y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,

Átírás

1 SZÉCHENYI ISVÁN EGYEEM ALKALMAZO MECHANIKA ANSZÉK MECHANIKA-REZGÉSAN GYAKORLA (kdolgota: Fehér Lajos, eg ts; ara Gábor, mérök taár; Molár Zoltá, eg adj) Komle meségek, Mátr- és Vektoralgebra, Dfferecálegeletek Komle meségek tulajdosága, művelete Komle meség komle sám komle vektor a) Komle meség algebra alakja:, - a komle sám valós (reáls) rése, - a komle sám kéetes (magárus) rése, - a kéetes (magárus) egségvektor A kéetes egségvektor tulajdosága: -, absolút értéke eg, -, ömagával vett sorata míus eg o A komle sám -vel törtéő sorása a vektor 9 -os elforgatását eredmée a óramutató forgásával elletétes rába: ( ) b) Komle meség trgoometrkus alakja: r(cos s ), r - a komle sám absolút értéke (agsága), - a komle sám tegellel beárt söge, r Re( ) r cos - a komle sám valós r s (reáls) rése, r cos Im( ) r s - a komle sám kéetes (magárus) rése c) Komle meség eoecáls alakja: r e, ahol e,788 a termésetes sám és r a komle sám absolút értéke (agsága) Megjegés: - A eoecáls alak a e e függvé sorfejtésével veethető be - A trgoometrkus és a eoecáls alak egbevetéséből követkek, hog a komle meség a tegellel söget beáró komle egségvektor: e e _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

2 d) Komle meség absolút értéke: r cos s r A absolút érték tulajdosága:, - -, - a esetbe e) Komle meség kojugáltja: A r(cos s ) re komle sám kojugáltja: r(cos s ) re Műveletek a kojugálttal: - ( ) ( ), - ( ) ( ), - ( )( ) r, ( ) ( ) ( ) ( ), - - f) Komle meségek sorása: - Sorás algebra alak eseté: ( a b )( a b ) aa bb ( ab ab ) - Sorás trgoometrkus alak eseté: r (cos s ) r (cos s ) r r cos( ) s( ) - Sorás eoecáls alak eseté: ( ) r r e e r r e Megjegés: - A e, e ( ) és e a tegellel, és ( ) söget beáró ( ) egségvektorok: e e e - A sorás komle eredmévektora a komle vektorho kéest söggel el va forgatva a óramutató járásával elletétes rába g) Komle meségek ostása: - Ostás algebra alak eseté: ( a b ) a b ( a b ) ( a b ) ( a b ) a ( a b ) b ( a b ) aa bb ba ba a b a b a b a b - Ostás trgoometrkus alak eseté: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

3 r (cos s ) r cos( ) s( ) r (cos s ) r - Ostás eoecáls alak eseté: r e r ( ) e r e r Megjegés: - A e, e ( ) és e a tegellel, és ( ) söget beáró ( ) egségvektorok: e e e - A ostás / komle eredmévektora a komle vektorho kéest söggel el va forgatva a óramutató járásával megegeő rába h) Komle meségek sög sert dfferecálása: - Dfferecálás eoecáls alak eseté: d d d( r e ) d r e d d A sög sert dfferecálás a o komle meséget 9 -kal elforgatja a óramutató járásával elletétes rába - Dfferecálás trgoometrkus alak eseté: d d r(cos s ) r( s cos ) d d Herbolkus és a Krülov függvéek a) A eoecáls függvé: Értelmeése: e lm! Kejtés: egelő é ad A faktoráls ( faktoráls):! A termésetes sám: e e e lm,788! e _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

4 b) A herbolkus függvéek: Értelmeések: e e sh Kejtés: egelő sus herbolkus e e ch Kejtés: egelő kosus herbolkus ch sh c) A Krülov-függvéek: Értelmeés: a Krülov függvéeket herbolkus és trgoometrkus függvéek leárs kombácója solgáltatja: S( k) ch k cos k ahol k valós álladó ( k) sh k s k,, U( k) ch k cos k V ( k) sh k s k,, A függvéek sert első derváltja: ds k sh k s k kv ( k ) d, d k ch k cos k ks ( k ) d, du sh k s k k ( k ) d, dv ch k cos k ku ( k ) d A függvéek másodk és harmadk derváltja: d S k U ( k) d, d du dv k V ( k), ( ) k S k, k ( k) d d d ds k ( k) d, d k U ( k) d, du dv ( ) k V k, k S( k) d d a) Mátr értelmeése, jelölése: Mátralgebra össefoglaló Mátr: Skalárs meségekek, sámokak megadott sabál sert tábláatba redeett halmaa Mátr jelölése: a a a A a a a A mátrokat kétser aláhúott betűvel, a mátrok elemet (koordátát) alsó dees betűvel jelöljük Pl Aa, és a, a stb A a mátrelem a A mátr első sorába és harmadk osloába áll Mátr mérete: Például a fet ()-as méretű A mátrak két sora és három osloa va _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

