AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat."

István Lukács
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus jellegı elektromos mennyiség; E elektromos erœtérben a q elektromos töltéssel jellemzett testre F = qe erœ hat.) A testek mágnessége a bennük található elemi köráramok következménye, u.i. az M forgatónyomaték M = IA B = IAµ 0 Hsin ϕ tehát: m = µ 0 IA Az elektron pályamomentuma: az elektronpályához a klasszikus fizika szerint tartozó elemi köráram: I = e T = eω 2π = ev 2πr, így m = µ 0e v 2π r r 2 π = µ 0e m 2m e rv, azaz: e m = µ 0e 2m e L A kvantummechanika szerint L = h l( l +1), L z = hm l, tehát m = µ 0eh l( l + 1) = µ 2m B l( l +1) ; m z = µ B m l e lenne, ahol µ B = µ 0eh 2m e az un. Bohr-magneton.

2 Problémák: 1. Zeeman-effektus. Legyen a B tér a z iránnyal. Ekkor a mágneses tér leírható a V = mb µ 0, potenciállal, és a Schrödinger-egyenlet: 1 e 2 2m e 4πε 0 r B µ 0eh ˆ L µ 0 2m e ϕ = Eϕ \ / \/ ha B kicsi: h2 ˆ H 0 + e B h 2m e j Φ ϕ nlm = ( E n + E m )ϕ nlm E m = eh B m 2m l felhasadás azonos n,l különböz m l értékei között. e Az elektron pl. az m l = -1 mágneses kvantumszámú pályáról felgerjeszthetœ az m l = 1 pályára mikrohullámú sugárzással, ha hω = 2 E 1 Zeeman-effektus. Az l=0 (s-típusú) pályák esetén m l = 0, tehát nem lehetséges Zeeman-felhasadás, Zeeman azonban ilyent is megfigyelt.

3 2. Stern-Gerlach kísérlet: É Ag D Atomok inhomogén mágneses térben: az erœ F = (mh), azaz az eltérítés m-tœl függ. Mivel az Ag atom elektronkonfigurációja 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s1 a páratlan elektron mágneses momentuma 0, így nincs eltérítés! a kísérlet szerint azonban az atomok kétfelé térülnek el!! Következmény: az elektronoknak l = 0 és m l = 0 mellett is van mágneses momentuma a mérések szerint vagy µ B vagy -µ B. Kérdés: tartozik-e impulzusmomentum ehhez a mágneses momentumhoz? Einstein - De Haas kísérlet 2ϕ 1 2ϕ 2 I I Fe m Fe M = D * ϕ m = m m = 2 m m'

4 M -bœl és t-bœl az impulzusmomentum meghatározható és ennek alapján: Az elektron saját momentuma: Az elektron rendelkezik pályamozgástól független saját impulzusmomentummal, un. spinnel, aminek z-komponense S z = ± h 2 m z = 2µ B S z. Így: és a hozzátartozó mágneses momentum: A spin úgy viselkedik mint a pályamomentum: [ S ˆ, S ˆ i j ] = jhs ˆ S k ˆ 2, S ˆ i [ ] = 0 i, j,k = x, y, z ( ) de mivel nem vezethetœ vissza keringésre [ S ˆ, r ˆ ] = 0 [ S ˆ, p ˆ ] = 0 ψ ( r,t,s) = ψ ( r,t)σ( s) Az S ˆ z σ( s) = hsσ( s) sajátértékegyenletnek csak két megoldása lehet, s = ± 1/2 sajátértékek mellett. Legyen: S ˆ z α = h 2 α és S ˆ z β = h 2 β ahhoz, hogy a felcserélési relációk teljesüljenek, kell, hogy: ˆ S x α = h 2 β ˆ S x β = h 2 α ˆ S y α = h 2 jβ ˆ S y β = h 2 jα amibœl ˆ S 2 α = 3h2 4 α ˆ S 2 β = 3h2 4 β, tehát S = 3 h 2 S z = ± h 2

5 A pályamomentumból és a spinbœl eredœ mágneses momentumok kölcsönhatnak: ez a spin-pálya kölcsönhatás, ami a degenerált atomi pályák (kis) felhasadásához vezet. SOK-ELEKTRONOS RENDSZEREK Az elektron "hullámtermészete" miatt nincs értelme egy sok elektront tartalmazó rendszerben megkülönböztetni az egyes elektronokat. A rendszert egyetlen Ψ = Ψ( r 1, r 2,Kr N, t) reguláris függvénnyel kell leírni. Mivel az elektronok azonosak, Ψ( K,r i,kr j,kt) 2 = Ψ( K, r j,kr i,kt) 2. Itt: r i = ( r i,s i ), és Ψ r 1, r 2,Kr N ( ) 2 dr 1 dr 2 Kdr N = N. 6. Posztulátum: Azonos, N számú részecskébœl álló rendszer leírható egyetlen, N (hely/spin) változós reguláris függvénnyel, a- mely két részecske hely/spin koordinátáinak felcserélésére vagy szimmetrikus vagy antiszimmetrikus. Pauli elv: 7. Posztulátum: Feles spinı azonos részecskékbœl álló rendszer állapotfüggvénye két részecske hely/spin koordinátáinak felcserélésére csak antiszimmetrikus lehet!

6 A FÜGGETLEN RÉSZECSKE KÖZELÍTÉS Tekintsünk egy két-elektronos rendszert, pl. a He atomot: ˆ H = h2 2m 1 h2 2m 2 2e 4πε 0 1 r 1 = ˆ T 1 + ˆ T 2 + ˆ V 1 + ˆ V 2 + ˆ V 12 2e 1 + 4πε 0 r 2 e 1 = 4πε 0 r 12 ElsŒ közelítésben tekintsünk el az elektronok kölcsönhatásától, azaz feltételezzük, hogy függetlenek! H ˆ 0 = ( T ˆ 1 + V ˆ 1 )+ ( T ˆ 2 + V ˆ 2 ) = H ˆ 1 + H ˆ 2 Általában: ha ˆ H 1 ϕ 1 = Eϕ 1 és ˆ H 2 ϕ 2 = Eϕ 2 akkor Φ 0 ( 1,2) = ϕ 1 ( 1)ϕ 2 ( 2) és E 0 = 2E (r 1 1) u.i.: ( H ˆ + H ˆ 1 2 )ϕ 1 ( 1)ϕ 2 ( 2) = = ( H ˆ 1 ϕ 1 )ϕ 2 + ϕ 1 ( H ˆ 2 ϕ 2 ) = ( Eϕ 1 )ϕ 2 + ϕ 1 Eϕ 2 ha ˆ H = = 2Eϕ 1 ϕ 2 H ˆ i és H ˆ i ϕ i = Eϕ i i akkor ( ) = Φ( 1KN ) = ϕ 1 ( 1)ϕ 2 ( 2)Lϕ N ( N) és E tot = NE

7 A részecskék megkülönböztethetetlenségét kimondó 6. posztulátum szerint azonban, pl. a He atomban ϕ 1 ( 1)ϕ 1 ( 2), ϕ 1 ( 1)ϕ 2 ( 2), ϕ 2 ( 1)ϕ 1 ( 2), ϕ 2 ( 1)ϕ 2 ( 2) egyformán lehetséges! Több speciális megoldásból az általános megoldás: Φ( 1,2) = = c 11 ϕ 1 ( 1)ϕ 1 ( 2) + c 12 ϕ 1 ( 1)ϕ 2 ( 2) + c 21 ϕ 2 ( 1)ϕ 1 ( 2) + c 22 ϕ 2 ( 1)ϕ 2 ( 2) ahol a c ij együtthatók négyzetei az egyes megoldások relatív valószínıségét adják. A 7. posztulátum szerint azonban: Φ( 1,2) = Φ( 2,1). Ez csak akkor lehetséges (és a megoldás akkor normált), ha: c 11 = 0, c 22 = 0, c 12 = 1 2, c 21 = 1 2 Azaz, c = 0, c 22 = 0 PAULI elv: két részecske nem lehet azonos kvantumállapotban! A 7. posztulátum ennek általánosabb, a független részecske közelítésen túlmenœ megfogalmazása! 1 A megoldás tehát: [ 2 ϕ 1( 1)ϕ 2 ( 2) ϕ 2 ( 1)ϕ 1 ( 2) ], vagy általában a független részecske közelítés: Φ( 1KN ) = 1 N ϕ 1 ( 1) ϕ 2 ( 1) L ϕ N ( 1) ϕ 1 ( 2) ϕ 2 ( 2) L ϕ N ( 2) ϕ 1 M M O M ( N) ϕ 2 ( N) L ϕ N ( N) Slater-determináns

8 Hogyan lehetne a kölcsönható valódi elektronokat független részecskék együtteseként kezelni? Egy rendszert többféleképp is "össze lehet rakni", csak a teljes rendszer bír fizikai realitással: Legyen a valós N-elektron rendszer alapállapotát leíró fv. Φ ο. Ekkor: ˆ H Φ 0 = E 0 Φ 0 Φ 0 H ˆ Φ 0 = E 0 Φ 0 Φ 0 E 0 = Φ 0 H ˆ Φ 0 Φ 0 Φ 0 Definiáljuk az E[ Φ] = Φ H ˆ Φ Φ Φ funkcionált tetszœleges Φ -re. Variációs elv: δe( Φ) = δ Φ ˆ H Φ Φ Φ = 0, ha Φ a rendszer alapállapota Tegyük fel, hogy az N valódi elektronból álló rendszer közelíthetœ ismeretlen ϕ i (r) állapotfüggvényekkel leírt N független részecske, un. egyelektron együttesével (Φ egy Slater determináns).

