A valószínűségszámítás alapjai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A valószínűségszámítás alapjai"

Átírás

1 A valószíűségszámítás alapjai Kombiatoria Permutáció (ismétlés élül): elem összes lehetséges sorredje: P = (-)(-) =!!- fatoriális Variáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli variációja - elemből helyre (<) választo elemeet - a lehetséges sorrede száma: V = (-)(-)..(-+)= (! )! ismétléssel elem -ad osztályú ismétléses variációja - elemből helyre választo elemeet - a lehetséges sorrede száma: V,i = Kombiáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli ombiációja - elemből iválaszto elemet (<) a lehetséges iválasztáso száma a sorred figyelme ívül hagyása eseté:! C = ezt a ifejezést -val jelöljü és!( )! alatt a -a modju. ismétléssel: elem -ad osztályú ismétléses ombiációja -az elemből iválasztott elem özött többször előfordulhat ugyaaz az elem. A lehetséges iválasztáso száma a sorred figyelme ívül hagyása eseté: C,i ( + )! + = =!( )! Eseméyalgebra Fogalma: elemi eseméy ( i ) az i-di isérlet eredméye eseméytér H=,. az elemi eseméye halmaza összetett eseméy A H az eseméytér részhalmaza lehetetle eseméy-amely sohasem övetezhet be: biztos eseméy-mely a isérlet sorá biztosa beövetezi maga az eseméytér. H

2 Művelete eseméyeel omplemeter eseméy: Az A eseméy omplemetere vagy elletett eseméye a em A jele: A Eseméye összege: A+B vagy A B -az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A vagy B lesz. Eseméye szorzata A B vagy A B az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A és B lesz. Eseméye ülöbsége A-B vagy A\B az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A de B lesz. feáll, hogy: A B = A B Az A eseméy maga utá voja a B eseméyt ha A B az az eseméy, mely aor övetezi be, ha a isérlet eredméye A ból övetezi, hogy B is teljesül. Eseméye azoossága A=B ha az A B és B A egyidejűleg teljesül Műveleti tulajdoságo. A+A=A. A+B=B+A 3. (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C 4. A A=A 5. A B=B A 6. (A B) C=A(B C) 7. (A+B) C=A C+B C 8. (A B)+C=A C+B C. A + = A. A = 3. A+H=H 4. A H=A 5. A B = A + B 6. A + B = A + B 7. A = A 9. A + A = H 0. A A =

3 Egymást izáró eseméye, a- Legyee A és B eseméye ugyaaa az eseméytére részei. Ha A B= or A és B eseméye egymást izáró eseméye. Legyee A, A, A eseméye részei ugyaaa az eseméytére. Ha feáll,, A, A eseméyeet egymást páro- hogy A i A j = mide i j re, aor az A ét izáró eseméyee evezzü. Teljes eseméyredszer Legye H egy eseméytér és A i H (i=,,..); az A i (i=,,..) eseméye teljes eseméyredszert alota, ha: A i A i A j = ha i j A +A +A 3 +.A =H Legye T az eseméytér(h) részhalmazaiból álló halmaz -jelöljü ezt a halmazt T-velu. halmazalgebrát alot ha teljesül, hogy: H T A T és B T A+B T A T A T Ha T a H összes lehetséges részhalmazaiból áll, aor teljes halmazalgebráról beszélü. Ha H halmaz u. eseméytér, aor az eseméyalgebra elevezést haszálju. A valószíűség fogalma A relatív gyaoriság értelmezése: Egy isérletet -szer elvégezve -szor ( ) övetezi be az A eseméy. Az A A eseméy relatív gyaorisága: ra =. A ísérlete számáa övelésével r A értée stabilizálódi - egyre jobba özelít egy adott értéhez - ezt az (elméleti) értéet evezzü az A eseméy valószíűségée - P(A)-val jelöljü. Axiómá (Kolmogorov féle) Legye T a H eseméytére értelmezett eseméyalgebra (vagyis T olya halmaz, melye elemei a H részhalmazaiból származa és értelmezhető rá a halmazalgebra ritériumai) - a P:T R függvéyt valószíűsége evezzü, az A helye vett helyettesítési értéét P(A) az eseméy valószíűségée evezzü az alábbi axiómá szerit: I. A biztos eseméy valószíűsége. P(H)= II. Bármely A T-re 0 P(A) III. Bármely A, A,.A T eseté, ha A, A,.A eseméye egymást pároét izáró eseméye, aor P(A +A +.+A )=P(A )+P(A )+.+P(A ) 3

