UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE"

Átírás

1 Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa adutus Végzős hallgató: Csomai Adrás Kolozsvár, 003

2 Uleyomato felismerése BEVEZETŐ A biometria és az azoosítástechia az utóbbi évtizedbe egyre agyobb teret hódít. Egyre több biometriai egy megbízhatósága és egyedisége bizoyított. A legelteredtebb és a legagyobb hagyomáyoal redelező azoosítási forma azoba továbbra is az uleyomat-vizsgálat. A rimiológiai felhaszálási lehetőségeet em ell ecsetelü, azoba legalább eyire léyeges a polgári, eresedelmi célú azoosítástechiai eletősége pl. Olie Baig, beléptető redszere. A töéletes uleyomat-felismerő redszerre azoba még vári ell. Jele pillaatba egyetle 100 százaléosa megbízható redszer sem műödi. Természetese a utatáso ige itezíve folya, ele muába mi is megíséreltü hozzááruli a terület felődéséhez. Célu a létező uleyomat-felismerési eláráso átteitése, redszerezése, valamit egy úabb módszer idolgozása volt. A dolgozatot is ee megfelelőe struturáltu, azaz az első feezetbe magát a biometriát defiiálu, mad részletese ismertetü az uleyomat tuladoságait, a felismerésbe alapvető szerepet betöltő loális miutia és globális delta, mag egyeet és a lasszius osztályozási formáat, melye a atalogizálás megöyítését szolgálá. Itt ap helyet a szairodalomba megeleő eláráso és módszere ismertetése. A ét alaptechiát, a biarizáláso alapuló, illetőleg a diret szüreáryalatú felismerési elárásoat részletebe meőe tárgyalu. A moder uleyomat-felismerést automatizált redszere végzi, melye alapvető fuciói az uleyomatép miőségi avítása, osztályozás, az azoosításba haszált egye meghatározása feature extractio, az adato tárolása valamit az összehasolításo megvalósítása. Az általu avasolt redszer strutúráa ezzel azoos. Ee megfelelőe az első lépést számura is a másodi feezetbe bemutatott épmiőség-avítási elárás eleti. Egy orszerű techiát alalmazu, apróbb változtatásoat eszözölve, az A.K. Jai és S. Paati szerzőpáros által ifelesztett Gábor szűrős elárást. A módszer egy olya adaptív aizotropius szűrőt haszál, mely magvát a loális redőfrevecia- és orietációparaméteree megfelelőe folyamatosa állítu. Az általu eszözölt változtatás a legeletősebb paraméter, az orietációép meghatározására tered i. A másodi lépés az uleyomato osztályozása, mely tuladoéppe a eresése öyítését és az adatbázis felosztását szolgála. Eze folyamatot a harmadi feezetbe

3 Uleyomato felismerése 3 ismertetü. Az osztályozás alapát az uleyomato található redő mitázata épezi. A mitázato ábrázolását a redő iráyaia függvéyébe végezzü. Az osztályozást egy általu épített, a hiba hátrateredésée módszerével taított többrétegű perceptro valósíta meg. Az uleyomato összehasolítása, mit ez a egyedi feezetből iderül, a loális egye azaz miutiá alapá törtéi. Az összehasolítás legagyobb problémáát a rotációés traszláció- ivariacia épezi. A eleleg alalmazott redszere túlyomó többsége a globális egye alapá igyeszi esztimáli az említett paramétereet, és ee függvéyébe orrigála a épet. Ez azoba a redszere megbízhatóságáa csöeéséhez vezet. Ezzel szembe mi avasoltu egy alteratív módszert, mely em tesz ísérletet a rotáció és traszláció mértéée meghatározására, haem egy olya reprezetálási formát alalmaz, mely eze paraméterere ézve ivariás. Az említett ábrázolási mód, em más, mit egy szimbólumsorozat, mely alapát a ülöböző miutiáat összeötő szaaszo hossza és az eze által bezárt szög épezi. Az így apott szimbólumsorozato összehasolítása azoba omputacioális szempotból ige öltséges, ezért ifelesztettü egy gyorsított összehasolító algoritmust, melyet szité a egyedi feezetbe ismertetü. A dolgozat előbb említett feezeteibe csupá az eláráso elméleti hátterét tárgyalu, a gyaorlati megvalósításoat a programozói doumetációba taglalu. Eélfogva az ötödi feezet szerves része a dolgozata. A szűrési techiá megvalósítása, valamit a többrétegű perceptro taítási algoritmusáa ismertetése mellett a már említett gyorsított összehasolító algoritmust is részletezzü. Ugyacsa ebbe a feezetbe apott helyet a avasolt továbbfelesztési módo és lehetősége ismertetése. Összegezve az elmodottaat, sierült létrehozu egy rotáció és traszláció ivariás, redívül rossz miőségű uleyomatoal is dolgozi épes, automatizált uleyomat-felismerő redszert.

4 Uleyomato felismerése 4 1. BIOMETRIKA ÉS AZ UJJLENYOMAT-FELISMERÉS 1.1 BIOMETRIKA A biometria az egyé bizoyos fiziológiai illetve pszichológiai ellemzőie mérését eleti. Ez főét azoosítási céloat szolgál, ezért a biometria lassa összeolvad az azoosítástechia fogalmával. A mérésebe felhaszált egye sáláa ige széles: atropológiai ellemző csotozat, testfelépítés, opoyaforma, stb., írisz, testillat, DNS, arc, hag, fülcimpa, talp, gépelési diamia, aláírás, mozgás-aalízis, stb. [4]. Egy biometriai azoosító redszer több fucióval redelezi, legfotosabba a ellemző mérése valamilye szezor segítségével, a speciális ellemző ivoása eze alapá döthető el ét mita azoossága, és összehasolítás ét ülöböző mitáról eldöti, azoosa e. A biometriai azoosítási redszere egyre agyobb teret hódítaa, polgári célú alalmazásu egyre agyobb beléptető-redszere, bai azoosítási redszere, stb.. Az uleyomat a legiább elteredt, és a legszélesebb örbe elfogadott biometriai egy. Világszerte mide bűüldözési és ítélethozó szerv elfogada az uleyomatot bizoyítéét, a polgári célú felhaszáltsága is az uleyomata a legagyobb. Több érv szól e szélesörű felhaszálás mellett, többe özött az egyediség, az érzéelés egyszerűsége, időbei álladóság. 1. TÖRTÉNELMI ÁTTEKINTÉS Az uleyomato azoosítás célából törtéő felhaszálása meglehetőse agy múltra teit vissza. Az óori Babilóiába agyagtábláo találta hitelesítő leyomatoat, Kíába pecsétee, Perzsiába hivatalos papíroo. A moder uleyomat-vizsgálat dactyloscopia alapait Sir Fracis Galto helyezte le Figerprits című muáába 189-be. Ő volt az első, ai felismerte az uleyomato egyediségét még az egypetéű ire uleyomatai is ülöbözőe valamit időbei álladóságát az uleyomat mitázata még a születés előtt ialaul és a baleseteet leszámítva az egyé haláláig em változi. Az uleyomato azoosítására ő vezette be a miutiá fogalmát [1,], eze az úgyevezett loális ellemző, melye tuladoéppe a mitázato található egye, úgymit a végződés és a bifuráció.

5 Uleyomato felismerése 5 1. ábra: Miutiá: végződés és bifuráció Ő volt az első uleyomat-osztályozási redszer megalotóa is be Agliába és Walesbe bevezetté az uleyomato azoosításáa bűüldözési célú alalmazását. Az alalmazott osztályozási redszer észítőe Sir Edward Richard Hery, ai Galto módszerére építette saát redszerét. Az agol yelvű államoba agyrészt még midig ezt a redszert haszálá. 1.3 STRUKTURÁLIS VAGY GLOBÁLIS JEGYEK Eze a egye első ráézésre megállapíthatóa, azoosításba em, csa az osztályozásba va szerepü [1,]. Ide tartozi az uleyomat redőie mitázata ésőbb ifetve, valamit a mag illetőleg özép és delta pot. A magpot, agyából az uleyomat özepé található, a redővoala ebbe a potba megözelítőleg 180 foos ayart íra le. A delta pot ellegzetessége, hogy a redővoala Y betűhöz hasoló hármas ereszteződésbe találoza.. ábra: Delta és magpot az uleyomato

6 Uleyomato felismerése 6 Ide tartozi még a redőszám, ami em más mit a delta és magpotoat összeötő épzeletbeli szaaszt metsző redő száma. So esetbe ez em egyértelműe meghatározható. A meghatározást ehezítő téyező lehete a mag illetve deltapot hiáya esetleg eze többszörös eleléte. Még az ideális esetbe egy mag és egy deltapot sem midig egyértelmű a redőszám, ezért általába + /- voalas eltérést egedélyeze. 1.4 OSZTÁLYOZÁS Az osztályozás céla a redszerezés és a visszaeresése megöyítése és gyorsítása. A Hery Osztályozási Módszer Hery Classificatio System [3] alapát égy csoport épezi, eze az ív, csigavoal, obb és balhuro: 3. ábra: A legfotosabb uleyomat típuso: ív, csigavoal, huro A Hery Osztályozási Redszer természetese eél soal boyolultabb, ee ismertetésére most em térü i. Egy or- és egyszerűbb módszer az NCIC osztályozás. Ez a módszer is a struturális egyeet alalmazza, mide egyéhez hozzáredele egy húszegyű aratersorozatot, mide uat ét arater szimbolizál, ami a típus óda illetőleg huro vagy csigavoal eseté a redőszám. Más típuso esetébe ez azért em relevás, mert egyrészt hiáyozhat a delta illetőleg magpot, vagy aár ettő is lehet belőlü. 1.5 UJJLENYOMATOK ÉRZÉKELÉSE Alapvetőe ét esetről beszélhetü, az egyi az amior a vizsgált alaytól veszü mitát, a másodi az úgyevezett lates uleyomato érzéelése. A lates uleyomato a ülöböző tárgya éritése folytá a tárgy felületé maradó, szabad szemmel em feltétleül érzéelhető yomato, melyeet ülöböző módszereel tesze láthatóvá. Ha egyeese az alaytól veszü mitát, ét alapvető lehetőségü va, az egyi a lasszius titaleyomat az uat pecsétpárára mad papírra yomu mási pedig a live-sca egy speciális

7 Uleyomato felismerése 7 optical frustrated total iteral reflectio szeer segítségével. A titaleyomat agy hiáyossága, hogy az uleyomat egyes részei elmosóda, a redő özé befolyt tita is orrumpálhata a végeredméyt, álredőet épezve. 1.6 AUTOMATIZÁLT FELISMERŐ RENDSZEREK. A ülöböző osztályozási eláráso egyszerűbbé teszi ugya az uleyomat visszaeresését, de egy agyobb adatbázis esetébe pl a F.B.I <<Federal Bureau of Ivestigatio>> adatbázisa 7 millió leyomatot tartalmaz, ez még em elég. Szüség volt a eresése automatizálására. Egy automatizált uleyomat-felismerő redszer AFIS- Automated Figerprit Idetificatio System legfotosabb feladatai özé tartozi az uleyomat típusáa meghatározása, tárolása és beazoosítása [4,5]. Lehet polgári vagy bűüldözési ellegű. Futószalagét is felfogható. Első lépés az uleyomat bevitele vagy érzéelése lásd ésőbb, mad a ép miőségi avítása a beviteli eszözö hiáyosságai által oozott torzuláso iüszöbölése, a globális ellemző megállapítása és osztályozás, a loális ellemző miutiá loalizálása, mad a feladata megfelelőe az adatbázishoz csatolás illetőleg összehasolítás a már létező bemeeteel. Az uleyomato tárolására ét alapvető módszer létezi, egyi a teles értéű, melye sorá a teles felvételt tárolá, mási pedig az iformációvesztéses, amior csupá a loális ellemzőet illetőleg eze ódolt formáát tárolá. Az iformációvesztéses tárolási módszer esetébe a leyomat reostrucióa telességgel lehetetle [6]. Képmiőség avítás és miutia loalizálás. A épmiőség avítás az egyi legmeghatározóbb lépés, hisze a bemeeti adato megbízhatósága az egyi legbefolyásolóbb téyező. Alapvetőe ét módszert ülöböztethetü meg: a biarizáció-véyítást valamit a diret szüreáryalatú direct grayscale avítást. A biarizáció-véytás [8, 9] módszer is több lépésből áll. Redszerit az első lépés valamilye szűrő alalmazása, a szeyeződése pl. só-bors eltávolítása végett. Ez lehet egy egyszerű Gauss, vagy Wieer. Másodi lépésbe erül sor az adaptív hisztogramm iegyelítésre, mely céla a otrasztövelés illetőleg a megvilágítás változéoyságáa megszűtetése. A iegyelítést általába 11x11 ablaoba loálisa végzi. A otrasztövelése öszöhetőe egyes elmosódott éprészlete hagsúlyosabbá, öyebbe érzéelhetőé vála.

8 Uleyomato felismerése 8 Megegyezzü, hogy az első és másodi lépés sorrede az igéyee megfelelőe felcserélhető. A Gauss szűrés em más, mit egy diszrét Gauss mag ovolúcióa az eredeti éppel. A diszrét Gauss mag épzését a.5 feezetbe tárgyalu. Mit is elet tuladoeppe a ovolúció. Legye egy szüreáryalatú ép az Im, mátrix, melye egyes elemei a pixele itezitását eleti. A diszrét Gauss mag egy égyzetes mátrix, elöle ezt G g, g, ahol g a Gauss mag mérete. Legye t g a mátrix elemeie összege, azaz: t g = g g i= 1 = 1 G i, 1.1 A ovolúció sorá az I ép mide egyes pixelée értéét megváltoztatu, a öryezetét figyelembe véve: g g 1 I i, = I i +, + l G + g, l + g 1. t g = g l= g A Wieer szűrő, a Gauss hoz hasolóa a öryezetet figyelembe véve származtata a vizsgált pixel ú itezitásértéét. Egy adott Ii, pixel öryezetét alotó x ablaba az abla özéppota i, iszámítu az itezitásértée szórását és várható értéét, legye ez σ és µ. A szemét feltételezett szórása legye υ. Eor a szűrés eredméyeépp apott W ép a övetezőéppe számítható: σ υ W i, = µ + I i, µ 1.3 σ Az adaptív hisztogramm iegyelítés, ugyacsa a öryezetet figyelembe véve határozza meg az ú itezitásértéeet, de az előbbi szűrőtől eltérő módo, em redelü mide egyes pixelhez egy ablaot, haem a épet idításor felosztu x méretű ablaora, és a változtatásoat eze ablao szité, loálisa végezzü. A művelet céla, hogy az egyes pixelitezitáso eloszlása mide ablaba egyeletes legye. Az itezitáso tuladoéppe 0 és 55 özött vehete fel értéeet. Legye egy itezitásszit, 0 55, a iválasztott ablaba található itezitású pixele számát elöle, az abla pixeleie száma, eor egy itezitáshoz hozzáredelt s ú itezitásérté :

9 Uleyomato felismerése 9 s = = Tehát mide itezitású pixel itezitását s ra cserélü. A harmadi lépés lee a biarizáció, melyet szité adott méretű ablaoba loálisa végzü, a éplet egyszerű, a iválasztott régióba megeressü az itezitáso várható értéét, mide eél agyobb itezitású éppot fehér, mide eél alacsoyabb itezitású pedig feete lesz. Tehát legye Nw,w egy w x w abla az Im, szüreáryalatú épbe. A 0 itezitás a feete, a 55 a fehér megfelelőe. Legye az N ablaba az itezitáso várhatóértée µ. Eor a B biáris ép, az I-hez hasolóa ablaoból épül fel, egy adott N e megfelelő B w,w abla pixeleie iszámítása: 55, ha N i, > µ, B i, = 1.4 0, ha N i, µ, Elméletileg a biarizáció utá apott épe mide redőhöz tartozó éppot feete és mide völgyhöz tartozó éppot fehér. Követezi a véyítás. Ee céla, hogy a több pixel vastagságú redővoalaat reduála egy 1 pixel vastagságú voallá. Több elfogadható eredméyt produáló véyító algoritmus létezi, de többségü ige lassú és torzít. 4. ábra: A feldolgozás fő lépései: eredeti, hisztogramm-iegyelített, biarizált és véyított ép A biarizáció és véyítás sorá ige so torzulás eletezi az uleyomatépe, legellegzetesebb a híd és a szaadás. Eze avítására egy ú. morfologius szűrőt alalmaza. Híd mide olya rövid redővoal mely összeapcsol ét redővoalat és özel merőleges a domiás redőiráyra. A hida maximális hosszúságát empiriusa 10 pixelbe állapítottá meg. A szaadás em más, mit ét végpot, melye egy adott empiriusa 15 pixelbe megállapított átmérőű örö belül vaa, és összeötésü egy, a domiás

10 Uleyomato felismerése 10 redőiráyal párhuzamos szaaszt eredméyez. A tuladoéppei szűrés az így azoosított hida törlése és szaadáso itöltése. Természetese eze hibá detetálásába egy megfelelőe taított euroháló is redívül ó eredméyeet mutathat. Erre a célra több euroális háló modellt is haszála, a legegyszerűbb MLP azaz többrétegű perceptro modell lásd 3.1 feezet. A taításhoz szüséges adatbázist valódi és hamis miutiáat ábrázoló éprészleteből építi fel. A miutia öryezetét is tartalmazó éprészlete lehete egyszerű égyzetablao, de haszála ör és ellipszis alaú ivágásoat is az ellipszis a leghatéoyabb. A miutiá valódiságát humá szaértő segítségével döti el, az adatbázis mide elemét ee megfelelőe címézi. A taításhoz örülbelül ily módo alotott éprészletre va szüség. Megegyezzü, hogy hasoló módszerrel megísérelté a miutiá fölfedezését a még avítatla szüreáryalatú ép esetébe, de eze a megözelítése még em hozta igazá bíztató eredméyeet Maio-Maltoi. 5. ábra: A leggyaoribb hibá a véyított épe: szaadás és híd A miutiá meghatározása a avított, véyított ép alapá törtéi, miutia mide olya redőpot, melye va legalább három, egymással em szomszédos redőpot szomszéda bifuráció illetőleg melye csupá egy redőpot szomszéda va végződés. A fet említett módszere több hiáyossága is va. Elsőét említeém a lassúságot. Mit látható, a folyamat so lépésből áll, eze özül a véyítás foozotta időigéyes. Ugyacsa a véyítás fogyatéosságaia egyees övetezméyei a miutiapoto helyeie torzulása, a em sierese detetált szaadáso és hida oozta hamis miutiá agyszámú eleléte. Végöveteztetését leszögezhetü, hogy a biarizáció-véyítás techia csupá ó miőségű uleyomatépe biztoságos feldolgozására alalmas. A diret szüreáryalatú feldolgozási módszer [8, 9, 1, 13, 14] szité egy többlépéses folyamat. Első lépés a ép ormalizálása. Másodi az orietációép meghatározása. Az orietációép potai tuladoéppe a loális domiás redőiráyt eleti. A harmadi a freveciaép, melye potai a loális domiás redőözi távolságot eleti. Eze iszámítására is több techia létezi, ezere a övetező feezetbe itérü. A

11 Uleyomato felismerése 11 tuladoéppei szűrés csa ezutá övetezi, erre a célra Gábor lásd 3. feezet vagy más aizotropius szűrőet alalmaza, melye magvát a már iszámított frevecia és iráyparaméteree megfelelőe alaítá. Az elárás előye, a redívül agy toleracia a rossz épmiőségre ézve. Hátráyét megemlíthetü a lassúságot. A tuladoéppei szűrése a legagyobb a számítási igéye, ez telesítméyvesztéssel émileg iüszöbölhető ha előre legeerála egy a Gábor szűrő értéeit megözelítő szűrőből álló halmazt. Ez a próbálozás csa aor gyorsabb, ha relatív isszámú szögre geerálá le a szűrőet, ellebe pot ez oozza miőségbeli hátráyát. 6. ábra:a Gábor szűrő eredméye: eredeti és feldolgozott ép Létezi egy gyors és meglehetőse megbízható módszer, a Maio és Maltoi által idolgozott redőövetéses miutia-meghatározás. Az elárás léyege, hogy a szüreáryalatú épe megeresi a redőet, mad ezeet övetve megeresi a miutiáat. Első lépésbe meghatározzá az uleyomat orietációépét, mad azo egyszerű ieletésből iidulva, melyszerit a redő azo poto sorozata, melye a redőiráy meté loális maximumo, feltérépezi a redőet. Az így apott potoat összeötve megapu a redő poligoiális özelítését. Eze utá a miutiá meghatározása triviális. Megegyezzü, hogy a módszer azért em eyire egyszerű, és a ép miősége agyo agy mértébe befolyásola az algoritmus eredméyességét. Osztályozás Mit már orábba említettü, az osztályozás céla az adatbázisba való eresés egyszerűsítése. A többféle létező osztályozási redszer özül, a leggyarabba haszált a Hery-féle csoportosítás csigavoal, ív, sátor-ív, bal és obbhuro. A ülöböző

12 Uleyomato felismerése 1 alalmazáso ige agy hibaszázaléot mutatta a ét ívtípus megülöböztetéséél, eélfogva a legtöbb esetbe ezeet egy csoporta teiti. Több szempotot illetve ellemzőt is figyelembe vehetü az osztályozásál. Eze a redőiráyép, a delta és magpot, szimmetriategely. A legegyszerűbb osztályozási redszere alapvetőe a delta és magpot valamit a szimmetriategely iformációat veszi figyelembe. Az osztályozási séma relatív egyszerű: ét magpot eseté egyértelmű a csigavoal, delta és magpot hiáyába egyértelmű az ív, egy delta és egy magpot hurot elet, az iráy eldötésébe segít a szimmetriategely. A módszer ehézsége és fogyatéossága a delta és magpot helyes meghatározásába áll. Azoba az esetebe, ha az uleyomatép em teles, és valamely ellemző pot hiáyzi a épről, egyértelmű a hibás osztályozás. Egy megbízhatóbb alteratíva az orietációép elemzése. Erre a célra a legmegfelelőbb eszöz egy euroális háló. Az optimális megoldás a ét módszer ötvözete. Maio és Maltoi idolgozott egy alteratív megoldást [10], mely tuladoéppe egyet sem haszál a fet említett ellemzőből. Módszerü léyege, hogy bizoyos redővoalellemzőet figyelembe véve, régióra osztá az uleyomatépet, a régióa megfelelőe felépítee egy súlyozott gráfot. Empirius módszereel megalottá a ülöböző osztályo ősgráfmitáit, mad egy iegzat gráfillesztési algoritmussal vizsgálá az osztályozadó uleyomat valamit az ősmitagráfo hasolóságát, és ez alapá törtéi a csoportosítás. Összehasolítás Az összehasolítás céla ét uleyomat bemeeti és adatbázisba tárolt eseté aa eldötése, hogy ugyaattól az egyétől származa e vagy sem. Tuladoéppe meg ell határozu egy olya teret, melybe az uleyomato ülöbözősége mérhető. Alapvető övetelméy, hogy a redszer rotáció és traszláció ivariás legye a méretivariacia elhayagolható. Más omoly problémá is felmerüle az összehasolítás folyamá, eze a hamis miutiá, a valódi miutiá hiáya, valamit a bőr elaszticitása oozta torzulás. Hamis miutiáa evezzü az olya egyeet, melye a bőrö található szeyeződése vagy vágáso miatt eleteze. A szeyeződése a redő özé erülve, ét hamis elágazást, a vágáso pedig mide metszett redő esetébe ét végződést eredméyeze. Ha uleyomatot veszü, tuladoéppe az u háromdimeziós felületét ét dimezióba vetítü. A bőr elaszticitásáa öszöhetőe, a leyomat ülöböző mértéű yomás eseté ülöböző mértébe torzul. Eredméyépp egyes valós miutiá em a ei

13 Uleyomato felismerése 13 megfelelő pozícióba eleteze. Az előbb említett hibá iüszöbölésére is több módszer létezi. A hamis-valódi miutia érdés eldötésére az előző alfeezetbe már taglalt eurohálós megözelítés a legelfogadottabb módszer. A bőrelaszticitás iüszöbölésére egy lehetséges módszer a Kovács-Vaa Milós Zsolt [7] által avasolt háromszögeléses elárás, de bármely módszer átalaítható, ha az összehasolításál egy bizoyos toleraciaszitet egedélyezve, a miutia-oordiátáat itervallumét ezelü. Léteze olya redszere is, melye em haszálá a loális ellemzőet, eze eredméyei még em biztatóa, megbízhatóságu agyba függ a bemeeti épe miőségétől, ezért csupá a lasszius megözelítést részletezzü. A legtöbb uleyomat-felismerő redszer a övetező háromlépéses sémára épül: 1. Egy refereciapot valamit a rotáció és traszláció mértéée megállapítása. A miutiá reprezetálása egy a refereciapota és a meghatározott paraméteree megfelelő poláris oordiáta-redszerbe. 3. Az így apott miutiahalmazo özött egy illeszedési potszám meghatározása Megegyezzü, hogy a poláris oordiáta redszerbe való ábrázolás által megoldotta teithető a rotáció és traszláció-ivariacia. A már említett rotáció és traszláció mértéée meghatározására több módszer létezi, pl. a sziguláris poto mag és delta pozícióia, a miutiá eloszlásáa felhaszálásával. Más lehetséges megoldás például a végződés-miutiához tartozó redő iráyaia segítségével törtéő esztimáció. A leggyaoribb elárás egy szimbólumsorozat geerálása, melybe mide elem egyegy miutia poláris oordiátáit esetleg más melléiformációat, pl. redőiráy, miutia típusa, stb. tartalmazza, így az összehasolítás reduálódi a ét szimbólumsorozat hasolóságáa vizsgálatára. 1.7 A DOLGOZATBAN JAVASOLT MÓDSZER ISMERTETÉSE. A dolgozat és az alalmazás megírásaor egy olya uleyomat-felismerő redszer megalotása volt a cél, mely megfelel az általu legfotosabba tartott övetelméyee. Eze a rotáció- és traszláció-ivariacia, biztoságos felismerés, az uleyomat hiáyosságával szembei agy toleracia, rossz miőségű uleyomato felismerése, gyorsaság. Saos ez utóbbit em sierült maradétalaul megvalósítai, a program számítási igéye elfogadhatóa evezhető ugya, de agyobb adatbázisoo valószíűleg ige lassúa bizoyula.

14 Uleyomato felismerése 14 A rossz miőségű uleyomato felismerhetőségée övelése érdeébe a eleleg legobba iiáltott épmiőség-avítási techiát alalmaztu, évszerit a Gábor szűrős, diret szüreáryalatú elárást éháy változtatást eszözölve. A miutiá loalizálására egy morfológius értelmező algoritmust haszálu, melyet a ésőbbiebe ismertetü. Eze úszerű megoldás apropóa a véyítási folyamat iüszöbölésée szüségessége a agy számítási igéy és a torzításo miatt volt. Az osztályozást egy a hiba hátrateredésée módszerével taított többrétegű euroális hálóval végeztü. Bemeeti adatoét az orietáció-épet haszáltu. A ísérleti eredméye alapá ielethetü, hogy az eredméye ó, de övelhetőe egy obb taítási adatbázissal. Az összehasolítás szité úszerű megoldással törtéi. Mivel em találtu megbízhatóa rotációt és traszlációt esztimáló elárásoat, igyeeztü egy olya ábrázolási formát találi, mely ezere ézve függetle leírást ad. A módszer léyege, hogy em egy, haem több refereciamiutiát választu, mide választott refereciapotra legeerálu egy szimbólumsorozatot, mely ellemzi az uleyomatot, és ezeet haszálu fel az összehasolításhoz. A módszer töéletese rotáció és traszláció- ivariás. Hiáyossága a relatív lassúság. A továbbiaba az említett módszert bővebbe ifetü.

15 Uleyomato felismerése 15. KÉPMINŐSÉG JAVÍTÁS Korábba már idooltu a Gábor szűrős techia haszálatáa szüségességét, most részletese ismertetü ezt a módszert. Az egyi leghaszálhatóbb özelítés, a Hog, Jai, Wa [1] idolgozta elárás, mely relatív egyszerűe implemetálható, és számítási igéye is elfogadható. Mis is ezt a techiát alalmaztu, éháy változtatást eszözölve. A továbbiaba ezt a módszert ismertetü, a változtatásora is itérve..1 JELÖLÉSEK A szüreáryalatú uleyomatépet elöle I, ez tuladoéppe egy N x N mátrix, ahol Ii, elöli az i. sor. oszlopába található pixel itezitását. Az uleyomatép várhatóértée M és szórása S, ahol: M I = 1 N N 1 N 1 I i, i= 0 = 0.1 S I = N 1 N 1 1 I i, M I N i= 0 = 0. Gi, elöli a ormalizált uleyomatépet. Legye az orietációép, O, mely szité egy x mátrix, ahol Oi, a loális redőiráy az i, pixelbe. A freveciaép, F, az orietációéphez hasolóa egy x tömb, melybe Fi, a loális redőfreveciát elzi. A freveciát w x w méretű ablaoba, loálisa számolu. Azo bloo esetébe, ahol miutiá vagy szeyeződése eleteze, a frevecia em egyértelműe meghatározható. Eze bloo esetébe a freveciát a szomszédos bloo értéeiből származtatu.. ALGORITMUS Az alábbi sémá láthatóa az algoritmus fő lépései:

16 Uleyomato felismerése ábra: az algoritmus sémáa Normalizáció: a bemeti uleyomatépet úgy módosítu, hogy előre meghatározott a szórás és a várhatóérté. Loális orietáció meghatározás: a fet értelmezet orietációépet számítu, a már ormalizált uleyomatépből Loális frevecia meghatározás: a ormalizált uleyomatépből és az orietációépből iidulva számítu a már értelmezett freveciaépet. Szűrés: a loális orietációa és freveciáa megfelelőe hagolt Gábor szűrőet alalmazu..3 NORMALIZÁCIÓ Az eredeti elépzelésbe [1] Hog és társai a teles épe alalmaztá a ormalizációt. Azoba az esetebe, ha a ép megvilágítása em egyeletes azaz a ép fele sötét fele pedig világos, a fotos részlete elvesztéséhez vezet. Eélfogva, avasoltu egy ablaolásos módszer, mely azt eleti, hogy a épet w x w esetübe 14x14 méretű részere osztu, és az alább leírt módszerrel blooét ormalizálu. Legye I u,v az u,v blo az I épből, u.h., I u,v i, az adott blo i. soráa. oszlopába található pixel itezitása. M u,v és S u,v az atuális szórás és várhatóérté az u,v bloba. M 0 és S 0 a ívát várhatóérté és szórás. A Gi, ormalizált épet a övetezőéppe számíthatu:

17 Uleyomato felismerése 17 S0 I m, i, M m, M 0 +, ha Im, i, > M m, Sm, G, m i, =.3 S0 I m, i, M m, M 0, ülöbe Sm, G.4 i, = G i mod w, i 1,m, 1, mod w, ahol i / w, / w = = Ahol az m és az I ép méreteit eleti. A ormalizálás egy úgyevezett pixelszitű művelet, ami azt eleti, hogy a változtatáso em módosítá a redőstrutúrát. A övetező ábra mutata a ormalizáció eredméyét: 8. ábra: eredeti és ormalizált ép.4 ORIENTÁCIÓKÉP SZÁMÍTÁS Az orietációép számítására több módszer létezi a szairodalomba. Szite ivétel élül midegyi a loális gradieseet haszála a számításohoz. A Hog és társai által avasolt módszert lassúa és evésbé megbízhatóa találtu, ezért a Maio Maltoi szerzőpáros által avasolt elárást implemetáltu [8]. A továbbiaba is ezt ismertetü. A számításo sorá a már ormalizált G épet haszálu. Elsősorba leszögezzü, hogy ele esetbe az uleyomatépet felületét ezelü. A harmadi oordiáta a pixelitezitás. Legye i 0, 0 az a pixel, ahol a orietációt ell számolu. Legye T a tages abla, mely egy olya i 0, 0 özéppotú égyzetes mátrix, melye oldalmérete α, értéei pedig a G épből átvett itezitáso. Az így apott abla mide i h, pixeléhez hozzáredelü egy h egységvetort, mely merőleges a z=gi, felületre. A tagesvetor, ha meghatározott, az i sío feszi, és merőleges a hozzátartozó h egységvetorra. Az

18 Uleyomato felismerése 18 átlag tagesvetor, mely elzi a ívát φ 0 iráyt orietációt, az i sío fevő, a már iszámított h vetorora legmerőlegesebb egységvetor. A övetező ábrá látható a tagesvetor ábrázolása: 9. ábra: Tages-abla, tagesvetor Az átlag tagesvetor iszámítása a övetezőéppe zali: Legye a 1 =Ti h+1, +1, a =Ti h-1, +1, a 3 =Ti h-1, -1 és a 4 =Ti h+1, -1 a tages abla h, pixelée szomszédságába tartozó égy pixel itezitásértée. Mide h egységvetor meghatározható a övetező módo: h [ a b,1] =, ahol h, h a h a1 + a + a3 a4 a1 a + a3 + a4 =, bh = Legye v h =a h,b h, h=1,..α, =1,..α azo vetoro, melyeet a megfelelő h vetoroból a z ompoes elhagyásával yerü. Legye t=t 1,t. Formálisa ez egy égyzetes miimalizálási módszer: mi h= 1.. α = 1.. α v, t, ú.h. t = 1.6 h A = a h, = b h h= 1.. α B, = h= 1.. α h= 1.. α = 1.. α = 1.. α = 1.. α C a b.7 h h

19 Uleyomato felismerése 19 B A B A 1, sg C + 1 ha C 0 C C t = ha C = 0, A B.8 [ 1,0] [ 0,1] ha C = 0, A > B Eze utá a φ 0 iráy öyedé meghatározható: t arcta ha t1 0 ϕ = t1 0 π ülöbe ábra: Uleyomat és a hozzátartozó orietációép ábrázolása.5 FREKVENCIAKÉP MEGHATÁROZÁSA Olya, a épből iragadott részletebe, ahol icsee miutiá vagy szeyeződése, a redő és völgye szerezete egy sziuszoid görbével ellemezhető, tehát beszélhetü a redő freveciááról. Az alábbi épe látható egy miutiametes éprészlet, és a redőszerezetet ellemző görbe.

20 Uleyomato felismerése ábra: Az x-el iszámításához haszált iráyított abla A orábbi elölésee megfelelőe legye G a ormalizált ép, O az orietációép. A frevecia-meghatározási elárás lépései a övetező: Felosztu G-t w x w 16x16 méretű ablaora Mide i, özéppotú ablahoz hozzáredelü egy l x w 3x16 méretű iráyított ablaot lásd a feti ábrát. Mide i, özéppotú ablaba iszámítu az x-elet x sigature, mely értéei X[0],X[1],.. X[l-1], ahol X w 1 1 [] G u, v = w d = 0, = 0,1,..l -1 w l u = i + d coso i, + sio i,,.10 v = w l + d si O i, + si O i, Ha ics miutia vagy szeyeződés az iráyított ablaba, az x-el egy diszrét sziuszoid ellegű formát mutat, melye freveciáa megegyezi a redőstrutúra freveciáával. Eélfogva a freveciát meghatározhatu az x-el alapá. Legye Ti, az i, özéppotú ablahoz tartozó x-el ét egymást övető csúcsa özötti pixele számáa átlaga, eor a frevecia az adott blora a övetezőéppe számítható: Ω i, =1/Ti,. Ha em biztoságosa meghatározhatóa a csúcso, a freveciaép értéét -1 re állítu. 4. Az F.B.I. által is avasolt, és a leggyarabba általu is haszált 500 dpi felbotással szeelt épe esetébe a frevecia az [1/5,1/0] tartomáyba va.

21 Uleyomato felismerése 1 Eélfogva, ha a iszámított freveciaérté ics ebbe az itervallumba, az azt eleti, hogy az adott bloba a helyes érté em meghatározható, tehát a apott eredméyt figyelme ívül hagyu, illetve értéét -1 re állítu, hogy megülöböztessü a helyes értéetől. 5. Azo bloo esetébe, ahol a frevecia-megállapítás em bizoyult sierese, a loális frevecia értéét a szomszédos bloo értéeiből ell iterpolálu. Az iterpoláció meete a övetező: i mide i, özéppotú ablaba Ω i, = Ω u wω / i, ha Ω i, wω / wω / W u, v Ω i uw, vw Ω Ω / v wω = w = w / u= w / v= w Ω Ω / / W g µ δ g u, v δ Ω i uw, vw + 1 x x -1 µ.11 ülöbe 0, = x, ahol ha x 0 ülöbe 0, ha x 0 = 1, ülöbe W g egy diszrét Gauss mag, ahol a várhatóérté 0, a szórás 9, és w Ω = 7 a mag mérete. ii Ha még létezi legalább egy olya abla, melybe a frevecia értée meghatározatla illetve -1, cserélü fel Ω és Ω és ismételü az első lépést. 6. A redő özötti távolság méreteibe icsee agy ugráso, ezért a apott freveciaép fiomítására aálott egy szűrő haszálata. Így megszütethetőe a agy ugráso a freveciaértéebe. A freveciaép végső értéei tehát a övetező módo számíthatóa: wl / wl / i, = W u, v Ω i uw, F.1 u= w / v= w / l vw l l ahol W l egy étdimeziós low-pass szűrő, w l =7 a szűrő mérete. A diszrét Gauss mag iszámítása a Gauss-eloszlásfüggvéy alapá törtéi, tuladoéppe egy x mátrix: i + m 1 σ Wg i, = e, ahol i = /, /, = /, / πσ.13

22 Uleyomato felismerése.6 SZŰRÉS A redő és völgye párhuzamos szerezete, ól meghatározott iráy és frevecia paramétere eseté agy segítséget yúthat a emíváatos szeyeződése eltávolításába. A már említett sziuszoid görbé ellege loálisa csa ismértébe változi, eélfogva egy megfelelőe hagolt ú.. badpass szűrő hatéoy lehet a szemét eltávolításába, aélül, hogy a valós redőszerezetet léyegese módosítaá. A Gábor szűrő, frevecia- és orietáció-függésüél fogva erre a célra töéletese megfelele. A étdimeziós eve-symmetric a omplex rész elhagyva Gábor szűrő általáos alaa: h x y : φ, f xcosφ ysiφ 1 = exp + cos πfxcosφ.13 δ x δ y, ahol φ a Gábor szűrő orietációa, f a frevecia, δ x, δ y ostaso. A modulatio trasfer fuctio MTF a övetezőéppe ábrázolható: H u, v : φ, f 1 = πδ xδ y exp 1 πδ xδ y exp u π / f siφ v cosφ u π / f siφ v cosφ δ δ u u + + δ δ v v +.14 ahol δ u =1/π δ x és δ v =1/π δ y. Az alábbi ábrá látható az eve-symmetric Gábor szűrő, és a hozzátartozó MTF. 1. ábra:gábor szűrő 0 o orietáció és 1/10 frevecia, valamit a hozzátartozó MTF

23 Uleyomato felismerése 3 Ahhoz, hogy egy Gábor szűrőt alalmazzu, meg ell határozu három paraméter értéét: a sziuszoid görbe freveciáát, a szűrő orietációát, valamit a δ x, δ y ostaspárt. Értelemszerűe, freveciaparaméterét a már iszámított loális redőfreveciát, orietációparaméterét pedig a loális redőorietációt haszálu. A δ x, δ y paramétere iválasztása empiriusa törtéi. Ha eze értée agyobba, a szűrő hatéoyabba szüteti meg a szemetet, de agyobb a hamis redő létrehozásáa esélye. Elleező esetbe, értelemszerűe a szűrő evésbé hatéoy, de evesebb hibát is vét. A mérési adatoa megfelelőe Hog és muatársai midét paraméter értéét 4.0 be határoztá meg. Legye tehát G a ormalizált bemeeti ép, O az orietációép, F a freveciaép, az E avított ép a övetező módo számítható: wg / wg / i, = h u, v : O i,, F i, G i u, v E.15 u= w / v= w g g / ahol w g = 11 a Gábor szűrő méretét elzi.

24 Uleyomato felismerése 4 3. OSZTÁLYOZÁS Az osztályozás céla az adatbázis felosztása, ez lehetővé teszi azt, hogy egy azoosítási folyamat sorá e eressü a teles adatbázisba, haem csa azo részébe, melybe a vizsgált uleyomat is tartozi. Mit említettü, esetübe legcélszerűbb égy osztályba soroli a mitáat. Ha boyolultabb sémát választu, a hibás osztályozáso száma ige agy. A orábbiaba már vázoltu a égy osztályt ív, csigavoal, obb és balhuro. Az osztályozást egy a hiba hátrateredésée módszerével taított többrétegű perceptro modell segítségével végezzü. 3.1 A TÖBBRÉTEGŰ PERCEPTRON MODELL MULTILAYER PERCEPTRON A többrétegű perceptro modell továbbiaba MLP [15, 16] három fotosabb részből áll: bemeeti réteg egy eurohalmaz, eze eresztül apa meg az MLP a bemeeti iformációat, egy vagy több retett réteg valamit egy imeeti réteg. A bemeeti el rétegről-rétegre teredve halad át a háló lásd ábra. Egy réteg em más, mit egy eurohalmaz, melye elemei egymással icsee összeöttetésbe. A retett illetve imeeti rétege euroaia bemeetei, az őet megelőző réteg euroaia imeetére vaa csatolva. A bemeeti el áthaladásá, azt a folyamatot értü, melye sorá a bemeeti réteg euroaia imeetei eletezett el feldolgozásra erül a övetező réteg euroaiba, mad az itt eletezett el hasoló módo erül a övetező rétegbe, ugyaígy reurzíva, amíg el em ut a imeeti rétegbe. Az MLP leggyaoribb taítási formáa a hiba hátrateredésée módszere error bacpropagatio, továbbiaba BP. Ez egy felügyelt taítási forma, egyszerűségée és hatéoyságáa öszöhetőe ige épszerűvé vált, tuladoéppe ee öszöhető az MLP- elteredése. Alapvetőe a taítás ét lépésből áll, első lépésbe a bemeeti rétege bemutatu a bemeeti iformációt, mad ez a bemeeti el előrehalad az MLP-be, a imeeti rétegig, ezt evezzü előrelépése. A imeeti rétegbe iszámítu a hibaelet a ívát és a apott eredméy ülöbsége, mad ezt a elet hátrafelé léptetü a hálóba, és a ívát mértébe módosítu a sziaptius súlyoat. A többrétegű perceptro modell három ellemző tuladosággal redelezi:

25 Uleyomato felismerése 5 A modell mide euroa redelezi egy emlieáris ativációs függvéyel. A leggyarabba haszált ativációs függvéy a szigmoidális, azaz y 1 = 1+ exp v ahol v a euro belső ativáltsága, azaz a súlyozott bemeete összege; y a euro imeete. Egy vagy több retett réteg, melye euroai em tagai sem a imeeti sem a bemeeti rétege. Eze a retett rétege teszi épessé a hálót boyolult feladato megoldására, ugyais a bemeti mitából fotos ellemzőet voa i. magas szitű oetivitás, azaz a tuladoéppei sziapszisoat megvalósító apcsolato. Bármely változás eze apcsolatredszerbe a sziapsziso súlyaia változtatásáa szüségességét voa maga utá. 15. ábra: Két retett rétegű MLP arhitetúráa, sziaptius apcsolato 3. JELÖLÉSEK ÉS ELNEVEZÉSEK. Mit már említettü ét típusú elet ülöböztetü meg az MLP-be. Az egyi a stimulus, ami em más mit a bemeeti el, a mási a hibael, mely a imeeti rétegbe eletezi és visszafelé halad a hálóba. A továbbiaba i, és a háló ülöböző euroait eleti. Külöböző és egymást övető rétegebe vaa, sorredü megfelel az előrehaladási iráya. Ebből övetezi, hogy egy retett réteghez tartozi. Az. iteráció eleti az -edi taítási mita bemutatását.

26 Uleyomato felismerése 6 E eleti a égyzetes hibá összegét az iterációba. Az átlagos hiba azaz E av em más mit az Eértée számtai özepe. e a euro hibaele az iterációba. d a eurotól elvárt válasz az iterációba y a euro válasza imeeti el w i az i euro imeetét a euroal összeötő él súlya az iterációba. Az említett éle végrehatott orreció: w i v a euro ativáltsága az iterációba φ a euro válaszfüggvéye b - A bias a euroba, ez em más, mit egy +1 értéű álladó bemeetre csatolt él x i a bemeeti mita i eleme o a imeeti vetor eleme η a taítási paraméter 0 és 1 özöti ostas m l az l réteg mérete euroo száma, l = 0, 1,..., L ahol L a rétege száma azaz az MLP mélysége 3.3 A HIBA HÁTRATERJEDÉSÉNEK ALGORITMUSA A euro hibaele az iterációba a övetezőéppe határozható meg: e = d y, ahol egy imeeti euro 3.1 Értelmezés szerit legye a égyzetes hiba értée a euro esetébe 1 e. A égyzetes hiba az MLP-re ézve tehát a imeeti euroo hibáia összege, azaz: 1 E = e C 3. Ahol C a imeeti rétegbe található euroo halmaza. Legye N a taítási mitá száma, eor az átlagos hiba értée: E av N 1 = E 3.3 N = 1

27 Uleyomato felismerése 7 Megállapíthatu, hogy a égyzetes hiba E és az átlagos hiba E av a euroháló paramétereie azaz a súlyo és bias-o függvéye. Egy adott taítási mita eseté E av öltségfüggvéyét teithető, és általa mérhető a taulási telesítméy. A taítási folyamat tehát em más, mit a már említett paramétere változtatása aa érdeébe, hogy E av értéét miimalizálu. E cél elérése érdeébe egy egyszerű módszert alalmazu, mely szerit a súlyoat mide egyes úabb mita bemutatása utá avítu a gradies módszerrel. A teles taítási mitahalmaz bemutatását orszaa evezzü. A orsza végé iértéelhető az MLP atuális potossága. Az előbb említett, mide mita esetébe végbemeő módosításo számtai özepe tuladoéppe úgy teithető, mit aa a módosítása a becslése, melyet a orsza végé E av t iértéelve apá. Teitsü egy eurot, egy retett rétegből. Eor a euro bemeeteit az őt megelőző réteg euroaia imeeti elei adá. Eor a euro ativáltsága: m v = w y 3.4 i= 0 ahol m a bemeete száma a biast leszámítva. A w 0 súly a rögzített y 0 =+1 bemeete megfelelő em más mit a bias. Így elerülhetü azt, hogy a számításoba ülöbséget tegyü a bias és a súlyo özött. A euroba eletező imeeti el az iterációba tehát: i i y = ϕ v 3.5 A hiba hátrateredésée algoritmusa egy a E / w parciális deriválttal aráyos w i értéel avíta az éle súlyait. A parciális derivált ifeezhető: i E E e = w e y i y v v w 3.6 A 3. egyelet midét oldalát differeciálva e szerit apu: E = e e 3.7 A 3.1 egyelet midét oldalát differeciálva y szerit apu:

28 Uleyomato felismerése 8 1 = y e 3.8 Követezőét a 3.5 egyeletet differeciálu v szerit: v v y = ϕ 3.9 Végül a 3.4 egyeletet w i szerit differeciálva: y w v i i = 3.10 A egyeleteet behelyettesítve a 3.6 egyeletbe: y v e e E i ϕ = 3.11 Az élere alalmazott módosítás értée: w E w i i = η 3.1 ahol η a taítási paraméter, / w E i a leszállási iráy. A 3.11 egyeletet a 3.1 be behelyettesítve apu: y w i i ηδ = 3.13 ahol a loális gradies, δ a övetező: v e v y y e e E w E i ϕ δ = = = 5.14 A 3.14 egyeletből látható, hogy a ívát változtatás a euroa megfelelő hibael és a választott válaszfüggvéy deriváltáa szorzata. Mivel láthatu, hogy a hibaele ulcsszerepe va a w i meghatározásába, és mit tudu, ezt egyelőre csa a imeeti rétegbe ismerü, ezért ét esetet ülöböztetü

29 Uleyomato felismerése 9 meg, attól függőe, hogy a euro retett vagy imeeti. Természetese a retett euroo súlyvetorait is módosítau ell, ee érdeébe meg ell állapítau, hogy egy retett euro milye mértébe felelős a végső hiba méretéért, azaz i ell számolu mide retett euro hibaelét. Ezt a hibael hátrafelé törtéő teresztésével érü el ie az elevezés. A már említett ét eset tehát: 1. a egy imeeti euro Ha egy euro a imeeti rétegbe va, ismerü a várt imeeti elet. A 3.1 egyelet segítségével öyedé iszámíthatu a hibaelét. Az e értéét ismerve a loális gradies iszámítása a 3.14 segítségével triviális.. a egy retett euro Ha egy euro egy retet rétegbe va, em ismerü a várt imeeti elet, tehát meg ell állapítau azt, mégpedig úgy, hogy reurzíva visszavezetü azo euroo hibaeléből, melyeel összeöttetésbe áll. 16. ábra: Előrehaladó lépés folyama az MLP-be A 3.14 egyelet alapá úradefiiálhatu a loális gradiest: E y δ = y v E = ϕ v y, euro retett 3.15

30 Uleyomato felismerése 30 A / y E parciális derivált iszámítása övetezi. Értelmezés szerit, az 3. alapá csúcs egy imeeti ahol, 1 e E C = 3.16 A 3.16 egyelet differeciála az y imeeti el szerit: = y e e y E 3.17 y v v e e y E = 3.18 Ugyacsa értelmezés szerit, és az amit az ábrá is látható: euro imeeti, v d y d e ϕ = = 3.19 övetezésépp v v e ϕ = 3.0 A euro ativáltsága: = = m y w v ahol m a euro bemeeteie száma. Ezt az y szerit differeciálva apu: w y v = 3. A 3.0 és 3. egyeleteet felhaszálva, a 3.18 egyelet alapá megapu a ívát parciális deriváltat: = = w w v e y E δ ϕ 3.3

31 Uleyomato felismerése 31 a másodi sorba felhaszáltu a loális gradies 3.15 egyeletbe adott értelmezését. És végül a 3.3 és 3.15 egyeleteet felhaszálva felírhatu a loális gradies hátrateredésée egyeletét: δ = ϕ v δ w, ha a euro retett 3.4 Összefoglalva az algoritmus a övetező épe írható: súly - taítási loális euro orreció = paraméter gradies bemeeti elei w i η δ yi 3.5 A taítási paraméter megválasztása egy ige éyes feladat. Csa 0 és 1 özött vehet fel értéeet, 0 <η < 1. Miél agyobb a η aál gyorsabba özelít az algoritmus, és fordítva. Azoba va egy probléma, ha a választott érté túl agy, előfordulhat, hogy az algoritmus oszcilláli ezd. Ha a választott érté icsi, hosszabb ugya a taítás meete, de obb eredméye érhetőe el. 3.4 A VÁLASZFÜGGVÉNY Mide euro esetébe a loális gradiese számításához szüséges az adott euro válaszfüggvéyée a deriváltáa ismerete. A deriválhatóság megöveteli, hogy a válaszfüggvéy folytoos legye elméletileg ez az egyetle feltétel amit telesíteie ell. Az egyi legépszerűbb, és általu is haszált válaszfüggvéy az úgyevezett szigmoidális, melye alaa: 1 ϕ x = exp ax Az MLP esetébe alaa: = 1 v, ahol a > 0 és < v < ϕ exp av ahol v a euro ativáltsága. Mit láthatu, a imeeti el 0 és 1 özött va: 0 y 1 A 3.7 egyeletet differeciálva v szerit:

32 Uleyomato felismerése 3 aexp av ϕ = 3.8 v [ 1+ exp av ] Felhaszálva azt, hogy y = v, iüszöbölhetü az expoeciális ifeezést: ϕ v = ay 1 y ϕ 3.9 Egy a imeeti rétegbe levő euro esetébe y = o, eélfogva a euro esetébe a loális gradies a övetezőéppe számítható: δ = e ϕ v = a [ d o ] o [ 1 o ], ha a imeeti euro 3.30 Egy retett rétegbe levő euro loális gradiese pedig: δ = ϕ v = ay 1 δ w [ y ] δ w, ha a euro retett AZ OSZTÁLYOZÁST VÉGZŐ MLP Az uleyomato osztályozását tehát egy MLP segítségével végezzü. A iválasztott háló egy bemeeti, egy imeeti és ét retett rétegből áll. A bemeeti réteg a taítási adato dimezióáa megfelelőe 400, a imeeti, mivel ez egy osztályozó háló, az osztályo számával egyelőe 4 eurot tartalmaz. Midét retett réteg 50 euroból áll. A betaított háló esetébe, egy adott mita bemutatása utá, a imeeti rétegbe az aa az osztálya megfelelő euro tüzel, melybe a mita tartozi. Az alalmazott válaszfüggvéy szigmoidális. A taításhoz a fetebb ismertetett hiba hátrateredésée algoritmusát haszáltu. 3.6 BEMENETI ADATOK GENERÁLÁSA, TANÍTÁS A taítási folyamatba haszált mitáat az uleyomatépeből épezzü. Alapövetelméye, hogy a dimezió száma ostas legye mide leyomat esetébe, valamit, hogy a mita reprezetatív legye. Legalalmasabb a redőiráy adta iformáció, hisze ez öye számítható valamit töéletese ellemzi az osztályoat. A bemeeti

33 Uleyomato felismerése 33 adato reprezetatív ellege és mérete özötti egészséges egyesúly megtartásáa érdeébe, a mita dimezióát 400-ba határoztu meg empirius úto. Tuladoéppe a 3.4 feezetbe már ismertetett orietációépből idulu i. A épre ráhúzu egy 0 x 0 méretű hálót, és mide csomópotba megvizsgálu a loális orietációt. A 400 csomópotból álló mátrixból épezzü a bemeeti vetort, tuladoéppe ez azt eleti, hogy a mátrix sorait egymás utá fűzzü. A taítási folyamatba haszált mitahalmaz 40 elemből áll, azaz mide osztályhoz tartozi 10 mita. Ez a meyiség csa ísérleti célora elegedő, az osztályozás megbízhatósága érdeébe ezt öveli ell. A módszer eletős hiáyossága, hogy em rotáció ivariás. A euroháló magas hiba-toleraciaszite megeged bizoyos mértéű forgatást, midazoáltal léyeges, hogy a bemutatott uleyomat hozzávetőlegese függőleges helyzetbe legye.

34 Uleyomato felismerése UJJLENYOMATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA Az összehasolítás épezi a tuladoéppei feladatot. Azo utá, hogy az uleyomatot feldolgoztu, besoroltu valamely osztályba, meg ell vizsgáli, hogy milye mértébe azoos az adatbázisba tárolt leyomatoal. Mit már említettü, az összehasolítást a miutiá alapá végezzü. A rimiológiába általáosa elfogadott ézet, hogy ha ét uleyomat legalább yolc miutiáa egyértelműe egyezi, a ét uleyomatot azoos személytől származóa teithető. Automatizált azoosítási redszerebe ez az elárás em célszerű, ézefevőbb egy potozási redszert bevezeti, meghatározi a ét uleyomat illeszedésée mértéét, és a apott eredméy alapá eldötei, hogy azoosa-e vagy sem. 4.1 MINUTIA KERESÉS A szűrés eredméyeépp apott épet biarizálva, megapu a biáris redőépet, melybe mide pixel, mely egy redőhöz tartozi feete, mide völgyhöz tartozó éppot pedig fehér. 13. ábra: Bifuráció és a omplemeterép Megfigyelhető, hogy a bifuráció, tuladoépp egy végződés omplemetere. Eélfogva elegedő a bifuráció detetálásra ocetrálu, a végződése eresése hasoló. A feladat reduálható egy olya ellemző meghatározására, mely egyértelműe meghatároz mide bifurációt. Elsősorba el ell döteü, hogy az adott bifuráció mely pixelét vegyü figyelembe a oordiátá meghatározásaor. Úgy dötöttü, hogy a völgy végződéspota, azaz egy fehér pixel legye a meghatározó pot. A biáris redőép mide pixelét meg ell vizsgálu. A vizsgálathoz természetese elemezü ell a öryezetet is. Eélfogva mide éppothoz hozzáredelü egy w x w méretű ablaot, melye özéppotába az atuálisa vizsgált éppot va.

35 Uleyomato felismerése 35 Legye r a redőpoto, v pedig a völgypoto száma a vizsgált ablaba. Legye r =, a redő és völgypoto aráya. v Az alábbi ábrá látható a bifuráció és a vizsgálati abla. 14. ábra: Bifuráció és a vizsgált öryezet Aa a feltétele, hogy egy pot bifurációhoz tartozi, a övetezőéppe írható: A vizsgált pot völgypot A értée meghalad egy bizoyos t üszöbértéet A redőpoto a vizsgált ablaba egy összefüggő régiót alota Az első feltétel biztosíta, hogy em egy redő belső potáról va szó. A t üszöbérté iválasztása egy éyes feladat, alacsoy érté eseté egy egyszerű halat is miutiaét értéelhető, túl magas érté eseté pedig feáll a miutiá figyelme ívül hagyásáa a veszélye. A harmadi feltétel biztosíta, hogy ét, egymáshoz özel fevő redő e értéelődé miutiaét. A fetebb vázolt feltétel egy bifuráció eseté több éppotra is igaz. A megfelelő éppot iválasztása midössze azt eleti, hogy azt a éppotot választu, mely esetébe a értée maximális. Eze iválasztás sorá, legrosszabb esetbe, valódi helyzethez viszoyított maximális deviacia értée w. Ez az eltérés a véyítási folyamat oozta eltolódásohoz viszoyítva elhayagolható. Az általu végzett ísérlete alapá ielethetü, hogy az imét ismertetett elárás evesebb hamis miutiát eredméyez és gyorsabb mit a véyításos techia.

36 Uleyomato felismerése AZ ILLESZKEDÉS FOGALMA Teitsü a sí egy pothalmazát. Ezt reprezetálu egy súlyozott gráf segítségével, oly módo, hogy a gráf mide csúcsa össze va apcsolva mide csúcssal, az éle súlya pedig a poto özötti távolság. Ez egy redudás, de töéletes leírás. Szüségü va éháy fogalom bevezetésére: A teles súlyozott gráf, egy olya súlyozott gráf, melybe bármely ét csúcs özött létezi él. Egy teles súlyozott gráf teles részgráfa a csúcso és éle egy részhalmaza úgy, hogy a iválasztott csúcso és éle egy teles súlyozott gráfot alota. Egy teles súlyozott gráf egy I csúcsából iiduló éle halmazát elöle I e. Egy A és B teles súlyozott gráf evivales, ha a csúcso száma azoos, és A bármely I csúcsát választva létezi a B egy olya J csúcsa, melyere igaza a övetező ieletése: I e és J e elemeie száma azoos, azaz cardi e =cardj e I e bármely elemét választva létezi a J e egy olya eleme, mely azoos az I e választott elemével, azaz x I e, y J e, x = y Teitsü ét pothalmaz az imét leírt módszerrel épzett gráfreprezetációát. A ét pothalmaz illeszedő pothalmazait az őet ábrázoló teles súlyozott gráfo evivales teles részgráfai épezi. Az összehasolítás problémáa tehát em más, mit ét pothalmaz esetébe a legagyobb illeszedő részhalmaz megeresése. Az alábbi ábrá igyeeztü szemlélteti a feladatot. 17. ábra: Két pothalmaz legagyobb illeszedő részhalmaza.

37 Uleyomato felismerése 37 A szürével elölt poto épezi az illeszedő pothalmazoat. Jól látható, hogy az illeszedést em befolyásola más, csupá a részhalmazo elemeie egymáshoz viszoyított helyzete. 4.3 A MINUTIÁK REPREZENTÁCIÓJA Mit az 1.6 és 1.7 feezetebe említettü, egy automatizált felismerő redszere telesíteie ell éháy övetelméyt: rotáció ivariacia traszláció ivariacia a bőrelaszticitás oozta torzuláso ezelése A rotáció és traszláció ivariacia tuladoéppe azt eleti, hogy az uleyomat felismerését em befolyásolhata az uleyomat elfordulása vagy elcsúszása. Ez érthető, hisze ét ülöböző mitavétel eseté szite lehetetle, hogy ugyaabba a helyzetbe legye az u. Az 1.6 feezetbe tárgyaltu a bőrelaszticitás oozta torzulás problémáát. Ismét összefoglalva, uleyomatvételor, a ülöböző yomáserősségee öszöhetőe a bőr ülöböző mértébe torzul. Ez a miutiapoto egymáshoz viszoyított helyée módosulásához vezet. Az összehasolítás sorá figyelembe ell vegyü ezt a torzulást. A megoldás az első ét övetelméy esetébe egy olya ábrázolási mód megtalálása, mely em haszála a pozícióra voatozó iformációat. A 4. feezetbe ismertetett teles súlyozott gráf eze övetelméyeet telesíti. Azoba felmerül egy probléma: a részgráfo megtalálása omputacioális szempotból agyo öltséges. Úgy dötöttü, hogy egy icsit módosítu a leíráso. A továbbiaba a pothalmazt em a gráffal reprezetálu, haem egy szimbólumsorozattal. Elsősorba a miutiahalmazból iválasztu egy úgyevezett refereciamiutiát. A pothalmazt a refereciamiutiától mért távolságo, és a ülöböző potoat a refereciapottal összeötő szaaszo bezárta szögeel íru le. Az alábbiaba látható egy miutiahalmaz sematius ábráa.

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

3.3 Fogaskerékhajtások

3.3 Fogaskerékhajtások PTE, PMMK Stampfer M.: Gépelemek II / Mechaikus hajtások II / 7 / 3.3 Fogaskerékhajtások Jó tulajoságaikak köszöhetőe a fogaskerékhajtóművek a legelterjetebbek az összes mechaikus hajtóművek közül. A hajtás

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Statisztikai programcsomagok

Statisztikai programcsomagok Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor

FOLYADÉKKRISTÁLY-TELEVÍZIÓK Éber Nándor FLYADÉKKRISTÁLY-TLVÍZIÓK Éber Nádor A 21. SZÁZAD KÉPRNYÔI MTA SZFKI, Budapest A szerezetü és tulajdoságai alapjá a folyadéo és a szilárd ayago özött sajátos átmeetet épezô folyadéristályo felfedezésü (1888)

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK

ANALÓG-DIGITÁLIS ÉS DIGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK F3 Bev. az elektroikába E, Kísérleti Fizika Taszék ANALÓG-IGITÁLIS ÉS IGITÁLIS-ANALÓG ÁTALAKÍTÓK Az A és A átalakítók feladata az aalóg és digitális áramkörök közötti kapcsolat megvalósítása. A folytoos

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

NÉMET NYELV 5. OSZTÁLY

NÉMET NYELV 5. OSZTÁLY NÉMET NYELV 5. OSZTÁLY Az élő idegen nyelv otatásána alapvető célja, összhangban a Közös európai referenciaerettel (KER), a tanuló idegen nyelvi ommuniatív ompetenciájána megalapozása és fejlesztése. A

Részletesebben

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET

INTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of

Részletesebben

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel

TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorganizmusok számának meghatározása telepszámlálásos módszerrel TENYÉSZTÉSES MIKROBIOLÓGIAI VIZSGÁLATOK II. 1. Mikroorgaizmusok számáak meghatározása telepszámlálásos módszerrel A telepszámlálásos módszerek esetébe a teyésztést szilárd táptalajo végezzük, így - szembe

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása

Felépítés Típus 955010/ Konfigurálás setup programmal. Mérési adatok kiolvasása JUMO Meß- ud Regelgeräte GmbH A-1232 Wie, Pfarrgasse 48 Magyarországi Kereskedelmi Képviselet Telefo: 00-43-1 / 61-061-0 H-1147 Budapest Öv u. 143. Fax: 00-43-1 / 61-061-59 Telefo/fax: 00-36-1 / 467-0835,

Részletesebben

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés

Walltherm rendszer. Magyar termék. 5 év rendszergaranciával. Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Walltherm redszer 5 év redszergaraciával Felületfûtés-hûtés Épületszerkezet-temperálás padlófûtés Magyar termék WALLTHERM felületfûtés-hûtési redszer Egy fûtési- (hûtési) redszer kialakítása elôtt számtala

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03.

Minőségirányítási rendszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségiráyítási redszerek 8. előadás 2013.05.03. Miőségtartó szabályozás Elleőrző kártyák miősítéses jellemzőkre Két esete: A termékre voatkozó adat: - valamely jellemző alapjá megfelelő em megfelelő:

Részletesebben

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása.

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása. 6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS A mérés célja: ismeredés a villamos elven möd ontathmérel; exponenciális folyamat idállandójána meghatározása. Elismerete: ellenállás hmérséletfüggése; ellenállás és feszültség mérése;

Részletesebben

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon

Tranziens káosz nyitott biliárdasztalokon Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom

Részletesebben

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn

KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója

Részletesebben

2. előadás: További gömbi fogalmak

2. előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással

Részletesebben

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI

2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2. AZ INFORMÁCIÓS TÁRSADALOM ÉRTELMEZÉSI DIFFERENCIÁINAK TERÜLETI KÖVETKEZMÉNYEI 2.1. Az iformációs társadalom és gazdaság fogalmáak külöbözô értelmezései 2.1.1. Az iformációs társadalom Bármely iformációs

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum

A fény diszperziója. Spektroszkóp, spektrum A éy diszpeziója. Speoszóp, speum Iodalom [3]: 5, 69 Newo, 666 Tiszább, élesebb szíépe ad a öveező eledezés A speum szíe ovább má em boaó. A speum szíee úja egyesíve eé éy apu. Sziváváy Newo Woolsope-i

Részletesebben

9. évfolyam feladatai

9. évfolyam feladatai Hómezővásárhely, 015. április 10-11. A versenyolgozato megírására 3 óra áll a iáo renelezésére, minen tárgyi segéeszöz használható. Minen évfolyamon 5 felaatot ell megolani. Egy-egy felaat hibátlan megolása

Részletesebben

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei

Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE

A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE A RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZEREK MŰVELETTÍPUSON ALAPULÓ KAPACITÁSELEMZÉSÉNEK EGYSZERŰSÍTÉSE 1. BEVEZETÉS Juász Vitor P.D. allgató A modern, profitorientált termelővállalato elsődleges célitűzései özé tartozi

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

É Ő É é ö í é í é í í Ú é é é í í ő ö ö é É Ó É Á í é ő é í í í Í Í í í É É É í é é í Í é Íő é í é í é í í Í ú é é ű í í é í í Í ö ö ő é ö ö é é í Á ő é é é í é Í ö é é é é é é ö Í ö é é é í í é ö í í

Részletesebben

A MISKOLCI EGYETEM KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI SZABÁLYZATA

A MISKOLCI EGYETEM KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI SZABÁLYZATA A MISKOLCI EGYETEM KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI SZABÁLYZATA Miskolc 2014. 6.11. sz. Egyetemi Szabályzat A MISKOLCI EGYETEM KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI SZABÁLYZATA A MISKOLCI EGYETEM SZENÁTUSÁNAK 315/2014. SZ. HATÁROZATA

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti

Részletesebben

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI

AZ ÉPÜLETGÉPÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI AZ ÉÜLETGÉÉSZETI RENDSZEREK ENERGIA-HATÉKONYSÁGÁNAK KÉRDÉSEI Szivattyúzás - rövide örös Szilárd Cetrifugál szivattyú Nyomó oldal Járókerék Járókerék lapát Járókerék él Járókerék csavar a szállított közeg

Részletesebben

15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI

15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI 15.KÚPKEREKEK MEGMUNKÁLÁSA ÉS SZERSZÁMAI Alapadatok Egymást szög alatt metsző tengelyeknél a hajtást kúpkerékpárral valósítjuk meg (15.1 ábra). A gördülő felületek kúpok, ezeken van kiképezve a kerék fogazata.

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

ú ü Ü ó í Í í ű ő ő í í í ű ő ó ő ő ő ő ú ő ő í í ó ó ó ó ű ő ő í í ű ü ő ó ő ő ő ó í ő ő ő í ő í ó ü Íí ő ü ű ő ó ő í ő ő ő ó ű ó ó ű ő ő ő ű í ő ú ő ü ó ó ő ó ű ő Ó ü ó ő ű ű ű ő ó ű ő ű ő í ó ű ő ő

Részletesebben

ú ú ü ű ü ü ú ú ü ű ü ü ú ú ü ü Í ű ű ü ü ü É ú ü ü ü ú ú ú ü ú ű ü ú ü ü Í ü ű ü ü ü Á ű ú ú ü ú Í ü ú Í ú ü ü Í ű Í ü ü É ü ü ü ú ü ü ü ü Í ú ü ű Á ü ü ú ú ü Í ü ű Í ú ú ü ü ü ú ü ű ú ú Á Í Í ú Í Í Í

Részletesebben

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között.

Kontingencia táblák. Khi-négyzet teszt. A nullhipotézis felállítása. Kapcsolatvizsgálat kategorikus változók között. Kotigecia táblák. Khi-égyzet tet 1. Függetleségvizsgálat. Illekedésvizsgálat 3. Homogeitásvizsgálat Példa 1 em ő 8 75 13 Ismétlés: változók, mérési skálák típusai 48 49 97 76 14 jeles (5) jó (4) közepes

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

ő ő Í ű ő ő ű ő ő ű ő ő É Á ű ő ű ő ő ő ü Á ü ő ű ő ő ő ü ü ő ű ő ő ü ő ú ő ő ő ű ü ő ü ő ü ő ü ő ü ü ő ű ő ü ő ü ő ő ő ő ű ü ű Í Í ő ü ő Í ü ő ü ő ü ü ü ő ü ű ő ü ü ü ü ü ü ü ő ú ü ő ű ő ő ü ü ü ő ő ő

Részletesebben

tekintettel az Európai Unió működéséről szóló szerződésre, különösen annak 291. cikkére,

tekintettel az Európai Unió működéséről szóló szerződésre, különösen annak 291. cikkére, L 343/558 Az Európai Unió Hivatalos Lapja 2015.12.29. A BIZOTTSÁG (EU) 2015/2447 VÉGREHAJTÁSI RENDELETE (2015. november 24.) az Uniós Vámkódex létrehozásáról szóló 952/2013/EU európai parlamenti és tanácsi

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK

6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK 6. MÉRÉS ASZINKRON GÉPEK A techikai fejlettég mai zívoalá az azikro motor a legelterjedtebb villamo gép, amely a villamo eergiából mechaikai eergiát (forgó mozgát) állít elő. Térhódítáát a háromfáziú váltakozó

Részletesebben

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1

A települési hősziget-intenzitás Kárpátalja alföldi részén 1 A települési hősziget-itezitás Kárpátalja alföldi részé Molár József, Kakas Móika, Marguca Viola A települési hőszigetek kifejlődéséek vizsgálata az urbaizáció folyamatáak előrehaladásával párhuzamosa

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1

Ingatlanok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Piaci érték: Igatlaok értékelése hozamszámítással 1-2. 1 Elıadás Igatlavagyo-értékelı és közvetítı Szakképzés, Igatlakezelı Szakképzés A-. modul Az az ár, amelyért az igatla méltá- yosa,, magájogi szerzıdés

Részletesebben

30. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 17., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2047, Ft. Oldal

30. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 17., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2047, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 17., péntek 30. szám Ára: 2047, Ft TARTALOMJEGYZÉK 4/2006. (III. 17.) MNB r. A Bartók Béla születésének 125. évfordulója emlékérme kibocsá

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

ú ű Í Í Ó ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ú Í ú ú ú ú ú ű Í ű ú ú ú Í ú ú ú É Ó Á Á Á É Á Á Á ú ű Á Á Á É ú É Á ű Á ű Á Á Á Á Á ú ú Á ú É Á É ű ű ú ű ú ű Í ű ú ú ú É Í É Í ú ú ű ú Í ú Í ű ű ú ű Í ú ú ú ú ű ú ú ú ű

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI. Oktatá si segédlet

MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI. Oktatá si segédlet MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Sersámgépe Tasée FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI Otatá si segédlet Misolc, 00 PDF created with FiePrit pdffactory trial versio http://www.fieprit.com

Részletesebben

Ó É Í ű ö ö ű í ö ö ö ö ö ö ö í ö ú ö í í ö í í í í ű ö í ö í ú Á Í Ó Á í ö ö ö ö ö ú Ú ö í í í ö ű ö ú ö Ú É É ö ú ö ö ú í í ú ú í ú ú í É ö É ö ú ú ú ö ú ö ú í É ö ö ö ö ö ö ú ö ö ú ú Á í ú ö Í ö í ö

Részletesebben

Á Á Á Ó ő ő ő í ő ö í ő ő ó í ó í ö ú ű í ó í ö ö őí ö ö ó í ő Á Á ö ö ű ö ö ö ö ö í ö ő ő ö ö í ő ö Ö Ú É Á őí í ö ö ö ö ö ő ö ő ő Ó ú ö ö ó Á ö ö ö í ö í ö í ű ö ö ű ö É ö ú ö í ö ú ű ö ű ö ö ő ű Ö ő

Részletesebben

ö í ő ő ő ö ö ö ö ö ő ő í ű ő ő ő ő ő í ű ő ő ő ű í ű ó ő ő ó ú ő ő ó ó í ó ö ö ö ő ő ő ő ú ú ó ö ö ő ő ű ö ö ú ó ó ó ö ú ő ó ö ő ő ö ő í ö ö í ő ö ő ö ő ö ú ő í ő ő ö ú ű ő ő ő ő í ö ö í í ú í ö ó ő ö

Részletesebben

Í ö Í ú Ú ö É Ú É Í Ó Ó ö ö ö Ö ú ú ú É Í É Í Ó Ú ö ö Ú É Í Ö ú ö ú ú Ö ú ű Í Ó ú Í ú Í Á É Í Ó Ö ö ú Ú Ö ö Ú É Í Ó É Í ú ű Í Í öé ö Í Í ú ú ű ö Í ú ű ö ú É ű ú ú Á ú Ö ú ú ö ö ú ű ú ö ö ö ö ú ű ú ö ú

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

É ü ü ü ü ü ú ü ű ü ű ú ű ü ú ü ű ü ü ü ű É ü ű ű Í ú ü ű Í ú ű ü ü Í ú É É ú Á Á É Á Á Á Á Á Á Á É Á Á Á ú Á É É ű Á Á ű Á Á Á É Á Á Á ú Ó É É Ó ú ű É É Á ú Ó ü ű ü ú Í ű ú ű ű ű ű ű ű ú Í ű ü ű Í ű ü

Részletesebben

ő ő ó ő ó ó ő ő ó ú ó ú ó ő ő ő ó ő ő ő ő ó Á ő Í ó ü ő ó ő ű ó ó ő ő ő ú ő ő ő ü ő ü ó ő ő ü ő ő ő ü ó ó ő ő ó ő ő ü ó ó ü ő ü ő ü ő ő ő ü ő ó ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő Í ó ó ő ó ő ü ő ú ü ő ő ó ő ú ő

Részletesebben

MEGHÍVÓ. 2008. augusztus 19. (kedd) napjára de. 9 órára összehívom, melyre Önt tisztelettel meghívom.

MEGHÍVÓ. 2008. augusztus 19. (kedd) napjára de. 9 órára összehívom, melyre Önt tisztelettel meghívom. BALMAZÚJVÁROS VÁROS POLGÁRMESTERE MEGHÍVÓ Balmazújváros Város Önkormányzat Képviselı-testületének Szervezeti és Mőködési Szabályzatáról szóló 4/2007. (III. 21.) sz. rendelete 5. (4) bekezdése alapján a

Részletesebben

Á Í Ü Ü Á ü Ü Á Á Í Ü Íú Í Ü Ű Í ü ü Í ű ú ú ü ü ü ú ú ű Á É Á Í ú ü ú ü ü Í Í ú Í ú Á É Ő Á ű ű ú ű Í ű ü ű ú ű ú ú Í ü ü ú É ű ü Í Í ú ú Í Ü Ő Á É Á ú ű ú ü Ú Í ü Í ú Í Í ú ú ű ú Í ú ű ű ü ü ü ú ü ü

Részletesebben

ű Ó ú ú ú ú ú Ö Ö ú Á Ú ű ú ú Ú É ú ú Ö Ö Ű ú ú ú ű ú É ű ú É ú ú ú ű ű ű ú ű ú ű ú ű ű ú ű ű ú ú Á ú É ű ú ú ű ú Ü ű ú ú ű ű ú ú ú ú Ö Ö Ú ú ú ú ú ú ú ú ű É ú ú ú ű ú ú ű ú ú ú É Í ú ű ú ú ú ú ű ű É ú

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

ö É ú Á Á Á Á Á É ü É É Á É ö Ő Ó Á Ő Ó Ó Í Ó Á ö Á Á Á Á Á É ÁÉ Á Á Á É É Ú É Á Á Á É É Á Á Á Ö Ö É É É É É É ú Á É É Ó Á Ó Í Ó Á Á Á ú Á ö É É É É É ő Á Ú Í É Á ö Á É Í É Ő Ó Ó Á É Í Á É É ö É Á Ő Ó

Részletesebben

ú Í Ú É Á É É ú ú ü ü Í ÍÍ Á Í Í ú É Í ú ú Í Í ű ú ú ú ú ú ú ü ú Í ú Ö ü ú Í Í ü Í Í É ű ú Í Í Á ú Á Í ú ü Í ú Í ü Í Í ü Í ú Í Í Í Í ú Í Ú Í ü Í ü Í ú Ó Í ü Í É ú É ú Í ü Í ú ú ú ú Í ü ú Í ü ü É Í Í ú

Részletesebben

Á Á Ö Á Ó Ü ü Á Ó Á Á Á ú É É É É É É Á Á Ó Á Ó Ó Á Ö Ó Á Ó Á Á Ó Á Ú Ö Ö Á Ö Á Á Á É Á Á Á Á Á Á Á Á É Ó É Á Ó É Ó Á Ó É Ó É Á Ó Ö Ö Á Ó ö ö ú Ö Á É Ó Ú Á Á Ú Ó Ó Ó Á Á Á Á Ú Á É Á Á ö Á Í Á Á É Í

Részletesebben

Á É Á Á É ű ű Í É ű Í É Í ű Ü Í Ü Ü Í Í Í Í Í ű ű ű Í ű Í ű ű É ű Í Í É Í ű ű ű É ű ű Í ű ű ű Í ű ű Í Í É ű Á ű ű ű ű ű ű Í ű ű Í Í Í Í Í Í Í É Í Í Í Í ű ű Í ű Á ű ű É Í É Í Í Í É É ű Í Í ű ű ű ű Í ű

Részletesebben

í Í Ő í Ü ó ó Ó ó Ó Ó Ó ó Ó Á Ó Ü í í ó í Ó Ü í Ó Ó í ó ó ő ő í Ó í Í í Ő í ó í Ó ö ó ó Ö ó ó Á Á ó Á ó É ő í í ő í Í í í í í ó ó ó í Ó Á ö Ö í í É Ő Á ó Á Á É Í É ó í ő í ő Ó ó ó í ó ő ó ó í ó ő Ó ő í

Részletesebben

ó Á Á É ó ó ó ó ű ó ó ú ó ó ú ü ó ó ó ü ó ó ó ó ó ó ü Í ű ó ű ú ü ű ó É ó ű ó ó ű ó ü ű ó ó ü ü ó ó ó ó Í ü ó ó ü ó ű ú ó ó ó ü ó ü ú ű ó ú Í Ú ű Í Ö ó Á Á Á Á É Á Á Á É ó ó ó ó ú ó ó ü ü ó ü ó ó ó ó ó

Részletesebben

Á Ú ő ú Ö ó ó ó ő ő ó Ö ő ú ó Ö ú ú ó Ü ú ó ó ó ó ű ó ó Í ú ő É É ő ő ű Ü ő ú ó ő ó ú ú ó ó ó Ö ú ő ú ő ú ő Ö ő Ü ő ó ó ó Ö ú ő ó ó Í Á É É É Á Á É É ó ú ó ő ó ó ó ó Ó ó ű ő ű ó É ú ó Ö ő ú ó Á É Á Í ó

Részletesebben

ű ű ű É Ü ű ű ű Ö Ü Ö ű Ö Ú Ö ű ű ű Á ű ű Á É ű Ú ű Ó ű É Ó É ű ű É ű ű ű Á ű ű ű ű Ö Ö É Ú Í ű Ó ű Ö ű Ö Ö Ö Ö Ö ű ű ű ű ű Ö É É Á Á É Ö Ö É Ú Á ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ő ű Á ű

Részletesebben

Í ö ö É Í ö ú ú Í ö Ö ú ö ú ú Ú ö ú Ö ú ú ú ú ú Ó ö ö ú ú ú Á ú Á ú ö Ú ö Ó ú Ú ö ö ö ú ö ö Á Í ö ö ú ö Í ö ö ö ö É ö ű ö Í ö ö ű ö É Á ö ö ö ö ú Í ö ö ú ö ö ú É Á Í ú ö ö ö ö Í Í ú Í Í Í É Í ű Í Í Í Í

Részletesebben

ó ű ü É ü ü í É ő É ü ü í ű ő í í ő ő ő ő í ő í ó ú ő ú ü Í ó ü ó í ü í ü ü ú ő ü í ü í ü ü ü Ü É É Ö ü Í í í ú ű ű ü í ú ó í í ó ü ű í ü Ü ü ő í ő ó ü í ó ü ü ű ü ú í ü ű ü ő ó ő í ü ú í ű ó ü ú ő Í ú

Részletesebben

ú ó ó ó ó ó ú ó í í ó í ú í ó í ú ó ű ú í Á ó í ó ó ó ó í í ó í í ó ó ó ó í ú ó ó í í í ó í ó í Ó Ö í ó ó ű í ó Ő ű í ó í í ó ű ű ú í ú í ó í ó í ó í í í í ó ú ó í ó í í Ő ű í ó í ó í ű ó ó ű ó ó ű í ó

Részletesebben

ú ú í í í í í ó ű í Ö Ú ó ő ő Ö í ó Ó ü Ó Ö í ó Ö íí í ó ó óó ó ó Ó ú ú ú í í ó í ő ó ó ú ú ú ú ó ó ó ó ú ú ő ó í ó ó Ü ú í ü í ü ű í Ü ú í ű í Ú í í í ú í ü Í ű í ü í í ü ú ü í í Í ó ó ó ú Í í ó ú í í

Részletesebben

Oktatási segédlet REZGÉSCSILLAPÍTÁS. Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József. Miskolci Egyetem

Oktatási segédlet REZGÉSCSILLAPÍTÁS. Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József. Miskolci Egyetem Oktatási segélet REZGÉSCSILLAPÍTÁS a Nemzetközi Hegesztett Szerkezettervező mérnök képzés hallgatóinak Dr. Jármai Károly, Dr. Farkas József Miskolci Egyetem 4 - - A szerkezeteket különböző inamikus hatások

Részletesebben

ő ő ű í ú ő ü ü ü ú ü ü ő ü ü ü ü Ó Ő Ö Ú Í Á Ű Ó É É Á É ü ü ő ü í ő ő í í í ő ő ű í ú ú í ü ú í Á Ö í ő ő ű í ú ű í ő ő ű í ú Ő Ó Ö Ú Í Á ÍŰ Ó É É Á É ű í í ő ő ő ő í ő ő ő ő í ő ő ő í í ü í Ö í í ú

Részletesebben

Ú Á É í ő í ó ó ó í ö í ö ö ö í ö ö ö ö ö Ú ö ó ö ö ö í ö í ő ö í í ő ö ú ö ó ö í Á í ó ő ú í ő ő ú í í ó ő í ó ó í í ő ó ó ó ő ó ó ő ü í ü ó ü ő ó ő ó ü í ó í ő É ö ö ö ő ü ő óí ö ű ö ü ó ö ö ő í ó í

Részletesebben

Ü Ü Ü Ü É í Ú ő í Ó ő ő ő Ó í Ó ő í í ő ő ő ő ő Í ő ő Ó ő Ó ő í í Ó í Í ő ő í ő ő É Ó í í ő ő í í ő Ó í ő ő Ó Ó í Í ő Óí ő Ü Ü Ü Ű Ó í Ó ő ő Ó Í ő Ó í ő ő í í Ó Ó í í Ó Ó ő í ő Ó Ó ő í ő í ő ő í ő ő ő

Részletesebben

á á Á Á É É ÉÉ ú í Á Á É ö É Á Á á á é á é á Ű é á á é ő á á á é ú ő ő é á ó é é á í á ó á é ő é á á á é ó í á á ü é é á é á á é á á ó é é ö é Ü Ö Ö á á é é í é ú á ö é ö é é á á é á á é é ő á ő ő á é

Részletesebben