Alkalmazott matematika

Átírás

1 4..7. Allmzott mtemt Műsz Szottó Dr. Glmos Gáor 4-5 Az elődás megértéséhez szüséges mtemt lpsmerete: A mtemt lízs lpj (függvéylízs, sorozto, soro, overgec, dfferecálás, tegrálás lpj A leárs lger lpj (vetortér foglm, leárs függőség és leárs függetleség Allmzott mtemt

2 4..7. Az elődás fő témöre I. Bevezetés umerus mtemtá. Hszámítás (örölött há, dthá, számítás, éplethá, ereítés há.. Függvéye özelítése.. A özelítő dfferecálás és tegrálás 4. Egyelete özelítő megoldás. Allmzott mtemt Az elődás fő témöre II. Az operácóuttás lpj 5. Az optmlzálás feldto osztályozás 6. Optmlzálás feldto megoldás grfus módszereel 7. A szmple lgortmus 8. Hozzáredelés feldt Allmzott mtemt 4

3 4..7. Az elődás fő témöre III. Vlószíűségszámítás. Defícó (véletlejelesége, tömegjelesége, elem eseméye, eseméytér, eseméy, ztos eseméy, lehetetle eseméy, reltív gyorság, vlószíűség. A vlószíűség változó foglm, dszrét és folytoos vlószíűség változó és jellemző (eloszlásfgv, sűrűségfgv.. A vlószíűség változó jellemző (módusz, medá, várhtó érté, szórás. 4. Nevezetes dszrét eloszláso. 5. Nevezetes folytoos eloszláso. Allmzott mtemt 5 Az elődás fő témöre IV. Mtemt sttszt. Potecslés és tervllumecslés. Hpotézsvzsgálto I. Kétmtás t-pró.. A orrelácó 4. A regresszó Allmzott mtemt 6

4 4..7. Numerus Mtemt A umerus lízs oly eljárásol foglloz, melye mtemt prolémá megoldását rtmet művelete segítségével tesz lehetővé. Allmzott mtemt 7 Feldt típuso: Négy lpművelettel egzt módo megoldhtó feldto Pl. Leárs egyeletredszer m.o. Crmer-szállyl. Függvéye özelítése terpolácós polomol. Prolém: mugéyes, eheze gépesíthető. Egzt módszereel em megoldhtó feldto Pl. cs éplet tetszőleges elem függvéy z e s függvéye tegrálásár. Allmzott mtemt 8 4

5 4..7. M törté, h egy érté em dhtó meg vgy em számíthtó potos? özelítő értéel helyettesítjü eletez egy özelítés h. Há fjtá: ereítés h örölött h épleth Oly módszereel fogllozu, melyeél mdhárom hár tudu ecslést d. Eszözö: lsszus lízs, lger. Allmzott mtemt 9 Numerus eljáráso htéoyságá mérése. Időgéy Szüséges szorzáso és osztáso szám Egy terácós lépéshez szüséges függvéyérté számításá szám.. Helygéy. Stltás: Az egy terácós lépése eletező há em efolyásoljá erőse éső lépése hát. 4. Az eljárás potosság elméletleg potos gyorltlg em Allmzott mtemt 5

6 4..7. Hforráso Hszámítás Közelítő számításo eredméye hát trtlmz. Há fjtá: Örölött h Számítás h Allmzott mtemt Örölött h: zo vlóságtól vló eltérése, már számításo megezdéseor jele v. melye O: Az llmzott mtemt modell em türöz vlóságot (özelítés pl: megoldás lpjául szolgáló fz, ém törvéye özelítő természetűe. ( leárs öveedést feltételez és em z. A duló dto pottlság (dth. Allmzott mtemt 6

7 4..7. Számítás h: umerus eljárás végrehjtás sorá eletezett mde oly eltérés, mely potos megoldástól vló eltávolodást eredmé-yezhet. O (: A művelete végrehjtás sorá eletező emer vgy gép tévedés. pl.: Progrmh (szemtus Allmzott mtemt O (: Az egzt mtemt modell helyett egy özelítésével oldju meg prolémát. (épleth O (: π 6,64 K,5497 Az rtmet műveleteet véges, meghtározott számjegyű tzedes számol végezzü (ereítés h. pl: szorzás utá tö számjegy dódht, mt mey ésszerűe megtrthtó. K Allmzott mtemt 4 7

8 4..7. Ismerjü-e h potos értéét? Nem. (H smeré, or zt lehete üszööl. A umerus eljárás sorá éplet hát mdg ecsül ell! Allmzott mtemt 5 Péld: umerus tegrálás: hol f( tegrdusz étszer folytoos dfferecálhtó fgv. [,]-e. I f( d h h,,..., h h h h K Allmzott mtemt 6 8

9 4..7. Trpézszály: h lépésözzel épezzü z [,] tervllum h,,..., eosztását, mjd ee lpjá trpézösszeget: t f ( f ( f ( f ( h h f ( f ( f ( f ( K h h h f ( f ( f (... f ( f ( Allmzott mtemt 7 Képleth: z I tegrál vlód és t ülösége özelítő értéée Örölött h: trpézformulá szereplő f( függvéyértéeet cs özelítőleg smerjü: f ( y Kereítés (számítás h: h özelítő függvéyértéeel épzett összeget s ereítéssel számítju. Jelölje: τ T ereített értéét. Eor téyleges h: Allmzott mtemt 8 9

10 4..7. A számítás háj I τ I t t T T τ I t t T T τ Képleth Örölött h Kereítés h Allmzott mtemt 9 Péld: Tegyü fel, hogy [,] tervllumo mére függvéyértéeet. A feldt z, hogy számítsu ( trpézformul segítségével függvéy ltt területet úgy, hogy z elövetett szolút h értée e legye gyo, mtε /. Az előző oldl épletét felhszálv vlágos, hogy h: Az örölött h: δ ( ε A épleth: A ereítés h: I t ( ( τ ε T ε M A há fet elosztás cs egy lehetőség! Ugyezt z eredméyt dá pl. z / / /6 otás s. Allmzott mtemt

11 4..7. A számításhoz szüséges dto:,, M 5 Az örölött h: δ ( ε Ez műszertől elvárt mérés potosság. A épleth: ( ε δ ε I t M 54 Leglá ey pot ell mér. A ereítés h: ( T τ ε ( T τ Legfelje másod tzedes jegyre szd ereíte. Allmzott mtemt Közelítő érté és háj H vlmely számítás egy meység potos értéét tőle em gyo eltérő számml helyettesítjü, or z számot özelítő értée evezzü. H < lsó özelítő érté H > felső özelítő érté,4 < π <,4 Alsó özelítő érté Felső özelítő érté Allmzott mtemt

12 4..7. AΔ- meység özelítő érté háj. ( Δ A Δ meység özelítő érté szolút háj. Bármely oly > számot; melyre z özelítő érté szolút horlátjá evezzü. Így Alsó özelítő érté Pl. Legye és. Eor. Legye egy lehetséges értée. Eor Felső özelítő érté 98 Allmzott mtemt A özelítő érté egy egységére jutó szolút hát reltív há evezzü: δ Bármely oly δ számot, melyre z özelítő > δ δ érté reltív horlátjá evezzü. Pld. legye ⅓ és legye, z szám özelítő értée. eor z szolút h: reltív h: δ 999 Allmzott mtemt 4

13 4..7. Az lpművelete horlát Legyee és z és y számo özelítő értée. Jelöljü z szolút horlátot ll. vel. - és y- A reltív horláto: (feltehetjü, hogy, > δ Jelölése: s d p q / és δ Allmzott mtemt 5 I. Tétel: s (szolút h δ s m {δ,δ } (reltív h Bz. s ( y ( δs s m δ, δ m y δ { δ, δ} m{ δ, δ} { } m{ δ, δ} δ Allmzott mtemt 6

14 4..7. Péld: legye 7, 5, és 9, y. Eor: Δ -, Δ y-. Ezért tétel szert: Δ s Δ Δ 5. δ 7 δ 5 Így tétel szert: δ s m{δ, δ } /5. Allmzott mtemt 7 II. Tétel: d (szolút h δ d (δ δ /(- (reltív h Bz. trváls d ( y ( y δ d d δ δ Allmzott mtemt 8 4

15 y ( y( y p p p δ δ δ δ δ Bz. y y ( III. Tétel: p Δ Δ Δ Δ (szolút h δ p δ δ δ δ (reltív h Allmzott mtemt 9 Bz. ( ( ( y y y y y y q q q δ δ δ IV. Tétel: q (Δ Δ /(-Δ (szolút h δ q δ δ (reltív h Allmzott mtemt

