6. A végeselem közelítés pontosságának javítása Fokszám növelés (p-verziós elemek)

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "6. A végeselem közelítés pontosságának javítása Fokszám növelés (p-verziós elemek)"

Orsolya Bodnár
6 évvel ezelőtt
Látták:

6 A végslm közlítés pontosságánk jvítás Fokszám növlés (p-vrzós lmk) A végslm közlítés pontosság jvíthtó: - végslm hálózt sűrűségénk növlésévl több lm, több csomópont, szbdságfok növlés (hvrzó,

klljn újbb csomópontokt flvnn és nnk kövtkztébn n növkdjn z lm (rndszr) szbdságfok 6 Fokszám növlés húzott-nyomott rúdlmnél Adott:,,, L E A f A középvonl pontjnk rúdrányú lmozdulás w dw d A rúdrányú

1 6 A végslm közlítés pontosságánk jvítás Fokszám növlés (p-vrzós lmk) A végslm közlítés pontosság jvíthtó: - végslm hálózt sűrűségénk növlésévl több lm, több csomópont, szbdságfok növlés (hvrzó, h-konvrgnc) - z lmkn flvtt közlítő polnomok fokszámánk növlésévl z lmn több csomópontot kll flvnn, szbdságfok növkdés (z ddg smrtk szrnt) Célktűzés: közlítő polnomok fokszámát úgy krjuk növln, hogy n klljn újbb csomópontokt flvnn és nnk kövtkztébn n növkdjn z lm (rndszr) szbdságfok 6 Fokszám növlés húzott-nyomott rúdlmnél Adott:,,, L E A f A középvonl pontjnk rúdrányú lmozdulás w dw d A rúdrányú fjlgos nyúlás: w A rúdrányú normálfszültség: A rúdrő: N AE w, hol E w E - z nyg ruglmsság modulus, A rúd krsztmtszténk trült A rúdrő és rúdrányú mgoszló trhlés kpcsolt: 0 H vn N N f d, 0 dn d w f AE AE w d d f rúdrányú vonl mntén mgoszló trhlés, kkor z N ( ) rúdrő lmnként nm állndó Pl: Önsúlyávl trhlt, L hosszúságú rúd Homogén tömgmgoszlás stén z önsúlyból szármzó vonl mntén mgoszló trhlés: f Ag A állndó - z nyg tömgsűrűség, - z nyg fjsúly, A krsztmtszt trült, A rúdrő loszlás hossz mntén: N A L - lnárs függvény 0 N A L AL G V - Az lmozdulásmző szokásos (lnárs) közlítés: w N AE w AE állndó Ez közlítés csk N állndó f 0 stén képs pontos mgoldást lírn - Az lmozdulásmző közlítés fokszámnövléssl: w új mgsbb fokszámú tgok 9

2 A közlítés mátrx lkbn: w 3 4, 3 w p p p pótlólgos j ( j=,, 3, p) állndók szám w Az lm csomópont lmozdulásvktor: q w j Az (=, ) állndók kfjzés csomópont lmozdulásokkl: q w w j L L L L, 3 G G q G G, pp G q G G A szokásos (lnárs) közlítő polnom állndó csomópont lmozdulásokkl és pótlólgos állndókkl fjzhtők k Vsszhlyttsítv közlítő függvényb: w G q G G G q G G q A q A A A p p p - zoknk z állndóknk szám, mlyk nm fjzhtők k csomópont lmozdulásokkl - Fjlgos nyúlás: d A d A dw q B q B d d d p p - Fszültség (rúdrányú normál fszültség): - Az lm potncáls nrgáj: E EB q EB q E - rúd nygánk ruglmsság modulus 9

3 d A w f d L L B q A AE q B B d q f d L B L A p p p p A - rúdlm krsztmtszténk trült - Az lm mrvség mátrx (hly koordnát-rndszrbn): B B B B B AE B B d AE d L L B B B B B Jlölés: qq q q A mrvség mátrx blokkjnk mért:, p p, - Az lm csomópont trhlésvktor (hly R-bn): qq q p q = - szmmtráj mtt A f q f f d L A f - A húzott-nyomott rúdlm potncáls nrgáj: q f qq q q q q q q f A mátrxszorzásokt lvégzv: q q q q f f qq q q q - Az gész rndszr (tst) potncáls nrgáj: Az összgzésnél csomópont lmozdulások összllsztését s l kll végzn q, q, - A potncáls nrg mnmum lv lklmzás: 0, q mn 0 p q Az prmétrk csk z jlű, zz gy-gy lmnél fordulnk lő lőállítás lmnként lvégzhtő: z szrnt szélsőérték 93

q q f 0 q q Ebből pótlólgos állndók kfjzhtők: q q q q f q Vsszhlyttsítv z lm potncáls nrgájáb: rd q q q f rd - Az lm hly koordnát-rndszrbn vtt rdukált mrvség mátrx: rd qq q q f f f - Az lm hly

4 q q f 0 q q Ebből pótlólgos állndók kfjzhtők: q q q q f q Vsszhlyttsítv z lm potncáls nrgájáb: rd q q q f rd - Az lm hly koordnát-rndszrbn vtt rdukált mrvség mátrx: rd qq q q f f f - Az lm hly koordnát-rndszrbn vtt rdukált trhlés vktor: rd q q A hly R-ből vontkozttás R-b történő trnszformácó ugynzzl z összfüggéssl történk, mnt hgyományos stbn Húzott-nyomott rúdlmnél: 0 Ez kjlölt művltk lvégzésévl gyszrűn gzolhtó - A húzott-nyomott rúdlm potncáls nrgáj: q q q q q f f qq q A húzott-nyomott rúdlmnél z pótlólgos állndók q -től függtlnül htározhtók mg: f f A húzott-nyomott rúdlm rdukált jllmző:, f f rd qq rd q hát q csomópont prmétrkr ugynz lnárs lgbr gynltrndszr dódk, mnt fokszámnövlés nélkül stbn Húzott-nyomott rúdlmnél thát közlítés pontosság lmnként jvíthtó! 6 Fokszám növlés húzott-nyomott, hjlított-nyírt rúdlmnél Adott: - trhlés: f, f, - rúdlm gomtráj: A, I, L - rúdlm nyg: E, A húzás-nyomásr ugynz érvénys, mnt z lőző lmnél Hjlítás: Brnoull lmélt szrnt w - középvonl pontjnk rúdrányú lmozdulás, v - középvonl pontjnk rúdr mrőlgs rányú lmozdulás (lhjlás), dv v - krsztmtszt szöglfordulás tngly körül, d d d v v - középvonl görbült, d d 94

négyzts függvény L L M hx 0 AgL G G L L M hx G, M hx L 0 4 Az lmozdulásmző szokásos (köbös) közlítés: Ez közlítés csk állndó, f 0 y v, IV 3 3 4 v 3 3 4, v 3 6 4, v 6 4,

5 M M I E I E v h h - hjlító nyomték, dm h I Ev d - nyírórő d d 0 0 f d f I E v H vn vonl mntén mgoszló trhlés, kkor ( ) nyírórő rúdlmként nm állndó Pl: önsúlyávl trhlt bflzott trtó A trhlés: f A Ag y - fjsúly, g - grvtácós gyorsulás, - tömgsűrűség A nyírórő: y A g L AL g G L A hjlítónyomték: y - lnárs függvény 0, 0 V L M hx Ag - négyzts függvény L L M hx 0 AgL G G L L M hx G, M hx L 0 4 Az lmozdulásmző szokásos (köbös) közlítés: Ez közlítés csk állndó, f 0 y v, IV v 3 3 4, v 3 6 4, v 6 4, IV v 0 stén képs lírn pontos mgoldást w új tgok 3 Az lmozdulásmző közlítés fokszámnövléssl: v 3 4 új tgok A közlítés mátrx lkbn: w v p p 95

Az lmozdulásmző közlítés mátrx lkbn tömörn: Csomópont áltlánosított lmozdulásvktor: u q q, q j w q v dv dv A Brnonll lmélt szrnt:, A moshnko lmélt szrnt: d d A gondoltmnt z lőzőknk mgfllőn folyttódk

6 Az lmozdulásmző közlítés mátrx lkbn tömörn: Csomópont áltlánosított lmozdulásvktor: u q q, q j w q v dv dv A Brnonll lmélt szrnt:, A moshnko lmélt szrnt: d d A gondoltmnt z lőzőknk mgfllőn folyttódk Brnonll-fél rúdlmélt (húzás-nyomás + hjlítás nrg fgylmbvétl): 0 q q moshnko-fél rúdlmélt (húzás-nyomás + hjlítás + nyírás nrg fgylmbvétl): 0 q q 63 A fokszámnövlés áltlánosítás síkbl str ) Áltlánosítás gydmnzós str: vonllm A vlóságos vonllm: Lképzés: A lképztt lm x h x Az lmozdulásmző közlítését (z zoprmtrkus ljárásnk mgfllőn) lképztt lmn írjuk fl: p, u h u h 3, h - hgyományos (külső) lkfüggvényk, 3, p h - blső lkfüggvényk t dt A blső lkfüggvényk lőállítás: P Pn t - Lgndr (lözsn) polnomok (,3, ) Az n-d fokú Lgndr-fél dffrncálgynlt: t x y xy n n y 0, x, n 0,,, Ismrtln: y yx Mgoldás: y yx P x n - n-d fokú Lgndr-fél polnom A polnomok lőállítás Bonnt (boné)-fél rkurzós formulávl s történht: Más lőállítás s lhtségs Pn x n xp x npn x n Az lső néhány Lgndr-fél polnom és blső lkfüggvény: 96

P 0 x, P x x,, 3 P x 3x,, 6 3 5 3 P3 x 5x 3 x, 3, 0 4 4 P4 x 35x 30x 3, 4 35 4 7, 8 8 4 5 3 P5 x 63 x 70 x 5, 8 Az jlű lkfüggvény lőállítás: A Lgndr-fél polnomok tuljdonság:,,3, P P Ortogonltás (

drváltj ortonormáltk dx dx 0, h j x Ortonormált: ortogonáls és normáj Függvény normáj (mérték, bszolút érték): ülső lkfüggvényk: f x f x f x dx x Blső lkfüggvényk Elmhtárok: A blső lkfüggvényk z

7 P 0 x, P x x,, 3 P x 3x,, P3 x 5x 3 x, 3, P4 x 35x 30x 3, , P5 x 63 x 70 x 5, 8 Az jlű lkfüggvény lőállítás: A Lgndr-fél polnomok tuljdonság:,,3, P P Ortogonltás ( mrőlgsség áltlánosítás): x, h j, P x Pj x dx, h j 0 A blső lkfüggvényk tuljdonság: (A Lgndr-fél polnomok értlmzéséből és ortogonltásából kövtkzk) 0, h,3,4, j j j d d j, h j dx A blső lkfüggvényk drváltj ortonormáltk dx dx 0, h j x Ortonormált: ortogonáls és normáj Függvény normáj (mérték, bszolút érték): ülső lkfüggvényk: f x f x f x dx x Blső lkfüggvényk Elmhtárok: A blső lkfüggvényk z lmhtárokon ltűnnk nm kll llsztn őkt b) Áltlános D str négy csomópontú síkbl lm Függvénytér: függvényk hlmz Bázsfüggvényk: zok függvényk, mlykből függvénytér bármly lm (bármly függvény) lőállíthtó Pl: 3,,,,,,,, 97

Hrrchkus flépítésű lkfüggvényk lklmzásávl ngyon jó rdményk érhtők l Hrrchkus flépítésű lkfüggvényk: A p fokszámú lkfüggvényknk trtlmznuk kll z összs p fokszámú lkfüggvényt és lgyn közöttük z lm

8 Hrrchkus flépítésű lkfüggvényk lklmzásávl ngyon jó rdményk érhtők l Hrrchkus flépítésű lkfüggvényk: A p fokszámú lkfüggvényknk trtlmznuk kll z összs p fokszámú lkfüggvényt és lgyn közöttük z lm csomópontjbn és oldln l nm tűnők (nm null értékűk) szám lhtő lgksbb Ennk fltétlnk mgfllő lkfüggvénykt krunk flvnn gy négy csomópontú négyszög lkú síkbl lm stén Lnárs síkbl lm: Csomópontok srokpontok 4 x, h, x Lképzés: 4 y, h, y j - csomópont jlölés, - z oldl jlölés Az lmozdulásmző közlítés: 4 p 4 b u u u, h,,, u hjs h, j s j j j s j 4 p 4 b v js s j j j s j v v, h, v h, h, j p - bázsfüggvénybn lőforduló lgmgsbb fokszám j -, j 0,,,, p A csomópontokhoz trtozó lkfüggvényk: h,,,,3,4 4, - z jlű csomópont hlykoordnátá Az oldlkhoz trtozó lkfüggvényk: 4 p számú függvény írhtó fl: -nél jlnnk mg, h, h, h 3, h 4,,3,4,, p A blső lkfüggvényk: 4 -nél jlnnk mg j j3 b számú függvény írhtó fl: h,, h,, h h h h 3,,,, ,,,, Bázsfüggvényk hrrchkus flépítés stén: 98

9 Mgjgyzésk: p -d fokú közlítés mndg trtlmzz p -d fokú közlítést - A - Az lkfüggvényk drváltjnk ortogonltás csökknt mrvség mátrx sávszélsségét 99

Hasonló dokumentumok

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők: