Draft version. Use at your own risk!

Átírás

1 BME Matematika Itézet Aalízis Taszék Adai Attila Bevezető aalízispéldák példatár éháy BSc-s órához 8

2

3 Tartalomjegyzék. Halmazalgebra. Teljes idukció 3. Relációk, függvéyek 3 4. Számosságok 6 5. A valós és a komplex számok elemi tulajdoságai 7 6. Sorozatok 7. Sorok Kovergeciakritériumok Hatváysorok Cesáro-összegzés Határérték és folytoosság 9 9. Differeciálhatóság. Határozatla itegrál 6. Határozott itegrál 8. Metrikus terek Normált terek Függvéysorozatok, függvéysorok Kovergeciatartomáy Egyeletes kovergecia Függvéysorozat deriválása és itegrálása Taylor-sorfejtés Approximáció Vektorterek Mátrixszámítás 5 8. Egyeletredszerek Fourier-sorfejtés 59. Többváltozós függvéy határértéke és folytoossága 6. Többváltozós függvéy deriválása 63. Többváltozós függvéyek itegrálása 7 3. Vektoraalízis Komplex függvéyta Differeciálegyeletek 94

4 Előszó A feladatok a Matematika A, -A, -A3; Iformatikusok aalízis, -; Matematikusok aalízis és órákhoz tartozó gyakorlatokról származak agyrészt. A haladóbb szitű példákat H, a fizikai alkalmazáshoz kapcsolódó példákat F, a matematikai tételek bizoyítását tartalmazó példákat pedig E jelzi. Külö köszööm Dr. Tóth Jáosak a példatár godos átézést, így jele formájába kevesebb hibát és elírást tartalmaz. Örömmel fogadom a példatárral kapcsolatos megjegyzéseket az adaia@math.bme.hu címre.

5

6 . Halmazalgebra I. Legye A, B és C tetszőleges halmaz. Bizoyítsuk be az alábbi azoosságokat.. A B \ C) = A B) \ A C). A \ B) B = A B 3. A B) \ B = A \ B 4. A \ B) \ C = A \ C) \ B \ C) 5. A \ B C) = A \ B) A \ C) 6. A B) C = A C) B C) 7. A B) C = A C) B C) 8. A \ B) C = A C) \ B C) 9. A B) C D) = A B \ D) ) A \ C) B D) ) C D) II. Legye A, B és C halmaz. Az alább defiiáladó X és Y halmazra teljesül-e az X Y vagy az Y X tartalmazás?. X = A B) \ C, Y = A \ C) B \ C). X = A \ C, Y = A \ B) B \ C) 3. X = A \ B \ C), Y = A \ B) A B C) III. Bizoyítsuk a halmazredszerekre voatkozó alábbi összefüggéseket. ) ). A i B j = A i Bj ) i I j J i I j J ) ). A i B j = A i Bj ) i I j J i I j J ) 3. A \ A i = i IA \ A i ) i I ) 4. A \ A i = i IA \ A i ) i I IV. Mide N eseté legye A halmaz.. Mutassuk meg, hogy a A k halmazak potosa azok az elemei, amelyek legfeljebb véges N k= számú kivétellel mide N eseté az A halmazhoz tartozak.. Mutassuk meg, hogy a A k halmazak potosa azok az elemei, amelyek végtele sok N k= N eseté az A halmazhoz tartozak.. Teljes idukció I. Bizoyítsuk be az alábbi egyelőségeket.. 4. k = k= + ). k ) = 5. k= k = k= + ) + ) 6 k ) = 4 ) 3 k= k= k= k 3 = + ) 4 kk + ) = + ) + ) 3

7 7. k= kk + ) = + II. Teljes idukcióval igazoljuk az alábbiakat.. Legye a, d R és tekitsük az a = a + )d képlettel megadott számtai sorozatot. Bizoyítsuk be, hogy mide N számra k= a k = a + a ) = a + )d ) teljesül.. Legye a R, q R\{, }, és tekitsük az a = a q képlettel megadott mértai sorozatot. Bizoyítsuk be, hogy mide N számra a + a + a a = a q a q = a q ). q 3. Igazoljuk, hogy mide p N és N \ {} természetes számra teljesül. k p = k= p i ) ) + p i + p + ) j i j) p i j i= j= III. Bizoyítsuk be az alábbi egyelőtleségeket.. Ha x > valós szám, és x valamit N \ {, }, akkor + x) > + x teljesül.. Ha N \ {, }, akkor > Ha N \ {, }, akkor )!!) > Legye a, a,..., a pozitív valós szám, ahol. Igazoljuk a harmoikus, mértai és számtai közép közötti egyelőtleséget. mi a k k 5. Mide < N eseté k= a k k= k <. ) a k IV. Biomiális kifejtés.. Legye, k N, ahol k <. Igazoljuk, hogy ekkor ) ) ) + + =. k k + k + k= k= a k max k a k

8 . Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b valós és természetes számra a + b) = i= ) a i b i. i 3. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c valós és természetes számra a + b + c) = k ) ) k a k b k c k k. k = k = 4. Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c, d valós számra és természetes számra a + b + c + d) = k k k k = k = k 3= k k ) ) k k k 5. Igazoljuk, hogy mide N \ {} eseté teljesülek az alábbiak.. 3. k k ) = k. ) ) k = k 4. k= k= 3. Relációk, függvéyek I. Legye R X X reláció. Bizoyítsuk be a következőket.. Az R reláció potosa akkor reflexív, ha id X R.. Az R reláció potosa akkor trazitív, ha R R R. 3. Az R reláció potosa akkor szimmetrikus, ha R = R. 4. Az R reláció potosa akkor atiszimmetrikus, ha R R id X. 5. Potosa akkor teljesül, hogy R R =, ha R =. k 3 ) a k b k c k3 d k k k3. ) k = k ) ) k = k II. Az alábbi relációk közül melyik reflexív, trazitív, atiszimmetrikus, szimmetrikus, redezés, illetve ekvivaleciareláció? Az ekvivaleciarelációkál adjuk meg az ekvivaleciaosztályokat és a faktorhalmazokat. {. x, y) R R x + y }. {x, y) R R xy = } { 3. x, y ), x, y )) R R c Rx x = c) y y = 3c)) } III. Bizoyítsuk be az alábbiakat.. Ha A halmaz, és {x, y} A, akkor x, y A.. Ha A halmaz, és x, y) A, akkor x, y A. 3. Ha f függvéy, akkor Ra f, Dom f P f). 4. Ha f : A B függvéy, akkor f P P P A B))). k= k= IV. Legye f függvéy. Igazoljuk, hogy f potosa akkor ijektív, ha f függvéy. 3

9 V. Legye A, B és C tetszőleges halmaz. Mutassuk meg a Descartes-szorzat defiíciója alapjá, hogy A B C) = A B) C em mide esetbe teljesül. VI. Mutassuk meg, hogy a relációk kompozíciója asszociatív művelet. Vagyis mide R X Y, R Y Z és R 3 Z V relációra teljesül. R 3 R ) R = R 3 R R ) VII. Mutassuk meg, hogy a kiválasztási axióma ekvivales azzal, hogy mide függvéyek létezik jobbiverze. Azaz mide f függvéyhez létezik olya g : Ra f Dom f függvéy, hogy f g = id Ra f. VIII. Legye A i ) I olya halmazredszer, melyek mide A i halmaza egyelemű. Vagyis i I xx A i )) x, y x A i y A i ) x = y))). A kiválasztási axiómára való hivatkozás élkül mutassuk meg, hogy i I A i. IX. Legye A és B tetszőleges halmaz, és legye H FA, B) olya részhalmaza az A halmazból B halmazba képező függvéyek halmazáak, melyre teljesül, hogy mide h, h H eseté h h vagy h h.. Mutassuk meg, hogy f = H függvéy.. Mutassuk meg, hogy ha mide h H függvéy ijektív, akkor az f = H függvéy is ijektív. X. Legye E tetszőleges halmaz, és A, B E. Mutassuk meg, hogy mide x E elemre. χ E\A x) = χ A x);. χ A B x) = χ A x)χ B x); 3. χ A B x) + χ A B x) = χ A x) + χ B x) teljesül, ahol tetszőleges Z E halmaz eseté {, ha x / Z, χ Z : E {, } x, ha x Z. XI. Mutassuk meg, hogy mide N természetes számhoz létezik egyetle olya j, k) N N, kk + ) melyre = + j és j k teljesül. Eek a segítségével adjuk meg egy N N N bijekciót. XII. H Legye E, F, G és H tetszőleges halmaz, valamit f : E F, g : F G és h : G H tetszőleges függvéy. Mutassuk meg, hogy ha g f és h g bijekció, akkor f, g és h is bijekció. XIII. H Legye S = FN, R), vagyis S az N R függvéyek halmaza. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. ) ) C : S S s sk) k T : S S k= s ) s)) 4

10 . Mutassuk meg, hogy C T C T = id S teljesül.. Igazoljuk, hogy C T bijekció. 3. Mutassuk meg, hogy C is bijekció, és C = T C T. XIV. H Mide, k N eseté jelölje N, k) azt a számot aháy módo lehet egy elemű halmaz elemeit k darab osztályba soroli. Mutassuk meg, hogy. S, k) megegyezik az {,..., } {,..., k} szürjektív függvéyek számával;. S, ) =, továbbá < eseté S, ) =, S, ) =, S, ) = ; 3. a k > esetbe S, k) = ; 4. a < k esetbe S, k) = ks, k) + S, k ); 5. a < k esetbe S, k) = k! j= k ) k ) j k j) j teljesül. Az S, k) számokat másodfajú Stirlig-számokak evezzük. XV. H Mutassuk meg, hogy egy háromelemű halmazo. a relációk száma 5;. a reflexív relációk száma 64; 3. a szimmetrikus relációk száma 64; 4. az atiszimmetrikus relációk száma 6; 5. a trazitív relációk száma 7; 6. a reflexív és szimmetrikus relációk száma 8; 7. a reflexív és atiszimmetrikus relációk száma 7; 8. a reflexív és trazitív relációk száma 9; 9. a szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma 8;. a szimmetrikus és trazitív relációk száma 5;. az atiszimmetrikus és trazitív relációk száma 5;. a reflexív, szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma ; 3. a reflexív, szimmetrikus és trazitív relációk száma 5; 4. a reflexív, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma 9; 5. a szimmetrikus, atiszimmetriukus és trazitív relációk száma 8; 6. a reflexív, szimmetrikus, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma. XVI. H Legye N \ {}. Mutassuk meg, hogy egy elemű halmazo. a relációk száma ) ;. a reflexív relációk száma ) ; 3. a szimmetrikus relációk száma +) ; 4. az atiszimmetrikus relációk száma 3 ) ; 5. a trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma; 5

11 6. a reflexív és szimmetrikus relációk száma ) ; 7. a reflexív és atiszimmetrikus relációk száma 3 ) ; 8. a reflexív és trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma; 9. a szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma ;. a szimmetrikus és trazitív relációk száma ) θ) = T k), k k= ahol T k) a 3. alfeladatba va defiiálva;. az atiszimmetrikus és trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma;. a reflexív, szimmetrikus és atiszimmetrikus relációk száma ; 3. a reflexív, szimmetrikus és trazitív relációk száma T, ahol az T sorozatot a T =, T = kezdeti értékekkel és eseté a ) T = T k k k= rekurzióval defiiálhatjuk; 4. a reflexív, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma a szerző ismerete szerit még megoldatla probléma; 5. a szimmetrikus, atiszimmetriukus és trazitív relációk száma ; 6. a reflexív, szimmetrikus, atiszimmetrikus és trazitív relációk száma. 4. Számosságok I. Legye A és B olya véges halmaz, melyre A = és B = m teljesül. Igazoljuk az alábbiakat.. Bármely X A halmazra X.. A B = m 3. A B = m + A B 4. PA) = 5. FA, B) = m II. Mutassuk meg, hogy bármely végtele A halmazra és bármely legfeljebb megszámlálható számosságú B halmazra A B = A teljesül. III. H Legye A végtele halmaz, és legye B A olya részhalmaza, melyre B < A és B = B B. Mutassuk meg, hogy B < A \ B. IV. Igazoljuk, hogy kotiuum sok, kotiuum számosságú halmaz egyesítése kotiuum számosságú. Haszáljuk fel, hogy R = R R.) V. H Legye E végtele halmaz. Igazoljuk, hogy E véges részhalmazaiak a halmaza azoos számosságú az E halmazzal, azaz { A E A < N } = E teljesül. Haszáljuk fel, hogy E = E E.) 6

12 VI. H Legye E végtele halmaz. Igazoljuk, hogy az E halaz E-vel ekvipotes azoos számosságú) részhalmazaiak a halmaza ekvipotes E hatváyhalmazával, azaz { A E A = E } = PE) teljesül. Haszáljuk fel, hogy E = E E.) VII. H Igazoljuk, hogy az E halmaz potosa akkor végtele, ha mide f : E E függvéyhez létezik em triviális A, A E) A E ivariás fa) A) halmaz! 5. A valós és a komplex számok elemi tulajdoságai I. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. Re : C R a + b i a Im : C R a + b i b : C C a + b i a b i : C R a + b i a + b Igazoljuk a következőket.. Mide z C számra z + z = Re z és z z = i Im z.. Mide z, z C számra Rez + z ) = Re z + Re z és Imz + z ) = Im z + Im z. 3. Mide z C számra z z = z. 4. Mide z C \ {} számra ) Re z z z Im z z i =. 5. Mide z C számra z = potosa akkor teljesül, ha z =. 6. Mide z, z C számra z z = z z. 7. Mide z, z C számra z + z z + z. 8. Mide z, z C számra z z z z. 9. Mide z, z C számra z + z + z z = z + z.. Mide z C számhoz létezik olya v C szám, melyre z = v teljesül.. Mide z C számra z Re z + Im z. II. Milye görbéket határozak meg a komplex számsíko az alábbi egyeletek?. z + i) = 3. z + z = z z 3. z + z + = 4 III. Legye z C, N és w C\ N). Teljes idukció segítségével igazoljuk a következőket!. z) z k = z k=. z) + z k) ) = z ) 3. k= k= w + k )w + k) = ww + ) 7

13 IV. A komplex számtest felett oldjuk meg az egyeleteket.. z 3 = z. z 5 + i)z + 3 i = 3. z 6 9z = 4. z 8 7z = 5. Ha z egyik égyzetgyöke és z egyik ötödik gyöke egyelő, akkor z milye értékeket vehet fel? 6. Ha z egyik köbgyöke és z egyik hetedik gyöke egyelő, akkor z milye értékeket vehet fel? V. E Mutassuk meg, hogy em létezik olya redezés a komplex számok halmazá, mellyel C redezett test lee. VI. E Beroulli-egyelőtleség.) Igazoljuk, hogy mide N\{} és x,... x ], [ számra, ha tetszőleges i, j {,..., } eseté x i x j, akkor + x i i= + x i ), teljesül, speciálisa mide N és x R számra x eseté VII. E Legye N és < x R.. Mutassuk meg, hogy az i= + x + x). H = {z R z, z x} halmaz em üres és felülről korlátos.. Legye y = sup H. Mutassuk meg, hogy az y R számra y = x teljesül. 3. Igazoljuk, hogy ha z R, < z és z y, akkor z x. VIII. E Legye A K. Mutassuk meg, hogy It X = {x K r R + : B r x) X} X = {x K r R + : B r x) X }. IX. E Igazoljuk, hogy az R vagy a C halmaz egy részhalmaza potosa akkor zárt, ha tartalmazza az összes torlódási potját. X. E Igazoljuk, hogy a Q + i Q halmaz sűrű a C halmazba. XI. E Igazoljuk, hogy mide r R + és x K eseté teljesül. {z K x z < r} = {z K x z r} XII. E Bizoyítsuk be, hogy ha az A R halmaz alulról korlátos, akkor if A A, illetve, ha felülről korlátos, akkor sup A A. 8

14 XIII. H Jelölje P a prímszámok halmazát. Haszáljuk fel azt a számelméleti tételt, mely szerit mide x Q\{} számhoz létezik egyetle olya egész értékű µ p x)) p P sorozat és olya e {, } elem, hogy a {p P µ p x) } halmaz véges, és x = e p P p µpx) teljesül. Legye p N tetszőleges prímszám, és defiiáljuk az p : Q R x függvéyt. Igazoljuk, hogy p abszolútérték-függvéy. { p µ px), ha x ;, ha x = XIV. H Legye G zárt, valódi részcsoportja az R, +, ) csoportak. Igazoljuk, hogy ekkor létezik olya a R + szám, melyre G = {a Z}. XV. H Másodredű lieáris rekurzió. Legyeek a, b, x, x R paraméterek, és mide N számra legye x + = ax + bx +.. Igazoljuk, hogy ha b + 4a >, akkor mide N számra x = x + x ) bx b + b + 4a ) b + 4a + + x x ) bx b b + 4a ) b + 4a + teljesül.. Igazoljuk, hogy ha b + 4a = és b, akkor mide N számra x = x ) + ) b x ) b teljesül. 3. Igazoljuk, hogy ha b + 4a < és b, akkor mide N számra x = a) sgb) x cosϕ) + x ) bx b 4a siϕ) b 4a teljesül, ahol ϕ = arctg. b XVI. Elemi számítások.. Számoljuk ki az alábbi meyiségeket. i i + i) 3+4 i l i. Oldjuk meg az alábbi egyeleteket. si z = cos z = 3 i ch z = i z = + i 9

15 6. Sorozatok I. Mutassuk meg a defiíció alapjá, hogy az alábbi sorozatok határértéke végtele.. a =. a = a = a = II. Legye a : N C tetszőleges sorozat. Mutassuk meg, hogy az a sorozat potosa akkor koverges, ha a Re a és az Im a sorozat koverges. Továbbá ekkor lim a = lim Re a + i lim Im a. III. Legye a : N R tetszőleges koverges sorozat. Igazoljuk, hogy mide ε > eseté. a { N a lim a < ε} halmaz végtele;. a { N a lim a > ε} halmaz véges. IV. Legye a, b : N R olya koverges sorozat, melyre mide N eseté a b teljesül. Bizoyítsuk be, hogy ekkor lim a lim b. V. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét. VI. a 3. lim ) 4. lim 3) 5. lim lim ) 6. lim + )! 3. lim!5 + ) Legye k, l N és legye a i ) i k+ és b j ) j l+ valós számok egy-egy redszere. Keressük meg határértéket. a k k + a k k + + a + a lim b k l + b l l + + b + b VII. Keressük meg az alábbi gyökös kifejezések határértékét.. lim + 5 ). lim ) 3. lim a + ) a R) 3 4. lim ) VIII. Mutassuk meg, hogy adott q R eseté ha q >, lim q = ha q =, ha < q <, és q eseté a q sorozat diverges. IX. Igazoljuk, az alábbi határértékeket.

16 . Mide q R + számra lim. lim = 3. lim! = 4. Mide q C eseté lim q q =.! =. X. Igazoljuk, hogy mide N természetes számra teljesül. XI. XII.! Határozzuk meg a következő határértékeket! és 33)! 3 3!) 3 )!!). lim. lim 3. lim 4. lim 5. lim lim 8. lim 4 +. lim 3. lim lim + 8 ) lim lim 4 5 Igazoljuk az alábbi összefüggéseket. 6. lim + 9. lim lim lim. lim + ) =. lim + ) = 3. lim 5. lim 7. lim + ) + = e 4. lim ) = 5 e 6. lim ) = 8. lim + 3 ) +3 = 3 e ) = ) + = e 9. lim e ) =. lim e ) ) = XIII. Határozzuk meg az alábbi rekurzióval defiiált sorozatok határértékét!. a + = 7, a = 4 a. a + = a + 3, a = és a = 5 3. a + = a +, a =

17 XIV. Határozzuk meg a következő a sorozatok eseté lim sup a és lim if a értékét!. a = cos π ) ) 3. a = a = ) ) a = XV. Mutassuk meg, hogy mide a : N R sorozatra teljesülek az alábbiak.. Az x R számra potosa akkor teljesül, hogy lim sup a = x, ha mide c < x eseté az { N c < a } halmaz végtele, és mide c > x eseté az { N c < a } halmaz véges.. Az x R számra potosa akkor teljesül, hogy lim if a = x, ha mide c < x eseté az { N c > a } halmaz véges, és mide c > x eseté az { N c > a } halmaz végtele. XVI. Mutassuk meg, hogy mide a : N R sorozatra teljesülek az alábbiak.. Ha lim a R, akkor lim if a = lim sup a = lim a.. Ha lim if a, lim sup a R és lim if a = lim sup a, akkor lim a = lim if a. XVII. Legye a : N R + olya sorozat, melyre mide m, N eseté a m+ a m a teljesül. Igazoljuk, hogy ekkor az a ) N sorozat koverges, és lim a = if N a. XVIII. Gyök-kritérium sorozatokra.) Mutassuk meg, hogy ha az a : N C sorozatra a < teljesül, akkor lim a =. lim XIX. Háyados-kritérium sorozatokra.) Mutassuk meg, hogy ha az a : N C \ {} sorozatra lim a + a < teljesül, akkor lim a =. XX. Mutassuk meg, hogy ha az a : N R \ {} sorozatra lim lim a = c. XXI. Igazoljuk a határértéket, ahol { } a törtrész függvéyt jelöli! lim { + 3) } = XXII. Igazoljuk az alábbi határértékeket. ). lim = 4 3 ). lim = 7 4 k ) 3 k k. lim = k ) k k N \ {} a + a = c teljesül, akkor XXIII. Legye < x y tetszőleges valós számpár. Defiiáljuk az x + = x + y y + = x y

18 rekurzióval az x ) N és y ) N sorozatokat. Igazoljuk, hogy ezek koverges sorozatok, valamit hogy lim x = lim y teljesül! XXIV. Igazoljuk, hogy 7. Sorok Legye x, c R +. Adjuk meg az x ) N sorozatot az alábbi iterációval. 7.. Kovergeciakritériumok x k+ = 3 x k + 3 lim x k = 3 c. k I. Igazoljuk a sorokra voatkozó alábbi összefüggéseket! II. III = = = = ) 3 = = = 8. = c x k 4 + = 3 3. arctg arctg + ) = π 4 = = 4 = ) = = + + ) =. Igazoljuk az alábbi egyelőségeket! = 4 3 = )4 + ) = = 5 + ) = 5. log ) = log = = + = = = Kovergesek-e az alábbi sorok és ha ige, mi a határértékük? = 5) = = IV. Kovergeciakritériumok.. A majorás, illetve miorás kritérium segítségével dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek, illetve melyek divergesek.. 4. = + cos. tg = 5. = = l + ) = x = = th 3

19 7.. = = = sh. = = ). A gyökkritérium segítségével dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek illetve melyek divergesek !) ) 5. ) + 8. = = = = l 4. =!) ) = ) = = =4 ) = ). = + ) 9 ) ) A háyadoskritérium segítségével dötsük el, hogy az alábbi sorok közül melyek kovergesek illetve melyek divergesek.! )..! 3. ) = = = )! 3)! )!!) ! + )! + )! = = = + ) )! ) = = 4. A Leibiz-kritérium segítségével vizsgáljuk meg, hogy az alábbi sorok kovergesek, abszolút kovergesek illetve feltételese kovergesek-e. si π.. ) 3. ) + = = = 4. ) + ) 5. ) arctg 6. ) + log = = = 7. ) log 8. ) + ) 9. ). log = V. Legye a : N R + mooto csökkeő zérussorozat lim a = ), és legye s : N R ) k a k. = k= = = = = 4

20 . Mutassuk meg, hogy az s sorozat mooto övő és felülről korlátos; ezért koverges is.. Legye S = lim s. Mutassuk meg, hogy az s + sorozat is koverges, és szité S a határértéke. 3. Igazoljuk, hogy mide N számra S ) k a k a + k= teljesül. A feti alakú sorokat Leibiz-sorokak evezzük.) VI. Becsüljük meg, hogy háyadik részletösszeg eseté lesz a sor összegére kapott becslés hibája 4 -él kisebb! 3 + ) )! + 3 VII. VIII. IX. = = Igazoljuk, hogy a következő sorok kovergesek!. ) + =. 3 ) = 3. = = ) = 6. 6 = = = π 4 ; 5. Leibiz ) = π 6 ; 748. Euler ) ) = π ; 94. Ramauja ) 4)! !) = ) π ; 94. Ramauja = π4 9 ; 974. Comtet ) ) ) = π; 996. Bailey Kovergecia-kritériumok segítségével dötsük el, hogy kovergesek-e az alábbi sorok ) + )! + = = ) ) 3 + = = 3 ) Abszolút vagy feltételese kovergesek-e az alábbi sorok? 3) 4 + = X. Igazoljuk, hogy a = ) 4 3) = = = = 4 ) cos π 3 + ) + sor koverges, de ömagával vett Cauchy-szorzata már diverges. ) 5

21 XI. Legye a : N \ {} R koverges sorozat. Mutassuk meg, hogy ekkor teljesül. XII. lim a k = lim a k= Legye a : N \ {} R + olya sorozat melyre k= lim a <. Igazoljuk, hogy ekkor = ka k =. k= XIII. Legye x C x <, és tekitsük az a : N C, a k = x k sorozatot. Mutassuk meg a k sorozat ömagával vett Cauchy-szorzatáak a segítségével, hogy mide N + eseté. kx k = x+ x xx ) x ), valamit kx k x = x ) ; k= k=. k x k = x+ x x+ x ) + x + x)x ) x ) 3, valamit x xx + ) = x ) 3 ; 3. k= = teljesül. XIV.. 4. k 3 x k = x+ x 3 3x+ x ) + 3x+ x + ) x + ) 3 xx + 4x + )x ) x ) 4, valamit 3 x = xx + 4x + ) x) 4 = Igazoljuk az alábbi végtele szorzatokra voatkozó egyelőségeket. k= k= + ) = k. + ) k = 5. ) = 3. k k= 4k ) = 6 k=3 6. ) + )k = k ) k = + k Hatváysorok I. Legye a : N C \ {}. Mutassuk meg, hogy ha létezik a lim a + a határérték, akkor létezik a lim a határérték is, és lim a = lim a +. II. Legye a : N C és z C.. Mutassuk meg, hogy ha z lim sup a <, akkor a N a z sor abszolút koverges. a k= k= a k. Mutassuk meg, hogy ha z lim sup a >, akkor a N a z sor diverges. 6

22 A N a z alakú sorokat hatváysorokak evezzük. Ha bevezetjük az lim sup ha lim sup a >, a R a = ha lim sup a =, ha lim sup a = kovergeciasugárak evezett meyiséget, akkor z < R eseté a hatváysor abszolút koverges, z > R eseté pedig diverges.) III. Számítsuk ki a következő hatváysorok kovergeciasugarát és adjuk meg a kovergeciatartomáyát! x. = = = = + )3 x 5. ) + ) x + 7) 8. )! + ) + 6) + x Cesáro-összegzés I. Cesáro-összegzés.. Igazoljuk, hogy C = x 3. = x )! x ) 9. + ) x!. = = = ) =, valamit. Mutassuk meg, hogy mide x ], π[ eseté s k) = s k) = k silx) = si x cos x l= k coslx) = l= C = ) + = x = = = =!) 3 3)! x + + x + x ) 9 ) si x sik + )x) + cosk + )x) cos x cosk + )x) + + cos x ) sik + )x) si x Defiíció: Azt modjuk, hogy az a : N + R sorozatból képzett a sor C k Cesáro-) összegezhető, valamely k N + eseté, ha az s) = a k részletösszeg sorozatból képzett k= σ k) : N + R σ k) = s i, ha k =, i= σ k ) i, ha k > Ck sorozatak létezik véges határértéke, és ekkor a a = lim σk) jelölést haszáljuk. = i= 7

23 σ ) = σ ) = s k) = k= s k) = k= teljesül. Ezek alapjá igazoljuk, hogy C = + ) si x si + )x) cos x) cos + )x) + ) cos x + cos x ) cosx) = és C = six) = si x cos x). 3. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Mutassuk meg, hogy az a = z sorozatra s = a k = z+ z z k= σ ) = s k = z z + z z ) z ) teljesül, valamit, hogy k= lim σ) = z z. Tehát x ], π[ eseté a z = e i x helyettesítéssel C = cosx) = és C = C = z = six) = z. Mutassuk meg, hogy z si x cos x) adódik. 4. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Mutassuk meg, hogy az a = z sorozatra s = a k = z+ z zz ) z ) σ ) σ ) = = teljesül, valamit, hogy k= k= k= s k = z+ + z z ) + z z ) z ) 3 σ ) k = lim σ) = z z ) + z3 z ) z ) 3 + z z ) 3 z z ). Tehát hogy x ], π[ eseté a z = e i x helyettesítéssel adódik. C = cosx) = cos x ) és C = C z = 5. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Igazoljuk, hogy teljesül, valamit, hogy az x ], π[ esetbe C3 = cosx) = és C3 = = z k k= k z. Mutassuk meg, z ) six) = C3 = si x six) = cos x). z zz + ) = z ) 3 8

24 6. Legye z C \ {} olya szám, melyre z =. Igazoljuk, hogy teljesül, valamit, hogy az x ], π[ esetbe C4 = 3 cosx) = 8. Határérték és folytoosság I. Igazoljuk az alábbi határértékeket! II. III. + cos x cos x) és C4 = C4 = 3 six) =.. lim x 4 x + = 3. lim x x + 3x ) = 3 3. lim x x 3 5. lim x 3 4. lim x ± x 3 x + = x + = x + = x + 3) 6. lim x 4x3 ) = Keressük meg az alábbi határértékeket! + x. lim x Z). lim x x 9 + x 3 3 z = zz + 4z + ) z ) 4 3. lim x x + 3x x 4) 4. lim x x x + x + 3) 5. lim x ± 7x9 x 4 + 3x + ) 6. lim x 3 7. lim x x 3x + x 8. lim x x 3 + x 5x + 3 x 3 + 9x + 7x + 7 x + 3x x 4) Bizoyítsuk be, hogy mide páratla fokszámú poliomak va zérushelye. IV. Bizoyítsuk be, hogy ha f : [a, b] R folytoos, és Ra f = [a, b], akkor létezik olya x [a, b], amelyre fx ) = x. V. Vizsgáljuk mootoitás, paritás, korlátosság, periodicitás és folytoosság szempotjából az alábbi függvéyeket { } a törtrészfüggvéy). x. + x 4. + x 7. x k) k=. x + x 5. si x 8. si x VI. 3. a x + a x a R + ) 6. log x + x x x Számoljuk ki az alábbi határértékeket! x m tg x. lim x x 4. lim x x cos x + 5x 3x. lim x x 5. lim x x + x si3x) 3. lim x + + x 6. lim x x e 4x 9. {5πx} + tg x x x 7. lim x x e x 8. lim x x 9. lim x x shx) ch3x) 9

25 VII. Mutassuk meg, hogy mide f : K K függvéyre az alábbi állítások ekvivalesek.. Az f függvéy folytoos.. Mide A K yílt halmazra f A) yílt a Dom f halmazba. 3. Mide A K zárt halmazra f A) zárt a Dom f halmazba. Legye B A K. A B halmaz yílt az A halmazba, ha létezik X K yílt halmaz, melyre B = A X. A B halmaz zárt az A halmazba, ha létezik X K zárt halmaz, melyre B = A X.) VIII. Határozzuk meg az alábbi függvéyek szakadási helyeit és aak típusait.. fx) = sg x. fx) = [x ] 3. fx) = [x] + [ x] 4. fx) = x ha x ha x = 5. fx) = [ ] x x 6. fx) = x4 3x 3 x 6x 7. fx) = 4 x +, ha x ; 4 x x 8. fx) = x x x +, ha x <. x + x 8)x + 4) x + 3x x + 5x + 4)x + ) IX. H Adott x Q \ {} eseté legyeek p x Z és q x N \ {} azo egyértelműe meghatározott számok, melyekre x = p x, valamit p x és q x relatív prímek. Az q x f : R R x, ha x / Q \ {},, q x ha x Q \ {} függvéyt Dirichlet-függvéyek evezzük. Igazoljuk, hogy a Dirichlet-függvéyek. mide potba létezik jobb- illetve bal oldali határértéke;. a helye és mide irracioális potba folytoos; 3. mide a Q \ {} potba szakadása va, bár lim f = lim f. a+ a X. Mutassuk meg, hogy ha az f : ], [ R függvéy folytoos a potba, és mide x ], [ eseté fx) = fx ), akkor az f függvéy folytoos. XI. XII. Igazoljuk, hogy az id R χ Q függvéy csak a potba folytoos. Bizoyítsuk be, hogy a si és a cos függvéy egyeletese folytoos az R halmazo, és az és a si függvéy em egyeletese folytoos a ], [ itervallumo. id R [ XIII. Mutassuk meg, hogy létezik olya x, π ], melyre x si x = π 4. XIV. Legye N \ {}, I R itervallum, x i ) i=,..., I és f CI, R). Igazoljuk, hogy létezik olya x I pot, melyre fx ) = fx i ) teljesül. i= id R

26 XV. Legye f C[, ], R). Mutassuk meg, hogy létezik olya u, v [, ], melyre XVI. v u = és fv) fu) = f) f). Legye a R és f C[a, [, R) olya függvéy, melyre lim f R. Igazoljuk, hogy ekkor f egyeletese folytoos az egész [a, [ halmazo. XVII. Legye A = [, ] ], [ Q ) {3, 4, 5} és legye ha x < és x / Q, x ha x < és x Q, f : A R x 5 ha x = 3, 8 ha x = 4 vagy x = 5. Mely potokba folytoos az f függvéy? 9. Differeciálhatóság I. A deriválás defiíciója alapjá, valamit a hatváysor deriválására voatkozó ismeretek alapjá is igazoljuk az alábbi formulákat ahol N \ {}) II. III. teljesül. IV. id R) = id R si = cos cos = si exp = exp sh = ch ch = sh Keressük meg az f = id R χ Q függvéy deriváltját. Mutassuk meg, hogy ha N, f, g C R, R) akkor fg C R, R) valamit fg) ) = ) f k) g k) k k= Számoljuk ki az alábbi függvéyek deriváltját. 5 si x cos x tg x fx) = x e x gx) = x3 si x e x cos x x 4 + x + hx) = e x shx) cosx) ctg x V. Legye f, g : R R és a It Domf g). Igazoljuk, hogy ha g differeciálható az a potba és f differeciálható a ga) potba, akkor f g differeciálható az a potba, és VI. f g) a) = f ga)) g a). Deriváljuk a következő függvéyeket és hozzuk egyszerűbb alakra a deriváltakat!. fx) = e x + x ). fx) = si x x + cos x 3. fx) = + cos x 4. fx) = l + cos x si x 5. fx) = si x + x 6. fx) = x tg x 7. fx) = cos x) si x si cos x 8. fx) = e

27 VII. Tekitsük az arctg + x ha x, fx) = x ha x = függvéyt. Számoljuk ki az f ) értéket és a lim x f x) határértéket! VIII. teljesül. IX. Igazoljuk, hogy tetszőleges < a < b < π számra b a b a cos < tg b tg a < a cos b Számoljuk ki a következő határértékeket! 5x 3. lim x e x 7. lim x x ) x si x l cos x. lim 8. lim + x x x si x + x ) x x ) tg x lx ) 3. lim x π 4 arctg 9. lim x + x x 4. lim e si x ) ctg πx sh x. lim + arcsi x) x x + 5. lim si x x x) + cos x. lim ch 3x) x x arcsi 6. lim x + x3 l x 5. lim x + ch x) si x) π X. Legye I R yílt itervallum, és legye f : I R olya differeciálható függvéy, melyek a deriváltja korlátos. Igazoljuk, hogy ekkor f egyeletese folytoos az egész I itervallumo. XI. H Feladatok a határérték és deriválás kapcsolatáról.. Legye f : R R olya páratla függvéy, melyre Domf ) teljesül, és legye a, b R. Mutassuk meg, hogy ekkor fat) lim t at 3 fbt) ) bt 3 = a b f ). 6. Legye f : R R háromszor differeciálható függvéy, és legye u Domf ) tetszőleges pot. Mutassuk meg, hogy ekkor fu + t) fu t) tf u) lim t t 3 XII. Elemi egyelőtleségek.. Igazoljuk, hogy mide x [ π 6, ] π számra si x 3 x π ) + 6. x 3 = f u). 3

28 . Igazoljuk, hogy mide x ], [ eseté si x > x x Igazoljuk, hogy mide x, y R + számra y < x eseté log x log y < < x x y y. 4. Igazoljuk, hogy mide x, y, a, b R + számra x ) y ) ) x + y x log + y log x + y) log. a b a + b 5. Bizoyítsuk be, hogy mide x, y R számra x > eseté teljesül. xy x log x + e y XIII. H Függvéyek kovexitása.. Legye a, b R, a < b és legye f : [a, b] R kovex függvéy. Mutassuk meg, hogy ha létezik olya c ]a, b[ szám melyre fa) = fc) = fb), akkor az f függvéy álladó.. Legye a, b R, a < b és f : ]a, b[ R kovex függvéy. Igazoljuk, hogy f folytoos. 3. Legye a, b R, a < b. Adjuk példát olya f : [a, b] R kovex függvéyre, mely em folytoos. 4. Legye I R itervallum és f : I R folytoos függvéy. Igazoljuk, hogy az f függvéy potosa akkor kovex, ha mide x, x I számra ) x + x f fx ) + fx ) teljesül. 5. Igazoljuk, hogy ha f : R R midehol értelmezett szigorúa kovex függvéy, akkor lim f = vagy lim f =. 6. Legye f, g : R R olya kovex függvéy, melyre g mooto övő és Domg f) itervallum. Mutassuk meg, hogy ekkor a g f függvéy is kovex. ) 7. Legye f : R + R kétszer differeciálható f ggvéy, továbbá legye g : R + R, gx) = f. x Bizoyítsuk be, hogy az id R + f függvéy potosa akkor kovex, ha a g függvéy kovex. Igaz marad-e az állítás, ha f em kétszer differeciálható?) 8. Legye I R itervallum és f : I R + kétszer differeciálható függvéy. Mutassuk meg, hogy a log f függvéy potosa akkor kovex, ha f f f ). XIV. Adjuk meg az alábbi f függvéyek x potbeli éritőjéek az egyeletét.. fx) = x x = 4 4. fx) = arcsi x x =. fx) = x + π x = 5. fx) = si x x = x 3. fx) = si x x = π 4 3

29 XV. H Legye I R yílt itervallum, f C I, R) és legye x I olya pot, melyre f x ). Igazoljuk, hogy ekkor az f függvéyt az x potba legjobba közelítő kör egyelete ahol y : [x c R, x c + R] R x y c sgf x )) R x x c ), + f x ) ) 3 R = f, x c = x f x ) + f x ) x ) f x ) és y c = fx ) + + f x ) f. x ) XVI. H Legye f C R +, R) olya függvéy, melyre f és f korlátos. Igazoljuk, hogy ekkor f is korlátos valamit ha k {,, } eseté M k = sup f k) x), akkor M 4M M teljesül. x R + XVII. H Legye f : R + R olya korlátos függvéy, mely kétszer differeciálható, a második deriváltja is korlátos, és lim f =. Igazoljuk, hogy ekkor lim f =. XVIII. H Legye f aalitikus az a R potba. Igazoljuk, hogy ekkor létezik olya r > szám, hogy az f függvéy aalitikus mide x G r a) potba. XIX. Tekitsük az alábbi függvéyt. f : R R x { x + x si x ha x ha x = Igazoljuk, hogy f ). Szigorúa mooto-e az f függvéy a egy köryezeté? XX. Végezzük teljes függvéyvizsgálatot az fx) = x 3 e x és a gx) = x arctg x + x függvéye. Teljes függvéyvizsgálatál válaszoljuk az alábbi kérdésekre: hol va értelmezve a függvéy, mi a határértéke a plusz- és míusz végtelebe, illetve a Dom f halmaz határpotjaiba, mi a lieáris aszimptotája a plusz- és míusz végtelebe, hol mooto övő illetve csökkeő a függvéy, hol va lokális szélsőértéke, és a milye jellegű szélsőérték maximum, miimum), hol kovex illetve kokáv a függvéy, hol va iflexiós potja, hol va globális miimuma illetve maximuma a függvéyek, mi a függvéy értékkészlete. XXI. XXII. Hol va lokális maximuma illetve miimuma a px) = 3x 5 5x 4 +5x 3 5x +4 poliomak? Háy valós megoldása va az x 4 8x+9 = egyeletek, és mi lesz a valós gyökök előjele? XXIII. Va-e miimuma illetve maximuma az fx) = x e 3x függvéyek a [, ] itervallumo, ha ige, határozzuk meg a szélsőértékeket. XXIV. Írjuk fel az x cos y x) + yx) + yx) = x x + implicit módo megadott y függvéy, ) potbeli éritő egyeeséek az egyeletét! XXV. Milye lokális tulajdosága va az x si yx) + yx) + si x = π ) implicit módo adott y függvéyek a, potba? 4

30 Határozzuk meg az alábbi függvéyek körüli Taylor-sorát és aak kovergeciatartomá- XXVI. yát. fx) = 4x + ) e 3x gx) = si 3x) hx) = 7 5x x 3x + XXVII. A biomiális sorfejtés segítségével írjuk fel az arctg, arcsi, 3 + id R, + id R függvéy körüli 9-ed redű Taylor-poliomját. XXVIII. XXIX. XXX. teljesül. XXXI. Határozzuk meg 3 értékét, potossággal. Igazoljuk az alábbi sorösszegeket k= k= k= l k k =. cos x ) < x R) 4. k k si ) < k Legye a, b R + és α R. Mutassuk meg, hogy ax + b x Legye x lim x + f : R R. Határozzuk meg az f függvéyt.. Vizsgáljuk a lim f határértéket. XXXII. l k) l k < k k= k= = = + x) α ab és lim = α x x x { x si x ha x, ha x =. ) = Igazoljuk a trigoometrikus függvéyekre és iverzükre voatkozó alábbi összefüggéseket.. si x = sgcos x) tg x + tg x x R. cos x = sgcos x) + tg x x R 3. arcsi x + arccos x = π x [, ] 4. arctg x + arctg x = π sg x x R \ {} x x 5. arctg x = arcsi x R 6. arcsi x = arctg x ], [ + x x { 3x x3 7. tg3 arctg x) = 3x x R \ ± } 3 XXXIII. H Raabe-féle kovergeciakritérium.) Legye a : N K tetszőleges sorozat. Igazoljuk, hogy )) a. ha lim if a + >, akkor a a sor abszolút koverges; 5

31 a. ha lim sup XXXIV. H a + Mutassuk meg, hogy a )) <, akkor a a sor em abszolút koverges. j : CR, R) FQ, R) leképezés ijektív. Ezek alapjá igazoljuk az alábbiakat. f f Q R CR, R) FQ, R) = FN, R) = FN, PN)) = = FN, FN, {, })) = FN N, {, }) = R Vagyis a folytoos függvéyek halmaza kotiuum számosságú.) XXXV. H Legye f : R R reguláris függvéy azaz Dom f yílt halmaz, és mide a Dom f potra létezik a lim f és a lim f határérték). Defiiáljuk az a+ a ω : Dom f R x max { fx) lim x f, fx) lim x+ f függvéyt. Igazoljuk az alábbiakat.. Az f függvéy potosa akkor folytoos az x Dom f potba, ha ωx) =.. Mide a Dom f potra lim a ω =. 3. Mide K Dom f korlátos zárt halmazra és ε > számra a {x K ωx) ε} halmaz véges. 4. Mutassuk meg, hogy létezik korlátos zárt halmazokak olya K ) N redszere, melyre mide N eseté K Dom f és N K = Dom f. 5. Az f függvéy szakadási helyeiek a halmaza megszámlálható. 6. Mide yílt halmazo értelmezett mooto függvéy reguláris.. Határozatla itegrál I. Számítsuk ki a következő itegrálokat. + x. d x. x x x + d x 5. si 8. ch. } x d x 3. + e x d x d x 6. + x x d x cos 9. sh sh. ch II. A parciális itegrálás segítségével határozzuk meg az alábbi itegrálokat, ahol a, b R \ {}.. x e ax d x. x e ax d x 3. x si x d x 6

32 e ax si bx d x 5. + x d x 8. arctg x d x. e x cos x d x 6. x d x 9. x arctg ax d x. x d x arcsi x d x x 3 l x d x III. A következőkbe a racioális törtfüggvéyekre voatkozó itegrálási szabályt alkalmazzuk.. x d x. x x 3 d x 3. x 3 + d x x 4. x + ) 3 d x 5. x + x + 6 d x 6. x 4 x )x 3)x 4) d x 6x + 4x x 3 x 4 7. x 4 d x x + ) d x x 3 d x. x + x + ) d x. x x + x + ) d x. x + x + ) d x IV. A következő itegrálok kiszámításához alkalmazzuk megfelelő helyettesítést k N). x 3. x + ) 4 d x. + x + + x) 3 d x 3. x 4 x d x e 4x ex x 4. + e x d x 5. d x 6. e x d x 7. x d x 8. si k x cos x d x 9. cos k x si x d x. ctg x d x. tg x d x. tg x d x 3. tg 4 x d x 4. e 3x e x d x 5. x + x d x V. A t = tg x helyettesítéssel racioális törtfüggvéyekre vezessük vissza a következő itegrálokat és így számoljuk ki az értéküket.. tg x d x. si x + si x d x + tg x 3. tg x d x cos x d x VI. A következő itegrálok kiszámításához godoljuk az elemi függvéyek si, tg, exp, arctg, arcsi,... ) deriváltjára és a deriválásál megismert lácszabályra. 3 x. x e x d x. + 9 x d x 3. e x d x e x e x cos l x e x d x 5. cos x d x 6. x + si x d x VII. Trigoometrikus azoosságok segítségével számoljuk ki az alábbi határozatla itegrálokat.. cos x cos 5x d x. cos 5 x si x d x 3. cos 5 x d x 4. cos 5 x si 3 x d x 5. si 4 x d x 6. cos 5 x si 5 x d x 7

33 . Határozott itegrál I. Igazoljuk az alábbi egyelőségeket. II. III x d x = x. d x = l 5. x 5 4x d x = 6 8. π π si x d x = 3. cos x + si x) d x = + e x d x = + l + e Az itegrálok kiszámítása élkül igazoljuk az egyelőtleségeket. Tekitsük az x + x d x l + x) d x π 4 tg x d x π 4 e : [, π] R x π e k : [, π] R x π coskx) k N f k : [, π] R x π sikx) k N vektorokat a C[, π], R) vektortérbe, melybe a skaláris szorzást a 3 π π, : C[, π], R) C[, π], R) R f, g) fg + x d x = π 3 x) 9 d x = + si x d x = ) x + x3 d x 3 képlet defiiálja. Mutassuk meg, hogy az {e k } k N, {f k } k N vektorok ortoormált redszer alkotak. IV. Határozzuk meg az f, g : [, ] R vektorok által bezárt szöget a C[, ], R),, ) skalárszorzatos térbe, ahol az f, g C[, ], R) vektorok skaláris szorzatát a f, g = defiíálja.. fx) = x, gx) =. fx) = 4x 3, gx) = x V. Határozzuk meg a következő függvéyek deriváltját! VI.. Ex) = 3. Gx) = 4x 4x Mutassuk meg, hogy az egyelet teljesül! d du w u + t 8 d t. F x) = x 3 x 3 d t 4. Hx) = + t 4 si x d x + d dw w u si x d x = v u x cos x d x + t 4 d t + t 4 d t fg képlet 8

34 VII. Határozzuk meg az F x) = x t e 4t d t képlettel értelmezett függvéy miimumát és maximumát a [, ] itervallumo! VIII. Tekitsük az F x) = x t 7 + t + 6 d t függvéyt.. Az F függvéyek va-e lokális szélsőértéke a ], 3[ itervallumba?. Hol veszi fel F a miimumát illetve maximumát a [, 3] itervallumba? 3. Va-e iflexiós potja az F függvéyek a ], 3[ itervallumba? IX. Határozzuk meg az alábbi határértékeket!. lim x 3. lim x x x 5. lim x + l + t) d t x. lim x + + t 4 d t x 3 4. lim x x cos t t x d t X. Keressük hibát az alábbi számításba. x log x d x = log x log x XI. teljesül. XII. = log x Legye f R[, π], R) és mutassuk meg, hogy ekkor Számoljuk ki az itegrálok értékét. XIII. π log si x d x, π 6. lim x fsi x) cos x d x = π si x tg x tg t d t si t d t x arctg 3t d t x x arctg t) d t x + log x x d x = + x log x d x log si x d x, Igazoljuk, hogy mide a R + paraméter eseté lim k= π + ak ) = + a)+ a e log cos x d x teljesül. 9

35 XIV. H Legye f R[, ], R) olya függvéy, melyhez létezik olya c R + szám, hogy mide x [, ] eseté fx) c teljesül. Keressük meg a lim ) k f határértéket. XV. H XVI. H Bizoyítsuk be, hogy lim k=! = e teljesül. Mutassuk meg, hogy mide f C[a, b], R + ) függvéyre b f = sup fx). lim XVII. E Mide N eseté legye I = a π si.. Számoljuk ki mide N számra I értékét.. Igazoljuk, hogy mide N eseté I I Mutassuk meg, hogy mide N eseté I I I + = x [a,b] π + ) I Mutassuk meg, hogy mide N eseté π I π Igazoljuk a Wallis-formulát. XVIII. E Defiiáljuk az lim a : N R 4 ) 3 ) = π k log sorozatot.. Mutassuk meg, hogy mide, m N számra + m) m + ) +.. Igazoljuk, hogy az a sorozat mooto fogyó. 3. Igazoljuk, hogy mide N eseté teljesül. log = k= k+ k k= x d x k= k + ) k + 3

36 4. Mutassuk meg, hogy az a sorozat alulról korlátos. A ) γ = lim k log k= számot Euler-Mascheroi-álladóak evezzük, γ Ismeretle, hogy γ Q teljesül-e.) XIX. E Legye P a prímszámok halmaza. Igazoljuk, hogy mide x ], [ számra log log x) p p P p x teljesül, az alábbi részfeladatok segítségével.. Mide N \ {, } és p P eseté létezik egyértelműe olya a p ) N szám, melyre teljesül.. Mide N \ {, } eseté legye p ap) < p ap) A = p P Igazoljuk, hogy mide N \ {, } eseté log < k= p a p) i= p i. k < A < p P p p 3. A Taylor-sorfejtés segítségével igazoljuk, hogy mide x ], ] eseté log továbbá, hogy mide k N \ {} eseté Ezek alapjá i= i <. x < x + x, k i= i k. 4. Az előző potok alapjá igazoljuk, hogy mide N \ {, } eseté log log < p + ) p < + p. p P p P p p XX. Igazoljuk, hogy mide x ], [ számra k= x k x) log x) = + kk + ) x.. 3

37 XXI. XXII. határértéket. XXIII. XXIV. Számoljuk ki a következő improprius itegrálokat, ahol a, b R +, a < b paraméter e x d x 5. + x 4 d x 6. e ax cosbx) d x 7. x d x 8. Igazoljuk az alábbi sorösszegeket, ahol a ], [.. lim 3. lim a k= b a k =. lim k a = a k= Kovergesek-e az alábbi itegrálok? log x x d x x + x + d x x a)b x) d x log x d x k= 4. lim si x d x. si x d x 4. e x cos x d x 6. k= 3 3 x4 d x 8. x) 3 d x. x cos x 5 + 3) x 4 + 3x + 5 d x. Adjuk becslést a hibára, ha a = = = sh + ch + l + ) 3 sorokat az első tag összegével becsüljük! k k) = π + k = π 4 3 x si x d x x 3 x si x d x x + si x d x ) arctg +x d x x + x 3 si ) + x d x x + x) 3 si x x e 3 3. = cos ) si ) 6. l 9. = = d x = = = ) si cos ) 3

38 XXV. H a határértéket. Legye f CR, R) olya függvéy, melyre lim f = a és lim f = b teljesül. Számoljuk ki lim z XXVI. H Legye f C[, [, R + ). z z fx + ) fx)) d x. Igazoljuk, hogy ha f mooto csökkeő és f <, akkor lim xfx) =. x x. Mutassuk meg, hogy ha lim fx) ], [, akkor f <. x XXVII. H Legye f R[, [, R + ).. Igazoljuk, hogy ha és fg <.. Igazoljuk, hogy ha és fg =. f <, akkor létezik olya g : [, [ R + függvéy, melyre lim g = f =, akkor létezik olya g : [, [ R + függvéy, melyre lim g = XXVIII. Ívhosszszámítás.. Az fx) = x egyeletű görbéek mekkora az [, 5] itervallumhoz tartozó hossza?. Számítsuk ki az fx) = e x függvéy görbéjéek a [, l 3] itervallumhoz tartozó ívhosszúságát! [ π 3. Mekkora az fx) = l si x függvéy görbéjéek a hossza a 4, π ] itervallum fölött? 4. Mekkora az fx) = x függvéy ívhossza a [, ] itervallum fölött? 5. Legye fx) = ch x. Mekkora a függvéy [, ] itervallum fölötti részéek a hossza? 6. Számoljuk ki az fx) = x függvéy [, 4] szakasz fölötti képéek a hosszát! XXIX. Térfogatszámítás.. Az y = x egyeletű parabola [, ] itervallum fölötti ívét forgassuk meg az első tegely körül. Mekkora a kapott forgástest térfogata?. Forgassuk meg az y = x egyeletű görbe [, 4] itervallum fölötti ívét az első tegely körül. Mekkora a kapott forgástest térfogata? 3. Legye R és fx) = x. Forgassuk meg az f függvéyt az első tegely körül. Mekkora a kapott forgástest [a, b] itervallumhoz tartozó térfogata, ahol a, b [, [, a < b? 4. Az fx) = e x függvéy [a, b] itervallumhoz tartozó részét forgassuk meg az első tegely körül, ahol a, b R, a < b. Mekkora az így kapott test térfogata? 5. Mekkora térfogatú testet kapuk, ha az fx) = si x függvéyt két szomszédos ullpotja között az első tegely körül megforgatuk? XXX. Felszíszámítás.. Az fx) = x egyeletű parabola [, ] itervallum fölötti részét forgassuk meg az első tegely körül. Mekkora a kapott test térfogata?. Az fx) = e x görbét az első tegely körül megforgatva egy forgástestet kapuk. Mekkor a test [, ] szakaszhoz tartozó felszíe? 33

39 3. Az fx) = ch x függvéy [, l ] itervallum fölötti szakaszát az első tegely körül forgassuk meg. Mekkora a kapott forgástest felszíe? 4. Az fx) = si x függvéyt két szomszédos zérushelye között forgassuk meg az első tegely körül. Mekkora a kapott test felszíe?. Metrikus terek I. H Legye T = R és T = { } {R} {[a, [ a R} {]a, [ a R}.. Mutassuk meg, hogy T, T) topologikus tér.. Igazoljuk, hogy a T, T) tér T tér, de em T tér. 3. Adjuk meg az összes olya z R elemet melyre lim II. H Legye T = Z és legye = z teljesül. T = {U Z a Z \ U halmaz véges} { }.. Mutassuk meg, hogy T, T) topologikus tér.. Mutassuk meg, hogy T, T) T, de em T tér. 3. Tekitsük az s : N Z sorozatot. Mutassuk meg, hogy mide z Z számra lim s = z teljesül. III. H Mutassuk meg, hogy a T, T) topologikus tér potosa akkor T tér, ha mide x T eseté a {x} halmaz zárt. IV. H Legye T, T) topologikus tér és legye E,..., E T. Mutassuk meg, hogy ekkor ) It E k = k= It E k k= és E k = k= E k. V. H Legye T, T) topologikus tér és legye E i ) i I a T részhalmazaiak tetszőleges redszere. Bizoyítsuk be a ) következőket.. It E i It E i i I i I ). It E i It E i i I i I 3. E i i I i I 4. i I E i i I E i E i k= 34

40 VI. Defiiáljuk az alábbi leképezéseket. d : R R R x, y) arctg x arctg y d : R R R x, y) e x e y Mutassuk meg, hogy R, d ) és R, d ) em teljes metrikus terek. VII. Legye M em üres halmaz, és d : M M R + olya leképezés, melyre. mide x, y M elemre dx, y) = potosa akkor teljesül, ha x = y;. mide x, y, z M eseté dx, y) dx, z) + dy, z). Igazoljuk, hogy M, d) metrikus tér. VIII. Legye M, d) metrikus tér. Igazoljuk, hogy az alábbi d i : M M R + i =,, 3, 4) függvéyek is metrikát határozak meg. dx, y) d x, y) = midx, y), ) d x, y) = + dx, y) d 3 x, y) = logdx, y) + ) d 4 x, y) = dx, y) IX. Legye M, d) metrikus tér és legye f : R + R + olya függvéy, melyre. f) = és mide x > eseté fx) > ;. f mooto övő; 3. mide x, y R eseté fx + y) fx) + fy). Mutassuk meg, hogy ekkor M, f d) is metrikus tér. X. Defiiáljuk a d : N N R +, m) { + ha m ; + m ha m = függvéyt.. Bizoyítsuk be, hogy N, d) metrikus tér.. Adjuk példát olya N halmazba haladó k ) k N sorozatra és az R + halmazba haladó r k ) k N szigorúa mooto fogyó sorozatra, melyre mide k N eseté r k >, B rk+ k+ ) B rk k ), de k N B rk k ) =. XI. Legye M, d) olya metrikus tér, melybe M korlátos halmaz. Jelölje F M) az M tér em üres zárt részhalmazaiak a halmazát. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. ) ρ : F M) F M) R + A, B) sup if dx, y) x A y B d : F M) F M) R + A, B) maxρa, B), ρb, A)) Mutassuk meg, hogy F M), d ) metrikus tér. XII. Defiiáljuk az alábbi függvéyeket. α : FN, N) FN, N) R + d : FN, N) FN, N) R + f, g) mi { N f) g)} + αf, g) ha f g; f, g) + αf, g) ha f = g. Igazoljuk, hogy FN, N), d) metrikus tér. 35

41 XIII. H Legye M, d) metrikus tér és tetszőleges A M halmaz eseté legye It A = { x M r R + \ {} : B r x) A }, Ext A = { x M r R + \ {} : B r x) A = }, Fr A = { x M r R + \ {} : B r x) A B r x) \ A }.. Mutassuk meg, hogy mide A M eseté teljesülek az alábbiak. Ext Ext Ext Ext A = Ext Ext A Ext Ext It Fr A = It Fr A Fr Ext Ext It A = Fr Ext It A Fr Ext It Fr A = Fr It Fr A Ext Ext Ext It A = Ext It A Ext Ext Fr A = It Fr A Fr Ext Ext Ext A = Fr Ext Ext A. Legye A M tetszőleges halmaz. Mutassuk meg, hogy ha véges sokszor alkalmazzuk egymás utá az It, az Ext és a Fr halmazműveleteket az A halmazra, akkor azokat midig le lehet rövidítei égy halmazműveletre. 3. Legye A M tetszőleges halmaz. Mutassuk meg, hogy ha véges sokszor alkalmazzuk egymás utá az It, az Ext és a Fr halmazműveleteket az A halmazra, akkor legfeljebb 5 külöböző halmazt kaphatuk. XIV. Legye M, d) metrikus tér, és x, y M két külöböző pot. Igazoljuk, hogy ekkor létezek olya U, V M yílt halmazok, melyekre x U, y V és U V = teljesül. XV. Legye M, d) metrikus tér, x M és A M zárt halmaz, melyre x / A. Igazoljuk, hogy ekkor az {x} halmaz zárt, valamit, hogy létezek olya U, V M yílt halmazok, melyekre x U, A V és U V = teljesül. XVI. Legye M, d) metrikus tér és A, B M zárt halmaz, melyre A B =. Igazoljuk, hogy ekkor létezek olya U, V M yílt halmazok, melyekre A U, B V és U V = teljesül. XVII. Igazoljuk, hogy metrikus térbe mide yílt halmaz előállítható megszámlálhatóa sok zárt halmaz uiójakét, és mide zárt halmaz előállítható megszámlálhatóa sok yílt halmaz metszetekét. XVIII. Mutassuk meg, hogy az M = [, ] Q halmaz em kompakt, ha a teret a megszokott euklidészi metrikával látjuk el. XIX. Tekitsük az M = Q teret a megszokott euklidészi metrikával. Azt modjuk, hogy az x M potak az U M halmaz egy köryezete, ha létezik olya ε >, melyre G ε x) U teljesül. Mutassuk meg, hogy az M térbe egyetle potak sics kompakt köryezete. XX. Példák lokális kompakt és em lokálisa kompakt terekre.. Legye M = Q és mide p, q Q eseté legye dp, q) = p q. Mutassuk meg, hogy az M, d) tér em lokálisa kompakt.. Legye N. Mutassuk meg, hogy az R, p ) tér lokálisa kompakt mide p [, [ eseté. 3. Legye M = { x, y) R x = y = ) x > ) } és legye d az euklideszi metrika megszorítása az M halmazra. Mutassuk meg, hogy az M, d) tér em lokálisa kompakt. 36

42 4. Legye M = { x, y) R x = y = ) x > y = si )} x és legye d az euklidészi metrika megszorítása az M halmazra. Mutassuk meg, hogy az M, d) tér em lokálisa kompakt. XXI. Legye M, d) metrikus tér és legye x M.. Mutassuk meg, hogy az {x} halmaz potosa akkor sehol sem sűrű, ha x em izolált potja az M térek.. Mutassuk meg, hogy ha M em üres, teljes metrikus tér, melyek ics izolált potja, akkor az M halmaz em megszámlálhatóa végtele. 3. Normált terek I. Legye V vektortér, valamit legye és orma a V tére. Mutassuk meg, hogy és ormák potosa akkor ekvivalesek, ha létezek olya K, K R + számok, hogy mide x V vektorra x K x és x K x teljesül. II. Legye N és p, q [, [. Mutassuk meg, hogy az R tére. mide p [, [ eseté a p és a ormák ekvivalesek;. bármely p, q [, [ szám eseté a p és a q ormák ekvivalesek. III. Legye V, ) ormált tér. Potosa akkor létezik a V vektortére olya skaláris szorzás mellyel V prehilbert-tér, ha mide x, y V vektorra teljesül. x + y + x y = x + y IV. Mutassuk meg, hogy ormált térbe mide yílt és zárt gömb kovex halmaz. Vagyis mide a V és r R + eseté teljesül.) x, y B r a) t [, ] : tx + t)y B r a) x, y B r a) t [, ] : tx + t)y B r a) V. H Legye V, ) ormált tér és legye X V kovex halmaz. Azt modjuk, hogy az a X pot az X halmaz extremális potja, ha x, y X t [, ] : tx + t)y = a t {, }.. Mide p [, [ eseté adjuk meg a B ) halmaz extremális potjait az R, p ) térbe.. Adjuk meg a B ) halmaz extremális potjait az R, ) térbe. 3. Jelölje C R, R) a folytoos, végtelebe eltüő függvéyek halmazát, vagyis C R, R) = { f CR, R) : ε R + K R kompakt halmaz x R \ K : fx) < ε }. Mutassuk meg, hogy a C R, R), ) térbe a B ) gömbek icse extremális potja. Egy A M halmazt akkor evezük sehol sem sűrűek, ha It A =. 37

43 VI. H. Mutassuk meg, hogy a C b R, K), sup) térbe C R, K) megegyezik a végtelebe eltűő folytoos R K függvéyek halmazával. 4. Függvéysorozatok, függvéysorok 4.. Kovergeciatartomáy I. Határozzuk meg az alábbi függvéysorozatok kovergeciatartomáyát és határfüggvéyét. II.. f x) = l x. f x) = si x ) 3. f x) = x + x 4. f x) = x 5. f x) = x ) + ) 6. f x) = N x 4 x Határozzuk meg az alábbi függvéysorok kovergeciatartomáyát. ) x x l x.. x + + x ) 3. x + )x + + ) N N cos x 4 + x 5. x arctg x + 8. ) [ ] x. ) ) x! e 4. = = 4.. Egyeletes kovergecia I. Legye mide N eseté N N N k= = = + x 6. k x) 9. )!! + )!! x. e x l f : R R x x. 5. N ) N N = x x ) x k = k= k + x Határozzuk meg az f = lim f függvéyt. Igaz-e, hogy az f ) N függvéysorozat egyeletese kovergál az f függvéyhez? II. Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi függvéysorozatok egyeletese kovergesek-e az adott itervallumo.. f x) = e x I = [, [ I = [, [. f x) = x e x I = [, [ 3. f x) = x x + I = [, [ 4. x f x) = + x + I = [, [ C R, K) = {f CR, K) supp f kompakt halmaz}, ahol supp f = {x R fx) }. Az f : R K függvéy végtelebe eltűő, ha mide ε R + eseté létezik olya K R kompakt halmaz, hogy mide x R \ K) elemre fx) < ε. 38