4 Ha az eseméyteret alotó számú elemi eseméye (E, E, E ) egyformá valószíűe, aor a hozzáju redelt valószíűség: P(E )= Az A=E +E + E összetett eseméy valószíűsége: P(A)= P(E +E + E )=P(E )+P(E )+ P(E )= Példa: A eseméy: egy ocával páros számot dobu Eseméytér: H=,, 3, 4, 5, 6 6 elemű halmaz Elemi eseméye: =, =, 3 =3, 4 =4, 5 =5, 6 =6 E = ;E =, ;E 3 = 3 ; E 4 = 4 ;E 5 = 5 ;E 6 = 6 P(E )= P(E )= P(E 3 )= P(E 4 )= P(E 5 )= P(E 6 )= 6 A=, 4, 6 =E +E 4 +E 6 P(A)= P(E +E 4 +E 6 )= P(E )+ P(E 4 )+ P(E 6 )= = = 6 3 = Mitavételi problémá terméből S selejtes. elemű mitát veszü. Meora valószíűséggel lesz a mitába potosa db. selejtes termé? a)visszatevés élüli b)visszatevéses mitavételél. Midét mitavételél egy mita -es alot egy elemi eseméyt. Teljesül hogy az elemi eseméye egyformá valószíűe és véges számúa. Az összes lehetséges iválasztás alotja az eseméyteret, mely az a) esetbe (visszatevés élüli)- elemi eseméyből áll. Így aa a valószíűsége, hogy az elemű mitába db. selejtes lesz: S S P = 4

5 b) Ha u. visszatevéses mitavételt alalmazu, aor az elemi eseméye száma ;. A ( ) selejtet tartalmazó elemű mitá lehetséges száma pedig: S ( S) Igy aa a valószíűsége, hogy az egymás utá iválasztott elemből db. a selejtes: P = ( ) S ( S) Geometriai valószíűség Ha az eseméytér em véges számú elemi eseméyből áll, aor aalógiát eresü valamely geometriai alazat- szaasz, síidom, test- és az eseméytér özött, majd az elemi eseméyeet eze részhalmazaét értelmezzü. Pl. Egy tűt egy papírlapra ejtve, mi a valószíűsége, hogy egy adott égyzete belül szúrja i a papírt. T-e teitve a papírlap területét. A-a a égyzet területét- a valószíűség P(A) = A/T lesz. Az eseméy beövetezésée valószíűségét területaráyoal (szaasz- ill. térfogataráyoal) tudju megadi. Feltételes valószíűség Adott emberből álló soaság. Ebből F számú férfi és V számú magas véryomásba szevedő ember. Kérdés: Mi a valószíűsége aa, hogy az emberből találomra iválasztva egyet az magas véryomású férfi lesz? F Aa a valószíűsége, hogy az emberből egyet iválasztva, az férfi lesz: P(F)= Aa a valószíűsége, hogy az emberből egyet iválasztva, az magas véryomású lesz: V P(V)= A férfia özött a magas véryomásúa száma: FV Aa a valószíűsége, hogy egy iválasztott férfi magas véryomású lesz: Ee a jelölése (az egész számú soaságot figyelembe véve): P(V F) V eseméy beövetezésée valószíűsége, feltéve F eseméy beövetezését. FV P(V F)= P( F V ) FV = = F P( F ) F FV F 5