9 TetszŒleges számú mag és elektron ˆ H = ˆ + ˆ + ˆ i T i V ia i,a V ij i>j esetére a variációs elv a következœ egyenletre vezet minden i-re: C ˆ ϕ i ( r 1 ) = X ˆ ϕ i ( r 1 ) = πε 0 H ˆ i ϕ i = ε i ϕ i H ˆ i = T ˆ i + V ˆ + C ˆ + X ˆ 1 4πε 0 ˆ V = A ˆ V ia e 2 ϕ * j ( r 2 )ϕ j ( r 2 ) j dv r 2 12 ϕ i ( r 1 ) e 2 ϕ * j ( r 2 )ϕ i ( r 2 )ϕ j ( r 1 ) j dv r 2 12 az effektív V SCF = ˆ V + ˆ C + ˆ X potenciál egy "független" un. egyelektron - ra a magok és az összes többi által kifejtett átlagos potenciált írja le, ami csak iteratív eljá - rásban határozható meg. FONTOS: a kölcsönhatás részleteit eldugtuk a ϕ i függvényekbe!

10 A posztulátumok következménye a részecskék energia eloszlására: Klasszikus mechanika: a részecskék megkülönböztethetœk Maxwell-Boltzmann (MB) statisztika: f MB (E,T) = e E+µ kt Kvantummechanika: a részecskék megkülönböztethetetlenek - egészspinı részecskékbœl tetszœlegesen sok lehet azonos állapotban (bozonok) Bose-Einstein (BE) statisztika: f BE (E,T) = e 1 E kt 1 - feles spinı részecskékbœl csak kettœ lehet azonos állapotban (fermionok) Fermi-Dirac statisztika: f FD (E,T ) = e 1 E µ kt +1

11 A KLASSZIKUS ÉS A KVANTUMMECHANIKA KAPCSOLATA: AZ EHERENFEST TÉTEL A klasszikus mechanika központi egyenlete: m x = F. Milyen határesetben érvényes-e ez a kvantummechanikában? Kvantummechanikában: x x. Hogyan értelmezhetœ a várható érték deriváltja? Kvantummechanikai idœderivált: d dt ψ ˆ O ψ = ψ * t O ˆ ψ + ψ * O ˆ ψ t dv de a Schrödinger egyenletbœl: h j + h j ψ t ψ * t = ˆ H ψ ψ t = j h ˆ H ψ = ˆ H ψ * ψ * t = j h ˆ H ψ * amivel tehát: do dt [( ) ˆ ( )] = j ˆ h H ψ * O ψ ψ * O ˆ H ˆ ψ dv = = j h d dt [ ψ * ( H ˆ O ˆ O ˆ H ˆ )ψ ] O ˆ = j H h ˆ O ˆ O ˆ H ˆ dv

12 Ezzel: d dt x ˆ = j H h ˆ x ˆ x ˆ H ˆ = j 2mh ˆ p x2 ˆ x x ˆ ˆ p x 2 Ugyanakkor belátható, hogy 2 h j p ˆ x = ˆ ( p ˆ x x ˆ x ˆ ˆ ) + p ˆ x x ˆ x ˆ ˆ p x p x ( ) ˆ p x p x = = p ˆ x p ˆ x x ˆ p ˆ x x ˆ p ˆ x + p ˆ x x ˆ p ˆ x x ˆ p ˆ x p ˆ x = p ˆ x2 x ˆ x ˆ ˆ p x 2 így d x ˆ dt = 1 m ˆ p x Hasonlóan d 2 x ˆ dt 2 De mivel = 1 m ˆ p x t = j H mh ˆ p ˆ x p ˆ x H ˆ = j mh Vˆ p x ˆ p x V j ( mh Vˆ p x p ˆ x V )ψ = 1 m V ψ x Vψ x = 1 V m x ψ végül is: m d 2 x ˆ dt 2 = ψ V x ψ ψ ψ V ψ ψ V Ha ψ tartományán V gyengén változik, V = F konst., és x ψ * Fψ dv F. Ekkor a Newton egyenlet teljesül: m d 2 x ˆ dt 2 = F

Hasonló dokumentumok

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,