5 A a mátr elem jelölés kejtése (kolvasása): á eg három a Oslomátr: a a, sormátr: a a a a a A oslomátrak eg osloa, a sormátrak eg sora va A sormátr ugaaak a oslomátrak a trasoáltja A sormátrot a mátr betűjeléek felső deébe írt betű jelöl b) Mátrműveletek: A műveleteket ( ) -es, ()-es és ()-es mátrokra mutatjuk be - Mátr trasoáltja (tükröés a főátlóra): A mátr főátlóját a aoos deű elemek alkotják a a a a A A a a a a ( ) ( ) A trasoálás művelet jele: (a mátr felső deébe) A trasoálás oslomátrból sormátrot, sormátrból edg oslomátrot ho létre A A jelölés kejtése (kolvasása): á trasoált - Mátrok össeadása, kvoása: Csak aoos méretű mátrok adhatók össe, vohatók k egmásból A B C, a a b b ( a b ) ( a b ) c c a a b b ( ab) ( ab) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátrsorás (sor-oslo kombácó): Csak ola mátrok sorohatók össe, amelek teljesítk at a feltételt, hog a első sorótéeő osloaak sáma megegek a másodk sorótéeő soraak sámával A B C, a a b b ( a b a b ) ( a b a b ) a a b b ( a ba b) ( a ba b) ( ) ( ) ( ) A b c, a a b ( a b a b ) c a a b ( a b a b ) c a () () () () B d, b b a a ( a b a b) ( a ba b) d d b b ( ) ( ) ( ) ( ) _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 5/7

6 c) Külöleges mátrok: - Egségmátr: E ulajdosága: E A A E A A egségmátr a főátlójába -es koordátákat, a főátlójá kívül elemeket tartalma A egségmátrsal törtéő sorás em váltotatja meg a megsorott mátrot - Iver mátr (recrok mátr): A A A A E A A mátr a A mátr vere, vag recroka Csak égetes mátrak létek vere (recroka) abba a esetbe, ha a A mátr elemeből kéeett determás em ulla - Smmetrkus mátr: A A A mátr eleme megegeek a főátlóra vett tükörkéükkel Például A 9 smmetrkus mátr - Ferdesmmetrkus mátr: A A A mátr bármelk eleme megegek a főátlóra vett tükörkééek míus egseresével Ebből a követkek, hog a főátlóba csak érus elemek lehetek Például A ferdesmmetrkus mátr - Iver mátr (recrok mátr): A A A A A A E mátr a A mátr vere, vag más éve recroka Csak égetes mátrak létek vere (recroka) abba a esetbe, ha a A mátr elemeből kéeett determás em ulla adj a j A j A ver mátr ksámítása: A a j det a det A j Mátr sajátértéke és sajátvektora - A sajátérték feladat ktűése: Létek-e ola oslomátr, amellel a A égetes mátrot megsorova, a oslomátr valahásorosát kajuk: A, ahol a skalárs meség? Ha létek le oslomátr, akkor et a A égetes mátr sajátvektoráak, a skalárs meséget edg a A mátr sajátértékéek eveük - A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását eg ()-es mátro mutatjuk be A előő egeletet résletese kírva és bal oldalra redeve: a a a a a a, a a, és a sorásokat elvégeve, a, smeretlere homogé leárs algebra egeletredsert kauk: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 6/7

