VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges.

Átírás

1 VEKTORGEOMETRIA Mt evezü vetora? Olya meységet, amelye ráya és agysága va. Mt evezü egységvetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút értée). Mt evezü ull vetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút értée) és az ráya tetszőleges. Mt evezü egy vetor elletettjée? Olya vetort, amelye agysága (abszolút értée) ugyaaz, mt a vetor agysága (abszolút értée) és az ráya vele elletétes. Mlye tulajdoságoal redeleze az, j, bázsvetoro? Pároét egymásra merőleges, az adott sorredbe jobbsodrású redszert alotó egységvetoro. Hogya értelmezzü egy vetor szám szorosát (salár szorosát)? Ha λ >, aor λa = λ a és λa egyráyú a-val. a = Ha λ <, aor λa = (-λ) (-a), ahol (-a) az a elletettje. Hogya értelmezzü ét vetor összegét? Hogya értelmezzü ét vetor ülöbségét? a b = a + ( b). Hogya értelmezzü ét vetor salárs szorzatát (salárszorzatát)? ab = a b cosϕ, ahol ϕ az a és b vetor hajlásszögét jelöl. Igaz-e, hogy a salárs szorzás ommutatív? Igaz. Igaz-e, hogy a salárs szorzás asszocatív? Nem. Igaz-e, hogy a salárs szorzás dsztrbutív? Igaz.

2 Mlye apcsolat va ét vetor hajlásszöge és salárs szorzatu előjele özött? Két vetor salárs szorzata aor és csa aor poztív, ha a ét vetor hegyesszöget zár be egymással. Két vetor salárs szorzata aor és csa aor, ha a ét vetor derészöget zár be egymással. Két vetor salárs szorzata aor és csa aor egatív, ha a ét vetor tompaszöget zár be egymással. Hogya értelmezzü ét vetor vetoráls szorzatát? Olya vetor, amelye a) Nagysága: a x b = a b sϕ, ahol ϕ a ét vetor hajlásszöge. b) Iráya: az a-ra és b-re s merőleges c) Az a, b és a x b vetoro (ebbe a sorredbe) jobbsodrású redszert alota. Igaz-e, hogy a vetoráls szorzás ommutatív? Nem. Igaz-e, hogy a vetoráls szorzás asszocatív? Nem. Igaz-e, hogy a vetoráls szorzás dsztrbutív? Igaz. Mlye apcsolat va a x b és b x a özött? Elletette egymása! M a geometra jeletése a x b -e (ahol a x b az a és a b vetoro vetoráls szorzatáa agysága (abszolút értée)? Megadja az a és a b vetoro által feszített paralelogramma terültét. Hogya értelmezzü három vetor vegyes szorzatát? abc = (a x b)c. Az a, b és c vetoroa hatféle sorredje va. Írjo le eze özül három olyat, amelye értée egyelő! abc = bca = cab (vagy acb = cba = bac ). Igaz-e hogy ha az a, b és c vetoro vegyes szorzata egatív szám, aor eze a vetoro (ebbe a sorredbe) jobbsodrású redszert alota? Nem. Igaz-e hogy ha az a, b és c vetoro vegyes szorzata poztív szám, aor eze a vetoro (ebbe a sorredbe) jobbsodrású redszert alota? Ige. Igaz-e hogy ha az a, b és c vetoro(ebbe a sorredbe) jobbsodrású redszert alota aor a vegyes szorzatu em egatív szám? Igaz.

3 Igaz-e hogy ha az a, b és c vetoro aor és csa aor egysíúa, ha vegyes szorzatu -tól ülöböz? Nem. M a geometra jeletése abc -e (ahol abc az a, b és c vetoro vegyes szorzata)? Megadja az a, b és c vetoro által feszített paraleleppedo előjeles térfogatát. Írja fel egy vetor bázsvetoros alaját! a = a + a j+ a. Mt evezü egy vetor oordátáa? Az a = a + a j+ a felbotásba az a, a, a számoat. Hogya apju meg egy vetor oordátából egy szám szorosáa (salár szorosáa) oordátát? Mdegy oordátát megszorozzu a számmal (salárral). Hogya apju meg ét vetor összegée (ülöbségée) oordátát a ét vetor oordátából? A megfelelő oordátáat összeadju (voju egymásból). Hogya apju meg egy vetor agyságát (abszolút értéét) a vetor oordátából? A oordátá égyzetösszegéből égyzetgyööt vou. Hogya apju meg ét vetor salárs szorzatát a ét vetor oordátából? A megfelelő oordátáat összeszorozzu, és ezeet összeadju. Hogya apju meg ét vetor vetoráls szorzatát a ét vetor oordátából? j a b = (ahol, a = [a ; a ; a ] és b = [b ; b ; b ]). a b a b Hogya apju meg három vetor vegyes szorzatát a három vetor oordátából? a a a abc = (ahol a = [a ; a ; a ], b = [b ; b ; b ] és c = [c ; c ; c ]). b c Mt evezü egy egyees egy ráyvetoráa? Olya vetortól ülöböző vetort, am párhuzamos az egyeessel. Mt evezü a sí egy ormálvetoráa? Olya vetortól ülöböző vetor, amely merőleges a síra. b c c a b b

4 Írja fel a sí egy egyeletét? A( x x ) + B( y y ) + C( z z ) =, ahol (A; B; C) a sí egy ormálvetora és P o (x o ; y o ; z o ) a sí egy potja. Írja fel a térbe az egyees paraméteres egyeletredszerét? x = x + v t y = y + v t z = z + vt ahol, v (a; b; c) az egyees egy ráyvetora és P o (x o ; y o ; z o ) az egyees egy potja. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK Mt eveztü vetor-salár függvéye? ) : T R, T R függvéyt. (R a valós számo, R a háromdmezós vetoro halmaza). (Olya függvéyt, amely valós számo egy részhalmazáa elemehez háromdmezós vetoroat redel hozzá.) Mor modju, hogy az (a ) ( =,, ) vetorsorozat határértée az a vetor? Ha az a vetor bármely K öryezetéhez található olya N természetes szám, hogy > N eseté a K. (Ha bármely ε > valós számhoz található olya N természetes szám, hogy > N eseté a a < ε.) Mor modju, hogy az ) vetor-salár függvéy határértée a t -ba az r vetor? Ha ) esetleg a t -t véve, értelmezve va a t egy öryezetébe és az r vetor bármely K r öryezetéhez található a t -a olya K t öryezete, hogy t K t eseté r( t) K r. (Ha ) esetleg a t -t véve, értelmezve va a t egy öryezetébe és bármely ε > valós számhoz található olya δ > valós szám, hogy t t < δ eseté r ( t) r < ε.). < (Ha ) esetleg a t -t véve, értelmezve va a t egy öryezetébe és bármely a t -hoz tartó t számsorozat eseté az r ( t ) vetorsorozat határértée r.) Mlye apcsolat va az ) vetor-salár függvéy és oordátafüggvéyee a t -ba vett határértée özött? )-e aor és csa aor va határértée a t -ba, ha mdhárom oordáta függvéyée va határértée a t -ba és )-e a határértée a t -ba az a vetor, amelye a oordátá a oordáta függvéyee határértée. Mor modju, hogy az ) vetor-salár függvéy a t -ba folytoos? Ha ) értelmezve t -ba és lmr (t) = ). t t

5 Mlye apcsolat va az ) vetor-salár függvéy és oordátafüggvéyee a t -ba való folytoossága özött? ) aor és csa aor folytoos a t -ba, ha mdhárom oordáta függvéye folytoos a t -ba. Mor modju, hogy az ) vetor-salár függvéy a t -ba dfferecálható? ) ) Ha ) értelmezve a t egy öryezetébe és a lm határérté létez és véges. t t t t Mlye apcsolat va az ) vetor-salár függvéy és oordátafüggvéyee a t -ba való dfferecálhatósága özött? )-aor és csa aor dfferecálható a t -ba, ha mdhárom oordátafüggvéye dfferecálható a t -ba. Hogya írható fel a t -ba dfferecálható ) vetor-salár függvéy t -ba vett derváltjáa oordátafüggvéye az ) oordátafüggvéyevel? Az ) t -ba vett derváltjáa oordátafüggvéye az ) oordátafüggvéyee a t -ba vett derváltja. Mlye apcsolat va az ) vetor-salár függvéy t -ba való dfferecálhatósága és folytoossága özött? Ha ) a t -ba dfferecálható, aor a t -ba folytoos. Ha ) a t -ba folytoos aor em bztos, hogy a t -ba dfferecálható. Hogya értelmezzü az ) vetor-salár függvéy másod(harmad) derváltját? ) másod derváltja az ) derváltja. (& r = (r& ) ) ) harmad derváltja az ) másod derváltjáa a derváltja. (& r && = (r & ) ) Hogya értelmezzü egy térgörbe adott P potjába vett értő egyeesét? A térgörbe ét potjá átmeő egyeese határ egyeeseét, ha a ét pot tart a P-hez. Mt evezzü egy térgörbe egy értő vetoráa a térgörbe egy adott P potjába? Csa aor értelmezzü, ha a térgörbée az adott P potjába va értő egyeese és eor olya vetor, amely az értő egyeese egy ráyvetora. Mt evezzü egy térgörbe adott P potjába vett ormálsíjáa? Csa aor értelmezzü, ha a P potba va értő egyees, és eor az a sí, amely átmegy a P poto és merőleges az értő egyeesre. Hogya értelmezzü egy térgörbe adott P potjába vett smulósíját? A térgörbe három potjá átmeő sío határsíjaét, ha a három pot a P-hez tart.

6 Mt evezü egy térgörbe adott P potjába vett bormáls egyeesée? Csa aor értelmezzü, ha a térgörbée az adott P potjába va smulósíja, és eor az az egyees, amely átmegy a P poto és merőleges a smulósíra.. Mt evezü egy térgörbe egy bormáls vetoráa a térgörbe egy adott P potjába Csa aor értelmezzü, ha a térgörbée az adott P potjába va smulósíja, és eor olya vetor, amely a smulósía egy ormálvetora. (Olya vetort, am a bormáls egyeesée egy ráyvetora.) Hogya értelmezzü egy térgörbe adott P potjába vett retfáló síját? Csa aor értelmezzü, ha a P potba va ormálsí és smulósí s, és eor az a sí, amely átmegy a P poto és a ormálsíra és a smulósíra s merőleges. Mt evezü egy térgörbe adott P potjába vett főormáls egyeesée? Csa aor értelmezzü, ha a térgörbée az adott P potjába va retfáló síja, és eor az az egyees, amely átmegy a P poto és merőleges a retfáló síra. Mt evezü egy térgörbe egy főormáls vetoráa a térgörbe egy adott P potjába Csa aor értelmezzü, ha a térgörbée az adott P potjába va retfálható síja, és eor olya vetor, amely a retfáló sía egy ormálvetora. (Olya vetort, am a főormáls egyeesée egy ráyvetora.) Adjo egy elégséges feltételt arra, hogy az ) vetor-salár függvéyel adott térgörbée legye értő egyeese a t -paraméterű potjába? Legye ) a t -ba dfferecálható és r& t ). ( Mely egyees lesz a t -ba dfferecálható ) ( r& t ) ) vetor-salár függvéyel adott térgörbe értő egyeese a t -paraméterű potjába? Az az egyees, amelye egy potja az r t ) helyvetor végpotja és egy ráyvetora: r& t ). ( ( Mely vetort evezzü a t -ba dfferecálható ) ( r& t ) ) vetor-salár függvéyel adott térgörbe t értő egységvetoráa a t -paraméterű potjába? r& (t ) A t = vetort. r& (t ) Adjo egy elégséges feltételt arra, hogy az ) vetor-salár függvéyel adott térgörbée legye ormál síja a t -paraméterű potjába? Legye a ) a t -ba dfferecálható és r& t ). ( ( (

7 Mely sí lesz a t -ba dfferecálható ) ( r& t ) ) vetor-salár függvéyel adott térgörbe ormál síja a t -paraméterű potjába? Az a sí, amelye egy potja az r t ) helyvetor végpotja és egy ormálvetora: r& t ). ( Adjo egy elégséges feltételt arra, hogy az ) vetor-salár függvéyel adott térgörbée legye smulósíja a t -paraméterű potjába? Legye a ) a t -ba étszer dfferecálható és r& t ) x& ). ( ( & ( & Mely sí lesz a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetor salár függvéyel adott térgörbe smulósíja a t -paraméterű potjába? Az a sí, amelye egy potja az r( t ) helyvetor végpotja és egy ormálvetora: r & t ) x& (t ). ( r Adjo egy elégséges feltételt arra, hogy az ) vetor-salár függvéyel adott térgörbée legye bormáls egyeese a t -paraméterű potjába? Legye ) a t -ba étszer dfferecálható és r& t ) x& ). ( & Mely egyees lesz a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetor salár ( & függvéyel adott térgörbe bormáls egyeese a t -paraméterű potjába? Az az egyees, amelye egy potja az r( t ) helyvetor végpotja és egy ráyvetora: r & t ) x& (t ). ( r ( & Mely vetort evezzü a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetorsalárfüggvéyel adott térgörbe b bormáls egységvetoráa a t -paraméterű potjába? r& (t ) x&& ) A b = vetort. r& (t ) x&& ) Adjo egy elégséges feltételt arra, hogy az ) vetor-salár függvéyel adott térgörbée legye retfáló síja a t -paraméterű potjába? Legye a ) a t -ba étszer dfferecálható és r& t ) x& ). ( & ( & Mely sí lesz a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetor salár függvéyel adott térgörbe refálható síja a t -paraméterű potjába? Az a sí, amelye egy potja az r( t ) helyvetor végpotja és egy ormálvetora: r &(t ) x&& )) x& (t ). ( r Adjo egy elégséges feltételt arra, hogy az ) vetor-salár függvéyel adott térgörbée legye főormáls egyeese a t -paraméterű potjába? Legye ) a t -ba étszer dfferecálható és r& t ) x& ). ( & (

8 Mely egyees lesz a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetor salár ( & függvéyel adott térgörbe főormáls egyeese a t -paraméterű potjába? Az az egyees, amelye egy potja az r( t ) helyvetor végpotja és egy ráyvetora r &(t ) x&& )) x& (t ). ( r Hogya írható fel a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetor-salár ( & függvéyel adott térgörbe főormáls egységvetora a t -paraméterű potjába? ( r& (t ) x&& = b x t. )) x r& (t ) =. ( r& (t ) x&& )) x r& (t ) Mt evezü a t -ba étszer dfferecálható ) ( r& t )x& ) ) vetor salár ( & függvéyel adott térgörbe ísérő tréderée a t -paraméterű potjába? A t,, b redezett vetorhármast. Mt mér egy térgörbe görbülete? Az egyeestől való eltérését. Mt mér egy térgörbe torzója? A sítól való eltérését. Hogya értelmezzü egy térgörbe adott P potjába vett smulóörét? A térgörbe három potjá átmeő ör határöre, ha a három pot tart a P pothoz. Hogya értelmezzü egy térgörbe adott P potjába vett smulógömbjét? A térgörbe égy potjá átmeő gömb határgömbje, ha a égy pot tart a P pothoz. Mor evezü egy ) (a t b) görbeív egy ívhossz özelítő összegée? = = aor az ívhossz özelítő összeg: r ( t ) r( t ). Ha a t < t <... < t < t b, Hogya értelmezzü egy ) (a t b) görbeív ívhosszát? Ívhossz özelítő összegee mde határo túl fomodó felosztássorozat eseté vett határértéével. Mor evezü egy ) (a t b) görbeívet retfálhatóa? Ha az ívhossz özelítő összegee mde határo túl fomodó felosztássorozat eseté véges határértée va. Mor evezzü az ) vetor-salár függvéyel adott görbét smáa? Ha ) folytoosa dfferecálható (dfferecálható és a dfferecálháyadosa folytoos) és r& ( t ). Mor modju, hogy egy vetor-salár függvéyel adott térgörbe természetes paraméterezésű? Ha egy rögzített potjától vett ívhosszát választju paramétere. =

9 KÉTVÁLTOZÓS VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK Mt eveztü étváltozós (étparaméteres) vetor-salár függvéye? r( u; v) : T R, T R függvéyt. (R a valós számpáro, R a háromdmezós vetoro halmaza). (Olya függvéyt, amely sí egy részhalmazáa elemehez háromdmezós vetoroat redel hozzá.) Mor modju, hogy az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy határértée az (u ; v ) potba az r vetor? Ha r(u;v) esetleg az ( u; v) -t véve, értelmezve va az ( u; v) egy öryezetébe és az r vetor bármely K r öryezetéhez található az ( u ; v ) -a olya K ( u ;v ) öryezete, hogy ( u; v) K eseté r u; v). ( u ;v ) ( K r (Ha r(u;v) esetleg az ( u; v) -t véve, értelmezve va az ( u ; v) egy öryezetébe és bármely ε > valós számhoz található olya δ > valós szám, hogy < (u u ) + (v v < δ eseté r ( u; v) r < ε.) ) ( u ; v (Ha esetleg az ) -t véve, értelmezve va az ( u ; v) egy öryezetébe és bármely az u -hoz tartó u és a v -hoz tartó v m számsorozato eseté az r ( u ; vm ) vetorsorozat határértée az r vetor.) Mlye apcsolat va az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéye és a oordáta függvéyee az (u ; v )-ba vett határértée özött? r(u;v)-e aor és csa aor va határértée az ( u; v) -ba, ha mdhárom oordáta függvéyée va határértée az ( u; v) -ba, és r(u;v)-e a határértée az ( u; v) -ba az a vetor, amelye a oordátá a oordáta függvéyee határértée. Mor modju, hogy az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy az (u ; v )-ba folytoos? Ha r(u;v) értelmezve va az ( u; v) -ba és lm r (u;v) = r(u; v). u u v v Mlye apcsolat va az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéye és a oordáta függvéyee az (u ; v )-ba való folytoossága özött? r(u;v) aor és csa aor folytoos az ( u; v) -ba, ha mdhárom oordáta függvéye folytoos ( u; v) -ba. Mor modju, hogy az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy az (u ; v )-ba u szert parcálsa dfferecálható? Ha r( u; v ) dfferecálható u -ba. r(u; v) r(u ; v) (A lm határérté létez és véges.) u u u u

10 Mor modju, hogy az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy az (u ; v )-ba v szert parcálsa dfferecálható? Ha r( u ; v) dfferecálható v -ba. r(u ; v) r(u ; v) (A lm határérté létez és véges.) v v v v Mor modju, hogy az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy a (u ; v )-ba dfferecálható? Ha értelmezve va az ( u ; v) egy öryezetébe és található olya A és B vetoro, hogy a megváltozása r felírható a övetező alaba: r = A u + B v + ε u + ε v, ahol lm ε ( u; v) = és lm ε ( u; v) =. u v u v Mlye apcsolat va az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy (u ; v )-ba való u, ll. v szert parcáls dfferecálhatósága és a oordáta függvéyee az (u ; v )-ba való u, ll. v szert parcáls dfferecálhatósága özött? r(u;v) aor és csa aor dfferecálható parcálsa u, ll. v szert az ( u ; v) -ba, ha oordáta függvéye u, ll. v szert parcálsa dfferecálható az ( u ; v) -ba. Mlye apcsolat va az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéy (u ; v )-ba való dfferecálhatósága az (u ; v )-ba való u és v szert parcáls dfferecálhatósága özött? Ha r(u;v) dfferecálható az ( u ; v) -ba, aor u és v szert s parcálsa dfferecálható az ( u ; v) -ba. Ha r(u;v) parcálsa dfferecálható u és v szert s az ( u ; v) -ba, aor em bztos, hogy dfferecálható az ( u ; v) -ba. (Ha például r(u;v) u és v szert s parcálsa dfferecálható az ( u ; v) -ba és eze a parcáls derválta folytoosa az ( u ; v) -ba aor r(u;v) dfferecálható az ( u ; v) -ba.) Mor modju, hogy egy felület Gauss-féle alaba va megadva? Ha étváltozós vetor-salár függvéyel va megadva. Mor modju, hogy egy felület Euler-Moge-féle alaba va megadva? Ha z = f(x;y) étváltozós valós függvéyel va megadva. Mor modju, hogy egy felület egy salár-vetor függvéy sztfelületeét va megadva? Ha u(r) = c (ahol c valós álladó) alaba va megadva.) (Vagy am ugyaaz u(x;y;z) = c, (ahol c valós álladó) alaba va megadva.) Mt evezü az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéyel adott felület (u ; v )-hoz tartozó u-, ll. v- paramétervoalaa? Az r u; v ), ll. r u ; v) vetor salár függvéyeet. ( (

11 Mor modju, hogy az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéyel adott felület sma? Ha r (u; v) az u és v szert s parcálsa folytoosa dfferecálható (azaz u és v szert s parcálsa dfferecálható és eze a parcáls derválta folytoosa) és r r u x v. Hogya értelmezzü egy felület értősíját a felület egy P potjába? A felület három potjá átmeő sío határsíja, ha a három pot tart a P pothoz Hogya írható fel az r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéyel adott sma felület értősíjáa egy ormálvetora az (u ; v )-hoz tartozó potjába? r u ; v ) x r (u ;v ). u ( v Hogya értelmezzü egy felület ormálsát a felület egy P potjába? Csa aor értelmezzü, ha P-be va értősí és eor a ormáls a P- átmeő és erre a síra merőleges egyees. Mely egyees lesz a r(u; v) étváltozós vetor-salár függvéyel adott sma felület ormálsa (ormáls egyeese) az (u ; v )-hoz tartozó potjába? Az az egyees, amelye egy potja az r ( u ;v ) helyvetor végpotja és egy ráyvetora: r u ; v ) x r (u ;v ). u ( v Hogya értelmezzü egy felület felszíét? A felületbe beírt háromszöglapoból álló poléder sorozat felszíée ülöböző feltétele mellett vett határértéeét. SKALÁR-VEKTOR FÜGGVÉNYEK Mt eveztü salár-vetor függvéye? u( r) : T R, T R függvéyt. (R a valós számo, R a háromdmezós vetoro halmaza). (Olya függvéyt, amely háromdmezós vetoro egy részhalmazáa elemehez valós számoat redel hozzá.) Hogya értelmezzü egy salár-vetor függvéy sztfelületet? Az u(r) salár vetor függvéy sztfelülete az u(r) = C felülete, ahol C valós álladó. Mor modju, hogy az u(r) salár-vetor függvéy határértée az r ba A? Ha u(r) esetleg az r -t véve, értelmezve va az r egy öryezetébe és A bármely K A öryezetéhez található az r -a olya K r öryezete, hogy r K r eseté u( r ) K A. (Ha u(r) esetleg az r -t véve, értelmezve va az r egy öryezetébe és bármely ε > valós számhoz található olya δ > valós szám, hogy r r < δ eseté u( r ) A < ε.) < (Ha u(r) esetleg az r -t véve, értelmezve va az r egy öryezetébe és bármely az r-hoz tartó r vetorsorozat eseté az u( r ) számsorozat határértée A.)

12 Mor modju, hogy az u(r) salár-vetor függvéy az r ba folytoos? Ha u(r) értelmezve r -ba és lm u( r) = u( r ). r r Mor modju, hogy az u(r) salár-vetor függvéy az r ba dfferecálható? Ha értelmezve va az r egy öryezetébe és található olya g vetoro, hogy a függvéy u megváltozása felírható a övetező alaba: u = g r + ε( r), ahol lm ε( r) =. r Mt evezü az r ba dfferecálható u(r) salár-vetor függvéy gradesée az r ba? A függvéy megváltozásáa u = g r + ε( r) felírásába szereplő g vetort. Mlye apcsolat va az u(r) = u(x; y; z) salár-vetor függvéy parcáls derváltja és gradese özött? Ha létez u(r) gradese, aor létez az u háromváltozós függvéy x-, y. és z szert par- u u u cáls derváltja és grad u = ; ;. x y z Ha léteze az u háromváltozós függvéy x-, y-. és z szert parcáls derváltja, aor em bztos, hogy létez a gradese. (Ha pl. léteze az u háromváltozós függvéy x-, y-. és z szert parcáls derváltja és eze a parcáls derválta folytoosa, aor létez a gradese. Értelmezze a dfferecálható u(r) salár-vetor függvéy ráymet derváltját az e egységvetor ráyába? ( grad u)e. Értelmezze a dfferecálható u(r) salár-vetor függvéy (teljes) dfferecálját? du = (grad u)dr. Adjo elégséges feltételt arra, hogy az u(r) salár-vetor függvéye az r helyvetor végpotjá átmeő sztfelületée ebbe a potjába legye értősíja! Legye u(r) dfferecálható az r -ba és grad u( r )! Mely sí lesz az r -ba dfferecáltató (gradu(r ) ) u(r) salár-vetor függvéye az r helyvetor végpotjá átmeő sztfelületée ebbe a potjába az értősíja! Az a sí, amely átmegy az r helyvetor végpotjá és egy ormálvetora grad u( r ). Mt evezü (abla) operátoa? = ; ;.(Szotá abla vetora vagy Hamlto operátora s evez.) x y z Hogya írható fel egy dfferecálható u(r) salár-vetor függvéy gradese a (abla) operátort segítségével? grad u = u.

13 VEKTOR-VEKTOR FÜGGVÉNYEK Mt eveztü vetor-vetor függvéye? v( r) : T R, T R függvéyt. ( R a háromdmezós vetoro halmaza). (Olya függvéyt, amely háromdmezós vetoro egy részhalmazáa elemehez háromdmezós vetoroat redel hozzá.) Hogya értelmezzü egy vetor-vetor függvéy áramvoalat? A v(r) áramvoala azo az ráyított görbé, amelye értő a v(r) értelmezés tartomáyáa mde r eleme eseté egyráyúa v(r)-rel. Mor modju, hogy az v(r) vetor-vetor függvéy határértée az r ba A? Ha v(r) esetleg az r -t véve, értelmezve va az r egy öryezetébe és A bármely K A öryezetéhez található az r -a olya K r öryezete, hogy r K r eseté v( r) K A. (Ha v(r) esetleg az r -t véve, értelmezve va az r egy öryezetébe és bármely ε > valós számhoz található olya δ > valós szám, hogy r r < δ eseté v ( r) A < ε.) < (Ha v(r) esetleg az r -t véve, értelmezve va az r egy öryezetébe és bármely az r-hoz tartó r vetorsorozat eseté az v ( r ) számsorozat határértée A.) Mor modju, hogy az v(r) vetor-vetor függvéy az r ba folytoos? Ha v(r) értelmezve r -ba és lm v( r) = v( r ). r r Mor modju, hogy az v(r) vetor-vetor függvéy az r ba dfferecálható? Ha értelmezve va az r egy öryezetébe és található olya D tezor, hogy a függvéy v megváltozása felírható a övetező alaba: v = D r + ε( r), ahol lm ε( r) =. Mt evezü az v(r) vetor-vetor függvéy derválttezoráa? A v megváltozásáa v = D r + ε( r) felírásába szereplő D tezort. r Hogya írható fel a v(r) vetor-vetor függvéy derválttezoráa mátrxa, a v(r) oordáta függvéyevel? v v v Ha v = [ v;v ; v ], aor [ ] y v x v z v D = y v x v z. v x y z

14 Hogya értelmezzü a v(r) vetor-vetor függvéy dvergecáját a v(r) oordáta függvéyevel? v v v Ha v = [ v;v ; v ], dvv = ; ;. x y z Hogya írható fel egy dfferecálható v(r) vetor-vetor függvéy dvergecája a (abla) operátort segítségével? dv v = v. Mor modju, hogy a v(r) vetor-vetor függvéyel adott vetortér forrásmetes? Ha dv v =. Hogya értelmezzü a v(r) vetor-vetor függvéy rotácóját a v(r) oordáta függvéyevel, felhaszálva a (abla) operátort? Ha v = [ v ;v ; ] v, aor j rotv = x v = y v x v z. v Mor modju, hogy a v(r) vetor-vetor függvéyel adott vetortér örvéymetes? Ha rot v =. Mt evezü Laplace-operátora? A vetor (abszolút értéée) égyzetét. Azaz = = + + x y z. Mt evezü a v(r) vetor-vetor függvéy egy görbe adott felosztásához tartozó görbemet (salárértéű) voaltegrál özelítő összegée? Ha a görbeívet a P, P,..., osztópotoal osztju fel és c a P P ív egy potjához tartozó helyvetor, továbbá P r a P és P ( =,,..., ) aor az tegrálözelítő összeg: v( c ) r. = potohoz tartozó helyvetoro ülöbsége, Mor modju, hogy egy vetor-vetor függvéy egy görbe meté tegrálható? Ha tegrál özelítő összegee bármely mde határo túl fomodó felosztás sorozat eseté ugyaaz a véges határértée va. Mt evezü egy vetor-vetor függvéy görbemet voaltegráljáa? Az tegrál özelítő összegee özös határértéét. Modjo elégséges feltételt arra, hogy a v(r) vetor-vetor függvéy egy ) salárvetor függvéyel adott görbe meté tegrálható legye? Legye a görbe sma és v folytoos a görbé.

