NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM FAIPARI MÉRNÖKI KAR MŐSZAKI MECHANIKA ÉS TARTÓSZERKEZETEK INTÉZET. Dr. Szalai József egyetemi tanár SZTATIKA

Átírás

1 NYUGT-MGYRORSZÁGI EGYETEM IPRI MÉRNÖKI KR MŐSZKI MECHNIK ÉS TRTÓSZERKEZETEK INTÉZET Dr. Sala Jósef egyetem taár MŐSZKI MECHNIK I. SZTTIK Jegyet a fapar, köyőpar, erdı- és köryetmérök képés BSC hallgató sámára Javított és átdolgoott kadás Sopro 8

2 VERSEIM ELÉ Mad hogyha aggkoromba látom e verseket, sólok: M balga dolgok. S óíőe mosolygok, hogy ste köyeek, hogy ste köyeek. Említem, mt a rossat, amely feledve sebb s sla emlékeetbe felúg a égre kedvem, hogy ste köyeek, hogy ste köyeek. S ıs fıvel at besélem: Sláyka verseet. Beök gyöyört em érek, elsállt a édes éret! S méláva köyeek, elméve köyeek. kkorra már em értem, mre valók eek; a rím a hírek álma, mely eltő, messe sállva s mad értök köyeek İértök köyeek! Kostoláy Desı

3 3 Tartalomegyék Oldalsám Elısó. mechaka feladata, felostása és módsere. klasskus mechaka alapfogalma.. Általáos alapfogalmak.. Kematka alapfogalmak.3. Damka alapfogalmak; Newto törvéye, a tömeg, a erı és a yomaték.4. Ketka alapfogalmak 3. Statka alapelemek és alapelve 3.. Kölöböı erıtípusok 3.. erı és yomaték megadása, ábráolása 3.3. erıredserekkel kapcsolatos fogalmak, a erıredserek csoportosítása 3.4. statka feladata és felostása 3.5. statka általáos alapelve ayag potra ható erıredser egyesúlya, eredıe és kegyesúlyoása merev testre ható erıredser egyesúlya, eredıe és kegyesúlyoása serkeetek vsgálatával kapcsolatos elvek és módserek Kéyserek és csoportosításuk elkülöítés és a átmetsés elve Serkeetek sabadságfoka belsı erık és géybevételek géybevételek és a külsı erık kapcsolata vrtuáls muka elve leárs superpoícó elve 4. ayag potra ható erıredserek vsgálata 4.. Sámító elárás 4... Térbel erıredser 4... Síkbel erıredser Köös hatásvoalú erıredser 4.. Serkestı elárás 5. merev testre ható erıredserek vsgálata 5.. Sámító elárás 5... Egyetle egy erı 5... Két erı Három erı Tetsıleges sámú erı Párhuamos erıredser Síkbel erıredser 5.. Serkestı elárás 5... Vektor- és kötélsoksög serkestés a eredı és a egyesúly állapot meghatároására 5... Síkbel erıredser grafkus kegyesúlyoása Síkbel erıredser yomatékáak serkestése 6. Tehervselı serkeetek statkáa

4 4 6.. Merev serkeetek 6... Rácsos tartók 6... Kéttámasú és befogott, egyees tegelyő (gereda-) tartók 6... Igéybevétel függvéyek 6... specáls tehertípusokak megfelelı géybevétel ábrák ellegetessége géybevétel ábrák serkestése géybevételek sélsı értékeek meghatároása Több csuklós, egyees tegelyő (Gerber-) tartók Tört tegelyő és ágas tartók (keretek) Íves (görbe) tegelyő tartók Háromcsuklós ívek és keretek Mogó terheléső tartók Egyees tegelyő tartók hatásábrá Párhuamos övő rácsos tartók rúderı hatásábrá reakcók és a géybevételek sóló értékeek meghatároása mogó terhelés eseté 6.. Teherhordó kötelek 6... Kocetrált erıkkel terhelt kötél 6... Megosló erıvel terhelt kötél 6... saát súlyával terhelt kötél potos megoldása 6... saát súlyával terhelt kötél köelítı megoldása Ösúlyával és egyetle kocetrált erıvel terhelt kötél 7. Súlypot 7.. Tömegpotredser súlypota 7.. olytoos test (kotuum) súlypota 7.3. Elsıredő vagy statka yomaték 7.4. orgástestek felsíe és térfogata 8. súrlódás 8.. Sára (Coulomb-féle) súrlódás 8.. sára súrlódáso alapuló, aal kapcsolatos mechaka eleségek, serkeetek 8... Csapsúrlódás 8... Csapsúrlódás csapágyakba Csapsúrlódás kúpos talpcsapágyakba (fúró súrlódás) Kötélsúrlódás ék csavar Gördülés elleállás Egyserő gépek hatásfoka 9. Egyesúly helyetek. Állékoyság elhasált rodalom

5 5 ELİSZÓ fapar-, köyőrpar, erdımérök és köryeetmérökképés géyeek megfelelıe a mechakát tartalmát és felépítését tektve úgy tárgyaluk, hogy a megfelele a mősak mérök tevékeység gyakorlat géyeek. Ilye értelembe besélük mősak mechakáról. E égy résbıl álló egyetsoroat elsı kötete a merev testek mechakááak általáos leírására és össetett elsısorba fapar (bútor- és épület-) serkeetekbe elıforduló feladatok tárgyalására kerül sor. egyedk kötet témáa kematka és ketka. mérökképés törsayagába, két semesterbe, a elsı két kötet mdek sámára köteleı taayag. harmadk kötet a bútorserkeetek és építés faserkeetek terveésével, méreteésével mélyebbe megsmerked kíváó hallgatók ayaga. egyedk kötet a fapar és papírpar techológát válastó hallgatók, ll. a gépesítés és mősak sakráyt válastó erdımérök hallgatók taayaga. mechaka a mérökképés fotos mősak alap- és alapoó tárgya. Jellegéél fogva em csupá mechaka smeretek elsaátítását tő célul, haem s e talá még fotosabb a mősak mérök tevékeység sámára elegedhetetle problémafelsmerı- és megoldó képesség kalakításáak s hatékoy esköe. Et a képességet a elmélet ayag elsaátításá túl gyakor feladatok megoldásá kerestül lehet megsere. példák ötevékey kdolgoása elısegít a elmélet megértését, a mősak gyakorlatba elıforduló feladatok felsmerését, modelleését, megoldását és a megoldás alkalmaását, tehát boyos értelembe már mősak tevékeységek sámít. tárgy taulása sorá tehát a elmélet egyetek mellett mdg párhuamosa kell hasál a gyakorlat egyeteket és példatárakat a fet célok megvalósítása érdekébe. Eúto s seretém kfee kösöetemet dr. Roller Béláak és dr. Thamm rgyesek, a Budapest Mősak Egyetem oktatóak a egyetek bírálata sorá yútott segítségükért és taácsakért. Seretém kfee hálámat Dr. Horváth-Sovát Géáéak a egyet leírásáért és Karácsoy Zsoltak a egyet ábráak serkestéséért. ı öetle mukáuk tette lehetıvé a egyet elektrokus formába törtéı megeleését. Seretém remél, hogy a mősak mechaka taulmáyoására fordított dı megtérül és ól kamatok a hallgatók tovább egyetem taulmáyak folyamá és a mérök gyakorlatba s. Sopro, 8. február 7. a Serı

6 6. MECHNIK ELDT, ELOSZTÁS ÉS MÓDSZEREI ayag alapvetı tuladosága a örökös váltoás. E váltoás lehet helyváltotatás (ú. mechaka mogás), valamt hı, elektromos, kéma, bológa eleségekkel kapcsolatos mogás. mogások vsgálatával a külöböı termésettudomáyok foglalkoak. eladatuk a eleségek megfgyelése, leírása, törvéyeek felsmerése és aok alkalmaása. okat a eleségeket, amelyek sorá a testek ayag össetétele em váltok meg, a fka tudomáya tárgyala. fka rését képe a mechaka, amely a ayagok, testek helyváltotatásával és a helyváltotatás okaval foglalkok. mechaka tudomáya a XX. sáad eletıs felıdése követketébe két agy területre botható. elsı a ú. klasskus mechaka, melyet Galle és Newto alapoott meg aa kb. 3 éves múltra tekt vssa -, mad eletıs mértékbe továbbfelestettek és amely a föld és ég eleségek mechaka mogásával foglalkok, ha a sebesség óval ksebb a féy sebességéél. Sáaduk eleé alakult k a relatvstkus mechaka, amely Este relatvtás elméletére épül és a mechaka mogásokat sebességük megkötése élkül tárgyala. E a tudomáyterület tes lehetıvé a atomo belül mkrorésecskék mogásáak leírását. mechaka egyk ága a kematka a mogásokat vsgála, aok leírásával foglalkok, másk ága a damka, a testek egymásra hatását, ll. eek követkeméyet tárgyala. damka felbotható statkára (mkor a vsgált test yugalomba va) és kematkára (mkor a test moog). kematka és a damka két külöálló terület, kötük a kapcsolatot a ketka teremt meg. mechaka felostása kematkára, statkára és ketkára md a ayag potra, md bármlye más térbel kteredéső testre, ll. aok redserére érvéyes, függetleül attól, hogy a merev, rugalmas, képlékey, folyékoy, gáemő vagy más módo deformálható test-e. vsgált test tuladosága sert megkülöbötetük a véges sabadságfokú redserek és a kotuumok mechakáát. elıbb a egyetle ayag (tömeg-) pot és a me-

7 7 rev test általáosa a véges sámú ellemıvel leírható potredserek mogását tárgyala, a utóbb a rugalmas, képlékey, folyékoy és gáemő testek általáosa a folytoos ayageloslású, aa végtele agy sabadságfokú redserek mogását vsgála. 6. oldalo található ábra össefoglalóa semléltet a mechaka tudomáyáak tagoódását, felostását. mechaka kutatások és a mechaka tárgykörébe tartoó egyserőbb feladatok megoldás módsere léyegébe megegyek. Mdg a tapastalatból duluk k, amely elsısorba megfgyelésekbıl áll. megfgyelésél a ember érékservek mellett dötı eletıségőek a külöböı mérés esköök, beredeések. megfgyelések ostályoása, redsereése és a eleségek sabatos leírása utá válk lehetıség a törvéyserőségek felsmerésére, potos megfogalmaására. törvéyserőségek felsmeréséek egyk ge agy ehésége a, hogy a termésetbe végbemeı eleségek össetettek, más folyamatokkal kapcsolódak, aa egydeőleg több hatás s érvéyesül. Eért agyo fotos a adott problémakör sempotából kevésbé léyeges soksor avaró téyeık elhayagolása, ksőrése és csupá a léyeges téyeık fgyelembevétele. így elıálló egyserősített vsoyokat már meg lehet fogalma matematka formába, mad a törvéyserőségeket megfelelı össefüggések formáába leír. Ilyekor a vsgált eleségek a egyserősített mechaka modellérıl besélük, amely boyos sempotok sert köelít meg a valóságos vsoyokat. mechaka modell és a rá voatkoó törvéyserőségek smeretébe a feladatot többféle módo serkestéssel és sámítással s megoldhatuk. két módser soksor kegésít egymást, ll. egymás elleırésére solgálhatak. serkestı elárásokak fotos ddaktka serepük lehet, míg a sámítógépek alkalmaásáak lehetısége külööse össetett, sok sámolást géylı feladatokál a algebra megoldásokra helye a hagsúlyt. feladat megoldása utá elleıréskét smét a gyakorlat tapastalatokho kell fordul és a eredméyeket mérésekkel kell gaol. követkeı folyamatábra válatosa semléltet a elmodottakat:

8 8. KLSSZIKUS MECHNIK LPOGLMI.. ÁLTLÁNOS LPOGLMK test mogása, amelyek vsgálata a mechaka tárgyát képe, térbe és dıbe átsódk le. valóságos és éppe a ayag váltoása kerestül ge boyolult tér fogalma helyett, a klasskus mechakába egyserősített, matematka esköökkel ól keelhetı modellével dolgouk. E a geometrába hasálatos eukldes tér, melyek alapeleme a pot, a sík, a egyees stb. tér valamely potát, ll. egy yugvó vagy mogó test potat, aok helyét mdg egy másk testhe vsoyítva adhatuk csak meg. Et a másk testet voatkotatás redserek eveük. voatkotatás redser gyakorlatlag valamlye koordátaredsert elet, melyek típusától függıe, külöböıképpe értelmeett és külöböı ellegő meységekkel ú. koordátákkal adhatuk meg a pot helyetét. koordátaredserekbe a tér ráyat alapvektorokkal ellemeük, melyek célserőség okokból általába egységvektorok és abba a potba értelmeük ıket, amelyk potak a helyetét vsgáluk. mősak gyakorlatba leggyakrabba deréksögő koordátaredsereket hasálak, amelyekél a alapvektorok egymásra kölcsööse merılegesek. Descartes-féle koordátaredser e,e, e alapvektorok párhuamosak a x y koordátaredser tegelyevel és álladók. Egy tetsıleges P pot helyét a orgóból a P potba húott vektorral, és a ú. helyvektorral adhatuk meg (.. ábra): r xe + ye + e, ahol x, y, a helyvektor koordátá. Heger-koordátaredser x alapvektorok köül e álladó, míg a ρ hossúságú egyeessel párhuamos és e ρ a arra merıleges e ϕ a ϕ sög függvéye (.. ábra): r ρeρ + e, ahol e ρ helyetét a ϕ sög saba meg, így a helyvektor függetle koordátá ρ, ϕ,. Térbel polár-koordátaredser r ráyal párhuamos e r alapvektor, valamt a ϕ halású, függıleges síkra merıleges e ϕ és ebbe a síkba lévı eϑ υ alapvektorok állása a ϕ és ϑ sögek értékétıl függ, egyk sem álladó (.3. ábra): r re. r y

9 9 függetle koordáták tehát r, ϕ, ϑ. ábrák alapá köye beláthatuk, hogy egyk koordátaredserbıl a koordáták alkalmas trasformácóával mdg egyértelmőe áttérhetük egy máskba. Termésetese sámtala más móda s va a koordátaredser felvételéek és mdg at célserő válasta, amelybe a adott mechaka probléma a legegyserőbbe leírható. fet koordátaredserekbe x, y,, ρ, és r távolságot eleteek, megadásuk mérısámmal és a hossúságdmeóak megfelelı mértékegységgel törték. 98-ba beveetett Nemetkö Mértékegységredserbe (SI) a hossúság alapegysége a méter, rövdítve [ m ]. Eek segítségével mde geometra méret hossúság, terület, térfogat kfeehetı. ϕ és υ meységek sögkoordátákat eleteek. Bár a SI megeged a sík teles sögéek a 36-ad réséek, a o -ak mértékegységkét való hasálatát, célserőbb a sög agyságát dmeó élkül meységkét, radába megad, aa a söget hossmérésre vssaveet. radá a R sugarú körív hossáak és a sugárak a háyadosa. Ily módo a 36 o -os teles sög π radáak felel meg és rad 36 o π 57 o dı fogalma a köryeetükbe leátsódó rtmkusa smétlıdı eseméyek kapcsá alakul k beük. klasskus mechakába a dıt a tértıl függetleek tektük és egy eseméy dıbel helyét a dıskálá t dıkoordátával aduk meg, amely egy tetsılegese válastott kedet pllaattól eltelt dıérték. dıértéket mérısámmal és dıegységgel feeük k. dı SI-bel egysége a másodperc (secudum), ele [s]. Eek utá már csak a testekkel kell foglalkouk. test a tér ayaggal ktöltött rése. Köryeetükbe a ayag slárd, folyékoy és gá halmaállapotba va ele. Slárd testek eveük aokat a valóságos testeket, amelyek a ıket ért mechaka hatások követketébe csak ks mértékbe váltotaták meg a alakukat. folyadékok alakukat tetsıleges mértékbe megváltotaták, de térfogatuk megváltotatásával sembe agy mértékbe elleállak. gáok alaka és térfogata s eletıs váltoást sevedhet. testeket tovább dealált tuladoságokkal s ellemehetük, melyek vselkedésük matematka leírását eletıse megköyíthetk. Így rugalmas testek eveük a slárd testet, ha a külsı hatás megsőése utá vssayer eredet, deformálatla alakát. Képlékey testrıl besélük, ha a test a terhelés megsőése utá s megtarta deformálódott alakát. mechaka vsgálatok egy résébe a slárd testek alakváltoása elhayagolható. Ilye esetbe beveethetük a merev test fogalmát, melyek alaka semmféle külsı hatásra sem váltok meg. meybe a test kteredése a vsgálatba sereplı egyéb méretekhe képest elég kcs, a test alaka s elhayagolható. Ilyekor ayag (tömeg) potról besélük, melyet ge kcs kteredés (gyakorlatlag matematka pot) és véges ayagmeység elleme. merev testet pl. olya ayag potredserek tekthetük, amelybe a egyes potok egymásho vsoyított helyete mdg váltoatla marad... KINEMTIKI LPOGLMK ayag pot mogása kematka sempotból egyértelmőe adott, ha valamlye voatkoás redserbe smerük helyvektorát a dı függvéyébe (.4. ábra). r r (t) x (t) e y + (t) e. alakú skalár-vektor függvéyt a pot mogástörvéyéek eveük. helyvektor végpotat össekötı

10 görbe a pot pályáa, melyek paraméteres egyeletét a mogástörvéy egységvektora elıtt található x(t), y(t), (t) skalárfüggvéyek adák. Ha a pot a pálya potából t dı alatt a B potba ut, akkor a B s ívhossúság a megtett út (feltéve, hogy a B íve cse fordulópot), a B r pedg a elmodulásvektor (.5. ábra). helyvektor dıbel váltoását a sebességvektorral ellemehetük, amely a (.) elő mogástörvéy dı sert dfferecálháyadosa: r d r v(t) lm.. t t d t sebességvektor dıbel váltoására pedg a gyorsulásvektor a ellemı. gyorsulásvektor a sebességvektor dı sert elsı, ll. a mogástörvéy dı sert másodk dfferecálháyadosa (.6. ábra): v v dv a(t) lm t t dt t d r dt..3 sebesség és gyorsulásvektorok absolút értéke, ll. a sebesség és gyorsulás-kompoeesek a hossúságból és a dıbıl lesármatatott meyységek. SI-bel mértékegységük eek sert [ms - ] és [ms - ]. merev test mogását akkor tektük smertek, ha redelkeésre áll mde potáak mogástörvéye, sebessége és gyorsulása. Legye r a merev test egy tetsılegese válastott potáak helyvektora, r pedg a potból egy sté tetsıleges P futópotba mutató helyvektora. Ekkor a P pot x,y, koordátaredserbel r helyvektora a.7. ábra alapá: Ha e kétváltoós függvéybe a r r + r..4 össefüggés at mutata, hogy a P futópot helyvektora a P potak a potho vsoyított helyetétıl és ha a test moog a dıtıl függ. Általáosa r r ( r, t)..5 r vektorváltoót rögítük, megkapuk a P pot r r.(t) mogástörvéyét, ha a t skalárváltoót rögítük, megkapuk a test potaak r r ( r ) helyét a adott pllaatba. merev test potaak sebességét és gyorsulását formalag a (.5)-ös kfeeés dı sert dfferecálásával yerük:

11 v dr v (r,t),.6 dt melyek rögített dv a a (r,t).7 dt r esetébe megadák a P pot sebesség- és gyorsulásfüggvéyét: v v (t), ll. a a (t),.8/a,b rögített t dıpotba pedg a test össes potáak sebességét és gyorsulását: v v (r ), ll. a a (r ),.9/a,b E utóbb függvéyeket a merev test adott dıpotho tartoó sebesség-, ll. gyorsulásállapotáak eveük. két állapot együttesét a merev test mogásállapotáak hívuk. Ha mde pllaatba adott a mogásállapot, a merev test mogását smertek tekthetük. merev test hossabb dısakho tartoó mogását véges mogásak eveük. véges mogást mdg úgy tekthetük, mt egymást követı, ge kcs t dısakho tartoó, ú. elem mogások össességét. Ha a t dısakot elegedıe kcsre válastuk, akkor a dıtıl függı elem mogások helyett a adott dısakho tartoó, ebbe a elem dısakba álladóak vehetı mogásállapottal sámolhatuk. elem mogásokat a alábbak sert csoportosíthatuk: α/ Elem haladó (traslácós) mogás β/ Elem forgó (rotácós) mogás γ/ Elem általáos mogás α/ Elem haladó (traslácós) mogás Elem haladó mogásról akkor besélük, ha a elem dısak alatt a merev test mde P pota ugyaakkora elmodulást seved. r r. aa mde pot elmodulása megegyek a vsoyítás pot elmodulásával. haladó mogás sempotából a merev test egyetle egy pottal (pl. a vsoyítás pottal) helyettesíthetı. Tétel: Ha a egymást követı elem dısakokba a test mdg elem haladó mogást vége, eredı elmodulása a egyes elmodulások össegével egyelı.

12 Boyítás: a.9. ábra alapá amelyk egy tetsıleges P. pot egymás utá elmodulásat mutata a vektoráls össegés egyértelmőe adódk. Tehát r r ahol a -edk elem dısak elmodulása. β/ Elem forgó (rotácós) mogás Elem forgó mogásról besélük, ha a elem dısak alatt létek olya egyees (akár a testbe, akár a teste kívül), amely körül a merev test, mt forgástegely körül ϕ söggel fordul el. testek aok a pota, amelyek rata vaak a forgástegelye, modulatlaok. Célserőe tt vessük fel a voatkotatás potot s, így r. forgástegelye kívül esı P pot elmodulása (.. ábra) a mogás ellegébıl adódóa a P pot forgástegelytıl mért távolságáak megfelelı sugarú köríve törtéhet. E a körív sakas t, ll. ϕ kcssége matt ó köelítéssel egyeesek vehetı. elmodulásvektor eek megfelelıe a forgástegely és a r r r, vektor által alkotott síkra csak merıleges lehet. Ha a ϕ sögelfordulást olya vektorkét foguk fel, amelyek ráya a forgástegely e egységvektorral ellemett ráya, agysága pedg a ϕ sögelfordulás aa ϕ ϕ ϕ ϕ e akkor a elmodulásvektort a r ϕ x. r össefüggéssel adhatuk meg, melyek helyességét a vektoráls sorat tuladosága alapá köye beláthatuk. (.) sert, ha smerük a forgástegely egy potát és a ϕ sögelfordulás vektort, akkor a elem rotácót végı merev test mde potáak elmodulása meghatároható. Tétel: Ha a egymást követı elem dısakok mdegykébe a rest olya forgó mogást vége, melyek forgástegelye egy potba metsıdek, akkor a eredı elmodulást a egyes elfordulás vektorok metséspotába értelmeett vektoráls eredıével sámíthatuk. Boyítás: egyserőség kedvéért vsgáluk csupá két egymás utá ϕ és ϕ vektorokkal megadott elfordulást. két forgástegely metsıdö a potba, amely legye egybe a voatkoás pot s... ábra sert: r r + r. (.) felhasálásával: r + ϕ x r + ϕ x (r + r ). ϕx r + ϕ x r.

13 3 Mvel elem, aa agyo kcsy elmodulásról va só, a fet kfeeés utolsó taga másodredőe kcs meység, így elhayagolható a több mellett. Végeredméybe tehát: r ( ϕ. + ϕ ) x r ϕ x r Külö kemelük, hogy ha em elem rotácóról va só, ll. ha a forgástegelyek em metsıdek egy potba, akkor a fet tétel már em ga. haladó mogás sebesség- és gyorsulásvektoráak aalógáára defálhatuk a forgó mogás sögsebesség- és söggyorsulás vektorát: ω lm t ϕ t dϕ dt,. ε lm t ω t dω dt d ϕ dt.3 γ/ Elem általáos mogás merev test a valóságba ugyaabba a elem dısakba egyserre végehet elem haladó és forgó mogást. két mogásfata sétválastását csak a köyebb matematka keelhetıség dokola. Mvel több elem mogás végeredméye a elem elmodulások vektoráls össegésével yerhetı, a t dısak alatt végett két elem mogásfata - melyet elem általáos mogásak eveük - eredméyekét létreött elmodulást a össefüggéssel sámítuk. r r + ϕ x r.4.3. DINMIKI LPOGLMK; NEWTON TÖRVÉNYEI: TÖMEG, Z ERİ ÉS NYOMTÉK okat a alaptörvéyeket, ll. alapfeltevéseket és postulátumokat, amelyekre a mechaka tovább tételet építük, léyegébe a Newto-féle axómák tartalmaák. Eekkel kapcsolatba fordulak elı elısör a erı és a tömeg alapvetı damka fogalma s. axómák a só eletéséek megfelelıe követleül em boyítható tételek, helyességüket a belılük levoható követketetésekek a tapastalattal való egyetetése döt el.. axóma: tehetetleség törvéye Mde test megmarad a yugalomak vagy a egyees voalú egyeletes mogásak a állapotába, míg rá ható erık állapotáak megváltotatására em kéyserítk. erı só a külsı befolyást, aa más testek hatását helyettesít. testekek at a tuladoságát, hogy külsı hatás háyába sebességüket, ll. yugalm állapotukat megtarták, tehetetleségek eveük. axóma sámos tapastalatak deáls esetre való extrapolálása. Követle kísérettel elleır em lehet, mert semmlye testet sem tuduk telese kvo más testek hatása alól. Ee kívül a axómáak csak akkor va határoott értelme és eletése, ha megaduk a voatkotatás redsert, melybe a mogást leíruk. Hse pl. a öldhö kötött koordátaredserbe yugvó potak a állócsllagokho kötött redserbe gyorsulása va. Newto a axómát a absolút térbe yugvó koordátaredserre voatkotatva modta k, lye Newto 687-be megelet termésetfloófa matematka alapelve c. mővébıl.

14 4 aoba kísérletleg em határoható meg. Elmélet sempotból a axóma potív tartalmáak éppe at tektük, hogy va olya voatkotatás redser, amelybe érvéyes a tehetetleség törvéye. lye redsert amelyet tehát éppe a. axómával defáluk tehetetleség vagy tercaredserek eveük. Eddg tapastalatak sert a állócsllagokho kötött koordátaredser gyakorlatlag ercaredserek tekthetı, - sıt külööse rövd tartalmú mogásokál a öldhö kötött redser s ó köelítésbe ercaredserek vehetı. I. axóma értelmébe, ha a ayag potak valamely ercaredserbe gyorsulása va, a mdg aak tuladoítható, hogy rá más testek hatással vaak. mechaka yelvé at moduk, hogy a testek erıt gyakorolak a ayag potra. Ilye értelembe gyorsulás okát erıek evehetük, de em sabad megfeledkeük arról, hogy a gyorsulás valóságos okát a ayag pot, ll. test köryeetébe található több ayag test geometra és fka tuladoságaba láthatuk. erırıl tehát legalábbs egyelıre csak a általa létrehoott gyorsulás útá serehetük tudomást, bár a erı és gyorsulás köt kvaltatív össefüggést em smerük. Et axómakét defáluk.. axóma: damka alapegyelete erı agysága aráyos a általa létrehoott gyorsulás agyságával, ráya pedg egyeı a gyorsulás ráyával. aráyosság téyeıt, - melyet a test tömegéek eveük úgy kell megállapíta, hogy kfeee at a tapastalatot, hogy aoos agyságú gyorsulás létrehoásáho aoos mérető, de külöböı ayag mıségő testek eseté külöböı agyságú erıre va sükség.. axóma matematka alaka: ma,.5 ayag potra ható erı vektora tehát a test tömegéek és gyorsulásvektoráak soratával egyelı. axómát a erı defícóáak s felfoghatuk. Ismeretébe már lehetıség yílk a tömeg és a erı mérésére. tömeg és a erı damka mérése Hasso két külöböı, m és m tömegő testre ugyaakkora erı, ekkor (.5) alapá: a m ma m a vagy, a m aa a két test tömegéek vsoya a gyorsulások mérésébıl meghatároható. Más erıt alkalmava a gyorsulások mások lesek ugya, de aráyuk s eel a tömegek aráya a tapastalat sert ugyaa les, mt elıbb. E at mutata, hogy a m / m meység a erıtıl függetle, csak a két testre ellemı érték. Ha tehát egy megállapodás sert (pl. m ) test tömegét egységül válastuk, bármlye más test tömege egyértelmőe meghatároható. tömeg egysége SI-be a párs ormálklogramm tömege, a klógramm, rövde [kg]. tömeg egységével lerögítettük a erı dmeóát és egységét s. (.5) alapá egységyek tekthetük at a erıt, amely kg tömegő teste ms - gyorsulást oko. Et a erıegységet a rövdség kedvéért és Newto rát tsteletbıl ewtoak eveük, ele [N], SI-be tehát N kgms -.

15 5 tömeg és a erı statka mérése öld mde testet vo boyos erıvel, melyet föld ehéség erıek, rövde súlyak eveük. tapastalat sert a sabado esı testek gyorsulása, a g ehéség gyorsulás agysága a öld adott helyé mde testre ugyaa (a m sélesség körükö g 9,8 ms - ).. axóma alapá a test súlya: G mg, vagy skalársa G mg, m a tömeggel elletétbe a hellyel váltok, de egy adott helye a test tömegével aráyos. E sert kg tömegő test súlya a m sélesség körükö G 9,8 N. súlyo alapsk a tömeg statka mérése, amely sokkal egyserőbb és potosabb, mt a damka tömegmérés. Kompeáluk smeretle m tömegő test mg súlyát smert G m g súlyú testtel. Ha a két test súlya egyelı, akkor a G -bıl követkek, hogy mg m g, aa m m, tehát tömegük s egyelı. Vegyük ésre aoba, hogy a mérleggel való tömegmérésél em a testek tehetetle tömege (m t ) hse a mérésél a testek yugalomba vaak -, haem a ú. súlyos tömege átsk serepet. tehetetle és súlyos tömeg egyelısége em magától értetıdı dolog, haem ao a téye alapsk, hogy a ehéség gyorsulás mde testél ugyaa. Ha ugyas a G m s g súlyú testet eletük, a a rá ható G erı hatására a G m t a törvéy sert gyorsuló mogást vége. tapastalat sert a mdg egyelı g-vel, így a m s g m t a egyelıségbıl a követkek, hogy m s m t. 3. axóma: kölcsöhatás törvéye Mvel a erıt mt testek egymásra hatását értelmetük, erı fellépéséhe legalább két testre va sükség. egyk létrehoa, a másk pedg elseved a erıt. Legye a k elő test hatása a elő testre k, akkor a tapastalat at mutata, hogy a elő test s hatással va a k előre, mégpedg úgy, hogy,.6 k k aa a két erı aoos agyságú, aoos hatásvoalú, de elletétes értelmő (.. ábra). hatás és ellehatás egyelı. Tehát mdkét testek va a máskra hatása és mdkettı el s seved eeket a hatásokat (a hatás követkeméye a két testre termésetese más lehet). (.6) sert két erı ú. ulla-párt alkot. axómát eel a fogalommal a követkeıképpe fogalmahatuk meg: a erık mdg ulla-párok formáába lépek fel. 3. axóma elsısorba össetett mechaka redserekél, aa potredserekél, serkeetekél és alakítható testekél dötı fotosságú. 4. axóma: erıhatások függetleségéek tétele. axóma sámserő kapcsolatot teremt a test gyorsulása és a erı köött, de em válasol arra a kérdésre, hogy m törték akkor, ha a testre egydeőleg több test s hatással va, aa egyserre több erı hat. egydeőleg ható erık össességét rövde erıredserek eveük. fet kérdésre ad válast a erıhatások függetleség tétele, mely sert mde erı függetleül a többtıl létrehoa a tömege saát gyorsító hatását, a erık egymást em avarák. Ha a ayag potra (,.,) erı hat, a általa létrehoott gyorsulás a. axóma értelmébe

16 6 a. m ayag potak, amely egyserre csak egy ráyba tud gyorsul, a téyleges, eredı gyorsulása a egyes gyorsulások vektoráls össege les: a a. m m m össefüggés sert a ayag pot úgy moog, mtha egyetle erı hata rá. erıredser hatása ayag pot eseté egyetle egy erıvel helyettesíthetı, melyet a egyes erık vektoráls össegésével yerük. helyettesítı erıt a erıredser eredıéek eveük. E a - tapastalattal s egyeı törvéy a. axómával együtt at s kmoda, hogy a erı, mt fka meység, vektormeység. Newto törvéye, melyekre a egés klasskus mechaka épül, mdeütt testet emlegetek, de valóába véges tömeggel redelkeı ayag potra érvéyesek. Potredserek, testek vagy serkeetek mechaka vsgálatáho a alaptételek követkeetes alkalmaásá túl úabb tapastalat megfgyelésekre s a belılük levoható feltételeésekre és axómákra va sükség. ayag testek mechakáával kapcsolatos fotos fogalom a erı potra vagy ategelyre voatkoó yomatéka. erı egy tetsıleges potra voatkoó yomatékát a potból a erı hatásvoalára bocsátott helyvektorak és a erıvektorak vektoráls soratával defáluk (.3. ábra). M r x.7 defícóból követkek, hogy a potra vett yomaték vektormeység, merıleges a r és vektorok által alkotott síkra ( a három vektor obbra forduló redsert alkot)és megállapodás sert arra a potra helyeük, amelykre voatkok. vektor agysága: M M r sα.r sα k,.8 aa a erı agyságáak és a potak a erı hatásvoalától mért legrövdebb távolságáak melyet erıkarak hívuk a sorata. yomaték SI-bel egysége a [Nm]. erı hatásvoala és a pot által alkotott síkot a yomaték forgatás síkáak eveük. Ebbe a síkba a yomatékak értelmet, aa elıelet s tuladoítuk. Potív a yomaték, ha a erı a óramutató árásával elletétese akar forgat. Tétel: potra voatkoó yomaték függetle attól, hogy a r helyvektor a erı hatásvoaláak melyk potába mutat.

17 7 Boyítás: Vegyük fel egy r helyvektort, melyre a.3 ábráak megfelelıe felírhatuk, hogy r r + λ e, ahol e a erı hatásvoalával egybeesı (párhuamos ) egységvektor, λ tetsıleges hossúság dmeóú skalármeység. (.7) defícó értelmébe: M ' r'x (r + λ e ) x r x + λ e x r x M hse a harmadk egyelıség másodk taga és e párhuamossága matt eltők. Külö kemelük a erıek at a (.8)-ból követkeı tuladoságát, hogy csak hatásvoalá kívül potra va yomatéka. erı tegelyre voatkoó yomatéka alatt a tegely valamely potára sámított yomatékvektorak a tegely ráyú vetületét értük. Legye a tegely ráyát megadó egységvektor e (.4. ábra), ekkor M, M e (r x ) e..9 e E sert a tegelyre vett yomaték skalármeység és a három vektor r,, e sorredéek megfelelı vegyes soratával egyelı. M e potív, ha a M és e által beárt sög hegyessög, lyekor a e ráyításával sembe éve a yomaték a óramutató árásával elletétese forgat. M e agysága a vegyes sorat matematka értelmeése alapá: M e r x e cosβ.r s α.cosβ k cosβ.. Mt látuk, a tegelyre vett yomaték dmeóa s eel SI-bel mértékegysége s megegyek a potra voatkoó yomaték agyságáak dmeóával és egységével. Tétel: erı tegelyre vett yomatéka függetle attól, hogy hol vessük fel a tegelye a voatkotatás potot. Boyítás: Vegyük fel a tegelye (.4. ábra) egy potot. ábráról leolvasható, hogy λ e, hol λ - tetsıleges hossúság dmeóú skalármeység. Eel (.9) defícó sert: M ' e M ', e (r x ) e r r + λ e. [(r + λ e) x ] e (r x ) e + λ (e x ) e (r x ) e M, e

18 8 mert a egyedk egyelıség másodk taga tt s eltők, hse a vegyes sorat két vektora megegyek. (.9) és (.) alapá köye beállítható, hogy a erıek valamely tegelyre akkor cs yomatéka, ha hatásvoala mets a tegelyt, vagy aal párhuamos..4. KINEMTIKI LPOGLMK Newto. és. axómáa ugyaolya oggal sorolható a ketka fogalmakho, md a damkaakho. Éppe e a két axóma kapcsola össe a erıtat és a mogástat. mechaka ste mde területé hasosa alkalmaható ketka alapfogalmak és a telesítméy. Ha a ayag potra a vsgált elem dısakba álladóak tekthetı erı hat és a pot elem elmodulása r, a erı elem mukáa alatt a két vektor skalárs soratát értük (.5. ábra): W r,./a aak, hogy a elem elmodulást a erı hoa létre, vagy valamlye más hatás követketébe lép fel, semm eletısége scs a erı elem mukáa sempotából. skalársorat értelmeése sert:. r r cos α s. s,./b ahol s a elmodulás (a pálya értı ráyába esı erıkompoes, s a tömegpot által a elem dısak alatt megtett út, amely t kcssége matt megegyek a elmodulás vektor agyságával. elem mukát (./b) alapá úgy s defálhatuk, mt a elmodulás ( a megtett út) agyságáak és a elmodulás ráyába esı erıkompoesek a soratát. elem muka felvehet potív, ulla és egatív értéket s asert, hogy a erı- és a elmodulás vektor által beárt sög hegyes-, derék-, ll. tompasög-e. Míg a ayag pot pályagörbééek egy potából véges dı alatt a B-be ut, a erı mukáá a elem elmodulások sorá végett elem mukák össegét értük. elem dısakokat egyre kább csökketve a summáás tegrálásba megy át, a véges dı alatt végett muka tehát a erıvektor elmodulás vektor sert tegrála (vagy skalársa, a értıráyú erıkompoesek a út sert tegrála): W B B r d r r r s ds. s. E a véges muka általába és B potot össekötı pályagörbe alakától s függ. Ha egy test P potába erı hat és a test elem elmodulása r (,,., és ao potok sáma amelyeke erı hat), a testre ható erık össes elem mukáá a egyes elem mukák algebra össegét értük (.6. ábra):

19 9 W W r..3 muka SI-bel egysége: Nm kgm s - oule J. telesítméy a dıegységre esı muka. elem dısak átlagos telesítméye: P átlag W,.4/a t ha a elem dısakot egyre kább csökketük, aa t, megkapuk a pllaaty telesítméyt: P W dw lm,.4/b t t dt (.) felhasálásával dw dr dr P v..4/c dt dt dt pllaaty telesítméy tehát a adott dıpllaatho tartoó erı- és sebességvektor skalár soratakét s defálható. és v vektorok által beárt sög függvéyébe a telesítméy s potív, ulla és egatív értékeket vehet fel. telesítméy SI-bel egysége: Js - Nms - kgm s -3 watt W. 3. SZTTIK LPELEMEI ÉS LPELVEI 3.. KÜLÖNBÖZİ ERİTÍPUSOK erıek amely tehát testek egymásra hatása termésetbe való elıfordulásáak megfelelıe alapvetıe két típusát tuduk megkülöbötet. Térfogat vagy tömegerı Ha a testek távol vaak egymástól, akkor a egyk testek a máskra kfetett hatását a követkeıképpe értelmehetük. Godolatba botsuk fel mdkét testet agyo kcs V térfogatú s eek megfelelıe kcs tömegő résecskékre, ayag potok redserére (3.. ábra). ayag potok köött már tuduk értelme a ható erıt. a két potot össekötı egyees meté hat, eek megfelelıe a egyk test V térfogatú résecskéére ható erıt úgy foghatuk fel, hogy a a másk test össes résecskééek hatásakét ött létre. Így a vsgált test mde potáho redelhetük egy f erıt, melyet falagos térfogat- vagy tömegerıek eveük és a

20 f f (r) f (x, y,) lm V V d dv 3./a Kfeeéssel értelmeük. SI-bel egysége: [Nm -3 ]. elület erı Ha két test értkek egymással, a értkeés felülete hs a a valóságba sohasem lehet potserő ú. felület erık ébredek. Válassuk k a akár görbültek tektett értkeés felülete egy agyságú területdarabot (3.. ábra), s ha erre a másk test erıvel hat, akkor a vsgált testre ható d p p(r ) p(x, y,) lm Α dα 3./b meységet falagos felület erıek vagy tehertetásak eveük, egysége SI-be [Nm - ]. mechaka sámításokho a fet erı fatáko kívül soksor elıyösebbe hasálhatók aok a erımodellek, melyeket a felület erı abstrakcóával yerük. Voal meté megosló erı Ha két test értkeés felületéek egyk mérete a máskho képest elhayagolhatóa kcs, aa a értkeés felület sávserő, beveethetük a voal met megosló erı fogalmát. Ha a 3.3. ábrá látható görbe, amely a vsgált test felületéek egy tetsıleges voala, s hossúságú sakasá erı hat, akkor a q q(r) q (s) lm s d s ds 3./c meységet voal met megosló terhelések, ll. tehertetásak eveük. Egysége SIbe: [Nm - ]. Kocetrált erı Ha mdkét felület méret elhayagolhatóa kcs (pl. a vsgált test méretehe képest), gyakorlatlag potserőek tekthetı, elutuk a kocetrált erı fogalmáho. r helyvektorú potba ható erıt ( r) 3./d

21 alakba adhatuk meg (3.4. ábra). ayag pot mechakáára voatkoó axómák tárgyalásáál eleve et a fktív erıtípust hasáltuk, ll. a axómák et a erı fatát defálák. yag pot eseté cs s értelme másról besél. f, p, q erıtípusok defálásáál s a kocetrált erı fogalmát hasáltuk fel. tárfogat, a felület és a voal met megosló erıt sorra úgy s defálhatuk, mt a egységy térfogatra, egységy felületre és egységy hossra esı kocetrált erıt. 3.. Z ERİ ÉS NYOMTÉK MEGDÁS, ÁBRÁZOLÁS (3./a, b, c. d) defícók sert a erı bármelyk típusról va s só vektormeység, melyet tehát hatásvoala, értelme és agysága elleme. defícók aoba at s mutaták, hogy a erı sorosa helyhe kötött meység. Támadáspotak eveük at a potot, amelye a erı hat. erı, mt fka meység tehát kötött vektorral ellemehetı. alítkus úto a erı támadáspotáak helyvektora mellett magát a erıt pl. Descartes-féle koordátaredserbe a e + e + e 3./e x x y y alakba adhatuk meg, ahol a obb oldal három tagát a erı x, y és ráyú kompoeseek vagy össetevıek eveük. kompoesek absolút értékéek smeretébe meghatárohatuk a erı hatásvoaláak a koordátategelyekkel beárt söget (3.5. ábra): x y cos α, cosβ, cos γ, ahol x y + +, a erı agysága. Ha a erı hatásvoaláak egységvektorát e -el elölük, akkor a erı e, am éppe a polárkoordátába törtéı megadásak felel meg. Serkestı elárásokál sükség va a erı grafkus ábráolására. Serkestéssel akkor tuduk vsoylag kéyelmese dolgo, ha a erık hatásvoala egy síkba vaak (térbel feladatok grafkus megoldására rtká vállalkouk). Ha a ra síkát a erık hatásvoaláak síkába vessük fel, akkor a P támadáspoto áthúott egyees erık hatásvoaláak síkába vessük fel, akkor a P támadáspoto áthúott egyees a erı hatásvoala, a ee felmért ráyított egyees sakas ada a erı agyságát és értelmét. agyság megadásáho ú. erıléptéket kell felveük, amely kapcsolatot teremt a rao felmért hossúság és a erı agysága köött. E többféleképpe s törtéhet, pl. cm N vagy N (3.6. ábra). Ha em aduk meg erıléptéket, am a feladatok kírásáál fordulhat elı, akkor a 3.6. ábráak megfelelı ábráolás csak a erı támadáspotáról hatásvoaláról és értelmérıl ad táékotatást. erı agyságát külö meg kell aduk.

22 (.7) és (.9) össefüggések alapá a yomatékot a erıbıl sármatattuk, bár késıbb lát foguk, hogy a yomatékot öálló hatáskét s értelmehetük, s, mt lye, matematka sabad vektorral ellemehetı, támadáspotáak tehát cs serepe. Descartes-féle és a polár-koordátaredserbe a yomatékvektort a M M e + M e + M e Me x x 3. össefüggéssel aduk meg, ahol y y M x y M M + M + M és a yomatékvektor hatásvoaláak a koordátategelyekkel beárt söge (3.7. ábra): M M x y M cos λ, cos χ, cosµ. M M M yomaték grafkus ábráolásáál ugyaat a elvet követük, mt a erıél. yomatéklépték megadása pl. cm Nm vagy egy adott távolság megadása formába törtéhet. (.7) defícó értelmébe a yomatékvektor merıleges arra a síkra, amelybe kfet hatását. E lehetıséget ad arra, hogy elképes ábráolásál a 3.8 ábráak megfelelıe hatássíkába felvett, ráyított félkörívet alkalmauk. yílráy ada a yomaték értelmét. yomaték agyságát pedg külö kell megaduk Z ERİRENDSZEREKKEL KPCSOLTOS OGLMK, Z ERİRENDSZEREK CSOPORTOSÍTÁS testre ható erık együttesét rövde erıredserek eveük. Test alatt a legegyserőbb esetbe ayag potot értük, a mereve össekapcsolt ayag potok redserét ayag potredserek, egy boyos térfogatot folytoosa ktöltı ayag potredsert merev testek, a valamlye módo össekapcsolt merev testek redserét serkeetek eveük. vsgált testre ható dege testek hatását külsı erıek, a teste belül, aok egyes eleme köött fellépı erıket pedg belsı erıek hívuk. Más csoportosítás sert aktív erıek eveük aokat a erıket, amelyek a test yugalm helyetébıl kmodíta gyekeek, a passív, reakcó vagy kéysererık pedg aok, amelyeket a vsgált test elmodulását megakadályoó testek feteek k. Ha a test követleül a ható erık fellépése elıtt yugalomba volt, s yugalmát a erık mőködése alatt s megtarta, a ható erık redserét egyesúly erıredserek eveük. Egyeértékőek vagy equvalesek eveük aokat a erıredsereket, amelyek hatása megegyek. egyeértékőség fogalmáak csak a merev testek statkáába és ketkáába va értelme és eletısége, eért at célserőbb a követkeıképpe defál. Két vagy több erıredser egyeértékő, ha létek egy olya erıredser, amely külö-külö mdegykkel egyesúly erıredsert alkot. Egy erıredser eredı erıredsere alatt a eredetvel egyeértékő legegyserőbb erıredsert értük.

23 3 erıredserek támadáspotukat tektve lehetek köös támadáspotúak a ayag potra értelemserőe csak lye erık hatak és külöböı támadáspotúak, rövde sétsórtak. Hatásvoalukat tektve lehetek párhuamos és külöböı hatásvoalúak. hatásvoalak eshetek egy egyeesbe, egy síkba vagy a tér tetsıleges ráyába. Ilyekor köös hatásvoalú, síkbel, ll. térbel erıredserrıl besélük. fet csoportosítások kombálhatók s egymással. Így pl. ayag potra ható erıredser csak köös támadáspotú, de köös hatásvoalú, síkbel és tárbel s lehet. testre ható erıredser a elıbbeke túl lehet síkbel párhuamos vagy sétsórt, ll. térbel párhuamos vagy sétsórt SZTTIK ELDT ÉS ELOSZTÁS statka legáltaláosabb feladata a yugalomba lévı testre ható erık vsgálata. ayag pot és a merev test statkáába a erıredserek törvéyserőségeek a felkutatása és megfogalmaása a cél. legfotosabb kérdések a követkeık: - m a egyesúly feltétele, - m a erıredser eredı erıredsere, és - hogya lehet kegyesúlyo a eredetleg em egyesúly erıredsert. serkeetek statkáába a elıı alapkérdésekre adott válasok felhasálásával a serkeet eleme köött ható erıkek, a belsı erıkek a meghatároása a legfotosabb feladat SZTTIK ÁLTLÁNOS LPELVEI Z NYGI PONTR HTÓ ERİRENDSZER EGYENSÚLY, EREDİJE ÉS KIEGYENSÚLYOZÁS ayag pot yugalomba va, ha sebessége a vsgált dısak mde pllaatába ulla. Vsgáluk meg m eek a feltétele. Tétel: ayag pot yugalomba va, ha sebessége a vsgált dısak eleé ulla és gyorsulása a vsgált dısak mde pllaatába ulla (a yugalom kematka feltétele). Boyítás: (.3) sert a ayag pot gyorsulását sebességek dı sert dfferecálásával kapuk: dv(t) a (t), dt e rögtö megállapíthatuk, hogy ameybe a sebesség a vsgált dısak alatt álladó (lehet ulla s), a gyorsulás ulla. Redeük át a fet össefüggéseket és tegráluk a dı sert: v (t) a (t)dt + v, hol v tegrálás álladó, értékét valamlye feltételbıl határohatuk meg, pl. elıíruk, hogy t t -ál, a vsgált dısak kedeté a sebesség legye v. a(t) és a fet kedet feltétel felhasálásával a sebességfüggvéy: v (t), v

24 4 a tömegpot sebessége a vsgált dısak alatt tehát kedet sebességével egyek meg. v (t) feállásáak sükséges és elégséges feltétele tehát a (t) és v egydeő telesülése. statka mt tuduk a yugalomba lévı testeket vsgála, így a mogás ellemıek a sámításba való bevoása kéyelmetle és célserő. yugalom feltételét eért más formába s megfogalmauk. Tétel: ayag pot yugalmáak sükséges és elégséges feltétele a, hogy a ható erık vektoráls össege a vsgált dısak folyamá ulla legye és kedısebessége s ullával legye egyelı (a egyesúly damka feltétele). Boyítás: Hasso a ayag potra (3.9. ábra) (,,... ) erı. E a legáltaláosabb esetbe köös támadáspotú térbel erıredser kehet.. és 4. axóma felhasálásával a tömegpot gyorsulása: a. m m így a egyesúly kematka feltétele sert a gyorsulásak ullával kell egyelıek lee, fet kfeeésbıl rögtö követkek, hogy 3.3 Megfordítva, ha (3.3) feáll, akkor a tömegpot gyorsulása ulla és hoátéve a v kkötést a elıı tétel értelmébe a pot yugalomba va. Megemlítük, hogy a vsgált dısakba a erıkek em kell álladóak leük, de mde pllaatba k kell elégíteük (3.3.)-at. Mt korábba láttuk, a statkába a yugalom állapotát egyesúlyak s eveük. Ha (3.3) és v s feáll, at moduk, hogy a ayag potra ható erıredser statka egyesúlyba va. Ha (3.3) feáll, de v, akkor a erıredser damka egyesúlyáról besélük. statkába v telesülését hacsak a ellekeıét em hagsúlyouk eleve fel soktuk tétele, így a fet megkülöbötetések cs külöösebb eletısége. Nyugalom eseté egyserőe egyesúly erıredserrıl besélük. (3.3)-be a 4. axómá alapuló 3.4 kfeeés at mutata, hogy a egyes erık vektor össegésével yert egyetle vektor a erıredser fotos ellemıe. Úgy s fogalmahatuk, hogy a ayag potra ható, erıbıl álló erıredsert egyetle egy erıvel helyettesíthetük. össegvektorak a támadáspota értelemserőe csak a több erı támadáspota lehet, aa maga a ayag pot. Így már -ek potos fka értelmet tuladoíthatuk, s mt a ayag potra ható erıredser eredıe tehát a ayag pottal megegyeı támadáspotú egyetle, (3.4)-ek megfelelı erı. ayag pot vselkedéséek leírásáho elegedı et a eredıt smer. Ha, akkor a tömegpot a. axómáak megfelelıe gyorsuló mogást vége, eseté yugalomba va.

25 5 eredı erı smeretébe a ayag pot yugalmáak damka feltételét a követkeıképpe fogalmahatuk meg: ayag pot yugalomba, aa a köös metséspotú erıredser egyesúlyba va, ha a ható erıredser eredıe ulla ( és a pot kedısebessége s ulla). Ha a ayag potra ható erıredser em egyesúly, yugalm állapotát ú. kegyesúlyoó erıredserrel lehet btosíta. Eek a egyesúlyoó erıredserek, a passív, vagy reakcóerık redseréek a meghatároása a statka egyk ge fotos feladata. Tétel: ayag potra ható erıredsert kegyesúlyoó erıredser eredıe a ható erıredser eredıéek elletettével egyelı. Boyítás: Legye a ható (aktív) erıredser eredıe:, a kegyesúlyoó (passív) erıredser eredıe: R p R. Egyesúly eseté a aktív és passív erık össegéek ullával kell egyelıek leük: e p + R + R, R. 3.5 Ha a lehetı legegyserőbb kegyesúlyoó erıt keressük, a em les más, mt a R -ek megfelelı egyetle erı. Térük vssa a 3.9. ábráho és képelük el, hogy a ayag potra egy másk a elııtıl sámba, agyságba, hatásvoalba külöböı erıredser hat. Határouk meg, m a feltétele aak, hogy a két erıredser hatása a ayag potra aoos legye, aa a két erıredser egyeértékő legye. Tétel: ayag potra ható erıredserek egyeértékőek, ha eredıük megegyek. I II Boyítás: Legye a egyk erıredser (,,., ), a másk (,,, p). Egyeértékőség esté a két erıredser által okoott gyorsulásak meg kell egyee: p I II a a a m m m I m II m, aa, ha I -el és II -vel elölük a két eredıredser eredıét, akkor

26 6 I boyítást a egyeértékőség damka defícóa alapá s elvégehetük. Tegyük fel, hogy létek egy eredıő harmadk erıredser, amelyk a másk két erıredser mdegykét kegyesúlyoa, akkor II. I és II + +. két egyelıséget egymásból kvova kapuk: p I II - ahoa a eredık felhasálásával p I II, I II. Köyő belátuk, hogy ayag potra ható erıredserek eseté végtele sok egyeértékő erıredser létek, tehát egyeértékő egyesúly és kegyesúlyoó erıredser s végtele sok va. Bár (3.3) egyértelmőe megada a egyesúly feltételét, mégs megkérdeük, cs-e mős mód e feltétel megfogalmaására. Ehhe elısör egy késıbbekbe gyakra alkalmaásra kerülı fogalommal és a hoá kapcsolódó tétellel kell megsmerkedük. Egy vektor (akár erı vagy bármelye más vektormeység) valamely tegelyre (ráyra) vett vetülete alatt a vektor kedı- és végpotából a tegelyre bocsátott merılegesek köt tegelysakas elıelhelyes hossát értük (3.. ábra) vektorok skalársoratáak tuladosága alapá a v vektor e egységvektorral ellemett tegelyre vett vetületét a p v e v e v e cos α vcos α 3.6 össefüggéssel határohatuk meg. tegelyre vett vetület tehát potív, ulla vagy egatív o o o o o asert, hogy α < 9, α 9 vagy 9 < α 8. Vegyük ésre, hogy a eredet tegellyel párh uamos mde tegelyre ugyaa egy vektor vetülete, am megfelel aak, hogy a tegely e egységvektora matematka sabad vektor Tétel: tömegpotra ható, aa köös támadáspotú erık valamely tegelyre vett vetületeek össege egyelı a erıredser eredıéek ugyaao tegelyre vett vetületével (vetület tétel). Boyítás: Legye a tetsılegese válastott tegely egységvektora e (3..ábra), amellyel sorouk meg skalársa a (3.4)-es kfeeést: e e, (3.6) sert aoba e e, 3.7 ahol e a -edk erı, e a eredı erı e tegelyre

27 7 vett vetülete. (3.7)-et vetület egyeletek eveük Ha (3.7) obb oldala ullával egyelı, a vagy at elet, hogy a eredı erıvektor merıleges a tegelyre ( e), vagy at, hogy a eredı erı ulla (), aa a erıredser egyesúly Tétel: köös támadáspotú erıredser egyesúlyba va, ha három, em egy síkba esı tegelyre a erık vetületössege egyekét ulla. Boyítás: semléletesség kedvéért toluk el a e, e és e 3 egységvektorokkal ellemett tegelyeket ömagukkal párhuamosa et (3.6) sert megtehetük a erık támadáspotába (3.. ábra) és íruk fel a vetület egyeleteket, valamt a tétel állítása sert tegyük ıket ullával egyelıvé: e e e3 e e e 3 e e e 3 e e e3,,. 3.8/a,b,c (3.8) elsı két egyelete kétféleképpe lehet ulla. eredı erı ulla, vagy vektora merıleges a e, e vektorok által alkotott síkra. Mvel kkötöttük, hogy a harmadk tegely em eshet ebbe a síkba, a harmadk egyelıség csak úgy telesülhet, ha valóba ulla. (3.) egyeleteket vetület egyesúly egyeletekek eveük. mkor a (3.3) vagy (3.4) egyeleteket Descartes-féle koordátaredserbe íruk fel, akkor éppe a vetület tételt alkalmauk abba a specáls esetbe, amkor a három tegely egymásra merıleges. Így a (3.4) vektoregyelet skaláregyeletek formáába a követkeı alakot ölt (3.3.. ábra): x y x y cos α cos β cos γ ahol a -edk erı agysága,,, β, 3.9/a,b,c α, γ - a -edk erı x, y, tegelyekkel beárt söge, x, y, a eredı erı x, y, tegelyekre vett vetülete. Egyesúly eseté a három skaláregyeletek ullával kell egyelıek lee: x y x y cosα, cosβ, cosγ. 3./a,b,c

28 8 kegyesúlyoás feladatokál felírható három skaláregyelet éppe arra alkalmas, hogy a passív erık eredıéek három kompoesét meghatárouk: R R R x y x y cosα cosβ cos γ,. 3./a,b,c három skaláregyelet egybe at s elet, hogy a kegyesúlyoás feladatokál köös támadáspotú erıredser eseté csak olya kegyesúlyoó erıredsert tuduk egyértelmőe meghatáro, amely maxmálsa három skaláradattal ellemehetı. Ha a smeretleek sáma háromál több, a kegyesúlyoás feladatak végtele sok megoldása va MEREV TESTRE HTÓ ERİRENDSZER EGYENSÚLY, EREDİJE ÉS KI- EGYENSÚLYOZÁS merev test egyesúlyáak vsgálatát vssaveethetük a ayag pot egyesúlyával kapcsolatos megállapításokra. Ehhe botsuk fel a merev testet kcs V térfogatú, m tömegő résecskék össességére (3.4. ábra). ayag pot yugalmára voatkoó defícó smeretébe a merev test yugalmát úgy defálhatuk, hogy a merev test yugalomba va, ha a vsgált dısakba a fet módo kválastott össes ayag potáak ulla a sebessége. merev test r helyvektorú P potát ayag potak tektve, vegyük sorra a rá ható erıket. Más testek hatását, aa a P potba ható külsı erık eredıét elölük p potra hat még a merev test több réséek hatása. P k ayag potból ható belsı erıt elölük k -val. Errıl a erırıl a tapastalattal egyeıe feltételeük, hogy a kér potot össekötı egyees meté hat és a 3. axóma értelmébe -vel. k k, 3. aa a P pot s hat a P k potra, mégpedg ugyaolya agyságú, hatásvoalú, de elletétes értelmő erıvel. erı agyságát ugya em smerük, de mt késıbb lát foguk, em s les rá sükség. Termésetese a test össes több pota s hat a P potra. Eekek a erıkek a eredıét elölük k k formába, ahol a Σ el alatt bető a össegı dexet mutata. fet össegek ay taga va, aháy ayag potra botottuk a testet. tagok sámát em íruk k, aak mt lát foguk úgy s csak elv eletısége va.

29 9 merev test P potára ható össes erı a külsı és belsı erık eredıéek össege. fet elölések alkalmaásával: + k. 3.3 k erık, legalábbs elv, smeretébe megfogalmahatuk a merev test yugalmáak, ll. a merev testre ható erıredser egyesúlyáak feltételét. Tétel: merev test yugalmáak sükséges és elégséges feltétele, hogy a ható külsı erık vektoráls össege és egy tetsıleges potra sámított yomatékaak vektoráls össege a vsgált dısak folyamá ulla legye és valamey potáak kedısebessége s ullával legye egyelı ( a merev test egyesúlyáak damka feltétele). Boyítás: lkalmauk a. axómát a P tömegpotra: + m a k. 3.4 k Ha feltessük, hogy a tömegpot a vsgálat kedeté yugalomba volt, aa kedı sebessége v, akkor a yugalom kematka feltételéek megfelelıe, akkor marad továbbra s yugalomba, ha gyorsulása a vsgált dısakba végg ulla marad ( a (t) ), (3.4) bal oldala tehát ulla. Íruk fel godolatba a merev test mde egyes potára (3.4)-et és aduk össe a egyeleteket. át s fgyelembe véve kapuk: a + m a. 3.5 k obb oldal másodk taga a belsı erık teles vektor össege, ebbe mde erı párosul, ullapárok formáába lép fel, a teles vektorösseg tehát ulla: k. k k (3.5)-ös kfeeés eel a követkeı alakot ölt:, 3.6 amvel a tétel elsı rését boyítottuk. ugya tt s a testre ható külsı erık vektoráls össege, mt ayag potál, fka értelmeése mégsem olya egyserő, mert ha eredı erıkét s foguk fel, támadáspotáról semmt sem tuduk. tétel másodk réséek boyításáho vegyük fel tetsılegese egy potot és sorouk meg (3.4)-et vektorálsa balról a r helyvektorral, amely a potból a P potba mutat (3.4. ábra): r x m a r x + r x. Megt aduk össe a össes ayag potra felírható egyeletet és vegyük fgyelembe, hogy. a. k k

30 3 (r x ma) (r x) + (r xk ). 3.7 belsı erık vektoráls soratára aoba (3.) fgyelembevét4lével párokét felírhatuk: x r + r x (r r )x r x, k k k k k k k mert a rk vektor a 3.4. ábráról s leolvashatóa párhuamos k -val. (3.7) másodk taga tehát párokét ulla tagokat tartalma, így teles össege s ulla. (3.8)-ból már csak a ( r x ) kfeeés marad, am a (.7) defícó értelmébe em más, mt a testre ható külsı erık potára voatkoó yomatékaak vektoráls össege. Így írhatuk: M (r x M, 3.8 amvel a teles tételt boyítottuk. Merev testre ható erıredser egyesúlyáak feltétele tehát (3.6) és (3.8) telesülése. yt már eddg vsgálatak alapá s megállapíthatuk, hogy a merev testre ható erıredser két fotos ellemıe és M. két vektormeység fka értelmeéséhe elısör a yomaték tuladoságaval, ll. a erı és yomaték kapcsolatával kell résletesebbe foglalkouk. yomaték defícóáál láttuk, hogy a erıek mde hatásvoalá kívül esı potra va yomatéka. Merev test eseté, ahol emcsak a erı támadáspotáak mogását vsgáluk, haem össes több potáét s, határouk meg mlye kapcsolat va a külöböı potokra sámított yomatékok köött. Tétel: Egy P támadáspotú erı valamely tetsıleges B potra voatkoó yomatéka egyelı a erı egy sabado válastott potra voatkoó yomatékáak és a hatásvoalával párhuamosa a potba tolt erı B potra vett yomatékáak a össegével. Boyítás: P támadáspotú erı yomatéka a B potra a defícó serot: M, B r x, de, r r + rb, ahol r B - a B potból a potba mutató helyvektor (3.5 ábra).