Fermi Dirac statisztika elemei

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fermi Dirac statisztika elemei"

Ágnes Kisné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Fermi Dirac statisztika elemei

2 A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika esetén is) Elektronok gázatomok Enrico Fermi (90-954) 920-ban Rómában dolgozta ki a statisztikai modelljét Fermionokra érvényes (elektronok is ilyenek) Fermionok = feles spinű részecskék A Fermi Dirac statisztika feltétel-rendszere: Részecskék megkülönböztethetetlenek Érvényesek Bohr posztulátumai, azaz a fermionok energiája csak kvantált értékeket vehet fel Érvényes a Pauli-elv, azaz egy atomon vagy molekulán belül legfeljebb két részecske (elektron) lehet ugyanolyan energiájú állapotban Érvényesek a Heisenberg-féle határozatlansági relációk, azaz a fáziscella vagy impulzuscella nem lehet tetszőlegesen kicsi Értelmezés (fáziscella): A p x térfogatot, ill. szorzatot fáziscellának nevezzük.

3 A Fermi Dirac statisztika lényege az energiaeloszlási függvény vizsgálata: Kérdés: Hány valenciaelektron tartózkodik egységnyi térfogatban, T hőmérsékleten, W energiaállapotban, egy dw széles energiaintervallumon belül? A kérdés megválaszolásához vezessük be először a Fermi-függvényt: Értelmezés (Fermi-függvény): Azt a függvényt, amely megadja, hogy milyen mértékben van betöltve egy adott W energiaszint elektronokkal Fermi-függvénynek nevezzük. A Fermi-függvény matematikai alakja a következő: P W = kt ahol: W F : a később definiálásra kerülő Fermi-energia k: a Boltzmann-állandó W: az adott energiaszint T: az abszolút hőmérséklet +

4 P W = kt + Elemezzük ezt a függvényt: Ha T = 0 K, és W < W F, akkor P W =. Ha W > W F, akkor P W = 0. Ha T > 0 K, és W = W F, akkor P W =. 2 Ezek alapján a függvény ábrázolható: Értelmezés (Fermi-energia, W F0 ): Abszolút nulla fokon a vezetésben résztvevő elektronok számára a legmagasabb betöltött energiaszint, míg magasabb hőmérsékleten a félig betöltött energiaszint a Fermi-energia. Megjegyzés: Fémek esetében a Fermi-energia megegyezik a kémiai potenciállal, ami az egy részecskére jutó szabad entalpia értelmezése alapján éppen a rendszer részecskeszámának eggyel történő növeléséhez szükséges energiával egyenlő.

5 Az energiaeloszlási sűrűségfüggvény: Értelmezés (energiaeloszlási sűrűségfüggvény): Az n részecskeszám függvény energia szerinti differenciálhányados-függvényét energiaeloszlási sűrűségfüggvénynek nevezzük. Matematikailag dn dw. Az energiaeloszlási sűrűségfüggvény alakja esetünkben: Ábrázolva: dn dw = 4π(2m) h kt + W

6 Szétválasztva a változókat: Integrálva mindkét oldalt: T=0 K-en P(W)=, így: Elvégezve az integrálásokat: 0 n dn dw = 4π(2m) h 3 dn = 4π(2m)3 2 h 3 dn = 4π(2m)3 2 h 3 0 n 3 2 dn = 4π(2m)3 2 h 3 kt + kt + kt + P(W) W F W W dw W F 0 W dw W dw W F0 = ( 3n 8π )2 3 h2 2m Azaz a nullponti Fermi-energia csak a vezetésben résztvevő elektronok koncentrációjától (n) függ, azaz az adott fémre jellemző érték.

7 A kilépési munka

8 negatív pozitív Az atommag körül keringő elektron potenciális energiája negatív, illetve végtelen nagy sugarú elektronpálya esetén zérus. A fémen belül a szabad elektronok W 0 potenciális energiája negatív, és a fém felülete felé haladva növekszik, majd a fémen kívül pedig nulla értéket vesz fel.

9 A vezetési sávban lévő elektronoknak a potenciális energián kívül kinetikus energiájuk is van. A kinetikus energia az elektronok relatív számának a függvényében a következő módon alakul: W F Értelmezés (Fermi-nívó): A W F Fermi-energiával rendelkező elektronoknak megfelelő energianívót Fermi-nívónak nevezzük.

10 Mivel a Fermi szinten maximális kinetikus energiájú elektronok vannak, ezért a Fermi-nívó alatti, mélyebb energiaszinteket az elektronok teljesen betöltik. A Fermi-nívó feletti energiaszintek pedig 0 K hőmérsékleten teljesen üresek: Értelmezés (Kilépési munka): Azt a W k energiát, amelyet a Fermi nívón lévő elektronnal közölni kell ahhoz, hogy az elektron a fémből kijusson, kilépési munkának nevezzük. Nagysága a W 0 potenciális energia abszolút értékének és a W F Fermi-energiának a különbsége. Azaz: W k = W 0 W F

Hasonló dokumentumok

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra