Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Átírás

1 Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető sorozat határértének a ogalmára: ha akkor n A ahol. b) A üggvének határértékével kapcsolatban uganazok a szabálok érvénesek mint sorozatok esetében azaz ha A és g B akkor n g A B g A B és g A ahol B B. n c) Függvének estében értelmezhető a jobb illetve bal oldali határérték ogalma is ha de n illetve n d) A határérték értelmezésénél az. Jele: A illetve A. n értéktől nem követelünk semmit létezését sem azaz olan pontban is vizsgálható a határérték ahol a üggvén nincs is értelmezve. Deiníció: Az üggvént oltonosnak nevezzük az értelmezési tartománának eg pontjában ha az pontban van határértéke és ez egenlő a üggvén pontbeli értékével azaz. a) Eg üggvént oltonosnak nevezünk ha az értelmezési tartománának minden pontjában oltonos. b) Olan pontban amel nem eleme a üggvén értelmezési tartománának nem vethető el a oltonosság kérdése. c) Ha az és g az pontban oltonos üggvének akkor oltonos ott az g g és g esetén üggvének is. g g pontban és az üggvén oltonos az d) Ha a üggvén oltonos az g pontban akkor az F g összetett üggvén is oltonos az -ban. e) Ha a üggvénnek az pontban van jobb (bal) oldali határértéke és ez éppen az -beli üggvénérték akkor a üggvén az pontban jobbról (balról) oltonos. Példa: Határozza meg az üggvén pontbeli határértékét!

2 A üggvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza. Mivel mindenütt oltonos üggvének összegéből áll elő ezért minden pontban oltonos és határértéke az adott pontbeli érték azaz. 8 Deiníció: Ha az üggvén nem oltonos az értelmezési tartománának eg azt mondjuk hog -ban szakadási hele van. pontjában akkor A üggvénnek -ban létezik véges határértéke de nem egezik meg az -ban megszüntethető szakadási hele van ha -beli üggvénértékkel. Ebben az esetben értelmezéssel a szakadás megszüntethető a üggvén oltonossá tehető. Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az ( ) üggvént! A üggvén értelmezési tartomána az pontot kivéve a valós számok halmaza. Az pontban a oltonosság kérdésének nincs értelme. Mivel mindenütt oltonos üggvének hánadosa ezért az pontot kivéve minden pontban oltonos és ezekben a határérték az adott helettesítési érték lesz. A üggvénnek - az értelmezési tartománát nézve - nincs szakadása Vizsgáljuk meg a üggvén határértékét az értelmezési - tartománának határain azaz -ban jobbról és balról illetve a -ben: - - illetve ezért a -ban jobb és baloldali (különböző) határérték létezik Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az ( ) { } üggvént!

3 A üggvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza. Vizsgáljuk a határértéket az egész illetve a nem egész pontokban. A vizsgálatnál most csak a szemléletre hagatkozunk Az egész heleken illetve - - tehát az egész heleken csak jobb és bal oldali (különböző) határérték létezik. A nem egész - - heleken a határérték az adott helettesítési érték lesz. Az előzőek miatt az egész heleken a üggvén - csak jobbról oltonos a nem egész heleken pedig oltonos. A üggvénnek tehát az egész heleken (nem megszüntethető) szakadása van. - - Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az - - üggvént! A üggvén értelmezési tartomána az pontot kivéve a valós számok halmaza. Mivel mindenütt oltonos üggvének hánadosa ezért az pontot kivéve minden pontban oltonos és ezekben a határérték az adott helettesítési érték lesz. A üggvénnek nincs szakadása. Vizsgáljuk meg a üggvén határértékét az értelmezési tartománának határain azaz --ben jobbról és balról illetve a -ben: ( ). illetve ( ). Mivel a üggvénnek az pontban létezik véges határértéke ezért beszélhetünk a üggvén R halmazra vonatkozó oltonos kiterjesztéséről íg ha ha. Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az alábbi üggvént! ha ha.

4 A üggvén értelmezési tartomána a nemnegatív valós számok halmaza. A üggvén első része az pontokban oltonos üggvének hánadosa ezért ha pontban oltonos és ezekben a határérték az adott helettesítési érték lesz. Vizsgáljuk a határértéket az akkor a üggvén minden pontban. A üggvént egszerűsítjük és a kapott új üggvén határértékét képezzük: -ben létezik határértéke de ez nem egezik meg a helettesítési érté- Mivel a üggvénnek az kével. Az előzőek miatt. -ben a üggvén nem oltonos szakadási hele van. Ha azonban az -ben a üggvén az adott pontbeli határértékét venné el akkor ez a szakadási hel megszüntethető lenne a üggvén itt oltonossá tehető azaz ha ha. Vizsgáljuk meg a üggvén határértékét az értelmezési tartománának határain azaz a ( ). és -ben: Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az alábbi üggvént! ha ha. A üggvén értelmezési tartomána a valós számok halmaza. Külön-külön mindkét részüggvén oltonos az adott intervallumban és ezekben a határérték az adott helettesítési érték lesz. Az egész üggvén oltonosságára ebből még nem következtethetünk

5 Vizsgáljuk a határértéket az pontban: és ezért az pontban csak jobb és bal oldali (különböző) határértéke létezik. Ebben a pontban a üggvénnek tehát szakadása van ami nem megszüntethető. Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az cos üggvént! sin c A megoldásnál használjuk el a következő nevezetes határértéket: ahol c A üggvén értelmezési tartomána az pontot kivéve a valós számok halmaza. Mivel mindenütt oltonos üggvének hánadosa ezért az pontot kivéve minden pontban oltonos és ezekben a határérték az adott helettesítési érték lesz. A üggvénnek nincs szakadása. c. Vizsgáljuk a határértéket az pontban és a -ben A üggvént egszerűsítjük és a kapott új üggvén határértékét képezzük: cos cos cos sin cos cos cos cos sin cos sin cos ( ). Mivel a üggvénnek az pontban létezik véges határértéke ezért beszélhetünk a üggvén R halmazra vonatkozó oltonos kiterjesztéséről íg cos ha ha. Példa: Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az üggvént! A üggvén értelmezési tartomána az és pontokat kivéve a valós számok halmaza. Mivel mindenütt oltonos üggvének hánadosa ezért az és pontokat kivéve minden pontban oltonos és ezekben a határérték az adott helettesítési érték lesz. A üggvénnek nincs szakadása. Vizsgáljuk a határértéket az és pontokban A üggvént egszerűsítjük és a kapott új üggvén határértékét képezzük: ( ).

6 Az a jobb és bal oldali határértéket: -ben a határértéket nem tudjuk képezni az új üggvénnel. Vizsgáljuk meg az adott pontban pontban csak jobb és bal oldali (külön- böző) határértéke létezik. és ezért az Mivel a üggvénnek csak az pontban létezik véges határértéke ezért nem beszélhetünk a üggvén R halmazra vonatkozó oltonos kiterjesztéséről részlegesről azonban igen íg ha ha. Feladatok:. Megválasztható-e p értéke úg hog az alábbi RR üggvén oltonos legen? p ha a) b) p ha ha c) d) ha p p ha ha ha ha ha.. Hán olan rendezett valós (a b) számpár található amelre az alábbi RR üggvén oltonos? a b ha a) b) ha ha c) a b ha d) ha a b b ha ha ha a ha ha.. Az alábbi üggvének közül meliknek van az R halmazon oltonos kiterjesztése? D R\{} a) D R\{} c) b) d) D R\{-} D R\{}

7 . Vizsgálja határérték és oltonosság szempontjából az alábbi üggvéneket! 9 a) b) c) d) e) ) g) h) sin g) h) ha ha ha ha e ha ha ha ha.. Függvének határértéke a végtelenben a) b) c) d) e) ) g) h) i) j) k) l) m).. Függvének határértéke az értelmezési tartomán eg torlódási pontjában a) b) c) d) e) ) 8 sin g) m) tg h) 8 9 i) j) cos k) cos l) ctg n) o) p) q) r).