ANALÍZIS III. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ANALÍZIS III. TÉTELEK ÉS DEFINÍCIÓK"

Átírás

1 ANALÍZIS III. ÉELEK ÉS EFINÍCIÓK KIMONÁSA (LEHESÉGES BEUGRÓ KÉRÉSEK) KÉSZÍEE: Pty Adrá Lázló

2 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) trlomjegyzé ARALOMJEGYZÉK HAÁROZALAN INEGRÁL... F z egy prmtív v-e... htároztl tegrálj... Lertá... Prcál tegrálá... Helyetteítéel vló tegrálá... HAÁROZO INEGRÁL... m I é M I... Feloztá ([,] tervllum egy eloztá τ), oztópot... eloztá omág... ozcllácój (gdozá) I-... Aló/elő özelítő özeg... Ozcllácó özeg... Feloztá omítá... Aló/elő özelítő özege özött özeüggé... Aló é elő özelítő özege özött özeüggé... K Ozcllácó özege özött özeüggé... roux-éle ló/elő tegrál... roux-éle ló é elő tegrál özött özeüggé... v. Rem-tegrálhtó... v. Rem (/Htározott) tegrálj... Evvle állítá Rem-tegrálhtóágr... Függvéy é Rem-tegrálhtóág özött pcolt... Itegrál moototá, v. zolútértéée tegrálhtóág... Newto-Letz ormul... Itegrálhtó v.- özege... Homogetá tétel... Itegrálhtó v.- zorzt... Itegrálhtó v.- háydo... Mjdem zoo v.- tegrálhtóág... 3 A Rem tegrál tervllum zert ddtív... 3 Közelítő özeg... 3 Itegrál özelítő özege áltláoított htárértée z tegrál eltűő tergálv... 3 Itegrálv. olytooág... 3 Helyetteítéel vló tegrálá tétele... 3 Prcál tegrálá tétele... 3 Gro írt töröttvol hoz... 4 gr ívhoz... 4 Ívhoz éplet... 4 erület... 4 Forgátet térogt... 4 Forgátet elzíe... 4 ylor-ormul tegrál mrdél... 4 Impropu tegrál... 4 MERIKUS EREK... 5 Euldez távolág... 5 Euldez orm... 5

3 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) trlomjegyzé Norm tuljdoág... 5 Euldez lár zorzt... 5 Slár zorzt tuljdoág... 5 p-metr... 5 p-orm... 6 Metr, távolág... 6 Metru tér... 6 zrét metru tér... 6 Norm... 6 Normált tér... 6 Slár zorzá... 6 Euldez tér... 6 Evvle metrá... 6 Köryezet... 6 Pot típuo Belő pot orlódá pot Izolált pot... 6 Nyílt hlmz... 6 Metru tér topológáj... 6 Nyílt hlmzo metzete é uój... 7 opologu tér... 7 Zárt hlmz... 7 Zárt hlmzo metzete é uój... 7 A hlmz eleje... 7 A hlmz lezárá... 7 Özeüggő hlmz... 7 Özeüggő hlmz olytoo épe özeüggő... 7 Bolzo-tétel áltláoítá... 7 KONVERGENCIA, HAÁRÉRÉK, FOLYONOSSÁG... 7 Kovergec... 7 Evvle átoglmzáo overgecár... 7 Az x -ed oordátorozt... 7 Vetororozt overgecáj... 8 Egyeletee overge, htárv Folymtoág é egyelete overgec pcolt... 8 Zárt hlmz é overgec pcolt... 8 A ompt hlmz... 8 Cuchy-orozt... 8 Kovergec é Cuchy-orozt pcolt... 8 elje metru tér... 8 Bch-tér... 8 Hlert-tér... 8 Fxpot-tétel... 8 Fv.- htárértée... 8 Fv.- olytooág... 9 Weertr-tétel... 9 Hee-tétel... 9 Ivertálhtó olytoo v. verze olytoo...9 Átvtel elv... 9

4 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) trlomjegyzé ERIVÁLHAÓSÁG... 9 erválhtóág... 9 A dervált egyértelmű... 9 Jco mátrx... 9 ervált, értővetor, grde... 9 Jco mátrx zámítá... 9 Iráy met dervált... 9 erválhtóág é ráy met dervált pcolt... 0 Prcál dervált... 0 Grde zámolá... 0 K Jco mátrx prcál derváltl... 0 Kétzer derecálhtó v Máodredű prcál dervált... 0 Youg-tétel zer derecálhtó v Youg-tétel terjeztée... 0 Multdex, multdex hoz, torál hoz trtozó -ed redű ylor-polom... 0 Prcál derecál é derecál pcolt... Az egyváltozó Lgrge-tétel terjeztée... L Özetett v. derválá zály... ylor-ormul Lgrge-mrdél... ylor-ormul Peo-mrdél... Iverz v. derecálhtóág... KVARAIKUS ALAKOK, LOKÁLIS MINIMUM ÉS MAXIMUM... Kvdrtu lo... A vdrtu l olytoo... poztív/egtív (zem)det... Sylveter rtérum... Loál mmum/mxmum... Elő redű züége eltétel... Máod redű elégége eltétel... Máod redű züége eltétel... LINEÁRIS LEKÉPZÉSEK, FRECHE ERIVÁL... Leár leépzé... Korláto leár operátor... elje metru tér é orláto leár operátoro hlmz özött özeüggé... 3 Folytooág é orláto leár operátor pcolt... 3 Frechet-dervált... 3 Mátrx orm... 3 EGYÉB... 4 A π evezetée... 4 Perodu v... 4 A prmétere tegrál... 4 A prmétere tegrál olytooág é derecálhtóág

5 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) HAÁROZALAN INEGRÁL I R F z egy prmtív v-e h: : I R F: I R F F' = htároztl tegrálj : = { F: I R : F prmtív v.-e -e} F : = F + C : C R { } Lertá, g: I R, g λ R : + λg = + λ g Prcál tegrálá, g: I R, g ' g g' = g ' g Helyetteítéel vló tegrálá J R tervllum g: J I, : I R,, g gg' = g M előző tétel é g jecó : é = ( ') g I J gg g HAÁROZO INEGRÁL < < < + :, R orláto v. mi é MI I, m : = x : x I { } { } I M : = up x : x I I Feloztá ([,] tervllum egy eloztá τ), oztópot τ, vége,, τ, τ = x,..., x x = < x <... < x = { } x - oztópoto eloztá omág δ τ = 0 { x x } : = mx + ozcllácój (gdozá) I- ( { }) ο : = M m = up x t : x, t I I I I Aló/elő özelítő özeg (, τ ): = ( ) m x x = 0 x, x+ (, τ ): = ( ) = 0 x, x+ + S M x x Ozcllácó özeg ω(, τ) : = S(, τ) (, τ) = o[ x, ]( x ) x x + + = 0 Feloztá omítá µ, τ eloztáo é µ τ Aló/elő özelítő özege özött özeüggé H τ µ eloztá omítá, µ, τ é S, τ S, µ

6 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) K Aló é elő özelítő özege özött özeüggé τ, µ eloztár:, µ S, τ Ozcllácó özege özött özeüggé µ τ eloztáo ω, τ ω, µ roux-éle ló/elő tegrál I : = up, τ : τ eloztá R * ( τ) * I S { } { τ } : =, : eloztá R roux-éle ló é elő tegrál özött özeüggé * I I * v. Rem-tegrálhtó * I* = I jel.: R, v. Rem (/Htározott) tegrálj * H R, = I = I Evvle állítá Rem-tegrálhtóágr R, ε > 0 : τ eloztá: ω, τ < ε * Függvéy é Rem-tegrálhtóág özött pcolt. C, R, R R[ ]. :, : mooto, Itegrál moototá, v. zolútértéée tegrálhtóág., g R,, g g. R, R, é = Newto-Letz ormul [, ], : R F = F F Itegrálhtó v.- özege, g R, + g R, é + g = + g Homogetá tétel R R,, λ λ R, é λ = λ Itegrálhtó v.- zorzt, g R, g R, Itegrálhtó v.- háydo, g R,, R > 0 /zz: m> 0 : x, : g x m / R, g g

7 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Mjdem zoo v.- tegrálhtóág, g:, R A: = x, : x g x { } H A vége. R, g R,. R, = g A Rem tegrál tervllum zert ddtív :, R, < c< g x : = x x c, h x : = x c x. R, g R, c é h R c, c. R, = g + h c Közelítő özeg (özülő tégllpo területée özege) :[, ] R, orláto, τ : = { x0,..., x} [, ] eloztá ˆ τ:= x, x... x, x, ζ:= ζ,..., ζ ˆ τ 0 0 ( ) = ( x x ) σ, τ, ζ : ζ özelítő özeg = 0 + Itegrál özelítő özege áltláoított htárértée z tegrál ( özelítő özege trt z tegrálhoz, h eloztá omág trt 0-hoz) :, R orláto, I R [, ] é 0: 0: : ˆ : (,, ) R = I ε > δ > τ δ < δ ζ τ σ τ ζ I < ε - eltűő tergálv. I R tervllum, : I R é αβ, I, R[ αβ, ], ll. x I F x : = x I F = 0 Itegrálv. olytooág. F C. x I C x F x F' x = x {} {} Helyetteítéel vló tegrálá tétele : I R, C, αβ, R α< β, g: αβ, I g C β ( β ) gg' = α g g ( α) Prcál tegrálá tétele, g,, ', g' R, ' g = g g g' τ 3

8 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Gro írt töröttvol hoz ( τ ) R ( ) { R } :, C gr = x, x : x { x0 x} [ ] l ( x+ x) ( ( x+ ) ( x) ) ( ζ) ( x+ x) τ : =,...,, = + = + ' l : = l = 0 gr ívhoz l: = upl τ R τ Ívhoz éplet ( ) l = + ' erület { } R 0 C, : = x, y : x,, y 0, x területe : = Forgátet térogt { } 3 R 0 C, V : = x, y, z : x,, y + z x V térogt : = π Forgátet elzíe { } 3 R 0 C, A: = x, y, z : x,, y + z = x A elzíe : = π + ' ylor-ormul tegrál mrdél I R yílt tervllum, : I R : C = 0 + ( ) x ( ) ( + ) () x, I : ( x) x = t x t dt!! Impropu tegrál [ ) R ( R) :, +, : R,, F : = + H lm F R : = lm F mpropru tegrál + + 4

9 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) MERIKUS EREK Euldez távolág, x: = x,..., x, y: = y,..., y K = : X j= ρ xy, : = y x ( xy) ( xy X) ( xy) = x= y ( xy X) ( xy) = ρ( yx) ( xy X) ( xy) ( xz) + ( zy) ( xyz X). ρ, 0,. ρ, 0, 3. ρ,,, j 4. ρ, ρ, ρ,,, Euldez orm = j ρ x : = x x X / x, y = x y x, y X / Norm tuljdoág xy, X, λ K. x 0. x = 0 x= λx = λ x x + y x + y Euldez lár zorzt = x, y X x, y : = x y / x = x, x x X / Slár zorzt tuljdoág x, yz, X, λ K. xy, K. xx, 0 3. xx, = 0 x= 0 4. x + yz, = xz, + yz, 5. λxy, = λ xy, 6. xy, = yx, p-metr ( ρ = ρ ) = p + x y X ρ p ( x y) = mx{ x y }, h p=+ =,,,, : / p p x y, h p<+ 5

10 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) p-orm ( = ) / p p x, h p< + = p +, x X, x : p = mx { x }, h p=+ = Metr, távolág X, ρ: X R-r gz z Euldez távolág tuljdoág ρ metr ρ ( xy, ) z xé z ytávolág ( xy, X) Metru tér ( X, ρ ) metru tér zrét metru tér 0, h x= y ( X, ρ), h ρ =, ülöe xy, X Norm X leár tér K elett, X x x R é teljeüle orm tuljdoág orm Normált tér X, ormált tér Slár zorzá Xleár tér K elett, X xy, xy, K é teljeüle lár zorzá tuljdoág, lár zorzá Euldez tér X,, Euldez tér Evvle metrá X, ρ, X, ρ metru tere ρ ρ h α, β > 0 : x, y X: αρ xy, ρ xy, βρ xy, Köryezet X, ρ metru tér, X, r > 0 : = x X : ρ x, < r r { } Pot típuo A X, α X. Belő pot: α elő potj - ( α t ), h α é ( α) : ( α). orlódá pot: α torlódá potj - ( α '), h ( α) : ( α) 3. Izolált pot: α zolált potj A-, h α A é ( α) : ( α) A= { α} Nyílt hlmz A X : z A yílt h A= vgy A: t A Metru tér topológáj Τ= : A X : A yílt z X, ρ mt. topológáj { } A A A A A A A = 6

11 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Nyílt hlmzo metzete é uój, X Τ, Γ : A Τ γ Γ A Τll. Γ < eeté A Τ γ γ γ γ Γ γ Γ opologu tér X hlmz, Τ X é z előző tétel teljeül X, Τ topologu tér Zárt hlmz X, ρ mt., A X zárt h X \ A Τ Zárt hlmzo metzete é uój, X zárt é h Γ : A zárt γ Γ A zárt ll. h Γ < A zárt γ γ γ γ Γ γ Γ A hlmz eleje A X,t A: = A hol A : γ Γ = B Τ: B A γ Γ γ { γ } { } A hlmz lezárá A: = B hol B : γ Γ = B X : B zárt é A B γ Γ γ { γ } { } Özeüggő hlmz X, ρ metrutér, A X em özeüggő, h: A, A X yílt : A A ( =,) é ( A A) ( A A) = A= ( A A) ( A A) özeüggő, h eltétele em teljeüle Özeüggő hlmz olytoo épe özeüggő m A K özeüggő, : A K, C R özeüggő Bolzo-tétel áltláoítá A K özeüggő, : A R, C:, A: < c, : x A: c= x KONVERGENCIA, HAÁRÉRÉK, FOLYONOSSÁG Kovergec x= x : X overge h: α X : ε > 0: N : > N : ρ x, α < ε (! α é lm x : = α) Evvle átoglmzáo overgecár. lm x= α lm ρ x, α = 0 ( ( )). lm x = α α : x α mjdem -re Az x -ed oordátorozt, X : = K, p + : ρ : = ρ K x: x :,,, () () ( ) x : K x = x,..., x p 7

12 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Vetororozt overgecáj x= x : K α = α,..., α K ( ) () () overge é lm α [, ]: overge é lm x x= x x = α Egyeletee overge, htárv. Z,, : Z R é ε > 0: N : > N : t Z : t t < ε z () ( ()) () () orozt egyeletee overgál -hez t Z : t = lm t htárv. Folymtoág é egyelete overgec pcolt < < < + X : = C, ρ: = ρ = : C,, C,, lm egyeletee overgál -hez Zárt hlmz é overgec pcolt X, ρ mt., A X zárt x A, x overge lm x A A ompt hlmz X, ρ mt., A X A= vgy x A : υ dexorozt, hogy xυ overge é lm xυ A A zárt é orláto ( zz α : A α ) Cuchy-orozt X, ρ mt., x X x Cuchy-orozt h: ε > 0: N :, m :, m> N : ρ x, x < ε Kovergec é Cuchy-orozt pcolt H overge x Cuchy-orozt x elje metru tér X, ρ mt. telje, h: x: X : x overge x Cuchy-orozt Bch-tér X, t. é ρ x, y : = x y x, y X é X, ρ telje Hlert-tér ( X ) x = x x ( x X) ( X ),, Euldez tér é :, é, Bch-tér Fxpot-tétel X, ρ telje mt., : X X é otrcó ( otrcó: 0 q< : x, y X : ρ( ( x), ( y) ) qρ( x, y) ).! α X : α = ( α). x X : x = ( x ) ( ) :lmx = α 0 + q. : ρ x, α ρ x, x q Fv.- htárértée ' X, ρ, Y, σ mt., X Y,, A Y m 0 ( ) lm = A ε > 0 : δ > 0 : x : 0 < ρ x, < δ : σ x, A < ε 8

13 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) Fv.- olytooág X, ρ, Y, σ mt., X Y, C{} 0: 0: x : ( x, ) : ( x), ( ) ε > δ > ρ < δ σ < ε Weertr-tétel ( X, ρ),( Y, σ) mt., X Y, C, ompt R ompt Hee-tétel X, ρ, Y, σ mt., X Y, C, ompt egyeletee olytoo ( zz: ε > 0 : δ > 0 : xy, : ρ( xy, ) < δ : σ ( ( x), ( y) ) < ε) Ivertálhtó olytoo v. verze olytoo X, ρ, Y, σ mt., X Y, C, jetív, ompt C Átvtel elv m K K, : {} : : lm : overge é lm C x x= x x= ERIVÁLHAÓSÁG erválhtóág m 0 < m,, R R, t, h: { } ( ) m m A R : ε R R : x = A x + ε x x x é lmε = 0 A dervált egyértelmű m! A R, hogy előző tétel... Jco mátrx ' : = A, dervált mátrx z - ervált, értővetor, grde m m R R A R; R R A R ; R R A R grd Jco mátrx zámítá =,..., : R R, m ( ) ( ) {} {} grd ( ) {} = grd ( )., m :. ' m m Iráy met dervált g R R, g,, e R : e = { } ( + ) g g te g lm = : eg ( ) eg ( ) = grdg ( ), e t 0 t ( ) 9

14 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) K erválhtóág é ráy met dervált pcolt m h( + te) h( ) h R R, t h, e R : e = é lm = : eh t 0 t h e R : e = h é h = h', e {} e Prcál dervált g, t,, : e R : e = é () () { } g () j [, ] : j : ej = 0 é eg( ) = : g( ) ( gel -ed változó zert prcál derváltj) Grde zámolá g, t, grdg = d,..., d, : e R : e = é { } () () g () grdg ( ) = ( g ( ) g ( ) ) j, : j : e = 0 : g é g = grdg, e = d Azz:,..., j Jco mátrx prcál derváltl (,..., ) { } ' ( ) = = m = = Kétzer derecálhtó v., h : x : x é, : { } { } { } e m Máodredű prcál dervált g R R,, j, : g: = g /h / j j Youg-tétel { }, j [, ] : j ( ) = j ( ) -zer derecálhtó v.,, h : x : x é { } { } ( -) -ed redű prcál dervált v. { } Youg-tétel terjeztée,...,,..., : é = { } { } hol,..., z,..., tetzőlege permutácój Multdex, multdex hoz, torál =,..., : =!: =! = = ( ) h= h,..., h : h : = h = -ed redű prcál dervált = -hoz trtozó -ed redű ylor-polom ( ) 0 <, {}, ( h) : = ( ) + h! = = () 0

15 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) L Prcál derecál é derecál pcolt 0 <, R R, t é : j, : x : [, ]: : { } é { } j x x C j Az egyváltozó Lgrge-tétel terjeztée 0 <, R R,, h R, h 0, [, + h] : = + th R : t [ 0,] ( ζ ) ζ 0, : + h = grd + h, h { } Özetett v. derválá zály r r v 0 < rv,,, h R R, H R R, h α, H h { } { ( α )} { α},( )'( α) '( ( α) ) '( α) H h H h = H h h ylor-ormul Lgrge-mrdél + 0 <, R R,,,, h R : h 0,, + h ζ ( 0, ): ( + ) = + = + ( ζ h) + h h h! ylor-ormul Peo-mrdél 0 <, R R,,, h R, + h h 0 η R R: + h = h + η h h η h 0 Iverz v. derecálhtóág R R vertálhtó v.,, R A= ' em zgulár (vertálhtó) { } ' { } é ( ) t, R C = A { } Kvdrtu lo ( ) KVARAIKUS ALAKOK, LOKÁLIS MINIMUM ÉS MAXIMUM A= R zmmetru mátrx, = Q x : = Ax, x x R A vdrtu l olytoo (Q C) x x λ R: x R : Q( λx) = λ Q( x) 0 x R : Q( x) = Q x = x Q x x x hol: { z R : z = } = : E omptt x ( R ) m: = m Q z M : = mx Q z : m x Q x M x x z E z E

16 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) poztív/egtív (zem)det Q poztív det, h Q x > 0 0 x R m> 0 ( R ) ( R ) ( R ) Q egtív det, h Q x < 0 0 x M < 0 Q poztív zemdet, h Q x 0 x Q egtív zemdet, h Q x 0 x R < < Q det ülöe x, y : Q x 0 Q y Sylveter rtérum ( j) : = det, ro ldetermáo, j= Q poztív det, : > 0 Q egtív det, : : > 0 é, : : < 0 Loál mmum/mxmum R R, -e z - loál m. mx. v h: : : x x x Elő redű züége eltétel é -e - loál zé.-e v grd = 0 { } Máod redű elégége eltétel, grd = 0 é R h " h, h poz.de. eg.de. { } -e - lo.mmum mxmum v. Máod redű züége eltétel é -e - lo. mmum mxmum v { } 0 é R ", poz.zemde. [ eg.zemde. ] grd = h h h LINEÁRIS LEKÉPZÉSEK, FRECHE ERIVÁL Leár leépzé X, X leár tere K elett, A: X X leár, h: x, y X : λ K : A( x + λy) = Ax + λay J L ( X, X ): = { A: X X leár leépzé} Korláto leár operátor X, =, ormált tere, A L X, X ( ) A orl.l.operátor h: M 0 : x X : Ax M x J L( X, X) : = { A L ( X, X) orl.l.operátor} A L( X, X ), A : = { M 0: x X : Ax M x } Ax A x ( x X ) (orm) L X, X l.tér, L X, X ltér (ormált tér) ( ) ( ) (, ) orm L X X A A

17 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) elje metru tér é orláto leár operátoro hlmz özött özeüggé X, telje L X, X, telje ( ) ( ( ) ) Folytooág é orláto leár operátor pcolt? (, ) (, ) { 0} A L X X A L X X A C A C Frechet-dervált X, =,: X X, t,, A L X, X ( ) { } ε : : ε 0( 0 ) é ( + ) = + ε ( h X, + h ) (! A: '( ) = A Frechet-dervált ) X X h h h Ah h h Mátrx orm 0 < m,, X = R, X m = R, tetzőlege, ( X, X ) L( X, X ) vetor orm áltl duált mátrx orm m L = R 3

18 Pty Adrá Lázló - Alíz III. (Smo Péter) étele é eícó modá (lehetége eugró érdée) EGYÉB A π evezetée! ξ 0, :coξ = 0 π : = ξ Perodu v. R R perodu, h p> 0 : x± p é x = x± p x ( ) + p z egy peródu, H p peródu -e p peródu -r A prmétere tegrál U R yílt, I : =, R zárt tervllum é : U I R, C x U : I t x, t R egyváltozó üggvéy olytoo tegrálhtó ϕ z prmétere tegrálj: : (, ) U x ϕ x = x t dt R A prmétere tegrál olytooág é derecálhtóág : U I R, x U. C ϕ C ϕ ϕ., : é C C U é, : x = x, t dt 4

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε

Részletesebben

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

ANALÍZIS I. (MT1301L, MT4301L, MT1301) Előadást követő vázlatok. Dr. Rozgonyi Tibor főiskolai docens

ANALÍZIS I. (MT1301L, MT4301L, MT1301) Előadást követő vázlatok. Dr. Rozgonyi Tibor főiskolai docens ANALÍZIS I (MT3L, MT43L, MT3) Elődást övető vázlto Dr Rozgo Tor ősol doces Néhá evezetes egelőtleség Beroull-éle egelőtleség H R és ℵ, or ( ) Az egelőség or és css or áll e, h vg Bzoítás: h ( )( ) ( )

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,

Részletesebben

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C )

A + B = B + A A B = B A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A + ( B C ) = ( A + B ) ( A + C ) Hlmzelmélet Kojukció: (és) (csk kkor igz h midkét állítás igz) Diszjukció: (vgy) (csk kkor hmis h midkét állítás hmis) Implikáció: A B (kkor és csk kkor hmis h A igz és B hmis) Ekvivleci: A B (kkor és

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

STATISZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY ÉS TÁBLÁZATOK

STATISZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY ÉS TÁBLÁZATOK MKOLC EGYETEM Gzáguoá K Üzl oácógzáloá é Móz éz Üzl z é Előlzé éz Tzé VZONYZÁMOK, KÖZÉPÉRTÉKEK-ZÓRÓDÁ Vzozáo. V, V, V. l, b 3. l l... l l b Π 4. - b b 5. V : V : TTZTK KÉPLETGYŰJTEMÉNY É TÁLÁZTOK Nöélboá

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + +

( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + + 4 85 Impliit Euler módszer A diszretizáiós elöléseet szálv z impliit Euler módszer l: dott : Motiváió: A derivált özelítésére gr szálu dierei ádost: Felszálv z egeletbe: Ie átredezve vgis eg impliit ormulát

Részletesebben

1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)

1. Primitív függvények (határozatlan integrálok) . Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :,

Részletesebben

Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny, I. forduló, 2003/2004. Megoldások 1/9., t L = 9,86 s. = 104,46 m.

Szakács Jenő Megyei Fizika Verseny, I. forduló, 2003/2004. Megoldások 1/9., t L = 9,86 s. = 104,46 m. Szakác enő Megyei Fizika Vereny, I. forduló, 00/004. Megoldáok /9. 00, v O 4,9 k/h 4,9, t L 9,86.,6 a)?, b)?, t t L t O a) A futók t L 9,86 ideig futnak, így fennáll: + t L v O. Az adott előny: 4,9 t L

Részletesebben

A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot.

A térbeli szabad vektorok V halmaza a vektorok összeadására, és a skalárral való szorzásra vonatkozóan egy háromdimenziós vektorteret alkot. 1. fejezet Vetoro 1.1. Vetorlulus i j jobbsodrású ortoormált bázist, mely egy O ez- A térbeli szbd vetoro V hlmz vetoro összedásár, és slárrl vló szorzásr votozó egy háromdimeziós vetorteret lot. Gyr hszálju

Részletesebben

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)

Részletesebben

1. Halmazok, relációk és függvények.

1. Halmazok, relációk és függvények. . Hlmzok, relációk és függvéyek. - redezett pár (,b) = { {}, {,b} } hlmzelméleti defiíció; Tuljdoság: (,b) = (c,d) =c és b=d - hlmzok Descrtes-szorztt A x B := {(,b) A, b B} - r hlmzok közötti reláció

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

r tr r r t s t s② t t ① t r ② tr s r

r tr r r t s t s② t t ① t r ② tr s r r tr r r t s t s② t t ① t r ② tr s r r ás③ r s r r r á s r ② s ss rt t s s tt r t r t r P s ② Pá③ á ② Pét r t rs t② t② r t ② s s ás t r s ② st s t t r t t r s t s t t t t s s s str t r r t r t ① r t r

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN

DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. BENYÓ ZOLTÁN DIFFERENCIÁL EGYENLETRENDSZEREK DR. ENYÓ ZOLTÁN be Redzer folyaat t differeciáló ódzer: Feltételezük egy értéket é ebből képezzük az elő, áodik, az -edik deriváltat. Itegráló ódzer z -edik deriváltból

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.

Részletesebben

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok

Emelt szintő érettségi tételek. 10. tétel Számsorozatok Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 0. tétel zámsorozto orozt: Oly függvéy, melye értelmezési trtomáy pozitív egész számo hlmz. zámsorozt éphlmz vlós számo hlmz. f : N R f () jelöli sorozt -ei tgját.

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Az átviteli (transzfer) függvény, átviteli karakterisztika, Bode diagrammok

Az átviteli (transzfer) függvény, átviteli karakterisztika, Bode diagrammok Elektronka. Bode dagramok, éldák /9 Az átvtel (tranzfer) függvény, átvtel karakterztka, Bode dagrammok.) Tku feladat: Számítuk k adott lezáráok mellett egy lneár hálózat (oerátor tartomány) u j T tranzfer

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

differenciálegyenletek

differenciálegyenletek Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y

Részletesebben

ANALÍZIS II. Előadást követő vázlatok

ANALÍZIS II. Előadást követő vázlatok ANALÍZIS II. Elődást övető vázlt Derecálszámítás A dervált (derecálháyds Deícó: : R és. Az üvéy derválhtó (derecálhtó z pt h létez ( lm ( ( ( -ll jelölt vées htárérté. Ezt z ( -l jelölt htárétéet z ptel

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

STATISZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY ÉS TÁBLÁZATOK

STATISZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY ÉS TÁBLÁZATOK MIKOLCI EGYETEM Gazdaágtudoá Kar Üzlt Iorácógazdálodá é Módzrta Itézt Üzlt tatzta é Előrlzé Tazé TATIZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY É TÁLÁZATOK (Dolgozatíráál, zgá ca gé bgzé élül hazálható!). VIZONYZÁMOK, KÖZÉPÉRTÉKEK-ZÓRÓDÁ

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok

2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok . gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt

Részletesebben

Typotex Kiadó. Jelölések

Typotex Kiadó. Jelölések Jelölések a = dolgozók fogyasztása (12. fejezet és A. függelék) a i = egyéni tőkeállomány i éves korban A = társadalmi (aggregált) tőkeállomány b j = egyéni nyugdíj j éves korban b k = k-adik nyugdíjosztály

Részletesebben

Tételjegyzék Áramlástan, MMF3A5G-N, es tanév, őszi félév, gépészmérnöki szak, nappali tagozat

Tételjegyzék Áramlástan, MMF3A5G-N, es tanév, őszi félév, gépészmérnöki szak, nappali tagozat Tételjegyzék Áramlástan, MMF3A5G-N, 006 007-es tané, őszi félé, géészmérnöki szak, naali tagozat. A folyaékok és gázok jellemzése: nyomás, sűrűség, fajtérfogat. Az ieális folyaék.. A hirosztatikai nyomás.

