5. A SZILÁRDSÁGTAN 2D FELADATAI

Átírás

1 5 A SZILÁDSÁGAN D FELADAAI A slárdságta (rugalasságta) kétdós vag kétértű (D) fladata köréb háro fladatcsoportot sokás sorol: - a sík alakváltoás fladatokat (SA) - a általáosított síkfsültség állapot fladatat (ÁSF) és - a forgásstrkus vag tglstrkus fladatokat (FSZ) 5 A fladatok értlés 5 A sík alakváltoás fladat (SA) Dfícó: sík alakváltoásról bsélük ha a vsgált tstk va g ktütttt síkja alll párhuaos vala sík alakváltoása aoos és a síkok távolsága s váltok P u b P u A ábrá látható stb a alakváltoás a síkkal párhuaos síkokba aoos A alakváltoás sorá a -al párhuaos síkok távolsága váltok Ebb a stb a gés tst alakváltoása g sík (pl a sík) alakváltoásával jllhtő Il alakváltoás általába ola tstkél fordul lő ahol a b ért a tst több értéh képst ag Például vastag falú cső alagút stb A l srktk chaka odllj a lgagobb értr rőlgs gség vastagságú tst A u u v w loduláső koordátá: u u v v w A ttsőlgs P pot odul l rába és a síkkal párhuaos lodulása függk a pot hlkoordátájától A alakváltoás állapot: u v w A u v A fsültség állapot (a általáos Hook-törvéből): F E E E 67

2 A alakváltoás és fsültség állapot s háro gástól függtl koordátával jllhtő és d koordáta csak a és függvé A alakváltoás állapot függtl jllő: A fsültség állapot függtl jllő: 5 Általáosított sík-fsültség fladat (ÁSF) Elvés: általáosított sík-fsültség fladat tárcsa fladat saját síkjába trhlt l fladata árcsa: ola tst alk gk ért légs ksbb t a ásk kttő értlhtő köépsík és a trhlés vastagság té vtt rdőj a köépsíkba sk b köépsík Kduló fltétlésk: - b << a tst ás jllő értél - a köépflült a köépflült sík - a külső trhlésb csk ráú rők a síkkal párhuaos rők rdőj a síkba sk - a b flültk trhltlk A fsültségkr voatkoó fltétlésk: b - A flültk trhltlk b - Ha b kcs akkor csak a flültk ha a több hl s - A a hlkoordáta páros függvé - A a hlkoordáta páratla függvé b A vastagságra voatkotatott átlagos fsültségk bvtés: Átlagos fsültség tor: F ahol d b d b d b b b b d b d b d b b b b Mchaka odll: a tstt (tárcsát) a köépflültévl hlttsítjük és a chaka jllőkt (a vastagság té képtt átlagértékkt) a köépsíkho kötjük 68

3 Aagtörvé a átlagos ségkr (általáos Hook-törvé): E E E Ola általáos alakváltoása jllőkt kapuk alk sté csak a hlkoordáták függvé: b b Átlagos alakváltoás jllők: d b b A d b b Átlagos lodulások (a köépsík potjaak lodulása): Például: d u u v u v u v u ud b b v vd b b w d w w wd b b f f A fsültség és alakváltoás állapot tt s háro gástól függtl koordátával jllhtő alk csak függvé A alakváltoás állapot függtl jllő: A fsültség állapot függtl jllő: 5 Forgásstrkus fladat (FSZ) Elvés: forgásstrkus fladat tglstrkus fladat Dfícó: forgásstrkus vag ás sóval tglstrkus gotrájú és trhlésű tstk fladata 69

4 A forgásstrkus alakú alkatrésk a gépéstb gakra lőfordulak (pl: strgálás) A ábrá q a térfogat trhlés sűrűségvktora p a flült trhlés sűrűségvktora és f a voalt trhlés sűrűségvktora A dfícóból kövtkő s a tst gotrája (alakja) s a tst trhlés függ a koordátától A chaka ségk függk a koordátától Koordáta rdsr: (HK görbvoalú koordáta-rdsr!) Eloduláső: u u v A tst potja a rdá síkba odulak l u u v v p w p q q f f P rdátst P P Alakváltoás állapot alakváltoás tor: u v u u A u v Fsültség állapot (általáos Hook törvéből): F E E E 7 E A alakváltoás és a fsültség állapot ég-ég gástól függtl koordátával jllhtő A alakváltoás állapot függtl jllő:

5 A fsültség állapot függtl jllő: 5 A D fladatok köös jllő - Mdháro fladatba d chaka ség két hlkoordátától függ - Mdháro fladatba két gástól függtl loduláső va: u u v v SA u u v v ÁSF u u v v FSZ - Két függtl skalárs lodulásőből a tst d chaka jllőj (alakváltoás és fsültség állapot) lőállítható 55 A D fladatok külöböőség - A vsgált tstkb fladattípustól függő ás és ás chaka (alakváltoás fsültség) állapot alakul k - A általáos Hook törvéből fladattól függő külöböő aaggltk adódak 5 A oparatrkus kölítés (trpolácó) Dfícó: oparatrkusak aokat a kölítéskt vük alkél a l gotrájáak (alakjáak) lírására és a l blül a loduláső kölítésér ugaaokat a függvékt hasáljuk A l gotrájáak lírása/gadása - oparatrkus lképés Eg görbékkl határolt égoldalú síktartoát g két gség oldalhossúságú égtr képük l A gk tartoá d P potjáho kölcsöös gértlű hoárdljük a ásk tartoá d potját P A hoárdlésk oda-vssa űköd kll Lképés: S S S A P( ) ( ) S lképés h h - a tartoá határát gadó S potok (csoópotok) sáa - a S pot hlkoordátá h - a alakfüggvék kölítő függvék A alakfüggvék lőállítása: A A A Kövtlé: a lképést gadó függvékapcsolatak a S A potokra s űköd kll 7

6 ha j Eért: h j j ha j Ebből a tulajdoságból kdulva a alakfüggvék rghatárohatók A lképés gfordíthatósága drválások: f Lg: adott srt függvé Állítsuk lő a f függvé lltv srt parcáls drváltjat: f f f f f f f f f f J Jacob-fél függvé átr A lképés kölcsöös gértlű (gfordítható vags oda-vssa űködk) ha J vrtálható A vrtálhatóság fltétl: dt J A vr Jacob átr (a urkus lőállításho sükségs alakba): J dt J A l lfajuló (a lképés kölcsöös gértlű) ha: - a tartoá alakja kov (ég a ábra bal oldalá látható határst s ggdtt) - kvadratkus (ásodfokú) lél a páros sorsáú potok a oldal köépső haradába sk a) Nég csoópotú (lárs) égsögl Alakfüggvék / Approácós függvék: (Md alakfüggvé tartala g ásodfokú tagot s) Carl Gustav Jacob Jacob (8-85) ét atatkus 7

7 h h h h h h h h b) Nolc csoópotú (égts/kvadratkus) égsögl Alakfüggvék/Approácós függvék: (Md alakfüggvé tartala lgalább g haradfokú tagot) h h6 h8 h h h h 5 h7 h h h h 5 7 h h h6 h 8 7

8 c) Hárosög alakú lk lőállítása égsöglkből dgrácóval Előfordulhat hog a vsgált tst (tartoá) fdhtő l jól égsöglkkl Sükség lht hárosög alakú lk alkalaására Dgrácó: a égsögl sarokpotjaak gbjtésévl (g oldal hossáak ullára sugorításával) hárosög lt állítuk lő Kövtké: ódosul fogak a alakfüggvék - Háro csoópotú (lárs) hárosögl Lképés: Dgrácó: A dgrácóval lőállított lárs hárosögl alakfüggvé: h h h h h h h - Hat csoópotú (kvadratkus) hárosögl A kvadratkus égsögl alakfüggvé: h 57 h 68 Dgrácó: 7

9 A dgrácóval lőállított kvadratkus hárosög alakú l alakfüggvé: h h 5 h h6 h h h h h h h h h h h h h 5 7 ahol h A loduláső otrópájáak btosításáho (ahho hog a sorsáoást ttsőlgs sarokpotba lkdhssük) va sükség a 5 potokba a alakfüggvék korrkcójára 5 Itrpolácós ljárások Itrpolácó: adott (dskrét) potokba vtt függvéértékkr (és drváltakra) llskdő függvé flírása alk sgítségévl a adott potok köött függvéértékkt lht gbcsül A lggakrabba alkalaott trpolácós ljárásokat tktjük át 5 A Lagrag-fél trpolácó Isrjük a Eg ola a f függvét kölítő f függvé hlttsítés értékt a p hlk p f f f függvéértékkkl gadott potoko függvét akaruk flír al átg a P f P Pp f f p f p A kölítő függvé: Ljf j p j p - aokak a potokak a sáa ahol a függvéértékk rdlkésr állak A Lagrag-fél trpolácós polook általáos alakja: L j j j p j j j j j p 75

10 5 A Hrt-fél trpolácó A Hrt -fél (rt) trpolácóál srjük a f lső drváltjáak hlttsítés értékt a p hlk f függvé és a f f f f p f függvé f f f p Eg ola a f függvét kölítő p függvét akaruk flír al átg a p függvéértékkl gadott potoko és kb a potokba f f f p f f f a drváltja p A kölítő függvé: Hj f j Hj f j j j A Hrt-fél trpolácós polook: H L L Mgjgésk: H p j j j j j L j j j - A rúdsrktkél Lagrag- és Hrt-fél trpolácót alkalatuk - A oparatrkus kölítésél kárólag Lagrag trpolácót alkalauk 5 A hagoáos"és a oparatrkus végslk össhasolítása A hagoáos lk jllő: - A lhatár gs voal vag sík flült - A tgrálás lvégésék gköítésér lh köttött hl koordáta-rdsrt (K-t) vsük fl - A lodulásőt a hl koordáta-rdsrb hatvásorral kölítjük- a hatvásor gütthatóak cs fka tartala - A gütthatókat kfjük a hl koordáta-rdsrb vtt csoópot paraétrkkl (a lk stjé gltrdsrt kll golda) - A l rvség átrát és a csoópot trhlésvktorát hl koordáta-rdsrb állítjuk lő (a tgrálás árt alakba ég hl koordáta-rdsrb gs/sík oldalak sté s gsrű) - A lk össkapcsolásáho a rvség átrokat és a csoópot trhlésvktorokat g globáls koordáta-rdsrb kll trasforál Célktűés: - N kllj lkét gltrdsrt golda - N kllj koordáta trasforácót lvég - Lg gsrű a tgrálás A oparatrkus lk jllő: - A lhatár lht görb voal vag görbült flült s - A l gotrájáak lírását lképéssl végük l - a lh llskdő trésts koordáta-rdsrt vsük fl Charls Hrt (8-9) fraca atatkus 76

11 - A lodulásőkt lkét a globáls koordáta-rsrb kölítjük - A lodulásők kölítésér a lképésél hasált függvékt alkalauk - A kölítő függvékb kövtlül a globáls koordáta-rdsrb vtt csoópot paraétrk jlk g - A tgrálást a trésts váltoók srt végük l g kocka/égt tartoára - A tgrálást árt alakba ha urkusa végük l 55 Lárs és kvadratkus végslk D (SA ÁSF FSZ) fladatok goldására a) Sík (SA ÁSF) lk: Lárs lk: Kvadratkus lk: b) Forgásstrkus (gűrű) lk: Lárs lk: Kvadratkus lk:

12 Gűrűlkél a csoópotot sokás csoókörk s v c) A gotra lírása: Sík-alakváltoás (SA) általáosított sík-fsültség állapot (ÁSF): Forgásstrkus (tglstrkus) (FSZ) fladat: d) A loduláső: h h h h SA ÁSF: u( ) u( ) v( ) FSZ: u( ) u( ) v( ) u h u - A loduláső kölítés: v h v A lodulásőt ugaaokkal a függvékkl kölítjük t a gotrát A kölítés átr alakba: A l approácós átra: A u A q A l csoópot/csoókör lodulásvktora: u - a csoópot / ráú lodulása v - a csoópot / ráú lodulása h h h h h h q u v u v u v - A ooto kovrgca krtérua (a tljsség fltétl): A lodulásők tartalaa kll g tljs lárs poloot: u a a a v b b b ahol Ebből a lodulásőből sáított csoópot (csoókör) lodulások: u u a a a v v b b b Ekt bhlttsítv a loduláső oparatrkus kölítéséb: u h u a h a h a h hát a v h v b h b h b h h alak/approácós függvékk k kll légít a alább fltétlt s: 78

13 ) A l alakváltoás jllő: SA ÁSF: éslts kírva: h 79 D u D A q B u h h h v u v h h h h h h u v FSZ: éslts kírva: u h h h v D u D A q B h h h u v h h h u u v v h h h h u h h h h h v A B átrok lőállításáál a a probléa hog a h függvék aokak a / váltoókak a függvé ak srt drvál kll f) A Jacob-fél függvéátr bvtés: Lg f f f Állítsuk lő a f függvé és váltoók srt drváltja köött kapcsolatot: Mátr alakba: J a Jacob-fél átr f f f f f f f f f J f f f J

14 A Jacob-fél átr ksáítása (lőállítása): h h SA ÁSF: J h h 8 h h FSZ: J h h A alakváltoás jllők ksáításáho a h függvék / és / srt drváltjat kll lőállíta (a vr Jacob átrra va sükség): SA ÁSF: h h h J h h dt J h FSZ: h h h J h h dt J h Látható hog a vr Jacob átrot s lő tudjuk állíta a függvék srtéb g) A l fsültség: SA ÁSF: éslts kírva: A aagálladók átráak l: SA: c E G C c c c c c c E G lltv G ÁSF: c E G FSZ: éslts kírva: A aagálladók átráak l: c E G c E G C c c c c c c c c c c c E G c E c G c E E G

15 h) A l / K-b vtt rvség átra: K B C B dv V A l térfogat: SA: dv dd dt J dd ÁSF: dv bdd bdt J dd FSZ: dv dd dt J dd A lőő háro sort általáosa írva: dv c dd A l / K-b vtt rvség átrtáak ksáítása: K B C B c dd A tgrácós tartoá alakja égt! A tgradus boolultsága att urkus tgrálást alkalauk: j - tgrácós potok (talppotok) sáa - a tgrácós potok hlkoordátá j w w - tgrácós súltéők j ) A l / K-b vtt trhlés vktora: - A térfogato gosló trhlésből: K w w j B j C B j c j ahol V f A q dv A q c dd q Nurkus tgrálás: f w w j A j q j c j q j Példa: a forgásstrkus tst tgl körül forgása A térfogat trhlés sűrűségvktora: q ahol - a aag tögsűrűség - a tst (alkatrés) sögsbsség A forgásból sáraó csoópot trhlésvktor: - A flült gosló trhlésből: f w wj A j j dt J q j j p k 8

16 A A approácós átrot lokalál kll arra a oldalra ahol a A oldal té d csak a váltoótól függ: A A q u h u u A q j 6 v h v q k 6 p trhlés hat A lokalált approácós átr: A alakfüggvék: h h j hk h hj hk A h hj h k j k hj h j k j k hk Csoópot trhlésvktor a oldal té gosló trhlésből: A l flült: p ahol p A f A p da p p vag p p SA: d d da ds d d d ÁSF: d d da bds b d d d FSZ: d d da ds d d d A l ívhoss: ds dr d d d d d d d d ds d d d Általáosa: ds c d O r ds 8

17 A csoópot trhlésvktor ksáítása: 56 Nurkus tgrálás p f A p c d w A p c A f függvé tgrálja urkusa kölítőlg össg alakjába állítható lő A össg d tagja g tgrálás súltéő és g függvéérték sorata b f f d w f a hba f a a b h f b a) A Nwto-Cots (kots) forulák w - a jlű tgrácós potho tartoó súltéő - a jlű tgrácós pot hlkoordátája Fladat: A w és értékk ghatároása Vgük fl a tgrácós potokat a tgrácós tartoáo gástól glő távolságra: b a Hlttsítsük a f függvét g Lagrag-trpolácóval lőállított függvél: f f L f f - a függvé hlttsítés érték a hl a b h A Lagrag-fél trpolácós polook: L b b Hlttsítsük b a kölítő függvét: b a f d L f d a b f d L d f a Átalakítások: a b a f d b a c f A Nwto-Cots-fél tgrálás gütthatók (tgrálás súltéők) a ft két össfüggésből a f téők gütthatóak össvtéséből adódak: ogr Cots (68-76) agol atatkus 8

18 c c c c c b a f 5 IV b a f 7 VI b a f A sté ugaakkora a hba t -él és 5 sté s ugaakkora a hba t -él ért a 5 forulákat sokták hasál Spcáls stk: rapé forula (sabál) : f b a f f Spso b a (spso) forula: f f f f 6 b a b a rapé sabál Spso sabál f f b a f f f b a b) A Gauss-kvadratúrák A tgrálás potokat gástól glő távolságra ha optáls távolságra vssük fl Ettől a tgrálás potosságáak javulását várjuk A kölítő függvé a lőő stb: f L f Itt a hlkt s srtlk tktjük (A lőő stb a hlk srtk voltak) Vgük fl poloot göktéős alakba: P E a polo a hl P értékt vs fl Vgük fl a kölítő függvét tt a alább alakba: f L f P Itt g ola kölítő poloot vttük fl a potra alk rdj b b b j A lőő godolatt alapjá: f d L d f j Pd a a j a w Optálás fltétl: a ásodk sua tűjö l b k Pd k a optáls tgrálás potok k hoas Spso (7-76) agol atatkus 8

19 A w tgrálás súlok függk a ab trvallu agságától Ha a és b akkor a Gauss-fél tgrálás potok és tgrálás gütthatók: w Mgjgésk: - A tgrálás potú Gauss forula lgfljbb -d fokú polog bárólag adja g a tgrál potos értékét - Aoos sáú tgrálás pot sté a Gauss-forula potosabb rdét solgáltat t a Nwto- Cots - Javasolt tgrálás foksáok D fladatokál: Csoópotok sáa Itgrálás foksáa Kgésítő gjgésk D fladatokho a) Prfltétlk fglbvétl D fladatokál Csuklós gfogás g potba u v a jlű csoópotba koctrált táastórő lép fl F F Csuklós gfogás több gás lltt potba u v A loduláső a pr: u h u u v h v v Ncsak a csoópotokba ha a csoópotok köött prsakas d potjába ulla ls a lodulás A l gtáastás a prgörb rv gfogását rdé E a valóságba rtká fordul lő ért a gtáastás ód krüldő Görgős gfogás g potba v a potbl koctrált táastórők csak koordátája ls F Görgős gtáastás gs lévő több gás lltt csoópotba v v h v v A pr gs arad 85

20 b) Lárs fladatok trhlés st Lárs probléák sté a gs trhléskh tartoó goldások (slárdság állapotok) suprpoálhatók Lárs fladat: pl lárs rugalasság fladat Ha ugaarra a alkatrésr (aoos végsl hálóat sté) külöböő trhlésk hatak akkor a alább gltrdsrkt kapjuk: Kq f Kq f Kq f Elvés: f f f trhlés stk Átrdés: K q q q f f f Mgoldás: q q q K f f f Lárs fladatokál g prografutásba gsrr több trhlés st s ksáítható A f trhlés stk ttsőlgs c f c f c f lárs kobácójáho tartoó goldás (suprpoícó): q cq cq c q ahol c c c skalárs gütthatók c) Optáls fsültségsáítás kvadratkus oparatrkus lkél A kölítés jllg: A lodulások ásodfokú polook A fsültségk lárs polook (drválás) A drválás kövtktéb a fsültségk g agságrddl agobb hbával trhltk t a lodulások Célktűés: ola fsültség értékk ghatároása alk potossága a lodulások potosságával aoos agságrdű A goldás godolatt: A lodulásőt kétfélképp kölítjük: tljs ásodfokú és tljs haradfokú poloal Krssük aokat a potokat ahol a kétfél köíltésből sáraó fsültségk ggk Ek a potok a -s Gauss kvadratúra tgrácós potja I j II k IV I III II 86

