I. fejezet A matematikai indukció, mint alapvető bizonyítási módszer

Átírás

1 I ejezet A matemata ducó, mt alapvető bzoyítás módszer A matemata ducó a matematába haszált egy legotosabb bzoyítás és emcsa bzoyítás, haem például deálás módszer s A özépsola taayagba természetese jele va, tt a módszer gyaorlat alalmazásara helyezzü a hagsúlyt A övetezőbe a matemata ducó módszerée elmélet megalapozását adju meg és a módszer alapjául szolgáló ducós elvet írju le Továbbá bemutatju a gyarabba előorduló ducós bzoyítás varásoat, az eze alapjául szolgáló tételeet Követeztetés módszere Deducó és ducó Az előszóba említettü, hogy alapvetőe étajta oosodással szerezzü smereteet: bzoyító és plauzbls oosodással A deducó a bzoyító oosodás egy ajtája Deducó egy általáos érvéyű jeletés sajátos esetre való alalmazását értjü A matematába lépte-yomo találozu deducóval Példá Egy ove -oldalú soszög szögee összege 8- Az ötszög 5 oldalú soszög Tehát az ötszög szögee összege Mde olya szám, amelybe a számjegye alteráló előjellel vett összege osztható -gyel, osztható -gyel Az szám számjegyee alteráló előjellel vett összege A osztható -gyel Tehát osztható -gyel A matemata tétele általáos érvéyű jeletése, amelyeet potosa azért bzoyítu, hogy sajátos esetebe alalmazhassu a deducó segítségével Az ducó a deducóval elletétbe a sajátosból dul Az ducó alapja a meggyelés A meggyelés eredméyeét sejtése jöhete létre Például Goldbach a XVIII századba a természetes számo tulajdoságat taulmáyozva észrevette, hogy a 4- él agyobb páros számo előállítható ét prímszám összegeét: 85, 755, 57, 477, 65, 899 Meggyelését más példáal támasztotta alá, bármlye orét páros számot tetett, azt serült elbotaa ét páratla szám összegére Mdazoáltal sejtését md a ma apg em serült bzoyíta Így a ma apg em tud bztosa, hogy az ő sejtése gaz-e Más ge plauzblse tűő sejtése hamsa bzoyulta Ilye például Fermat sejtése, mely szert a alaú számo mde N eseté príme Fermat észrevette, hogy {,,,,4} eseté eze prímszámo, és úgy sejtette, hogy az állítás mde eseté gaz Euler azoba bebzoyította, hogy em prímszám, tehát az állítás már 5 eseté sem gaz Ha az bom rreducbls téyezőre való elbotását eressü Z[X ]-be, eseté ez a elbotás, -re az, eseté az 5, 4 eseté az, 5 -re pedg az 4 elbotást apju Észrevesszü, hogy a elbotást alotó téyező együttható a, vagy számo Ha újabb elbotásoal próbálozu, 6, 7, stb eseté s ugyaez érvéyes Megogalmazód az a sejtés, hogy ez a tulajdoság mde N eseté gaz V Ivaov orosz matematus azoba bebzoyította, hogy

2 <5 -re a tulajdoság gaz, 5 -re vszot a elbotása va ét darab -es együtthatója s Ige so lye példát találhatu, amelybe az dutív oosodás hams öveteztetéshez vezetett Ez azoba a módszer értéét em csöet, csa ylvávalóvá tesz, hogy az ducóval törtéő oosodást össze ell öt bzoyító oosodással, amely bztosítsa az ducóval megsejtett eredméy helyességét Egy lye bzoyító oosodás, amely szervese ötőd az dutív oosodáshoz, a matemata ducó vagy más éve a teljes ducó A matemata ducó módszere Peao aómá A matemata ducót, mt bzoyítás módszert Pascal írja le először a ombácós összeüggése bzoyításaor a övetezőéppe: "Bár ez az állítás végtele so esetet tartalmaz, ge rövd bzoyítást ado rá, amely ét lemmá alapsz Az első az állítja, hogy a jeletés gaz az első sorra A másod az állítja: ha a jeletés gaza bzoyul egy sorra, aor szüségszerűe gaz a övetező sorra s" Vzsgálju meg mről s beszél Pascal Ee érdeébe tűzzü célul, hogy számítsu az S 4 összeget, ahol N A övetezőet apju: 4 S, S, S, S Meggyelve a apott eredméyeet azt találju, hogy {,,,4 } eseté S Jelöljü P el a övetező jeletést: 4 P, P, P, P4 gaz, de amt azt az paragrausba megmutattu az még em bztosít arról, hogy mde természetes szám eseté jeletésü gaz Vszot, ha serüle gazolu, hogy ha a jeletés gaza bzoyul egy természetes számra, aor a övetező számra, -re s gaz, aor a övetező lácot apá: P gaz P P gaz P P gaz P gaz, és így a jeletés aármlye ívát -re teljesül Tehát azt ell belátu, hogy ha, aor 4 4 De 4 alapjá a szögletes zárójelbe megjeleő összeg -gyel egyelő és,, hsze az tehát a egyelőség teljesül Így bebzoyítottu, hogy az állítás mde N eseté teljesül Itutív módo a et öveteztetéslác ge meggyőző Ugyaaor matemata szempotból s precíz, alapjául a matemata ducó elveét smert matemata elv 4

3 szolgál Az ducós elv alapját Peao harmad aómája épez, amelyet a övetezőbe smertetü Peao aómá A XIX századba élt olasz matematus, Guseppe Peao a természetes számo halmazát aomatusa értelmezte, a számelmélet aomatus alapjat etette le Kduló elemee egy em üres N halmazt, ee egy sajátos -val jelölt elemét és egy r : N N üggvéyt tetett N eseté az r -t az ráövetező elemée evezzü Eze alaptulajdoságat és a öztü levő összeüggéseet a Peao-éle aómá adjá meg: P r, N eseté P Ha r r, aor P N -e bármely olya részhalmaza, amely tartalmazza -t és amely mde elemmel együtt a ráövetező r elemet s tartalmazza, magával N -el egyelő: A P aómát az ducó aómájáa evezzü A három aómából éháy ge otos tulajdoság övetez Mvel r{ N}, azért rn az N -e valód részhalmaza A P aóma alapjá vszot az r : N rn üggvéy bjetv Tehát N bjetv módo leépezhető egy valód részhalmazra, ezért: tulajdoság N végtele halmaz tulajdoság Mde -tól ülöböző N -bel elem, egy N -bel elem ráövetezője Valóba, az r N {} M halmaz részhalmaza N -e és r M M A P aóma alapjá M N és mvel r N r N N \ {} A et aómáat teljesítő és a bzoyított tulajdosággal redelező N,, r hármaso eseté az N elemet természetes számoa evezzü A matemata ducó elve Tétel Redeljü hozzá mde N természetes számhoz egy P jeletést Ha teljesüle a övetező eltételeet: P gaz bármely N eseté, ha P gaz, aor P s gaz aor P gaz mde N eseté Bzoyítás A P aómából azoal övetez az állítás Valóba, jelöljü M -mel azo számo halmazát, amelyere a P jeletés gaz M { N P gaz} A eltétele alapjá M és ha M, aor r M Tehát a P alapjá M N, azaz P gaz N eseté A matemata ducóval törtéő bzoyítása, mt azt a övetező paragrausba lát ogju, ge so varása smeretes, amelyeet a bzoyítadó tulajdoságo eseté szüség szert válogatu majd Nagyo soszor találozu azoba olya tulajdoságoal, amelye csa egy bzoyos számál agyobb számora érvéyese Ahhoz, hogy a et ducós elvet ezere az esetere alalmazhassu szüségü lesz a övetező értelmezésere és tételere: 5

4 Értelmezés Legyee, m N Azt modju, hogy m sebb vagy egyelő -él m, ha p N úgy, hogy m p Értelmezés Legye A N az N halmaz egy em üres részhalmaza Az a A az A halmaz első vagy legsebb eleme, ha a A eseté Tétel A természetes számo mde em üres részhalmazáa va első legsebb eleme Bzoyítás Legye A N egy em üres részhalmaz Tetsü az M { m N m a, a A} Nylvávalóa M és ha a A, aor r a M Tehát M N és az ducós aóma alapjá létez olya p M szám, amelyre r p M Eor p a eresett első elem, mvel p a, a A Ugyaaor p A mvel elleező esetbe p < a mde a A eseté és így r p a mde a A eseté, am elletmodás azzal, hogy r p M Tehát az N mde em üres részhalmazáa va legsebb eleme A matemata ducó varása Ebbe a paragrausba bemutatju az ducóval törtéő bzoyításo alapjául szolgáló legotosabb tételeet, amelye a matemata ducó ülöböző varása Mde varás alalmazására mutatu példáat, tűzü eladatoat, ugyaaor a ejezet végé tűzött eladato eseté az olvasóa magáa ell eldötee, hogy mely jeletést mely varás segítségével bzoyítja Tétel Első varás Legye a N egy természetes szám Mde a számhoz hozzáredelü egy P jeletést Ha teljesüle a övetező eltétele: Pa gaz N, a eseté ha P gaz aor P s gaz aor P gaz a eseté Bzoyítás Tetsü az M {,,, a } { N P gaz} halmazt Bzoyítju, hogy M N M és ha M, aor ha < a {,,, a }, azaz M ; ha a a { N P gaz}, tehát M ; ha a, M P gaz P gaz, azaz M Tehát M -re M és a P aóma értelmébe M N Így { N P gaz} N \ {,,, a } tehát P gaz a eseté Példa Bzoyítsu be, hogy bármely N, eseté eáll az alább összeüggés: Megoldás Jelöljü P -el a övetező jeletést: 6

5 eseté a 7 7 P : gaz jeletést apju 9 9 Feltételezzü, hogy a P : jeletés gaz Eor [ ] [ ], tehát a P s gaz Az tétel értelmébe a P jeletés gaz természetes szám eseté Példa Igazolju, hogy bármely 4 eseté 4 6 Megoldás A 4 6 jeletés 4 eseté gaz, mvel 4 4 4, és 4 4 Feltételezzü, hogy a P : 4 6 jeletés gaz Eor , tehát a P jeletés s gaz Így eáll a 4 6, 4 eseté, az tétel értelmébe Példa Határozd meg az szám egészrészét, ha 6! Megoldás 6 7 6eseté 6, 7 -re 7 Sejtjü, hogy 6! 7!! mde 6 eseté Tetjü a P :! jeletést {6,7} eseté ez a jeletés gaz Ha a jeletés gaz egy 6 szám eseté, aor <!, am egyeértéű a <! egyelőtleségeel Tudju, hogy > és egyelőtlesége megelelő oldalat az >!!! > > Összeszorozva az egyelőséget apju Ugyaaor és Ebből a ét egyelőtleségből az!!! 7

6 egyelőtleséghez jutu Tehát és alapjá <, azaz!! értelmébe! 6 eseté <!, ahoa Így a jeletés -re s gaz Az tétel Alalmazáso Bzoyítsu be, hogy ha N,,,,, és, aor Az a sorozatot a övetezőéppe értelmezzü: a [, ] és a a a eseté Bzoyítsu be, hogy a [,] eseté és, hogy az sorozatot csöeő a a a Legyee a < a < < a természetes számo és Bzoyítsd be, hogy a Tétel Másod varás Ha a N és mde a számhoz hozzáredelü egy P jeletést, amely teljesít a övetező eltételeet: P a, P a, P a,, P a gaza Bármely a eseté, ha P gaz, aor P s gaz aor P gaz a eseté Bzoyítás Egy jeletés megelelő megválasztásával vsszavezetjü az első varásra Jelöljü Q m -mel a P a m^ P a m^^ P a m jeletést A Qm jeletés teljesít a övetező eltételeet: a Q P a^ P a ^^ P a gaz, mvel a P a, P a,, P a jeletése mdegye gaz b Ha Qm gaz egy m a eseté, aor a P a m, P a m, P a m jeletése gaza, ezért a eltétel matt a P a m, P a m,, P a m jeletése s gaza, tehát a Q m jeletés, am eze jeletése ojucója, s gaz a és b-ből az első varás értelmébe övetez, hogy Qm gaz P a m, P a m,, P a m a m N eseté, tehát jeletése gaza m N, azaz a P m a r jeletés gaz m N, r {,,, } eseté Mde p természetes szám elírható p q r,q N, r {,,, } alaba a maradéos osztás tétele, ezért mde N, a eseté a m r, ahoa a m r Tehát P gaz a eseté 8

7 4 Példa Mde égyzet elosztható darab égyzetre, ha 6 Megoldás: 6 eseté a övetező elbotás lehetséges: 7 eseté a elbotás: 8 -ra a elbotás: Tehát állításu gaz 6-ra, 7-re és 8-ra Ha a égyzet elbotható égyzetre, aor gazolju, hogy égyzetre s elbotható Valóba, tetsü a égyzet égyzetre való elbotását, és a elbotásba szereplő valamely égyzetet osszu el égy egyelő égyzetre a szemözt oldala elezőpotjaa összeötésével Így az eredet égyzet 4 égyzetre boml Tehát P 6, P7, P8 gaz és ha P gaz aor P s gaz Az tétel értelmébe P gaz 6 eseté 5 Példa Igazolju, hogy N eseté végtele so olya m N létez, amelyre ε ε ε m m és ε {, } m Erdős-Suráy Bzoyítás A övetező ét azoosságból dulu : 5 [ ] [ ] 4 [ 7 6 ] [ 5 4 ] 9 4 Ha a másod azoosságot voju az elsőből az egyelőséget apju Így Ehhez az összeghez az -hez hasoló yolcas összeget aárháyszor hozzáadhatju, így a végtele so éleéppe írható el a ért módo Az azoosság matt, ha bármlye más számot egyéleéppe elírhatu a ért módo, aor ehhez lye yolcas összegeből aárháyat hozzáírhatu, így végtele so elírás létez Tehát csa azt ell bzoyítau, hogy N eseté létez egy lye típusú elírás -re egy lehetséges elírás -re 4 -ra Tehát {,,, eseté a elírás lehetséges Ha egy N szám elírható ε ε így az ε m m 4 alaba, aor 4 ε ε ε 4 m m m m m m, szám s elírható a ért alaba 4 9

8 Mvel,,, elírható a ért módo és ha egy szám elírható lye típusú összegét, aor az 4 szám s elírható az tétel értelmébe N szám elírható ε ε ε m alaba és végtele lye elírás lehetséges m 6 Példa Igazolju, hogy 6 természetes szám eseté léteze olya,,, természetes számo, amelyere Bzoyítás 6 eseté az,, 6 számo megelelőe, hsze , tehát a tulajdoság 6 -ra gaz 7 eseté az, 4 számora eseté az,, 7, 4, számora Továbbá bzoyítju, hogy ha a az lye megoldás, aor az 7 4 P állítás gaz, aor a P állítás s gaz Valóba, ha egyelete vaa természetes megoldása:,,,,,,,, számora,,,, tehát az egyelete s vaa természetes megoldása Az tétel értelmébe, N, 6 eseté léteze olya,,, számo, amelyere Alalmazáso Jelöljü -gyel lletve -vel az y 6 egyeletű parabola O tegellyel való metszéspotjat Bzoyítsu be, hogy bármely N eseté természetes szám és osztható 5-tel Bzoyítsu be, hogy ha 4, aor tetszőleges háromszög elbotható darab egyelő szárú háromszögre Határozzu meg azoat az természetes számoat, amelyere mde oldalú ove soszög elbotható egymást em metsző átló segítségével háromszögere úgy, hogy mde csúcsból páros számú átló duljo egy

9 Tétel harmad varás Legye a N egy rögzített természetes szám Ha mde a számhoz hozzáredelü egy P jeletést, amely teljesít a övetező eltételeet: Pa gaz N eseté ha P gaz a -ra, aor P s gaz aor P gaz a eseté Bzoyítás Jelöljü Q -el a P a^ P a ^^ P jeletést Eor Q a P a gaz és ha Q gaz, aor Pa^ Pa ^^ P gaz, azaz a eseté P gaz jeletés, így alapjá P s gaz, tehát a Q P a^ P a ^^ P ^ P jeletés s gaz A Q jeletés teljesít az tétel eltételet, ezért Q gaz N, a eseté, így P s gaz N, a eseté 7 Példa Határozzu meg az összes olya : N N üggvéyt, amely teljesít a övetező eltételeet: a a b a b, bármely a,b N eseté b Ha a < b, aor a < b c Megoldás Az a összeüggésbe a b -t helyettesítve az egyelőséghez jutu és mvel, az A c eltétel alapjá Ha az a összeüggésbe a b -t helyettesítü, aor 4 4 A b eltétel alapjá, mvel < < 4 övetez, hogy < < 4, azaz < < 4 Mvel és 4 özött egyetle természetes szám található, a, az Észrevesszü, hogy {,,,4} eseté Iducóval bzoyítju, hogy, N eseté Feltételezzü, hogy a P : jeletés gaz eseté Ha páros, aor létez olya, amelyre Ie Ha páratla, aor létez olya, amelyre Eor < < és a b eltétel alapjá < < De, mvel, és, mvel, Így < <, ahoa Tehát, ha, eseté Az tétel értelmébe, N 8 Példa Egy Oy derészögű oordátaredszerbe tetsü az ahol z C Ha z z z z z z olleársa Megoldás A z, potoat,,,, A, aor az O A,, poto -re és A ylvávalóa egy egyeese helyezede el O A

10 Feltételezzü, hogy, -g a jeletés gaz Bebzoyítju, hogy aor szám eseté s gaz Ha az szám özül legalább az egy, pl z, aor a z auma és az ducós eltevésből, mvel z z z z z z z z z z, z,, z, z z O z, A, A,, A, O, A,, A Ha z,,, aor legye z r cosα sα, ahol α [,π ] a z,, darab szám auma és az a auma olleárs, tehát O olleársa Mvel z z r cosα r sα r Négyzetre emelés utá a r < j r j cos α α r r j j < j, azaz rr j cos α α j összeüggéseet < j apju Mvel r r j > és cos α α j, j, eseté övetez, hogy cos α α j < j,, j, -re ahoa α α α, am azt jelet, hogy O, A, A,, A olleársa Alalmazáso Pc tétele Bzoyítsu be, hogy ha egy rácssoszög oldala a csúcsoat s beleértve K darab rácspot va és a soszög belsejébe B darab, aor a soszög területe B K * * Határozzu meg az : N N teljese multplatív üggvéye * y y,, y N általáos alaját a prímértéebe elvett értée segítségével Az a sorozatot a övetezőéppe deálju: Bzoyítsu be, hogy a a, ha a a 6a, ha 6 4 Tétel egyed varás Legye a N egy rögzített természetes szám Mde a számhoz hozzáredelü egy P jeletést, amely teljesít a övetező eltételeet: a P a, P a, P a,, P a gaz egy rögzített szám b Ha bármely m N, m eseté P m gaz, aor P s gaz aor P gaz N, a eseté Bzoyítás Tetsü a Q P ^ P ^^ P jeletést N, a eseté A Q a P a^ P a ^^ P a jeletés gaz, mvel alapjá a Pa, P a, P a jeletése mdegye gaz Ha a Q jeletés gaz, aor a P, P,, P jeletése mdegye gaz, azaz P m gaz m N eseté, amelyre m eseté A eltétel alapjá eor a P s gaz, am azt

11 jelet, hogy a Q P ^ P ^^ P jeletés s gaz Tehát az tétel eltétele teljesüle aq jeletésre, ezért Q gaz N, a eseté 9 Példa Az sorozat elemet a övetezőéppe adju meg: N, és, -re Bzoyítsu be, hogy a sorozat általáos tagját az, N összeüggés adja meg Megoldás Jelöljü P -el az jeletést eseté P : gaz Feltételezzü, hogy P gaz eseté Ez azt jelet, hogy és A reurzós összeüggés alapjá, tehát a P jeletés s gaz Az tétel értelmébe P gaz N eseté Alalmazáso Jelöljü T -el az cos ar cos ejezést bármely, eseté Bzoyítsd be, m [ ] hogy T :[, ] R egy -ed oú polomüggvéy és számítsd az együttható modulusáa összegét Ha, ahol,,, az a a a egyelet gyöe S m S m a Z és Z ha m,, aor S Z bármely m N eseté Az sorozat teljesít az reurzót és a < m 4 ezdet eltételeet Számítsu a lm határértéet! Iducó előre-hátra Előordulhat, hogy az előbb tételebe szereplő P P vagy a hozzá hasoló mplácó bzoyítása több özbeeső lépést géyel Az s lehetséges, hogy egy lye mplácó bzoyításához újabb ducó szüséges Azoosságo, egyelőtlesége esetébe gyara haszálu P P P típusú özbeéelt mplácót Példa Jese egyelőtleség Ha I egy tervallum és : I R egy olya üggvéy, amelyre y y, y I, aor

12 és N I,, eseté Bzoyítás Jelöljü P -el az I,, állítást ylvávalóa gaz, a eltétel alapjá gaz Feltételezzü, hogy gaz Aor tetszőleges -re a eltétel alapjá P P I P,,, Az ducós eltétel alapjá vszot:, és, és -ból övetez, hogy 4, azaz a jeletés s gaz P Ha az előbb egyelőtleségbe -gyet választu, aor az egyelőtleséget apju, mert, így a 4-es egyelőtleség a övetezőéppe alaul:, ahoa és -gyel való osztás utá az P összeüggést apju, am azt mutatja, hogy a állítás s gaz Az tétel értelmébe állítás gaz eseté P N 4

13 Az lye típusú ducót émleg módosított ormába először August Lous Cauchy haszálta az 8-as éve végé Aalyse Algebrque, oldal JLWVJese érdeme, hogy a godolatmeet agyoú általáosságát észrevette Látható, hogy ha előbb valamlye módszerrel gazolju -ra a bzoyítadó egyelőtleséget, aor a P P P mplácóat s bzoyíthatju Megjegyzése Az egyelőtleség azt ejez, hogy ha graus épé mde húr elezőpotja a e megelelő graoív alatt helyezed el, aor az M, poto által meghatározott soszög súlypotja s az ív alatt va, N eseté Az lye tulajdosággal redelező üggvéyeet Jese-oáv üggvéyee evezzü Ha olytoos, aor a Jese-éle oavtás a oavtással egyeértéű, általába azoba ettől ülöböző ogalom Pl ha : R R leárs, de em olytoos lye üggvéy létez, és a Hamel-bázso segítségével megszereszthető, aor Jese-oáv, de em oáv So X osztályos taöyvbe a ovetás ogalma helyett a Jese-ove ogalmat vezet be, aélül, hogy a ettő ülöbségét megemlíteé 4 Eredetleg 95-be jauár 7-é a dá matemata társaság előtt tartott előadása Jese valóba ezzel az egyelőtleséggel deálta a ove és oáv üggvéyeet, de a moder matematába a ove üggvéy decója ettől ülöböz Alalmazáso y y * * Bzoyítsd be, hogy ha az R R üggvéyre : Bzoyítsu be, hogy ha,,, aor Bzoyítsu be, hogy ha a *, b R,, aor *,,, R *, y R, aor a y b 4 Iducó az ducóba a b Amt már említettü, gyara előordul, hogy egy matemata ducóval törtéő bzoyítás sorá, amor P P vagy hozzá hasoló mplácót bzoyítu, olya összeüggéshez jutu, melye bzoyításához újabb ducót ell haszálu Az lye esetere modju azt, hogy "ducó az ducóba" a a b b 5

14 4 Példa Bzoyítsu be, hogy N, 4 eseté Bzoyítás Jelöljü P -el a > állítást A P4 jeletés > ylvávalóa gaz Feltételezzü, hogy P gaz Bzoyítsu be, hogy aor a P : > jeletés s gaz Az ducós eltétel alapjá > Ha serül bebzoyítau azt, hogy > tetszőleges 4 eseté, aor a > > egyelőtleségsorozatból övetez, hogy P s gaz Az -es egyelőtleség gazolására matemata ducót haszálu Jelöljü Q -el a > jeletést A Q 4 jeletés: 4 > 5 9 > 5 gaz Ha eltételezzü, hogy Q jeletés gaz, aor 9 9 > 9 9 az ducós eltevés alapjá Már csa azt ell belátu, hogy 9 9 >, am egyeértéű a 4 > 6 8 egyelőtleséggel, azaz a 6 > 4 egyelőtleséggel, amely ylvávalóa gaz 4 eseté A és egyelőtlesége alapjá tehát >, azaz Q s gaz N, 4 eseté Tehát, ha a P jeletés gaz, aor a P jeletés s gaz, így a P jeletés gaz N, 4 eseté Megtörté, hogy az ducó belül ducó érdees módo oód össze az eredet jeletéssel, és a ettő együttes gazolásával tudju belát az eredet jeletést 4 Példa Adott az F Fboacc sorozat F, F, N F F F Bzoyítsu be, hogy F F F Megoldás Jelöljü P -el a bzoyítadó jeletést A P : jeletés gaz Ha eltételezzü, hogy P gaz, aor F F F F F F F F F F F F F F az ducós eltevés alapjá Igazolu ellee, hogy F F F F F Ez a övetezőel egyeértéű F F F F F F F F F F Q F F F Q Jelöljü -el a F jeletést A : gaz jeletés Ha Q -et gaza eltételezzü, aor F F F F F F F F F F F F P F F F F F 4 F Tehát a P ^ Q jeletést bzoyítottu a P ^ Q P, P ^ Q Q mplácó alapjá, am a P ^ Q P ^ Q -hez vezet Q 6

15 5 Iducó a valós számo halmazá Az eddg bemutatott ducós bzoyítás varáso özös voása, hogy egy természetes számora voatozó jeletés gazolására szolgálta A matemata ducó módszerével azoba olya jeletéseet s bzoyíthatu, amelye em természetes, haem poztív valós számora voatoza 5 Tétel Ha a P ahol R olya jeletés, amely teljesít a övetező eltételeet: P gaz [, eseté Bármely eseté, ha P gaz, aor P s gaz aor P gaz -ra Bzoyítás Tetsü a Q : P gaz [, eseté jeletést Q P gaz [, eseté, am az eltétel alapjá gaz Feltételezzü, hogy Q gaz, azaz, hogy a P gaz [, -re Igazolju, hogy Q s gaz, azaz, hogy P gaz [, -re Legye [, egy tetszőleges elem Eor [, és ezért P gaz De a eltétel alapjá aor a P P s gaz Tehát P gaz tetszőleges [, eseté, így Q gaz Az 5 tétel értelmébe Q gaz N eseté, tehát N eseté P gaz [, -re, azaz P gaz -ra Megjegyzés Nylvávalóa, ha az elleőrző lépést em [, -re, haem [ a, a -re végezzü, aor azt bzoyítju, hogy P gaz a eseté 5 Példa Bzoyítsu be, hogy 5 > 5, [5, -re Bzoyítás Elleőrzzü, hogy a P : 5 > 5 állítás gaz-e az [ 5,6 tervallumo Mde [5,6 -ra 5 < 6, így , és 5 < 5 6 8, tehát > 5 6 5, így az állítás gaz Bzoyítju, hogy ha P gaz, aor P s gaz Az ducós eltevés öveteztébe > 5 5 Elégséges gazol, hogy 5 5 > 5 De 5 5 > 5 > > 5 > , am gaz, mvel > bármely > -re, ahoa övetez, hogy bármely 4 5 -re s és alapjá 5 > 5, tehát P s gaz Az 5 tétel értelmébe P gaz mde [5, -re Az 5 tételbe az elleőrző lépést tetszőleges hosszúságú tervallum eseté s elvégezhetjü ez a hossz em eltétleül természetes szám Ebbe az esetbe a övetező ducós varáshoz jutu: 7

16 5 Tétel Ha a, b R, b > valós számo, P egy olya jeletés, amely az [ a, -tól ügg, és ha a P teljesít a övetező eltételeet: P gaz mde [ a, a b eseté; mde [ a, eseté, ha P gaz, aor P b s gaz, aor P gaz mde a eseté Bzoyítás Tetsü a Q : P gaz bármely [ a b, a b, -től üggő jeletést Q P gaz [ a, a b, am ylvávalóa gaz az eltétel szert Ha gaz, aor P gaz mde [ a b, a b -re Így tetszőleges Q, ezért y b P gaz A alapjá y [ a b, a b -re y b [ a b, a b eor a P y b b P y jeletés s gaz Az 5 tétel értelmébe a Q jeletés gaz bármely N -re 5 Példa Bzoyítás Bzoyítsu be, hogy bármely eseté 5 > Az 5 > egyelőtleség egyeértéű a 5 > > 5 egyelőtleségeel Az 5 példába y az y változócserét alalmazva, az 5 > 5y, y 6 egyelőtleséghez, vagys potosa a bzoyítadó egyelőtleséghez jutu ha 5, aor 5 y Az egyelőtleséget azoba az 5 tétel segítségével, dret 6 ducóval s gazolhatju Előbb belátju, hogy a P : 5 > jeletés bármely 5, 6 6 -ra gaz Valóba, , és Tehát > ,, 6 6, ahoa 5 >

17 5 5 Igazolju, hogy ha P gaz, aor P s gaz A P : 6 6 > egyelőtleséget ell bzoyítau 5 5 > , az ducós eltevés értelmébe De > 5 5 5, am a művelete elvégzése utá gaz egyelőtleséghez vezet Tehát ha P gaz, aor P s gaz Az 5 tétel értelmébe P gaz mde eseté 6 6 Iducó élesítéssel Előordul, hogy olya egyelőtleségeet ell bzoyítau, amelyeet matemata ducóval a megadott ormába em tudu belát, de ha élesítjü az egyelőtleséget, az így apott ormát már bebzoyíthatju ducóval utató paradooja Tehát aa az ge érdees helyzete vagyu a taú, amor egy egyelőtleséget em, de a ála szgorúbb egyelőtleséget bzoyíta tudju és ezáltal ylvá a értet s 6 Példa * Igazolju, hogy, N eseté Bzoyítás Az egyelőtleséget gazolhatju más eljárással, mt az ducó, például teleszopus becsléssel Mvel < <, ezért < < Vszot, ha ducóval próbálá bzoyíta a ért összeüggést, aor a P P mplácó gazolásaor az < egyelőtleséghez juto, és ee az egyelőtlesége a jobb oldalá álló összegről em tudom belát, hogy -él sebb Ezért * * megpróbálu egy olya E : N R üggvéyt meghatároz, amelyre * < E, N Az E ejezést úgy határozzu meg, hogy az egyelőtleség ducóval bzoyítható legye A P P mplácó gazolásaor, az ducós eltevés alapjá < E, tehát elégséges vola a E < E < E E 9

18 egyelőtleség Egy lye E üggvéy az E, mvel < Tehát azt gazolom, hogy, Az előbbe alapjá ez ducóval gazolható, tehát <, Alalmazáso Ezzel a módszerrel gazolhatju például a övetező egyelőtleségeet s: * 5 * <, N ; <, N ; 7 4 * 4, N < ; 4 <, ; 5 * 5 <, N Megjegyzés Az, a és a 4 egyelőtlesége gazolásaor az E -re ducóval gazolható, hogy < E, lletve E 5 < 4 A E üggvéyt úgy ell egyelőtleség ducóval törtéő gazolása érdeébe az megválasztau, hogy eáljo a [ ] ugyaaor a sajátos s e ell álla Ha E -t 4 E < 4 E egyelőtleség, eset eállása érdeébe a 4 E 4 egyelőtlesége 9 6 a alaba eressü, az egy eltételből a 4 -hez, a másból 4 pedg a 4 -hez jutu, tehát a 4, és így E 5 Az 5-ös egyelőtleség gazolásaor az E élesítést végezzü, így az 5 5 E < E egyelőtleséget ell gazolu, amely egyeértéű E az < egyelőtleséggel Ez az E üggvéyre ylvávalóa gaz E 7 Többváltozós ducó Gyara találozu olya állításoal, amelye ét paramétertől vagy aár többtől s üggee Ebbe az esetbe s haszálhatju a matemata ducót, mt bzoyítás eszözt Az ducó alalmazásáa egy legegyszerűbb esete, ha m -re voatozó ducót végzü Ee a léyegét a övetező tételbe ogalmazzu meg 7 Tétel Ha, m N, és P, m egy és m -től üggő predátum, amelyre teljesüle a övetező eltétele:

19 P, m gaz; Ha P, m gaz bármely olya -re és m -re, amelyre m < m, aor a P, m s gaz, aor P, m gaz bármely, m N,, m m eseté 7 Példa Az, y, j m számo olya poztív egész számo, amelyere y < m, és, m Bzoyítsu be, hogy az és az y számo y m özül választható éháy em az összes úgy, hogy ezeél a választott egyelő legye a választott y j - összegével j - összege Bzoyítás m -re voatozó teljes ducóval bzoyítju az állítást Feltehető, hogy mde -re, és y y mde -re, továbbá > y y -re az állítás ylvávaló Eor y y ym Belátju, hogy y ym < m, amből az ducós eltevés alapjá adód az állítás s Legye y y ym s < m Eor az y megválasztása matt y Így m s y y ym s y s < m m m m 7 Példa Egy, ülöböző természetes számoat tartalmazó m -es táblázat mde sorába aláhúzzu a darab legagyobbat, és mde oszlopába aláhúzzu az l l darab legagyobbat m, l Bzoyítsu be, hogy legalább l számot étszer húztu alá Bzoyítás A l -re voatozó teljes ducóval bzoyítu Keressü a táblázatba olya sort, vagy olya oszlopot, amelybe darab, lletve l darab étszer aláhúzott szám szerepel Elhagyva azt a sort vagy oszlopot, a maradé táblázatra és l, vagy és l paramétereel alalmazzu az ducós eltevést, mely szert ebbe a táblázatba található legalább l vagy l elem, amelyet étszer húztu alá Így az eredet táblázatba va l l, vagy l l l étszer aláhúzott elem A továbbaba belátju, hogy lye sor, vagy oszlop a táblázatba bztosa található Válasszu az egyszer aláhúzott eleme özül a legagyobbat ha cs egyszer aláhúzott elem, aor md étszer vaa aláhúzva, így észe vagyu Ez a saját sorába a darab legagyobb elem özött va, de oszlopába cs az l darab legagyobb elem özött vagy ordítva Eor az oszlopába az l legagyobb elem alá va húzva, és az ála agyobb, tehát a választás matt em lehete egyszer aláhúzotta Tehát ez az l elem étszer aláhúzott A ét paramétertől üggő állításo gazolására más módo s alalmazhatju az ducós elvet, például a övetezőéppe: 7 Tétel Ha P, m egy és m N -től üggő predátum, amely teljesít a övetező eltételeet: P, gaz; Ha P, m gaz bármely < és m m, lletve és m < m eseté, aor P, m gaz,

20 aor P, m gaz, m N 7 Példa! Bzoyítsu be, hogy m! m! m! m!!! m Bzoyítás A bzoyítadó egyelőség mdét oldalát elosztva m! -ral, a vele egyeértéű Cm Cm Cm Cm azoossághoz jutu Jelöljü P m, -el ezt az állítást A P, : " C C " jeletés gaz Ha eltételezzü, hogy P, m gaz bármely < - re, vagys P, m s gaz, így Cm Cm Cm C m Cm Cm Cm az ducós eltevés, és a Pascal-ormula alapjá, tehát P, m s gaz Így az egyelőség eáll bármely m, N eseté A többváltozótól üggő állításo gazolása gyara a z előbbebe már bemutatott ducó belül ducóval s törtéhet Erre egy geometra alalmazást mutatu be: 74 Példa Adotta az A A A, {,,, }, m, azoos örüljárás ráyú, egymással m A hasoló soszöge Ha -val jelöljü az A A A soszög, és -vel az m A j { A j }, potredszer súlypotját mde j, m eseté, aor A A A m hasoló és azoos örbejárású a megadott soszögeel; Az A A A m soszög súlypotja egybees az eredet soszöge súlypotja által alotott potredszer súlypotjával Bzoyítás A soszög oldalszáma szert ducóval bzoyítju a tulajdoságot Ha m, aor egymással hasoló A A A háromszöge vaa, {,, } A tulajdoságot szert ducóval gazolju eseté gazolu ell, hogy ét egyeese hasoló háromszög megelelő csúcsa által meghatározott szaaszo elezőpotja a háromszögeel egyeese hasoló háromszöget alota Jelöljü a, a, a -mal lletve a, a, a -mal a csúcsoa megelelő aumoat Legye XYZ a ét háromszöggel egyeese hasoló háromszög Ebbe az esetbe eálla az a y z a z a y és a y z a z a y összeüggése A összeüggést λ -val szorozzu, összeadju a ét összeüggést, majd az így apott relácót szorozzu -val, így az λ a λa a λa a λa y z y z y λ λ λ összeüggést apju, am azt ejez, hogy a megelelő csúcsoat összeötő A A, A A, A A szaaszoat λ aráyba osztó poto által meghatározott háromszög egyeese hasoló az adott háromszögeel λ -re éppe a elezőpotora apju a ívát tulajdoságot Feltételezzü, hogy a tulajdoság gaz háromszög eseté Egy -szög G súlypotját úgy apju meg, hogy valamely csúcsa által meghatározott soszög súlypotjat

21 összeötjü az - csúccsal és az így eletezett szaaszo elvesszü a G - G A A G et aráyba osztó G potot G A G Az háromszög özül tetjü az első háromszöget Az ducós eltevés alapjá a megelelő csúcso által alotott soszöge G, és G súlypotja az eredet G háromszögeel egyeese hasoló háromszöget alota A GGG, és az A A A háromszögere haszálju azt a tulajdoságot, hogy megelelő csúcsaat összeötő szaaszoat λ aráyba osztó poto által alotott háromszög velü egyeese hasoló De eze a poto éppe az -szöge súlypotja Tehát m -ra a tulajdoságot bzoyítottu szert ducóval Feltételezzü, hogy a tulajdoság gaz m oldalú soszögere, és bzoyítju, hogy m oldalú soszögere s gaz Ha az { A j } soszöge egyeese hasolóa bármely j, m, -re, aor az { A j} j soszöge szté hasolóa mde, -re, így az, m ducós eltevés alapjá az A A A m soszög egyeese hasoló az A soszöggel Másrészt az és az A A háromszöge hasolóa az A A m A m A m m A m A m esetbe bzoyította értelmébe, így az A A A m A m soszög egyeese hasoló az A A A m A m soszöggel Alalmazáso m m Bzoyítsu be, hogy m m Legye egy valós számsorozat, amelye a em tagja Bzoyítsu be, hogy ez a a sorozat potosa aor számta haladváy ha! C p a a a p p r a 8 A végtele leszállás elve A végtele leszállás a teljes ducó dret változata, amelybe em azt bzoyítju be, hogy ha egy természetes számora voatozó állítás gaz az összes -él sebb számra, aor gaz -re s, haem azt, hogy ha az -re em teljesül az állítás, aor va egy -él sebb poztív egész s, amre em teljesül Egy lehetséges megogalmazás a övetező: P N m H m <, aor H csa üres halmaz lehet, és ezért P Ha P egy természetes számotól üggő állítás, és létez olya N, amelyre em gaz, aor a H { N P em gaz} halmazba va legsebb elem Így ha bármely eseté létez, gaz mde N eseté Ezt a bzoyítás módot éha mmumelvét s emleget ugyas azt bzoyítju, hogy cs H-a mmuma 8 Példa Mlye a, b természetes számora osztható a b a b az ab szorzattal? Megoldás Igazolju, hogy csa aor, ha a b Tegyü el, hogy ab a b a b, a b, b > és a b a lehető legsebb Nylvá a, mert a eseté b b b b b Ie övetez, hogy b, vszot eltételeztü, hogy b > Legye valamely poztív egész -ra a b a b ab p p

22 Tetsü az redezésével apott a a a egyeletet; ee szert b gyöe Legye az egyelet más gyöe c Felhaszálva mdét összeüggést a gyöö és együttható özött, apju, hogy a a c a b b A c egész, mert c a b Másrészt < c < a, mvel a a a a a a a c, és c < < a b b b b b Tehát < c < a és c a c a a, azaz c a c a ca, vagys ca c a c a Vszot c b < a b, am elletmod a és b választásáa Nem léteze tehát olya a és b egyél agyobb egésze, amelyere teljesül a eladat eltétele 8 Példa Oldju meg az y u v egyeletet a természetes számo halmazába Megoldás Bzoyíta ogju, hogy az egyelet egyetle megoldása y u v Tegyü el, hogy va olya megoldás, amelyre Így létez a megoldáso özt olya, amelyre em ulla, és a lehető legsebb a modulusa Jelöljü ezt a megoldást, y, u, v -val Egy természetes szám,, vagy alaú, tehát a égyzetée -mal való osztás maradéa csa vagy lehet Így az y összeg csas aor osztható -mal, ha s és y s osztható -mal Eszert, y y és y u v Ha az előbb godolatmeetet az u v összegre alalmazzu, övetez, hogy u u és v v, tehát y u v De <, tehát elletmodáshoz jutu megválasztásával Így mde, y, u, v megoldásba Hasolóéppe látható be, hogy y s ulla, tehát az egyetle megoldás y u v Alalmazáso Va-e ullától ülöböző természetes megoldása az u 7v egyelete? Bzoyítsu be, hogy ha y yz, aor z Az N természetes számból dulva a övetező lépéseet végezzü: a ha a szám páros, osztju -vel; b ha a szám páratla, hozzáadu -et Bzoyítsu be, hogy mdg eljutu az -hez Pl 6 eseté : : : : : : Idutív deícó és szeresztése Az előző paragrausba az ducóa, mt bzoyítás módszere a sorétű varásat és alalmazásat mutattu be De az ducóa em csa mt bzoyítás módszere va ge agy jeletősége Soszor találozu olya matemata objetumoal, amelyeet dutív módo értelmezü, vagy hasolóa szeresztü meg Lássu éháy lyet: Reurzív sorozato Tetsü például azt az sorozatot, amelyre a a d, Adott N a és d eseté a sorozat dutíva értelmezett vagys a -ból az a -gyet, a -ből az a - t határozzu meg és így tovább Ugyaígy, tulajdoéppe dutíva értelmezett az összes,,, reurzóval értelmezett sorozat 4 a

23 Potredszer súlypotja Egy, potból álló potredszer súlypotját többéleéppe s értelmezhetjü: Értelmezés Az A A A potredszer súlypotja az a G pot, amelyre GA Lássu be, hogy ez az értelmezés helyes Ehhez azt ell belátu, hogy lye G pot létez, és egyértelműe meghatározott Rögzítsü egy O potot a síba Eor GA GO OA GO elezőpotja, és G a G szaaszt OA, OA e OG, ez a vetor létez, és egyértelműe meghatározott A redszer súlypotját dutíva s értelmezhetjü: Értelmezés: Ha G -val jelöljü az A A A potredszer súlypotját, aor G az [ A A ] szaasz A aráyba osztó pot Megjegyzés Ez aor s elvégezhető, amor a potoo em azoos súlyo vaa A ét értelmezés ylvávalóa egyeértéű, mert OA j OA OA j OG OA j j OG Hamel-bázso Igazolható, hogy a valós számo halmaza vetorteret alot a racoáls számo teste ölött Ee a vetortére a bázsat hívju Hamel-bázsoa A Hamel-bázsoat a övetezőéppe értelmezzü szeresztjü meg: * Legye h Q egy tetszőleges, ullától ülöböző racoáls szám Képezzü a övetező halmazt: H { r h r Q} Ez a H halmaz megszámlálható so elemet tartalmaz mert H ~ Q, így létez olya h elem az R-be, amely em eleme a H -e; h R \ H, H { r h r h r, r Q} Belátju, hogy ülöböző r, r és r, r párora r h h r r h r h Valóba, ha eltételezzü, hogy r r h h r h r h, aor övetez, hogy r r h r r h, r r r r * ahoa h h, és mvel Q mert r r, r r és r r r r Q r r r r,,,, r r övetez,hogy h H Ugyaaor h R \ H, és így elletmodáshoz r r r, r H jutottu Tehát mde pár más elemet származtat a -be Eor H ~ Q Q, ezért megszámlálható so elemet tartalmaz Kválasztu egy h R \ H elemet és így tovább Ha H az -ed így megszeresztett halmaz, aor H ~ Q Q Q, vagys megszámlálható so elemet tartalmaz, ezért létez övetezőéppe értelmezzü: h R \ H, és aor a H -gyet a 5

24 { r h r h r h r, r, r Q} H, A { h, h,, h, } megszámlálható so elemet tartalmazó halmazt evezzü Hamelbázsa 4 Fratálo A ratál szó a lat ractus szóból származ, am azt jelet: törött, töredezett Az elevezést Madelbrot amera matematus találta 975 örül Olya alazatoat, pothalmazoat evezett ratáloa, amelye léyegese szabálytalaabba, összetettebbe, töredezettebbe, mt a lasszus geometrába előorduló alazato Bár az elevezés lye új, ülöéle érdees halmazo már régóta szerepele matemata muába Eze md egyszerűe deálható, dutív módo szeresztett, értelmezett halmazo Néháy lye halmaz: A Cator halmaz a legegyszerűbbe megszereszthető ratál Idulju a [, ] tervallumból Ezt osszu három egyelő részre, majd hagyju el a özépső részt Ezutá osszu három egyelő részre mdét megmaradó szaaszt, és hagyju el a özépső részeet Így 4 szaaszt apu Az - lépés utá szaaszu lesz, eze hossza Ezeet a szaaszoat smét osszu három-három részre, és hagyju el a özépső szaaszoat, így szaaszu lesz A Cator halmaz azoa a potoa a halmaza, amelye végtele so lépés utá megmarada 7 8 C [, ] ; C,, ; C,,,,, stb A Cator halmaz C C A Serps háromszög A Cator halmaz ét dmezós megelelője Megszeresztéséhez dulju egy egységy oldalú egyelő oldalú háromszögből, S -ból Az oldalelező poto összeötésével osszu égy egybevágó részre, majd hagyju el a özépső rész belső potjat A megmaradó alazat S A másod lépésbe hagyju el az S -gyet alotó mdegy s háromszög özépső részét, a apott halmazt jelöljü S -vel, és így tovább Az S halmazt úgy apju, hogy az S -t alotó háromszöge özépső részet elhagyju Az S Serps háromszög azoa a potoa a halmaza, amelye mdegy S -hez hozzátartoza: S S 6

25 Ktűzött eladato Igazolju, hogy a övetező egyelőtleséget: 4 <! < 6 4 Bzoyítsu be, hogy ha a a a és b b b, aor a b ab Adott sío száz é pot és száz pros pot úgy, hogy özülü cs három pot egy egyeese Bzoyítsu be, hogy lehet a potoat száz egyees szaasszal úgy összeöt, hogy mde szaasz végpotja ülöböző szíűe legyee, és hogy bármely ét szaasza e legye özös potja Kvat Moszva 4 Az,,, em egatív valós számo összege em agyobb -él Mutassu meg, hogy 5 Oldju meg az alább egyeletet: lg lg,5 6 Bzoyítsu be, hogy ha és egész, aor < < 6 7 Legye p legeljebb -ed oú polom Bzoyítsu be, hogy eor va olya egész szám, amelyre p 8 Vezessü be a övetező jelöléseet ha,, Bzoyítsu be, hogy mde valós együtthatós -ed oú polom elírható b b b b,,,, alaba, ahol a b - valós számo Bzoyítsd be, hogy a polom aor és csa aor vesz el mde egész helye egész értéet, ha a alaú előállításba mde b egész szám 9 Határozzu meg aa a sorozata általáos tagját, amelye épzés szabálya a u u u u, u, u, u, b v v v v, v v v, c w w w, w w, w Az első m poztív egész számot szét lehet oszta ét, egyeét m elemet tartalmazó,,, m és y, y,, ym csoportba úgy, hogy mde, legeljebb -ed oú polomra eálljo a p p p m p y p y p ym egyelőség 7

26 Fogadju el bzoyítás élül, hogy mde természetes szám mellett létez olya polom, amelyre eáll a s P cos s azoosság Mutassu meg, hogy P Az -ed oú P polomra teljesül a P j egyelőség j, eseté Számítsu P -t! Legye P R[X ] egy legeljebb -ed oú polom Bzoyítsd be, hogy létez olya {,,,, } természetes szám, amelyre P 4 Legye P R[X ] egy olya -ed oú polom, amelye md az gyöe valós Bzoyítsu be, hogy ha R és P, aor létez olya gyöe a P poloma, amelyre teljesül az P egyelőtleség P, ha,5 <,6 5 Az :[, R, üggvéyből dulva lépésről lépésre ülöbe meghatározzu az :[, R üggvéysorozatot a övetező eljárás szert: Ahol >, ott Ahol ott értée legye q vagy, aszert, hogy -e az -ed tzedesjegye 5-e vagy sem, ahol q egy -él sebb előre rögzített poztív szám Számítsu az a d sorozat határértéét 6 Bzoyítsu be, hogy ha a cos R eseté, aor a, 7 Adott a sío pot Legeljebb háy potba metsz egymást az eze poto által meghatározott szaaszo elezőmerőlegese? 8 Osszu az első poztív egész számot ét elemű csoportra, majd a csoporto elemet redezzü agyság szert övevő lletve csöeő sorredbe Így apju az a < a < < és b > b > > b sorozatoat Bzoyítsd be, hogy a a b a b a b 9 Egy országba mde út egyees, bármely ét út metsz egymást, és mde útereszteződésbe potosa ét út metsz egymást A ereszteződéseet étszteseé alaítjá át úgy, hogy egy út a más elett haladjo át Mutassu, hogy a ereszteződése alalmas alaításával elérhető, hogy az ország tetszőleges útjá haladva a több utaat elváltva alul és elül eresztezzü Lovász László Egy láthatatla bolha az orgóból dulva ugrál a rácspotoo jobbra és el M mde ugrás utá egy rácspotot megmérgezü El tudju-e pusztíta a bolhát orlátos számú lépésbe? Háyéleéppe lehet egy -es táblázatot tölte az -től -g terjedő poztív egész számoal úgy, hogy a csúcs vagy él szomszédos mezőbe írt számo ülöbsége e legye agyobb -él? Határozd meg az : R R üggvéysorozatot, ha és, ha λ λ R, P 8

27 Bzoyítsd be, hogy az : R R, e cos, >, üggvéy aárháyszor derválható 4 Az : R R üggvéy redelez a övetező tulajdoságoal: [,] -re és, R eseté Bzoyítsu be, hogy elírható ét szgorúa övevő üggvéy ülöbségeét * 5 <, N -ra; 5 * 6 <, N -ra 7 Négy tetszőleges természetes számból dulva a övetező lépést smételjü: a meglevő, y, z, t számégyest helyettesítjü az y, y z, z t, t számégyessel Bzoyítsu be, hogy egy dő utá csupa -t apu 8 Egy bűvésze ártyája va és eze -től -g vaa számozva A övetező mutatváyt szereté bemutat: Szétosztja a ártyáat három alapba agyság szert ülöböze és megér egy ézőt, hogy húzzo ét ártyát A éző ét alapból húz egy-egy ártyát úgy, hogy a bűvész e lássa hoa húz, és a ártyára írt számo összegét özl a bűvésszel A bűvész ez alapjá meg ell állapítsa, hogy mely ét alapból húzott a éző Háyéleéppe oszthatja szét a ártyáat, ha a mutatváya %-os serrel ell műöd? Nemzetöz Dáolmpa 9