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

Pere Balázs október 20.

Pere Balázs október 20. Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései

Matematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,

Részletesebben

I. Az élő anyag legfontosabb szerkezeti tulajdonságai és szerepük a biológiai funkciókban

I. Az élő anyag legfontosabb szerkezeti tulajdonságai és szerepük a biológiai funkciókban I. z éő yg egotos szekezet tujoság és szeepük oóg ukók h j I. ε ε k e k I.5 h h λ I. p υ ε υ k ozgás I. M [ Z p Z ] M, Z pv k I.5 I.9 II. Sugázások és kösöhtásuk z éő ygg P M II. e P ~, ~ II. továk II.5

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés............................. Alapintegrálok...............................

Részletesebben

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel

Részletesebben

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ

MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)

Részletesebben

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL

IV. A HATÁROZOTT INTEGRÁL 86 A htározott itegrál IV A HATÁROZOTT INTEGRÁL Bevezető feldto Feldt Számítsu i z f :, [ ], f függvéy grfius épe, z, és z O tegely áltl htárolt síidom területét Megoldás Árázolju függvéyt A XI y osztály

Részletesebben

Statisztikai Statisztika I. elemzések viszonyszámokkal viszony 1. Láncból bázis Mennyiségi ismérv szerinti elemzés 1.

Statisztikai Statisztika I. elemzések viszonyszámokkal viszony 1. Láncból bázis Mennyiségi ismérv szerinti elemzés 1. Statzta. ÉPLETE --e taé. élé Statzta elemzée zozámoal Vzozámo Damu zozámo V ahol : a zoítá tárga (zoítadó adat) : a zoítá alaa ázzozám: Láczozám: Vdb b Vdl l t b Damu zozámo Vzozámo özött özeüggée:. Lácból

Részletesebben

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok

1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi

Részletesebben

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK

MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben

Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Demeter Gábor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, RMI Demeter Gábor (MTA Wigner RCP... / 4 Bevezetés / Motiváció

Részletesebben

X Physique MP 2013 Énoncé 2/7

X Physique MP 2013 Énoncé 2/7 X Physique MP 2013 Énoncé 1/7 P P P P P ré r s t s t s tr s st s t r sé r tt é r s t t r r q r s t 1 rés t ts s t s ér q s q s s ts t r t t r t rô rt t s r 1 s2stè s 2s q s t q s t s q s s s s 3 é tr s

Részletesebben

S ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1)

S ( ) függvényre. . Az 1), 3) feltételekbõl a feltételek száma : ( l + 1) n ( l 1) INE o egye [ ] IR I [ ] ( : és < < < z tervllum egy elosztás Deíó: Az :[ ] IR üggvéyt l eoú sple- evezzü C ( l I l Iterpoláós sple- evezzü egy ( : [ ] IR üggvéyre ( ( egjegyzés: Cs terpoláós sple-l ogu

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Barczy Mátyás és Pap Gyula

Barczy Mátyás és Pap Gyula Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Barczy Mátyás és Pap Gyula Debrecei Egyetem mobidiák köyvtár Debrecei Egyetem Szerzők

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Érintő, trapéz, Simpson formulák és hibabecsléseik Összetett formulák (szabályok) l i. integrál közelítésére felírt c f. kvadratúra formula pontos f n

Érintő, trapéz, Simpson formulák és hibabecsléseik Összetett formulák (szabályok) l i. integrál közelítésére felírt c f. kvadratúra formula pontos f n Gykorlt (4 ápr 9) Nuerkus tegrálás Elélet: Iterpoláós típusú kvdrtúr orulák Newto-Cotes típusú kvdrtúr orulák Értő, trpéz, Spso orulák és heslések Összetett orulák (szályok) Legye :, IR, korlátos és w,

Részletesebben

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3. . feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

Analízis 5. Előadásjegyzet

Analízis 5. Előadásjegyzet Anlízis 5. Elődásjegyzet Oláh Gábor oliks.g@gmil.com Jnury, 9 A jegyzet z ELTÉ-n 8-9 őszi félévében elhgzott elődás lpján készült. Az elődó Simon Péter. A jegyzet szbdon terjeszthető, zonbn kérek mindenkit,

Részletesebben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye. y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)

Részletesebben

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása

Részletesebben

STATISZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY ÉS TÁBLÁZATOK

STATISZTIKAI KÉPLETGYŰJTEMÉNY ÉS TÁBLÁZATOK MKOLC EGYETEM Gazaáguoá Kar Gazaáglél é Mózra éz Üzl aza é Előrlzé éz Tazé TTZTK KÉPLETGYŰJTEMÉY É TÁLÁZTOK (Dolgozaíráál, zgá ca gé bgzé élül hazálhaó!) 7. VZOYZÁMOK, KÖZÉPÉRTÉKEK-ZÓRÓDÁ Vzozáo.) V, V,

Részletesebben

különbözõ alappontok, y, y,..., y értékek. : függvény.) ( x)

különbözõ alappontok, y, y,..., y értékek. : függvény.) ( x) 7 Iterpoácó poomo Legee [ ] (Átá ho [ ] IR üöözõ ppoto IR értée : üggvé ( O Ρ (egee -edoú poomot eresü mere ( ( 7 Téte! Ρ mere Bzoítás meghtározás és z egértemûség zoítás htározt egütthtó módszeréve törté

Részletesebben

FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK

FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ª @ ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Analízis. Glashütter Andrea

Analízis. Glashütter Andrea Alízis Glshütter Adre Alízis Hlmzok I. Hlmzok Deiíció (hlmz) elemek összessége. Megdás. elemek elsorolásávl (z összes elemet elsorolom, vgy leglá yit, hogy z lpjá következteti lehesse töi elemre); pl A{,,4,7,4,8}..

Részletesebben

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2

Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2 . elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0

Részletesebben

AZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN. várfalvi.

AZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN. várfalvi. AZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN várfalvi. IDÉZZÜK FEL A STACIONER HŐVEZETÉST q áll. t x áll. q λ t x t λ áll x. λ < λ t áll. t λ áll x. x HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS INSTACIONER ESETBEN Hőáram, hőmérsékleteloszlás

Részletesebben

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)

DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény

Részletesebben

MINİSÉGBIZTOSÍTÁS 6. ELİADÁS Március 19. Összeállította: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár

MINİSÉGBIZTOSÍTÁS 6. ELİADÁS Március 19. Összeállította: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár MINİSÉGBIZTOSÍTÁS Özeállította: Dr. Kovác Zolt egyetemi taár 6. ELİADÁS 011. Márciu 19. NyME FMK Terméktervezéi é Gyártátechológiai Itézet http://tgyi.fmk.yme.hu NYME FMK TGYI 006.08.8. 1. fólia Kézült

Részletesebben

Aktív lengéscsillapítás. A modell validációja

Aktív lengéscsillapítás. A modell validációja tív legécllpítá. odell vldácój. gyorlt célj z eletro árör eleeel egvlóított legredzer odellezée. Vló dej dtegyjté zotver ejleztée, ely egítégével éré dto Mtl áltl eldolgozhtó álloáy ethete el.. Elélet

Részletesebben

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Hőátviteli műveletek példatár. Szerkesztette: Erdélyi Péter és Rajkó Róbert

Hőátviteli műveletek példatár. Szerkesztette: Erdélyi Péter és Rajkó Róbert Hőátviteli műveletek példatár Szerkeztette: Erdélyi Péter é Rajkó Róbert . Milyen vatag legyen egy berendezé poliuretán zigetelée, ha a megengedhető legnagyobb hővezteég ϕ 8 m? A berendezé két oldalán

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Tehetetlenségi nyomatékok

Tehetetlenségi nyomatékok Tehetetlenségi nyomtékok 1 Htározzuk meg z m tömegű l hosszúságú homogén rúd tehetetlenségi nyomtékát rúd trtóegyenesét metsző tetszőleges egyenesre vontkozón, h rúd és z egyenes hjlásszöge α, rúd középpontjánk

Részletesebben

Az EM tér energiája és impulzusa kovariáns alakban. P t

Az EM tér energiája és impulzusa kovariáns alakban. P t LDIN 4- A té enegá és mpls ováns lbn β ε δ β BBβ β μ (, β,,) μ B ( g) P t t ( ε ) S A negtív előelne töténelm o vnn S μ B g S ε B ε μ B ésesé nnsene elen tében P ε g t S t Cs eletomágneses teet ttlm 4-es

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése 2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )

Részletesebben

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013.

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013. Iterpoláció Korszerű matematiai módszere 2013. Tartalom Iterpolációs eljáráso Klasszius iterpoláció Általáosított iterpoláció Eltolt lieáris iterpoláció Iterpoláció feladata alappoto: x,, 0, 1,..., ahol

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,

Részletesebben

Lagrange és Hamilton mechanika

Lagrange és Hamilton mechanika Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája

Részletesebben

Végeselem analízis. 1. el adás

Végeselem analízis. 1. el adás Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)

Részletesebben

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus

Részletesebben

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö ÎÁÁÁº ÆÝ ØÖ Ý Ö ÐÝ ÈÌ ÈÅÅÁà ΠÐÐ ÑÓ À Ð Þ ØÓ Ì Ò Þ ¼½ º ÒÓÚ Ñ Ö º ÍÐØÖ Ö Ú ¹ ÒÝ ÑÔÙÐÞÙ Ó Ð ÐÐ Ø Þ Ð Ð Þ Ö ÑÓÒ ØÖ Å Ñ Ò ÖÙ ÒÐ Þ Ö ½ ¼ ÁÑÔÙÐÞÙ Ó Þ ÒØ ¹ Ô Ò ½¼¼ Ò ½ Ò ½¼ µ ¹ ɹ Ô ÓÐ ½ ½¹ µ ½¼

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben