2. KINETIKA. A kinetika tárgya és felosztása

Átírás

1 8. KINETIKA A eta tárgya és felostása A eta a ogást váltó oo vsgálatával foglaloó tudoáyterület. Feladata eee a ooa a feltárása leírása és a ogás eatáába egsert elleővel való össeapcsolása. A vsgálato sorá esseeőe felhasála a stata erőre erőredserere és a eata és a eata ogásora voatoó egállapításat alapába véve a ét területet apcsola össe. Keta alapfogala A etába előforduló alapfogalaat tér dő ayag pot erev test töeg ár a Mechaa I. tárgyalása sorá defáltu... AZ ANYAGI PONT KINETIKÁA A térbel teredéssel és a ayag sűrűségée egfelelő töeggel redeleő erev test ogásáa vsgálataor t at ár láttu boyos feltétele ellett a geoetra érete elhayagolható s a testet teredés élül töeggel redeleő ayag (töeg-) potét eelhetü. Newto törvéye bár deütt testet elítee érteleésü sert lye ayag potra voatoa. A ayag pot abstracó a testre ható erőredser eredőée eghatároását s egyserűsít. A erőredser érteleserűe csa öös etséspotú térbel erőredser lehet eredőée táadáspota tehát aga a töegpot vetora pedg: F F(r r & t) F (r r & t) ahol F (r r & t) a töegpotra ható -ed erő ( ) aely általáos esetbe a hely a sebesség és a dő függvéye.... A KINETIKA ALAPTÖRVÉNYE Newto II. aóáa értelébe a ogáseység egváltotatása aráyos a töegpotra ható erővel:

2 8 F d(v). A űsa gyaorlatba soásos sebessége ellett a töeg álladóa tethető. Így a fet feeés a öveteő alaot ölt: dv F a./a.. ábra A aóa elyet ebbe a forába ogásegyelete vagy a eta alaptörvéyée eveü tehát at oda hogy a ayag pot gyorsulásvetora aráyos a ható erő a ható erő vetorával a aráyosság téyeő pedg a töeg (ülö eelü hogy vel a töeg csa potív eység lehet - a erő és a gyorsulás vetora aoos hatásvoalú és yílértelű). Ha sert a pot töege és a rá ható erő F eredőe helyvetorát t a dő függvéyét a alapegyeletből a F a r(t) & ásodredű dfferecálegyelet egoldásával yerü. E aoba ár eata feladat. Abba a specáls esetbe ha F (r r & t) a töegpot gyorsulása s ulla. E at elet hogy a sebesség s álladó. Ha a edősebesség ulla a töegpot továbbra s yugaloba arad v edősebesség eseté a töegpot egyees voalú egyeletes sebességű ogást vége. A egyesúly és a yugalo tehát ülöböő fogalaat eletee. A előbb a erőredserre a utóbb a ogásállapotra voato. Mt látu adott erő ellett a pot ogásáa eghatároása a ogásegyelet tegrálásából áll. Ee a sáításo alalasa beveetett fogala segítségével sosor eletőse csöethető. A erő boyos csoportáál ugyas a alaptörvéy egy vagy több elsőredű dfferecálegyelet foráába írható fel. A beveetett alapfogala és a alaptörvéyből leveethető tétele és elve segítségével a pot ogására éve so fotos övetetetést vohatu le. E övetetetésee ülööse a erev teste etáába les fotos serepü.... A TÖMEGPONT KINETIKÁÁNAK TÉTELEI É ELVEI A eta alapegyeletée egy saátos érteleéséből alault a D Alebert-elv. Ha a töeg és a gyorsulás egatív soratát erőe fogu fel és D Alebert-féle ercaerőe vagy tehetet-leség erőe eveü aor a D a./b.. ábra és a alaptörvéy felhasálásával a F + ( a) F + D./c

3 83 feeést apu a a statába hasálatos egyesúly egyelet aalógááa tethető. A D Alebert-elv tehát at oda hogy a eta probléa foralag statara veethető vssa ha a ayag potra ható sabad erőhö hoáadu a ercaerőt. Bár a elv a alaptörvéyhe épest se úat e od égs fotos ert vele a ogás törvéyet éyeles és seléletes ódo a stata egyesúly óval egyserűbb törvéyeből állapíthatu eg. A ercaerő beveetése a alaptörvéy étféle érteleését tes lehetővé. Maga a F a alapegyelet a erő és a gyorsulás oság vsoyáról e od set. A ú. daa erőfelfogás sert a erőt tetü a gyorsulás oáa. A ú. stata erőfelfogás sert a alapegyeletet a öveteőéppe értelehetü. A a gyorsulással ogó testre a D a ercaerő s hat úgyhogy a testre ható erő eredőe dg ulla: F + D. A étféle érteleés (egállapodás) a alapegyelete csa ét egyeragú feeés óda. Mdettő alalaható de e egydeűleg. A daa erőfelfogás eseté ervaerőről cs értele besél a stata erőfelfogás eseté pedg e tethetü a gyorsulást a erő oáa hse a össes erő eredőe ulla. A ayag pot töegée és pllaaty sebességée soratát pulus vagy ogáseység-vetora eveü: t I v a F eység pedg a t t dősara voatoó erőlöés. Mdét eység I-bel t értéegysége [g/s]. Tétel: A pulusvetor dő sert derválta a ayag potra ható erő vetorával egyelő (a pulus tétel dfferecál alaa). Boyítás: Dfferecálu a pulusvetort a dő sert és hasálu fel a alaptörvéyt: & di dv I a F../a Tétel: A pulusvetor absolút értéée dő sert derválta a ayag potra ható erő értő ráyú opoesével a ú. pályaeet erőopoessel egyelő. Boyítás: Legye e a adott pllaatba a értő egységvetora. Eel és I e ve v./b & dv I a e F e. Tétel: Adott dőtervalluba a pulusvetor egváltoása egyelő a erőlöéssel aa a erővetora a t -t dősara voatoó dőtegrálával (a pulus tétel tegrál alaa). Boyítás: Alaítsu át (./a)-t a öveteő ódo:

4 84 A váltoó sétválastásával: dét oldalt tegrálva: dv.d v F F. v dv v t t F t v v F../c Tétel: Adott tervalluba a pulus agyságáa egváltoása egyelő a erő értő ráyú opoesée (a pályaet erőopoese) a t -t dősara voatoó dőtegrálával. Boyítás: (./b)-ből dulva a előővel aalóg elárással apu hogy t t v v Fe../d A (./c és (d) feeése at utatá hogy él agyobb a vsgált dőtartaba a sebességváltoás aál agyobb a ható erő. E a eleség ülööse ütöésél éréelhető ól ahol ge rövd dő alatt agy sebességváltoásho agy erőhatásra va süség. Ie sára a erőlöés eleveés. A gyaorlatba agy eletősége va aa a specáls esete or a ayag potra e ható erő. Ilyeor a tétel sert a vsgált dősaba t I I áll. A pulusvetor valaely potra vagy tegelyre sáított π r I r v ll. π π (r v) yoatéát perdülete eveü a M eységet a erőlöés aalógáára a t -t dősara.3. ábra voatoó yoatélöése eveü. Mdét eység értéegysége [g /s]. Tétel: Valaely potra vagy tegelyre sáított perdület dő sert derválta a töegpotra ható erőe a adott potra vagy tegelyre sáított yoatéával egyelő ( a perdülettétel dfferecál alaa). t t

5 85 Boyítás: Derválu a dő sert a potra sáított perdületvetort: d(rv) dr dv π & v + r vv + ra rf M.3/a Tegelyre sáított perdület eseté: d(π ) π& π& M..3/b Tétel: A potra vagy tegelyre sáított perdület adott dősara eső egváltoása egyelő a potra lletve tegelyre voatoó yoatélöéssel (a perdület tétel tegrál alaa). Boyítás: Alaítsu át (.3/a-t): dπ M dπ M.4. ábra π Tegelyre sáított perdület eseté aalóg ódo: t π M..3/c t t π π M..3/d t Ha a vsgált dő-tervalluba M ll. M a perdület (.3/cd) alapá álladó: π π áll. π π áll. Alaítsu át a alaptörvéyt a lácsabály alalaásával a öveteő ódo: dv dv dr dv F a v. dr dr Válassu sét a váltoóat tegrálu dét oldalt és vegyü fgyelebe hogy a r helyvetorho vsebesség r -hö v tarto: v v vdv r r Fdr

6 86 A bal oldalo a tegrálást elvégehetü: v r r v Fdr..4 A fet feeés érteleéséhe elősör defálu ell a bal és obb oldal eységeet. A obb oldal tegrált uáa eveü. A erő uát vége ha a ayag potot elodíta. Kcsy d r elodulásál a ú. ele uát a dw Fdr salársorattal sáítu. A salársorat tuladosága ll. a.5. ábra d r dse att: dw F dr cosα Fdse F ds. A ele ua potív egatív vagy ulla értéet vehet fel asert hogy a erő a elodulás ráyával hegyes topa vagy derésöget ár be. Ha a ayag pot a pályagörbe P potától a P potba ut a F erő elye értée általába a hely függvéyébe válto uáa alatt a ele uá össegét értü: e W r dw Fdr r r r s s F ds e.5 a teles ua tehát a erőe a elodulás ll. a ívoordáta sert (voal) tegrála. A végett ua általába a edő és végpoto ívül a pályagörbétől s függ. A ua I-bel értéegysége: [ N (oule)]. Tétel: Egy erőredser eredőée uáa a egyes erő uááa algebra össege. Boyítás: A eredőből álló F erőredser eredőe: a ele dr elodulással: F F. orou eg dét oldalt Így F F dr dw dr F dr dw. dw W dw W..6

7 87 A uával apcsolatos fogalo a telesítéy. A pllaaty telesítéy a ua dő sert derválta de a r dw Fdr dr P F Fv.7 össefüggés sert a erő és a sebesség salársorataét s defálható. A telesítéy I-bel értéegysége [ s W (watt)]. A telesítéy seretébe a uát (.7) alapá a telesítéy dőtegrálaét sáíthatu: t W P(t)..8 t (.4) bal oldalá a saláreység a v pllaaty sebességű töegű ayag pot ogás vagy eta eergáa: E v v..9 A ogás eerga a uával való apcsolata att ua ellegű eység tuladoéppe a test uavégő épességét elet. Deóa s egye a uáéval. A ogás eerga eta eletőségét alább tuladosága s alátáastá. Tétel: A ogás eerga dő sert derválta a pllaaty telesítéy. Boyítás: de d v dv v. va Fv P../a Tétel: A ogás eerga ívoordáta sert derválta a töegpotra ható erő értő ráyú össetevőe. Boyítás: de ds d v dv v v.. a ae Fe Fe../b ds ds v Tétel: A ogás eergáa a sebesség absolút értée sert derválta a pulus agyságát ada. Boyítás: d v d v de v v I../c dv dv dv

8 88 A ua és a ogás eerga defícóáa seretébe a (.4)-es össefüggés aely a ú sbóluoal a E W. E alaba írható a öveteő forába értelehető. Tétel: A ogás eerga egyelő a adott dőtervalluba a töegpotra ható erő uáával (uatétel). A F F(r t) vetorfüggvéy a tér de potáho hoáredel egy tetsőleges dőpllaatba egy erővetort. A lye erőtuladoságoal felruháott teret erőtére hívu. Koervatív erőtére eveü at a dőbe álladó erőteret elyet egy egyeértéű salárfüggvéy egatív gradeseét yerü. Aa du (r) U( y) U( y) U( y) F F(r) grad U(r). dr + + y. A U( r) U( y ) salárfüggvéyt potecála vagy potecáls eergáa hívu. Tétel: Koervatív erőtérbe a pályagörbe ét pota öött a töegpotra ható erő uáa csa a edő és végpottól függ a ét potot össeötő pálya alaától függetle és a ét potho tartoó potecálérté ülöbségével egyelő. Boyítás: r r r W du(r) Fdr dr du(r ) U(r ) U U. dr.3 r4 f r Tétel: Koervatív erőtérbe bárely árt görbe eté végett ua ulla. Boyítás: Zárt görbe eseté a edő és végpot helyvetora egegye ( r r ). Így W U(r ) U(r ) U U (.3) utata hogy a potecáls eerga gyara helyet eergáa s eveü ua ellegű eység így deóa s egegye a uáéval. A uatétel ódot ad a eta és a potecáls eergafatá össeapcsolására. Tétel: Koervatív erőtérbe a ayag pot eta és potecáls eergááa össege a ogás folyaá álladó (a echaa eerga egaradásáa tétele). Boyítás: A erő uáát a uatételbe a ogás eergával oervatív erőtérbe a helyet eergával feetü. A étféle ódo sáított uáa terésetese eg ell egye. E E U U W.

9 89 e E /a U E U A fet feeés bárely dőtervalluba érvéyes tehát a ogás folyaá E + U áll..4/b Et a össeget a teles echaa eergáa eveü. Ne oervatív ú. dsspatív erőtérbe a echaa eerga egaradásáa tétele csa ódosított forába áll fe. Dsspatív erőel apcsolatos eleségeél e pustá echaa terésetű hae ás eergaforá pl. hőeység s serepele. A echaa ogásoál a egy leggyarabba előforduló dsspatív erő a súrlódás erő. Ee uáa a ogás folyaá hővé alaul és e yerhető vssa. Ilyeor a eergaegaradás tételét úgy ódosítu hogy a eergavesteséget hoáadu (.4/a) obb oldaláho: E + U E + U W..4/c + vesteség..3. AZ ANYAGI PONT NÉHÁNY PECIÁLI MOZGÁA ZABAD MOZGÁ abad ogást vége a ayag pot ha a ható erő eredőétől függőe a tér tetsőleges ráyba elodulhat aa a ogás sabadságfoa háro. A/ Mogáso a Földö A Földhö apcsolt oordátaredserbe vsgálva a sabad ogást a ayag potra általáosa a súlyerő a öegelleállás a öeg felhatóeree és valalye gerestőerő hat (.6. ábra). Mdg a adott ogás ellege ll. a vsgálat sepota döt el hogy a fet erőfatá öül elye hayagolható el potosabba lye egyserűsíthető feltevéseel vehető fgyelebe. a/ Mogás álladó súlyerő hatására Ha a ogás a Föld éretehe épest s térrésbe al le aor a ehéség gyorsulást ll. a e egfelelő súlyerőt a dőtől és helytől függetle álladóa tethetü. A sabad ogás tehát hoogé erőtérbe átsód le. Ha úgy vessü fel a oordátaredsert hogy a függőleges ráy a felfelé utató tegely legye a erőteret a F ( y) G g g áll..6. ábra

10 9 össefüggéssel adhatu eg. E - a defícó sert oervatív erőtér. A súlyerő uáa íg a töegpot r -ből r -be ut: r r W Gdr gdr g dr r r g( r r ) g g r r tehát csa a edő és a végpot stülöbségétől függ. A potecálfüggvéy (egy adív álladótól eltetve): U ( y ) U() g G..5 A F G g a alaptörvéyből rögtö láts hogy a töegpot álladó g gyorsulású. g és a edet feltétele a ogást egyértelűe eghatároá. A ogáselleőet a pulus- a ua- és a echaa eerga egaradás tételével általába ge egyserűe sáíthatu. b/ Mogás váltoó súlyerő hatására Ha a agasságülöbség olya agy hogy a ehéség gyorsulás váltoása ár e hayagolható el a súlyerő s váltoó les. Aeybe a ogás vístes érete e agyo a súlyerőt továbbra s függőleges hatásvoalúa épelhetü. A általáos töegvoás sert a töegű ayag potra ható erő ( a oordátaredser edőpotát a földfelsíe a Föld öéppotától R távolságra vessü fel). M F γ g().6 (R + ) F ahol M a Föld töege γ - a ú. gravtácós álladó I-be γ g - s -. (.6) ost s oervatív erőteret ad. A potecálfüggvéy (a adív álladótól eltetve): U( y) M U() γ.7 R + elye helyességéről dfferecálással öye eggyőődhetü: U du() γm F. d (R + ) Ha fgyelebe vessü hogy a földfelsíe a gyorsulás g g( ) γm / R és a töegpot e távolod el agyo a Fölől aa << R a ehéség gyorsulás a agasság függvéyébe (.6) alapá:

11 9 M M g g() γ γ..8 R + R + R + + R R A uatétellel például öye sáíthatu a h agasságba eletett sabado eső test Földre éreés sebességét (ha a légelleállást elhayagolu): ahoa v g()d g d g h h + R v v(h) h h grl +. R d + R gr h l + R Álladó gyorsulást feltételeve a végsebesség t tudu: c/ Mogás elleálló öegbe v gh. Gáoba vagy folyadéoba való ogásál a ayag potra a súlyá és a Archédes-féle felható erő ívül ég egy féeő erő s hat elyet öegelleállása eveü. A öegelleállás ráya a töegpot sebességével elletétes agysága függ a test alaától sebességétől és a öeg vsotásától. Ige cs teste és sebessége eseté a elleállás v-vel egyébét öelítőleg v -tel vehető aráyosa: ahol e a pályagörbe értőée egységvetora K > C > aráyosság téyeő. A fete értelébe a öegelleállás dsspatív erő. A ogás alapegyelete (G alatt a felhatóerővel csöetett súlyerőt értü): dv F G + Fe (v) a F (v) Kve F (v) Cv e.9/ab e e v ahoa a tegrálás álladóval dv t + v. G + Fe (v) Ee vere ada a v v(t) függvéyt elyből a több ogáselleő eghatároható..7. ábra

12 9 áítsu a elleálló öegbe sabado eső test sebességét álladó súlyerőt feltételeve (.7. ábra). A töegpot ogásegyelete (a pálya a oordáta-tegellyel párhuaos egyees): aláregyeletbe: Átredeve: dv. g. + Fe (v). dv g F (v). e t dv Fe (v) g + v. A egoldás attól függ hogy (.9/a)-t vagy (.9/b)-t vessü fgyelebe: Leárs csllapítás: F e Kv. t dv + v K g v.l g K K v + v. t v erület feltétel eseté v.lg. K Vssahelyettesítés és redeés utá: K g t v v(t) e. K g A sebesség bár álladóa öves a v a értéél e lehet agyobb. K. Négyetes csllapítás: F e Cv dv dv t C g v g v dv ( + v)( v) + v + v + v g + v v g + dv + v (l( + v) l( v)) + v A előővel egegyeő erület feltétele ellett v *. Vssahelyettesítve és redeve: g

13 93 v e v(t) e e + e e + e gt gt gt gt gt gt sh(gt) ch(gt) th(gt). Eel a sebességfüggvéy: g Cg v v(t) th.t.. C g A sebesség ost s folyaatosa ő de a v a értéet csa végtele dő úlva ér el. C A pályabefutás törvéye (.) és (.) dfferecálásával apható. B/ Cetráls ogáso Cetráls ogásál a töegpotra ható erő s a alaptörvéy sert a gyorsulás s dg ugyaabba a potba a ogás cetruába utat (.8. ábra). Ha a oordátaredser edőpotát ebbe a cetruba vessü fel aor a pot r helyvetora a gyorsulása és a F erő de dőpllaatba párhuaosa egyással. Bárlye cetráls erőél (erőtérél) feáll a öveteő: Tétel: Cetráls erőtérbe a ayag pot felület sebessége (vetora) álladó aa a pálya sígörbe és a helyvetor egyelő dő alatt egyelő területeet súrol (felület tétel a bolygóogásora voatotatva Kepler ás törvéye). Boyítás: orou eg a vetorral balról vetorálsa: F & r alaptörvéyt a r hely-.8. ábra r r & rf. A obb oldal vetorsorat a defícó értelébe ulla a bal oldal a d(rr) & (rr) & forára hoható elye helyességéről a dfferecálás elvégésével eggyőődhetü. Végeredéybe tehát:.9. ábra aből a övete hogy d(rr) &

14 94 r r& rv áll.. rdr A r r& feeése aoba ge seléletes a eletése. A r dr agysága a vetoráls sorat érteleése sert a r és dr által alotott hárosög df ele területée a étserese ráya pedg a hárosög síára erőleges. által dő alatt súrolt terület. Eért a d f (rr) & d f tehát e ás t a helyvetor feeéssel apott vetoreységet felület-befutás sebessége eveü elye agysága a dőegység alatt súrolt területet ráya pedg a felületdarab síát és a befutás ráyát határoa eg (.9. ábra). A felület sebességvetor (.) sert álladó. A ráy álladósága at elet hogy r és r & v dg ugyaabba a (pálya-)síba va a agysága álladósága pedg at boyíta hogy a súrolt területe a f C(t -t ) alapá a a df C áll. tegrálásából rögtö övete aráyosa a t t dősaal. űebb értelebe vett cetráls erőö olya erőet (erőteret) értü aelye agysága csa a cetrutól sáított r távolságtól függ.. ábra aa valalye függvéye. Tétel: A sűebb értelebe vett cetráls erő erőtere oervatív. Boyítás: A erőtér oervatív ha va potecála aa a erőtér uáa csa a edő és végpot helyétől függ. A sűebb értelebe vett cetráls erőt a r F F(r). F(r)e R r általáos érvéyű feeéssel adhatu eg ahol er - a helyvetor ráyáa egységvetora F(r) - a előeltől eltetve a erő agysága. Botsu fel a pllaaty sebességet - a polároordátás egadása egfelelőe a r& sugárráyú és a r ϕ& ergő össetevőre (.. ábra) és sáítsu a uát a telesítéy dőtegrálaét: t P Fv F vcosαos F(r)r W & t t t t t t t r r F(r)dr. A utolsó tegrál értée csa a r és r távolságotól függ a ua tehát egyedül a cetrutól ért távolság függvéye a erőtér oervatív.

15 95 a/ Mogás gravtácós erőtérbe Vegyü fel a oordátaredserü edőpotát a M töegű test (ayag pot) öéppotába (.. ábra). A r helyvetorú töegű ayag potra ható erő a általáos töegvoás törvéye sert: M r F F(r) γ..3/a r r Descartes-féle oordátaredserbe: M M F F + Fy + F γ γ. r r r r.3/b Mvel γ M és álladó F sűebb értelebe vett cetráls erő tehát oervatív erőteret alot. Potecálfüggvéye:.. ábra M U( y) U(r) γ r.4 aről öye eggyőődhetü hse U U r r M ( γ r + y + ) 5 M γ r r F. U A ás ét erőopoest s hasolóa apu aa F(r) a a potecáls erőtér defícóa. r A töegű pot ogásáa eghatároásáho íru fel a alaptörvéyt: M γ r F r r a r && e & γm r + r. 3 r.5 Ee a ásodredű hoogé (vetor) dfferecál-egyelete a egoldása ada a töegű pot ogástörvéyét. A feladatot aoba egyserűbbe egoldhatu a töegpot eatáára voatoó tétele felhasálásával. A felület tétel alapá tudu hogy a ogás síogás eért célserű olya polároordátaredsert válasta elye edőpota a M töeg öéppota. Ee ívül df rr& re (re (re & R R R + rϕ& eϕ )

16 96 c rr(e & e ) r (e e ) r R R + & ϕ R & ϕ ϕ áll..6 A echaa eerga egaradásáa tételéből: M (r& + r. ϕ& ) γ E áll..7 r Elősör határou eg a r r(ϕ) függvéyt aa a töegpot pályáát. (.6)-ból c dr dr dϕ dr c dr ϕ & és r ϕ & &. r dϕ dϕ r dϕ Et (.7)-be helyettesítve redeés utá a öveteő elsőredű dfferecálegyeletet apu: dϕ r E c γm c + r r dr aely a helyettesítéssel a att a E ε M γm c + áll. és u.8/ab c c r du dr dϕ c r du u alara hoható aely ár ele tegrál. Általáos egoldása: u ϕ + ϕ arccos ahol ϕ - tegrálás álladó. A függvéy vere: u cos ( ϕ + ϕ ). Ide (.8)-at behelyettesítve redeés utá egapu a eresett függvéyt: c γm r.9 c E γ M + cos( ϕ + ϕ ) γm c Ha a ϕ söget a aáls r-től érü aor ϕ -ál r r a a (.9) alapá aor telesül ha cos (+ϕ * ) aa ϕ *.

17 97 Veessü be a c e γm Eeel a pálya egyelete: c p - ú. foáls paraétert és a.3 γm E γ M c + - uerus ecetrctást..3 p r r( ϕ).3 e cosϕ a olya úpselet egyelete aelye öéppota a polároordáta-redser edőpota aa a M töegű pot. A pályagörbe ellpss parabola vagy hperbola attól függőe hogy e. e eseté a pálya p sugarú ör. (.3) tuladoéppe Kepler bolygóogásora voatoó első törvéye sert a bolygó pályá ellpsse és a ellpss egy cetruába a Nap áll. Tétel: Gravtácós erőtérbe a ayag pot pályáa ellpss parabola vagy hperbola asert hogy teles echaa eergáa egatív ulla vagy potív vagy áséppe feeve edő sebességée agysága γm v o v rt r tehát egy aghatároott v rt sebességél sebb vele egyelő vagy agyobb. Boyítás: Mt láttu a pálya alaa a uerus ecetrctás értéétől függ: e. Helyettesítsü e helyére (.3)-et. Négyetre eelés és redeés utá: o E c γ M. A bal oldal eység értée vel γ c M ll. ee égyete csa potív lehet tehát E -től a teles echaa eerga előelétől függ. De E M M v v o.33 r r o ahol v o a r o távolságra lévő töegű pot edősebességét elet. (.33) alapá E ha M v o γ v rt. r Eora edősebességet válastva e a pálya parabola. Ee sert ha o v v o v v o rt rt aor aor E E és és e ellpss e hperbola.

18 98 M Mvel a potecáls eergát a U γ feeés ada ellpss pályáál a teles echaa eerga a agy egatív értéű potecáls eerga és a vsoylag cs ogás eerga r att dg egatív. A töegpot ogás eergáa e elegedő ahho hogy saado a cetruból és egy boyos távolságál essebb erülö. A pálya csa ellpss lehet ert aa cs végtelebe lévő pota. A töegpot pályááa seretébe a r r(t) és ϕ ϕ (t) függvéye s eghatároható.(.6)-ból r r(ϕ) seretébe: t r ( ϕ) dϕ + r.34 c ahol r * - tegrálás álladó. A fet függvéy vere a eresett ϕ ϕ(t) függvéy és a pályagörbe egyeletéből r r(t) r[ ϕ(t) ]..35 Eel a probléa legalábbs elvleg egoldódott. A (.34)-es tegrál aoba e feehető árt eplct alaba. A orét sáításoho általába sorbafetéses foruláat hasála. Ellpss pályáál a egy örbefutás T dee öye sáítható. Megt a felület tételt hasálu: df c r ϕ& áll. Ie c df tt a bal oldal eység a ellpss területe. A df πab ahol a és b a ellpss agy és s féltegelye. Itegrálás és redeés utá a ergés dő: πab T c A féltegelyeet feehetü a foáls paraéterrel és a uerus ecetrctással (.. ábra):.. ábra Eel: b a b p e. a a 3 a T π πγm..36 γm E 5 Tétel: A aoos M töegű cetru örül ergő ayag poto ergés deée égyete úgy aráylaa egyásho t a pályá félagytegely-távolságaa öbe (a bolygató ogásora voatotatva Kepler harad törvéye).

19 99 Boyítás : (.36) első fele alapá látu hogy a ergés dő a fél agy tegelye ívül γ -tól és M-től függ. E ét utóbb álladó a egyes töegpotora éve így ét a és a fél agytegelyű töegpotra: T a 3 T a 3 4π γm áll. vagy T T a a 3 3 Md a bolygóogáso például a Földe a Nap örül ogása d a Föld örül erőtérbe végbeeő ogáso gravtácós erőtérbe leátsódó ogáso. A Nap a Föld ll. a Föld öryeetébe ogó teste (űrsodá űholda) geoetra érete a pályá éretehe épest elhayagolható így ao a ogás leírása sepotából töegpota tethető. A Föld örül erőtérbe végbeeő ogásoál fotos serepe va a ú. ous sebessége. Ahho hogy a esterséges hold elhagyhassa a Föld erőterét aa pályáa parabola vagy hperbola legye e -e ell feálla. A Föld felsíé (r R) lőtt teste tehát álsa a rtus sebességgel ell redelee. E a föld vsoyo eseté (R637 M Föld g): γγ v v rt v II 8369 s 8 s R elyet ásod ous sebessége eveü. Körpályá oog a esterséges hold ha e. (.6) (.3) és (.33) alapá a Föld felsíé lőtt teste eo v M R v rt v I γ 7986 s 79s Kedősebességgel ell redelee elyet első ous sebessége eveü. Ha a edősebesség sebb t v I a test ellpss pályá (elyet álladóa tetett erőtérbe parabolával öelítü) vssatér a Földre ha agyobb t v II aor hperbola pályá elhagya. Ha a edősebesség a ét ous sebesség öé es a esterséges égtest pályáa ellpss. A gravtácós erőtérbe való ogás leírása hossú évsáado egfgyelésee és selle erőfesítésee eredéye. A bolygó ogáso Tycho de Brahe által ért geoetra adata alapá Kepler eprusa övetetette háro törvéyét. Newto eee a törvéyee próbálta a echaa által felállított alaptörvéyée helyességét. Úgy találta hogy a M Kepler-féle törvéye aor telesüle ha F γ alaú cetráls erőt feltétele és ráött arra r s hogy ugyae a gravtácós törvéy sabályoa a Földö sabado eső test ogását s. Ee a felserése a eber selle legagyobb felfedeése öé tartoa. b/ Harous regőogás (legőogás) A űsa gyaorlatba gyara előfordul olya cetráls erőhatás elyet a oordátaredser edőpotát a cetruba felvéve a F F(r) sr.37

20 függvéyapcsolat ír le (.3. ábra). A erő tehát aráyos a helyvetorral a aráyosság téyeő s eve rugóerevség aely tuladoéppe a egységy elodításho süséges erő értéegysége [N/]. EE a erőtörvéy tuladoéppe a rugalasságta Hooe-törvéyée felel eg s így bárely rugalas test töegpotra gyaorolt hatása eel a függvéyapcsolattal adható eg. A seléletesség és a egyserűsítés edvéért a rugalas testet rugóval odelleü e a rugóerevség feeés. A alaptörvéy sert & r sr s ahoa ν áll. helyettesítéssel:.3. ábra & r&+ ν r..38 Ee a általáosa sert ásodredű hoogé dfferecálegyelete a általáos egoldása: r r(t) Acosνo+ Bsνt..39 Kedet feltételét t r r és v v értéeet válastva a partulárs egoldás: v r r(t) r cosνo+ sν.4 ν A eresett helyvetor tehát a cetráls ogása egfelelőe a r és v vetoro által eghatároott síba va. Ha a v sebesség a r ráyába es r (t ) dg ugyaebbe a egyeesbe les. Ha et a ráyt válastu tegelye (.4) a öveteőéppe alaul: v (t) cos νt + s νt.4 ν a a eatából ár sert leárs harous regőogás törvéye. Ha r és v ráya ülöbö aor v a a r ráyába eső opoese legye v rá erőleges opoese pedg v y. Eor (.4) saláregyeletebe így írható: v v y (t) cos νt + s νt y y(t) s νt.4 ν ν

21 aelyet ellptus regése eveü. Köye beláthatu hogy a pályagörbe ellpss. A ellpss síát és adatat a válastott edőfeltétele telese eghatároá. Mt látu a regőogás peródus. Egy teles regés dee: π T π ν. s s A ν sögsebesség ellegű eység értéegysége [/s] de a űsa gyaorlat örfrevecáa eve. Md a peródusdő d a örfreveca csa a rugóerevsége és tö- eg agyságáa a függvéye. Aál agyobb frevecával reeg a töegpot él sebb a töege és él erevebb a rugó. A harous regőogást létrehoó erő t sűebb értelebe vett cetráls erő oervatív. Potecála (egy adív álladótól eltetve): s s U Fdr ( sr)dr r r.43 teles echaa eergáa: E E + U v + sr áll ábra Vsgálu eg egy olya töegű ayag pot ogását elyre a G súlyerő ívül a A potba felfüggestett rugó erestül F rugóerő s hat (.4. ábra). A alaptörvéy sert: rp && G + F g s(rp r s rp (r A A ) g ) s(rp rc ). s Mt látu r aa a C pota a helyvetora aely a A pottól függőlegese lefelé g C távolságra található. Ebbe a potba a töegpotra ható erő s eredőe: g R g s(rc ra ) g s(ra ra ) s aa tt a töegpot egyesúlyba va. Ha a oordátaredser edőpotát tt vessü fel a ayt elet hogy a r r p rc helyettesítést ell elvégeü aor & r & P r att (hse r C függetle a dőtől) a ogás alaptörvéye a öveteő alaot ölt: & r + ν r a (.38)-al egye. Tehát a súlyerő és a rugóerő együttes hatására eleteő ogás C r cetruú harous regőogás a edet feltételetől függőe leárs vagy ellptus.

22 c/ Leárs regése. Csllapítatla sabad regés (legés) Csllapítatla sabad regésről aor besélü ha a ayag potra csa a F- -a alaú rugalas erő hata. A előőebe láttu hogy lye esetbe a leárs harous regés ogásegyeletét (.4) ada elyet a alább forába s felvehetü: A s( νt + ϕ ).45 ahol A a regés apltúdóa (a öéppottól ért legagyobb térés) ϕ - a fásálladó. A A és ϕ tuladoéppe tegrálás álladó értéü a edet feltételetől függ. A (.4)- e egfelelő erület feltétellel v ν A + és ϕ ar ctg..46 ν v A csllapítatla regés erőtere t láttu oervatív érvéyes tehát a echaa eerga egaradás tétele. A tételt a csllapítatla sabad regés specáls esetére voatotatva aa & + s alaú alaptörvéyéből & -tal való sorással öye le s veethetü: vagy & && + s & d & d s +. Itegrálva: & + s E áll. aa E + U.47/ab E ahol E a edet teles echaa eerga. (.47/a) tuladoéppe a (.44)-es feeés leárs regésere voatoó váltoata. A össefüggést ól seléltethetü ha a potecáls eergát a függvéyébe ábráolu.5. ábra E a parabola elye alaa a rugóerevegfelelő a tegellyel párhuaos egyees és a tegely öött távolságot a parabola ét résre osta. A alsó rés a potecáls a felső rés a ogás eergáa egfelelő saas. Ahol E egyeese ets a parabolát ott a potecáls eerga aáls a ogás eerga ér-

23 3 tée pedg ulla. A etséspota egfelelő ± A oordátá a töegpot sélső helyetet aa a apltúdó értéét adá.. Csllapított sabad regés (legés) A harous regőogást ooó (.37) típusú erőö ívül a valóságba dg fellépe olya hatáso aelye a ogást gátol gyeee. Eee a elleállásoa a a öveteéye hogy a agura hagyott sabad regése előbb-utóbb lecsllapoda és egsűe. A ogást gátló erő dg a pllaaty sebességgel elletétese hata. A gyaorlatba leggyarabba előforduló csllapításfatá: - ára (Coulob-féle) súrlódás: a elleállást a v R F s..48 v feeéssel adhatu eg ahol F s a ogásbel súrlódóerő (.6/a. ábra). - A sebességgel aráyos elleállás: R Kv.49 ahol K potív álladó (.6/b. ábra). - A sebesség égyetével aráyos elleállás: v R Cv.5 v.6. ábra ahol C potív álladó (.6/c. ábra). Vsgálataat csa leárs regésere és a első ét elleállásfatára orlátou. α/ ára súrlódással csllapított sabad regés A töegű ayag pot ogástörvéye: vagy & s.5/a F s & ν + Fs.5/b ahol s ν.5 a örfreveca. v > eseté a egatív v < eseté a potív előel érvéyes. Mvel a súrlódó erő függvéyée a v helye ugrása va (.6.a. ábra) a feladatot ét résre botva oldu

24 4 eg. A ét egoldás öött csa ay a ülöbség hogy a súrlódóerő előele a elleeőére válto. orou eg (.5/a)-t & -tal és vegyü a v > esetet: vagy & && + s & F s & d & d s + F s d. Itegrálva: & + s E Fs.53 ahol E - a edet teles echaa eerga. A feeés tuladoéppe a általáosított echaa eerga egaradás tétele ahol a edet teles echaa eergából le ell vo a eergavesteségeet. A vesteség ost a súrlódóerő uáa: F s. Ábráolu ost s a (.5) össefüggése egfelelő apcsolatot. Idítsu a töegpotot a -A helyetből v edősebességgel (így ebbe a ogás saasba v potív). Legye a edő pllaatba a teles echaa eerga E aely a ogás folyaá a súrlódó erő uáával csöe. A eergaegyees tehát e vístes t csllapítás élül ogásál hae -F s ráytagesű. A első fordulópot.7. ábra ao a A helye les ahol a eergaegyees ets a parabolát. A a obb oldal apltúdó értée. Aoal láts hogy A > A tehát a súrlódóerő hatása apltúdó-csöeésbe ylvául eg. A fordulópot utá a sebesség és eel a súrlódóerő s előelet vált (v < ). A eergaegyelege ost +F s ráytagesű a parabolával való etsépota ada a -A helye a öveteő fordulópotot. A elárást hasolóa folytatva eghatárohatu a össes fordulópotot aa a egyes ogássaasoa egfelelő aáls téréseet. A ogás aor aad eg aor a utolsó apltúdó A e F s /s. A öéppotho épest setrusa felvett e hossúságú saast éréetleség sáva eveü. Mvel a egyre csöeő sélső helyetebe a rugóerő s egyre sebb les a súrlódóerő pedg álladó les egy olya A végtérés ahol sa F s aa a rugóerő ár e elegedő a súrlódóerő legyőéséhe. E dg a éréetleség sávo övete be. Mvel

25 5 d s s a éréetleség sáv e értéét a se F s sert ott apu ahol a eergaegyees ért a parabolát. Térü vssa a súrlódással csllapított ogás (.5/b) dfferecálegyeletéhe. Ee általáos egoldása: Fs ( t) C cos νt + C s νt.53 s ahol C C - tegrálás álladó. Meghatároásuho legyee a edet feltétele a öveteő: t -ál -A v a at elet hogy a töegpotot a egyesúly helyettől A távolságra eltávolítu és álló helyetből dítu. Eor v > így (.53)-ba a felső egatív előel érvéyes. A edet feltétele felhasálásával C Fs A + és C s adód. A ogásegyelet partulárs egoldása a balról obbra törtéő elodulás sorá: a sebességfüggvéy Fs Fs ( t) A + cos t s ν.54/a s Fs v(t) (t) & ν A + s νt s.54/b a gyorsulásfüggvéy Fs a(t) & (t) ν A + cos νt s..54/c A obb oldal sélső helyetet A értéét abból a feltételből határohatu eg hogy ebbe a potba a sebesség ulla. (.54/b)-t ullával egyelővé téve feehetü a egállásho tartoó dőpllaatot: Eel (.54/a)-val: t π ν.

26 6 A + A Fs Fs + Fs A s s Fs s s A Fs s A cos ν π e ν..55 A apltúdó tehát éppe a éréetleség sáv agyságával csöet. A balról obbra törtéő ogásál sét a (.53) partulárs egoldását ell egeresü (ost a súrlódóerőt potív előellel ell fgyelebe ve). ( t) C cos νt + C s ν t F s s A erület feltétele: t -ál (a dősáítás edetét áttettü t -be) A v. Eeel C Fs A C 4. s 3 A ogásfüggvéye vssafelé törtéő ogásál: Fs Fs Fs Fs ( t) A cos ( t) A cos ( t ) s + s 3 ν s ν +.56/a s 3Fs v( t t ) ν A s ( t) s ν.56/b 3Fs a( t t ) ν A cos ( t) s ν..56/c A öveteő bal oldal apltúdó: s( t ) t π ν A Fs Fs Fs 4Fs A A A e A A 4e s + s + s + + s +. Általáosíthatu a apott eredéyt hse látu hogy a egyoldal térése aua dg e-vel csöe a apltúdó-csöeés értée a súrlódóerő agyságával egyees aráyba a rugóálladó agyságával fordított aráyba válto. π Egy peródus lefutásáho süséges dő: T t + t a - érdees ódo - ν ugyaaora t a csllapítatla regés peródusdee. A sára súrlódással csllapított regő-

27 7 ogás tehát ugyaaora örfrevecával al t a csllapítatla csupá a apltúdó lese sebbe (8. ábra). Ha -el elölü a félregése sáát aor áll eg a ogás ha A e e e A s.57 F s -t a obb oldal felereített egés értée ada. A.8. ábrá egy olya súrlódással csllapított regőogás foroóa görbéét látu ahol 5 félregés utá áll eg a ayag pot. β/ ebességgel aráyos csllapítás. A ayag pot ogástörvéye: Legye.8. ábra & s K&..58/ab s K ν κ.58/ab ν - a csllapítatla regésél ár egsert örfreveca elyet a továbbaba saát örfrevecáa eveü κ - a elleállásra elleő cslapítás téyeő. Eeet behelyettesítve a alapegyeletbe egy ásodredű hoogé dfferecálegyeletet apu: & + κ& + ν..59 Tegyü fel hogy a λ 5t e ( λ - egyelőre seretle álladó) a dfferecálegyelet egy partulárs egoldása. Vssahelyettesítve (.59)-be λ -ra a alább ásodfoú egyeletet yerü:

28 8 λ + κλ + ν e λ κ ± κ ν λ t A dfferecálegyelet általáos egoldása a e és..6 e λ t partulárs egoldáso össege: C és C tegrálás álladó. (t) C e.6 λ t λ t + Ce A λ gyöö lehete oplee valósa ll. ettős gyöö. Ee egfelelőe háro ülöböő egoldást yerü ge seléletes fa eletéssel. κ < ν gyege csllapítás Ebbe a esetbe a gyöö oplee: A általáos egoldás: e κt λ κ ± ω ahol ω ν κ κt ωω ωω κt (t) e (Ce + C e ) e [ C(cosωc+ sωs + C [ cos[ ωt] s[ ωt ] κt [(C + C )cosωc+ (C C )sωs] e (K cosωo+ K sωω vagy a (.45)-e egfelelő alaba:. κt ( Ae ) s( ωt + ϕ ) (t).6 a tegrálás álladó öt apcsolat: K A K + K ϕ arc tg.. K. (.6)-ből ár láts hogy olya harous regésről va só aelye a apltúdóa a dővel epoecálsa csöe. A regés örfrevecáa: ω ν κ.63/a tehát sebb t a csllapítatla regés (ott κ ) örfrevecáa. Egy ogásperódus dee: κ κ T..63/b ω ν κ

29 9 ω és T s csa s és K függvéye a ogás folyaá tehát váltoatla. A ogás t forooa görbéét egraolhatu (.9. ábra)..9. ábra Bárely ét egyás urá egyráyú aáls térés aráya (.6) alapá ha A -he t dő tarto: κt A Ae.s(ω. + ϕ ) e κ(t + T) A + Ae.s(ω[ t + T] + ϕ ) e κt κ(t + T) e κt..64 Két sosédos aoos ráyú apltúdó háyadosa tehát álladó. A aoos ráyú térése aua geoetra sort alota. -t csllapítás háyadosa eveü terésetes logartusát (l κ T) pedg logartus dereetua. Hasolóa határohatu eg ét sosédos de ülöböő ráyú aáls térés háyadosát s: T A κ A + e..65 A sosédos apltudó és a peródusdő érésével (.64) vagy (.65) felhasálásával eghetárohatu a csllapítás téyeőt. A forooa görbé ól láts hogy a csllapított regőogás függvéye a apltudócsöeés epoecáls görbéét e a aáls térése pllaatábaért hae dg egy cst ésőbb. Mvel a érteés a s ( ωt + ϕ ) ± -e egfelelő dőpllaatba törté ét aoos ráyú érteés öött eltelt dő egegye a peródusdővel. A töegpot sebességét (.6) dfferecálásával yerü: κt v v(t) Ae [ ωcos(ωt + ϕ ) κs(ωt + ϕ )]..66

30 A aáls térése deét ott apu ahol a fet sebesség ullával egyelő. κ > ν erős csllapítás Ebbe a esetbe dét gyö valós és egatív. A dfferecálegyelet általáos egoldása: λ t λ t (t) C e + C e..67 A egatív tevő att epoecálsa csöe és - κ -tól ll. a C és C tegrálás álladó egválastásától függőe rövd öveedés vagy egyser öéppotátlépés utá - asptotusa a ulla felé tart (.. ábra). Regésről tuladoéppe ár e s besélhetü. A ogást gátló ge agy elleállás att ú. aperódus regés elete. κ ν aperódus határeset A ét gyö ost egyelő: λ λ κ. A dfferecálegyelet általáos egoldása:.. ábra κt (t) (C + C )e..68 Itt a első ábraréslete egfelelő aperódus ogás lép fel. A térés asptotusa tart a ulla felé. 3. Gerestett (éyserített) regés (legés) Gerestett regésről aor besélü ha a töegpotra a rugó- és a csllapítóerő ívül ég valalye egyéb avaró általába dőbe peródusa váltoó erő s hat. A avaróerőe a egy peróduso belül váltoása ge boyolult lehet a gyaorlat sepotából legfotosabb esetebe aoba sus vagy cosus függvéyel adható eg. Így például F(t) F s Ωt.69 ahol F - a gerestőerő aua Ω - a gerestő örfreveca. A töegpot ogásáa alapegyelete:

31 s K& + F s Ωt. A orábba alalaott és a F helyettesítéseel: f & + κ& + ν f s Ωt..7 Ee a ásodredű hoogé dfferecálegyelete a általáos egoldása egy partulárs egoldásáa és a hoogé dfferecálegyelet általáos egoldásáa és a hoogé dfferecálegyelet általáos egoldásáa össegeét adód. A hoogé egyelet általáos egoldását aoba ár serü ert a e ás t a gerestés élül csllapított sabad regés ogásegyelete (κ értéétől függőe (.6) (.67) vagy (.68). Keressü a partulárs egoldást a Ω D cos Ωt + D s t.7 alaba (D és D egyelőre seretle álladó). Vssahelyettesítés és redeés utá: [ ( ν Ω ) + D Ωκ] cosωt + [ D Ωκ + D ( ν Ω ) f ] s Ωt. D E a egyelőség a sus és cosus függvéye leárs függetlesége att csa úgy állhat fe ha a sögletes áróelbe lévő eysége ullával egyelő. A ét feeésből: fκω f( ν Ω ) D D. ( ν Ω ) + 4Ω κ ( ν Ω ) + 4Ω κ Eel a partulárs egoldást eg s találtu. Íru át (.7)-et a apltúdós forába: ahol (t) A s( Ωt ϕ ).7 f A D + D.73 ( ν Ω ) + 4Ω κ D Ωκ ϕ ar ctg ar ctg. D.74 ν Ω Eel a (.7) általáos egoldása (κ<ν feltételeéssel): ' -κκ ' (t) As(Ωs ϕ ) + A e s(ω + ϕ )..75 A apott eredéy fa eletése a öveteő. Gerestett regés eseté a ayag pot ogása egy Ω örfrevecáú csllapítatla és egy ω örfrevecáú csllapított regésből ( κ ν

32 eseté egy aperodus ogásból) tevőd össe. A csllapított ogás boyos dő úlva elhayagolható így tartósa csa a első rés arad eg. A töegpot a gerestő Ω örfreve.. ábra cával csllapítatla regést aa éyserregést vége (.. ábra). A regés apltúdóa valat a gerestő erő és a éyserregés öött fellépő ϕ fásülöbség a gerestő örfrevecától függ. A.. ábrá a (.74)-e egfelelő ϕ Ω κ arc tg függvéyt ábrá- ν ν Ω ν κ oltu ülöböő paraétere ellett. A ϕ fássög és π öött váltohat a gerestett ν Ω regés tehát a ϕ eset vételével dg éséssel övet a gerestő regést. Ha aa a ν gerestő örfreveca egegye a csllapítatla regés saát örfrevecáával aor a fássög függetleül a csllapítás téyeőtől dg. Ha és κ a regés vagy fásba π Ω ν ( ϕ ha Ω ν) vagy ellefásba ( ϕ π ha Ω ν) va a gerestő-regéssel. A gerestett regés apltúdóáa vsgálatáho vsgálu eg elősör a Ω esetet a dőbe álladó gerestőerőe (status terhelése) felel eg. (.73)-ból A F F..76 ν s stat Mvel ost ϕ e regőogást apu végeredéyül. A töegpot a F erő hatására A stat F /s értéel elodul és ebbe a helyetbe arad. A ás sélső esetbe Ω. Eor A a at elet hogy a töegpot tehetetleségéél fogva e tuda övet a ge gyorsa váltoó gerestőerőt. áítsu a

33 3.. ábra A A stat..77 Ω Ω κ + 4. ν ν ν háyadost elyet agyítás függvéye eveü ert at utata eg háysor agyobb a etusa térés a status térésél. Ha et a függvéyt ülöböő csllapítás ν κ paraétere ellett ábráolu (.3. ábra) a ú. reoacagörbéet apu. Mt látu a ülöböő csllapítás téyeőhö tartoó reoacagörbée boyos Ω értéeél auu va. A eleséget reoacáa eveü a Ωrt rt -t pedg rtus vagy reoaca-örfrevecáa da hívu. Et a értéet (.73) Ω sertdfferecálásával apu. A dω (.63/a)-t s fgyelebe véve: feeésből Ω ν κ ω κ..78 rt

34 4.3. ábra A rtus örfreveca tehát ecsa a saát örfrevecáál de a csllapított regés örfrevecááál s sebb. Csa κ -ál aa csllapítatla regésél egye eg a saát örfrevecával. A aáls térés (.73) és (.78) felhasálásával: F F..79 κ ν κ ωκ A a A ábrá s ól látható hogy a s csllapítás téyeőél a apltúdó aua eletős lehet. Növevő κ -val a térése aua egyre csöee sőt κ ν / -ál a reoaca- görbée cs s aua ( Ω rt lyeor épetes vagy ulla). A reoacáa redívül eletős serepe va a fa de területé és a deap életbe s. A űsa gyaorlatba általába gyee ell a regése aáls téréset lehetőleg s értée tarta. Et a ábra sert a leghatásosabba úgy érhetü el ha a gerestő örfrevecát (léyegese) agyobbra válastu a töegpot (sereet) saát frevecááál KÉNYZERMOZGÁ Kéyserogást vége a ayag pot ha pályáát boyos (geoetra) feltétele orlátoá ll. egsabá. Ee a feltétele olya ás teste hatásaét öe létre aelye echaa sepotból éppúgy t a statába erőt ú. éysererőt eletee. A éyserogást

35 5 előíró erő lehete yugaloba de ooghata s (álló és ogó éysere) ee egfelelőe a éyserítő általáos esetbe a hely a dő és a vsoyított sebesség függvéye. A űsa gyaorlatba előforduló ogáso többsége éyserogás hse valaely sereet egyes eleee ól eghatároott ogást ell végeü at ás sereet eleeel t éysereel valósítu eg. A éyser leggyarabba at elet hogy a ayag poto álladóa egy egadott ereve tethető yugvó esetleg álló felülete vagy görbé ell ooga. A előírt éyserfeltételt a felület ll. a görbe egyelete elet at a töegpot helyoordátáa de pllaatba ell elégíteü. Megsabott felület eseté a ogás sabadságfoa ettő egsabott pályagörbe eseté egy. A éyser általába a f (r r & t).8 ateata függvéyel adu eg. A éysere csoportosítása a függetle váltoó sert törtéhet: rheoo sleroo holoo f (r t) f (r) aholoo f (r r & t) f (r r) & Ha a éyserfeltétel csa a helye és a dőe a függvéye aor holoo egyébét aholoo éyserről besélü. Ha a feltétel a dőt eplct tartalaa aa a éyser oog rheoo álló éyser eseté sleroo éyser a eleveés. Legye a éyser által létrehoott erő K. A F sabaderőet s fgyelebe véve a töegpot ogásáéa alapegyelete: a F + K.8 aa a éysererő és sabaderő együttes hatására a ayag pot úgy oog tha sabad ogást végee. Korét sáításoho aoba (.8) e hasálható hse ecsa a gyorsulásopoeseet de a éysererő opoeset se serü. A D Alabert-elv egfogalaásába a alapegyelet így sól: A sabad- és éysererő valat a tehetetleség erő egyesúlyba va. A elv sátala esetbe tt s ge seléletese alalaható. A/ a éysere Aeybe a súrlódóerő hatása a több erő ellett elhayagolható a ayag pot és a vele érteő teste felületét absolút sáa tethetü és sa éysereről besélü. a/ Mogás előírt felülete Ha cs súrlódás aor a felület de pllaatba táastóéyserét űöd tehát a éysererő ráya dg erőleges a felületre. Mvel a grades vetora s a a tuladosága hogy adott potba a felület értősíára erőleges a éysererőt általáos alaba a

36 6 df K λgradf λ.8 dr feeéssel adhatu eg ahol λ - egyelőre seretle sorótéyeő. A (.8) alapegyeletbe így holoo éysert véve égy seretle les. A egyed egyeletet pedg a felület feeése ada: Descartes-féle oordátaredserbe: df & r F + λ f(r t)..83/a dr δf δf δf & F + λ y && Fy + λ & F + λ f( y t).83/b δ δy δ b/ Mogás előírt görbé úrlódóerő háyába a éysererő hatásvoala adott pllaatba a görbe értőére erőleges. Aeybe a görbét a f (r t) és f (r t).84/ab felülete etséspotaét adu eg a éysererő vetora: df df λgardf + λ gardf λ + λ.85 dr dr K λ és λ - egyelőre seretle téyeő. Eel a töegpot ogásegyelete: df df r & F + λ + λ..86 dr dr Ebbe öt seretle va a háyó ét össefüggést (.84/ab) solgáltata. A előbb elárásál sosor gyorsabba célho érhetü ha a előírt pályagörbe terésetes oordátaredserébe íru fel (.8)-et: a dv Fe.87/a e

37 7 a v F + K.87/b ρ a F + K.87/c b b b aa egfelelőe hogy sa pályá a éysererőe cs értő ráyú opoese aa a sebesség agyságát csa sabaderő tuda egváltotat és a boráls gyorsulás ulla tehát a sabad- és éysererőe a boráls ráyú opoese egyással egyesúlyba vaa. Megelítü hogy éyserogás eseté s ól alalaható a töegpot ogására voatoó eta tétele ülööse ha eggodolu hogy aár álló aár ogó éysere eseté a éysererő uáa érus így se a uatételbe se a eergaegaradás tételébe e serepele.. Mateata sí ga Egy végé felfüggestett súlytalaa és ereve épelt hossúságú foál ás végére egy töegű ayag potot erősítü. Ha a foál függőleges helyetébe a töegpota ω edő sögsebességet adu ( a erület feltétele tehát t-ál ϕ és ϕ & ω ) a töegpot síogást fog vége és a sereetet ateata sígáa eveü. A töegpot egy sugarú öríve oog pályáa tehát egsabott aa éyserogásról va só. A éyser a ötél s t látu oog. A sabaderő a G súlyerő a éysererő a seretle K agyságú de ötélráyú ötélerő. A (.87)- e egfelelő feeése:.4. ábra Gs dv d s d ϕ ϕ l A elsőből: v G cos ϕ + K. g ϕ& & + sϕ..88 Ee a dfferecálegyelete a egoldása ellptus tegrálra veet árt forába tehát e adható eg. A töegpot sebességét (legalábbs a helyet függvéyébe) a teles echaa eerga egaradás tételével s sáíthatu (a sabad erő oervatív erőteret alot):

38 8 v + gl( cosϕ ) E v (v ω l). Így vagy v v( ϕ) v gl( cos ).89/a ϕ g ω ω( ϕ) ω ( cos ϕ)..89/b A sebesség seretébe a ötélerő: K G cosϕ + [ v gl( cosϕ) ]..9 Aeybe csa s téréseet egedü eg a (.88) dfferecálegyelet a öelítéssel a ϕ s ϕ g alaba egy át ahol ν. A általáos egoldás ϕ& & + ν ϕ.9 ϕ ϕ t) A s( νt + ϕ ).9/a ( a a ár ól sert regő vagy legő ogás egyelete. A orábba egadott edet feltételeel a partulárs egoldás: a peródus ogás örfrevecáa: ω ϕ ϕ( t) s νt.9/b ν peródusdee: g ν.93 T π.94 g Mdét eység függetle a ayag pot töegétől és a térés agyságától (terésetes s térésee belül).

39 9 B/ Kéysere súrlódással Aeybe a súrlódás e hayagolható el aor a éysererőe les egy a éyserfelület vagy éyserpálya értősíába eső opoese. A Coulob-féle ogásbel súrlódásál a súrlódóerő agysága aráyos a oráls erővel és a sebességvetorral elletétes ráyú. A súlódóerő általáos alaa tehát: v df v µn. µλ.95 v dr v ahol µ - a ogásbel súrlódás téyeő. Et a erőt hoáadva (.83/a) obb oldaláho egapu a éyserfelülete ogó ayag pot alaptörvéyét a súrlódást s fgyelebe véve. Hasolóa áru el előírt pályagörbe eseté s. A ly ódo bővített dfferecálegyelete egoldása ég a legegyserűbb éysere eseté s eglehetőse boyolult (ha egyáltalá va egoldás).éppe eért a eta tétele alalaása sosor gyorsabba eredéyre veet. Vgyáu ell aoba ert ogó éyser eseté a súrlódóerő uáa e ulla és a súrlódóerő e s oervatív így a uatételt és a eergaegaradás tételét csa ee fgyelebevételével sabad hasál... A RELATÍV MOZGÁ KINEMATIKÁA Newto eta alaptörvéyét hallgatólagosa absolút yugaloba lévő oordátaredserbe ú. ercaredserbe érteletü. A álló oordátaredserhe épest tetsőleges ogást végő oordátaredserbe a ayag pot gyorsulását ll. a gyorsuláso öött apcsolatot (.) ada. Feeü ebből a össefüggésből a relatív gyorsulást és sorou eg dét oldalt a ayag pot töegével: C s a' a a a F ωv' a εr' ω( ωr' )..96/a A ayag pot relatív oordátaredserbel ogástörvéye: & r' F + F + C Fs.96/b ahol r ' a töegpot helyvetora a relatív oordátaredserbe F a téylegese ható valód erő eredőe F a Corols erő C Fs a sállító vagy veető erő. A ogó oordátaredserbe tehát a echaa & r F alaptörvéye e érvéyes ert (.96/b) obb oldalá a ayag potra ható erőö ívül általáos esetbe ég ét erő deóú eység s serepel. Ee fellépését a ogó redserbel egfgyelő éppe saát redsere ogásáa tuladoíta és a öveteőéppe godolodhat. Mvel e ercaredserbe va a echaa eleségeet csa úgy értelehet helyese ha a valóságos erőhö hoáada a Corols és a sállítóerőet. E ét fa értelebe e erő de erő deóú eység eredőét tehetetleség erőe eveü. A tehetetleség erőt (.96/a)

40 alapá tuladoéppe égy össetevőre botu. Ha F aa a töegpotra valód erő e hat aor eel a égy taggal lehet leír a test tehetetleségét aelye hatására a agára hagyott test a yugvó oordátaredserbe gyorsulás élül oog. A eta alaptörvéyét ee utá így fogalahatu eg. A alapegyeletet bárely voatotatás redserbe alalahatu ha a valóságos erőhö hoáadu a tehetetleség erőet. A tehetetleség erő fogaláa beveetése tehát agyo pratus ert segítségével a echaa elesége bárely redserbe a orábbaa egfelelő ódo agyaráható. A tehetetleség erő egyébét hatás sepotából a ogó oordátaredserbel egfgyelő sáára éppúgy egylváula és éppúgy érhető t a valód erő. Ha a ogó oordátaredser a állóho épest egyees voalú egyeletes sebességű ogást vége aor a és ω tehetetleség erő tehát e lépe fel. A alapegyelet dét redserbe ugyaolya alaú: r & ' F és r & F. Ha a ogó oordátaredserbel egfgyelő valalye echaa ísérletet vége eredéyet ugyaolyaa foga talál t a álló oordátaredserbel egfgyelő a egfelelő saát ísérletee eredéyét. Aa degy oggal állíthata agáról hogy saát oordátaredsere ercaredser. E at elet hogy de egyásho épest egyees voalú egyeletes sebességgel ogó oordátaredser ugyaolya oggal tethető ercaredsere. A végtele so ercaredser öül egye scs tütetett serepe. Gyorsuló traslácót végő redserebe a és ω így a tehetetleség erő tehát a. & r' F a Forgóogást végő redserebe ha és ω a alapegyelet a r' F ωv' εr' ω(ωr') alaú. A tehetetleség erőe tehát háro össetevőe va. A εr' a sögsebességvetor váltoásából adód álladó ω -ál aa álló tegely örül egyeletes sögsebességű forgásál ulla a F C ωv' Corols erő csa aor lép fel ha a töegpot a forgó redserhe é- pest oog a ω(ωr') Rω a ú. cetrfugáls erő a forgástegelytől radáls ráyba felé utat. A állócsllagoho ötött oordátaredser gyaorlatlag ercaredsere tethető. Ebbe a redserbe a Föld traslácós és rotácós ogást vége. A 5 ω 7.7. s agyságú (gyaorlatlag álladó) sögsebesség övetetébe fellépő cetrfugáls erőe tuladoítható a Föld lapultsága és a ehéség gyorsulása a földra sélességgel való váltoása. A Föld sugara R 637 így a egyelítő a sállító gyorsulás a a Föld öéppota felé utat a Rω /s. E superpoálód a ehéség gyorsulás va- s lód értééhe a a egyelítő g 9 85 /s a érhető gyorsulás tehát g97949 /s. A Corolls erővel agyaráható a sabado eső test pályááa a függőleges ráyától való eltérése a hossútávú lövedé a sél a teger áralato pályááa oldalráyú térése. A Föld for-

41 gása aa s a oa hogy a ésa és dél félteé a ádból folyó ví elleeő ráyba forog. A Föld vsoylag cs sögsebessége att a űsa gyaorlatba előforduló ogáso többségéél a tehetetleség erőet elhayagolhatu a Földhö ötött oordátaredsert ercaredsere tethetü..3. A MEREV TET KINETIKÁA Newto ayag potra voatoó alapegyelete övetleül alalaható de olya probléáál ahol egyserre sáú ülöálló egyeét ayag pota tethető és egyással ölcsöhatásba lévő test ogását ell eghatáro. Ha a lye ú. dsrét potredser P -ed ayag potáa töege helyvetora r és a rá ható össes erő eredőe R aor a redser ogásegyelete: & r R A potredser ogásáa eghatároása tehát sáú vetoráls ásodredű dfferecálegyelet vagy 3 sáú salárs ásodredű dfferecálegyeletből álló egyeletredser egoldására veethető vssa. A erev test ogásáa tauláyoásáho s célserű a testet ayag potredserre vssaveet. Botsu fel a testet séretű ú. ele agyságú térfogateleere ll. a térfogatelee súlypotába elépelt és a térfogateleel egegyeő töegű véges sáú ayag poto redserére (.5. ábra). Mél sebbe a térfogatelee aál agyobb sáú ayag potból áll a redser de eta sepotból aál obba egöelítü a erev testet..5. ábra.3..a MEREV TETRE HATÓ ERŐK É COPORTOÍTÁUK A erev testet helyettesítő ayag poto redserébe a P töegpotra ható erőet ét agy csoportra osthatu: a F vel elölt ülső erő aelye a redsere ívül teste hatásából sáraa a F val elölt belső erő elye a redsere belül a egyes dsrét poto öött hata. A F a a belső erő aelyet a -ad töegpot fet a -ed töegpotra. A ülső erő általába adotta íg a belső erőet legtöbbsör e serü. A ísérlet tapastalato aoba at utatá hogyha a erev test belső erőt sűebb értelebe vett cetráls erőe tetü aa a belső erőe va potecála - aor a erev test ogása a gyaorlat sáára elégítő potossággal leírható. E a feltételeés at elet hogy a F belső erő a P és P potot össeötő ráyba hat. A acó-reacó elve att pedg

42 F F..98 Ee a egállapításo t at ésőbb lát fogu a erev test etáába dötő eletőségűe. A erőet ás sepoto sert s csoportosíthatu. Ha a töegpotredser egyes potaa ogására valalye egsorítást tesü a redser éyserogást vége. A éysererő ao a erő aelye a éyserfeltétele att lépe fel ll. éppe a éyserfeltételt helyettesít. A éysererőet geoetra eredetű erőe s evehetü ert ee a redsere ívül vagy a redser egyes rése öött feálló geoetra ellegű előírásotól feltételetől függee. A redserre ható össes több erő sabaderő. Eeet fa eredetű erőe evehetü ert hatásu valalye fa eleségből törvéyből ered. A sabad erő általába serte a éysererő e eghatároásu éppe a feladat egy rése. Md a sabaderő d a éysererő lehete ülső és belső erő s. A étféle csoportosítás ás sepot sert törté. Aeybe a erev testet ülöálló ayag poto össességée tetü aor a P és P ayag poto öött töegvoásból sáraó erő belső sabad erő a erevség feltétel att pedg a ayag poto egyásho vsoyított ogása e sabad ( r áll.) e ötöttség att ét tetsőleges potot össeötő ráyba belső éysererő ébred. Ha a erev teste tehát a ötött potredsere t egése - a ogását valalye ódo aadályou aor a előírt ogásfeltétele a ülső éysererő hatására valósula eg. Ha a erev test ogására éve seféle ötést se tesü aor a a ülső sabad erő hatására vége sabad ogást. A erev test P potáa alaptörvéyét ugyaúgy írhatu fel t a ayag pot éyserogásáál aa a sabad erőhö hoávessü a éysererőet s és a ogást sabad ogásét eelü. A előbb csoportosítása egfelelőe: a éyser éyser sabad éyser r R F + F + F + F &.99/a vagy össefoglalva a sabad és éysererőet: + ahol F a -ed töegpotra ható össes ülső erő eredőe & r R F F.99/b F pedg a.-ed töegpotra ható össes belső erő eredőe. (.99/b)-be a belső erőél a össegés potos elölését elhagytu és így tessü a továbbaba s ert t lát fogu a orét érté tehát a ayag poto sááa serete csa elv eletőségű. A sua alatt csa at eleü hogy ely futóde sert ell a össegést elvége. (.99/b) ugya foralag egada a tetsőlegese válastott töegpot gyorsulását orét sáításoho égse hasálható ert ost a esetleg seretle éysererőtől eltetve a belső erő agyságát e serü. A öveteőbe aoba lát fogu hogy a belső erő tuladoságara voatoó feltételeése elegedőe ahho hogy a erev test ogását eghatároó össefüggéseet tételeet leveessü. Melőtt eere rátéré eg ell seredü a erev test egy fotos geoetra elleőével.

43 3.3.. A MEREV TET TEHETETLENÉGI (INERCIA) NYOMATÉKA A erev test valaely tegelyre voatoó tehetetleség vagy ercayoaté vetora alatt a vagy határáteettel a./a r(r ) r(r)d./b össefüggéssel defált eységet értü ahol a elű tegely egységvetora (.6. ábra). A így defált eység eglehetőse boyolulta tű és ege értelehető seléletese de ésőbb lát fogu hogya alault e a ettős vetorsorat a vetoreység aalísével pedg seléletes eységeet yerü. Határou eg a vetor tegelyre és arra erőleges tegelyre vett vetületét. r(r) [ (rr) r(r ] ) [ r ( r ) ] [ r r ] d./a vagy határáteettel d d../b.6. ábra A tegely erőleges a -re így.. r r határáteettel r ( r ) [ (rr) r(r) ] [ ()(rr) (r)(r)]./a rrd../b

44 4 A (.) és (.) feeése at utatá hogy és a slárdságtaba egsert ásodredű yoaté. A ülöbség csa ayy hogy ost térbel doról va só és a elleő eység a töeg. (.)-be a d a erev test potaa tegelytől ért távolságát elet eért et tegelyre voatoó tehetetleség yoatéa eveü. (.)- be r a erev test potaa a tegelyere erőleges de a tegelyt tartalaó sítól ért távolsága r pedg a erre a síra erőleges tehát a tegelyt tartalaó sítól ért távolság (.7. ábra). Et a eységet cetrfugáls vagy devácós tehetetleség yoatéa hívu. Tétel: A erev test tetsőleges tegelyre vett te-.7. ábra hetetleség yoatévetorát dg egadhatu egy teor átráa és a tegely egységvetorából alotott oslopátra a soratával a at elet hogy a erev test tehetetleség yoatéa teoreység. Boyítás: Helyettesítsü be a + egységvetort (./b)-be: y + r[ ( + y + )r] d r(r)d + y r(r)d + + y +. r(r)d.3/a Itt a defícó értelébe a erev test tehetetleség yoatévetora a y és tegelyre. A ráycosuso átalaításával: () + () ().3/b + Ee sert ha serü háro egyásra erőleges és egy potba etsődő tegelyre a erev test tehetetleség yoatévetorát aor a etséspoto áteő bárely tegelyre voatoót (.3/b)-vel.8. ábra eghatárohatu. A feeésbe vetor ll. opoese a váltoóa (opoesee) leárs hoogé függvéye. A lye vetoregyeletet ll. salár egyeletredsert dg felírhatu egy teoreység átráa és a egységvetor átráa sorataét:

45 5 T.3/c T -t tehetetleség (erca-) teora eveü. A teort repreetáló átra a térbe 3 9 elee va. (.3/b)-ből egállapíthatu hogy a átr oslopat a és vetoro opoese alotá. elölü a háro opoesét y -vel. Eor a.8. ábra r(r)d [ (rr) r(r) ] d [()(r) (r)(r)] d )d (y + (r )d..4/a A utolsó áróelbe lévő eység a r helyvetorú pot tegelytől ért távolsága. tehát a erev test tegelyre voatoó tehetetleség yoatéa. Hasoló ódo apu a y és tegelyre voatoó ercayoatéoat: ( + )d ( + y y )d..4/bc e a y tegelyre vett vetülete: r(r)d [ (rr) r(r) ] d [()(rr) (r)(r)] d yd... y Hasolóa yd yd y y..5/a y y tehát a erev teste a és y oordátasíora voatoó devácós yoatéa. Aalóg sáítással apu a ás égy devácós yoatéot: y y yd d..5/bc Eel a tehetetleség teor átra: y T y y y.6 y (.5) att a átr setrus így a teheteleség teort hat saláradattal elleehetü.

46 6 Beveethetü ég a síra voatoó tehetetleség yoaté fogalát a oordátaredser síara: d yy y d d.7/abc valat a potra voatoó vagy polárs tehetetleség yoatéot: r d.8 Tétel: Több résre botható erev test tegelyre (síra síora potra) vett tehetetleség yoatéa egyelő résee ugyaao tegelyre (síra síora potra) vett tehetetleség yoatéaa algebra össegével (össegés tétel). Boyítás: A defícóból övete hse d.9 Tétel: Ha a erev testet lehet egésíte úgy hogy d a egésítés d a egésített test tehetetleség yoatéát serü aor a eredet test tehetetleség yoatéa egyelő a egésített erev test és a egésítés tehetetleség yoatéáa ülöbségével (egésítés tétel). Boyítás: Legye a.9. ábrá látható egésített test tehetetleség yoatéa. Egésítsü a testet derésögű hasábbá és alalau a össegés tételt: e + egésített egésítés.9. ábra egésíte tt egésítés.. Tétel: A polárs tehetetleség yoaté egyelő a voatotatás poto áteő háro egyásra erőleges síra vett tehetetleség yoaté össegével vagy a poto át felvett háro egyásra erőleges tegelyre sáított tehetetleség yoaté össegée felével. Boyítás: ll. ( + y + ) d d + y d + d + yy + r d