Definiálja a gráf, csúcsok, élek és illeszkedési leképezés fogalmát. Egy irányítatlan gráf, vagy röviden gráf alatt egy G = ( ϕ,

Átírás

1 Defála a gráf csúcso éle és lleszedés leépezés fogalát. Egy ráyítatla gráf vagy rövde gráf alatt egy G = ( ϕ E V ) hárast értü ahol V a csúcso vagy szögpoto halaza E az éle halaza aϕ lleszedés leépezés pedg E-t a V-bel eleeből álló redezetle páro halazába épző leépezés. Defála az lleszed végpota és zolált csúcs fogalaat. Ha valaely e E -re és v V -re v ϕ(e) aor azt odu hogy e lleszed v-re vagy v végpota e-e. Azoat a csúcsoat aelyere e lleszed él zolált csúcsoa evezzü. Defála az üres gráf és az lleszedés relácó fogalát. Ha az E halaz (az éle halaza) üres üres gráfról beszélü. A csúcso és éle özött lleszedés egy relácó E és V özött aelyet lleszedés relácóa evezü. Defála a csúcso lletve éle szoszédosságát. ét ülöböző élt szoszédosa evezü ha va olya csúcs aelyre dettő lleszed. ét ülöböző csúcsot szoszédosa evezü ha va olya él aely dettőre lleszed. Defála a huroél lletve a párhuzaos éle fogalát. Ha egy él csa egy csúcsra lleszed huroéle evezzü. Ha az e e éle ugyaazora a csúcsora lleszede aor párhuzaos éleről vagy többszörös éleről beszélü. Defála az egyszerű gráf és a véges gráf fogalát. Ha egy gráf e tartalaz se huroélt se párhuzaos élt egyszerű gráfa evezzü. Ha E (az éle halaza) és V (a csúcso halaza) véges halazo aor a gráfot végese egyébét végtelee evezzü. Defála a gráfba a foszá és a regulárs gráf fogalát. Ha egy csúcsra csa véges so él lleszed aor a csúcs foszáá a rá lleszedő éle száát értü a csúcsra lleszedő huroéleet étszer száolva. Egy v V csúcs foát redszert deg(v)-vel vagy d(v)-vel elölü. Ha egy gráfba de csúcs foa aor - regulársa evezzü; regulárs gráf alatt olya gráfot értü aely valaely N -re - regulárs. Mt odhatu a gráfba a foszáo összegéről? Ha G = ( ϕ E V ) egy véges gráf aor ylvá: d( v) = card( E). (card(e) = az E halaz száossága.) Defála a gráfo zoorfáát. A G = ( ϕ E V ) és G' = ( ϕ' E' V ') gráfo zoorfa ha va olya az E-t E -re épző ölcsööse egyértelű f és a V-t V -re épző ölcsööse egyértelű g leépezés hogy de e E -re és v V -re e potosa aor lleszed v-re ha f(e) lleszed g(v)-re. v V

2 Modo elégséges feltételt arra hogy ét gráf e legye zoorf. Ha ét gráfa e ugyaay csúcsa vagy e ugyaay éle va vagy az egye va olya tuladosága a a ása cs eg például az egye va zolált csúcsa a ása eg cs vagy valaely -re az egy gráfba e ugyaay -edfoú csúcs va t a ásba stb. aor ylvá e zoorfa. Modo elégséges feltételt arra hogy ét egyszerű gráf zoorf legye. Ha G és G egyszerű gráfo és va olya a V-t a V -re épző g ölcsööse egyértelű leépezés aelyre v w V potosa aor szoszédosa ha g(v) és g(w) szoszédosa aor G és G ylvá zoorfa. Defála a teles gráf fogalát. Ha egy egyszerű gráfba bárely ét ülöböző csúcsot él öt össze aor teles gráfa evezzü. Háy éle va egy teles gráfa? ( ) Ha a gráf csúcsaa száa aor card ( E) =. Defála a páros gráf fogalát. Egy páros gráf (vagy étrészes gráf) egy olya gráf aelyél adott a csúcso V halazáa egy V V dszut halazora való felbotása úgy hogy de él egy végpota a ás halazba es. Egy páros gráfot tehát egy ( ϕ E V ' V" ) égyesét adhatu eg. Ada eg a háro ház háro út gráfot. A háro ház háro út gráf egy páros gráf aelyél V háro házból V háro útból áll és bárely ház és bárely út özött va egy él de több él cs. Defála a részgráf és a feszített részgráf fogalát. A G' = ( ϕ' E' V ') gráfot a G = ( ϕ E V ) gráf részgráfáa evezzü ha E' E V ' V és ϕ' ϕ. Ha a G részgráf dazoat az éleet tartalazza aelye végpota V -be vaa aor G -t a V által eghatározott feszített részgráfa vagy telített részgráfa evezzü. Defála a részgráf opleeterét. Ha a G' = ( ϕ' E' V ') részgráfa a G = ( ϕ E V ) gráfa aor a G -e G-re voatozó opleeteré a ϕ E / E' ) gráfot értü. ( E / E ' V

3 Defála az élhalaz lletve a csúcshalaz törlésével apott gráfot. Ha G = ( ϕ E V ) egy gráf és az E' E aor a G-ből az E élhalaz törlésével apott gráfo a G' = ( ϕ E / E ' E / E' V ) részgráfot értü. Ha a G = ( ϕ E V ) egy gráf és V ' V aor legye E az összes olya éle halaza aelye lleszede valaely V -bel csúcsra. A G-ből a V csúcshalaz törlésével apott gráfo a G' = ( ϕ E / E ' E / E' V / V ') részgráfot értü. Defála a séta és a séta hossza fogalát. Legye G = ( ϕ E V ) egy gráf. Egy G-bel hosszú séta v-ből v -be egy olya v e v e v v e v véges sorozat aelyre e a v és a v csúcsora lleszedő él ha v = v'. Defála a yílt és a zárt sétát. Ha v = v' a sétát zárt sétáa evezzü egyébét yílt sétáa. Defála az út fogalát. Egy sétát úta fogu evez ha a v v v v csúcso d ülöböző. és v = v Mor lesz egy ulla lletve egy hosszú séta út? A ulla hosszú sétá dg uta és egyetle csúcsból álla. Az egy hosszú sétá uta ha a beü szereplő egyetle él e huroél. Defála a voal fogalát. Ha a sétába szereplő éle d ülöbözőe voala evezzü. Defála a ör fogalát. Egy legalább egy hosszú zárt voalat öre evezü ha a ezdő- és a végpot egegyeze de egyébét a voal bárely ás pota ezetől és egyástól ülöböz. Va-e egy lletve ettő hosszú ör? Az egy hosszú örö egyetle huroélt tartalaza. A ettő hosszú örö ét ülöböző de párhuzaos élt tartalaza. Hogya aphatu sétából utat? Fogalazza eg az állítást. Bárely G gráfba a ülöböző v és v csúcsoat összeötő sétából alalasa törölve pároat a v-t a v -vel összeötő utat aphatu. e v Fogalazza eg a sétá örö segítségével való előállítására voatozó tételt. Bárely G gráfba egy legalább egy hosszúságú zárt voal véges so pároét éldszut ör egyesítése. (?)

4 Defála az összefüggőség és a opoes fogalát. Egy gráfot összefüggőe evezü ha bárely ét csúcsa összeöthető sétával. A csúcso egy adott osztálya által eghatározott telített részgráf a gráf egy opoese. Igaz-e hogy egy gráf de éle valaely opoeshez tartoz? Vegyü észre hogy ét ülöböző osztályba tartozó csúcs e lehet szoszédos így a gráf de éle hozzátartoz egy opoeshez. M a apcsolat a opoese és az összefüggőség özött? Egy gráf aor és csa aor összefüggő ha de csúcs ugyaabba az osztályba tartoz azaz ha csa egyetle opoese va. Defála a fa fogalát. Egy gráfot fáa evezü ha összefüggő és cs öre. Fogalazzo eg ét szüséges és elégséges feltételt arra hogy egy egyszerű gráf fa legye. Egy G egyszerű gráf fa hogyha:.) G összefüggő de bárely él törlésével apott részgráf ár e összefüggő;.) ha v és v a G ülöböző csúcsa aor potosa egy út va v-ből v -be; 3.) G-e cs öre de bárlye ú él hozzávételével apott gráf ár tartalaz ört. Egy véges gráfba cs ör de va él. Mt állíthatu a foszáoal apcsolatba? Ha egy G véges gráfba cs ör de va él aor va legalább ét elsőfoú csúcs. Egy egyszerű véges gráfa csúcsa va. Fogalazzo eg ét szüséges és elégséges feltételt aelybe szerepel az éle száa arra hogy a gráf fa. Egy G egyszerű véges gráf csúccsal fa hogyha:.) G-be cs ör és - éle va;.) G összefüggő és - éle va. Defála a feszítőfa fogalát. Egy G gráf egy feszítőfáa egy olya F részgráfa G-e aely fa és a csúcsaa halaza egegyez G csúcsaa halazával. Mt állíthatu a feszítőfa létezéséről? Mde véges összefüggő gráfa létez feszítőfáa. Mt állíthatu véges összefüggő gráfba a örö szááról? Egy G = ( ϕ E V ) véges összefüggő gráfba létez legalább card ( E) card( V ) ör aelye élhalaza ülöböző.

5 Mor odu hogy egy csúcshalaz lletve élhalaz elvág ét csúcsot? Legye G = ( ϕ E V ) egy gráf. Ha v v csúcso V ' V és de v -ből v -be vvő útba szerepel valaely v V ' csúcs aor azt odu hogy V elvága a v és v csúcsoat. Ha E' E és de v -ből v -be vvő útba szerepel valaely e E' él aor azt odu hogy E elvága a v v csúcsoat. Defála az elvágó élhalaz és a vágás fogalát. Ha vaa olya csúcso aelyeet az E élhalaz elvág aor E -t elvágó élhalaza evezzü. Ha egy elvágó halaza cs olya valód részhalaza aely ugyacsa elvágó élhalaz aor vágása evezzü. Mt állíthatu véges összefüggő gráfba a vágáso szááról? Egy G = ( ϕ E V ) véges összefüggő gráfba létez card ( V ) ülöböző vágás. Defála az erdő fogalát. M az összefüggés a fáal? öretes gráfot erdőe evezü. Egy erdő opoese ylvá fá a fá pedg összefüggő erdő. Defála a feszítő erdő fogalát. Háy éle va egy véges gráf feszítő erdőée? Egy gráf olya részgráfát aely a gráf de opoeséből egy feszítőfát tartalaz a gráf feszítőerdőée evezzü. Egy véges erdő élee száa ylvá a csúcso szááa és a opoese szááa ülöbsége. Defála az Euler-voal fogalát. Az Euler-voal egy G gráfba egy olya voal aely az összes élt és összes csúcsot tartalazza. Fogalazza eg a véges összefüggő gráfo voala egyesítéseét való előállítására voatozó tételt. Ha egy véges összefüggő gráf s páratla foú csúcsot tartalaz ahol s N aor a gráf s darab pároét éldszut yílt voal egyesítése. Defála a Halto-út lletve a Halto-ör fogalát. Ha egy gráfba va egy olya v-ből v -be vezető út aelybe a gráf de pota szerepel azt az utat Halto-úta evezzü. Halto-öre egy olya ört evezü aelybe a gráf de csúcsa szerepel. Defála a cíézett gráf fogalát. Ha adott egy G = ( ϕ E V ) gráf a C e és C v halazo az élcíé lletve csúcscíé halaza valat a ce : E Ce és cv : V Cv leépezése az élcíézés lletve csúcscíézés aor a ϕ E V c C c C ) hetest cíézett gráfa evezzü. ( e e v v

6 Defála a súlyozott gráf fogalát és egy véges részhalaz súlyát. Ige gyaor hogy C e = R lletve C v = R eor élsúlyozásról és élsúlyozott gráfról lletve csúcssúlyozásról és csúcssúlyozott gráfról beszélü és a elölésből Ce -t lletve Cv -t elhagyu. Egy ( ϕ E V w) élsúlyozott gráfba egy E' E véges élhalaz súlya ' w ( e). Hasolóa egy ( ϕ E V w) csúcssúlyozott gráfba egy V ' V véges csúcshalaz súlya ' w ( v). v V Fogalazza eg a rusal-algortust és a rá voatozó tételt. Egy ( ϕ E V w) élsúlyozott összefüggő véges gráfba az összes csúcsot tartalazó üres részgráfból dulva és a ár választott részgráfhoz addg adva hozzá a áls súlyú olya élt aellyel a választott részgráf ég e tartalaz ört egy áls súlyú feszítőfát apu. Mt értü ohó algortuso? Modo példát aor egy ohó algortus e ad optáls egoldást. A ohó algortusba de lépésbe a lehetséges lehetősége özül az adott lépésbe lehető legedvezőbbet választu. A ohó algortuso e dg optálsa például öyű példát ad olya 4 csúcspotú teles gráfra aelybe a ohó algortus e ada eg a áls sugarú Halto-ört: e E Defála az ráyított gráf a csúcso éle és lleszedés leépezés fogalát. Egy ráyított gráf alatt egy G = ( ψ E V ) hárast értü ahol V a csúcso vagy szögpoto halaza E az éle halaza a ψ lleszedés leépezés pedg egy E-t V V -be épező leépezés. Defála ráyított gráfba a ezdőpot és a végpot fogalát. Ha egy G = ( ψ E V ) ráyított gráfba ψ ( e ) = ( v v' ) aor azt odu hogy v az e ezdőpota v pedg a végpota. Hogya aphatu ráyított gráfból ráyítatla gráfot. Mért haszálhatu ráyított gráfora az ráyítatla gráfora defált fogalaat? Bárely G = ( ψ E V ) ráyított gráfból apható egy G' = ( ϕ E V ) ráyítatla gráf úgy hogy az ráyítást elfeletü azaz ψ ( e ) = ( v v' ) eseté ϕ(e) -t { v v' }-e defálva. Mdazoat a fogalaat aelyeet ráyítatla gráfora defáltu haszál fogu ráyított gráfora s; lyeor dg a egfelelő ráyítatla gráfra godolu.

7 Defála gráf ráyítása és egfordítása fogalaat. Bárely G = ( ψ E V ) ráyított gráfból apható egy G' = ( ϕ E V ) ráyítatla gráf úgy hogy az ráyítást elfeletü azaz ψ ( e ) = ( v v' ) eseté ϕ(e) -t { v v' }-e defálva. Azt odu hogy a G a G egy ráyítása. A G = ( ψ E V ) ráyított gráf egfordításá azt a G' = ( ψ ' E V ) ráyított gráfot értü aelyre ψ ( e ) = ( v v' ) eseté ψ '( e ) = ( v' v). Defála a szgorúa párhuzaos éle fogalát. Ha az e e élee ugyaaz a ezdőpota és a végpota aor szgorúa párhuzaos éleről beszélü. Defála az ráyított egyszerű gráf és a véges gráf fogalát. Ha egy ráyított gráf e tartalaz se huroélt se szgorúa párhuzaos élt egyszerű gráfa evezzü. Ha E (az éle halaza) és V (a csúcso halaza) véges halazo aor az ráyított gráfot végese egyébét végtelee evezzü. Defála a csúcs befoát és foát. Ha egy csúcs csa véges so éle ezdőpota aor eze száát a csúcs foáa evezzü. Hasolóa ha egy csúcs csa véges so éle végpota aor eze száát a csúcs befoáa evezzü. (Ha egy csúcs foa ulla aor yelőe ha pedg befoa ulla aor forrása evezzü. Egy v V csúcs foát redszert deg ( v) -vel vagy d (v) - vel befoát redszert deg ( v) -vel vagy d (v) -vel elölü.) Mt odhatu ráyított gráfora a foszáo összegéről? Ha G = ( ψ E V ) egy véges ráyított gráf aor v V d = ( v) d ( v) = card( E) v V hsze de úabb él dháro összeget egyel övel. Hogya szeléltethetü egy relácót ráyított gráffal? Legye E egy V-bel bér relácó és legye ψ ( e ) = e ha e E azaz egy csúcsot egy ásal potosa aor össü össze ha az első relácóba áll a ásodal. Defála az ráyított gráfo zoorfáát. A G = ( ψ E V ) és G' = ( ψ ' E' V ') ráyított gráfo zoorfa ha va olya az E-t E -re épező ölcsööse egyértelű f és a V-t V -re épező ölcsööse egyértelű g leépezés hogy de e E -re egy v V potosa aor ezdőpota e-e ha g (v) ezdőpota f (e) -e és potosa aor végpota e-e ha g (v) végpota f (e) -e. Defála az ráyított részgráf és a feszített ráyított részgráf fogalát. A G' = ( ψ ' E' V ') ráyított gráfot a G = ( ψ E V ) ráyított gráf ráyított részgráfáa evezzü ha E' E V ' V és ψ ' ψ.ha a G ráyított részgráf dazoat az éleet tartalazza aelye ezdőpota és végpota s V -be vaa aor G -t a V által eghatározott feszített ráyított részgráfa vagy telített ráyított részgráfa evezzü.

8 Defála ráyított részgráf opleeterét. Ha a G' = ( ψ ' E' V ') ráyított részgráfa a G = ( ψ E V ) ráyított gráfa aor G -e G- re voatozó opleeteré a ψ E / E' ) ráyított részgráfot értü. ( E / E ' V Defála az élhalaz lletve csúcshalaz törlésével apott ráyított részgráfot. Ha a G = ( ψ E V ) egy ráyított gráf és E' E aor a G-ből az E élhalaz törlésével apott ráyított gráfo a G' = ( ψ E / E ' E / E' V ) ráyított részgráfot értü. Ha a G = ( ψ E V ) egy ráyított gráf és V ' V aor legye E az összes olya éle halaza aelyee ezdőpota vagy végpota valaely V -bel csúcs. A G-ből a V csúcshalaz törlésével apott ráyított gráfo a G' = ( ψ E / E' V / ') ráyított részgráfot értü. E / E ' V Defála az ráyított séta és az ráyított séta hossza fogalát. Legye G = ( ψ E V ) egy ráyított gráf. Egy G-bel hosszú ráyított séta v-ből v -be egy olya v e v e v v e v véges sorozat aelyre e ezdőpota v végpota pedg v ha v = v'. és v = v Defála a yílt és zárt ráyított séta fogalát. Ha v = v' az ráyított sétát zárt ráyított sétáa egyébét yílt ráyított sétáa evezzü. Defála az ráyított út fogalát. Egy ráyított sétát ráyított úta evezü ha a v v v csúcso d ülöböző. Defála az ráyított ör fogalát. Egy legalább egy hosszú zárt ráyított voalat ráyított öre evezü ha a ezdő- és a végpot egegyeze de egyébét az ráyított voal bárely ás pota ezetől és egyástól ülöböz. Defála az erős összefüggőség és az erős opoes fogalát. Egy ráyított gráfot erőse összefüggőe evezü ha bárely (vv ) csúcspár eseté vezet ráyított séta v-ből v -be. A csúcso egy adott osztálya által eghatározott telített ráyított részgráf az ráyított gráf egy erős opoese. Igaz-e hogy egy ráyított gráf de éle valaely erős opoeshez tartoz? Ne feltétleül tartoz az ráyított gráf de éle valaely erős opoeshez. Defála az ráyított fa és gyöere fogalát. Egy ráyított gráfot ráyított fáa evezü ha fa és va olya csúcsa aelyből de csúcshoz vezet ráyított út. Ez a csúcs ylvá egyértelűe eghatározott ez az ráyított fa gyöere.

9 Defála az ráyított fa sztet. Azo a csúcso aelyehez hosszú út vezet a gyöértől alotá az -ed sztet. Defála ráyított fába a leveleet. Iráyított fáa azoat a csúcsat aelye foa ulla levéle evezzü. Defála ráyított fába a gyeree testvére és szülőe fogalaat. Ha va olya él aelye v a ezdőpota v pedg a végpota aor azt odu hogy v a v gyeree lletve hogy v a v szülőe. Ha ét csúcsa ugyaaz a szülőe testvéree evezzü őet. Defála az ráyított részfa fogalát. Bárely v csúcsra tethetü azo csúcso halazát aelyehez vezet ráyított út v-ből. Eze a csúcso eghatároza egy feszített ráyított részgráfot aely ylvá ráyított fa és v a gyöere; ezt a v-be gyöerező ráyított részfáa evezzü. Defála ráyított és ráyítatla gráf élátrát. Ha egy G = ( ψ E V ) ráyított gráf éle e e e csúcsa pedg v v v aor az alább élátr vagy lleszedés átr egyértelűe egada a gráfot: és eseté a = ha e -e v ezdőpota és a = ha e e huroél és e - e v végpota. A egfelelő ráyítatla gráf élátrá az a átrot értü. Defála ráyított és ráyítatla gráf csúcsátrát. A G ráyított véges gráf b csúcsátrába legye b a v ezdőpotú v végpotú éle száa ha. A egfelelő ráyítatla gráf csúcsátrát egy cst ásét értelezzü: ha aor = eseté legye b a v csúcsra lleszedő huroéle száa egyébét pedg legye a v és v csúcsora s lleszedő éle száa. Defála egy űvelet eseté a hooorfzus és a hooorf ép fogalát. Legye adott G és G halazoo egy-egy bér űvelet; az egyszerűség edvéért degyet szorzással elölü. Egy ϕ : G G' űvelettartó leépezést hooorfzusa fogu evez és azt odu hogy a ϕ (G) a G hooorf épe. Defála egy űvelet eseté a ooorfzus az eporfzus és az zoorfzus fogalát. Ha a ϕ hooorfzus ölcsööse egyértelű (etív) aor ooorfzusa ha pedg G -re épez (szüretív) aor egy G -re való eporfzusa evezzü. Ha ϕ ölcsööse egyértelű és G -re épez (betív) aor azt odu hogy ϕ zoorfzus G és G özött.

10 Defála egy űvelet eseté az edoorfzus és az autoorfzus fogalát. Ha G ' = G ugyaazzal a űvelettel aor a hooorfzusoat edoorfzusoa az zoorfzusoat pedg autoorfzusoa evezzü. Mt odhatu hooorfzusál félcsoport egységele verz és felcserélhető elee eseté?. ha G félcsoport aor a hooorf épe s félcsoport. ha G-be e obb oldal egységele bal oldal egységele lletve egységele aor a hooorf épébe e épe obb oldal egységele bal oldal egységele lletve egységele 3. ha G-be e egységele és g-e g* obb oldal verze bal oldal verze lletve verze aor a hooorf épébe g* épe a g épée obb oldal verze bal oldal verze lletve verze 4. ha G-be g és h felcserélhetőe aor a hooorf épébe g és h épe felcserélhetőe Mt odhatu hooorfzusál csoport outatív félcsoport és Abel-csoport eseté?. csoport hooorf épe s csoport. outatív félcsoport hooorf épe s outatív félcsoport 3. Abel-csoport hooorf épe s Abel-csoport Fogalazza eg csoportba az egyszerűsítés szabályt. Egy csoportba ha ac = bc vagy ca = cb aor a = b. Ada eg a szorzással t űvelettel tetett egységy abszolút értéű ople száo csoportáa háro valód részcsoportát. (?) Mt értü a le-féle csoporto? outatív-e? A le-féle csoportot szorzótábláával defálu:. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e A csoport outatív. Mt értü dédercsoporto? Az oldalú szabályos soszöget öagába vvő egybevágóságo egyás utá végrehatással alotá a D dédercsoportot. Defála a részcsoport a trváls részcsoport és valód részcsoport fogalát. Egy G csoport egy H részhalazát részcsoporta evezzü ha aga s csoport a G-bel űveletet csa H elee özött tetve. Nylvá az egész G és a csa az egységeleet

11 tartalazó egyeleű részhalaz részcsoporto eze a trváls részcsoporto. A G-től ülöböző részcsoportoat valód részcsoporta evezzü. Mt értü opleusűvelete? Szoás a részhalazoat opleusoa evez és opleusűveleteről beszél. Ado eg szüséges és elégséges feltételeet arra hogy egy csoport egy részhalaza részcsoport legye. Legye G csoport és H G. H részcsoport ha az alább feltétele egye telesül:. a szorzás leszűítése H H -ra egy H H -t H-ba épző leépezés H tartalazza G egységeleét és H H. H HH H és H H 3. H és H H H Mt odhatu részcsoporto etszetéről és egyesítéséről? Ha H γ γ Γ a G csoport részcsoportaa egy redszere aor H = I γ Γ H γ s részcsoport. Részcsoporto egyesítése általába e részcsoport. Defála a geerátu és geerátorredszer fogalát. Legye G egy csoport és G. A halaz geerátua a G összes -t tartalazó részcsoportáa etszete. Az előző övetezéy szert részcsoport így a legszűebb -t tartalazó részcsoport. Ha G = aor azt odu hogy a a G csoport geerátorredszere. Defála a clus csoport és a geerátora fogalát. Ha egy csoporta létez egyeleű geerátorredszere aor clusa evezzü az eleet pedg egy geerátoráa. Fogalazza eg a geerátuot leíró állítást. = { g g g : N g ha } Mt odhatu clus csoport hooorf épéről? Egy clus csoport hooorf épe s clus egy geerátor épe geerála a hooorf épet. Defála csoport és ele redét. Egy G véges csoport redé az eleee száát értü egyébét azt odu hogy a csoport rede végtele. Egy g G ele redé azt az legsebb poztív egész tevőt értü aelyre g = e ha va lye egyébét azt odu hogy az ele rede végtele. Fogalazza eg a clus csoporto szerezetét leíró tételt. Végtele clus csoport zoorf az egész száo addtív csoportával íg eleű clus csoport a odulo aradéosztályo Z addtív csoportával zoorf. Specálsa a csoporto outatíva.

12 M a apcsolat ele és részcsoport rede özött? Véges redű ele rede egegyez az általa geerált clus csoport redével. (?) Mt odhatu clus csoport részcsoportaról? Clus csoport de részcsoporta s clus. Mt odhatu véges clus csoport részcsoporta geerátoraa szááról? Legye G egy redű véges clus csoport g pedg egy geerátorelee G-e. Ha a Z a d d d és d = lo ( a ) aor g a H = { g g g = e} clus részcsoportot geerála ahol = d. A G de részcsoporta előáll így valaely d -re. A G-e ϕ () geerátora va. Defála a bal- és obboldal elléosztályoat. Legye G egy csoport és legye H a G egy részcsoporta. Vezessü be az a ~ b ha ab H relácót. Ez ylvá evvalecarelácó. Vzsgálu eg az evvalecaosztályoat. Azt állítu hogy a G evvalecaosztálya a Ha halaz. Ha b Ha aor b = ha valaely h H -ra. Ie ba = h azaz ab = h H. Megfordítva ha a ~ b aor ab = h H ahoa b = h a H a Ha. Ha ost az a ~ b b a H evvalecarelácót vezetü be aor hasolóa száolva apu hogy az a evvalecaosztálya az ah halaz. Az előző evvalecaosztályoat a G csoport H szert obb oldal elléosztályaa az utóbbaat pedg bal oldal elléosztályaa evezzü. M a apcsolat bal- és obboldal elléosztályo özött? A Ha a ( Ha) = a H leépezés ölcsööse egyértelűe épez le a obb oldal elléosztályoat a bal oldal elléosztályo halazára így eze száa egyszerre véges és ha véges aor egegyez. Defála részcsoport deét. Ha véges so obb oldal elléosztály va aor azo száa H dee egyébét azt odu hogy H dee végtele. A H részcsoport G-bel deét [ G : H ] -val elölü. Fogalazza eg Lagrage tételét. Ha H a G véges csoport részcsoporta aor a H redée és deée szorzata G rede. M a apcsolat ele rede és a csoport rede özött? Véges csoportba ele rede oszta a csoport redét. Fogalazzo eg olya tételt aely lehetővé tesz hogy egy csoport redéből a clusságára öveteztessü. Príszáredű csoport clus.

13 Ado eg szüséges és elégséges feltételt arra hogy egy csoporta e legye e trváls részcsoporta. Egy e egyeleű csoport potosa aor príszáredű ha cs e trváls részcsoporta. Defála a orálosztó fogalát. Egy G csoport egy N részcsoporta szert elléosztályo özött a (opleus) szorzás e feltétleül opatbls az osztályozással: NaNb e bztos hogy egyelő Nab -vel. Ha N részcsoporta G-e és de a G -re an = Na aor N-et orálosztóa vagy oráls részcsoporta vagy varás részcsoporta evezzü. Ado eg háro olya csoportot aelybe de részcsoport orálosztó. Abel-csoportba de részcsoport orálosztó. Az egész G és a csa az egységeleet tartalazó egyeleű részhalaz orálosztó. (Az utóbba a trváls orálosztó. A G- től ülöböző orálosztóat valód orálosztóa evezzü.) Ado eg szüséges és elégséges feltételee arra hogy egy részcsoport orálosztó legye. Legye N a G csoport részcsoporta. Az N részcsoport a G orálosztóa ha. a Na = N de a G -re. a Na N de a G -re Mt odhatu orálosztó etszetéről és egyesítéséről? Norálosztó etszete s orálosztó. Norálosztó egyesítése e feltétleül orálosztó. (?) Fogalazza eg a opatbls osztályozáso és a orálosztó özött apcsolatot leíró tételt. Legye G csoport. Eor. egy N orálosztó szert elléosztályo a csoporta a űvelettel opatbls osztályozását alotá. de a űvelettel opatbls osztályozás eseté az egységele osztálya orálosztó és az osztályozás eze orálosztó szert elléosztályoból áll 3. a elléosztályo özött űvelet egegyez az osztályo t halazo opleusszorzásával. Defála a fatorcsoport fogalát és fogalazza eg a defícóba felhaszált tételt. Egy G csoporta egy N orálosztó szert elléosztálya a (opleus)szorzásra ézve csoportot alota. Ezt a csoportot a G csoport N orálosztó szert fatorcsoportáa (vagy háyadoscsoportáa) evezzü és G/N-el elölü. (A defícóba felhaszált tétel a opatbls osztályozáso és a orálosztó özött apcsolatot leíró tétel.)

14 Ado háro példát fatorcsoportra.. Ha N = G aor G/N egyeleű. Ha N = {e} aor az osztályo egyeleűe így G/N zoorf G-vel.. A Z addtív csoportába bárely Z -re az Z orálosztó szert fatorcsoport Z addtív csoporta. 3. A vaterócsoportba a ételeű részcsoport szert fatorcsoport zoorf a le-féle csoporttal. Defála a hooorfzus agát Egy G csoporta egy G csoportba való ϕ hooorfzusáál a hooorfzus agá a G csoport e egységeleée a teles verz épét értü. A ϕ agát er(ϕ ) -vel elölü. Fogalazza eg a hooorfzustételt csoportora. Egy G csoport egy ϕ hooorfzusáál a hooorfzus aga orálosztó és a G / er( ϕ) fatorcsoport zoorf G' = ϕ( G) -vel. A G bárely N orálosztóa aga valaely hooorfzusa: G-e G/N-re való aous leépezése hooorfzus aelye aga N. Defála egyűveletes strutúrá dret szorzatát. Részletezze azt az esetet aor az dehalaz { }. Mt odhatu a dret szorzat algebra tuladoságaról? Legye G I egy-egy bér űvelettel ellátott halazo egy családa. Az egyszerűség edvéért degy halazo elölü a űveletet szorzással. Eor a G = G Descartes- szorzatot ellátva az ( ab ) = ab ha I összefüggéssel defált űvelettel a G-t a G I család dret szorzatáa evezzü. A legfotosabb specáls eset aor I = { } eor a dret szorzat elee a = ( a a a ) a G I alaú -ese. A szorzás defícó szert oordátáét törté így ha b = b b b ) egy ás elee a dret szorzata aor ab = a b a b a b ). ( ( Fogalazza eg a véges Abel-csoporto alaptételét. Egy véges Abel-csoport príhatváyredű clus csoporto dret szorzatával zoorf. A príhatváyrede egyértelűe eghatározotta. Fogalazza eg Cayley tételét. Bárely G csoport zoorf valaely halaz perutácóa (a o opozícóval tetett csoporta) egy részcsoportával. A halaz választható G-e. Defála az -ed foú szetrus csoportot. Az { } halaz összes perutácóa csoportát S -el elölü és -ed foú szetrus csoporta evezzü. I

15 ét véges halaza ugyaay elee va. Igaz-e hogy perutácócsoporta zoorfa? Ha ϕ az A halaza a B halazra való ölcsööse egyértelű leépezése aor tudu hogy f a ϕo f oϕ egfeleltetés ölcsööse egyértelű leépezése (becóa) A összes perutácóa B összes perutácóra. Mvel a perutácó összetételére ez a egfeleltetés űvelettartó s hsze ( ϕo f oϕ ) o ( ϕo goϕ ) = ϕo f o goϕ így A és B perutácóa csoporta zoorfa. Íra le S eleee hagyoáyos elölését és ada eg ezzel a elöléssel a szorzást. Egy p S ele hagyoáyos elölése: S p q szorzatáa elölése: po q = p p p = p p q q p p = q pq p q p q Defála a páros és páratla perutácóat. Egy p = alaba írt perutácóra legye az verzó száa az alsó p p p sorba azaz az összes olya < páro száa aelyere p > p. A perutácót páros perutácóa lletve páratla perutácóa evezzü aszert hogy páros vagy páratla. Isertesse perutácó clus elölését. Perutácóat egy ás alaba s felírhatu. Ha ülöböző terészetes száo elöle ( ) azt a perutácót aely -et -be -t 3 -ba stb. -t -be vsz de ás száot pedg fe hagy. Egy lye perutácót hosszúságú clusa evezü. M a traszpozícó? A trváls egy (vagy ulla) hosszú clusotól eltetve a legegyszerűbb cluso a ettő hosszú cluso ezeet traszpozícóa evezzü. Mvel ( 3 4 ) = ( 3 4 )( ) de perutácó felírható traszpozícó szorzataét. Fogalazza eg a páros lletve páratla perutácó és a traszpozícó száa özött összefüggést leíró tételt. Egy p S perutácó potosa aor páros ha előállítható páros so traszpozícó szorzataét és potosa aor páratla ha páratla so traszpozícó szorzataét állítható elő.

16 Fogalazza eg a perutácó szorzatáa párosságára voatozó tételt. Az S csoportba egy páros és egy páratla perutácó szorzata páratla. ét páros vagy ét páratla perutácó szorzata páros. A páros perutácó részcsoportot alota Defála az alteráló csoportoat. S -be a páros perutácó egy részcsoportot alota aelyet alteráló csoporta evezü. S -be. A -el elölü és -edfoú Igaz-e hogy egy egységelees tegrtás tartoáy aor és csa aor test ha de e ulla elee egység? Egy egységelees tegrtás tartoáy potosa aor test ha de e ulla elee egység. Defála gyűrű aratersztáát. Mlye állítást haszált? Nullosztóetes gyűrűbe a e ulla elee addtív rede egegyez. Ha ez a özös érté végtele aor azt odu hogy a gyűrű aratersztáa ulla ha pedg egy véges érté aor azt odu hogy a gyűrű aratersztáa. Jelölése: char(r). Állítás: Egy ullosztóetes R gyűrűbe a e ulla elee addtív rede egegyez és vagy végtele vagy príszá. Igaz-e hogy egy adott halazt egy testbe épző függvéye gyűrűe s test? X Ne gaz. Egy tetszőleges X halazt egy R gyűrűbe épező összes függvéy R halaza a potoét összeadással és szorzással gyűrű. Ha R outatív aor ez a gyűrű s X outatív ha R egységelees aor az R gyűrű s egységelees de ha R s és X s X legalább ételeű aor R e ullosztóetes így e s test ég aor se ha R test. Defála az edoorfzusgyűrűt. Egy tetszőleges A Abel-csoport edoorfzusa gyűrűt alota a potoét összeadással és a függvéye opozícóával t szorzással. Ezt a gyűrűt A edoorfzusgyűrűée evezzü. Defála ét űvelet eseté a hooorfzus és a hooorf ép fogalát. Legye R és R ét-ét bér űvelettel ellátott halaz. Jelölü R-be és R -be s az első űveletet összeadással a ásodat szorzással. Az R-e R -re való összeadás- és szorzástartó ϕ : R R' leépezését hooorfzusa evezzü és ϕ(r) -re azt odu hogy R hooorf épe.

17 Defála ét űvelet eseté a ooorfzus az eporfzus és az zoorfzus fogalát. Ha a ϕ hooorfzus ölcsööse egyértelű (etív) aor ooorfzusa ha pedg R -re épez (szüretív) aor egy R -re való eporfzusa evezzü. Ha ϕ ölcsööse egyértelű és R -re épez (betív) aor ϕ zoorfzus R és R özött. Defála a részgyűrű fogalát. Egy R gyűrű egy S részhalazát részgyűrűe evezzü ha a b S eseté a b S és ab S. Defála a obbdeál baldeál és deál fogalát. Az I részgyűrűt obbdeála lletve baldeála evezzü ha a I és r R eseté ar I lletve ra I. Ha I egyszerre baldeál és obbdeál s aor deála evezzü. Defála a trváls deál és a valód deál fogalát. Az egész R és a csa ulleleet tartalazó egyeleű részhalaz deál eze a trváls deálo. Az R-től ülöböző deáloat valód deála evezzü. Defála az egyszerű gyűrű fogalát. Ha egy gyűrűbe a trváls deáloo ívül cs ás deál aor egyszerű gyűrűe evezzü. Defála a geerált deál és a fődeál fogalát. Egy A R részhalaz által geerált deálo az összes az A-t tartalazó deálo etszetét értü. Jelölése: (A). Ha egy I deált egyetle a R geerál azaz I = (a) aor fődeála evezzü. Modo égy példát R R részgyűrűére. R A valós változós valós értéű függvéye R gyűrűébe részgyűrűt alota a orlátos függvéye folytoos függvéye orlátos folytoos függvéye a polofüggvéye stb. Modo példát Z-be deálra. Fődeál-e? Az egész száo örébe egy egész szá többszöröse deált alota. Ez ylvá fődeál aelyet geerál. Fogalazza eg egy outatv egységelees gyűrűbe a fődeáloat leíró állítást. Egy R outatív egységelees gyűrűbe az a R ele által geerált fődeálra ( a ) = ar. Specálsa a ulla által geerált fődeál {} az egységele által geerált fődeál pedg R. Defála a gyűrűbe a elléosztályoat. Legye R egy gyűrű és legye I egy adott részcsoporta R-e. Vezessü be az a~b ha a b I relácót. Tudu hogy ez az összeadással opatbls evvalecarelácó az

18 a R evvalecaosztálya az I a halaz. Az evvalecaosztályoat az R gyűrű I szert elléosztályaa vagy aradéosztályaa evezzü. Fogalazza eg opatbls osztályozáso és az deálo özött apcsolatot leíró tételt. Egy R gyűrű egy I deál szert elléosztálya a gyűrűe dét űvelettel opatbls osztályozását alotá. Mde dét űvelettel opatbls osztályozás eseté a ulla osztálya deál és az osztályozás eze deál szert elléosztályoból áll. Defála a fatorgyűrű fogalát és fogalazza eg a defícóba felhaszált tételt. Tétel: Egy R gyűrűe egy I deál szert elléosztálya az összeadásra és a szorzásra ézve gyűrűt alota. Az előző tételbe szereplő gyűrűt az R gyűrű I deál szert aradéosztály-gyűrűée (vagy fatorgyűrűée lletve háyadosgyűrűée) evezzü és R/I-vel elölü. Ado példát Z fatorgyűrűére. Ha R = Z és I = Z aor R/I = Z. Defála a gyűrűhooorfzus agát. Egy R gyűrűe egy R gyűrűbe való ϕ hooorfzusáál a hooorfzus agá az R gyűrű ulleleée a teles verz épét értü. A ϕ agát er(ϕ ) -vel elölü. Fogalazza eg a hooorfzustételt gyűrűre. Egy R gyűrű egy ϕ hooorfzusáál a hooorfzus aga deál. Ha R épe R aor R / er( ϕ) aradéosztály-gyűrű zoorf R -vel. Az R bárely I deála aga valaely hooorfzusa például R aous leépezése R/I-re hooorfzus aelye aga I. Defála a Gauss-gyűrű fogalát. Egy R egységelees tegrtás tartoáyt Gauss-gyűrűe (vagy egyértelű fatorzácós tartoáya) evezü ha de ullától és egységtől ülöböző ele sorredtől és egységetől eltetve egyértelűe felírható rreducbls elee (véges) szorzataét azaz ha a e ulla és e egység aor a = p p p alaba ahol p p p (e feltétleül ülöböző) rreducbls elee és ha a = q q q egy ás előállítás rreducbls elee szorzataét aor p asszocálta ha =. = és va olya σ S perutácó hogy q σ és Gauss-gyűrűbe hogya olvasható le a fatorzácóból az osztó? α α α A Gauss gyűrűbe egy ele előállítása felírható a = εp p alaba s ahol ε egység p p p pároét e asszocált rreducbls elee a tevő pedg p (vagy N) elee. A felbotásból leolvasható a osztó eze d β β N = ε ' p p p alaúa β

19 ahol ε ' egység és β N β α ha = hsze ha a = cd aor c és d rreducbls téyezőre való felbotásáa szorzata a rreducbls téyezőre való botása ell hogy legye. Igaz-e hogy Gauss-gyűrűbe létez legagyobb özös osztó és legsebb özös többszörös? Ha több eleü va és de adott az rreducbls téyezőre való felbotása aor özös osztó valat hasolóa a özös többszöröse s leolvasható és látu hogy létez legagyobb özös osztó és legsebb özös többszörös. Igaz-e hogy Gauss gyűrűbe de rreducbls ele prí? Egy Gauss-gyűrűbe de rreducbls ele prí ert ha a ullától és egységeletől ülöböző p rreducbls elere p ab aor vagy ab = aből valaely ulla vagy pedg ab = pd valaely d elere aből d-t felírva d = ε ' p p alaba (ahol ε ' egység és β N ha = ) az ab egy olya előállítását apu rreducbls β β β p elee szorzataét aelybe szerepel a p. Ha ost felíru az a és a b felbotását ugyaebbe az alaba valaelybe szerepele ell p-e ert egyébét ab fatorzácóa e lee egyértelű. Defála az euldesz gyűrű fogalát. A legegyszerűbb gyűrű aelyeről be fogu lát hogy Gauss-gyűrű az euldesz gyűrű. Egy R egységelees tegrtás tartoáyt euldesz gyűrűe evezü ha a e ulla elee értelezve va egy N-bel értéű ϕ függvéy úgy hogy. ha a b R b aor va olya q r R hogy a = bq r és r = vagy r és ϕ ( r) < ϕ( b) ;. a{ ϕ( a) ϕ( b)} ϕ( ab) de a b R a b eseté. Fogalazza eg az euldesz gyűrűbe az egységeet és az asszocáltaat leíró tételt. Euldesz gyűrűbe potosa azo az elee az egysége aelyere ϕ áls értéet vesz fel. Az ab e ulla eleere a b eseté ϕ( a) ϕ( b) és egyelőség potosa aor telesül ha a és b asszocálta. Fogalazza eg a bővített euldesz algortust euldesz gyűrűbe. A övetező elárás egy R euldesz gyűrűbe eghatározza az a b R elee egy d legagyobb özös osztóát valat az y R eleeet úgy hogy d = a by telesülö. (Az elárás sorá végg az a by = r r = ). [Icalzálás.] Legye e a gyűrű egységelee y r a y e r b.. [Vége?] Ha r = aor y y d r és az elárás véget ért. 3. [Clus.] Legye r = q r r ahol r = vagy ϕ ( r ) < ϕ( r ) legye q y y q y és eü.-re.

20 M a apcsolat euldesz gyűrűbe príelee és rreducbls elee özött? Egy euldesz gyűrű egy elee potosa aor felbothatatla ha príele. Fogalazza eg euldesz gyűrűbe a fatorzácóra voatozó tételt. Euldesz gyűrűbe de e ulla és e egység ele sorredtől és asszocáltságtól eltetve egyértelűe felírható príelee szorzataét. Hogya írható le euldesz gyűrűbe a fődeálo? Euldesz gyűrűbe de deál fődeál. Defála a aáls deál fogalát. Egy R gyűrű I valód deálát aáls deála evezzü ha cs ála bővebb valód deál aely tartalazza azaz ha a valód deálo özött a tartalazásra ézve aáls. Hogya írható le euldesz gyűrűbe a aáls deálo? Egy euldesz gyűrű egy e trváls deála potosa aor aáls ha egy rreducbls ele geerála. Mor lesz fatorgyűrű test? Legye R outatív egységelees gyűrű I az R egy deála. Az R/I fatorgyűrű aor és csa aor test ha I aáls deál. Defála a háyadostest fogalát. Mlye állítást haszált? Legye R tegrtás tartoáy. Az R (R /{}) halazo vezessü be az ( a b) ~ ( a' b' ) ha ab '= a' b evvalecarelácót az ( a b) ( a' b') = ( ab' a' b bb' ) összeadást és az ( a b)( a' b') = ( aa' bb' ) szorzást. Ugyaúgy t ahogy az egész száo bevezetéséél tettü belátható hogy a űvelete opatblse az evvalecarelácóval és az evvalecaosztályo testet alota aelyet az R háyadostestée evezü. (?) Hogya ágyazható be egy tegrtás tartoáy a háyadostestébe? Az R gyűrű beágyazható a háyadostestébe: bárely rögzített a -ra R -hez az ( a a) osztályát redelve ugyaazt a ooorfzust apu. Defála az egyhatározatlaú polo fogalát. Legye R gyűrű. Az R felett egyhatározatlaú polooo olya R-bel f = f f ) ( f = ( f f és ( f g f g sorozatoat értü aelyee csa véges so taga e ulla. ) g = g g ) R-bel sorozato eseté összegü az f g = ) sorozat ( szorzatu pedg a h = h h ) sorozat aelyre h = ( f g = f g = = = = f g.

21 Defála egyhatározatlaú poloo összeadását és szorzását. Ha f = f f ) és g = g g ) s R-bel sorozato összegü ( ( = ( f g f g az f g ) sorozat szorzatu pedg a h = h h ) sorozat aelyre h = f g = f g = = = = f g. ( Hogya azoosíthatu a gyűrű eleet bzoyos polooal? Hogy hívu ezeet a polooat? Nylvávaló hogy az a a ( a ) leépezés R-e a poloo gyűrűébe való ooorfzusa értéészletée elee a ostas poloo ezeet R eleevel azoosíthatu. Defála a polo együtthatót főegyütthatóát és foszáát. Az f = f f f ) polo elölésére a szoásos ( f = f f f L f alaot fogu haszál. Az f eve az -ed foú tag együtthatóa. Ha f aor f a polo főegyütthatóa pedg az f foa elölése deg(f). Defála a leárs polooat. A legfelebb elsőfoú poloo a leárs poloo. Defála a oo fogalát egy határozatla eseté. Azoat a polooat aelye f alaba írható oooa evezzü. Defála a főpolo fogalát. Ha egy polo főegyütthatóa R egységelee aor főpoloa (vagy orált poloa) evezzü. Mt odhatu poloo szorzatáa főegyütthatóáról? Ha az R gyűrű ullosztóetes aor ét e ulla polo szorzatáa főegyütthatóa a főegyüttható szorzata. Mt odhatu poloo szorzatáa foáról? Ha az R gyűrű ullosztóetes aor ét e ulla polo szorzatáa foa pedg a foo összege. Defála a polo helyettesítés értéét és gyöét. A poloo defícóáál haszált elöléseel egy f = f f f L poloa az r R helye felvett helyettesítés értéé az f ( r) = f fr L f r R eleet értü. Ha f helyettesítés értée az r helye ulla aor azt odu hogy az r az f gyöe. f

22 Defála a polohoz tartozó polofüggvéyt. Tartozhat-e ülöböző poloohoz ugyaaz a polofüggvéy? Az r a f (r) leépezést az f polohoz tartozó polofüggvéye hívu. Előfordulhat hogy ét ülöböző polohoz ugyaaz a polofüggvéy tartoz. Fogalazza eg a aradéos osztás tételét poloora. Legye R egységelees tegrtás tartoáy f g R[ ] g és tegyü fel hogy g főegyütthatóa egység R-be. Eor egyértelűe léteze olya q r R[ ] poloo aelyere f = gq r ahol deg( r ) < deg( g). Mlye esetbe alota a poloo euldesz gyűrűt? Fogalazza eg az állítást. Ha R test aor a f a deg( f ) leépezéssel R [] euldesz gyűrű. Fogalazza eg a gyötéyező leválasztására voatozó tételt. Ha f és c az f gyöe aor valaely q polora f = ( c) q. Legfelebb háy gyöe va egy poloa? Fogalazza eg az állítást. Ha f aor f-e legfelebb deg(f) gyöe va. Mlye esetbe ölcsööse egyértelű a egfeleltetés a poloo és a polofüggvéye özött? Fogalazza eg az állítást. Ha R végtele aor ét ülöböző polohoz e tartoz ugyaaz a polofüggvéy. Eor a polooat azoosíthatu a polofüggvéyeel. (?) Isertesse a Horer-elredezést. A aradéos osztás tételét alalazva az f és a g = c polora azt apu hogy f = ( c) q r ahol r ostas értée f (c). Így szorzással és ugyaey összeadással egaphatu f (c) -t. Modo példát aor egy adott ásodfoú poloa ulla lletve ét gyöe s va. Az poloot Z Q lletve R felett tetve cs gyöe C felett ét gyöe s va. Defála polo algebra derváltát. Legye R gyűrű. Egy f = f f f L f R[ ] polo algebra derváltá vagy rövde derváltá az f ' = f f 3 f L f R[ ] poloot értü. 3 Mlye égy tuladosággal elleezhető a polohoz az algebra derváltát redelő leépezés? Egységelees tegrtás tartoáy felett az f a f ' algebra derválás redelez az alább tuladoságoal:. ostas polo derválta a ulla polo

23 . az polo derválta az egységele 3. ( f g)' = f ' g' ha f g R[ ] 4. ( fg )' = f ' g fg' ha f g R[ ] Defála a polo többszörös gyöét. Legye R egységelees tegrtás tartoáy f R[ ] és N. Azt odu hogy c R az f egy -szeres gyöe ha c) ( f de ( c) f. (Szoásos az ( c) f elölés s). Ez azzal evvales hogy f = ( c) g ahol g-e c e gyöe. M a apcsolat polo gyöe és a derváltáa gyöe özött? Fogalazza eg az állítást. Legye R egységelees tegrtás tartoáy f R[ ] és N és c R az f egy - szeres gyöe. Eor c az f -e legalább ( )-szeres gyöe és ha char(r) aor potosa ( )-szeres gyöe. Lehet-e egy polo -szeres gyöe a derválta s legalább -szeres gyöe? (?) Íra le az egységeet test felett poloo örébe. A test felett poloo örébe az egysége a e ulla ostas poloo. Hogya aphatu véges testeet? Íro le olya elárást aely de véges testet egad. Legye test és f [] egy -ed foú ( > ) rreducbls főpolo. Eor az (f) fődeál aáls deál így = [ ]/( f ) test. Mde elléosztályba a legalacsoyabb foú polo foszáa sebb t és csa egy lye polo va; ez eghatározható úgy hogy a elléosztály tetszőleges eleére vesszü az f-fel való osztásáál a aradéot. A űveleteet ezeel a reprezetásoal végezhetü; ha a szorzat foa sebb t aor osztu f-fel és vesszü a aradéot. Jelöle α az [] polo osztályát [ ]/( f ) - be. A test elee egyértelűe felírható a a α L a α alaba ahol a a a. Így részteste -a. A []-bele s tethető f polo []- be ár e rreducbls α egy gyöe. Legye p egy príszá. A fet ostrucót alalazva a Z véges testre egy p eleű véges testet apu. p Fogalazza eg a véges teste alaptételét.. Bárely véges test eleee száa príhatváy ahol a prí a test aratersztáa.. Bárely q = p (p prí N ) príhatváyra a q eleű véges teste zoorfa. Fogalazza eg a véges test e ulla elee ultplatív csoportáa szerezetét leíró tételt. Véges test e ulla eleee ultplatív csoporta clus.

24 Íra le az rreducbls polooat a C felett poloo örébe. A ople szátest felett az algebra alaptétele szert de C[]-bel e ostas poloa va gyöe így a gyötéyező leválasztására voatozó állítás szert potosa az elsőfoú poloo az rreducblse. Íra le az rreducbls polooat az R felett poloo örébe. A valós szátest felett rreducblse az elsőfoú poloo és azo a ásodfoú poloo aelyee cs valós gyöe. Mt tud a Q felett rreducbls polooról? Q[]-be de N -ra va olya -ed foú polo aely rreducbls. Igaz-e hogy Z[] euldesz gyűrű? A Z[] gyűrű e tehető euldesz gyűrűvé. (?) Igaz-e hogy Z[] Gauss-gyűrű? (?) Fogalazza eg Gauss tételét egyértelű fatorzácós tartoáyoról. Legye R egy Gauss-gyűrű pedg a háyadosteste.. Ha egy f R[] polo előállítható ét e ostas gh polo szorzataét []-be aor R[]-be s előállítható ét g*h* polo szorzataét aelyere g és g* lletve h és h* asszocálta []-be.. R[] s Gauss-gyűrű. Isertesse a Lagrage-terpolácót. A poloo osztására voatozó tétel övetezéye özött láttu hogy ha R egy egységelees tegrtás tartoáy c c c ülöböző elee R-e d d d pedg tetszőleges elee R-e aor legfelebb egy olya legfelebb -ed foú f polo létez aelyre f ( c ) = d ha =. Ha R test aor dg létez lye polo és az alább Lagrage terpolácós elárással egapható. Legye l = ( c ) ( c c ) a -ed Lagrage terpolácós alappolo és legye = = f Isertesse a roecer elárást. (Ha R egy végtele Gauss-gyűrű aelybe aárely ele osztót eg tudu határoz aor egy f R[] poloa eghatározhatu az rreducbls fatorat. Ha f = gh aor bárely c R -re f ( c) = g( c) h( c) így g ( c) f ( c).) Legye az R háyadosteste. Bárely N -re választva ülöböző c c c eleet R-be bárely d f ( c ) = értéehez Lagrage-terpolácóval eghatározhatu azt az egyetle g [] poloot aelyre deg( g) és g ( c ) = d =. Ha ez R[]-bel és oszta f-et aor egy osztót találtu. Ha = -val dulu és egyesével övelü -et aor csa rreducbls d l.

25 osztóat fogu talál. Ha deg( f ) / -g e találtu osztót aor f rreducbls. Az elsőfoú fatoro egadá az R-bel és -bel gyööet. Defála a racoáls függvéyeet. Ha R tegrtás tartoáy aor R[] s így épezhetü a háyadostestét; ezt R()-el elölü és az eleet R felett racoáls függvéyee evezzü. Fogalazza eg a parcáls törtere botás tételét /g alaú racoáls függvéyre. Legye test g g g [ ] legalább elsőfoú pároét relatív prí poloo g g = g g. Eor léteze olya poloo aelyeel f f f [ ] f f f = L g g g g Fogalazza eg a parcáls törtere botás tételét f/g alaú racoáls függvéyre ét alaba. Ha f [] aor (ás f -el) f f f f = L g g g g Ez az előállítás felírható f f f f = p L g g g g Alaba s ahol p [] és deg( f ) deg( g ) ha = Fogalazza eg a parcáls törtere botás tételét u/v alaú racoáls függvéyre. Ha a g g g polooat a g rreducbls poloo szorzataét törtéő előállításával aptu aor az előző tételbe szereplő törte u/v alaúa és deg( u) deg( v ). Eze a törte felírható u u u u = L v v v v Alaba ahol deg( u ) deg( v) ha =. Ez = eseté ylvávaló egyébét pedg ducóval övetez ha u-t aradéosa osztu v-vel. Defála a többhatározatlaú polo fogalát. Legye R gyűrű N. Az R felett -határozatlaú poloo gyűrűét -szert ducóval defálu: ha = legye R[ ] = R az egyhatározatlaú poloo gyűrűét ár defáltu ha pedg > aor legye R[ ] = R[ ][ ]. Nylvá helyett bárlye ás betű s.

26 szerepelhete. Néha egy ] [ R f polora ább az ) ( f elölést fogu haszál. Hogya azoosíthatu a gyűrű eleet bzoyos többhatározatlaú polooal? Hogy hívu ezeet a polooat? öye látható hogy az -határozatlaú poloo f L alaú véges összege ahol a határozatlao és R f. Az R a elehez hozzáredelve azt az f poloot aelyre a f = és = f egyébét az R egy olya leépezését apu a poloo gyűrűébe aely ylvá ooorfzus értéészletée elee a ostas poloo ezeet R eleevel azoosíthatu. Defála a többhatározatlaú polo együtthatót tagaa ultfoát és foát. Az f a többhatározatlaú polo együtthatóa az ) ( a ultfoa az L pedg a foa. Defála a többhatározatlaú oo fogalát. Az f L tagot ooa evezzü. Defála a többhatározatlaú polo foát. Mlye egállapodáso ellett egyértelű egy többhatározatlaú polo felírása? A többhatározatlaú polo felírása egyértelűvé vál ha ötü hogy áls legye és de -él e agasabb foú tag szerepele. Ez a áls a polo foa elölése ) deg( f. Defála a többhatározatlaú leárs polooat. A legfelebb elsőfoú poloo a leárs poloo. Hogya írhatu fel ét többhatározatlaú polo összegée lletve szorzatáa az együtthatót. A defícóból adód hogy az összeadás és a szorzás tagoét törté: ha = g g L = f f L többhatározatlaú poloo aor összegü az = f g g f L ) ( polo szorzatu pedg az a h = fg polo aelyre = = = g f h.

27 Mlye esetbe lesz a többhatározatlaú poloo gyűrűe ullosztóetes? Ha az R gyűrű ullosztóetes aor az R ] gyűrű s ullosztóetes. [ Mt odhatu ét többhatározatlaú polo szorzatáa foáról? A többhatározatlaú poloo ullosztóetes gyűrűébe ét e ulla polo szorzatáa a foa a foo összege. Mlye esetbe lesz a többhatározatlaú poloo gyűrűe Gaussgyűrű? Ha R egy Gauss-gyűrű N aor R ] s Gauss-gyűrű. [ Defála a gyaorság és relatív gyaorság fogalát. Az összes téylegese előforduló üzeet legye a a a ( N ). Ha az a üzeet - szer fordul elő aor azt odu hogy gyaorsága relatív gyaorsága pedg p =. / Defála egyed üzeet forácótartalát. M a bt? Az a üzeet egyed forácótartala I = log r p ahol r egy -él agyobb valós szá. A logartus alapa az forácó egységét határozza eg. Aeybe ez az alap az forácó egysége a bt és log p helyett egyszerűe r log p -t íru. Defála az eloszlás és az etrópa fogalát. Egy tagú eloszlás egy poztív valós száoból álló p p p sorozat aelyre p = =. Többyre e az egyes üzeete forácótartala hae az üzeetforrás által bocsátott üzeete átlagos forácótartala érdees ezt evezzü az eloszlás etrópááa. Az eloszlás etrópáát a értelezzü. H r ( p p ) = p log r p összefüggéssel Ada eg a potos felső orlátot az eloszlás etrópáára. Mor telesül az egyelőség? Bárlye eloszláshoz tartozó etrópára H ( p p ) log r és egyelőség potosa aor telesül ha p = p = L = p =. Az átlagos forácótartalo aua tehát log bt. r = M a forrásódolás? M a része? A ódolás legáltaláosabb értelebe az üzeete halazáa egy ás halazba való leépezést elet. A ódoláshoz egadu az ele része ódát aelyet egy szótár tartalaz és eze segítségével ódolu az üzeetet. A gyaorlatba a gyarabba előforduló üzeeteet célszerűbb rövdebb óddal egad. Egy lye ódolás töörítést végez aely

28 sorá csöetü az eredet elsorozatba eglévő redudacát. Az elsőét elített ódolást üzeetódolása a ásodat pedg gazdaságos ódolása evezzü. A ét lépés együttese a forrásódolás. Razola fel az üzeetátvtel részletes séáát. Isertesse a betűét ódolást. A szótár alapá ódoladó ele üzeete egy A ábécé betű és egy-egy lye betű óda egy ás B ábécé a ódábécé betűvel felírt szó vagys eze ábécéből vett betű véges sorozata a sorozat eleet egyszerűe egyás ellé írva. Az előbbe alapá a betűét * ódolást egy ϕ : A B leépezés határozza eg. Isertesse a pref szuff és f fogalát. Legye α β és γ az A ábécé betűvel felírt háro szó. Eor α prefe (vagy előtaga) és γ szuffe (vagy utótaga) az αγ szóa β pedg fe (vagy belső taga) αβγ -a. Isertesse a ód és a ódfa apcsolatát. * A betűét ód ól szeléltethető ráyított fa segítségével. Legye ϕ : A B egy etív leépezés ahol A a ódoladó ábécé és B a ódábécé dettő véges. A ϕ értéészletébe lévő ódszava összes prefee halaza részbedredezett a prefe relácóra. észítsü el ee a relácóa a Hasse-dagraát. Nylvá egy ráyított fát apu aelye gyöere az üres szó és de szó a hosszáa egfelelő szte va. A gráf élet szíezzü úgy hogy ha β = αb valaely b B -re aor a β -ból α -ba vezető él szíe legye b.

29 Nylvá bárely csúcs eseté a csúcsból vezető éle d ülöböző szíűe. A ódfa valaely csúcsát aely e levél teles csúcsa lletve csoa csúcsa evezzü attól függőe hogy de szíhez tartoz-e a csúcsból duló az adott szíel szíezett él. A ódfa csúcsat s szíezhetü: az a A ódáa egfelelő csúcs szíe legye a azo csúcso szíe aelye csee ϕ értéészletébe legye üres. Vegyü észre hogy de levél va szíezve. Defála a pref egyeletes és vesszős ódot. M a apcsolatu? Tegyü fel hogy a ϕ : A B etív leépezés rg (ϕ ) értéészlete B prefetes * * részhalaza. A ϕ által eghatározott ψ : A B betűét ódolás ylvá öye deódolható ert ha egyás utá éreze a ódábécé betű és ézzü az addg beérezett szbóluoból összeálló szót aor at ez a ódoladó ábécé valaely betűée óda azoal deódolható hsze a folytatásával apott elsorozat ár egyetle betűe se lehet a óda. Eze deódolás ódszer att szoás az lye ódot pref óda evez. Egy betűét ód egyeletes ód ha a betű ódaa hossza azoos. Egy betűét ód vesszős ód ha va olya ϑ szó a vessző hogy ϑ de ódszóa szuffe de egyetle ódszó se áll elő αϑβ alaba e üres β szóval. Ado példát e deódolható ódra. Legye ϕ ( a) = ϕ ( b) = és ϕ ( c) =. Eor ψ ( ab) = ϕ( a) ϕ( b) = = ϕ( b) ϕ( c) = ψ (bc) tehát ez a ód e deódolható. Ado példát fethető de e pref ódra. (?) Fogalazza eg a McMlla-egyelőtleséget tartalazó tételt. Legye A = a a } és B ét ábécé B eleee száa r és ϕ : A B etív { leépezés. Ha a ϕ által eghatározott betűét ódolás felbotható aor l = ϕ a ) = ( l = l elöléssel r. Fordítva ha l l olya poztív egész száo hogy r aor va az A-a a B eleevel való olya pref ódolása hogy az a betű ódáa hossza l. Defála az átlagos szóhosszúság és az optáls ód fogalát. Legye A = { a a } a ódoladó ábécé p p a betű eloszlása egy ódolás sorá ϕ : A B egy betűét ódolás l az a ódáa hossza. Eor l = = p l a ód átlagos szóhosszúsága. Ha egy felbotható betűét ód átlagos szóhosszúsága áls aor optáls óda evezzü. Va-e dg optáls ód betűét ódolásál? Válasszu egy tetszőleges felbotható ódot és legye ee az átlagos szóhosszúsága l. Mvel l > l eseté a ód e lehet optáls elég azo ódoat teteü aelyere p l l / p ha =. Ilye ód csa véges so va így va öztü áls átlagos hosszúságú. Mt tudu ez választható pref óda s.