6 Általáosa: Legye A, B egyazo eseméytér ét eseméye és P(B)>0. Eor az A eseméy B-re voatozó feltételes valószíűségé a P( AB) P(A B)= értéet értjü. P( B) [Az eseméyteret leszűítjü a B-hez tartozó eseméyere] Tétel: Ha A, A és B egyazo eseméytér eseméyei és P(B)>0, aor P((A +A ) B)= P(A B)+P(A B)-P(A A B) A valószíűsége szorzási szabálya A és B ét tetszőleges eseméy, P(A)>0 és P(B)>0 Egymásra voatoztatott feltételes valószíűsége: P( A B) P(A B)= P( B) P(A B)=P(A B) P(B) P( B A) P(B A)= P( A) P(B A)= P(B A) P(A) Pl: Egy áruház összes látogatója özül átlagba 5% eresi fel a műszai osztályt. Eze özül 64% vásárol ott valamit. Meora a valószíűsége, hogy egy látogató műszai ciet vásárol? A eseméy: a látogató feleresi a műszai osztályt. P(A)=0,5 B eseméy: vásárol a műszai osztályo: P(B A)=0,64 P(A B)= P(A) P(B A)=0,5 0,64=0,6 vagyis 6% a valószíűsége aa, hogy egy tetszőleges látogató műszai ciet fog vásároli. A szorzási szabály általáosa: P(A A A )=P(A ) P(A A ) P(A 3 A A ) P(A 4 A A A 3 ) P(A A A A 3 A - ) Eseméye függetlesége: A és B eseméyt aor teitjü (sztochasztiusa) függetlee, ha P(A B)=P(A) P(B) Ez azt jeleti, hogy P(A B)=P(A) vagyis B eseméy semmilye befolyással em bír az A eseméy beövetezésére. 6

7 Valószíűségi változó Ha az eseméytér (H) elemi eseméyeihez valós számoat tudu redeli, aor értelmezhető a H R valós függvéy. Vagyis egy adott ísérlet véletletől függő imeetelét egy ξ (olv.: szí) valós meyiség jellemzi. Pl. egy telefoözpotba apoét a 3-4 óra özött befutó híváso száma. háy fej lesz, ha az érmét 80-szor feldobju? Háyas találatu lesz a Lottó? 0 muadarab özött meyi lesz a selejtes? Milye hosszú lesz a találomra ihúzott hajszálu? Meyi lesz jövő év március 5-é Keszthelye a api maximum hőmérsélet? Eze olya számo, melye orét értée a véletletől függ. Az olya meyiségeet, melye értée a véletletől függ valószíűségi változóa evezzü. Jelölésü görög is betű: ξ, η, μ stb. A valószíűségi változó potos értéét em tudju, de tudju, hogy milye értéei lehetségese (elméletileg vagy tapasztalat alapjá) A valószíűségi változó tehát az elemi eseméye teré értelmezett függvéy. Ha a valószíűségi változó csa egymástól ülöálló meghatározott értéeet vehet fel, aor diszrét valószíűségi változóról beszélü. (híváso száma, feje száma, selejt száma stb.) Ha a valószíűségi változó egy megadott itervallum összes értéét felveheti, aor folytoos valószíűségi változóról beszélü. (hajszál hossza, a maximum hőmérsélet értée stb.) Ha a megadott isérlet sorá a i elemi eseméy övetezett be és a valószíűségi változó defiíciója szerit ehhez az x i értéet redeltü, aor azt modju, hogy a valószíűségi változó az x i értéet vette fel: ξ=x i A ξ=x i eseméy valószíűségét a P(ξ=x i ) szimbólummal jelöljü. Pl. Két ocával dobu. Elemi eseméye: a ét oca felső lapjá lévő poto összege. ξ értéei x i háyféleéppe dobható P(ξ=x i )

8 Ez a ξ valószíűségi változó eloszlása: 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, A feti diagramot elméleti meggodoláso alapjá állítottu elő. agy számú megfigyelés eseté előállíthatju tapasztalati úto az egyes eseméyehez tartozó relatív gyaoriságoat is. Eze az elméleti értétől többé-evésbé eltérőe lesze, de övelve a megfigyelése számát egyre jobba özelíti azt. Számos olya feladat va, amior a megfigyelt relatív gyaoriságoból aaru az elméleti valószíűségre övetezteti. (pl. adott ap maximum hőmérsélete) Defiiálhatu egy függvéyt úgy. hogy F(x)=P(ξ<x) -vagyis a valószíűségi változó által felvehető értéehez (x) hozzáredeljü aa a valószíűségét, hogy ξ eél isebb. Ezt evezzü a valószíűségi változó eloszlásfüggvéyée: Diszrét valószíűségi változóál a valószíűségi változó által felvehető értée véges halmazt alota vagy végtele, de megszámlálható soaságú halmazt alota, aor összegezzü midazo valószíűségeet, melye az x i <x: F(x)= x i < x P (ξ < x) Ábrázolva a ét ocával való dobás valószíűségi eloszlásfüggvéyét: 0,9 0,8 lépcsős függvéyt apu, melye értéészlete [0, ] mooto öveszi 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,

9 Folytoos valószíűségi változóál a valószíűségi változó által felvehető értée összefüggő itervallumo helyezede el, aor is értelmezhetjü az eloszlásfüggvéyt az alábbia szerit: F(x)=P(ξ<x) Aa a valószíűsége, hogy a valószíűségi változó az [a,b] itervallumba esi: P(a>ξ<b)=F(b)-F(a) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 F(x) 0,4 0,3 0, 0, 0 - a valószíűségi változó lehetséges értéei+ lim F ( x) = 0 lim F( x) = A valószíűségi változó sűrűségfüggvéye: Ha az F(x) eloszlásfüggvéyhez létezi f(x) 0 függvéy, úgy hogy F(x)= x f ( t) dt az f(x) függvéyt a valószíűségi változó sűrűségfüggvéyée evezzü. [F(x)] =f(x) Ha deriválju az F(x) eloszlásfüggvéyt, aor megapju a sűrűségfüggvéyt. Ha a sűrűségfüggvéyt itegrálju, aor megapju az eloszlásfüggvéyt, feltéve ha F(x) differeciálható ill. f(x) itegrálható. + A valószíűségi változó várható értée és szórása A várható érté: A várható érté az átlaggal aalóg fogalom. (súlyozott átlag) Legye ξ diszrét valószíűségi változó; amelye lehetséges értéei {x, x,.x }, amelyeet p, p,.p valószíűséggel vesz fel. Szorozzu meg (súlyozzu) az adott x i értéet a hozzá tartozó p i valószíűséggel: p i x i. A p i x i értée összegét a ξ valószíűségi változó várható értéée evezzü. 9

10 formulázva: M(ξ)= p i x i= i Ha mide egyes x i -hez azoos p i tartozi, amely így szüségéppe p i =, aor a várható érté megegyezi az x i változó (i=..) számtai átlagával. Pl. egy ocával dobu. ξ a dobott poto értée x i ={,,3,4,5,6} Midegyi egyformá valószíű: p i = 6 A várható érté: M(ξ)= =3,5 Ez megegyezi az x = számtai átlaggal. 6 (A várható érté lehet olya szám, amelyet a valószíűségi változó em is vehet fel) Pl. Két ocával dobu. Valószíűségi változó a dobott poto összege. ξ értéei x i p i p i x i Várható érté: M(ξ)= p x 5 i i = =7 i = Ez is megegyezi az x i változó számtai átlagával. A várható érté aor em egyezi az átlaggal, ha az eloszlás em szimmetrius. 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Ebbe az esetbe a számtai átlag: 3,5 A várható érté:m(ξ)= p ixi =3,0 0

11 Folytoos valószíűségi változó eseté is defiiálju a várható értéet: M(ξ)= + xf ( x) dx ahol f(x) a valószíűségi változó sűrűségfüggvéye Ha ez az itegrál érté em véges, aor az adott valószíűségi változóa ics várható értée. A várható érté tulajdoságai: Kostas valószíűségi változó várható értée: M(c)=c Valószíűségi változó salárszorosáa várható értée: M(c ξ)=c M(ξ) Az η= ξ+a (a salár ostas) valószíűségi változó várható értée: M(η)=M(ξ+a)=M(ξ)+a Valószíűségi változó összegée várható értée: M(η+ξ)=M(η)+M(ξ) Szórás (szóráségyzet) A várható érté örüli igadozásról ad iformációt a szórás ill. szóráségyzet. (A sűrűségfüggvéy lapultságát méri) D (ξ) =M{[x-M(ξ)] } ill. D(ξ)=+ M{[x - M( ξ ] } Diszrét esetbe: Pl. Két ocával dobu. Valószíűségi változó a dobott poto összege. ξ értéei x i p i p i x i M(ξ)=7 [x i - M(ξ)] p i [x i - M(ξ)] D (ξ)= Σ p i [x i - M(ξ)]= D(ξ)= D ( ξ ),4

12 Folytoos valószíűségi változó szóráségyzete ill. szórása + D (ξ)= [ x M ( ξ )] f ( x) dx D(ξ) = + + [ x M ( ξ )] f ( x) dx evezetes eloszláso Biomiális eloszlás A megfigyelésü étféle eredméyt adhat: egy A eseméy beövetezi vagy em övetezi be. számú (egymástól függetle) megfigyelést végzü. Az A eseméy valószíűsége: p. A valószíűségi változó: megfigyelésből az A eseméy szor övetezi be (ξ=). (Ez a visszatevéses mitavétel tipius esete, ahol láttu, hogy aa a valószíűsége, hogy az egymás utá iválasztott elemből db. a selejtes: P = ( ) S ( S) Ez megfelel az alábbiaa: Aa a valószíűsége, hogy az A eseméy számú megfigyelésből -szor övetezi be: P(ξ=)= p (-p) - A biomiális eloszlásba az és a p u. paramétere Hipergeometrius eloszlás A visszatevés élüli mitavételél elem özött S redelezett egy adott tulajdosággal. Az S adott tulajdoságú elem iválasztásáa valószíűsége: p=. elemből választottu i számú elemet. A valószíűségi változó: -ből db. felel meg valamilye tulajdosága: ξ=

13 Aa a valószíűsége, hogy a iválasztott elemből potosa számú elem redelezi az adott tulajdosággal: S S P(ξ=)= A hipergeometrius eloszlás paraméterei:, S, S Várható értée: M(ξ)= S = =p (p= ) 0 Szórása: D(ξ)= p ( p) Példa: 0 üveg borból 3 iváló miőségű. Kérdés: legalább háy üveg bort ell iválasztai, hogy özöttü 50%-ál agyobb eséllyel legye legalább egy iváló? A valószíűségi változó ξ: aa a valószíűsége, hogy az elemű mitába db iváló lesz? ξ hipergeometrius eloszlású valószíűségi változó. Paraméterei: =0, S=3 és. A P(ξ )>0,5 legye. értéét eressü P(ξ )= >0,5 0 = eseté: P( )=P(ξ=)= 0 3 evés 3 = eseté: P( )=P(ξ=)+P(ξ=)= + >0,5 elég Vagyis a 0 üvegből ettőt találomra iválasztva, már 50%-ál agyobb valószíűséggel lesz bee iváló. 3

14 Poisso eloszlás A rita eseméye valószíűségi eloszlása. Teithető a biomiális eloszlás speciális határértéée, amior is (a megfigyelése száma) agyo agy és p=p(a) agyo icsi. Eor az P(ξ=)= q p ifejezés jól özelíthető aa határértéével, ha eléggé agy és p viszoylag icsi. itt: q=(-p) Bevezetve az p=λ jelölést lim p ( p) = λ λ e! Vagyis a Poisso eloszlás eloszlásfüggvéye: λ λ P(ξ=)= e! (Ezzel soszor öyebb számoli, mit a biomiális eloszlás épletével.) Paramétere: λ ahol: λ=p Várható értée: M(ξ)=λ Szórása:D(ξ)= λ Példa: Tipiusa Poisso eloszlású Az adott tömegű radioatív elemél bizoyos időtartam alatt elbomló atomo száma Egy üzletbe adott idősza alatt betérő vásárló száma (sorbaállási probléma) Miroszóp alatt adott mm -e leszámolható batériumo száma Mazsolás süteméybe egy levágott szeletbe található mazsolá száma. Számpélda: Egy észülé meghibásodásáa átlagos száma muaóra alatt 0. A meghibásodáso eloszlása csa a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzu meg aa a valószíűségét, hogy a észülé 00 műödési óra alatt elromli. Megoldás: óra alatt 0 meghibásodás va átlagosa. Aa a valószíűsége, hogy óra alatt 0 meghibásodi: =p =00 óra λ=p= =0, 4

15 Legye ξ valószíűségi változó a 00 óra alatt beövetező meghibásodáso száma: P(ξ=)= 0, 0,! e Aa a valószíűsége, hogy a észülé em romli el (=0) 0 0, 0, 0, P(=0)= e = e 0! Tehát aa a valószíűsége, hogy a 00 óra alatt legalább egyszer elromli: -P(=0)=-e -0, =0,8 azaz 8% Folytoos valószíűségi változó evezetes eloszlásai Folytoos valószíűségi változóál az eloszlást az u. sűrűségfüggvéy adja meg. Ee a formulája alapjá a legülöfélébb eloszláso lehetségese. Midegyie azoba + az a tulajdosága, hogy f ( x) dx = Egyeletes eloszlás: Ha egy valószíűségi változó az [a,b] itervallum valameyi értéét azoos valószíűséggel veszi fel, aor egyeletes eloszlású: Sűrűségfüggvéye: Eloszlásfüggvéye: 0 f(x)= b a 0 ha ha ha x < a a x b x > b 0 x a F(x)= b a 0 ha ha ha x < a a x b x > b Várható értée: M(ξ)= a + b b a Szórása: D(ξ)= 3 5

16 ormális eloszlású valószíűségi változó A valószíűségi változó eloszlása ormális, ha sűrűségfüggvéye szimmetrius haraggörbe. Formulája: f(x)= σ ( x m) σ e π Ee maximuma az x=m helye va. A σ érté a lapultságra jellemző szám A ormális eloszlás tehát az m és σ paramétereel jellemezhető. Eloszlásfüggvéye: F(x)= σ x ( t m) σ π e dt Várható értée: M(ξ)=m Szórása: D(ξ)=σ Mivel az eloszlásfüggvéy eheze számolható i, ezért ezt táblázatból vagy számítógéppel szotá meghatározi. Az eloszlásfüggvéy visszavezethetõ a stadard ormális eloszlásra. Alalmazás: Mérési hiba eloszlása, egy,,gyártósoro'' észült alatrésze méreteloszlása, azoos orú gyeree magasság-eloszlása általába ormális eloszlású. Stadard ormális eloszlásúa evezzü a ormális eloszlású valószíűségi változót, ha m=0 és σ= (Ee az értéeit tartalmazzá a taöyvebe található táblázato) 6

17 Stadard ormális eloszlás 0 0,5 0,0 0,508 0,05 0,50 0, 0,539 0, 0,579 0,3 0,68 0,4 0,656 0,5 0,69 0,6 0,76 0,7 0,758 0,8 0,788 0,9 0,86 0,84,3 0,903,5 0,933 0,977,3 0,989,5 0,994 Összefüggése a ormális és a stadard ormális eloszlás özött Példa a lehetséges alalmazásra: Egy ládába az almá tömege ormális eloszlású 5 dg átlaggal és dg szórással. Háy százaléa lesz az almáa 3 dg-ál isebb tömegű? Az eloszlásfüggvéy azt mutatja meg, hogy mi a valószíűsége, hogy egy valószíűségi változó - (itt az egyes almá tömege)- isebb lesz x-él (3 dg). Előállítju a stadard ormális eloszlásfüggvéy megfelelő argumetumát a megadott paramétere x m 3 5 alapjá: m=5, σ= = = σ Kieressü az -hez tartozó valószíűséget a táblázatból. Ez 0,84. Ha az argumetum egatív itt (-), aor az ehhez tartozó valószíűség (-p), azaz -0,84=0,59. Vagyis mitegy 6 %-a lesz az almáa 3 dg-ál isebb tömegű 7

24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei

24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei 4. Kombiatoria, a valószíűségszámítás elemei Kombiatoria A véges halmazoal foglalozó tudomáyterület. Idő hiáyába csa a evezetes összeszámolásoal foglalozu. a) Sorbaállításo (ermutáció) alafeladat: ülöböző

Részletesebben

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje. 24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

1.1. Műveletek eseményekkel. Első fejezet. egy véletlen esemény vagy bekövetkezik, vagy nem következik be. Egyszerű

1.1. Műveletek eseményekkel. Első fejezet. egy véletlen esemény vagy bekövetkezik, vagy nem következik be. Egyszerű Első fejezet Elemi valószíűségelmélet A valószíűségelmélet alapvető fogalma a véletle eseméy. A véletle ísérlet végrehajtásaor egy véletle eseméy vagy beövetezi, vagy em övetezi be. Egyszerű példa véletle

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Kombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Kombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg

Részletesebben

1. tétel. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. . tétel. Halmazo, halmazművelete, halmazo számossága, halmazművelete és logiai művelete apcsolata. Vázlat:.Halmazoal apcsolatos elevezése, alapfogalma pl.: halmaz, elem, adott egy halmaz, megadása, jelölése

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?

véletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban? BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18. Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

3. A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLET ALAPJAI

3. A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLET ALAPJAI 3. A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLE ALAPJAI Ebbe a függelébe azoat a valószíűség-elméleti alapfogalmaat foglalju össze, amelyere a mérése iértéeléséhez szüség va. A 3.. alfejezet a területe teljese ezdő számára észült.

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika előadás Info. BSC B-C szakosoknak. Bayes tétele. Példák. Események függetlensége. Példák.

Valószínűségszámítás és statisztika előadás Info. BSC B-C szakosoknak. Bayes tétele. Példák. Események függetlensége. Példák. Valószínűségszámítás és statisztia előadás Info. BSC B-C szaosona 20018/2019 1. félév Zempléni András 2.előadás Bayes tétele Legyen B 1, B 2,..., pozitív valószínűségű eseményeből álló teljes eseményrendszer

Részletesebben

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Valószínűségszámítás alapjai szemléletesen

Valószínűségszámítás alapjai szemléletesen ### walszam07-jav-80.doc, ### 08.0.3., :00' http://math.ui-pao.hu/~szalkai/walszam07.pdf Valószíűségszámítás alapjai szemléletese /Kézirat, 08-0-3. / dr.szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém Matematika Taszék

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges.

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges. VEKTORGEOMETRIA Mt evezü vetora? Olya meységet, amelye ráya és agysága va. Mt evezü egységvetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút értée). Mt evezü ull vetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.? Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű

Részletesebben

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.

Zavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html

Részletesebben

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában 9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél Valószíűségszámítás 1 előadás al.mat BSc szaosoa 2015/2016 1. félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye A félév célja Valószíűségszámítás

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

m,p) binomiális eloszlás.

m,p) binomiális eloszlás. A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

5 3 0,8 0,2. Számolja ki a 3

5 3 0,8 0,2. Számolja ki a 3 Megoldási útmutató, eredménye A feladato megoldásaor mindig ismételje át a feladatban szereplő fogalma definícióit. A szüséges fogalma, definíció: valószínűségi változó, diszrét-, folytonos valószínűségi

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye. y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

Matematika A4 III. gyakorlat megoldás

Matematika A4 III. gyakorlat megoldás Matematia A4 III. gyaorlat megoldás 1. Független eseménye Lásd másodi gyaorlat feladatsora.. Diszrét eloszláso Nevezetes eloszláso Binomiális eloszlás: Tipius példa egy pénzdobás sorozatban a feje száma.

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

ELTE TTK Budapest, január

ELTE TTK Budapest, január Valószíűségszámítás Arató Miklós előadásai alapjá Készítették: Martiek László Tassy Gergely ELTE TTK Budapest, 008. jauár Typeset by L A TEX . el adás 007. IX.. szerda Klasszikus (kombiatorikus valószí

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

8. tétel: Adatsokaságok jellemzıi, a valószínőségszámítás elemei

8. tétel: Adatsokaságok jellemzıi, a valószínőségszámítás elemei 9 8 7 6 5 4 3 0 4 3.5 3.5.5 0.5 0 3 4 5 7 8 9 Magyar Eszter Emelt szitő érettségi tétele 8. tétel: Adatsoaságo jellemzıi, a valószíőségszámítás elemei ADATSOASÁGO JELLEMZİI STATISZTIA: Statisztia: Tömegese

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Valószín ségszámítás (jegyzet)

Valószín ségszámítás (jegyzet) Valószí ségszámítás (jegyzet) Csiszár Vill 9. február 8.. Valószí ségi mez Két bevezet példa: ) Osztozkodási probléma (494, helyes megoldás több, mit évvel kés bb, Pascal, Fermat): Két játékos fej-írás

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

n*(n-1)*...*3*2*1 = n!

n*(n-1)*...*3*2*1 = n! Kombiatoria Permutáció: egymástól ülöböző elem egy meghatározott sorredbe való elredezése az elem egy permutációja. Az összes permutáció (ülöböző sorrede) száma: P! 0!: *(-)*...***! Ismétléses permutáció:

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika

Részletesebben

Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János

Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János BUDAPESTI MŐSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR JÁRMŐELEMEK ÉS HAJTÁSOK TANSZÉK Jármőtervezés és vizsgálat I. VALÓSZÍNŐSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPFOGALMAK Dr. Márialigeti János Budapest 2008

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak

Populáció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben