I. HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS
|
|
- Benjámin Hegedüs
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS A középkor végéek Európájáb egre fotosbbá vát józás, csigászt, kereskedee és z ipr fejesztése Ezt fegorsut fejõdést esõsorb ûszki és tetiki víváokk köszöették A pézforgob érdeket szkeberek száár ktos kt gors kiszáítás érdekébe tábáztokt készítettek A egfeetetést görög ogosz, rá és ritosz, szá összevoásábó tios ogritusk evezték e 8
2 VEGYES ALGEBRAFELADATOK (ISMÉTLÉS) VEGYES ALGEBRAFELADATOK A 9 és 0 osztáb esjátított gebri ódszerek és eszközök ár sokfée fedt egodását teszik eetõvé Isétésképpe tváozás, gökvoás és evezetes zoosságok tékörébõ váogttuk össze éá fedtot Ezek egodásáoz é vie ötet ke de egodás eírás eegás, éá sorb egdtó Az ábbi fedtsorb z A, B,, F száértékeket ke egtározi Próbájuk üges száoáss, száoógép szát ékü egodi fedtot! péd (szávászos verse) A B C + D b + b + fb + 00 E 6 7 F Segítség: A: Az + ( ) zoosságot kztjuk B: Segít z ( + )( ) zoosság C: Az + z kifejezés tgjit érdees z + sorredbe csoportosíti D: Akítsuk át téezõket közöséges törtté! E: Lege pédáu 6, ekkor tört kú ^ ^+ F: Észreveetjük, og két égzetgök tt tejes égzetek szerepeek Eredéek: A ( ) B ( )( ) ( ) (8 drb ös) C ( + )( ) D f (A,,, 00 téezõkke egszerûsítetük) 99 00, íg tört E ^ ^ + ^ kú F: 0 6 ^ 6 és ^ 6 +, íg F ^ 6 ^ ^ 6 + Másképpe is ejártuk: F ^0 6^ , s ive F < 0, ebbõ F következik A következõ két péd egeg tetiki kzás Most is eõször öáó próbájuk egodi fedtokt 9
3 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Megfigeetjük, og Vjo fottódik ez szbáosság? péd Megodás kdrb kdrb kdrb kdrb Azt ke igzouk, og S f S f SS f f ide pozitív egész k szár tejesü Heettesítsük k drb esbõ áó S f száot v! Ekkor z S f szá 0 k +, és z igzodó k drb k drb áítás 0 k + kú Átredezés és v vó egszerûsítés utá 0 k 9 egeet dódik, és ez ide feti r igz: 0 k éppe k drb 9esbõ á Az észrevett szbáosság teát fottódik péd A drts evû ügességi játékb cétáb eges ezõire dobóí cézuk A egfeeõ,,, 0 ezõket etáv ei potot ér egeg dobás A küsõ véko körgûrût etáv dobásérték dupázódik, bejebb évõ körgûrû etáás pedig ároszorozz z értéket Még két speciáis ezõ v: cétáb piros közepe (Bu) 0 potot, körüötte evõ zöd küsõ Bu pedig potot ér Háro dobásbó egfejebb 80 pot éretõ e, áro trip 0st dob játékos (T0 + T0 + T0 80) Fedt: utssuk eg, og 7 pot e éretõ e áro dobásbó! Dup szektor Szip szektor küsõ Bu Bu Trip szektor 6 0 Megodás H z egik dobás 0es Bu (vg kisebb értékû), kkor rdék pot tú sok, két dobásbó e éretõ e Mide dobásk teát 0é gobbk, zz tripák ke eie De trip tátok, vit összegük is id oszttók, íg 7r ez e igz Ezért 7 pot vób e áíttó eõ 0 K K FELADATOK Mei z ábbi kifejezések kiszáított értékébe szájegek összege? 0 ^0 ) b) 0 ^0 7 7 c) S 99f9 0drb Mei z + + f + kifejezés potos értéke? (Segítség: gökteeítsük törteket!)
4 EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK Eõzõ évi tuáikb érteeztük vós száok egészkitevõjû tváát Terészetes kérdés: Bõvítetõe tváozás fog tetszõeges rcioáis, eseteg irrcioáis kitevõkre is? Ezt kérdést fogjuk vizsgái, eõtte isétejük át tváozás zoosságit Azoos pú tváok szorzt: +,! R,! 0,,! Z péd b b b b 7 p p p p b + b Szorzt tváozás: ^ b b, b,! R,! 0, b! 0,! Z péd ^ 7 7 b b b b ^k k Azoos pú tváok ádos:,! R,! 0,,! Z péd ^ +,! R,! 0 Tört (ádos) tváozás: k b, b,! R,! 0, b! 0,! Z b
5 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS péd 6 b 8 b 9 6 Htvá tváozás: ^,! R,! 0,,! Z péd 6 ^ k c k 6, k,! R, k! 0,! 0 Nézzük éá pédát z zoosságok összetett szátár, ezek segítségéve kifejezések egszerûbb kját keressük 6 péd Htározzuk eg z b b kifejezés értékét,, b 8! 8 Megodás b b b b 8 8 b 7 péd Hozzuk egszerûbb kr z ábbi kifejezéseket: ) 7 :,,! R,! 0 c ^ b) pq^p + q ^q p, pq,! R, pq! 0, q! p Fogk Megodás tváozás zoossági ) : c ^ b) pq^p + q ^q p pqc q p p + q c q p q p q p q ^ + c ^ + ^ p
6 EGÉSZKITEVÕJÛ HATVÁNYOK, AZONOSSÁGOK FELADATOK K K K Száítsuk ki z ábbi tváok értékét! ^7 9 ) 8, 8, ^ 8 d) 7 ^ b) ^ 6 : 9 e) c) f) 7 8 ^ + Dötsük e, og igzke z ábbi egeõségek! Ao z egeõség e igz, jvítsuk ki úg, og igz ege! ) d) b) 9 e) c) ^9 7 f) Írjuk fe egete tvákét z ábbi ûveetek eredéét! ) 9 8 b) ^6 K K 6 K Írjuk fe egtív kitevõ ékü z ábbi tváokt! ) b) c) d) e) b Írjuk fe egete tvákét z ábbi kifejezéseket! 6 9 ) ^ ^ d) ^ 0 b) 8 ^ ^ e) ^ ^ c) ^ ^ 7 ^ Frciországb 79be efogdott prefiuok: Írjuk egszerûbb kb z ábbi kifejezéseket! A prefiu A prefiu A prefiu ) b 8 : b, c ^ b,! R, b,! 0 eve értéke jee eredete jeetése b b kio 0 k görög ezer b) ekto 0 görög száz dek 0 d görög tíz Ajáott fedtok Gkoró és érettségire fekészítõ fedtgûjteé I 86 8, 87 88, 8 80 deci 0 d ti tized ceti 0 c ti százd ii 0 ti ezred
7 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ EDIK GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI Isétejük át z edik gök fogát és zoosságit! Defiíció Az defiíciój: eset H pozitív páros szá, zz k, k! N +, kkor z eegtív szá kdik göké zt eegtív száot értjük, eek kdik tvá k k ^, o 0, és k, k! N + eset H pozitív párt szá, zz k +, k! N +, kkor z vós szá (k + )edik göké zt vós száot értjük, eek (k + )edik tvá ^ k + k +, o! R, és k +, k! N + Megjegzés Neegtív vós szá edik göké zt eegtív vós száot értjük, eek edik tvá z szá egezik eg, o! N, A defiíció szerit: ^, 0,! N, A TANULT AZONOSSÁGOK I Szorzt edik göke egeõ téezõk edik gökéek szorztáv H 0, b 0, és! N,, kkor b b (H párt, és b egtív is eet) péd 7 8 ^ II Tört (ádos) edik göke egeõ szááó és evezõ edik gökéek ádosáv H 0, b > 0, és! N,, kkor b b
8 AZ EDIK GYÖK ÉS AZONOSSÁGAI péd e érteezett, ert 6 0 III Eg eegtív vós szá edik gökéek kdik, egészkitevõjû tvá egeõ szá ugzo kitevõjû tváák edik gökéve H > 0,! N,, és k! Z, kkor k ^ k péd ^ 6 ^ ^ IV Az edik gök kdik gökét feírtjuk úg is, og gök tti kifejezés ( k)dik gökét vesszük k k H 0,! N,, és k! N, k, kkor péd H, b pozitív vós száok: 6 ^ b 6 b b 6 b b 6 b b b b 6 b b V Htvá kú kifejezés gökéé tvákitevõ és gökkitevõ egszerûsítetõ, bõvítetõ k k H 0,! N,, k! N, k,! Z, kkor péd 8 6 ^ ^ + ^ 6 7^ Fogk gökvoás edik gök
9 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS FELADATOK K K K K K Dötsük e, og eik szá gobb! ) vg b) vg c) 0, vg 0, d) 7 vg 6 Áítsuk gság szerit csökkeõ sorredbe z ábbi száokt! Száítsuk ki z ábbi gökök értékét! ) c) , e) 00, b) 8 d) 96 Végezzük e z ábbi ûveeteket! ) b) c) c 6 0 Írjuk fe egete gökje segítségéve z ábbi ûveetek eredéét! ) c) e) 8 b) d) 6 Ajáott fedtok Gkoró és érettségire fekészítõ fedt gûj te é I , 90 9,
10 RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIAELV RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIAELV Az eõzõekbe z egészkitevõjû tváokt érteeztük, tváozás és z edik gök zoosságit isétetük át Nivávó feerü kérdés, kiterjesztetõe tváozás fog tetszõeges rcioáis kitevõkre H ez eetséges, kkor úg járjuk e, og z eddig egisert zoosságok érvébe rdjk Ezt z igét fejezi ki pereciev Vegük figeebe következõ zoosságot: k k ^, o k,! Z Teát rcioáis kitevõre szereték érteezi tváozást, kkor ege igz: _ i, o! 0,! 0,,! Z H idkét odbó edik gököt vouk: Még vizsgájuk eg, og ezt z összefüggést defiíciók fogdjuk e, kkor z érteezési trtoá ie p eseté fee eg evárásikk Háro probé erüet fe probé H z p egtív szá, kkor eetodásr jutták, pédáu: ^ ^ e érteezetõ vós száok zá, ezért egtív pot ki ke záruk probé k H k, kkor tejesüe? Az igzoásoz kítsuk át fetétet H k, kkor k Idujuk ki z igzodó egeõség b odábó k k k Az egeõségsorozt rdik épéséé szátuk ki fetétet, és igzotuk z áítást, zz törtkitevõ ás kb törtéõ feírásátó e függ tvá értéke 6 (Negtív p eseté ez se tejesüe: ) 8 ^! ^ probé A pereciev vizsgát: Bizoíttó, og tváozás zoossági is érvébe rdk k Pédkét vizsgájuk eg, og z + k zoosság érvéese! 7
11 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS k k k + k Egrészt: k + + k Másrészt: + k Az egeõségek jobb odi egegezek, teát b odk is egeõk k Ezze beáttuk, og régebbe isert + k zoosság érvébe rdt Hsoó igzotó többi zoosság egrdás is Defiíció Eg tetszõeges pozitív szá edik tvá z szá edik tváábó vot edik gök, zz, o > 0,! Z,! N, 0, péd Száítsuk ki következõ tváok potos értékét! ) b) c) b d) e) 8 00,, 8 Megodás 0 ) 8 8 b) c) 6 8 b 8 b 6 0 b, d) 0,0 b e) 6 ^ péd Hozzuk egszerûbb kr kifejezéseket! ) b) k ^ Megodás 8 ) k + b) +, > 0 ^
12 RACIONÁLIS KITEVÕJÛ HATVÁNY, PERMANENCIAELV péd Végezzük e ûveeteket, tváok pj pozitív vós szá! ) b k b) + b k 7 Megodás ) b k 0 0 b b b b) + b k + ^b + b + b + b Fogk pereciev rcioáis kitevõjû tváozás FELADATOK K K K K K 6 K Száítsuk ki z ábbi tváok értékét! ) b) 0 c) 7 b 8 d) 0, 0000, e) f) 6, g), 0 ) 7 6 6, i) b j) 8 06, Írjuk át z ábbi kifejezéseket gökös kb! ) b) c) d) e) Írjuk át z ábbi kifejezéseket egete szá tvákét! ) 8 b) 8 b c) d) 8 6 Írjuk fe egete gökje segítségéve z ábbi ûveetek eredéét! ) b) c) k _ i d) b b b 6 ^ ^ b Végezzük e z ábbi tváozásokt! 0, 0 ) k b) 6 c) b k 0 7 Írjuk eetõ egegszerûbb kb z ábbi kifejezéseket! ) b b b) b b + k ^+ b + b k 6, Ajáott fedtok Gkoró és érettségire fekészítõ fedtgûjteé I
13 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY Az eõzõ eckébe érteeztük pozitív pú, rcioáis kitevõjû tvát Mgsbb tetiki ódszerekke bizoíttó, og z érteezés kiterjesztetõ irrcioáis kitevõkre is Ez kiterjesztés, perecievek egfeeõe, egtrtj z eddig egisert tváozászoosságokt, vit tejesü következõ tujdoság: > vós szá, p, r rcioáis száok, q irrcioáis szá és p < q < r, kkor p < q < r 0 < < vós szá, p, r rcioáis száok, q irrcioáis szá és p < q < r, kkor p > q > r Az epoeciáis kifejezések vizsgátát, egeetek, egeõteségek egodását segíti, egiserjük z epoeciáis függvéeket és egfotosbb tujdoságikt Defiíció Azokt függvéeket, eekbe vátozó kitevõbe szerepe, epoeciáis függvéekek evezzük Az f : R R +, f (), o > 0 függvé z pú epoeciáis függvé Vizsgájuk eg z f : R R +, f () függvét, o > 0! Tekitsük eõször z f : R R +, f () függvét (Legegszerûbbe úg fogzták, og vizsgát epoeciáis függvé ádó értékbe többszörözõdik, pédáu eg bktériukutúr, e ide óráb egdupázódik ) Az egész, ietve rcioáis kitevõjû tvá érteezése, tujdosági pjá kijeetetjük, og z epoeciáis függvé szigorú ooto övekvõ A bevezetõbe eítettük, og bizoíttó, og z érteezési trtoát kiterjesztjük vós száok zár, kkor függvé ootoitás e vátozik A függvé grfikoj: A függvé egfotosbb tujdosági: D f R R f R + (ide pozitív értéket fevesz) Szigorú ooto övekvõ Zérusee ics Az ordiátteget grfiko (0 ) potb etszi 0 Feerü kérdés: Mie éeges tujdoságok vátozk eg, z pot ódosítjuk? 0
14 AZ EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY eset Lege z p: > Tekitsük következõ függvéeket: f: R R +, f^ g: R R +, g^ b : R R +, ^ ^ ( ) ( ) Megápíttjuk, og z eõzõ tujdoságok idegike érvées ezekre függvéekre is eset Lege z p: f: R R +, f^ Ebbe z esetbe függvé kosts függvé, grfikoj z tegee páruzos egees (Megjegzés: Sok esetbe z pot e egedik eg) 0 eset Lege z p 0 < < Tekitsük következõ függvéeket: f: R R +, f^ b g: R R +, g^ b Láttó, og éeges vátozás csk ootoitásb törtét! Tujdoságok: D f R R f R +, zz csk pozitív értékeket vesz fe Szigorú ooto csökkeõ Zérusee ics Az ordiátteget grfiko (0) potb etszi ( ) 0 ( ) 0
15 I HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS Összegezzük egfigeéseiket! (Terészetese ezek tujdoságok gsbb tetiki ódszerekke bizoíttók) < > Az f: R R +, f^ függvét, o > 0, epoeciáis függvéek evezzük A függvé egfotosbb tujdosági: H z p, kkor függvé kosts függvé H z p 0 < <, kkor függvé szigorú ooto csökkeõ H z p >, kkor függvé szigorú ooto övekvõ Midáro függvé csk pozitív értékeket vesz fe és ide pozitív értéket fevesz, vit z ordiátteget (0 ) potb etszi 0 péd Ábrázojuk és jeeezzük függvéeket! ) f: R R, f^ b) g: R R +, g^ c) : R R +, ^ b Megodás ) Az f: R R, f^ szigorú ooto övekvõ, ert z p é gobb A függvé grfikoj etoáss kptó k: R R +, k^ függvé grfikojábó, z etoás vektor: v(0 ) 0 0 b) A g: R R +, g^ szigorú ooto övekvõ, ert z p é gobb A függvé grfikoj etoáss kptó k: R R +, k^ vé grfikojábó, z etoás vektor: v( 0) függ
823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:
Mivel sikerült egész kitev j hatványokat is definiálnunk, felvet dhet a kérdés, hogy lehet-e racionális (tört) kitev j hatványokat is definiálni.
. 3. Törtitev j htváo Mivel sierült egész itev j htváot is deiiálu, elvet dhet érdés, hog lehet-e rioális (tört) itev j htváot is deiiáli. Kövessü z lái godolteetet!. Az. Iserjü z 3. Ezért -t rju deiiáli.
3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RUGALMAS VÉKONY LEMEZEK EGY LEHETSÉGES ANALITKUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS
BUDAPEST MŰSZAI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőéröki r Hidk és Szerkezetek Tszéke RUGALMAS VÉONY LEMEZE EGY LEHETSÉGES ANALITUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS Összeállított: Beréi Szbolcs Bódi
NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.
. feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk
forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
Harmonikus rezgőmozgás
Haronikus rezgőozgás (Vázat). A rezgőozgás fogaa. Rezgőozgás eírását segítő ennyiségek 3. Kapcsoat az egyenetes körozgás és a haronikus rezgőozgás között 4. A haronikus rezgőozgás kineatikai egyenetei
9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
különbözõ alappontok, y, y,..., y értékek. : függvény.) ( x)
7 Iterpoácó poomo Legee [ ] (Átá ho [ ] IR üöözõ ppoto IR értée : üggvé ( O Ρ (egee -edoú poomot eresü mere ( ( 7 Téte! Ρ mere Bzoítás meghtározás és z egértemûség zoítás htározt egütthtó módszeréve törté
A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)
A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:
44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6
9 évfolm HNCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MTEMTIKVERSENY MEZŐKÖVESD 5 Szóbeli feldto megoldási ) dju meg zot z egész értéeet mele mellett z 6 6 Z 6 6 6 6 is egész szám! pot 6 6 6 pot mide egész -re pártl íg or lesz
Három erő egyensúlya kéttámaszú tartó
dott: z 1. ábr szerinti kéttámszú trtó. Három erő egyensúy kéttámszú trtó 1. ábr Keresett: ~ rekcióerők vektor, szerkesztésse és számításs, z ábbi dtok esetén ; ~ speciáis esetek tgás. dtok: F = 10,0 kn;
ALGEBRA. 1. Hatványozás
ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:
képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
Kétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
Bodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak
ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,
Matematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
Tengely kritikus fordulatszáma
Mode függőeges ege eseé Tege kus forduaszáa Tegük fe, hog a vége csapágazo egee öegű árókerék heezkedk e, eek öegközéppoa e esk a forgásegebe, hae e excercássa eér aó. Eek haására az szögsebességge forgó
A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
é é é í ű é é ú ü é é ú é é ü é ő é ú é é ő ő é é é é ő é í ő í ő í ü é é é é ú í í é ő é é é ü é é é é é ú é é ü é é é ü í í í é é é é é é é é ő é é
ü é í é é é í ű é é ú ü é é ú é é ü é ő é ú é é ő ő é é é é ő é í ő í ő í ü é é é é ú í í é ő é é é ü é é é é é ú é é ü é é é ü í í í é é é é é é é é ő é é é í é ú ő í ü ő é í ú í í é í é ű é í ű é ő é
Az azonosságok tanításáról I.
Oktssuk vgy buktssuk Mjoros Mári 006. okt. Az zoosságok tításáról I. Dr. Mjoros Mári Az zoosságok tításáról I. Aki egpróbált ár idege yelvet tuli, tpsztlhtt, hogy yelv iseretéek és helyes hszálták tetiki
Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
4. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) F q
1 ZÉCHENY TVÁN EGYETE LKLZOTT ECHNK TNZÉK. ECHNK-ZLÁDÁGTN GYKOLT (kidogot: dr. Ng Zotán eg. djunktus; ojtár Gerge eg. ts.; Trni Gáor mérnöktnár).1. rimtikus rúd hjítás: q q / 60 N / m 15 N 75 N m 1 m T
ö é ü ö é é ü é í ü é é ü é é é é é é ö é é é í é ö é ö ö ö é ü ü é é é é é é ü é í í é é ü ö é é é é é ü é é é ú ú ö é Ó é ü é ü ü é é ö é Ö é ö é é
Á Ö É Ö Á É Ó Ü É ö í ü é é ö é Ö é ö é é é é é é ú ö é ö í é é é ü é í ö ű ö é í ú ö Á é é é é ö é é é ö é é í é é é ö é é ü é íé é ü é í é í é é é é é ű ú é ü ú é é é ö ö ű é é é é ö é é é é ö é ü ö
2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)
Nevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai
A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton
Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí
é é í á é é á é ő é ú ó ő é é í ő á é ő ő é ö á á ó í ú á á á é é á é é í é é é ő á á á é ö é é é á é é í é á á é á é á á í é é á á é á é ö é é é é é ü é á é é ö á á á é é é é ő é é á ú ű é á é ő é é ü
Kidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
ó ü í ó ü Í é é ó ó ő ó ü ö ő ú ő ö ö é é ó ö ö ó ó ö Í é é ö é ó ó ó ö é Í ó ó é ű é ó ő é é Í é ű é ó ö é ő é ó í ő é é é é ű é é é é é ó ő é ő é ó
É é ö é ő ő é ó ő é ű é é ó é ú Ö é é é Í ó ó é Íő ó ü é ő ú é ó ú ó ó ö ö é ú ö í é í ó é é é ö ö ü ő é é í ő ő ó ó ó ó ó ó ó ó ő Í ó ő é ó ö ü ő ó é é é é é é ú ó ő ö é é é é í ú é é ü é í é í ó é é
XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..
2.1. Mintavételes szabályozási rendszerek tervezése. Az elírt válasz módszere
é vé áoá vé. í vá ó. D- go. ooo ID áoáo vé gvóíá, poícó ID, á ID, óoío, ID oc SR c. o p p. go D-. go c o p c goo ID co, ID po, c, ofc c f.. vé áoá vé. í vá ó pj áíá goo öé gá áíógép gvóíjá g. áíá goo é
A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
Lineáris egyenletrendszerek
Lieáris egyeetredszere dott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: b H z -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i det, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius
Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra
. Adott z =, =,3, + 3 soozt. Számíts ki lim 3 htáétéket. Megoldás: Előszö lkítsuk át z k kifejezést: k = + k 3 = k3 k 3 + = (k (k + k + (k + (k k + = k k + k + k + k k +, k =,3, Ez lpjá z szozt átíhtó
Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö
ö É Á É É í ó Á Á É ó É í ű í é é é í é é ő ó é é ü é ó é í é é í É é é í í é ó ú í öó ó ó é ö ó ő é í ó öó é é é ü é í é ó é é é í é é í í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é
b) A tartó szilárdsági méretezése: M
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNK TNZÉK 5 MECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidogot: dr Ng Zotá eg djuktus; ojtár Gerge eg Ts; Tri Gábor méröktár) 5 Rúdserkeet siárdságti méreteése: d kn kn kn m m m dott: kn
NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5. MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr. Nag Zotá eg. adjuktus; Bojtár Gerge eg. ts.; Tarai Gábor méröktaár) 5.. Rugamas sá differeciáegeete (ehajás
Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
Térbeli mechanizmus alkalmazása az emberi térd kinematikai vizsgálatában
Dr. Bíró Istvá Térbe mechmus kmás ember tér kemtk vsgátáb Össefgó: A ember tér mgásvst évteek ót sáms bmechk kuttócsprt vsgáj. Műsk semptbó éve rekívü össetett, és sjáts jeemőkke bíró prbémáró v só. Eek
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport)
Matematika tanmenet 11. évfolyam (középszintű csoport) Műveltségi terület: MATEMATIKA Iskola, osztályok: Vetési Albert Gimnázium, 11.A, 11.B, 11.D (alap) Tantárgy: MATEMATIKA Heti óraszám: 4 óra Készítették:
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
ü Á É Á Á Á É É ü É ő Á É Í Í É É É í é í ö í ü ö é ö ö é ú é é é é é é ő ő ő é É é é ü é é í é É É É é í ö é é é Í é í é é ö ü é í ö é é É í ö é é ú ű É ö é é ö ö é ö ö ö é í ö é É ö í é é ü é Á é ü
FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL
FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá
REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kdogozt: r. Ngy Zotán egyetem djunktus 4. fedt: Mndkét végén efzott rúd ongtudnás rezgése (kontnuum mode) A, ρ, E Adott: mndkét
Kardos Montágh verseny Feladatok
Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek
2.4. Vektor és mátrixnormák
4 Vektor és mátrormák következõkbe összefoglluk témkörhöz felhszálásr kerülõ már tult smeretgot s Defícó : IK IR, ( IN, I K vlós vg komle számok hlmzát elöl) többváltozós függvét vektorormák evezzük, h
www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.
Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például
ő ó ű í ú é é é ö é é ő ü ű Ö ő é ő ű é é ő ó ü é é Ő í í ó ö ó é ö é ő ű ö é é é ö é í é é é ő é é é ő é é ű ö é é Ó Ó é é é ó í ü ú í é é é é é í ö
ó Á ú í é é é ö é Ö ő é é ő é ű ó ö é é é é é é ö é é é é ú ö é é é é ő é ő é ö é í ó é é Ö é ö é é ő é é é é ö ő é é é é é Íé ő ö é é ő ő é é í é ó ö ő é é é ó ö é é í ő ö é ú ö ö é ó ó Á í ü ő ö é ü
3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
VI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
é ö é ő ü ü ö é ó ó é ü ö é ö ö ö ö Ú é ő ő ö Í é Ú ó őö ó ö é ó ö ü ő ő ő ü ő ő ö é ő é ő ő ö ó ü é é ő ő é ö ö é é ó ó ö ó Í ö ó ó ő ő ó ó é é é é ö ú ü é é É öí ó é ő ö ú ó ö ó ó ó é ö é é ő ö Í é ő
Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív
Lineáris algebrai alapok *
Lieáris geri po * dieziós átri: z soró és oszopó áó ós szátáázt. Jeöés: dieziós etor z soró és oszopó áó átri. Jeöés:, ho i z i-edi oordiát., ho i z i-edi sor -edi eee. dieziós etor z z dieziós etor, eye
Matematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
Sorozatok határértéke
I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező
Lineáris egyenletrendszerek. Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lieáris egyeletredszerek Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetei doces Li. egyeletredszerek /2 Lieáris egyeletredszerek áltláos lkj Áltláos (részletes) lk: egyelet iseretle:,, Jelölések: 2 2 2,, 2 2 2,,
Érintő, trapéz, Simpson formulák és hibabecsléseik Összetett formulák (szabályok) l i. integrál közelítésére felírt c f. kvadratúra formula pontos f n
Gykorlt (4 ápr 9) Nuerkus tegrálás Elélet: Iterpoláós típusú kvdrtúr orulák Newto-Cotes típusú kvdrtúr orulák Értő, trpéz, Spso orulák és heslések Összetett orulák (szályok) Legye :, IR, korlátos és w,
12. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Németh Imre óraadó tanár, Bojtár Gergely egyetemi ts., Szüle Veronika, egy. ts.
ZÉCHENYI ITVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANZÉK. MECHANIKA-MOZGÁTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Néeth Ire óraadó taár, Bojtár Gergel egetei t., züle Veroika, eg. t.) /. feladat: Cetriku ütközé Adott: kg,
ü ý Ó ć Ĺ ü ü ú Ö ü ü ü ü ú ź ü ź ö ö ź ü ü Ó ö Í ö ö ý ö Í Ĺ Í ł ü ń ö ú Ö ü ü ü ý ö ö ü ú Ö ł ü ü Ö ü ú Ö É Ĺ ö ú ú ü ű ź ü ú Í Íö ú ü ű Ĺ ć Íě Ż ú Ö ü ü Í Í ú Ö ü ü Í ü ý ü ü ń ü ę ö ö ö ü ć ú Ó ú ü
Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é í é é í é ő í ü é é é Í é ő í ó í é ő é í ü í ő ő é ú í ó é é ö é ö é é é é ú í ó é í ü í é ú ú ö ö é é ú í ő
í ó Ö Á Á É í ó ü é ó é é ű í Ó é ű ó ü é é ú Ö é í é ű Ő ó ö é é é é í é ö ő í é í ó í é ő ő Ö é ő ó í é ű Á é ü ö í é ü ö ö ő í ű ö ő ű é é é é é é ó é é é ó ó í ó ö é é í ó ó é í í ó ö ü ő ö ö é ő é
EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A
Kétváltozós függvények
Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális
Hatvány gyök logaritmus
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor
A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához III. rész
A befogott tartóvég erőtani vizsgáatához III. rész Az I. részben a befogott gerendavéget merevnek, a tehereoszást ineáris függvény szerintinek vettük. A II. részben a befogott gerendavéget rugamasan deformáhatónak,
Ó É É Ó Á Á É É Á É ő é á é é ö é ú á ú áí í á Í á Íó ü Í í é ú í á é é ú á á á é é á ő é é ű á á í é é ü é é é ó í á á ó é é ő é ú á é ö é ó á á á í
Ó É É Ó Á Á É É Á É ő é é é ö é ú ú Í í Í Íó ü Í í é ú í é é ú é é ő é é ű í é é ü é é é ó í ó é é ő é ú é ö é ó í é é é őí ö é í é é É ő é ű í é ö ö é é é ö é íí é é é é ö í é é é ó í ö ő ü ö ó é ő ü
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait.