15 Mt evezü a v(r) vetor-vetor függvéy egy F felületdarab adott felosztásához tartozó (salárértéű) felület tegrál özelítő összegée? Ha F-et részre osztju fel, és az. rész egy potjához tartozó helyvetor c, továbbá F olya vetor, amely merőleges a c -hez tartozó értősíra és abszolút értée az. rész felszíe ( =,,..., ), aor az tegrálözelítő összeg: v( c ) F. Mor modju, hogy egy vetor-vetor függvéy egy felület meté tegrálható? Ha tegrál özelítő összegee bármely mde határo túl fomodó felosztás sorozat eseté ugyaaz a véges határértée va. Mt evezü egy vetor-vetor függvéy egy felületmet felület tegráljáa? Az tegrál özelítő összegee özös határértéét. Modjo elégséges feltételt arra, hogy a v(r) vetor-vetor függvéy egy r(u;v) étváltozós salár-vetor függvéyel adott felület meté tegrálható legye? Legye a felület sma és v folytoos a felülete. Mt evezü az f háromváltozós valós függvéy egy V térrész adott felosztásához tartozó tegrál özelítő összegée? Ha V-t részre osztju fel, és az. rész egy potja P, továbbá V az. rész térfogata ( =,,..., ), aor az tegrálözelítő összeg: f ( P ) V. Mor modju, hogy egy háromváltozós valós függvéy egy térrésze tegrálható? Ha tegrál özelítő összegee bármely mde határo túl fomodó felosztás sorozat eseté ugyaaz a véges határértée va. Mt evezü egy háromváltozós valós függvéy egy térrésze vett hármas(térfogat) tegráljáa? Az tegrál özelítő összegee özös határértéét. Mt evezü xy-ra ézve térbel ormáltartomáya : = (x; y; z) R a x b, f (x) y f (x), f (x; y) z f (x; y), ahol (x) f (x) { } Vxy 4 x a; b és f (x; y) f 4 (x; y) (x; y) a x b; f(x) y f [ ] { (x)} = = f, folytoos függvéye. Mt evezü yx-re ézve térbel ormáltartomáya : = (x; y; z) R c y d, g (y) x g (y), g (x; y) z g (x; y), ahol (y) g (y) { } Vyx 4 y c; d, g (x; y) g 4 (x; y) (x; y) g(y) x g (y); c y [ ] { d} g, folytoos függvéye. Mt evezü xz-re ézve térbel ormáltartomáya : = (x; y; z) R a x b, f (x) z f (x), f (x; z) y f (x; z), ahol (x) f (x) { } Vxz 4 x a; b és f (x; z) f 4 (x; z) (x; z) a x b; f(x) z f [ ] { (x)} f, folytoos függvéye.

16 Mt evezü zx-re ézve térbel ormáltartomáya : = (x; y; z) R e z f, g (z) x g (z), g (x; z) y g (x; z), ahol (z) g (z) { } Vzx 4 z e; f, g (x; z) g 4 (x; z) (x; z) g(z) x g (z); e z [ ] { f} g, folytoos függvéye. Mt evezü yz-re ézve térbel ormáltartomáya : = (x; y; z) R c y d, g (y) z g (y), g (y; z) x g (y; z), ahol (y) g (y) { } Vyz 4 y c; d, g (y; z) g 4 (y; z) (y; z) c y d; g(y) z g [ ] { (y)} g, folytoos függvéye. Mt evezü zy-ra ézve térbel ormáltartomáya : = (x; y; z) R e z f, g (z) y g (z), g (y; z) x g (y; z), ahol (z) g (z) { } Vzy 4 z e; f, g (y; z) g 4 (y; z) (y; z) g(z) y g (z); e z [ ] { f} g, folytoos függvéye. Modjo elégséges feltételt arra, hogy az f háromváltozós valós függvéy egy V térésze tegrálható legye? Legye V térbel ormáltartomáy és f folytoos eze a tartomáyo. Mor modju, hogy egy vetortér (egy v(r) vetor-vetor függvéy) egy tartomáyo ozervatív? Ha bármely a tartomáyba haladó zárt görbé vett voaltegrálja. Mor modju, hogy egy vetortér (egy v(r) vetor-vetor függvéy) potecálos? Ha található olya salár-vetor függvéy melye a gradese v(r). Mt evezü egy potecálos vetortér (egy v(r) vetor-vetor függvéy) potecálfüggvéyée? Olya u(r) salár-vetor függvéy melye a gradese v(r). Mlye apcsolat va egy vetortér (egy v(r) vetor-vetor függvéy) potecálfüggvéye özött? Egy addtív álladóba tére el egy mástól. (Bármely ettő ülöbsége ostas.) Mlye apcsolat va a övetező égy fogalom özött? a) A v(r) vetor-vetor függvéy által defált vetortér örvéymetes. b) a v(r) vetor-vetor függvéy által defált vetortér ozervatív, c) a v(r) voaltegrálja em függ az úttól, d) a v(r) vetor-vetor függvéy által defált vetortér potecálos. Általába evvalese egymással. (Ha pl. V térbel ormáltartomáy és v(r) a V- folytoosa dfferecálható, aor evvalese egymással.) Ismertesse a Gauss-Osztrogradszj tételt! Legye a v(r) vetor-vetor függvéy folytoosa dfferecálható az F orlátos, zárt felület által határolt V térrészbe és tegyü fel, hogy F-e va felszíe! Eor a dvv V- vett térfogat tegrálja egyelő a v F-e vett felület tegráljával.

17 Ismertesse a Stoes tételt! Legye a v(r) vetor-vetor függvéy folytoosa dfferecálható az ráyított, F orlátos és sma felülete, és a g sma görbe az F felület zárt határgörbéje! Eor v-e a zárt g- vett voaltegrálja egyelő a rotv F-e vett felület tegráljával. (A g az F ormálvetoráa ráyából ézve poztív ráyítású.) Irja fel a Gree formulát! Ha a P(x;y) és Q(x;y) étváltozós függvéye elsőredű parcáls derváltja léteze, és folytoosa a g sma zárt görbe által határolt T síbel tartomáyo, továbbá T-e va Q P területe, aor: (P dx + Q dy) = dx dy. x y g T VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Mt evezü eseméye? Egy ísérlettel apcsolatos állítást. Mt evezü elem eseméye? Egy ísérlet egymást záró meetelee megfelelő eseméyeet elem eseméye evezzü. Mt evezü ét eseméy összegée? Azt az eseméyt, amely aor és csa aor övetez be, ha legalább az egy eseméy beövetez. Mt evezü ét eseméy szorzatáa? Azt az eseméyt, amely aor és csa aor övetez be, ha mdét eseméy beövetez. Mt evezü ét eseméy ülöbségée? A B az az eseméy, amely aor és csa aor övetez be, ha A beövetez és B em. Mt evezü egy eseméy elletettjée? Azt az esméyt, amely aor és csa aor övetez be, ha az eseméy em övetez be. Mor modju, hogy ét eseméy zárja egymást? Ha egyszerre em övetezhete be (ha szorzatu a lehetetle eseméy). Mt evezü lehetetle eseméye? Azt az eseméyt, amely soha em övetez be. Mt evezü bztos eseméye? Azt az eseméyt, amely mdg beövetez. Mt evezü egy eseméy gyaorságáa? Ha egy sérletet -szer végrehajtu és egy ezzel apcsolatos eseméy -szor övetez be, aor a számot az eseméy gyaorságáa evezzü.

18 Mt evezü egy eseméy relatív gyaorságáa? Ha egy sérletet -szer végrehajtu és egy ezzel apcsolatos eseméy -szor övetez be, aor a / háyadost az eseméy relatív gyaorságáa evezzü. Írja fel a valószíűségszámítás Kolmogorov-féle axómát! Egy eseméytér mde A eseméyéhez hozzá va redelve egy P(A) valós szám, az A eseméy valószíűsége, amelyre P(A) teljesül. P( ) =, P (I) =. Ha AB =, aor P(A+B) = P(A) + P(B). Ha az A, A eseméyere eseté A A =, aor P(A +A + +A + ) = P(A ) + P(A ) + + P(A ) +. Mor beszélü lasszus valószíűség mezőről? Ha egy sérlete véges so meetele va és mde meetele egyformá valószíű. Mt evezü a valószíűség (lasszus) ombatorus számítás módjáa? Ha egy sérlete véges so meetele va és mde meetele egyformá valószíű, aor egy eseméy valószíűsége egy olya tört amelye számlálójába azo esete száma áll, amor az eseméy beövetez, evezőjébe pedg az összes esete száma áll. Mt evezü egy eseméye egy más eseméyre voatozó feltételes valószíűségée? P(AB) Az A esemáy B-re voatozó feltételes valószíűsége: P(A B) =, ha P(B). P(B) Mor modju, hogy ét eseméy függetle? Az A és B eseméyeet függetleee evezzü, ha: P (AB) = P(A)P(B). Mor evezü számú eseméyt (teljese) függetleee? Az A, A,..., A eseméye (teljese) függetlee, ha P(A A... A ) = P(A ) P(A )... P(A ),. Mt evezü teljes eseméyredszere? Olya, a lehetetle eseméytől ülöböző, egymást pároét záró eseméye redszerét, amelye összege a bztos eseméy. Mt mod a teljes valószíűség tétele? Ha A tetszőleges eseméy és B, B,..., B = P(B ) ( ), aor: P(A) P(A B ) P(B ). Mt mod a Bayes-tétel? Ha A tetszőleges eseméy és B =, B,..., B egy teljes eseméyredszer és egy teljes eseméyredszer és P(A B ) P(B ) P(A), P(B ) ( ), aor: P( { B A) =, ( ). P(A B ) P(B ) =

19 Mt evezü dszrét valószíűség eloszlása? Olya em egatív számoból álló számsorozatot, amelye az összege. Mt evezü valószíűség változóa? Olya függvéyt, amelye az értelmezés tartomáya egy eseméytér és éphalamaza a valós számo halmaza. (Olya függvéyt, amely elem eseméyehez valós számoat redel hozzá.) Mt evezü dszrét valószíűség változóa? Olya valószíűség változót, amely legfeljebb megszámlálható so értéet vesz fel. (Olya valószíűség változót, amelye értéészlete egy legfeljebb megszámlálható számosságú halmaz.) Mt evezü dszrét valószíűség változó eloszlásáa? Ha a ξ valószíűség változó felvett értée x (í =,, ), aor a p = P(ξ = x í ) (í =,, ) valószíűségeloszlást. Hogya értelmezzü egy dszrét valószíűség változó geerátor függvéyét? Ha a ξ valószíűség változó eloszlása (p ) ( =,, ), aor G (x) = p x ξ. Mor modju, hogy ét dszrét valószíűség változó függetle? Legyee a ξ valószíűség változó felvett értée x (í =,, ) és az η valószíűség változó felvett értée y j (j =,, ), továbbá A : = {ξ = x í }, B j : = {ξ = y j }! Eor a ξ és az η valószíűség változóat függetleee evezzú, ha az A és a B j eseméye mde lehetséges és j eseté függetlee. Mor modju, hogy számú dszrét valószíűség változó (teljese) függetle? Legyee a ξ valószíűség változó felvett értée A : = ξ = x ( x és { }, m =,,...)! Eor a ξ, ξ,, ξ valószíűség változóat függetleee evezzú, ha az, A,..., eseméye mde lehetséges m,m..., m A m m m eseté függetlee. Mt evezü folytoos eloszlású valószíűség változóa? Olya valószíűség változót, amelye az eloszlásfüggvéye folytoos. Mt evezü egy valószíűség változó eloszlásfüggvéyée? A ξ valószíüség változó eloszlásfüggvéye: F(x) = P(ξ<x). m A m m Mor evezzü a ξ és η folytoos eloszlású valószíűség változóat függetleee? Ha P ( ξ < x; η < y) = P( ξ < x) P( η < y), x, y R Mor evezzü a ξ, ξ,,, ξ folytoos eloszlású valószíűség változóat (teljese) függetleee? Ha P( ξ < x ; ξ < x ;...; ξ < x ) = P( ξ < x ) P( ξ < x )... P( ξ < x ), x, x,..., x R.

20 Sorolja fel egy valószíűség változó eloszlásfüggvéyée tulajdoságat!. Mooto övevő.. Balról folytoos.. lm F(x) =, lm F(x) =. x x + Hogya értelmezzü egy valószíűség változó sűrűségfüggvéyét? Ha található olya f függvéy, hogy a valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyére: F (x) = x evezzü. f (t) dt, aor ezt az f függvéyt a valószíűség változó sűrűségfüggvéyée Hogya írható fel a ξ + η valószíűség változó h(x) sűrűségfüggvéye, ha a ξ és az η függetle valószíűség változó sűrűségfüggvéye f(x) és g(x)? h (z) = f (x)g(z x) dx. h(z) = f (z x)g(x) dx... Sorolja fel egy valószíűség változó sűrűségfüggvéyée tulajdoságat!. Értée em lehet egatív.. A számegyeese vett mproprus tegrálja. Hogya írható fel a P(ξ < b) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyével? P(ξ < b) = F(b). Hogya írható fel a P(ξ a) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyével? P(ξ a) = F(a). Hogya írható fel a P(a ξ < b) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlás-függvéyével? P(a ξ <b) = F(b) F(a). Hogya írható fel a P(ξ b) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyével, ha F(x) a b-be folytoos? P(ξ b) = F(b). Hogya írható fel a P(ξ > a) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyével, ha F(x) az a-ba folytoos? P(ξ > a) = F(a). Hogya írható fel a P(a ξ b) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfügg.- véyével, ha F(x) a b-be folytoos? P(a ξ b) = F(b) F(a). Hogya írható fel a P(a < ξ < b) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyével, ha F(x) az a-ba folytoos? P(a < ξ < b) = F(b) F(a).

21 Hogya írható fel a P(a < ξ b) valószíűség a ξ valószíűség változó F(x) eloszlásfüggvéyével, ha F(x) az a-ba és a b-be s folytoos? P(a < ξ b) = F(b) F(a). Ha a ξ valószíűség változóa va sűrűségfüggvéye és ez f(x), aor hogya írható fel ezzel a P(ξ < b) és a P(ξ b) valószíűsége? P(ξ < b) = P(ξ b) = b f (x)dx. Ha a ξ valószíűség változóa va sűrűségfüggvéye és ez f(x), aor hogya írható fel ezzel a P(ξ a) és a P(ξ > a) valószíűsége? P(ξ a) = P(ξ > a) = a f (x)dx Ha a ξ valószíűség változóa va sűrűségfüggvéye és ez f(x), aor hogya írható fel ezzel a P(a ξ < b), P(a ξ b), P(a < ξ < b) és a P(a < ξ b) valószíűsége? b P(a ξ < b) = P(a ξ b) = P(a < ξ < b) = P(a < ξ b) = f (x)dx a Hogya értelmezzü egy dszrét valószíűség változó várható értéét? (Hogya számolju egy dszrét valószíűség változó várható értéét?) Ha P( ξ = x ) = p, M ( ξ ) = x p, ha a sor abszolút overges. Hogya értelmezzü egy f(x) sűrűségfüggvéyű valószíűség változó várható értéét? (Hogya számolju egy f(x) sűrűségfüggvéyű valószíűség változó várható értéét?) M( ξ) = + x f (x)dx, ha a + x f (x) dx mproprus tegrál overges. Hogya értelmezzü egy valószíűség változó szóráségyzetét? D (ξ) = M((ξ M(ξ)) (A szóráségyzet poztív égyzetgyöét szórása evezzü.) Hogya számolju egy dszrét valószíűség változó szóráségyzetét? Ha P( ξ = x ) p, = D ( ξ) = x p xp. Hogya számolju egy f(x) sűrűségfüggvéyű valószíűség változó szóráségyzetét? D ( ξ) = + x f (x)dx + x f (x)dx Melye a várható érté legfotosabb tulajdosága?. M(c) = c, ahol c álladó. M(cξ) = cm(ξ), ahol c álladó. M(ξ +η) = M(ξ)+M(η)

22 Melye a szóráségyzet legfotosabb tulajdosága?. D (c) =, ahol c álladó. D (aξ +b) = a D (ξ), ahol a és b álladó Mt evezü a ξ valószíűség változó aratersztus függvéyée? jξt ϕ (t) = M(e ) ( = M( ξcost) + j M( ξs t)). ξ Hogya írható fel egy f(x) sűrűségfüggvéyű valószíűség változó aratersztus függvéye? ϕ (t) = ξ f (x) e jtx dx. Mt evezü bomáls eloszlása? Az -ed redű, p paraméterű ( pozítv egész, < p < ) bomáls eloszlás: p = p ( p) -, =,,,. Mor modju, hogy egy valószíűség változó bomáls eloszlású? A ξ valószíűség változót -ed redű, p paraméterű ( pozítv egész, < p <) bomáls eloszlásúa evezzü, ha: P(ξ = ) = p ( p) -, =,,,. Mt evezü hpergeometrus eloszlása? s m s p = (max(, + s m) m(,s)). m Mor modju, hogy egy valószíűség változó hpergeometrus eloszlású? A ξ valószíűség változót hpergeometrus eloszlásúa evezzü, ha: s m s P( ) ξ = = (max(, + s m) m(,s)). m Mt evezü Posso-eloszlása? A λ paraméterű (λ > valós szám) Posso-eloszlás: λ P = e λ ( =,,, ).! Mor modju, hogy egy valószíűség változó Posso-eloszlású? A ξ valószíűség változót λ paraméterű (λ > valós szám) Posso-eloszlásúa evezzü, λ ha: P(ξ = ) = e λ ( =,,, ).!

23 Mor modju, hogy egy valószíűség változó egyeletes eloszlású az ]a; b[ tervallumba?, ha a < x < b, Ha sűrűségfüggvéye: f (x) = b a, másor. Írja fel az ]a; b[ tervallumba egyeletes eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéyét?, ha x a, x a F (x) =, ha a < x b, b a, ha x > b. Mey az ]a; b[ tervallumba egyeletes eloszlású ξ valószíűség változó várható értée? a + b M( ξ ) =. Mor modju, hogy egy valószíűség változó expoecáls eloszlású? Egy valószíűség változó λ paraméterű (λ > valós szám), expoecáls eloszlású, ha sűrűségfüggvéye: λx λe, ha x, f (x) =, ha x <. Írja fel a λ paraméterű, expoecáls eloszlású valószíűség változó eloszlás-függvéyét? λx e, ha x >, F(x) =, ha x. Mor modju, hogy egy valószíűség változó (m, σ) paraméterű, ormáls eloszlású? + Az ξ valószíűség változó m, σ ( m R, σ R ) paraméterű ormáls eloszlású valószíűség változó, ha sűrűségfüggvéye: (Jelölése: N (m, σ) ). (x m) σ f(x) = e < x < +. π σ Írja fel az (m, σ) paraméterű, ormáls eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéyét? x (t m) σ F(x) = e dt < x < +. π σ Mey az (m, σ) paraméterű, ormáls eloszlású ξ valószíűség változó várható értée? M ( ξ ) = m.

24 Mey az (m, σ) paraméterű, ormáls eloszlású ξ valószíűség változó szórása? D (ξ) = σ. Mor modju, hogy egy valószíűség változó stadard ormáls eloszlású? x. Ha sűrűségfüggvéye: ϕ( x) = e < x < + π Írja fel a stadard ormáls eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéyét? x t. Φ(x) = e dt < x < + π Meyí a stadard ormáls eloszlású ξ valószíűség változó várható értée? M ( ξ ) =. Meyí a stadard ormáls eloszlású ξ valószíűség változó szórása? D ( ξ ) =. Mlye apcsolat va a stadard ormáls eloszlású valószíűség változó Φ eloszlásfüggvéyée a Φ(x) és a Φ( x) helyettesítés értée özött? Φ(x) + Φ( x) =. Mlye apcsolat va az (m, σ) paraméterű, ormáls eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéye és a stadard ormáls eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéye özött? Ha az N (m, σ) eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéye F(x) és az N(, ) eloszlású valószíűség változó eloszlásfüggvéye Φ(x), aor: x m F (x) = Φ. σ Mt modhatu ét függetle ormáls eloszlású valószíűség változó összegée az eloszlásáról? Normáls eloszlás. ( Ha ξ N(m ; σ ) eloszlású és η N(m ; σ ) aor, ξ + η N(m + m ; σ + )eloszlású. ) σ ( Ismertesse a sztochasztus overgeca fogalmát! Valószíűség változó egy ξ ) sorozata sztochasztusa overgál a ξ valószíűség változóhoz, ha bármely poztív ε számra lm P( ξ ξ ε) =. Mt mod a agy számo Beroull-féle törvéye? Függetle ísérlete sorozatába egy eseméy relatív gyaorsága sztochasztusa overgál az eseméy valószíűségéhez. Ismertesse az valószíűségű (majdem bztos) overgeca fogalmát! Valószíűség változó egy ( ξ ) sorozata valószíűséggel (majdem bztosa) overgál a ξ valószíűség változóhoz, ha P(lm ξ = ξ) =.

25 Ismertesse az előadáso szereplő agy számo erős törvéyét! Ha ξ )(teljese) függetle azoos eloszlású valószíűség változó egy sorozata, amelye ( ξ = η = valószíűség változó sorozata való- özös m várható értée létez, aor az szíűséggel m-hez overgál. Mt evezü egy valószíűség változó stadardzáltjáa? ξ M( ξ) Ha a ξ valószíűség változó szórása létez és em ulla, aor a stadardzáltja:. D( ξ) Ismertesse az előadáso szereplő cetráls határeloszlás-tételt! Ha ξ )(teljese) függetle azoos eloszlású valószíűség változó egy sorozata, amelye ( özös m várható értée és ϭ > szórása létez, és F (x) a ξ = valószíűség változó stadardzáltjáa eloszlásfüggvéye, aor bármely x valós számra lmf (x) = Φ(x). MATEMATIKAI STATISZTIKA Mt evezü statszta mtáa? Egy valószíűség változóra voatozó véges számú függetle mérés eredméye. Mt evezü statsztáa (statszta függvéye)? Mtaeleme valamely függvéyét. Hogya szeresztü meg egy gyaorság hsztogramot? Essee az x, x, K, x mtaeleme az [a; b[ tervallumba! Vegyü az tervalluma egy részre való felosztását: a c < c < < c b c ; c tervallumba eső = K, és jelölje gy a [ [ = gy mtaeleme számát! Ezutá mdegy[ c ; c [ tervallumra c c téglalapot rajzolu )! magasságú Hogya szeresztü meg egy sűrűséghsztogramot? Essee az x, x, K, x mtaeleme az [a; b[ tervallumba! Vegyü az tervalluma egy részre való felosztását: a c < c < < c b c ; c tervallumba eső = K, és jelölje gy a [ [ = mtaeleme számát! Rajzolju mdegy[ c ; c [ tervallumra téglalapot )! Hogya értelmezzü egy statszta mta mtaözepét? Az X, X, K, X mtaeleme mtaözepe: X = X. = gy (c c ) magasságú

26 Hogya értelmezzü egy statszta mta tapasztalat (emprus) szóráségyzetét? Az X, X, K, X mtaeleme tapasztalat szóráségyzete: S = (X X) ahol X a = mtaözép. Hogya értelmezzü egy statszta mta orrgált tapasztalat (emprus) szóráségyzetét? Az X, X, K, mtaeleme orrgált tapasztalat szóráségyzete: S X (X X) = =, ahol X a mtaözép. Mt értü potbecslés alatt? Ha egy valószíűség változó valamely smeretle paraméterét egy számmal becsüljü. Mt értü tervallumbecslés alatt? Ha egy valószíűség változó valamely smeretle paramétere olya tervallumot ostruálu, amelybe agy valószíűséggel bele es. Mt evezü egy valószíűség változó egy α paraméterére voatozó (-ε) sztű ofdeca tervalluma? ; α c ; c = Olya [ c [ tervallumot, melyre ( [ [). c P ε Mt evezü statszta hpotézse? Egy valószíűség változóval apcsolatos feltevést. Mt evezü statszta hpotézsvzsgálat ullhpotézsée? Azt a feltevést, amelyet gaza tételezü fel. Mt evezü statszta hpotézsvzsgálat elle(alteratív)hpotézsée? A ullhpotézstől eltérő bzoyos más lehetőségeet. Mor beszélü egy statszta hpotézsvzsgálatál egyszerű hpotézsről? Ha a hpotézs a valószíűség változó eloszlását egyértelműe meghatározza. Mor beszélü egy statszta hpotézsvzsgálatál összetett hpotézsről? Ha a hpotézs a valószíűség változó eloszlását em határozza meg egyértelműe, azaz többféle eloszlást s megeged. Mt evezü statszta próbáa? Olya eljárást, melye alapjá egy statszta hpotézsről dötü. Mor evezü egy statszta próbát paraméteres próbáa? Ha az eloszlás típusa smert és a ullhpotézs ee smeretle paraméterere voatoz Mor evezü egy statszta próbát em paraméteres próbáa? Ha a ullhpotézs az eloszlásra voatoz.

27 Mt értü egy statszta próbáál elsőfajú hbáa? Ha a ullhpotézs elvetjü, holott az gaz. Mt értü egy statszta próbáál másodfajú hbáa? Ha a ullhpotézs elfogadju, holott az em gaz. Mt értü egy statszta próba (megbízhatóság) sztjée? Aa a valószíűsége, hogy a ullhpotézs elfogadju, ameybe a ullhpotézs gaz. Mt evezü egy statszta próba szgfaca sztjée? Aa a valószíűsége, hogy a ullhpotézs elvetjü, holott a ullhpotézs gaz. Mt evezü statszta próbáál elfogadás tartomáya? A próbastatszta értéee az az E részhalmaza, amelyre az gaz, hogy a ullhpotézst aor fogadju el, ha a próbastatszta értée E-be es. Mt evezü statszta próbáál rtus tartomáya? A próbastatszta értéee olya K részhalmaza, hogy ha próbastatszta értée K-ba es, aor a ullhpotézst elvetjü. Mor alalmazzu az egymtás u-próbát? Ismert szórású (smeretle várható értéű) ormáls eloszlású soaság eseté. Fogalmazza meg az egymtás u-próba (egyszerű) ullhpotézsét! H : M( ξ ) = m (ahol m adott valós szám). Fogalmazza meg az egymtás étoldal u-próba hpotézset (egyszerű ullhpotézs eseté)! H : M( ξ ) = H m : M( ξ ) (ahol m adott valós szám). m Fogalmazza meg az egymtás egyoldal u-próba hpotézset (egyszerű ullhpotézs eseté)! H : M( ξ ) = m H : M( ξ ) > m (ahol vagy H : M( ξ ) = m m adott valós szám). H : M( ξ ) < m (ahol m adott valós szám). Mor alalmazzu az egymtás t-próbát? Ismeretle szórású és smeretle várható értéű ormáls eloszlású soaság eseté. Fogalmazza meg az egymtás t-próba (egyszerű) ullhpotézsét! H : M( ξ ) = m (ahol m adott valós szám).

28 Fogalmazza meg az egymtás étoldal t-próba hpotézset (egyszerű ullhpotézs eseté)! H : M( ξ ) = H m : M( ξ ) (ahol m adott valós szám). m Fogalmazza meg az egymtás egyoldal t-próba hpotézset (egyszerű ullhpotézs eseté)! H : M( ξ ) = m H : M( ξ ) > m (ahol vagy H : M( ξ ) = m m adott valós szám). H : M( ξ ) < m (ahol m adott valós szám). Mt evezü lleszedésvzsgálata? Olya statszta próbát, amor azt szereté eldöte, hogy a mta adata egy adott eloszlású (valószíűség változóra voatozó) statszta soaságból származa vagy sem. Mor beszélü tszta lleszedésvzsgálatról? Ha a feltételezett eloszlás paramétere smerte. Mor beszélü becsléses lleszedésvzsgálatról? Ha a feltételezett eloszlás egy vagy több paraméterét a mtából becsüljü. Hogya változ a szabadság fo, ha zü? A mtából becsült paramétere számával csöe. χ -próbával becsléses lleszedésvzsgálatot vég- Mt evezü homogetásvzsgálata? Olya statszta próbát, amor azt szereté eldöte, hogy ét statszta mta eleme azoos eloszlású (valószíűség változóra voatozó) statszta soaságból származa vagy sem. Mor evezü függetleségvzsgálata? Olya statszta próbát, amor azt szereté eldöte, hogy ét statszta mta eleme ét függetle (valószíűség változóra voatozó) statszta soaságból származa vagy sem.