III. ALGEBRAI STRUKTÚRÁK

Átírás

1 Algebra strutúrá III ALGEBRAI STRUKTÚRÁK A matemata godolodásmód alapvető jellegzetessége az elvoatoztatás Vegyü például a sígeometra objetumo esetét A ör fogalma magába foglalja az összes ör alaú test fogalmát, ezért ha megállapítu éháy összefüggést a örrel apcsolatosa, például a erületét, vagy területét, aor azoat alalmazhatju mde ör alaú objetumra, arára, parcellára, stb Hasoló meggodoláso vezette az algebra strutúrá születéséhez: egyes specfus tulajdoságoat a valós számteste, vagy a mátrxo halmazába például ugyaolya erete özött lehetett vzsgál és ugyaazt az eredméyt szolgáltattá Algebra strutúráa evezü egy olya A halmazt, amely fel va ruházva egy vagy több művelettel Az egyműveletes algebra strutúráat általába az ( A, ) párossal jelöljü, ahol : A A A a művelet Hasolóa a étműveletes algebra strutúrá jelölésére az ( A,, ) jelölést alalmazhatju, stb Algebra strutúrá például (, + ), ( M ( ), +, ), ( P (X ),,, ), stb A övetező paragrafusoba az egy és a étműveletes algebra strutúráal foglalozu Moodo Értelmezés Az ( M, ) algebra strutúrát mooda evezzü, ha M a művelet asszocatív és M M -e va semleges eleme -ra ézve A mood az egy legszegéyebb algebra strutúra, az eddg adott példá műveletere agyrészt moodo volta a tütetett halmazzal: * (, + ), (, + ), (, +), (, +), (, + ), (,), (,) moodo (, +) és (, ) em moodo: ( *, + )-ba cs semleges elem, (, ) -ba pedg em asszocatív a művelet Megjegyzése Az M és M axómá a mood értelmezésébe függetlee, ezt bzoyítjá az * (,+) és (, ) ellepéldá Ha az M és M axómá teljesülése mellett a művelet ommutatív s, aor az ( M, ) algebra strutúrát ommutatív mooda evezzü (A felsorolt példá mdegye ommutatív mood volt) Általába az ( M, ) algebra strutúrát félcsoporta evezzü, ha asszocatív művelet Eszert ( M, ) aor és csa aor mood, ha egységelemes félcsoport Megoldott feladato Értelmezzü az a M elem természetes tevőjű hatváyat az ( M, ) moodba: a : = e, a a, a := := a a,a := a a,, a : = a a, vagys e, ha = a : = a a, ha >

2 4 Algebra strutúrá m m Igazolju, hogy m, eseté a a = a + m m és ( a ) = a Megjegyzés Addtív jelölés eseté a helyett a -t szotu ír: a : =, a : = a, a : = a + a,, a : = ( ) a + a, stb Megoldás Az első összefüggést gazolju, a másod hasolóa gazolható Rögzített m eseté -szert ducóval gazolju az összefüggést = eseté az összefüggés gaz, a semleges elem tulajdosága alapjá m = -re az értelmezés alapjá a + m = a a m m Ha gaz, hogy a a = a +, aor m + m m m+ m+ + a a = a ( a a) = ( a a ) a = a a = a Legye ( M, ) egy olya algebra strutúra, amelybe a művelet redelez a övetező tulajdoságoal: a) e M úgy, hogy x e = x, x M ; b) ( x y) z = ( z y) x, xyz,, M Igazolju, hogy ( M, ) ommutatív mood Megoldás Mvel a b) összefüggés teljesül mde x, y,z M eseté, y = e, xz, M eseté s teljesül, tehát ( x e) z = ( z e) x, xz, M, vagys x z = z x, x M Követez, hogy ommutatív művelet A ommutatvtás és a b) feltétel alapjá övetez az asszocatvtás, valamt a ommutatvtás és az a) feltétel alapjá övetez, hogy ( M, ) -ba e semleges elem, tehát ( M, ) ommutatív mood Megjegyzés Fgyeljü meg a duló lépést Algebra strutúráal apcsolatos feladato megoldásaor gyara végzü hasoló helyettesítéseet Az M = halmazo értelmezzü a műveletet: x, y x, y : x x, x y y, x, y, x, y M ( ) ( ) = ( + ) ( ) ( ) Igazolju, hogy ( M, ) mood és határozzu meg az vertálható elemet a műveletre ézve Megoldás belső művelet -be, mert egész számo szorzata és összege egész M Ha ( x, y ), x, y, x, y tetszőlegese, aor = ( xxx, xxy + xy + y) = (( x, y) ( x, y )) ( x, y ), tehát a művelet asszocatív e, e ( ) ( ) ( x, y ) (( x, y ) ( x, y )) ( x, y ) ( x x, x y y ) = + = M Keressü egy olya ( ) elemet, amelyre teljesül a semleges elem axómája ( e, e) ( xy, ) = ( xy, ) ( e, e) = ( xy, ), ( xy, ) alapjá ( xe, e y + e ) = ( e x, xe + y) = ( x, y), ( xy, ) Az e és e = egész = számo teljesít a feltételt, és a semleges elem egyértelműsége alapjá az egyedül lye egész számo, tehát e = (, ) semleges elem az ( M, ) strutúrába, vagys ( M, ) mood

3 Algebra strutúrá 5 Keressü meg az vertálható elemeet Ha ( xy, ) M és létez ( x, y ) úgy, hogy ( x, y) ( x, y ) = ( x, y ) ( x, y) = (, ), aor ( xx, x y y ) ( x x, xy y) ( ) + = + =,, M tehát xx = x x = xy y xy + = + y= Ebből övetez, hogy x ' =, am csa aor teljesülhet, ha x { ±} Az x x = esetbe x = és y = y, az x = esetbe pedg x = és y = y, tehát az ( M, ) mood vertálható eleme az U = {(, y ), (,y) y } halmaz eleme 4 Igazolju, hogy az ( M, ) moodba az vertálható eleme halmaza stabl részhalmaza M -e a műveletre ézve Megoldás Jelöljü az vertálható eleme halmazát U -val xy, U eseté x = y = y és y s eleme U -a, mert ( x ) x és ( ) Az asszocatvtás alapjá írhatju, hogy ( x y) ( y x ) = x y y x = x e x = x x = e és ( y x ) ( x y) = y x x y = y e y = e, tehát ( x y) = y x, ezért x y U és U zárt részhalmaza M -e a műveletre ézve Feladat Az ( M, ) mood H részhalmazát az M részmoodjáa evezzü, ha H stabl részhalmaza M -e és e H, ahol e az ( M, ) semleges eleme Igazold, hogy ha ( M, + ) részmoodja az (, + ) mooda, aor létez egy olya A véges halmaz és léteze a d, számo úgy, hogy {, } M = A d Csoporto A csoportelmélet Galos fraca matematus muássága yomá vált az algebra egy ágává Galos vezette be a csoport fogalmát, mözbe az -ed foú polomo gyöet (az algebra egyelete megoldhatóságát) taulmáyozta, és észrevette, hogy azo apcsolatba vaa az elemű halmazo ömagura való bjetív leépezésevel és azo összetételevel, vagys az ( S, ) algebra strutúrával Azóta a csoportelmélet számottevő fejlődése met eresztül és úgy a matematába, mt a Evarste Galos, 8-8

4 6 Algebra strutúrá vatumfzába, vagy aár a geetába jeletős az alalmazása Értelmezés A ( G, ) algebra strutúrát csoporta evezzü, ha teljesít a övetező axómáat: G ( x y) z = x ( y z), xyz,, G( asszocatív művelet G -be); G e G úgy, hogy e x = x e = x, x G (G -e va semleges eleme a műveletre ézve); G x G x G úgy, hogy x x = x x = e (G-be mde elem vertálható a műveletre ézve) Ha az előbb három axómá ívül teljesül a G4 xy, G eseté x y = y x axóma s, aor azt modju, hogy ( G, ) ommutatív csoport, vagy Abel -féle csoport A G, G és G axómáat a csoport axómáa evezzü Megjegyzése Az értelmezés szert a csoport olya mood, amelybe mde elem vertálható Láttu, hogy az ( M, ) mood eseté a { : } H = x M x x x = x x = e halmaz (az M vertálható elemee halmaza) stabl részhalmaza M -e Követez, hogy ( H csoport, ahol a által H -ba duált művelet, tehát, H ) H mde moodból szereszthető csoport Például az (, + ) moodba az egyetle vertálható elem a semleges elem, tehát az (, + ) mood a ({ }, + ) trváls csoportot származtatja Hasolóa, a (, ) mood a ({, }, ) csoportot származtatja Tovább példá csoportora (, + ), (, + ), (, + ), (, + ) és ( *, ), ( *, ), ( *, ) Abel-féle csoporto ) Láttu, hogy (, mood Az általa származtatott csoport az -et -be épező bjetív függvéye csoportja Az ( M ( ), ) mood a regulárs mátrxo csoportját származtatja a mátrxszorzásra ézve Jelölése: ( GL ( ), ) ( GL ( ), ) em ommutatív csoport, ( M ( ), +) pedg ommutatív csoport x + y 4 Legye a >, G = ( a, a) és x y : = xy, xy, G Igazold, hogy + a : G G G művelet és ( G, ) Abel csoport (Ezt a csoportot evez Lorez csoporta) Nels Her Abel, 8-89, dá matematus muássága yomá

5 Algebra strutúrá 7 5 ( R ) és (, + ) Abel csoporto, 6 ( R *, ) és ( *, ), aor és csa aor csoporto, ha prímszám ( R *, ) *, ) ) Bzoyítás Az és ( *, algebra strutúrá művelettáblája megegyez, ezért elégséges, ha a ( strutúrára végezzü el a bzoyítást Ha prímszám, aor elégséges azt gazolu, hogy mde elem vertálható a ( *, 4 ) strutúrába (a több tulajdoságot már gazoltu) Tetsü az x, x, x, x, * számoat Mvel mde lye szám -be va és véges, létez olya u, v, u v u v amelyere u > v és x x (mod) Ez azt jelet, hogy ( x x ) Mvel * v u v prímszám és x, x relatív prím -el és így ( x ) Ez azt jelet, hogy létez a = u v ullától ülöböző természetes szám, amelyre x (mod ) * Ebből övetez, hogy az x elem verze az x elem, tehát a halmaz mde *, ) Fordítva, ha ( *, ) csoport, aor a szorzás belső művelet ell legye ( *, )-ba elemée va verze a szorzásra ézve Így ( csoport Ha em prímszám, aor felírható ét,, l {,,, } szám szorzataét és l = l = *, am elletmodás, tehát prímszám 7 A Kle csoport Jelöljü P -vel a síot és tetsü bee a övetező geometra traszformácóat: e= : P P az detus traszformácó, a sí mde potját ömagába vsz; P u : P P az Ox tegely szert tegelyes szmmetra; v : P P az Oy tegely szert tegelyes szmmetra; w : P P az O pot szert özéppotos szmmetra Vzsgálju meg, hogy a fet függvéye összetétele mlye eredméyeet adhat Legye ezért A P tetszőleges pot és az A u, vw, által épe legyee D, B,C f Legye K = { e, u, v, w} Az ábra szert bármely f K eseté = e Ugyaaor érvéyese az alább összefüggése: y ( u v)( A) u B C v w O u A D x = ( B) = C = w( A) ; ( v u)( A) = v( D) = C = w( A) ; ( u w)( A) = u( C) = B = v( A) ; ( w u)( A) = w( D) = B = v( A) ; ( v w)( A) = v( C) = D = u( A) ; f = f, tehát ( w v)( A) = w( B) = D = u( A) A fet eredméye alapjá az összetevés belső művelet K -ba Készítsü el a művelettáblát!

6 8 Algebra strutúrá e u v w e e u v w u u e w v,v v w e u w w v u e Továbbá, a) asszocatív, mert ez a tulajdoság örölőd a függvéye összetevéséből; b) e K semleges elem K -ba; c) mde eleme ömaga az verze; d) ommutatív, tehát ( K, ) Abel-féle csoport, amt Kle csoporta szoás evez 8 Az -ed redű egységgyöö csoportja: (, * U ), Tetsü a z = egyelet megoldásat -be A X osztályból tudjáto, hogy a π π megoldáso z = cos + s alaba írható, ahol =,, és a Movre π π éplet alapjá, ha ε = cos + s, aor z = ε, =,, és ε = Tehát az egységgyöö halmaza U = {, εε,,, ε } és ( U, ) ommutatív csoport (az ε = feltétel alapjá a szorzás belső művelet U -be, az asszocatvtás és a ommutatvtás örölőd a ( *, ) ε ε = ε ε =, {,,, } ) csoportból, U semleges elem, valamt * 9 Az -ed foú dédercsoport: D, Tetsü egy szabályos oldalú szöget a síba, melye csúcsa és özéppotja O Jelöljü a soszöget P Legye D = Rot Rot ( P ) = -el {,, P O α O α } az olya O özéppotú és α szögű forgatáso halmaza, amelye a P soszöget ömagába traszformáljá Tehát D olya bjetív függvéye halmaza, amelye a síot a síra épez le, és amelyere feáll a Rot Rot = Rot () D O, α O, β O, α+ β összefüggés, mert a Rot ( P ),, = P Rot O α ( P ) = P O, β összefüggése alapjá ( Rot Rot )( ) Rot Rot ( ) Rot P ( ) ( P),, = P O α O β O, α O, β = O, α tulajdosága alapjá Rot Rot = Rot O, α O, β O, α+ β A O A, A,, A A A = P valamt a rotácó Felhaszálva, hogy

7 Algebra strutúrá 9 Rot = Rot, α () és az ábrá m A OA α O, α O,π+ csa a ( ) π =, tehát a P soszöget π szögű forgatáso traszformáljá ömagába, apju, hogy D = Rot =,, π O és ( D, ) zárt része a síot a síra épező bjetív függvéye csoportjáa az összetevésre ézve Ezért D -be az asszocatvtás örölőd, semleges elem lesz és az (), () összefüggése alapjá Rot, {,,, } valamt Rot = Rot π ( ) π O, O, O, Rot O, Rot Ro t = Rot Rot, αβε,, O, α O, β O, β O, α tehát ( D ) ommutatív csoport, amt az -ed foú dédercsoporta hívu, Számítás szabályo csoportba Mvel a csoport egy sajátos mood, a moodoál megállapított hatváyozás szabály tt s érvéyes Tehát a ( G, ) csoport eseté, ha a G és, aor e, ha = a =, vagy addtív írásmód eseté a a, ha > e, ha = a = ( ) a + a, ha > Ezeívül a csoportba számos olya számítás szabály s érvéyes, amely em alalmazható moodba Eze általába abból öveteze, hogy a csoport eleme vertálható Az vertálható elem bevezetéseor láttu, hogy ha ( G, ) mood, a G és a az a verze, aor ( a ) = a, valamt ha x, y G vertálható az x és y verzeel, aor xy G s vertálható és ( xy) = y x Az verz elem segítségével értelmezhetjü az a G elem tetszőleges egatív egész hatváyát: a : = ( a ), <, eseté Ez alapjá, m < eseté m m m ( + m) + m a a = ( a ) ( a ) = ( a a ) = a = a ( ) <, m eseté feltételezhetjü, hogy m, mert másét m és m m az aa = ( a a ) összefüggés alapjá és m szerepe felcserélőd és ugyaahhoz az esethez vezet

8 Algebra strutúrá Tehát, ha m, aor m = + r, ahol r, és így m + r = a a r a a = a a a, mert r>, Tehát aa = ( a ) a a = e a = a m r r + m + m m Követez, hogy a = a a, m,, a G m m Hasolóa gazolható, hogy ( a ) = a, m,, a G, vagy addtív írásmód eseté ( m + ) a = ma + a és m( a) = ( m) a, m,, a G Az előbb bzoyításból az s derült, hogy ( a ) = a, a G, Mde csoportba teljesüle a balról egyszerűsítés és a jobbról egyszerűsítés szabálya: abc,, G eseté a b = a c b = c és b a = c a b = c Bzoyítás A művelete tulajdoságat tárgyaló paragrafusba már említettü a helyettesítés törvéyét és láttu, hogy az alapjá tetszőleges művelet eseté egy egyelet mdét oldalát szorozhatju ugyaazzal az elemmel balról (jobbról), aélül, hogy az egyelőség változa Írhatju tehát, hogy a / a b = a c a ( a b) = a ( a c) ( a a) b = ( a a) c e b = e c b = c Ha jobb oldalról szorozzu a másod egyeletet a -tel, megapju a jobboldal egyszerűsítés szabályát Megjegyzése a) A helyettesítés törvéyét haszálju a övetező bzoyításba s: b = e b = a a b = a a b = a a c = a a c = e c = c ( ) ( ) ( ) ( ) b) Az egyszerűsítés szabályaból öveteze a -bel egyeleteél alalmazott egyszerűsítés szabályo 4 Egyelete megoldása csoportba Legye ( G, ) csoport és a, b G Próbálju megolda az ax = b egyeletet! A helyettesítés törvéyéből azoal övetez, hogy a a x = a b, vagys x = a b megoldása az egyelete Az egyszerűsítés szabály alapjá ez az egyetle megoldása a vzsgált egyelete Ha x, x G ülöböző megoldáso, ax x = ax = és az ax = ax egyelőséget balról egyszerűsítve, apju, hogy b = x, tehát x = a b az egyedül megoldás Hasolóa, az ya = b egyelet egyedül megoldása y = ba Megoldott gyaorlato Értelmezzü -be a :, x y : = x + y műveletet Igazolju, hogy (, ) Abel-féle csoport Megoldás belső művelet, mert x y, xy,

9 Algebra strutúrá G xyz,,, x ( y z) = x ( y + z ) = x + ( y + z ) = x + y + z és ( x y) z = ( x + y ) z = ( x + y ) + z = x + y + z, tehát a művelet asszocatív G Vzsgálju a semleges elem létezését e eseté az e x = x e = x, x tulajdoságból e + x = x + e = x, tehát e = G Vzsgálju meg az vertálható elemeet Ha x tetszőleges, aor az x x = x x = összefüggés alapjá x + x = x + x = és így x = x Mvel x eseté az x = x, állíthatju, hogy mde x elem vertálható a műveletre ézve G4 xy, eseté x y = x + y = y + x = y x, tehát a művelet ommutatív Az előbbe alapjá (, ) Abel-féle csoport Adott a ( G, ) Abel-féle csoport és az a G rögzített elem A G halmazba értelmezzü a : G G G, x y : = x y a műveletet Igazolju, hogy ( G, ) Abel-féle csoport Megoldás Az így értelmezett függvéy belső művelet, mvel G -be belső művelet Vzsgálju a csoport axómát G xyz,, G, x ( y z) = x ( y z a) = x ( y z a) a = x y z a, mert a művelet asszocatív Hasolóa, ( x y) z = ( x y a) z = ( x y a) z a = x y a z a = x y z a, mert a művelet ommutatív s Tehát x ( y z) = ( x y) z, xyz,, G, vagys asszocatív művelet G -be G Ha léteze e semleges elem a ( G, ) algebra strutúrába, aor az x e = e x = x, x G összefüggésből x e a = e x a = x, x G Ha a ( G, ) Abel-féle csoport semleges eleme e, aor a művelet ommutatvtása alapjá írhatju, hogy x a e = x e, x G, tehát a e =, vagys e = a elégít a ( G, ) strutúrába a semleges elem létezésée axómáját, ahol a az a G elem verze a műveletre ézve G Legye x G tetszőleges Vzsgálju, hogy va-e olya x G elem, amelyre x a x x = x = teljesül, vagys x x a = x x a = a Mvel a művelet ommutatív, az x = a x G -bel elem elégít az előbb összefüggést, ahol a a a = G e G4 A ommutatvtás azoal övetez abból, hogy a ommutatív művelet Tehát ( G, ) Abel-féle csoport Megjegyzés Ez a feladat az feladat általáosítása, ahol G =, =+, a = és =

