MODELLEZÉS KONTINUUMMECHANIKAI ALAPJAI. Páczelt István, Nándori Frigyes, Sárközi László, Szabó Tamás, Dluhi Kornél, Baksa Attila

Átírás

1 A VÉGESELEMES MODELLEZÉS KONTINUUMMECHANIKAI ALAPJAI Páczlt István, Nándori Frigys, Sárközi László, Szabó Tamás, Dluhi Kornél, Baksa Attila Miskolci Egytm, Mchanikai Tanszék HEFOP-3.3.-P

2

3 ELŐSZÓ Az oktatási sgédlt flsőfokú végzttségű, lsősorban mérnökök számára készült, akik tanulmányaik során mgismrkdtk a szilárdságtan és a lináris rugalmasságtan alapfogalmaival. Jártasságot szrztk a vktor és tnzorszámítás, illtv a mátrix algbra trültén. A jgyzt célul tűzi ki bonyolult gomtriával és trhléssl rndlkző gépészti szrkztk szilárdságtani analízisét. A mgoldás a végslms módszr alkalmazásával történik. Ennk mgfllőn a jgyzt rövid összfoglalókra építv áttkintést ad a módszr általános kérdésiről, majd sorra vszi a mérnöki gyakorlatban lginkább ltrjdt végslms ljárásokat: gyváltozós (rúd) fladatok, kétváltozós (síkbli, forgásszimmtrikus, illtv hajlított lmz) fladatok és térbli fladatok. A módszr tárgyalása során külön hangsúlyt kapnak az izoparamtrikus lmcsalád alkalmazása, illtv a modllzés spciális problémái (alszrkzttchnika, frd görgő, xcntrikus csatlakozás, lmozdulás-mzőbli szakadás stb.). Végül bmutatjuk az I-DEAS programrndszr végslms alkalmazását néhány alapfladat mgoldásán krsztül. Érdms itt is kimlni, hogy a vktor és tnzor jllgű mnnyiségk kétfél jlöléssl is lőfordulnak. Ennk mgfllőn jlöléskor a vktor vastagon szdtt dőlt kisbtű (a, b), míg a tnzor vastagon szdtt dőlt nagybtű (A, T). Ezn mnynyiségknk mgfllő mátrixos jlölésbn vastagon szdtt álló kis, illtv nagy btű szrpl (a, b, A, T). Miskolc, 005. októbr 30. A szrzők

4 TARTALOMJEGYZÉK. VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI (DR. NÁNDORI FRIGYES).. Ismétlés.. Rugalmasságtani összfoglaló 3. KÖZELÍTŐ SZÁMÍTÁS ALAPJAI (DR. NÁNDORI FRIGYES) 9.. Lagrang-fél variációs lv 9.. Ritz-módszr 0.3. Ritz-módszr alkalmazása 0 3. KOMPATIBILIS ELEMMODELL (DR. NÁNDORI FRIGYES) Több tstből álló rndszr Elmk, közlítésk 7 4. ELEMI ÉS SZERKEZETI MÁTRIXOK (DR. NÁNDORI FRIGYES) 4.. Elm tljs potnciális nrgiája 4.. Elmk illsztés 4.3. Kinmatikai lőírás 3 5. EGYVÁLTOZÓS FELADATOK, SÍKBELI RÚDSZERKEZETEK (DR. PÁCZELT ISTVÁN) Brnoulli fél hipotézis, variációs gynltk Elmozdulásmző közlítés Mrvségi mátrix, rdukált trhlési vktorok A hőhatás figylmbvétl Rugalmas ágyazás figylmbvétl EGYVÁLTOZÓS FELADATOK, TÉRBELI RÚDSZERKEZETEK (DR. PÁCZELT ISTVÁN) KÉTVÁLTOZÓS RUGALMASSÁGTANI FELADATOK VIZSGÁLATA IZOPARAMETRIKUS ELEMEKKEL (DR. SÁRKÖZI LÁSZLÓ) Négycsomópontú lm Nyolc-csomópontú lm A háromcsomópontú és a hatcsomópontú lmk Az alakváltozási vktor lőállítása A KÉTVÁLTOZÓS FELADATTÍPUSOK MEGOLDÁSI LEHETŐSÉGE NUMERIKUS INTEGRÁLÁSSAL (DR. SÁRKÖZI LÁSZLÓ) Síkalakváltozás (SA) Síkfszültségi állapot (SF) Általános Síkfszültségi állapot (ÁSF) Tnglyszimmtrikus alakváltozás (TSZ) Az lmi mrvségi mátrix és a rdukált trhlési vktor számítása Numrikus intgrálás 56

5 II VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9. LEMEZELMÉLET (DR. NÁNDORI FRIGYES) Klasszikus Lmz modll 6 0. IZOPARAMETRIKUS LEMEZELEM (DR. NÁNDORI FRIGYES) Potnciális nrgia Izoparamtrikus lm Kirchhoff-fél vékony lmz 73. TÉRBELI ELEMEK (DR. SZABÓ TAMÁS) 75.. Az alakfüggvényk és a közlítés 75.. Alakváltozások és fszültségk A Mrvségi mátrix Thrvktorok 80. A MEGOLDÁS ÉS A HIBA (DR. SZABÓ TAMÁS) 83.. Az gyüttható Mátrix szrkzt 83.. Hibaanalízis MODELLEZÉSI KÉRDÉSEK- (DR. PÁCZELT ISTVÁN) Alszrkzttchnika Adott lmozdulások figylmbvétl Adott lmozdulásmzőbn fnnálló szakadás, kzdti hézag figylmbvétl Excntrikus csatlakozás MODELLEZÉSI KÉRDÉSEK- (DR. PÁCZELT ISTVÁN) Frdhatásvonalú támasz figylmbvétl Priódikus szrkzt Rugalmas ágyazás Egyoldalú súrlódás nélküli érintkzés vizsgálata AZ I-DEAS PROGRAMRENDSZER (BAKSA ATTILA) Általános jllmzők: Rajzolás az I-DEAS-ban Végslms analízis 6. C ÁLLVÁNY VIZSGÁLATA (BAKSA ATTILA) Gomtria létrhozása Végslms modll A fladat mgoldása Számítási rdményk 0 7. TENGELYSZIMMETRIKUS FELADAT ELEMZÉSE (DR. SZABÓ TAMÁS) A prmértékfladat A gomtria létrhozása Végslms hálózás prmfltétlk lőírása A fladat mgoldása Az rdményk kiértéklés 8 8. CSŐCSATLAKOZÁS VIZSGÁLATA (DR. SZABÓ TAMÁS) A prmértékfladat ismrttés A gomtria flépítés Végslms hálózás 34

6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI III 8.4. Prmfltétlk lőírása A fladat mgoldása Az rdményk szmlélttés TÉRBELI FELADAT MODELLEZÉSE (DLUHI KORNÉL) A gomtria lőállítása Prmfltétlk mgadása Végslms háló gnrálása Fladat mgoldása, rdményk kiértéklés A háló finomítása A LEKEREKÍTÉS HATÁSA (DLUHI KORNÉL) A gomtria módosítása Prmfltétlk Végslms háló Erdményk 5. IRODALOMJEGYZÉK 55

7 IV VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

8 . VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI.. ISMÉTLÉS A végslms módszr (továbbiakban VEM) több mint 30 év szrpl a gépészmérnökképzés tananyagában []. A módszrnk a gépészti trvzés folyamatában való lhlyzéséről tájékoztat a kövtkző. ábra. Itt a lgutolsó rublikába ső különböző variációs lvk és a számítástchnika fjlődés alapozta mg a módszr ltrjdését. Equation Chaptr Sction.. ábra Végslm-módszr lhlyzés

9 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A továbbiak rövidn összfoglalják a későbbikbn flhasználásra krülő matmatikai fogalmakat és összfüggéskt [4]. Függvény: ux ( ) ahol u a függő, x a függtln változó. funkcionál: F( x, u, u ) gy olyan függvény, mlynk a függtln változói között függvényk stlg driváltjaik is szrplnk. F( x, u, u`) = c udx+ c u`dx variáció: δ u az u függvény variációja, lásd.. ábra, értlmzés szrint δ u =α vx ( ) ahol α: paramétr, amly a különböző variációknál más és más, v(x): gy másik függvény. ( δu dv ) α δu`.. ábra Variáció értlmzés d dx = = dx, azaz a driválás és a variáció képzés sorrndj flcsrélhtő. A funkcionál lső variációja a fnti F funkcionál stén dfinició szrint: δ df F F F u u u δ = + u δ F F F df = dx + du + du x u u Fu ( δu) Fu ( ) δf δ F + = A variációképzés azonosságai közül érdms az alábbiakra flhívni a figylmt: ( ) δ F F = δf F + F δf δ δ ( ) = F ( F ) F F F δf F n n ( F ) = n ( F ) δ δ δ u( xdx ) = δuxdx ( ) ( L) ( L) Intgrál átalakítási tétlk közül az alábbiakra lsz szükség:

10 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 3 V B dv = B nda A Gauss-Osztograszkij tétl dw d dv v dx v w dx wdx v w vwdx dx dx dx L L L L L = ( ) = [ ] A vktor és tnzor jllgű mchanikai jllmzők jlölésér gyaránt használjuk a szimbólikus és a mátrixos (általában (x,y,z) koordinátarndszrbn kapott koordinátákból alkotott) jlölést. A vktor és mátrix jl vastagon szdtt dőlt kis illtv nagybtű. Mátrixos jlölésnél pdig álló hlyztű kis- illtv nagybtű. Lgyn A és B az (x,y,z) koordinátarndszrbn adott 3 sorú és 3 oszlopú, azaz (3,3)-as tnzor: axx axy a xz bxx bxy b xz Α = ayx ayy ayz, B = byx byy byz azx azy a zz bzx bzy b zz A két tnzor kétszrs skaláris szorzása az alábbi módon értlmztt: A B = a b + a b + + a b xx xx xy xy zz zz T T Ha A= A akkor a tnzor szimmtrikus, ha pdig B = B akkor a tnzor aszimmtrikus T ha A= A és B = c d, azaz a c és d vktorok általános szorzata cxdx cxdy cxdz B = cd y x.. cd z x.. akkor A B = A ( cod ) = c A d... RUGALMASSÁGTANI ÖSSZEFOGLALÓ Tkintsünk gy V térfogatú linárisan rugalmas térbli tstt, mlyt A határoló flült vsz körül. Az A flült flbontható gy A mlyn az lmozdulás lő van írva - és gy u A p flültrészr, ahol pdig a trhlés lőírt. ( A Au Ap ) =. A tst gy ttszőlgs pontjába mutató hlyvktor r = xx + yy + z z. Lásd.3 ábrát.

11 4 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI.3. ábra Rugalmas tst A lináris rugalmasságtan ismrtln változói rndr az lmozdulás vktor, az alakváltozási-, illtv fszültségi tnzor. Skaláris koordinátái az alábbi módon értlmzhtők: lmozdulás: (3 db ismrtln) ( ) = u x + v y + w z u r (.) alakváltozási tnzor: (6 db ismrtln) εx γ xy γ xz u u v Ar ( ) = γ,,,, yx εy γ yz εx = γ xy = + (.) x y x γ zx γ zy ε z mlybn az ε i, γ ij: fajlagos nyúlások és szögtorzulások dimnziótlan mnnyiségk. A fszültségi tnzor: (6 db ismrtln) σx τxy τ xz T( r ) = τ yx σ y τ yz (.3) τzx τzy σ z a σ és τ normál és nyíró fszültségkt jlöl. A rugalmasságtan linarizált lmélt kis lmozdulás (az lmozdulás lénygsn kisbb mint a tst mért), illtv kis alakváltozás (az alakváltozás jllmzői lénygsn kisbbk mint ) stén alkalmazható. Ekkor az ismrtlnk mghatározására szolgáló gynltk az alábbiak: A= ( u + u) r V - kinmatikai gynlt

12 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 5 T = D A r V - anyaggynlt (.4) illtv a ν T = G A+ AI I r V - Hook-törvény ν T + ρ k = 0 Prmfltétlk: - gynsúlyi gynlt u= u0 r A u - kinmatikai prmfltétl T n= p r A p - dinamikai prmfltétl Itt G az anyag csúsztató rugalmassági modulusa, ν - a Poisson tényző, ρ a tömgsűrűség, k pdig gységvktor. A I az alakváltozási tnzor lső skalár invariánsa, D az anyagjllmzők később részltztt mátrixa. A rugalmasságtan fladata a fnti diffrnciálgynlt-rnszr mgoldása. Közlítő számítás stén: lmozdulásra alapozva a számítást a fnti gynltkt kll gymást kövtv kilégítni. Ha pdig közlítő fszültségkből indulunk ki, akkor a kinmatikai gynltk hlytt a vl gynértékű kompatibilitási gynltt kll biztosítani, amly a kövtkző alakban írható: A = 0... Enrgia lvk, variációs módszrk A továbbiak lőször a fnti diffrnciálgynlt-rndszr néhány gynltét kilégítő, spciális mzőkt értlmznk. Kinmatikailag lhtségs lmozdulásmző alatt olyan lmozdulást értünk amly kilégíti a kinmatikai prmfltétlt, folytonos és driválható. Jl: * u. Származtatható blől gy kinmatikailag lhtségs alakváltozás: A= u + u, A = 0 r A u azaz A kinmatikailag lhtségs alakváltozás a gomtriai gynltt kilégíti és gyúttal kompatibilis. Statikailag lhtségs fszültségmző alatt olyan T jlű fszültségt értünk, amly kilégíti az gynsúlyi gynltt és a dinamikai prmfltétlt, azaz: T n= p r A, T + ρ k = 0 r V p Származtatható blől gy statikailag lhtségs alakváltozás: A= D T d z általában nm kompatibilis, és a kinmatikai prmfltétl sm biztosított. Azaz: A

13 6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A 0 r V u u0 r Au. Virtuális munka lv: A fntikbn bvzttt statikailag illtv kinmatikailag lhtségs fszültségés lmozdulásmzőből kiindulva,az alábbi átalakítások thtők: T + ρ k = 0 u, V ( ) u T dv + u ρ kdv = 0 ( ) V u T = u T u T, u = u + u + u u, A V T Ψ = Ψ ( ), Ψ 0 u T = u T A T T = A Gauss-Osztograszkij tétl alkalmazásával, nyrjük a virtuális munka lv lgáltalánosabb alakját: AT dv = ut nda+ u ρ k dv (.5) V A= Au+ Ap V A virtális munka lv variációs alakjának flírásához lőször értlmzzük az lmozdulás mző variációját (virtuális lmozdulást), mlynk jl: δ u δ u= u u, u : gzakt lmozdulás Nyilvánvalóan tljsül: δ u = 0, ha r Au. Hasonlóan értlmzhtő az alakváltozás variációja: A= A u = A( u+ δu) = δ ( δ ) u+ u + u+ u = = ( u + u) + ( δu + δu) A δ A

14 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7 Azaz: Ezt kivonva a (.5) gynltből kiadódik a virtuális munka lv variációs alakja: A= A+δ A A virtuális munka lv gzakt u lmozdulással a kövtkző alakú: ut nda+ u ρ kdv = A T dv A V V δa T dv = δu ρ kdv + δu p da. (.6) V V A p A baloldal, az ú.n. blsőrők alakváltozási munkájának variációja mggyzik a jobboldalon flírt ú.n. külső rők virtuális munkájával. A T mző hlytt szabad (nm föltétln statikailag lhtségs) mzőt fltétlzv az lv az alábbi alakban is mgfogalmazható: Ha az (.6) ttszőlgs lmozdulás variáció mlltt fnnáll, akkor T mző statikailag lhtségs. Potnciális nrgia minimuma lv származtatása: Egy u kinmatikailag lhtségs lmozdulásmzőből kiindulva a mgfllő gynltk sgítségévl származtatható az A alakváltozási és a T fszültségi tnzormző. A potnciális nrgia értlmzés a kövtkző: Π u =Π = dv ρ dv da A T u k u p (.7) V V A p U : alakváltozási nrgia W k : külső rők (virtuális ) munkája A potnciális nrgia minimuma lv szrint a kinmatikailag lhtségs lmozdulás mzőkhöz tartozó potnciális nrgiák az gzakt mgoldásnál minimummal rndlkznk, azaz: Π u Π( u ) (.8) gynlőség akkor áll fnn, ha u u. Az lv az alábbi lépésk és átalakítások alapján bizonyítható. Π=Π u =Π ( u+ δ u ), ahol A= A+ δ A, T = D A

15 8 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Π ( u+ δu) = ( + δ ) ( + δ ) dv ( + δ ) ρ dv ( + δ ) da= A A D A A u u k u u p V V Ap T = A D AdV u ρ kdv u pda+ V V Ap T + δa D AdV δu ρ kdv δu pda+ δπ : Π( u) : gzakt értékhz tartozó V V Ap δt + δ δ dv V A D A δ Π 0, a potnciális nrgia lső variációja ( u u) ( u ) = 0 Π + δ =Π + δπ+ δ Π Az (.6) virtuális munka lv szrint: 0 δπ = vagyis valóban fnnáll az (.8) alatti gynlőtlnség. A variáció zérus lőírását a variációszámítás stacionaritási fltétlénk nvzzük.

16 . KÖZELÍTŐ SZÁMÍTÁS ALAPJAI.. LAGRANGE-FÉLE VARIÁCIÓS ELV A Lagrang-fél variációs lv szrint a tljs potnciális nrgia variácója a mgoldásnál zérus. Ennk igazolására induljunk ki a variáció értlmzéséből! δπ= δa TdV δu ρ kdv δu p da = 0 V V A p δu= ( δu+ δu ) + ( δu δu ) Miután δa Equation Chaptr Sction ( ) ( ) ( ) δψ δu T = T δu δu T = δa T δψ = δψ T nt δuda δu ( T ) dv δuρ kdv δu p da = 0 A= Ap+ Au V V Ap továbbá az A u flültn δ u= 0 így az lőző gynlt formailag a kövtkző alakra hozható: ( ) dv ( ) δ u T + ρ k + δ u n T p da = 0 gynsúlyi gynlt dinamikai prmfltétl V A = 0 : p = 0 : Az lv thát ttszőlgs variáció stén biztosítja az gynsúlyi gynlt és a dinamikai prmfltétl tljsülését. Általában u -t közlítjük úgy, hogy adott függvényk és ismrtln paramétrk kombinációját vsszük, majd így írjuk lő a variáció ltünését. Ez a fltétl mindig ad gy lhtségs lgjobb mgoldást. A módszr célja olyan mző kiválasztása amly az gynsúlyi gynltt, illtv a dinamikai prmfltétlt a lhtő lgjobban biztosítja [].

17 0 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI.. RITZ-MÓDSZER A potnciáis nrgia minimuma lvt alkalmazva, lgyn a kinmatikailag lhtségs lmozdulás a kövtkző: N N N 0 ci ϕi ( ) x cn+ jψ j ( ) y c N+ kχk ( ) z i= j= k= u= u + r + r + r (.) ahol u 0 kilégíti a prmfltétlt, ϕi = ψi = χi = 0, r Au, i =,, N Ezzl potnciális nrgia kifjzés gy többváltozós valós függvény. Π=Π ( c, c,, c3n ) A variáció ltűnésénk fltétl az alábbi alakban írható δπ= Π δc + Π δc + + Π δc3n = 0 c c c3n Itt δ ci ttszőlgs kll hogy lgyn! Ezáltal kapunk gy lináris gynltrndszrt a paramétrkr nézv. Bvztv az ismrtlnk oszlopvktorát [ c c c ] T c = 3N a stacionaritási fltétl tömör formában is írható: Π= c = 0 T Π δ δ c Π T Π Π Π Π = = = 0, i =, 3N c c c3n 0 (.) c c i.3. RITZ-MÓDSZER ALKALMAZÁSA Ritz-módszr bmutatása példákon krsztül:.. ábra Mintapélda

18 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A.. ábrán látható húzott-nyomott rúd trhlés p hosszmntén mgoszló súlytrhlés, és F L koncntrált rő. A rúd pontjainak rúdirányú lmozdulása u ( x ), csak a krsztmtszt x koordinátájától függ. A rugalmasságtan általános gynlti bbn az gyváltozós stbn az alábbi alakra gyszrűsödnk: u du ε x = = = u x dx - kinmatikai gynlt σ = E ε = E u x x - Hook-törvény dn p 0 - gynsúlyi gynlt dx + = Kinmatikai prmfltétl: u( x = 0) = 0.A dinamikai prmfltétl a rúdvég koncntrált trhlésénk és rugós mgtámasztásának mgfllőn: N = A σ azaz, N ( x = L) = A E u L = FL + Fc = FL c ul A potnciális nrgia bbn az stbn: A rúd blső alakváltozási nrgiája A külső trhlésk munkája rugónrgia Π ( u) = ε σ dv u p dx u F + c u L x x L L L V Adx 0 L L Π= Ennk képzv a variációját kapjuk, hogy L ( ) A E u dx u p dx ul FL c ul 0 0 L ( ( ) ) δπ= A Eu δu dx δu pdx+ c u δu δu F = 0 δ u = u δu L [ ] ( ) 0 L 0 0 L L L L δπ = A E u δu A E u δudx δu pdx c u δu δu F = 0 L L L L N L L Π= ( A E u ) p udx ( A E u ) ( FL c ul) + + ul = 0 L 0 = 0 : gynsúlyi gy. = 0: dinamikai prmfltétl δ δ δ Közlítő mgoldás krséséhz induljunk ki az alábbi másodfokú polinomból: ( ) u x = c + c x+ c x 0 Kinmatikailag lhtségs, ha folytonos és driválható, továbbá ha kilégíti a kinmatikai prmfltétlt, azaz u(0)=0, amiből kövtkzik, hogy c 0 = 0 azaz x

19 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI u x c x c x ( ) = + L L u A E u dx u pdx c ul ul FL Π = + = 0 0 L ( ) L = ( ) ( ) ( ) A E c + c x dx cx+ c x pdx+ c cl+ c L cl+ c L FL = L L L L = AEc L+ 4cc + 4c p c + c ccl + ccl + cl ( cl + cl ) FL A variációképzéssl: Π Π Π Π δ Π= δc + δc = 0 = 0, = 0 c c c c azaz kifjtv: Π L = 3 AELc + AEL c p + cl c + cl c LFL = 0 c 3 Π 4 3 L = 3 4 AEL c + AEL c p + ccl + cl c L FL = 0 c 3 3 ugyanzt mátrixos formában flírva: 3 L L L c L L c p + LF L AE c L L L c + = 3 L L c (.3) p + LF 3 L Spciális stként lőször vizsgáljuk mg azt az stt, amikor csak koncntrált rővl trhlt a rúd: Ekkor a (.3) gynlt mgoldása:.3. ábra Konctrált trhlés F L c = 0, és c =. A E Ebbn az stbn a lhtségs lmozdulás a kövtkző alakban adódik

20 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 3 = F L u x AE mlyből látható, hogy a Π minimum lv érvénybn van hiszn tljsül: N = AEu = F dinamikai prmfltétl dn = 0 N = áll. NL = FL gynsúlyi gynlt dx L Másik spciális stként vizsgáljuk mg azt az stt amikor csak mgoszló trhléssl trhlt a rúd.3. ábra Mgoszló trhlés Ekkor a (.3) gynlt az alábbi alakban írható pl c + Lc = AE 4 pl c + Lc = 3 3AE mlyből: p L p c =, c = A E A E Ebbn az stbn a lhtségs lmozdulás a kövtkző alakban adódik pl p u = x x AE A E A kapott mgoldás gzakt, mivl az gynsúlyi gynltt, illtv a dinamikai prmfltétlt kilégíti. ( ) N = AE u = pl px = p L x Hasonló módon blátható, hogy a lgáltalánosabb stbn, amikor rugalmas mgtámasztású a rúd vég szintén gzakt mgoldást kapunk. Ha viszont a mgoszló trhlés jllg mgváltozik nm konstans, vagy szakaszonként különböző állandó- akkor a fnti másodfokú közlítés már nm vzt gzakt mgoldásra.

21

22 3. KOMPATIBILIS ELEMMODELL 3.. TÖBB TESTBŐL ÁLLÓ RENDSZER 3. ábra Kétlmű rndszr Tkintsük az ábrán vázolt és jlű tstkből álló szrkztt. Az gys lmkhz tartozó mnnyiségkt flső indxb ttt sorszám jlöli. Mindkét lmr gyidjűlg az flső indxszl hivatkozunk. A V térfogatú lmt az A flü- lt határolja. A V térfogaton a ρ k sűrűségű mgoszló trhlés, az tn a p sűrűségű flülti trhlés működik, míg az mozdulás. Az A flült mgmaradó érintkzik. Mindkét tstr érvénysk a rugalmasságtan gynlti, azaz A p flül- A u flültn ismrt az u 0 l- A c részén az lm a szomszédos lmml

23 6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Equation Chaptr 3 Sction A = ( u + u ) r V - kinmatikai gynlt (3.) T = D A r V - anyaggynlt (3.) T + ρk = 0 r V gynsúlyi gynlt (3.3) mint mzőgynlt, továbbá érvénysk a prmfltétlk []: u = u r A kinmatikai prmfltétl 0 u T u = p r A dinamikai prmfltétl p (3.4) illtv az A c flültn az illsztési fltétlk: u = u kinmatikai (3.5) T n = T n dinamikai A dinamikai illsztési fltétl a közös érintkzési flült pontjainak kölcsönhatását fjzi ki. Ennk értlmébn az gymásra átadódó fszültségk gymással llntétsk. Itt n és n a tstkből kiflé mutató normálvktorok. Vizsgáljuk mg hogy bbn az stbn hogyan használható a potnciális nrgia minimuma lv, illtv a mgfllő variációs lv. Tétlzzük fl, hogy az u lmozdulásmző kinmatikailag lhtségs, illtv tljsíti a kinmatikai illsztési fltétlt Fltsszük továbbá, hogy = δ A c δu u r A két tstr vonatkozó variációs lv flépítéséhz induljunk ki a tljs potnciális nrgiák variációjából [3]: { δu δwk } = = 0 { } δa.. T dv δu ρ kdv δu p da = 0 (3.6) = V V A δu δwk Az lső intgrál az alábbi átalakítások alapján átírható: innn δ ( ) ( δ ) ( δ ).. u T dv = u T dv u T dv = V V V δa+ δψ = δu T n da δa.. T A V dv

24 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7 ( ) δa.. T dv = δu T n da δu T dv V A V ahol A = A u + Ap + Ac δ u= 0 A kapott formulákat visszaírva és a tagokat átrndzv: δu [ T + ρk] dv δu ( T n p) da = V Ap δ u T n + T n da = 0 Ac ( ) Ennk alapján a variációs lv biztosítja az gynsúlyi gynlt, a dinamikai prm-, és illsztési fltétl tljsülését 3.. ELEMEK, KÖZELÍTÉSEK Végslm-módszr alkalmazásakor lső lépésbn a tartományt végs kitrjdésű részkr u.n. lmkr bontjuk. Az lmkt sorszámozzuk. Elmnként külön külön közlítjük az lmozdulást úgy, hogy az a tljs tstr kinmatikailag lhtségs lmozdulássá lgyn illszthtő. Ez azt jlnti, hogy kinmatikailag lhtségs lmozdulás közlítésből indulunk ki, azaz tljsül az lmk határán az illsztési vagy kinmatikai prmfltétl, továbbá a driváltak szakaszonként (lmnként) folytonosak. Ebbn a szakaszban fltétlzzük, hogy az lmozdulásmző lmnként a hly (x,y,z)=x vonatkoztatási koordinátarndszr függvényként áll lő. Később látni fogjuk, hogy gyakran érdms az lmhz kötött hlyi koordináta rndszrt alkalmazni. Illsztés céljából az lmk határán jlöljünk ki pontokat u.n. csomópontokat. Ezkt is sorszámozzuk. Az gymáshoz kapcsolódó lmk gybső csomópontjainak lmozdulásait fogjuk azonossá tnni. A csomópontok számát és a közlítés típusát úgy kll mgválasztani, hogy a csomóponti lmozdulások azonossága biztosítsa a tljs érintkzési tartományon a folytonosságot. Az így flépíttt lmt kompatibilis lmozdulási lmnk fogjuk nvzni []. Az lőzőkkl összhangban gy jlű lm x rndszrbli u lmozdulásmzőjét u = u ( x) = Φ ( x) c = Φ c (3.7) alakban közlítjük, ahol Φ T T T ϕ 0 0 = 0 ϕ 0 T T T 0 0 ϕ T T T az alapfüggvénymátrix, c az ismrtln paramétrk vktora, ϕ T ( x) pdig rndszrint hatványfüggvénykt tartalmazó sorvktor: (3.8)

25 8 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI T ϕ ( x ) (3.9) = x y z x y A továbbiakban az a cél hogy az állandók hlytt áttérjünk a csomópontok lmozdulásaira. Lgyn az jlű i, j, k, csomópontokkal rndlkző lm csomóponti lmozdulásainak vktora a kövtkző: q q i u i q j =, q i = v i q k w i (3.0) Fltév, hogy a csomóponti lmozdulások koordinátáinak száma mggyzik a közlítésbn flvtt paramétrk számával a c vktor kifjzhtő q vktorral az alábbiak szrint: - Φ ( xi ) c = q = G q V q - (3.) itt a flsőindxbn szrplő - az invrtálásra utal. Trmésztsn lhtőség van arra is, hogy az ismrtln paramétrk száma nagyobb lgyn mint a csomóponti lmozdulás koordináták száma. Ekkor más tchnikára (u.n. pótlólagos állandók kijlölés, vagy blső csomópontok értlmzés) van szükség. Ebbn a fjztbn ttől ltkintünk. (3.) alapján a (3.7) közlítés az alábbi alakban írható: u = u ( x) = Φ ( xvq ) N ( xq ) = Nq (3.) ahol az N mátrixot az lm approximációs mátrixának nvzzük. Nyilvánvaló, hogy N a csomópontok szrint particionálható: N N i N j N k (3.3) = Vizsgáljuk mg, hogy az N mátrixnak milyn fltétlkt kll kilégítni. Nyilvánvaló, hogy az lmozdulásnak a csomópontban mg kll gyzni a csomóponti lmozdulásvktorral, azaz N ( x ) = E, N ( x ) = 0 i i i j itt E az gységmátrix, 0 pdig a nullmátrix. Trmészts lvárás, hogy az lmozdulás közlítés tartalmazza az un. mrvtstszrű mozgást, azaz az ltolásra és a forgásra zérus alakváltozási nrgiát adjon. További lvárás, hogy az lm térfogati és torzulási nrgiáját külön-külön lhssn számolni. Mivl a közlítő lmozdulásnak kinmatikailag lhtségsnk kll lnni z azt jlnti, hogy az adott lőírásokat a csomóponti paramétrk mgválasztásával kll biztosítani (a driválhatóság a fnti polinomokra mindig tljsül). Az lmozdulásmző közlítéséből kiindulva származtathatók az lm további szilárdsági jllmzői.

26 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9 Az alakváltozási tnzor szimmtriáját flhasználva a tnzor lmiből 6 mértű vktor állítható lő: A u x x 0 0 ε x v 0 0 ε y y y w u ε 0 0 z z z ε = u v v = γ = xy 0 = + y x y x w γ yz v w 0 + z y z y γ xz w+ u 0 x z x z u ahol a = ε N q = B q (3.4) B B matrix is flbontható a csomópontok szrint: B = B i Bj B k Fszültségmző lírására hasonlóan értlmzhtő a 6 mértű fszültségvktor: T σ (3.5) T = σx σ y σz τxy τ yz τxz illtv a Hook törvény alapján flírható csomóponti lmozdulásvktorral is: σ = D ε ε = D B q (3.6) ahol D az anyagjllmzők mátrixa. Térbli izotróp rugalmas anyagra: c c c c c c c c c D = c c c3 szrkztű, ahol ν ν E c = E c = E c = = G ( + ν)( ν) ( + ν)( ν) ( + ν) 3 A későbbik miatt érdms a trhlési vktorokat is oszlopvktorba rndzni.

27 0 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A prmn és a térfogaton mgoszló trhlésk oszlopvktorai a kövtkzők: px ρkx p p = p y, k ρk ρ k = ρ y p z ρk z A végslm-módszr másik fontos lépés gy hibalv mgválasztása, amly lhtővé tszi az állandók mghatározását. Hibalvként a potnciális nrgia minimuma lvhz tartozó variációs lvt választjuk.

28 4. ELEMI ÉS SZERKEZETI MÁTRIXOK 4.. ELEM TELJES POTENCIÁLIS ENERGIÁJA A továbbiakban lőállítjuk az lm potnciális nrgiáját a közlítő mzők flhasználásával. Az lőző fjztbn bvzttt vktorokkal az jlű lmr: T T T Π = ε D ε dv u p da u ρk dv V A p V majd a csomóponti lmozdulásokat bvztv: T T T T T T Π = q B D B q dv q B pda q B ρk dv V A p V végül a csomóponti lmozdulásvktort kimlv az alábbi tömör alak írható []: T T Π = q K q -q f Equation Chaptr 4 Sction (4.) Ebbn a kifjzésbn lőforduló K lmi mrvségi mátrix és f lmi trhlési vktor az alábbi szrkztű: T B i Kii Kij T T K = B D B dv = B j D Bi Bi dv = K ji K jj V V f =f +f p ρk f N p f N k da T T p = da, ρk = ρ Ap Ap

29 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Nyilvánvaló, hogy a mrvségi mátrix szimmtrikus, továbbá a mrvségi és trhlési mátrix csomópontok szrint particionálható. Az lm mrvségi mátrixa az lm alakváltozási nrgiájával kapcsolatos. Ezért ha a q az lm mrvtstszrű mozgását írja l, akkor az alakváltozási nrgia zérus, gyébként pdig pozitív: T q K q 0 amiből az kövtkzik, hogy a mátrix lfajuló. 4.. ELEMEK ILLESZTÉSE Elmk illsztését a közös csomópontba ső lmozdulások azonosságával biztosítjuk. Lgyn példaként az i jlű csomopontokba bfutó lmk jl rndr, + illtv k, s. Ekkor az illsztés szrint []: q = q = q = q = q + k s i i i i i vagyis azt is mondhatjuk, hogy a mgkülönbözttő flső indx lhagyható. A vizsgált rndszr tljs potnciális nrgiája az lmk nrgiáinak összgként ( N.az lmk száma) illtv a W k koncntrált csomóponti rők munkájából áll lő: N qt Kq q T f W k qt Kq q T f (4.) Ez a kifjzés értlmzi a szrkzt q csomóponti lmozdulás vktorát, trhlési vktorát, valamint a szrkzt K mrvségi mátrixát. A szrkzt csomóponti trhlési és lmozdulási vktora az illsztési fltétl alapján ahol N T T + T + T st s T k q f qi fi qi fi qi fi qifi = = = T + k s i i i + T = + q f + f fi + fi = q f fi T T T T q = q q qncs T T T T f = f f fncs ncs pdig a szrkzt csomópontjainak száma. A szrkzt mrvségi mátrixa az nrgiával kapcsolatos:

30 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 3 ahol N q K q = = q Kq T K = [ K ] i, j =,, ncs K = K (4.3) ij ij ij i, j Az összgzés alapján ij indxű blokk mindazon lmknél szrpl amlyk tartalmazzák gyidjűlg az i és a j jlű csomópontot. A csomóponti lmozdulások számítása a potnciális nrgia variációjának ltűnés alapján történik. Ennk mgfllőn azaz q T q 0 q T Kq f 0 (4.4) ahol δq a kinmatikai prmfltétlt kilégítő csomóponti lmozdulásvktor variációja KINEMATIKAI ELŐÍRÁS Lgyn q j = q ju adott csomóponti lmozdulás, mly azt jlnti, hogy δ q j = 0 Ekkor a (4.4) gynltbn a j-dik blokksor 0-val szorzódik. Csréljük ki a j-dik csomópont lmozdulását az ismrtln R j külső trhléssl amly nyilván rakció rő: K j q K jj q ju f j R j ismrt ismrtln Az ismrt és az ismrtln mnnyiségk csréjévl kapjuk, hogy K 0 q f K jq ju = K i E R j f j K jjq ju ahol E gységmátrix. Az gynltrndszr mért mgmarad viszont a szimmtria lromlik. Ha a támasztórő nm érdks, akkor a j-dik blokksor főátlón kívüli lmi is nullázhatók, s így az gyütthatómátrix szimmtriája hlyráll. Hasonló rdményr vzt a kinmatikai lőírás rugalmas mgtámasztással való biztosítása. Ekkor mgfllőn nagy rugóállandot kll alkalmazni.

31 4 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A Κ rangját mgkapjuk ha képzzük az összs ismrtln és a mrvtstszrű mozgás szabadságfokának a különbségét. A csomóponti paramétrk mgkötés révén lvégzv a kinmatikai lőírásokat, mgszűnik a mrvtstszrű mozgás lhtőség. A mgoldandó gynltrndszrt kkor is Kq = f (4.5) alakban szokás írni. Az gyüttható mátrix és trhlési vktor azonban már tartalmazza a kinmatikai lőírásokat is. Az gynltrndszr jllmzői közül a nagy mértk miatt fontos az gyüttható mátrix zérustól különböző lmink lhlyzkdés. Az gynltrndszr szalagszrkztű amlyt az alábbi ábra szmléltt: 4.. ábra K szrkzt Ez azt jlnti, hogy a zérustól különböző blokkok gy adott sávba snk, amlyt az lmn lévő sorszámkülönbség maximális érték határoz mg. Nagysága alapvtőn a sorszámozástól függ. Példaként tkintsük a kövtkzõ végslm flosztást és konstruáljuk mg a hozzá tartozó smatikus mrvségi mátrixot 4.. ábra Téglalap flosztása 3 lmr

32 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra K mátrix szrkzt Itt látható, hogy a sávszélsség: fõátló +5 lm. Ennél van kdvzõbb számozás is, mly gyúttal optimális számozást jlnt. 4.4 ábra Optimális számozás 4.5. ábra K optimális szrkzt Az gynltrndszr mgoldása az un. dirkt vagy itrációs ljárás alapján történik.

33 6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

34 5. EGYVÁLTOZÓS FELADATOK, SÍKBELI RÚDSZERKEZETEK Rúdnak nvzzük azokat a tstkt, amlyknél a tst gy kitüntttt térgörbér mrőlgs gomtriai mérti lénygsn kisbbk a térgörb irányában mérthz képst. Ha a térgörb gyns akkor gyns rudakról bszélünk. A tst mrőlgs mérti a rúd krsztmtsztét jlölik ki. Fltétlzésünk szrint a krsztmtszt súlypontja a térgörbén hlyzkdik l, amit tömörn középvonalnak nvzünk. Elöljáróban síkbli gyns középvonalú és állandó krsztmtsztű (prizmatikus ) húzott-nyomott, hajlított-nyírt rudakat fogunk vizsgálni. A nyírási nrgia lhanyagolásával az. un. Brnoulli hipotézisű rudakhoz jutunk []. A rúdszrkztk modlljivl számos gyakorlati probléma szilárdságtani lmzés kénylmsn és nagy mgbízhatósággal mgoldható. A gépésztbn az rőátvitli hajtóművk tnglyink mértzés, a gépállványok lső durva mértink mghatározása, csarnokszrkztk trvzés stb. fladatorintáltan lkészíttt végslms programok révén a mindnnapos trvzői analízis szköz. A bmutatott lmélt az lmélyültbb munkát, a mchanikai szmléltmód rősítését szolgálja. Equation Chaptr 5 Sction 5.. BERNOULLI FÉLE HIPOTÉZIS, VARIÁCIÓS EGYENLETEK A vizsgált x z síkban fkvő rúdszrkzt gy ttszőlgs jlű lmét a végin lhlyzkdő i és j csomópontokkal jllmzzük. A rúdhoz kötött hlyi koordinátarndszrt az i, j csomópontokon átmnő ξ tngly és a rúdkrsztmtsztbn lhlyzkdő η, ζ főtnglyk alkotják. A rúd tngly az x tngllyl β szögt zár b, hossza L. A rúd lmozdulásánál fltétlzzük, hogy a rúd krsztmtszt mrőlgs marad a mggörbült középvonalra, azaz érvénys a Brnoulli-fél hipotézis. Ekkor, szilárdságtani ismrtink alapján mondhatjuk, hogy a rúdban alakváltozási nrgiát csak rúdirányú fszültségk adnak. A krsztmtszt mntén húzásnyomásból állandó, hajlításból linárisan mgoszló lfutású fszültség kltkzik.

35 8 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Ehhz tartozóan a rúdirányú lmozdulás a krsztmtszt gy ttszőlgs P pontjában (lásd az 5..ábrát) a kövtkzőképp írható fl: P P (,, ) ( ) ( ) u = u ξ η ζ = u ξ w ξ ζ, (5.) d ahol () = (), u( ξ), w( ξ) a ξ ill. ζ irányú lmozdulás. dξ Az (5.) összfüggés flhasználásával a tnglyirányú fajlagos nyúlás ε( ξ ) = u ( ξ) w ( ) ξ ζ, (5.) míg az gyszrű Hook-fél anyaggynlt alapján a normál fszültség ( ) E ε ( ξ ), σ ξ = (5.3) ahol E a Young modulus. 5.. ábra Síkbli rúd lmozdulása, trhlés Jlölj a rúdon ható mgoszló trhlést, hosszirányban p ξ, krsztirányban p ζ, mlyknk mértékgység [N/mm]. A rúd végin Fξ0, FξL rúdrő, Fζ 0, FζL nyírórő és Mη0, MηL hajlítónyomaték hat. A fnti trhléskt figylmbvév, továbbá tkintttl, hogy az alakváltozási nrgia csak a σ ( ξ ) fszültségből származik, a rúd tljs potnciális nrgiája két intgrálon krsztül és a rúdvégkn ható koncntrált rők és nyomatékok trhlési munkájából áll össz.

36 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9 Π p = εξ E εξ da dξ ( u pξ + w pζ ) dξ L A L ( u( L) FξL u( 0) Fξ0 w( L) FζL w( 0) Fζ 0 ) ( w ( L) M w ( 0) M ) + + ηl η0 (5.4) A minimum fltétlt kijlölő δ Π p = 0 stacionaritási fltétlből a δ u és δ w mzők függtlnség miatt - az u rúdirányú lmozdulás vonatkozásában részltztt módon -, az alábbi mzőgynltk és prmfltétlk vzthtők l: δ Π = 0 = δu E ( u w ζ) dadξ δu p dξ u p L A L ( ( ) L ( 0) 0 ) δu L F δu F = δu AE u dξ δ u p dξ ξ ξ ξ ( δu( L) FξL δu( 0) Fξ0 ) = AEu F δu δu AEu + p dξ L ( ) ξ i ( ) 0 ξ L L L ξ (5.5) AEu + = 0, (5.6) p ξ L ( i ) 0 N Fξ δ u = 0, N = AEu (5.7) A részltk mllőzésévl a krsztirányú w lmozdulás vonatkozásában, az gynsúlyt kifjző alapgynlt IV I E w p = 0, (5.8) η ζ és a dinamikai prmfltétlt adó variációs gynltk L ( ζ ζ i) ( η ηi) L 0 0 F F δw = 0, M M δ w = 0, (5.9) azaz Fζ = Iη E w, és M = I E w (5.0) η η Látható, hogy mgoszló trhlés hiányában az (5.6) és (5.8) mzőgynltk lináris u, ill. harmadfokú w polinommal légíthtők ki. Amnnyibn a rúd hossza mntén mgoszló trhlésk linárisan változnak, akkor a mzőgynltk partikuláris mgoldását harmadfokú ill. ötödfokú polinom szolgáltatja. Ebbn az stbn a végslm közlítő mzői gyúttal pontos mgoldások, vagyis jln stbn a tljs potnciális nrgia minimuma lv xakt mgoldást szolgáltat a rúdszrkzt vonatkozásában. Nagy lőny a módszrnk, hogy kis lmozdulások és alakváltozások fltétlzés mlltt, a statikailag többszörösn

37 30 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI határozatlan szrkztk mindn nhézség nélkül vizsgálhatók. Figylmt a kinmatikai prm- és illsztési fltétlk kilégítésér kll csak összpontosítani. A fnti (5.6)-(5.0) alatti variációs gynltkből, prmfltétlkből kövtkzik, hogy az lmk közötti mzők folytonossági fltétlk u mzőnél C osztá- 0 lyú azaz a függvény folytonos, a w mzőnél C osztályú folytonosságot azaz a drivált folytonosságát is mgkövtljük. A síkban lhlyzkdő különböző irányítottságú lmk miatt a ξ ζ hlyi koordinátarndszrbn értlmztt, csomópontonként mgjlnő u, w, ϕ η = w lmozdulási paramétrk transzformációjára lsz majd szükség. 5.. ELMOZDULÁSMEZŐ KÖZELÍTÉSE A fnti lvztésből kövtkzik, hogy az lmn blüli lmozdulásmző u, w. Ezkt polinomok sgítségévl közlítjük. A polinomok tagjainak gy részénél az gyütthatókat csomópontonként flvtt két lmozdulási és gy szöglfordulási értékkl tudjuk kifjzni, ill. az inhomogén diffrnciálgynltk partikuláris mgoldásaihoz tartozó tagokat pótlólagos állandóként, paramétrként fogjuk a továbbiakban szrplttni. Dfiniálva az lm hlyi koordinátarndszrbn értlmztt q általánosított csomóponti vktorát, az a pótlólagos állandók vktorát, a flsorolt művltk végrhajtása után az alábbi approximációhoz jutunk. Vagyis az lmn blüli lmozdulásvktor u u ( ξ ) = = N ( ξ) q + N ( ξ) a, (5.) w ahol a csomóponti lmozdulásvktorhoz tartozó approximációs mátrix ( ξ) ( ξ) ( ξ) N N N, (5.) ahol ( ξ ) = i j ξ 0 0 N i =, ξ + ξ L( ξ ξ + ξ ) ξ 0 0 j ( ξ ) N =, ξ = ξ / L ξ ξ L( ξ ξ ) N A pótlólagos állandókkal mgszorzott approximációs mátrix ( ξ ) ( ξ ξ ) L ( ξ ξ ) 3 3 L 0 0 = (5.3) L ( ξ ξ ξ ) L ( ξ 3ξ ξ ) + +

38 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 3 T, T T q = q i q j, a = a a T, T T u w T,, = [ u, w, w ] q. i i 5.3. MEREVSÉGI MÁTRIX, REDUKÁLT TERHELÉSI VEKTOROK Az (5.4) diszkrtizálása után végs dimnziójú fladatot kapunk, azaz a diszkrtizált tljs potnciális nrgia,, qq qa T T q( p) p p(, ) K K q f Π =Π q a = q a ( ) (5.4) Kaq Kaa a f a( p) p T, ξ p ahol qp ( ) ( ξ) T, ξ f = N p dξ, f ζ ap ( ) = ( ξ) N p dξ (5.5) ζ Itt L AE 0 T, Kqq = ( ξ ) B ( ) d 0 IE B ξ ξ, η L AE 0 T, aa ( ξ ) K = B ( ) d 0 IE B ξ ξ. η L L L L B ( ξ) = (5.6) ξ 6 4 6ξ 6 ξ 6ξ 0 0 L L L L ξ L 3ξ L 0 0 B ( ξ) =. (5.7) ( ξ ξl) + L 0ξ 8ξL + 4L A potnciális nrgiában szrplő, a hlyi koordinátarndszrbn értlmztt, T vgys indxű mrvségi mátrix, jln stbn Kaq = Kqa = 0. Az a paramétrkhz tartozó K aa mrvségi mátrix és annak invrz zárt alakban flírható és így a Π p / a = Kaa a fa( p) = 0 minimum fltétlből az a kiszámolható. A számítások lvégzés után a pótlólagos állandók vktora a két mző vonatkozásában

39 3 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI T, pξ i a u = ( pξ i pξ j), (5.8) AE 6AEL p, T ζ i a w = ( pζ j pζ i). (5.9) 4I E 0Iη EL η A szimmtrikus K qq K qq mrvségi mátrix az alábbi AE / L 0 0 AE / L IηE/ L 6 IηE/ L 0 IηE/ L 6 IηE/ L 0 6 IηE/ L 4 IηE/ L 0 6 IηE/ L IηE/ L = AE / L 0 0 AE / L I E/ L 6 I E/ L 0 I E/ L 6 I E/ L η η η η 0 6 IηE/ L IηE/ L 0 6 IηE/ L 4 IηE/ L A rdukált csomóponti trhlési vktor az (5.5) alatti intgrál kiszámítása után a kövtkző összfüggésk révén számolható, (az áttkinthtőség érdkébn a mátrix lmkt vsszővl választjuk l): pξ i pζ i 3 [ L[ ( p p ) ], L[ ( p p ) ], 6 0 p ζ i pξ i L [ + ( pζ j pζ i) ], L[ + ( pξ j pξ i) ], 30 3 pζ i 7 p ζ i L[ + ( pζ j pζ i) ], L [ + ( pζ j pζ i) ] ] 0 0 T, q( p) = + ξ j ξ i + ζ j ζ i f A hlyi koordinátarndszrbn flírt diszkrtizált potnciális nrgiát az lmk közötti lmozdulásmző folytonosságának biztosítása érdkébn az x z globális koordinátarndszrbn értlmztt U, W lmozdulásokkal és a síkra mrőlgs ϕ y szöglforduláson krsztül lht kifjzni. A hlyi, rúdhoz kötött koordinátarndszrbn lévő csomóponti általánosított lmozdulást a globálbli értékkn krsztül az alábbi összfüggés révén fjzhtjük ki: u cos β sin β 0 U qi = w sin β cos β 0 W = T0 q i, (5.0) ϕ η = w 0 0 ϕ Y i i vagyis az lm csomóponti általánosított lmozdulásvktora

40 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 33 q qi T0 0 qi = = T q qj 0 T0 qj, (5.) ahol T az lm transzformációs mátrixa. Ezk után az lm tljs potnciális nrgiája, T, T, T Π p =Π p( q, a ) =Π p( q, a ) = q ( T KqqT q T fq( p) ) +... (5.) T, T, = q Kqq q q fq( p) +..., ahol T, T, qq = qq K T K T - a globális rndszrbli mrvségi mátrix, fq( p) = T fq( p) - a globális rndszrbli rdukált csomóponti általánosított trhlési vktor. Ezk ismrtébn az lmk csatolása az ismrt szabályok alapján már könnyn lvégzhtő A HŐHATÁS FIGYELEMBEVÉTELE A rúdban a hőmérséklt-mgoszlást a θ θ( ξζ, ) = függvényn krsztül adjuk mg, α -a fajlagos hőtágulási gyüttható. Fltétlzzük, hogy a rúdban a hőmérsékltmző az alábbi összfüggés alapján linárisan változik (, ) ( ) / L ( ( ) / L ) θ = θ ξ ζ = θ + θ θ ξ + ζ θ + θ θ ξ (5.3) i j i i j i ahol θ i az i-dik krsztmtszt súlypontjának hőmérsékltét, θi pdig a hőmérséklt i-dik krsztmtsztbli ζ mnti lináris változását jllmzi. Hőhatás stén a kltkző normálfszültség { } ( ) = E ( ) (, ) σ ξ ε ξ αθ ξζ. (5.4) A képlt szrint látható, ha pl. gy rúd mg van akadályozva a mgnyúlásában (két vég mrv lapokra támaszkodik), akkor gynltsn mlgítv a rúdat θ ( ξζ, ) = θáll, alakváltozás nm lép fl, d a krsztmtszt mnti állandó nyomó fszültség jön létr σ ( ξ ) = Eαθáll. Ha a rúd gyik végét mozgásában nm akadályozzuk, akkor a hőmérséklt mlkdésből származó fajlagos nyúlás ε ( ξ ) = αθ áll L / L azonos lsz az αθ áll értékkl, vagyis a rúdban nm lép fl hőfszültség. Általánosan mondható, ha a tst homogén, izotróp, és a tstbn a hőmérséklt linárisan változik, továbbá a tst szabadon tud trjszkdni, akkor a tstbn a hőhatásból nm származnak fszültségk, annak llnér, hogy a tstbn lmozdulások flléptk. A hőhatásból adódóan a tljs potnciális nrgia módosul. Szimmtrikusan flírva

41 34 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Π p = + ( ε ξ αθ ) E ( ε ξ αθ ) dad ξ ( u pξ w pζ ) d ξ..., (5.5) L A L majd a diszkrtizálást lvégzv a rdukált hőtrhlési vktor: f q = α I Eα θ i + θ j, θ i θ j, Iη E α θ i, L AE θ θ I Eα θ θ α θ L T, AE η ( θ ) [ ( ) ( ) η ( i + j ), ( j i), Iη E j ] (5.6) ill. a hőmérséklthz tartozó pótlólagos állandók vktora ( ), θj θ T i a θ = α, 0, 0, 0. (5.7) L 5.5. RUGALMAS ÁGYAZÁS FIGYELEMBEVÉTELE Érintkzésbn álló tstk gyikét gyakran un. Winklr típusú közggl szokásos hlyttsítni. A vasúti sín, az utak btonburkolata, szrszámgépk szánrndszrénk vztéki stb. zzl a modlll jól mgközlíthtők. A szóban forgó modllnél a tstt gymástól függtlnül álló rugókkal hlyttsítjük. A rugókban kltkző rő arányos az lmozdulással. Estünkbn a mgoszló trhlés intnzitása pw = cζ w, ahol c ζ un. rugóállandó, ágyazási tényző. Az gységnyi hosszra ső fajlagos alakváltozási nrgia 0.5 w pw = 0.5 cζ w. Ily módon a tartó mnti rugalmas ágyazásból származó nrgia U rug = wcζ w dξ. (5.8) L A ζ tngly irányú w lmozdulás (5.) alatti közlítésévl, a bhlyttsítés és intgrálás után, L = L figylmbvétlévl ahol U,, qq qa w U (, ) K K q = q a = q a aq aa, (5.9) K K aw T T rug rug w w T, T, q q q, q = [ w w ], = [ a, a ] =, T, T, T w wi, w, j wi,, i w rug w a,

42 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI L 54 3L cζ L 4L 3L 3L K qq, rug = 40 szimm. 56 L, (5.30) 4L / 60 L/ 80 / 60 L/ 80 5 K aq, rug = c L 0L 09 3 ζ, (5.3) L L L / 630 L / 5 9 K aa, rug = c L 3 ζ L. (5.3) / 5 L 30 A flírásból kövtkzik, hogy bbn az stbn mivl K aq kapcsoló mátrix nm zérus, a pótlólagos állandók hatásának liminálása a 3. részbn ismrttésr krülő alszrkzttchnikánál ismrtttt ljárás révén oldható mg. Ennk értlmébn a rdukált mrvségi mátrix qq, rug, rd = ( qq qa ( aa ) aq ) rug K K K K K. A rugalmas ágyazású tartóhoz rndlhtő tljs potnciális nrgia Π p = + ( ) IηE w dξ cζw dξ w pζ dξ.... (5.33) L L L Képzv a Π p lső variációját, a rugalmas ágyazású prizmatikus tartók diffrnciálgynltér a kövtkzőt kapjuk: IV η ζ ζ I Ew + c w = p. (5.34) Ennk mgoldása a 4 cζ 4 α = (5.35) Iη E tag bvztésévl 4 ξ 4 α w = av ξ + V ξ τ p τ dτ, (5.36) ( ) ( ) ( ) i i c i= ζ 0 ahol a Vi ( ξ ) Krülov függvényk 4 ζ V = ch( αξ ) cos ( αξ ), V = ch( αξ ) sin ( αξ ) + sh( αξ ) cos ( αξ ),

43 36 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI V3 = sh( αξ ) sin ( αξ ), V4 = ch( αξ ) sin ( αξ ) sh( αξ ) cos ( αξ ), alakban számolhatók. Ily módon a rugalmas ágyazású tartó w lmozdulásának polinomos közlítés már nm ad pontos mgoldást. A végslms mgoldás pontosítható gyrészt a pótlólagos állandók, másrészt a végslmk számának mlésévl. A fnti végslmnél a flvtt pótlólagos állandók száma kttő.

44 6. EGYVÁLTOZÓS FELADATOK, TÉRBELI RÚDSZERKEZETEK Az lőző fjztbn bmutatott lvk sgítségévl a térbli rudak lmozdulásmzőn alapuló közlítés könnyn lvégzhtő []. M ζ F ζ ζ η Fη M η i ξ j F ξ M ξ 6.. ábra Térbli rúd igénybvétl A 6.. ábra szrint húzás-nyomás, két tnglykörüli hajlítás-nyírás, továbbá csavarás jlnti az igénybvétlkt. A Brnoulli-fél hipotézis és a St. Vnant-fél szabad csavarás fltétlzés mlltt, az alakváltozási nrgia számításánál a nyírást és a krsztmtszt öblösödését mgakadályozó gátlások hatását lhanyagoljuk. Nyírás figylmbvétlkor az un. Timoshnko-fél rúdlmélt alapján szokás számolni, míg gátolt csavarás stén a vékonyfalú szlvénykr kidolgozott lmé-

45 38 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ltk jönnk számításba. Ezk végslms tárgyalása az [] irodalomban részltsn mgtalálható. Equation Chaptr 6 Sction p ζ ϕ ζ z w ζ v η ϕ η p η x y i ξ j u ϕ ξ p ξ 6.. ábra Térbli rúd trhlés, lmozdulása A fnt mlíttt lmozdulásra vonatkozó hipotézisk alapján a tst ttszőlgs P pontjának lmozdulása ( ξ, η, ζ ) ( ξ) ( ξ) η ( ξ) ζ ϕ ( ξ) ( η, ζ ) up up u v w ξ = = + Φ, (6.) (,, ) ( ) ( ) = ξ η ζ = ξ ϕ ξ ζ, (6.) vp vp v ξ wp wp(,, ) w( ) ξ ( ) ahol ( ηζ, ) = ξ η ζ = ξ + ϕ ξ η, (6.3) Φ=Φ dplanációs függvény, amlynk érték végslm-módszr révén is mghatározható [Páczlt I. Szabó T.: Estimation of torsional rigidity by mans of th finit lmnt mthod, Acta Tchnica Acad. Sci. Hung., 04(-3), 99/9, p. -36.] A kltkző alakváltozások, az (.) alapján (,, ) u ( ) v ( ) w ( ) ( ) (, ) ε = ε ξ η ζ = ξ ξ η ξ ζ + ϕ ξ Φ η ζ, (6.4) ξ ξ ξ Φ γηξ = γηξ ( ξ, η, ζ ) = ζ ϕ ξ ( ξ), (6.5) η Φ γζξ = γζξ ( ξ, η, ζ ) = + η ϕ ξ ( ξ). (6.6) ζ

46 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 39 A csavarásnál értlmzést nyr a krsztmtszt I c csavarási krsztmtszt jllmző, amly az Φ Φ Ic = { + η + ζ } da (6.7) ζ η A intgrál sgítségévl számolható ki. A csavarást jllmző ϕξ ( ξ ) krsztmtszt mrvtstszrű szöglfordulás mzőjét, hasonlóan a rúdirányú lmozduláshoz C osztályú függvénnyl kll közlí- 0 tni. Az η ξ síkbli hajlításnál a v lmozdulásnak és annak ξ szrinti driváltjának is folytonosnak kll lnni. Ily módon az lm blüli lmozdulásmző u ϕ ( ) ξ ξ u = = N ( ξ) q + N ( ξ) a, (6.8) v w ahol a csomóponti lmozdulásvktor T, T T q = q i q j = u, v, w, ϕ, w, v ξ, (6.9) i továbbá a linárisan mgoszló trhlés hatását pontosan figylmbvvő pótlólagos állandók vktora T, T T T a = a u av aw. (6.0) A síkbli stbn bmutatott approximációs mátrix rdményit flhasználva a térbli str a közlítés függvényi könnyn flírhatók. A potnciális nrgia prizmatikus rudat fltétlzv Π p = εξ E εξ dadξ IcGϕξ dξ ( u pξ vpη w pζ ) dξ L A L L ( u( L) FξL u( 0) Fξ0 v( L) FηL v( 0) Fη0 w( L) FζL w( 0) Fζ 0 ) ( ϕ ( L) M ϕ ( 0) M v ( L) M v ( 0) M w ( L) M w ( 0) M ) ξ ξl ξ ξ0 ζ L ζ 0 ηl η 0 Diszkrtizálás után ismét azt kapjuk, hogy K zárt alakban kiszámolhatók. A (,) mértű vktor az alábbiak szrint számítható ki: aq = 0, továbbá a pótlólagos állandók K qq mátrix és csomóponti trhlési

47 40 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Kii Kij T Kqq =, ( K ji ) = ( Kij ), qq qq K ji K jj qq (6.3) ahol ( Kii ) ( K ij ) qq qq ( K jj ) AE / L Iζ E/ L IζE/ L IηE/ L 0 6 IηE/ L 0 = IG c / L IηE/ L 0 4 IηE/ L Iζ E/ L IζE/ L AE / L Iζ E/ L Iζ E/ L IηE/ L 0 6 IηE/ L 0 = IG c / L IηE/ L 0 IηE/ L Iζ E/ L IζE/ L qq AE / L IζE/ L IζE/ L IηE/ L 0 6 IηE/ L 0 = IG c / L IηE/ L 0 4 IηE/ L Iζ E/ L IζE/ L Ezk intgrálásánál flhasználtuk a B ( ξ) = i ( ξ) j ( ξ) B B mátrixot, ahol L L Bi ( ξ) =, 0 ( ξ 6) ( 6ξ 4 )/ L L 0 0 ( 6 ξ) 0 ( 6ξ 4 )/ L 0 L qq, qq qq.,

48 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI L L B j ( ξ) =. 0 ( 6 ξ) ( 6ξ )/ L L 0 0 ( 6 ξ) 0 ( 6ξ )/ L 0 L A rdukált csomóponti trhlési vktor: pξ i L + pξ j pξ i 6 pη i 3 L + pη j pη i 0 pζ i 3 L + pζ j pζ i 0 0 p ζ i L + pζ j p 30 p η i L + pη j pη i 30 fq( p) = pξ i L + pξ j pξ i 3 pη i 7 L + pη j pη i 0 pζ i 7 L + pζ j pζ i 0 0 p ζ i L + pζ j pζ i 0 p η i L + pη j p 0 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ζ i [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] η i. (6.4) Az a u és a w pótlólagos állandók vktora azonos a síkbli stnél kapottal, az η irányú v lmozduláshoz tartozóan p, T η i a v = ( pη j pη i). (6.5) 4I E 0Iζ EL ζ Hőhatás stén hasonló rdményk írhatók fl.

49 4 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A lokális rndszrbli mnnyiségk az alábbi ortogonális transzformáció sgítségévl nyrnk átszámítást. Jlölj a rúdhoz kötött koordinátarndszr tnglyink irányába mutató gységvktorokat ξ, η, ζ. A globális rndszrbli Dscartsi tnglyk irányába mutató gységvktorok lgynk x, y, z. Ekkor áll U x ξ x η x ζ u T, V y ξ y η y ζ v = = T 0 qlm, i. (6.6) W w i z ξ z η z ζ i Hasonló összfüggés igaz a szöglfordulási paramétrkr is. Thát az i-dik csomópont vonatkozásában fnnáll, hogy U u V v W T = = ϕ x 0 ϕ y ϕ ϕ ζ T 0 0 w, T T T ϕ 0 T ξ 0 ϕ η z i i Az gész lm vonatkozásában a transzformáció q i. (6.7) azaz T qi T 0 0 qi T, = = = T qj 0 T0 qj i q T q, (6.8) q qi T 0 0 qi = = = T q. (6.9) qj 0 T0 q j i Vagyis a globális rndszrbli mrvségi mátrix T, qq = qq K T K T, (6.0) míg a rdukált csomóponti trhlési vktor T, fq( p) = T f q( p) (6.) gyszrű szorzással a lokális rndszrbli értékkből kiszámolható.

50 7. KÉTVÁLTOZÓS RUGALMASSÁGTANI FELADATOK VIZSGÁLATA IZOPARAMETRIKUS ELEMEKKEL A valóságos mérnöki, szilárdságtani fladatok mindig a térbli, háromdimnziós Euklidszi térhz köthtők. Mégis, számos stbn a vizsgált tst gomtriai alakja, az anyagjllmzők és a tstr működő külső rőrndszr tulajdonságai lhtővé tszik, hogy matmatikailag a problémát kétváltozósként lhssn kzlni. A szilárdságtan tipikus kétváltozós fladattípusait a kövtkző fjzt tárgyalja és az ott bmutatott formalizmusból látható majd, hogy a különböző fladattípusokhoz alapvtőn azonos lmtípusokat lht alkalmazni. A gyakorlati fladatok mgoldásában különösn jól használhatók a lináris és kvadratikus, három illtv négyszög gomtriájú izoparamtrikus lmk. Ez utóbbi, általános dfinició szrint azt jlnti, hogy az lm gomtriai pontjait és az lm mnti lmozdulás mzőt ugyanolyan, trmészts koordináta-rndszrbn adott intrpolációs függvénykkl közlítjük [],[]. 7.. NÉGYCSOMÓPONTÚ ELEM kívánunk lképzni. Ennk érdkébn az x( ξ η ) és ( ) A 7..a.ábra gy konvx gynsoldalú, négycsomópontú lmt mutat az xy globális koordináta-rndszrbn, amlyt gy két gység élű négyzt-tartományra, y ξ, η lképző függvénykt bilináris alakban írjuk fl: Equation Chaptr 7 Sction 3 4 T [ ] a ϕ x( ξ, η) = a + a ξ + a η + a ξη = ξ η ξη = ( ξ, η) a y( ξ, η) = b + b ξ + bη + b ξη = ϕ ( ξ, η) b (7.) 3 4 T

51 44 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7.. ábra Négyszög alakú végslm a/ lképzés két gység élű négyzttartományra b,c/ nm konvx lmk amlyk nm biztosítják az gyértlmű lkép- dt J 0 zést ( ) (7.)-bn az a i és b i állandókat a csomópontok, azaz a sarokpontok x( ξi, ηi) = xi, y( ξi, ηi) = yi koordinátái alapján lht mghatározni. A 4.3.b. ábrából kiolvashatóan a négy pont ξ, η koordinátájának bhlyttsítésévl x a x a = x 3 a 3 x a 4 4 ugyanz tömörbbn (7.) x = Ga, Hasonlóképpn y-ra y = Gb a= G x b = G y Az állandókat visszaírva (7.)-b a lképzés = T 4 G x = i= x( ξη, ) ϕ ( ξη, ) N ( ξη, ) x ( x y) (7.3) alakban áll lő, ahol az N (, ) i i i ξ η un. alakfüggvényk flépítés a kövtkző:

52 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 45 N = ( ξ )( η ) 4 N = ( + ξ )( η ) 4 N N 3 4 = ( + ξ )( + η ) 4 = ( ξ )( + η ) 4 Könnyn llnőrizhtő, hogy a (7.4) függvényk összg: (7.4) 4 Ni ( ξη, ) = (7.5) i= Mármost tkintttl az izoparamtrikus lmk dfiníciójára a (7.4) függvényk birtokában gyértlmű, hogy az lmk mntén az x irányú u és az y irányú v lmozduláskoordinátákat az 4 4 (7.6) u = N ( ξ, η) u és v = N ( ξ, η) v i i i i i= i= formulákkal közlítjük, ahol u i, v i konkrétn az i-dik csomópontbli x és y irányú lmozduláskoordinátákat jlnti. Végül ponton blül néhány mgjgyzés: A (7.4) formulákkal adott alakfüggvényk lsőrndű folytonos driváltakkal rndlkznk. Ahhoz azonban, hogy z biztosítsa a (7.6) lmozdulásmző folytonosságát az lm mntén, nyílván gy-gyértlmű lképzés szükségs az x,y és a ξ, η koordináta-rndszrk között, mlyhz tjlsülni kll a x y ξ ξ dt J = dt > 0, x y η η azaz a J Jacobi mátrix dtrminánsnak pozitívnak kll lnni. Ez azonban csak akkor lhtségs, ha a négyszög konvx, vagyis valamnnyi blső szög 80 o nál kisbb (ld. 7..ábrák). Egyszrűn bizonyítható az lm tljsség 4 4 i ξη i i 0 i i= i= u = N (, ) u = N ( c + c + c y ) = ( ) u v = Ni c0 + Niyi) c+ Niyi c = c0 + cx+ cy i i i ami fizikailag azt jlnti, hogy a közös oldallal rndlkző szomszédos lmk határai mntén-és így a tljs végslmkkl bhálózott kétdimnziós tartományon az lmozdulásmző folytonos. Az ddig ismrtttt gondolatok valamnnyi izoparamtrikus lmtípusra érvénysk, azaz az lmháló sűrítésévl a konvrgncia kritériumok (a közlítő mzőhöz és az gzakt mzőhöz tartozó potnciális nrgiák különbségr a zérushoz tart) automatikusan tljsülnk. Ez is magyarázata az izoparamtrikus lmk szélskörű alkalmazásának.

53 46 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7.. NYOLC-CSOMÓPONTÚ ELEM A 7..ábra gy nyolc-csomópontú, görbprmű izoparamtrikus lmt mutatat, mlynk nyolc alakfüggvényét [], [] alapján az alábbiak sorolják fl: N = ( ξ )( η )( ξ η ) 4 N ( )( )( ) 3 = + ξ + η ξ + η 4 N N 5 7 ( ξ )( η ) = ( ξ )( η ) = + N N N N = ( + ξ )( η )( ξ η ) 4 = ( ξ )( + η )( ξ + η ) 4 ( η )( ξ ) = + ( η )( ξ ) = (7.7) 7.. ábra Nyolc-csomópontú, izoparamtrikus lm Trmésztsn a (7.7) alakfüggvényk is tljsítik a (7.5) kövtlményt, továbbá itt is érvénys, hogy gy adott alakfüggvény az adott csomópontbli hlyttsítési érték gy, míg mindn más csomópontbli hlyttsítési érték zérus A HÁROMCSOMÓPONTÚ ÉS A HATCSOMÓPONTÚ ELEMEK A 7.3.ábra a háromcsomópontú és a görbprmű, hatcsomópontú lmkt mutatja:

54 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra a/ a háromcsomópontú, b/ a hatcsomópontú, görbprmű izoparamtrikus lm Az lőbbik alakfüggvényi: N = ξ η N = ξ N3 = η (7.8) míg a hatcsomópontú lmé: N = ξ η N N N = ξ N N N3 = η N5 N 6 N4 = 4ξ( ξ η) N = 4ξη N = 4η( ξ η) (7.9) 7.4. AZ ALAKVÁLTOZÁSI VEKTOR ELŐÁLLÍTÁSA A korábbi fjztkbn mondottak értlmébn az x, y globális koordinátarndszrbli mzők driváltjait is approximálni kll. A két koordináta-rndszr közötti lképzést az lőzőkkl összhangban n cs x = Ni( ξη, ) xi i= n cs y = N ( ξη, ) y (7.0) i= i formulák adják, ahol n cs az adott lmmodll csomópontjainak száma (Előző példáinkban 3, 6 illtv 4 vagy 8). Kétváltozós fladatok stén az lmozdulás koordináták közlítésér az i n cs u = Ni( ξη, ) ui i= n cs v = N ( ξ, n) v (7.) i= i i

55 48 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI összfüggésk szolgálnak (7.) szokás szrint tömörbbn is írható! ahol 0 u N 0 N 0 Nn cs... (, ) = v = ξη 0 N 0 N 0 N n cs u q N q (7.) q T = u, v,... ui, vi,... un, v cs ncs n cs az lm mértű lmozdulásvktora. Ezk után flírandó az alakváltozási vktor u i u i x x i ε x v Ni ε y v i y y i γ xy u v Ni N + i y x ui + vi y x i N ε = = = (7.3) alakban, amiből látszik, hogy a hhz szükségs az alakfüggvényk globál koordináta-rndszrbli, parciális driváltjainak Ni Ni x y Ni Ni ξ Ni η ξ η Ni x + ξ x η x x x ξ = = Ni Ni ξ N ξ η i η Ni y + ξ y η y y y η mghatározása. (7.4)-t is célszrű tömörbbn flírni (7.4) ( ) ( ) J J ( ) G N i = J L N i = L N J i (7.5) J ahol J - a Jacobi mátrix invrz a globálrndszrbli driváltak vktora ( ) G ( L ) a lokálrndszrbli driváltak vktora. A ξ, η rndszrbli parciális driváltakra analóg módon írható, hogy Ni x y Ni ξ ξ ξ x = N N i x y i η η η y (7.6)

56 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 49 vagyis ( ) ( ) J J L Ni = J GNi = ( GNi) J J (7.7) így azután a Jacobi mátrix (7.0) flhasználásával Ni N i i i Ni xi yi x y ξ ξ ξ J = = xi yi, N N (7.8) i N i i x n y cs ncs i i xi y η i η η módon számítható. Ezk után (7.5) figylmbvétlévl az x és y szrinti parciális driváltakat ξ és η szrinti parciális driváltakból az alábbi módon lht lőállítani: Ni Ni Ni = J + J x ξ η Ni Ni Ni = J + J y ξ η (7.9) Ez azt jlnti, hogy így lőállítható a kövtkző formula által dfiniált B lmozdulás-alakváltozás transzformációs mátrix, amlyt szorozva a q lm csomóponti lmozdulásvktorral, közvtlnül számítható az N N u i 0 0 v x x N Ni = = ( ξη, ) y y ui ε B q N N Ni N i v i y x y x lm alakváltozási vktora. (7.0)

57 50 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

58 8. A KÉTVÁLTOZÓS FELADATTÍPUSOK MEGOLDÁSI LEHETŐSÉGE NUMERIKUS INTEGRÁLÁSSAL Jln fjzt lső négy pontja a rugalmasságtan tipikus fladatait mutatja b, majd ismrttésr krül a gyakran alkalmazott, numrikus intgráláson alapuló végslms számítástchnika. Equation Chaptr 8 Sction 8.. SÍKALAKVÁLTOZÁS (SA) Amnnyibn a vizsgált tst gomtriája és trhlés kövtkztébn létzik gy olyan irány, amly mntén a tst pontjai nm mozdulnak l, valamint zn kitüntttt irányhoz tartozó hlykoordinátától a rá mrőlgs síkban fllépő lmozdulásvktor koordinátái függtlnk, síkalakváltozásról szokás bszélni. Ez az st áll fnn például gy hosszú, nm fltétlnűl körgyűrű krsztmtsztű, nagynyomású cső stén, mikor is a csőtst pontjai csak a tnglyr mrőlgs mtsztbn mozdulnak l. Lgyn a kitüntttt irány z. Ekkor a szóbanforgó állapot kialakulásához az szükségs, hogy a térfogaton mgoszló ρk trhlésnk és az A p flültn mgoszló p trhlésnk n lgyn z irányú össztvőj. Igy azután az lmozdulásmző és a trhlési függvényk u= u( xy) = ux + vy ρk = ρk( xy, ) = ρ( kxx + kyy) (8.) p = p( xy, ) = p + p x x y y alakban írhatók. Az A alakváltozási tnzor fntikből adódóan

59 5 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI εx γxy 0 ε x A= A ( xy, ) = γ yx εy 0 ε = εy (8.) γ xy míg a T fszültségi tnzor σx τxy 0 T = T ( xy, ) = τyx σ y σ z ahol σz = ν ( σ x+ σy) Az ε z 0 miatt az alakváltozási nrgia számításánál csak a T tnzor síkbli részévl kll dolgozni, thát σz τxy T = (8.3) τyx σ y Így végül is síkalakváltozás stén, homogén izotróp anyagot fltétlv az anyagtörvény σ x ν ν 0 ε x E T σ = σy = ν ν 0 εy Dε (8.4) ( + ν)( ν) τ ν xy 0 0 γxy 8.. SÍKFESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT (SF) A síkfszültségi állapotot az jllmzi, hogy most a kitüntttt z irányra mrőlgs síkokon nm kltkzik σz = τxz = τyz = 0 fszültség. Ehhz az szükségs, hogy a ρk és p trhlési függvényknk n lgyn z irányú össztvőj. A vékony tárcsa középflültér, ahol is z = 0, a trhlésnk, mlyt az oldalprmn írunk lő, négyzts függvényként kll változni. Fntik alapján a fszültségi tnzornak csak a síkbli rész lht zérustól különböző σx τxy 0 T = τyx σy 0 = T ( x, y) (8.5) 0 0 0

60 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 53 Ismét homogén, izotróp anyagot tétlzünk fl, így a z irányú fajlagos nyúlás εz = ν ( εx + εy) ν míg az A alakváltozási tnzor εx γxy 0 ε x A= γ yx εy 0 = A ( xy, ) ε = εy (8.6) 0 0 ε γ xy z Tkintttl mgint az alakváltozási nrgia kiszámítási módjára lgndő csak a tnzorok síkbli részét mgtartani: σ x ν 0 ε x E T σ = σ y = ν 0 ε y = Dε (8.7) ν τ ν xy 0 0 γxy 8.3. ÁLTALÁNOS SÍKFESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT (ÁSF) A SF állapot szigorú kiindulási fltétlink nyhítés céljából z stbn fltétlzzük, hogy a σ z mindnhol zérus, a σx, σ y, τ xy a z nk páros függvényi, a τ xy és a τ zy pdig a z nk páratlan függvényi úgy, hogy közbn a tárcsa alsó és flsőlapjain zérus értékűk. Itt jgyzzük mg, hogy gys munkákban az SF illtv ÁSF fladatokat saját síkjukban trhlt lmzfladatoknak is nvzik. Fnti fszültségi koordinátákra vonatkozó fltétlk tljsüléséhz a trhlési függvényk a térfogaton gyrészt ρk( xyz,, ) = ρk( xy,, z) 0 (8.8) másrészt a paláston p = pxx + pyy + pzz px( xyz,, ) = px( xy,, z), py( xyz,, ) = py( xy,, z) (8.9) p ( x, y, z) = p ( x, y, z) alakúak kll, hogy lgynk. z z

61 54 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Az így mgoldott trhlési fltétlk mlltt az gys mchanikai mnnyiségkt a b vastagság mntén intgrálva átlagértékkt kapunk. Így értlmzhtő az átlagos fszültségi és alakváltozási tnzor T = dz, ( ) b T T A (8.0) ( b) valamint az átlagos lmozdulás és trhlési vktor u= dz b u (8.) ( b) p = dz = px x + p y y b p (8.) ( b) Így az intgrálás lvégzésévl az ÁSF állapotot is kétváltozósként lht kzlni. A későbbikbn az átlagolásra utaló flülvonást lhagyjuk TENGELYSZIMMETRIKUS ALAKVÁLTOZÁS (TSZ) Ez stbn a 8..ábárán látható z tnglyű forgástst trhlés és mgfogása függtln a krülti irányban mért ϕ koordinátától 8.. ábra Egy forgásszimmtrikus tst gomtriája és gy ttszőlgs mridiánmtszt mntén jlntkző lmozdulás koordináták Így az alkalmasan választott hngr-koordináta-rndszrbn a tst ttszőlgs pontjának lmozdulás vktora u= urz (, ) + wrz (, ) (8.3) R z

62 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 55 alakú, azaz a vizsgálatokat gy ttszőlgs mridiánmtszt mntén az Rz síkban kétdimnziós fladatként lht lvégzni. Az alakváltozási és fszültségi vktorok u R εr u σr ε ϕ R σ ϕ ε = =, σ = (8.4) ε z w σ z γrz z τrz u w + z R között homogén izotróp anyagra az anyagállandók mátrixa ν ν ν 0 ν ν ν 0 E D = ν ν ν 0 (8.5) ( + ν)( ν) ν trmt kapcsolatot. σ = Dε (8.6) 8.5. AZ ELEMI MEREVSÉGI MÁTRIX ÉS A REDUKÁLT TERHELÉSI VEKTOR SZÁMÍTÁSA A pontokban ismrtttt kétdimnziós fladattípusok sajátosságait figylmb vév a potnciális nrgia kifjzés mátrixos formában a (7.) lmozdulás mző közlítéssl és az ε alakváltozási vktort értlmző (7.0) formula flhasználásával ahol Π = q B DB q q ( f + f + f ) (8.7) T T T p bda ε p qk ( A ) T K = B DB b da - lmi mrvségi mátrix, az A ε = A T f B Dε bda - kzdti alakváltozásból, 0

63 56 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI p Γ T f = N p b dγ - flülti trhlésből, és T fρk = N ρk b da - a térfogati trhlésből A számítandó trhlési vktor. (8.7) flírásakor kihasználtuk, hogy ÁSF stén az lmi térfogat, b vastagságú tárcsa stén dv = bda (8.8) Ugyanz SA stén b = gységnyi szltr míg TSZ állapotváltozáskor (8.7)-b b= π R hlyttsítésévl kapjuk hogy dv = π RdA. (8.9) 8.6. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS A (8.7)-s kifjzésbn szrplő flülti intgrálok a ξ, η változók függvényi, így az intgrálást ξ és η szrint - és + intrvallumra vonatkozóan kll lvégzni. Mivl az lmi flült da= dxdy = dt J dξ dη formában írható. Ezért az lmi mrvségi mátrix + + K B DBb dt J dξ dη (8.0) = T illtőlg a térfogati trhlés csomóponti vktor (és hasonlóan a kzdti alakváltozásból adódó csomóponti vktor) fρk N ρkb dt J dξ dη (8.) = T szrint állítható lő. A prmn működő trhlés számításához és a Jacobi mátrix dtrminánsára van szükség. Nm részltzv a lvztést csak utalva a []-s hivatkozásra, például gy lm η = izoparamtrikus koordinátával jllmzhtő oldala mntén müködő x irányú p x mgoszló trhlésből

64 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 57 T T p bd Γ f px Γ = N p Γ= N ( ξ, η = ) bdt dξ 0 J (8.) lmi rdukált csomóponti thrvktor származtatható. Kérdés zk után a (8.7) típusú intgrálok lőállítása, mlynk széls körbn alkalmazott módszr a Gauss-fél numrikus intgrálási tchnika. Ennk értlmébn a (8.7) formula intgranduszban szrplő mátrix-szorzatot F ( x, y) -al jlöl- v a T K = B ( x, y) D ( x, y) B ( x, y) b( x, y) da F ( x, y) da= A A (8.3) = F ( x( ξ, η), y( ξ, η)dt J ( ξ, η) dξdη = WW i j dt J ( ξi, η j) F ( ξi, η j) NG NG i= j= míg például a (8.) szrinti prm mnti intgrál T T p Γ f = N p bdγ = N ( ξ, η = ) p ( ξ) b( ξ, η = ) dt J ( ξ, η = ) dξ (8.4) formában számolható. Fnti képltkbn NG a ξ illtv η irányban flvtt Gauss intgrációs pontok számát Wi, W j pdig az intgrációs súlyfokokat jlnti, amlykt számszrűn a 8. és 8. táblázat is bmutat. Γ

65 58 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 8.. táblázat: Négyszöglm Gauss pontok és súlyok []

66 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI táblázat: Háromszöglm Gauss pontok és súlyok [3]

67 60 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

68 9. LEMEZELMÉLET 9.. KLASSZIKUS LEMEZ MODELL Mindn olyan vékony, síkflültkkl határolt tstt mlyknél gyértlműn kijlölhtő gy sík középflült lmznk nvzünk. Ha a tstt trhlő rőrndszr olyan, hogy a tst lmozdulásának jlntős részét a középflültr mrőlgs irányban okozza, akkor mchanikai értlmbn is lmzfladatról van szó, gyébként síkfladatról szokás bszélni. A lmzlmélt olyan hipotéziskkl él, amlylyl az rdti háromváltozós fladatot kétváltozósra lht viszavztni. Trmésztsn az ilyn szrkztk mgtámasztásánál, csatlakozásánál, illtv az rőbvztés hlyin a ténylgs fszültségállapot térbli, amly az alkalmazott hipotéziskkl nm írható l. Ilynkor átmnti és térbli lmkt szokás alkalmazni. A továbbiak a klasszikus lmzmodll vizsgálatával foglalkoznak [3]. 9.. ábra Lmz jllmző adatai Lgyn a b vastagságú lmz középflült az xy síkban (9.. ábra). Kis lhajlású lmzról bszélünk, ha a z irányú w lmozdulás kisbb mint a lmzvastagság kb. 0 százaléka. Hajlított lmzk, nyírási nrgiáját is figylmbvvő lméltét,

69 6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Rissnr-Mindlin lméltnk is szokás nvzni [3]. Ezk szrint gy térbli pont lmozdulása az lmodulási hipotézis alapján származtatható. 9.. ábra Elmozdulás hipotézis Elmozdulási hipotézis szrint a középflült csak z irányba mozdul l, továbbá a középflült normálisa mrvtstszrûn lfordul (gyns marad és hossza nm változik, azonban nm marad mrõlgs a középflültr). Fltétlzzük, hogy az lmozdulás és alakváltozás kicsi. A normális x és y tngly körüli szöglfordulása ϕ x, és ϕ y szintén kicsi. Ekkor az lmozdulás gy ttszőlgs P pontban az alábbi alakban írható (lásd 9.. ábrát, mlyn a szöglfordulást flnagyítva szmlélttjük): Equation Chaptr 9 Sction y (, ) ϕx (, ) (, ) u = ϕ xy z v = xy z w= w x y (9.) A középflülthz kötött ϕ x, y w xy, sgítségévl bármly térbli pontban mghatározhatjuk az alakváltozás jllmzőit is. ϕ, ( ) u ϕ y ε x = = zϕ y = z x x v ϕx ε y = = z y y w ε z = = 0 z

70 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 63 u v ϕy ϕ x γ xy = + = z y x y x w u w γ xz = + = +ϕy x z x w v w γ yz = + = ϕx y z y Érdms a z-től függő, és a z-től függtln jllmzőkt külön mátrixba rndzni: ϕ y ε x x ϕx y z y γ xy ϕ y ϕx ε = ε = = z κ (9.) y x κ ahol κ a görbültk oszlopvktora: 0 0 x w 0 κ = 0 ϕ y x 0 y ϕ x y ε u (9.3) A z-től függtln szögtorzulások pdig a kövtkző kétlmű vktorba rndzhtők: 0 w γ xz x γ = = ϕ x = γu γ yz 0 y ϕ y γ u (9.4) Látható, hogy az lmozdulási hipotézishz tartozó szögtorzulás két tagból áll. Az lső tag a normális középflülttl gyütt történő mozgása miatt, a második pdig az ahhoz képst jlntkző szöglfordulás miatt van. Ezt szmléltti az alábbi ábra példaként γ yz stén:

71 64 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9.3. ábra Szöglfordulás és szögtorzulás Trmésztsn a valóságban a prm síkbli rőkkl való trhltlnség miatt a szögtorzulás a prmn zérus kll, hogy lgyn. A normális közlítő és gzakt alakját szmléltti a kövtkző ábra: 9.4. ábra Normális lfordulása A klasszikus lmzlmélt másik hipotézis a fszültségi állapottal kapcsolatos. Ennk alapján a középflültr mrőlgsn ébrdő normálfszültség lhanyagolható: σz 0 Nyilvánvaló, hogy az ε z = 0, σ z = 0 gyidjű fltétlzés llntmond a Hook-fél anyagtörvénynk. A Hook-törvény alapján származtathatók az lmozdulás hipotézishz tartozó fszültség koordináták is. A z-től függő koordináták:

72 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 65 x E x y x E x y y E y x y E x y xy xy G Mátrixos alakban pdig: xy G xy E xy mivl G E σ x ν 0 ε x E σ = σ y = 0 y z ν ε = D ε = D κ (9.5) ν τ 0 0 ν xy γxy A z-től függtln nyírófszültségk pdig: τ xz = kgγ xz τ yz = kgγxz mátrixosan írva: τxz τ = = kgγ (9.6) τyz A nyírófszültségkbn szrplő k az un. nyírási tényző,mly abból a fltétlzésből határozható mg, hogy a közlítő konstans nyírófszültséghz és az gzakt nyírófszültséghz tartozó alakváltozási nrgia mggyzik. Érték: 5/ ábra Nyírási tényző származtatása Az lőbbikbn bvzttt alakváltozási és fszültségi jllmzőkből már számítható a lmz alakváltozási nrgiája. A továbbiakban a külső rők virtuális munkájának flírása céljából tkintsük a lmz prménk gy darabját. A prmhz kötött hlyi (s,n) koordinátarnszrbn ébrdő fszültségk közül σn, τ sn a vastagság mntén lináris, τ zn pdig konstans.

73 66 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Külső/blső rőrndszr rdukálása a középflültr 9.6. ábra Fszültségk, élrők, élnyomatékok A ϕ s, ϕ n, w lfordulás és lmozdulás koordináták munkájának flírásához rdukálni kll a fszültségkt is a középflült pontjaiba. A σ n -bõl és τ sn -ből származó nyomaték M n és M sn, míg a τ nz -ből származó rdő Q n az alábbi formulákkal számíthatók: M = zσ dz M = zτ dz Q = τ dz n n sn sn n zn b b b Mg kll jgyzni, hogy a fszültségkoordinátákhoz hasonlóan zn élnyomatékok és élrő az x,y koordinátarnszrbn értlmztt mgfllő tnzorokból is származtathatók. A külső rők virtuális munkája nnk alapján a kövtkző: W = wpda M ϕ ds + M ϕ ds + Q wds k n s sn n n A Γ Γ Γ ahol p ( xy, ) a flső illtv alsó lapon működő normális irányú trhlés rdőj, A a középflült Г pdig annak a prm. A lmz mgtámasztásától függőn az alábbi prmfltétlkt szokás mgkülönbözttni (lásd 9.7.ábrát ): Bfogás stén: w = 0, ϕ = ϕ = 0 szabad prm stén: M = M = Q = 0 s n n sn n gyszrű alátámasztás stén: w= 0, M = M = 0 n sn

74 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 67 vagy pdig: w= ϕ = 0, M = 0 n n 9.7. ábra Mgtámasztási módok

75 68 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

76 0. IZOPARAMETRIKUS LEMEZELEM 0.. POTENCIÁLIS ENERGIA A 9. fjztbn mgismrt összfüggésk fhasználásával flépíthtő a REISSNER MINDLIN fél lmz tljs potnciális nrgiája [4]: T T Π= ε σdzda + k Ab γ τdzda W Ab 0 Π= + T T κ z D dz κda γ k G b 0 A b A da γ Wk ny h = D D D z dz b T T Π= da da W κ D κ + γ D γ A h ny k A ahol Equation Chaptr 0 Sction továbbá ν b Eb 0 Dh = D = 0, ny kgb ( ν D = ) 0 ν ν 0 0 (0.) W = wpda M ϕ ds + M ϕ ds + Q wds k n s sn n n A Γp Γp Γp Itt a 0-val indxlt élnyomatékok és élrő lőírt értékk a prmn. A prm normálisának és érintőjénk irányvktora lgyn:

77 70 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI nx ny n =, s n = y n x kkor ϕ =ϕ n +ϕ n, ϕ = ϕ n +ϕ n n x x y y sn x y y x 0.. IZOPARAMETRIKUS ELEM Izoparamtrikus lmt választva formálisan az lm lhajlási és szöglfordulási mzőit kll a mgszokott módon alakfüggvényk és csomóponti paramétrk 0 szorzataként approximálni a C osztályú folytonosság biztosításához []: ahol w u = ϕ x = N q (0.) ϕ y T T T T =, n i = w i ϕxi ϕyi cs q q q q Ebből kiindulva képzhtők az alakváltozás jllmző vktorai: ( ε ) ( γ ) κ = u = N q = B q ε h γ = u = N q = B q γ ny ahol az lmozdulás-alakváltozás mátrixok flépítés a kövtkző: B ( Bi ) [ B ] h = i h h 0 0 Ni = 0 y Ni 0 x N i x N i y

78 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7 B ( Bi ) [ B ] ny = i ny ny Ni x = Ni y 0 N i Ni 0 Az alakfüggvényk driválása a síkfladatoknál lírtakhoz hasonlóan történik Az lm potnciális nrgiája: K = K + K h ny Kh dt Jdξdη T T T T Π = q h h h da ny ny ny da Wk B D B q + q B D B q A A (0.3) T Π= q K q W k Jól látszi, hogy a hajlításból és a nyírásból származó nrgiákhoz különböző mrvségi mátrixok rndlhtők. A külső rők virtuális munkája is kifjzhtő a csomóponti lmozdulás és szöglfordulás paramétrivl: 0 p Q n T T T Wk = q 0 N da N 0 ds+ A Γ 0 p q N n M n M ds = q f K ny T T 0 0 T y n x sn Γ p n x n y Végül az lm potnciális nrgiája a szokásos tömör alakban írható: T T Π= q K q q f A gyakorlatban az un. Lagrang-típusú approximációt flhasználó 4, 8, illtv 9 csomópontú izoparamtrikus négyszög alakú lm a lgltrjdtbb.a négycsomópontú lm gy bilináris approximációt tartalmaz, alakja az alábbi:

79 7 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 0.. ábra 4 csomópontú lm ahol az alakfüggvényk a kövtkzők: Ni = ( +ξξ i)( +ηη i) i =,...,4 4 A 9 csomópontú négyszöglm oldaléli már parabolák is lhtnk. Ekkor az approximáció bikvadratikus, tljs másodfokú polinom. A 9 csomópontú Lagrang-fél lm alakfüggvényi a kövtkzők. A sarokpontokban: Ni = ξηξiη i ( +ξξ i)( +ηη i) i =,...,4 4 az oldalflző pontokban: Ni = ξξ i ( +ξξi) ( η ) i = 5,7 Ni = ηη i( +ηηi) ( ξ ) i = 6,8 a kilncdik, középső pontban: ( )( ) N 9 = ξ η Ezn kívül használatos a szűkíttt approximációt tartalmazó 8 csomópontú lm is (un. srndipity lm).

80 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra 8 csomópontú lm Ekkor az alakfüggvényk a kövtkzők: N N N ξ, η = +ξξ 4 +ηη ξξ +ηη, i =,,3,4 ξ, η = ξ +ηη i, i = 5,7 ξ, η = η +ξξ i, i = 6,8 ( ) ( )( )( ) i i i i i i i ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Ezn blűl szokás csak a szöglfordulás közlítését szűkítni (un. Htrosis lm). Ezk a vrziók az lm b vastagságának csökknéskor fllépő numrikus nhézségkt kívánják lküzdni. Ekkor ugyanis a nyírási nrgia tart a zérushoz ami a mgfllő mrvség mátrix kondicióját rontja. Számítási tapasztalatok azt mutatják, hogy a különböző lmkhz a numrikus intgrálást is mgfllőn kll mgválasztani KIRCHHOFF-FÉLE VÉKONY LEMEZ A korábbi lmozdulási fltétlk itt is érvénybn vannak, igaz, hogy γ xz = γ yz = 0. Azaz a normálisok normálisok maradnak a dformáció során, nm úgy mint a vastag lmz lméltnél fltétlztük. A normális szöglfordulása zért most kifjzhtő a lhajlás driváltjaival: w w ϕ x =, ϕ y = y x Így az lm alakváltozása már másodrndű driváltakat is tartalmaz, ami miatt C -rndbn folytonos lmkt kll alkalmazni. A vékony lmzkr számos lmfajta krült kidolgozásra. Ezk ismrttésétől most ltkintünk.

81 74 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

82 . TÉRBELI ELEMEK A térbli lmk közül a lgltrjdtbbk az izoparamtrikus lmk, amlyk sokfél gomtriai alakot ölthtnk. Ezk közül a lggyakrabban alkalmazottak az gyns illtv görbült élkkl rndlkző hatlapú (hxahdron) tégla -, négyoldalú (ttraédr) gúla -, vagy ötoldalú (pntaédr) ék alakú lmk. Ha mindn él csak gyns vonalú lht, akkor az lmn blül az approximáció lináris, ha mindgyik görbülht is, akkor, pdig lgalább kvadratikus. Trmésztsn görbültés gyns él, azaz lináris- és kvadratikus közlítés (approximáció) vgysn is lőfordulhat gy-gy lmn blül. A görbült lm élin, a végpontokon kívül, a flző pontokban is van csomópont. Mgjgyzzük, hogy magasabb approximáció alkalmazása stén, az élkn akár kttő vagy három közbnső csomópont is lőfordulhat, valamint további csomópontok lhtnk az oldallapokon és az lm blsjébn is []. Equation Sction Itt részltsn ismrttjük a nyolc-csomópontú lináris-, a 0 csomópontú kvadratikus hxahdron, valamint a 0 csomópontú kvadratikus ttraédr lm alakfüggvényit. Ezt kövtőn a mrvségi mátrix és trhlési vktor lőállítása a különböző lmkr gységs formalizmus szrint történik. Az lm csomópontjai három - x,y,z irányú lmozdulási - szabadságfokkal rndlkznk, zért trhlés a csomópontokban is csak ugyan ilyn irányú rő lht... AZ ALAKFÜGGVÉNYEK ÉS A KÖZELÍTÉS A.. ábra gy térbli nyolc-csomópontú izoparamtrikus lmt szmléltt. Az lm alakfüggvényi kvázi lináris alakban adható mg [3]: N = ( ξ )( η )( ζ ) N = ( + ξ)( η )( ζ ) (.) 8 8 N3 = ( + ξ )( + η )( ζ ) N4 = ( ξ)( + η )( ζ ) (.) 8 8

83 76 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI N N = ( ξ )( η )( + ζ ) N = ( + ξ)( η )( + ζ ) (.3) = ( + ξ )( + η )( + ζ ) N = ( ξ)( + η )( + ζ ) (.4) D tömörn is flírhatjuk: Ni = ( + ξξi)( + ηηi)( + ζζ i) ahol 8 koordinátái. ξi, ηi, ζi = a sarok pontok.. ábra A nyolc-csomópontú izoparamtrikus térbli lm.. ábra A húsz-csomópontú hxahdron lm A.. ábrán látható húsz-csomópontú lm alakfüggvényit tömör formában adjuk mg a sarok és élflző pontokban: i =,, 3, 4, 9, 0,, sarokpontokban ( )

84 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 77 Ni = ( + ξξi)( + ηηi)( + ζζ i)( ξξi + ηηi + ζζ i) 8 az élk flzőpontjában ahol ξ = 0 és i = ( 7,5,3,5) Ni = ( + ηηi)( + ζζ i)( ξ ) 4 ahol η = 0 és i = ( 6, 4, 6, 8) Ni = ( + ξξi)( + ζζ i)( η ) 4 ahol ζ = 0 és i = ( 8, 9, 0, 7) Ni = ( + ξξi)( + ηηi)( ζ ) 4 A krskdlmi szoftvrkbn a térbli lmk közül lggyakrabban a ttraédr lmk fordulnak lő. Az irodalom a lináris 4 csomópontú változat alkalmazását nm ajánlja, mrt az rdményk stnként túl nagy hibával trhltk. Ezért itt a 0 csomópontú kvadratikus változatot mutatjuk b (.3. ábra), amly tulajdonképpn a 4 csomópontú változat oldalflző pontokban értlmztt alakfüggvényk bővítésévl, és az adott sarokpontba bfutó élkn lévő közbnső csomópontok alakfüggvényink 0.5 szörösénk lvonásával áll lő..3. ábra Kvadratikus ttraédr lm Az alakfüggvényk: N N N N = ξ η ζ ( + + ) N ξ ( N5 N6 N8) N N N N = + + (.5) = η ( + + ) N4 ζ ( N8 N9 N0) ( ) N5 = 4ξ ξ η ζ N6 4ξη N = ξζ N9 4ηζ 8 4 = + + (.6) = N η( ξ η ζ ) 7 = 4 (.7) = N ζ ( ξ η ζ ) 0 = 4 (.8)

85 78 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Az lm gomtriájának lképzés a lokális a ξ, η, ξ trmészts koordináták a globális xyz,, koordináták között az alakfüggvényk sgítségévl mindn fnt bmutatott lmr gységsn írható fl: ncs x,, = N,, x x y z i i (.9) i= ( ξηζ) ( ξηζ) ahol ncs a vizsgált lm csomópontjainak a száma. Az izoparamtrikus lmkr jllmző módon az lmozdulás közlítését approximációját ugyan zkkl az alakfüggvénykkl írjuk l. Ezért az alakfüggvénykt szokás intrpolációs függvényknk is nvzni. ncs i i (.0) i= u = Nu u v w Mátrixos formában átírva kapjuk, hogy u v u N 0 0 Nncs 0 0 w u = v 0 N 0 0 Nncs 0 = = Nq w 0 0 N 0 0 N ncs uncs N vncs w ncs q (.).. ALAKVÁLTOZÁSOK ÉS FESZÜLTSÉGEK A szimmtrikus alakváltozási- és fszültségi tnzorok függtln lmiből alakváltozási- és fszültségi oszlopvktorokat képzünk. Az alakváltozási vktor lmit az lmozdulási mző driváltjaiból állítjuk lő: A u x x 0 0 ε x v 0 0 ε y y y w u 0 0 ε z z z ε = u v v = γ = 0 = u = Nq = Bq (.) xy + y x y x w γ yz v w 0 B + z y z y γ xz w+ u 0 x z x z

86 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 79 ahol a B alakfüggvényk driváltjait, tartalmazó mátrixot szokás alakváltozásilmozdulási mátrixnak is nvzni. A számítások lvégzéséhz b kll vztni a globális xyz,, koordinátarndszrbn értlmztt driváló oprátort ξ η ζ x x x x ξ ξ η ζ G = = (.3) y y y y η ξ η ζ z z z z ζ J L amlyt a lokális ξ, η, ζ koordináták szrinti driváltakkal állíthatunk lő. A diffrnciáló oprátorok közötti kapcsolat mgfordítva is érvénys, azaz = J = J, (.4) G L L G ahol J Jacobi mátrix a kövtkző módon számítható, mivl ncs x = N x i= i i x y z N N N x y z ncs ξ ξ ξ ξ ξ ξ x y z N N N x ncs y z J = = η η η η η η x y z N N Nncs ζ ζ ζ ζ ζ ζ xncs yncs zncs (.5) A fszültségmzőt az alakváltozások ismrtébn linárisan rugalmas anyagot fltétlzv a Hook-fél anyag-gynlttl adjuk mg. A függtln fszültségi mnnyiségkt tartalmazó fszültségi vktor T σ (.6) T = σx σ y σz τxy τ yz τxz az alábbi mátrixgynlttl írható fl σ = Dε = DBq (.7) ahol D az anyagjllmzők mátrixa c c c c c c c c c D = (.8) c c c3 az gys mátrix lmk a kövtkző képltkkl adottak.

87 80 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ν ν E c = E c = E c = = G ( + ν)( ν) ( + ν)( ν) ( + ν) 3.3. A MEREVSÉGI MÁTRIX A csomóponti lmozdulásokkal kifjztt alakváltozások és fszültségk ismrtébn az lm mrvségi mátrixa az alakváltozási nrgia sűrűség térfogaton vtt intgráljából képzhtő. Az izoparamtrikus lm gyik lőny éppn abban mutatkozik, mg, hogy zt az intgrálást a ξ, η, ζ trmészts koordinátarndszrbn nagyon könnyn lvégzhtjük. A K mrvségi mátrixot végül is numrikus intgrálással a Gaussfél kvadratúra flhasználásával állítjuk lő. T T K = B DB dv = B DΒ dt J dξ dηdζ = V dt J dξ dηdζ F ( ξi, ηj, ζk ) NG NG NG i= j= k= ( ξ η ζ ) = wiww j kf i, j, k = Κ ij i, j=,, ncs (.9) ahol gy-gy csomóponthoz, illtv csomopontpárhoz tartozó mátrixblokk külön is mgmutatható: K B DB dt J ζ (.0) T ij i j dξ dη d ( 3,3) =.4. TEHERVEKTOROK Az lm trhlés lht térfogaton- és flültn mgoszló rő. Ezn lmtípus stén a nyomatéki trhlés nm értlmztt. Csak két különböző csomóponton működő rőpárral fjthtünk ki nyomatéki trhlést..4.. Térfogati trhlés A térfogaton mgoszló trhlés munkájának intgráljából származtatható a thrvktor: T T = dv = V f ρ N ρ N ρ J dξdηdζ F (.)

88 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 8 gyorsulás ahol térfogati trhlés intnzitása lht ρk = forgás súly. Az intgrálást a térfogaton ismét a Gauss-fél kvadratúra sgítségévl hajtjuk végr. A thrvktorban az lm csomópontjainak a számával mggyző számú blokk található. Vagyis a mgoszló rőrndszrből a csomópontokba rdukált thrvktort kaptunk. f = [ f ρ i ] i =,, ncs (.) (3, ).4.. Flülti trhlés A másik gyakori trhlési típus a flültn mgoszló trhlés. Az bből származó thrvktor lőállítása kissé komplikáltabb, mrt a flültn képznünk kll a trültvktort is:.4. ábra Flülti trhlés az lm oldalán A.4. ábrán az lm gyik oldalát a flülti normálissal llntéts irányban p nagyságú mgoszló rőrndszr trhli, a hlyi rndszrbn kifjzv: p = pn. A.5. ábrán látható flültlmvktor a ξ, η koordinátairányú driváltak sgítségévl írható fl: r r a = a = (.3) ξ η

89 8 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI.5. ábra Flültlm vktor A (.4) és a.5. ábra alapján, a flültlmn működő rő az alábbi módon írható ( ) pda= pnda= pda= p a a dξ dη = pa dξ dη (.4) 3 mlyből a csomóponti rdukált thrvktor a kijlölt intgrál végrhajtásával áll lő: T f = 3 p N p a dξ dη (.5) Végül az lm térfogati és flülti trhléséből származó trhlési vktora öszszgzéssl mgkapható: f = f + f (.6) p ρ Az lmn a tljs potnciális nrgia a szokásos alakban írható fl T T Π = q K q q f (.7)

90 . A MEGOLDÁS ÉS A HIBA Egy valóságos szrkzt mchanikai modlljénk végslms közlítő mgoldásakor kérdésként mrül fl, hogy milyn a közlítés hibája és mgoszlása, a mgoldás hogyan pontosítható? Equation Sction A hiba származhat a modll hibájából, az anyag és trhlési adatok pontatlanságából, az alkalmazott közlítés jllgéből és az gynltrndszr mgoldása során fllépő krkítési hibákból is. A végslms ljárás numrikus szmpontból lináris algbrai gynltrndszr mgoldására vzti vissza az rdti parciális diffrnciálgynltrndszrkt is tartalmazó prmérték fladatot. Az gynltrndszr szrkzt lénygsn bfolyásolja a számítógépi tárolási- és mgoldási szükségltét. A végslms közlítés alapvtőn polinomok alkalmazásával történik. Ha a közlítő függvény lináris vagy kvadratikus, akkor a végslmt h-vrziójúnak, ha magasabb rndű, akkor p-vrziójúnak nvzzük. Az lső stbn a mgoldás pontosítása az lm jllmző (h) mérténk csökkntésévl, míg a második stbn az lmozdulást közlítő polinomok (p) rndjénk növlésévl érhtő l. A két módszr ötvözését hp-vrzós ljárásnak hívjuk []... AZ EGYÜTTHATÓ MÁTRIX SZERKEZETE Az gys végslmkr vonatkozóan, a korábbi fjztkbn bmutattuk az lmk mrvségi mátrixának és trhlési vktorának származtatását. Ezn végslms mnnyiségkkl is flírhatjuk az lmn a tljs potnciális nrgiát: T T Π = q K q q f, (.) amly részbn alakváltozási nrgiából és részbn a külső rőrndszr munkájából épül fl. Az lm mrvségi mátrixa az alakváltozási nrgiából, a thrvktor a külső rőrndszr munkájából származtatható. Egy végslmkr flosztott szrkzt tljs potnciális nrgiája az gys lmk potnciális nrgiájának összgéből épül fl. A végslm-módszr lh-

91 84 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI tővé tszi nm csak azonos típusú, hanm gomtriailag tljsn különböző alakú lmk csatolását is. Az lénygs, hogy az lmk illsztéskor n sértsük mg az lmozdulás folytonosságát, idgn szóval kompatibilitását. Vagyis a csatlakozó lmk prmin azonos számú és szabadságfokú csomópont csatlakozzon. Ez azt jlnti, hogy a közös csomópontokba bfutó lmk lmozdulásai kll, hogy mggyzznk. A szrkzt csomóponti lmozdulás vktora ncs számú blokkot tartalmaz T T T T q = q q qncs. (.) Hasonlóan a szrkzt f csomóponti trhlési (rdukált) vktora is, amly az gys lmkn értlmztt külsőrők munkájának összgzésévl, illtv az lmkhz nm rndlt koncntrált rőhatásokból kapható mg: ncs T k T q f + W = q f, (.3) = k ahol f = [ f ] i =,, ncs f = f + f. i i i i i A szrkzt mrvségi mátrixa: K a z gys lmk alakváltozási nrgiájának összgzéséből származtatható a mgfllő csomópontokhoz-, illtv csomópont párokhoz tartozó mrvségi mátrix blokkok összgként: N T T q K q = q Kq, (.4) = ahol K = [ Kij] i, j =,, ncs Kij = Kij. i, j Végül a szrkzt tljs potnciális nrgiája hasonló alakban írható, mint az lm (.) tljs potnciális nrgiája: N T T k T T Π= q Kq q f W = q Kq q f. (.5) = A tljs potnciális nrgia minimuma lvéből nyilvánvalóan kövtkzik, hogy az lső variációja nulla kll, hogy lgyn: T Π δπ= δq = 0 (.6) q Majd a (.5) képltn végrhajtva a varráció művltét kapjuk, hogy ( ) 0 q Kq f. (.7) T δ = A kinmatikai prmfltétlk figylmb vétl után a szabad csomópontok lmozdulásának a variációja ttszőlgs, bből kövtkzik, hogy (.7) gynlt

92 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 85 zárójls kifjzés zérus vktorral gynlő. Azaz a csomóponti lmozdulások vktorára gy lináris algbrai gynltrndszrt kapunk: Kq = f. (.8) Ismét mgjgyzzük, hogy az gyüttható mátrixot és thrvktort itt nm részltztt módon módosítottuk a kinmatikai prmfltétlk figylmb vétlkor K módosított mrvségi mátrix f módosított trhlési vktor A csomóponti sorszámok kiosztását a végslms szoftvrk a hálógnrálás során, stlgs módon, többnyir kdvzőtln számozással végzik. Az gynltrndszr mgoldása lőtt, azonban az átsorszámozó algoritmusok sgítségévl lénygsn csökkntik a sávszélsségt. Ezk az algoritmusok többnyir gráflmélti alapon találják mg a közl optimális sorszámkiosztást. Kdvzőbb a hlyzt, ha a szrkzt alszrkztkr bontható, mrt akkor az gys alszrkztkn lénygsn kisbb sávszélsség érhtő l külön-külön, mint ha azt a tljs szrkztr végznénk l. Kdvző akkor a sávszélsség, ha az gys lmkn az lőforduló sorszámok különbség a lgkisbb. Ezért a sorszámozást úgy cálszrű lvégzni, hogy a szrkzt gyik prmpontjából kiindulva az oda bfutó lm összs további pontját is bszámozzuk, majd zt kövtőn a korábbi lgkisbbtől folytatva ismétljük zt az ljárást. A.. ábra az lőbbikr mutat gy példát, z gy optimális sorszámkiosztás... ábra A K mátrix struktúrája az optimális sorszámozás stén Az gynltrndszr mgoldásának két nagy csoportja trjdt l a krskdlmi végslms szoftvrkbn: ) Dirkt ljárások: Gauss limináció valamilyn alkalmazása, z a tchnika kb. 00 zr ismrtlnig mgbízható, illtv lfogadható sbsségű. ) Itrációs mgoldások: mátrixok szorzásával jutunk gyr közlbb a mgoldáshoz.

93 86 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Ez utóbbi ljárás lőny, hogy lgndő csak a zérustól különböző mátrix lmkt tárolni, így valójában érzéktln a csomóponti sorszám kiosztására. Azonban a dirkt mgoldóknál az un. fltöltődés miatt a sávon blül a zérus mátrix lmkt is szükségs tárolni. A.. ábra a lgltrjdtbb tárolási struktúrákat szmléltti. A frontális tchnikánál gyidőbn nm készül l a tljs szrkzti mátrix, csupán gy-gy blokkját találjuk mg a mmóriában... ábra Mátrix tárolási formák lhtnk: félsáv blokkolva, aktív oszlop blokkolva, frontális tchnika (tárolás lmi szintn) A dirkt mgoldó ljárások lőnyb részsülnk az olyan fladatok stén, amikor a mátrix gyütthatóinak nagyságrndj ign nagy különbségt mutat. Az un. locking, azaz rossz mátix kondicionáltság tipikusan zt a hlyztt rdményzi. D ilyn fladatok lhtnk, pl. az érintkzési fladtok, héjfladatok és az öszsznyomhatatlan tulajdonsággal rndlkző gumit tartalmazó problémák is... HIBAANALÍZIS A továbbiakban a végslms közlítés hibáját lmzzük. A korábbi fjztkbn bmutatott végslms lmozdulási módszrt a tljs potnciális nrgia funkcionálra alapoztuk. A mgoldás közlítéséből származó hibáját is nrgia értlmbn határozzuk mg. Mint ismrts a rugalmas fladatok stén, adott lmozdulási mző alapján az alakváltozási- és fszültségi mző gyértlműn mghatározható: u lmozdulás ε = u alakváltozás, σ = Dε fszültség. Az alakváltozási nrgia és zn krsztül az lmozdulás normája az lőbbi mnnyiségkkl az alábbi módon fjzhtő ki u T T = U = dv = ( ) ( ) dv εσ u D u. (.9) V V Lgyn a továbbiakban u = u x az gzakt mgoldás, u VEM a közlítő végs lms mgoldás, akkor az utóbbi hibája, a kttő különbség

94 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 87 = u u. (.0) VEM x Az hiba pontszrű értlmzés a gyakorlatban ritkán határozható mg, d a (.9) nrgia norma alapján értlmzv = ( ) ( ) dv V D (.) már létznk matmatikai mgalapozottságú bcslésk. Enrgia értlmbn konvrgns a mgoldás, ha a hiba normája az ismrtlnk számának növlésévl tart a nullához: lim = 0, (.) N ahol N az ismrtlnk száma, térbli izoparamtrikus lmknél ( 3 NCS ). Pontonkénti konvrgnciáról bszélünk, ha mindn pontban tljsül az alábbi határérték lim = 0. (.3) N Az ismrtlnk számának növlés alapvtőn kétfél módon is mgvalósítható. Az gyik stbn az lmháló sűrítésévl csökkntjük az lmk jllmző h mértét, változatlan lináris vagy kvadratikus közlítő mző alkalmazása mlltt. A másik stbn változatlan flosztás, azaz változatlan lmmért mlltt, a közlítő polinomok p rndjét növljük. A két ljárás ötvözt gyaránt magába foglalja a h mért csökkntését p polinom rndjénk növlését. Az alkalmazott módszrkt tkintv bszélhtünk h -vrziójú-, p -vrziójú- és hp -vrziójú véglms ljárásokról. A p -vrziónál alkalmazott függvénytér flépíthtő Lagrang-fél és Lgndrfél polinomokkal is. Az utóbbi alkalmazása azért lőnyösbb, mrt az approximációs tér hirarchikusan gymásba ágyazott. Ekkor a magasabb rndű p polinom alapján lőállított mrvségi mátrix lválaszthatóan tartalmazza az alacsonyabb rndű közlítésk mátrixait is, a linárissal bzárólag. A Lgndr-fél polinomok és driváltjaik ortogonális tulajdonsággal rndlkznk, zért a mgoldandó gynltrndszr kondicója is kdvzőbb mint a Lagrang-fél közlítés stén. A prmérték fladatokat az irodalomban három csoportba szokás sorolni: A. típusról bszélünk, ha mgoldás lgndőn sima, vagyis a vizsgált tartomány szingularitásokat nm tartalmaz, azaz analitikus jllgű. B. típus stén szingularitásokat tartalmaz a fladat, d z a szinguláris hly az lm csomópontjába sik C. típusnál a szingularitások ttszőlgsn hlyzkdnk l, azaz nm snk csomópontokba. A.3. ábra példákat mutat b a szinguláris hlykr. Ezk lhtnk, pl. éls saroknál, koncntrált rő támadási hlyén, kompozit anyagok prmin. A szingu-

95 88 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI láris pontok a gyakorlatban a tönkrmntl kiindulási hlyiként ign vszélysk lhtnk..3. ábra Példák a szinguláris pontokra A szinguláris pont környztébn az lmozdulási mző lfutását a szingularitás jllg határozza mg. A szingularitás lht rős és gyng: i= i λi ( ϕ ) r r r0 u = Φ < ahol r 0 az lhalási hossz szigorú ha min λ i < > nm szigorú A szigorú szingularitás stén a fszültség tart a végtlnb, ha nm szigorú akkor végs értékű lsz. Az éls sarok gomtriája, azaz nyílásszög döntő bfolyással van a szingularitás jllgér. Ha nyílásszög kisbb mint 0 o, akkor a csúcspont vszélys fszültséggyűjtő hly lht. A különböző típusú fladatokra vonatkozóan az irodalomban a kövtkző hibabcslő formulák találhatók a h-, p-, hp- vrziójú közlítéskr. h.4. ábra A szinguláris pont környzt.. táblázat: Hibabcslő összfüggésk A B C = k N p δ p ( γ ) k N min ( p, λ ) xp N k k N λ δ > δ hp ( γ ) xp N k δ > 3 k N, min ( p, λ ) k N λ A. táblázatban szrplő N az ismrtlnk számát, p a közlítő polinom fokszámát, λ a szingularitás mértékét jlnti, k konstans érték..

96 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 89 A. táblázatból jól látható, hogy a p-vrzós közlítés gyorsabb konvrgnciával rndlkzik, mint a hagyományos h-vrziós. A hp-vrziós ljárás xponnciálisan gyors konvrgnciájú még B-típusú fladatok, azaz szingularitások csomóponti lhlyzkdés stén is. Ekkor a flosztást a szingularitás közlébn gomtria sor szrint szükségs sűrítni. A konvrgncia sbsségkt hasonlítja össz a -7. ábra is. Az ábra jól mutatja a p- és hp-vrzió lőnyét, mrt ugyanolyan hibahatár léréséhz lénygsn kisbb az ismrtlnk száma a hagyományos h-vrziós számításhoz képst []..5. ábra A h-, p- és hp-vrzós számítások konvrgnciája

97 90 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

98 3. MODELLEZÉSI KÉRDÉSEK- A szrkztk számításánál számos olyan probléma krül lőtérb, hogy hogyan lht a mgfogásokból származó prmfltétlkt, az lmk közötti túlfdésből származó hatásokat, a tljs szrkztnél az ismétlődésből származó priodicitást, a frd hatásvonalú mgtámasztásokat stb. kénylmsn kézbn tartani, a számítási időt csökkntni. A flsorolt problémákat érdms lm szintjén kzlni. A számítógéps trvzés során általában a tljs szrkztt nm lht mindn részltr kitrjdőn a képrnyőn mgjlnítni, ill. gyakran kész szrkzti lmk, részgységk krülnk bépítésr, amit a modllzésnél fl kll tudni használni. Ez szintén újabb mgfontolást igényl a végslms számítás mgszrvzésér, a modllünk flépítésér []. Equation Chaptr 3 Sction 3.. ALSZERKEZETTECHNIKA i c Tétlzzük fl, hogy a több szrkzti gységből álló szrkzt gys részink végslms flosztását már lőállítottuk. A mrvségi mátrixot és a csomóponti rdukált trhlési vktort kiszámoltuk. Az gys részkt bizonyos, a trvző által mgálmodott flültk mntén össz kll illsztni []. A 3.. ábrán lévő gyszrű flépítésű szrkztt két alszrkztr ( i =,) bontjuk fl. A mchanikai probléma végslm-módszrrl történő mgoldásánál mgkövtlt pontosság lérésér mgfllő számú és fokszámú lmkt használunk fl. Az alszrkztk az A flültük mntén csatlakoznak gymáshoz. Az itt i található csomóponti lmozdulások vktora q c, míg a mgmaradóké, rövidn a i i blső pontoké q b. Az alszrkzt összs csomópontjának lmozdulásvktora q. A tljs potnciális nrgia minimuma lv szrint fnnáll, hogy

99 9 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI = = A c fő A c 3.. ábra Két alszrkztr flbontott szrkzt i i i i i p i i i i Kbb Kbc qb fb 0 i K cb Kcc qc fc r Π = K q f r = = 0, (3.) q i i ahol K az i-dik alszrkzt mrvségi mátrixa, f csomóponti rdukált trhlési i vktor, r a csatlakozásnál fllépő blső rőből (hatás-llnhatás törvény szrint kltkző) csomóponti vktor. A kapott mátrixgynlt lső blokksora i p i i i i i i bb b bc c b b Π = K q + K q f = 0, (3.) q i i i i i i b bb b bb bc c amiből = ( ) ( ) q K f K K q. Itt fltétlztük, hogy a csatlakozó pontok száma lgndő ahhoz, hogy a vizsgált alszrkzt mrvtstszrű lmozdulása l lgyn kötv, azaz a blső pontokra vonatkozó K bb mrvségi mátrix i invrz létzzn. A kapott blső lmozdulások vktorát bhlyttsítv a i p i i i i i i i cb b cc c c c Π = K q + K q f r = 0 (3.3) q gynltb, nyrjük, hogy i i i i i i i i i i cc cb bb bc c = c cb bb b + { ( ) } ( ) ami tömörbbn K K K K q f K K f r, (3.4) i i i i rd c = rd + i rd K q f r i =, (3.5) i alakban írható fl. Itt K, f rd az i-dik alszrkzt csatlakozó csomópontokra rdukált mrvségi mátrixa és rdukált csomóponti trhlési vktora. Mivl a ha-

100 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 93 tás-llnhatás értlmébn r = r, továbbá a csatlakozási csomópontokban qc = qc = q c. A csatlakozó pontok gynsúlyát kifjző gynltk összgzésévl a kövtkző végső gynlthz jutunk a csatlakozó csomóponttokbli lmozdulás mghatározására: i i i Krd qc = f rd (3.6) i vagyis mgkaptuk a főszrkzt gynsúlyi gynltét. A módszr lőnyi: gyszrűbb az adatlőkészítés, a tipizált alkatrészk, szrkzti gységk mrvségi mátrixait, trhlési vktorait lőr ki lht számolni, azokat l lht raktározni és újbóli számításnál a tljs rndszrb könnyn b lht illsztni. Az alrészk számításánál a többprocsszorú, párhuzamos számítás tchnikáját is fl lht használni jlntős időt mgtakarítva. A sávszélsség minimalizálása gyszrűbb alszrkzti szintn, mint a tljs rndszr vonatkozásában. A számítási rdményk birtokában azon részkn, ahol nm kll változtatást végrhajtani, az lraktározott K rd, f rd mnnyiségk újból flhasználhatók, az i i újraszámítást csak azon részkn kll végrhajtani, ahol a gomtriában, anyagban, stlg a trhlésbn álltak b változások. Ezzl gyorsítani lht a végső trvk lérését. Az alszrkztkkl kzlt rndszrknél az I/O művltk száma csökkn. Gyakran a számítógépi mmória korlátja miatt is lőnyös használata, mivl nm kll gyszrr a tljs gynltrndszrt tárolni. A gyakorlatban, nagybonyolultságú szrkztknél többszintű alszrkzti struktúra flépítés is javasolt. 3.. ADOTT ELMOZDULÁSOK FIGYELEMBEVÉTELE Az lmozdulásmódszrnél, a tljs potnciális nrgia minimuma lv használatakor a kinmatikailag lhtségs lmozdulásmzőnk a kinmatikai prmfltétlt ki kll légítni. Fltétlzésink értlmébn az A u flültr kifutó végslmk csomópontjainak lmozdulásával a tljs flültn mgadott lmozdulás függvényt lírjuk. Így az lm szintjén nagyon gyszrű az adott lmozdulás figylmbvétl. Lgyn a tljs potnciális nrgia T T Π p =Π p = s u Kus Kuu qu fu ahol q u a adottak, míg a,, Kss Ksu qs fs ( q ) q q ( ) (3.7) q csomóponti lmozdulásvktor azon rész, amlynél az lmozdulások q s -l jlöljük, a szabad, ismrtln lmozdulásokat magában fog-

101 94 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI laló vktort. A kijlölt művltk lvégzésévl, a minimalizálás szmpontjából állandó tagokat lhanyagolva, a minimalizálandó nrgia, T Π p = Π p ( qs ) = qs ( Kss qs ( fs Ksuq u ) ), (3.8) vagyis az adott lmozdulás gy kinmatikai trhlést jlnt, ami arányos az adott lmozdulással Ksuq u. Gyakran a kinmatikai hatásokat külön trhlésként kzlik, rugalmas szrkztről lévén szó a szuprpozíció lvénk flhasználásával jutunk a tljs - a kölcsönhatásból származó rőhatásokból is származó - trhlés figylmbvétléhz. Ebbn az stbn az gynltrndszrt mgoldó ljárásnak un. több jobboldalas számításra is alkalmasnak kll lnni. Az alaptrhlésk mgoldásainak lináris kombinációjával juthatunk l a kívánt trhlésk összgztt hatásának az lmzésér. E tchnikával gépidő takarítható mg. Ugyanis, a szrkzt mértétől függőn az alaptrhléskhz tartozó lmozdulások kiszámítása igényl valójában jlntős időt. Azok lináris kombinációja már gyorsan lvégzhtő, mlyk variációi a trvzési folyamattól függnk, azok bármikor az lraktározott futási rdményk birtokában mgismétlhtők, újjakkal ttszés szrint kigészíthtők ADOTT ELMOZDULÁSMEZŐBEN FENNÁLLÓ SZAKADÁS, KEZDETI HÉZAG FIGYELEMBEVÉTELE A gépészmérnöki gyakorlatban gyakran az alkatrészk között túlfdéssl valósítunk mg kötést. Ebbn az stbn a kapcsolatot oly módon is tudjuk modllzni, hogy kétoldalú kapcsolatot tétlzünk fl, vagyis az alakváltozás után a két tst párbaállított pontjai azonos hlyt foglalnak l. Ez a modllzésbn gy gyszrűsítés, mrt az lmk közötti normális érintkzési fszültség lőjlér és a súrlódási fltétlkr nm vagyunk tkintttl. A gomtriai illsztési fltétl kilégítésévl a számítás után lhtőség van a fszültségi fltétlk llnőrzésér. Amnnyibn az érintkzési tartományon nincs smmifél adhézió, akkor a normál fszültség csak nyomó lht. Száraz súrlódásnál a COULOMB-fél gynlőtlnségi fltétlnk is fnn kll fnnállnia. Nézzük az gyszrűsíttt modllünkt. Tétlzzük fl, hogy az A és az F párbaállított csomópontok általánosított csomóponti lmozdulása között a qf = q A + h FA (3.9) kapcsolat áll fnn, ahol h FA a szakadásból (kzdti hézagból) származó vktor. Az F pontot főcsomópontnak, az A pontot alcsomópontnak nvzzük. Az összfüggés értlmébn alakváltozás után a két pont a tér gy közös P pontjába krül (3.. ábra). Itt is fltétlzzük, hogy a csatlakozó A c tartományon a hézag változását, az lmozdulásmzőt a csomóponti értékk gyértlműn lírják.

102 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 95 z n x A q A P h FA q F F 3.. ábra Kétoldali kapcsolat x és z irányában Az A csomópontot magába foglaló jlű lm tljs potnciális nrgiája az A csomóponthoz q A és az lm mgmaradó pontjaihoz tartozó lmozdulás vktorokkal írható fl: q m csomóponti illtv T (, ), T, q A f A Π p =Π p qa qm = qa q m ( K ), (3.0) q m f m T T, T Π p = qf hfa, q m K qm fm qf hfa fa ( ). (3.) A mrvségi mátrixot az lmozdulásvktor flbontása szrint négy részr tagoljuk KAA KAm K =. (3.) KmA Kmm Ennk flhasználásával nyrjük, hogy T, T K AA p p ( qf, qm) qf, q m hfa KmA Π =Π, (3.3) vagyis az A pontbli ismrtlnk F pontba való áthlyzésévl az -dik lm mrvségi mátrixa nm módosul, a csomóponti trhlésé azonban ign:

103 96 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI mód f f A KAA = + h f m KmA FA (3.4) Gyakorlatban, számos stbn az al- és főcsomópontok között nm az összs koordináták között van alárndltség, továbbá az lmnk nm csak gy alcsomópontja van, hanm több. Formálisan, a kapott rdményk kkor is érvénybn vannak: A módosított rdukált csomóponti trhlési vktornál a mrvségi mátrix mgfllő oszlopait kll mgszorozni a h vktorral. FA 3.4. EXCENTRIKUS CSATLAKOZÁS A valóságos háromdimnziós szrkzt szilárdságtani fladatának mgoldásakor gyakran használunk gyváltozós ill. kétváltozós rdukált modllkt. Jól ismrjük, hogy gyváltozós fladatként kzljük a rudakat, kétváltozósként a lmzkt, héjakat. Rúdszrkztknél a rudak középvonalai számos stbn kitérők, nm mindig mtszik gymást, azt mondhatjuk xcntrikusan illszkdnk gymáshoz. A lényg mgértés céljából tkintsük az 3.3. ábrán vázolt stt. A csomóponti általánosított lmozdulásvktor q A = U, W, ϕ y T,. Az A és F pont közötti kttős vonallal rajzolt szakaszt mrvnk tstnk tkintjük, azaz a mrvtstsz- A rű szöglfordulás az A és F pontban azonos. Bvztv az x = xa xf, z = za zf az A és az F pontok közötti távolságokat kapjuk, hogy U 0 z U 0 ˆ EX qa = W x = W = T qf. (3.5) ϕ y 0 0 ϕ y A Az jlű lmn az A csomóponton kívüli hlykn q m a csomóponti lmozdulásvktor. Így q ˆ EX A T 0 qf q EX F q = = = T (3.6) qm 0 E qm qm és az lm tljs potnciális nrgiája a főponti és a mgmaradó pontokbli csomóponti lmozdulásvktoron krsztül T, T EX EX Π p = qf q m T K T qm fm F T qf fa ( ) ( ), (3.7)

104 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 97 z X ~ W F A Z ~ F U F ϕ y,f x 3.3. ábra Excntrikus csatlakozás síkbli stbn amiből a transzformált mrvségi mátrix = ( ) T EX. EX EX és a rdukált trhlési vktor = ( ) T K T K T f T f Térbli stbn az y = ya yf mnnyiség további bvztésévl a mrvtstszrű lfordulásból 0 z y ϕ x u = z 0 x ϕ y = Ω ϕ (3.8) y x 0 ϕ z lmozdulás kltkzik. Iymódon U U V V W E Ω W ˆ EX q A = = F ϕ x 0 = T q. (3.9) E ϕx ϕ y ϕ y ϕ z ϕ z A F A tljs transzformáció a (3.6) alattiak értlmszrű alkalmazásával történik. Térbli stkr vonatkozóan további információ az [] irodalomban olvasható.

105 98 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

106 4. MODELLEZÉSI KÉRDÉSEK- 4.. FERDEHATÁSVONALÚ TÁMASZ FIGYELEMBEVÉTELE A szrkztk gy részénél a mgtámasztási korlátok nm párhuzamosak a választott koordinátarndszr tnglyivl. Ilyn mgtámasztások, korlátok a frd hatásvonalú görgős támaszok, különfél csuszkák. Látni fogjuk zkt az stkt kénylms a frd mgtámasztáshoz kötött hlyi koordinátarndszrbn tárgyalni. A vizsgálatainkat síkbli sttl kzdjük [] Síkbli st A 4.. ábra alapján a síkbli frd hatásvonalú görgős támasz lokális rndszrébn értlmztt és az x z síkban értlmztt i csomópontbli lmozdulások között az alábbi összfüggésk állnak fnn: Equation Chaptr 4 Sction q U cos β sin β ug Gi = W = sin β cos β u (4.) n Mivl a görgő lmozdulásának irányára mrőlgsn az u n= 0, úgy az lőbbi gynlt q U cos β Gi = = ug = Gi Gi W sin β T q (4.) alakot ölti. Az lm összs csomópontjához tartozó görgős támaszok lmozdulásait gybgyűjtv, a görgős mgtámasztású pontok q G globális lmozdulásvktora a lokális q G lmozdulásvktorral formálisan kifjzhtő qg = TGq G. Az lm csomóponti lmozdulási vktorát két részr flbontva kapjuk, hogy, T, T q = q G q m (4.3)

107 00 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI az lm tljs potnciális nrgiája T T Π p =Π p G m = G m KmG Kmm qm fm ( ),, KGG KGm qg fg q, q q q ( ), (4.4) z n u n W t u g β U x 4.. ábra Síkbli frdhatásvonalú görgős támasz ami a transzformációs összfüggés flhasználásával ( q, q ) p p G m Π =Π = T T T T, T, TGKGGTG TGK Gm q G TGf G = qg q m ( ), KmGTG Kmm qm fm (4.5) vagyis a görgős mgtámasztáshoz kötött hlyi koordináta-rndszrbli lmozdulásra áttérv, az lm mrvségi mátrixának és rdukált trhlési vktorának az áttranszformálására van szükség. Látjuk, hogy gy görgőnél a hlyi rndszrbn az ismrtlnk száma ggyl csökknt, csak az u szrpl Térbli st Ebbn az stbn a mgtámasztás olyan, hogy a csomópont gy adott, frdén lhlyzkdő síkban tud lmozdulni, pl. gömbön krsztül csatlakozik a frd síkkal. A szóban forgó síkban az lmozdulást, ttszőlgsn flvtt, két gymásra mrőlgs x és y irányú lmozduláson krsztül fogjuk szmlélni, jlölj zkt u és v. A frd sík normálisa z jobb sodrású koordinátarndszrt alkot az x és y irányokkal. Ortogonális transzformáció révén a globális x,y,z koordinátarndszrbli lmozdulás g

108 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 0 U u V = = W x x x y x z x x x y u y x y y y z v y x y y v w z x z y z z z x z y és így az i jlű csomóponti, csak lmozdulásokat tartalmazó lmozdulásvktor (4.6) qgi = TGi q Gi. (4.7) z ~ z ~ y ~ x x y 4.. ábra Térbli frdsík által kijlölt mgtámasztás Csuszka Egy csuszka stén a csomópont csak gy kitüntttt irányban tud lmozdulni. Lgyn z az x. Ekkor a csuszka irányú lmozduláson krsztül a globális rndszrbli lmozdulások a kövtkzők módon számolhatók U x x q = V =, [ u ] = T q W i z x Gi y x Gi Gi (4.8) ~ x u ~ 4.3. ábra Csuszka

109 0 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 4.. PERIÓDIKUS SZERKEZET A gépészt, építészt szrkzti gyakran rndlkznk szimmtria tulajdonságokkal, vagy ismétlődő részkkl, azonos trhlés és prmfltétlk mlltt. A szimmtria és az ismétlődésből származó priodicitás figylmbvétl a számítási igényk lénygs csökknéséhz vzt, mivl a tljs szrkzt vislkdését gy kisbb rész vizsgálatával is tisztázni lht. Ehhz az adatlőkészítés kvsbb munkája is pozitívan járul hozzá. A szrkzt gomtriájából, anyagából, trhléséből és mgfogásából származó szimmtria miatt, a szimmtria flültin, vonalain, bizonyos kinmatikai mnnyiségk zérus értékkl rndlkznk. Példaként szolgáljon gy olyan téglalap alakú lmz, amly mind a négy oldalán bfalazott. A trhlés gynlts nyomás a lmz tljs flültén. Az gys oldalak mntén mgflzv a lmzt, a ngydrészénk vizsgálatával célhoz érünk, ha a középvonalak mntén a vonalirányú szöglfordulást zérusra állítjuk b, azaz z lsz a kinmatikai prmfltétl. Egy másik gyakori példa a forgó alkatrészk, szrkzti lmkhngrkoordináta-rndszrbli vizsgálata. Ekkor bbn a rndszrbn a szrkzt priodicitással rndlkzht. Pl. gy szivattyú járókrk. A lapátok közötti rész ismétlődik. Egy flvtt R sugáron a lapátokat F és A pontban mtsszük l. Ehhz a pontokhoz rndr a ϕ F és ϕ A hngrkoordinátarndszrbli szögk tartoznak. E szögkkl kijlölt hlyi koordinátarndszrbn a radiális és tangnciális lmozdulások páronként azonosak, azaz uf = ua és vf = va. Emiatt a priodicitási prmt (flültt) tartalmazó végslmknél azon csomópontokban, amlyk zkn a prmkn hlyzkdnk l, az x y rndszrből át kll transzformálni a mnnyiségkt a hlyi koordinátarndszrkb, továbbá az F, A pontpár ismrtlnjit gyb kll jtni, majd nnk figylmbvétlévl kll az lmk illsztését lvégzni a végső gynltrndszr lőállítása céljából. Itt is az A pontot tartalmazó lmn kll végrhajtani az alárndlést, hasonlóan, mint az xcntrikus csatlakozásnál is tttük. Jln stbn az A és F pontok sorszámainak nagyobb távolsága miatt a végső gynltrndszr sávszélsség nő, d az ismrtlnszám lénygs csökknés ngatívumot kompnzálja RUGALMAS ÁGYAZÁS Amint már a síkbli tartóknál is mlítttük, gyszrűsíttt modllzésnél a vizsgált tst mgtámasztását biztosító rugalmas tstt, Winklr típusú közggl 6 hlyttsítik. A nagymrvségű rúgóállandóval ( c 0 ), a rugóirányú lmozdulás zérus értékét jól b lht állítani. A rugalmas mgtámasztási flültn lhlyzkdő xyz,, tnglyirányú rugóállandókat jlölj c, c, c, a kltkző flülti trhlést [ ] T x y z p = c, c, c u v w = Cu, (4.9) x y z

110 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 03 ahol diagonál mátrixot jlöl. Az jlű lmml az Arug flült mntén csatlakozó rugalmas támaszban flhalmozott alakváltozási nrgia T T Urug = da da p u = u Cu, (4.0) Arug Arug ami az lmnblüli lmozdulás szokásos közlítés révén u ( x) = N ( x) q az U T, T T, rug = da = rug A q N CN q q K q (4.) rug végső alakot nyri. Ezzl a rugalmas közggl kapcsolódó végslm tljs potnciális nrgiája Π = Π ( végslm) + U (4.) p p rug alakban számítható EGYOLDALÚ SÚRLÓDÁS NÉLKÜLI ÉRINTKEZÉS VIZSGÁLATA A 3.3. részbn kétoldalú kapcsolatokkal foglalkoztunk. Ott a fszültségkr nm tttünk lőjl korlátokat. A valóságban azonban, adhézió hiányában, az érintkzési tartományon a normál fszültség csak nyomó fszültség lht. E miatt az érinkzési fladatok nm linárisak, mivl az érintkzés/lválás fltétli gynlőtlnségt hordoznak. A normál fszültség ngatívját p nyomással jlöljük a továbbiakban. Az alakváltozás után N N d = u u + h 0 (4.3) rés alakul ki, itt u N a normálirányú lmozdulás, h a kzdti hézag. Érintkzés lép fl az Ac tartomány K altartományán, ha fnnállnak d = 0, p 0 r K (4.4) és rés van jln az R altartományon, ha d 0, p = 0 r R. (4.5) A fntikből kövtkzik, hogy pd= r. (4.6) 0 Ac A mgoldás gy lhtségs útja az un. bünttőparamétrs tchnika alkalmazása. Ennk értlmébn a minimalizálandó funkcionál

111 04 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI u c u r. (4.7) B = Π ( ) + c ( d ) da, ahol d ( ) 0 A p K. tst A c Q h n u N u n Q u u N. tst A c n c 4.4. ábra Az érintkzési normális n c, u N normálirányú lmozdulások Képzv B lső variációját, nyrjük, hogy az érintkzési nyomás p = cd 3 4 összfüggéssl számolható. A c = E 0 E 0 nagyságú bünttőparamétrrl általában a mérnöki gyakorlat pontossági igényit kilégítő mgoldást kapunk. A bünttőparamétrs tchnikát úgy is lht értlmzni, hogy az érintkző tstk közzé Winklr típusú normális irányú rugalmas közgt (rövidn rúgót) hlyzzünk l. A fladat mgoldását nhzíti, hogy lőr nm ismrtk az érintkzési ill. az lválási altartományok. Ott, ahol az itrációs számítás valamlyik lépés nm ad nyomást, ott a rúgót ki kll vnni, és újabb próbálkozással kll mgoldani az gynltrndszrt. Diszkrtizálás után { } it, i i it, i, T, T T, T, T T T B = q K q -q f q q h C q q h (4.8) i ahol C a rúgókból származó rúgómátrix, h a kzdti hézagból származó vktor. A minimum fltétlből nyrt mátrix gynltrndszr B q B q ( ) = K + C q Cq f Ch = 0 ( ) (4.9) = Cq + K + C q f + Ch = 0. (4.0) Ennk mgoldását a KALKER- fél itrációs algoritmussal kaphatjuk mg []. A fladat diszkrtizálásával az érintkzés-lválás fltétlét diszkrét pontokban llnőrizzük l. A diszkrét ponthalmazt a K érintkzési és az R rés ponthalmazra bontjuk fl. Az I K halmazon a p I nyomás pozitív (rúgórő ngatív) kll lgyn, míg az I R réstartomány halmazán p = 0. I

112 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 05 Az itráció lépési az alábbiak:. Rúgó bépítés az A c tartomány azon I pontjaiba, ahol a h I a lgkisbb. Ezáltal a C flépítést nyrt.. A (4.9), (4.0) gynltrndszr mgoldása, a kapott rdmény értéklés. Ha a nyomás ngatív (a rúgórő pozitív), a rúgót ki kll vnni és az I pontot az R halmazba át kll tnni. Ha a nyomás pozitív (a rúgórő ngatív), akkor a I pont a K halmaz pontja marad a továbbiakban is. Ha a fnti llnőrzéssl az I és R halmazok változnak, azaz a C újabb értékű ltt, vissza ljér. 3. A J R halmaz llnőrzés, ténylgsn rés van- a J pontban. Ha az R halmaz összs pontjában dj 0, akkor a mgoldás hlys, a számítás bfjztt. Ha az R halmazban találunk olyan pontot, ahol a d J ngatív, akkor zn pontot át kll hlyzni a K halmazba és vissza kll lépni a. r. Az lmondottak értlmébn a. alatti itrációt mindaddig folytatjuk, míg a pillanatnyi K érintkzési tartomány pontjaiban mindnütt a p I nyomás pozitív nm lsz. Az hhz kapcsolódó itrációk számát ITERPi -vl jlöljük. Az algoritmus 3. pontjából csak akkor térünk vissza a. pontra, amikor a. alatt kiszámolt nyomás mgoszlás olyan lmozdulást hozott létr, amlynél a tstk gymásba hatoltak, ami fizikai képtlnség, azaz a dj 0 pozitivitását nm sikrült biztosítani. Az lvégztt itrációk számát jlölj ITERD. Összsségébn az algbrai gynltrndszrt a C változása miatt, újabb és újabb gyütthatómátrix-al kll mgoldani. A (4.9), (4.0) alatti gynltrndszr mgoldásainak össz száma: ITERD ITERPi. i= di A számábrázolás végs érték miatt, a ε 0 0 gynlőtlnségt kilégítő pontokat a K tartomány pontjának tkintjük. (a rúgó össznyomódása miatt az érintkzési hlykn d ngatív). A di > ε0 pontot a rés tartomány pontjának kll tkintni. A fnti algoritmus mindn stbn konvrgns. Folytonos rugalmas Winklr tipusú közggl flépíttt kontakt lmknél az érintkzés-lválás fltétlét az numrikus intgrálás Gauss vagy Lobatto-fél pontjaiban llnőrizzük l []. További variációs lvk (Lagrang-fél multiplikátoros tchnika, a bünttőparamétrs és a Lagrang-fél multiplikátoros tchnika kombinálása), különfél mgoldási ljárások, optimalizációs érintkzési fladatok, súrlódásos érintkzési fladat flállítása, mgoldása után érdklődők az []-bn találnak bővbb ismrtkt. 5

113

114 5. AZ I-DEAS PROGRAMRENDSZER Az I-DEAS trvző rndszr különböző alkalmazások gyütts, mlykt a trvzési folyamat különböző fázisainak mgkönnyítésér alkalmazhatunk. Mindn gys gépészti fladat lvégzés, más-más szoftvrrész választását kívánja. A program lindítása után több ablakot nyit mg, mlyk közül a jobb szélsőbn találhatjuk mg a különböző alkalmazások kiválasztását ngdélyző listaablakot. Ezk a Dsign, Simulation, Tst, Manufacturing, stb. a különböző alkalmazások ilyn fladatok lvégzésér szolgálnak, mint Dsign: bbn a szoftvrrészbn alkatrészk gomtriai modlljénk létrhozása, módosítása lhtségs. Simulation: Az I-DEAS végslms modulja, olyan fladatok végrhajtása lhtségs, mint a prmfltétlk lőírása, végslms háló létrhozása, végslms számítások rdményink lmzés, stb. Tst: Az időkzlés szközit tömöríti z az alkalmazásrész. Manufacturing: A gyártással kapcsolatos szimulációs programrész. Jln fjztbn lsősorban az I-DEAS programrndszr Simulation moduljának használatát tkintjük át, d rövidn a program működttéséhz szükségs funkciókat, jllmzőkt is mgvizsgáljuk [5]. 5.. ÁLTALÁNOS JELLEMZŐK:. Paramtrikus modllzés. A trvzés során lőször gy vázlatot kll készítni, mly nagy vonalakban hasonlít majd az lkészítndő darabhoz, és a mértkt zután kll pontosan bállítani a kívánalmaknak mgfllőn. D trmésztsn a gomtriai lmk pontos koordináták sgítéségévl is mgrajzolhatóak.. Tulajdonság alapú modllzés. A bázis alak létrhozása után gyszrűn lht dfiniálni kivágást, furatot, bszúrást, stb. 3. Párhuzamos alkatrészfjlsztés. Az alkatrészk közös könyvtárakban hlyzhtők l, mlyk a mgfllő trvzők által lérhtők módosíthatók. Az I-DEAS lindítható a parancssorból, mnüből vagy ikonnal. Előfordulhat, hogy a program használata spciális account-ot is igényl. A szoftvr használatá-

115 08 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI hoz ki kll választani a rndszrünk által támogatott lhtőlg a lgjobb grafikai mghajtót, pl. OpnGL, PEX. Az lindítás után gy indító ablak nyílik ki, ahol a kövtkző adatokat kll mgadni: Projct nv: mly az adott munkát rndszrzi. Ezt ki is lht választani a flkínált listából. Vagy bhívható gy kiválasztó ablak, az ikonra kattintással. Modl fil: a munka során létrhozott objktumhoz tartozó adatok itt tárolódnak l. Ezt sgíti gy lőhívható lista, mly a fil mgnyitáshoz, mntéshz hasonló ablakot jlnt. A használni kívánt alkalmazás kiválasztása: Alapértlmzésként flkínálja a program az utójára használtat, illtv a Dsign csomagot. Ez alatt található az adott alkalmazáson blüli fladat kiválasztására szolgáló lgördülő listaablak. Ha az I-DEAS-t parancssorból indítottuk l, akkor lhtőség van mgadni opciókat is. Pl: -h az indításhoz használható opciókat jlníti mg, d dvic a grafikus mghajtót lht vl mgadni indításkor. Ha nm adjuk mg a dvic nvt, akkor gy listát kínál fl, amiből lht választani, g a lgutóbb végztt munka folytatását tszi lhtővé, l languag a használni kívánt nylvt lht mgadni. Ha nm adjuk, mg akkor gy listát kínál fl az lérhtő nylvkkl Használathoz szükségs alapok A program különböző ablakokat kzl, mlyk a kövtkzők Rajztrült: Alapbállításként gy fkt háttrű rész a monitor lgnagyobb bal flső trültén. Itt történik a rajzolás. Ikon ablak: A monitor jobb oldalán húzódó trült, mért ttszés szrint módosítható. Az itt található parancsikonok három nagy trültr oszthatók: a flső 6x3 db ikon, a továbbiakban A mátrixként hivatkozunk rá, a középső 4x3 db ikon, a továbbiakban B mátrix, és az alsó 4x3 db ikon, mlyt C mátrixnak nvzünk. Lista ablak: Az üzntk, hibák jlzésér használja a program, ha nm használjuk sokszor l lht rjtni, d hasznos dolog. Prompt ablak: A kiválasztott parancsnak mgfllőn adatok bkérését zn krsztül végzi a program. Az ikonok használata nm sok magyarázatot igényl. Egy kis gyakorlással könnyn lsajátítatható a kzlésük. Az ikonokról annyit azonban tudni kll, hogy a lgtöbb ikon több fladat lvégzését is lhtővé tsz. Err utal, az ikon jobb alsó sarkában gy kis háromszög, jlzv, hogy további funkciók érhtők l a gyűjtő kinyitásával. Gyors gérkattintással az ikon kiválasztásra krül, és invrz színbn jlnik mg. Ezzl aktiválható a jlztt funkció. Ha gy ikonon lnyomva tartjuk az gérgombot és gy ikon gyűjtőről van szó akkor flnyílik gy kiválasztó lista, mlyk közül ttszőlgs fladatot lht választani. Az gér ikonra pozícionálása mgjlníti az adott lm funkcióját a státuszsorban, mly a grafikus ablak lgalsó sorában van.

116 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 09 Fontos: Mikor az ikonokat, mnükt használjuk érdms figylni az üzntkt, a tájékoztató ablakban, mlyt a rajztrült státuszsorában találunk. A program használatához három gombos gér használata az idális, ahogy z gy korszrű trvző szoftvrtől lvárható. Mindn gombnak saját funkciója van. A Bal gomb fladata a parancskiválasztás, a gomtriai alakzatok kiválasztása a rajztrültn. A Shift gombbal gyütt használva csoportos kijlölést tsz lhtővé. (z pl. törlésnél, mértzésnél hasznos). A Középső gomb z az Entr vagy a Rturn billntyűt hlyttsíti, azaz a parancsok lzárására szolgál. Thát a program használatát gyorsítja. A Jobb gomb gy Popup mnüt jlnít mg, ha a rajztrültn használjuk, fladattól függőn más-más parancsok aktivizálást gyorsítja. Számtalan billntyűkombináció lőr dfiniált az I-DEAS-ban, mlyk flsorolása itt túl hosszú lnn. Most csak az F - F billntyűkt tkintjük. Ezk szrp átdfiniálható (lásd az idas.ini állományt), d alapértlmzésbn a kövtkző fladatokat gyorsítják: F - F5: ltolás, nagyítás, forgatás, kívánt nézt, rst F6: az lőző 5 funkcióbillntyű szrpét határozza mg a fladatbank kiválasztással, mlyt a program jlz a rajztrült jobb alsó sarkánál fltüntttt ikonokkal, háromfél parancsbank dfiniált. F7: tljs mértűr állítja a létrhozott rajzot(au vagy Ctrl-A, ZM: ablakkal nagyít) F8: gymáshoz közl fkvő rajzlmk közötti választást sgíti (Rconsidr) F9: rajzlmk kijlölését mgszüntti (Dslct All) F0: Munkasíkba állítja a rajzot. F: Egy dialógus ablakot nyit ( Filtr ), mly a rajzlmk gyors kiválasztását sgíti. F: a rajztrült újrarajzolása (Rdisplay Ctrl-R) Az F-F3 funkcióbillntyűk által dfiniált művlt lvégzését a kívánt billntyű nyomva tartásával és az gér mozgatásával érhtjük l. A Mnü lérés a Ctrl-M kombinációval történik, mly ki/b kapcsolja a mnü mgjlnítését. Kilépés: a parancssorba írt xit utasítással, vagy a mnüből kiválasztva, vagy a Ctrl-E billntyűkombinációval Rajzolást könnyítő funkciók Dynamic Navigator Dinamikus navigátor, mly az alkatrészrajz készítés során nyújt támogatást. A már létző rajzlmkhz viszonyított tulajdonságokat jlzi a program a 7.. táblázatban flsorolt jlzéskkl. Rajzolás közbn az gér jobb billntyűj sgítségévl további funkciókat aktivizálhatunk, pl. az Align, vagy a Focus parancsokat, mlyk gy-gy korábban létrhozott görbéhz való kapcsolást tsznk lhtővé.

117 0 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7.. táblázat: Dinamikus rajzolást sgítő lmk érintő középpont párhuzamos vízszints végpont mtszéspont függőlgs gybsés A rajz készítés közbn hasznos a ki/b kapcsolható Grid háló, vagy Snap funkció. A Grid gy általunk dfiniált diszkrét ponthálót jlnít mg, mllyl a mérthlys rajzolást könnyíti a program. Bkapcsolt Snap a létrhozandó rajzlmk pontjait, csak a mghatározott diszkrét pontokba ngdi lhlyzni. Mindkét parancsot a B mátrix második sorának utolsó oszlopában találjuk a Workplan Apparnc parancsot, vagy rövidn B(,) hlyn. 5.. RAJZOLÁS AZ I-DEAS-BAN Az I-DEAS program lgfontosabb modulja, mly alapvtőn a rajzolást támogatja a Mastr Modlr. Ennk sgítségévl tudjuk az alkatrészkt mgtrvzni, illtv z ad lhtőségt a két- illtv a háromdimnziós modllk lkészítéséhz, mlyknk például a Simulation modul sgítségévl a végslms analízisét végr tudjuk hajtani. A rajztrültn lindítás után gy kijlölt rajzsíkot látunk, alapértlmzés szrint az x-y sík, d mg lht változtatni az igényktől függőn. A Mastr Modlr-bn lérhtő funkciók a jobb szélső ikon panl flső csoportjában az A mátrixban, lásd a 5.. ábrán találhatók. Ezk tulajdonképpn a rajzlmk létrhozását végzik. Háromszor hat darab gyűjtő ikonból áll, d mindn gyűjtőbn további funkciók aktivizálhatók. 5.. ábra Az A, a B és a C ikongyűjtők a Mastr Modlr alkalmazásnál Ismrttésük most nm cél, d gy kis gyakorlással, mindnki könnyn mgismrhti a különböző parancsok lhlyzkdését. A tanulást sgíti az is, hogy az ikon gyűjtők kinyitásakor az ikont hosszú gérkattintással kll kiválasztani az ikonok mlltt mgjlnik a parancs lnvzés is, és a státuszsorban olvasható a

118 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI parancs rövid lírása. A használat során mgfigylhtő, hogy a lgutóbb használt parancs ikonja a flső kiválasztott hlyztb krül, mly gyorsítja a rajzolást. Mgjgyzés: Ha valaki nm érti a rövid parancslírásból a kiválasztandó funkciót, akkor a Hlp mnübn az On Contxt mnüpont sgítségévl további információt kaphat. Az A mátrixban lérhtő funkciók flsorolása: Rajzsík kijlölő mnü: gy ttszőlgs sík kiválasztása, munkaasztal kijlölés A(,) Koordináta rndszr mnü: rfrncia sík, pont, vonal A(,) Mtsztk mnü A(,3) Vonalak mnü: poligon, vonal, négyszög, pont létrhozása A(,) Körív mnü: különböző körívk rajzolása A(,) 3D-s mnü: háromdimnziós rajzlmk létrhozásához A(,3) Kör mnü: Tljs kör rajzolása, különböző módszrkkl A(3,) Görbvonal parancsok: splinok, llipszisk A(3,) Lképzés mnü: ltolás, lképzésk készítés A(3,3) Mértző parancsok: A(4,) Lkrkítés, ltörés mnü: trimmlés, szétvágás, sarkok készítés A(4,) Flült mnü: flült kitrjsztés, mtszés, stb. A(4,3) Extrudálás mnü: flültk létrhozása, tstk xtrudálása A(5,) 3 D-s lkrkítés, ltörés mnü: A(5,) Halmaz művltk: mtszés, unió, különbség, stb. A(5,3) Kiosztás mnü: négyszög kiosztás, körkiosztás, skálázás, A(6,) Szabad flült, él mnü A(6,) Jllmzők mnü: A(6,3) A középső ikon, illtv ikongyűjtő funkciója lsősorban a rajzlmk módosításával, szabályozásával kapcsolatos. A B mátrixban lhlyzkdő parancsokat az alábbiak szrint találjuk, ha a Simulation / Mastr Modlr alkalmazást használjuk: Történti fa B(,) Mozgatás, lforgatás, lrndzés, stb. B(,) Mgjlnítés szabályozása, lrjtés, stb. B(,3) Módosítás, Undo B(,) Informácók lkérdzés B(,) Mgjlnés szabályozása, munkatrült mért B(,3) Újrarajzolás vzérlés B(3,) Mérés, jllmzők, anyagok, stb. B(3,) Alkatrészk, jllmzők, B(3,3) Törlés B(4,) Alkatrész katalógus kzlés, lnvzés, csoportosítás, stb. B(4,) Alkatrész könyvtár kzlés B(4,3) A modll létrhozása során, az I-DEAS mindn gys lépést gy történti fa sgítségévl tárol, mly mgtkinthtő és szrkszthtő. A történti fa csomópontokat tartalmaz, mlyk két gyrmkből és gy szülőből épülnk fl. A csomó-

119 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI pontok kiválasztásával a grafikus ablakon nyomon lht kövtni, hogy mlyik lmről van szó. A történti fa lsődlgs szrp az alaplmk módosíthatósága. A módosítás parancsot a B(,) ikonnal indítjuk l, a mértszámok kiválasztása után pdig a flnyíló dialógusablakban módosíthatjuk. Ha nincsnk kint mértk, akkor ttszőlgs mértt l tudunk hlyzni a mértző sgítésévl. A C mátrixban lhlyztt parancsok mindn modulnál gységsn mgtalálhatóak, zk a kövtkző mgjlnítéssl kapcsolatos fladatokat látják l: Újrarajzolás parancs C(,) Vonalas ábrázolás ikongyűjtő C(,) Árnyalt mgjlnítés C(,3) Tljs mért ikongyűjtő C(,) Nagyítás-kicsinyítés parancsok C(,) Rajzflült mnü C(,3) Nézt ikongyűjtők C(3,), C(3,), C(4,), C(4,) Lállító parancsikon C(3,3) Nyomtatás parancsok C(4,3) 5.3. VÉGESELEMES ANALÍZIS Az I-DEAS program végslms moduljának a Simulation nvt adták. Ebbn a programrészbn lhtőség van a flhasználónak ttszőlgs prmértékfladat flállítására, mgoldására és a mgoldás lmzésér. Itt most csak rövidn utalunk rá, hogy mlyik fladat lvégzés, mlyik programrészbn lhtségs. Elsősorban a kövtkző alrészk áttkintését tűzzük ki: Simulation / Boundary Conditions, a prmfltétlk dfiniálása, Simulation / Mshing, a végslms háló kialakítása, Simulation / Modl Solution, a prmértékfladat mgoldása, Simulation / Post Procssing, a kapott mgoldások vizsgálata. 5.. ábra Az A mátrix Prmértékfladat kitűzés A Simulation modul Boundary Conditions alkalmazás kiválasztása után az A mátrix a 5.. ábrán jlztt formában jlnik mg. A prmértékfladat típusának kiválasztása az A(,) parancsok sgítségévl történik. Dinamikai prmfltétlkt az A(,) és A(,) ikongyűjtőbn található utasításokkal írhatunk lő. Az A(3,) parancsgyűjtőbn találhatók a hőmérsékltmző lőírását szolgáló parancsok. A modll szabadságfokainak rögzítését az A(4,)-bn található ikonok szolgálják. A prmfltétlk nyilvántartását és kzlését szolgáló két utasítás a Sts és Boundary Conditions az A(6,) és A(6,) hlyn van lhlyzv.

120 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI Végslms háló létrhozása A végslms háló létrhozása jlnti a kövtkző fontos lépést a végslms analízis során. Ez a lépés azonban mglőzhti a prmfltétlk lőírását, mint látni fogjuk a gyakorlatban. A végslms hálózat nm csak gy parancskiválasztást jlnt, mivl lénygs paramétrk bállítását l kll végzni, úgymint lmtípusok, anyagjllmzők, gomtriai jllmzők (pl. héjak stén falvastagság), csomópontok, lmk konkrét hlyn történő dfiniálása stb. A Simulation / Mshing modul lindításával az A mátrix a 5.3. ábrán jlztt formában jlnik mg. Az itt kirajzolt ikonok mindgyik további parancsokat takar, mlyk 5.3. ábra Az A mátrix az A mátrix lső sorában Fladat mgoldása lérés a szokásos módon történik. Lénygs parancsok az A(5,) Matrials vagyis anyagjllmzők, A(5,) Physical Proprtis vagyis fizikai tulajdonságok továbbá a hálózást sgítő parancsok A Simulation / Modl Solution alkalmazás választásával jutunk a prmértékfladat mgoldását sgítő alkalmazásokhoz. Ez a modul végzi tulajdonképpn a végslms számítást, a korábbi lépsk során létrhozott végslms modlln. A számítás lindítása lőtt néhány bállítást l kll végzni, úgymint az rdményk tárolására alkalmas hly kijlölését, a mgoldás módját. Err szolgál a jln alkalmazásban a Solution St A(,) parancs. Itt állíthatjuk b mgoldás során szükségs idiglns tárolási hlyt, a mgoldás során alkalmazandó pontossági lvárásokat. A végslms fladat kapcsán lőállított lináris algbrai gynltrndszrt az I-DEAS alapvtőn kétfél a flhasználó által választható, gynltrndszr mgoldóval, pontosabban gy dirkt és gy itratív tchnikával képs mgoldani. A program dokumntációja szrint a dirkt mgoldó szint mindn jól flállított fladatot pontosan képs mgoldani, bár gy kicsit lassabban, mint az itratív tchnikával dolgozó alprogram Erdményk mgjlnítés Lhtőség van még a Modl Solution alkalmazás krtin blül is mgtkintni a kapott mgoldást, az A(6,) alatt található Visualisr sgítségévl, azonban az rdményk mélybb lmzés mgkívánja gy újabb alkalmazás a Simulation / Post Procssing kiválasztását. A mgjlnő A mátrix (lásd a 5.4. ábrán) bbn az stbn csak az rdményk kzlésénk mgfllő parancsokat tartalmazza. Az A(,) Rsults ikon a mgjlnítni kívánt rdmény kiválasztását sgíti. A flhasználó ttszés szrinti rdményskálát, színzési vagy fstési módot állíthat b. Akár lmnkénti rd-

121 4 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 5.4. ábra A A mátrix mény kirajzolást is lőírhat. A program képs arra, hogy a kiszámított rdménykt animálja, mly jlnthti a kialakuló végső alak lérésénk szmlélttését, vagy a fszültségállapot létrjöttét. A különböző rdményk gyüttsn különböző skálázással is mgtkinthtők, a flhasználói igényk szrint. Trmésztsn a program az rdményk kirajzolása során támogatja a különböző transzformációkat is. Figylmb kll azonban vnni, hogy a viszonylag sűrű végslm hálózat, illtv a túl sok csomópont a kirajzolást korlátozhatja.

122 6. C ÁLLVÁNY VIZSGÁLATA Szrszámgépállványok gy lhtségs kialakítási módját vizsgáljuk mg végslm módszr sgítségévl. Jln stbn a kétdimnziós végslmk gy típusának használatát kívánjuk áttkintni, annak érdkébn, hogy mghatározzuk a flvtt prmértékfladatnál kialakuló alakváltozást és fszültségmzőt. A numrikus vizsgálat lvégzéséhz az I-DEAS programrndszrt használjuk a D-s síkfszültségi modll lmzéséhz. A fladathoz tartozó gomtriai kialakítást a 6.. ábra szmléltti. 6.. ábra C állvány gomtriai adatai A szrkzt kialakítása hgsztéssl történik, mlynk a hatásait jln modllbn lhanyagoljuk. A szrszámgépállvány talajhoz való rögzítés csavarozással történik. A vizsgált fém krt vastagsága 5mm. Az anyagát jllmző paramétrk a 5 kövtkzők; rugalmassági modulus: E = 0 MPa, Poisson tényző: ν = 0.3.

123 6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A végslms számítások célja, hogy mghatározzuk a lgnagyobb trhléskor kialakuló lmozdulásmzőt, mlyből számítható a szrkztbn ébrdő fszültség loszlása is. Ennk mindn valóságos stbn gy mghatározott korlát alatt kll lnni. Így trvzéskor lőr lht tudni azt, hogy mly hlykn és hogyan kll stlgsn módosítani a szrkztt a kívánt fszültségi korlátok btartása miatt. Az I-DEAS használata során a kövtkző főbb lépéskt kll mgtnni a fladat végrhajtásához, mlykt a Simulation modulrészbn találunk mg: Gomtriai modll létrhozása: a Mastr Modlr sgítségévl történik. A prmértékfladat dfiniálása: a Boundary Conditions által. Végslmk létrhozása: a Mshing programrészbn. Fladat numrikus mgoldása: a Modl Solution alkalmazásban. Az rdményk értéklés: a Post Procssing programrésszl. A lépésk végrhajtási sorrndj kötött, azonban a végslms háló kialakítása és a prmfltétlk lőírása ttszőlgs sorrndbn történht. Trmésztsn, ha a gomtriai modlln hlyzzük l a prmfltétlkt thát az ott dfiniált élkhz, pontokhoz rndlünk kinmatikai vagy dinamikai prmfltétlkt akkor az I-DEAS rndszr zt átalakítja a végslm hálózat létrhozásakor oly módon, hogy a prmfltétlk gyértlműn a csomópontokhoz lgynk társítva. 6.. GEOMETRIA LÉTREHOZÁSA A 6.. ábrán vázolt szrkzt létrhozása a célunk az I-DEAS rndszrbn, mlyhz a Simulation modul Mastr Modl alkalmazását válasszuk ki, ahogy a 6.. ábra szmléltti. A program alapbállításait módosítani kll. Egyrészt az Options mnübn a Units parancsot válasszuk ki, és a kinyíló Popup mnübn a 6.. ábra Gomtria dfiniálása mm[nwton] lhtőségt jlöljük ki. Ezáltal a program a hosszúsági mérttkt mm-bn, az rőkt N-ban várja l, illtv az rdménykt is nnk mgfllőn mutatja. Másrészt át kll állítani a munkatrült mértét is. Ehhz válasszuk a Workplan Apparanc parancsot, mlyt a B(,3) ikongyűjtőbn találunk. A kinyíló dialógusablakban bállíthatóak a rajztrült jllmző X és Y mértk, ahogy a 6.3. ábra mutatja.

124 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra Rajztrült mértbállítása A C állvány külső kontúrjának létrhozásához a Polylins parancs az A(,) ikongyűjtőbn található. A mértk pontos bállításához a Modify Entity B(,) utasítás szükségs, mlyt a mért kiválasztása után kll lindítani. A mértk bállítása után mntsünk: Ctrl+S. Kövtkző lépésként a külső kontúr alapján létr kll hozni gy flülttt, mlyből a kitöréskt kll majd kivágni. A Surfac by Boundary A(5,) parancs a külső kontúr kijlölés után létrhozza a kívánt flültt. A kivágandó négyzt és kör kontúrok létrhozásához szükségs a Cntr Edg A(3,) körrajzoló és Polylin A(,) parancs. A mértk bállítása után válasszuk a Trim at Curv A(4,) utasítást, mly zn utóbb létrhozott kontúrokat vágja ki a korábban dfiniált flültből. Végül nvzzük l a létrhozott modllt, a Nam Parts B(4,) utasítással, pl. callvany-ra. Ezzl készn van a gomtriai modll, mlyt a továbbiakban használni fogunk a végslms modll létrhozásához. Milőtt tovább haladunk mntsünk: Ctrl+S. 6.. VÉGESELEMES MODELL Térjünk át a Simulation modul Mshing programrészb (lásd. a 6.4. ábrát). Létrhozunk gy végs-lm modllt a Crat FE Modl B(4,) utasítással. Az anyagjllmzők bállítása a Matrials A(5,) paranccsal lhtségs, ahol az új anyagtábla létrhozását kll lindítani. Ekkor jutunk a 6.5. ábra által bmutatott dialógus ablakokhoz, ahol bállítjuk a kívánt anyagjllmzőkt ábra Végslm hálózás Ezt kövtőn mgadjuk a D-s lmkhz tartozó fizikai jllmzőkt a Physical Proprty A(5,) parancs sgítségévl. Itt D-s Plan Strss táblázatot kll kitöltni, szm lőtt tartva, hogy a C állvány vastagsága 5 mm (lásd a 6.6. ábrát).

125 8 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 6.5. ábra Anyagtábla létrhozása Ezután létrhozzuk a végslm hálót, azaz dfiniáljuk a csomópontokat és a végslmkt. Ehhz a Crat Shll Msh A(,) parancs lindítása szükségs, mly hatására mgjlnik a 6.7. ábra által mutatott dialógus ablak ábra Fizikai jllmzők bállítása A végslm hálózat létrhozása bbn a fladatban a kövtkző paramétrk bállításával történt: Elmnt Lngth: 00, Elmnt Family: Plan Strss, Elmnt Typ 6 csomópontú háromszöglm. Továbbá kiválasztásra krült a már korában létrhozott anyag és fizikai jllmzők táblája.

126 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra Végslm háló létrhozása A létrhozott végslm hálózatot a 6.8. ábra szmléltti. A végslm modllről mostmár csak a prmfltéllk lőírása hiányzik. Ehhz át kll lépnünk a Simulation modul Boundary Conditions alkalmazásába. Milőtt azonban továbbhaladunk végzzünk gy mntést: Ctrl+S. A prmfltétlk közül lőször a 6.8. ábra Végslm hálózat kinmatikai prmfltétlkt adjuk mg, hhz válasszuk a Displacmnt Rstraint A(4,) utasítást. A rögzítni kívánt csomópontokat kijlölv és Don paranccsal lfogadva jutunk a 6.9. ábrán jlztt dialógusablakhoz. Itt kiválasztható, hogy milyn típusú mgfogásokat kívánunk alkalmazni az adott hlykn. Jln fladat kapcsán a C állvány bal oldalán Clamp míg jobb 6.9. ábra Kinmatikai prmfltétlk lőírása oldalán Slidr(X) típusú rögzítést adtunk mg. A dialógus ablak bzárásával a végslms hálón mgjlnnk a mgfogást jlző szimbólumok, ahogy zt a 6.8. ábra mutatja. A dinamikai prmfltétlk mgadása a Forc A(,) paranccsal történik. A csomópontok kijlölés majd lfogadása után mgadjuk az adott hlyn működő

127 0 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI trhlés nagyságát. Jln fladatban a lflé, illtv flflé működő rők rdőj is 50 kn. A továbblépés lőtt mntsünk: Ctrl+S A FELADAT MEGOLDÁSA A flállított prmértékfladat mgoldása a Simulation modul Modl Solution alkalmazás sgítségévl végzhtő l. Itt válasszuk a Solution St A(,) parancsot, mlylyl létrhozzuk a mgoldás tárolásához szükségs táblázatot. Ezzl rndljük hozzá a fladathoz a mgoldási 6.0. ábra Fladat mgoldás módszrt, kiválasztható a tárolni kívánt rdmény. Ha többfél prmfltétlt is dfiniáltunk akkor zk közül is z a dialógusablak lásd a 6.. ábraát ngdi mg a választást. Ezkt a táblázatokat a program mntés után ltárolja, és ha már krült bl mgoldás, akkor a prmfltétlk nm módosíthatók gy stlgs újabb futtatás miatt addig, amíg a táblázatokat nm töröljük. 6.. ábra Mgoldáshoz szükségs paramétrk bállítása A fladat mgoldását a Solv A(,) parancs indítja l. A számítási folyamatról a program az I-DEAS List ablakba üzn. Sikrs bfjzéskor a program a No warnings no rrors ncountrd in last run üzntt adja SZÁMÍTÁSI EREDMÉNYEK Az rdményk mgtkintéséséhz térjünk át a Simulation modul Post Procssing alkalmazásra. Ezn programrész számtalan sgédszközt ad a számítási rdményk lmzésér. A Rsults A(,) szolgál a mgjlnítni kívánt

128 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI rdmény kiválasztására, míg a Display Tmplat A(,) és Color Bar A(,) parancsok a kirajzolási paramétrk bállítását sgítik. A Display A(,) utasítással indítjuk l a kirajzolást. 6.. ábra Kiszámított lmozdulásmző abszolút érték 6.3. ábra Rdukált fszültségmző A program által kiszámított lmozdulás maximális érték 8.7 mm, míg maximális rdukált fszültség 93 MPa, ahogy zt a 6.. és 6.3. ábrák szmlélttik.

129 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

130 7. TENGELYSZIMMETRIKUS FELADAT ELEMZÉSE 7.. A PEREMÉRTÉKFELADAT Vizsgálatunk tárgya gy blsőnyomással trhlt, függőlgsn álló alumínium gázpalack. A szrkzt gomtriája és trhlés gyaránt tnglyszimmtrikus. Ebből kövtkzik, hogy a fllépő mchanikai jllmző mnnyiségk függtlnk a forgásszögtől. Azaz az rdtilg háromdimnziós fladat valójában kétdimnziósra rdukálódik. Ilyn stbn lgndő a fladat gytln mridián mtsztét vizsgálni. Ez ign nagypontosságú lmzést tsz lhtővé, hiszn gytln mtsztn ign sűrű flosztás vhtő fl rlatív kis ismrtlnszám mlltt. A tnglyszimmtrikus fladatokat az I-DEAS programrndszr a z forgástnglyű x-z koordinátarndszr lső és ngydik síkngydébn lhlyztt mridián mtsztén értlmzi. A szrkzt gomtriáját a jllmző mértk fltünttésévl a 7.. ábra szmléltti. A tartály gész mtsztét gytln zárt flültként dfiniáljuk. A tartományt 6 csomópontú, kvadratikus approximációt biztosító háromszög alakú lmkr osztjuk fl. A látszólag síkbli lmk - mchanikai szmpontból - a mtsztnk mgfllő gyűrű lmkt írnak l. A tartályt 3 mm falvastagságú alumínium lmzből készült. Az alumínium (AL_04) ötvözt linárisan rugalmas anyagjllmzői adottak: E=77000 MPa, v=0.33. A tartály blső falán 7 bar túlnyomást írunk lő. Az lvégzndő számítás után az rdményk közül mgtkinthtjük többk között az lmozdulást és a fszültségkt.

131 4 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7.. ábra A gázpalack gomtriai mérti 7.. A GEOMETRIA LÉTREHOZÁSA Az I-DEAS Opn GL ikonjára kattintva lindítjuk a programrndszrt, majd bírjuk a fladat nvét és kiválasztjuk a mgfllő alkalmazást és fladatot: Modl Fil nam: csocsat Application: Simulation Task: Mastr Modlr A kívánt dimnzió bállítása: Options/units/mm[nwton] Bállítjuk a munkatrült mértit és a rasztr sűrűségt: 7.. ábra Munkatrült paramétri

132 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 5 A munkatrültt át kll, hogy hlyzzük az x-z síkba. Ehhz lőször alkalmazzuk az A(,) Coordinat Systm, majd az A(,) alatti Sktch in Plac utasításokat az x-z sík kiválasztásával. Továbbá célszrű a C(3,) mnü pont alatt a Bottom Viw utasítást választani. Ekkor a z tngly függőlgsn flflé fog állni. Először célszrű a z-tngly mntén gy 500 mm hosszú sgédgynst mgrajzolni az A(,) Lin, A(4,) Dimnsion és a B(,)Modify parancsok sgítségévl. Ezn gyns végpontjai kijlölik a palackot lzáró gömbök, azaz a körök középpontjait. A A(3,) paranccsal két-két cntrikus kört hozunk létr a kijlölt középpontokban. Az gyik lgyn 300 mm átmérőjű a második 306 mm. Majd az A(,)Lin paranccsal rajzolunk gy vízszints és gy függőlgs gynst, amlyk átmnnk a körök középpontjain. Ezután képzzük a körök és gynsk mtszését az A(4,) alatti Divid At utasítással. A flslgs körívkt a B(4,)-l töröljük. A további gynskt és lkrkítést a 7.. ábra szrint az A(,) Lin, A(4,) Dimnsion, valamint az A(4,) Fillt és a B(,)Modify parancsok sgítségévl értlmszrűn mgrajzoljuk. A görbék mtszés után mgmaradt flslgs szakaszokat a B(4,)Dlt parancscsal töröljük. A prmgörbék gy gyszrsn összfüggő zárt flülttt határoznak mg, amlyt az A(5,) Surfac by Boundary utasítással hozunk létr. Az utasítás végrhajtása során, a határoló görbékt a választott körbjárás iránynak mgfllőn gymásután kiválasztjuk VÉGESELEMES HÁLÓZÁS A fladatok közül kiválasztjuk a Mshing mnüpontot, és létrhozzuk a végslms fladatot a B(4,)Crat FE Modla utasítással ábra Végslms flosztás dfiniálása Az A(,)Dfin Shll Msh utasítással a tartományt tnglyszimmtrikus háromszöglmkr osztjuk (lásd a 7.3 ábrát). Az átlagos lm mértét mm -r, az lm családot Axisymmtric Solid ra és az lm típusát 6

133 6 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI csomópontú háromszöglmr állítjuk. A mgtkintő ikonra kattintva mgszmlélhtjük és mgrősíthtjük a végslm-hálót. A palack anyagát A(5,)Matrial ikonjának mghívásával dfiniáljuk. Ekkor a 7.4. ábrán mgjlnő Matrials ablakban a flkínált acél anyagát átnvzzük AL04-r, majd a mlltt lévő módosító ikonra kattintunk és a mgfllő anyagjllmzőkt bállítjuk ábra Az anyag tulajdonságok dfiniálása 7.4. PEREMFELTÉTELEK ELŐÍRÁSA Áttérünk a Boundary Condition mnüpontra és a lináris szilárdsági prmértékfladatot az A(,)Linar Statics utasítással választjuk ki. A könnybb kzlhtőség érdkébn célszrű ltiltani a végslms háló mgjlnítését. Ezt a B(,3)Display Filtr utasítás alatt hajtjuk végr a Fm Display lőtti kapcsoló ürsr állításával. A szrkztt a palackhoz kapcsolódó szoknya alján támasztjuk mg. Az A(4,) Displacmnt Rstrain gombra kattintva és a mgfllő vonalszakaszt kiválasztása után a 7.5. ábrán látható ablak jlnik mg. A St All Fr utasítással lőször mindn szabadságfokot flszabadítunk, majd z irányban korlátozást írunk lő. A tartály blső falán 7 bar nyomáskülönbség hat. Az A(,) Forc parancs aktivizálása után a mgfllő vonalszakaszokat mgfogjuk és a 7.6. ábrán látható ablakban flkapcsoljuk az Intnsity mnüpontot, és az In Plan Forc adatmzőb MPa-ban kifjztt 0.7 nyomást írunk. Ezzl a prmérték fladat kitűzés bfjződött, a 7.7. ábrán láthatjuk a trhlést és mgfogást is tartalmazó szrkztt. Ezután a mgoldás aktivizálása kövtkzik.

134 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra A szrkzt mgtámasztásának lőírása 7.6. ábra Blsőnyomás mgadása 7.7. ábra A prmfltétlk mgjlnítés

135 8 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 7.5. A FELADAT MEGOLDÁSA A fladatok közül kiválasztjuk a Modl Solution mnüpontot. A fladatunkat lináris módszrrl oldjuk mg: A(,) Linar Hivatkozunk a kijlölt prmfltétlkr: A(,) Solution St [Crat] A mgoldó lindítása A(,) Solv 7.6. AZ EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE A fladatok közül kiválasztjuk a Post Procssing mnüpontot. Az rdményk mgtkintés során célszrű lrjtni nmcsak a végslmhálót hanm a szrkzti rajzokat is. A rajzok lrjtés: B(,) Display Filtr [ ]Wirfram [ ]Parts [ ]Assmbly [ ]Work Plan [ ]Modl viws Bordr [ ] FE Modl az lrjtést az objktumok lőtti mgjlölés mgszünttésévl érhtjük l. A szmlélttndő rdményk kiválasztása: Elmozdulás abszolút érték A(,) Rsults [-B.C.,DISPLACEMENT ] [Magnitud] [-B.C.,DISPLACEMENT ] A(,) Display Közép Billntyű Az lmozdulást 7.8. ábra mutatja. Rdukált fszültség A(,) Rsults [3-B.C.,STRESS ] [von Miss] [-B.C.,DISPLACEMENT ] A(,) Display Közép Billntyű A rdukált fszültségt a kinagyított szrkzti részkn a 7.9. ábra szmléltti. A többi fszültségi komponns és a főfszültségk hasonló módon mgjlníthtők és zzl a fladat tljs fszültségi analízis lvégzhtő.

136 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra Az lmozdulás abszolút érték [mm] 7.9. ábra Rdukált fszültség loszlása [MPa]

137 30 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

138 8. CSŐCSATLAKOZÁS VIZSGÁLATA 8.. A PEREMÉRTÉKFELADAT ISMERTETÉSE Egy-gy spciális sttől ltkintv a csövk csatlakozásait gyakran héjfladatként modllzhtjük. Itt gy blső nyomással trhlt két különböző átmérőjű csőből álló rndszr szilárdsági analízisét mutatjuk b. A 8.. ábrán gy 00 mm ámérőjű hajlított csőb gy 00 mm átmérőjű szintén hajlított cső csatlakozik. A kétfél cső gomtriája az alábbi módon van kialakítva. A nagyobbik 00 mm átmérőjű cső gyns szakaszának hossza 000 mm, amly gy 90 fokos könyökbn folytatódik. A könyök középvonalának sugara 500 mm. A kisbb 00 mm átmérőjű cső mrőlgsn csatlakozik a nagyobb átmérőjű csőb, úgy, hogy a tnglyik is mrőlgsn mtszik gymást. Az gyns szakasz a csövk áthatásánál kzdődik, a végpontja a középvonalak mtszésétől mérv 50 mm távolságra van. Ez a cső is 90 fokos könyökbn folytatódik, amlynk középvonala gy 50 mm sugarú körívt ír l. A könyök után a cső 500 mm hosszú gyns szakasszal rndlkzik. A 00 mm átmérőjű cső falvastagsága 0 mm, a 00 mm átmérőjűé 4 mm. A csövk anyaga acél. Az acél rugalmassági modulusa E= MPa, a Poisson tényző v=0.33. A csövk végi b vannak falazva, azaz az lmozdulási és a szöglfordulási koordináták gyaránt kötöttk. A csövkt 50 bar blsőnyomás trhli. A szrkzt mgrajzolása során két alkatrészt (Part-ot) hozunk létr gyikt a 00 mm átmérőjű cső alkotja, másikat a 00 mm átmérőjű. A két Part-ból gy összállítást (Assmbly-t) építünk fl és az áthatást, z utóbbin hajtjuk végr. A véglms fladatot is az Assmbly hz rndljük. A mgfllő héjvastagságot lőírjuk, és az lmhálózást létrhozzuk az összállításon. A szrkzt szabad prmin az lmozdulást és a szöglfordulást gyaránt mgakadályozzuk, a flültkn pdig a blsőnyomást írjuk lő. A kitűzött prmértékfladat mgoldása után az rdménykt szmlélttjük.

139 3 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 8.. ábra Egy 00mm és gy 00mm átmérőjű cső csatlakozása 8.. A GEOMETRIA FELÉPÍTÉSE Az I-DEAS Opn GL ikonjára kattintva lindítjuk a programrndszrt, majd bírjuk a fladat nvét és kiválasztjuk a mgfllő alkalmazást és fladatot: Modl Fil nam: csocsat Application: Simulation Task: Mastr Modlr A kívánt dimnzió bállítása: Options/units/mm[nwton] A munkasík kijlölés: B(,3) Workplan Apparnc [-500] [-500] [ 500] [ 500] 00 mm átmérőjű kör rajzolása és átmérőjénk pontosítása: A(3,) Cntr Edg B(,) Modify Entity [00] 000 mm hosszú hngr xtrudálása: A(5,) Extrud [000] Függőlgs sgédgyns rajzolása az rdti munkasíkon a kör középpontjától 500 mm távolságra lflé, valamint mérténk pontosítása: A(,) Lins/Egér jobb gomb/focus (kör

140 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 33 középpontját kiválasztjuk)/locat start/ Locat nd/ A(4,) Dimnsion [500] Egy vízszints sgédgyns (forgástngly) rajzolása A(,) Lins A csőkönyök létrhozása forgatással A(5,) Rvolv Angl [90] *Protrud A 00 mm átmérőjű cső Part lnvzés: B(4,) Nam Parts [D00] Függőlgs sgédgyns rajzolása az rdti munkasíkon a kör középpontjától 50 mm távolságra flflé, mérténk pontosítása: A(,) Lins/Egér jobb gomb/focus (kör középpontját kiválasztjuk)/locat start/ Locat nd A(4,) Dimnsion [50] Vízszints sgédgyns rajzolása A(,) Lins Sgédsík xtrudálása a mgrajzolt gyns sgítségévl: A(5,) Extrud [500] A munkasík áthlyzés a sgédsíkra: A(,) Sktch in plac A síkra mrőlgs nézt kiválasztása: C(3,) 00mm átmérőjű kör rajzolása az új munkasíkon A(3,) Cntr Edg B(,) Modify Entity [00] 50 mm hosszú hngr xtrudálása lflé: A(5,) Extrud *Nwpart [50] A 00 mm átmérőjű cső Part lnvzés: B(4,) Nam Parts [D00] A munkasík áthlyzés az xtrudált hngrt lzáró flültén: A(,) Sktch in plac Mrőlgs sgédgyns rajzolása az rdti munkasíkon a kör középpontjától 50 mm távolságra kiflé, azaz a 00 mm átmérőjű gyns csőr mrőlgsn, mérténk pontosítása: A(,) Lins/Egér jobb gomb/focus (kör középpontját kiválasztjuk)/locat start/ Locat nd A(4,) Dimnsion [50] Vízszints sgédgyns (forgástngly) rajzolása: A(,) Lins A csőkönyök létrhozása forgatással:

141 34 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A(5,) Rvolv Angl [90] *Protrud 500 m hosszú gyns csőszakasz rajzolása: A(5,) Extrud *Join [500] Az összszrlés fladat kiválasztása Mastr Assmbly Összszrlés: A(,) Hirarchy a(,) Nam/[Assmbly] a(,) Add to Assmnbly [D00, D00] Az áthatás végrhajtása: A(5,3) Join A(5,3) Cut 8.3. VÉGESELEMES HÁLÓZÁS A fladatok közül kiválasztjuk a Mshing mnüpontot. A végslms fladat létrhozása: B(4,) Crat FE Modl [Assmbly] [Part3] Hálózás átlagosan 5 mm mértű 6 csomópontú háromszög héjlmkkl: A(,) Dfin Shll Msh(flültk kiválasztása) [5] [Thin Shll] [6 csomópontú háromszöglm] [@@]mgtkintés/kp Msh Falvastagságok mgadása: A(7,) Surfac Thicknss [0] A(7,) Surfac Thicknss [4] 8.4. PEREMFELTÉTELEK ELŐÍRÁSA A fladatok közül kiválasztjuk a Boundary Condition mnüpontot. A hálózat lrjtés: B(,) Display Filtr [ ] FE Modl Bfalazás lőírása: A(4,) Displacmnt Rstraint [OK] 50 bar blső nyomás lőírása a csövkbn: A(,) Prssur (flültk kiválasztásával) [5]

142 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra A végslms háló 5 mm átlagos mértű 6 csomópontú háromszöglmkt tartalmaz 8.3. ábra A csövkbn 5 MPa blsőnyomást, a csővégkn bfalazást írunk lő

143 36 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 8.5. A FELADAT MEGOLDÁSA A fladatok közül kiválasztjuk a Modl Solution mnüpontot. A fladatunkat lináris módszrrl oldjuk mg: A(,) Linar Hivatkozunk a kijlölt prmfltétlkr: A(,) Solution St [Crat] A mgoldó lindítása A(,) Solv 8.6. AZ EREDMÉNYEK SZEMLÉLTETÉSE A fladatok közül kiválasztjuk a Post Procssing mnüpontot. Az rdményk mgtkintés során célszrű lrjtni nm csak a végslmhálót hanm a szrkzti rajzokat is. A rajzok lrjtés: B(,) Display Filtr [ ]Wirfram [ ]Parts [ ]Assmbly [ ]Work Plan [ ]Modl viws Bordr [ ] FE Modl az lrjtést az objktumok lőtti mgjlölés mgszünttésévl érhtjük l. A szmlélttndő rdményk kiválasztása: Elmozdulás abszolút érték A(,) Rsults [-B.C.,DISPLACEMENT ] [Magnitud] [-B.C.,DISPLACEMENT ] A(,) Display Közép Billntyű Rdukált fszültség A(,) Rsults [3-B.C.,STRESS ] [von Miss] [-B.C.,DISPLACEMENT ] A(,) Display Közép Billntyű A számítást célszrű mgismétlni sűrűbb flosztással is, azaz átlagosan 7.5 mm, valamint 3.75 mm mértű háromszög alakú lmkkl is. A vizsgálat célja, hogy mggyőződjünk arról, hogy a kapott fszültségcsúcsok vajon tartanak- gy képzltbli gzakt határértékhz?

144 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra Az lmozdulás abszolút érték mm-bn 8.5. ábra A rdukált fszültség loszlása MPa-ban

145 38 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

146 9. TÉRBELI FELADAT MODELLEZÉSE Ebbn a fjztbn térbli fladatok modllzésér mutatunk b példákat. Mgismrkdhtünk az I-DEAS programrndszrbn alkalmazható térbli lmtípusokkal és a térbli hálógnrálással. Egy fali konzolt fogunk modllzni, amlyt két csavarral rögzítünk a falhoz. Fltétlzzük, hogy két konzol flső flültér fkttünk gy polcot, amit 500 N rővl trhlünk. A konzolok és a trhlés szimmtrikus lrndzés stén mindkét konzol flső flültér 50 N rdőjű gynltsn mgoszló trhlés jut. A konzolok és a polc hlytt csak gytln konzolt modllzünk: lőállítjuk a gomtriát, mgadjuk a prmfltétlkt, lőállítjuk a térbli végslms hálót, lfuttatjuk a számítást, majd kiértékljük az rdménykt. 9.. A GEOMETRIA ELŐÁLLÍTÁSA 9.. ábra Mastr Modlr A fali konzol lőállításához az I-DEAS programrndszr Simulation moduljának Mastr Modlr alkalmazását válasszuk ki. Az Options/Units paranccsal állítsuk b az alkalmazott mértékgységkt millimétrr és Nwtonra. A konzol szlvényénk kontúrját a Polylins paranccsal hozzuk létr (A(, ) ikongyűjtő). Töröljük a flslgs mértkt a B(4, ) Dlt parancs sgítségévl, majd állítsuk lő a mérthálót (A(4, ) Dimnsion). Állítsuk b a kívánt mértkt a B(, ) Modify Entity paranccsal. A modllt a CTRL-A billntyűztkombinációval nagyíthatjuk látható mértűr. A lkrkítéskt az A(4, ) Fillt paranccsal (Trim/Extnd opció bkapcsolva) hozhatjuk létr. Extrudáljuk a kontúrt 30 mm-s vastagságúra (A(5, ) Extrud).

147 40 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9.. ábra Fali konzol szlvény A kövtkzőkbn létrhozzuk a furatokat a konzol falhoz csatlakozó flültén. Ehhz jlöljük ki a kérdéss flültt szrksztési síknak (A(, ) Sktch in plac). Rajzoljunk két kört a furatoknak (A(3, ) Cntr Edg), majd mértzzük b (Dimnsion, Modify Entity). Ezután kifúrjuk a furatokat (Extrud (Cut opció)) ábra A furatok kivágása

148 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI PEREMFELTÉTELEK MEGADÁSA A prmfltétlk mgadásához válasszuk a Boundary Conditions alkalmazást ábra Boundary Conditions Kinmatikai prmfltétlként kössük mg a furatok blső flülténk szabadságfokait (A(4, ) Displacmnt Rstraint). A dinamikai prmfltétl a konzol flső flültén lőírt normál irányú mgoszló trhlés (A(, ) Prssur, Total Forc: 50 N opció) ábra Kinmatikai prmfltétl

149 4 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9.6. ábra Dinamikai prmfltétl 9.7. ábra Prmfltétlk 9.3. VÉGESELEMES HÁLÓ GENERÁLÁSA A hálógnrálást a Mshing alkalmazásban találjuk. Térbli fladatokhoz négycsomópontú (lináris) vagy tízcsomópontú (kvadratikus) ttraédr lmt használhatunk. Az utóbbi alkalmazása kdvzőbb, mrt mgbízhatóbb mgoldást kapunk ábra Mshing

150 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 43 Gnráljunk hálót lőször 5 mm-s átlagos lmmértű négycsomópontú ttraédr lmkkl (A(, ) gyűjtő, Dfin Solid Msh). Anyagként általános izotrop acélt válasszunk (z az alapbállítás) ábra Térbli lmtípusok 9.0. ábra Hálógnrálás 9.. ábra Végslms háló 9.4. FELADAT MEGOLDÁSA, EREDMÉNYEK KIÉRTÉKELÉSE A Modl Solution alkalmazásban tudjuk a kitűzött fladatot mgoldani és a kapott rdménykt kiértéklni.

151 44 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9.. ábra Modl Solution Hozzunk létr gy új mgoldáshalmazt az rdményknk (A(, ) Solution St, Crat). Itt állíthatjuk b a mgoldás módjára vonatkozó paramétrkt is (dirkt vagy itratív mgoldás, stb.). A fladat mgoldását az A(, ) Manag Solv paranccsal indíthatjuk. A gnrált végslms háló a nagymértű lináris lmk miatt rosszul közlíti a görbült flültkt, és a mgoldás pontosságára is hatással van. Ezn lmk használata zért is krülndő. Err utal a figylmzttő üznt ábra A négycsomópontú térbli lmk használata krülndő Az rdénykt az A(6, ) Visualizr szközzl tkinthtjük mg. A fszültség gyntln képt mutat, ami a durva flosztásnak és a lináris lmk használatának tudható b ábra Lináris lmk használatából adódó gyntln fszültség

152 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI A HÁLÓ FINOMÍTÁSA A továbbiakban új, sűrűbb hálót gnrálunk tízcsomópontú kvadratikus lmkkl. Először thát töröljük a lgutóbbi mgoldást (Solution St, Solution St kijlölés, Dlt). A Mshing alkalmazás B(, 3) Display Filtr parancsával a mgjlnítés tulajdonságait úgy állítjuk b, hogy csak az lmk és a csomópontok látszódjanak (Parts lől a pipa törlés, FE Modls alatt csak a Nod és Elmnt lgyn kijlölv) ábra Az ntitások mgjlnítésénk tulajdonságai Ezután jlöljünk ki gy lmt, majd a jobbgombos mnüből válasszuk az All mnüpontot, zzl kijlölv az összs lmt. Ezután a B(4, ) Dlt FE Entitis parancssal töröljük az lmkt (a művltt mg kll rősítni). Hasonlóan, csak csomópontot kijlölv töröljük az összs csomópontot is. Ezzl töröltük a végslms hálót, d mgtartottuk a gomtriához kötött (d nm a csomópontokhoz és lmkhz kötött) prmfltétlkt. A Display Filtrbn állítsuk vissza a mgjlnítés tulajdonságait. Most a Dfin Solid Msh paranccsal 0 mm-s átlagos lmmérttl, kvadratikus lmkt használva hozzuk létr az új hálót. Az lőzőkbn lírt módon, a Modl Solution alkalmazásban oldjuk mg a fladatot, és indítsuk l a Visualizrt. A kapott fszültségloszlásból (Miss-fél rdukált fszültség) látható, hogy a flső furat prm a fszültséggyűjtő hly (kb. 50 MPa a maximális fszültség). Érdks még a lkrkíttt hajlat, ahol mgközlítőlg 30 MPa a fszültség. A maximális lmozdulás mm (a konzol végén).

153 46 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 9.6. ábra Kvadratikus lmk használatával kapott fszültségloszlás 9.7. ábra Elmozdulásmző A kövtkző fjztbn mgváltoztatjuk a konzol gomtriáját, hogy kdvzőbb fszültségloszlást kapjunk. A flosztást is sűrítjük a pontosabb mgoldás rményébn.

154 0. A LEKEREKÍTÉS HATÁSA Ezúttal az lőző fjztbn modllztt fali konzolban ébrdő fszültségloszlást próbáljuk mgváltoztatni gy nagyobb sugarú lkrkítés alkalmazásával. 0.. A GEOMETRIA MÓDOSÍTÁSA Az lőző fjztbn létrhozott modllből lőször töröljük a végslms modllt. Ehhz a Mastr Modlr alkalmazásban válasszuk a B(4, ) Manag Bins parancsot. A flnyíló párbszédablak Viw opcióját állítsuk FE Modlr. Jlöljük ki a korábban létrhozott végslms modllt, majd töröljük a Dlt parancssal. 0.. ábra Manag Bins párbszédablak A lkrkítés módosításához használjuk a B(, ) History Accss parancsot, és jlöljük ki az alkatrészt. Ennk hatására gy fastruktúrában láthatjuk az alkatrész történtét, vagyis a gomtria kialakításához flhasznált művltkt.

155 48 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 0.. ábra Az alkatrész történt A konzol szlvényénk xtrudálását a 0.. ábrán látható módon kijlölv nyomjuk mg a Wirfram gombot. Ennk hatására szrkszthtővé válik a szlvény. A B(, ) Modify Entity parancssal módosítsuk a konzol hajlatának lkrkítési sugarát 50 mm-r.

156 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra A módosított lkrkítési sugarú szlvény A módosítások érvényr juttatása a B(3, ) Complt Updat parancssal, és az alkatrész kijlölésévl történik. A furatok prminél kialakuló fszültséggyűjtő hlyknél alkalmazzunk,5 mm-s élltörést, a prmk kijlölésévl és az A(5, ) Chamfr (élltörés) parancs kiadásával. A módosított gomtria 0.4. ábrán látható ábra Az alkatrész a módosított lkrkítéssl és az élltöréskkl 0.. PEREMFELTÉTELEK A kinmatikai és dinamikai prmfltétlk mggyznk az lőző fjztbn alkalmazottakkal, vagyis a furatok blső flültén nm ngdünk mg lmozdulást, a konzol flső flültén pdig 50 N rdőjű mgoszló trhlést írunk lő. Az I- DEAS programrndszrbn a prmfltétlk mgadási módját az lőző fjzt példájánál ismrtttük (Boundary Conditions alkalmazás).

157 50 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 0.5. ábra A fali konzol prmfltétli 0.3. VÉGESELEMES HÁLÓ Az lőző fjztbn ismrtttt módon, 0 mm átlagos lmmértű végslms hálót gnrálunk tízcsomópontú térbli kvadratikus lmkkl (Mshing alkalmazás) ábra Végslms háló gnrálása kvadratikus térbli lmkkl

158 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI EREDMÉNYEK A számítás lvégzés után (Solution St, Manag Solv (Modl Solution alkalmazás)) a 0.7. ábrán látható fszültségloszlást kapjuk (Visualizr) ábra A módosított alkatrész fszültségloszlása A Miss-fél rdukált fszültség loszlása a hajlatban gynltsbb ltt, valamint a fszültség érték is alacsonyabb (kb. 0 MPa). A flső furat továbbra is fszültséggyűjtő hly, d az loszlás gynltsbb. A maximális lmozdulás 0,378 mm-r csökknt.

159 5 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI 0.8. ábra Elmozdulás a módosított modlln A számítást 5 mm-s átlagos lmmérttl mgismétlv a kövtkző fszültségloszlást és lmozdulást kapjuk. A fszültséggyűjtő hlyn a maximális rdukált fszültség tovább nő, d a többi rdmény mgbízhatóbbnak vhtő.

160 VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI ábra Fszültségloszlás 5 mm-s átlagos lmmértű háló stén 0.0. ábra A sűríttt hálóval kapott lmozdulások