7 ( a ) a, a ( a ) A egeletredser emtrváls (ullától külöböő) megoldásáak feltétele a, hog a redser mátrából kéeett determásak el kell tűe: ( a ) a a ( a ) A determást kfejtve kajuk a karakterstkus egeletet: ( a a ) ( aa a a) A karakterstkus egelet megoldása a mátr sajátértéke: ( a a) ( a a) aa, A homogé leárs algebra egeletredserek csak és eseté va emtrváls megoldása A mátr sajátértéket övekvő sorredbe sokás sorsámo Ha a eges (=,) sajátértékeket behelettesítjük a homogé leárs algebra egeletredserbe, akkor a egeletredser megoldható a, smeretlere: ( a ) a, a ( a ) A (=,) sajátértékek behelettesítése eseté aoba a egeletredser egelete egmástól em leársa függetleek, eért a egk egeletet el lehet hag és a másk egeletből csak a /, vag / (=,) háados határoható meg A és értékét akkor kajuk meg egértelműe, ha a megköveteljük, hog egségvektorok legeek:, =, sajátvektoroktól Vektorok skalárs sorata A skalárs sorás értelmeése: a b a b cos ( a vektorok köött beárt sög, ) A a b művelet kolvasása: á skalársa sorova bével, vag á skalár bé A skalárs sorás ksámítása mátrsorással: b a b a a a b ab ab ab b A első soró téeő koordátát sormátrba, a másodk soró téeő koordátát oslomátrba redeük és a sorást a mátrsorás sabála sert (soroslo kombácó) végeük el A sorás eredmée eg skalárs meség _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 7/7

8 Példa (Mátr műveletek) Adott: A 7, B 6 Feladat: a) A A és B trasoált mátrok meghatároása b) A A B össegmátr és a A B külöbségmátr meghatároása c) A AB soratmátr meghatároása Kdolgoás: a) A A A és 7, B trasoált mátrok meghatároása: B 6 b) A A B össegmátr és a A B külöbségmátr meghatároása: A B 7 6 6, 8 A B 7 6 c) A AB soratmátr meghatároása AB 7 6 ( ) ( )( 6) ( ) 8 7( ) ( 6) 7 7 Példa (Skalárs és mátr sorás gakorlása) Adott: a 6j k m, b j k m Feladat: A a b skalárs sorat meghatároása Kdolgoás: A a b sorat meghatároása: ab 6 ( ) 6 ( ) ( ) 5 m _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 8/7

9 Példa (Mátr veréek előállítása) Adott: A Feladat: A A mátr veréek meghatároása Kdolgoás: - A mátr determása: det A ( ) ( ) (6 6) 5 - A adjugált mátr eleme: adja 5, adj a ( ), adja 6 6, adj a ( ) 5, adja, adj a ( ) 6, adja 6 5, adj a ( 6), adja A adjugált mátr: Aj adja j A ver (recrok) mátr: adj a j A j A a j det a det 5 j A Elleőrés: AA 5 E Példa (Mátr sajátértékeek és sajátvektoraak meghatároása) Adott: A 9 Feladat: A A mátr sajátértékeek és sajátvektoraak a meghatároása Kdolgoás: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 9/7

10 - A megoldadó homogé leárs algebra egeletredser: ( ) ( ), vag (9 ) ( ) ( ) (9 ) - A karakterstkus egelet: ( ) ( ), (9 ) ( ) ( )(9 ), ( )( ) - A karakterstkus egelet megoldása, a mátr sajátértéke: ( ), ( ), - A mátr sajátvektora, a sajátértékek behelettesítése a leárs algebra egeletredserbe: A sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) A és egeletből: A egeletből: tetsőleges érték Lege a sajátvektor egségvektor, íg: A sajátértékhe tartoó sajátvektor: ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) A egeletből: A, vag egeletből: Lege a sajátvektor egségvektor:, 5 ehát a -hö tartoó sajátvektor: 5 5 A sajátértékhe tartoó sajátvektor: _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

11 ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) A egeletből: A, vag egeletből: Lege a sajátvektor egségvektor:, 5 ehát a -ho tartoó sajátvektor: Példa (Vektor adott ráal árhuamos össetevőjéek meghatároása) Adott: b ( j k) m, ea (,8 j, 6 k ) b O Feladat: b b A b vektor e a egségvektorral árhuamos b össetevőjéek meghatároása Kdolgoás: A b árhuamos össetevő meghatároása: b ( e b) e,8, 6 e ( 8) e 5 e a a a a a b 5 e 5(,8 j,6 k) ( j k) m a e a Dfferecál egeletek (rövd áttektés) Dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel eg vag több váltoós smeretle függvé és derváltja köött kacsolatot írja le Fotosabb tíusok: kööséges dfferecálegeletek, arcáls dfferecálegeletek, (stochastkus dfferecálegeletek, késleltetett dfferecálegeletek) Kööséges dfferecálegelet: ola matematka egelet, amel eg függetle váltoójú függvé és derváltja köött össefüggést adja meg _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

12 Parcáls dfferecálegelet: d F, ahol t (Newto II Pl m dt törvée) ola matematka egelet, amel a smeretle többváltoós függvé és a arcáls derváltja köött kacsolatot írja le u, Pl ; és a megoldás u, f Secáls eset: Leárs álladó egütthatós kööséges homogé dfferecálegelet d d A A A r, ahol r a avaró függvé d d Megoldás: ahol h, h d h d h a A A A h homogé dfferecálegelet d d általáos megoldása, d d a A A A r homogé d d dfferecál-egelet eg artkulárs megoldása A homogé dfferecálegelet általáos megoldása: d h d h A A A h d d Megoldást alakba keressük h e A A A e Karakterstkus egelet: A A A (-ed redű olom) Megoldása: sámú gök:,,, A dfferecálegeletek sámú alamegoldása va: e,e,,e A alamegoldások leárs kombácója s megoldása dfferecál- C e C e,, C e egeletek: h A smeretle C,,, kostasok a erem-, lletve kedet feltételekből meghatárohatóak A homogé dfferecálegelet eg artkulárs megoldása: d d A A A r d d A megoldást célserű a avaró vag más éve forrás függvé alakjába keres, mert e többre eredmére veet: C r _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

13 Behelettesítés utá a C kostas meghatároható Derváltak jelölése: d ' d, d '',, stb (hel sert derváltak) d d, dt, d,, stb (dő sert derváltak) dt 6 Példa Adott eg másodredű álladó egütthatós kööséges leárs dfferecálegelet valamt a ereme a függvé és derváltjáak értéke: '', ', Feladat a dfferecál egelet megoldásáak előállítása h Megoldás: e h Homogé megoldás: homogé de ", megoldás keresése e karakterstkus egelet ; ;, C e C e homogé ált megoldás: h A alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácója s megoldás e e e e h A A ch( ) sh( ) aa A ch A sh h Partkulárs megoldás: C (a avaró függvé alakjába keressük) '' behelettesítés utá C C Peremfeltételek fgelembevétele: h _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

14 Ach A sh A ch A ' ' A sh A ch 9 A ch A ch sh 8 Végül: h = 7 Példa Adott eg másodredű álladó egütthatós kööséges leárs dfferecálegelet valamt a ereme a függvé és derváltjáak értéke: '', ', Feladat a dfferecálegelet megoldásáak előállítása h Megoldás: e h Homogé megoldás: homogé de h" h, megoldás keresése karakterstkus egelet e ; ;, megoldás C e C e, homogé általáos megoldás h ahol e cos s ; e cos s aa C cos s C cos s h A alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácó s e e e e h A A cos( ) s( ) _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet /7

15 Behelettesítés utá: A cos A s h keressük) Partkulárs megoldás: '' behelettesítés utá C ; C ; Peremfeltételek fgelembevétele: h C (alakba Acos As A cos A ' ' A s A cos A cos A 8 Végül: h = cos s 8 8 Példa Adott eg kedet érték feladat dfferecálegelete és a t= dőotba a függvéérték és első derváltja: 9 cos t ; és Feladat a adott kedet érték feladat megoldásáak előállítása Megoldás: t t h h Homogé megoldás: homogé de h9h, megoldás keresése t e, 9 karakterstkus egelet t 9 e 9 ; 9 ; t C e C e, homogé általáos megoldás t t h _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 5/7

16 megoldás t ahol e cos t st ; t e cos t st aa C cos t s t C cos t s t h a alamegoldások (bások) tetsőleges leárs kombácó s e t e t e t e t h A A cos( t ) s( t ) behelettesítés utá A cos t A st h utá Partkulárs megoldás: cos t a derváltak: ; ; C s t C cos t 9C cos t cos t 5C ; C 5 Peremfeltételek fgelembevétele: t t t C cos t (alakba keressük) C cos t behelettesítése ; h cos t 5 5 A cos A A cos A s cos ' A s Acos cos 5 A cos A cos t s t cos t 5 5 Végül: t ht t = _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 6/7

17 Eg regéssé alakítások (addcós tételek): átalakítás I c cost c st a cos t a cos t a cos cost a s st c c c c a cos a s a a c c c a s c tg arctg c a cos c átalakítás II c cost c st a st a s t a s cost a cos st c c c c a s a cos a a c c c a s c tg arctg c a cos c _Regesta_Gakorlat_m Dfferecál egelet 7/7