y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,"

Átírás

1 SZÉCHENYI ISVÁN EGYEEM ALKALMAZO MECHANIKA ANSZÉK MECHANIKA-REZGÉSAN GYAKORLA (kdolgota: Fehér Lajos, eg ts; ara Gábor, mérök taár; Molár Zoltá, eg adj) Komle meségek, Mátr- és Vektoralgebra, Dfferecálegeletek Komle meségek tulajdosága, művelete Komle meség komle sám komle vektor a) Komle meség algebra alakja:, - a komle sám valós (reáls) rése, - a komle sám kéetes (magárus) rése, - a kéetes (magárus) egségvektor A kéetes egségvektor tulajdosága: -, absolút értéke eg, -, ömagával vett sorata míus eg o A komle sám -vel törtéő sorása a vektor 9 -os elforgatását eredmée a óramutató forgásával elletétes rába: ( ) b) Komle meség trgoometrkus alakja: r(cos s ), r - a komle sám absolút értéke (agsága), - a komle sám tegellel beárt söge, r Re( ) r cos - a komle sám valós r s (reáls) rése, r cos Im( ) r s - a komle sám kéetes (magárus) rése c) Komle meség eoecáls alakja: r e, ahol e,788 a termésetes sám és r a komle sám absolút értéke (agsága) Megjegés: - A eoecáls alak a e e függvé sorfejtésével veethető be - A trgoometrkus és a eoecáls alak egbevetéséből követkek, hog a komle meség a tegellel söget beáró komle egségvektor: e e _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

2 d) Komle meség absolút értéke: r cos s r A absolút érték tulajdosága:, - -, - a esetbe e) Komle meség kojugáltja: A r(cos s ) re komle sám kojugáltja: r(cos s ) re Műveletek a kojugálttal: - ( ) ( ), - ( ) ( ), - ( )( ) r, ( ) ( ) ( ) ( ), - - f) Komle meségek sorása: - Sorás algebra alak eseté: ( a b )( a b ) aa bb ( ab ab ) - Sorás trgoometrkus alak eseté: r (cos s ) r (cos s ) r r cos( ) s( ) - Sorás eoecáls alak eseté: ( ) r r e e r r e Megjegés: - A e, e ( ) és e a tegellel, és ( ) söget beáró ( ) egségvektorok: e e e - A sorás komle eredmévektora a komle vektorho kéest söggel el va forgatva a óramutató járásával elletétes rába g) Komle meségek ostása: - Ostás algebra alak eseté: ( a b ) a b ( a b ) ( a b ) ( a b ) a ( a b ) b ( a b ) aa bb ba ba a b a b a b a b - Ostás trgoometrkus alak eseté: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

3 r (cos s ) r cos( ) s( ) r (cos s ) r - Ostás eoecáls alak eseté: r e r ( ) e r e r Megjegés: - A e, e ( ) és e a tegellel, és ( ) söget beáró ( ) egségvektorok: e e e - A ostás / komle eredmévektora a komle vektorho kéest söggel el va forgatva a óramutató járásával megegeő rába h) Komle meségek sög sert dfferecálása: - Dfferecálás eoecáls alak eseté: d d d( r e ) d r e d d A sög sert dfferecálás a o komle meséget 9 -kal elforgatja a óramutató járásával elletétes rába - Dfferecálás trgoometrkus alak eseté: d d r(cos s ) r( s cos ) d d Herbolkus és a Krülov függvéek a) A eoecáls függvé: Értelmeése: e lm! Kejtés: egelő é ad A faktoráls ( faktoráls):! A termésetes sám: e e e lm,788! e _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

4 b) A herbolkus függvéek: Értelmeések: e e sh Kejtés: egelő sus herbolkus e e ch Kejtés: egelő kosus herbolkus ch sh c) A Krülov-függvéek: Értelmeés: a Krülov függvéeket herbolkus és trgoometrkus függvéek leárs kombácója solgáltatja: S( k) ch k cos k ahol k valós álladó ( k) sh k s k,, U( k) ch k cos k V ( k) sh k s k,, A függvéek sert első derváltja: ds k sh k s k kv ( k ) d, d k ch k cos k ks ( k ) d, du sh k s k k ( k ) d, dv ch k cos k ku ( k ) d A függvéek másodk és harmadk derváltja: d S k U ( k) d, d du dv k V ( k), ( ) k S k, k ( k) d d d ds k ( k) d, d k U ( k) d, du dv ( ) k V k, k S( k) d d a) Mátr értelmeése, jelölése: Mátralgebra össefoglaló Mátr: Skalárs meségekek, sámokak megadott sabál sert tábláatba redeett halmaa Mátr jelölése: a a a A a a a A mátrokat kétser aláhúott betűvel, a mátrok elemet (koordátát) alsó dees betűvel jelöljük Pl Aa, és a, a stb A a mátrelem a A mátr első sorába és harmadk osloába áll Mátr mérete: Például a fet ()-as méretű A mátrak két sora és három osloa va _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

5 A a mátr elem jelölés kejtése (kolvasása): á eg három a Oslomátr: a a, sormátr: a a a a a A oslomátrak eg osloa, a sormátrak eg sora va A sormátr ugaaak a oslomátrak a trasoáltja A sormátrot a mátr betűjeléek felső deébe írt betű jelöl b) Mátrműveletek: A műveleteket ( ) -es, ()-es és ()-es mátrokra mutatjuk be - Mátr trasoáltja (tükröés a főátlóra): A mátr főátlóját a aoos deű elemek alkotják a a a a A A a a a a ( ) ( ) A trasoálás művelet jele: (a mátr felső deébe) A trasoálás oslomátrból sormátrot, sormátrból edg oslomátrot ho létre A A jelölés kejtése (kolvasása): á trasoált - Mátrok össeadása, kvoása: Csak aoos méretű mátrok adhatók össe, vohatók k egmásból A B C, a a b b ( a b ) ( a b ) c c a a b b ( ab) ( ab) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátrsorás (sor-oslo kombácó): Csak ola mátrok sorohatók össe, amelek teljesítk at a feltételt, hog a első sorótéeő osloaak sáma megegek a másodk sorótéeő soraak sámával A B C, a a b b ( a b a b ) ( a b a b ) a a b b ( a ba b) ( a ba b) ( ) ( ) ( ) A b c, a a b ( a b a b ) c a a b ( a b a b ) c a () () () () B d, b b a a ( a b a b) ( a ba b) d d b b ( ) ( ) ( ) ( ) _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 5/7

6 c) Külöleges mátrok: - Egségmátr: E ulajdosága: E A A E A A egségmátr a főátlójába -es koordátákat, a főátlójá kívül elemeket tartalma A egségmátrsal törtéő sorás em váltotatja meg a megsorott mátrot - Iver mátr (recrok mátr): A A A A E A A mátr a A mátr vere, vag recroka Csak égetes mátrak létek vere (recroka) abba a esetbe, ha a A mátr elemeből kéeett determás em ulla - Smmetrkus mátr: A A A mátr eleme megegeek a főátlóra vett tükörkéükkel Például A 9 smmetrkus mátr - Ferdesmmetrkus mátr: A A A mátr bármelk eleme megegek a főátlóra vett tükörkééek míus egseresével Ebből a követkek, hog a főátlóba csak érus elemek lehetek Például A ferdesmmetrkus mátr - Iver mátr (recrok mátr): A A A A A A E mátr a A mátr vere, vag más éve recroka Csak égetes mátrak létek vere (recroka) abba a esetbe, ha a A mátr elemeből kéeett determás em ulla adj a j A j A ver mátr ksámítása: A a j det a det A j Mátr sajátértéke és sajátvektora - A sajátérték feladat ktűése: Létek-e ola oslomátr, amellel a A égetes mátrot megsorova, a oslomátr valahásorosát kajuk: A, ahol a skalárs meség? Ha létek le oslomátr, akkor et a A égetes mátr sajátvektoráak, a skalárs meséget edg a A mátr sajátértékéek eveük - A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását eg ()-es mátro mutatjuk be A előő egeletet résletese kírva és bal oldalra redeve: a a a a a a, a a, és a sorásokat elvégeve, a, smeretlere homogé leárs algebra egeletredsert kauk: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 6/7

