em illeszkedő pot távolsága pozitív valós szám. Eek következtébe fókuszpotja koordiátái p F (0; ), p vezéregyeeséek egyelete v: y=. 83

84 A P(x; y) koordiátájú pot akkor és csak akkor illeszkedik a parabolára, ha dpf ( ; ) = dpv ( ; ), azaz p p 0 ( x 0) + y = y+. Mivel a emegatív valós számok halmazá a égyzetre emelés ekvivales művelet, ezért p p x + y py + = y + py +, amelyet redezve 4 4 x = py, amelyből (p > 0 lévé) p-vel osztva a tétel állítását kapjuk. // A lefelé álló parabolák (ahol a fókuszpot a vezéregyees alatt található) egyeletét úgy kapjuk meg, ha az egyeletbe paraméterül a pot és egyees távolságáak -szeresét vesszük. Ezt szokás a parabola tegelypoti egyeletéek is evezi. Hasoló módo (vagy a másodfokú függvéy traszformációjáak segítségével) kapjuk, hogy: T: Az xy koordiátasíkba a C(u; v) csúcspotú, az y tegellyel párhuzamos tegelyű, p paraméterű parabola egyelete y= ( x u) + v (csúcspoti egyelet). p Továbbá: T: Az xy koordiátasíkba a C(u; v) csúcspotú, az x tegellyel párhuzamos tegelyű, p paraméterű parabola egyelete x= ( y v) + u. p A feti parabolák egyelete tehát vagy ax + bx + cy + d = 0 ( a; b; c; d, a; c 0), vagy ay + by + cx + d = 0 ( a; b; c; d, a; c 0) alakú kétismeretlees másodfokú egyelet. Mide ilye alakú egyelet egybe egy parabola egyelete. (Itt láttuk be azt a korábba, szemléletből elfogadott tételt, hogy a másodfokú függvéy képe egy parabola.) A kör és az egyees kölcsöös helyzete Két görbe kölcsöös helyzetéek meghatározása általába a görbék közös potjai számáak a meghatározását jeleti. A koordiátageometriába a közös potok koordiátáit a két görbe egyeletéből álló egyeletredszer gyökeikét kapjuk. Ha a kör és az egyees egyeletéből álló egyeletredszerek két gyökpárja va, akkor az egyeest a kör szelőjéek evezzük, ha egy, akkor éritőjéek, ha egy sics, akkor az egyees elkerüli a kört midez összhagba va az elemi geometriába megfogalmazottakkal. A parabola és az egyees kölcsöös helyzete Ha a parabola és az egyees egyeletéből álló egyeletredszerek két gyökpárja va, akkor az egyeest a parabola szelőjéek evezzük, ha egy, akkor ha a parabola tegelye em párhuzamos az egyeessel, az éritőjéek, ha párhuzamos, akkor pedig átmetsző egyeeséek evezzük. Ha egy közös 84

85 pot sics, akkor az egyees elkerüli a parabolát ez is összhagba va az elemi geometriába megfogalmazottakkal. Másodfokú egyelőtleségek grafikus megoldása Másodfokú egyelőtleségek megoldásáak legegyszerűbb (így legszebb) megoldási módja a grafikus megoldás. Az egyismeretlees másodfokú egyelőtleségek általáos alakja ax bx c a b c a + + < / / / > 0( ; ;, 0). A bal oldalt függvéykét ábrázolva mide esetbe egy y tegellyel párhuzamos tegelyű parabolát kapuk. Eek kell megkeresük a zérushelyeit, majd ezek ismeretébe felíri az egyelőtleség megoldáshalmazát (M). Vegyük egy példát: ax + bx + c 0 ( a; b; c, a < 0), D =. A függvéy képe ekkor egy lefelé álló parabola lesz. Azokat az x-eket keressük, amelyek eseté a függvéy képe az x tegely fölött halad vagy illeszkedik rá. Az ax + bx + c = 0 másodfokú egyeletek a; b és c értékétől függőe 0, vagy gyöke lehet: - ha ics gyök, akkor M = ; - ha egy gyök va, akkor M= { x, } ; - ha két gyök va, akkor M [ x ; x ] =. A többi típusba tartozó egyelőtleséget hasoló módo oldjuk meg. Kétismeretlees másodfokú egyelőtleségek grafikus megoldása külöböző kúpszeletek külső vagy belső potjai alkotta síkrész megkeresését jeleti, ezekkel most em foglalkozom öálló témakör lehete. Alkalmazások A matematiká belül jellemző módo szélsőérték-feladatok megoldására, adott tulajdoságú pothalmazok megkeresésére, geometriai bizoyításokra (Apollóiusz-kör, súlypot stb.) haszáljuk. Néháy fizikai alkalmazás: - a csillagászatba az égitestek mozgásáak leírása, pályaegyeletük felírása; - geometriai optika (gömb- és parabolatükrök, lecsék); - a ferde hajítások leírása; - statika (az építészetbe külöböző alakú kupolák, hidak tervezése stb.). 85

86 0. tétel: Térelemek távolsága és szöge. Térbeli alakzatok. Felszí- és térfogatszámítás. A geometriába a potot, az egyeest és a síkot tekitjük térelemek. Ahhoz, hogy ezek távolságát meg tudjuk határozi, célszerű magát a távolságot meghatározi. D: Két pot távolságá az azokat összekötő szakasz hosszát értjük. A defiícióból következik, hogy PQ d( PQ) ha P= Q. ; pot eseté ; 0, és egyelőség akkor és csak akkor va, D: Két (em üres) pothalmaz távolságá a halmazok potjai közti távolságok legagyobb alsó korlátját Ha A és B két pothalmaz, akkor d( A; B) = if d a; b, ahol a A és b B. értjük: ( ( )) Például a számegyeese ha - A= { a a 0 } és B= { b b }, - A= { a a< 0} és B= { b b> } akkor dab=; ( ; ), dab ( ; ) akkor is. Térelemek távolsága Ezek utá a kérdezett távolságok (d): () pot és pot távolságát már defiiáltuk; () pot és egyees távolsága - ha a pot illeszkedik az egyeesre, akkor d = 0; - ha a pot em illeszkedik az egyeesre, akkor a potból az egyeesre bocsátott merőleges szakasz hossza; (3) pot és sík távolsága - ha a pot illeszkedik a síkra, akkor d = 0; - ha a pot em illeszkedik a síkra, akkor a potból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza; (4) egyees és egyees távolsága - ha a két egyees egybeeső vagy metsző, akkor d = 0; - ha a két egyees párhuzamos, akkor az egyeesekre bárhol állított merőleges egyees párhuzamos egyeesek közti szakaszáak hossza; - ha a két egyees kitérő, akkor létezik potosa egy egyees, amely midkét egyeest merőlegese metszi (ormál traszverzális); a két kitérő egyees távolsága a ormál traszverzáliso lévő metszéspotok távolsága; (5) egyees és sík távolsága - ha az egyees illeszkedik a síkra vagy döfi azt, akkor d = 0; - ha az egyees párhuzamos a síkkal, akkor az egyees egy tetszőleges potjáak a síktól való távolsága; (6) sík és sík távolsága - ha a két sík egybeeső vagy metsző, akkor d = 0; - ha a két sík párhuzamos, akkor az egyik sík egy tetszőleges potjáak a másik síktól való távolsága. 86

