pszeudoplasztikus folyadékra

Átírás

1 MISKOLI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Hőmérséklt loszlás vizsgálata pszudoplasztikus folyadékra sáti Zoltán II. évs gépészmérnök hallgató Konzulns: Vadászné dr. Bognár Gabrilla gytmi docns Gépészmérnöki és Informatikai Kar Miskolc,

2 Tartalomjgyzék. Bvztés Alapgynltk A prmérték-fladat gzakt mgoldása A mgoldások paramétrktől való függésénk vizsgálata Az anyagjllmzők mghatározása gy LDPE stén A számítások alkalmazása LDPE hőmérséklténk mghatározására Kövtkzttésk, célkitűzésk Irodalomjgyzék... 33

3 . Bvztés Ebbn a dolgozatban a viszkózus mlgdés hatását vizsgáljuk csőbn történő áramlásnál polimr oldatokban. A mozgás és nrgia gynsúlyi gynltink mgoldását gy végs hosszúságú hngrbn nmizotrmikus áramlás stén nyrjük. A vizsgálódás célja mghatározni az állandósult hőmérséklt loszlást a csőbn konkrét rológiai paramétrkkl. Az ipari gyakorlatban az lmúlt évkbn gyr nagyobb szrp van a nmntoni folyadékoknak, mint például a kolloidoknak, a szuszpnziós oldatoknak és a műanyag olvadékoknak. A nm-ntoni tulajdonság jllmzésér az Ostald-d Wal-fél hatványtörvényt alkalmazzuk alacsony sűrűségű politilén vizsgálatára. A viszkózus mlgdés jlntős szrpt játszik a csatornában áramló folyadék stén hőmérséklttől függő viszkozitású polimrkr és szilikát ömldékkr. A viszkózus súrlódás a hőmérséklt mlkdését okozza. A súrlódásból származó hőmérséklt növkdés mérés bonyolult vagy mg sm valósítható. A dolgozatban a viszkozitás hőmérséklttől való függésér a Nahm-fél xponnciális közlítést alkalmazzuk. A túl magas hőfok hatására az olvadt polimrk károsodhatnak. A hőmérsékltr érzékny anyagok stén z a jlnség súlyos gyártási problémákat okozhat. 3

4 A mozgás- és az nrgiagynltkhz flírjuk a prmfltétlkt és mghatározzuk az zkből a parciális diffrnciálgynltkből származtatott nmlináris közönségs diffrnciál-gynltrndszr gzakt mgoldását. A rológiai, gomtriai és nyomás értékk függvényébn a mgoldások tulajdonságait és számosságát lmzzük. Egy konkrét polimr olvadék stébn mutatjuk b számításainkat. A BRALEN 3-3 típusszámú alacsony sűrűségű politilén (LDPE) stén a rológiai paramétrkt mérési rdménykből határozzuk mg és zk ismrtébn szmlélttjük a csőbn kialakuló hőmérséklt loszlást. Vgyünk gy állandó sűrűségű, össznyomhatatlan, homogén folyadékot. Bár a viszkozitás hőmérséklttől való függését általánosan az A η η RT A (.) Arrhnius-fél törvénnyl szokás lírni, az gyszrűség kdvéért mi a Nahm-típusú xponnciális közlítést fogjuk használni a vizsgált hőmérséklt tartományában. Eszrint A( T T ) RT η η, (.) ahol T a hőmérséklt, A az aktiválási nrgia, R az univrzális gázállandó, η pdig a viszkozitás érték a T rfrncia hőmérsékltn, továbbá A η RT. η A 4

5 Bár az arrhniusi összfüggés tágabb hőmérséklt határokon blül alkalmazható, T T mint a Nahm-törvény, d a mi vizsgálatunknál << fltétl tljsülés miatt a T viszkozitás hőmérséklt függés az (.) formulával jól közlíthtő.. Alapgynltk A cső sugara lgyn R, hossza l, mlykr fltétlzzük, hogy R << l. A fal hőmérsékltét T -vl jlöljük és állandónak tétlzzük fl. A folyás tnglyirányú. A hngrkoordináta-rndszrt alkalmazva a sbsségnk csak a z-irányú komponns zérustól különböző, amikor z-vl jlöljük a cső tnglyét. Thát a sbsség komponnsi: v ϕ v r, vz vz(r), P P( z), T T ( r), ahol P a nyomást, T pdig a folyadék hőmérsékltét jlöli. A mozgásgynlt bbn az stbn a P v rη z z r r r, (.) gynltr gyszrűsíthtő (lásd [], [], [3]), míg az nrgiagynlt k T v r + η z (.) r r r r módon írható fl. A (.) gynltbn η a dinamikai viszkozitást, k a polimr hővztési tényzőjét jlöli [4]. A nyírófszültség és a dformáció sbsség közti: v τ z r η, r 5

6 összfüggésbn a folyadék nm-ntoni rológiai tulajdonságának lírására az Osald-d Wal törvény szrinti összfüggést alkalmazzuk: n v η η z, (.3) r ahol az η viszkozitására az (.) alakot tétlzzük fl és n pozitív állandó. Ha n<, akkor a folyadékot pszudoplasztikusnak nvzzük, ha n>, akkor dilatáló. Ntoni folyadékok stén n. Fltétlzzük, hogy a hatványtörvény konstansa n a hőmérséklttől nm függ. A (.3)-ban szrplő η és n anyagjllmzők. Fltétlzzük továbbá azt is, hogy k és a folyadék sűrűség ρ nm változik a nyomással és a hőmérséklttl. A (.) mozgásgynltbn thát az (.) és (.3) összfüggéskt alkalmazva dp dz n d dv dv rη z z dr, r dr dr A( T T ) n dp d RT dv rη z (.4) dz r dr dr adódik, a (.) nrgiagynlt pdig n k d dt dv dv r + η z z, r dr dr dr dr 6

7 k r d dr dt r + η dr A(T T ) RT n+ dvz dr (.5) alakba írható. Mgvizsgáljuk a (.4) és (.5) diffrnciálgynlt-rndszrhz járuló prmfltétlkt. A fal hőmérséklt z l stén állandó, zért a T -r vonatkozó prmfltétl: T ( r R ) T. A sbsségt illtőn csúszásmnts prmfltétlt alkalmazunk. Mivl a cső nyugalomban van, így a fal mntén az áramló folyadék sbsség is, zért v z ( r R ). A csőbn kialakuló áramlás stén mind a hőmérséklt, mind a sbsség tnglyszimmtrikus, thát ( ) v ' z, valamint T '(). A (.4) mozgásgynltt z szrint -tól l-ig intgrálva a 7

8 A( T T ) Pl P RT r η l d dr n dv r z dr másodrndű nmlináris diffrnciálgynlthz jutunk, amlyt átrndzés után r szrint intgrálva a dv z sbsség driváltra kapjuk a kövtkzőkt dr Pl P lη r A( T T ) n RT dv r z, dr azaz dv z dr A( T T ) nrt Pl P n r n l. (.6) η Vzssük b a T hőmérséklt és az r hlyváltozó hlytt a és változókat a kövtkzőképpn: A T T és nr T r R, r R,. Az új változókkal a (.6) gynlt dv z α n (.7) dr 8

9 9 alakba írható, ahol az α konstansra n l R l P P η α. Figylmb vév, hogy dt nrt A d és dr R d a (.7)-t a (.5) nrgiagynltb bhlyttsítv n n n knrt AR d d d d α η. (.8) Vzssük b a + n knrt AR α η jlölést. Figylmb vév az adatokat konstansra adódik. Az α értékét bhlyttsítv -ra a kövtkző összfüggést kapjuk: n n n l R l P P knrt AR + η. A függvényr mgoldandó másodrndű nmlináris diffrnciálgynlt thát (.8)- ból az alábbi alakba írható:

10 n+ d d + + n d d. (.9) A (.9) diffrnciálgynlthz tartozó prmfltétlk: '(), (.) ( ), (.) A T ahol T. nr T A kövtkző fjztbn a (.9)-(.) prmérték-fladat mgoldását adjuk mg zárt alakban. 3. A prmérték-fladat gzakt mgoldása A (.9) gynlt gy közönségs másodrndű nmlináris diffrnciálgynlt. A diffrnciálgynltbn alkalmazzuk a függtln változóra a hlyttsítést, thát d d d d.

