Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Átírás

1 Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar

2 Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda algortmus 5 Az LU-felbotás tuladosága, specáls verze 7 6 Gram-Schmdt ortogoalzácó, QR-felbotás 3 7 Az algebra saátértéfeladat 36 8 A legsebb égyzete módszere 46 9 Ortogoáls polomo 5 Leárs egyeletredszere megoldása terácóval 55 A Lagrage terpolácó és hbáa 6 A polom-terpolácó tuladosága 64 3 Iterált terpolácó (Nevlle, Ate, Newto) 67 4 Newto- és Hermte-terpolácó 7 5 Iterpolácó sple (doga-) függvéyeel 76 6 Nemleárs egyelete megoldása I 8 7 Nemleárs egyelete megoldása II 89 8 Numerus tegrálás (vadratúra) I 9 9 Numerus tegrálás, Gauss-vadratúrá II 97 Közöséges dfferecálegyelete

3 3 Gép szám, hbá Áttetü a gép artmeta éháy ellegzetességét és szemügyre vesszü a számításoat terhelı hbafatáat A gép számo A gép számo leggyarabba -es alapú (vagy bárs), elıeles ormalzált számo, így elsısorba ezeel fogu foglaloz Alau ± = ± m elıel, t db bárs egy տ tevı () A emzérus matssza mdg -gyel ezdıd, ematt 5 m <, m Ha az alap em, aor a -es és a 6-os (headecmáls) számo fordula még elı a gyaorlatba A bárs gép számo halmazát elöle M ( t,, + ), ahol t a matsszahossz, a legsebb tevı, pedg a legagyobb tevı Az általu haszált PC-be, - személy számítógépebe a szmplapotos szám 4 bát = 3 bt területet foglal el a memórába és az egyes fucó osztása a övetezı: bt ut az elıelre, 8 bt a tevıre és 3 a matsszára Eze számo potossága b 7 decmáls egye felel meg ( 3log 693, azaz b 3-del szorzadó a bte száma) és a agyságred tól -g teredhet A duplapotos (étszeres potosságú) számo 64 bte helyezede el: 5 elıel: bt, tevı bt és a matsszahossz: 5 bt Most a potosság b 5 decmáls egy, és az 37 ábrázolható számo agyságrede 37 -tıl -g tered Egyes programyelve megeged a égyszeres potosságú számoat s A orét megvalósításba haszálható, hogy a emzérus matssza elsı bte mdg, ematt elhagyható Ezzel a fogással még plusz bthez lehet ut, ame eletısége az artmeta tuladoságaa avításába va Eor vszot meg ell tud ülöböztet a zérust 5-tıl Erre többféle lehetıség va, hsze zérus matssza mellett a tevı bte etra formácót hordozhata Az ge agy abszolút értéő, a gép számoal em ábrázolható számo elölésére s lehet alaíta egy bt-ombácót A már em ábrázolható agy számora a elet fogu haszál Szoás még az NaN elölés: ot-a-umber : em szám, értsd: em gép szám Egyes programyelvebe ezt apu eredméyül, ha zérussal próbálu oszta Ha NaN-el ezutá bármlye artmeta mőveletet végzü, az eredméy NaN, mégha zérussal szoroztu, aor s Nevezetes gép számo A legsebb poztív matssza: ½ A legagyobb matssza: legsebb poztív szám: ε = = / t db -es t = M ( t,, + ) -ba a

4 Hegedős: Numerus Aalízs 4 A más evezetes szám ε, az a legsebb poztív szám, amelyet -hez hozzáadva -él agyobb gép számot apu: + ε = +, e ε t + = A legagyobb ábrázolható szám: + + t M = ( ) = ( ) A legsebb szám ee a egatíva Például legye a gép számo halmaza M (5, 4,3) Eor a legagyobb matssza: = 5, a 4 5 legsebb matssza ½ Az elsı poztív gép szám: ε = / = Az utá övetezı elsı gép szám távolsága -tıl: 5 3 = ( ) = 8 / 4 + t+ 4 t = = A legagyobb ábrázolható szám: M ( ) ε 3 Valós számo overzóa gép számmá = = A övetezı érdés: a valós számoat hogya alaítsu át gép számoá Az ezt megvalósító put függvéyt fl -lel elölü (a floatg pot umber feezés ezdıbető), fl : R M Megadása a övetezı:, ha > M fl( ) =, ha < ε, -hez legözelebb gép szám, ha ε M ahol az -hez legözelebb gép szám a ereítés szabálya szert értedı Például alaítsu át 87-et 8-egyő bárs számmá Ezt célszerőe úgy tesszü, hogy az egész részt -vel osztu, és egyezzü a maradéoat A sorredet megfordítva apu a bárs egyeet A tört részt -vel szorozzu A övı egész részt em szorozzu tovább, haem bárs egyét megırízzü Az utolsó egyet már abból meg tudu állapíta, hogy a tört rész sebb-e 5-él Ha sebb, az adódó egy, egyébét = 87 = Kaptu: 87 = Ez em ereítéssel, haem csoítással apott eredméy A ereített szám megállapításához még egy egyet meg ell határoz Ha a övetezı egy, aor az utolsó bárs egyhez -et adu, egyébét változatlaul hagyu Esetübe a övetezı (leced) egy, így a ereített érté: Ha 87-et az elıbb példába szereplı M (5, 4,3) halmazra íváu leépez az fl függvéyel, aor fl(87) =, mert M < 87 Gyaorlat Legye a gép számo halmaza M (5, 4, 4) Határozzu meg a evezetes számat! M lesz a övetezı számo leépezése a halmazba: /5, 37, 367, 7, 78? Gyaorlat Hogya overtálá 87-et 3-as alapú számredszerbe? Feltesszü, hogy -et potosa smerü Eor fl( ) hbáa a övetezıépp becsülhetı:, ha > M fl( ) ε, ha < ε ε M, ha ε M (), (3) ahol / ε t M = ε = a gép epszlo, ez ada az ε és M özé esı szám ábrázolásáa relatív hbáát Itt az elsı sora csa elzés értée va A másod sor ömagáért beszél, egyedül a harmad

5 sor ívá ém magyarázatot Azt feez, hogy az ábrázolt szám hbáa em agyobb, mt a t -ed bárs egybe elövetett hba A harmad sor átredezése a relatív hba orlátát ada: 5 fl( ) ε (4) M A relatív hba megállapításaor elég a matssza hbáát tete, mert a tevı osztásor es A ereítésor a matsszába elövetett hba legfelebb t A relatív hbááa felsı orlátát úgy apu, hogy a lehetséges legsebb poztív matssza-értéel osztu: ½-vel Így apu eredméyül = t -t ε M 3 Gyaorlat Hogya módosula a gép epszlo, ha a ereítés helyett csoítást alalmazá? 4 A gép artmeta Vaa gép száma, a övetezı érdés, hogy mlye tuladoságú lesz a lebegıpotos számoal megvalósított gép artmeta A övetezı számpéldába a tízes alapú számredszert fogu haszál, ahol va égy decmáls együ és a tevı elıeles étegyő szám lehet Eze gép számo halmazát egyszerőe M -mel fogu elöl Jelölés: 543 = A gép artmetába em lesz gaz mde, amt a valós számtestbe megszotu Az alábbaba felsorolu lye eltéréseet: Létezhet emzérus a, b M, amelyre a + b = a Ez a számo eltérı agyságrede matt lehetséges Például adu össze a övetezı számoat: és 454 3: Létezhet a, b, c M, amelyre ( a + b) + c a + ( b + c) Például de elıször a ét cs számot összeadva Ez arra t, hogyha so számot összegzü, aor az abszolút érté szert csel érdemes ezde Létezhet a, b, c M, amelyre ( ab) c a( bc) Például ( ) = = 343-5, míg a más záróelezés szert a másod és harmad szám szorzata sebb, mt a legsebb ábrázolható gép szám, így ez a szorzat zérus, am a teles szorzatra zérus eredméyt ad Így, ha so számot ell összeszorozu, még agyobb godossággal ell eláru, mert öye erülhetü abba a helyzetbe, hogy az eredméy, vagy valamely rész-szorzata ívül es a számábrázolás tartomáyá Ha az eredméy túl agy, vagy túl cs, aor egy lehetıség a godo csöetésére az eredméy logartmusát számol Összevoás utá az eredméy relatív hbáa eletıse megıhet Például

6 Hegedős: Numerus Aalízs am egyelı +-val Látu, tt már csa az elsı ét egy potos Ezt eleséget voás egyvesztesége evezzü Néha adható fogáso a voás egyveszteség elerülésére vagy csöetésére, pl ha et így számítu, haszálva, hogy a gyö alatt egész számo vaa: ( )( ) = A másodfoú egyelet gyöet pedg az alább módo célszerő számíta: p + q = gyöe: = p + sg( p) p q, = q / Elıfordulhat olya eset, amor a özbülsı eredméy túlcsordul (agyobb mt M ), ematt rossz a program futása, pedg a végeredméy az ábrázolható számo özt va Például legye a = , b = és számítadó a + b Az elsı szám tevıe égyzetre emelésor, így túlcsordult számot apu Ha vszot s = ma( a, b ), aor ez em övetez be s ( a / s) + ( b / s) -et számítu, ahol Néha arra s számíta ell, hogy egy függvéy em ada olya potossággal vssza a helyettesítés értéet, mt amlye potossággal dultu Például tetsü a s függvéyt Ha az argumetum cs, aor cs semm ba Ha azoba értée agy, például = 356, aor s(356) számításaor 356 π -vel vett osztás maradéát ell veü A maradéba már csa egy lesz potos ha a fet artmetát haszálu, így az eredméyél sem remélhetü agyobb potosságot A mutatott példá alapá megállapíthatu, hogy a gép artmeta emváatos elesége elsısorba aor öveteze be, ha a számo özött túl agy a agyságred ülöbség, vagy egymáshoz agyo özel számoat vou egymásból 5 Hbá Az géyes számításoál arra s vácsa vagyu, hogy az eredméyt mlye potosa tudtu elıállíta Ehhez számba ell ve a lehetséges hbafatáat Az elsı a dulásul haszált adato örölött hbáa, evezhetü ezt adathbáa s Lehet, hogy a számítás sorá magu s tévedü, ezt godos elleırzéssel magua ell felfedezü és avítau A éplethba az alalmazott módszerhez tartoz A ereítés hbá részbe beövetezhete a éz számítás, adatelıészítés sorá, de a gép artmetáa s mdg va lye hbáa A hbaelemzés sorá fel ell smerü, mely az a hbafata, am az adott feladat szempotából léyeges So olya számítás va, amor az adathba, vagy a éplethba elet a fı hbaforrást Az adathbát soszor csa tudomásul vehetü, de a éplethbát esetleg csöethetü potosabb módszer alalmazásával A hbaszámítás alapmodelle szert a özelítı értéeel apott potos számítás eredméyét özelítése tetü és azt vzsgálu, meora a hbáa Jelölése Az meység potos értée, hbáa: =, ahol elıeles szám A relatív hba δ = / / Itt megegyezzü, hogy egyes szerzı a relatív hbát a potos értéel defálá, tehát az tt látható másod formulát haszálá A m választásu tudomásul vesz, hogy a potos értéet em smerü A hbaorlát egy emegatív szám, amellyel felülrıl becsülü a hba abszolút értéét: Hasolóépp δ a relatív hbaorlát, amelyre δ δ

7 4 Gyaorlat Mutassu meg, hogy a relatív hba étféle megadása özött a ülöbség másodredő: ( ) / δ = δ /( δ ) δ = δ /( δ ) A valóságba a hogy az érté valamely hbát em smerü, csa aa felsı orlátát Ematt dulásul ayt tudu, -sugarú öryezetébe va A hbaalízs szempotából fotosa az alapmővelete, +,,*,/ hbá Alább a baloldal összefüggése a hbára, a obboldala pedg a hbaorlátora voatoza: ( ± y) = ± y, = +, ± y y ( y) = y + y, = + y, y y y y y + y ( / y) =, / y = y y A hbaformulá hasoló módo származtatható, mt az összeg-, szorzat-, és háyadosfüggvéye dfferecálás szabálya Ie az s látható, hogy a formulá csa aor tethetı óa, ha a hbá valóba cs, és a másodredő hbatago elhayagolható A obboldal formulá a baloldalaból öveteze, aárcsa az alább, relatív hbára voatozó feezése: 7 (5) δ ± yδ y δ + y δ y δ ( ± y) =, δ ± y =, ± y ± y δ ( y) = δ y + δ, δ = δ + δ, y y δ ( / y) = δ δ y, δ = δ + δ / y y (6) A függvéyértée hbáa Legye f : Eor a Lagrage özépérté-tétel szert létez ξ [, ], amelyre R R legalább étszer folytoosa dfferecálható függvéy ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) + f ( ξ ) / Ie a másodredő csy utolsó tag elhagyásával a függvéyérté hbáa: f ( ) f ( ) = f f ( ) (7) Legye ma f ( ) = M, ezzel f = M, ahol vegyü tetetbe, hogy a becslés egy [, + ] sugarú öryezetére voatoz A relatív hbára apu: Az abszolút értéere áttérve: f f ( ) f ( ) δ f = = δ f ( ) f ( ) f ( ) δ f c( f, ) δ, (8) ahol a c( f, ) = f ( )/ f ( ) számot az f függvéy potbel odcószámáa evezzü Ha ez a szám agy, aor a függvéyt stabla, vagy gyegé meghatározotta evezzü, mert az argumetum csy megváltozása agy függvéyérté-megváltozást eredméyez úl agy odcószám mellett a gép számo ereítés hbá s elvselhetetleül agy végsı hbához vezete Az (7) és (8) összefüggése sugallá a övetezı stabltás fogalmat: egy algortmus stabl, ha ét bemeı érté:, és a hozzáu tartozó meı értée, f, f özött feáll egy f f C,, X (9)

8 Hegedős: Numerus Aalízs 8 típusú összefüggés, ahol C az algortmus adatatól függetle em túlságosa agy álladó Vegyü észre, tt, f gép számo, egy véges halmaz eleme Fotos még az verz stabltás fogalma Egy leépezés verz stabl, ha az eredméy egy ssé perturbált ezdetértébıl potos számítással megapható

9 9 Normá, egyelıtlesége Ebbe a szaaszba vetoro és mátro özött távolságfüggvéyeet fogu bevezet Metrus tér Legye X egy halmaz, amelye eleme özt bevezetü egy távolságfüggvéyt : ( ) Azt íváu, a, b X -re redelezze a övetezı tuladoságoal: δ X X R ) δ ( a, b) = δ ( b, a), azaz a legye olya távolságra b -tıl, mt b a -tól (szmmetra) ) δ ( a, b) = a = b, a távolság csa aor legye zérus, ha a ét elem azoos ) δ ( a, c) δ ( a, b) + δ ( b, c), a háromszög-egyelıtleség Azt feez, hogy ét pot özött legrövdebb út az egyees m Eor a ( δ, X ) párt metrus tére evezzü A övetezıbe X gyaát az R és R halmazo erüle szóba, azaz vetoro és mátro özött fogu távolságfüggvéyeet észíte Ez a δ em lehet egatív értéő, mert = δ ( a, a) δ ( a, b) + δ ( b, a) = δ ( a, b) övetezméy A vetoro hatváyormáa A vetor ormáa : R R a övetezı tuladoságoal redelez: ) = =, ) λ = λ, ) + y + y () Eor a δ (, y) = y választás metrát ad, mert a ívát tuladoságo telesüle Az elsı ét feltételt trválsa elégít a hatváyorma: a harmadat ésıbb fogu belát / p p =, p, p () = β y y= p- A Hölder-egyelıtleség A hatváyormára feáll a Hölderegyelıtleség: y y y, + =, (3) p q p q = α am p = q = -re a ólsmert Cauchy-Buyaovsz egyelıtleségbe megy át A p és q özött összefüggés átredezhetı a p = /( q ) alaba, amt szem elıtt tartva öye belátható az alább p egyelıtleség Az alalmazott függvéy y =, az elsı tegrál a függılegese, a másod a vízsztese satírozott területet elet:

10 Hegedős: Numerus Aalízs Ezutá az α β p q d y dy p q α β αβ + = + p q α =, β = p y y q helyettesítéssel és az szert összegzés elvégézésével apu (3) obb oldal összefüggését () harmad összefüggése, a háromszög-egyelıtleség úgy látható be, hogy p / q = p szem elıtt tartása mellett a p p p p { } = = + y = + y + y + y egyelıtleség obb oldaláa mdét tagára alalmazzu a Hölder-egyelıtleséget Eor az elsı tagra a övetezı eredméy adód: / q p ( p ) q p / q + y + y = + y, p p p = = és a más taggal s hasoló eredméyre utu, a ettıt együtt redezve apu a vát egyelıtleséget, amt általáosa a p de mellett a Mows-egyelıtlesége evezü 3 A hatváyormá éháy tuladosága A hatváyormára telesül: hsze ez az összefüggés átredezhetı a alaba Ha tt, p, s, (4) + p s p+ s p p = = = p s / p, = ma aor a obb oldal elsı téyezıe tagról tagra agyobb vagy egyelı a bal oldalál, a másod téyezı vszot bztosa em sebb -él A fotosabb hatváyormá a övetezı: = = Ez az -es vagy otaéder orma, mvel a 3-dmezós térbe az azoos ormáú vetoro egy olya otaédere helyezede el, amelye csúcspota az {( ±,, ),(, ±, ),(,, ± ) } vetoro az vetor euldész, ettes vagy gömbormáa A p határesetbe adód = = /

11 p / p p = ma = ma lm = ma a Csebsev-, -, vagy oca-orma Mt látu, (4) alapá tt a legagyobb és legsebb hatváyormá szerepele, továbbá az ortogoáls traszformácóal szembe varás -es orma Ezere a ormára a defícó alapá levezethetı a övetezı egyelıtlesége: 4 Kovergeca ormába A ormá evvalecáa A orma alalmas arra, hogy segítségével egy vetorsorozat overgecáát értelmezzü Eze ( ) ( ) alapá alatt azt értü, hogy R, lm = Az és ormáat evvalese evezzü, ha c () (), c > úgy, hogy c c () () () 65 étel (bzoyítás élül): Végesdmezós vetortérbe bármely ét orma evvales Ez azt elet, hogy a ormá aármeyre em ülöbözhete egymástól Így mdegy, mlye ormába vzsgálu a overgecát 5 Mátrormá,, (5) A mátr ormáa A : m R R a övetezı tuladoságoal redelez: ) A = A =, ) λ A = λ A, ) A + B A + B, v) AB A B (6) Az utolsó ét tuladoságot aor övetelü meg, ha a ét mátr összeadható vagy összeszorozható Mvel a vetoro specáls mátroa tethetı, mde mátrorma meghatároz egy vetorormát, amelyet a mátrormával ompatbls vetorormáa evezü Ez az út fordítva s beárható, ugyas mde vetororma duál egy mátrormát a övetezıéppe: A A = sup = sup A, (7) = ahol vetororma Csa megegyezzü, az általáosabb defcóba megegedhetı, hogy más ormá szerepelee a számlálóba és a evezıbe A (7) defícó egyees övetezméye 6 étel Az duált mátrorma eleget tesz a (6) feltételee Bzoyítás Ad A = A = A = A = re A = A A (8)

12 Hegedős: Numerus Aalízs Ad λ A = sup λ A = λ sup A = λ A = = A + B = sup ( A + B) sup A + B A + B Ad 3 { } = = Ad 4 R, = : AB = AB A B A B 7 Az duált mátrormá meghatározása p =, oszloporma: A = ma Ae = ma a (9) ( ) ( ) = Legye =, eor A = a a = a = = = = = = ( ) ma a = ma Ae m m m m m = ( ) Ezt a felsı orlátot valamely = ( ) találtu meg p =, sororma: Legye =, eor ( ) ( ) ( ) = e -ra el s ér, így a mamumot A = ma e A = ma A e = ma a () ( ) ( ) ( ) = = együ fel, a = A = ma a ma a ma a mamum a -ad sorra övetezett be Eor = és A éppe a megállapított felsı orlát az = = a / a p =, spetrál orma: Eor a övetezı mamumot eressü: Az tt látható háyados az vetorral, ahol a felülvoás omple ougáltat elöl A A ( ) ( λ ) / A A = ma ( ) () A A A = ma = ma A A mátrra voatozó Raylegh-háyados Ha λ saátértéel, aor u Raylegh háyados legagyobb értée legalább λma ma λ A A egy saátvetora u λ lesz Ie vlágos, a = választással a Raylegh-háyados értée éppe = Megmutatu, agyobb értée em lehet udu, a szmmetrus mátr saátvetora teles ortoormált redszert alota, így bármely vetor fethetı = α u alaba Ezt helyettesítve a Raylegh-háyadosba, a ülöbségre apu: λ ma = am mutata, hogy a mamumot találtu meg λ α ( λ ma λ ) α = = α α = = A A = λma =, 8 A spetrálsugár és az duált ormá összefüggése Egy mátr spetrál sugara alatt a övetezıt értü:

13 3 ρ( A) = ma λ ( A), () ahol λ ( A) az A mátr saátértée Az A mátrorma és az vetororma lleszedı, ha bármely -re eleget tesze a (8) összefüggése Ez utóbb defícó arra az esetre szól, amor a vetororma em ompatbls, vagy a mátrorma em a vetorormából duált, mert ülöbe az lleszedés trváls Igaz az összefüggés: ρ( A) A, (3) ahol A tetszıleges orma, mert Au = λ u, u = mellett a vetorora s ugyaazt a mátrormát alalmazva λ u = λ = Au A u = A, -ra A (3) relácó aor s gaz, ha olya mátrormá va, am csa égyzetes mátrora va defálva Eor az Au u = λ u u feezést épezve lehet a bzoyítást megsmétel 9 A leárs egyeletredszer megoldásáa perturbácó Két esetet fogu megvzsgál Az egy, amor az egyeletredszer b obboldalát perturbálu egy s δ b vetorral, a más, amor az együtthatómátr perturbácóát vzsgálu Az elsı esetbe A( + δ ) = b + δ b -bıl övetez Aδ = δ b és lleszedı ormá eseté apu a becslést: A A δ b δ δ b A A (4) b b Az eredet és a perturbált értéere voatozó egyeletebıl b = A = A b, δ δ, b A A b, δ δ A apott egyelıtlesége azoos oldalat összeszorozva apu (4) obboldal összefüggését A baloldalt ugyaígy apu, csa a mátrot a más oldalra redezzü az duló egyeletebe: = A b δ b = Aδ,,, A b δ b A δ 9 Lemma Ha B <, aor I + B vertálható és duált ormára érvéyes ( I B) + (5) B Az elızı szaaszba látott orma és spetrál sugár összefüggése szert most B spetrál sugara sebb -él, így mde saátértée s sebb, azaz em lehet I + B egy saátértée sem ahoa ( I B) B ( I B) ( I + B) = ( I + B B)( I + B) = I B( I + B) + + +, és átredezéssel apu az állítást,

14 Hegedős: Numerus Aalízs 4 Ha az együtthatómátrot perturbálu δ A -val: ( A + δ A)( + δ ) = b ( A + δ A) δ = δ A δ = ( I + A δ A) A δ A, e apu a becslést: δ δ A δ A ( δ ) I + A A A A A A, A A A δ A (6) az utolsó lépésbe felhaszáltu az elıbb lemmát A mátr odcószáma Az elıbb becslése azt mutatá, hogy a megoldás relatív megváltozása aráyos a cod( A) = A A számmal, ezért ezt a számot a mátr odcószámáa evezzü Szoás még a κ ( A) elölés haszálata s Ha az egyeletredszer együtthatómátráa odcószáma agy, aor az egyeletredszert gyegé meghatározotta evezzü A relatív maradé A δ / szám em ellemz a megoldó módszer stabltását, mert a megoldó módszertıl függetleül agy lehet, ha cod( A ) agy Erre a célra alalmasabb a maradévetor együ fel, az ɶ özelítı megoldást aptu, eor a maradévetor: r = b Aɶ, amt szoás még rezduum vetora s evez A relatív maradéot a övetezı formulával észítü: r η = (7) A ɶ A stabltás verz megfogalmazása szert a megoldó módszer stabl, ha a apott eredméy egy ssé A + δ A ɶ = b, ahol δ A / A cs perturbált duló eredméyhez tartoz: ( ) Meg lehet mutat: ha η agy, A / A r δ A ɶ Ezt η feezésébe írva δ s agy Ugyas ( δ ) = b A + A ɶ = r δ Aɶ, ahoa η = r A ɶ δ A A Másrészt, ha η cs, aor -es ormába a mátr relatív megváltozása s cs Ugyas megoldás rɶ rɶ δ A =, mert b A b A r + ɶ = ɶ = ɶ ɶ ɶ ɶ δ A r Eor -es ormába rɶ = r ɶ (l 5 gyaorlat), s ezzel = A A ɶ Gyaorlato Mutassu meg: duált ormára I = Ha A vertálható, aor A = A s vetororma 3 A mátr odcószáma duált ormáál em lehet sebb -él 4 -es ormáál az ortogoáls vagy utér mátro odcószáma δ A -ra (8)

15 5 5 6 ab = a b U U = I (ortogoáls) ab a b = AU = A = ab a b 7 A B A ± B 8 3 A =, A =? A =? A =? 4 9 A A A / Frobeus-orma: A a = = tr( A A ) = tr( AA ) F Igazolu, ez s mátrorma, de, em duált orma, I =? A A (A -es ormával lleszedı mátrorma) F F A = A, aor A mmáls orma ( U U = I (ortogoáls) = ρ( A) = spetrál sugár, azaz szmmetrus mátrora a spetrálorma a = spetrál orma) AU = A F F 3 AB = BA, ha A = A és B = B 4 cod ( A A) = cod ( A)

16 Hegedős: Numerus Aalízs 6 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 3 Jelölése A mátroat lat agybetőel: A, B, C, a vetoroat lat sbetőel: a, b, c, elölü, véve az,,, l, m, betőet, amelyeet deebe fogu haszál A salárora görög sbetőet alalmazu Ha az A mátrot az a, a, oszlopvetoroból állítu össze, aor ezt így elölü: A = [ aa a ] A mátr egy más megadás formáa A = [ a ], eor az -ed elemet adu meg általáosa Az -edredő egységmátr I = [ e e e ], amely az e, e,, e Descartesegységvetoroat tartalmazza az oszlopaba A traszpoált elölése: a, omple esetbe a H traszpoált ougált elölése a 3 A mátro szorzása m l Az A = [ a ], B = [ b ] R R mátro összeszorzásáa eredméye a [ ] C = AB = c = m l = a b = R mátr A vetoro egy sorból vagy oszlopból álló specáls mátroa tethetı, szorzásu em elet úat Az alalmazásoba megülöböztetü a vetoro étféle szorzás módát Az egy a salárs szorzat, például a b, amelye eredméye egy salár A más a dadus szorzat, például ab, az eredméy egy -ragú mátr Vegyü észre, az elsı esetbe szüséges, hogy a vetoro hossza azoos legye, a másod esetbe em 3 Gyaorlat Íru fel egy dádot Idoolu meg, hogy a raga téyleg Hogya egyszerőbb egy vetort dáddal szoroz? a) Képezzü A = ab -t, mad A -et b) Elıször számítu b -et és ezzel a salárral szorozzu az a vetort A továbbaba rátérü specáls mátro smertetésére 33 Permutácó-mátr Úgy apu, ha az egységmátr sorat vagy oszlopat permutálu, ematt mde sor és oszlopba csa egy -es fordulhat elı, a több elem Az ábrázolásuhoz em szüséges a mátrot tölte, elég egy egész (számoból álló) vetor együ fel, egy mátr sorat cserélgetü és ezt szereté egy vetorba felegyez, am a permutácómátrot reprezetála Kezdetbe a vetor -ad eleme legye egyelı -val A cseré sorá ee a vetora az elemet cserélgessü ugyaúgy, mt a mátr sorat (mtha oszlopvetorét a mátrhoz csatoltu vola) Így a végé mdegy sorról meg tudu állapíta, hogy hova erült Ha például az elsı elem 5-ös, aor ez azt elet, hogy az ötöd sor az elsıbe erült 3 Gyaorlat etsü a Π = [ e, e4, e3, e ] permutácó-mátrot és elleırízzü, hogy az verze a traszpoálta! Ezt a téyt általáosa bzoyítsu be! Hogya tárolu a fet mátrot egy 4-elemő vetorba? 34 Dáddal módosított egységmátr A umerus leárs algebrába ülööse fotos szerepet átszaa az olya egyszerő mátro, amelye az egységmátrtól csa egy dádba ülöböze: F = I + ab (3)

17 Segítségüel a ülöféle leárs algebra traszformácó egyszerőe végezhetı, a beü szereplı a és b vetoro megválasztása mdg az eléredı céltól függ 7 Ee a mátra az verze öye meghatározható Feltételezve, hogy FF = I összefüggésbıl adód: /( α = + b a ), így F I ab = + α, az F ab b a I + (3) Az verz em létez, ha + b a =, ebbıl már sethetü, hogy a evezı em más, mt F determása 35 Példa Ha az egységmátrból vesszü az -ed oszlopot és a helyére betesszü az a vetort: Az verze: F = I + ( a e ) e ( a e ) e ( a e ) e F = I = I + e ( a e ) e a Az lye típusú mátro fotosa a leárs egyeletredszer-megoldó algortmusoál 33 Gyaorlat Elleırízzü: 36 Példa F a e = A övetezı mőveletet végezzü: az A mátr -ed oszlopát α -val szorozzu és hozzáadu a - ad oszlopához Íru fel azt a mátrot, amellyel szorozva A -t, pot ez törté! Megoldás A + α Ae e = A( I + αe e ) 34 Gyaorlat Az elıbb apott összefüggés segítségével bzoyítsu be, hogy a mátr determása em változ, ha egy oszlopáa számszorosát egy más oszlopához hozzáadu Haszálu fel a szorzatmátr determására taultaat! 37 Példa Igazolu, hogy az I + ab determás egyelı + b a -val! Megoldás Feltesszü, az a és b vetoro egye sem zérus, mert ülöbe a feladat trváls vola Legye az a vetor -ed eleme e a = a, és tetsü az I ( a / a ) e e mátrot Ee mde átlóeleme és az -ed oszlopába vaa még emzérus eleme De ezeet a emzérus elemeet az -ed sor valamely számszorosáa hozzáadásával lehet ulláz, ebbıl övetez, hogy a determása Most szorozzu az I + ab mátrot balról I ( a / a e ) e -vel Ez az a vetort az ae vetorba vsz, így az eredméy: I ( a / a ) e e + aeb, amely már csa az - ed sorába és oszlopába ülöböz az egységmátrtól Most szorozzu a apott mátr -ad oszlopát a / a -vel és adu hozzá a -ed ( ) oszlophoz (ld 36 Példa): a a a a e I ( e ) e + aeb I + ee = I e e + aeb + ab ee a a a Mt látu, az a vetor -ad eleme ullázódott, és az -ed átlóelem + ab + ab lett Ezt a mőveletet mde -re végrehatva az a / a vetor mde átló ívül eleme ullázód, az -

18 Hegedős: Numerus Aalízs 8 ed átlóelem + b a, a több pedg -gyel egyelı A övetezı fázsba az e, sorvetoroal az ullázhatu 38 Dádösszege, fetése aeb sorvetor emdagoáls elemet a determás megváltozása élül Az -edredő egységmátr felírható dádösszegét: aor a szorzatmátr dádösszeg-elıállítását apu: I = Ha ezt beíru ét mátr özé, e e = AB = Ae e B, = A oszlopa és B sora épez a dádoat, -ed oszlop és -ed sor 35 Gyaorlat: Íru ADB dádösszeg elıállítását, ahol D = [ d δ ] dagoálmátr, (csa a fıátló eleme emzéruso) udu, az -edredő vetor elıállítása az egységvetoro segítségével = e ( e ) Az elıállítás hasoló a { q } = ortoormált vetorredszerrel Ugyas vezessü be a Q = [ qq q ] mátrot Eor Q Q = I = QQ az ortoormáltság matt, tehát írható = = QQ = q ( q ) Az = lye tuladoságú Q mátroat ortogoáls (omple megfelelıe: utér) mátroa evezzü 39 Defícó Az { a } = és { b } = redszere bortogoáls vetorredszert alota, ha a b = αδ, α telesül bármely dere Ha a vetoro dmezóa, aor a redszer teles 36 Gyaorlat Az elıbb vetoroat győtsü az A = [ a, a,, a ] és B = [ b, b,, b ] mátrba Elleırízzü, hogy A B dagoálmátr! Eor az vetor hogya állítható elı az a vetoro leárs ombácóaét? És hogya fethetı a b vetoro segítségével? 3 étel, mátr egyszerő szorzatora botása Mde emszgulárs A R mátr felírható egyszerő mátr szorzataét, ahol egy téyezı egy permutácóból és egy I + ( a e ) e típusú tagból áll A permutácóra cs mdg szüség Bzoyítás Megadu az elárást Az elsı lépésbe vzsgálu meg az A mátr elsı oszlopát Ha az elsı elem a = e Ae, aor sorcserére cs szüség Ha az elsı elem zérus, aor az oszlopba eresü egy emzérus elemet, mad ee a sorát felcserélü az elsı sorral Ha az oszlop mde eleme zérus vola, aor em lee vertálható a mátr Az elsı permutácó mátrot elülü Π- gyel és legye A = Π A Most szorozzu A -et a = I ( A e e ) e / e A e mátrszal udu, ee eredméyeét az elsı oszlop e -be megy át és = I + ( A e e ) e A másod lépésbe hasolóa áru el A másod oszlopával: A = Π A olya mátr lesz, ahol a -es pozcó emzérus elem va Így a = I ( Ae e ) e / e Ae mátrszal szorozva a másod oszlopot az e vetorba vsszü Vegyü észre, az e vetort helybe hagya Hasolóa folytatva, az -ed lépésbe A = Π A olya mátr, ahol az pozcóba emzérus áll (Ha az -ed oszlop zérus vola, smét elletmodásba erülé azzal a feltevéssel, hogy a mátr emszgulárs) Eor a = I ( A e e ) e / e A e mátrszal szorozva apu e -t az -

19 ed oszlopba és az eddg elészült sebb deő egységvetoro sem romlotta el A -ed lépés utá egységmátrot apu, tehát végeredméybe a mátr verzével szoroztu A szorzatoat összegyőtve: Π Π = A 9 Fgyelü meg, smerü megadásához elég, ha az deet és a bee szereplı a = A e vetort 3 Háromszögmátro szorzatora botása Az L mátrot alsó háromszögmátra evezzü, ha a fıátló felett eleme md zérust tartalmaza Hasolóa az U mátr felsı háromszög mátr, ha a fıátló alatt eleme zéruso A háromszögmátro szorzatora botása ülööse egyszerő Az elıbb tételt alalmazva azoal adód az -edredő L alsó háromszögmátr szorzat-elıállítása: am tömöre így s írható ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) L = I + L I e e I + L I e e I + L I e e, = ( ( ) ) L = I + L I e e, ha megegyezzü, hogy a téyezı övevı dee szert mdg balról obbra haladva íradó A feezést özvetleül s gazolhatu a -ed oszlop meghatározásával Jobbról az e vetorral szorozva az elsı e vetortól ülöbözı eredméyő szorzat e Le e Le + = az L mátr -ed oszlopa A több szorzatba lévı e, < vetorral ee a salárs szorzata zérus, ematt a végeredméy Le Felírható a sorvetoroal s a szorzatora botás: = ( ( )) L = I + e e L I Elleırízzü, hogy ee a -ed sora vsszaada L -ed sorát! A U felsı háromszögmátrra voatozó hasoló összefüggése: ( ( ) ) ( ( )), U = I + U I e e = I + e e U I = ( ) = ( ) ahol a téyezı balról obbra az dee szert csöeı sorredbe íradó 3 Vetítımátro etsü a P = I ab (33) mátrot, ahol b a = Ee determása, így az verze em létez Va azoba egy érdees tuladosága: ömagával szorozva vsszaada saát magát: Az P ( I ab )( I ab ) = I ab + ab ab = I ab = P feltételt elégítı mátroat vetítı-mátroa vagy proetoroa evezzü Ha a = b, aor a mátr szmmetrus A szmmetrus vetítımátro ortogoáls vetítı, mert egy altérre merıleges vetítést valósítaa meg Ha a és b em egyráyú, aor ferde vetítésrıl

20 Hegedős: Numerus Aalízs beszélü Szoás még a proetoroat dempotes mátroa evez arra a tuladoságura utalva, hogy a mátr mde hatváya ömaga Vegyü észre, (33)-ból: Pa = és b P = Az ábra azt szemléltet, a (33) proetor hogy vetít az és y vetort az a ráy meté a b ormálsú síba, amely áthalad az orgó Ha a ráya megegyeze b ráyával, aor a síba vetítés merılegese törtée 37 Gyaorlat Elleırízzü: ha P proetor, aor I P s az 38 Gyaorlat Egy sí ormálvetora s, egyelete s = σ Legye a vetítımátr P = I ss / s s Mutassu meg, a tér bármely y vetorára a Py + σ s / s s mővelet egy síbel vetort állít elı 39 Gyaorlat Mutassu meg, az elıbb P mátrszal Py s Adu meg a Py + σ s / s s vetort és az y vetort összeötı vetort! 33 Ivolutórus mátro Az A mátrot volutórusa evezzü, ha eleget tesz az A = I P alaba meghatároz egy volutórus mátrot: A ( I P)( I P) = I 4P + 4P = I, és mde volutórus mátr ( I A) / alaba meghatároz egy proetort: ( I A)( I A) / 4 = (I A) / 4 = ( I A) / = I összefüggése Mde proetor Ie látható, -él agyobb mérető egységmátrból végtele soféleépp lehet gyööt vo 3 Gyaorlat Igazolu, hogy a J = [ ee e ] mátr, ahol az egységmátr oszlopa fordított sorredbe vaa felsorolva, volutórus mátr Mlye proetort határoz meg ez a mátr, ha =,3? Az ab / b a, b a proetorral a övetezı volutórus mátrot észíthetü: I ab / b a Az ábrából megállapíthatu, hogy ez a mátr a b ormálsú síra való ferde türözést végz, am ayt elet, hogy az a ráy meté elutu a síg, mad azt eresztezve ugyaaora távolságot teszü meg a túloldalo A türözés aor merıleges a síra, ha a = b 3 Gyaorlat Mutassu meg, hogy az I ( y)( y) /( y) ( y) mátr az és y vetoroat egymásba türöz, ha azo ülöbözıe és = y y 3 Gyaorlat Az elıbb türözı mátrszal lehetıségü va arra, hogy az vetort az y = ± σ e vetorba türözzü, ahol σ = Hogya válasszu meg σ elıelét ahhoz, hogy a voás egyveszteséget bztosa elerülü? 34 Blo mátro A mátroat emcsa salár elemebıl rahatu össze, haem sebb mérető mátroból s Az lye mátr elemet blooa evezzü, ha pedg egy mátrot sebb mátrora botu, aor a mátrot bloosítu A bloosítás törtéhet a övetezıépp: Az egységmátrot az oszlopo b y Ábra a

21 meté felszeletelü részre: I = [ E, E,, E ] Ha a soroat ugyalye módo osztu fel bloora, aor az -ed blo A = E AE és a mátr: A A A A A A A A A A = 33 Gyaorlat Legye F = I + UV, U és V l -es mátro, azaz l < oszlopból álla Ha a elölt verz létez, elleırízzü: F = I U ( I + V U ) V, ahol I l l l -es egységmátr l

22 Hegedős: Numerus Aalízs 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda algortmus Az LU-felbotás em más, mt a Gauss-elmácó olya átredezése, ahol a részleteredméyeet s elrau Ez úgy törté, hogy az A mátrot felbotu egy L alsó és egy U felsı háromszögmátr szorzatára 4 étel, LU-felbotás Ha A R emszgulárs mátr, aor a sora mdg átredezhetı egy P permutácó-mátrszal PA -ba úgy, hogy az felbotható egy L alsó és U felsı háromszögmátr szorzatára PA felbotása egyértelmő, ha L átlóelemet -e választu Bzoyítás etsü A elsı oszlopát Ha a zérus, aor eressü az oszlopba egy emzérus elemet és sorcserével mozgassu az elsı sorba A továbbaba feltesszü, hogy a Eor szorozzu A -t az L = I ( Ae / a e ) e mátrszal! A 37 példába láttu, ee a mátra determása és mde átlóeleme, övetez, hogy az verzét úgy apu, ha a bee szereplı dádot poztív elıellel vesszü A szorzás eredméyeét az Ae oszlopvetor -be megy át, tehát ( ( / ) ) I Ae a e e Ae = Ae Ae + a e = a e (34) a * * * * L A =, (35) * * ahol a * egységese emzérus mátrelemeet elöl Látu, a felsı háromszögmátr elsı oszlopa megelet L = I + ( Ae / a e ) e pedg a LU-felbotásba szereplı L mátr elsı szozóa, ahoa olvashatu L elsı oszlopvetorát: Ae / a -et A másod lépésbe ugyaezt smételü meg a apott mátr obb alsó ( ) ( ) -es bloára, ahol az elsı lépés valamely emzérus eleme a, pozcóba mozgatása, ha szüséges: a * * * * A =, * * így L másod oszlopába az elsı elem, a másod elem Az elárást hasolóa folytatva végül =, = = L L L L U L L L PA * * * * * (36) * Ha az A = b egyeletredszert oldu meg, aor a b vetort célszerő az A mátr mellé ve: [ A, b ], mert b -re s ugyaazo a traszformácó hata Például legye az egyeletredszer:

23 3 Vegyü észre, az = L -gyel való szorzás a mátr elsı sorát em változtata meg: -edredő bloba pedg a övetezıet ell számíta,, > : alsó ( ) Ae a a a e I e e Ae = a = a a a a a Ae Ez mutata, hogy az A e A e Ae dádot ell számítau a obb alsó ( ) e L = e A obb -edredő blora Az ebbe szereplı oszlopvetor éppe L elsı oszlopa, így célszerőe a övetezıéppe árhatu el: elölü a fıelemet, vele leosztu az alatta lévı oszlopelemeet, a saát sorát pedg változatlaul átmásolu A mátr több részébe ebbıl a sorból és oszlopból észített dádot vou le: L =, U 5 4 = 3 A végé még megoldadó U = [ ], alulról felfelé megoldva = [ ] 4 Gyaorlat Oldu meg LU-felbotással a övetezı egyeletredszert: 4 Az LU-felbotás mőveletgéye = Az elsı lépésbe az oszlopvetor leosztása osztás, a dád levoása ( ) szorzást és összeadást géyel Az artmeta mővelete mdegye ugyaay deőe számít, ematt az elsı lépés mőveletgéye: ( )( ) flop (= floatg pot operato, magyarul: lebegıpotos mővelet) A övetezı lépés géye ( )( 3) flop, így a teles mőveletgéy = ( )( ) 3 flop Ezt úgy özelítü, hogy a legmagasabb foú tagot tegrálu -tól -g: / 3 A orrecós tago sebb hatváya, em határozzu meg ıet, mert a legmagasabbfoú tag a domás 4 Gyaorlat Mey A, LU, U L mőveletgéye? Az utolsó példáál alalmazzu a szaaszba megsmert fatorzácós összefüggéseet! 43 Blo LU-felbotás Néha célszerő a felbotást vagy a mátr vertálását bloosított formába végez pusa ez a helyzet aor, amor az egy elülöített blo egyszerőe vertálható, például azért mert egységmátr, vagy alsó ll felsı háromszögmátr M most a blo LU -felbotást a -es esetbe fogu megéz A fıelem lyeor blo, amelyrıl fel ell tételezü, hogy létez az verze

24 Hegedős: Numerus Aalízs 4 Legye az egységmátr egy felosztása I = [ E, E ], A = E AE, eor az L mátr a (34)-be látható L mátr bloos megfelelıe (ld még 33 Gyaorlat) és a mátr bloos felbotása a övetezı: ( ) L = I AE A E E (37) A A I A A, ahol L =, U A A I = A A A A A A A (38) A A A 44 Schur-omplemes A felbotás obb alsó sarába megelet mátrot az A mátr A -re voatozó Schur- omplemesée evezzü és elölése: ( ) A A = A A A A ermészetese létez az A -re voatozó Schur-omplemes s Ez az elıbbbıl úgy ö létre, hogy az decserét elvégezzü 45 Partcoált verz A (38) felbotás alapá írhatu: ahoa I A A I A I A A A =, A A I ( A A = ) A A I ( A A ) I A A I A A I = (39) I ( A A ) A A I A dádösszeg fetés bloos alaát felhaszálva (ld 35 Gyaorlat) ez még a ét blo-oszlop és blo-sor alapá fethetı az alaba 45 Feladato A A A A = + ( A A ) A A I I (3) A 33 Gyaorlat alapá mutassu meg, hogy a (37) mátr verze úgy észíthetı, hogy a -es blo egatívát vesszü A felsı háromszögmátrra voatozó eredméy e traszpoálással származtatható L alsó háromszögmátr, amelyet alul egészítü egy blo-sorral [ ] L L agyobb mérető alsó háromszögmátrra Mutasssu meg, hogyha a dagoálbloo vertálható, aor partcoált verz formulával a egészített mátr verze L L L L L L L L =

25 5 46 A Gauss-Jorda módszer az verz mátr számítására Láttu, mde mátr, amelye va verze, egyszerő mátro szorzatára botható, ahol az mővelet mdegye tartalmaz egy sorcserét ha szüséges, és egy dáddal módosított egységmátrszal való szorzást Egy lye mőveletsorozattal a mátr az egységmátrba A A, I és a traszformálható Kézefevı az ötlet: a mátrhoz hozzáíru az egységmátrot: [ ] bıvített mátrra alalmazzu a traszformácó-sorozatot: [ A, ] = [ I, ] Vlágos, = A Ez a módszer alalmas leárs egyeletredszer megoldására s, de a mőveletszámlálás azt mutata, hogy az LU -felbotás elıyösebb Ha azoba a mátr verzét aaru elıállíta, aor a mőveletgéy ugyaaora, sıt lehetıség va arra, hogy a mátrot helybe vertálu együ fel, az -ed lépésbe szorzás: A már olya, hogy a sorcserét végrehatottu, ha ellett Az -ed A e e A ee A ee A I e A = A + e A e e A e e A e Itt obb oldalo az elsı ét tag azt a dád-levoást elet, amt már megsmertü Az LU - felbotáshoz épest azoba eltérés, hogy az -ed sor és oszlop vételével mde területre ell alalmazu Az harmad tag azt mutata, hogy az -ed sort a fıelemmel ell oszta, az elsı ét tagból származó -ed sor ugyas zérus Az elmodottaat egy példá szemléltetü Ivertáladó a 3 mátr A bıvített mátrba 3 6 az elsı lépés egy sorcsere: 3 3 sorcsere r Az elsı traszformácós lépésbe az elsı oszlop átmegy e -be, az elsı sort véggosztu a fıelemmel, a több helye pedg végrehatu az elsı dád levoását: 3 3/ 3/ / r r3 3/ / / 3 / / / Az utolsó lépésbe az duló egységmátr helyé megelet az verz A helybe vertáláshoz azt ell észreveü, hogy mde lépésbe összegyőthetı egy egységmátr a bıvített mátrból Ezt szüségtele tárol A obboldal 3 3-as területe mde lépésbe egy ú vetor ele meg, a bal oldal 3 3-as területe pedg a távozó vetor helyére egy egységvetor lép be A tömör algortmusba a obb oldalo belépı ú vetort beíru a bal oldalo belépı egységvetor helyére Az -ed egységvetor helyé a obb oldalról származó ú vetor A /,, e e A e e e A e = I e e = e = ( ) ( ) e A e e A e a / a, Ez fog áterül a bal oldalo az -ed oszlopba Így a tömör algortmusba a fıelem helyére aa recproa erül, az oszlop több eleme pedg egatív elıelet ap és osztód a fıelemmel A levoadó dád ezelése ugyaaz, mt orábba A beeretezett elem elöl azt a dádot (sor, oszlop), amelybıl a levoadó dádot épezzü ehát a tömör algortmus:

26 Hegedős: Numerus Aalízs / -3/ -/ -3/ 3/ -/ oszlopcsere / 3/ -/ 3/ / -/ -/ -/ / -/ -/ / Π A mátrot vertáltu, ahol Π permutácó- A ezdet sorcsere matt em az eredet, haem a mátr Ee az verze A Π, mert obbról Π -vel, am tt az oszlopcserét elet sorcsere r r r3 Π = Π Így a apott eredméyt még szorozu ellett 44 Gyaorlat M a Gauss-Jorda vertáló módszer mőveletgéyébe a domás tag?

27 7 5 Az LU-felbotás tuladosága, specáls verze 5 Szmetrus poztív deft mátro Egy valós szmmetrus A mátrot poztív defte evezü, ha A > telesül mde vetorra Poztív szemdeft a mátr, ha csa A telesül A egatív deft és egatív szemdeft tuladoságot hasolóépp értelmezzü, ha A < vagy A valamelye telesül Ideft esetbe a belsı szorzat egatív és poztív értéeet egyarát felvehet A poztív deft tuladosága adható még ét más evvales defcóa Az egy szert eor a mátr mde saátértée poztív, a más szert pedg a bal felsı saro aldetermáso (fımoro) md poztíva Szemdeft mátra va zérus saátértée és zérus értéő saro aldetermása A emszmmetrus mátrot poztív defte modu, ha a szmmetrus része poztív deft A mátr szmmetrus része A = ( A + A ) / és az atszmmetrus része A = ( A A ) /, + A = A+ + A Vegyü észre, az atszmmetrus részhez tartozó belsı szorzat A mdg zérus Ha -et e -e választu, aor a defcóból övetez, hogy valós szmmetrus poztív deft mátrra a > mde -re, = e ± e eseté pedg a + a ± a > -a ell telesüle Eze az egyszerő feltétele éha haszosa aa gyors eldötésébe, hogy a mátr egyáltalá lehet-e poztív deft Például, ha a mátr fıátló-bel eleme md - és a fıátló ívül eleme özött vaa emzérus eleme, aor rögtö állítható, hogy a mátr deft 5 étel, elegedı feltétel poztív deftségre Ha A = V V alaba elıállítható, ahol V oszlopa leársa függetlee, aor A poztív deft Bzoyítás A defcó alapá mde emzérus -re oszlopa leársa függetlee A V V V 5 étel, a poztív deftség megırzıd az LU-felbotásba = = > mert V, ha V Poztív deft A mátr LU-felbotása megırz a poztv deftséget, más szóval: mde lépés utá a vsszamaradó obb alsó blo poztív deft marad Az állítás blo LU-felbotásor s gaz Bzoyítás Legye A bloos alaa A A A =, ( A A ) = A A A A, A A ahol a blo LU-felbotás egy lépése utá vsszamaradó blo az ( ) vetorra ( ) ell gazol, hogy tetszıleges emzérus hogy megmutatu: létez egy egészített (, ) A A Schur-omplemes Azt A A > Az állítást azzal bzoyítu, = vetor, amelyre ( ) A = A A Ehhez válasszu -et úgy, hogy szorzásor az elsı blo-sor zérust ado: A + A = Ezzel = A A és < A = = ( A A A A ) A A + Megegyzés Ugyaígy látható be, hogy a felbotás sorá a poztív szemdeftség s megırzıd

28 53 étel, poztív szemdeft mátr felbothatósága Ha A poztív szemdeft, aor A Hegedős: Numerus Aalízs 8 = LL alaba elıállítható Bzoyítás Láttu, A fıátlóába csa emegatív eleme lehete Ha a >, aor észítsü el a övetezı Ae e A A = A, (4) e Ae mátrot, amelyrıl tudu, hogy az elsı sora és oszlopa zérus Válasszu L elsı oszlopáa Le = Ae / a -et, ezzel A = A Lee L Ha az elsı dagoálelem zérus, aor ugyaazo sor és oszlop cseréével mozgassu egy emzérus dagoálelemet az, pozcóba és ugyaígy áru el Folytassu az elárárást a megmaradó -gyel sebb mérető obb alsó bloal mdaddg, ameddg találu poztív dagoálelemet Mde lépésbe az L mátr egy úabb oszlopát yerü Ha olya helyzethez értü, ahol a megmaradt obb alsó bloba mde dagoálelem zérus, aor a teles bloa zérusa ell lee, mert ha em így vola, aor a megmaradó blo deft vola az 5 étel elıtt tett megegyzés szert és ez elletmodaa aa, hogy a szemdeftség megmarad Vegyü észre, az alalmazott sor-oszlop cseré a felbotást csa ayba befolyásolá, hogy P AP = LL -et ellett vola íru, - P permutácó mátr -, de ez átredezhetı az A = LL ɶɶ alaba, ahol L ɶ = PL Szmmetrus, poztív deft mátrra az A = LL felbotást Cholesy-felbotása evezzü Itt most L fıátlóába em -ese álla, mert például Le = Ae / a elsı eleme a A Cholesyfelbotás hasolóépp észíthetı, mt az LU-felbotás, csa most a fıelembıl gyööt ell vo, és azzal végg ell oszta a saát sort és oszlopot A számítógépes algortmusba haszálható, hogy a felsı háromszög részt em ell számíta, ezzel a mőveletgéy agyából megfelezıd 54 Példa Choles-felbotásra , L = 3, L 3 = 4 4 Látható, a dádo levoása ugyaolya módo törté, mt az LU-felbotásba 55 Feladato Legye A = LL egy Cholesy felbotás Mey a mőveletgéye A számításáa, ha az eredet mátrot haszálu? Hogya csöethetı a mőveletgéy, ha az LL alaot haszálu? A gyövoást elerülhetü, ha az A = LDL alaot haszálu, ahol L egységátlóú mátr és D dagoálmátr Dolgozzu ee a felbotása a lépéset! Ezt a módszert deft esetbe s alalmazhatu, ha em adód túlságosa csy elem D -be

29 9 5 Fıátló-domaca Soro szert fıátló-domás vagy dagoál-domása evezzü a mátrot, ha mde sorba a emdagoáls soreleme abszolút összege sebb, mt a fıátlóbel elem abszolút értée: a > e ( A dag( A)) Léyegébe fıátló-domás a mátr, ha em mde sorba a el s megegedett és eze a soro emzérus soro Az oszlopo szert fıátló-domás mátro értelmezése hasoló Itt dag( A) = D a mátr fıátlóából észített dagoálmátrot elöl 5 étel, a fıátló-domaca megmaradása Ameybe az A mátr fıátló-domás, az LU -felbotás végrehatása sorá a még fel em botott obb alsó részbe a fıátló-domaca megmarad Máséppe: a Schur-omplemes megırz a fıátló-domacát Bzoyítás Az LU-felbotás elsı lépése utá a mátr elsı oszlopa az ae vetorba megy át és a - ad sorvetor: a e ( I ( a / a e ) e ) A = ( e A e A)( I e e ), >, a ahol a hozzáírt I ee vetítımátr az amúgy s zérus elsı sorelemet ullázza, így változást em ooz Az e A( I ee ) sorvetor redelez a fıátló-domaca tuladosággal, mert csa az elsı a elemet hagytu el A levot vetor sorormáa pedg ( ) / ( )/ a e A I e e a = a e A I e e a < a, ha a Itt az átlóelemmel osztott elsı sor ormáa sebb -él (fıátló-domaca!) és ez szorozza a-et ehát a vett a helyébe egy sebb abszolút értéő elem erül az abszolút sorösszeg számításaor, így a -ad sor fıátló-domacáa em romolhat A tovább lépésebe a helyzet hasoló A tétel övetezméye, hogy fıátló-domás mátroál az átlóelem mdg alalmas fıeleme 5 Feladato Mutassu meg: A fıátló-domaca megmarad, ha a mátrot balról emszgulárs dagoálmátrszal szorozzu, vagy ha ugyaazt a ét sort és oszlopot felcserélü ( ), Léyegébe fıátló-domás mátro LU-felbotásaor a -ed lépésbe szgorú fıátlódomaca övetez be a -ad sorba, ha a -ed sorba megvolt a szgorú fıátlódomaca és volt emzérus a < elem Az oszlopo szert fıátló-domaca s örölıd 53 Két- és háromátlóú mátro 53 Specáls mátro A étátlóú vagy bdagoáls mátroál csa a fıátló és valamely mellette lévı átlóba vaa a,,, vagy, Nevezetes épvselıü a emzérus eleme: { } { } ülöbségépzés mátra:

30 Hegedős: Numerus Aalízs 3 K = K = S =, Iverze éppe az összegzésmátrot ada E ét mátr segítségével egyszerőe megadható a gyara elıforduló mátr verze: = (4) ( K K ) K ( S S ) K K ( I ee ) K K I K + ee = + = + = + =, (43) ahol e a csupa -esbıl álló vetor A vetor elıállítása így 4 flop mőveletet géyel 53 Fıátló-domás háromátlós mátr Láttu, ebbe az esetbe em ell a fıelemválasztással foglaloz az LU-felbotás sorá Ha a felbotást a mutatott módo hatu végre, aor a leárs egyeletredszer megoldásáa mőveletgéye léyegébe 9 flop Háromátlós esetbe va azoba ét módszer s, amellyel 8 flop mővelettel célba érü A övetezıbe ezeet smertetü Az elsı módszert hívhatu gyors LUfelbotása Vegyü fel a háromátlós mátrú egyeletredszert a övetezı alaba: d c b a d b H = = c a d b Az LU -felbotás elsı lépése csa a másod sort változtata meg: [ ] a / d d a c / d c = b b a / d Eredméyül aptu egy -gyel sebb mérető háromátlóú mátrot, amre az elárást megsmételhetü ovább folytatva végül a fıeleme és obboldala a övetezı lesze: d = d ; d = d a c / d, =,3,,, b = b ; b = b a b / d, =,3,, Most a felbotás U mátra felsı bdagoáls - étátlóú mátr - és a megoldadó egyeletredszer: d c b d b =, = b / d ; = ( b c )/ d, =,,, + c d b Látu: az L mátr em s ell a megoldáshoz, másrészt (45) mdét sorába szerepel a / d, amt elegedı egyszer elıállíta Ezzel a megoldás algortmus: (44) (45)

31 3 Kezdés: d = d, b = b =,3,, -re s : = a / d ; d : = d c * s; b : = b b * s : = b / d ; =,,,-re : = ( b c * ) / d + A más módszer a megoldás másod fázsába érvéyes reurzót vesz alapul: f g + = Az egyeletredszer elsı sorából = ( b c ) / d, ezzel f = b / d és g = c / d Ezutá az -ed sorba helyettesítve feezését e a ( f g ) + d + c = b, + b a f c = = f g + + d a g d a g ahoa f és g elıállítása olvasható Ezzel az üldözéses vagy passzázs algortmus: Kezdés: f = b / d, g : = c / d =,3,, -re s : = d a g ; f : = ( b a f ) / s; g : = c / s : = f ; =,,,-re 533 Feladat : = f g * + Ha ú obboldal vetort apu, mlye részletszámításoat ırízzü meg és mt számítsu úra mdét algortmusba? Igazolu, hogy az (4)-be szereplı háromátlós mátr poztív deft, mert va, LL -felbotása

32 Hegedős: Numerus Aalízs 3 6 Gram-Schmdt ortogoalzácó, QR-felbotás Az egyszerő lerárs algebra traszformácó özött a harmad feezetbe megsmeredtü a vetítı mátroal E mátro alalmasa arra, hogy a vetoro egy adott észletébıl ortogoáls vetoroat állítsu elı Ha eze vetoroat egy mátr oszlopaba redezzü, aor a apott módszer a mátr egy úabb felbotását szolgáltata, ezt hívu a QR -felbotása 6 A Gram-Schmdt ortogoalzácó együ fel, va egy leársa függetle vetoroból álló halmaz: { a} =, a R Szereté e vetoro felhaszálásával olya ortogoáls redszert észíte, amellyel a halmaz vetora elıállítható Eor elárhatu a övetezıéppe A észülı ortogoáls vetoroat elölü q -val Az elsı lépésbe válasszu q = a -et A övetezı vetort észítsü úgy, hogy az a vetort szmmetrus - vagy más szóhaszálattal - ortogoáls vetítéssel ortogoalzálu q -re: qq I a = q (5) q q Beszorzással q q = A övetezı vetort úgy észítü, hogy az a 3 vetort q és q -re ortogoalzálu: qq qq I I a 3 = q3 (5) q q q q Ismét beszorzással elleırízve apu, hogy q q3 és q q3 A továbbaba vezessü be az - ed ortogoáls vetorhoz a q q P = I (53) q q vetítımátrot Látu, ha ezzel a mátrszal bármely vetorra szorzu, eredméyül a ortogoáls vetorhoz utu Az + -ed ortogoáls vetort a övetezı vetítése sorozatával apu az a + vetorból: + + m q vetorra PP Pa = q (54) Vegyü észre, a vetítımátro a szorzatba tetszıleges sorredbe írható a beü szereplı vetoro ortogoaltása matt Feáll az összefüggés: q q q q PP P = I = I = q q, (55) = q q ame az gazolását egy feladatra hagyu Ez mutata, hogy umerusa étféle lehetıség va az ortogoalzálásra Az egy, amor a fet összefüggésbe a szummás alaot haszálu Eor mde q vetor az a + vetorral szorzód és (54), (55) összevetésébıl apu: q q a+ q q a+ + = +, + = + + = q q = q q, (56) q a a q azaz mde a + vetor az ortogoáls vetoro segítségével elıállítható, ahol a fetés együttható

33 33 r q a + = q q (57), + Ha (54)-be a mátrszorzatot alalmazzu, aor a övetezı vetor-sorozatot észítü: A vetítımátro írásával eor az elıállításra utu z = a, z = P z,, z = P z, q = z r = q z + q q (58), A szummás alaot evezzü a lasszus Gram-Schmdt (G-S) ortogoalzácóa, a szorzatmátros változatot pedg módosított Gram-Schmdt ortogoalzácóa Åe Börc a umerus tuladoságo vzsgálata sorá mutatta, hogy a módosított G-S módszer obb hbatuladoságoal redelez Úabb eredméye szert mdét módszer egyformá ó, ha mde ortogoalzácós lépést étszer hatu végre Eor a apott ormált vetoro ortogoaltása özel gép potossággal telesül 6 Feladato Igazolu a (55) formulát! Mutassu meg, hogy a (57) és (58) formulával adott r, + megegyez! Győtsü az ortogoáls vetoroat a Q = [ qq q ] mátrba Vezessü le, hogy PP P ( ) = I Q Q Q Q Legye A = m R, ahol A oszlopa leársa függetlee Elleırízzü, hogy ( ) I A A A A szté vetítımátr és egy vetorra alalmazva az eredméy olya vetor lesz, amely A összes oszlopára ortogoáls 6 étel, QR-felbotás Legye m A R, ahol A oszlopa leársa függetlee Eor A mdg felírható A = QR (59) alaba, ahol Q oszlopa egymásra ortogoáls vetoro és R felsı háromszög mátr Q és R oszlopa az elsıvel ezdve reurzíva felépíthetı Bzoyítás Szüséges m, ülöbe em lehetée A oszlopa leársa függetlee Fogu fel az A mátrot úgy, mt am az a, a,, a oszlopvetoroból va összeállítva és alalmazzu az elızı szaaszba megsmert G-S ortogoalzácót! Eor (56) és (57) öszevetésébıl apu: Az = = + a = q r, ahol r = +, + +, + = A [ a, a,, a ], Q [ q, q,, q ] mátroal ez pedg em más, mt a (59) elıállítás, ahol R = [ r ] A G-S ortogoalzácóba az r, > eleme em volta defálva Ncs s ráu szüség, így ezeet az elemeet zérusa választva (59) potosa telesül

34 Hegedős: Numerus Aalízs 34 6 Feladato A G-S ortogoalzácóál dolgozható az a változat, amor a q vetoro ormálta, Íru át a formuláat erre az esetre! q = Legye D = Q Q, ezzel Qɶ = QD / oszlopvetora ormálta (59)-be legye A = QR ɶɶ Adu meg R ɶ -et mátros alaba és a ormált ortogoáls vetoro segítségével feezzü rɶ -t! A 3 gyaorlatba láttu, hogy mde vetor egy σ e vetorba vhetı türözéssel, ahol σ = Ha egy lye türözést alalmazu A elsı oszlopára, aor a QR -felbotás az elsı oszlopra megvalósult: R = I vv / v v ortogoáls mátr, ahol v σ e Hogya folytassu a türözéseet, hogy egy QR -felbotáshoz ussu? = és A R ( R A) = Ha redelezésüre áll A egy QR -felbotása, hogya oldu meg egy A = b egyeletredszert? 63 Példa QR-felbotásra Elészítü az 3 A = = a a a [ ] 3 mátrra a QR -felbotás emormált változatát Idulásor q = a és q q = A övetezı vetorhoz q a = 6 és 6 q a = = = 5 q a q q q qq = =, ezt az eredméyt elıállíthatu a apott q vetorból, de úgy s számíthatu, hogy 5 5 észrevesszü: elıállításához 3 5 ( q ) a q a q a 36 q q = a q 4 a q = a a = = A harmad vetor q q q q q q 5 q a = és q a 3 =, ezeel a harmad vetor és a QR -felbotás: 3 q a3 q a3 5 q3 = a3 q q = + =, q q q q 5 / 5 / 3/ 5 / 3/ 5 / / 5 A = 5 / 5 / 5 / = / / 5

35 35 63 Feladat Készítsü el a övetezı mátr QR -felbotását: Az Arold-módszer Ez a Krlov-bázs vetoraa G-S ortogoalzácóa A Krlov-bázs vetora, A, A,, ahol, egyébét tetszıleges duló vetor Az Arold-módszerél ee alapá q = /, a övetezı vetor Aq és ezt q -re q -re ortogoalzálva apu q -t Általába q + -et úgy apu, hogy az Aq vetort ortogoalzálu a meglévı q vetorora és az eredméyt ormálu Belátható, hogy az így yert q vetoro ugyaazt az alteret feszít, mt a Krlov-bázs vetora A módszerrel a övetezı QR -felbotáshoz utu: [ ] = [ ] q Aq Aq Aq q q q R, (5) + ahol R felsı háromszögmátr Ebbıl a sémából szoás elhagy bal oldalo az elsı vetort, q -et Ez azt elet, hogy a obb oldalo R elsı oszlopát s elhagyu Sıt, hogy R helyé égyzetes mátr marado, az utolsó sorát s elhagyu Jelölü a maradé mátrot H -val Eor a q vetoroból mátrot épezve a [ ] Q = q q q, AQ = QH + h q e (5) +, + összefüggésre utu, ahol H u felsı Hesseberg-féle mátr E mátro özele a felsı háromszögmátrohoz, azzal a ülöbséggel, hogy a fıátló alatt eleme sem zéruso A redszert obbról az e vetorral szorozva apu reurzót q + számítására: a, = + +, +, = = Aq h q h q h q Aq, (5) h + elemet abból a feltételbıl határozhatu meg, hogy q + ormált Ha h +, =, aor a reurzó megáll és < eseté Q oszlopa A egy varás alterét feszít 64 Feladat Legye az ezdıvetor A három saátvetoráa az összege Háy lépés utá áll le az Aroldmódszer?

36 Hegedős: Numerus Aalízs 36 7 Az algebra saátértéfeladat Eszert eresedı egy ( λ, y, ) hármas, amelyre telesül ahol λ az A A = λ, y A = λ y, (6) R mátr saátértée, a obboldal és y a baloldal saátvetor A saátértée a λi A aratersztus polom gyöe és a saátértéhelyee λi A szgulárs A determás alaból látható, hogy a mátr hasolóság traszformáltáa araetersztus poloma ugyaaz: λi S AS = S ( λi A) S = S λi A S = λi A, tehát a hasolóság traszformácó a saátértéeet helybe hagya A mátrot általába valósa tetü De mvel valós mátra s lehete omple saátértée és saátvetora, ematt soszor a omple esetre s godol ell 7 Néháy tuladoság Az alábbaba feldézü éháy a saátértéfeladattal apcsolatos smeretet 7 Legalább saátpár létezése Mde λ saátértéhez tartoz legalább egy obb- és baloldal saátvetor Mert λ I A és A λ magtere legalább -dmezós (u emcsa a ull-vetorból áll) 7 Leárs függetleség I Külöbözı saátértéehez tartozó saátvetoro leársa függetlee Ee a bzoyítása dret módo törtéhet Feltesszü ét ülöbözı saátértéhez tartozó saátvetorról, hogy leársa összefüggı Eor elletmodásra utu, mert ét vetor úgy lehet lerársa összefüggı, hogy egyráyúa, eor vszot em lehete a saátértée ülöbözı 73 Külöbözı saáértéhez tartozó bal és obb saátvetoro ortogoaltása Legye v a λ saátértéhez tartozó bal saátvetor, saátvetor, Eor v u = Bzoyítás etsü a övetezı feezést: u pedg a λ λ λ saátértéhez tartozó obb v Au = v u = v u, ahol az egy esetbe a bal, a más esetbe pedg a obb saátvetor tuladoságot alalmaztu Kapu, hogy ( λ λ ) v u =, s ebbıl övetez az állítás, mert λ λ 74 Követezméy Ha mde saátérté ülöbözı, aor a saátvetoroat egy X = [ ] és Y = [ y y y ] mátrba redezve apu: AX = X Λ, Y A = Λ Y (6) A leárs függetleség matt X és Y vertálható, így X AX = Λ = Y AY, ahol a traszpoált verzét elöltü -vel Írhatu: Y D = X, ahol D egy emszgulárs dagoálmátr és

37 szerepe csupá ay, hogy az y vetoro hosszát sálázza ehát az általáosság megszorítása élül vehetü: Y = X, a saátvetoro saát-altereet ada, a vetoro hossza tetszıleges A apott ala mutata, hogy eor a mátr hasolóság traszformácóval dagoalzálható 75 Schur tétele Mde égyzetes mátr utér hasolóság traszformácóval felsı háromszög alara hozható H H Bzoyítás Jelöle R( u) = I uu / u u a Householder türözı mátrot Legye e egy ormált saátvetor, =, amelyet sálázzu úgy, hogy az elsı eleme valós, empoztív szám legye (Ezt mdg elérhetü, ha a vetort a emzérus / számmal beszorozzu) Eor R( e ) e = és R( e ) = e Feltéve, hogy A = λ telesül, R( e ) AR( e ) e = R( e ) A = R( e ) λ = λe Mvel R( e ) volutórus (azaz megegyez az verzével), hasolóság traszformácót végeztü, ahol az elsı oszlopvetor az e vetor λ -szorosába met át, amvel a felsı háromszög ala az elsı sorba és oszlopba elıállt Az elárást folytatva az eggyel sebb mérető obb alsó bloora, végül a ívát alara utu Megegyzés Ha = e, aor A elsı oszlopa már λ e alaú A felsı háromszög-alara hozás egy lépése egybe deflácós módszer, mert olya -gyel sebb mérető mátrot apu a obb alsó saroba, amelye a saátértée a megtalált λ -t véve megegyeze a duló mátréval A Schur-tétel segítségével tovább fotos tuladoságo látható be 76 étel, dagoalzálhatóság utér hasolóság traszformácóval Az A mátr ormáls A utér hasolóság traszformácóval dagoalzálható Bzoyítás A : fh Legye C ormáls, ha telesül H A = UΛ U, e AA H H = A A, H a traszpoált ougáltat elöl H H H H H H H AA = U ΛU U Λ U = U ΛΛ U = UΛU U Λ U = A A : Ha A ormáls, aor bármely utér hasolóság traszformálta s az Legye a Schur-tétel H H H alapá B = U AU felsı háromszögmátr, eor BB = B B Ee az,-deő eleme: H H H = = = = = = e BB e B e b e B Be Be b, azaz B elsı soráa ettes ormáa megegyez az elsı oszlopéval Ez csa úgy lehetséges, ha b =, =,, Az elárást folytatva az eggyel sebb mérető obb alsó bloal, mde sorra azt apu, hogy csa fıátlóbel elem lehet emzérus A tétel övetezméye, hogy a valós szmmetrus mátro ortogoáls, az hermtus mátro pedg utér hasolóság traszformácóval dagoalzálható E mátro saátértée mdg valósa 77 étel Az egyszeres saátértéhez tartozó y bal- és obboldal saátvetoro salárs szorzata emzérus: H y H Hozzu a mátrot utér hasolóság traszformácóval felsı háromszög alara: B = U AU Eor a H H saátvetoro átmee az y U y és U vetoroba, ahoa látható, hogy salárs szorzatu em változ meg Az általáosság megszorítása élül feltehetü, hogy 37

38 Hegedős: Numerus Aalízs 38 λ b B = C alaú, ahol λ az és y vetorhoz tartozó saátérté A traszformálás utá átmet e -be, a bal H H oldal vetor pedg legye y U = η y Ha ezzel balról szorozzu B -t, aor H λ b H H η y = ηλ ηb + y C = λ η y C, H H H ahoa ηb + y C = λ y Ha tt η = y zérus vola, aor a obb alsó C bloa λ saátértée vola Ez elletmodaa aa, hogy λ egyszeres saátérté 78 Jorda-bloo A µ µ J ( µ ) = C µ alaú mátrot Jorda-bloa evezzü Ez a hasolóság traszformácóval em dagoalzálható mátro prototípusa Ráézésre látható, hogy a aratersztus poloma λ I J ( µ ) = ( λ µ ), tehát λ = µ -szoros gyö A saátértéhelye a aratersztus mátr ragvesztése csa, mert a bal alsó saroelemhez tartozó aldetermás éppe az átló felett -ese szorzata lesz, így a rag csa eggyel csöe Követezésépp obb és baloldal saátvetor va, e és e, amelye salárs szorzata, ha > A saátérté aratersztus polombel multplctását algebra multplctása, m A evezzü A saátértéhez tartozó saátvetoro által feszített altér dmezóa pedg a saátérté geometra multplctása, m A fet Jorda-bloál m = és m = G A Bzoyítás élül megemlítü, hogy általába a mátro hasolóság traszformácóval Jorda-féle aous alara hozható, ahol mde saátértéhez egy vagy több Jorda-blo tartoz, amelye a fıátló meté helyezede el Lehetséges -es Jorda-blo, az egyszeres saátértéee például ez va Köye belátható, hogy a saátértéhelye a aratersztus mátr ragvesztése egyelı mg -vel, am a saátértéhez tartozó Jorda-bloo száma, a saátérté algebra multplctása m A vszot egyelı a hozzátartozó Jorda-blooba lévı átlóeleme számával 79 Feladato Legye A olya felsı Hesseberg mátr, amelye mde átló alatt eleme emzérus Mutassu meg, hogy ee a mátra mde saátértééhez csa Jorda-blo tartozhat G (63) Mutassu meg, ha A saátértée a λ -, aor A saátértée / λ - 7 A saátértée loalzácóa Mvel még valós mátroa s lehete omple saátértée, ematt a omple sío ell megad olya tartomáyoat, ahol a saátértée lehete Egy lye becsléssel már megsmeredtü a ormáal foglalozó 8 szaaszba, mely szert a spetrál sugár em agyobb, mt a mátr valamely duált ormáa Így egy saátérté sem lehet agyobb abszolút értébe, mt például A vagy A Eél potosabb becslést tesz lehetıvé

39 39 7 Gersgor tétele Legye az -ed K Gersgor-ör özéppota a, sugara pedg r = e ( A a I ), am em más, mt a mátrba az -ed soreleme abszolút összege a dagoálelem vételével A tétel szert az A mátr saátértée a Gersgor-örö egyesített halmazába vaa Bzoyítás etsü az A = λ egyelet -ed sorát, ahol saátvetor, λ a hozzátartozó a a saátérté, és = Kssé átredezve: λ a =, ahoa λ a =, =, =, a = r Mde saátértére felírhatu egy lye összefüggést, ez ada az állítást 7 Másod tétel Ha a Gersgor öröe vaa dszut részhalmaza, aor mde lye részhalmazba ay saátérté található, amey a hozzá tartozó Gersgor örö száma Bzoyítás Fel ell haszálu azt az tt em bzoyított eredméyt, hogy a mátr saátértée a mátreleme folytoos függvéye Botsu a mátrot ét részre, és épezzü az A( ε ) = D + ε A mátrot, ahol D a fıátlót tartalmazó dagoálmátr, A pedg a emdagoáls rész Ha most ε =, aor mde ör sugara zérus Ha ε -hez tart, aor mde saátérté futhat a özéppotból, de a folytoosság matt em ugorhat át egy más dszut örhalmazba 73 Példa A Gersgor-tétel alalmazását ombálhatu dagoálmátrszal észített hasolóság traszformácóval Ezzel változtat tudu a örö sugarát, és egyszerőe észíthetü a céla megfelelı becslést Például mutassu meg, hogy a mátra cs zérus saátértée! A = 4 5 Az elsı Gersgor ör özéppota 8, sugara szté 8, így ez a ör tartalmazza a zérust A több ör em Alalmazzu a D AD hasolóság traszformácót, ahol D = dag( ) : D AD 8 5/ 3/ = 4 5 ezzel a ívát célt elértü, mert az elsı ör sugara 4-re csöet és a más ét ör továbbra sem tartalmazza a zérust Fgyelü meg, mlye sor és oszlopba lesz változás, ha az alalmazott dagoálmátrba csa egy elem ülöböz -tıl! 74 Feladato Bzoyítsu be: A mátr fıátló-domás, ha a Gersgor örö em tartalmazzá a zérust A fıátló-domás mátro vertálható, mert cs zérus saátértéü 3 Az - és -ed soro és oszlopo cserée a dagoál-domacát em változtata meg

40 Hegedős: Numerus Aalízs 4 4 A mátr raga legalább aora, mt azo Gersgor örö száma, amelye em tartalmazzá a zérust 5 A baloldal saátvetoro segítségével s észíthetü Gersgor-öröet a mátr oszlopa szert 6 Dötsü el Gersgor tétele és dagoálmátr hasolóság traszformácó segítségével, hogy A vertálható-e: A = A aratersztus polom számítása etsü az u Frobeus-féle sérı mátrot: a a F = (64) a a Az utolsó oszlopa meté fetve gazolható, hogy det ( ) I F = + a = Eszert a λ λ λ aratersztus polom együtthatóa elıállítása öyő, ha va valamlye hasolóság traszformácó, am az A mátrot lye alara hozza Daylevsz ötelete szert ez megvalósítható a Gauss-Jorda módszerél megsmert egyszerő traszformácós mátrszal, ha a mátr elsı oszlopát em e -be, haem e -be vsszü Legye tehát az elsı traszformácós mátr = I + ( Ae e ) e, A = A és eor a hasolóság traszformácó eredméyeét az elsı oszlop e lesz: ( Ae e ) e ( Ae e ) e A e = Ae = I A( I ( Ae e ) e + ) e = I Ae = e e Ae e Ae Általába a -ad lépésbe ( ) = I + A e e + e +, és a orább oszlopvetoro sem romlaa el, mert az elıbbhez hasolóa apu: ( A e e ) e + + I A ( I ( A e e ) e ) el el, l = + e + A e Egy traszformácós lépés végrehathatóságáa feltétele, hogy a dagoálelem alatt elem legye zérustól ülöbözı Ha em így vola, sor-cserével mozgassu egy átló alatt emzérus elemet az átlóelem alá és hatsu végre a hasoló oszlopo cseréét s a hasolóság traszformácó megırzése végett Az algortmus -ed lépésébe a (64) alahoz utu Ha a mátr háromátlóú, a aratersztus polom egyszerő reurzóval számolható Például a determás reurzóa λ d a c λ d a c λ d p ( λ) = ( λ d ) p ( λ) a c p ( λ), p =, p = λ d, (65) + +

41 ahol p ( λ ) a bal felsı -edredő blo determása Az + -edredő determást az + -ed oszlop szert fetéssel apu és az eredméy a apott reurzó A reurzóval a polom helyettesítés értéét s öye számolhatu A reurzót meg lehet csál a felsı Hesseberg-mátr aratersztus polomára s Legye például 3 p = és alulról felfelé oldu meg a övetezı egyeletredszert: Az utolsó sorból p ( λ) ( λ) / λ 3 p p( λ) λ + p = λ p 3 =, a másod sorból pedg p λ λ p ( λ ) 4 ( ) + ( + ) + =, ahoa p feezhetı Ezeel az elsı sor ada p( λ ) feezését A mátr determása aor lesz zérus, ha p( λ ) zérus, tehát p( λ ) gyöe megegyeze a mátr saátértéevel Fgyelü meg, p( λ ) = eseté p ( λ), p ( λ), p3 ( λ ) a λ saátértéhez tartozó saátvetor eleme 73 Feladat Igazolu, hogy a -es A mátr saátértée: 74 étel λ a + a a a, = ± + a a Mde mátr utér hasolóság traszformácóval felsı Hesseberg-alara hozható Bzoyítás Az elsı lépésbe legye u = ( A ee A) e, u = σ, tehát A elsı oszlopából az átlóelemet elhagyu A hasolóság traszformácót az R( u σe ) türözı mátrszal végezzü, ahol a voás egyveszteség elerülése érdeébe σ elıelét aszert választu, hogy u / σ másod elemée valós része legye egatív Eor R( u σe ) A az elsı oszlopot ae + σe -be vsz, (az elsı elem változatla az elsı oszlopvetor másod elemmel ezdıdı részét pedg σe -be türöztü) Ugyaezzel a türözı mátrszal obbról szorozva az elsı oszlop már em fog változ, mert R( u σe ) elsı sora és oszlopa e és e Ezzel A = R( u σe ) AR( u σe ) elsı oszlopa mutata a Hesseberg-alaot A övetezı lépésbe az mét látottaat alalmazzu A eggyel sebb mérető obb alsó bloára Az elárást folytatva végül a ívát teles Hesseberg-alara utu 75 Iterácós módszere 75 A hatváyterácó A módszer azo az észrevétele alapul, hogy öveedésével A -be a legagyobb saátértéhez tartozó ompoes fog felerısöd A overgecára modhatu a övetezı tételt: együ fel A -edredő valós vagy omple mátr és a saátértéere telesül λ > λ λ λ 3 ovábbá a mátr egyszerő strutúráú, azaz ay saátvetora va, mt a mátr rede Eor a spetrálfelbotás A = λ uv =, ahol v, u a bal és obb saátvetoro és fethetı a saátvetoro szert: = α u Eor =

42 Hegedős: Numerus Aalízs 4 lm m λ m = α (66) m A u m Bzoyítás A módszer szert épezzü az m = Am = αλ u vetoroat és e apu m m A λ = m α u Az m határátmeettel apu az állítást, mvel a több saátvetor λ = λ szorzóa zérushoz tart Látu, a overgeca gyorsaságát α eseté léyegébe a λ / λ háyados szaba meg Az algortmus: m =,, re : y m+ m+ = A A ormáa célszerő például a végtele ormát választa A saátérté a = y y y m, m+ m+ A = ( m) m m+ m m λ = = mm mm feezéssel becsülhetı A hatváymódszerrel a spetrum (= a mátr saátértéee összessége) széle lévı egyszeres saátértéeet ereshetü serrel Az verz hatáyterácóval azoba ereshetü a spetrum belseébe elhelyezedı saátértéeet s Eor az terácó egy lépésébe az m ( λi A) m + = vetort számítu A ( λi A) mátr saátértée /( λ λ ), =,,, e látható: ez s hatváyterácó, am a λ paraméter értééhez legözelebb esı saátértéhez és a hozzátartozó saátvetorhoz fog tarta A saátprobléma megoldására az egy legobb módszer a QR -módszer Eor elészítü az A = Q R QR -felbotást és a övetezı mátr A RQ Q AQ = =, tehát egy ortogoáls hasolóság traszformácó eredméye A -ed lépésbe A = R Q Megmutatható, hogy ameybe a mátr egyszerő strutúráú és a saátvetoro mátráa va LU -felbotása, aor a QR -módszer egy felsı háromszögmátrhoz overgál A overgeca még gyorsítható, ha a felbotásoat ombálu egy κ I mátrszal való eltolással s, ahol κ a saátérté egy becslése Eor a QR - módszer overgeca-sebessége másodredő, szmmetrus mátroál harmadredő lesz 76 A saátértéfeladattal apcsolatos egyelıtlesége A Gersgor-örö smertetése sorá már megsmeredtü lye összefüggéseel Itt folytatu a vzsgálataat Arra vagyu vácsa, hogyha va egy özelítı ( λ, u) saátpáru, mt modhatu a óságáa ellemzésére Egy más feladat, hogyha a mátrelemeet ssé megváltoztatu ( perturbálu), hogya változ meg a saátpár? A övetezı elöléseet alalmazzu: vertálható Mdg duált mátrormát haszálu M = ma λ ( A), m = m λ ( A) és feltesszü, hogy a mátr ( ) ( ) A spetrálsugár és az duált ormá összefüggésébıl már smerü: összeszorzásából: M A m A, /, a ettı

43 43 M m cod( A) = A A (67) Ez elz számura, hogyha abszolút értébe a legagyobb és legsebb saátérté háyadosa agy, aor a mátr odcószáma agy 76 Lemma Legye D = dag( d,, d ) dagoálmátr, eor D = ma d, p p ( ) Bzoyítás Legye d d mde -re Az duált orma defcót alalmazva p p p d p / d d = = p = sup = sup = p p p ( ) ( ) = = D d d = A I r = U Λ I U r A ormára áttérve és az elızı lemmát alalmazva mert a evezı agyobb a számlálóál, ha va olya emzérus elem, amelyre d / d < 76 étel, saátpár ósága Legye A egyszerő szerezető: AU = UΛ, ahol U a saátvetoro mátra és Λ a saátvetoroat tartalmazó dagoálmátr, továbbá ( λ, ) a saátpár egy özelítése Eor az r = A λ elöléssel r m λ λ cod( U ), p-orma (68) ( ) Bzoyítás Ha λ = λ valamely -re, aor az állítás gaz együ fel, λ λ, ezzel A λi vertálható: ( λ ) ( λ ), cod( U ) r m λ λ A apott egyelıtleséget redezve apu a állítást 763 Követezméy Hermtus mátrora U utér, ematt cod ( U ) = és m λ λ r /, am agyo egyszerőe számolható 764 étel, alsó becslés cod(u)-ra Ha A egyszerő szerezető és vertálható, ( ) A M cod( A) cod( U ), A m cod( U ), cod( U ) cod( Λ) (69) Bzoyítás A harmad összefüggés az elsı ettı összeszorzásával adód Az elsı egyelıtleség az A = U Λ U ormáát épezve adód, a másod pedg az A = UΛ U feezésbıl 765 Feladato Mutassu meg, hogy U AU / m

44 Hegedős: Numerus Aalízs 44 U U A M 3 cod( U ) cod( AU )cod( Λ ) 766 étel, (Bauer, Fe) Legye A egyszerő szerezető és E egy ugyaolya mérető mátr Ha µ az saátértée és AU = UΛ, aor ( ) A + E C egy m λ µ E cod ( U ) (6) Bzoyítás együ fel µ { λ ( A)}, mert ülöbe gaz az állítás Mvel µ saátérté, övetez, hogy U ( A E µ I) U µ I U EU p + = Λ + szgulárs, ahoa átredezéssel ( ) µ + Λ adód Ez az utóbb mátr pedg csa aor lehet szgulárs, ha ( ) µ abszolút értéő saátértée, ambıl ( µ ) ( µ ) redezve apu az állítást 767 étel, verz perturbácó p I I U EU Λ I U EU -e va egy Λ I U EU Λ I E cod ( U ) Ezt H r r p Legye ( λ, ) egy özelítı saátpár, r = A λ Eor az E =, E, p, F = = (F a Frobeus-orma) mátrszal a ( λ, ) saátpár az egyelet potos megoldása ( ) p A + E = λ (6) p p p p Bzoyítás H r A A r λ H = = Például, ha r 9 /, a mátr eleme örüle, aor (, ) λ potos megoldása egy mátra, am A -tól csa a leced egyébe ülöböz Ha A -t csa 7 egyre smerü, aor cs érteleme tovább folytat az terácót 768 étel, egyszeres saátérté perturbácóa Legye ( λ,, y) egy A -hoz tartozó saáthármas, ahol λ egyszeres saátérté Az A + E mátr saátértéée megváltozása elsı redbe és y E y ɶ = λ + +O( E ) (6) λ y ɶ λ E +O( E ) (63) λ y Bzoyítás A másod összefüggés az elsı övetezméye, ha ormára térü át Az elsı bzoyításához legye a saátérté megváltozása µ, a saátvetoré pedg h : ( A E)( h) ( λ µ )( h) + + = + +

45 Feltesszü, hogy E eseté µ és h Beszorzás utá a másodredő tagoat hagyu el: Ah + E λ h + µ Szorozzu ezt a feezést balról az y saátvetorral, eor mdét oldalo az elsı vetoro s ese és az elsı bzoyítadó összefüggéshez adód y E y 45 µ (64) Itt a evezı em lehet zérus a 77 étel matt (63)-ba E szorzóa em más, mt az és y vetoroál a bezárt szög oszuszáa recproa: sec (, y) = y / y Szoás ezt az értéet a λ saátérté odcószámáa evez

46 Hegedős: Numerus Aalízs 46 8 A legsebb égyzete módszere 8 Egy llesztés feladat t y, =,,, poto, ahol a t helyhez tartozó y értéet valamely merésbıl apu A mért függvéyértéeet hba terhel Az elıálló potsorozatot vagy aa egy részét - szereté Gyara találozhatu a övetezı feladattal: adotta a (, ) egy = = függvéyel özelíte (pl ϕ ( t) = t ): f ( t) c ϕ ( t) c ( ) ϕ t y (7) = Ésszerőe látsz ezt a feladatot úgy megolda, hogy az eltérése égyzetösszege mmáls legye: m ( y c ) m t = = = (7) vagys, (6)-be a c leárombácós együtthatóat e feltétel szert eressü A (6) feladat a smeretleere egy leárs egyeletredszer, így tetsü általáosa az m, m A = b, A R, R, b R (73) egyeletredszert, ahol most az együtthatómátr em vadratus, haem téglalap alaú, és az sem bztos, hogy mdg va megoldása A legsebb égyzetes tuladosága eleget tevı megoldáshoz ( b A = m ) vzsgálu meg a proetor (vetítı) mátroat! 8 Vetítı mátro, proetoro 8 Defcó A P mátrot proetor vagy vetítı mátra evezzü, ha eleget tesz a P = P összefüggése Ie rögtö övetez: P( I P) = ( I P) P = Ha P vertálható, aor P -et a defáló egyeletre alalmazva apu: P = I Ugyacsa egyszerő elleıríz, hogyha P proetor, aor I P s az Fgyelü meg: P a traszformált vetort egyszer alalmazás utá helybehagya: P( P) = P Ezutá aárháyszor alalmazzu a proetort, az eredméy ugyaaz marad, ugyaúgy, mt vetítésor Mvel P aárháyad hatváya ömaga, ematt haszálatos az dempotes mátr elevezés Példa proetorra: Legye vertálható Eor m, m, A R, B R, < m, P = P( A, B ) = A( B A) B olya proetor lesz, amely A oszlopvetoraa alterébe vetít: P( A, B ) : R Im( A) m elöle a traszpoáltat és legye ( I P) P = -ból pedg övetez: bármely z vetorra { I P ( A, B )} z Im( A) c B A

47 47 8 étel Legye P( A ) az vetorra m A R altérbe vetítı proetoro halmaza Eor bármely A, P ma P P ( A) P P = P s, ahol P s az altérbe vetítı szmmetrus proetor Bzoyítás Szemléletese szólva: az vetorral Ps zára be a legsebb szöget Ha Ps, P P( A ), aor Ps P hsze P oszlopvetora az A altérbe ese, és ezeet egy más olya proetor mdg helybehagya, amely ugyaabba az altérbe vetít Felhaszálva a Cauchy-egyelıtleséget, adód P = P P Ps P s = = P P P P P s, (74) ahol a mamum még a P ɶ = λp, λ > feltételt elégítı P ɶ proetoro mellett s elıáll s 83 étel Ugyaazo altérbe vetítı proetoro özött a szmmetrus proetor egyértelmő Bzoyítás Idret együ fel, P és P ét ugyaabba az altérbe vetítı ülöbözı szmmetrus proetor, eor ahoa elletmodásra utottu = = = = =, P P P P P P P P P P 84 étel Az vetor A altértıl való távolsága ettes ormába: ( I P ), P P( A ) s Bzoyítás Mthogy P s zára be a legsebb szöget -szel, így a Ps ráy meté található az a pot A -ba, amely legözelebb va végpotához Keressü tehát azt a λ -t, amelyre λps orma-égyzete s s s s λp = λ P + λ P mmáls Derválással apu, hogy a mmum helye λ = -él va ehát ( I Ps ) A és a ettes ormáa az vetor A altértıl való távolsága 83 Mátro általáosított verze, a pszeudoverz Mátro általáosított verzét aor értelmezzü, ha az verzü em létez A pszeudoverz a leárs egyeletredszere azt a megoldását ada, amelyre az eltérés vetor, más szóval rezduum,

48 Hegedős: Numerus Aalízs 48 r = b A ettes ormáa mmáls Ha több megoldás s va, aor a legsebb ettes ormáú megoldást szolgáltata Emléeztetıül ét s lemma feldézésével ezdü 83 Lemma Legyee az L mátr oszlopa leársa függetlee Aor LB = LC -bıl B = C övetez Bzoyítás Átredezve L( B C) = L oszlopaa bármely leárs ombácóa a leárs függetleség matt csa aor lesz zérusvetor, ha B C oszlopvetora zéruso 83 Lemma m, Legye A R Eor A A poztív szemdeft Ha A oszlopa leársa függetlee, azaz A oszlopragú, aor A A poztív deft Bzoyítás Legye y = A, eor A A = y y Ha A oszlopragú, az elızı lemma alapá y = -ból övetez =, így ez esetbe 833 A pszeudoverz A A poztív deft A továbbaba megmutatu, hogy mde mátrhoz létez pszeudoverz, vagy Moore-Perose féle általáosított verz A +, mely a özöséges verzzel egyelı, ha a mátr emszgulárs, egyéb esetbe vszot mmáls ettes orma tuladoságoal redelez Ezt a mátr verzet a övetezı tuladoságo defálá: AA A = A, A AA = A, AA hermtus, 4 A A hermtus A defcó omple mátrora voatoz, m most valós esetbe a hermtus tuladoság helyett a szmmetrusságot övetelü meg Vegyü észre: Ha az elsı egyeletet obbról, vagy balról szorozzu A + -tel, az adód, hogy AA + és A + A proetoro és a 3 és 4 feltétel szert még szmmetrusa s Az elsı feltétel alapá AA + Im( A) -ba vetít, az A( I A + A) = alaból pedg azt látu, hogy I A + A a er( A) -ba vetítı szmmetrus proetor együ fel: A = LU, ahol L és U özbülsı mérete r = rag( A), L R továbbaba az LU rag-fatorzácó smeretébe elıállítu a pszeudoverzet 834 étel, a pszeudoverz elıállítása, U R A m, r r, Legye A = LU egy rag fatorzácó Aor egyértelmőe létez A = U L, + ahol ( + L = L L) L és U = U ( UU ) Bzoyítás Az egyértelmőséget dret úto bzoyítu együ fel va ettı: A + és A + Eor a szmmetrus proetor egyértelmősége matt A A = A A lletve AA = AA Ezeet, és a defáló egyeleteet felhaszálva adód A = A AA = A AA = A AA = A, amvel elletmodásra utottu A továbbaba megostruálu a pszeudoverzet Vegyü észre: Im( A) = Im( L), így ebbe az altérbe vetítı egyértelmő szmmetrus proetor = =, és + + ( AA LL L L L) L = övetez a 83 Lemmából Hasolóa az + ( L L L) L + Im( A ) = Im( U ) altérbe vetítı egyértelmő szmmetrus proetor + A A = A ( A ) =

49 = U ( U ) = U U = U ( UU ) U, ahoa r -edredő egységmátro, és ezzel Ebbıl olvasható, hogy A 835 Megegyzése + U = U ( UU ) Eze alapá L + L = UU + = Er AA = LL = LUU L és A A = U U = U L LU, = U L Ha A oszlopragú, aor L = A és U = I megfelelı választás, és A + = ( A A) A övetez Az + A = QR fatorzácóál apu: A = R Q Ha A sorragú, aor L = Im és U = A a megfelelı választás, amvel A + = A ( AA ) + Ha most A = QR, aor A = Q( R ) Végül, ha A raga sebb, mt a legsebb mérete, azaz, vaa leársa összefüggı soro és oszlopo, aor mdét oldal felıl végzett ortogoalzácóval elérhetı az A = Q BQ ala, ahol Q, Q ortogoáls mátro és B felsı bdagoáls mátr Eor meghatározása éha agyo éyes feladat + ( ) 836 étel, leárs egyeletredszer megoldhatósága A = Q B Q Mátroál a rag umerus Legye P Im( A) -ba vetítı proetor Eor az A = b egyeletredszer aor és csa aor ozsztes (megoldható), ha Pb = b Bzoyítás Szüségesség Ha a redszer megoldható, aor b Im( A) és Pb = b -e telesül ell Az elégségességhez válasszu az AA + szté Im( A) -ba vetítı proetort, amelyre AA + b = b telesül Ie olvasható, hogy = A + b egy megoldás 837 étel, a pszeudoverzes megoldás tuladosága Az A = b leárs egyeletredszer általáos megoldása a pszeudoverz segítségével a övetezıépp állítható elı: ahol p egy partulárs megoldás és = + = A b + ( I A A) t, t R, (75) p h + + h a homogé egyelet általáos megoldása Ha a redszer megoldható, aor A + b egy partulárs megoldás és ( I A A) t a homogé egyelet általáos megoldása Ha a redszer ozsztes, aor A + b az a legsebb égyzetes megoldás, melyre b AA + b ettes ormáa mmáls Mde esetbe A + b a mmáls ettes ormáú megoldás Bzoyítás A 84 étel alapá + b AA + b a b vetor Im( A) -tól való távolsága ovábbá vegyü észre, (75)-be ét ortogoáls vetor va, mert A + A az elsı vetort a pszeudoverz tuladoságo matt helybe hagya, a másodat pedg zérusba vsz Ematt írhatu: am aor a legsebb, ha t =, vagy I A A = 84 Feladato + + ( + ) = A b + I A A t, Legye A = LU egy rag-fatorzácó Eor íru fel azt a szmmetrus vetítımátrot, amely Im( A) -ba vetít Íru fel az A mátr ull-terébe vetítı szmmetrus proetort! Adu meg az vetor Nul( ) A - tól való távolságát!

50 Hegedős: Numerus Aalízs 5 3 Egy egyees áthalad az r és r poto Adu meg az vetor és ez az egyees távolságát! 4 Igazolu, hogyha a mátr vertálható, aor a pszeudoverze megegyez az verzével 5 A 4 6 = 5 5 Íru fel az Im( A) -ba vetítı szmmetrus proetort! 6 Két sí ormálvetorát az 5 feladat sorvetora adá Mely az a szmmetrus proetor, amely a ét sí özös részébe vetít? 7 r = [ ] r végpota mlye távol va az elıbb ét sí özös részétıl? 8 3 A = , rag( A) = A + =? 9 Az elıbb mátrszal m lesz A = b pszeudoverzes megoldása, ha b = [ ]? + Igazolu, hogy I A A =, ha A oszlopa leársa függetlee + + A pszeudoverz 4 tuladoságából vezessü le: ( A ) = ( A ) Az A mátr özelítı saátvetora A hozzátartozó λ saátértéet úgy szereté özelíte, hogy A λ mmáls legye M lesz eor λ feezése?

51 5 9 Ortogoáls polomo Gyara polommal ell végez a legsebb égyzetes llesztést Ilyeor specáls módszert észíthetü ortogoáls polomo segítségével Késıbb a umerus tegrálás módszereél s szüségü lesz az ortogoáls polomora, így most rövde megsmeredü velü 9 Függvéye salárs szorzata Az f és g függvéy salárs szorzatát a övetezı utasítással defálu: b f, g = f ( ) g( ) α( ) d, α( ) > (8) ( ) a ahol α( ) -et súlyfüggvéye evezzü és feltesszü, hogy a elölt tegrál létez M most a polomo haszálatával összefüggésbe egyszerőbb salárszorzatot fogu haszál, evezetese: m, = f ( ) g( ) w (8) ( f g) = ahol, =,,, m az llesztés alappotat, w pedg a hozzátartozó súlyoat elet Gyara w = mde -re Elleırízzü, hogy a fet defcó redeleze a salárs szorzat tuladoságaval! ermészetese most s gaz, hogy a salárs szorzat ormát defál: (, ) f = f f (83) Eze utá semm aadálya scs aa, hogy az, =,, leársa függetle redszerbıl Gram- Schmdt ortogoalzácóval ortogoáls redszert észítsü: így apu az ortogoáls polomoat 9 Defcó -fıegyütthatós az a polom, amelyél a legmagasabb foú tag együtthatóa 9 étel Legyee p ( ), =,, -fıegyütthatós -edredő polomo Eor bármely q( ) polom egyértelmőe elıállítható a p polomo leárs ombácóaét: q( ) = b p ( ) (84) = Bzoyítás Legye egyeletredszer: ( ) = + + +, p p p, eor a p p p b a p p b a = b a b együtthatóat meghatározó leárs (85)

52 Hegedős: Numerus Aalízs 5 Ez alulról felfelé haladva egyértelmőe megoldható 93 Követezméy Legyee polomra p - ortogoáls polomo Aor p + ortogoáls mde legfelebb -edfoú 9 Az ortogoáls polomo reurzóa Az -fıegyütthatós ortogoáls polomo a p ( ) p ( ) polomo smeretébe reurzíve felépíthetı: Bzoyítás Vzsgálu az salárs szorzatot! Az eredméy zérus, ha + + p = ( α ) p β p (86) ( p, p ) = ( p, p ) + < és + < a 93 Követezméy matt Nemzérus az eredméy, ha így p fethetı a p, p, p + polomoal: ahoa p + -re redezve apu (86)-öt 9 étel Az α + és β fetés együtthatóra érvéyes Bzoyítás Helyettesítsü +, p = p + α p + β p + +, ( p, p ) ( p, p ) α =, (87) + ( ) ( ) ( ) ( ) p, p p, p β = = (88) p, p p, p p értéét a reurzóból Az ortogoaltás matt adód, ha a (86) reurzó mdét oldalá salárs szorzatot épezü p -el α + értée rögtö β értée hasolóa észül, csa most a salárs szorzatot p -gyel vesszü Az átalaításba -et átvsszü p = p + α p + β p -gyel sebb deő reurzós összefüggést helyettesítü: az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p -hez, és p, p p, p p, p β = = = p, p p, p p, p 93 Legsebb égyzetes özelítés ortogoáls polomoal A (8) salárs szorzat mellett az duló polomo, ha w = mde -re

53 53 m p, p = = m + (89) A övetezı polomot p -et eressü α alaba! Eor az ortogoaltás matt ahoa így β -t zérusa vehetü = ( p, p ) = = ( p, α ) ( p, ) = α ( p, p,) m α =, (8) m + A reurzóból felépített ortogoáls polomoal a mért y, =,,, m függvéyértée a övetezıépp özelíthetı: = ( p, ) m y ( ), (, ) ( ) (8) = ( p, p ) = y p p y = p y Ez az elıállítás formálsa ugyaúgy éz, mt a leárs algebrába egy { q } ortogoáls vetorredszer szert fetés: legye y m + -dmezós vetor, eor A (8)-be látható P p ( ) p ( t) / ( p, p ) = = q q q q y y = (8) = feezés s szmmetrus proetor, így a (8) özelítés redelez a legsebb égyzetes tuladosággal: ( I P ) y a p, =,, polomo által feszített altértıl való távolságot elet 93 Példa Ortogoáls polomoal állítsu elı azt az elsıfoú polomot, amely az alább potsort legsebb égyzetese özelít: - y 4 Megoldás Elıször elıállítu az ortogoáls polomoat ( ) =, ahol α ( p p ) ( p p ) ( p p ) p ( ) α ( ) = 3 p =, e ( ) p, p = 4 Követez =, /, = /, = / Még meg ell állapítau p ömagával vett salárs szorzatát: ( ) 3 legsebb égyzetese özelítı elsıfoú polom: ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p, p = ( α ) = = = ( ) = 5 Ezzel a 4 p, y p, y P ( ) = p + p = + ( )( ) = + ( ),, 4 5 4

54 Hegedős: Numerus Aalízs Feladato Bzoyítsu be, hogyha az alappoto = -ra szmmetrusa helyezede el, aor α =, =,,, és a polomo váltaozva páros és páratla függvéye Készítsü el a p, p, p ortogoáls polomoat a {,,,, } alappotora! 3 A Csebsev polomo s ortogoáls polomo, amelye a övetezı reurzóval állítható elı: =, =, = Ez a szoásos ala, bár így em -fıegyütthatósa Állítsu elı a polomot Csebsev-polomo szert! 4 P( ) = ( + ) ( ) Az = helye eor m a célszerő számítás móda P( ) -a? b 5 Mutassu meg, hogy ( p, p ) = µ ββ β, ahol µ = ( p, p ) = α( ) d a -ad a mometum 6 Mutassu meg, hogy a α β β α β β α háromátlóú mátr bal felsı saro-aldetermása polomoat ada α és β parmétereel bíró ortogoáls

