6. előadás Véges automaták és reguláris nyelvek

Átírás

1 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm 6. lőadás Végs automaták és rguláris nylvk dr. Kallós Gábor

2 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Tartalom Zártsági tulajdonságok Unióra vonatkozó zártság Konkatnációra vonatkozó zártság Kln-itrációra vonatkozó zártság Komplmntr képzésr vonatkozó zártság Mtsztr vonatkozó zártság Konstrukció példák A konstrukciók alkalmazásai Végs automaták és rguláris nylvk kapcsolata Ekvivalncia tétl Nmrguláris nylvk, pumpáló lmma 2

3 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Bvztés Bláttuk (ml.): a végs automatákkal flismrhtő nylvk osztálya nm változik, ha a nmdtrm.t is mgngdjük Ez gy szép stabilitást jlnt Hasonló fontos rdmény: a rguláris nylvk osztálya is ugyanz! Azaz a rg. kifjzéskkl lírható (gnrálható) nylvk A (hamarosan kövtkző) tétl konstruktív bizonyítást ad Thát nmcsak a létzést bizonyítja, hanm pl. lő is állítja a kívánt automatát Mgvalósítható átalakítás a RE-k és az NVA-k között oda-vissza Erdti ötlt és lső mgvalósítás: Knnth L. Thompson (számítástud.) Vázlatos munkássága: C nylv Unix rndszr Rguláris kifjzésk 3

4 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Unióra vonatkozó zártság Tétl: A végs automatákkal flismrhtő nylvk osztálya zárt az unió művltr Azaz: ha L(M 1 ) és L(M 2 ) olyan nylvk, amlykt az M 1 és M 2 végs automaták lfogadnak, akkor olyan M végs automata, hogy L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) Másként: rguláris nylvk uniója szintén rguláris (Eml.: zt már külön láttuk) Mgjgyzésk M 1 és M 2 nmdtrminisztikus végs automaták L(M 1 ) L(M 2 ) szintén nylv (nyilvánvaló) M ugyanolyan típusú (NVA), mint M 1 és M 2 (hamarosan látni fogjuk) L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) (látni fogjuk) 4

5 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Unióra vonatkozó zártság (folyt.) A konstrukció vázlatos bmutatása M nmdt. módon mgsjti, hogy az input L(M 1 )-b vagy L(M 2 )-b sik, és zután úgy vislkdik, ahogy azt a mgfllő automata tnné s 1 M 1 F 1 s 1 M 1 F 1 s s 2 M 2 F 2 s 2 M 2 F 2 5

6 Formális nylvk és automaták Zártsági tulajdonságok Unióra vonatkozó zártság (folyt.) A konstrukció részlti Az M 1 és M 2 végs automaták ismrtk (adottak) M 1 = (K 1, Σ, 1, s 1, F 1 ), M 2 = (K 2, Σ, 2, s 2, F 2 ) Flthtő, hogy K 1 és K 2 diszjunktak Átnvzés lht Új automata: M = (K, Σ,, s, F), ahol K = K 1 K 2 {s} s új állapot, és nincs bnn K 1 K 2 -bn Σ nm változik (ugyanaz mind a három automata stén) = 1 2 {(s,, s 1 ), (s,, s 2 )} (két új átmnt) F = F 1 F 2 Széchnyi István Egytm M végs automata, hiszn két végs automatából áll + gy új csúcs és két új átmnt s s 1 s 2 M 1 M 2 F 1 F 2 6

7 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Unióra vonatkozó zártság (folyt.) A tétl bizonyítása Tgyük fl, hogy w L(M), kkor w L(M) (s, w) w* M (q, ), q F (lfogadás dfiníciójából) (s, w) w M (s 1, w) w* M (q, ), q F 1 vagy (s, w) w M (s 2, w) w* M (q, ), q F 2 (a konstrukcióból, és az gy lépésbn történő lőállításból) (s 1, w) w* M (q, ) (s 1, w) w* M1 (q, ), q F 1 (M flépítéséből), és kkor w L(M 1 ) (lfogadás dfiníciójából) Ugyanz érvénys (s 2, w) -r is Így w L(M) w L(M 1 ) vagy w L(M 2 ) L(M) L(M 1 ) L(M 2 ) Tgyük fl, hogy w L(M 1 ) L(M 2 ), kkor w L(M 1 ) L(M 2 ) (s 1, w) w* M1 (q, ), q F 1 vagy (s 2, w) w* M2 (q, ), q F 2 (lfogadás dfiníciójából) (részltsn nm nézzük mg) Végül: L(M) L(M 1 ) L(M 2 ) és L(M 1 ) L(M 2 ) L(M), így L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) s s 1 s 2 M 1 M 2 F 1 F 2 7

8 Formális nylvk és automaták Zártsági tulajdonságok Konkatnációra vonatkozó zártság Széchnyi István Egytm Tétl: A végs automatákkal flismrhtő nylvk osztálya zárt a konkatnáció művltr Azaz: ha L(M 1 ) és L(M 2 ) olyan nylvk, amlykt az M 1 és M 2 végs automaták lfogadnak, akkor olyan M végs automata, hogy L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) Másként: rguláris nylvk konkatnáltja szintén rguláris (Eml.: zt már külön láttuk) Mgjgyzésk hasonlóan, mint lőbb Vázlatos konstrukció s 1 M 1 s 2 M 2 Figylm, F 1 lfogadók törlődnk! s = s 1 M 1 s 2 M 2 8

9 Formális nylvk és automaták Zártsági tulajdonságok Konkatnációra vonatkozó zártság (folyt.) A konstrukció részlti Az M 1 és M 2 végs automaták ismrtk (adottak) M 1 = (K 1, Σ, 1, s 1, F 1 ), M 2 = (K 2, Σ, 2, s 2, F 2 ) Flthtő, hogy K 1 és K 2 diszjunktak Új automata: M = (K, Σ,, s, F), ahol Széchnyi István Egytm K = K 1 K 2 s = s 1 Σ nm változik (ugyanaz mind a három automata stén) = 1 2 (F 1 {} {s 2 }) (több új átmnt s 2 -b) F = F 2 Tétl biz.: Nm nézzük mg, önállóan áttkinthtő s = s 1 M 1 s 2 M 2 9

10 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Kln itrációra vonatkozó zártság Tétl: A végs automatákkal flismrhtő nylvk osztálya zárt a Kln csillag művltr Azaz: ha L(M 1 ) olyan nylv, amlyt az M 1 végs automata lfogad, akkor olyan M végs automata, hogy L(M) = L(M 1 )* Másként: rguláris nylvk Kln-itráltja szintén rguláris (Eml.: zt már külön láttuk) Mgjgyzésk hasonlóan, mint korábban Vázlatos konstrukció s M 1 s nw initial stat 10

11 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Kln itrációra vonatkozó zártság (folyt.) A konstrukció részlti Az M 1 végs automata ismrt (adott) s M 1 M 1 = (K 1, Σ, 1, s 1, F 1 ) Új automata: M = (K, Σ,, s, F), ahol s nw initial stat K = K 1 {s}, s K 1 s új állapot Σ nm változik (ugyanaz mindkét automata stén) = 1 {(s,, s 1 )} (F 1 {} {s 1 }) (több új átmnt s 1 -b) F = F 1 {s} Tétl biz.: Nm nézzük mg, önállóan áttkinthtő Fladat: Gondoljuk át, hogy a kövtkző konstrukció nm jó! A kzdőállapotban hibás lfogadás lht! a M 1 11

12 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Konstrukció példák Készítsünk olyan M NVA-t, amlyr L(M) = (a b)a! Mgoldás (lépésk) A rguláris kifjzésbn σ Σ-ra létrhozzuk az alap automatákat A fnt mgismrt konstrukciókat használjuk a gépk összkapcsolásához Az uniós kapcsolatot függőlgsn célszrű lrndzni, a konkatnációt pdig vízszintsn M a M b a b M a b a b a M a M (a b)a a a b 12

13 Formális nylvk és automaták Konstrukció példák Készítsünk olyan M NVA-t, amlyr L(M) = a* b*! Mgoldás (lépésk) Az alap a- és b-automatát flhasználva Létrhozzuk az a* és a b* automatákat (-átmntkkl) Az ismrt módon unióval összkapcsoljuk a gépkt (függőlgsn) Széchnyi István Egytm a b 13

14 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Konstrukció példák Készítsünk olyan M NVA-t, amlyr L(M) = (ab aab)*! Mgoldás (lépésk) Létrhozzuk az ab és az aab automatákat Unióval összkapcsoljuk a gépkt (függőlgsn) Létrhozzuk a Kln-csillagos automatát (-átmntkkl) a b a b a a b a b a a b a b a a b 14

15 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Komplmntr képzésr vonatkozó zártság Tétl: A végs automatákkal flismrhtő nylvk osztálya zárt a komplmntr képzésr Azaz: ha L(M 1 ) olyan nylv, amlyt az M 1 (dt.) végs automata lfogad, akkor M végs automata, hogy L(M) = Σ* \ L(M 1 ) = L(M 1 ) C Másként: rguláris nylvk komplmntr szintén rguláris Mgjgyzésk hasonlóan, mint korábban Vázlatos konstrukció q 1 s 1 M 1 q 3 q 2 q 1 s 1 M q 3 q 2 15

16 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Komplmntr képzésr vonatkozó zártság (folyt.) A konstrukció részlti Az M 1 dtrminisztikus (!) végs automata ismrt (adott) M 1 = (K 1, Σ, δ 1, s 1, F 1 ) Ha M 1 nmdt., akkor konvrtálni kll! (Tljsség fontos) Új automata: M = (K, Σ, δ, s, F), ahol K = K 1 s = s 1 Σ nm változik q 1 δ = δ 1 s 1 M q 3 F = K 1 \ F 1 Komplmntr halmaz q 2 (Látjuk majd, hogy a 2-s típusú nylvk osztálya nm zárt a komplmntr képzésr) 16

17 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Mtsztr vonatkozó zártság Tétl: A végs automatákkal flismrhtő nylvk osztálya zárt a mtszt művltr Azaz: ha L(M 1 ) és L(M 2 ) olyan nylvk, amlykt az M 1 és M 2 végs automaták lfogadnak, akkor olyan M végs automata, hogy L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) Azaz: két olyan nylv mtszt, amlykt végs automaták lfogadnak, szintén lfogadható végs automatával Másként: rguláris nylvk mtszt szintén rguláris Mgjgyzésk hasonlóan, mint korábban Bizonyítás Tudjuk: a végs automaták lfogadott nylvk zártak az unióra és a komplmntr képzésr A mtszt pdig kifjzhtő zzl a két művlttl: L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) = (L(M 1 ) C L(M 2 ) C ) C Mgj.: az rdti alkalmazott D Morgan szabály A B = A B 17

18 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Zártsági tulajdonságok Mtsztr vonatkozó zártság (folyt.) A konstrukció részlti Az lőző lépéskt alkalmazzuk Az M 1 és M 2 végs automaták ismrtk (adottak) Átalakítjuk őkt DVA-vá, ha szükségs (Tljssé tétl, komplmntr képzéshz) Alkalmazzuk rájuk a komplmntr képzési szabályt (2 ) Alkalmazzuk az unió képzési szabályt (1 ) Átalakítjuk az uniós automatát DVA-vá, ha szükségs Alkalmazzuk a komplmntr képzési szabályt (1 ) Ezzl mgkapjuk a mtszt automatát A B = A B 18

19 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm A konstrukciók alkalmazásai Tétl: Létzik algoritmus annak ldöntésér, hogy L(M) = Σ* Ekkor az M VA mindn lhtségs sztringt lfogad Bizonyítás Kulcsötlt: L(M) = Σ* L(M) C = Ø Készítsük l az M 1 végs automatát úgy, hogy L(M 1 ) = L(M) C lgyn (Komplmntr képzéssl; ha szükségs, lőtt M-t dtrminizáljuk) L(M 1 ) = Ø nincs irányított út s 1 -ből F 1 valamlyik lméb (M 1 -bn) Az irányított út krsésér létznk hatékony algoritmusok 19

20 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm A konstrukciók alkalmazásai Tétl: Létzik algoritmus annak ldöntésér, hogy L(M 1 ) L(M 2 ) M 1 és M 2 végs automaták Bizonyítás Kulcsötlt: L(M 1 ) L(M 2 ) L(M 1 ) L(M 2 ) C = Ø (a komplmntr automatával) (Illusztráció: tartalmazásos és nm tartalmazásos ábra) L(M) = Ø llnőrzésér már mgvan a módszrünk 20

21 Formális nylvk és automaták A konstrukciók alkalmazásai Széchnyi István Egytm Tétl: Létzik algoritmus annak ldöntésér, hogy L(M 1 ) = L(M 2 ) M 1 és M 2 végs automaták Bizonyítás Kulcsötlt: L(M 1 ) = L(M 2 ) L(M 1 ) L(M 2 ) és L(M 2 ) L(M 1 ) (Eml.: részhalmaz állítás) L 1 L 2 llnőrzésér már mgvan a módszrünk (ml. komplmntr automata stb.) Mgjgyzésk Ez gy algoritmus, és nm a két automata gynlőségénk a dfiníciója! Spc. stkbn a tétlk állításai akár gyszrűbbn is llnőrizhtők a b a a b a q 0 q 1 q 2 b q 3 b a b q 0 q 1 a a b a q 0 b q 1 aba q 0 ab q 4 a, b q 2 q 2 21

22 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Végs automaták és rguláris nylvk kapcsolata Ekvivalncia tétl Tétl: Egy nylv rguláris végs automatával flismrhtő Bizonyítás Eml.: R a rguláris nylvk halmaza; Ø R, a Σ-ra {a} R, Ha A, B R A B R, A B R, A* R, R minimális Létznk olyan végs automaták, amlyk lfogadják az ürs halmazt és a singlton nylvkt A végs automatával flismrhtő nylvk zártak az unió, konkatnáció és Kln-csillag művltkr Így mindn rguláris nylv flismrhtő végs automatával Mindn automatához flépíthtő a mgfllő kvivalns rguláris kifjzés, itt nm nézzük mg (részltsn lásd: Elmnts könyv ) 22

23 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Nmrguláris nylvk Bvztő Eddig (ml.): Változatos módszrink vannak arra, hogy mgmutassuk nylvk rgulárisságát (RE, DVA, NVA) A nmrguláris tulajd. igazolására azonban ddig még nincs szközünk Elmélti rdményk alapján tudjuk, hogy nmrg. nylvk létznk A nylvk száma kontinuum; RE, ill. DVA/NVA viszont csak mgszámlálható sok van Két tulajdonság, amly rguláris nylvr jllmző, d bizonyos nmrg. nylvkr nm Egy sztring bolvasásakor a flh. mmória korlátos és lőr rögzíttt kll lgyn, továbbá a szótól függtln (csak a nylvtől függht) (Eml. L = {a n b n n 0} nylv nmrg. zt most már l is várjuk) A végtln rg. nylvk ciklust tartalmazó automatákkal, ill. Klncsillagos RE-kl rprzntálhatók. Ezk gyszrű ismétlődő struktúrák. Így várhatóan L = {a n n prím} nmrg., hiszn nincs gyszrű priódus. 23

24 Formális nylvk és automaták Pumpáló lmma Az lőző intuitív ötltkt most formalizáljuk Tétl (pumpáló lmma 1, itrációs lmma, kis Bar Hilll lmma; pumping thorm, rpat stat thorm): Lgyn L gy rguláris nylv. Ekkor kllő hosszú w L szó ( w K, K konstans csak L-től függ) flírható w = xyz alakban úgy, hogy y, y K, továbbá xy n z L, n 0-ra. Bizonyítás Széchnyi István Egytm Ötlt: Az L-t flismrő DVA áll.diagramja ciklust kll h. tartalmazzon, ha L-bn nagyon hosszú szavak is vannak Részltzv L rguláris, zért található hozzá őt flismrő M DVA. Tfh. az állapotok száma K, és lgyn w L-r w = k K. Lgyn w = w 1 w 2 w k A fldolgozás számítási sorozata (itt q 0 = s, q k F): (q 0, w 1 w 2 w 3 w k ) w M (q 1, w 2 w 3 w k ) w M w M (q k-1, w k ) w M (q k, ) 24

25 Formális nylvk és automaták Pumpáló lmma Pumpáló lmma, bizonyítás (folyt.) Széchnyi István Egytm Eml.: w = w 1 w 2 w k -ra a fldolgozás számítási sorozata (q 0, w 1 w 2 w 3 w k ) w M (q 1, w 2 w 3 w k ) w M w M (q k-1, w k ) w M (q k, ) Itt az gy lépésbn történő lőállítások száma k (k + 1 állapottal) Mivl k K, q i, q j úgy, hogy q i = q j, i j, (i < j)! Skatulya lv Válasszunk úgy, hogy a q i+1, q i+2,, q j sorozatban már n lgynk azonos lmk (kkor nyilván y K) w i+1 w i+2 w j sztring M-t q i -ből q j -b mozgatja, azaz w i+1 w i+2 w j lhagyható vagy ismétlhtő anélkül, hogy hatna w lfogadására Így végül: M y w 1 w 2 w i (w i+1 w i+2 w j ) n w j+1 w j+2 w k L, n 0-ra, ahol s x = w 1 w 2 w i y = w i+1 w i+2 w j z = w j+1 w j+2 w k x q i z 25

26 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Pumpáló lmma Mgjgyzésk Ez a tétl a pumpáló tétlk általános osztályába tartozik Bizonyos pontokon a szóba részsztringk ismétltn billszthtők, zzl az lfogadás nm változik mg Eddig z a lgkifinomultabb tétl, amit tanultunk Bár viszonylag gyszrű az alkalmazása és a bizonyítása is, mégis öt (!) különböző minősítést tartalmaz Nvztsn, mindn rguláris nylvr létzik K 0 konstans, úgy, hogy mindn w L szóra, w K-val w flírható w = xyz alakban úgy, hogy y, y K, és (valójában K-nál hosszabb részszó is jó) n 0-ra xy n z L A tétl alkalmazása nm mindig gyszrű, mgfllő sztringt és flbontást kll adnunk, és végül mgmutatni, hogy xy i z nincs a nylvbn Azaz a nylv nmrguláris 26

27 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Pumpáló lmma Példa (szmlélttés), rguláris nylv Ekkor a tétl állításai mind tljsülnk L = {w G* a -k száma w-bn páratlan} Itt K = 2 w = bbabaa kllőn hosszú A tétl nm mondja mg, hogy hogyan találjuk mg x, y, z szavakat, csak a létzésükt állítja Tfh. az újra mglátogatott állapot q 0 x = b, y = baba, z = a jó részsztringk xy 0 z = ba L(M), xy 1 z = bbabaa L(M), xy 2 z = bbabababaa L(M), x =, y = bbaba, z = a szintén jó részsztringk Tfh. az újra mglátogatott állapot q 1 Az lmzés hasonlóan folytatható b a b q 0 a q 1 27

28 Formális nylvk és automaták Pumpáló lmma Példa, nmrg. nylv Széchnyi István Egytm Tétl: Az L = {a n b n n 0} nylv nmrguláris Bizonyítás Ötlt: akármilyn w = xyz flbontást választunk, az y részszó nm pumpálható Részltzv (F. Z. alapján) Indirkt, tfh. L rguláris. Alkalmazzuk a lmmát fix w L, w k-ra. Pl. lgyn w = a k b k, itt w = 2k. Ekkor w flírható xyz alakban, ahol 0 < y k, és n 0-ra xy n z L. Vizsgáljuk mg, h. y hogyan hlyzkdht l w-bn! a) y csak a btűkből áll Ekkor (pl.) xyyz-bn #a > #b, thát xyyz L, z llntmondás b) y tartalmaz a és b btűkt is Ekkor xyyz-bn b-nk lsz olyan lőfordulása, amly mglőzi a valamly lőfordulását, így mgint csak xyyz L c) y csak b btűkből áll Mint a)-ban, xyyz L adódik Így thát L nm lht rguláris 28

29 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Pumpáló lmma Példa, nmrg. nylv Tétl: Az L = {a n n prím} nylv nmrguláris Bizonyítás Ötlt: mint lőbb, az y részszó nm pumpálható Részltzv Indirkt, tfh. L rguláris. Alkalmazzuk a lmmát fix w L, w k-ra. Pl. lgyn w = a k, w = xyz, ahol 0 < y k. Lgyn x = a p, y = a q, z = a r valamly p, q, r N, q 0-ra. Mivl n 0-ra xy n z L (a tétl szrint), így szrint p + nq + r prím lnn/klln hogy lgyn n 0-ra. Lgyn pl. n = p + 2q + r + 2; d: p + nq + r = p + (p + 2q + r + 2)q + r = p + pq + 2qq + rq + 2q + r = (q + 1) (p + 2q + r), llntmondás. Thát L nm lht rguláris (nincs priodicitás a prímk halmazában) 29

30 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Ajánlott irodalom Harry R. Lwis, Christos H. Papadimitriou: Elmnts of th Thory of Computation (2 nd d.), Prntic-Hall, Uppr Saddl Rivr, 1998 Fülöp Zoltán: Formális nylvk és szintaktikus lmzésük, Polygon, Szgd, 2001 Dömösi Pál és társai: Formális nylvk és automaták, Elktronikus jgyzt, 2011 Bach Iván: Formális nylvk, Typotx kiadó, Budapst, 2002 Alan P. Parks: A Concis Introduction to Languags and Machins, Springr, London,