10 Algebra strutúrá l y Legye G = (, ) \{ } Igazolju, hogy az ( xy, ) x y: = x megfeleltetés művelet a G halmazo és ( G, ) Abel csoport Megoldás Meg ell vzsgálju, hogy belső művelet-e a G halmazba, vagys tetszőleges xy, G eseté x y G teljesül-e, lletve x y egyértelmű-e Az egyértelműség ylvávaló l y Az xy, G elemere x y = x poztív, mert poztív szám hatváya poztív l Az x y = egyelőség csa abba az esetbe állhat fe, ha x = vagy l y =, de eze özül az összefüggése özül egy sem teljesülhet, tehát x y G y) Mvel l y ( l x)( l l l l x = e írhatju, hogy x ( y z) = e x y z = ( x y) z, xyz,, (, )\{ } és x y = y x, x, y (, )\{ } x G eseté l x le l x e = e, tehát a semleges elem e (a természetes logartmus alapja) l x l x Tetszőleges x G eseté e = e csa aor teljesülhet, ha l x = Így l x x = e l x G, tehát ( G, ) Abel-féle csoport 4 Legye ( G, ) olya csoport, amelybe ( xy) = x y, xy, G Igazolju, hogy G Abel-féle csoport Megoldás Tetszőleges xy, G eseté ( xy) = ( xy)( xy), a hatváyozás értelmezése alapjá Felhaszálva az asszocatvtást és a feltételt, xy xy = x y, xy, G A balról, lletve jobbról egyszerűsítés szabályából apju, hogy yxy tehát ( G, ) Abel-féle csoport = xy, majd yx = xy, xy, G, 5 A ( G, ) csoportba mde x G -re x = e Igazolju, hogy ( G, ) Abel-féle csoport Megoldás xy, G-re ( xy) = e, és x = e, valamt y = e, tehát xy = e e= e, a feltétel szert Az előbb összefüggése alapjá írhatju, hogy ( xy) = x y, xy, G, és így az előbb feladat megoldásából övetez, hogy ( G, ) Abel-féle csoport a b 6 Igazolju, hogy a H = b a, b, a + b > a halmaz a mátrxo szorzásával Abel-féle csoportot épez Megoldás Igazolu ell, hogy a mátrxo szorzása belső művelet H -ba Ha a b A x y = b a H és X = ét tetszőleges -bel mátrx, aor y x H H ( ) ax by ay + bx A X = ay bx ax by H, mert

11 Algebra strutúrá ( ax by) ( ay bx ) a x b y a y b x ( a b )( x y ) + + = = + + >, ha a + b > és x + y > Az asszocatvtás, tehát G teljesülése örölőd a mátrxo szorzásáa asszocatvtásából, és mvel I = ( ), övetez, hogy I semleges elem H -ba a mátrxo szorzására ézve Mde A H > H mátrx vertálható, mert de ta= a + b >, vszot meg ell ézü, hogy egy tetszőleges H -bel mátrx verze (az általáos mátrxszorzásra ézve) H -ba va-e a b Számolással elleőrzhető, hogy A = a + b b a H A ommutatvtás azo- al övetez, ha számolju az AX és XA szorzatoat, tehát Megoldott feladato ( H, ) Abel csoport Ha ( G, ) félcsoport és e G úgy, hogy a) ea = a, a G és b) a G b G úgy, hogy ba = e, aor ( G, ) csoport Megoldás Előbb gazolju, hogy ha G -be x = x, valamlye x -re, aor x = e Valóba, a b) feltétel alapjá y G úgy, hogy yx = e, tehát yx = yx = e () Vszot az asszocatvtás alapjá yx = y ( xx) = ( yx ) x = ex = x, () ahol az a) feltételt s felhaszáltu, tehát az () és () összefüggése szert x = e Igazolju, hogy ha ba = e, aor ab = e s teljesül: ( ab)( ab) = abab ( ) = aeb ( ) = ab, tehát az előbb gazolt tulajdoság alapjá ab = e Még gazol ell, hogy ae = a, a G Legye b G az az elem, amelyre ba = e = ab (az előbb gazolta alapjá) ae = a ( ba) = ( ab) a = ea = a, tehát ( G, ) csoport Megjegyzés Az előbb feladat szert a csoportaxómáat szűebbe s megadhattu vola Elégséges csa a baloldal, vagy a jobboldal semleges lletve verz eleme létezését vzsgál Legye ( G, ) csoport és a G tetszőleges elem a) Igazolju, hogy az La, R a : G G, L ( ) a x = ax és R ( x ) a = xa függvéye bjetíve b) ab, G eseté L = L L a és R = R R ab b ab a b c) ab, G, La R = R La b b Megoldás a) Az L a függvéy bjetvtását gazolju Tetszőleges xy, G eseté, ha L ( x) = L ( y), aor ax = ay, és a baloldal egyszerűsítés szabálya szert x = y, a a

12 4 Algebra strutúrá tehát a függvéy jetív Ha y G tetszőleges, aor La ( a y) = a( a y) = ( aa ) y = y, tehát a y G úgy, hogy La a y = y Tehát az La függvéy bjetív Hasolóa gazolható, hogy az R a függvéy s bjetív és az L a lletve Ra függvéye verze az L, lletve R függvéye a a b) Tetszőleges a, b G eseté L ( x ) = abx, x G és ab ( La L L b) ( x ) = a ( L x b ( x ) ) = La ( bx) = ab, x G, tehát L = L L ab a b ( ) Ugyaígy gazolható, hogy R R R ab = a c) ab, G eseté ( L R b )( ) a x La ( xb = ) = a ( xb ) = axb, x G és ( La ) ( x ) R = R ( ax) = ( ax)b = axb, x G b b Megjegyzés A fet példa alapjá a H = { La a G} és K = { R a a G} halmazo csoportot alota a függvéye összetételére ézve Legye ( G, ) a (, + csoport Készítsü el a 4 ) ( G, ) és a hozzá tartozó ( H, ) lletve ( K, ) csoporto művelettábláját Mt észlelü? M a magyarázata? Igazolju, hogy ( p )! ( )(modp), mde p prímszám eseté Megoldás ( *, ) Abel csoport, ha p * p prím, tehát p eseté * p úgy, hogy l =, vagys l (mod p) Vzsgálju meg, hogy mlye p eseté lesz verze ömaga A ( mod p) összefüggéshez jutu, am csa a =± eseté teljesülhet és = p Tehát a ( p )! = ( p ) szorzatba egyedül a ( p ) téyező lesz * olya, amelye em szerepel a -bel verze a szorzatba, mert az szorzótéyezőtől, mt semleges elemtől eltethetü Tehát ( p )! = p, és ( p )! p ( modp) Megjegyzés A fet példa a csoportelmélet alalmazhatóságát mutatja a számelméletbe Részcsoporto Láttu, hogy az (, + ) csoportba az halmaza vaa olya stabl részhalmaza, amelye az duált művelettel szté csoportot alota: például (, + ), (, + ), ({,, },+) szté csoporto Az lye csoportoat az (, + ) csoport részcsoportjaa evezzü Vszot az halmaza va olya stabl részhalmaza s az összeadásra ézve, amely az duált művelettel em alot * csoportot Ilye például az (, +) mood, vagy az (, + félcsoport b l * p )

13 Algebra strutúrá 5 Értelmezés A ( G, ) csoport H részhalmazát ( G, ) részcsoportjáa evezzü, ha ( H, ) s csoport, ahol a művelet alatt az utóbb esetbe az duált műveletet értjü Jelölés: ( H, ) ( G, ), vagy egyszerűe H G Megadu éháy szüséges és elégséges feltételt ahhoz, hogy a ( G, ) csoporta ( H, ) részcsoportja legye Tétel A ( G, ) csoport H részhalmaza aor és csa aor részcsoportja ( G, ) -a, ha a) H ; b) xy, H x y H ; c) x H x H Bzoyítás Vzsgálju a mplácót Előbb gazolju, hogy a ( H, ) csoport e semleges eleme megegyez a ( G, ) csoport e semleges elemével Valóba, e e = e () a H csoportba, másrészt pedg a G csoportba e = e e () Az () összefüggés a G csoportba s ell teljesüljö, mert a művelet ugyaaz -ba, mt G -be, tehát () és () alapjá e e = e e, és a balról H egyszerűsítés szabálya szert e = e Mvel a H -bel semleges elem megegyez e -vel, az a), b) és c) tulajdoságo azoal öveteze Fordítva, ha teljesüle az a), b) és c) feltétele, aor H -ba a belső művelet lesz és az asszocatvtás örölőd, tehát csa a semleges elem létezését ell gazolu H -ba, mert az verz elem létezését a c) feltétel bztosítja Mvel H em üres, övetez, hogy x H A c) feltételből övetez, hogy x H, és alalmazva a b) feltételt az x, x H elemere, apju, hogy e = x x H Tehát ( H, ) ( G, ) Tétel A ( G, ) csoport H részhalmaza aor és csa aor részcsoportja G -e, ha e H és xy, H xy H Bzoyítás Az tétel alapjá elégséges, ha azt gazolju, hogy az (e H és xy, H xy H ) feltétele evvalese az Tétel a), b) és c) feltételevel A mplácó ylvávaló Fordítva, mvel e H, tetszőleges x H eseté e x = x H, valamt az xy, H tetszőleges elemere xy, H, az előbbe alapjá és ( ) x y = xy H Megjegyzés Az és tétele alapjá a részcsoportot értelmezhettü vola, a tételebe szereplő feltétele segítségével Egyes öyve az tétel a), b) és c) feltételet szotá megad a részcsoport értelmezésée, és azo alapjá bzoyítjá be az általu megadott értelmezést, lletve a tételt Az és tételt a részcsoporto jellemzés tételée evezzü

14 6 Algebra strutúrá Példá részcsoportora Trváls részcsoporto A ( G, ) csoport ({}, e ) lletve ( G, ) részcsoportjat trváls részcsoportoa evezzü A em trváls részcsoportoat valód részcsoportoa evezzü Igazolju, hogy a (, + ) csoport mde részcsoportja = alaú, { } ahol Bzoyítás A tétel alapjá (, + ) részcsoportja a (, + ) csoporta, mde eseté Igazol ell, hogy cs más részcsoportja a (, + ) csoporta Feltételezzü, hogy ( H, + ) (, + ) A H = { h H h > + } halmazra teljesül a H + H befoglalás Ha H =, aor H = { }, tehát H = Elleező + esetbe, mvel H jólredezett halmaz, = m H + Igazolju, hogy H = + A maradéos osztás tétele szert m H eseté létez r < úgy, hogy m = + r, ahol Mvel H és így m H Tehát m = r H Ha r >, aor r és r elletmod megválasztásáa, tehát r = és így H A fordított befoglalás ylvávaló, tehát H = H A ( G, ) csoport cetruma (a ommutáló eleme részcsoportja) Bzoyítsd be, hogy ha (, ) csoport, aor H + < G Z = { x =, } G xy yx y G G részcsoportja ( G, ) -a Bzoyítás Az tételt haszálju e Z G, mert értelmezése szert a semleges elem mde elemmel ommutál, tehát Z em üres Ha xy Z és a G tetszőlegese, aor ( xy) a = x ( ya) = x ( ay) = ( xa) y = ( ax) y = a ( xy), tehát xy Z G Ugyaaor G, G x a x ae x a xx x ax x x xax ax = ( ) = ( )( ) = ( ) = =, tehát x, vagys Z G G Z G 4 Clus részcsoport A (, ) G csoport eseté {,,,, H = e a a a,} { a, a,, a,} részcsoportja G -e A ( H, ) részcsoportot az a által geerált clus részcsoporta evezzü, általába a H = a jelölést haszálju Ha G véges csoport, aor H s véges, tehát m,, m úgy, hogy a = a m Ebbe az esetbe feltételezhetjü, hogy < m, és az előbb egyelőséget m szorozva a -el valamely oldalról, apju, hogy a * = e, vagys úgy, hogy a = e A legsebb lye ullától ülöböző természetes számot az a elem redjée evezzü és orda -val jelöljü

15 Algebra strutúrá 7 Példá (, + ) az által geerált clus részcsoportja (, +) -a: = ; G = { } eseté ( G, ) a által geerált clus részcsoportja ( *, )-a; (, + 6 ) ({ 4,, },+) a által geerált clus részcsoportja és ord = 5 Geerált részcsoport Igazolju, hogy a ( G, ) csoport H G és K G részcsoportjaa metszete s részcsoport! Valóba, mvel e H és e K, övetez, hogy e H K Legye xy, H K ét tetszőleges elem Követez, hogy x, y H és x, y K, tehát xy H és xy K, vagys xy H K és a részcsoporto jellemzés tétele alapjá H K G A matemata ducó módszerével gazolható, hogy tetszőleges számú részcsoport metszete s részcsoport, sőt, ha G G,, aor G G Az előbb észrevétel alapjá értelmezhetjü az adott A G halmaz által geerált részcsoportot Legye A H G, A H = = H, vagys A a G csoport A -t magába foglaló részcsoportjaa a metszete Az előbbe alapjá A G -e a legsebb, A -t tartalmazó részcsoportja G Tulajdoéppe A Megjegyzés Igazolju, hogy A { x x x x A, { }, } Ha = ± A =, aor a geerált részcsoport értelmezése alapjá A = {} e, tehát teljesül a feltétel Ha A em üres, tetjü a W = { x x x x A, { ± }, } halmazt W G és A W, mert x A, x = x W és mvel x A, xx W, tehát e W Mde W -bel elem verze szté W -ből va és ét W -bel elem szorzata s eleme W -e, tehát A W G, mert A a legsebb A -t tartalmazó részcsoport Ugyaaor a részcsoport értelmezéséből övetez, hogy W A, tehát A = W 6 Ha = {, a, a,, a,} { a, a,} G e, aor azt modju, hogy ( G, ) clus csoport Példá véges clus csoportra: (, ), ( U ), ( R, +) Példá végtele clus csoportra: (, + ), (, + ) 4 Csoportmorfzmuso Vzsgálju meg alaposabba az ( U ) és (, + ) csoportoba a és + 5 művelete művelettábláját: 5, +,

16 8 Algebra strutúrá + 4 ε ε ε 4 ε 4 ε ε ε 4 ε 4 ε ε ε ε 4 ε 4 ε ε ε 4 ε ε 4 ε ε 4 ε ε ε ε 4 ε ε ε ε Észrevehetjü, hogy a ét művelettábla megegyez, az egyes eleme jelölésétől U, + 5 eltetve, vagys ha az ( ) és ( ) csoportoba az elemeet ugyaazoal az 5,, e ; ε, a ; ε, b ; ε, c ; ε 4, 4 d betűel jelölé, aor a + és művelete táblázata ugyaaz lee Erre a téyre semm magyarázat cse látszólag, hsz a ét művelet teljese ülöböz: egy multplatív, a más addtív és más-más halmazoo s vaa értelmezve Ha értelmezzü az f : U bjetív függvéyt úgy, hogy f () =, 5 5 f ( ε ) =, f ε =, f ε = 4 és f ε = 4, aor az előbb észrevett ( ) ( ) összefüggést f ( ab) = f ( a) + f () b alaba s írhatju, ahol a, b U tetszőlegese 5 Vegyü észre, hogy ha ét tetszőleges ( G, ) és ( G, ) véges csoport művelettáblája megegyez, az előbb értelembe, aor mdg létez a fet f : G G bjetív függvéy úgy, hogy f ( a b) = f ( a) f () b, ab, G eseté feálljo Az s ( ) lehetséges, hogy több lye bjetív függvéy s létez, mt azt lát fogju Ugyaaor, ha f : G G bjetív függvéy az f ( a b) = f ( a) f () b, ab, G tulajdosággal, aor a ét csoport művelettáblája megegyez, legfeljebb az egybe fel ell cserélget éháy sort és oszlopot Tehát f és ( G, ) egyértelműe meghatározza a ( G, ) művelettábláját Értelmezés A ( G, ) és ( G, ) csoportoat zomorf csoportoa evezzü, ha létez olya f : G G függvéy, amely: a) bjetív; b) művelettartó: xy, G f ( x y) = f ( x) f ( y) Az lye függvéyeet csoport-zomorfzmusoa evezzü Az zomorf csoportora a ( G, ) ( G, jelölést haszálju ) Megjegyzése Ha az f függvéyre csa a b) feltétel teljesül, aor azt modju, hogy f csoportmorfzmus vagy homomorfzmus ( G, ) és ( G, ) özött A homomorfzmuso halmazát G -ről G -re Hom ( G, G )-vel jelöljü Például az f : ), f ( ) = függvéy csoportmorfzmus (, + és (, + ) özött, de

17 Algebra strutúrá 9 em zomorfzmus (em jetív a függvéy) Ha ( G, ) csoport, aor az f : G G zomorfzmusoat automorfzmusoa evezzü Az automorfzmuso halmazát Aut ( G) -vel jelöljü Az f : G G homomorfzmusoat edomorfzmusoa evezzü, az általu épezett halmazt pedg Ed ( G) -vel jelöljü Vegyü észre, hogy evvaleca relácó a csoporto Γ halmazá: a) G Γ, G G, mert f : G G, f x = x automorfzmus; ( ) b) G, G, G Γ, G G és G G G G, mert ha g : G G zomorfzmuso, aor g f : G G s zomorfzmus; c) G G G G, mert f zomorfzmus f zomorfzmus f : G G és Tehát evvaleca relácó Γ -, így meghatároz egy osztályfelbotást: Γ = G, ahol G a G -vel zomorf csoporto halmaza Mt láttu, az zomorf csoporto azoosaa tethető olya értelembe, hogy csa az eleme jelölése és a művelet eve ülöböz, ezért a G -bel csoporto smeréséhez elegedő, ha smerjü valamely G csoport művelettábláját és az zomorfzmusoat, am összeapcsolja G -t a G osztály tetszőleges csoportjával Ezzel elértü a moder G algebra ét céltűzéséhez: a) Egy G osztályo belül az zomorfzmuso smerése; b) Az összes osztályo smerése Morfzmuso tulajdosága Legyee ( G, ), ( G, ) csoporto és f : G G morfzmus, tehát f ( x y) = f ( x) f ( y), xy, G Alalmazzu a fet összefüggést az semleges eleme Tehát = x = y = e f ( e e ) = f ( e) f ( e ), vagys f ( e ) f ( e) f ( e) G -be Mvel ( G ) csoport, létez ( ) elemre, ahol e a G csoport =, () mert e e e, f e -e verze G -be, beszorozva az () összefüggést valamely oldalról f ( e ) -el, apju, hogy f ( e) f ( e ) = f ( e ) ( f ( e ) f ( e ) ), és haszálva az asszocatvtást, e e f e f e = e () ( ), ahol e a G csoport semleges eleme, tehát ( ) = Vszot x G eseté x x = x x = e, a () összefüggés alapjá írhatju, hogy e = x x = f x f x és e = f ( x x) = f ( x ) f ( x), f ( ) ( ) ( ) ( ) tehát a G csoportba tetszőleges x G -re f x = [ f ( x) ]

18 Algebra strutúrá A morfzmus értelmezése alapjá írhatju, hogy f ( x x) = f ( x) f ( x) = [ f ( x) ], és feltételezve, hogy általába f ( x ) = [ f ( x) ], írhatju, hogy ( + ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) f x f x x f x f x [ f x ] f ( x) = [ f ( x) ], tehát a matema- ta ducó elve alapjá f ( x ) = [ f ( )], x G, (az = eset potosa az ( ) f e x = e, már gazolt összefüggést jelet) + Összefoglalva a fet eredméyeet, bebzoyítottu az alább tételt: Tétel Ha ( G, ) és ( G, ) csoporto és f : G G morfzmus, aor a) f ( e ) = e ; b) f ( x ) = [ f ( x) ], x G ; c) f ( x ) = [ f ( x) ], x G,, ahol e a G csoport semleges eleme és e a G csoport semleges eleme Példá, megoldott feladato Láttu, hogy ( G, ) csoport eseté G G Igazolju, hogy a Kle csoport em zomorf a (, + csoporttal 4 Megoldás Ha léteze egy f : K zomorfzmus, aor 4 f ( x x) = f ( x) + f ( x), mde x K eseté Vszot f ( u u) = f ( e) =, tehát f ( x) + f ( x) =, x K Mvel f bjetív, övetez, hogy =, 4 Ez em teljesül, mert = eseté = -be, tehát a ét csoport em zomorf a b A H b a a, b, a b *, csoporttal a ( ) Megoldás A = + > 4 H -bel mátrxo alaja az ) csoport (a mátrxo szorzásával) zomorf * f : H, a b f b a = a + b * zomorfzmust sugallja f jól értelmezett, mert ha a + b >, aor a + b és a + b egyértelműe meghatározott omplex szám Elleőrzzü, hogy ez a függvéy a b x y valóba zomorfzmus Ha A = b a és X = ( y x) tetszőleges H -bel eleme, ax by ay + bx aor AX = x by és ay bx a

19 Algebra strutúrá ax by ay + bx f ( A+ X) = f ay bx ax by = = ( ax by) + ( ay + bx) = ( a + b) ( x + y) = f ( A) f ( X ), tehát f művelettartó f bjetvtása az értelmezés alapjá azoal övetez, tehát a vzsgált csoporto zomorfa Követezméye a) Vegyü észre, hogy a fet zomorfzmus alapjá tetszőleges A H mátrx - ed hatváyát úgy s számolhatju, hogy számolju az A -a egyértelműe * megfelelő f ( A) = z omplex szám -ed hatváyát, amt a Movre éplet alapjá egyszerűe megtehetü és ee az ősépét eressü Az ( ) ( ) cos ϕ s ϕ f A = f A = z összefüggés alapjá A = r s, ahol ϕ cos ϕ z = r( cos ϕ + s ϕ) és z = r ( cos ϕ+ s ϕ) b) Oldju meg az X + Y + Z = I X + Y + Z = 6I egyeletredszert H -ba X + Y + Z = 8I Mvel ( H, ) ( *, ) és ( H { }, + ) (,+), ugyaazzal az f : H, f ( A) = a +b zomorfzmussal, elég az egyeletredszer -bel duálsát megolda z + v + w = Ez a z + v + w = 6 egyeletredszer A Véte-féle összefüggéseet felhaszálva, z + v + w = 8 ee a redszere a megoldása { zvw,, } = {,, }, tehát { } { } { } ( ) XY,, Z = f, f ( ), f ( ) = I, I, I 4 A ( G, ) csoportba f : G G, f ( x) = axa automorfzmus Megoldás Ha xy, Gtetszőlegese, aor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f xy = a xy a = a x a a y a = axa aya = f x f y, tehát f művelettartó Igazolju, hogy f bjetív Tetjü az f : G G, f ( x) a x = a függvéyt ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) ) = ( ) = f f x = f f x = f a xa = aa xaa f f x f f x f axa a axa a x = x és =, x G Tehát f bjetív és így f automorfzmus 5 Igazolju, hogy (, + ) / (, + ) Megoldás Ha f :(, + ) (, + ) zomorfzmus, aor az f ( ) = f( ) = f( ) + f( ) + + f( ) = f( ) és f( ) = f( )

20 Algebra strutúrá egyelősége alapjá az f :, f ( ) = a függvéy bjetív Másrészt, ha p a =, aor az f em vesz fel az értéet, tehát f em bjetív Így a ét q ( q + ) csoport em zomorf Megjegyzés A bzoyítás léyege az, hogy (, +) clus és (, + ) em az 6 Legye ( G, ) csoport és H M egy tetszőleges em üres halmaz, amelye adott a : H H M függvéy (tehát em tudju a -ról, hogy belső művelet-e, vagy sem) Igazolju, hogy ha f : G H egy művelettartó bjetív függvéy, aor ( H, ) csoport és ( H, ) ( G, ), az f pedg zomorfzmus Megoldás A övetező tulajdoságoat ell gazolju: G belső művelet H -ba G asszocatív G H -ba létez az e H semleges elem a műveletre ézve G x H eseté x H úgy, hogy x x = x x = e Ha serült a fet összefüggéseet bzoyíta, aor a ( H, ) ( G, ) relácó f tulajdoságaból azoal övetez G Legye x, y H ét tetszőleges elem Mvel f szürjetív, ab, G úgy, hogy f ( a ) = x és f ( b) = y f művelettartó s, ezért írhatju, hogy x y = f ( a) f () b = f ( a b) = z, és z egyértelmű, mert f ( a b) s az, valamt z H, az f függvéy értelmezése alapjá Tehát belső művelet H -ba G Tetszőleges xyz,, H eseté haszálva smét f bjetvtását, írhatju, hogy x ( y z) = f() a ( f() b f() c ) = f() a f( b c) = f( a ( b c)) = = f (( a b) c) = f( a b) f ( c) = ( f ( a) f ( b) ) f ( c) = ( x y) z, mert ( G, ) csoport, tehát asszocatív művelet G -be G x H eseté a G, f ( a ) = x és x f() e f() a f() e f ( a e) f() a x f ( e) x = = = = =, tehát f () e = e semleges elem H -ba G x H eseté a G, f ( a ) = x ( ) ( a ) ( ) és e = f a a = x x, valamt e = f aa = x x, ahol x = f H, tehát mde x H eleme va verze H -ba Ezzel a bzoyítást befejeztü Megjegyzés Az előbb eredméy so feladat megoldását öyít meg Az olya feladato esetébe, amelye azt ér, hogy gazolju egy ( H, ) strutúráról, hogy csoport és zomorf a ( G, ), már smert csoporttal, a fet eredméy alapjá elégséges megadu egy f : G H művelettartó és bjetív függvéyt, mert az garatálja azt s, hogy ( H, ) csoport lesz

21 Algebra strutúrá Morfzmus magja Ahhoz, hogy egy f : G G morfzmus zomorfzmus legye, f bjetív, vagys jetív és szürjetív ell legye Igazolju, hogy f jetvtásához szüséges és elégséges az a feltétel, hogy az f ( x) = e, x G összefüggésből övetezze, hogy x = e, vagys f ( e) = { e}, ahol f ( e ) az e ősépét jelet Bzoyítás Ha f jetív, aor gaz az állítás, mert tudju, hogy f ( e ) és x G eseté f ( x) = e = f ( e )-ből övetez, hogy x = e Fordítva, ha f ( e ) = { e } = e, aor legye x, y G ét tetszőleges elem úgy, hogy f ( x) = f ( y) Szorozzu be az egyeletet jobbról [ f ( y)] -el: f ( x) [ f ( y) ] = e () Láttu, hogy [ ( )] f y = f ( y ), tehát ()-ből övetez, hogy ( ) ( ) = és a morfzmus értelmezése alapjá ( ) f x f y e f x y = e A feltétel szert x y = e és balról szorozva y -al, apju, hogy x = y, vagys f jetív Ezzel a bzoyítást befejeztü és adtu egy szüséges és elégséges feltételt arra, f e = e ell teljesüljö hogy egy morfzmus jetív legye: ( ) { } Általába az f : G G morfzmus eseté az f ( e ) Az ( ) halmaz több elemből áll f e halmazt az f morfzmus magjáa evezzü és Ker f -fel jelöljü A fet eredméyt így s megfogalmazhatju Tétel Az f : G G morfzmus potosa aor jetív, ha Ker f = { e } Igazolju, hogy Ker f részcsoportja G -e! Már láttu, hogy f ( e ) = ( ) tetszőlegese Eor e, tehát e Ker f Legyee xy, Kerf f x y = f ( x) f = f x) [ f ( y) ] = e e = e, ( y ) ( : tehát x y Ker f, és a részcsoporto jellemzés tétele alapjá Ker f G Morfzmus épe Az előbbebe adtu egy szüséges és elégséges feltételt arra, hogy egy f G G morfzmus jetív legye A szürjetvtás aor és csa aor fog teljesül, ha Im f = G, am em mdg gaz Vzsgálju meg az Im f G halmazt Mvel ( ) f e = e uv, úgy, hogy ( ) G ( f ( v) ) y, övetez, hogy e Im f Általába, ha x, y Imf, aor f u = x és f ( v ) = y A másod összefüggés szert f v = [ f v ], írhatju, hogy = és mvel ( ) ( ) x y f u f v f u v = ( ) ( ) = ( ), tehát xy Im f

22 4 Algebra strutúrá A feteből övetez, hogy Im f G Összegezve a apott eredméyeet, írhatju, hogy az f : G G morfzmus aor és csa aor zomorfzmus, ha Ke r f = { e } és Im f = G I Izomorfzmus tétel Megoldott feladat Legye ( G, ) és ( G, ) ét csoport, valamt f : G G egy morfzmus a) Igazolju, hogy a relácóál bevezetett er f olya evvaleca relácó (emléezzete vssza, hogy a tetszőleges A, B halmazora és f : A B függvéyre a er f relácót a övetezőéppe értelmeztü: e r f = ( AAR,, A A) def aer f b f a = f ( ) () b ), amely ompatbls a művelettel, vagys ha teljesüle az a er f b és c er f d összefüggése, aor ( a c) er f ( b d) b) Tetjü a G /erf fatorhalmazt Igazolju, hogy : G/er f G/er f G/erf, xy : = x y művelet a G /erf halmazo c) Igazolju, hogy a g : G/erf G, g( x ) = f() x függvéy jól értelmezett, jetív morfzmus Megoldás a) A feltétel szert f ( a) = f () b és f ( c) f ( d), tehát G -be a helyettesítés = törvéye alapjá f ( a) f ( c) = f () b f () d, és mvel f morfzmus, övetez, hogy f ( a c) = f ( b d), vagys ( a c) er f ( b d) b) Az, hogy az eredméy a G /erf halmazból va, ylvávaló Egyedül az egyértelműséget ell megvzsgál Feltételezzü, hogy x, x x, y, y y A feltétel szert x er f x és y er f y ( ) hogy x y = x y Ez alapjá a művelet jól értelmezett így, tehát az a) pot alapjá ( x y ) er f x y és e övetez, c) g jól értelmezett, mert x, x x eseté er x, tehát g ( x) = f ( x) = f ( x ) = f x ( ) x f f ( x ) = f ( x ) Igazolju, hogy g jetív x, y G /erf a g( x ) = g( y ) egyelőségből és, és egyértelmű (em függ a reprezetástól) övetez, hogy fx ( ) = f( y), tehát x er f y és így x = y az evvaleca relácó tulajdosága alapjá Ezért g jetív Igazolju, hogy g morfzmus: g( xy) = g( x y) = f ( x y) = f ( x) f ( y) = g( x) g( y), xy, G/erf

23 Algebra strutúrá 5 Megjegyzése Az előbb feladatba a tetszőleges csoportból az G f : G G G morfzmus segítségével felépítettü egy G csoportot és egy g : G jetív morfzmust Vegyü észre, hogy a G halmazo a művelet bevezetéseor potosa ugyaúgy jártu el, mt -be a művelete bevezetéseor és ugyaúgy gazoltu, hogy a művelet jól értelmezett, mt -be A -bel összeadást megaphatju az előbb eljárással s, ha az f :(, + ) ( U,), ahol {, εε,,, ε π π U = } és ε = cos + s, f ( ) = ε morfzmust tetjü és elvégezzü a fet fatorzácót, lletve az új művelet bevezetését 4 A er f relácó és a Ker f G részcsoport özött feáll az alább összefüggés: er f = Ker f ) 5 A ( G /er f, csoportot a G er f szert fatorcsoportjáa evezzü Iább a G /Kerf jelölést szotu haszál Ezért, a megjegyzés alapjá = / Az előbb feladatba tulajdoéppe a övetező tételt gazoltu: Tétel (I zomorfzmus tétel) Ha ( G, ) és ( G, ) csoporto és f : G G egy morfzmus, aor G Im /Kerf f Bzoyítás Egy zomorfzmust ell megadju, am ylvá az előbb megszeresztett g : G /Kerf Imf függvéy lesz g jetvtását az előbb feladatba gazoltu, a szürjetvtás pedg oa övetez, hogy G helyett az Im f G csoportot vettü Alalmazáso, övetezméye Igazolju, hogy ( /, + ) (, + ) Megoldás Szeresztü egy f : szürjetív morfzmust, melyre /Ker f = / Mvel ehhez a Ker f = összefüggés ell teljesüljö, övetez, hogy f olya morfzmus ell legye, amelyre f ( r ) =, mde r eseté Legye f ( a + b) = b, ab, Ker f =, továbbá Im f = és ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) f z + z = f a + b + a + b = f a + a + b + b = f z + f z Tehát f szürjetív morfzmus és Ker f = Az I zomorfzmus tétel alapjá ( /, + ) (, + ) Legye ( a, ) egy clus csoport Igazolju, hogy, úgy, hogy a Megoldás Legye f : x, f ( ) = a f morfzmus, mert

24 6 Algebra strutúrá + f ( l) a a a f = a = a l l + = =, továbbá Im { } { Ker f = f ( ) = e} (, + ), ezért létez úgy, hogy Ker f =, tehát / a, vagys a Megjegyzése Az vagys a =,,, e a a a, a, végtele halmaz esetbe, = { } alapjá apju, hogy a Említettü már, hogy egy csoportot smerü, ha smerü egy vele zomorf csoportot és egy zomorfzmust, ezért a fet példával jellemeztü a clus csoportoat Taulmáyozásuhoz elégséges a (, + ) csoport taulmáyozása Ha m, úgy, hogy ( m, ) =, aor ( m, + ) ( m, +), ahol a m halmazo az összeadást a övetezőéppe értelmeztü: ( xy, ) + ( uv, ) : = x + uy, + v, ( xy, ), ( uv, és az x, valamt y ( ) ) m jelölése a m lletve elemee a megülöböztetésére szolgála Köye gazolható, hogy ( +) csoport és semleges eleme (, m, ) Bzoyítás Legye f : m, f ( x) = ( x, x ) f morfzmus, mert mde xy, eseté f ( x + y) = ( x + y, x + y) = ( x + y, x + y ) = ( x, x ) + ( y, y ) = f ( x) + f ( y) Meghatározzu az f magját: { ( ) } ( ) { } Ker f = x f x = (, ) = x x, x = (, ) = {, } { } = x x m x = x x m = m, mert m és relatív príme Az első zomorfzmus tételből övetez, hogy g : /m I, g x = f x mf ( ) ( ) zomorfzmus, ahol x -lal jelöltü a / m = m fatorhalmaz egy elemét Igazolu ell még, hogy Im f = m Ehhez észrevesszü, hogy a m halmaza m eleme va, ezért, mvel g bjetív függvéy, az Im f halmaza s m eleme ell legye De Im f m és m -e s m eleme va, tehát Im f = m Összefoglalva a apott eredméyeet, ( m, + ) ( m, + ) Megjegyzés Az előbb tulajdoságot ía maradététele s szotá evez Alalmazás Látszólag az előbb gazolt tétele semm öze cse a számelmélethez, vszot a övetező példa alapjá ez em így va: Határozzu meg azoat az egész számoat, amelyee 5 -tel való osztás maradéa és 7 -tel való osztás maradéa Megoldás A feladat szert azoat az x számoat eressü, amelyere x = -be és x = -be Az előző tétel értelmébe f :,

25 Algebra strutúrá 7 ( ) ( u, ) f (, f u = u zomorfzmus, ezért ha x elégít a fet ét egyeletet, aor az ( ) x = ) egyeletet s ell elégítse, vszot f, = 7, tehát x = 7 -be, vagys a 5 + 7, alaú számo felele meg a övetelméyee 5 5 Lagrage tétele Az előbb fejezetebe már láttu éháy alalmazást véges csoportora Bevezettü az elem redjée a fogalmát és éháy esetbe rá s mutattu, hogy a véges csoporto elmélete jól alalmazható a számelméletbe: lye példá volta a Wlso tétel, lletve a ía maradététel Ebbe a paragrafusba megadu egy fotos elmélet eredméyt véges csoportora Feladat Legye ( G, ) egy csoport és H G Bevezetjü a övetező jelölést: xh = { xh h H }, ahol x G Igazolju, hogy ha xy, G, aor xh = yh y x H Megoldás Ha xh = yh, aor mvel e H, övetez, hogy x = x e xh, tehát x yh s ell teljesüljö Így h H úgy, hogy x = yh, vagys y x = h, tehát y x H Fordítva, ha y x H, aory x = h H és tetszőleges a xh eseté h H : a = xh = yh h yh, tehát xh yh, és hasolóa gazolhatju a fordított befoglalást Követezméy Az előbb feladat alapjá ét, xh lletve yh alaú halmaz vagy dszjut, vagy megegyez, mert ha a xh yh, aor xh = a = yh, tehát y x = h h H és xh = yh Tétel (Lagrage) Ha ( G, ) egy véges csoport és H G, aor G H Bzoyítás Ha H = G, aor az oszthatóság ylvávaló Elleező esetbe x, x,, x G úgy, hogy G = x H x H x H és xh xh =, ha j j, vagys az xh halmazo egy partícóját alotjá G -e, tehát = = H, vagys G = H, amt bzoyíta ellett G = x H Vszot az f : H x H, f () a = xa függvéye bjetíve, tehát = xh Alalmazáso Igazold, hogy a ( G, ) elemű csoportba ord( a) Igazold, hogy az elemű ( G, ) csoportba x = e, x G p Igazold, hogy a eseté a a ( mod p), ha p prímszám (Ks Fermat tétel)

26 8 Algebra strutúrá 4 Igazold, hogy a ϕ ( ) ( mod ), ha ( ) * a, =, a,, ahol ϕ ( ) az -él sebb, -el relatív príme száma, vagys ϕ az Euler függvéy (Euler tétel) 6 Az S permutácócsoport Vzsgálju meg alaposabba az ( S, ) csoportot Már tárgyaltu, hogy S =! és a permutácó szorzása általába em ommutatív Például S -ba az α = és β = permutácóra, mert αβ = αβ ( ) = α ( β ( ) ) = α ( ) =, αβ ( ) = α ( β ( ) ) = α ( ) =, αβ ( ) = α ( β ( ) ) = α ( ) = Hasolóa, βα =, tehát αβ βα A permutácó étsoros jelölése fgyelme ívül hagyja a permutácó éháy fotos tulajdoságát, és már ét permutácó szorzatáa a számolását ehézessé tesz Ee a téye a fgyelembevételével vezetjü be a clus fogalmát Cluso Legyee,,, r ülöböző egész számo és özött Ha α S a több r változót rögzít (vagys ( x) ( ) α α = x, ha x {,,, } \ {,,, r } α ( ) α ( ) = ( r ) = = r r r -clus, vagy r hosszúságú clus Jelölés: α = és ha =,,,, α, aor azt modju, hogy α egy ( r ) Megjegyzése Az -cluso mde elemet rögzítee, tehát mde -clus megegyez az detus permutácóval A -cluso ét elemet cseréle fel, és a több elemet rögzít, az lye permutácóat traszpozícóa hívju Példá clusora = ( 4 ); ( 5 4 ) 5 4 = ; = ( )( 4)() 5 = ( ) Legye α = () és β = ( 4 5) Számítsu γ = αβ -t, cluso segítségével! Írhatju, hogy γ( ) = α β( ) = α =, γ( ) = α β( ) = α 4 = 4, ( ) ( ) ( ) ( ) γ( 4) = α β( 4) = α =, ( ) ( )

27 Algebra strutúrá 9 tehát a clus végére értü Még a γ ( ) és γ () 5 értéeet ell számol γ( ) = α( β( ) ) = α() 5 = 5 és γ() 5 = α( β( 5) ) = α( ) =, tehát αβ = ( )( 4 5) = ( 4)( 5) Az α és β, S -bel permutácóat dszjut permutácóa evezzü, ha mde olya x -et, amt elmozdít az egy, rögzít a más, vagys, ha α ( x) x, aor β ( x) = x és ha β ( y) y, aor α ( y) = y Vegyü észre, hogy az értelmezés szert megegedett az olya z {,,,} létezése, hogy α( z ) = β( z) = z A cluso értelmezéséből adód, a övetező tulajdoság: α(), α() Tétel Az α és β dszjut cluso szorzata a σ () = β(), β() egyelőségeet teljesítő permutácó, tehát αβ = βα Ebből a tulajdoságból adód a permutácó dszjut clusora való botása Botsu fel a σ = permutácót dszjut cluso szorzatára Az -ből dulva az 5 clushoz jutu Az első elem, am ebből maradt a Ebből dulva a clushoz jutu és a mdét clusból maradó eleme a clust határozzá meg Az előbb tétel alapjá írhatju, hogy σ = ( 5)( 6 4 9) ( 7 8) Ez az eljárás tetszőleges permutácóra megsmételhető, tehát érvéyes a övetező tétel Tétel Mde α S permutácó felbotható dszjut cluso szorzatára Bzoyítás Megeressü a legsebb olya {,,, } elemet, amelyre f () Ha lye cs, aor a permutácó detus permutácó és egy hosszúságú clusa fogható fel Elleező esetbe a választott elem ( j ) segítségével megszeresztjü az f ( ), f( f( )),, f ( ), számoat Mvel az {,,,} halmaz véges és f bjetív ebbe a sorozatba megjele a s Ha ( f j ) () = és j a legsebb ullától ülöböző szám ezzel a tulajdosággal, aor a f, ( ),, f ( j ) ( ) számo egy c clust határoza meg Ezt megsmételjü Megeressü a legsebb olya elemet, amely em szerepel c -be és f () majd ebből dulva megszeresztü még egy clust stb Mvel véges so elemü va, véges so clus azoosítása utá már em marad olya elem, amelyre f (), és amely em szerepel egyetle addg clusba sem Így megaptu a permutácó egy felbotását dszjut clusora Ha az egy hosszúságú clusoat em számítju, aor ez az előállítás egyértelmű Követezméy Mde permutácó felírható traszpozícó szorzataét Valóba, az előző tétel alapjá elég egy clust felíru traszpozícó szorzataét és ( r) = ( r)( r ) ( )

28 4 Algebra strutúrá Vegyü észre, hogy általába a traszpozícóra botás em egyértelmű és a traszpozícó em s dszjuta Például, ( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( )( 4 )( )( 4) Úgy tű, hogy álladó marad az lye felbotásoba a megjeleő téyező számáa partása Ee bzoyítására szüségü va egy újabb fogalomra Értelmezés Az (, j) számpárt a σ permutácó verzójáa evezzü, ha < j és σ() > σ( j ) A σ permutácó verzóa számát ( σ) -val jelöljü és az ( ) εσ ( ) = ( ) σ számot a permutácó előjelée evezzü σ() σ( j) szám egatív és mde j σ() σ( j) számpár eseté ez az aráy poztív Így a szorzat előjele j Vlágos, hogy mde (, j) verzó eseté a más (, j) < j megegyez az ( ) ( σ ) előjelével Ugyaaor a σ függvéy bjetvtása matt a számlálóba s és a evezőbe s az előjeletől eltetve megjele mde lehetséges j ülöbség ( < j ) Eszert a szorzat abszolút értée, tehát gaz a övetező tétel σ() σ( j) Tétel Ha σ S, aor εσ ( ) = j Ebből övetez, hogy az ({, }, ) csoporto özt Valóba < j ε : {, } S függvéy egy morfzmus, az S és a σϕ() σϕ() j σϕ() σϕ() j ϕ() ϕ() j εσϕ ( ) = = = εσεϕ ( ) ( ), < j j < j ϕ() ϕ( j) j mvel a szorzatot felbothatju ét szorzatra és az első szorzatba a ϕ változócserével ( ϕ bjetív) éppe εσ ( )-t apu Ezt tétel formájába s megfogalmazzu Tétel Ha σ és ϕ ét permutácó S -ből, aor εσϕ ( ) = εσεϕ ( ) ( ) Mde (, j ) ( < j) traszpozcó páratla, mert az és j özött eleme mdegyével mdette verzót alota (ez páros számú verzó) és egymással még egy verzót alota, tehát traszpozcóba az verzó száma páratla Így mde traszpozícó előjele Ebből övetez, hogy ha egy σ permutácót traszpozícó szorzatára botu, aor a traszpozcó számáa partása csa σ -tól függ és em a felbotástól Ez doolja, hogy egy permutácót páros permutácóa evezü, ha páros számú traszpozícóra boml, elleező esetbe pedg páratlaa A permutácó előjelée vzsgálata so probléma megoldásába ulcsfotosságú Tetsü például a 5 -ös játéot Egy 4 4 -es dobozba elhelyeztü a számoat -től 5 -g és szabado hagytu egy mezőt Egy lépés azt jelet, hogy az éppe ürese álló mezőre áthelyezzü valamely oldalszomszédos mező álló számot (így persze az üres mező máshova erül) A érdés az, hogy az alább ábrá látható első állásból elérhető-e a másod

29 Algebra strutúrá Ha mde álláshoz hozzáredelü egy S -bel permutácót, aor öye megállapíthatju, hogy mlye állásoat em érhetü el egyáltalá Egyelőre csa azt vzsgálju meg, hogy az első állásból elérhető-e a másod Számozzu meg a mezőet úgy, ahogy az első ábrá látju és az üres mező legye a 6 -os Egy álláshoz redelt σ permutácóba a σ () legye a -ad mező álló szám, ha ez a mező em üres, és 6 ha a mező üres Így egy lépés a hozzáredelt permutácóa egy (, 6) alaú traszpozcóval való szorzását jelet Ha elérhető a másod állás az elsőből, aor mvel az üres mező ugyaott áll mdét pozcóba, a özbe végzett lépése száma páros Így a ét álláshoz redelt permutácó azoos partású ellee legye Az első álláshoz redelt permutácó páros (az detlus permutácó), a másodhoz redelt permutácó páratla, tehát a másod állás em érhető el az elsőből Megoldott feladat Bzoyítsu be, hogy cs megoldása -ba a σ 4 = egyelete 4 4 Megoldás Az előbb tétel értelmébe εσ ( ) = ( εσ ( )) =, tehát ha az egyelete va megoldása, aor a ϕ = 4 6 permutácó s páros Másrészt 5 εϕ ( ) = ( ) 7 =, tehát az egyelete cs megoldása 7 Gyaorlato és feladato Az I = [, 8 ] és J = [, 4] halmazoo értelmezzü a : I I, x y : = xy 9( x + y) + 9 és : J J, x y : = xy ( x + y) + függvéyeet Bzoyítsd be, hogy I és J zárt része -e a rajtu értelmezett műveletere ézve és határozd meg az I és J maxmáls részhalmazat, amelye csoportot alota az adott műveleteel Bzoyítsd be, hogy mde I = (,) a b tervallumo (a b ) értelmezhető olya művelet, amellyel az I tervallum ( *, + 6 )-tal zomorf csoportot alot Bzoyítsd be, hogy a G = (, 5 ) tervallumo értelmezett x y : = xy 5x 5y +, xy, G művelet egy ( *, )-tal zomorf csoport + * strutúrát határoz meg Számítsd az x = x x, elemet, ha x G Bzoyítsd be, hogy ( G, ) ( R, + ) 4 Bzoyítsd be, hogy mde I = (, a ) tervallumo értelmezhető olya művelet, amellyel az I tervallum csoportot alot és ez a csoport zomorf az ( *, ) csoporttal Igaz-e az állítás a J = (, a) alaú tervallumora? S 6 +

30 4 Algebra strutúrá 5 Bzoyítsd be, hogy a G = (, ) tervallumo értelmezett x y x y x y : = + hogy (, * G ) (, ) +, xy, G művelettel ( G, ) csoport Bzoyítsd be, 6 Bzoyítsd be, hogy a G = (,) a b tervallumo értelmezett ( a + b) xy ab( x + y) + ab( a +b) x y : =, xy, G művelettel ( G, ) csoport xy ( a + b)( x + y) + a + b Bzoyítsd be, hogy (, * G ) (, ) + 7 Bzoyítsd be, hogy az -e értelmezett x y : = x + y, xy, ( páratla) művelettel (, ) csoport Bzoyítsd be, hogy (, ) (, + ) 8 Bzoyítsd be, hogy az -e értelmezett x y : = ( x + y a) ( páratla) művelettel (, ) csoport Bzoyítsd be, hogy (, ) (, + ), xy, 9 Bzoyítsd be, hogy a G = (, )\{ } tervallumo értelmezett l 5 y x y : = ( x ), xy, G művelettel ( G, ) csoport Bzoyítsd be, hogy a π π G =, tervallumo értelmezett x y : = arctg( tg x + tgy), xy, G művelettel ( G, ) csoport Bzoyítsd be, hogy ( G, ) (, + ) x + y Bzoyítsd be, hogy a G = (, ) tervallumo értelmezett x y : =, + xy xy, G művelettel ( G, ) csoport Bzoyítsd be, hogy ( G, ) (, + ) Bzoyítsd be, hogy az = {( + ) } G halmaz a omplex számo szorzásával csoport A omplex számo halmazá értelmezzü a z z : = z z + ( z + z ), xy, műveletet Határozd meg az α számot úgy, hogy a ( \{ α}, ) strutúra csoport legye 4 Bzoyítsd be, hogy a G = (, ) (, ) halmaz az (,) ab (, xy): = ( ax a x+, by b y+ 6 ), ( ab,),(, xy) G művelettel csoportot alot 5 Bzoyítsd be, hogy az az + b F= f: A A f( z) =, abcd,,,, ad bc= halmaz, ahol cz + d A= { z Im z > } csoportot alot a függvéye összetételével x y 6 Bzoyítsd be, hogy az M = y x, y, 4x y = x halmaz a mátrxo szorzásával csoportot alot

31 Algebra strutúrá 4 a a 7 Bzoyítsd be, hogy az a M = a halmaz a mátrxo szorzá- sával csoportot alot és ( M, ) (, + ) t t + t 8 Bzoyítsd be, hogy az M = 4t t halmaz a mátrxo szorzásával csoportot alot és ( M, ) (, + ) 9 Bzoyítsd be, hogy az A a, j + (mod ) = j, a =, j=, j, j + mátrx egész (mod ) tevőjű hatváyaból alotott halmaz a mátrxo szorzásával, az -ed redű omplex egységgyöö csoportjával zomorf csoportot alot Oldd meg az alább egyeleteet a megfelelő csoportoba: a) (, + ), x + = ; b) 5 (, ), x = ; c) ( GL ( ), ), 4 x = 5 A (, ) moodba megoldható-e a x = 5 egyelet? Hát az 5x = egyelet? 6 Határozd meg (, + ) és (, + részcsoportjat és azo redjét! ) G = e, a, a,, a clus csoport részcsoportjat! Határozd meg a { } 4 Határozd meg a (, ) és (, + ) csoportoba az eleme redjét Bzoyítsd be, hogy a ( GL ( ), ) és ( *, ) csoporto özött a * det : GL ( ), függvéy morfzmus 6 Háy ülöböző r -clus létez S -be, ha r? 7 Bzoyítsd be, hogy ha αβ, S dszjut permutácó, és αβ =, aor α = β = e, ahol e az detus permutácó 8 Mutasd meg, hogy egy clus tetszőleges hatváya em mdg clus ( α j + j 9 Legye α egy r -clus Igazold, hogy, r = j,, ahol az alsó dexeet ( mo dr ) tetjü Igazold, hogy ha α egy r -clus, aor α r = és α, ha {,,, r } Ha α = ββ β a β dszjut r cluso szorzata, m =, m, aor a l legsebb olya l poztív egész szám, amelyre a = potosa az r, r,, r m számo legsebb özös többszöröse = ) ( )

32 44 Algebra strutúrá Gyűrű és teste Ebbe a paragrafusba étműveletes algebra strutúráat fogu taulmáyoz A gyűrű fogalma először a számelmélet eretébe jelet meg, az egész számo összeadásával és szorzásával a halmaz gyűrűt alot, mt lát fogju Később számos újabb alalmazása lett a gyűrűe, megjelete a polomgyűrű, a Boole gyűrű, mátrxgyűrű, függvéygyűrű, stb Értelmezés A em üres R halmaz a bee értelmezett + : R R R összeadással és : R R R szorzással gyűrűt alot, ha G ( R, + ) Abel csoport; M ( R, ) mood; D a szorzás dsztrbutív az összeadásra ézve: x( y + z) = xy + xz, ( y + z) x = yx + zx, xyz,, R Megjegyzése Ha felírju a G és M tulajdoságoat, aor a D-vel együtt 7 axómát apu Ezeet evezzü a gyűrű axómáa A étoldal dsztrbutvtás azért szüséges, mert a művelet em feltétleül ommutatív Ha ( R, ) ommutatív mood, aor azt modju, hogy ( R, +,) ommutatív gyűrű A műveletre ézve vertálható elemeet a gyűrű egységee evezzü 4 ( M ( ), +, ) em ommutatív gyűrű Láttu, hogy léteze olya A, B M ( ) mátrxo, amelyere A, B, de AB = Az lye mátrxoat zérusosztóa eveztü Például, M ( ) -be A = és lye mátrxo B = Hasolóa, alább módo: -be, ha értelmezzü a függvéye összeadását és szorzását, az ( f g)( x) : f ( x) g( x) + = +, x, ( fg)( x) : f ( x) g ( x) =, x, aor (, +, ) gyűrű, zéruseleme a ullfüggvéy: θ ( x) =, x és egység-, eleme az ι ( ) függvéy Legye például f ( x) x < x =, x =, x és g( x ) = f ( x), x Nylvávaló, hogy f, g θ, vszot fg = θ Azt modju, hogy az R gyűrű zérusosztó metes, ha xy, R, x, y xy Például, (, +, ) zérusosztó metes gyűrű Általába a legalább ét elemet tartalmazó, ommutatív és zérusosztómetes gyűrűt tegrtástartomáya evezzü (, +, ), (, +, ), (, +, ) és (, +, ) tegrtástartomáyo

33 Algebra strutúrá 45 Tovább példá ( R, ) és ( Z,, + ) ommutatív gyűrű A csoporto paragrafusba láttu, hogy ha em prímszám, aor (, +, ) és ( R, ), em tegrtástartomáy A [ d ] gyűrű Ha d egy égyzetmetes szám, aor a [ d] = { a + b d a, b } halmaz a szoásos -bel összeadással és szorzással ) gyűrűt alot A ( [ d ], +, gyűrű, ulleleme e = + d = és egységeleme e = + d = Sajátos esetbe, ha d =, aor a ( [ ], +, ) gyűrűt apju, am t a Gauss-féle egésze gyűrűjée evezü Számítás szabályo gyűrűbe Legye ( R, +, ) egy gyűrű a ullelemmel és egységelemmel Azo a számítás szabályo, amelyeet a csoportoál megállapítottu, md érvéyese az összeadásra, mert ( R, + ) Abel csoport A övetező szabályo általába a ét művelet apcsolatát mutatjá, és a dsztrbutvtásból öveteze x R, x = x = Bzoyítás x = x ( + ) = x + x x + ( x ) = x + ( x x ), tehát x = (felhaszáltu az asszocatvtást és a helyettesítés törvéyét az ( R, + ) csoportba) Ugyaezt elvégezve a bal oldalo szereplő -val, apju, hogy x = Legalább ét elemet tartalmazó ( R, +, ) gyűrűbe Bzoyítás Ha = lee, aor a helyettesítés törvéye alapjá az ( R, ) moodba x = x = x =, x R, am az R = { } összefüggést jeleteé Ez elletmodás, tehát Előjelszabály gyűrűbe: xy, R eseté ( x) y = x( y) = ( xy) és ( x)( y) = xy Bzoyítás = y = (( x) + x)y, tehát ( x) y + xy =, ahoa ( x) y = ( xy), mert az összeadás ommutatív Felcserélve x és y szerepét, megapju az x( y ) = ( xy) összefüggést s Végül, ( x)( y) = ( x( y) ), az előbb gazolt összefüggés alapjá, tehát ( x )( y ) = ( ( xy) ) = xy x = x, mert csoportba általába ( ) 4 Vezessü be a voás műveletét az ( R, +, ) gyűrűbe Értelmezés szert a b = a + ( b), ab, R, ahol b a b R elletettjét jelet Az így bevezetett voás dsztrbutív a szorzásra ézve, vagys xyz,, R, x( y z) = xy xz és ( y z) x = yx zx Bzoyítás x ( y z) = x ( y + ( z) ) = xy + x ( z) = xy ( xz) = xy xz Hasolóa gazolható a más összefüggés s +

34 46 Algebra strutúrá 5 Zérusosztó metes ( R, +, ) gyűrűbe érvéyes a bal- és jobboldal egyszerűsítés szabály a műveletre ézve, ha az egyszerűsítés -tól ülöböző elemmel törté Bzoyítás Ha xy = xz, aor xy xz =, tehát x( y z) =, és mvel x, valamt a gyűrű zérusosztó metes, övetez, hogy y z = tehát y = x Hasolóa, yx = zx és x y = z Megoldott feladato Bzoyítsu be, hogy ha ( R, +, ) ommutatív gyűrű, aor ab, R eseté: ( a + b)( a b) = a b ; ( a + b) = a + ab + b ; ( a b) = a ab + b, ahol ab = ab + ab (lásd a hatváyozás értelmezését csoportoba) Megoldás ( a + b)( a b) = a( a b) + b( a b) = ( a ab) + ( ba b ) = a b ( a + b) = ( a + b)( a + b) = a( a + b) + b( a + b) = = a + ab + ba + b = a + ab + b Felhaszáltu a dsztrbutvtást és a már gazolt számítás szabályoat A harmad összefüggés övetez a másodból, ha b helyett b -t helyettesítü Legye ( R, +, ) egy olya ommutatív gyűrű, amelybe a = a + a + a =, a R Igazold, hogy ( a + b) = a + b, ab, R Megoldás Láttu, hogy ( a + b) = a + ab + b, tehát ( a + b) = ( a + b) ( a + b) = ( a + ab + b )( a + b) = a + a b + ab + b, de ab = ab + ab + ab = = a b + a b + a b = a b, tehát ( a + b) = a + b Általába, ommutatív gyűrű eseté a hatváytevő szert matemata ducóval gazolható, hogy érvéyes Newto bomáls tétele, vagys * ( a + b) = Ca + Ca b + + Cb, Megjegyzés Az előbb egyelőség teljesüléséhez em szüséges a gyűrű ommutatvtása, elégséges, ha ab = ba az egyelőségbe szereplő elemere Teste Értelmezés A em üres R halmaz a bee értelmezett + : R R R összeadással és : R R R szorzással testet alot, ha G ( R, + ) Abel csoport; G ( R \{}, ) csoport; D a szorzás dsztrbutív az összeadásra ézve: x( y + z) = xy + xz, ( y + z) x = yx + zx, xyz,, R Megjegyzése Ha a G-G-D feltételeet részletezzü, aor 8 axómát apu Ezeet evezzü a test axómáa Ha ( R \{ }, ) Abel csoport, aor az ( R, +, ) testet ommutatív teste evezzü,

35 Algebra strutúrá 47 Az ( R, +, ) strutúra potosa aor test, ha gyűrű, és mde -tól ülöböző eleme vertálható a másod műveletre ézve 4 Testbe csee zérusosztó Ha xy = és x, aor x -el szorozzu balról ezt az egyelőséget Így az y = egyelőséghez jutu, tehát ha xy =, aor x = vagy y = Példá (, +, ), (, +, ) és (, +, ) ommutatív teste [ d] = { a + b d a, b } Ha d egy égyzetmetes egész szám, aor a halmaz ommutatív test a valós számo összeadásával és szorzásával, mvel teljesüle a övetező feltétele: a [ d ] halmaz eleme egyértelműe állítható elő a + b d alaba; az összeadás és a szorzás asszocatív és ommutatív, a szorzás dsztrbutív az összeadásra ézve, mert eze a tulajdoságo örölőde a valós számoal végzett összeadás és szorzás tulajdoságaból (az egyértelmű reprezetácó matt); a = + d semleges elem az összeadásra ézve; mde x = a + b d [ d] eleme a szmmetrusa az x = a b d [ d ] elem; az = + d [ d] elem semleges elem a szorzásra ézve; mde x = a + b d [ d] eleme az verze a b x = d [ ] a db a db d, mert a d b (a d égyzetmetes) és xx = Az lye testeet másodredű számtestee evezzü Láttu, hogy ha p prímszám, aor a halmaz mde -tól ülöböző eleme vertálható a szorzásra ézve Ez azt jelet, hogy (, +, p ) test, ha p prímszám Vlágos, hogy ha * \{ } em prímszám, aor -be vaa zérusosztó (az valód osztó), tehát ebbe az esetbe (, +,) em test Igaz tehát a övetező állítás: A (, +, ) gyűrű ( * \{} ) potosa aor test, ha prímszám Részgyűrű, részteste p Aárcsa a csoporto esetébe, gyűrűél s előfordul, hogy az ( R, +, ) gyűrű (test) egy H részhalmaza az duált műveleteel szté gyűrűt (testet) alot Ha a ( H, +, ) gyűrű (test) semleges eleme a másod műveletre ézve ugyaaz, mt az ( R, +, ) gyűrű (test) semleges eleme, aor azt modju, hogy a ( H, +, ) gyűrű (test) részgyűrűje (részteste) az ( R, +, ) gyűrűe Ezt a övetező értelmezésebe foglaltu össze: Értelmezés A H R halmazt az ( R, +, ) gyűrű (test) részgyűrűjée (résztestée) evezzü ha az duált műveleteel ( H, +, ) gyűrű (test)

36 48 Algebra strutúrá A részcsoporto jellemzés tételehez hasolóa tt s a övetező tételeet jelethetjü : Tétel Ha ( R, +, ) gyűrű és H R, aor a ( H, +, ) strutúrát az ( R, +, ) részgyűrűjée evezzü, ha teljesüle a övetező tulajdoságo: xy, H eseté x y H ; xy, H eseté xy H Tétel Ha ( R, +, ) test és H R, aor a ( H, +, ) strutúrát az ( R, +, ) résztestée evezzü, ha teljesüle a övetező tulajdoságo: xy, H eseté x y H ; xy, H, y eseté xy H Példá (, +, ) részteste az (, +, ) teste (, +, ) részteste a (, +, ) teste (, +, ) részteste a ( [ d ], +, ) teste a b 4 Az M = b a a, b mátrxo halmaza a mátrxo összeadásával és szorzásával gyűrűt alot és ez a gyűrű részgyűrűje az ( M ( ), +, ) gyűrűe 4 Gyűrű- és testmorfzmuso A csoportoál bevezetett zomorfzmushoz hasolóa, gyűrű eseté s értelmezhetjü az zomorfzmus fogalmát Értelmezés Legye ( R, +, ) és ( R,, ) ét gyűrű és f : R R egy függvéy Azt modju, hogy f gyűrűzomorfzmus, ha teljesül a övetező három feltétel: f bjetív; f ( a + b) = f ( a) f () b, ab, R; f ( ab) = f ( a) f () b, ab, R Ha létez lye függvéy, aor azt modju, hogy a ét gyűrű zomorf egymással, vagys ( R, +, R,, ) ( ) Megjegyzése A feltétele alapjá fe ( ) = e, mert ha x R, aor f szürjetvtásából övetez, hogy létez olya x R, amelyre f ( x ) = x Így f ( e ) x = fe ( ) f( x) = fe ( x) = f( x) = x és x f( e) = f( x) f( e) = f( x e) = f( x) = x Ez alapjá fe ( ) semleges eleme az ( R, ) mooda Mvel moodba csa egy semleges elem létezhet, fe ( ) = e Ha az f : R R függvéy csa a és feltételt teljesít és fe ( ) = e, aor azt modju, hogy f gyűrűmorfzmus

37 Algebra strutúrá 49 Ha az ( R, +, ) és ( R,, ) gyűrű teste s és f gyűrűzomorfzmus, aor azt modju, hogy f testzomorfzmus 4 Ha az ( R, +, ) és ( R,, ) gyűrű teste s, és f gyűrűmorfzmus, aor azt modju, hogy f testmorfzmus 5 A csoportmorfzmusohoz hasolóa az f : R R alaú gyűrű- vagy testmorfzmusoat edomorfzmusoa és az zomorfzmusoat automorfzmusoa evezzü Példá A (, +, ) és (, +, ) teste özt az f :, fx () = x, x függvéy testmorfzmus A ( [ d ], +, ) test egy automorfzmusa az f : [ d] [ d], f ( a + b d) = a b d függvéy, mert bjetív, f (( a b d ) ( a b d )) ( ) = = f a + a + ( b + b ) d = a + a ( b + b ) d = a b d+ a b d= fa ( + b d) + fa ( + b d) és (( + ) ( + )) = ( + + ( + ) ) ( aa bbd) ( ab ab) d ( a b d)( a b d) f a b d a b d f aa bbd ab a b d = + + = = 5 Polomgyűrű = fa ( + b d) fa ( + b d) A X osztályba láttáto, hogy a ülöböző számhalmazo segítségével lehet polomoat szereszte Vzsgáltu a [X ], [ X ], [X ] és [X ] halmazoat Eze a halmazo a polomo összeadásával csoportot alota és a polomo szorzásával moodot Mvel a polomo szorzása dsztrbutív a polomo összeadására ézve, állíthatju, hogy ( [ X ], +, ), ( [ X ], +, ), ( [ X ], +, ) és ( [ X ], +, ) gyűrű Láttu, hogy ezee a gyűrűe ge eltérő tulajdosága vaa és eze a tulajdoságo mdg a,, lletve számhalmazo tulajdoságaból faada Az s belátható, hogy a polomgyűrű megszeresztése sorá ezee a halmazoa a ommutatív gyűrű strutúráját haszáltu Ezehez a polomgyűrűhöz hasolóa szereszthetü tetszőleges ommutatív gyűrűből dulva s polomgyűrűt Ha ( R, +, ) egy ommutatív gyűrű, aor tetsü az {( ) } RX [ ] = a a R, : a =, > halmazt (azo R -bel végtele sorozato halmaza, amelyee csa véges so ullától ülöböző tagju va) és értelmezzü eze a halmazo ét műveletet: a + b = c c = a + b ; ( ) ( ) ( ), =

38 5 Algebra strutúrá ( ) ( ) ( ) a b = d d = a b, j j j= Ez a ét művelet helyese értelmezett, mert ha ( ) és ( ) az RX [ ]-ből vaa, aor létez m, úgy, hogy a =, > m és b =, > és ebből övetez, hogy c =, > max{ m, } lletve d =, > m + Tétel Az előbb ét művelettel az RX [ ] halmaz ommutatív gyűrűt alot Bzoyítás Az összeadás asszocatvtása és ommutatvtása övetez az ( R, +, ) gyűrű megfelelő tulajdoságából, mvel az összeadást ompoeseét értelmeztü Az összeadásra ézve a semleges elem az detusa sorozat és egy tetszőleges x = ( a ) sorozat szmmetrusa az x = ( a ) sorozat, tehát ( RX [ ], + ) ( a ) ( a Abel-féle csoport A szorzás s ommutatív mert a b alaú összegből az = j változócserével a b összeget apju és így az b ) és ( b ) ( a ) szorzato egyelő egymással A szorzás semleges ) ( a ) eleme az e = (,,,, sorozat, mert tetszőleges sorozat eseté az ( ) ( ) értelmezés alapjá ha e a d, aor d = e a = a, = (mert az összegbe az első tag a és a több A bzoyítás teljességéhez gazolu ell a szorzás asszocatvtását és az összeadás szert dsztrbutvtását Ha x = ( a ), y = ( b ) és z =, aor az x ( y z) szorzat ( c ) ( e ) tagjara j j e = b c, Az ( szorzat aj a bc j = x y) z j j ( f ) j= = j= = = a j= j j j= ab j j j j tagjara f = av b u v c = a u vbu vc u u v =, Ha a másod = u= v= összegbe a v = és u v = j változócserét alalmazzu, aor u = v + = + j és u = j xyz,, RX [ ] g = a ( b + c ) = j j j j= j=, tehát f = a, és így x ( y z) = ( x y) z, a b j j= = j j+ j= bc j j a c x ( y + z) Ugyaaor az szorzat ( ) tagjara j j = ( m ) ( ) és, ha xy valamt xz =, g

39 Algebra strutúrá 5 aor m = a b és, tehát x y, j = j a c j ( + z) = x y + x z j j= j= xy,, z RX [ ] Ebből övetez, hogy ( RX], [ +, ) ommutatív gyűrű Megjegyzése Ezt ( RX [ ], +, ) -tal jelöljü és az ( R, +, ) gyűrű fölött polomgyűrűe evezzü, = m, = Ha a =, m és b =,, aor a ( c ) = ( a ) ( b ) sorozatra, = m + c =, m + Ez a tulajdoság az X = (,,,,,,) jelöléssel m m X X =X + alaba írható Eze segítségével tetszőleges a = ( a, a,, a,,,) RX [ ] -bel elem eseté a = a + ax+ ax + + ax ax = = Ha a műveleteet az előbb reprezetácó segítségével végezzü, aor a polomoal végzett megszoott műveletehez jutu Ezért a továbbaba ezt a reprezetácót haszálju és az RX [ ] polomgyűrűt az R -bel együtthatóal redelező polomo gyűrűjée evezzü Az előbb reprezetácó alapjá a P = a + a X + a X + + a X polom foszáma, ha a Ez azt jelet, hogy az ( ) sorozatba a és a a m =, m > A P polom foszámát gr P -vel jelöljü és a legagyobb foszámú tagot domás taga evezzü Amor az összeadás és a szorzás jólértelmezettségét gazoltu, tulajdoéppe azt bzoyítottu, hogy gr(f + g) max{gr f, gr g} és gr( f g) gr f + gr g Az összeg foszámára voatozó egyelőtleség em javítható, mert a domás tago együtthatójáa összege lehet ulla s A szorzat foszámát öyebb meghatároz, mert a szorzat domás tagjáa együtthatóját a ét téyező domás együtthatójáa szorzatából apju és így tegrtástartomáyo eseté a szorzat foszáma egyelő a téyező foszámáa összegével Ebből az s övetez, hogy tegrtástartomáy fölött szeresztett polomgyűrű s tegrtástartomáy Ezt tétel formájába s jeletjü Tétel Ha az ( R, +, ) ommutatív gyűrű tegrtástartomáy, aor g r( f g) = gr f +gr g, f, g RX [ ]; RX [ ] tegrtástartomáy A valós és omplex együtthatós polomohoz hasolóa értelmezhetjü a polom behelyettesítés értéét és a hozzá redelt polomfüggvéyt Ha ( R, +, ) egy om- mutatív gyűrű, aor tetszőleges x R és P = a + a X+ a X + + a [ ] X RX eseté a P( x ) = a + ax+ ax + + ax R elemet a P polom x -be számolt behelyettesítés értéée evezzü és a P : R R, Px ( ) = Px ( ), x R függvéyt a P -hez redelt polomáls függvéye evezzü Érdemes megvzs-

40 5 Algebra strutúrá gál, hogy a polomo osztása, oszthatósága, az rreducbls eleme létezése, a felbotás lletve a gyöö létezésée problémája hogya függ az ( R, +, ) gyűrű tulajdoságatól Ezee a problémáa az általáos tárgyalása messzemeőe meghaladja a taöyv sztjét és céltűzéset, ezért csa ét problémával foglalozu, és ezere s csa részleges eredméyeet vezetü le A X osztályos taöyvbe valós (omplex) együtthatós polomora levezettü a maradéos osztás tételét A háyados együtthatóa meghatározását lépéseét végeztü el Mde lépésbe az épp atuáls maradé és az osztadó domás tagjáa együtthatójából épezett háyados jeletette a háyados övetező tagjáa együtthatóját Ezt gyűrűbe em lehet megte, mert az együtthatóa em létez verze (mvel mdg csa az osztadó domás tagjába megjeleő együttható verzére va szüség, elégséges vola ezt vertálhatóa választa) A probléma megoldása léyegese leegyszerűsöd, ha egy ( K, +, ) ommutatív test fölött polomgyűrűbe dolgozu, mert ebbe az esetbe az osztásra ugyaaz az algortmus, mt amt levezettü X osztályba, csa a műveleteet a K -ba ell elvégez Példaét osszu el 4 -be az f = X + X + X + polomot a g = X + polommal = Első lépésbe, tehát a háyados első tagja X 4 X + X + X + X + 4 X X X X X + X + A X polomot az X polommal ell megszoroz ahhoz, hogy az eredméy a X polom legye, tehát a háyados övetező tagja X Így a másod lépésbe a övetezőet apju: 4 X + X + X + X + 4 X X X + X X X + X + X X X + X A polomot a ostas polommal ell megszoroz ahhoz, hogy az eredméy az X polom legye, tehát a háyados övetező tagja Így a harmad lépésbe a övetezőet apju: 4 X + X + X + X + 4 X X X + X + X X + X + X X X + X + X X +

41 Algebra strutúrá 5 Mvel X + foszáma sebb, mt az osztó foszáma, ezért tovább em lehet folytat Így állíthatju, hogy 4 X + X + X + = ( X + X + )( X + ) + X + A X + X + polom az osztás háyadosa és az X + polom az osztás maradéa Ez az algortmus tetszőleges ( K, +, ) ommutatív test felett polomgyűrűbe megadja a háyadost és a maradéot Eze egyértelműségée bzoyítása a övetezőéppe törté: Ha f, g K[ X], g és f = qg+ r valamt f = qg+ r, ahol gr r < gr g és gr r < gr g, aor a qg + r = f= qg+ r egyelőség alapjá ( ) g = r q q r Ebbe az egyelőségbe a jobb oldal foszáma gr g -él szgorúa sebb és a bal oldal foszáma q q eseté gr g -él agyobb Mvel ez em lehetséges, q = q és így r = Tehát test fölött polomgyűrűbe érvéyes a maradéos osztás tétele: r Tétel Ha ( K, +, ) egy ommutatív test és f, g K[ X], g, aor léteze és egyértelműe meghatározotta a q, r KX [ ] polomo úgy, hogy f = q g + r és gr r < gr g A háyadost és a maradéot az előbb algortmus segítségével határozhatju meg Ez alapjá értelmezhetjü a polomo oszthatóságát Értelmezés Ha ( R, +, ) egy ommutatív gyűrű és f, g RX [ ], aor azt modju, hogy f osztható g -vel (vagy g osztja f -et), ha létez olya h R [X] polom, amelyre f = g h (vagys ha az osztás maradé ) Az f RX [ ] polomot rreducblse evezzü az ( R, +, ) gyűrű fölött, ha em léteze olya g, h RX [ ] legalább elsőfoú polomo, amelyere f = g h (vagys ha cs valód osztóju) Elleező esetbe a polomot reducblse evezzü a ( R, +, ) gyűrű fölött Követezméye Ha ( K, +, ) egy ommutatív test és f K[ X], aor az f polom X a-val való osztás maradéa fa () Bzoyítás A maradéos osztás tétele alapjá a maradé foszáma Tehát az f = q( X a) + r egyelőségbe r egy ostas polom Ha mdét oldal a -ba számolt behelyettesítés értéét számítju, aor az összefüggéshez jutu, tehát az osztás maradé r = f( a) fa () = qa ()( a a) + r= r (Bézout tétele) Ha ( K, +, ) egy ommutatív test és f K[ X], aor az polom potosa aor osztható X a-val, ha fa () = Megoldott gyaorlato f Botsu rreducbls téyezőre fölött az = polomot f X X X

42 54 Algebra strutúrá Megoldás Határozzu meg előbb a gyöet (a Bézout tétel alapjá a gyöö segítségével elsőfoú osztóat határozu meg) Az alább táblázat az f -hez redelt polomáls függvéy behelyettesítés értéet tartalmazza x fx ( ) Tehát a polom osztható az X és az X polomoal Ha az f polomot elosztju az ( X ) ( X ) polommal, az eredméy az X + polom, tehát X + X + X + = ( X )( X )( X + ) Az elsőfoú téyező rreducblse, tehát a megoldás teljes Ugyaezt a felbotást a övetezőéppe s megaphattu vola: X + X + X + = X + + ( X + X) = ( X + )( X X + ) + X( X + ) = ( X + )( X + X + ) = = ( X + )( X X + X + ) = ( X + )( X )( X + ) A ét felbotás ugyaaz, mert = és = Bzoyítsu be, hogy az f = X + polom rreducbls -be Megoldás -be =, ( ± ) =, ( ± ) = 4, ( ± ) = 9, ( ± 4) = 5, ( ± 5) =, tehát az X + = egyelete cs megoldása Így em lehet elsőfoú osztója az f poloma Másrészt f másodfoú, tehát ha reducbls vola, aor ét elsőfoú polom szorzatára bomlaa és így az előbbe alapjá f rreducbls Megjegyzés Meghatározható az összes olya * \{} természetes szám, amelyre az f = X + polom rreducbls fölött Bzoyítsu be, hogy fölött létez ét ülöböző, legfeljebb harmadfoú polom, amelyehez redelt polomfüggvéye azoosa Megoldás A ét polom ülöbségéhez redelt polomfüggvéy detusa ulla, tehát elégséges meghatároz egy olya, legfeljebb harmadfoú f = ax + bx + cx + d, abcd,,, polomot, amelyre f () =, f () = és f () = Egy lye polom az f = XX ( )( X ) = X X polom, tehát a g = X és h = X polomohoz redelt polomáls függvéye azoosa Megjegyzés Ebből övetez, hogy a ülöböző f : polomáls függvéyeet a legfeljebb másodfoú polomo származtatjá 6 Alalmazáso Szíezés feladato, lat égyzete Feladat Szíezzü egy -es táblázat mezőt szíel úgy, hogy mde sorba és mde oszlopba potosa egyszer szerepelje mde szí (az lye táblázatoat szí-bűvös égyzetee evezzü)

43 Algebra strutúrá 55 Megoldás Egy elemű csoport művelettáblájáa mde sorába és mde oszlopába a csoport mde eleme potosa egyszer szerepel, tehát ha a csoport elemet szíezzü szíel úgy, hogy az eleme md ülöböző szíűe legyee, aor a művelettáblába megjeleő szíezés teljesít a ért feltételt Mvel mde * \{} eseté (, + ) egy elemű csoport, a ívát szíezés megszereszthető mde * \{} eseté Határozzu meg, hogy a satáblából mlye mezőet lehet vág úgy, hogy a maradé lefödhető legye -es téglalapoal (trmóal)! Megoldás A (, + ) művelettáblájáa megfelelő szíezés (lásd az előbb feladatot) segítségével töltjü a teljes 8 8 -as satáblát Így feete, fehér és szüre mezőt apu Mvel mde trmó potosa egy fehér, egy feete és egy szüre mezőt fed le, csa feete mező vételével maradhat olya tábla, amt potosa le lehet fed -es trmóal Ez azoba függetle ell legye a szíezéstől, tehát, ha a szíezést elforgatju vagy a szmmetrusát vesszü, aor a vehető mező halmaza varás ell maradjo Így az alább égy szíezésből látható, hogy a fehér erettel ellátott mező vevése eseté lehet esélyü leföd a csoa táblát Az alább ábra (lletve ee a özéppotja örül 9 -os, 8 -os és 7 -os forgással apott ábrá) alapjá látható, hogy a megjelölt 4 feete mező bármelye vehető

44 56 Algebra strutúrá Ha az -es táblázat mezőbe úgy helyezzü el az M = { x, x,, x halmaz } elemet, hogy mde sorba és mde oszlopba potosa egyszer szerepelje mde elem, aor a táblázatot M -e értelmezett lat égyzete evezzü A lat égyzete fotosa bzoyos termelés problémá, ísérlete tervezéséél Tegyü fel, hogy egy gyógyszergyár szereté ísérletez az új fájdalomcsllapító tabletta égy varása özül a leghatéoyabbat Ehhez égy ísérlet alay vállalozott Ha a égy ísérlet alayt megszámozzu -től 4 -g és A, B, C, D a égy varás, aor a ísérlet megtervezése azt jelet, hogy égy ap mdegyére megmodju, hogy mely alay mely varást apja Például a övetező táblázato lye tervezéseet tartalmaza I A A A A I A B C D I A B C D II B B B B II A B A B II D A B C III C C C C III B C D C III C D A B IV D D D D IV C A B A IV B C D A Az első táblázat eseté mde ísérlet alay ugyaolya sorredbe apja a ülöböző varásoat, holott előfordulhat, hogy a sorred befolyásolja a hatásuat A másod esetbe az első ét alay em s próbálta a D varást, tehát ezt a varást gyaorlatlag alayo ísérletezé Ezeből a példából látható, hogy alapvető övetelméy, hogy mde sorba és mde oszlopba potosa egyszer szerepelje mde varás Ilye például a harmad táblázat A gyaorlat szempotoat fgyelembe véve ez s töéletesíthető, mert ebbe a táblázatba cs vzsgálva a ülöböző varáso egymás utá sorredjée hatása (holott ez s fotos lehet) Az A C vagy A B sorred em szerepel a táblázatba Ebből a szempotból jobb a övetező táblázat: 4 I A D B C II B A C D III D C A B IV C B D A Tegyü fel, hogy a fájdalomcsllapító mellett a cég egy lázcsllapítót s fejleszt Ha ebből s 4 varás va, aor érdemes vola a ét gyógyszer együttes hatását s ísérletez (melléhatáso, stb) A feladat tehát az, hogy olya táblázatot szeresszü, amelye mde mezejébe ét betű áll, az egy az { ABC,,, D} halmazból és a más az { αβγδ,,, } halmazból és teljesüljee a övetező feltétele: mde sorba és mde oszlopba potosa egyszer szerepel az A, B, C és D betű mdegye; mde sorba és mde oszlopba potosa egyszer szerepel az α, β, γ és δ betű mdegye; a táblázatba az { ABC,,, D} { αβγδ,,, } szorzat mde eleme szerepel

45 Algebra strutúrá 57 Ez azt jelet, hogy ha csa a lat betűet tetjü, aor eze egy lat égyzetet alota, ha csa a görög betűet tetjü, aor eze s lat égyzetet alota és ha ezt a ét lat égyzetet egymásra helyezzü, aor mde lehetséges pár potosa egyszer jele meg Az lye tulajdoságú égyzeteet görög-lat égyzetee evezzü A ét lat égyzetet, amelye egymásra helyezéséből görög-lat égyzetet apu ortogoálsa evezzü Értelmezés Az M = { x, x,, x és N y halmazo fölött lat } = {, y,, y } égyzeteet ortogoálsaa evezzü, ha a ét égyzet egymásra helyezésével az M N Descartes-féle szorzat mde eleme potosa egyszer jele meg Hasolóa értelmezhetü több lat égyzetből álló pároét ortogoáls redszert, lletve többdmezós táblázatoat s (több gyógyszer együttes hatásáa vzsgálatára) A probléma Eulertől ered 779 -be özölte a övetező sejtést: Lehetetle, hogy egy felvouláso 6 tszt, a hatoét egyeragúa és hatoét egy alaulathoz tartoza, úgy vouljaa fel hat sorba és hat oszlopba, hogy mde sorba és mde oszlopba legye potosa egy tszt mde alaulatból és mde ragúból Ez a sejtés az előbb termológa szert azt állítja, hogy em létez ét 6 6 -os ortogoáls lat égyzet A sejtést 899 -be gazolta G Tarry (Le problème des 6 offcers, 9 C R Acad Sc Pars, 7-) Egyszerű és tömör bzoyítást D R Stso adott 984 -be (A short proof of the oexstece of a par of mutually orthogoal Lat squares, J Comb Theory Ser A 6(984), 7-76) A görög-lat égyzete létezésée problémáját 96-ba R C Bose, S S Shrhade és E T Parer oldotta meg (Further results o the costructo of mutually orthogoal Lat squares ad the falsty of Euler s cojecture, Caada Joural of Mathematcs, (96), 89-) A övetező tételt gazoltá: Tétel Bármely * \{,, 6} eseté létez ét -ed redű ortogoáls lat égyzet Ezt a tételt m em bzoyítju, csa a övetező, specáls esetere voatozó, előállítás tételt bzoyítju: Tétel Ha ( K, +, ) egy véges test: K { x, x, x, x,, x }, ahol x az összeadás semleges eleme és x a szorzás semleges eleme, továbbá bármely u K \{ x } eseté u xj Lu = ux = az a táblázat, amelye -ed sorába és +, j, =, elem áll, aor xj j -ed oszlopába az L u lat égyzet a K halmazo; ha u, v K\{ x} és u v, aor L és L ortogoáls lat égyzete Bzoyítás ux = u v + = + u u Az x x egyelőségből övetez, hogy ux x ux x, tehát j j j j = ux, mert ( K, + ) csoport Mvel u K \{ x } és K \{ x } s csoport, = x = u u = x j j övetez, hogy x Ez csa aor lehetséges, ha, tehát az oszlopo eleme pároét ülöböze Hasolóa az x egyelőségből övetez, hogy

46 58 Algebra strutúrá x = x j j, tehát j = j és így a soro eleme s pároét ülöböze Mvel mde sorba és oszlopba ugyaay elem áll, mt a K -ba, az L u égyzet egy Lat égyzet Ha az L u és L v em ortogoálsa, aor létez olya (, j) ( p, ), amelyre v ( x u v, x ) =, x j j ( x u p ) Így ux + x = ux +x és vx + x = vx + x, tehát p j p j p ( u v) x = (u v) x Mvel u v K \{ x } övetez, hogy x = x, vagys = Ha ezt vsszahelyettesítjü az ux + x = ux +x j p egyelőségbe, övetez, hogy x x, tehát j = p Ez elletmodás, tehát L és ortogoáls lat égyzete j = p Példa A K = {,, a, b} égyelemű halmaz a övetező ét művelettáblával értelmezett művelettel testet alot Az, ab, K\ { } elemehez a övetező lat égyzete tartoza: u L v a b a b a b b a a b a a b a a b B b a b b a L = a b a b a b b a a b b a L L a = = b a b b a b a b a b a a b Eze a táblázato pároét ortogoáls lat égyzete Ebből aphatu a bevezetőbe említett feladatra (a ét gyógyszer ísérletezésére) s megoldást Az utolsó ét égyzetből a övetező görög-lat égyzetet apju: 7 Gyaorlato és feladato ( A, α ) ( B, β ) ( C, γ ) ( D, δ ) ( C, δ ) ( D, γ ) ( A, β ) ( B, α ) ( D, β ) ( C, α ) ( B, δ ) ( A, δ ) ( B, γ ) ( A, δ ) ( D, α ) ( C, β ) I A halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: z u : = z + u, zu, ; z u : = zu + Imz Im u, zu, Bzoyítsd be, hogy (,, ) ommutatív gyűrű Határozd meg az egységeet és vzsgáld meg a zérusosztó létezését

47 Algebra strutúrá 59 x y Bzoyítsd be, hogy az M = x x, y halmaz a mátrxo összeadásával és szorzásával ommutatív gyűrűt alot és ez a gyűrű zomorf az előbb feladatba szereplő gyűrűvel A = {( xy, ) xy, } halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: (,) ab (, cd): = ( a+ cb, + d), (,),(, ab cd) ; (,) a b (, c d): = ( ac bd, ad + bc), (,),(, ab cd) Bzoyítsd be, hogy (,, ) ommutatív gyűrű Határozd meg az egységeet és vzsgáld meg a zérusosztó létezését K = a + b + c a,, b c halmaz a valós számo 4 Bzoyítsd be, hogy a { } összeadásával és szorzásával ommutatív testet alot 5 Az = {( xy, ) xy, } halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: (,) ab (, cd): = ( a+ cb, + d), (,),(, ab cd) ; (,) a b (, c d): = ( ac bd, ad + bd + bc), (,),(, ab cd) Igazold, hogy (,, ) ommutatív test és zomorf a omplex számo testével 6 A = {( xy, ) xy, } halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: (,) ab (, cd): = ( a+ cb, + d), (,),(, ab cd) ; (,) a b (, c d): = ( ac + bd, ad + bc), (,),(, ab cd) Igazold, hogy (,, ) ommutatív test és határozd meg az automorfzmusat 7 Bzoyítsd be, hogy az a+ b b alaú, mátrxo halmaza, ahol ab, a b a b, mátrxo összeadásával és szorzásával testet alot és ez a test zomorf a [ ] testtel a b 8 Bzoyítsd be, hogy a K = b a a, b halmaz a mátrxo összeadásával és szorzásával ommutatív gyűrűt alot, amely zomorf [ ]-vel 9 Az R = halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: (, xy) (, uv): = ( x+ uy, + v), xy),(, uv) R; (, x y) (, u v): = ( xu yv, xv + yu), xy),(, uv) R Bzoyítsd be, hogy ( R,, ) ommutatív gyűrű Az R = halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: (, xy) (, uv): = ( x+ uy, + v), xy),(, uv) R; (, x y) (, u v): = ( xu, yv + xv + yu), xy),(, uv) R Bzoyítsd be, hogy ( R,, ) ommutatív gyűrű Határozd meg a zérusosztóat és az vertálható elemeet

48 6 Algebra strutúrá a + b c + d Bzoyítsd be, hogy az M= c d a b abcd,,, + halmaz a mátrxo összeadásával és szorzásával egy em ommutatív testet alot Határozd meg az a,, bc paramétereet úgy, hogy az (,, T ) strutúra test legye, ha x y : = ax + by, xy, és xt y : = xy x y + c, xy, Az ( R, +, ) gyűrűbe f : A A A, (, ) = ( ) f xy xy xy, xy, R Számítsd az E( x, y) = f( + x, + y) f( + xy, ) fx (, + y) + f( x, y) fejezést 4 Bzoyítsd be, hogy mde d égyzetmetes szám eseté a [ d ] halmaz a omplex számo összeadásával és szorzásával részgyűrűje a (, +, ) gyűrűe Bzoyítsd be, hogy ha d e ét ülöböző égyzetmetes egész szám, aor a ( [ d ], +, ) gyűrű em zomorf a ( [ e ], +, ) gyűrűvel 5 Határozd meg a [] = { a + b a, b } gyűrű egységet (a omplex számo összeadása és szorzása a ét művelet a gyűrűbe) 6 Bzoyítsd be, hogy az ( R, +, ) gyűrűbe tetszőleges ab, R eseté ( ab) potosa aor vertálható, ha (ba) vertálható * 7 Bzoyítsd be, hogy bármely a,, bc és eseté létez olya ABC,,, amelyre ( a b c abc) A B C ABC + + = + + * 8 Bzoyítsd be, hogy az U = { z z = } halmazra ( ) a övetező ét jeletés evvales: a) létez a U úgy, hogy + a U ; b) létez b U úgy, hogy b U 9 Bzoyítsd be, hogy ha ( R, +, ) gyűrű és x, y R, aor a övetező ét állítás egyeértéű: a) xy x = y, yx y = ; b) xy = yx = Igazold, hogy ha az ( R, +, ) gyűrűbe x = x, x R, aor a gyűrű ommutatív Bzoyítsd be, hogy ha az (,, ) gyűrűbe x x y = y x x), x R, aor a gyűrű ommutatív Igazold, hogy ha az ( R, +, ) gyűrűbe ( xy) = x y, xy, R, aor a gyűrű ommutatív Igazold, hogy ha az ( R, +, ) gyűrűbe x = x, x R, aor x = x, x R 4 Bzoyítsd be, hogy a (, +, ) és (,, p ) testee cs valód (ömagától ülöböző) résztestü 5 Igazold, hogy mde ( K, +, ) test tartalmaz egy (, +, ) -tal vagy (,, p )-tal zomorf résztestet 6 Határozd meg a (, +, ) és (,, ) teste automorfzmusat R + ( ) ( p ) 7 Határozd meg a ( [ ], +, és ( [ ], +, ) teste automorfzmusat 8 Határozd meg az (, +, ) test automorfzmusat

49 Algebra strutúrá 6 9 Bzoyítsd be, hogy ha p egy páratla természetes szám, aor cs olya f : függvéy, amelyre f(()) f x = x + p, x Igazold, hogy [] -be gaz a maradéos osztás tétele, vagys ab, [ ], b eseté létez és egyértelmű a q, r [], amelyere a= q b + r és r < b II 4 Botsd ét téyező szorzatára [X ]-be a P = X + X + 9 polomot Botsd ét téyező szorzatára [X ]-be a P = X +X + polomot Bzoyítsd be, hogy [X ]-be a övetező polomo rreducblse: a) X 9X + ; b) X 9 X + ; c) X + X +; d) X X + 4 ] 4 A [X gyűrűbe számítsd a P = X + X + 5 és Q= X + 4X + 5X+ 6 polomo összegét és szorzatát Határozd meg a polomo gyöet és legagyobb özös osztóját s Végezd el ugyaezeet a műveleteet [X ]-ba! 5 Határozd meg azoat a [ X ]-bel polomoat, amelyehez redelt polomfüggvéy detusa ulla 6 Háy -ad foú polom létez [X ]-be? Hát polomfüggvéy? Próbálj válaszol ugyaezere a érdésere [ X ]-be Határozd meg az f = X + X + X + 4 polom g = X + X + polommal való osztás háyadosát és maradéát a [ X ] polomgyűrűbe Számítsd [X ]-be az f = 5X + X + X X + 5 poloma az 7 X + polommal való osztás maradéát és háyadosát! 9 Határozd meg az összes olya f [ X ] elsőfoú polomot, amelyre f = 4! Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy ommutatív test és f K[ X], ab, K, a b, aor f -e az ( X a) ( X b) polommal való osztás maradéa [ f ( a) f()( b ] a b) X + [ af() b bf()( a ] a b) Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy ommutatív test, f K[ X ], ab, K, a b és ( X a) f valamt ( X b) f, aor ( X a) ( X b) f Igaz-e ez az állítás egy gyűrű eseté? Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy ommutatív test és f KX [ ], =, valamt gr f =, aor = α f = α =, =, Botsd rreducbls téyező szorzatára a [ X ] legfeljebb egyedfoú polomjat 4 Bzoyítsd be, hogy ha Ax =, x, ahol A M ( ) =,, = aor A = m, =, 5 (Cayley-Hamlto) Bzoyítsd be, hogy az A λi mátrx A M( ) adjugáltjáa mde eleme legfeljebb ( ) -ed foú polom és ha P( λ) = det( A λi ), aor PA ( ) = O m

50 6 Vetortere IV VEKTORTEREK 4 Vetortere értelmezése A vetoro taulmáyozása sorá láttáto, hogy a vetoro halmazá értelmezett összeadás belső művelet, a salárral való szorzás azoba em lye természetű Ha v = ( a, b) és λ, aor λ v = ( λ a, λb) Tehát a salárral való szorzás em ét vetorhoz redel egy harmad vetort, haem egy valós számhoz és egy vetorhoz redel egy más vetort Így függvéyét a salárral való szorzat a övetezőéppe értelmezhető f :, f λ, ( ab, ) = λa, λb, λ, ( ab, ) ( ) ( ) Ilye jellegű művelete gyara előfordula és ülső művelete evezzü őet Általába, ha X és Y ét halmaz, aor az f : X Y Y alaú függvéyeet Y -o értelmezett ülső művelete evezzü Értelmezés Ha X, Y ét halmaz és f : X Y Y egy függvéy, aor azt modju, hogy f ülső művelet az Y halmazo (egyszerűe az Y -o) Példá Ha y C[ a, b] = { y :[ a, b] y folytoos} és λ, aor a ( λ y)( x) = λ y( x), x [ a, b] egyelőséggel értelmezett λ y függvéy folytoos, tehát az így értelmezett szorzás egy ülső művelet a folytoos függvéye halmazá Ha ( ) * Y = x ( x ) overges sorozat és X =, aor { } értelmezhetjü az f : X Y Y függvéyt a övetezőéppe: + m f ( m, ( x) ) = ( y ), ahol y x = Vlágos, hogy ha ( ) overges, aor ( y ) s overges bármely m eseté, tehát x = f egy helyese értelmezett függvéy és így az (,( ) ) * m x ( y ) megfeleltetés egy ülső művelet a overges sorozato halmazá Vzsgálju, hogy a vetoro tulajdoságaa taulmáyozása sorá a salárral való szorzás mlye tulajdoságat haszáltu a leggyarabba Ha egy salárral szoroztu egy összeget, aor felbothattu a dsztrbutvtás segítségével (mvel ompoeseét volt értelmezve mde művelet) λ ( v + v ) = λ v + λ v, λ, v, v Ugyaaor, ha egy összeggel szoroztu egy vetort, aor smét felbothattu a szorzatot ( λ + λ ) v = λ v + λ v, λ, λ, v Hasoló összefüggést írhatu fel, ha az előbb egyelőségbe az összeadást szorzásra cseréljü ( λ λ ) v = λ ( λ v), λ, λ, v

51 Vetortere 6 Eze a tulajdoságo -be (vagy általába -be) a valós számoal végzett művelete tulajdoságara vezetőde vssza, mert ezeet a műveleteet ompoeseét értelmeztü Belátható, hogy az értelmezés utá példába szereplő művelet em redelez a ( λ λ ) v = λ tulajdosággal ( λ v ) Például λ = λ = eseté a ( λ λ ) v alatt v = ( x ) eseté az ( y ) sorozatot + értjü, ahol y = x, míg a λ( λ v alatt azt a ) ( z ) sorozatot, amelyre = z u + u x + x + x x + x + + x + = x = = + y Ha a overges sorozato Y halmazá értelmezzü a :Y Y Y összeadást az ( x ) ( y ) = ( z ) z = x + y, összefüggéssel, aor a más ét tulajdoság (λ ( v v ) = λ és ( λ + λ ) v = λv λ v ) teljesül v λ v Ebből a példából látható, hogy az előbb vzsgált három tulajdoság özül a harmad függetle az előző ettőtől Gyara szüségü volt arra s, hogy mde vetort úgy tetsü mtha valamlye λ számmal szoroztu vola, ezt az v = v egyelőség tette lehetővé A vetoro taulmáyozása sorá a műveletee tulajdoéppe csa ezt a égy tulajdoságát haszáltu Ebből dulva szeresztü egy általáos strutúrát és vzsgál fogju azoa a tulajdoságoa az általáosítását, amelyeet a vetoro esetébe haszáltu (szaaszo egyeese, leárs leépezése stb) Legye ( K, +, ) egy ommutatív test (ebbe a fejezetbe ommutatív testeet haszálu) Értelmezés Az X halmazt, amelye értelmeztü egy belső műveletet és egy : K X X ülső műveletet K felett vetortére evezzü, ha teljesüle a övetező tulajdoságo: ( X, ) Ábel-féle csoport; ( ) a) λ x x = λ x λ x, λ K, x, x X ; λ + λ x = λ x λ x λ, λ K x X b) ( ),, ; c) λ ( λ x) = ( λ λ ) x, λ, λ K, x X ; d) x = x, x X ( a K testbe a szorzás semleges eleme) Jelölés ( X,,, K) Példá Ha ( K, +, ) egy test aor az M ( K ) halmaz vetortér K felett m, Bzoyítás ( M ( K, ), + m ) Ábel csoport a mátrxo tulajdosága és a ( K, + ) Ábel csoport tulajdosága alapjá Ha λ K és λ x = λ x j =, m j=, X = x j =, m j=,, tehát a ( K, ) strutúra tulajdosága alapjá, aor

52 64 Vetortere λ( x + y) = λx +λy, λ K és xy M ( K) ; ( ) x x λ ( λ x) ( λλ ), m, λ + λ = λ + λ x, λ, λ K és x M ( ); m, K = x, λ, λ K és x M ( K) ; x = x, x M ( K) m, Mdegy tulajdoság a K -ba végzett művelete tulajdoságara vezetőd vssza (aárcsa, esetébe) Sajátos esetbe állíthatju, hogy ( K, +, ) és ( K, +, ) vetortere K felett Ha ( K, +, ) egy test aor a m, {, } x = P K K P x = a + ax + + a x a K = K [ ] : ( ),,, halmaz (K -bel együtthatóat tartalmazó polom függvéye halmaza) vetortér K felett a övetező ét művelettel : K[ x] K[ x] K[ x], max { m, } P Q x = a + b x, m ( )( ) ( ) ahol P( x) = ax és Q( x ) = bx (a több a és b -val egyelő) = : K K x K x m [ ] [ ] ahol P( x) = ax = = = P x m = a x, = ( λ )( ) ( λ ) Bzoyítás Az összeadás ommutatív és asszocatív, mert a K -bel összeadás ommutatív és asszocatív A semleges elem a P( x ) =, x K ullpolom Bármely P K [ x] eseté a P : K K, ( P)( x) = P( x), x K a P elletettje, tehát ( K [ x ], ) Ábel csoport max { m, } m [ λ ( P Q) ]( x) λ( a b ) = + x = λax + bx λ = = = = m = λ ax + λ bx P( x) Q( x) = λ + λ = = m m m ( λ λ ) ( ) ( λ λ ) + = + = λ + λ = = = m m = λ ( ) ( ) ax + λ ax = λ P x + λ P x = = m m = = = = = P x a x ax ax = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ P x λ λa x λλ ax λλ P x

53 Vetortere 65 Tehát ( K [ x],,, K) vetortér Gyaorlato m m [ P]( x) = ax = ( ) ax = P x = = Bzoyítsd be, hogy az [ ab, ] - folytoos függvéye halmaza felett vetortér, ha f, g C[ a, b], ( f + g)( x) = f ( x) + g( x), x [ a, b], f C[ a, b], λ, ( λf)( x) = λ f ( x), x [ a, b] p Bzoyítsd be, hogy az y = α y alaú ( + p p *, α, =, p ) + = reurzót teljesítő ( y ) valós számsorozato vetorteret alota felett a övetező ét művelettel: ( x ) ( y ) ( ) = z z x, ; = + y ( x ) = ( z ) z = λ x, λ p ( p) () Bzoyítsd be, hogy az y = α y dfferecálegyelet megoldása ( p *, α, =, ) = művelettel: y + y x = y x + y x, x ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ y)( x) λ y( x) x p vetorteret alota felett, a övetező ét =,, λ 4 Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy test, aor az L = { f : K K f ( αx + βy) = αf ( x) +βf ( y), α, β, x, y K} függvéye halmaza K felett vetortér a övetező műveleteel: f g L ( f g) ( x) = f ( x) + g( x), x K ;, f L, λ K, ( λ f) ( x) = λ f ( x), x K 5 Bzoyítsd be, hogy a C és C halmazo vetorteret épeze az felett a övetező műveleteel: x = x, x,, x, y y, y,, y z = z, z,, z eseté ( ) = ( ) ( ) x y = z z = x + y ( mod ) =,, { 4, }; λ x = z z = λ x ( mod ), =,, { 4, } C = {(,, ),(,, ),(,, ),(,, )}, C = {(,,,, ),(,,,, ),(,,,, ),(,,,, )}

54 66 Vetortere 6 Bzoyítsd be, hogy ha ( V,,,K) vetortér a (,, ) részteste (,, ) K + test felett és ( K, +, ) V,,,K ) ( K + ) felett Sajátos esetbe K + -a, aor ( vetortér,, (, +, ) vetortér (, +, ) felett! 7 Bzoyítsd be, hogy a vetortér értelmezésébe szereplő utolsó égy feltétel egymástól függetle 8 Bzoyítsd be, hogy a V = { x x x + y < } halmaz az x y = és + xy α y = th( α arcth x ), x, y V, α műveleteel vetortér felett u u e e ( th u = és ar cth ee az verz függvéye) u u e + e 9 Bzoyítsd be, hogy ha V és V vetortere K felett, aor a V V Descartesféle szorzat s tethető K felett vetortére! Lehet-e a (, + ) halmazt (, +, p ) felett vetortére tete, ha p prím?, + p, ) Bzoyítsd be, hogy ha ( ) Háy eleme lehet egy ( felett vetortére, ha p prímszám? lehet K felett vetortér K, +, részteste a ( K, +, ) teste, aor em 4 Résztere Az előbb paragrafus 5 feladatába láttu, hogy a C halmaz vetortér felett, tehát a -bel műveletere ézve Azt modju, hogy ( C,,, ) résztere a (,,, ) -e Általába a övetező értelmezést adju: Értelmezés Legye ( K, +, ) egy test és ( V,,, K) egy vetortér K felett Ha az U V halmazra teljesül a övetező ét tulajdoság: a) u, u U eseté u + u U ; b) λ K, u U eseté λ u U, aor azt modju, hogy ( U,,, K) résztere (vagy altere) a ( V,,, K) vetortére Példá Ha ( V, +,, ) egy valós vetortér, és v, v V, aor a { λ λ λ, λ } v, v = v + v halmaz résztere a ( V, +,, )-e Bzoyítás Ha u v és u v, aor = λ + λ v = λ + λ v ( λ λ ) ( λ λ ) u + u = + v + + v v, v és ha λ, u = λv + λ v, aor K

55 Vetortere 67 ( ) ( ) λu = λλ v + λλ v v, v Tehát ( v, v, +,, ) résztere (,,, )-e V + Megjegyzés Ez a résztér a legsebb olya résztere V -e, amely tartalmazza a v és v vetoroat Ha U résztere V -e és v, v U, aor tetszőleges λ és λ valós számo eseté λ v U és λ v U, a másod tulajdoság alapjá Az első tulajdoság és az előbb eredméy alapjá λv + λ v U, tehát v, v U Mvel v, v résztere V -e, ezért v, v a legsebb v -et és v -t tartalmazó résztér A v, v részteret a v és v vetoro által feszített (vagy geerált) résztére evezzü A szeresztés több vetor eseté s hasoló Ha v, v, v V, aor a, v, v,, v,, = λv λ = = halmaz résztere V -e és ez a legsebb olya résztere V -e, amely tartalmazza a v, v,, v elemeet Az x + y + z = egyeletet teljesítő ( xyz,, ) számhármasoból alotott halmaz az -bel műveleteel az (, +,, vetortér résztere Bzoyítás Ha x + y + z = és x + y + z =, aor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x + x + y + y + z + z =, tehát az x, y, z + x, y, z = x + x, y + y, z + z elem s a vzsgált halmazba va Ha x + y + z = és λ, aor λx + ( λy) + ( λy) =, tehát a ( λx, λy, λz) s a vzsgált halmaz eleme Ebből a ét tulajdoságból övetez, hogy az U = ( x, y, z) x + y + z = { } ) halmaz résztere az (, +,, vetortére Gyaorlato Bzoyítsd be, hogy az alább halmazo a megadott vetortere résztere: a) U = ( x, y) ax + by =, V =, +,, ; { } ( ) {, y, x, y } = (, +,, ) { C a, b y y y } [, ] { :[, ] folytoos} b) U = ( x ), V ; c) U = y [ ] + + =, V C a b f a b f = = ; )

56 68 Vetortere ( ) 5 d) U = {(,,,, ),(,,,, ),(,,,, ),(,,,, )}, V =, +,, ; U a, V = (, +,, ) e) = { + b a, b } Bzoyítsd be, hogy ha ( U, +,, ) résztere a ( V, +,, )-e, aor ( U, + ) részcsoportja ( V, + )-a Bzoyítsd be, hogy ha ( U, +,, ) és ( U, +,, ) ét résztere a ( V, +,, ) vetortére, aor ( U U, +,, ) s résztere V -e 4 Bzoyítsd be, hogy ha ( U + ) és ( U, +,, ) ét résztere a ( V, +,, ) vetortére, aor az,,, {, } U = u + u u U u U ) halmaz s résztere ( V, +,, -e (Ezt a vetorteret U + U -vel jelöljü) 5 Bzoyítsd be, hogy ha ( U, +,, ) résztere ( V, +,, ) -e és a relácót az u v u v U összefüggéssel értelmezzü, aor evvaleca relácó Bzoyítsd be, hogy ha a szert evvaleca osztályoo értelmezzü az alább műveleteet: u + v : = u + v λ u : = λ u aor az evvaleca osztályoból alotott V U fatorhalmazo egy vetortér strutúrát értelmeztü 4 Leársa függetle és geeráló redszere A leárs ombácó fogalmát már orább taulmáyatoból smerte Itt általáosabba értelmezzü, mt eddg Értelmezés Ha ( K, +, ) egy test és ( V, +,, K) egy vetortér K felett, aor v, v,, v V és λ, λ,, λ K eseté az x = λv + λ v + + λ v vetort a v, v,, vetoro (λ, λ,, λ salároal számolt) leárs v ombácójáa evezzü Az értelmezés alapjá a v, v,, v V vetoro által geerált résztér a v, v,, v vetoro összes leárs ombácóa halmaza és -be láttu, hogy v, v,, v ( xy, ) = x (, ) + y (, ) és ( xyz,, ) = x (,, ) + y (,, ) + z (,, ), tehát a tér mde eleme előállítható vagy elem leárs ombácójaét = (, ),(, ) és = (,, ),(,, ),(,, )

57 Vetortere 69 Hasoló jeleséget boyolultabb leárs terebe s láttu Az y y + y = x x egyelet megoldása y = c e + c e alaúa, tehát modhatju, hogy C ( ) -be x az egyelet megoldáshalmaza az y e és y = e eleme által geerált résztér = x x, x = { : ( ) = λ x + λ x, } e e f f x e e x Ezeél a példáál fotos, hogy a választott eleme ((, ),(, ) vagy (,, ),(,, ),(,, ) vagy y és y ) em írható fel egyszerűbb vagy evesebb elem leárs ombácójaét Ezért fotos a övetező fogalom Értelmezés A ( V, +,, K) vetortérbe a { v, v,, v } vetorredszerről azt modju, hogy leársa függetle, ha gaz a övetező mplácó: λv + λ v + + λv = λ = λ = = λ = Elleező esetbe a vetorredszert leársa függőe evezzü Megoldott feladato Bzoyítsd be, hogy -be a v = (,, ), v = (,, ) és v = (,, ) vetoro leársa függetlee! Megoldás λv + λ v + λv = λ,, λ + λ, λ, λ + λ, λ, λ = ( ) ( ) ( ) ( λ λ + λ, λ + λ, λ + λ + λ ) v + v + λv = Tehát, ha λ λ, aor a λ λ + λ = λ + λ = λ + λ + λ = leárs egyeletredszerhez jutu Ez egy homogé redszer és a redszer mátrxáa determása = =, tehát a redszere csa a trváls megoldása létez Mvel a λv + λ v + λv = egyelőségből övetez, hogy λ = λ = λ =, a vzsgált vetorredszer leársa függetle Megjegyzés Általába -be a v, v,, v vetorredszer potosa aor leársa függetle, ha a vetoro oordátából (mt oszlopoból) alotott mátrx determása em ulla Bzoyítsu be, hogy Ca [,b] -be a f :[ ab, ], f ( x ) = e rx, x [ a, b] függvéyredszer leársa függetle, ha r r j eseté j

58 7 Vetortere Megoldás Feltételezzü, hogy λe rx + λe r x + + λ e r x =, x [ a, b] A jobb oldalo egy derválható függvéy áll, tehát a derváltja s ulla A derválás rx szabályo alapjá az ( ) f x = λe függvéy derváltja f ( x) = λ re = = rx Ha ezt az ötletet haszálju még ( ) -szer, a övetező redszerhez jutu: rx r x r x λe + λe + + λ e = rx r x r x λre + λ re + + λ re = rx r x r x λr e + λ r e + + λ = r e Ez egy leárs redszer λ, λ,, λ smeretleeel, és a redszer mátrxáa a determása r r r r r + r + + r x r + r + + r x = r r r r e = e r r j < j r r r r ( ) ( ) ( ) a feltétele alapjá Tehát λ = λ = = λ = és így a vzsgált függvéyredszer leársa függetle Bzoyítsu be, hogy -be az e leársa függetle = (,,,,,, ) ( ) ( ) =, vetorredszer Megoldás λe = λ, λ,, λ =,,, λ = λ = = λ = = Látható, hogy léteze olya vetortere, amelyebe választható éháy elem úgy, hogy a tér mde eleme felírható legye a választott eleme leárs ombácójaét Ilye az -be az előbb példába szereplő ( ) =, e redszer Általába az lye redszereet geeráló redszeree evezzü Értelmezés A ( V, +,, K) vetortérbe a { v, v,, v } vetorredszert geeráló redszere evezzü, ha v V eseté létez λ, λ,, λ úgy, hogy Példá -be az ( ) e =, v = λv + λ v + + λ v redszer egy geeráló redszer -be a v = (, ), v = (, ) és v = (, ) vetoroból alotott redszer egy geeráló redszer Ca [,b] -be em létez véges geeráló redszer

59 Vetortere 7 Bzoyítás Tegyü fel, hogy létez véges az ( f ) =, geeráló redszer Mvel az e :[ a, b] e = e x, x [ a, b] függvéye =, + leársa függetlee, ezért em fejezhető md az ( ) függvéy az + ( ), f = függvéye leárs ombácójaét Látható, hogy em mde geeráló redszer leársa függetle ( példa) és em mde leársa függetle redszer geeráló redszer Ha egy V vetortérbe a v, v,, v vetorredszer leársa függetle és geeráló redszer, aor { } bázsa evezzü Értelmezés A ( V,,, K) + vetortérbe a {,,, } evezzü bázsa, ha v, v,, v leársa függetle redszer; { } {,,, } Példá v v v geeráló redszer -be az ( ) e =, e = (,,,,,, ) v v v redszert potosa aor =, vetorredszert aous bázsa evezzü Az l = {( x ) x, } halmazo értelmezzü a övetező műveleteet: ( x ) + ( y ) ( ) = z z x, = + y ( x ) = ( z ) z = λ x, λ Ebbe a térbe az x = 5 x 6 x, x reurzót teljesítő sorozato + + részteret alota A másodredű leárs reurzó megoldásáa előállítás tétele (lásd XI osztályos taöyv) alapjá ebbe a résztérbe az x =, és x =, sorozato egy bázst alota -be a v = (,, ), v = (,, ) és v = (,, ) vetoro bázst alota Bzoyítás A v, v, v vetoro potosa aor alota bázst, ha leársa függetlee és geeráló redszert alota A leárs függetleség evvales azzal, hogy a λ λ + λ = λ λ = λ + λ λ = redszere csa a λ = λ = λ = megoldása létez A v, v, v potosa aor alot geeráló redszert, ha a,

60 7 Vetortere λ λ + λ = x λ λ = y λ + λ λ = z egyeletredszere mde ( xyz,, ) eseté egyértelmű megoldása va Mdét tulajdosághoz az szüséges, hogy a redszer mátrxáa determása e legye tehát a v, v, v vetoro bázst alota detm = = 4, Megjegyzés Az előbbehez hasolóa -be s a potosa aor alota bázst, ha det v j, j=, v = v j j=, vetoro Az előbb példából látható, hogy -be, ha { v, v,, v } egy bázs és ( ) v = x, x,, x, aor azo a λ, λ,, λ számo, amelyere v = λ v = egyértelműe meghatározotta Ez általába s gaz tetszőleges ( V, +,, K) vetortér eseté Tétel Ha { v, v,, v } a ( V, +,, K) vetortér egy bázsa, aor bármely v V eseté léteze és egyértelműe meghatározotta a λ, λ,, λ számo úgy, hogy v = λ v = Bzoyítás Ha λ v = v = λ v, aor λ λ v =, tehát a = = bázseleme leárs függetlesége alapjá λ = λ, =, Az előbb tétel alapjá a λ, λ,, λ számoat, amelyere λ v, = v = = ( ) a v vetor oordátáa evezzü a { v, v,, v } bázsba Igazolható, hogy ha B = { v, v,, v } és B { u, u,, um } = a ( V, +,, K) vetortér ét bázsa, aor m = Tehát a bázs elemee száma egyértelműe meghatározott Ezt a számot evezzü a ( V, +,,K ) vetortér dmezójáa

61 Vetortere 7 Megoldott feladato Írju fel a v = (,, ) vetor oordátát az vetortér B = { v = (,, ), v = (,, ),v = (,, ) } bázsába! Megoldás A v = λv + λ v + λv egyelőség evvales a λ + λ = λ + λ = λ + λ = egyeletredszerrel, tehát a oordátá λ =, λ = és λ = Háy dmezós az -e az U = ( x, y, z) x + y + z = résztere? { } Megoldás x = y z, tehát a megoldáso ( y z, y, z) alaúa Ezt y (,, ) + z (,,) alaba írhatju, tehát U = (,, ),(,,) Mvel a (,, ) és (,, ) vetoro leársa függetlee s, az U résztér ét dmezós Ez -be egy síot jelet Gyaorlato Taulmáyozd a övetező vetoro leárs függőségét és függetleségét: 4 a) v = (,,,), v = (,,, ), v = (,,, ) az vetortérbe; b) v = ( 4,, ), v = ( 5,, ), v = (,, ) az vetortérbe; c) v = ( 5,,,, ), v = (,,,, ), v = (,,,, ), 5 v = ( 4,,,, ), v = (,, 4,, ) az vetortérbe; 4 5 d) v = 8 t + 7t, v = t + t, v = 4 t + t a C ( ) vetortérbe; * e), s,,s t t,cos,,cos t t, ahol és t, a C ( ) vetortérbe Határozd meg az alább vetorredszere egy-egy maxmáls elemszámú leársa függetle részredszerét: a) v = (, ), v = (, ), v = ( 4, ), v = ( 57, ) -be; 4 b) v = (,, ), v = (,, ), v = (,, ), v = ( 5,, ) -be; 4 c) v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, 4), 4 4 v = ( 6),,, -be; 5 d) f = x, f = x, f = x + x, f = x + x + [ x ]-be 4 Bzoyítsd be, hogy az alább halmazo résztere a megadott vetorteree és határozd meg a dmezójuat: a) a ( 4,, ) + b (,, ) + c ( 8,, ) a, b, c ; { } b) { s cos x x a x + b x + c e + d e a, b, c, d } C ( ) ;

62 74 Vetortere c) r ce c, =, C( ), ahol r, r,, r és r pároét = ülöböző valós számo 4 Bzoyítsd be, hogy egy ax =, =, m alaú ( a, =, m, j =, ) j j j j= egyeletredszer megoldáshalmaza egy vetortér, amely résztere az vetortére! Mey ee a tére a dmezója? p * 5 Bzoyítsd be, hogy a ax + =, reurzót teljesítő (p a, j= j j j =, p ) valós számsorozato egy vetorteret alota! Mey ee a tére a dmezója? 6 Bzoyítsd be, hogy a v = (,,,), v = (,,, ), v = (,,, ) és 4 v = (,,, ) vetoro az vetortér egy bázsát alotjá! Határozd meg a 4 v = (,,,) vetor oordátát ebbe a bázsba! 7 Határozd meg a v = (,, 4,, ), ( 5,, 48,, ), v = v = ( 67,, 7,, ) és v = (,,,, ) vetoro által geerált résztérbe egy bázst! 4 8 Határozd meg a v = (,, 4) vetor oordátát az alább bázsoba: a) v = (,, ), v = (,, ), v = (,,); b) v = (,, ), v = ( 46,, ), v = (,, 9) ; c) v = (,, ), v = (,,), v = (,, ) ( X a) 9 Ha V = { f [ X] gr( f) }, a és B =, X a,,,! a) gazold, hogy B bázsa V -e; b) határozd meg f oordátát a B bázsba 44 Leárs leépezése, bázscsere Aárcsa az f : leárs leépezése eseté, ét tetszőleges V és W vetortér eseté s meghatározhatju a leárs leépezése alaját Értelmezés Ha ( V, +,, K) és ( W, +,, K) ét vetortér K felett, az f : V W függvéyt potosa aor evezzü leárs leépezése, ha teljesül a övetező ét tulajdoság: f ( x + y) = f ( x) + f ( y), x, y V f ( λx) = λf ( x), x V, x K Megjegyzés A ét feltétel helyett az f ( αx + βy) = αf ( x) + βf ( y), x, y V, α, β K j

63 Vetortere 75 feltételt s haszálhatju (ez evvales az értelmezésbe szereplő ét tulajdosággal) Általába az f αx = α f ( x), = α K, =,, x V, =, = összefüggés s jellemz a leárs leépezéseet Példá Az f : leépezés potosa aor leárs leépezés, ha létez x A M ( ) úgy, hogy f ( x) = A x, x =, x Az f : C [ a, b] C[ a, b], ( f ( y )( x) = y ( x) + y ( x) + y( x), x [ a, b] összefüggéssel értelmezett leépezés leárs, mert ( f ( αy + βz) )( x) = ( αy + βz) ( x) + ( αy + βz) ( x) + ( αy + βz)( x) = ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f ()() z ) x yz, C ab, ( )( ) = α y x + y x + y x + β z y x + z x + z x = α f y x + + β, [ ] Megjegyzés Emléeztetü rá, hogy általába C [ a, b] alatt az [ ab, ] tervallumo értelmezett, -szor folytoosa derválható függvéye halmazát értjü Vzsgálju meg, hogy ét véges dmezós vetortér özt leárs leépezésere m létez-e olya előállítás tétel, mt az f : típusú leépezése esetébe Legye ( V, +,, K) egy dmezós és ( W, +,, K) egy m dmezós vetortér Jelöljü B -vel és B -vel a ét tér egy-egy bázsát és legye f : V W egy leárs leépezés Ha B = { v, v, v } és = {, w,, wm } v V Ha ( ), B w, aor egy tetszőleges elem eseté a v = λ v reprezetácó alapjá m f v a j j j= Ez az egyelőség = = w, =, f v f v f v ( ) = λ = λ ( ) = =, aor az előbb egyelőség alapjá m m f ( v) = λ a w = j j a λ j w j = j= j= = [ f ( v) ] [ ] B = M v B λ alaba írható, ahol [ v] B = a v oordátá a B bázsba és [ f ( v )] az B f ( v ) λ oordátá a B bázsba, valamt M = a j =, Az M mátrxot gyara az [ f ] B B j=, m

64 76 Vetortere szmbólummal jelöljü (Ez azt jelet, hogy az [ ] B B B -bel oordátából áll!) Ezt tételbe s megfogalmazzu: Tétel Ha B és B a ( V, +,, K) és ( W, +,, K), lletve m dmezós vetortere egy-egy bázsa és f : V W egy leárs leépezés, aor [ f ( v) ] [ ] B [ ] B f v B B =, v V f mátrx -ad oszlopa az f ( v ) ahol [ v ] f ( f ] B B a v oordátá B -be, [ f ( v )] az B v ) oordátá B -be és [ B oszlopa a B -bel bázseleme épée oordátá a B bázsba Követezméye (A bázscsere éplete) Ha B és B a ( V, +,,K ) tér ét bázsa aor az f : V V, f ( v ) = v detus függvéy leárs, tehát v = f v, [ ] B [ ] B B [ ] B ahol [ v ] B és [ v ] B a v oordátá a B, lletve B bázsoba és [ f ] B a B bázs B elemee oordátát tartalmazza a B bázsba (oszlopoét) Látható, hogy rögzített bázs eseté egy dmezós vetortér azoosítható a salároból épzett ( λ, λ,, λ ) sorozato halmazával Az f : V W leárs leépezése dmv = dmw eseté -es mátrxo segítségével írtható le és ha ez a mátrx em szgulárs, aor a leépezés bjetív Mvel a oordátá sorozata özt az detus leépezés bjetív állíthatju, hogy dmv = dmw eseté létez f : V W leárs és bjetív leépezés Ez azt jelet, hogy f bjetív és megőrz V strutúráját Az lye függvéyeet evezzü leárs tér zomorfzmusoa vagy vetortér zomorfzmusoa Két vetorteret zomorfa evezü, ha létez öztü leárs zomorfzmus Értelmezés A ( V, +,, K) és ( W, +,, K) vetortereet zomorfa evezzü, ha létez f : V W leárs és bjetív függvéy Az lye f függvéyt leárs zomorfzmusa evezzü Tétel A ( V, +,, K) és ( W, +,, K) véges dmezós vetortere potosa aor zomorfa, ha dm V = dmw Leárs leépezéseel a szoásos módo értelmezhetü műveleteet A öyebb jelölés céljából vezessü be az LV (, W) = { f: V W fleárs} jelölést Ha f, g L( V, W), aor a h : V W h( x ) = f ( x) + g( x), x V függvéy s leárs Bzoyítás h( αx + βy) = f ( αx + βy) + g( αx + βy) = αf ( x) + βf ( y) + αg( x) + βg( y) = = α( f ( x) + g( x) ) + β( f ( y) + g( y) ) = αh( x) + βh( y), α, β K, x, y V

65 Vetortere 77 Ha f L( V, W) és λ K, aor a h : V W h( x) = λ f ( x) x K függvéy s leárs Bzoyítás h( αx + βy) = λf ( αx + βy) = λ( αf ( x) + βf ( y) ) = λ( αf ( x) ) + λ( βf ( y) ) = = ( λα) f ( x) + ( λβ) f ( y) = α ( λf ( x) ) + β ( λf ( y) ) = αh( x) + βh( y ) Ha f L( V, W) és g L( W, U), aor g f L( V, U) Bzoyítás A h( x ) = ( g f)( x) x V függvéyre h( αx + βy) = g( f ( αx + βy) ) = g( αf ( x) + βf ( y) ) = αg( f ( x) ) + βg( f ( y) ) = = αh( x) + βh( y), α, β K, x, y V, tehát h L ( V, U) m Véges dmezós tere eseté ezee a műveletee (aárcsa, eseté) mátrxművelete felele meg Ha B és B a V és W egy-egy bázsa, aor az f : V W és g : V W leépezése mátrxa segítségével írhatju, hogy Ez alapjá [ f ( v) ] [ ] B [ ] B f v B B = és [ g( v) ] [ ] B [ ] B g v B B = ( ) [ ] B B [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ] [ ] B B B B B h v = f v + g v = f + g v, tehát az összegfüggvéy mátrxa a függvéye mátrxáa összege (a bázso rögzítette) Salárral való szorzás eseté az [ f ( v) ] = [ f] B [ v] egyelőségből övetez, hogy B B B [ ( )] ( ) B λ λ B B h v = [ f v ] = [ f] [ v], tehát a λ f függvéy mátrxa az f függvéy mátrxáa λ -szorosa (a bázso rögzítette) Az összetevés eseté jelöljü B, B és B -vel a V, W és U vetortere egy-egy bázsát [ h ( v )] ( g f )( v ) g ( f v B B ) g [ f v ] [ g ] [ f B = = = = ] [ v ] [ ] [ ( ) ] [ ] ( ) B B B B B tehát a [ h( v) ] = [ h] B [ v] egyelőség alapjá B B B B B B B [ ] B B h = [ g] [ f] B B B B B B, Így tulajdoéppe a mátrxo tulajdosága a (véges dmezós vetortere özt) leárs leépezése tulajdoságara vezetőde vssza (és fordítva) Megoldott feladato Írju fel azt az f :,,, (,,) és (,, ) vetoroat redre a (, ), (, ), (, ) vetoroba traszformálja! Megoldás Az f ( x) = A x egyelőség alapjá a leárs leépezést, amely az ( )

66 78 Vetortere a a a a a a = b b b a a a, = b b b, = b b b egyelősége ell teljesüljee Ez az a + a a = a + a = és b + b b = b + b = a + a = b + b = 7 7 v redszerehez vezet Így A =, tehát f ( v) = v 4 4, bármely v v v = v eseté v Tetsü a V =, x, x részterét a C ( ) -e és a V = vetorteret a) Bzoyítsd be, hogy V zomorf V -vel B = x, + x, x + x + és B = (,, ),(,, ),(,, ) a V és V b) Ha { } { } bázsa, aor írju fel aa a leárs leépezése a mátrxát, amelyre f x = (,, ), f ( x ) = (,, ) és f () = (,, ) ( ) Megoldás a) dmezója, tehát elégséges gazol, hogy V dmezója s Mvel a teret három elem geerálja, elégséges azt gazol, hogy eze leársa V függetlee Ha λ + λ + λ =, x, x x aor λ = λ = λ = (mert egy első vagy másodfoú egyelete legtöbb ét gyöe lehete), tehát a V -et geeráló három elem leársa függetle v b) Az a) alapjá V -be a = { x x } B,, redszer s egy bázs Ha v = x,, és v =, = = + x v = x + x + v x, v x, aor v = ( v v ), v = v + v + v, tehát = ( v ) v = v +,

67 Vetortere 79 v v v = v v v Ugyaaor aous bázsa az e = (,, ), e = (,, ) és e = (,, ) vetoroból álló redszer, tehát f v = f λv + λ v + λv = λf v + λ f v + λ f v = λe + λe + λe ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ez az összefüggés megadja a leárs leépezést, de a jobb oldalo em a B és a bal oldalo em a B bázs áll Ezért mdét oldalo haszálu ell a bázscsere épletét B [ f ( v) ] = M [ f ( v) ], E B ahol E = { e, e, e } és M = E B [ v] B = M [ v] B = [ v] B B B B B B Tehát [ f ( v) ] [ ( )] [ ] B [ ] B = M f v M v M M E = E E = B E B v Ebből övetez, hogy a leárs leépezés mátrxa B B B [ f] B = M M = E B = = = Gyaorlato Bzoyítsd be, hogy az alább leépezése leársa: a) f :, f ( x, x, x ) = ( x + x, 4x ) ; b) f :, f ( x, x ) = ( x, x x, x ) ; c) f :, f ( x, x, x ) = ( x x + x, x + x x, x x ) ; d) f :, f ( x, x ) = ( x x, x ) E B

68 8 Vetortere Az előbb traszformácó özül a leársa esetébe írd fel a traszformácó mátrxát! Va-e olya f : leárs leépezés, amely az (, ), (, ), (, ) vetoroat redre a (, ), (, ), (, ) vetoroba traszformálja? 4 Írd fel azt az f : leárs leépezést, amely az (,, ), (,, ), (,,) vetoroat redre a (, ), (, ), ( ), vetoroba traszformálja 5 Vzsgáld meg a övetező leépezése jetvtását, szürjetvtását és bjetvtását A bjetív leépezése eseté írd fel az verzüet, a több eseté határozd meg a éptér dmezóját és egy bázsát: a) f :, f ( x, y, z) = ( x y + z, x + y + z, x + y + z) ; b) c) d) f f f : : : ( ) = ( + ), f x, y x y, x y, x y ;, (, ) f x y = x y ; ( ) = ( + + ) 4, f xy, x y, x yx, yx, y ; 4 e) f :, f( xyz,, ) = ( x+ y zx, y+ z, x y+ zx, + y+ z) 6 Számítsd az f :, f ( x, x ) = ( x x, x x ) és g :, g( x, x ) = ( x x, 4x + x leárs leépezése összetételét! Írd fel az ) f és a g mátrxát, majd az összetett függvéy mátrxát! Mlye összefüggés létez az előbb három mátrx özt? 7 Bzoyítsd be, hogy az f :, f ( x, x, x ) = ( x x + x, x + x x, x x ) leárs leépezés bjetív! Számítsd az verzét és bzoyítsd be, hogy az verze s leárs leépezés! Írd fel az f és f mátrxát! Mlye összefüggés létez az előbb ét mátrx özt? 8 Határozd meg a B és B bázso özt áttérés mátrxoat: a) B = ( 5, ),(, ), B = (, ),(, ) ; { } { } b) B = {(,,),(,, ),(,, ) }, B = {(,, ),( 4,, ),( 5,, )} ; c) B = { t,,t }, B = { + t + t, t 4, + t} ; d) B = {, t +, t +t }, = { + t, 4t + t +, t t + } B t 45 Geometra traszformácó A IX-XI osztályoba a övetező geometra traszformácóal találoztato: párhuzamos eltolás özéppotos hasolóság (homotéta) szmmetra (pot vagy egyees szert) forgatás Eze özül éháyat általáosa s értelmezhetü, tetszőleges vetortér eseté

69 Vetortere 8 Párhuzamos eltolás Értelmezés Ha O egy rögzített po t és v egy rögzített vetor a P síba, aor az f : P P függvéyt, amelyre Of ( P) = OP + v, P P v vetorral való párhuzamos eltolása evezzü Ha a P síot -tel azoosítju (megválasztu egy derészögű oordátaredszert x és a potoat a oordátából alotott számpárral azoosítju), aor a v = y, x x x x x f ( P) = P, P = y, P = jelöléseel az y = y + y y Ezt felfoghatju az f :, f ( x, y ) = ( x + x, y + y ) függvéyét s Ez a függvéy em leárs leépezés -ből -be, de ee elleére tetszőleges vetortérre s terjeszthetjü az értelmezést Értelmezés Ha ( V, +,, K) egy vetortér K felett, aor az f : V V, f ( v) = v + v, v V és v V egy rögzített elem függvéyt v ráyú párhuzamos eltolása evezzü Példa (, +,, )-be ha x = ( x, x,, x ) egy rögzített elem, aor az f : f ( x) = x + x függvéyt párhuzamos eltolása evezzü Ezt az, ((,,, )) (,,, ) = + + +, ( x, x,, x ) f x x x x x x x x x összefüggéssel jellemezhetjü A síhoz és a térhez hasolóa értelmezhetü - be (és aár tetszőleges ( V, +,, K) vetortérbe) s geometra fogalmaat Megoldott gyaorlat Bzoyítsu be, hogy -be egy sía vagy egy egyeese a párhuzamos eltolásával olya síot vagy egyeest apu, amely az eredetvel párhuzamos Bzoyítás Az egyees egyelete x = x + αt y = y βt, ahol az ráytéyező + α, β, γ z = z + γt Az f :, f ( xyz,, ) = ( x+ x, y+ y, z+ z ) párhuzamos eltolással az (xy,,z) számhármasból az ( ) ( x + x, y + y, z + z = x + x + αt, y + y + βt, z + z + γt) számhármast apju, tehát az ξ = ( xyz,, ) t : x= x + αty, = y + βtz, = z + γ t halmaz f -bel épe { } f ( ξ) = ( xyz,, ) t : x= x + x + αty, = y + y + βtz, = z + z + γ t { }

70 8 Vetortere Ez egy olya egyees, amelye ráytéyező ugyaazo az α, β, γ az eredet egyeese, tehát az f ( ξ ) egyees párhuzamos az ξ egyeessel Hasolóa a P = {( xyz,, ) ax+ by+ cz+ d= } sí f -bel épe ( P ) {(,, ) ( ) ( ) ( ) } = {( xyz,, ) ax+ by+ cz+ d ( ax + by + cz) = }, f = x y z a x x + b y y + c z z + d = = tehát f ( P) egy olya sí, amely P -vel párhuzamos (ugyaaz a ormálsa) Gyaorlato és feladato számo, mt Bzoyítsd be, hogy ét párhuzamos eltolás összetétele párhuzamos eltolás Bzoyítsd be, hogy -be az [ uv, ] = { λu+ ( λ) v λ [, ] } halmaz ( uv, ) w ráyú párhuzamos eltolásából az [ u + w, v + w] halmazt apju (az [ uv, ] halmazt evezzü u és v végpotú szaasza) Bzoyítsd be, hogy -be egy AB szaasz párhuzamos eltolásával az AB AB szaaszhoz jutu 4 Bzoyítsd be, hogy -be párhuzamos eltolás útjá egy tetszőleges AB szaasz felezőpotjáa épe az AB épée felezőpotja 5 Bzoyítsd be, hogy egy tetszőleges ( V, +,, K) vetortér felett eltoláso Ábelféle csoportot alota az összetevésre ézve Homotéta vagy özéppotos hasolóság * Értelmezés Ha O egy pot a P síba és λ, aor mde P P pota megfeleltetjü a P P potot úgy, hogy OP = λ OP Így egy f : P P, f ( P) = P OP = λ OP függvéyt értelmeztü Ha O a oordáta redszer ezdőpotja, aor a oordátá segítségével ez az összefüggés a övetezőéppe írtható fel: x = λ x és y = λ y, ahol ( xy, ) a P oordátá és ( x, y ) a P oordátá (Egyszerűbbe ( ) x, y = λ ( x, y) ) Ez az értelmezés s terjeszthető tetszőleges vetorterere: Értelmezés Ha ( V, +,, K) egy vetortér és λ K, aor az f : V V, f ( v) = λ v függvéyt homotétáa evezzü Ha a homotéta özéppotja em a oordáta redszer ezdőpotja (vagy cs s oordátaredszerü), aor az értelmezést -ből csa -be terjesztjü (általáos esetbe tovább szeresztésere lee szüségü) a övetező modell segítségével:

71 Vetortere 8 -be a K( x özéppotú és λ aráyú,y ) f λ homotétára gaza a övetező, K összefüggése: f λ :, f, K λ, ( xy, ) ( x, y Tehát = ( x, y ) ( x, y ) = λ ( x, y) ( x, y ) K ) ( ) ( ) x = x + λ x x és y = y + λ y y ( ) Értelmezés Ha x x =, x,, x és λ rögzítette, aor az f :, f ( x) = x + λ ( x x ) függvéyt x özéppotú és λ aráyú özéppotos hasolósága evezzü λ = eseté f -et x szert szmmetráa evezzü A oordátá segítségével az értelmezés az f (( x, x,, x ) ) = ( x + λ ( x x ), x + λ ( x x ),, x + λ( x x ) ) ( x, x,, x ) alaba írható Megoldott gyaorlat Bzoyítsu be, hogy egy K -t em tartalmazó α sí épe a K özéppotú és λ aráyú homotétába egy α -val párhuzamos β sí Bzoyítás Legye ax + by + cz + d = az α sí egyelete -be Az ( xyz,, ) α pot épe az ( x, y, z ) = ( x + λ ( x x), y + λ ( y y), z + λ ( z z) ) pot, tehát ( x, y, z ) ( x, y, z ) f ( α), (ahol fejezhető : Tehát f a homotéta) övetezőéppe x x y y z z x, y, z α λ λ λ ( x, y, z ) f ( α) x x y y b z z + a + x + + λ y c + z + = λ d λ Ez az egyelőség ax + by + cz + λ ax + by + cz + dλ = ( )( ) alaba írható Mvel ez az egyelet egy α -val párhuzamos sí (ugyaaz a ormáls) egyelete, a bzoyítást befejeztü,

72 84 Vetortere Gyaorlato Bzoyítsd be, hogy -be egy tetszőleges homotéta a özéppoto áthaladó egyeeseet ömaguba traszformálja és a özéppotot em tartalmazó egyeeseet velü párhuzamos egyeesebe Bzoyítsd be, hogy ét K özéppotú homotéta összetétele s egy K özéppotú homotéta Bzoyítsd be, hogy egy AB szaasz épe egy λ aráyú homotétába egy A B szaasz, amelyre AB = λ AB 4 Mlye traszformácó ét ülöböző özéppotú szmmetra összetétele? Hát darab egymástól ülöböző szmmetra összetétele? 5 M a feltétele -be aa, hogy tetszőleges K, K,, Km poto eseté létezzee a C, C,, poto úgy, hogy a K pot a CC szaasz felezőpotja j =, m és K Forgatás C j j j + a C C felezőpotja? m m A P síba az M pot O örül elforgatásá aa az M pota a megszeresztését értjü, amelyre OM = OM és m MOM = α (ráyított szög) ( ) A XI osztályba láttáto, hogy az orgó örül α szögű forgatást oordátá segítségével az x cos α s α x y s α cos α = y x egyelőség fejez Ha a özéppot egy tetszőleges y oordátájú pot, aor ez az egyelet x x cos α s α x x y y s α cos α = y y alaba írtható fel Látható, hogy az O örül forgatás egy f : leárs traszformácó Ez a traszformácó -be soféleéppe általáosítható Több geometra fogalom terjesztésére lee szüségü, ezért ezzel em foglalozu részletesebbe 46 Gyaorlato és feladato a) Bzoyítsd be, hogy a legfeljebb -ed foú valós együtthatójú polomo halmaza az összeadással és a valós számmal való szorzással vetorteret alot b) Bzoyítsd be, hogy az előbb Ρ vetortérbe az, x, x,, x polomo bázst alota, tehát Ρ egy ( + ) dmezós vetortér

73 Vetortere 85 ( ) ( ) x a x a c) Bzoyítsd be, hogy az, x a,,, polomo s Ρ egy!! bázsát alotjá! d) Bzoyítsd be, hogy az x( x ) x( x )( x ) x( x ) ( x + ), x,,,,!! polomo s bázst alota Ρ -be! Bzoyítsd be, hogy az előbb Ρ vetortérbe egy tetszőleges poloma a P( a), P ( a), P Ρ ( ) ( ) x a x a, x a,,, bázsra voatozó oordátá!! ( ) P ( a),, P ( a), tehát P a (Taylor éplet) ( ) ( )( ( ) ) P x = x a =! Bzoyítsd be, hogy ha V, V, V résztere a ( V, +,, K) vetortére, aor ( V V ) V V ( V V ) + + = Bzoyítsd be, hogy ha f : V W egy leárs leépezés (V, W vetortere K felett), aor az Im f = { y W x V : f ( x) = y} halmaz a W résztere és a Ker f = { x V f ( x ) = } halmaz résztere V -e 5 Bzoyítsd be, hogy az előbb feladat jelölése alapjá a V Ker f fatortér zomorf Im f -el 6 Bzoyítsd be, hogy ha V, V véges dmezós résztere V -e, aor dm( V + V ) = dmv + dmv dm ( V V ) 7 Bzoyítsd be, hogy a 4 feladat jelölésével dmv = dm Im f + dm Ker f 8 Bzoyítsd be, hogy ha a {,,, } v v v redszer a ( V, +,, K) geeráló redszere, aor választható ebből a redszerből egy bázs 9 Bzoyítsd be, hogy ha a { v, v,, v } redszer leársa függetle a ( V, +,, K) véges dmezós vetortérbe, aor egészíthető éháy elemmel úgy, hogy geeráló redszer legye Háy bázsa va a vetortére?