Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Additív számelméleti függvények eloszlása

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Additív számelméleti függvények eloszlása Doktori értekezés tézisei Germán László Témavezető Prof. Dr. Kátai Imre akadémikus Informatika Doktori Iskola vezető: Prof. Dr. Demetrovics János akadémikus Doktori Program: Numerikus és szimbolikus számítások rogramvezető: Prof. Dr. Járai Antal a matematika tudományok doktora 2008.

2 . Bevezető - a dolgozat célja Egy f : N C számelméleti függvényt additívnak nevezünk, ha f(n m) = f(n) + f(m) minden (m, n) = -re teljesül. Az ilyen függvényeket egyértelműen meghatározzák a rímhatvány helyeken felvett értékeik. Ha f(n m) = f(n) + f(m) teljesül minden további nélkül, akkor f teljesen additív, és ha f( α ) = f() állandó α esetén minden rímre, akkor f -et erősen additívnak nevezzük. Legyen f egy valós értékű additív függvény, és 0 < x. f gyakoriságát minden valós z esetén az F x (z) := x n x f(n) z utasítással értelmezük. Ekkor F x (z) egy eloszlásfüggvény, és azt mondjuk hogy f nek van határeloszlása, ha alkalmas F eloszlásfüggvény esetén F x (z) F (z) (x ), az F minden z folytonossági ontjában. Ezt a konvergenciát gyenge konvergenciának hívjuk, jelölésben: F x F (x ). Kiderült, hogy f ezen tulajdonsága egyenértékű az ún. Erdős-Wintner feltétellel, azaz a három sor f() >, f() f(), f() f 2 () konvergenciájával. Ezt a roblémát sokkal általánosabban is megfogalmazhatjuk. Legyen A x az N egy olyan részhalmaza, hogy A x [..x] nem üres < x esetén. f gyakorisága A x -en most az ν x (n A x ; f(n) z) := A x [..x] n x n Ax f(n) z utasítással értelmezett. Felmerülhet a kérdés, hogy f-nek van-e határeloszlása ezen a halmazon, azaz () ν x (n A x ; f(n) z) F (z) (x )

3 teljesül-e alkalmas F (z) re. Erdős és Wintner azt a kérdést vizsgálták amikor A x -et N-nek vesszük (ld. éldául [2]). Kátai és Hildebrand ([4], [3]) az A x = P + esettel foglalkoztak, ahol P a rímek halmazát jelöli. Ezen dolgozat célja hasonló eloszlásroblémák vizsgálata A x = {n x : ω(n ) = k x }, esetben ahol ω(n) az n különböző rímfaktorainak számát jelöli, és k x ε(x) log log x ahol ε(x) 0 (x ). Észrevehetjük, hogy Kátai és Hildebrand roblémája a k x = esetnek felel meg (a magasabb rímhatványoktól eltekintve, amelyeknek nulla a relatív sűrűsége a rímhatványok között). A 3. Fejezet eredményeit felhasználva a 6. Fejezetben olyan Erdős-Kac tíusú tételek kerülnek kidolgozásra, amelyekről úgy tűnik, eddig csak rögzített k és A x -re való megszorítás mellett szereelnek az irodalomban (ld. []). Az összefoglaló további jelölései: azon ozitív egészek halmazát, amelyeknek k különböző rímfaktora van, P k -val jelöljük. P k azon elemeinek halmazát melyek x-nél nem nagyobbak P k (x)-szel jelöljük. P k (x) elemeinek számát π k (x) jelöli. k = esetben elhagyhatjuk az indexet. 2. Alkalmazott módszerek Több módon vizsgálhatunk számelméleti eloszláskérdéseket. Egyik legfontosabb ezek közül az ún. Kubilius modell, amelyet a 3. Fejezetben tárgyalunk. Lévy folytonossági tétele lehetővé teszi, hogy eloszlásfüggvények gyenge konvergenciáját egy abszolútértékű multilikatív függvények közéértékein keresztül vizsgáljuk. Azaz, () akkor és csak akkor érvényes F minden z folytonossági ontjában ha lim x A x [..x] n x n Ax e itf(n) minden valós t-re létezik, és a határérték által meghatározott ψ(t) függvény folytonons t = 0 -ban. Ekkor ersze F karakterisztikus függvénye megegyezik ψ -vel. Ezt az eljárást használjuk a 4. Fejezetben. Bár itt elkészülnek a szükséges közéérték számítások, az 5. Fejezetben általános érvényű eredmények is találhatók. Az itt használt módszer amely a 4. és 6. Fejezetekben is jelen van, lehetővé teszi, hogy a roblémát a P k halmaz helyett az eltolt rímek halmazán vizsgáljuk. 2

4 A 6. Fejezetben az. és a 4. Fejezetben használt módszerek kombinációját használjuk. Az Erdős-Wintner feltétel szükségességét a 4.Fejezetben Hildebrand (ld. [3]) módszerével bizonyítjuk. 3. Eredmények 3.. A 2. Fejezet eredményei Ebben a részben a P k halmaz feléítésébe nyerünk betekintést. Használni fogjuk a következő lényeges feltételt: legyen ε(x) olyan, hogy ε(x) 0 ahogy x. Azt mondjuk hogy a k egész A(ε, x) tulajdonságú ha 2 k ε(x) log log x. Legyen n n = r r 2 2 r k k, < 2 <... < k alakú. Legyen továbbá δ j (n) = r r j j (j =,..., k), és γ j (n) = log j+ log δ j (n) (j =,..., k ). Az első eredmény szerint P k majdnem minden elemére igaz, hogy a j +-edik rímfaktora nagy az elso j rímosztó szorzatához kéest. Azaz ha akkor igaz a következő (n) = min γ j(n) j=,...k. Lemma Tegyük fel, hogy a k egész A(ε, x) tulajdonságú és legyen M = M x olyan, hogy log log M = log log x. Ekkor van egy olyan, legfeljebb ε(x)-től függő A x sorozat, hogy A x ahogy x úgy, hogy és (π k ) A x, r = r 2 = = r k =, > M érvényes P k (x)minden elemére legfeljebb o()π k (x) kivétellel ahogy x. 3

5 3.2. A 3. Fejezet eredményei Ezen rész legfontosabb eredménye az additív függvények valószínűségi tulajdonságait tárja fel. 2. Lemma Legyen f(n) egy erősen additív valós számelméleti függvény, x > 2, 0 < σ és legyen valamely r x σ esetén. Legyen f r (n) = n r Ekkor tetszőleges A > 0 választással f(), K D (x) = {D + x : P}. (ν x =)ν(n K D (x) : f r (n) z) = P( r D X z) + O(ex( log x log r ) + log A x) egyenletesen minden D x σ -re teljesül, ahol a valamely alkalmas (Ω, A, P) valószínűségi tér feletti X független valószínűségi változókat minden rímre a következőkéen definiálhatjuk eloszlásukkal: { f() ϕ() X = valószínűséggel 0 valószínűséggel. ϕ() 3.3. A 4. Fejezet eredményei A megfelelő Erdős-Wintner tétel a következő:. Tétel Legyen f egy valós additív függvény. Legyen F k,x (z) := ν x (n P k + ; f(n) z). Tegyük fel, hogy van egy k = k x sorozat, amelynek minden tagja A(ε, x) tulajdonságú, és egy olyan F eloszlásfüggvény, hogy F k,x F. Ekkor az Erdős-Wintner feltétel teljesül. Fordítva tegyük fel, hogy az Erdős-Wintner feltétel érvényes f-re. Ekkor egy alkalmas G eloszlásfüggvénnyre max 2 k ε(x) F k,x (z) G(z) 0 (x ) log log x 4

6 teljesül G minden z folytonossági ontjában. Következéskéen F = G. F karakterisztikus függvénye ϕ(t) = ( + h()), ahol h () = + m= e itf(m ) m. Ezen tétel bizonyításához Kátai eredményének a DP + halmazra való általánosítására lesz szükségünk, ami a következő 2. Tétel Az előző tételben szerelő jelölésekkel élve, legyen f egy valós additív függvény, és tegyük fel, hogy, f 2 () f() > f() konvergál. Legyen σ > 0, és ϱ = min{σ/4, /4}. Legyen továbbá A (x) := f (), a (m) := f() x f() m f (). Legyen még K D (x) = {D + x P}. F D,x (y) := ( (( ) ϱ ) x ν x (n K D (x), f (n) A D ) ) a (D) z, ϕ D,x (t) karakterisztikus függvénnyel, és legyen ϕ D (t) := f() it ( + h ()) ( + h ()) e. Ekkor f() > D f() D max ϕ D,x (t) ϕ D (t) 0 D x σ (x ), egyenletesen t minden korlátos értéke mellett, azaz ha t < T, T tetszőleges konstans. 5

7 3.4. Az 5. Fejezet eredményei A következő, általános érvényű közéértéktételt lehet megadni: 3. Tétel Legyen f(n) egy abszolútértékű multilikatív függvény. Legyen továbbá d egy ozitív egész. Tegyük fel, hogy van egy olyan valós τ, hogy χ()f() iτ 2 konvergál valamely alkalmas χ (mod d) rimitív karakterre. Ekkor ( π ( )) x D D+ x g(d + ) = xiτ µ(d) + iτ ϕ(d) ( x dd + α + o() (x ) egyenletesen minden D x ε, (d, D) = esetén, ahol 0 ε <. ) f( α ) iατ χ( α ) α Néhány esetben a 3. Tétel alkalmazható multilikatív függvények P k + halmazon való közéértékeinek kiszámolására. 4. Tétel Legyen g(n) olyan egy abszolútértékű multilikatív függvény, hogy létezik egy χ (mod d) rimitív karakter valamely rögzített d-re és egy valós τ úgy, hogy konvergál. Ekkor π k (x) n x ω(n)=k g(n + ) = + iτ Reχ()g() iτ xiτ µ(d) ϕ(d) ( x d + o() (x ) egyenletesen minden A(ε, x) tulajdonságú k-ra. + α ) f( α ) iατ χ( α ) α 6

8 3.5. A 6. Fejezet eredményei Ebben a részben a lényeges Erdős-Kac tíusú eredményeket foglaljuk össze. A G(z) jelölés a Gauss eloszlásra vonatkozik. 5. Tétel Legyen f(m) egy olyan valós additív függvény, hogy B 2 (x) x f() >εb(x) minden rögzített ε > 0 esetén, ahol B(x) = ( x f 2 () 0 f 2 () )/2. (x ), Ekkor használva az A(x) = x f() jelölést azt kajuk, hogy ν x (n P k (x) : f(n + ) A(x) B(x) egyenletesen minden A(ε, x) tulajdonságú k-ra. z) G(z) (x ) Az előző tétel jelöléseivel élve azt mondjuk, hogy f(n) a H osztály beli, ha létezik egy r = r(x) függvény úgy, hogy log r log x 0, B(r) B(x), B(x) ahogy x. Ezt a függvényosztályt Kubilius vezette be. Az előző fejezetekben történtek szerint járunk el. Belátjuk, hogy igaz a következő 6. Tétel Legyen f(m) egy H osztály beli additív függvény. Legyen B D (x) = ( x D f 2 () )/2, és legyen δ(x) egy tetszőlegesen lassan nullához tartó függvény. Legyen továbbá 0 < σ és legyen (T δ (x) =) T (x) = {D x σ : B D (x) = B(x)( + O(δ(x)))}. 7

9 Ekkor az A D (x) = x D f() jelöléssel élve azt kajuk, hogy ν x (n K D (x) : f(n) A D(x) B D (x) z) G(z) (x ) egyenletesen minden D T (x)-re, akkor és csak akkor ha minden rögzített ε > 0 esetén B 2 D (x) x D f() >εb D (x) egyenletesen minden D T (x)-re. A 5. Tételből közvetlenül adódik a Következmény f 2 () 0 (x ) ν x (n x, ω(n) = k : ω(n + ) log log x log log x z) 2π z e w2 /2 dw (x ) egyenletesen minden A(ε, x) tulajdonságú k esetén. Irodalomjegyzék [] M. B. Barban, The Large Sieve method and its alications in the theory of numbers, Russ. Math. Surv. 2 (966), [2] P. D. T. A. Elliott, Probabilistic Number Theory I., Sringer-Verlag, New York, 979. [3] A. Hildebrand, Additive and multilicative functions on shifted rimes, Proc. London Math. Soc. 53 (989), [4] I. Kátai, On the distribution of arithmetical functions on the set of rimes lus one, Comosito Math. 9 (968),

10 Publikációs jegyzék [] Germán, L. and Kovács, A., On number system constructions, Acta Math. Hungar. 5 (2007), no. -2, 55 67; [2] Germán, L. and Kátai, I., Distribution of q-additive functions on the set of integers having k rime factors, Annales Univ. Sci. Budaest. Sect. Com., 27 (2007), [3] Germán, L., The distribution of an additive arithmetical function on the set of shifted integers having k distinct rime factors, Annales Univ. Sci. Budaest. Sect. Com., 27 (2007), Konferenciaelőadások [] Germán, L., The distribution of an additive arithmetical function on the set of shifted integers having k distinct rime factors, The IVth international conference on analytic and robabilistic methods in number theory, 9/2006, Palanga [2] Germán, L., On multilicative functions on consecutive integers, Conference talk Numbers, Functions, Equations 08, 06/2008, Noszvaj 9