55 55 Leárs egyeletredszere megoldása terácóval A leárs egyeletredszere megoldását em mdg célszerő véges módszerrel észíte Ha a mátr agymérető és rta azaz soroét csa evés emzérus elem található aor az LUfelbotás hátráya, hogy felbotásor a mátr emzérus elemee száma megı besőrősöd ez egyrészt tárolás érdéseet vet fel, másrészt a so emzérus elem matt megı a muagéy Az terácós módszereél lye ehézsége em lépe fel, de probléma, ha a overgeca lassú Egyszerő terácó Legye A R egy felbotása A = M N (9) Ha M vertálható, aor a övetezı terácós módszert észíthetü: A = ( M N ) = b = M ( b + N), azaz ( + ) ( ) ( ) M N M b B c = + = +, (9) ahol a vetor felsı deébe az terácószámot elöl A B mátrot terácós mátra evezzü Kérdés, mor remélhetı, hogy a fet terácó overges és az mlye sebességő? A overgeca vzsgálata Az F : R R függvéy otracó, ha va olya q < szám, amelyre, y R eseté F( ) F( y) q y (93) telesül Itt q a otracós álladó, vagy otracószám Fgyelü meg, q < azt elet, hogy a leépezett vetoro özelebb erüle egymáshoz étel (Baach fpottétel) Legye F : R R egy leépezés q < otracós álladóval Aor ) * * * R : = F( ), azaz va az terácóa fpota és ez egyértelmő ) R ezdıértére () = F( ) overges sorozat és ( + ) ( ) lm ( ) * 3) Feáll a hbabecslés: q q ( ) * () () Bzoyítás Az = F( ) sorozat Cauchy-sorozat: ( + ) ( ) q q q ( ) ( ) ( ) ( ) () () m () () () () ( + ) ( ) ( ) ( ) = F( ) F( ) Így a sorozat egymás utá taga egyre özelebb vaa egymáshoz: va határérté Legye most m Eor a teleszópus összeg épzésével ( m) ( ) ( m) ( m ) ( m ) ( m ) ( + ) ( ) m m () () = ( q + q + + q ) = m mellett apu a 3) állítást q q q = < q q

56 Hegedős: Numerus Aalízs 56 Az egyértelmőség gazolásához dret módo tegyü fel: va ét fpot, és De eor a otracó felhaszálásával = F ( ) F ( ) < q, am elletmodás, hsze a ülöbség ormáa em lehet ömagáál sebb A tétel szert az ( + ) ( ) B c = + terácó overges, ha az F( ) = B + c leépezés otracó: F( ) F( y) = B + c By c = B( y) B y Ie látható, otracó va, ha B < Bzoyítás élül megegyezzü: a spetrál sugár az duált ormá fmuma Ematt modhatu: B + c overges, ha B spetrál sugara ρ ( B) < A (9) felbotást regulársa evezzü, ha M vertálható és ρ( M N) < Jacob-terácó Legye A felbotása A = L + D + U, ahol D = dag( A), L a mátr fıátló alatt, U a fıátló felett része (szgorúa alsó ll felsı -mátro) A Jacob-terácóál M = D, N = L U a választás, ezzel B = D ( L + U ), c = D b (94) J J Kompoeseét ala: ( + ) ( ) = a b a = árgéy: ( ) ( ),, A b, + Célszerő ezdıvetor, ha cs obb: () = c J étel Ha A sor szert szgorúa fıátló-domás, aor a Jacob-terácó overges Bzoyítás a B = e D L + U = < J 3 Gauss-Sedel terácó ma ( ) ma ( ) ( ) a A Gauss-Sedel terácóál M = L + D, N = U a választás, ezzel GS, tehát va otracó B = L + D U c = L + D b (95) ( ), GS ( ) A Gauss-Sedel terácó ompoeseét alaát írásából apu: ( + ) ( ) ( L + D) = U + b -ed soráa Olya a mővelete sorrede, hogy ( + ) ( + ) ( ) = a + a b, =,,, a = = + (96) értée ( ) + értéével felülírható Így a tárgéy: A, b, ( ) elıyösebb, mt a Jacob-terácóál Célszerő ezdıvetor: () = c GS 3 étel Felhasításból származó terácós mátr ormááa becslése Legyee A, A, D -es valós mátro, D dagoálmátr: Eor feáll: e De = d és e A d < -re

57 57 e A ( A + D) A ma, ( ) d e A ahol a mamum-eresésél elegedı a emzérus számlálóat tete 7 Bzoyítás Mvel A ( A + D) A = ma ( A + D) A Legye = ed deéél valósul meg: + D fıátlódomás, a elölt verz létez A orma defcóa szert y = ( A + D) A és tegyü fel, a mamum y - y = y Átredezéssel A = ( A + D) y Dy = A A y, ahoa az -ed sorra e Dy = d y e A + e A y Fgyelembe véve, hogy =, e átredezéssel apu az egyelıtleséget Mvel em tudu, mely -re valósul meg y, ezért a törtet a soro szert mamalzálu Ha A -ed sora zérus, aor d y e A y adód, am feltevésüel elletmodó emzérus 3 étel Ha A sor szert szgorúa domás átlóú, aor y mellett, így ezeet a soroat elhagyhatu B GS = + ma BJ < ( ) a a a = (97) Bzoyítás Az elızı tételbe legye A = L, U = A és D a mátr fıátlóából alotott dagoálmátr Ezzel a választással özvetleül adód az elsı egyelıtleség A másod egyelıtleség gazolásához vezessü be az elöléseet Eszert J ( ) B GS α = a, és β = a a = a = + ma ( ) β α (98) és gazoladó, hogy ez em agyobb, mt B = ma( α + β ) együ fel, α > Eor ( α + β ) > β /( α ) -bıl átredezéssel α + β α β α > β, ahoa α β > övetez Ez éppe a szgorú fıátló-domaca feltétele, amt feltettü Egyelıség csa aor lehetséges, ha α = Így B β β GS ma = α + β ma( α + β ) = B J ( ) α ( ) α Ha balról az elsı mamumál α >, aor bztosa BGS < BJ 4 Gauss-Sedel (GS-) relaácó Eor a gyorsabb overgeca reméyébe D szerepét megosztu Összeadva, mad -re redezve: ( L + D) = U + b / szorozzu ω-val D = D / szorozzu ( ω)-val L és U özött:

58 Hegedős: Numerus Aalízs 58 Ie az terácós mátr ( + ) ( ) ( ) ( D + ωl) = ( ω) D ωu + ωb (99) [ ] ( ω ) ( ω) ω ( ω ) ω ( + ) ( ) = D + L D U + D + L b B ( ω) = ( D + ωl) ( ω) D ωu (9) GS [ ] Ha ω =, aor vsszaapu a Gauss-Sedel terácót A ompoeseét alaot (99) -ed sorából apu: ( + ) ω ( + ) ( ) ( ) = a + a b + ( ω), =,,, a = = + (9) Eszert a Gauss-Sedel relaácó övetezı lépésée eredméyét megszorozzu ω -val és ehhez hozzáadu a -ad vetor ( ω) -szorosát 5 A relaácós módszerere voatozó éháy tétel Ha A egy dagoáleleme sem, egyébét tetszıleges, aor ρ( ( ω)) ω, azaz csa aor remélhetı overgeca, ha ω és özé es Legye A R szmmetrus, poztív deft mátr és < ω < Eor ρ( B GS ( ω )) <, vagys mde lye ω -ra overges a GS-relaácó A övetezı ét tétel blo-háromátlós mátrora voatoz ermészetese -es bloo eseté a megszoott mátrot apu vssza 3 Legye A R blo-háromátlós mátr Aor a megfelelı blo Jacob (J) és GS-terácó mátrara b b ρ( B ) = ρ( B ) GS Ez azt elet, a ettı egyszerre overges, vagy dverges és overgeca eseté a GS-terá- có étszer gyorsabb 4 Legye A blo-háromátlós, szmmetrus és poztív deft Eor a blo-jacob terácó, valamt a blo-gs relaácó < ω < mellett overges Utóbbál az optmáls relaácós paraméter és erre az optmáls paraméterre a spetrál sugár J b ( ρ B ) J ω = / + ( ) (,) ( ) ρ( B ( ω )) = ω < ρ( B ) = ρ( B ) b b b GS GS J 6 Egy lépésbe optmáls ω paraméter meghatározása Láttu, (9)-be az vetorból dulva az = ω + ( ω) = + ω( ) (9) ω vetort észítü, a Gauss-Sedel módszer + vetora helyett Vezessü be az y = +, r = b A elöléseet és határozzu meg az ω paramétert általáosa az A = M N felbotás mellett! (9)-ból apu: B GS

59 59 r = b A = r ω Ay (93) ω + + Határozzu meg a -ad lépésbe ω -t abból a feltételbıl, hogy r + mmáls! Ehhez em ell mást te, mt az Ayω = r egyeletet a pszeudoverzzel ω -ra megolda: + y A r r Ay ω = ( Ay ) r = = (94) Ay Ay Hogy e elle + -et eplct módo elıállíta, a relaácó élül alaból feezzü y -t: e ( ) = M ( N + b) = + M b ( M + N) = + M r, (95) y = M r (96) Az ω meghatározásához vezessü be egy úabb vetort: c = Ay = M N M r = r Ny (97) ( ), és eor a övetezı terácós algortmust észíthetü: Kezdés: r = b A ; =,,3,,-ra: y = M r ; c = r Ny ; r c ω = c c = + ω y ; + ; r = r ω c ( = b A ); + + Két lehetıség s va r + számítására ermészetese az elsı az olcsóbb Az terácó elırehaladtával lehet, hogy a másod módszer eredméye eletıse eltér az elsıétıl Célszerő lyeor r + értéét a másod, potosa tethetı módszerrel felavíta Az algortmusba a vetoroat deeltü, bár em szüséges, mvel mde lépésbe az elızı vetor az úal felülírható 7 A Rchardso terácó Ha a mátru saátértée valós, poztív számo, aor egy terácót észíthetü a övetezı észrevétel alapá: ( I par ) = r = b A ( + pr ) = b A, = + pr, (98) ahol a p számot úgy választu, hogy I pa spetrál sugara mél sebb legye Az I pa mátr saátértée most pλ - Látu, az p leépezı függvéy a (,l) poto áthaladó, poztív p mellett egatív meredeségő egyees Legye a legsebb saátérté m, a legagyobb M A Rcharso terácóál az optmáls p értéet abbıl a feltételbıl határozzu meg, hogy a legsebb és a legagyobb saátérté ugyaaora abszolút értéő számoba épzıdö le: pm= ( pm) p= /( m+ M) (99) Ezzel a választással I pa spetrál sugara ( M m)/( M+ m) lesz

60 Hegedős: Numerus Aalízs 6 H em smerü a mátr saátértéet, de tudu, hogy a saátértée poztíva, pl mert A szmmetrus, poztív deft, a p számot abból a feltételbıl s ereshetü, hogy r + legye mmáls Eor az r = par egyelet pszeudo-megoldása r Ar r Ar p= = (9) Ar Ar Az terácó sorá elég éháyszor számol p értéét, hsze az az elıbb megállapított optmáls érté örül fog gadoz 8 Feladato Bzoyítsu be, szmmetrus mátrora a Raylegh-háyados legsebb értée a legsebb saátérté Hogy hatsu végre a Jacob-terácót, ha a mátr az oszlopa szert szgorúa fıátló-domás? 3 Mutassu meg, a 3 tétel átfogalmazható arra az esetre, amor a mátr oszlopa szert szgorúa fıátló-domás 4 Mt ad a (97) becslés arra az esetre, ha a sor szert fıátló-domaca csa úgy telesül, hogy éháy sorba va egyelıség? És ha csa az utolsó sorba va egyelıség? A = BJ =? B GS? A 3 étel segítségével bzoyítsu be: A ma, ld (98)-at s, ha A a ( α β ) sora szert szgorúa fıátló-domás Oszlopo szert fıátló-domaca eseté hogya módosítsu az állítást? 7 Feltéve, hogy D + ωl fıátlódomás a sora szert, a 3 étel segítségével mutassu meg: ω + ωβ BGS ( ω) ma ( ) ωα 8 Ha D A fellhaszálásával, mvel ormával érvéyes: <, a 3 ételhez hasoló egyelıtleséget származtathatu (5) ( A + D) A = ( I + D A ) D A Mutassu meg, hogy eor duált D A ( A + D) A Szüséges, hogy most D dagoálmátr D A legye? Az 5 Példa mátrára mely módszer ad obb becslést?

61 6 A Lagrage terpolácó és hbáa Az terpolácó a függvéy özelítése olya móda, ahol azt íru elı, hogy az terpoláló függvéy a özelíte ívát függvéy értéét vegye fel a megadott helyee Az terpolácó alappotat győtsü az Ω = {,,, } halmazba, ahol az - em szüségéppe redezette A tuladoságoat az [ a, b ] tervallumba fogu vzsgál Soszor [ a, b] = [m, ma ], de az s lehetséges, hogy mde alappot [ a, b ] belsı pota Iterpoláló függvéy leárs paramétereel Legye N, és tegyü fel, az R, =,,, potoba smerü az f ( ) függvéy értéet Az terpolácó alalmával elárhatu úgy, hogy felveszü egy alaú próbafüggvéyt, ahol az a paramétere meghatározadó az Φ ( ) = a ϕ ( ) () = f ( ) = Φ ( ), =,, () feltételebıl Az ()-be szereplı ϕ ( ) függvéye lehete például hatváyfüggvéye, ϕ ( ) =, amvel terpolácós polomhoz utu, de választhatu más függvéyeet: ϕ ( ) = s( ω ), ϕ ( ) = cos( ω ), ϕ ( ) = ep( ω ) Ha =, az () terpolácós feladat a övetezı leárs egyeletredszerre vezet: ϕ( ) ϕ( ) ϕ( ) a f ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) a = f ( ) (3) ϕ( ) ϕ( ) ϕ( ) a f ( ) Látu tehát, hogyha a függvéye leárs ombácóát vesszü, aor az terpolácós feladat leárs egyeletredszerre vezet A feladat egyértelmőe megoldható, ha a apott redszer együtthatómátráa va verze Polom-terpolácó Eor a ϕ ( ) = választással az () redszerbe az együtthatómátr Vadermode mátr, (4) amrıl tudu, hogy determása emzérus, ha az alappoto ülöbözı Követez, hogy az egyváltozós polom-terpolácó feladata ülöbözı alappotora egyértelmőe megoldható 3 Iterpolácó Lagrage-alappolomoal Az Ω -be szereplı alappotohoz redelü a öveezı polomot:

62 Hegedős: Numerus Aalízs 6 ω( ) = ( ) (5) = Ez + -edfoú és az alappotoo eltő Segítségével öye bevezethetü egy olya -edfoú Lagrage-alappolomot, amely mde alappotba zérust ad, egyet véve, - legye ez az -ed, és e helye az értée legye : ω ( ) ω ( ) l ( ) = = = ( ) ( ) ( ) ( ) =, ω =, (6) Itt az ( ) téyezıvel azért osztottu, hogy az (5) szorzatból hagyu, és a produtum a evezıbe azért szerepel, hogy l ( ) = legye Ha most ()-be ϕ ( ) = l ( ), aor az terpolácós feladat együtthatómátra az E egységmátr, mert l ( ) = δ - ahol δ a Kroecer delta Ie adód: és a Lagrage-terpolácó poloma: a = f ( ), (7) = Eor a Lagrage-alappolomo tuladosága alapá L ( ) = f ( ) 3 étel Az terpolácó hbáa L ( ) = f ( ) l ( ) (8) Legye az terpolált függvéy legalább + -szer dfferecálható az [ a, b ] tervallumo: + f ( ) C [ a, b], ahol az alappoto az [ a, b] -be vaa Aor [ a, b] eseté ξ [ a, b], melyre továbbá ( + f ) ( ξ ) f ( ) L ( ) = ω ( ), ( + )! M + f ( ) L ( ) ω ( ), ( + )! (9) () ahol ( ) ( ) M f = ma f ( ) [ a, b] Bzoyítás Ha Ω, aor (9) mdét oldala zérus és az egyelıség feáll A továbbaba tegyü fel, Ω és vezessü be a ω ( z) g ( z) = f ( z) L ( z) ( f ( ) L ( )), z [ a, b] () ω ( ) + függvéyt Szté telesül g ( z) C [ a, b] és g ( z) =, z Ω, de eze felül z = s zérushely, így összese + db zérus va A zérushelye özött többszöröse alalmazva a Rolle-tételt, az ( + ) -ed derválás utá apu: ξ [ a, b], amelyre ( ) ( ) ( )! g + ( ξ ) = = f + ( ξ ) + ( f ( ) L ( )) ω ( )

63 és e redezéssel apu (9)-et A másod állítás úgy adód, hogy mdét oladolo vesszü az abszolút értéet és az ( + ) -ed derváltat felülrıl becsülü az [ a, b ] tervallumba Megegyzés Rolle tétele szert, ha f ( a) = f ( b) = és [ a, b] -be f derválható, aor [ a, b] -be va egy olya pot, ahol a függvéy derválta zérus E tétel egyszerő övetezméye a Lagrage özépérté-tétele és aor s gaz, ha f ( a) = f ( b) Hasolóa ()-hez, az ( + ) -ed dervált abszolút érté mmumával az alsó becslés s elészíthetı 4 Példa Az Ω = {,,, } alappotoo adott y értée egy -edfoú p ( ) polom értée Mutassu meg, hogy eze potora észített L ( ) terpolácós polomra L ( ) = p ( ) Megoldás Vzsgálu meg az terpolácó hbáát: ( + p ) ( ξ ) p ( ) L ( ) = ω ( ) =, ( + )! mert az -edfoú polom ( + ) -ed derválta mdeütt zérus 5 Feladato Egy függvéy 3 potba adott: (-,-), (,), (,3) Készítsü el a Lagrage-alappolomoat és azt az L ( ) polomot, mely áthalad e potoo Az f ( ) = ( + ) függvéyt a [,] tervallumba terpolálu az Ω = {,, 5, 8, } alappotoo Becsülü meg az f ( ) L4 ( ) hbát az = 4 helye! 63 3 Lássu be: 4 Igazolu: l ( ) =, ha = + + = ω = l ( ) ( )

64 Hegedős: Numerus Aalízs 64 A polom-terpolácó tuladosága ermészetese adód a érdés: Potosabb az terpolácó özelítése, ha övelü a polom foszámát? Eor overgál-e a polom a függvéyhez? A válasz em mdg gelı, de va eset, amor az étel, egyeletes overgeca Legye f C [ a, b] és legye alappotredszere egy sorozata Jelöle L ( ) az ( ), =,,, ; =,,, az [ a, b ] tervallumot feszítı ( ) ( ) ( ),,, alappotredszerre llesztett Lagrage terpolácós polomot, =,,, Ha M > úgy, hogy M M -re, aor az L terpolácós polomo sorozata egyeletese overgál az f ( ) függvéyhez Bzoyítás Alalmazzu az egész tervallumra érvéyes hbaorlátot, mad becsülü felülrıl az ω ormát: ( ) [ ( )] ( ) ( ) M + M b a M b f L ω a = ( + )! ( + )! ( + )! A evezıbe lévı fatoráls függvéy a hatváyfüggvéyél gyorsabba tart -hez, ematt a obb oldal zérushoz tart, így gaz az egyeletes overgeca: f, L am azt elet, hogy a ét függvéy mamáls abszolút eltérése zérushoz tart Lemma Redezzü agyság szert az alappotoat: < és legye h = ma Eor ω ( ) -re a övetezı becslés adható: =,,,! + ω ( ) h, [ a, b] () 4 Bzoyítás Átvzsgálu az egyes tervallumoat Elıször legye [, ] Eor derválva és értéét a mamum helye véve apu: Másodszor legye [, ] Hasolóa apu: ( )( ) h / 4 ovább felhaszálva adód: + h! ω ( ) ( h / 4)( h)(3 h) ( h) = 4 + h! ω ( ) ( h)( h / 4)( h) (( ) h) < 4 A több belsı tervallumra s azt apu, hogy sebb a becslés eredméye, mt az elsı tervallumra Végül az utolsó tervallumra az elsıével azoos becslésre utu, így () a végsı eredméy Megegyzés Az tt látott becslés alapá sebb hbára számítu, ha az [ a, b ] tervallum özepé va, mt amor az [ a, b ] tervallum széleél vola Ez aor gaz, ha az alappoto özel

65 egyeletese helyezede el Sethetı, obb lesz a özelítés, ha az alappoto az tervallum széleél sőrőbbe helyezede el A megsmert lemma segítségével az egész tervallumra érvéyes hbaorláthoz utu: 3 étel Az alappoto legyee agyság szert redezette: <, ahol h = ma Eor feáll M + + f ( ) L ( ) h, [ a, b] 4( + ) =,,, 65 () Bzoyítás ()-et beírva a hbatételbe apu az állítást 4 Az alappoto ügyes megválasztása, Csebsev polomo Az -edfoú Csebsev polom a övetezı összefüggéssel adható meg: Belátu, hogy ez polom Legye ( ) = cos( arcos ), [,], =,, (3) ϑ = ar cos, eor ± ( ) = cos(( ± ) ϑ) = cos( ϑ ± ϑ) = = cos( ϑ )cosϑ s( ϑ )s( ϑ) = ( ) s( ϑ )s ϑ A + és elıelehez tartozó feezéseet összeadva: + azaz a Csebsev polomo elıállítására a övetezı reurzót apu: ( ) + ( ) = ( ), (4) ( ) =, ( ) =, ( ) = ( ) ( ), [,] (5) + Ha az elsı éháy polomot íru, azt találu, hogy ( ) = +, > Így vezessü be az -fıegyütthatós Csebsev polomoat a utasítással Eor gaz a övetezı tétel: 5 étel ɶ ( ) = ( ), < ɶ p, p P [,], azaz szavaba: Jelöle P [,] az -fıegyütthatós -edfoú polomoat [,] -be, aor e polomo özött az -re ormált Csebsev polom lesz az, amely a [,] tervallumba a legsebb mamáls értéet vesz fel, azaz ott legobba özelít a függvéyt Bzoyítás A ( ) polomo a cos függvéye megfelelıe - és özött oszcllála A szélsıérté helye: π cos( ar cos z ) = ( ), ahoa z = cos, =,,, (6) + ülöbözı pot Az -re ormált polomo szélsıérté helye ugyatt vaa Most dret módo tegyü fel, hogy p P [,], amelyre p < ɶ De eor az r = ɶ p ülöbség

66 Hegedős: Numerus Aalízs 66 polom -edfoú és a szélsıérté helye özt elıelet ée válta, + hely özött összese - szer De ez elletmodás, mert r( ) -e legalább -ed-foúa ée lee π A Csebsev polomo gyöe cos( ar cos ) = arcos = + π ( + ) π = cos, =,,, ülöbözı hely (7) Követezméy [,] -be az alappotoat válasszu úgy, hogy egybeessee a Csebsev polomo gyöevel Így érü el a legsebb hbaorlátot az ω ( ) polomál: f ( ) L ( ) M + ω M M ( )! = + ɶ + + ( )! = (8) + + ( + )! Ha [ a, b] aor a gyöö egyszerő leárs traszformácóval [,] -bıl oda átvhetı 6 Feladato Dötsü el, hogy az terpoláló polom egyeletese tart-e az alább függvéyehez, ha az [ a, b ] tervallumot feszítı alappoto száma : a) f ( ) = s, [, π ] b) f ( ) = cos, [, π ] c) f ( ) = e, [,] d) f ( ) = ( + ), [,] e) f ( ) = ( + ), [,] 3 Az elızı feladat e) példááál m a helyzet, ha az alappotoa mdg a Csebsev polomo gyöet választu? 4 Állapítsu meg azt az egyszerő leárs traszformácót, amely a t [,] változót átvsz az [ a, b] változóba! M lesz az verz traszformácó? 5 Íru fel, [ a, b] -be m legyee az alappoto, hogy ω ( ) mmáls legye! 6 (8) abba az esetbe szolgáltata a hba becslését, amor [,] Vezessü le a hbabecslést arra az esetre, ha [ a, b]! 7 A s függvéyt az [, π / ] tervallumba mlye sőrő ell egyeletese tabelláz, hogy leárs terpolácót haszálva 4 hbával tudu mdeütt a függvéy értéét számíta? 8 Az elızı feladatál hogy módosul az eredméy, ha másodfoú polommal terpolálu? Eor ω ( ) mamáls abszolút értéő helyét potosa meg tudu határoz? 9 Mutassu meg, hogy a () becslés továbbírható: K = h /( b a) álladó Mor lesz K =? + + ω ( )!( K ( b a)) /(4 ), ahol A Strlg-formula szert! π + + e 88 Az elızı feladat segítségével mutassu meg, hogy egyeletes felosztás mellett b a e eseté lm ω ( ) Igazolu, hogy a Csebsev polomo ortogoálsa a / szorzat szert, ahol a súlyfüggvéy α( ) = ( ) = α salárs (, ) ( ) ( ) ( ) d Adu meg (, ) értéét!

67 67 3 Iterált terpolácó (Nevlle, Ate, Newto) 3 A Nevlle- és Ate-terpolácó A Lagrage-terpolácó hátráya, hogy úabb osztópoto felvételeor az alappolomoat úra ell számol És va, amor em s az terpolácós polom, haem özvetleül aa helyettesítés értée ée Ilyeor elıyös az terált terpolácó Legyee az terpolácó tartópota {(, ( )} f = f =, és elölü p,,, ( ) -szel azt a -adfoú polomot, amelyre p,,, ( ) = f ( ), =,,,, () azaz terpolácós polom a megelölt potora Megmutatu, hogy e polomo reurzóval s felépíthetı etsü a övetezı determást: p,,,, + ( ) = + p ( ),,, p ( ) +,, + () Közvetle elleırzéssel apu, hogy az ú polom ól terpolál az = és = + potoba A özbülsı potoba pedg, ahol < < +, p ( ) ( ) p ( ) f ( ) f ( ),,, +,,,, + = = = + + p,, + ( ) + E reurzó alapá a Nevlle-terpolácóhoz a övetezı számtáblázatot észítü: f = p ( ) = 3 f = p ( ) p ( ) f = p ( ) p ( ) p ( ) f 3 3 = p 3 ( ) p 3 ( ) p 3 ( ) p 3 ( ) Vegyü észre, hogy most egy úabb pot ( 4, f 4) hozzávételével elegedı az 3 -g ész táblázathoz egy úabb sort számol Ha az - számo, aor a bal oszlop számaál a felsıbıl vou az alsót a reurzós formula evezıée elıállításához, pl ( ) Például határozzu meg a táblázat értéet = -re, ha a tartópoto: 3 f 3 A számolás meete:

68 Hegedős: Numerus Aalízs 68 = = 3 = = = ( ) 3 = 5/ ( ) 5 5/ = /3 Az Ate-terpolácó flozófáa hasoló, csa más öztes polomoat állít elı A sorredet az Ate-terpolácó táblázatával szemléltetü: 3 Osztott dfferecá = 3 f = p ( ) f = p ( ) p ( ) f = p ( ) p ( ) p ( ) f 3 3 = p 3 ( ) p 3 ( ) p 3 ( ) p 3 ( ) Melıtt rátéré a Newto-terpolácóra, bevezetü az osztott dfferecáat Legyee most s a tartópoto {(, ( )} f = f =, eor elsıredő osztott dfferecá: másodredő oszott dfferecá: és általába a -adredő osztott dfferecá: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f [, ], f [, ], + = + = + f [ +, + ] f [, + ] f [, +, + ] =, + (3) (4) f [ +, +, + ] f [, +,, + ] f [, +,, + ] =, (5) ahol a -adredő osztott dffereca + potra támaszod Az osztott dfferecáa a övetezı táblázatát észíthetü: f + = 3 ( ) 3 3 f ( ) f [, ] f ( ) f [, ] f [,, ] f ( ) f [, 3] f [,, 3] f [,,, 3] Példa Készítsü el az osztott dfferecá táblázatát, ha a tartópoto: / 3 f / /3

69 69 Az alább táblázatba az oszlopo felett szám az osztott dffereca redét mutata / 3 = / / / = / ( ) = / 3 /3 / 3 / = 3 6 / 6 ( / ) = 3 6 / 6 = 3 / 3 3 Lemma Feáll az összefüggés: f ( ) f [,,, ] =, (6) ω ( ) = tt ω ( ) az (5)-be megsmert szorzatfüggvéy Bzoyítás eles ducóval végezhetı = -re az állítás gaz A -ról + -re való áttérésél az f [,, ] f [,, ] + [,,, + ] = + f összefüggés alapá az -gyel sebb redő osztott dfferecába íru be a tétel állítását: f ( )( ) f ( )( ) f [,, ], f [,, ], = = = ω + ( ) = ω + ( ) mad redezéssel yerü az eredméyt Látható, az osztott dffereca az alappoto szmmetrus függvéye Értée függetle attól, hogy az alappoto mlye sorredbe vaa megadva 33 A reurzív Newto-terpolácó Jelöle N ( ) az,,, alappotora épített terpolácós polomot (Newto- polom) Eor eze polomo a övetezı reurzóval számítható: N ( ) = N ( ) + b ω ( ), (7) ahol a b együttható abból a feltételbıl határozható meg, hogy N ( ) terpolál az potba: b f N ( ) = ω ( ) Azoba a b -e számítására va egy eél soal egyszerőbb módszer 33 étel b = f [,,, ] (8)

70 Hegedős: Numerus Aalízs 7 Bzoyítás Az N ( ) N ( ) feezés eltő az,, potoba a defcó szert, így ω ( ) szerepeltetése ogos, ame az együtthatóát abból a feltételbıl határozzu meg, hogy N ( ) = f ( ) A levezetésbe N ( ) helyére a megfelelı Lagrage-polomot íru: b N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N f f ω = = = ω ( ) ω ( ) ω ( ) ω ( )( ) ω ( ) = f ( ) f ( ) = + = f [,,, ], ω ( ) ( ) ω ( ) = ahol az utolsó sorba fgyelembe vettü (6)-ot Eszert az osztott dfferecá táblázatába a obb szélsı eleme adá a fetéshez szüséges b együtthatóat A reurzív elzı élül egyszerőe Newto-terpolácóról beszélü aor, ha a felépítésbe a b együttható helyé az osztott dfferecáat haszálu A reurzív Newto terpolácó haszálata szoatla helyzetebe elıyös, például, ha többváltozós terpolácós formulát aaru észíte, vagy magasabb derváltaat s terpolálu úgy, hogy egyes alacsoyabb redőe háyoza 34 Feladato Részletese elleırízzü a 33 Lemma bzoyításáa lépéset! Nevlle-terpolácóval a függvéyt az helye váu özelíte A táblázat mde sorába az utolsó szám egy terpoláló polom helyettesítés értéét ada Mlye sorredbe íru fel az terpolácó alappotat, hogy a táblázatba az utolsó eleme egyre obb, övevı potosságú sorredet adaa? 3 Nevlle-terpolácóval határozzu meg azt a másodfoú polomot, amely átmegy a (-,),(,), (,6) potoo! (Most paraméterét bemarad a formulába) 4 Mutassu meg, a Nevlle-terpolácó aor s ugyaazt az eredméyt ada, ha az elsı oszlopba helyett az értéeet íru! 5 Ugyaezt a polomot állítsu elı Newto terpolácóval! 6 Mlye algortmust avasolu a Newto-polom helyettesítés értéee számítására, ha az osztott dfferecá adotta? 7 Készítsü Matlab programot, amely a Nevlle-terpolácó függvéyérté özelítéset ada egy vetorba! 8 Készítsü Matlab programot, amely az osztott dfferecá táblázatát észít el! 9 Készítsü Matlab programot, amely az osztott dfferecá értéet felhaszálva a Newtopolom helyettesítés értéét ada! Állapítsu meg a Newto-terpolácó bázsfüggvéyet és eze segítségével íru fel az terpolácós feltétel leárs egyeletredszerét! Oldu meg az elızı feladatba apott egyeletredszert úgy, hogy az osztott dffereca-séma lépéset övetü! Mt tapasztalu? Íru fel azt a mátrot, am az [ f, f,, f ] függvéyértée vetorát az elsıredő osztott dfferecá [ f [, ],, f [, ]] vetorába vsz!

71 7 4 Newto- és Hermte-terpolácó 4 étel, osztott dfferecával az terpolácó hbáa Legye [ a, b],, =,,,, eor f ( ) L ( ) = f [,,,, ] ω ( ), (3) ahol [ a, b ] az alappoto által feszített tervallum Bzoyítás Legye N + olya, hogy az helye felvesz f ( ) értéét Felhaszálva, hogy N ( ) = L ( ), a Newto terpolácó szert írhatu: f ( ) L ( ) = N ( ) N ( ) = f [,,,, ] ω ( ), + és ezzel ész s vagyu, mert mde -re N + -et úraválaszthatu úgy, hogy N+ ( ) = f ( ) telesülö 4 Követezméy Legye + f ( ) C [ a, b], [ a, b],, eor létez ξ [ a, b], melyre ( + ) f ( ξ ) f [,,,, ] = (3) ( + )! feáll Ee belátásához elegedı, ha összehasolítu az 3 étel (9) formuláát (3)-gyel Specálsa = -ra f [, ] = f '( ξ ), és ez írva a Lagrage özépérté-tétel Így (3) em más, mt a özépérté-tétel általáosítása magasabbredő osztott dfferecára Fgyelü meg: (3) be s formáls változóét szerepel, + alappothoz tartoz + -edredő osztott dffereca, és az ehhez tartozó dervált + -edredő 4 ovább övetezméy A (3) összefüggés alalmas arra, hogy az osztott dfferecá táblázatát arra az esetre s értelmezzü, amor egy alappot többször szerepel Az alappoto ξ -szel együtt az [ a, b ] tervallumba helyezede el Ha most [ a, b ] az potra zsugorod össze, aor határátmeettel apu, hogy + db alappot ( ) f ( ) f [,,, ] =! (33) 4 Hermte-terpolácó Ha elıíru, hogy az terpoláló polom a függvéy derváltara s lleszede a megadott potoba, aor Hermte-terpolácóról beszélü Ilyeor a tartópoto özé a derváltaat s felvesszü: f = m m + ( ) (, ( ),,,, ), N

72 Hegedős: Numerus Aalízs 7 Például, ha m =, aor a ullad és az elsı dervált lleszed -ba Általába a feltétele száma: m = m +, (34) = tehát m -edfoú polom lehetséges: H ( ) = P, és az lleszedés feltétele: m ( ) ( ) m m H ( ) = f ( ), =,,, m ; =,,, (35) 4 étel Ha az alappoto ülöbözıe, a (35) lleszedés feltételee eleget tevı H m( ) polom létez és egyértelmő Bzoyítás Legye a polom leárs egyeletredszert: m = = H ( ) a m alaú és íru fel az együtthatóat meghatározó m a f ( ) m m a = f '( ), am most egy ( m + ) ( m + ) -es redszer Ee va megoldása, ha a determása det( A) Idret módo tegyü fel, hogy mégs det( A ) = Követez, hogy a homogé egyelete ( b = ) va emzérus megoldása, am eor m -edfoú polom Vegyü észre, a zérus obb oldal most azt elet, hogy m -szoros gyöe a poloma De aor ee a poloma m + gyöe ée, hogy legye, am elletmodás Ezért az egyeletredszer mátra vertálható, és a megoldás egyértelmő Megegyzés Ha a derválta háyosa vaa megadva, aor a háyos (dege szóval: lauárs) Hermte-terpolácó feladata em mdg oldható meg 4 Hbatétel a em-háyos Hermte-terpolácóra Legye m+ f ( ) C [ a, b], [ a, b], eor létez ξ [ a, b], amelyre ( m+ f ) ( ξ ) f ( ) Hm ( ) = ω m ( ), ( m + )! (36) m m ahol most ω ( ) = ( ) ( ) m ( ) m Bzoyítás Az 3 ételhez hasolóa tesszü Ha =, =,,,, aor az állítás gaz, így a továbbaba legye mde -ra Vezessü be most s a ωm ( z) g ( z) = f ( z) Hm( z) ( f ( ) Hm( )), z [ a, b] (37) ω ( ) m függvéyt, amelye z = -szel együtt m + gyöe va A tétel állításához a Rolle-tétel ( m + ) - szer alalmazása utá utu

73 Abba a specáls esetbe, ha mde alappotba a függvéyérté és az elsı dervált adott, Hermte- Feér terpolácóról beszélü Érdemes még szót ete arról, hogy a Newto-terpolácót hogya alalmazhatu az Hermteterpolácóál Az osztott dfferecá értelmezését többszörös ugyaazo alappot esetére már (33)-ba megadtu Eszert például étszer adu meg az potot, ha f ( ) és f '( ) adotta Az ω ( ) szorzatfüggvéybe mde orábba alappotét fgyelembe vett pot téyezıt ad, az éppe terpolált pot csa a övetezı lépésbe ad téyezıt A poto sorrede tetszıleges, de a többször megadott poto legyee egymás mellett a derválta matt Ne feledü, a derválta megadása em lehet háyos, például em háyozhat az elsı, ha adott a másod dervált 43 Példa Newto terpolácóval észítsü el azt a polomot, amely az, potora az Hermte-Feér terpolácót valósíta meg! Megoldás A osztott dfferecá táblázata: f = 3 f f f f f [, ] ( f [, ] f ) /( ) ( f f [, ])/( ) ( f f [, ] + f ) /( ) ' f A eresett polom: f [, ] f f f [, ] + f N ( ) = f + f ( ) + ( ) + ( ) ( ) 3 ( ) 43 Hermte-terpolácós alappolomo A Lagrage-alappolomohoz hasoló tuladoságú polomo mdg megszereszthetı, ha em ( ) háyos a derválta megadása Az potba az f, =,,, m -ed derválta adotta Vezessü be az helyhez tartozó m =, h ( ) =, h ( ) = függvéyt Ee a,,, m -ed derválta eltő az ( ) potoba, még aor s, ha meg vola szorozva egy más polommal Így h ( ) az ( ) potoba már telesít az alappolomtól elvárt tuladoságoat Az pothoz tartozó alappolomoat eressü a övetezı alaba: l ( ) = p ( ) h ( ), p ( ) P,,,, m ahol p, ( ) m -edfoú polom, =,,, m, és az -ed polom együtthatót abból a feltételbıl apu, hogy ( d / d) l, ( ) = δ, =,,, m A öyebb érthetıség edvéért tetsü azt a példát, amor -ba a másod derváltg adotta az értée, azaz =,, lehet A polomoat hatváya szert célszerő felír Ha =, aor 73

74 Hegedős: Numerus Aalízs 74 p, ( ) = + α( ) + α ( ) alaú, mert ( ) h = és l ( ), = matt p, ( ) = α -et abból a feltételbıl határozzu meg, hogy az elsı dervált zérus az helye: [ α + α ( )] h ( ) + p ( ) h ( ) =,, = e α = h ( ) Ha a másod derváltat s zérussá tesszü: α értéét beírva ( ) α h ( ) + α h ( ) + h ( ) =, α = h ( ) h ( ) / az eredméy A p, ( ) polom ulladfoú taga zérus, mert p, ( ) h ( ) = Hasoló o matt az elsıfoú tag együtthatóa s zérus lesz, mert p,( ) h ( ) + p,( ) h ( ) = Végül l, ( ) = -bıl p = adód Gyaorlásépp gazolu, hogy a fet példába ( ) ( ) /, p,( ) = ( ) + α( )! Így a em-háyos Hermte-terpolácót a övetezı formula állíta elı: m = = ( ), H ( ) f l ( ) m = Vegyü észre, a apott elıállítás egy úabb gazolását ada aa, hogy a em-háyos Hermteterpolácó feladata egyértelmőe megoldható 44 Iverz terpolácó Errrıl beszélü, ha a függı és függetle változóat felcserélü: Így = ( y) típusú polomot apu A techát aor alalmazzu, ha arra vagyu vácsa, hogy a függvéy egy adott értéet mely helye vesz fel, például, ha a függvéy gyöét eressü Eor a özelítı polomba y = -t helyettesítve a gyö helyére apu egy özelítést 45 Feladato Származtasssu terpolácós formulát, amor a tartópoto: (, f ), (, f, f, f ) ' " A szusz függvéy egyeletes tabellázásaor a derválta s smert a oszusz függvéyel való smert összefüggés matt, így Hermte-Feér terpolácót alalmazhatu ét alappot özött 4 Mlye sőrő ell egyeletese tabelláz a függvéyt [, π / ] -be, ha mdeütt hbával szereté a függvéy értéet megap? 3 Íru fel az Hermte-Feér terpolácóhoz tartozó hbaformulát, ha az terpolácó a Csebsev alappotoo törté 4 Mutassu meg, hogy Hermte-Feér terpolácóál h ( ) ( l ( ) ) és p ( ), = =, p ( ) ( )( ), = l 5 Melye az Hermte-terpolácós bázspolomo, ha a tartópoto: (, f, f ), és (, f, f )? 6 Készítsü el az Hermte-terpolácó bázspolomat, ha a tartópoto: (, f, f ), és (, f, f ) Bár háyos a derválta megadása, a bázspolomo mégs léteze 7 Egy függvéyhez tartozó égy pot: (, ), (,), (3, ), (5,3) Iverz terpolácót választva határozzu meg a gyö özelítését Nevlle-terpolácóval!

75 75 8 Általáosítsu a Nevlle-terpolácót Hermte-terpolácó esetére! 9 Legye f ( ) = a -edfoú polom = f [,,, ] =? Igazolu: ξ [, ]: = ξ, ahol = -re ξ a számta özép + =

76 Hegedős: Numerus Aalízs 76 5 Iterpolácó sple (doga-) függvéyeel 5 Sple- vagy dogafüggvéye Ha az terpoláló polomo foszámát övelü, gyara tapasztalhatu, hogy a magasabb foszámú polomo erıteles hullámzást mutata az alappoto öryezetébe Olyayra, hogy ráézésre sem hhetı, hogy a függvéyt ól özelít A sple függvéyeel törtéı terpolácóál az ötlet az, hogy az egyes résztervallumoba csa alacsoy foszámú polomoat egedü meg, az tervallum-határoo pedg a polomoat folytoosa llesztü Lehetıség szert a folytoosságot a derváltara s elıíru Sple [etsd: szplá ] agolul dogát elet, am azoat a fabordáat elet, amel a ádár raa a hordó alaát Sple-oa hívá agol yelvterülete azoat a halítható, görbíthetı voalzóat s, amelyeel görbe voal razolható Itt most matematalag hasoló dolog törté: az egyes résztervallumoba függvéyíveet polomoból észítü, amelyeet összevarru az tervallum-határoo valamlye folytoosság övetelméy szert Szemléletese szólva: dogafüggvéyeet alalmazu A továbbaba legyee Θ {, ( )} = f = f = a tartópoto, az abszcsszá legyee agyság szert redezette: <, < és S ( ) l Θ elöle az l -edfoú sple-o halmazát Ez azt elet, hogy Sl ( Θ ) eleme mde [, ] résztervallumo l -edfoú polomo A sple terpolácó egyszerőe tárgyalható az u ( ) alapfüggvéye segítségével: Az u () alapfüggvéy Az u () alapfüggvéy derválta 5 u () 5 u '() , ha + u ( ) =, ha + +, egyébét ábra A alapfüggvéy és derválta, ha < < u ( ) =, ha < < + +, ha <, + < Az elsı dervált az alappotoba em létez, csa az alsó és felsı határértéü Késıbb ey számura elég lesz A alapfüggvéy magasabbredő derválta md eltőe

77 77 5 Elsıfoú sple-o: s( ) S( Θ ) s( ) = f + f,, [ ] (4) Az eredméy egy törtvoal A számítógép agyo gyara így razola a Θ halmazzal adott függvéyt Ha a felbotás elég sőrő, aor em ayra szembetőı a voala törése A alapfüggvéye segítségével ez az s( ) függvéy Lagrage-alappolom stílusba így írható: 53 Másodfoú sple-o: s( ) S( Θ ) s( ) = f u ( ) (4) Az egyszerőség edvéért tegyü fel, hogy a ezdıpotba adott f ( a) és f '( a ) Eor az = a = f ( ) f '( ) f ( ) potora észíthetü Hermte-terpolácóval egy másodfoú polomot, amely az elsı tervallumhoz tartoz E polom -be felvett derváltával és f ( ) -gyel folytassu az elárást ugyaígy az [, ] tervallumra Általáosa [, ] észített polom táblázata: és f ( ) f ( ) f '( ) + f ( + ) f [, + ] + + f [, + ] f '( ), -be a Newto terpolácó segítségével s( ) = f ( ) + f '( )( ) + f [,, ]( ), [, ], + + ahol a függvéy derváltát mdg az elızı tervallumba észített polomból apu Ha az duló dervált em smert, az elsı tervallum polomát vehetü leársa Egy más lehetıség az elsı három poto átvetett parabolával ezde, mad az elárást a megsmert módo folytat 54 Harmadfoú sple-o: s( ) S3( Θ ) Most az terpolácót egy az [, ] ezdü Az {, f, f }, {, f, f } tervallumba észítedı háyos Hermte-terpolácóval tartópotohoz tartozó harmadfoú Hermte-terpolácós alappolomoat elöle l ( ) Az elsı de az abszcssza deére utal, a másod pedg a dervált redére Az elsı polomra telesül: l ( ) =, l ( ) =, l ( ) = és l ( ) = A másod dervált elsı vagy alacsoyabb foú és mdét potba eltő, ematt csa az azoosa függvéy lehet Követezésépp l ( ) elsıfoú és az és helye felvett értée telese meghatározzá: [ ] l ( ) = ( ) /( ) = u ( ),, (43)

78 Hegedős: Numerus Aalízs 78 Az l ( ) polomot meghatározó összefüggése: l ( ) =, l ( ) =, l ( ) = és l ( ) = l ( ) = u ( ),, Ezt étszer A másod dervált elsıfoú és a felvett értée alapá [ ] tegrálva u ( ) l ( ) = + β, u ( ) u ( ) u ( ) l 3 ( ) = + β + γ,, 6 u ( ) u ( ) [ ] ahol haszáltu, hogy u ( ) az tervallumba ostas Mvel u ( ) =, ematt l ( ) = -ból γ = övetez Az l ( ) = feltételbıl pedg β = / ( 6 u ( ) ) adód, így u ( ) u ( ) ( ) 6 ( ) 3 = u l (44) Az l ( ) és l ( ) polomo meghatározása telese hasolóa törté, az eredméy: u ( ) u ( ) l ( ) u ( ), l ( ),, 3 = = 6 u ( ) [ ] (45) Ezeel az [, ] tervallumba terpoláló harmadfoú polom: p ( ) = f l ( ) + f l ( ) + f l ( ) + f l ( ) =,3 u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) = f u ( ) + f + f u ( ) + f 6 ( ) 6 ( ) 3 3 u u Most tegyü fel, a függvéyérté és a másod dervált az,,, alappotoba adott Aor e formula mtáára mde tervallumba fel tudu ír egy harmadfoú terpoláló polomot: u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) p ( ) f u ( ) f f u ( ) f, [, ] ,3 = u ( ) 6 u + ( ) de a alapfüggvéye defícóát szem elıtt tartva ezt a polom-sereget egy szummával s megadhatu a teles tervallumra: u ( ) u ( ) p ( ) = f u ( ) + f, [ a, b] (46) 6 ( ) 3 [ a, b],3 = u Így olya függvéyü va, amely mde résztervallumba harmadfoú polom, és az alappotoba folytoos a függvéy és a másod derválta A látotta alapá a Θ tartópotora a harmadfoú dogafüggvéyt a övetezıépp vesszü fel: u ( ) u ( ) s ( ) f u ( ) s, [ a, b], s s ( ) (47) 3 3 = + = 3 = 6 u ( ) Az s másod derváltaat abból a feltételbıl határozzu meg, hogy az elsı derválta s legyee folytoosa az alappotoba Az elsı dervált = 3 u ( ) 6 u ( ) s 3( ) = f u ( ) + s, [ a, b] (48) csa aor lesz folytoos, ha mde alappotba az alsó és felsı határérté megegyez Jelöle s3 ( ) az alsó, s3 ( ) + a felsı határértéet az helye Eor csa ét alapfüggvéy ad emzérus áruléot a határértéehez:

79 79 és u u s3 ( ) f u ( ) fu ( ) s s u u f + f s + s = + h, ahol h = h 6 3 ( ) 3 ( ) = = 6 ( ) 6 ( ) u ( ) f+ f s+ + s + = + + = = 6 u ( + ) h 6 s ( ) f u ( ) s h A ettıt egyelıvé téve az potba: Ez tovább redezve s + s s + s+ f [, ] + h = f [, + ] h, h = s h s ( h + h ) s + h + + = f [, + ] f [, ], mad a = h /( h + h ) elölés bevezetésével az σ alara egyszerősöd s σ + s + s ( σ ) = 6 f [,, ], =,,, (49) + + A apott háromátlóú leárs egyeletredszer mátra dagoáldomás, am a megoldás szempotából edvezı Azoba az egyeletredszer em határozza meg s és s értéét, így a ezdı- és végpotba még feltételeet ell elıíru A gyaorlatba az alább három megoldás valamelyét szotá választa: Hermte-peremfeltétel: az elsı derválta f ( a) és f ( b) adotta A másod dervált értéérıl redelezü a ezdı és végpotba Ha em smerü, s = s = egy lehetséges választás Hagyomáyosa ezt evez természetes sple-a Eél azoba obb megoldás, ha a szélsı ét tervallumba a harmad derváltat ostasa vesszü: az így apott s és s -et tartalmazó feezéseet hozzávéve az (49) redszerhez apu azt a spleterpolácót, amely harmadfoú polomg potos 3 Perodus határfeltétel Ha a függvéy perodus, és a teles peródusba törté az terpolácó, aor a függvéyt és derváltat a ét végpotba egyelıvé tesszü 55 Példa Az Hermte-féle peremfeltétel mellett hogy fog éz a megoldadó (49) egyeletredszer elsı és utolsó sora? Megoldás (49)-be vegyü = - t és az formálsa felvett alappottal tartsu -hoz Eor σ és így ( ) s + s = 6 f [, ] = 6 f [, ] f / h (4), Az utolsó egyelethez helyettesítsü (49)-be = -et és + tartso -hez: s + s = 6 f [,, ], (4) E ét egyelettel egészítve (49)-et már ay egyeletü va, mt az smeretlee száma

80 Hegedős: Numerus Aalízs 8 56 Feladato Hogy egyszerősöd (49), ha az alappoto egyelı távolságra vaa egymástól? Hogy módosul (49) elsı és utolsó sora, ha a szelsı ét tervallumba a harmad derváltat tesszü álladóvá? (Útmutatás: pl az, és, poto özött épezzü dfferecaháyadossal a harmad derváltaat és tegyü ıet egyelıvé: ( s s) / h = ( s s ) / h Az utolsó három potál áru el hasolóa A apott eredméyt helyettesítsü a megfelelı egyeletbe) 3 Mutassu meg, hogy legalább égy tartópotál az elıbb módo észített sple harmadfoú polomra potos, azaz aa potaból vsszaapu magát a polomot 4 A harmadfoú dogafüggvéyt úgy s reprezetálhatu, hogy egy tervallumo belül a polomot az tervallum határa felvett függvéyértéel és az elsı derválttal adu meg Az Hermte-terpolácós alappolomoal észítsü el az terpoláló formulát az (, ) tervallumra, ld 455 példa Igazolu, hogy (46)-hoz hasolóa a övetezı formula yerhetı: 3 3 u ( ) u ( ) pɶ ( ) = f ( u ( ) + 3 u ( ) ) + f, [ a, b] u ( ) [ a, b],3 = 5 Ha a harmadfoú dogafüggvéyt a résztervallumo határa felvett függvéyértéel és az elsı derválttal reprezetálu, aor az elızı feladat alapá a övetezı feezést apu: 3 3 u ( ) u ( ) s3( ) = f ( u ( ) + 3 u ( ) ) + t, [ a, b], u ( ) = ahol f = s ( ), t = s ( ) és u ( ) az -ed alapfüggvéy A résztervallumo határa a másod dervált egyeztetésével származtassu egyeletredszert a t meghatározására! paramétere 6 Szereté harmadfoú sple függvéyel özelíte a övetezı dfferecálegyelet megoldását: v ( ) = g( ), [,], v() = v() =, ahol g( ) megadott függvéy Osszu fel a [,] tervallumot egyelı részre és íru fel (49) felhaszálásával a özelítést meghatározó egyeleteet A dfferecálegyeletbıl yerhetı formácó alapá alaítsu át az egyeletredszert, hogy megoldásul a v( ), =,, értée özelítéset apu! 7 Az terpolácóál taulta alapá adu felsı becslést az elsıfoú sple özelítés hbáára!

81 8 6 Nemleárs egyelete megoldása I Eddg léyegébe leárs egyeletredszere megoldásával foglaloztu De soszor felvetıd az f ( ) = (6) egyelet egy (vagy esetleg több) gyöée eresése, ahol az f ( ) C[ a, b] egyváltozós függvéy Mde olya érté, amelyre f ( ) =, a (6) egyelet gyöe vagy f ( ) zérushelye A gyö az m helye m -edredő, ha f ( ) = ( ) g( ), g( ) alaba írható Azzal az esettel foglalozu, amor a megoldás özelítése valamlye umerus módszer segítségével végezhetı 6 A gyööt tartalmazó tervallum Ha a függvéy elıelet vált: f ( a) f ( b ) <, aor a folytoosság matt legalább gyö található [ a, b] -be Ha létez f ( ) elsı derválta s, és elıeltartó [ a, b] -be, aor csa gyö va Ha a függvéy em mooto, aor [ a, b] -t célszerő olya résztervallumora bota, ahol az tervallum ét végpota özött elıelváltás va Ílymódo f ( ) páratla gyöet el tudu ülöíte Derválható függvéy eseté a páros gyööet ereshetü f ( ) gyöeét, mert eor a párosaat páratlaá tettü, de ereshetü f ( ) / f ( ) gyöet s, amelye md egyszerese 6 Fpot terácó Egy lehetséges elárás, hogy megpróbálu az f ( ) = egyeletet fpot-egyeletté alaíta: Példa: legye a megoldadó egyelet: ( ) = F (6) s( ) = Eor próbálozhatu az s( ) + = terácóval Fpot-egyeletet mdg tudu észíte, hsze = + cf ( ) s lye, ahol c emzérus álladó, de választhatu valamely c( ) függvéyt s olymódo, hogy az terácó overgeca-tuladosága avulaa A fpot létezésérıl szól a 6 Brouwer fpottétel Ha F( ) folytoos [ a, b] -be és F : [ a, b] [ a, b], aor létez fpota Bzoyítás Legye g( ) = F( ), eor g( a) és g( b), ambıl g( a) g( b) Ha tt egyelıségel érvéyes, aor már va egy gyö, ha pedg a < el érvéyes, aor a folytoosság matt ell léteze gyöe [ a, b] -be 6 étel, otracó Ha F : S R folytoosa dfferecálható az S zárt tervallumo és F ( ) <, S, aor F otracó Bzoyítás A Lagrage özépérté tétel alapá, y S -re ζ : F( ) F( y) = F ( ζ )( y) érü át az abszolút értére és haszálu fel, hogy F ( ) mamuma S -be: A tétel többdmezós megfogalmazása: ha a folytoos ( ) F függvéy a gömböt ömagába épez le, aor va fpota

82 Hegedős: Numerus Aalízs 8 F( ) F( y) ma F ( ) y,, y S S tehát F otracó q = ma F ( ) < otracós álladóval 63 Követezméy S Ha F( ) otracó, aor a Baach fpottétel szert csa egy gyö va és a otracós álladó smeretébe a özelítés potosságát s becsül tudu Vsszatérve a fet példához: a apott terácó bztosa overges abba a tartomáyba, ahol cos( ) ( s( ) ) = < Látu, ha = vagy = π, ezzel a feezéssel ba va, mert a formula s( ) értéeléseor -val ée oszta De például = π / 4 eseté a feezés értée / 8, am már obba tő Ha megrazolu az parabolát és a s( ) függvéy épét, látu, hogy ét emegatív gyö va, az egy a zérus, a más pedg özel = π / 4 -hez, tehát remélhetı, hogy az terácó π / 4 -gyel dítva overges De az s látsz, hogyha agyo cs poztív értéel dítu az terácót, aor sem apu meg a zérus gyööt, mert az terácó mdg elvsz a agyobb gyö ráyába Ha azoba az = arcs( ) terácót észítü, öye meggyızıdhetü arról, hogy s poztív -re zérushoz tart Ha azoba = -gyel dítu, aor elıször a π / értéet apu, mad omple számoat, mvel az argumetum agyobb -él A taulság: ügyelü ell, a apott függvéy hova épez le, és a leépezés tartomáyába megmarada-e a overgeca tuladoságo, lletve azt a gyööt apu-e, amt szereté meghatároz Ha a megoldadó egyeletbe több helye s szerepel, aor több = F( ) feezés s észíthetı Például szerepele ét helye, eor meg lehet mutat: a apott ét terácó egy adott helye egyszerre em lehet overges Legye ugyas f (, ) = a megoldadó egyelet, ahol a ét elıfordulást és -vel azoosítu Legye F ( ) az az terácós függvéy, amelyet feezésével aptu Ez azt elet, hogy f ( F ( ), ) = és f (, F ( )) = (63) Legye α egyszeres gyö: f ( α, α ) = Ha a (63)-be szereplı feezéseet derválu szert és helyettesítü = α -t, az eredméy: f ( α, α) F ( α) + f ( α, a) =, f ( α, α) + f ( α, α) F ( α) =, ahol f alsó dee azt elöl, mely hely szert derváltu Ahhoz, hogy egyszeres gyö mellett emzérus megoldást apu f ( α, α) -ra ell, hogy a apott redszer determása legye: ahoa F ( α) F ( α) = F ( α) F ( α) =, F ( α) = / F ( α) (64) Hacsa em abszolút értéőe a derválta, a gyö özelébe az egy terácós függvéy overges, a más meg dverges lesz Hasolóa lehet vzsgál azt az esetet, amor -él

83 83 többször fordul elı De eor a helyzet rosszabb, az s lehetséges, hogy egy terácós függvéy sem overges Ematt azt célszerő teü, hogy az -e elıfordulását ét csoportba osztu és -et az egy csoportból telese feezü Például 3 + ep( ) + = -él az terácós függvéyre ereshetü a másodfoú polom gyöet úgy, hogy a ostas tag helyére ep( ) + -et íru 63 A overgeca-sebesség Legye az sorozat overges, lm = Jelöle létez c álladó és p szám úgy, hogy * * ε = az -ed hbát Eor, ha aor az sorozat overgecáa p -edredő Ha p =, aor a overgeca leárs vagy elsıredő, < p <, aor a overgeca szuperleárs, p =, aor vadratus vagy másodredő, p = 3, aor öbös, vagy harmadredő p ε+ c ε, =,,, (65) A p szám ellemz az terácós módszer overgecááa sebességét Ha például p =, aor ez agyából azt elet, hogy lépéseét az értées egye száma megduplázód A fpot terácó em redelez ezzel a sebességgel Megmutatu, hogy p =, azaz a overgecáa elsıredő, ameybe * F ( ) Ugyas * * * + + F F q q ε ε = = ( ) ( ) = (66) Ha * F ( ) =, aor a overgeca magasabb redő Erre voatoz a övetezı 63 étel Legye F valós függvéy: F( S) S R, S zárt együ fel, F C ( S) és F ( ) =, =,,, m Eor az F által meghatározott terácó overgeca-sebessége p = m -edredő Bzoyítás Az * örül aylor-polom m -edredő maradétaggal ( m ) * ( m) * * * F ( ) * m F ( ξ ) * m F( ) = F( ) + F ( )( ) + + ( ) + ( ) ( m )! m! m ( ) * ahol a feltevés szert az elsı, másod,, m -ed dervált eltő Helyettesítsü vegyü fgyelembe, hogy * * = F( ) és + = F( ), ezzel = -et, ahoa ( m) * F ξ * ( ) ( ) m + = m!, ( m) F ( ξ ) * m M m m ε ε + =,,, m! m! = ahol ( ) = ma ( ) Ie látható, a overgeca m -edredő S M F

84 Hegedős: Numerus Aalízs Newto-terácó (Newto-Raphso módszer) és a szelımódszer Ha a függvéy elsı derválta létez a gyö öryezetébe, aor a gyööt özelíthetü úgy, hogy az potba a függvéyhez húzott értı metszéspotát vesszü az tegellyel Ez ugyaaz, mt amor az örül elsıfoú aylor-polomot zérussá tesszü és + -re megoldu: = f ( ) + f ( )( ), + e a Newto-Raphso módszer terácós formuláa: f ( ) = = F( ) (67) + f ( ) A szelımódszert ebbıl úgy yerü, hogy a dervált helyére az utolsó ét potra felírt osztott dfferecát tesszü: f ( )( ) f ( ) f ( ) = = = F(, ), (68) + f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) tehát ez az terácós függvéy ét potra támaszod A módszer elıye a Newto-módszerrel szembe, hogy em ell hozzá a dervált, amt éha eléggé örülméyes számíta Hátráya pedg a sebb overgeca-sebesség 64 étel, a szelımódszer hbáa Legye f C, eor a szelımódszerél az + -ed terált hbáára feáll ( ) [,, ] f ( ξ ),, [ ε + = ε ε ξ η,, ], (69) f ( η) 8 ahol a zérushely és [,, ] az adott poto által lefedett tervallum 9 Bzoyítás Az állítást (68)-ból osztott dfferecá segítségével származtatu Khaszálu, hogy f ( ) = : ε f ( ) f ( ) f [, ] = = = = [, ] [, ] + + ( ) ε f f f [, ] f [, ] ε f [,, ] = ε * = ε ε f [, ] f [, ] és e az osztott dfferecá és a derválta özött érvéyes összefüggés (4 Követezméy) segítségével apu az eredméyt 64 Követezméy A Newto-módszerre voatozó eredméyt az határátmeettel apu: + f ( ) f ( ξ ), [, ε = ε ξ ], (6) Látu, ha va overgeca, aor az másodredő, feltéve, hogy f ( )

85 étel, mooto overgeca Legye f C [ a, b], f ( ) =, [ a, b], az f ( ), f ( ) derválta e váltsaa elıelet [ a, b] - be, továbbá az [ a, b] ezdıpotra telesülö f ( ) f ( ) > Eor a Newto-módszer overges és az általa észített sorozat mooto módo tart az zérushelyhez Bzoyítás A Newto-módszer (6) formuláa szert az összes terált a gyötıl vagy obbra, vagy balra helyezed el, mert f / f elıele álladó A (67) formulából -ot levova ε = ε f ( ) / f ( ) (6) + övetez Az f ( ) f ( ) > feltétel matt f ( ) / f ( ) és f ( ) / f ( ) elıele megegyez Ematt, ha (6)-be ε >, aor f ( ) / f ( ) poztív és (6)-be ε ssebítve va és az összes tovább lépésbe ε > sebbed Hasolóa apu, hogy ε < eseté az összes tovább ε < agyobbod, tehát az ε -e vagy felülrıl vagy alulról mooto módo tartaa -hoz Követezméy A (69) formula mutata, hogyha a szelımódszert úgy dítu, hogy, [ a, b], ε ε és f ( ) / f ( ) elıele megegyez, aor a tétel feltétele mellett a szelımódszer s mooto overges sorozatot állít elı, mert a formuláába szereplı osztott dffereca mdg helyettesíthetı egy tervallum-bel derválttal, ame az elıele [ a, b] -be álladó 644 étel, loáls overgeca Legye f C [ a, b], f ( ) =, f ( ),, [ a, b], és az [ a, b] ezdıpotra telesülö m f ( ) f M * [ a, b] < = ma [ a, b] ( ) (6) Ilye -ból dítva a Newto-Raphso módszer overgál mellett s elégít a (6) feltételt * -hoz A szelımódszer overgál, ha Bzoyítás Az elsı lépéstıl ezdve va otracó, ha (69) vagy (6) alapá f ( ξ ) ma ( ) ε < f ( η) m f ( ) [ a, b] f Az állítás e átredezéssel adód A szelımódszerél a másod lépéshez még ε -re s meg ell övetelü ugyaezt a feltételt A fete alapá a Newto-Raphso módszerél megbecsülü az + -ed hbát Bevezetve a d = M ε elölést [ a, b] ( ) + ε + ε + ε + ε d = M M d d M (63) 645 étel, szelımódszer overgeca-sebessége A 644 étel feltétele mellett az, ezdıpotoból dítva a szelımódszer p = ( + 5) /,6 aszmptotus sebességgel overgál -hoz Bzoyítás Most ε M ε ε + érvéyes (69) alapá, ahol M ugyaaz, mt (6)-be Ismét a d = M ε elöléssel

86 Az dításor amellyel < M és * / Hegedős: Numerus Aalízs 86 d,,, + d d = < M, ezzel d, d < Igaz tehát, hogy d < : d, d d, * / d d, d d, d d, általába d d, f = f =, f = f + f, =,, f + Itt f -e a ólsmert Fboacc-sorozat taga, melyee eplct elıállítása smert: 5 5 f = b + b + b = + b = 5,, (64) Mvel b <, a övevı hatváya zérushoz foga tarta Ematt létez egy K szám, hogy mde -re s + + d K, s = b / 5 ehát írható + b b ( ) ( ) b / 5 b / 5 d K d = K dɶ, dɶ = d Kaptu, hogy a szelımódszerhez tartozó hbá maorálható egy olya sorozattal, amelye + 5 overgecarede b =,6, azaz a módszer szuperleárs 65 Példá Legye f C 3 [ a, b] Parabola terpolácóval észítsü három potra támaszodó terácós módszert f ( ) egy [ a, b] -bel loáls mmumáa meghatározására! Megoldás Legye [ a, b] -be három pot (, f ),(, f ),(, f ) Newto-terpolácóval p ( ) = f + f [, ]( ) + f [,, ]( )( ) A derváltáa zérushelye: + f [, ] + = (65) f [,, ] Egyeletes lépésözzel haladva hogya deríteé fel egy mmumhelyet? Megoldás Legye a lépésöz h és = a + h, =,, Az,, alappot-hármas + megfelelı, ha f [, ] < és f [, + ] > Eor a loáls mmumot a övetezı egyszerősített formulával becsülhetü, ha (65)-be m -t vesszü a özépsı pota: + f [, ] h f f = f [,, + ] f + f + f (66) 3 A apott terácós módszerre fogalmazzu meg ahhoz hasoló tételt, mt amt a Newtomódszerél láttu a loáls overgecára! Megoldás Az egyszerőség edvéért tetsü (65)-be azt az esetet, amor = Az osztott dfferecá tuladoságat haszálva a hbá teredésére próbálu egy összefüggést származtat Vou le mdét oldalból a mmumhelyet adó -ot és legye ε =, ezzel ε ε + ε f [, ] 3 = f [,, ]

87 87 A számlálóba lévı osztott dfferecát átalaítu, haszálva, hogy f [, ] = és az alappoto sorrede az osztott dfferecába tetszıleges: f [, ] = f [, ] f [, ] + f [, ] f [, ] = = ε f [,, ] + ε f [,, ] Beírva a fet formulába és özös evezıre hozva: ( f [,, ] f [,, ]) + ε ( f [,, ] f [,, ]) ε ε3 = f [,, ] A számláló elsı ét taga továbbírva εε f [,,, ] A utolsó ét tag átalaítása cst hosszabb: ( ) ε f [,, ] f [,, ] + f [,, ] f [,, ] = ε ε f [,,, ] + ε ε f [,,, ] Ezeel Legye δ ma { ε, ε, ε } = és ( + ) ε ε ε f [,,, ] ε ε f [,,, ] ε3 = + f [,, ] f [,, ] M (3) ma f ( ) [ a, b] = m f ( ) [ a, b] (67) Felhaszálva, hogy az osztott dfferecá feezhetı a e megfelelı redő derváltaal, apu: ε 3! 3 δ 3! M = δ M (68) Így ε 3 bztosa sebb a három megelızı ε abszolút mamumáál, ha δ M <, vagy másépp δ < / M ehát a apott módszer bztosa overges, ha a három duló pot a mmumhely / M -sugarú öryezetébe va 66 Gyaorlato Bzoyítsu be, hogyha f C [ a, b], f ( a) f ( b ) < és f ( ) em vált elıelet [ a, b] -be, aor ott az f ( ) függvéye csa egy gyöe va A fpottétel alalmazásával mutassu meg, hogy a cos 4 + =, R egyelete egy zérushelye va és -et 4 felıl feezve a fpot terácó mde ezdıértére overges! 3 Az elızı feladatba a gyö mlye öryezetébıl overgál bztosa a Newto-terácó? 4 Oldu meg az f ( ) = / a = egyeletet Newto-terácóval! Mlye ezdıértéere va overgeca? A apott formula érdeesége, hogy cs bee osztás, ame régebbe ülö eletısége volt az osztás mőveletével em redelezı gép artmetába 5 Oldu meg az overgecát! f ( ) = a =, a > egyeletet Newto-terácóval és tsztázzu a 6 Az elızı feladat megoldása alapá észítsü módszert valós szám / a meghatározására, ahol a poztív 7 Mutasssu meg, hogy a 643 ételt módosíthatu úgy, hogy az f ( ) f ( ) > feltételt elhagyu és helyette azt övetelü meg, hogy az elsı lépés utá [ a, b] 8 Mutassu meg, hogy az F( ) = ( f ( )) terácó overgecáa másodredő! f ( ) f ( f ( ))

88 Hegedős: Numerus Aalízs 88 9 Elleırízzü, hogy a Newto-módszer többszörös gyö eseté csa elsıredbe overgál Igazolu, hogy r -szeres multplctású gyöél a vadratus overgeca megmarad, ha a Newto-módszer formuláát a övetezıre módosítu: = rf ( ) / f ( ) + Adott ε potosság elérése érdeébe dolgozzu aa feltételét, hogy mor állítsu le a Newto-módszert M törté a szelımódszerél, ha a 643 étel feltételetıl csa ay a ülöbség, hogy ε >, de ε <? 3 Mor állítsu le a szelımódszert, hogy a megoldás elıírt potosságú legye?

89 89 Néháy specáls esettel folytatu 7 Nemleárs egyelete megoldása II 7 Az tervallumfelezés módszere együ fel, az [ a, b ] tervallum tartalmaz db gyööt: f ( a) f ( b ) < és a függvéy folytoos [ a, b] - be Az tervallumfelezés módszere szert eor megfelezzü az tervallumot és a ét tervallum özül megtartu azt, ahol az elıelváltás megmarad Így az algortmus: f C[ a, b], f ( a) f ( b) < és adott elıírt potosság Idulás: [ a, b ] = [ a, b], = ( a + b) / 3 [ a, ], ha f ( a ) f ( ) <, [ a, b ] = [, b ], egyébét, = ( a + b ) / + 4 Megállás: ha f ( ) =, vagy b a < Ez em túl gyors, de bztos módszer Az elıelváltásból em mdg övetez a gyö léte Godolu az / függvéyre, amor az algortmust és özött dítu 7 étel Az tervallumfelezéssel apott, =,, sorozat elsıredbe overges és b a ε, =,, (7) Bzoyítás A overgeca abból övetez, hogy mdg a gyööt tartalmazó tervallumot tartu meg A hbára mde lépésbe telesül: ez pedg elsıredő overgecát elet 7 A húrmódszer (regula fals) ε + ε, Itt csa ay az eltérés az tervallumfelezés módszerétıl, hogy em az tervallum özepét vesszü,, ( ) b, f ( b ) potora llesztett egyees, más évvel: húr zérushelye a haem az ( a f a ) és ( ) övetezı özlítés: b a + = a f ( a ) (7) f ( b ) f ( a ) Megfelelı feltétele mellett bzoyítható, hogy a húrmódszer overgecáa leárs, így em gyorsabb, mt az tervallumfelezés Még az s megeshet, hogy aál lassúbb Ez törté például olya esetbe, amor a függvéy értée az -tegelyhez özel vaa és az egy végpothoz ( a vagy b ) agyo özel a gyö

90 73 A Newto-terácó többváltozós esetbe Legye f : Hegedős: Numerus Aalízs 9 R R egy -változós leépezés, amelye eressü azt a vetorát, amelyre ( ) ételezzü fel a dfferecálhatóságot, eor az R örül sorfetésbıl özelítve f = f ( ) + f ( )( ) =, (73) ahol most f ( ) = f ( ) / R mátr a redszer u Jacob-mátra -, amelyrıl feltesszü, hogy vertálható (73)-et -re megoldva a övetezı terácót apu: [ ] = f ( ) f ( ) (74) + Ha va megoldás és elég özel vagyu hozzá, aor remélhetü, hogy a többváltozós Newtoterácó overges lesz A módszer azt övetel meg, hogy mde lépésbe elészítsü a derválta mátrát és megoldu vele egy leárs egyeletredszert Mvel ez agyo muagéyes lehet, szoás alalmaz a övetezı egyszerősítést: Elészítü az f ( ) = LU fatorzácót és utáa az egyszerőbb ( ) = + LU f ( ) (75) terácót alalmazzu Ez -dmezóba aa felel meg, hogy lépéseét a dervált értéét em változtatu Az lye módszereet váz-newto módszeree evezzü 74 Polomo gyöe A polomo gyöee meghatározása talá leggyarabba a mátro saátértéee ereséseor ö elı, de eor em érdemes a hatváyösszeg alaot haszál, mert a leárs algabra algortmuso umerusa elıyösebb megoldásoat íála Valóba magasabbfoú polomo eseté a hatváyösszeg reprezetácó p( ) = a (76) em elıyös, mert gép számét ábrázolva az együttható öveedésével egyre bzoytalaabb formácót yútaa a gyöö potos értéérıl Példáa állo tt Wlso sérlete, a az,,,9, gyööel redelezı huszadfoú polomot (76) alaba elıállította, mad vsszaszámolta a gyööet Az eredméy ayra más volt, hogy több omple gyöpárt s apott A eleséget magyarázza a gyöö és együttható összefüggése: például a ulladfoú tag a gyöö szorzata:!, ame a potos ábrázolására messz em elegedı 5 decmáls egy Így a gép számábrázolás folytá so fotos formácó elvész A (76) ala összefüggésbe hozható az u Frobeus-féle sérı mátr-szal, amellyel már találoztu a 73 szaaszba: = a / a a / a F = (77) a / a a / a Az utolsó oszlopa meté fetve öye gazolható, hogy det ( λ ) I F = aλ Ee a a = mátra smerete ét szempotból s haszos Egyrészt mutata, hogy a polom gyöe leárs

91 algebra módszereel ereshetı, amelye a legstablabba tethetı módszere özé tartoza Másrészt rögtö lehetıségü va egy olya örlemez megadására a omple sío, amelybe a polom összes gyöe bee va: < ( δ ) F = ma + a / a = R, ahol δ a Kroecer delta R agyobb vagy egyelı F spetrál sugaráál, am most a polom gyöö abszolút értéee mamuma Megadhatu egy más sebb örlemezt s, amelye ívül va az összes gyö Vezessü be az = / y traszformácót és íru át a polomot y szert Eredméyül egy olya polomot apu, ahol az együttható fordított sorredbe vaa és ee a poloma a gyöe az eredet gyöö recproa Az ú polomhoz tartozó Frobeus-féle mátr sorormáát véve apu: / ma δ + a / a = / r, ahol természetese feltételeztü, hogy a A ét eredméyt ( ) < egybevetve látu, hogy a polom gyöe az örgyőrő tartomáyba esee 9 r R, =,,, (78) A (76)-tal adott polomoál elıyöse alalmazható a Newto-módszer, mert a polom értée és a derválta egy lépésbe egyszerőe számolható Ha például a ξ helye szereté ezeet számol, em ell mást teü, mt a polomot maradéos osztással eloszta ( ξ ) -tel: = ξ + α + β (79) p( ) q( )( ) Köye meggyızıdhetü róla, hogy a helyettesítés érté αξ + β, a dervált pedg α lesz a ξ helye A többszörös gyöö szőrésére alalmazhatu az Euldész algortmust Eor a ét duló polom p ( ) = p( ), p ( ) = p ( ), az + -ed polomot pedg úgy észítü, hogy p ( ) -et osztu p ( ) -szel és a maradéot épezzü: p ( ) = q ( ) p ( ) c p ( ), =,, (7) + A sorozatba a polomo foszáma csöeı, c >, egyébét tetszıleges Az algortmus m lépés utá befeezıd: p ( ) = q ( ) p ( ), p ( ) m m m m Az utolsó polom a ét ezdı polom legagyobb özös osztóa Mvel a dervált polom az -él agyobb multplctású gyööet tartalmazza, így eze a gyöö megelee p ( ) -be Abba az esetbe, amor mde gyö valós és egyszeres, aor az Euldész algortmus olya polomsorozatot észít, amely Sturm-sorozat tuladoságú Legye az a helye a sorozat elıelváltásaa száma V ( a ), a b helye pedg V ( b ), eor megmutatható, hogy az [ a, b ] tervallumba a gyöö száma V ( a) V ( b) m 75 Gyaorlato Készítsü el a (79) osztás algortmusát! Adu meg a polom gyöet tartalmazó örgyőrőt!

92 Hegedős: Numerus Aalízs 9 8 Numerus tegrálás (vadratúra) I Az tegrálo számításaor em mdg smert a prmtív függvéy, vagy ha ge, émely esetbe agyo boyolult, eheze számítható Ilyeor a umerus módszere a ívát potosságú eredméy elıállítására egyszerőbb alteratívát íála A továbbaba az terpolácóból yerhetı vadratúra-formuláal fogu foglaloz Láttu, a függvéy az [ a, b ] tervallumba a övetezı módo állítható elı: f = L + r, (8) ahol L a Lagrage-terpolácós polom és r a hbatag (Feltesszü, az alappoto agyság szert redezette: < és = a, = b ) A vadratúra-formulá származ-tatás elve: ahol az b b b f = L + r = a f ( ) + R, (8) a a a = b a = l ( ) d (83) a súlyo a Lagrage alappolomo tegrálásából adóda Követezméy Az így yert formulá legfelebb -edredő polomg potosa Evdsztás alappoto eseté yerü a Newto-Cotes formuláat 8 Zárt és ylt Newto-Cotes vadratúra formulá 8 Defcó Az alappoto halmaza legye Ω = {,, } Zárt a vadratúra-formula, ha a, b Ω, h = ( b a) /, = a + h, =,,, Nylt a formula, ha a, b Ω, h = ( b a) /( + ), = a + ( + ) h, =,,,, = a, + = b A továbbaba rátérü a zárt Newto-Cotes formulá együtthatóa elıállítására b b ω ( ) a = l ( ) d = d ( ) ω ( ) a a Vegyü észre: = ( ) h és vezessü be ú változót: t = ( a) / h, ahoa = a + th és = ( t ) h, s ezzel a ( t ) háyz t( t ) ( t ) h = hdt = ( ) ( )( ) ( + ) h ( ) t( t ) ( t ) zárt = ( b a) dt = ( b a) B,,!( )! t (84) ahol a zárt, B együttható az tervallumtól függetleül egyszer s mdeorra számítható Hasoló módo yerhetü a ylt Newto-Cotes formulá együtthatót:

93 93 + ( ) ( t )( t ) ( t ) y a = ( b a) dt = ( b a) B,, ( + )!( )! t Az elsı éháy Newto-Cotes együttható: (85) Zárt Nyílt rapéz Értı formula 4 Smpso A táblázatba mde sort oszta ell az együttható összegével, mert az együttható összegée - e ell le Például az 4 súlyo az /6 4/6 /6 valód súlyora utala 8 étel B, = B, = B, (86) =, Bzoyítás Az elsı állítás az f ( ) függvéy tegrálásából adód, haszálva, hogy az tegrál -adfoú polomra potos A másod állítást az y = t ú változóra való áttéréssel yerü 8 Néháy egyszerő tegráló formula Az értıformula (yílt Newto-Cotes): =, B y, = dt, tehát ( ) ( ) a + b I f = b a f (87) Az értıformula úgy s értelmezhatı, hogy a függvéyt [ a, b] -be a özéppothoz húzott értı egyeessel özelítü, és az egyees alatt területet vesszü Ez mutata, hogy legfelebb elsıfoú polomg potos 8 étel, értı formula hbáa Legye c = ( a + b) /, f C [ a, b], eor az értı formulával Bzoyítás A c örül sorfetésbıl b 3 ( b a) f ( ) d = ( b a) f ( c) + f ( η), η [ a, b] (88) 4 a ( c) f ( ) = f ( c) + ( c) f ( c) + f ( ξ ) Itegrálásor az elsı tag ada a özelítı formulát, a másod tag eredméye zérus, így elegedı a hbatagot vzsgál: b R ( f ) = ( c) f ( ξ ) d a

94 Hegedős: Numerus Aalízs 94 Az tegrálszámítás özépértététele szert b 3 b 3 η η a a f ( η) f ( ) ( c) ( b a) R ( f ) = ( c) d = = f ( ) 3 4 A gyaorlatba ezt a formulát em az egész [ a, b ] tervallumra alalmazzu, haem azt m részre osztu, és az egyes résztervallumoba az értıformulával tegrálu Például, ha m = 3 : h = ( b a) / 3 és a három résztervallumra alalmazzu a (87) szabályt A résztervallumo yert eredméye felösszegzésével utu az értıszabályhoz: b m 3 b a ( b a) f = f ( a h / + h) + f ( η), (89) m a = 4m ahol most f ( η) = ( f ( η) + f ( η) + + f ( ηm )), mert a Darbou-tuladoság matt f ezt az m átlagértéet s felvesz valahol a teles tervallumba A trapézformula Elsıfoú polom terpolácóból yert zárt formula: =, B = B = / : ( ) b a I f = ( f ( a ) + f ( b )) (8) 8 étel, trapézformula hbáa z z Legye f C [ a, b], eor b 3 b a ( b a) f = ( f ( a) + f ( b)) f ( η), η [ a, b] (8) a Bzoyítás Az terpolácó hbatagáa tegrála az tegrálszámítás özépérté tételée felhaszálásával: b b f ( ξ ) f ( ξ ) f ( η) 3 R ( f ) = ( a)( b) d = ( a)( b ) d ( b a) = a a A teles tervallumot m részre osztva, a résztervallumo eredméyét felösszegezve yerü a trapéz szabályt: 83 Defcó b 3 b a ( b a) f = [ f ( ) + f ( ) + + f ( m ) + f ( m )] f ( η) (8) m a m Egy vadratúra formulát aor modu -adredőe, ha -adfoú az a legsebb foszámú polom, amelyre a formula már em potos Eszert az értı- és trapézformula másodredő 3 A Smpso formula: másodfoú polom terpolácóból yert zárt formula, =, B = / 6, z z B = 4/ 6, B = / 6 és ( ) b a 6 ( ( ) 4 ( a + b I f = f a + f ) + f ( b )) z

95 95 a + b Az terpolácó maradétagába ω ( ) = ( a)( )( b) szerepel, ee az tegrála [ a, b] - be zérus Ezt legegyszerőbbe úgy tudu belát, hogy [ a, b] -t a [,] tervallumba traszformálu Eor ω ( ) páratla függvéy, amelye az tegrála zérus Ematt a hbatételt az Hermte-terpolácóból származtatu, (4) f ( ξ ) a + b f ( ) = H3( ) + ( a)( ) ( b), (83) 4! ahol az ( a + b) / özéppotba az elsı derváltat s terpolálu Az általáosított osztott dfferecá táblázatára godolva tudu, hogy az terpoláló polom a övetezı alaú: a + b H3( ) = L ( ) + C( a)( )( b) A másod tag együtthatóáa értée em fotos, mert az tegrála az elıbbe alapá zérus, s ezzel H3 = L 84 étel, Smpso-formula hbáa b a b a Legye f C 4 [ a, b] Eor létez η [ a, b], amelyre ahol h = ( b a) / b a b a a + b f ( η) b a f = f ( a) + 4 f ( ) + f ( b) = 6 9 (4) f ( η) 5 = I( f ) h, 9 Bzoyítás Kdulu az Hermte-terpolácó (83) alaából, ahoa tegrálással apu: b (4) f ( ξ ) a + b I ( f ) I( f ) = ( a)( ) ( b) d 4! a (4) 5 (84) Ahhoz, hogy az tegrálszámítás özépértétételét alalmazhassu, az f mellett álló téyezı em lehet egatív Ezt úgy bztosíthatu, hogy ( b) helyett ( b ) -et íru, s így 5 (4) b (4) f ( η) a + b f ( η) b a = = 4! 9 a I ( f ) I ( f ) ( a)( ) ( b ) d Smpso-szabály A teles b a tervallumot páros számú m résztervallumra osztva és a Smpsoformulát a szomszédos tervallumpárora alalmazva apu a Smpso-szabályt, mt összetett formulát Eor három potoét fogu össze a formuláat és az összetett formula: (4) b a (4) h f ( η ) ( ( 5 ) 4 ( ) ( )) f = f + f + f + h = =,3, h h (4) = f ( ) + f ( ) + 4 f ( ) + f ( m ) f ( η ) 3 páros ptla 9 ptla belsı pot A hbatag még tovább írható: (85)

96 Hegedős: Numerus Aalízs (4) 5 h (4) ( b a) f ( η ) ( b a) (4) f ( η ) = = f ( η), (86) ptla 8m m / 8m mvel a Darbou-tuladoság matt va egy η, amelyre a egyed dervált az átlagértéet felvesz 83 Példá d ) Az tegrált az értıszabállyal özelítü Háy osztópotot ell választau, hogy az + tegrált -él sebb hbával apu? Megoldás Azt ell bztosíta, hogy M [,] 3 ( b a) 4m = ma ( + ) = A számoat helyettesítve: 3 M telesülö, ahol b a = és /3 m, így m = 9 megfelel ) Határozzu meg az A, A, A paramétereet úgy, hogy a f ( ) d I ( f ) = A f () + A f () + A f () vadratúra legfelebb másodfoú polomora potos legye! Megoldás Két megoldás s létez Az egy, hogy számítu a elölt tegráloat a Lagragealappolomoal: A = l ( ) d, ahol -et súlyfüggvéye tetü A más módszer szert felíru azt a leárs egyeletredszert, am a potosság öveteléseet tartalmazza A övetezı egyeletredszer elsı sora azt feez, hogy a vadratúra az polomra potos, a másod sor szert az polomra potos, a harmad sor szert pedg az polomra potos: / d = 4 / 3 A / A = d = 8 / 5 4 A / d = 6 / 7 Ee a megoldása: A = 8, A 3 =, A =

97 97 9 Numerus tegrálás, Gauss-vadratúrá II Az eddg, terpolácóból származtatott vadratúra-formulá legalább ayad foú polomra potosa, aháyad foú polomból származtattu ıet A Gauss-vadratúrá abból az észrevételbıl származa, hogy az alappoto specáls megválasztásával a avadratúra-formula rede övelhetı Ismét szüségü lesz az ortogoáls polomora 9 étel, ortogoáls polom gyöe Legye { p ( )} egy ortogoáls polom redszer Eor bármely -re p+ ( ) gyöe valósa, egyszerese és az [ a, b ] tervallumba vaa, ahol [ a, b ] a salárszorzat tegrálás tartomáya Bzoyítás Legyee,,, p+ ( ) páratla multplctású gyöe [ a, b] -be, azaz ott p+ ( ) elıelet vált Ha =, aor a tétel állítása redbe va Ha em, aor dret úto feltesszü: < és megmutatu, hogy az állítás elletmodásra vezet Ehhez tetsü a q( ) = ( )( ) ( ) + -edfoú polomot Mvel + < +, az ortogoaltás matt ( p+, q) = De ezzel elletmodásra utu, mert p+ ( ) q ( ) em vált elıelet [ a, b] -be, mvel p + mde elıelválátását q( ) megszütet és így p+ qα vola Vegyü észre, a godolatmeet aor s ó, ha egyetle páratla multplctású gyö scs, mert eor q( ) -adfoú Az + -potos Gauss-vadratúrát úgy apu, hogy a p+ ( ) ortogoáls polom gyö-helye észítü az terpolácóból származtatott vadratúra-formulát A séma a övetezı: b b b b f α = L α + r α = a f ( ) + R, a = l ( ) α( ) d (9) a a a = a 9 étel, Gauss-vadratúra potossága Legyee a p+ ( ) ortogoáls polom gyöe,,,, a = lα, ahol l az -ed Lagrage alappolom a fet alappotoo Eor a Gauss-vadratúra G ( f ) a f ( ) = = potos mde legfelebb + -edfoú polomra: f P f α = G ( f ) Bzoyítás Az terpolácóból való származatatás matt G ( f ) bztosa potos a legfelebb -edfoú polomora együ fel, f P +, f = p+ q + r, q, r P, így + G ( f ) = a f ( ) = a [ p ( ) q( ) + r( )] = + = = = mde re = a r( ) = G ( r) = rα = (mert -edfog potos) = = ( p q + r) α = (mert q P, így ortogoáls p -re) = f α + +

98 Hegedős: Numerus Aalízs 98 9 Követezméy Az a együttható poztíva Bzoyítás udu, ( ) ( ) övetezésépp a Gauss-vadratúra potos : l = l = δ, ahol δ a Kroecer-delta, α = < l = G ( l ) = a l ( ) = a l ( ) és l ( ) P, Az f ( ) = függvéy tegrálásával most a övetezıt apu az együttható összegére: a = = α = µ, µ = α, ahol µ a ullad mometum Vegyü észre, ez egyelı b a -val, ha a súlyfüggvéy 9 étel, Gauss-vadratúra hbaformuláa Legye + f C [ a, b] és G ( f ) a f ( ) =, ahol az alappoto p ( ) = + gyöe Aor (+ ) f ( η) I ( f ) G ( f ) = ( p+, p+ ), ( + )! (9) tt p+ ( ) -fıegyütthatós ortogoáls polom Bzoyítás Hermte-Feér terpolácóból (amor az terpolácóba a függvéyértée és az elsı derválta vesze részt) apu a övetezı hba-elıállítást: (+ ) f ( ξ ) + f ( ) = H ( ) + ( ) ( ) ( ) ( + )! Ie az tegrálás özépérté-tételée alalmazásával b (+ ) = p + ( ) f ( ξ ) I ( f ) G ( f ) = p+ ( ) α( ) d ( + )! yerü az állítást, mert H ( ) + -re a Gauss-vadratúra potos Megadu éháy -fıegyütthatós ortogoáls polomot: a Név [ a, b ] ( ) α µ α + Legedre [,] Csebsev [,] Laguerre [, ] Hermte [, ] π β p p p /(4 ) / 3 /4, de β = / / e e π / /

99 99 93 Példá Három-potos Gauss-Csebsev vadratúrával özelítü a ( ) meg a hbát! / e d tegrált Becsülü Megoldás A három-potos vadratúráál =, ezt alalmazzu a (9) formuláál: M 6 = e és mvel -fıegyütthatós polomoa ell szerepel, ematt p3 ( ) = 3 ( ) / 4 Így a hba sebb, mt e ( 3, 3 ) /(6 6!) = eπ /(3 7), mert ( 3, 3 ) = π /, (lásd a 74 feladatot) Készítsü el a ét-potos Gauss-Hermte vadratúra súlyat! Elleırízzü, hogy az így apott vadratúra legfelebb harmadfoú polomora potos! Megoldás A ét-potos vadratúráál a másodfoú Hermte-polom gyöe = = Így ( ) µ a = ep( ) d = = µ /, mert az elsıfoú tag tegrála zérus, lévé az ( ) tegradus páratla függvéy Hasolóa adód, hogy a = a A apott vadaratúra potos az 3 függvéyre, mert az eredméy µ Az és függvéyre s potos, mert a ét tag a gyöhelyee a páratlaság matt et egymást Így már csa azt ell gazolu, hogy a potosság a másodfoú p, p = β p, p, polomra s telesül Ee az tegrála a (98) formula alapá em más mt ( ) ( ) / am az elızı oldalo látható táblázat szert egyelı µ / -vel A Gauss-Hermte vadratúra µ eredméye pedg ( + ), tehát gaz az egyezés 3 Határozzu meg a övetezı tegrál értéét: ( + ) d Megoldás A számlálóba szereplı polomot elıállítu az elsı három Csebsev polom leárs ombácóaét: + = c + c + c Ezt felhaszálva az tegrálu így s írható: (, ) (, ) c + c + c = c = c π Az elsı három Csebsev polom együtthatóval a övetezı leárs egyeletredszert írhatu fel (95) alapá: ambıl c =, tehát az tegrál értée π c c =, c

100 Hegedős: Numerus Aalízs Alapfogalma Az Közöséges dfferecálegyelete ( m) F(, y, y, y,, y ) = () alaú egyeletet özöséges dfferecálegyelete evezzü, ahol eresedı az y = y( ) függvéy, mely a fet feezésbe derváltaval együtt szerepel Ha y m -szer dfferecálható [,] -be és elégít ()-et, aor y egy megoldás Ismeretes, a dfferecálegyeletee so megoldásu va A megoldást úgy tudu egyértelmővé te, hogy a pereme még feltételeet teszü a függvéy vagy derváltaa értéére Ha eze feltétele mdegye a ezdıpotba (általáosabba fogalmazva: csa egy potba) va megadva, aor ezdetérté feladatról beszélü, ha pedg több pothoz apcsolóda a feltétele, aor peremérté feladatu va A dfferecálegyelet leárs, ha y és derváltaa leárs ombácóa szerepel ()-be és a dfferecálegyelet eplct alaú, ha a legmagasabb dervált eplct módo feezhetı: ( m) y = f (, y, y, ) () Vlágos, mde leárs dfferecálegyelet ebbe a ategórába tartoz, és a gyaorlatba elıforduló emleárs dfferecálegyelete zöme s lye A továbbaba eplct elsıredő dfferecálegyelete megoldásáa umerus özelítésevel fogu foglaloz, amor ezdetérté feladatról va szó Eor a ezdetérté feladat y() = y, y = f (, y), [,], (3) ahol f : R R, és y adotta, és eressü azt az y :[,] R függvéyt, amely felvesz - ba az y értéet és az egyeletet elégít Az egyszerőség edvéért szortozu a [,] tervallumra, hsze tudu, az [ a, b ] tervallum leárs traszformácóval de átvhetı A megoldás létezésére és egyértelmőségére voatoz a övetezı tétel, melyet bzoyítás élül dézü étel, a ezdetérté feladat egyértelmősége Ha f folytoos egy (, y) [,] [ c, d] téglá és f a másod változóa szert eleget tesz a Lpschtz-feltétele, azaz létez L : f (, y ) f (, y ) L y y, [,], y, y [ c, d], (4) aor a ezdetérté feladata egyértelmő megoldása va A umerus elárás sorá a megoldást az umerus özelítést -be legye a potos értéhez, y( ) -hez Az Euler-módszer = h osztópotoba özelítü, ahol h = / N és a y -el elölü ermészetese azt szereté, hogy y mél özelebb Ez a legegyszerőbb módszer, amt a dffereca-háyadosból származtatu a övetezı özelítı érté elıállítására: y + y h = f (, y ) y = y + hf (, y ) (5) +

101 Példa: y() =, y = y Ee a megoldása y aalízsbıl tudu, hogy y = ( + h) = ( + / ) e 3 Defícó, overgeca = e és (5)-bıl y ( ) h = + Ha, aor az Egy umerus módszer loálsa overges az [,] potba, ha h = /, = mellett lm y = y( ) telesül Ha a módszer overges [,] -re, aor azt modu, a módszer overges 4 Defícó, overgeca-sebesség Egy overges umerus módszer sebessége p -edredő, ( p), ha h = /, = mellett M úgy, hogy az hbabecslés telesül, ahol M függetle h -tól és -tıl 5 Defícó, loáls hba v éplethba p y( ) y Mh (6) Ez aa a éplete a hbáa, amellyel a övetezı függvéyértéet özelítü Ilyeor a épletbe mdeütt a potos értéet íru Például az Euler-módszerél a meysége a loáls hbá vagy éplethbá 6 Defícó, ozszteca Ha p és M ostas úgy, hogy aor a módszer p -edredbe ozsztes g = y( ) y( ) hf (, y( )), =,,, N (7) p+ g Mh, =,,, N (8) A defcó alapá vlágos, agyobb p -re potosabb megoldás várható 7 Defcó, globáls hba Jelöle a potos és umerus megoldás eltérését e = y( ) y, =,,, N, h = / N, = h (9) Az e meységeet globáls hbáa evezzü 8 Defcó, stabltás A umerus módszer stabl, ha va olya K ostas, amellyel e K e + g, =,, N () = telesül, vagys a globáls hba felülrıl becsülhetı a loáls hbá abszolút összegével

102 9 étel, umerus módszer overgecáa Hegedős: Numerus Aalízs Ha egy umerus módszer stabl és p -edredbe ozsztes, aor p -edredbe overges Bzoyítás Ha =, aor a tétel gaz Ha (,], legye h = /, = -re Elıször a stabltás, mad a ozszteca defcóát felhaszálva p+ e K e + g K ch = = p+ p p Kch Kc( h) h ( Kc) h, ahol e = y( ) y = Ezzel p -edredő overgeca-sebességre utottu Az Euler-módszer vzsgálata Látu, az Euler-módszerre a ozsztecát és stabltást ée megmutat ahhoz, hogy a overgecát gazolu étel, ozszteca Az Euler-módszer elsıredbe ozsztes, vagys folytoosa dfferecálható Bzoyítás etsü a loáls hbát az -ed potba és y( + ) ematt g g = y( ) y( ) hf (, y( )) = + h = y( ) + hy ( ) + y ( ξ ) y( ) hy ( ),! = O( h ) telesül, ha a megoldás étszer -et fetsü sorba az hely örül: tehát p + =, p =, elsıredő a ozszteca h h g = y ( ξ ) y,!! étel Az Euler-módszer stabl, ha f eleget tesz a másod változóa szert a Lpschtz-feltétele Bzoyítás Vegyü az -ed potba a loáls hba épletét, a módszer épletét és vou ıet egymásból: y( ) = y( ) + hf (, y( )) + g /( + ) + y = y + hf (, y ) /( ) + Mvel f eleget tesz a Lpschtz-feltétele: Fetsü vssza a reurzót e -g: e = e + h[ f (, y( )) f (, y )] + g + ( ) e+ e + h f (, y( )) f (, y ) + g e + hl + g

103 3 ( ) ( ( ) )( ) e e + hl + g e + hl + g + hl + g + + = ( ) ( ) ( ) ( ) + hl e + + hl g + g + hl e + + hl g, ebbıl megapu a ívát becslést, ha felhaszálu az ( ) hl L e e e e g e e g L L L + + = + = = + hl e = e e relácót: A továbbaba rátérü éháy fotosabb módszercsalád rövd smertetésére 3 aylor-polomos módszere Az Euler-módszer em egyéb, mthogy vesszü a függvéy elsıfoú aylor-polomát örül és aa segítségével lépü a övetezı potba Ebbıl az ötletbıl dulva észíthetü magasabbredő módszereet s A övetezı módszert m -edredő aylor-polomos módszere evezzü: ( m) + m y = y + y ( ) + + y ( ) h / m!, =,,, N () Fotos érdés, egyáltalá számítható-e eze a derválta Ha f elegedıe soszor dfferecálható, ee elv aadálya cs Soszor azoba súlyos gyaorlat ehézség, hogy a derválta agyo hosszú, eheze ezelhetı formuláat eredméyeze A ostrucóból látható, m - edredbe ozsztes módszerre vezet a fet elárás 4 Ruge-Kutta módszere Eze a aylor-polomos módszere fet ehézségét üszöböl : em ell magasredő derváltaat számol, a magasabb ozszteca-red reurzív függvéyhívásoal s elérhetı Az általáos ala: = f (, y ), = f ( + ha, y + hb ), = f ( + ha, y + h b ), =,,, s, l l l= y = y + h c + = s L () Az elıre számolt a, b, c paramétere határozzá meg a orét módszert Az s szám a reurzó mélysége, más szóval: az egy lépés megtételéhez szüséges függvéyhíváso száma A övetezı, ú módosított Euler-módszer Ruge-tıl származ: = f (, y ), = f ( + h /, y + ( h / ) ), y = y + h + (3) Derválással megmutatható, hogy másodredbe ozsztes Hasolóépp másodredő a övetezı Ruge-Kutta módszer, amelyet az egyszerősége matt egy sorba íru fel: h y+ = y + [ f (, y) + f ( +, y + hf (, y))] (4)

104 Hegedős: Numerus Aalízs 4 Az ge épszerő egyedredő Ruge-Kutta módszer egyedredbe ozsztes és stabl, vagys egyedredő overges módszer: A Ruge-Kutta módszere loáls hbáa: = f (, y ), = f ( + h /, y + h / ), = f ( + h /, y + h / ), 3 = f ( + h, y + h ), 4 3 h y+ = y + ( ) 6 s g = y( ) y( ) h c (, y( ), h), =,, N, = (5) (6) ahol (, y( ), h) azt elet, hogy a sorozatot a potos y( ) értéel dítva számolu végg Egy adott red eléréséhez a loáls hbát sorbafetü és a paramétereet úgy választu, hogy a tago mél magasabb redg eltőee 5 Leárs többlépéses módszere Eze s az Euler-módszer általáosításáa tethetı Az s -lépéses módszer általáos alaa: s s α y = h β f, f = f (, y ) (7) = = ahol α, β, =,,, s adotta, α s = valamt α + β telesül Például az Euler-módszerre s =, α =, α =, β =, β = A módszer dításához az y értéé túl ellee még az y, y,, ys értée Ha β s =, aor a módszer eplct és öye számolható Ha βs, aor a módszer mplct és a övetezı y + s érté az adódó emleárs egyeletbıl számítadó Vegyü észre, az eplct módszerél mde lépésbe egy ú f (, y ) típusú függvéy-értéelés ell, (mvel a több már orábbról megva), ugyaaor az mplct módszerél még ügyes esetbe s legalább -3 értéelésre szüség va A modottaat ét egyszerő példá szemlélteü Középpotszabály Eplct, -lépéses módszer, a cetráls dfferecaháyadosból származtatható: y+ = y + hf, =,,, N (8) tehát α =, α =, α =, β =, β =, β = Bebzoyítható, hogy a módszer másodredbe ozsztes és stabl, ha f a másod változóába eleget tesz a Lpschtz-feltétele A özéppotszabály dításához legalább másodredőe potos y értéet ell elıállíta, amt megtehetü valamely Ruge-Kutta vagy aylor-polomos módszerrel, ülöbe a másodredő overgeca em lesz gaz rapézszabály Ez mplct módszer Úgy származtatható, hogy a dfferecálegyeletet átíru tegrál alaba és a obb oldalo eletezı tegrált a trapézmódszerrel özelítü: így az h y+ = y + ( f + f+ ), =,,, N (9) s =, α =, α =, β = β = / Itt a övetezı pot elıállításához meg ell oldau y -ra h y = y + ( f + f ( + h, y) ) = F( y)

105 5 fpot egyeletet F( y ) az általáos feltételü alapá eleget tesz a Lpschtz-feltétele hl / álladóval, így F( y ) otracó, ha h < / L Célszerő formáa az terácóa: + = + y y hf + Leállás: ha y y ε ( q) + +, ezdıérté az Euler-módszerbıl ( ) + h y+ = y + f + f ( +, y+, <, ahol q a overgeca-téyezı és ε a ívát hbaorlát () A trapézmódszer másodredbe ozsztes és stabl, ha másodredő overgecára számíthatu f C ([,] R ) és h < / L, tehát eor ovább többlépéses módszereet a zárt vagy a obbról ylt vadratúra-formulá segítségével lehet származtat 6 Aszmptotus stabltás A gyaorlat számításo szempotából em elegedı, ha egy módszer ozsztes és stabl A ezdet hba ( - ha y s hbával terhelt, -) továbbteredése szempotából fotos egy tovább stabltás tuladoság Egy dfferecálegyelet-megoldó umerus módszer aszmptotusa stabl, ha az y() =, y ( ) = q y( ), q < () tesztfeladatra alalmazva a apott umerus özelítése sorozatára mde h > lépésöz eseté feáll y, ha Ezt a stabltás fogalmat a szarodalom gyara A -stabltása evez A tesztfeladat megoldása öveedésével zérushoz tart: y( ) = e,, mvel q egatív Így a defcó azt övetel a módszertıl, hogy a lépésöztıl függetleül a umerus megoldás s tartsa meg ezt a lecsegı elleget Kmutatható, az Euler-módszer em aszmptotusa stabl, de a trapézmódszer az q