modu: Kinematika Kinetika 4 ecke: Forgó tömegek kiegensúoása ecke céja: tananag fehasnáója megismerje a forgó tömegek kiegensúoásának eméeti aapjait Követemének: Ön akkor sajátította e megfeeően a tananagot
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 11.E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos
ő é ü Ó Ó ö é Ó Ó ú Ó ö é é í é ü í é ü í ö éí íé é é é é í ő í é é é é ő ö ö é é ü ú ö é í é ü ú ő é í é é é é é é ő é é é é é é é ő é é é é Ó Ó é ü
é ú Ö Ó é ú é é ú ö é é ő é é é ő ü é é é ö é é ő é ő é é é é é ű í ö é í é é é é é ö ö é ú Ó ő Ó ő í ü ő ü é é ü í ő é é ő ő é é é í ő í é é é é ő ü é é é é ö ő é ő Ó ő ö é ő ő ő í é ő é é Ó ö é ő ő é
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é
öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é á á á ó Ó á ó í éí é á á á áí ó Í ö é ő á á á á á
ő Í é ő Ö Á ö ő Í é ő ö é é í é ü é ú é ű Í ú ö é ű í é ő í ő é ő í é ő Í é ő ő Í í í é é é é í ü ő é ú ö é ö í é é é é é ö é ű é é é é é é é é é é ö é ö é é é í é ú é é é é í é é ő é é í é é í í ú é ú
Lossnay Models: Használati kézikönyv LGH-15RVX-E LGH-25RVX-E LGH-35RVX-E LGH-50RVX-E LGH-65RVX-E LGH-80RVX-E LGH-100RVX-E LGH-150RVX-E LGH-200RVX-E
1409875HK9501 Modes: LGH-15RVX-E LGH-25RVX-E LGH-35RVX-E LGH-50RVX-E LGH-65RVX-E LGH-RVX-E LGH-100RVX-E LGH-150RVX-E LGH-200RVX-E Haszáati kéziköyv eergiatakaékos hővisszayerős szeőztető MODELLEK: LGH-15RVX-E,
Á É Á É Ü É é í ü ü ü é é ö é é é é ö é ó ó é é í ó é é é é ü é ó ó éó ó ó é é é é é é é í ó Ü ö ö ű é ű í é ó é ó é ü é í ü é ü ü é é í ö ö é ü é í ü ü é é é ü ö é ó ó ö í ó é é ü ö é ö í é é é é ü é
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
ő ű í ő ú í í Á ű í ő ő ő ő í É í í ő Ö Ö Ö Á Í Á ő ő ő ő É ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő
Á ő ő ű í ú ő ő ő ő í í í ő ő ő ő í ő ő ő ű í ő ú í í Á ű í ő ő ő ő í É í í ő Ö Ö Ö Á Í Á ő ő ő ő É ő ő ú ú ú í ő Á Ö ő ő í ő ő ű í ú í í ű í ő ő ő ő í ő ő ő ő í ő ő ő ő í É í í í í ű ő í í ő ú ű í ú í
ANNALES MUSEI NATIONALIS HUNGARICI.
III ANNALES MUSEI NATIONALIS HUNGARICI A FELSŐBÁNYAI Irta Dr KOCH 96 ANDORITRÓL SÁNDOR (Hat áráva) L ' A N D O R I T E DE Par e Dr FELSŐBÁNYA ALEANDRE KOCH (Avec 6 figures) A Magar Tudoáos Aadéia 89 évi
SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
A valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós