Tömegpont-rendszer mozgása

Átírás

1 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) Tömegpot-redser mogása Boyolultságba a tömegpot utá követkeő és gyakorlat sempotból s ge fotos eset amkor több tömegpotból álló redsert ú külső tömegpot-redsert (rövdebbe: potredsert) pot vsgáluk A ábrá a általuk kválastott K redserhe a körberaolt területe lévő potok m tartoak eeket a potokat sorsámotuk: a -edk B K pot tömegét m -vel helyetvektorát r -vel elölük m r A tömegpotokra ható erőket célserű két csoportba B m osta: a redserhe tartoó potok köött fellépő r r m erőket belső erőkek a redsere kívül eső testek által a redser potara kfetett erőket pedg külső r erőkek eveük Jelölük a -edk pot által a - r edk potra kfetett (belső) erőt B -vel a -edk redser potra ható külső erők eredőét pedg K -vel Tömegköéppot a tömegköéppot mogása A potredser mogása leírható ha külö-külö mde potra felíruk a mogásegyeletet: = m a K K B B K K B B = m a = m a = m a Látható hogy e elég boyolult leírás mód am a potredserről mt egésről em sokat mod A teles redser egyfata ellemését ada a a egyelet amt a fet egyeletek össeadásával kapuk: = = = = m a K Newto III törvéye alapá köye belátható hogy a belső erők össege ulla így a redserre ható külső erők eredőét K -val elölve a alább egyeletet kapuk: B K m = = = a Jó lee ha a potredserre a fetél egyserűbb a tömegpot mogásegyeletéhe hasoló össefüggést kaphaták vagys a egyelet obboldalát a potredserre ellemő "egyetle gyorsulás" és a m = össtömeg soratakét írhaták fel Ilye egyeletre uthatuk m

2 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) ha a potredser helyetéek globáls ellemésére beveetük a ú tömegköéppotot amt a alább módo defálhatuk Alakítsuk át a fet mogásegyeletet = d r d d = = = K ma m mr m mr m és vegyük ésre hogy a áróelbe lévő meység helyetvektor ellegű Tektsük et a tömegpotok helyete által egyértelműe meghatároott saátos helyvektort a potredser tömegköéppotáak (r TK ) amely esert mr r TK = m Kmutatható hogy e a pot valóba a potredser tömegeloslásáak egyfata cetruma am homogé ehéség erőtérbe aoos a redser súlypotával A fet mogásegyeletbe a tömegköéppot helyetvektoráak másodk dőderválta vagys a tömegköéppot gyorsulása (a TK ) serepel így a redser mogását leíró egyelet a alább egyserű alakot ölt K = m a TK Esert a potredser tömegköéppota úgy moog mtha a redser egés tömege a tömegköéppotba lee elhelyeve és erre a külső erők eredőe hata Mvel a ktere merevek tekthető testek potredserkét s felfoghatók e a eredméy at mutata hogy egy lye test haladó mogása úgy írható le mtha a test potserű lee és tömege a tömegköéppotába lee össesűrítve Vagys a fet elárást követve ktere testek haladó mogásáak leírására a már megsmert tömegpot-mogásegyelet hasálható A ledület (mogásmeység)-megmaradás tétele potredserbe A ledületre voatkoó össefüggéshe úgy uthatuk el hogy a tömegköéppot mogásegyeletét a ledületváltoás segítségével íruk fel Ehhe sükségük les a tömegköéppot sebességéek kfeeésére: mv drtk v TK = = m Ebből látható hogy a potredser ledületössege (p R ) kfeehető a redser össtömegéek és a tömegköéppot sebességéek soratával: p R = mv = mv Esert a tömegköéppot ebből a sempotból s úgy vselkedk mt egy olya tömegpot amelyek tömege a potredser össtömegével egyelő A mogásegyelet eel így írható át: dvtk d d ( ) K = matk = m = mvtk = mv vagys a külső erők eredőe egyelő a redser össes ledületéek váltoás sebességével: dpr d K = = mv Ebből követkek hogy ha a külső erők eredőe ulla ( K = 0) akkor: d m TK v = 0

3 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) 3 aa p R = m v = álladó Vagys ha a potredserre ható külső erők eredőe ulla akkor a redser össes ledülete em váltok E a ledület-megmaradás törvéye potredserre (hasálatos még a mogásmeység-megmaradás lletve mpulus-megmaradás eleveés s) A törvéy eletősége többek köött a hogy mechaka problémák megoldásáál olya egyeletet ad amelyből smeretle sebesség határoható meg aélkül hogy tegráluk kellee a mogásegyeletet (Eek a megmaradás törvéyek specáls esetét láttuk korábba két kölcsöható testre) Potredser eergáa a mechaka eerga megmaradásáak tétele potredserbe A potredser eergááak vsgálatáál a egyes potokra felírt mukatételből dulhatuk k Ha a redser a állapotából a állapotba megy át akkor a mukatétel a -edk potra: We = Em = Em Em ahol W e a -edk potra ható erők eredőéek mukáa Ha eeket a egyeleteket össeaduk akkor a baloldalo a potredserre ható össes erők mukáát a obboldalo pedg a potredser teles mogás eergááak megváltoását kapuk: We = Em = Em Em Ha külöválastuk a külső- és belső erők mukáát (W K és W B ) eeke belül pedg a koervatív- és em koervatív erők mukáát (W Kk W Kk W Bk W Bk ) akkor a alább össefüggést kapuk: WK k WB k WK k WB k = Em Em elhasálva hogy a koervatív erők mukáa a helyet eerga megváltoásáak egatíva átredeés utá at kapuk hogy WK k WB k = Em Em EhB EhB EhK ahol a helyet eerga-tagokál a B és K dex a belső kölcsöhatásokból lletve a külső testekkel való kölcsöhatásból sármaó helyet eergára utal A össefüggést átredeéssel áttekthetőbb alakba írhatuk: W K k WB k = ( Em EhB ) ( Em EhB ) ahol a áróelbe lévő tagok a redser össeergáát elölk a redser kedet () és végső () állapotába Ha a össeergát E R -rel elölük E R = Em EhB akkor a eergaváltoás általáos össefüggését tömöre így írhatuk: WK k WB k = ER ER = ER vagys a redser eergááak megváltoása a em koervatív erők mukáával egyelő A eredméy tehát ugyaa mt a tömegpot eseté aal a külöbséggel hogy tt a eerga és muka kfeeése boyolultabbak mt a tömegpotál Ha a em koervatív erők mukáa ulla (például úgy hogy cseek lye erők) akkor E R = 0 ER = ER vagys a redser össeergáa em váltok E a eerga-megmaradás tétele potredserre Jeletősége gyakorlat sempotból ugyaa mt a mpulus-megmaradás törvéyéé: olya egyeletet ad amelyből pl smeretle sebesség határoható meg aélkül hogy tegráluk kellee a mogásegyeletet

4 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) 4 *************************************************************** A potredser mogás eergááak kfeeését tovább vsgálva egy úabb fotos meységhe uthatuk el Vsgáluk a potredser mogás eergáát egy K koordátaredserből és a hoá képest egyeletese mogó K redserből amelyet a potredser tömegköéppotáho rögítettük (ábra) Íruk fel a potredser mogás eergáát a K r m redserbe és feeük k at a K redserbel adatokkal: K E = m mv = mvv = r ' r TK r =r TK r ' = m ( v vtk )( v vtk ) v =v TK v ' K' (tt alkalmatuk a ábrá s feltütetett Galle trasformácót) A műveleteket elvégeve at kapuk hogy Em = m v vtk v vtk = mv mv TK vtk mv ( ) A utolsó tagba sereplő össeg éppe a tömegköéppot sebessége a K redserbe mvel aoba a K redser a tömegköéppotho va rögítve e a sebesség ulla: Ebből redeéssel at kapuk hogy E m = mv mvtk E m = mvtk mv vagys a potredser mogás eergáa felírható a tömegköéppotba képelt össtömeg mogás eergááak és a tömegköéppotba lévő megfgyelő által éslelt sebességekkel ( v ) sámított mogás eergák össegekét Eel a redser össeergáa E m v E R = mvtk hb Ha a redser tömegköéppotával együtt moguk (vagys K=K ) akkor a tömegköéppot áll tehát a első tag ulla ha eekívül a redserre külső erők em hatak akkor a külső helyet eerga (másodk tag) s ulla a maradék két tag ekkor tuladoképpe a külső hatásoktól metes redserrel együttmogó megfgyelő által éslelt eergát ada meg Et a E B = mv E eergát a redser belső eergááak eveük am tehát a tömegköéppottal együttmogó megfgyelő által éslelt mogás eergák és a belső kölcsöhatásokból sármaó helyet eergák össege *************************************************************** hb Perdület és forgatóyomaték a perdületmegmaradás tétele potredserbe A ledület és a eerga beveetését a dokola hogy eekre a meységekre boyos körülméyek köött megmaradás tétel érvéyes Ugyae a oka a perdület (mpulusmometum) (N) beveetéséek s Egy potredser r helyvektorú p mpulusú -edk tömegpotáak N perdülete a voatkotatás potra (ábra): m p =m v N = r p = r mv A defícóból látsk hogy a perdület függ a voatkotatás r pottól tehát egyértelmű megadásáho et s meg kell ad N =r xp Ha a mogó potra ható erők eredőe em ulla akkor a sebesség és egyúttal a perdület s váltok Et a váltoást megkaphatuk a fet egyelet dfferecálásával:

5 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) 5 dn dr dp = p r A obboldal első taga két párhuamos vektor (v és p ) vektorsorata eért e a tag ulla a másodk tagba pedg a ledület dőderválta a eredő erővel egyelő eért dn = r A obboldalo megeleő meységet a erő potra voatkoó forgatóyomatékáak (M ) eveük Eel a perdület megváltoása és a eredő forgatóyomaték köött a alább össefüggést kapuk dn = M Egy potredser perdülete (N R ) a egyes potok perdületeek össege a eredő forgatóyomaték (M R ) pedg a egyes potokra ható forgatóyomatékok össege vagys a potredserre voatkoó egyeletet a potokra voatkoó egyeletek össeadásával kaphatuk A korábba követett elárásho hasolóa tt s sétválastuk a külső- és belső erők forgatóyomatékát: dn dnr = = r K r B I Newto III törvéye és a forgatóyomaték defícóa alapá belátható (ábra) hogy a belső erők forgatóyomatékaak össege ulla les így a redserre a m B B m dnr = r K = M T K T r egyeletet kapuk ahol M K a külső erők r forgatóyomatékaak össege B =- B Ha a külső forgatóyomaték ulla akkor a fet egyelet sert T =Ir x B I=T =Ir x B I dnr = 0 NR = álladó vagys a perdület em váltok E a perdület megmaradásáak tétele potredserre A merev test mt potredser A perdület beveetéséek hasa ao kívül hogy megmaradás tétel érvéyes rá a merev test forgómogásáak leírásáál látható ge vlágosa ebbe a esetbe ugyas a eddg hasált mogásegyelet alkalmaása em praktkus A merev test olya ktere test amely em deformálható tehát két tetsőleges pota köött távolság em váltok Ha a merev testet ge ks térfogatelemekre ostuk akkor egymásho képest yugalomba lévő potserű tömegek redserekét tárgyalhatuk A leírás aál potosabb mél fomabb a test felostása Példakét íruk fel egy rögített tegely körül forgó merev test mogásegyeletét a potredserekre érvéyes össefüggések segítségével A elem tömegek ( m ) amelyekre a testet godolatba felostottuk a rögített tegely körül körmogást végeek (ábra) köös ω sögsebességgel de külöböő v sebességgel elírhaták a egyes tömegekre a sokásos mogásegyeletet e aoba ge agysámú ehee keelhető össefüggéshe veete eért mogásegyeletkét kább a potredser perdületéek megváltoása és a külső forgatóyomaték köt össefüggést hasáluk: dn = M

6 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) 6 Íruk fel elősör a -edk tömegelem perdületét: N = r mv Mvel a vektorsoratba sereplő vektorok ω merőlegesek egymásra a perdület agysága m N = r mv R v A rögített tegely matt a perdületet csak a ϑ forgatóyomaték tegelyráyú kompoese tuda váltotat (a másk két kompoest a tegely r kkompeála) eért mogásegyeletek és a perdületek csak a tegelyráyú kompoesét érdemes felír Vegyük fel a koordátaredserük r v -tegelyét a rögített tegely ráyába és íruk fel a N ϑ fet egyelet -kompoesét: N r v N = N cos ϑ = r mv cosϑ Mvel a tegelytől mért távolság és a helyvektor hossa köött feáll a R = cosϑ össefüggés végül a r N = N cos ϑ = R mv = m R ω össefüggést kapuk (tt felhasáltuk hogy a körmogásál v = Rω ) amek a a előye hogy bee a egyes tömegek sebessége helyett a köös sögsebesség serepel A teles test perdületéek -kompoese eek alapá köelítőleg: N N = mr ω = ω m R A össeget potserűek tekthető térfogatelemek eseté a testek a adott tegelyre voatkoó tehetetleség yomatékáak evek és redsert θ -val elölk: Θ m R A tehetetleség yomaték adott össtömeg eseté alapvetőe a test tömegéek a rögített tegely körül eloslásától függ vagys agyságát a test tömege alaka és a tegely helyete egyarát befolyásola rögített tegely eseté álladó A tehetetleség yomaték felhasálásával a perdület -kompoese N = Θω a merev test mogásegyelete pedg dn d( Θω ) M = = Rögített tegely eseté a tehetetleség yomaték álladó eért a mogásegyelet dω M =Θ = Θβ ahol β a forgó merev test söggyorsulása A kapott egyelet formalag aoos a haladó mogás egyeletével csak a erő helyett forgatóyomaték gyorsulás helyett pedg söggyorsulás serepel bee A tehetetleség yomaték smeretébe (amt "sabályos" testél tegrálással egyébkét köelítő sámítással vagy méréssel határohatuk meg) adott külső forgatóyomaték eseté a mogásegyelet tegrálásával megkapható a merev test sögsebessége és sögelfordulása a dő függvéyébe Ha a külső forgatóyomaték ulla akkor a perdület álladó marad am a fetek sert at elet hogy lyekor a rögített tegely körül forgó testre Θω = álladó

7 TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) 7 Et hasála fel pl a pruetteő műkorcsolyáó amkor kyútott karral elkedett forgás utá a karat behúa aa lecsökket a tehetetleség yomatékát és így hogy a perdülete álladó marado a sögsebessége megő és gyorsabb forgásba ö