87 Térelemek szöge Pot más térelemmel bezárt szögét em értelmezzük. D: Két metsző egyees hajlásszögé a keletkező égy szögtartomáy közül a em agyobbakat értjük. Ha a égy szög megegyezik, akkor azt modjuk, hogy az egyeesek merőlegesek egymásra. Így a kérdezett szögek (α ): () egyees és egyees hajlásszöge: - ha az egyeesek egybeesők vagy párhuzamosak, akkor α = 0 o (esetleg 80 0 ); - metsző egyeesek szögét már defiiáltuk; - kitérő egyeesek hajlásszögé azt a szöget értjük, amelyet egy adott poto át velük párhuzamosa húzott metsző egyeesek zárak be; () egyees és sík hajlásszöge: - ha az egyees illeszkedik a síkra, vagy párhuzamos vele, akkor α = 0 o (esetleg 80 0 ); - ha az egyees döfi a síkot, akkor az egyees és a sík döféspotra illeszkedő egyeesei által bezárt szögek miimumát. Ez az egyees és az egyees síkra eső merőleges vetületéek szöge. (3) sík és sík hajlásszöge: - ha a síkok egybeesők vagy párhuzamosak, akkor α = 0 o (esetleg 80 0 ); - metsző síkok hajlásszöge az a szög, amelyet úgy kapuk meg, hogy a metszésvoal bármely potjába merőleges állítuk arra midkét síkba, és e merőlegesek szögét tekitjük. Térbeli alakzatok Térbeli alakzato általába a tér azo potjaiak halmazát értjük, amelyeket egy zárt felület határol (testek), illetve magát a felület potjait, például: D: A gömb azo potok halmaza a térbe, amelyek a tér egy adott potjától (középpot) adott távolságra (sugár) vaak. Tehát a gömb defiíció szerit egy felület, de amikor eek felszíéről vagy térfogatáról beszélük, akkor magát a testet értjük alatta (felszíe csak testek lehet). A testeket többféle szempot szerit csoportosíthatjuk. A testek lehetek kovexek (például a gömb) vagy kokávok (például a tórusz), tömörek (például tekegolyó) vagy üregesek (például teiszlabda). A határoló felületek lehetek síkidomok és/vagy síkba kiteríthető felületek (poliéderek, hegerszerű és kúpszerű testek stb.), illetve síkba em kiteríthető felületek (gömb, ellipszoid stb.). Származtatásuk szerit lehetek például forgástestek (ellipszoid) vagy csokolt testek (például csoka gúla), de beszélük egyees és ferde testekről, szabályos (például szabályos égyoldalú gúla, piramis) testekről is. A testek között fotos helyet foglalak el a poliéderek (sokszögek határolta testek). T: A kovex poliéderek csúcsai és lapjai számáak összege kettővel agyobb az élek számáál (Euler). Ide tartozak a Plató-féle szabályos testek is: 87

88 D: Azokat a kovex poliédereket evezzük szabályosak, amelyeket egybevágó szabályos sokszögek határolak, továbbá élszögeik és lapszögeik egyelők. Öt Plató-féle szabályos test va: a szabályos tetraéder, hexaéder, oktaéder, dodekaéder és ikozaéder, ezeket redre szabályos háromszögek, égyszögek, háromszögek, ötszögek és háromszögek határolják. Ha a szabályos testek lapközéppotjait összekötjük, újra szabályos testet kapuk: tetraéder tetraéder; hexaéder oktaéder; oktaéder hexaéder; dodekaéder ikozaéder; ikozaéder dodekaéder. Testek felszíe Síkidomok és/vagy síkba kiteríthető felületekkel határolt testek felszíé (A) a határoló felületek területéek összegét értjük. Szokás a test alaplapjáról, fedőlapjáról és palástjáról beszéli (például egyees csoka körkúp), ezek felszíét a részek területéek kiszámítása utá összegzéssel kapjuk A= T+ t+ P. Ha a testek va síkba ki em teríthető felülete is (például félgömb), akkor ezek felszíét a beírt és köré írt poliéderek felszíéek (megegyező) határértékekét értelmezzük. Forgástestek felszíét itegrálszámítással is meg tudjuk határozi. Néháy gyakrabba előforduló test felszíe: - téglatest: = ( + + ) A ab bc ca, ahol a; b és c az egy csúcsba futó élek hossza; - egyees körkúp: A= rπ ( r+ a), ahol r az alapkör sugara, a a kúp alkotója; ( ) - egyees csoka körkúp: π ( ) a csoka körkúp alkotójáak hossza; - gömb: A= 4 r π, ahol r a gömb sugara. A= R + r + R+ r a, ahol R az alapkör, r a fedőkör sugara, a pedig Testek térfogata Középiskolába a térfogatot a következőképpe határozzuk meg: D: Elfogadjuk, hogy létezik olya, a tér halmazai (testek) értelmezett, emegatív értékű V függvéy (térfogat), amely eleget tesz a következő feltételekek: - egymásba em yúló testek együttes térfogata a testek térfogatáak összege; - egybevágó testek térfogata megegyezik; - az egységkocka térfogata. A térfogat defiíciójáak felhaszálásával bizoyíthatóak a következő tételek: T: Az a oldalú kocka térfogata V = a 3. T: Az a, b és c oldalú téglatest térfogata V = abc. T: A T alapterületű, m magasságú hegerszerű testek térfogata V = Tm. 88

89 Tm T: A T alapterületű, m magasságú kúpszerű testek térfogata V =. 3 m T: A T alapterületű, t fedőterületű, m magasságú csoka kúpok térfogata V = ( T + t + Tt ). 3 A következőkbe az egyees csoka körkúp térfogatára voatkozó tételt bizoyítom. Tétel: Az egyees csoka körkúp térfogata V ( R r Rr ) sugara és m csoka körkúp magassága. Bizoyítás: A bizoyításba felhaszálom, hogy ha az ( ) πm = + +, ahol R az alapkör, r a fedőkör 3 fx függvéy az [ ; ] ab -o folytoos, és ott fx ( ) 0, akkor az x tegely körüli megforgatásakor kapott test térfogata V = π f ( x) dx. HÁJ! A csoka kúpot úgy kapjuk meg, ha a PQ szakaszra illeszkedő lieáris függvéyt a [0; m]-o megforgatjuk az x tegely körül. Az fx ( ) függvéyt fx ( ) = ax+ balakba keressük. P(0; r) fx ( ) r= a 0 + b; Q( m; R) f ( x) R = am + b. R r Ie b = r, illetve a =, amelyből m R r fx ( ) = x+ r. m Tehát a csoka kúp térfogata m R r V = π x + r dx. m m m m m m R r R r R r R r R r V = π x + r dx = π x r x r dx π x dx rπ xdx r π dx m + + = + + = m m m m m m 3 R r x R r x m R r m R r m r r [ x] r r m 0 m 3 m m 3 m πm πm = π + π + π = π + π + π = = R Rr r 3 ( ) ( ) ( ) πm + r R r πm + r πm = R Rr + r + 3rR 3r + 3 r = R + Rr + r. // b a Alkalmazások Csak a műszaki élet területéről hozok példákat: - hajlásszögek és távolságok: utak, autópályák tervezésekor figyeli kell a domborzatra (yomvoal-kijelölés), a megegedett legagyobb süllyedési és emelkedési szögek betartására; törekedi kell a legrövidebb távolságok meghatározására is (építési költségek); - térfogat: a testek tömegéek meghatározása az ayagsűrűség függvéyébe szité fotos feladat (statika); - térfogat és felszí: külöböző termékek kiszereléséek optimális meghatározása (miimális térfogat a szállításhoz, miimális felszí a csomagoláshoz, a legjobb alak megtalálása). 89

90 . tétel: Területszámítás elemi úto és az itegrálszámítás felhaszálásával. A terület a síkidomok kiterjedését jellemző meyiség, a fogalom térbeli megfelelője a testek felszíe. Már Eukleidész is foglalkozott ezzel az Elemekbe, de magát a területet sem az alapfogalmak között em sorolta fel, sem másutt em defiiálta, két sokszöget egyelő területűek modott, ha egymásba átdarabolhatók, azaz az egyiket véges sok részre vágva a kapott darabokból a másik lefedhető és viszot. Eudoxosz kimerítéses módszerét alkalmazva Arkhimédész már elég precíze terjesztette ki a görbevoalú alakzatokra is a területegyelőség fogalmát, de a fogalmat már előtte is haszálták, például khioszi Hippokratész a róla elevezett holdacskák területéek kiszámításakor. A későbbiekbe Boavetura Cavalieri, Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Isaac Newto és Gottfried Wilhelm Leibiz foglalkozott kimerítőe ezzel a témával. A terület moder defiíciója Camille Jordatól és Giuseppe Peaotól származik a 9. század végéről, amelyet a 0. század elejé Heri Lebesgue tökéletesített, kiterjesztve a középiskolába tault Riema-itegrál fogalmát (Lebesgue-itegrál). Középiskolába a területet a következőképpe határozzuk meg: D: Elfogadjuk, hogy létezik olya, a sík halmazai (síkidomok) értelmezett, emegatív értékű t függvéy (terület), amely eleget tesz a következő feltételekek: - egymásba em yúló síkidomok együttes területe a síkidomok területéek összege; - egybevágó síkidomok területe megegyezik; - az egységégyzete területe. Sokszögek területe A terület defiíciójáak felhaszálásával bizoyíthatóak a következő tételek: T: Az a oldalú égyzet területe t= a. T: Az a és b oldalú téglalap területe t = ab. T: Az a oldalú, m a magasságú paralelogramma területe t = ama. Mivel mide sokszög felbotható háromszögekre, ezért külöös fotos a háromszögek területéek kiszámítása. Ezt a háromszög külöböző adataiak ismeretébe a következőképpe tehetjük meg: T: A háromszög területe a szokásos jelölésekkel ama absiγ a siβsiγ abc t= = = = s( s a)( s b)( s c) = rs=. siα 4R Feladatok megoldása sorá gyakra számítjuk ki a háromszög területét a megadott adatok segítségével, hogy ezutá a háromszög egy másik területképletéből határozzuk meg a keresett meyiséget. Nagyo sokszor találkozuk egyelő oldalú háromszögekkel problémák megoldása a 3 sorá, eek területe t =. 4 90

91 Néháy további evezetes sokszög területképlete a szokásos jelölésekkel: ef ef siφ - paralelogramma: t = absiγ = = ; a+ c - trapéz: t = m = km ; ef - deltoid: t = ; ef - rombusz: t= a siγ = ; - húrégyszög: t= ( s a)( s b)( s c)( s d) ; - éritőégyszög: t = rs ; 80 ctg - oldalú szabályos sokszög: t= a 4. Görbe voallal határolt síkidomok területéek meghatározása E síkidomok területét általába kétféle módo tudjuk meghatározi: a síkidomba beírt és a körülírt sokszögek területéek határértékekét, illetve az itegrálszámítás felhaszálásával. T: Legye f(x) az [a; b]-o értelmezett, emegatív értékű, folytoos függvéy. Az x = a, x = b, y = f(x) b görbék és az x tegely határolta síkidom területe t = f ( x) dx. Ha f(x)-től em követeljük meg, hogy emegatív értékű legye, akkor a feti határozott itegrál a görbe és az x tegely határolta síkidomok területéek előjeles összegét adja. E tétel segítségével bizoyítom, hogy: Tétel: Az r sugarú kör területe t= r π. Bizoyítás: Helyezzük a kör síkjára egy xy koordiáta-redszert úgy, hogy aak origója a kör középpotja legye, és haszáljuk az ábra jelöléseit! a A kör egyelete ekkor x + y = r, a kör x tegely feletti ívéek egyelete pedig y= r x. A félkör területét emiatt az r r x dx határozott itegrállal tudjuk r kiszámítai. r r r r x dx = r x dx = 0 Végezzük el az x= rcosα helyettesítést, ekkor dx = r siαdα, így 9

92 π π π 0 cosα π π siα π siπ si0 r π ( ) = r r cos α( rsi α) dα = r si αdα = r dα = r cosα dα = = r α = r 0. = 0 A kör területe eek kétszerese, tehát t= r π. // Két folytoos függvéy által határolt síkidom területét függetleül attól, hogy az az x tegelyhez viszoyítva hol található úgy határozzuk meg, hogy kiszámítjuk a két függvéy legtávolabbi metszéspotjait, majd e kettő közötti itervallumo itegráljuk a két függvéy külöbségét, és aak vesszük az abszolút értékét: x x ( ( ) ( )) t = f x g x dx. A kör részeiek területe A kör területképletéek ismeretébe köye számíthatjuk a körcikk (és a körszelet) területét is, felhaszálva, hogy a körcikk területe és ívhossza egyeese aráyos a középpoti szögével: ri r α r α tkc = = = 360. Kokrét feladatokba képletek helyett célszerűbb a egyedik aráyos számításával meghatározi a körcikk területét: t kc α X. r π π A körszelet területéek meghatározásakor pedig, ha aak középpoti szöge kovex, akkor előbb kiszámítjuk a hozzátartozó körcikk területét, majd abból kivojuk a kettő külöbségét alkotó egyelő szárú háromszög területét. Ha a középpoti szög kokáv, akkor előbb célszerűe kiszámoljuk a eki megfelelő kovex szöghöz tartozó körszelet területét, és azt kivojuk a kör területéből. Körgyűrűk, körgyűrűcikkek területét szité a kör és részei területére célszerű visszavezeti. Alkalmazások: A területszámítás a matematika egyik leggyakoribb alkalmazási területe a hétközapi életbe, például lakásépítésél, -felújításál a szükséges burkolóayagok meyiségéek kiszámítására. A fizikába is sok helyütt haszáljuk: változó erő mukájáak kiszámítására (rugó eergiája, táguló gáz mukája, gravitációs poteciális eergia stb.), továbbá a változó sebességű mozgások sorá megtett út kiszámítására, a váltakozó áram effektív teljesítméyéek (az effektív áramerősségek és feszültségek) a meghatározására és hossza lehete soroli még. 9

93 . tétel: Kombiációk. Biomiális tétel, a Pascal-háromszög. A valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. A hipergeometrikus eloszlás. A 6. századba Géua városállam agytaácsa, a szeátorok kormáyzó testülete oly módo újult meg, hogy tagjai köréből évekét öte kiváltak. Az öt megüresedett helyre előbb 0, később 90 jelölt közül, sorsolás útjá delegálták az új szeátorokat. A géuai polgárság évről évre izgatotta várta az üepélyes választásokat, és persze szite midayia fogadásokat kötöttek az öt polgár személyére. Aki legalább két új taácstag evét eltalálta, már valamilye mértékű jutalomhoz juthatott. A legtöbbet természetese az a fogadó vághatta zsebre, aki mid az öt újdosült szeátor evét megjósolta. A fogadások olya épszerűvé váltak, hogy külö iroda, majd később irodahálózat szervezésére volt szükség. Ez a játék maapság lottó éve közismert és közkedvelt: 90 szám közül kell kiválasztai 5-öt úgy, hogy a kiválasztás sorredje em számít. A matematikába az ilye típusú kiválasztásokat kombiációak evezzük. D: Ha elem közül kiválasztuk k elemet ( k ) úgy, hogy mide elem legfeljebb egyszer választható, és em számít a kiválasztás sorredje, akkor az elem egy k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációját kapjuk. T: elem k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációiak száma C A feti módo defiiált jelölést biomiális együtthatóak evezzük. k k k V! = = =. k! k! ( k)! k D: Ha elem közül kiválasztuk k elemet ( k ) úgy, hogy mide elem többször is választható, és em számít a kiválasztás sorredje, akkor az elem egy k-ad osztályú ismétléses kombiációját kapjuk. T: elem k-ad osztályú ismétléses kombiációiak száma C ki, + k =. k A biomiális együttható elevezést a következő, biomiális tétel idokolja, amely egy kéttagú összeg pozitív egész kitevőjű hatváyára voatkozik: k k Tétel: Ha pozitív egész szám, akkor ( a+ b) = a b. k= 0 k Bizoyítás: Ha =, akkor ( ) a+ b = a+ b= a+ b, igaz a tétel állítása. 0 eseté ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b)... ( a+ b). Végezzük el a szorzást! A zárójelfelbotás szabálya darab k k miatt (mide tagot mide taggal meg kell szorozi) a kapott összeg mide tagja a b alakú lesz. Ilye tagot ayiszor kapuk, aháyféleképpe az darab téyezőből ki tuduk választai k darabot (ezekből a b-t vesszük szorzótéyezőkét, a többiből pedig az a-t) úgy, hogy a kiválasztás sorredje k em számít. Ezek száma C =, tehát a bizoyítadó állítást kapjuk. // k 93

94 Szité a biomiális együtthatókkal találkozuk Blaise Pascal fracia szerzetes, filozófus, fizikus és matematikus híres háromszögébe. Itt mide tagot úgy kapuk meg, hogy összeadjuk a fölötte lévő kettőt. További érdekes tulajdoságait vehetjük észre a biomiális együtthatókak: sít..... T: () = ( szimmetrikus); k k () + = ( apascal- háromszög képzési szabálya). k k k T: elemű halmaz k elemű részhalmazaiak száma. k T: elemű halmaz részhalmazaiak száma =. (Ez a 0 k biomiális tétel alkalmazása az a = b = esetre, továbbá a Pascal-háromszög + -dik sorába szereplő számok összege.) A valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje Szité a 7. századba élt Blaise Pascalhoz köthető a véletle jeleségek matematikai eszközökkel való vizsgálatáak létrejötte, a valószíűségszámítás kezdete. Eek moder, axiomatikus megalapozását és kidolgozását Adrej Nyikolajevics Kolmogorov végezte el a 0. század 30-as éveibe. D: Legye H egy em üres halmaz. A H halmaz eve eseméytér Az eseméytér részhalmazait eseméyekek evezzük. - Az H, ezért az eseméy, a eve lehetetle eseméy. - A H H, ezért a H eseméy, a eve biztos eseméy. - A H egyelemű részhalmazai az elemi eseméyek. Az eseméyek között műveleteket defiiáluk a halmazműveletek segítségével: D: Legye H egy eseméytér, és A és B tetszőleges eseméyek H-ba. () A+ B= A B () A B= A B (3) A B= A\ B (4) A= H A (5) Ha A B =, akkor A és B kizáró eseméyek. Az eseméyek összege és szorzata kommutatív és asszociatív, továbbá igazak rájuk a De Morgaazoosságok. A Kolmogorov-axiómák: Legye H egy eseméytér. Létezik az eseméytér eseméyeiek halmazá értelmezett P függvéy, amelyre teljesülek az alábbi tulajdoságok:

95 I. Bármely A eseméyre 0 PA ( ). II. PH ( ) =. III. Ha A; A;...; A egymást párokét kizáró eseméyek, akkor PA ( + A A) = PA ( ) + PA ( ) PA ( ) D: A P függvéy eve valószíűség. Ezek utá rátérek a valószíűségszámítás kombiatorikus modelljéek ismertetésére. D: Ha a H eseméytér em üres véges halmaz, és mide elemi eseméyéek valószíűsége egyelő, akkor ezt az eseméyteret az eseméyeivel és a rajtuk értelmezett műveletekkel együtt klasszikus valószíűségi mezőek evezzük. A kombiatorikus valószíűségek általába ilye tulajdoságúak (pézfeldobás, kockadobás, kártyalapok kihúzása stb.). T: Ha H klasszikus valószíűségi mező, és elemi eseméyeiek száma ( H = ), akkor az elemi eseméyek valószíűsége. T: Ha H klasszikus valószíűségi mező, továbbá H =, és az A eseméyre igaz, hogy A = k, akkor k PA ( ) =. Fetiek alapjá tudjuk egy kombiatorikus valószíűség értékét meghatározi a következő tört kedvező esetek száma értékekét: p =. összes eset száma A hipergeometriai eloszlás Tekitsük most egy olya lottójátékot, ahol N (35, 45, 90) elem közül kell (7, 6, 5) elemet kiválasztai úgy, hogy mide elemet csak egyszer választhatuk, és em számít a kiválasztás sorredje (skadiáv, hatos és ötös lottó). A ξ valószíűségi változó értékei legyeek a találatok számai N i i i { 0;;;...; }. Ekkor aak valószíűsége, hogy i találatuk lesz P( ξ = i) =. N Ha N elem között s a jó elemek száma, és ( s N) elemet választuk ki úgy, hogy mide elemet csak egyszer választhatuk, és em számít a kiválasztás sorredje, továbbá a ξ valószíűségi változó i 0;;;...;, akkor az i találat valószíűsége értékei legyeek a találatok számai { } s N s i i P( ξ = i) =. N 95

96 Az ilye típusú ξ valószíűségi változókat evezzük hipergeometrikus eloszlásúakak. (A ξ valószíűségi változó értékeihez tartozó valószíűségek halmazát evezzük a ξ eloszlásáak.) Gyakorlati alkalmazások: Kombiációkkal sok helyütt találkozuk, például a szerecsejátékokba (a külöböző lottók), a pókerközvetítések közbe is eek segítségével számolják játék közbe az egyes játékosok yerési esélyeit. Kedvelt példa, ha fagylaltot kérük kehelybe. Valószíűségszámítással kalkulálják a díjakat a külöböző életbiztosításokba, gépjárműfelősségbiztosításokba. A külöböző gyárak miőségbiztosításába fotos szerepet játszik a gyártás közbei mitavételes miőség-elleőrzés, elvileg az erre jellemző értékeket a hipergeometrikus eloszlás szerit kellee számoli. s Hipergeometrikus eloszlás eseté azoba a várható értéket az M( ξ ) =, illetve a szórást a N s N s N D( ξ) = képlettel lehet meghatározi, ezekből kellee a gyártás jóságára N N N visszakövetkezteti, ami ige ehéz feladat. Mivel azoba a gyakorlatba a mitát általába a ála jóval agyobb elemszámú vizsgálati ayagból veszik, így a biomiális eloszlás is jól közelíti eze értékeket. Így a gyártási folyamat jóságára (valószíűségére) a többszöri mitavétel alapjá, a D ( ξ) biomiális eloszlással számolt várható értékből és szórásból határozzák meg ( p = M ( ξ) ). 96

97 3. tétel: Permutációk, variációk. A biomiális eloszlás. A valószíűség kiszámításáak geometriai modellje. A klasszikus kombiatorika egy véges halmaz (adatsokaság) elemeiek (adataiak) adott szempotok szeriti sorba redezésével, más megfogalmazással az elemek (adatok) adott szempotok szeriti lehetséges kiválasztásával, ezek számával foglalkozik. A köyebb és egyszerűbb leírás miatt defiiáljuk a faktoriális műveletet! D: ( ) ( )..., ha ; eseté!: =, ha <. D: Az elemű halmaz elemeiek egy sorba redezését az elem (egy) permutációjáak evezzük. Tétel: Az elemű halmaz összes permutációiak száma P =! Bizoyítás: Az állítást szeriti teljes idukcióval bizoyítjuk. I. = 0 eseté az üres halmaz elemeit kell sorba redezi, ezt egyféle módo tehetjük meg (sehogy). = eseté az egy elemet szité egyféle módo tudjuk sorba redezi, úgy, hogy leírjuk. II. Tegyük föl, hogy = k eseté a k elem lehetséges sorba redezéseiek száma k!. III. Belátjuk, hogy = k + eseté a k + elem lehetséges sorba redezéseiek száma (k + )! Godolatba vegyük ki egy elemet a k + elem közül! A maradék k elemet k! féleképpe lehet sorba redezi. A godolatba kivett egy elemet egy ilye sorba redezésbe k + helyre tehetjük: a k elem közti k helyre, vagy a sorba redezés elejére, vagy a sorba redezés végére, így a k + elem egy sorba redezését kapjuk. Azaz a k elem egy sorba redezéséből a k + elem k + sorba redezését kapjuk, tehát P k P k ( k ) k! ( k + ) ( k! ) Ha a sorba redezedő elemek között vaak egyformák, akkor em halmazról, haem adatsokaságról beszélük (egy halmazba egy elem egyszer fordul elő). D: Az adatból álló adatsokaság adataiak egy sorba redezését az adat (egy) ismétléses permutációjáak evezzük. T: Az elemű adatsokaság összes ismétléses permutációiak száma i ( k + k kl )! P = ( = k + k kl). k! k!... k! l (Ha k = k =... = k l =, azaz az adatok közt icseek egyformák, a képlet akkor is helyese adja meg a permutációk számát.) A sorba redezések egy másik fajtáját a variációk jeletik, ezt már kiválasztáskét defiiáljuk. D: Ha egy elemű halmazból kiválasztuk k elemet ( k ) úgy, hogy egy elemet csak egyszer egy választhatuk, és számít a kiválasztás sorredje, akkor az elem egy k-ad osztályú ismétlés élküli variációját kapjuk. k T: elem k-ad osztályú ismétlés élküli variációiak száma V ( )... ( k ) = + =! ( k).! 97

98 (k = eseté yilvá az elem egy permutációját kapjuk, ekkor V =!!!!! = 0! = =.) ( ) D: Ha egy elemű halmazból kiválasztuk k elemet úgy, hogy egy elemet többször is választhatuk, és számít a kiválasztás sorredje, akkor az elem egy k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk. ki, k T: elem k-ad osztályú ismétléses variációiak száma V =... =. A biomiális eloszlás Ebbe a tételbe em feladatuk a valószíűség teljes értelmezése, ezért csak azokkal a fogalmakkal és tételekkel foglalkozom, amelyek a címbe megjelölt fogalomra voatkozak. A biomiális eloszlás egy klasszikus feladata, hogy ha egy szabályos dobókockát ötször feldobuk, akkor meyi aak a valószíűsége, hogy potosa kétszer dobuk 6-ost. A hatosdobás valószíűsége 5 p =, a emhatos-dobás valószíűsége yilvá p= p=. A biomiális elevezést az idokolja, 6 6 hogy egy eseméyek két, egymást kizáró kimeetele va. A következőkbe éháy fogalmat defiiálok: D: Az olya függvéyt, amelyek értelmezési tartomáya egy eseméytér elemi eseméyeiek halmaza, képhalmaza pedig a valós számok halmaza, valószíűségi változóak evezük. k darab D: A valószíűségi változó értékkészlete a lehetséges értékeiek halmaza. x; x;...; x. Ekkor D: A ξ ( kszi ) véges valószíűségi változó lehetséges értékeiek halmaza legye { } a P( ξ = x ) valószíűségek halmazát a ξ eloszlásáak evezzük. i A valószíűségi változók jellemzésére gyakorlati okokból két evezetes értéket haszáluk: a valószíűségi változó várható értékét és a szórását. Ha igaz az az állítás, hogy az eseméyek relatív gyakorisága sok kísérlet esetébe a valószíűséghez agy eséllyel közel va, akkor sok kísérlet esetébe a kimetelek átlaga agy eséllyel a súlyozott középhez lesz közel. Ez idokolja a várható érték alábbi defiícióját: x; x;...; x, akkor az M( ξ) = x P( ξ = x ) összeget a valószíűségi változó várható értékéek evezzük. D: Ha a ξ valószíűségi változó lehetséges értékeiek halmaza { } i= i i A várható értéktől való eltérés jellemzésére a valószíűségi változó szórását vezetjük be: D: Ha a ξ valószíűségi változó várható értéke M ( ξ), akkor az η = ( ξ ( ξ) ) várható értékét a ξ szóráségyzetéek evezzük. A ξ szórása ( ξ) = ( ξ ( ξ) ) A szórás kiszámítását sok esetbe megköyíti a következő tétel: M valószíűségi változó ( ) D M M. T: Ha a ξ valószíűségi változó várható értéke M ( ξ), szórása D ( ξ), akkor D ( ξ) = M( ξ ) M ( ξ). Ezek utá defiiálom a biomiális eloszlású valószíűségi változót: 98

99 D: Ha a ξ valószíűségi változó lehetséges értékeiek halmaza { 0;;;...; }, ahol pozitív egész szám, i i és eloszlása P( ξ = i) = p ( p), ahol 0 p valós szám, akkor a ξ biomiális eloszlású i valószíűségi változó ( és p a valószíűségi változó paraméterei). Nem bizoyítom a következő tételt: T: Ha ξ és p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó, akkor M( ξ ) = p, illetve ( ) D( ξ ) = p p. Kiiduló feladatuk ilye eloszlást mutat (a kedvező esetek száma/az összes eset száma háyadosáak kombiatorikai úto törtéő meghatározása alapjá is): ξ = , a keresett valószíűség , ξ = = 5 M ( ) és D ( ξ) = 5 = Vegyük észre, hogy visszatevéses mitavétel eseté a biomiális eloszlás alkalmazható. A valószíűség kiszámításáak geometriai modellje D: Ha az eseméytér em megszámlálható halmaz, de mérhető (például va hossza, területe vagy térfogata), az eseméyei mérhetők, és valószíűségük egyeese aráyos a méretükkel, akkor ezt az eseméyteret geometriai valószíűségi mezőek evezzük. Néháy példa geometriai valószíűségi mezőre: céltáblára lövés, Buffo-féle tűprobléma, két ember találkozása megadott időközbe, megadott ott tartózkodási idővel. A Kolmogorov-axiómák segítségével egyszerűe igazolható a következő tétel: T: Ha egy geometriai valószíűségi mező eseméytere H, a rajta értelmezett mérték (például hossz, µ terület vagy térfogat) μ, akkor bármely A eseméyre igaz, hogy = ( A PA ( ) ) µ ( H ). Alkalmazások: Variációkkal sok helyütt találkozuk, például a sportfogadásba, ilye a lóverseye a hármasbefutó (ismétlés élküli) vagy a totó (ismétléses). Valószíűségszámítással kalkulálják a díjakat a külöböző életbiztosításokba, gépjárműfelősségbiztosításokba. A külöböző gyárak miőségbiztosításába fotos szerepet játszik a gyártás közbei mitavételes miőség-elleőrzés, elvileg az erre jellemző értékeket a hipergeometrikus eloszlás szerit kellee számoli, de mivel a gyakorlatba a mitát általába a ála jóval agyobb elemszámú vizsgálati ayagból veszik, így a biomiális eloszlás is jól közelíti eze értékeket. A gyártási folyamat jóságát (valószíűségét) a többszöri mitavétel alapjá számolt várható értékből és D szórásból számolják ki: mivel ξ = ( ) ( ξ) D( ) p p = M( ξ) ( p ), ezért p = M ( ξ). 99

100 4. tétel: Bizoyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizoyításába. A középiskolai matematikába égyféle bizoyítási módszert szoktuk haszáli. Ezek közül a leggyakoribb az ú. direkt bizoyítás. D: Direkt bizoyításak evezzük azt az eljárást, amikor igaz feltételekből (axiómák, korábba bizoyított tételek), helyes logikai lépések sorá a bizoyítadó állításhoz jutuk. Tétel: Ha egy kör egyik átmérőjéek két végpotját összekötjük a körvoal átmérővégpotoktól külöböző bármely más potjával, akkor derékszögű háromszöget kapuk (Thalész tétele). Bizoyítás: HÁJ! Be kell látuk, hogy BPA = 90. Mivel OA = OB = OP, a kör sugara, ezért az AOP, illetve a POB egyelő szárúak, így alapo fekvő szögeik (α, illetve β) megegyezek. Így az ABP háromszög belső szögeiek összegére: α β ( α β) = 80, amelyből va. // α + β = 90, tehát P-él derékszög D: Idirekt bizoyításak evezzük azt az eljárást, amikor feltételezzük a bizoyítadó állítás tagadását, majd helyes logikai lépések sorá elletmodásra jutuk. Tétel: A irracioális szám. Bizoyítás: Tegyük föl, hogy a a tétel állításával szembe em irracioális, haem racioális szám. Emiatt a felírható p q alakba, ahol + pq ;. p Emeljük égyzetre a = q művelet)! Így kapjuk, hogy egyelőséget (a pozitív számok halmazá a égyzetre emelés ekvivales p = q, amelyből 00 q = p, ami elletmod a számelmélet alaptételéek, mert midkét oldalo egész szám áll, a bal oldalo azoba a páratla hatváyo szerepel, míg a jobb oldalo vagy páros hatváyo, vagy egyáltalá em szerepel. //

101 A matematika harmadik agyo fotos és ige sokszor haszált bizoyítási módszere a teljes idukció, amellyel általába (valahoatól kezdve) az összes természetes számra voatkozó állítást látuk be. A módszer a teljes idukció elvé alapul, amely szerit {ha egy állítás teljesül valamely (kezdő) természetes számra}, és {ha teljesül egy (a kezdő számál em kisebb) természetes számra}, akkor teljesül a következőre is (más éve: öröklődik)}, akkor {az állítás teljesül az összes, a kezdő számál em kisebb természetes számra}. Tétel: Ha egy számtai sorozat első tagja a, külöbsége d, akkor a számtai sorozat első tagjáak a + ( ) d összege S =. Bizoyítás: szeriti teljes idukcióval bizoyítuk. ( ) a + d I. = eseté S = = a, azaz igaz a tétel állítása. a + ( k ) d II. Tegyük fel, hogy = k eseté teljesül a tétel állítása, azaz S = k. (Ezt idukciós k feltevések evezzük, amelyet a következő lépésbe fel foguk haszáli.) III. Belátjuk, hogy = k + -re is teljesül a tétel állítása, azaz a + ( k+ ) d a + kd S = + ( k+ ) = ( k + k ). Felhaszáljuk, hogy S = S + a k+ k k+, illetve a = a + kd k+, így a + ( k ) d a k+ k( k ) d a + kd S = k + a + kd = + = k+ ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + = a k kd k = a k kd k = a kd ( k + ). // Végül a egyedik bizoyítási módszer az, amely a skatulyaelve alapszik. E szerit: T: Ha darab tárgyat k darab skatulyába helyezük el, és > kp, akkor biztosa lesz legalább egy olya skatulya, amelyikbe legalább p + tárgy kerül. Tétel: Ha p és q pozitív egész számok, akkor a p q szám tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtele, de szakaszos tizedes tört (azaz racioális szám). Bizoyítás: Osszuk el a hagyomáyos módo a p egész számot a q egész számmal. Az osztás sorá fellépő lehetséges osztási maradékok 0; ; ; ; q (q darab). Ha va 0 maradék, akkor az osztás ebbe a lépésbe befejeződik, azaz a tizedes tört alak véges. Ha ics 0 osztási maradék, akkor legfeljebb q darab osztási maradék léphet föl, tehát legfeljebb a q-adik osztásál már olya maradékot kapuk, amely korábba már volt, azaz ie ismétlődi fogak a tizedes tört jegyei, így tehát olya szakaszos tizedes törtet kapuk, ahol a szakasz hossza legfeljebb q hosszúságú. // Gyakorlati alkalmazáskét az összes, középiskolába tault tételt fel lehet hozi, midegyiket valamelyik feti módszer segítségével bizoyítottuk. 0

102 Egy tréfás feladat búcsúzóul: Lássuk be, hogy Budapeste 05-be legalább olya ember élt, akikek ugyaayi hajszála volt. (Budapest lakossága ekkor fő volt, az emberi hajszálak száma pedig hajszítől is függőe! 70 és 50 ezer között változik.) Megjegyzés: Az utóbbi évtizedekbe a számítástechika rohamléptékű fejlődésével megjeletek a számítógéppel támogatott bizoyítások. Elsőkét 976-ba látta be a égyszí-tételt Keeth Appel és Wolfgag Hake, míg az 6-be megfogalmazott Kepler-sejtést (hogya lehet egybevágó gömbökkel a legsűrűbbe kitöltei egy térrészt) 998-ba látta be Thomas Hales. 0

103 Felhaszált irodalom. Ed: Dr. Farkas Miklós (974). Matematikai kislexiko. Budapest: Műszaki Köyvkiadó.. Hajós Gy. (97). Bevezetés a geometriába. Budapest: Taköyvkiadó. 3. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (009). Sokszíű matematika 9. Szeged: Mozaik Kiadó. 4. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (04a). Sokszíű matematika 0. Szeged: Mozaik Kiadó. 5. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (04b). Sokszíű matematika. Szeged: Mozaik Kiadó. 6. Kosztoláyi J., Kovács I., Pitér K., Urbá J. & Vicze I. (04c). Sokszíű matematika. Szeged: Mozaik Kiadó. 7. Leidler L. (974). Aalízis I. Szeged: JATE Bolyai Itézet, jegyzet. 8. Nive, I. & Zuckerma, H. S. (978). Bevezetés a számelméletbe. Budapest: Műszaki Köyvkiadó. 9. Schultz J. & Tarcsay T. (03). Matematika - emelt szit. Szeged: Maxim Köyvkiadó. 0. Siposs A. (07): Emelt szitű érettségi 07 kidolgozott szóbeli tételek Matematika. Budapest: Corvia Kiadó Kft.. és 35 éves taári tapasztalatom 03

104 . számú kiegészítés A valós számok axiómaredszere (a valós számtest) A görög matematikába csak az egyél agyobb pozitív egészeket tekitették számak (az EGY mideek az alapja), és bár a törtekkel ugyaúgy számoltak, mit mi, azokat em tekitették számak, haem csak két egész összemérhetőségéből adódó aráyak. Meyiségeket összemérhetőek moduk, ha ugyaazo mértékkel mérhetők, összemérhetetleek pedig, ha em található hozzájuk közös mérték. határozza meg a két fogalmat Eukleidész az Elemek X. köyvéek elejé, amely a racioális és irracioális számok elkülöítéséek felel meg. A középiskolai matematikataításba, a számfogalom törtéeti fejlődését követve, a természetes számoktól haladuk a valós számok felé. A permaeciaelvet követve úgy terjesztjük ki a szám fogalmát, hogy a természetes számok halmazá bevezetett két művelet (összeadás és szorzás), továbbá ezek megfordításai a kiterjesztett halmazo midig végrehajthatók legyeek (a művelet eredméye is eleme legye a halmazak, azaz a halmaz zárt legye a műveletekre ézve). Ezt az elvet követve jutuk el a racioális számok halmazáig, amely ilye tulajdoságú. Ezt követőe szereték megfordítai a bevezetett következő műveletet, a égyzetre emelést. A égyzetgyökvoás azoba kivezet a racioális számok halmazából, ezért egészítjük ki azt az irracioális (em racioális) számok halmazával, hogy aztá a két diszjukt halmaz uióját valós számokak evezzük. Ezzel a módszerrel azoba alapvetőe logikai problémák vaak. Tekitsük a racioális és irracioális számok legtöbb taköyvbe szereplő defiícióját (szerecsére a Sokszíű matematika-sorozat em ilye): D: Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám háyadosakét, racioális számokak evezzük. D: Azokat a számokat, amelyek em írhatók fel két egész szám háyadosakét, irracioális számokak evezzük. D: A racioális számokat és az irracioális számokat együtt valós számak evezzük. A probléma léyege a következő: mide defiíció valamilye alaphalmaz azo elemeit határozza meg, amelyek eleget teszek bizoyos feltételek. Tekitsük például a szakaszfelező merőleges fogalmáak meghatározását! D: Legyeek adottak az S síkba az A B potok. Az AB szakasz szakaszfelező merőlegeséek evezzük a sík azo egyeesét, amely illeszkedik a szakasz felezőpotjára, és merőleges arra. Tehát f : e { S egyeesei} AB =, amelyre FAB e és e AB. A racioális és irracioális számok feti defiíciójából éppe az alaphalmaz megadása hiáyzik: mik azok a számok? Aztá a számok fogalmát éppe e két meghatározás segítségével defiiálja tehát egy fogalmat ömagával határoz meg, ez logikai hiba. Eek következtébe előbb a valós számok fogalmát, a valós számok halmazát kell meghatározi, hogy aztá aak részhalmazaikét defiiálhassuk a többi evezetes számhalmazt. Erre a geometriába látott axiomatikus felépítés ad lehetőséget. 04

105 A valós számok axiómaredszere Legye az a halmaz, amelyre teljesülek a következő axiómák: I. Testaxiómák Értelmezve va be két (kétváltozós) művelet a + : (összeadás) és a : (szorzás), melyek kielégítik a következőket: () xy ; eseté x+ y= y+ x(az összeadás kommutatív); () xy ; eseté x y= y x(a szorzás kommutatív); (3) xyz ; ; eseté ( x+ y) + z= x+ ( y+ z) és ( x y) z= x ( y z) (az összeadás és a szorzás asszociatív); (4) xyz ; ; eseté ( x+ y) z= ( x z) + ( y z) (a szorzás disztributív az összeadásra ézve); (5) 0, amelyre x eseté x+ 0 = 0 + x= x (additív egységelem, zéruselem); (6), amelyre x eseté x = x= x (multiplikatív egységelem); (7) x eseté ( x), amelyre x+ ( x) = ( x) + x= 0 (additív iverz); x \ 0 eseté x, amelyre x x = x x= (multiplikatív iverz). (8) { } II. Redezési axiómák Értelmezve va az testbe egy redezési reláció, azaz egy reflexív, atiszimmetrikus, trazitív és lieáris reláció, amelyre () x; y; z és x y eseté x+ z y+ z (az összeadás mooto); () xyz ; ;, z 0 és x yeseté x z y z(a szorzás mooto). III. Teljességi axióma Az redezett testbe mide em üres, felülről korlátos halmazak va legkisebb felső korlátja. Bizoyítható, hogy ilye halmaz létezik, és bizoyos értelembe egyértelműe meghatározott. Az halmaz egyik modellje a valós számok halmaza, egy másik modellje a számegyees; a valós számok halmaza és a számegyees potjai között kölcsööse egyértelmű megfeleltetés létezik. evezetes részhalmazai D: Egy A halmazt iduktívak evezük, ha teljesülek az alábbiak () A ; () ha x A, akkor x+ A. T: A valós számok halmazába létezik legszűkebb iduktív halmaz. D: A fetiek szerit egyértelműe meghatározott legszűkebb iduktív halmazt a természetes számok halmazáak hívjuk, és az szimbólummal jelöljük, elemeit természetes számokak modjuk. T: A természetes számok halmaza teljesíti a Peao-axiómákat, azaz () ; () ha, akkor + ; (3) ha A olya halmaz, amely teljesíti az () és () tulajdoságokat, akkor A = (ez az axióma a teljes idukciós bizoyítások alapja). 05

106 D: Az x számot egész számak evezzük, ha létezek olya m ; számok, melyekre x = m. Az egész számok halmazára a jelölést haszáljuk. D: Az x számot racioális számak evezzük, ha létezek olya p és q \{ 0} számok, hogy p x =. A racioális számok halmazára a jelölést haszáljuk. q D: Az irracioális számok halmazá az \ halmazt értjük. Az irracioális számok halmazára a jelölést haszáljuk. A valós számok és a számegyees, a valós számok tizedes tört alakja A számegyees a valós számok grafikai reprezetálására haszált grafikai eszköz, Joh Wallis, 7. századba élt agol matematikus vezette be. A számegyees két kitütetett potja az additív (0) és a multiplikatív () egységelem, ezek geometriai és algebrai távolsága az egység. A számegyees mide potjához egyértelmű módo hozzá tuduk redeli egy tizedes törtet (az egység tízes osztásaiak és továbbosztásaiak segítségével), amely vagy véges, vagy végtele szakaszos, vagy végtele em szakaszos tizedes tört. (Az egyértelműséget úgy biztosítjuk, hogy a valahoatól kezdve csupa 9-est tartalmazó számot em tekitjük tizedes törtek.) Mivel mid a valós számok halmaza, mid a számegyees az halmaz egy-egy modellje, ezért a racioális és irracioális számok defiícióját az alábbi módo is meg tudjuk adi: D: Azokat a valós számokat, amelyek tizedes tört alakja véges, vagy végtele, de szakaszos tizedes tört, racioális számokak evezzük. D: Azokat a valós számokat, amelyek tizedes tört alakja végtele em szakaszos tizedes tört, irracioális számokak evezzük. 06

107 . számú kiegészítés Vektorok, vektortér, skaláris és vektoriális szorzat A vektor fogalmáak potos defiíciójához godoljuk végig, amit (geometriai) értelmezésükről eddig modtuk: a vektor iráyított szakasz. A következőkbe először csak síkbeli vektorokkal foglalkozom, kétfelől is közelítve a kérdéshez. Iráyított szakaszok Tekitsük a síkba egy ABCD paralelogrammát, és vegyük föl egy O voatkoztatási potot! Az ábrába berajzoltuk a csúcsokba mutató helyvektorokat, és a paralelogramma oldalait iráyítottuk, így kaptuk égy külöböző (em egyezek meg a kezdő- és végpotjaik!) iráyított szakaszt: AB; AD; BC; és DC. Nyilvá AB = DC = b a= c d= p és AD = BC= d-a= c- b= q, ahol p és q helyvektorok. Tehát az ábrá három-három egyelő vektor található, ezek koordiátái hármasával megegyezek: azoosak a p és q helyvektorok végpotjaiak koordiátáival. És ez utóbbi megállapítás igaz mide olya további vektorra is, amely az itt szereplő iráyított szakaszokkal egyiráyú és egyelő hosszú ilyet végtele sokat találuk. Mi idokolja, hogy megkülöböztessük őket? A párhuzamos eltolás mit geometriai traszformáció e f és d e; f = a, ahol a. Jelöljük f e-vel azt a geometriai traszformációt, amelyet az e, majd az f egyeesre való tegelyes tükrözés egymás utái végrehajtásával kapuk. (A (karika) a geometriai traszformációk halmazá értelmezett kétváltozós művelet, két geometriai traszformáció szorzatáak hívjuk. Mivel a geometriai traszformációk is függvéyek, ezért ( f e)( P) = f( e( P) ), összetett függvéy, így a geometriai traszformációk szorzatát jobbról balra haladva kell elvégezi.) Legye e és f két olya egyees, amelyre ( ) Akkor lássuk a feti művelet eredméyét! A rajzról jól látható, hogy f e, a két tegelyes tükrözés szorzata egy olya párhuzamos eltolást eredméyez, amely az egyeesekre merőleges, iráya e-től f felé mutat, agysága pedig a két egyees távolságáak a kétszerese (a). Azaz EE '' = FF '', két egymással egyelő iráyított szakasz. + 07

108 Legyeek most e; f; g és h a sík olya egyeesei, amelyekre e f g h (ebbe a sorredbe) és ( ) ( ) d ef ; = d gh ; = a. Ekkor az f e és a h g külöböző geometriai traszformációk ugyaazt a párhuzamos eltolást eredméyezik, amelyekhez végtele sok, egymással egyelő iráyított szakasz tartozik. Miért külöböztessük meg ezeket? Mielőtt megadák a vektor potos fogalmát, egy fotos új fogalom: Ekvivaleciareláció D: A matematikába ekvivaleciareláció alatt olya relációt értük, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és trazitív egy halmazo, azaz ekvivaleciareláció H-, ha bármely abc ; ; Heseté: () a a; () Ha a b, akkor b a; (3) Ha a b és b c, akkor a c. (Az eddig megismert relációk közül a ( egybevágóság) és a ( hasolóság) relációk ekvivalecia relációk, a ; ; relációk em azok.) Ezek utá defiiáljuk a vektort! A vektor Az S sík két potja meghatároz egy szakaszt. Ha egyiket kezdőpotak, a másikat végpotak evezzük, akkor ezek meghatározak egy iráyított szakaszt. Tehát az iráyított szakasz a sík potjaiból alkotott redezett pár: AB = ( A; B) S S. Két iráyított szakaszt ekvivalesek tekitük, ha azoos agyságúak és iráyúak, jelölése AB CD. Az iráyított szakaszok halmazá értelmezett reláció ekvivaleciareláció, mert: () reflexív: AB AB; () szimmetrikus: ha AB CD, akkor CD AB és (3) trazitív: ha AB CD és CD EF, akkor AB EF. D: Az iráyított szakaszok halmazáak a ekvivaleciareláció által defiiált osztályait vektorokak evezzük. Két (vagy több) azoos hosszúságú és iráyú iráyított szakasz ugyaaak az osztályak (vektorak) a képviselője (reprezetása). Amikor a reprezetások által képviselt osztályokkal (vektorokkal) műveletet végzük (például két vektort összeaduk), akkor a szerkesztéshez bármelyiküket haszálhatjuk, ezért ezeket szabad vektorokak evezzük. Ezzel a defiícióval yilvávaló az is, hogy a párhuzamos eltolást mit geometriai traszformációt az S sík egy ekvivaleciaosztályával (vektorával) adjuk meg, amelyet bármely iráyított szakasz reprezetálhat. 08

109 Az S síkba egy O voatkoztatási potot választva (és bázisvektorokkal felépítve egy koordiátaredszert) mide szabad vektorak potosa egy O-ból iduló reprezetása (helyvektora) va, és mide helyvektor eleme valamely ekvivaleciaosztályak. A helyvektorok végpotjaiak koordiátái és a sík potjaiak koordiátái között így egy kölcsööse egyértelmű leképezés, megfeleltetés hozható létre. Emiatt a vektort úgy is lehet tekitei, mit több számból álló csoportot, amelyet a síkba redezett számpárak, a térbe redezett számhármasak az dimeziós térbe redezett szám -esek moduk. Ezzel egy egésze általáos, új fogalomig juthatuk el: A vektortér D: Legye T egy test (például a valós vagy a komplex számok halmaza, bővebbe az. számú kiegészítésbe). Egy V em üres halmazt vektortérek evezük a T test felett, ha () A V halmazo értelmezve va egy összeadás evű művelet (egy + :V V V függvéy), amely ab ; V elempárhoz hozzáredel egy és csak egy V-beli elemet ( a+ b ), továbbá () T és V között értelmezve va egy skalárral való szorzás evű művelet (egy :T V V függ véy), amely k T és b V elempárhoz hozzáredel egy és csak egy V-beli elemet ( ka ) úgy, hogy az alábbi azoosságok, az ú. vektortéraxiómák teljesülek: I. V az összeadásra ézve () kommutatív: ab ; V eseté a+ b= b+ a ; () asszociatív: abc ; ; V eseté ( a+ b) + c= a+ ( b+ c ), továbbá (3) létezik eutrális elem, 0 V, V ullvektora, amelyre a V eseté a+ 0 = a, és (4) ivertálható, azaz a V eseté létezik olya - a V, amelyre a+ (- a) = 0, additív iverz. II. A skalárral való szorzásra () k T és ab ; V eseté k( a+ b) = ka+ kb ; () kl, Tés a Veseté ( k+ l) a= ka+ la ; (3) k, l T és a V eseté k( la) = ( kl) a és (4) a V eseté a= a, ahol a T test egységeleme. V elemeit vektorokak, T elemeit skalárokak evezzük. A vektortér (más éve lieáris tér) a lieáris algebra egyik legalapvetőbb fogalma. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdoságait axiomatikusa defiiálja, az általuk haszált sík és tér általáosítása többdimeziós terekre. Jeletősége em csupá elméleti, a fizikába, iformatikába, a komputergrafikába, továbbá számos más elméleti és alkalmazott tudomáyágba játszik fotos szerepet hogy a matematika más ágairól most e is szóljuk. A skaláris szorzatról Ha a( ) T =, és a ; a ;...; a ;...; a V, ahol a, akkor = eseté a síkbeli, = 3 eseté a térbeli vektorokat kapjuk. i i 09

110 D: Ha ( ) ( ) a a ; a ;...; a ;...; a ; b b ; b ;...; b;...; b V, ahol a ; b, akkor a két vektor skaláris szorzatá i i i i a következő összeget értjük: ab = ab + ab ab i i ab = ab i i. i= A vektoriális szorzat Az euklideszi térbe a vektorok között tuduk olya szorzási művelet értelmezi, amely em vezet ki a vektorok halmazából, azaz a művelet eredméye is vektor. D: Legye a és b két vektor a V euklideszi térbe. Az a és b vektor vektori szorzatá (jele a b) azt a c vektort értjük, amelyre () c= absi ( ab ; ) és () c merőleges az a és b vektor síkjára oly módo, hogy a; b és c ebbe a sorredbe jobbsodrású redszert alkot. A vektoriális szorzat iráyát az egyik jobbkézszabállyal tudjuk meghatározi. E műveletek agyo sok érdekes tulajdosága va, többek közt: - em kommutatív; - em asszociatív, de - az összeadásra ézve disztributív. A fizikába agyo sok ilye módo számolható meyiséget ismerük: - erő forgatóyomatéka: M= r F; - egy ayagi pot perdülete: N= r p; - a mágeses Loretz-erő: F= q( v B ), illetve F= l( ) I B stb. 0

111 MATEMATIKAI KÉPLETTÁR Hatváyok )... )( ( 3 b ab b a b a a b a b a )... )( ( k k k k k k k b ab b a b a a b a b a )... )( ( 3 k k k k k k k b ab b a b a a b a b a Biomiális együtthatók k k k k k Közepek Súlyozott számtai közép: g g g a g a g a g A Harmoikus közép: a a a H Négyzetes közép: a a a Q Háromszögek K = s si si si ) )( )( ( 4 a c s b s a s s R abc T Négyszögek Húrégyszög: ) )( )( )( ( d s c s b s a s T, ahol K = s

112 Felszí és térfogat m Csokagúla: V T Tt t 3 Csokakúp: A R r ( R r) a m V R Rr r 3 Gömb: A 4R d 3 3 4R d V 3 6 Trigoometriai összefüggések si si cos cossi coscos si si cos tg tg tg tgtg si si si cos cos cos cos cos si cos tg cos cos cos cos si cos si cos si si cos si cos cos si cos si cos cos si Koordiáta-geometria Szakaszt adott aráyba osztó pot koordiátái: x mx y my x, y, m m ahol PP PP m