11 Vzssük b kkor a ( ) ( ) függvényt, amlyr d d, d d d d d d +. d d A (.9) diffrnciálgynlt a fnti hlyttsítéssl d + d d d n d d alakba írható, amly gyszrűsítés után a kövtkző lsz: 3 d n d. (3.) Vzssük b az y( ) ( ) jlölést. n Ekkor (3.)-ből y-ra gy közönségs hiányos másodrndű nmlináris diffrnciálgynltt kapunk: d y y +. (3.) d

12 Alkalmazva az y ' v( y) hlyttsítést a (3.) diffrnciálgynlt hlytt a y vv' + közönségs lsőrndű, változóiban szétválasztható típusú diffrnciálgynltt nyrjük. Szétválasztva a változókat, intgrálva és visszatérv a, y változókra d dy, (3.3) y amlyt intgrálunk a t y hlyttsítéssl: dt. t d Résztörtkr bontás után intgrálva és t-ről visszatérv az y változóra: y ln y + K, ahol és K intgrálási állandók. Thát a (3.3) diffrnciálgynlt általános mgoldása: y ln y + + K, ahol >. (3.4)

13 3 Fltsszük, hogy y < <, zért a logaritmus függvény értlmzés miatt (3.4) hlytt a K ln + + y y összfüggéshz jutunk. Ebből kifjzzük y -t K ) ( K ) ( y, ahonnan n y összfüggést alkalmazva 3 + K n K. Visszatérünk a, változókról a, változókra ( és ) ( ) ( ), thát a (.9) másodrndű nmlináris diffrnciálgynlt általános mgoldása K n K (3.5)

14 alakban írható fl. Kiválasztjuk (3.5)-ből a (.)-(.) prmfltétlknk lgt tvő partikuláris mgoldást. Annak érdkébn, hogy a hőmérséklt értékét a cső középvonalában mghatározzuk, vgyük a (.)-(.) prmfltétlk hlytt az alábbi kzdti fltétlkt: '() és ( ) a, ahol < a, és a a (.) prmfltétlnk mgfllő érték, amly gylőr ismrtln. A ( ) a fltétl csak abban az stbn tljsíthtő, ha a (3.5)-bli kifjzés kitvőj nulla. Thát 3 + n 3 +, azaz n 3 +. n A ( ) a kzdti fltétl tljsüléskor (3.5)-ből K a, thát K a. (3.6) 4

15 5 A ) ( -t prmfltétlhz tartozó a ) ( kzdti fltétlből (3.6)-tal összfüggést kapunk és a között az + K K összfüggéssl, zért a a n, (3.7) ahol n és állandók. A (3.7) gynltből ),, a ( a n értékénk mghatározásához másodfokú gynltr jutunk: + + a a. (3.8) A (3.8) másodfokú gynltnk két mgoldása van > stén ± a ln,, (3.9)

16 ahol 3 +, és paramétrk. n A (3.8) gynlt diszkriminánsa alapján állapíthatjuk mg a (.9-) nmlináris prmérték-fladat mgoldhatóságára az alábbiakat: ha >, akkor nincs mgoldás, ha, akkor pontosan gy mgoldás van, ha <, akkor két különböző mgoldás létzik. 4. A mgoldások paramétrktől való függésénk vizsgálata Ebbn a fjztbn mgvizsgáljuk a -nak a, n és paramétrktől függő változását. Először rögzítsük állandónak a paramétrk közül -t. Ábrázoljuk -t a függvényként különböző n értékk mlltt! Matlab 7.5. sgítségévl ábrázoljuk -t rögzíttt, n,;,6; ;,4 paramétrk stén. 6

17 . ábra: a grafikonjai és n,;,6; ;,4 paramétrk stén Az. ábra alapján látható, hogy n növkdésévl a görbéjénk maximuma csökkn. Lgyn most n, és szmléltti. Az. ábra alapján látható, hogy csökkn. ; ; ; 5. Ekkor a ( a ) függvénykt a. ábra növkdésévl a görbéjénk maximuma Ha -t és függvényébn szmlélttjük, akkor a 3. ábrabli flültt nyrjük. a Ez az ábra -t mint kétváltozós függvényt az n stbn mutatja. 7

18 . ábra: a grafikonjai n és ; ; ; 5 paramétrk stén 3. ábra: ( a, ) függvény n paramétr stén 8

19 5. Az anyagjllmzők mghatározása gy LDPE stén Számításainkat gy konkrét polimr olvadék stébn mutatjuk b. A vizsgált polimr a Slovnaft Ptrochmicals s.r.o. által Pozsonyban gyártott alacsony sűrűségű politilén (LDPE), mlynk típusa BRALEN RB 3-3 [6]. Mivl a gyártó cég az anyagra vonatkozó rológiai paramétrkt nm adja mg, zért a számításokhoz szükségs adatokat a Borsodhm Zrt laboratóriumában lvégztt méréskkl határoztuk mg. A vizsgált LDPE-t a mindnnapi gyakorlatban széls körbn használják,7-,5 mm vastagságú fóliák gyártására. A számításainkhoz szükségs lsz az n hatványkitvőr, az A aktiválási nrgiára és a T rfrncia hőmérsékltn az η viszkozitás értékér. A méréskt Göttfrt -as xtruziométrrl határoztuk mg :4 csavararányt alkalmazva. A csiga átmérőj mm, D L pdig, és mm átmérőjű, 3 mm hosszú acél düznit hlyztünk b. Az olvasztási hőmérsékltt és nyomást három ponton mérjük a düznit tartalmazó szrszámban. A hőmérséklt mérési hibájának minimalizálása érdkébn a sznzorokat gy alacsony hőkonduktivitású hngrb izoláltuk. sak azokat az értékkt használtuk fl a düzni lőtt lévő sznzornál, amlyk lgalább D-r vannak lhlyzv. Mértük az m& tömgáramot, az gy prc alatt xtrudált rudacskák tömgénk súlyát. Az acél hőmérsékltét 6, 7, 8 -ra állítottuk b, zkn a hőmérsékltkn végztük l az xtrúziót. A blső súrlódási hő miatt ϑ, azaz az anyag o -ban mért hőmérséklt mindig magasabb volt, mint a bállított érték. Öt különböző csavar sbsségt állítottunk b mind a három hőmérsékltr. A mért adatokat az. táblázat tartalmazza. 9

20 n m& o 6 7 o 8 o ford/prc g/min p 3 ϑ p 3 ϑ p 3 ϑ bar bar bar 6 8 6, 73, , ,7 4, 73,7 4,5 5 84, , ,3 3 84,8 8 4, , 45 74, , ,6 3, , ,3. táblázat 4. ábra 5. ábra

21 A 4. ábrán a nyomást a tömgáram függvényként ábrázoltuk 6 -on. A nyomás logaritmusát a tömgáram logaritmusának függvényébn szmlélttő 5. ábra ugyancsak 6 -on azt mutatja, hogy a logaritmikus értékk közötti összfüggés gynssl jól közlíthtő. A számítások alapján a közlítő gynsk gynlti: 6 o -on ln p 3 4,36 +,4776 ln m& 7 o -on ln p 3 4,39 +,6555 ln m& 8 o -on ln p 3 4,66 +,6694 ln m&. Mgállapíthatjuk, hogy az gyns mrdkség az n hatványkitvőt adja mg. A kapott értékk azt mutatják, hogy az n kitvő is valójában hőmérsékltfüggő. Egyszrűség kdvéért mi konstansnak vsszük az n,6 átlagértékkl. A méréssl mghatározott sűrűség g ρ 9 cm 3 gyártó Slovnaft cég által katalógusban mgadott állandó nyomáson mért fajhő 6 o on a DS méréssl, amly jó gyzést mutat a g ρ 99 értékkl [6]. A c p cm 3 c p,8 kj kgk értékkl adódott. Ez jól mggyzik az [5] irodalombli c p kj,3 értékkl. kgk A mért adatokból számítottuk a Rabinoitsch formulával [4] a dformációsbsségt dv z dr

22 dv z dr 3n + m& n πr 3, ρ és a τ csúsztatófszültségt: A dinamikai viszkozitást az r p τ 3. l η τ dv z dr dv alapján határozzuk mg. A kiszámított áramlási jllmzőkt ( z, τ, η ) a -4. dr táblázatokban összgztük a vizsgált három hőmérsékltn, továbbá a ϑ mért adatokból számított / T /( ϑ + 73, 5 ) [/K] értékkt. dv z / dr τ (6) η (6) ϑ (6) /Τ (6) 36, ,7 6,, , , 6,7,943 75, ,8 63,5,9 967, ,5 64,,8645 3, ,45 64,6,8436. táblázat: Folyási jllmzők 6 -on dv z / dr τ (7) η (7) ϑ (7) /Τ (7) 36, ,7 73,4, , ,6 73,7, , ,8 74,3, , , 74,5, ,53 664,4 75,3, táblázat: Folyási jllmzők 7 -on

23 dv z / dr τ (8) η (8) ϑ (8) /Τ (8) 36, ,8 83,6, , ,4 84,5,853 75, ,6 84,8, , ,6 85,,87 43, ,8 85,3,8 4. táblázat: Folyási jllmzők 8 -on 6. ábra A 6. ábrán a csúsztatófszültségt a dformációsbsség függvényként ábrázoltuk 6 -on folytonos vonallal, 7 -on szaggatott vonallal, 8 -on pontvonallal. 7. ábra 3

24 A 7. ábra a dinamikai viszkozitást a dformációsbsség függvényébn szmléltti a három vizsgált hőmérsékltn. 8. ábra A 8. ábrán a 6 -os acél hőmérsékltéhz tartozó, a mérési pontokat hatványfüggvénnyl jól közlítő görbékből dv z,τ dr, dv z,η dr függvényk láthatók. A közlítő dv z,η dr függvényr a kövtkző közlítéskt kapjuk: 6 o 7 o 8 o η η dv 477 z dr dv 3968 z dr dv z dr η. 4

25 9. ábra A 9. ábrán a nyomás logaritmusát ábrázoltuk az / T hőmérséklt függvényként különböző csiga fordulatszámok (, 4, 8, fordulat/prc) stén. Az ábrázolt grafikonokat a düzni lőtti hőmérsékltr szmlélttjük. Mivl a kifolyó tömgáram majdnm függtln a hőmérséklttől, csak a csiga sbsségétől függ, zért a nyomást alkalmazhatjuk az aktiválási nrgia kiszámítására. A 9. ábra a nyomás logaritmusának a hőmérséklt rciprokától való függését mutatja, azaz látható, hogy jól közlíthtő az (.) Arrhnius-törvénnyl. A lináris közlítésk a kövtkzők: n ln p T [ kj / mol ] n 4 ln p T [ kj / mol ] n 8 ln p T [ kj / mol ] n ln p T [ kj / mol ], ahonnan a további számításokhoz a 9. ábrabli gynsk mrdkségénk átlagára az kj,333 értékt használjuk. Thát a számított aktiválási nrgia A,8. mol 5

26 A. ábrán a düznit mutatjuk b, a -. ábrák az xtruziométrről készültk.. ábra: Düzni.ábra: Extruziométr.ábra: Extruziométr 6

27 6. A számítások alkalmazása LDPE hőmérséklténk mghatározására Az lőző fjztbli mérési rdménykt flhasználva a 3. fjztbn lőállított mgoldások alapján kiszámítjuk a értékét és mghatározzuk a hőmérséklt loszlását a mért LDPE stén. Összfoglalva a gomtriai és mérési adatokat R mm l 3 mm J R 8,34 mol K n,6 A,8 k,45 kj mol W mk η 477 Pa s g ρ 9 cm 3 6 -on: Ha a cső falának hőmérsékltét választjuk rfrncia hőmérsékltnk, azaz, akkor a fnti adatokból a (3.9) képlt alapján a, a értékir az 5. táblázatban összfoglalt adatok számíthatók ki a különböző csiga fordulatszámokon. Ezkből az adatokból a cső középvonalában a polimr olvadék hőmérsékltér T és T mghatározható. 7

28 n [ford/prc] [-] a [-] a [-] T T [K] [K] 3,39 6,7946,68 686,59 437,87 4 7,49 4,8887,86 67,3 44,58 6,747 3,836, ,34 448,47 8 7,34,89,56 54,55 458,5 5. táblázat: Számított adatok az gys fordulatszámok mlltt 6 -on n [ford/prc] [-] a [-] a [-] T T [K] [K],5455 7,558,567 74,93 448,76 4 6,55 5,36, ,38 45,55 6,855 4,48,87 64,66 458,66 8 5,3336 3,596,464 57,7 465,69 6. táblázat: Számított adatok az gys fordulatszámok mlltt 7 -on n [ford/prc] [-] a [-] a [-] T T [K] [K],79 7,383,55 757,4 458,8 4 6,35 5,36,58 67,4 463,85 6,493 3,8889,388 67,6 47,58 8 3,786 3,4399, ,8 474,4 7. táblázat: Számított adatok az gys fordulatszámok mlltt 8 -on Az 5-7. táblázatok a számított adatokat összsítik 6, 7, 8 -on. A táblázatokból mgállapítható, hogy mindn stbn a számolásunk alapján két hőmérséklt érték adódik, mivl a < 8

29 fltétl mindig tljsül a mért adatokra, hiszn 3, Látható, hogy T jlntősn nagyobb, mint T. Fltsszük, hogy a valóságban a kisbb hőmérséklt valósul mg, amly nagyobb fordulatszámon így is jlntős hőmérsékltmlkdést jlz. A (3.5) összfüggés alapján ábrázoltuk a loszlását a függvényébn a [, ] intrvallumon. A 3-5. ábrák a (.9)-(.) prmérték-fladat mgoldásait szmlélttik stén. 3. ábra: ( ) függvény 6 -on 9

30 4. ábra: ( ) függvény 7 -on 5. ábra: ( ) függvény 8 -on 3

31 A számításokból látható, hogy a külső hőmérséklt növlésévl gyr kisbb a maximális érték a cső középvonalában, azaz a hlyn gy adott fordulatszámon. Az ábrákból mgállapítható, hogy a hőmérsékltk jlntősn mgmlkdnk a cső középvonalában, és z a növkmény mintgy -5 közé sik 8 ford/prc csigafordulatszámon. 3

32 7. Kövtkzttésk, célkitűzésk A dolgozatban viszkózus folyadék lamináris áramlásakor fllépő hőfjlődést vizsgáltam kör krsztmtsztű gyns csőbn. A jlnség nmlináris parciális diffrnciálgynlt-rndszrrl modllzhtő. Végs hosszúságú hngrbn állandósult nm-ntoni folyadékban létrjövő viszkózus hőfjlődést vizsgáltam. A folyamatot líró prmérték-fladat mgoldása során a folyadék hőmérséklt loszlását nm-ntoni hatványfüggvényt fltétlző modllr határoztam mg. A hőmérsékltfüggő viszkozitás hatását vizsgáltam. Bmutatom a BRALEN RB 3-3 típusú alacsony sűrűségű politilén alapanyag rológiai paramétrink kísérlti mghatározását és a mért értékk ismrtébn a matmatikai modllből mghatároztam az anyagban létrjövő hőfjlődést és a mgoldások loszlását grafikonokkal szmléltttm. Vizsgáltam a matmatikai modll gzakt mgoldásainak számát a paramétrktől függőn és bmutattam, hogy hogyan hatnak gymásra az gys paramétrk értékink változtatásai. A vizsgált LDPE-r mért adatok alapján a cső tnglyébn két hőmérséklt érték adódott. A valóságban valószínűlg a kisbb hőmérséklt lép fl. élom, hogy kalorimétrs méréssl a hőmnnyiségt mghatározzam a vizsgált három hőmérséklt stén és összhasonlítsam a számított mgoldással. Ily módon igazolható, hogy mlyik hőmérséklt valósul mg a két érték közül. 3

33 8. Irodalomjgyzék [] R.B. Bird, R.. Armstrong, O. Hassagr, Dynamics of Polymric Liquids, Vol., Fluid Dynamics, Wily, N York, 987. [] H. Schlichting, K. Grstn, Boundary Layr Thory, Springr-Vrlag Brlin Hidlbrg,. [3] W.R. Schoaltr, Mchanics of Non-Ntonian fluids, Prgamon Prss, Oxford, 978. [4] J. M. McKlvy, Polimrk fldolgozása, Műszaki Könyvkiadó, Budapst, 966 [5] F. Rodriguz, Principls of Polymr Systms, nd d., McGra-Hill, 987. p.536. ISBN-7-Y6654- [6] {.. 5.} 33