21 A I II III és IV Gauss tgrácós potokba sáított fsültségk hbájáak agságrdj ola tha haradfokú kölítést alkalatuk vola Kvadratkus oparatrkus lkél a (csoópot) lodulások és a -s Gauss tgrácós potokba sáított fsültségk potossága aoos agságrdű 58 glstrkus gotrájú tglstrkus trhlésű tstk fladata A gotra forgásstrkus A trhlésk cs ráú koordátája d függht a -től Flült trhlés: érfogat trhlés: p( ) p p p q q p A trhlést srt trgootrkus sorba fjtjük a -től való függést külö válastjuk: Flült trhlés: p p cos p p cos p( r ) érfogat trhlés: q q cos q q cos A loduláső koordátá: A -től való függést külöválastjuk: u u v u u cos v v cos A -től való függés lválastásával a fladatot darab tglstrkus trhlésű fladatra vttük vssa A lodulásők apltúdóak oparatrkus kölítés: u h u v h v Példák példa: Négsög l csoópot trhlésvktoráak lőállítása - Lárs l (ÁSF) Adott: a b c q q áll b a l vastagság ért c q Fladat: a csoópot trhlésvktor ghatároása Erdő rő: F q V q acb a 87

22 a a Lképés: ac c J dt J c A térfogat trhlésből sáraó csoópot trhlésvktor: f f f f f q ac F f q h d d b A lárs approácó a álladó trhlést glts ostja sét a csoópotokra - Kvadratkus l (ÁSF) Adott: a b c q q áll b a l vastagság ért c 8 q Fladat: a csoópot trhlésvktor ghatároása f f f f8 q A alakfüggvé tgrálja: h dd ac dt J F F Erdő rő (llőrés): f F f abc f q h d d abc F q ha 5 7 abc F q ha =68 A gosló rőrdsrt a csoópotokba hlttsítő rők a rdt trhléssl statkalag gértékűk (ugaat a oaték trt hoák létr) példa: D lárs lképés Jacob dtrása a 5 5 Lképés Vsgáljuk g hog ég csoópotú lárs l sté kölcsöös gértlű- a lképés a alább stkb: a) Ha háro csoópot g gs va b) Ha a l a ábrá látható kokáv alakú A lképés alakfüggvé: h h 88

23 A a) st vsgálata: háro csoópot g gsr sk h h 5 A gotra lképés: h h 5 A kjlölt űvltkt lvégv: A lképés Jacob átra: J dt J A Jacob átr dtrása: A lképés akkor lfajuló ha dt J E at jlt hog a lképés a bal oldal ábra g potjába a jlű csoópotba lfajuló A b) st vsgálata: kokáv l alak A gotra lképés: h h A kjlölt űvltkt lvégv: A lképés Jacob átra: J dt J A lképés akkor lfajuló ha dt J E at jlt hog a lképés a sraffoott tartoáo lfajuló Mgjgés: A végsl flostásba l lk srplhtk rt bb a stb hbás sáítás rdékt kapuk 89

24 példa: D fladat végsl goldása Adott: a furatos tárcsa gotrája aaga trhlés Fladat: g lhtségs végsl odll lőállítása A tgl a gotra a trhlés és a gtáastás spotjából s stratgl Eg lhtségs végsl flostás: A srkt rvség átra: Példa éhá blokk flépítésér a l rvség átrokból: K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K s K K K K K K A srkt csoópot trhlésvktora: f f 9 f Példa éhá blokk flépítésér a l csoópot trhlésvktorokból: f f f f f Prfltétl: Stra: v v6 v9 v5 v6 v9 Bfogás: u v u u u u5 A odll lhtségs foítása: a 5 csoópotokba a prfltétlk hltt ráú rugók lhlés 9