16 4..7. Függvéyértée horlát Tfh. özelítő értée -e horláttl. Eor - és - Feldt: számolju z f( függvéy szolút (Δ f( és reltív (δ f( háját! A prolém z, hogyδ f( f( f( értéét ell meghtároz úgy, hogy cs függetle változó özelítő értéét smerjü. Allmzott mtemt Hszálju fel övetező lízs tételt: Lgrge féle özépértététel: H egy f( függvéy z [,] tervllumo dfferecálhtó, or mdg v z tervllum elsejée egy oly ξ pot, (ξ [,], melyre: f ( f ( f ' ( ξ Geometr értelmezés: egy dfferecálhtó függvéy esetée mdg v z f(, f( potoo átmeő szelővel párhuzmos értő! Allmzott mtemt 6

17 4..7. f ' ( ξ f( f( f( f(-f( - ξ Allmzott mtemt Az áltláos esetre ehéz mod vlmt. Ezért egészítő feltételeet szotu te. Egy lehetséges feltétel: tegyü fel, hogy létez oly M osts, melyre M m f ( - Mt jelet ez? H f( f(-f( f (ξ (- M f ( folytoos és elegedőe cs f (ξ f (, ezért f( f ( A fet épletől reltív horlát: f ( f ' ( δ f ( f ( f ( d l f ( d Allmzott mtemt 4 7

18 4..7. Néháy péld függvéye há számításár: Htváyfüggvéy: f( r, hol r vlós szám. r- f( r r >,r δ f( δ r r δ A htváyfüggvéy reltív háj ráyos z rgumetum reltív horlátjávl. H r > ( r < or htváyfüggvéy reltív horlátj gyo (se z lp reltív horlátjáál. Allmzott mtemt 5 Epoecáls függvéy: f( Mvel f ( l, ezért f( l (> és δ f( δ l δ Specáls: h f(e, or f (e, ezért e e és δ e Allmzott mtemt 6 8

19 4..7. Logrtmus függvéy: f( l, Eor f ' ( és így Δ l Δ δ ( > Allmzott mtemt 7 Az terpolácó elmélete Iterpolácó: függvéyértée özelítésée egy módszere. Az f( fgv. értéészlete egy potsorozto (,,, smert. Ezeet evezzü terpolácós lppoto. Feldt: fgv. em lppothoz trtozó értéée özelítő számítás, és számított és helyes érté özött ülösége (z terpolácó hájá meghtározás. Allmzott mtemt 8 9

20 4..7. özelítés y f( 4 5 Allmzott mtemt 9 A özelítés áltlá függvéye egy redszerée segítségével törté: Legye [,] tetszőleges véges tervllum, és tetsü z [,]- értelmezett vlós függvéyee egy R leárs hlmzát. H f( és g( R f(g( R cf( R Tetsü R egyszerű függvéyee vlmely véges, leárs függetle redszerét.{φ (,,,} H c φ ( c φ ( c φ (, [,], or c c c Allmzott mtemt 4

21 4..7. Leggyr vzsgált redszere: folytoos függvéye osztály elég soszor dfferecálhtó fgv.- osztály φ ( -,,, htváyfüggvéye redszere. Tetsü egy {φ (} függvéyredszer első elemét. Eor ϕ( ϕ( c függvéyt φ (, φ (,, φ ( függvéye áltláosított polomjá evezzü. Ismerjü φ ( fgv-et, és eressü c együtthtót. Allmzott mtemt 4 Lgrge-féle terpolácós polom Feldt: dott z f( vlós fgv. melye értéet smerjü z,,, pothlmzo. Közelítsü f(-t z,,, - Csesev-féle redszerrel: ϕ ( c A özelítése yílvá oly ell le, hogy φ( f( Allmzott mtemt 4

22 4..7. Csesev: Az áltláosított terpolácós polom előállíthtó l, holф ( cs z lppoto válsztásától, és válsztott (Csesev redszertől függ. Mvel most htváyfüggvéye redszerét válsztottu, ezértф ( egy (--ed foú polom. Azt tudju, hogyф (, h. Ф ( gyöe. EzértФ ( felírhtó övetező gyötéyezős l. ϕ ( f( Φ ( Φ ( δ ( Ф ( A (- (- (- - (- (- Allmzott mtemt 4 Ф ( A (- (- (- - (- (- Ee gyötéyezős l z A smeretle! MvelФ (, ezért A ( - ( - ( - - ( - ( - A ( (...( (...( Φ ( (...( (...( ( ( (...( (...( Allmzott mtemt 44

23 4..7. Ezért ϕ( f ( Φ( f ( ( L ( ( ( f ( (...(...( Lgrge-féle terpolácós Allmzott mtemt polom 45 Nézzü egy egyszerű példát! Tegyü fel, hogy,, és f(, f(. Számítsu L ( értéét! ( Számítsu előszörφ (, (,, értéet. Φ( Φ( Most számítsu súlyozott értéeet. f f ( Φ ( ( 4 ( Φ ( ( ϕ( f( Φ ( (4 - ( - Allmzott mtemt 46

24 4..7. Numerus tegrálás H létez fgv. prmtív függvéye: f( d Newto-Letz formul F( F( Prolém: szű zo függvéye öre, melyee prmtív függvéye elem függvéy. Ellepéldá: e e - s st... Allmzott mtemt 47. Rem-féle összeggel özelítés: f( d hol ξ s f(ξ ( Prolém: cs utlás rr, hogy ell válszt z < < < eosztáspotot, és ξ,ξ,,ξ első potot hhoz, hogy S f( ε Allmzott mtemt 48 4

25 4..7. A Rem özelítőösszeg geometr értelmezése: s f ( d f( ξ ( ξ,,..., ξ ξ ξ ξ K Allmzott mtemt 49 Megoldás: umerus vdrtur, vgys z tegrált függvéyértée leárs omácójét fejezzü : f ( d H f( R (f Kvdrturformul : szcsszá, H : súlyo R (f : mrdétg. Mért érdees ez? Az smert függvéyértéeet súlyozzu vlmlye súlyol, és így htározzu meg z tegrál értéét. Allmzott mtemt 5 5

26 4..7. Newto-Cotes vdrtur formulá H z szcsszáról ötjü, hogy evdsztás eosztású Newto-Cotes formuláról eszélü. H z tegrálás tervllumá végpotj z szcszszá özé trtoz, or zárt formuláról eszélü. H z tegrálás tervllumá végpotjt z szcszszá em trtlmzzá, or yílt formuláról eszélü. Legyee z terpolácó lppotj: c h,,,. Allmzott mtemt 5 I. c és c ( h, hol pld.: 8 h h h h h h h h h h c h mvel és yílt formul Allmzott mtemt 5 6

27 4..7. II. ch pld.: 9 és c h, hol h h h h h h h h h h c most és zárt formul 9 Allmzott mtemt 5 Nyílt formul eseté: f( d (- A W (y, f(c h R (y Zárt formul eseté: f( d (- A W (z, f(c h R (z Fotos! W (y, ésw (z, függetlee z tegrdustól. Allmzott mtemt 54 7

28 4..7. A NEWTON-COTES-FÉLE NYÍLT KVADRATURAFORMULÁK SULYAI A W. W. W. W.4 W.5 / / - 4 /4 5 / / / / / / Allmzott mtemt 55 A NEWTON-COTES-FÉLE ZÁRT KVADRATURAFORMULÁK SULYAI A W. W. W. W.4 W.5 W.6 / /6 4 4 /8 5 / / / / / / / Allmzott mtemt 56 8

29 4..7. AZ ÉRINTŐ SZABÁLY lppoto- Az f( függvéyt özelítsü z hoz trtozó L ( terpolácós polomjávl: f( L( f H mdét oldlt tegrálju, or z -hez trtozó yílt típusú vdrturformulához jutu: f(d L (d ( f f ( d ( H H (y, f( A ( - W f( (y (,, Allmzott mtemt???? f ( ( f 57 Geometr értelmezés: f( f Allmzott mtemt 58 9

30 4..7. A görevolú trpéz területét (- lpú, f mgsságú tégllp területével özelítjü. (Ugys, h f( z -e dfferecálhtó, or tégllp területe egyelő felezőpot húzott értő áltl meghtározott trpéz területével. Allmzott mtemt 59 AZ ÉRINTŐ FORMULA HIBÁJA Legye f( étszer dfferecálhtó [,]-e, eor R (f f(d -( - f A mrdétg így eheze meghtározhtó. (Nem smerjü z tegrál értéét. Ezért Tylor-formul segítségével ecslést du értéére: f( f f f ( ξ (* Egy függvéy özelítése sorfejtés segítségével. Allmzott mtemt 6

31 4..7. A prolém: cs yt tudu, hogy ξ (,, és ξξ(. Itegrálju (* egyelőség mdét oldlát! f(d ( - f f ( ξ( d R (f Az tegrálszámítás özépértététele szert oly μ [,], melyre: µ ( - R (f d µ 4 hol m f ( μ m f ( [, ] [, ] Allmzott mtemt 6 Segédtétel (Drou tuljdoság: H egy fgv. dff. háydos egy tervllum mde potjá létez, or dff.háydos fgv. z tervllum épzett lsó és felső htár özé eső mde értéet leglá egyszer felvesz. olyη [,], melyre ( - R (f f ( η 4 Így z értő formul teljes lj: f(d ( - f ( 4 f ( η η [,] Allmzott mtemt 6

32 4..7. Az értő formulát áltlá úgy hszáljá, hogy résztervllumor otjá z [,] tervllumot. Ee vzsgáltához vezessü e övetező jelöléseet: h - m h f f( m h h h h (m- h m - h m h Allmzott mtemt 6 Allmzzu most z értő formul teljes lját z egyes résztervllumor: h f( d h f... f m ( f 4 hol - η,,,,. (η... f (η Hszálju Drou tuljdoságot résztervllumor: olyζ [,], melyre: m f (η m f ( ζ m - ( f( d f m 4m m szerepe h lulásá? Allmzott mtemt, ezért f ( ζ m 64

33 4..7. A TRAPÉZ SZABÁLY Közelítsü z f( fgv.-t z és lppotohoz trtozó L ( terpolácós polomml f( L( f( f( H mdét oldlt tegrálju, or z -höz trtozó zárt típusú vdrturformulát pu: - f(d L(d [ f( f( ] (z f ( d ( H, f( A ( - { W, f ( W, f ( } Allmzott mtemt 65 Geometr értelmezés: y f( f( A görevolú trpéz területét helyettesítjü z egyeesvolú trpéz területével. (Ez z értelmezés cs or dhtó meg, h z f( fgv. poztív. Allmzott mtemt 66

34 4..7. f ( η A TRAPÉZ FORMULA HIBÁJA H z f( fgv. étszer dfferecálhtó [,]-e, or z értőformul levezetéséél llmzott lízs tétele tt s hszálhtó, így: - f ( ξ( R(f f(d - [ f( f( ] ( - ( - d ( - ( ( d - Így trpézformul teljes lj: f ( η hol η [,]. f(d - ( [ f( f( ] f ( η Allmzott mtemt 67 Osszu z [,] tervllumot m egyelő részre, és llmzzu most s Drou-szályt: f( d h f f... f hol - η (,,, és Drou-szály mtt: m- f m h m f ( η - ( f( d f f... fm- fm m m f ( ζ holζz [,] tervllum megfelelőe válsztott potj. Allmzott mtemt 68 4

35 4..7. Hsolítsu össze z értő-formul és trpéz-formul htgjt! ( ( R f ( R( f f ( ( f ζ ζ 4m m A trpézszály épletháj f ( ζ értéétől eltetve étszerese z értőszály éplethájá. V értelme trpézformulát hszál? H sűrű eosztássl meg rju smétel özelítő tegrálást (modju m egyelő részre osztássl: Értőszály llmzás eseté m fgv. értéet újól ell számít. (A felezőpoto ellee. Trpézszály eseté cs m új fgv.érté számításár v szüség!! Allmzott mtemt 69 A SIMPSON-FORMULA Tegyü fel, hogy smerjü függvéy értéet z,, lppoto. Az tegrál értéét számíthtju z L ( tegrálásávl, de N-C zárt vdrtur-formulá -r votozó együtthtóvl s: f ( d ( H (z, f( { W f ( W f ( W f ( } A (,,, - f ( 4 f f ( 6 Allmzott mtemt 7 5

36 4..7. Geometr értelmezés: y y f( y L ( A göre volú trpéz területe helyett z tervllum özéppotjá és ét végpotjá átmeő másodfoú prol ltt területet számítju özelítéshez. Ezért ezt prol-formulá s szoás evez Allmzott mtemt 7 A PARABOLA FORMULA HIBÁJA Az előző ét hszámítás sorá llmzott techát hszálv pju, hogy: R (f ( f ( η 4 (4 5 ( - f ( η 9 (4 ( Amől pju Smpso-formul teljes lját: f( d - 6 f( 4f Allmzott mtemt f (4 ( ξ( d 4 ( d f( η [,] 5 f ( η 9 (4 7 6

37 4..7. A prolszály fomítás céljáól osszu z [,] tervllumot m/ számú h hosszúságú résztervllumr: h f(d ( f 4f f... fm 4fm 5 h f 9 (4 ( η f (4 ( η... f (4 η m f m és - η,,,m/. f(d ( m ( 8m m f (4 ( ζ, ζ f 4f f 5 (4 f ( ζ 4 Allmzott mtemt... 4 f m- f m 7 EGYISMERETLENES EGYENLETEK MEGOLDÁSA Feldt: Htározzu meg z f( egyelet gyöet, hol f( szszoét folytoos, vlós függvéy. Az egyetle gyööt trtlmzó tervllum meghtározását gyöö elülöítésée evezzü A övetezőe zt feltételezzü, hogy smerjü eresedő gyööt trtlmzó tervllumot. Allmzott mtemt 74 7

38 4..7. A KÖZELÍTŐ GYÖK HIBÁJA Az f( egyelet potos gyöét jelölje p és özelítő gyöét. Tétel: Legye p, és or p f( m m f ( m. [, ] Bzoyítás: H f( z [,]-e dfferecálhtó, or Lgrge-féle özépértététel szert c (, p, melyre f( f ( p ( p f (c Mvel ( feltétel szert f( p, és f (c m, ezért f( f( p f( m p Allmzott mtemt 75 ZÉRUSHELY MEGHATÁROZÁSA FELEZÉSI ELJÁRÁSSAL A feltétele:. f( folytoos z [,]-e,. Az f( egyelet egy gyöét z [,] tervllum elülöítettü,. f( < és f( >. 4. ε > megívát potosság. Allmzott mtemt 76 8

39 4..7. Véges z eljárás! f( f( < p potos gyö - ε Megdott potosságo elül vgyu-e? Allmzott mtemt 77 Htározzu meg z y - függvéy zérushelyét [,] tervllum e,5 potossággl! / f(5/4 > / /4 f(7/6 < /4 / 9/8 f(7/64 > 4 4 /4 4 9/8 5/6 f( < 5 5 5/6 5 8/6 / f( > 6 6 5/6 6 / 6/64 f( < Most e 7-7,46 <,5, ezért z 7 9/8 már megfelelő özelítés. Allmzott mtemt 78 9

40 4..7. Tétel: Az előző felezés eljárássl meghtározott tervllumo végpotj overges soroztot lot, és meghtározott gyö megdottε>potosságo elül v. Bz.: Legye ε < (-/. Az eljárás ztosítj, hogy,, mooto övevő orlátos soroztot lot. Ezért sorozt overges, és hsoló overges,, sorozt s. A zérushelyre votozó tétel mtt p (,,, Ezért p és p,, Allmzott mtemt 79 Tétel: Mooto orlátos sorozt overges. Allmzott mtemt 8 4

41 4..7. Tétel: H egy folytoos függvéy z [,] tervllum ét végpotjá elleező előjelű értéeet vesz fel, or mde z f(, f( özé eső mértéet leglá egyszer felvesz. (Így z f( -t s. Defícó: h függvéy folytoos. f( f(, or z f( Allmzott mtemt 8 Így lm lm lm lm Másrészt, f( folytoosságát fgyeleme véve: h p, or f( f( p és h p or f( f( p. p (* A feltételeől tudju, hogy f( f( <, ezért (*-ól dód, hogy f( p. Tehát potos gyö téyleg z [,] tervllumo elül f( p. v. Ugyor z lgortmus szert -t mdg felezéssel ptu z előző potól, ezért: p - (-/ < ε Allmzott mtemt 8 4

42 4..7. A HÚRMÓDSZER Tfh. gyö elülöítésére szolgáló [, ] tervllum z f( folytoos, étszer dfferecálhtó és f (, f ( z [, ]- jeltrtó. Allmzott mtemt 8 y A f ( > ; f ( > p B y B p f ( > ; f ( < A Allmzott mtemt 84 4

43 4..7. y A f ( < ; f ( > p B y B p f ( < ; f ( < Allmzott mtemt A 85 y A p B Az y f( fgv. A és B potjához trtozó húr tegellyel vló metszéspotj mdg [ ; p ] tervllum v. Így egy jo özelítést d. Htározzu meg értéét ét poto átmeő egyees egyeletée segítségével: Allmzott mtemt 86 4

44 4..7. y A f( f( y f( ( Az egyees z tegelyt ott metsz, hol és y : B p f( f( Folytssu z eljárást: ( - f ( Allmzott mtemt f( f( ( - f ( 87 f( - f( f( ( - f ( f ( f ( ( f f ( f( Allmzott mtemt f ( f( f( 9 ( - f ( ( - 4 (- 4 f ( f( f( ( - f ( ( - (

45 4..7. y f ( > ; f ( < B B p A Az vlágos, hogy,,, sorozt overges. M overgec seessége? Meghtározzu z. özelítés háját. Kszámítju ét egymás utá özelítés eltérését. Allmzott mtemt 89 Tétel: z. özelítés háj: - p f( / f ( Bz. H [, ] h:ε - p A Lgrge-féle özépértététel szert ξ (, p, melyre: ' f( f( p ε f (ξ f ( Mvel f( p, ezért ε f ( ξ A feltétele szert f ( mooto, ezért f (ξ f (. Ezért: ε f( f ' ( p f( f ' ( Allmzott mtemt 9 45

46 4..7. Két egymást övető özelítés háj: ε p és ε - p A húrmódszer áltláos éplete átlíthtó: f( λ f( f( f( Ezért ε ( p λ f( λ ε λ f( ε Allmzott mtemt 9 Ugyor f( p Tylor-formulávl s özelíthető: f( p ε ε f( f( - f ( f ( ξ, ξ f( Mvel f( p, ezért f ( - f (ξ ε ε ε [ ] Ezt ehelyettesítveε fejezésée, pju: ε f( ε λ ε [ λ f ( ] ε λ f (ξ ε ε Allmzott mtemt 9 46

47 4..7. [ ] ε λ f ( λ f (ξ ε ε Mvel λ f( f( f ( Ezért ε ε f ( ξ f ( Tétel: A özelítés háj z előző özelítés égyzetée hájávl ráyos. Allmzott mtemt 9 AZ ÉRINTŐ MÓDSZER (NEWTON RAPHSON Tfh. gyö elülöítésére szolgáló [, ] tervllum z f( folytoos, étszer dfferecálhtó, továá z f ( és z f ( z [, ]- jeltrtó. Allmzott mtemt 94 47

48 4..7. y A f ( > ; f ( > y p B B f ( > ; f ( < p A Allmzott mtemt 95 y A f ( < ; f ( > y p B B p f ( < ; f ( < A Allmzott mtemt 96 48

49 4..7. y A p B Az y f( függvéy A potjához trtozó értő mdg z [ p ; ] tervllum v. Így egy jo özelítést d. Htározzu meg értéét z egy poto átmeő dott meredégű egyees egyeletée segítségével: Allmzott mtemt 97 y A y y m (- y - f( f( ( - p f ( < ; f ( > B Mvel és y, ezért: f( f ' ( Folytssu z eljárást: f( f ( Allmzott mtemt 98 49

50 4..7. Az,,, sorozt mooto, orlátos overges. A overgec seessége? Tétel: A özelítés háj z előző özelítés égyzetée hájávl ráyos. ε ε f ( ξ f ( Allmzott mtemt 99 ALGEBRAI EGYENLETEK GYÖKEINEK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA Feldt: specáls egyelet gyöet eressü: f( g ( hol (... ; g - Ez egy polom Az áltláos módszer llmzhtó, de rju hszál függvéy specáls tuljdoságt. Allmzott mtemt 5

51 4..7. Vet tétele: A g ( -ed foú polom, és,,, gyöe özött övetező összefüggése állpíthtó meg: - / - / / (- / Allmzott mtemt Péld: Egy másodfoú egyelete smerjü gyöet:,. Htározzu meg másodfoú egyeletet! Az egyeletet l eressü. Feltételezhetjü, hogy, ezért eresett l:. - / / - -. Allmzott mtemt 5

52 4..7. A Vet-éplete felhszálásávl özelítő gyöö másét s számíthtó: Tfh. és >>. Eor özelítő gyö z egyelet gyöével megdhtó. H >>, or tetsü övetező egyeleteet: - / / Ezért g ( egyelet szolút értée leggyo gyöét z szolút értée gyo gyöével özelítjü. Allmzott mtemt A HORNER ELRENDEZÉS Számítsu g ( polom helye vett helyettesítés értéét: A fet l övetező formár hozhtó: ez Horer elredezés g (... {[( ] }... - g ( - Allmzott mtemt 4 5

53 4..7. A Horer elredezés számításá tálázt: g ( g - ( - - g ( Fotos! A felírásál zérus együtthtót s fgyeleme ell ve. Allmzott mtemt 5 Segédtétel: H g ( polom (- vl osztv mrdéul osts értéet d, or g (. Bz.: mvel: g ( ( g - (, ezért g (. Követezméy: H g ( polom gyöe. A számítás elleőrzése:. Helyettesítsü g ( z értéet: g ( (- g - (. Másrészt - g ( s és g ( ezért s ( - s - ' s' Allmzott mtemt 6 5

54 4..7. Számítsu 5 g5 ( 4-4 egyelet helyettesítés értéét z helye! g ( g 4 ( s 5 s 4 7 Amől dód, hogy s ( - s (-7 4 Allmzott mtemt 7 Optmumszámítás modelle Vzsgálju meg övetező feldtot: Egy gyár étféle félész terméől (vscsőől és útorlpól háromféle solpdot ell előállít. Az smert, hogy z egyes észtermée egy-egy drjá mey felhszáldó félész termé. Az s tudott, hogy félész terméeől mey rtárészlet v. A gyár gzdság vezetése smer z egyes észtermée eldás hszát droét. Kérdés: Mey észterméet állíts elő z egyes solpdoól, h cél proft mmlzálás? 54

55 4..7. Készítsü el feldthoz trtozó mtemt modellt. Vezessü e övetező jelöléseet: F, F K, K, K j c Nyersygo Késztermée Az. yersyg meysége j. észtermé egységy meységée Az. félészterméől redelezésre álló meység Egységy. észtermé eldásáól szármzó hszo Jelölje továá,, z egyes észterméeől gyártdó meységeet. Allmzott mtemt 9 H,, z egyes észterméeől gyártdó meysége, or z F félészterméől összese meységet hszálu el. Hsoló meggodolás lpjá z F félészterméől elhszál meysége: Ezeről redelezésre álló rtárészlet véges volt mtt tudju, hogy Mvel c, c, c z egyes észtermée egységy eldásáól szármzó hszo, ezért cél c c c m Allmzott mtemt 55

56 4..7. A gyorlt prolémához redelt mtemt modell tehát: feltételredszer c c c m célfüggvéy Ilye típusú feldto megoldás sorá övetező lépéseet hjtju végre: prolém feltárás mtemt (optmumszámítás modell felállítás megoldó lgortmus dolgozás Allmzott mtemt Térjü vssz evezető feldthoz: c c c és vezessü e övetező jelöléseet: A X Eor feldt mátr l s felírhtó: AX m z( X CX m C ( c c c Allmzott mtemt 56

57 4..7. Az optmumszámítás modelle osztályozás: Tevéeysége típus lpjá folytoos dszrét vegyes A modelle szereplő prmétere lpjá determsztus sztochsztus A feltétele és célfüggvéy lpjá leárs em leárs Allmzott mtemt Grfus megoldás étdmezós esete 6 4-4, z( z( m z(-4 4 L z( Az optmáls megoldás: 5 z(- z( Allmzott mtemt 4 57

58 4..7. Vzsgálju meg ülööző megoldásot: Tetsü pl egyeest. Tö oly pot s v z L-e, mely elégít egy dott egyees egyeletét. A z( - egyees egyeletét egyetle pot elégít. Ncs oly L, mely elégíteé z(<- egyelőtleséget. Az optmum egyértelmű. M helyzet, h célfüggvéy párhuzmos z egyelettel? Tö optmáls megoldás v. Allmzott mtemt 5 Két dmezór vsszvezethető háromdmezós eset ,, z( m Ilye esete úgy járu el, hogy z egyelőséget trtlmzó feltételől fejezzü z egy változót, zt ehelyettesítjü tö egyelete, pott étváltozós feldtot megoldju, végé még meghtározzu fejezett változó értéét, és három változóvl meghtározzu célfüggvéy értéét s. Allmzott mtemt 6 58

59 z( m Az optmáls megoldás: 4 z(- Grfus megoldás háromdmezós esete Allmzott mtemt 7 A leárs progrmozás áltláos feldt: m m l m m l l l l l m lm l l l m m m m m m L M L L M L L M L m ( z c c c c m m L α Allmzott mtemt 8

60 4..7. Az (,,, m vetort leárs progrmozás (LP feldt lehetséges megoldásá evezzü, h vetor feltételredszer mde egyelőtleségét elégít. Két leárs progrmozás feldtot evvlese evezü, h ét feldt lehetséges megoldás hlmz megegyez, célfüggvéye értée lehetséges megoldáso hlmzá egyelőe. Allmzott mtemt 9 Szmple lgortmus Az AX X, α CX z( m lú leárs progrmozás feldtot stdrd feldt evezzü. Tétel: Bármely LP átlíthtó stdrd feldttá úgy, hogy duló LP és szármzttott stdrd feldt evvlese lesze, továá ét feldt optmáls megoldás egydejűleg léteze, és eze özvetleül szármztthtó egymásól. Követezméy: Elegedő stdrd feldto megoldásávl foglloz. Allmzott mtemt 6

61 4..7. Egy stdrd feldtot lehetséges ous lú evezzü, h sor- és oszlopcseréel, vlmt változó átjelölésével z lá lr hozhtó: m m m m O M... m m α c... c z( m m m Megjegyzés: A lehetséges ous lú feldtál, ( j,,..., j, ( j,,..., m feltétele s előírt! Allmzott mtemt A lehetséges ous lú feldt tehát egy oly specáls stdrd LP, melye feltételredszer mátrá v egy -dmezós egységmátr, z egységmátr ltt célfüggvéy együtthtó értée zérus. Tétel: Egy lehetséges ous lú feldthoz mdg megdhtó egy trváls megoldás. Bz. Legye z X egy oly m dmezós vetor, melyre: (,,, és t (t,,,m A feldthoz trtozó trváls megoldást ázsmegoldás evezzü, és z (,,, változó ázsváltozó. Allmzott mtemt 6

62 4..7. H vlmely értére eszélü., or degeerált ázsról Vegyü észre, hogy z ázsváltozóhoz z együtthtómátr z -dmezós vetortér -d egységvetor trtoz. Tétel: Egy lehetséges ous lú feldt ázsmegoldásához trtozó célfüggvéyérté z(x α. Bz. A célfüggvéy értée: m z( X α c α Itt z első összeg zért egyelő ullávl, mert mde c értée ull, másod összeg pedg zért, mert mde értée ull. Így z(x α c m c Allmzott mtemt Tétel (Optmum rtérum: Egy lehetséges ous lú feldt ázsmegoldás egye optmáls megoldás s, h c t teljesül mde t,,, m értére. Bz. Elegedő zt elát, hogy h X egy lehetséges megoldás, or z(x α. Mvel X lehetséges megoldás, ezért X. De eor mde oordátájár gz, hogy,,,, m. A feltétel szert c t, mde t,,, m értére. Ezért m m ( α α α m z X c c c c α. Allmzott mtemt 4 6

63 4..7. Tétel (Bázsváltozttás tétele: H egy lehetséges ous lú feldt célfüggvéyée v egy oly j de, melyre j m, melyre c j <, és létez r m rj >, r rj meység, or megdhtó egy oly z eredet feldttl evvles más lehetséges ous lú feldt, melye X * ázsmegoldásár teljesül z( X α A tételt em zoyítju, de megdju ostrucót, mely tétel zoyításához vezet. c j Allmzott mtemt 5 Jelölje s lehetséges ous lú feldt. sorát, és s szármzttott feldt. sorát. Hsoló jelölje z és z ét feldt célfüggvéyet. Tegyü fel, hogy tétel feltétele teljesül, és mmum. sor lévő elemre (s feáll. Eor z új feldtot övetezőéppe ostruálju: s j s j s s s s js j c j z z s z c js j (, Az átlítás sorá j -t geeráló eleme, z. sort pedg geeráló elem sorá evezzü. Allmzott mtemt 6 6

64 4..7. Htározzu meg övetező LP optmáls megoldását szmple lgortmussl: - 4 5, - - z( m Hszálju lsszus ázstrszformácót: u u u u ½ - ½ -½ 7/ ½ - / u u - ½ ½ -½ 7/ u u /7 /7 - / ½ /7 /7 /7 A megoldás: 6/7, 7/7 z(-/7. 7/7 /7 -/7 6/7 Allmzott mtemt 8 64

65 4..7. Hogy lehet áttér szmple tálár? u u - ½ ½ 7/ -½ - / ½ u u - ½ ½ 7/ -½ - / ½ H jól számolu, or z egységmátr mdg megjele tálázt. Ezeet em ell számít, elhgyhtju táláztól. Helyezzü át ezeet változót tálázt első oszlopá z egységvetoru megfelelő pozícó. Az eleme trszformácój ee megfelőle változ. Allmzott mtemt 9 u u - ½ ½ 7/ -½ Az lgortmus: u u /7 /7 7/7 /7 -/7 6/7 - / ½ /7 /7 /7 A ázs geeráló elem oszlopá lévő változó erül e g.e. sorá levő ázsváltozó helyére. Legye geeráló elem j. Eor j / j j j j, h j, j, h j, t t j t, h jés t. Allmzott mtemt 65

66 4..7. Prolém: A ázstrszformácó feltételeét eállított r m rj >, r m rj érté cs or létez, h geeráló oszlop v poztív együtthtó. Tétel (Optmum emlétezésée rtérum: H lehetséges ous lú feldt vlmely j m dere c j <, és z rj ( r,,, eleme egye sem poztív, or feldt célfüggvéye lulról em orlátos lehetséges megoldáso hlmzá. Allmzott mtemt A stdrd feldt áltláos megoldás oyolult, mvel duló ázsmegoldás em áll redelezésüre. Tová oyolód helyzet, h em folytoos feldtról, hem egész értéű feldtról v szó: Allmzott mtemt 66

67 4..7. Hozzáredelés feldt Adott számú dolgozó és ülööző mu. A dolgozó muát ülööző öltségeel végz el. Osszu szét dolgozó özött muát úgy, hogy mde dolgozó potos egy muát pjo, és muvégzés öltsége mmáls legye! c j A dolgozó szám A j. mu elvégzésée öltsége, h zt z. dolgozó hjtj végre. (,j, h z. dolgozó végz j. muát j, ülöe Allmzott mtemt A mtemt modell j j,,, j j j {,} c j j j,,,, j z m Allmzott mtemt 4 67

68 4..7. Megoldhtó feldt? A megoldást mdg egy oly -es árs mátr szolgálttj, melye mde sorá és mde oszlopá egy és cs egy -es v. Péld: 4 4-es esete legye öltségmátr Egy lehetséges megoldás: C X Allmzott mtemt 5 Követezméy-: Egy hozzáredelés feldt (HF mdg v lehetséges megoldás. Követezméy-: Egy HF lehetséges megoldás hlmz cs - től függ, öltségmátr értéétől lehetséges megoldáso hlmz függetle. Követezméy-: Egy HF-! ülööző lehetséges megoldás v. Követezméy-4: Külööző célfüggvéyű (de zoos -hez trtozó HF-hoz trtozó lehetséges megoldáso hlmz megegyez. Ezért HF-t meghtározz C {c j } öltségmátr. Jelölése: H(C. Követezméy-5: Egy HF optmáls megoldását mdg meghtározhtju, h véggpróálju z összes lehetséges megoldást, és válsztju zt, melyhez mmáls célfüggvéyérté trtoz. Allmzott mtemt 6 68

69 4..7. A C m és D m mátrot evvlese modu, h léteze oly α,α,,α, ésβ,β,,β m ostso, melyere c j d j α β j mde, j értére. Jelölése: C ~ D. Tétel (Mátro evvlecáj: H C és D -es öltségmátro, és C ~ D, or H(C és H(D optmáls megoldás megegyeze. Bz. Legye z C és z D ét célfüggvéy, és legye megoldás. Megmuttju, hogy létez egy olyγ osts, melyre z C ( X z ( X γ D X egy tetszőleges Allmzott mtemt 7 z C ( X c j ( d j α β j j j j j d j j α j β j j j j d j j α j β j j j j j j d j j α β j j j z D (X γ z D ( X γ Allmzott mtemt 8 69

70 4..7. Egy mátr elemee egy redszerét függetle redszere evezzü, h mátr mde sor és mde oszlop legfelje egy elemet trtlmz redszeről. (Elemet *-gl jelöljü. Tetsü zt z eljárást, mely előállít egy oly C (, C (,, C ( mátrsoroztot (, melyre teljesül, hogy ( C ~ C ( ( C (t ~ C (t, t,,,, - ( C (t, t,,,, (4 C ( v jelölve egy elemű függetle redszer. Allmzott mtemt 9 Tétel: Tegyü fel, hogy v egy lye mátrsoroztu. Legye egy oly -es mátr, melyre teljesül, hogy (, h cj j, ülöe Eor X optmáls megoldás H(C-e. Bz. X lehetséges megoldás (4 mtt. X optmáls megoldás H(C ( -, mert z ( X, és ( mtt, és ármely X lehetséges megoldásr z (X. ( és ( vlmt z evvlec trztvtás mtt C ~ C (. X optmáls megoldás H(C-e s. X Allmzott mtemt 4 7

71 4..7. Mgyr módszer Jelölje * jelölt függetle redszer elemee számát. Előészítő rész (Egy függetle redszer előállítás: Voju sormmumot soroól Voju z oszlopmmumot z oszlopoól. Így megpu egy C ( mátrot. Jelöljü C ( - egy függetle redszert. Egy mátr egy elemét szd eleme evezzü, h cs jellel ellátv, és sem sor sem z oszlop cs leötve. Allmzott mtemt 4 r * VÉGE r r Kössü le * oszlopt V szd elem? Jelöljü meg '-vel szd -t ' sor trtlmz *-t? ' sorát össü le, * oszlopát oldju fel A szd eleme mmumát levoju szd elemeől, és hozzádju étszerese ötött elemehez. Lácépzés: oszlopá *, * sorá. (Jel.: L C (r eleme: Jelölése élül C (r ( r megjelölése *-gl, h c j - c ( r (r j L és c j - c ( r ( r j L és c j Allmzott mtemt 4 7

72 Péld: Oldju meg övetező hozzáredelés feldtot! C C ( C Allmzott mtemt 4 Jelöljü függetle redszert oszlopfolytoos: Kössü le *- oszlopt! * ( C * * * * ( C * * * Allmzott mtemt 44

73 Keressü sorfolytoos szd -t! Ez c 5 elem lesz. Mvel hrmd sor trtlmz * elemet, ezért c 5 elemet ellátju '-vel, sort leötjü, sorá levő * oszlopát pedg feloldju: Most c 4 lesz z első szd, egyed sort leötjü és egyed oszlopot ell felold. Keresve szd -t zt pju, hogy c 4 lesz z első szd, z első sort le ell öt és hrmd oszlopot ell felold. * ( C * * * ' ' ' Allmzott mtemt 45 Szd -t eresve most zt látju, hogy cs lye elem. Mvel függetle redszerü cs 4 elemet trtlmz, ezért z evvlec tétel felhszálásávl gyárt ell szd -t: A szd eleme mmum most. Voju le z -t szd elemeől, és dju hozzá étszer ötött elemehez: * ( C * * * ' ' ' Allmzott mtemt 46

74 Most már smét ereshetü szd -t. Ez c elem lesz. Ee sor trtlmz * elemet, ezért c elemet ellátju '-vel, sorát leötjü, és hrmd oszlopot feloldju: Ismét szd -t eresve, c 5 lesz z első szd, de sor em trtlmz * elemet, ezért lácépzés dul e: * 4 ( C * * * ' ' ' ' Allmzott mtemt 47 Most törölve jelöléseet, és * -gl ellátv láco ívül * elemeet, vlmt * -gl ellátv láco elül ' elemeet, megpju C( mátrot. * * * * ' ' ' ' 4 ( C Allmzott mtemt 48

75 Mvel C ( -e 5 elemű függetle redszer, ezért z eljárás véget ér. Most már cs z X megoldásmátr előállítás v hátr: * * 4 ( C * * * ülöe, h, ( j j c Allmzott mtemt 49 X Ezért célfüggvéy értée: j c j j X z ( Allmzott mtemt 5

76 4..7. Vlószíűségszámítás Azot jeleségeet, melye létrejöttét tetete vett örülméye em htározzá meg egyértelműe, véletle jeleségee evezzü. A véletle jeleségee megdott örülméye mellett töféle meete s lehet. Sttsztus törvéyszerűségee evezzü véletleszerű összefüggéseel szeme érvéyesülő szüségszerű htásot. Áltlá z oly jeleségeet, melye gy szám lépe fel, vgy zoos örülméye özött tetszés szert soszor megsmételhető, tömegjeleségee evezzü. A vlószíűségszámítás tárgy véletle tömegjelesége vzsgált. Az oly jeleségeet, melyee meetele z dott örülméye özött töféle s lehet, gyűjtőéve ísérlete evezzü. A ísérlet lehetséges eredméye z elem eseméye. Kísérlet például: egy lövedé lövése ágyúól, doóocávl törtéő doás egy folyó vízállásá leolvsás meghtározott helye és dőe utso szám egy uszjárto reggel rögzített dőpot egy ártylp húzás ártycsomgól Kocdoásál vgy ártylp húzásáál z elem eseméye szám véges, míg vízállás leolvsásáál végtele so mérés eredméyü lehet. Az dott ísérletél előforduló elem eseméye összességét eseméytére evezzü. 76

77 4..7. Előfordulht, hogy egy ísérlet pcsá em z elem eseméye eövetezését vzsgálju, hem z elem eseméyeől lotott részhlmzo eövetezésére vgyu ívács. Az eseméytér (H részhlmzt eseméyee evezzü. (Az elem eseméye s eseméye. Pl. Páros ocdoáso eövetezését vzsgálju, cm-él mgs vízállásot rögzítü, A p lpo húzását tetjü érvéyes ísérlete st A teljes eseméytér és z üres hlmz s H eseméytér hlmzelmélet érteleme vett részhlmz, ezért eze s eletrtoz z eseméytére. Az egész H hlmzt ztos eseméye, z üres hlmzt lehetetle eseméye evezzü. Tetsü egy oly ísérletsoroztot, mely ísérletől áll. Jeletse egy meghtározott eseméy eövetezésee számát. Eor háydost tetett eseméy reltív gyorságá evezzü szóforgó ísérletsorozt. H gy számú ísérletsorozt elvégzése sorá z A eseméy eövetezésée reltív gyorságo egy szám örül gdoz, or zt számot z A eseméy vlószíűségée evezzü. Jelölése: P(A. H reltív gyorságo em gdoz egy szám örül, or szóforgó eseméye cs vlószíűsége. H egy tömegjeleséggel pcsoltos eseméye v vlószíűsége, or z egy ojetív dt (mt tömeg, hőmérslet st. 77

78 4..7. A vlószíűségszámítás feldt z, hogy z egyszerű eseméye vlószíűségée z smeretée oyolult, összetett eseméye vlószíűségére öveteztesse. Ahhoz, hogy vlószíűségszámítás módszerevel megsmeredjü, először rr v szüség, hogy megvzsgálju zt, hogy lehet z elem eseméyeől összetett eseméyeet épez. Ehhez meg ell smer z eseméylgerát, mely Boole-lgerá egy specáls esete. Az eseméylger Tetsü ocdoást, mt ísérletsoroztot. Ee z esete z elem eseméye ocdoás eredméye lesze, tehát -et, - t,,6-t dou. Tetsü z elem eseméyeől épezett övetező (összetett eseméyeet: A ocdoás eredméye páros szám. A ocdoás eredméye -ál gyo. A ocdoás eredméye pártl szám. 78

79 4..7. Legye A és B ét eseméy. A ét eseméy összegé zt z eseméyt értjü, mely or övetez e, h ét eseméy özül vlmely eövetez. Jelölése: A B vgy AU B. Legye A és B ét eseméy. A ét eseméy szorztá zt z eseméyt értjü, mely or övetez e, h ét eseméy özül mdettő eövetez. Jelölése: AB vgy AI B. ese- Egy A eseméy egészítő (omplemes eseméyé zt z A méyt értjü, melyre gz, hogy A U A H AI A A övetező összefüggése gz: I.. A B B A II.. ( A B C A ( B C. A A A... AB BA ( AB C A( BC AA A III.. V.. A ( B C AB AC A A H IV A A A A H H AH A. AA 79

80 4..7. A fet zoosságo ylvávló övetezméye z, hogy AB jeletése: z A és B eseméye egyszerre em övetezhete e, zz A és B egymást záró eseméye. Áltlá z elemee oly hlmzát, melye értelmezve v H és elem, továá defált z eleme özött z összedás, szorzás és elletett-épzés művelete, és művelete redeleze z I. V. tuljdoságol, Boole-féle lgerá evezzü. Tétel: Egy Boole-lgerá érvéyese övetező zoosságo: A A H H Tétel: Egy Boole-lgerá érvéyese De Morg zoosságo: A B A B AB A B 8

81 4..7. A Boole-lgerá voást övetezőéppe defálju: B A B A Tétel (Aszorcós tétel: Bz. A ( AB A A ( AB ( AH ( AB A( H B AH A Követezméy : A( A B A A AB A B H A em szüségéppe elem eseméye egy véges vgy végtele soroztár feáll A H A j A, h j feltétele, or z eseméye lye redszerét teljes redszere evezzü. Teljes redszert lot például mde eseméy egészítő (omplemes eseméyével együtt, egy ocdoásos ísérletsoroztál páros és pártl doáso eseméyeől lotott redszer. 8

82 4..7. A vlószíűségszámítás lpfoglm Az A eseméy P(A vlószíűségére Kolmogorov-féle ómá: - mt ómár gz I. II. P( A P( H III. H z A és B eseméye egymást záró eseméye (AB, or P ( A B P( A P( B (A III. óm terjeszthető eseméyee oly végtele soroztár s, melyere A A j. Tétel: H egy A eseméy vlószíűsége P(A, or Bz. P( A P( A Mvel A és z elletettje teljes redszert lot, ezért III. óm mtt P ( H P( A A P( A P( A A II. óm mtt P(H, ezért átredezéssel zol megpju tétel állítását. Követezméy : P(. 8

83 4..7. Tétel: H z A és B eseméye tetszőleges eseméye, or vlószíűsége, hogy özülü leglá z egy eövetez: Bz. P( A B P( A P( B P( AB. Legye z A és B ét egymást záró eseméy. Eor Követezméy mtt A B A AB Hszálju továá övetező zoosságot: B HB ( A A B AB AB. Allmzzu III. ómát ét zoosságr: P ( A B P( A P( AB P ( B P( AB P( AB. A ét egyeletet egymásól vov átredezéssel pju tétel állítását. Klsszus vlószíűség Tegyü fel, hogy egy ísérletsoroztál véges so A, A,,A eseméy teljes eseméyredszert lot. Eor III. ómát llmzv pju, hogy: P( A P A P( H. Tegyü fel, hogy z A, A,,A eseméye egyformá vlószíűe, zz P ( A... P ( A p, Eor redszer teljessége mtt Így P( A p. P ( A p. 8

84 4..7. H egy B eseméy or övetez e, h vgy z A, vgy z A,, vgy z A elem eseméy vlmelye eövetez, or B A és mvel z A eseméye egymást záró eseméye, ezért P( B P( A. Mvel z elem eseméye szám, ezért P ( B, zz B eseméy eövetezésée vlószíűségét úgy pju, hogy edvező elem eseméye számát elosztju z összes elem eseméye számávl., Klsszus vlószíűség mezőe evezzü z elem eseméye egy oly teljes redszerét, hol z elem eseméye B H részhlmz értelmezve v egy P(B / függvéy, hol B hlmz, pedg H hlmz elemee szám. A lsszus vlószíűségszámítás lsszus vlószíűség mezőel foglloz. A lsszus vlószíűségszámítás eszözevel övetező feldto egyszerűe megoldhtó: Meor vlószíűsége, hogy egy szályos doóocávl -est dou, pártl számot dou, em dou 5-öst? 84

85 4..7. Péld: M vlószíűsége, hogy véletleszerűe húzv egy lpot lpos mgyr ártyáól zöldet húzu? felsőt húzu? 8 P( B 4 P( B húzott lp m rály lesz? P( B. Tömegese gyártott terméeél gyártás átlgos mőségére z előállított termée gy szám mtt töyre em öveteztethetü úgy, hogy mde egyes terméet megvzsgálu. Ezee z esetee selejtes termée számá meghtározását mtvétel segítségével végezzü el. H válsztott terméet vzsgált utá vsszrju vzsgált elvégzése utá, or vssztevéses mtvételről, h terméet vzsgált utá em tesszü vssz, or vssztevés élül mtvételről eszélü. Vssztevéses mtvételél selejtes és hátl termée ráy em változ, vssztevés élül esete zo z ráyo megváltoz. 85

86 Vssztevés élül mtvétel Tegyü fel, hogy egy N dról álló terméhlmz M dr selejtes v. H terméeől drot vssztevés élül válsztu, or m vlószíűsége, hogy zo özött éppe dr selejtes lesz? Mvel ármely terméet egyelő vlószíűséggel válszthtju, ezért llmzhtó vlószíűség válsztásá lsszus módj. Az összes lehetséges elem eseméye szám: A edvező elem eseméye számát or pju meg, h z M számú selejtes dról éppe számút válsztu, és eze mellé z N M számú hátl dról számút válsztu. N Az előt -féle módo, z utót -féle módo lehetséges válszt. A ét feltétel egyszerre így számú esete övetezhet e. Ez edvező eseméye szám. A vlószíűsége tehát, hogy vssztevés élül válsztott elemű mtá éppe selejtes dr v: M M N M N M N M N M A P P (

87 4..7. Péld: 4 mudról, melye özött 8 selejtes v, tlálomr veszü égyet. M vlószíűsége, hogy ét jót és ét selejtest veszü? Hszálju vssztevés élül mtvétel épletét rr z esetre, h N 4, M 8, 4,. Eor M N M ( P A, N Vssztevéses mtvétel Végezzü el z előző mtvételüet úgy, hogy mde húzás utá vett mtát rju vssz. Eor z összes elem eseméy szám N lesz. H edvező eseteet rju számít, or z M selejtesől drot M -féleéppe válszthtu. A mrdé (N M em selejtesől z drot pedg ( N M -féleéppe lehet válszt. Így h húzás sorredjére em leé tetettel z összes lehetséges eset szám M N M ( lee. A dr selejtes és z ( em selejtes terméet z elem oly smétléses permutácó szám dj, melye dr egyform elem v, zz 87

88 Így edvező esete szám: és ezért eresett vlószíűség: Vezessü e övetező jelöléseet: hol p jelet egy dr selejtes termé válsztásá vlószíűségét, és q p szolgálttj em selejtes termée húzásá vlószíűségét. Eor eresett vlószíűséget övetező formá írhtju fel: ( M N M ( N M N N M N M N M A P ( N M p N M N p q q p A P ( Péld: Egy mgyr ártyáól 5-ször egymás utá húzzu egy lpot úgy, hogy mde húzás utá húzott lpot vsszrju. M vlószíűsége, hogy z öt húzott lp özül m lesz? Most z smétléses mtvétel vlószíűségée épletét ell hszálu, hol 5,, M 8, N, és p /4, q ¾ lesz. Így. ( ( ( p p N M N M A P, ( 4 5 ( A P

89 4..7. Geometr vlószíűség H egy ísérlet lehetséges eseméye egy geometr lzt részhlmz feleltethető meg úgy, hogy z egyes eseméye eövetezésée vlószíűsége z eseméyhez redelt részhlmz geometr mértéével (hossz, terület, térfogt ráyos, or geometr vlószíűségről eszélü. Tegyü fel, hogy egy céltálá lövü, és mde lövésü cél tlál. Eor vlószíűsége, hogy lövésü céltál egy t területű részée cspód e, ráyos lesz vzsgált rész területével. H z ráyosság téyezőt c-vel jelöljü, or: p c t H T-vel jelöljü céltál területét, or vlószíűsége, hogy céltálá tlálu ztos eseméy vlószíűsége lesz, zz P(H. Allmzv területtel ráyos formulát zt pju, hogy P(H c t, mől dód, hogy c, T vgys vlószíűsége, hogy lövésü céltál egy t területű részée cspód e: t P t, T hol T jelöl z egész céltál területét. 89

90 4..7. Péld: Legye céltálá egy r 5 cm sugrú ör. Osszu céltálát r 5, r r 5, r 4 sugrú öröel ocetrus örgyűrűre. M vlószíűsége, hogy céltál 5 < r < örgyűrűjée tlálu ele? Jelöljü eresett eseméyt A-vl. Eor r4 π r π r4 r 5 75 P A,8 r π r 5 65 Hsoló megfotolás lpjá vlószíűsége, hogy tlált legelső öre lesz: r π 5 5 P,4 r π 5 65 B Számolju mrdé ét örce vló ecspódás vlószíűségét s! (H jól számolu, or zt ell pu, hogy égy eseméy teljes redszert lot. Eseméye függetlesége Azt modju, hogy z A és B eseméye függetlee egymástól, h P(AB P(A P(B. Az A, A,, A eseméyredszer teljese függetle, h ármely A, A j,,j,,,, j párr P(A A j P(A P(A j H ét ísérlet egydejű vgy egymás utá elvégzése sorá feáll z, hogy ét ísérletet egye tetve, özös ísérlete z egy ísérlet ármely eredméyeét dódó eseméy függetle más ísérlet ármely eredméyeét dódó eseméytől, or ét séletet függetlee evezzü. 9

91 4..7. A vlószíűség változó foglm Az elem eseméye hlmzá értelmezett függvéy függő változóját vlószíűség változó evezzü. A vlószíűség változót görög etűvel jelöljü:ξ,η, st. Legyee z elem eseméye E, E,, E. H z,,, jelet ξvlószíűség változó értéet, és f(e, or ξ zt muttj, hogy ísérlet sorá z E eseméy övetezett e. Az E eseméy vlószíűségét P(ξ jelöl. Péld: ocdoásál ξ vlószíűség változó értée:,,, 4, 5, 6. Eor f(e, és P(ξ( 6 Péld: Két ocávl dou. A ξ vlószíűség változó jeletse doott számo összegét. Összese 6 elem eseméyü v, ezeet z (,j számpárol jellemezhetjü, hol jelet z első ocávl, j pedg másod ocávl doott szám értéét. Elletéte z egy ocdoásál megfgyelteel, tt z elem eseméye és hozzáju redeltξjszámo em htározzá meg ölcsööse egymást. (Például ξ4értéet redeljü z (,, (,, (, eseméyehez. Grfoo árázolv P(ξ j vlószíűségeet övetező lpo láthtó árát pju. Vegyü észre, hogy legvlószíű érté 7-es, ezt 6 elem eseméyhez redeljü hozzá. 9

92 P(ξ j j Péld: Adju le lövéseet egy R sugrú céltálár. H zt feltételezzü, hogy mde lövésü cél tlál, or elem eseméye tethetjü, h lövés céltál (, oordátájú potjá tlál. (A oordátredszer orgójá céltál özéppotját tetjü. Legye ξ R, zz tlált helyée z orgótól vló távolság. Azt már smerjü, hogy céltál esetée lsszus vlószíűségszámítás geometr vlószíűségre votozó szályt llmzhtju. Ezért például Pξ R, mvel z egyelőség zt jeleteé, hogy tlált örvolr es, és ee területe. 9

93 4..7. A v tehát értelme, hogy zt vzsgálju, hogy lövés egy sugrú örö elül es. Mvel z tetszőleges vlós szám lehet, ezért z eseméy vlószíűségére három esetet ülööztethetü meg: P( ξ < R h h < R h R < Ezért vlószíűség változó egy folytoos függvéy lesz: P(ξ < R 9

94 4..7. Péld: Doju fel szályos ocát, és ξ jeletse doott számot. Htározzu meg P(ξ < vlószíűségeet! A lehetséges értée:ξ, (,,,6. H eseté P(ξ <. H (,, or P(ξ < P(ξ /6. H (,,, or P(ξ < P(ξ P(ξ /. H (,,, 6, or P(ξ( < P( ξ H (,,,, hol > 6 or 6 6 P(ξ( < P( ξ 5. H P(ξ < függvéyt árázolju, or övetező függvéyt pju: P(ξ <

95 4..7. Az eloszlásfüggvéy A orá példá függvéyeet htároztu meg, melye jellemz vlószíűség változót. Legye ξ egy vlószíűség változó. Az F( P(ξ <, R függvéyt ξ eloszlásfüggvéyée evezzü. Egy eloszlásfüggvéyre teljesüle övetező tuljdoságo: F( mooto övevő függvéy, zz h, or F( F(. lm F( és lmf(. F( mde potjá lról folytoos, zz lm F ( F (. lm Tétel: H F( ξ vlószíűség változó eloszlásfüggvéye, or vlószíűsége, hogy ξz [, tervllum es Bz. P( ξ < F( F(. Az eloszlásfüggvéy defícójáól övetező felírhtó: F( P( ξ < ( F( P( ξ < ( P( ξ < P( < ξ < P( ξ < ( (-t átredezve, és eírv defícóól dódó értéeet pju: P( ξ < P( ξ < P( ξ < F( F(, m tétel állítását szolgálttj. 95

96 4..7. A ξ vlószíűség változót dszréte evezzü, h ξ lehetséges értéee hlmz véges (vgy megszámlálhtó végtele. A ξ vlószíűség változót folytoos evezzü, h eloszlásfüggvéye folytoos. Dszrét vlószíűség változó eloszlásfüggvéye: F ( P( ξ < P( ξ < Tétel: H ξ dszrét vlószíűség változó, és lehetséges értée z,,, vlós számo, or P( ξ. A sűrűségfüggvéy H ξ vlószíűség változó F eloszlásfüggvéye folytoos és dfferecálhtó, or z F dffercálháydos függvéyét ξ sűrűségfüggvéyée evezzü. Jelölése: f( F (, R. A sűrűségfüggvéy tuljdoság: f ( F( f ( t dt f ( d P( ξ f ( d F( F( 96

97 4..7. A vlószíűség változó tová jellemző Aξ vlószíűség változó módusz z z érté, melye P( vlószíűsége leggyo. (H tö lye v, or móduszo hlmzáról eszélü. A ξ vlószíűség változó medáj z z M(ξ szám, melyre teljesül, hogy P( ξ M ( ξ ( P( ξ M ( ξ ( H tö lye szám v, or legye z legse szám, melyre ( teljesül és z leggyo szám, melyre ( teljesül. Eor M ( ξ H ξ vlószíűség változó dszrét eloszlású, or várhtó értée: E ( ξ P( ξ A várhtó érté tehát súlyozott számt özép. Péld: H ξ egy ocdoás eredméyee vlószíűség változój, or lehetséges értée:,,, 6. Ezért E( ξ P( ξ Látju, hogy várhtó érté eltérhet módusztól (tehát em leggyr előforduló érté és medától s. Ee z esete várhtó érté oly szám, mely dszrét vlószíűség változó értée özött em s szerepel. 7 97

98 4..7. H ξ vlószíűség változó folytoos eloszlású, or várhtó értée: E (ξ f ( d A 7. oldlo tárgylt feldt z eloszlás-függvéy: h P( ξ < h < R R h R < Am lpjá sűrűségfüggvéy h R f ( R h R < Ezért várhtó érté: R R E( ξ d R. R R A várhtó érté egy ξ vlószíűség változó átlgértéét dj. (Ugyúgy, mt pl. fzá egy redszer súlypotj. A várhtó érté smerete zo áltlá em elegedő rr, hogy egy vlószíűség változó lehetséges értéee eloszlásár öveteztet tudju. Péld: Válsszu egy évfolymot véletleszerűe, és válsszu egy ttárgyt s véletleszerűe. A hllgtó dott ttárgyól pott érdemjegyée várhtó értée or s özepes lesz, h z évfolym fele elégtele, más fele pedg jeles osztályztot pott, és or s, h mde özepesre vzsgázott. Az eloszláso lye jellegű vzsgáltár llms szórás. 98

99 A szórás H ξ vlószíűség változó dszrét eloszlású, or szóráségyzete: ( [ ] P E E E D ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ Alítsu át jo oldlt: P P P ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ P E P E P ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ E E E E E P E D ( ( ( ( ξ ξ ξ H ξ vlószíűség változó folytoos eloszlású, or szóráségyzete: Ezt fejezést szoásos ξ vlószíűség változó másod cetráls mometumá s evez. ( d f E D ( ( ( ξ ξ

100 4..7. Nevezetes dszrét eloszláso I. A ξ vlószíűség változót egyeletes eloszlású evezzü, h ξ meetele egyelőe vlószíűe, lehetséges értée:,,,,, és P ( ξ, hol,,,,. Az egyeletes eloszlás várhtó értée: E( ξ.... A szórás értéét D éplet lpjá számítju. ( ξ E ( ξ E ( ξ Péld: Doju fel egy szályos doóocát. A meet legye doott szám. Htározzu meg ísérlet várhtó értéét és szórását! A várhtó érté:... 6 E( ξ, Még egyszer leszögezzü: A várhtó érté jeletése em z, hogy ísérlet meete,5 lesz, hem z, hogy elegedőe so ísérletet elvégezve pott eredméye átlg várhtó eredméy öryéé lesz. A szórás értée: D ( ξ E ( ξ E ( ξ 6 Ezért szórás: D,9,7.,5,9.

101 4..7. Az egyeletes eloszlás emelt fotosságú véletle számoál. A számítógépes progrmo véletle-szám geerátorvl szeme gyorltlg egyetle övetelméy merül fel: z áltlu előállított számo eloszlásá egyeletessége. Kmutthtó, hogy ee ztosítás gyo ehéz. A véletle számo széles öre llmzhtó: Szmulácó (véletle dőözöe érezés szmulálás. Mtvétel (egy termésorozt mőségée megállpításor Számítógépes progrmozás (lgortmuso htéoyságát véletle dto geerálásávl elleőrzhetjü. Szórozás (ocázás, ártyázás, rulett Nevezetes dszrét eloszláso II. A ξ vlószíűség változót omáls eloszlású evezzü, h ξ lehetséges értée:,,,,, és P( ξ p q hol < p <,,,,, és q p. A omáls eloszlás ét prmétere v: és p., Feldt: Bzoyítsu e, hogy p q (Lásd 79. oldlo tlálhtó tételt!.

102 4..7. Tétel: A ξ omáls eloszlású p és prméterű vlószíűség változó várhtó értée Bz. M(ξ p E( ξ P( ξ p ( p p ( p p p ( p Az összegzése egy p és prméterű omáls eloszlás tgj szerepele, ezért z összegü. Így M(ξ p Tétel: A ξ omáls eloszlású p és prméterű vlószíűség változó szórás D ( ξ pq. Péld: Tegyü egy urá pros és 9 dr fehér golyót. Húzzu z uráól -szor egy-egy golyót úgy, hogy z egyes húzáso utá feljegyezzü golyó szíét, mjd vssztesszü. Jeletse ξ mtá levő pros golyó számát. Számítsu ξvlószíűség változó várhtó értéét és szórását! A lehetséges pros golyó szám:,,,,. Vlószíűsége lsszus modell segítségével htározhtju meg. Tegyü fel, hogy golyó meg v számozv, és z első három pros. Így húzáso leírásár egy oly modellt tudu hszál, melye meetele z,,, számoól álló hosszúságú sorozto.