7 ( a ) a, a ( a ) A egeletredser emtrváls (ullától külöböő) megoldásáak feltétele a, hog a redser mátrából kéeett determásak el kell tűe: ( a ) a a ( a ) A determást kfejtve kajuk a karakterstkus egeletet: ( a a ) ( aa a a) A karakterstkus egelet megoldása a mátr sajátértéke: ( a a) ( a a) aa, A homogé leárs algebra egeletredserek csak és eseté va emtrváls megoldása A mátr sajátértéket övekvő sorredbe sokás sorsámo Ha a eges (=,) sajátértékeket behelettesítjük a homogé leárs algebra egeletredserbe, akkor a egeletredser megoldható a, smeretlere: ( a ) a, a ( a ) A (=,) sajátértékek behelettesítése eseté aoba a egeletredser egelete egmástól em leársa függetleek, eért a egk egeletet el lehet hag és a másk egeletből csak a /, vag / (=,) háados határoható meg A és értékét akkor kajuk meg egértelműe, ha a megköveteljük, hog egségvektorok legeek:, =, sajátvektoroktól Vektorok skalárs sorata A skalárs sorás értelmeése: a b a b cos ( a vektorok köött beárt sög, ) A a b művelet kolvasása: á skalársa sorova bével, vag á skalár bé A skalárs sorás ksámítása mátrsorással: b a b a a a b ab ab ab b A első soró téeő koordátát sormátrba, a másodk soró téeő koordátát oslomátrba redeük és a sorást a mátrsorás sabála sert (soroslo kombácó) végeük el A sorás eredmée eg skalárs meség _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 7/7

8 Példa (Mátr műveletek) Adott: A 7, B 6 Feladat: a) A A és B trasoált mátrok meghatároása b) A A B össegmátr és a A B külöbségmátr meghatároása c) A AB soratmátr meghatároása Kdolgoás: a) A A A és 7, B trasoált mátrok meghatároása: B 6 b) A A B össegmátr és a A B külöbségmátr meghatároása: A B 7 6 6, 8 A B 7 6 c) A AB soratmátr meghatároása AB 7 6 ( ) ( )( 6) ( ) 8 7( ) ( 6) 7 7 Példa (Skalárs és mátr sorás gakorlása) Adott: a 6j k m, b j k m Feladat: A a b skalárs sorat meghatároása Kdolgoás: A a b sorat meghatároása: ab 6 ( ) 6 ( ) ( ) 5 m _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 8/7

9 Példa (Mátr veréek előállítása) Adott: A Feladat: A A mátr veréek meghatároása Kdolgoás: - A mátr determása: det A ( ) ( ) (6 6) 5 - A adjugált mátr eleme: adja 5, adj a ( ), adja 6 6, adj a ( ) 5, adja, adj a ( ) 6, adja 6 5, adj a ( 6), adja A adjugált mátr: Aj adja j A ver (recrok) mátr: adj a j A j A a j det a det 5 j A Elleőrés: AA 5 E Példa (Mátr sajátértékeek és sajátvektoraak meghatároása) Adott: A 9 Feladat: A A mátr sajátértékeek és sajátvektoraak a meghatároása Kdolgoás: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 9/7

10 - A megoldadó homogé leárs algebra egeletredser: ( ) ( ), vag (9 ) ( ) ( ) (9 ) - A karakterstkus egelet: ( ) ( ), (9 ) ( ) ( )(9 ), ( )( ) - A karakterstkus egelet megoldása, a mátr sajátértéke: ( ), ( ), - A mátr sajátvektora, a sajátértékek behelettesítése a leárs algebra egeletredserbe: A sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) A és egeletből: A egeletből: tetsőleges érték Lege a sajátvektor egségvektor, íg: A sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) A egeletből: A, vag egeletből: Lege a sajátvektor egségvektor:, 5 ehát a -hö tartoó sajátvektor: 5 5 A sajátértékhe tartoó sajátvektor: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

11 ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) A egeletből: A, vag egeletből: Lege a sajátvektor egségvektor:, 5 ehát a -ho tartoó sajátvektor: Példa (Vektor adott ráal árhuamos össetevőjéek meghatároása) Adott: b ( j k) m, ea (,8 j, 6 k ) b O Feladat: b b A b vektor e a egségvektorral árhuamos b össetevőjéek meghatároása Kdolgoás: A b árhuamos össetevő meghatároása: b ( e b) e,8, 6 e ( 8) e 5 e a a a a a b 5 e 5(,8 j,6 k) ( j k) m a e a Dfferecál egeletek (rövd áttektés) Dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel eg vag több váltoós smeretle függvé és derváltja köött kacsolatot írja le Fotosabb tíusok: kööséges dfferecálegeletek, arcáls dfferecálegeletek, (stochastkus dfferecálegeletek, késleltetett dfferecálegeletek) Kööséges dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel eg függetle váltoójú függvé és derváltja köött össefüggést adja meg _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

12 Parcáls dfferecálegelet: d F, ahol t (Newto II Pl m dt törvée) ola matematka egelet, amel a smeretle többváltoós függvé és a arcáls derváltja köött kacsolatot írja le u, Pl ; és a megoldás u, f Secáls eset: Leárs álladó egütthatós kööséges homogé dfferecálegelet d d A A A r, ahol r a avaró függvé d d Megoldás: ahol h, h d h d h a A A A h homogé dfferecálegelet d d általáos megoldása, d d a A A A r homogé d d dfferecál-egelet eg artkulárs megoldása A homogé dfferecálegelet általáos megoldása: d h d h A A A h d d Megoldást alakba keressük h e A A A e Karakterstkus egelet: A A A (-ed redű olom) Megoldása: sámú gök:,,, A dfferecálegeletek sámú alamegoldása va: e,e,,e A alamegoldások leárs kombácója s megoldása dfferecál- C e C e,, C e egeletek: h A smeretle C,,, kostasok a erem-, lletve kedet feltételekből meghatárohatóak A homogé dfferecálegelet eg artkulárs megoldása: d d A A A r d d A megoldást célserű a avaró vag más éve forrás függvé alakjába keres, mert e többre eredmére veet: C r _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

13 Behelettesítés utá a C kostas meghatároható Derváltak jelölése: d ' d, d '',, stb (hel sert derváltak) d d, dt, d,, stb (dő sert derváltak) dt 6 Példa Adott eg másodredű álladó egütthatós kööséges leárs dfferecálegelet valamt a ereme a függvé és derváltjáak értéke: '', ', Feladat a dfferecál egelet megoldásáak előállítása h Megoldás: e h Homogé megoldás: homogé de ", megoldás keresése e karakterstkus egelet ; ;, C e C e homogé ált megoldás: h A alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácója s megoldás e e e e h A A ch( ) sh( ) aa A ch A sh h Partkulárs megoldás: C (a avaró függvé alakjába keressük) '' behelettesítés utá C C Peremfeltételek fgelembevétele: h _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

14 Ach A sh A ch A ' ' A sh A ch 9 A ch A ch sh 8 Végül: h = 7 Példa Adott eg másodredű álladó egütthatós kööséges leárs dfferecálegelet valamt a ereme a függvé és derváltjáak értéke: '', ', Feladat a dfferecálegelet megoldásáak előállítása h Megoldás: e h Homogé megoldás: homogé de h" h, megoldás keresése karakterstkus egelet e ; ;, megoldás C e C e, homogé általáos megoldás h ahol e cos s ; e cos s aa C cos s C cos s h A alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácó s e e e e h A A cos( ) s( ) _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

15 Behelettesítés utá: A cos A s h keressük) Partkulárs megoldás: '' behelettesítés utá C ; C ; Peremfeltételek fgelembevétele: h C (alakba Acos As A cos A ' ' A s A cos A cos A 8 Végül: h = cos s 8 8 Példa Adott eg kedet érték feladat dfferecálegelete és a t= dőotba a függvéérték és első derváltja: 9 cos t ; és Feladat a adott kedet érték feladat megoldásáak előállítása Megoldás: t t h h Homogé megoldás: homogé de h9h, megoldás keresése t e, 9 karakterstkus egelet t 9 e 9 ; 9 ; t C e C e, homogé általáos megoldás t t h _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 5/7

16 megoldás t ahol e cos t st ; t e cos t st aa C cos t s t C cos t s t h a alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácó s e t e t e t e t h A A cos( t ) s( t ) behelettesítés utá A cos t A st h utá Partkulárs megoldás: cos t a derváltak: ; ; C s t C cos t 9C cos t cos t 5C ; C 5 Peremfeltételek fgelembevétele: t t t C cos t (alakba keressük) C cos t behelettesítése ; h cos t 5 5 A cos A A cos A s cos ' A s Acos cos 5 A cos A cos t s t cos t 5 5 Végül: t ht t = _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 6/7

17 Eg regéssé alakítások (addcós tételek): átalakítás I c cost c st a cos t a cos t a cos cost a s st c c c c a cos a s a a c c c a s c tg arctg c a cos c átalakítás II c cost c st a st a s t a s cost a cos st c c c c a s a cos a a c c c a s c tg arctg c a cos c _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 7/7

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja:, z x iy x

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja:, z x iy x SZÉCHENYI ISVÁN EGYEEM LKLMZO MECHNIK NSZÉK MECHNIK-REZGÉSN GYKORL (kdolgota: Fehér Lajos, tas m; ara Gábor, mérök taár; Molár Zoltá, eg adj) Komle meségek, Mátr- és Vektoralgebra, Dfferecálegeletek Komle

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA

Dr. Égert János Dr. Molnár Zoltán Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT MECHANIKA Dr Égert Jáos Dr Molár Zoltá Dr Nag Zoltá ALKALMAZOTT MECHANIKA UNIVERSITAS-GYŐR Noprofit Kft Gőr, 00 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK ALKALMAZOTT MECHANIKA

Részletesebben

Máté: Számítógépes grafika alapjai

Máté: Számítógépes grafika alapjai VETÍTÉSEK Vetítések fajtái / Trasformációk amelek -imeiós objektumokat kisebb imeiós terekbe visek át. Pl. 3D 2D Vetítés köéotja ersektívikus A A B Vetítési B Vetítés köéotja a végtelebe árhuamos A A B

Részletesebben

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. 8 MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltá eg adjuktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarai Gábor méröktaár) 8 Fesültségi állapot semléltetése Adott: Ismert eg silárd test potjába a fesültségi

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok

Megjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok 1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

= λ valós megoldása van.

= λ valós megoldása van. Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt

Részletesebben

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban

Egzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban gakt követketetés pol-fa Baes-hálókban Outlne Tpes of nference B method: exact, stochastc B purpose: dagnostc sngle-step, sequental DSS, explanaton generaton Hardness of exact nference xact nference n

Részletesebben

2. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)

2. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltá eg adjuktus; Bojtár Gergel eg ts; Tarai Gábor éröktaár) Silárd test potjáak alakváltoási

Részletesebben

5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)

5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5 MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr Nag Zotá eg adjuktus; Bojtár Gerge eg ts; Tarai Gábor méröktaár) 5 Rugamas sá differeciáegeete (ehajás sögeforduás):

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

7. gyakorlat megoldásai

7. gyakorlat megoldásai 7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy

Részletesebben

5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)

5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5. MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr. Nag Zotá eg. adjuktus; Bojtár Gerge eg. ts.; Tarai Gábor méröktaár) 5.. Rugamas sá differeciáegeete (ehajás

Részletesebben

FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket, ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007

26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés)

Differenciál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges

Részletesebben

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is

Részletesebben

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége. LFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: -

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6

Részletesebben

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30

Mechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30 Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1

Részletesebben

2. A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAPJAI

2. A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAPJAI A SZILÁRDSÁGTAN ÉS A RUGALMASSÁGTAN ALAJAI A fejeet rövide össefoglalja a silárdságta és a rugalmasságta alapvető fogalmait melek a végeselem módser felépítéséhe és alkalmaásáho élkülöhetetleek A silárdságta

Részletesebben

FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ

FÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be a

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE EG FÁZISÚ ÖBBOMPONENS RENDSZERE: AZ ELEGE ÉPZDÉSE AZ ELEGÉPZDÉS ERMODINAMIÁJA: GÁZO Általáos megfotolások ülöböz kéma mség komoesek keveredésekor változás törték a molekulárs kölcsöhatásokba és a molekulák

Részletesebben

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése

A szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR

GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ZÉCHENYI ITVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖKI, INFRTIKI É VILLÉRNÖKI KR E C H N I K LKLZTT ECHNIK TNZÉK Elméleti kérdések és válasok mesterképésben (c) réstvevő mérnökhallgatók sámára 1 dja meg vektorok skaláris sorásának

Részletesebben

Az elektronmikroszkópia fizikai alapja: nagy-energiájú elektronok szóródásai

Az elektronmikroszkópia fizikai alapja: nagy-energiájú elektronok szóródásai A elektromkroskópa fka alapa: ay-eeráú elektrook sóródása -7 A > elektro/s > µm-ekét ( ke) > Eyelektro-sórás Fatáa Meeyés Alkalmaása Eyseres ematkus elm (Ewald-serk) t m Dffr köelítő elye (Bra-eyelet)

Részletesebben

Feladatok Oktatási segédanyag

Feladatok Oktatási segédanyag VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit. 2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni

Részletesebben

Tömegpont-rendszer mozgása

Tömegpont-rendszer mozgása TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) Tömegpot-redser mogása Boyolultságba a tömegpot utá követkeő és gyakorlat sempotból s ge fotos eset amkor több tömegpotból álló redsert ú külső tömegpot-redsert (rövdebbe:

Részletesebben

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

8. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. 8 MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgota: dr Nag Zoltán g adjunktus; Bojtár Grgl g Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 8 Fsültségi állapot smlélttés Adott: Ismrt g silárd tst pontjában a fsültségi állapot

Részletesebben

A végeselem programrendszer általános felépítése (ismétlés)

A végeselem programrendszer általános felépítése (ismétlés) SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kdolgozta: Szüle Veronka eg. ts.) IX. előadás A végeselem rogramrendszer általános feléítése (smétlés) A végeselem

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

b) A tartó szilárdsági méretezése: M

b) A tartó szilárdsági méretezése: M ZÉCHENY TVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNK TNZÉK 5 MECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidogot: dr Ng Zotá eg djuktus; ojtár Gerge eg Ts; Tri Gábor méröktár) 5 Rúdserkeet siárdságti méreteése: d kn kn kn m m m dott: kn

Részletesebben

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ Regresszó számítás Mérök létesítméek elleőrzése, terekek megfelelése Deformácózsgálat Geodéza mérések potok helzete, potszerű formácó Leárs regresszó Regresszós sík Regresszós göre Legkse égzetek módszere

Részletesebben

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.

- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége. 2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk:

Részletesebben

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév) STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális

Részletesebben

REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus. 17. feladat: Kéttámaszú tartó (rúd) hajlító rezgései (kontinuum modell)

REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidolgozta: Dr. Nagy Zoltán egyetemi adjunktus. 17. feladat: Kéttámaszú tartó (rúd) hajlító rezgései (kontinuum modell) SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kidogota: Dr. Nagy Zotán egyetemi adjunktu 7. feadat: Kéttámaú tartó (rúd) hajító regéei (kontinuum mode) y v( t ) K = 8m E ρai

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecsereszerek Dr. Seres Istvá OPTIKA mechatroika szak. átrix optika Paraxiális sugármeet (

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 004 008 . FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát,

Részletesebben

Az összetett hajlítás képleteiről

Az összetett hajlítás képleteiről A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István

OPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecsereszerek Dr. Seres Istvá OPTIKA mechatroika szak. átrix optika Paraxiális sugármeet (

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ

LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ 16..8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ (MÁTRIX) SAJÁTÉRTÉKE, SAJÁTVEKTORA BSc. Maemaika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓ Egy A: R R függvéy lieáris raszformációak evezük, ha eljesülek az alábbi

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Inverz függvények Inverz függvények / 26 Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.

A feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát. Oros Gyula, 00. november Emelt sintű érettségi feladatsor Össeállította: Oros Gyula; dátum: 00. október A feladatsorok össeállításánál felhasnáltuk a Nemeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkésítő

Részletesebben

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:

Részletesebben

Relációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra

Relációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra 8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát

Részletesebben

Kvadratikus alakok gyakorlás.

Kvadratikus alakok gyakorlás. Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban,

Részletesebben

Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra

Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra 7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

VEKTORSZÁMÍTÁS 1. VEKTORALGEBRA

VEKTORSZÁMÍTÁS 1. VEKTORALGEBRA VEKTORSZÁMÍTÁS. VEKTORLGEBR.. vektor semléletes értelmeése ok a fka meyséek, melyekek aysáuko kívül ráyuk s va, vektorok. ( vektorok abstrakt matematka defícójába dötő serepe va a össeadásak és a skalárral

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

Atomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1.

Atomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1. Aomfka előadás 4. lekromágneses sugárás 4. okóber. Alapkísérleek Ampere-féle gerjesés örvén mágneses ér örvénessége elekromos áram elekromos ér váloása Farada ndukcós örvéne elekromos ér örvénessége mágneses

Részletesebben

3D Számítógépes Geometria II.

3D Számítógépes Geometria II. 3D Sámíógées Geomea II.. Racoáls göék és felüleek h://cg..me.hu/oal/3dgeo hs://.vk.me.hu/kees/agak/viiiav6 D. Váad Tamás D. Salv Pée ME Vllamosméök és Ifomaka Ka Iáíásechka és Ifomaka Tasék Taalom movácó

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

Hvezetés (írta:dr Ortutay Miklós)

Hvezetés (írta:dr Ortutay Miklós) Hveeé (íra:dr Orua Mkló. Hável módok:. Alapfogalmak 3. Feladaok 4. Háadá é kovekcó Hável, eergarapor hajóer (hmérékle külöbég haáára.. Hável módok: veeée hável, hveeé (elem réeckék hmogáa, cak lárd fába

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete. zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait. modu: Kinematika Kinetika 4 ecke: Forgó tömegek kiegensúoása ecke céja: tananag fehasnáója megismerje a forgó tömegek kiegensúoásának eméeti aapjait Követemének: Ön akkor sajátította e megfeeően a tananagot

Részletesebben

1. Algebra x. x + értéke? x

1. Algebra x. x + értéke? x Alger I Feldtok Bonts fel két 0-nél ngo sám sortár követkeő sámokt: ) ) ) d) e) f) g) h) i) j) k) Alkíts lson foksámú polinomok sortává lái polinomokt: ) i) ) j) 7 ) k) d) l) 0 6 e) m) 0 6 f) n) g) o)

Részletesebben

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni

Részletesebben

KLAPCSIK KÁLMÁN DIPLOMATERV

KLAPCSIK KÁLMÁN DIPLOMATERV KAPSIK KÁMÁ IPOMAERV BUAPESI MŰSZAKI ÉS AZASÁUOMÁYI EYEEM ÉPÉSZMÉRÖKI KAR HIROIAMIKAI RESZEREK ASZÉK IPOMAERVEK BUAPESI MŰSZAKI ÉS AZASÁUOMÁYI EYEEM ÉPÉSZMÉRÖKI KAR HIROIAMIKAI RESZEREK ASZÉK KAPSIK KÁMÁ

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői

VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? Tárg, téma Geometria, algebra és számelmélet. Előzmének A feladatsor jellemzői Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben, abszolút érték fogalma, oszthatóság fogalma, (skatula

Részletesebben

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek 10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b

Részletesebben

Mátrixok 2017 Mátrixok

Mátrixok 2017 Mátrixok 2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4

Részletesebben

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti.

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti. 06.07.0. Fiikai kémia.. A kvantummechanika alajai Dr. Berkesi Ottó SZTE Fiikai Kémiai és Anagtudománi Tanséke 05 A newtoni fiika alafeltevései I. Minden test megtartja mogásállaotát amíg valamilen erő

Részletesebben

14. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor mérnöktanár.) Adott:, F F. y A

14. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor mérnöktanár.) Adott:, F F. y A 4 EHNK-SZLÁRDSÁGTN GYKORLT (kidogota: Tarnai Gábor mérnöktanár) 4 Statikaiag határoatan tartó igénbeéteeinek meghatároása: (astigiano téte) dott: m kn 4 5 mm N E 5 mm Statikai ismeretenek: tartó statikaiag

Részletesebben