GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR

Átírás

1 ZÉCHENYI ITVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖKI, INFRTIKI É VILLÉRNÖKI KR E C H N I K LKLZTT ECHNIK TNZÉK Elméleti kérdések és válasok mesterképésben (c) réstvevő mérnökhallgatók sámára 1 dja meg vektorok skaláris sorásának értelmeését és kisámítási módját! Írja fel a koordinátarendser egségvektorainak skaláris soratát! skaláris sorás értelmeése: a b a b cos skaláris sorás kisámítása: a b ab ab ab skaláris sorás kisámítása mátrisorással: b a b a a a b ab ab ab b Egségvektorok skaláris sorata: e e 1, e e 1, e e 1, e e 0, e e 0, e e 0 dja meg vektorok vektoriális sorásának értelmeését! Késítsen magaráó ábrát! vektoriális sorás értelmeése: eredménvektor nagsága: a b a b sin a paralelogramma magassága a b b b sin a eredménvektor iránát ún jobbké sabállal kapjuk meg: ha jobb kéel a a vektort a b vektorba forgatjuk, akkor a jobb ké hüvelkujja adja meg a eredménvektor iránát 3 dja meg vektorok vektoriális sorásának kisámítási sabálát és a koordináta-rendser egségvektorainak vektoriális soratát! vektoriális sorás kisámítása: e e e a b det a a a e ( a b b a ) e ( a b b a ) e ( a b b a ) b b b Egségvektorok vektoriális sorata: e e 0, e e 0, e e 0, e e e e e e, e e e, e e e, e e e, e e e, e e e 1

2 abál: - Ha két egségvektort a ábrán látható níllal megegeő sorrendben sorunk össe vektoriálisan, akkor poitív előjellel kapjuk a harmadik egségvektort - Ha két egségvektort a ábrán látható níllal ellentétes sorrendben sorunk össe vektoriálisan, akkor negatív előjellel kapjuk a harmadik egségvektort 4 dja meg vektorok kétseres vektoriális soratának lehetséges kisámítási módjait! Kétseres vektoriális sorat: ( a b) c, vag a ( b c) Kisámítás kétféle úton lehetséges: - a két vektoriális sorásnak a kijelölt sorrendben történő elvégésével, - a kifejtési sabállal: ( ab) c b( a c) a( b c), illetve a( b c) b( a c) c( a b) 5 dja meg mátri értelmeését és jelölését! Értelmeés: mátri skaláris menniségeknek, sámoknak megadott sabál serint tábláatba rendeett halmaa átri jelölése: a a a a a a mátriokat kétser aláhúott betűvel, a mátriok elemeit (koordinátáit) alsó indees betűvel jelöljük Pl, a és a13, a stb a 13 mátrielem a mátri első sorában és harmadik oslopában van átri mérete: Például a fenti 3 -as méretű mátrinak két sora és három oslopa van 6 dja meg a oslopmátri és a sormátri értelmeését! a1 slopmátri: a a T, sormátri: a a1 a a3 a 3 oslopmátrinak eg oslopa, a sormátrinak eg sora van sormátriot mindig uganannak a oslopmátrinak a transponáltjának tekintjük sormátriot a mátri betűjelének felső indeébe írt T betű jelöli 7 Ismertesse a mátrisorás elvégehetőségének előfeltételét és mutasson be példát mátri mátrisal történő sorására! Előfeltétel: Csak olan mátriok sorohatók össe, amelek teljesítik at a feltételt, hog a első soróténeő oslopainak sáma megegeik a második soróténeő sorainak sámával Példa: B C,

3 a a b b ( a b a b ) ( a b a b ) a1 a b1 b ( a1 b11 a b1 ) ( a1 b1 a b ) ( ) ( ) () 8 dja meg mátri transponáltjának értelmeését és a transponálási művelet elvégését! átri transponáltja: tükröés a főátlóra, vag sorok és oslopok felcserélése mátri főátlóját a aonos indeű elemek alkotják művelet elvégése: a a a a ( ) T a a a a ( ) transponálási művelet jele: T (a mátri felső indeében) transponálás oslopmátriból sormátriot, sormátriból pedig oslopmátriot ho létre 9 dja meg mátri adjungáltjának értelmeését és jelölését! átri adjungáltja: Jelölés: ij a adjungált mátri ij indeű eleme a eredeti mátri ji eleméhe tartoó előjeles aldetermináns adj a ( i 1 n j 1 n) ij 10 dja meg mátri inverének értelmeését és kisámítási módját! i a singuláris mátri? 1 1 inver mátri értelmeése: E 1 1 adja ji inver mátri kisámítása: aij det a, ha det a 0 ij inguláris mátri: det aij 0 11 Írjon fel eg három ismeretlenes lineáris algebrai egenletrendsert és mutassa be a egenletrendser megoldását! Lineáris algebrai egenletrendser: Résletesen kiírva: mátrisorást elvégeve: egenletrendser megoldása: b a a a b a1 a a 3 b a31 a3 a 33 3 b 3 ij a a a b, a a a b a a a b b b E 1 dja meg a egségmátri, a simmetrikus mátri és a ferdesimmetrikus mátri értelmeését!, 3

4 1 0 Egségmátri: E 0 1 Tulajdonsága: E E egségmátri a főátlójában 1-es koordinátákat, a főátlóján kívül 0 elemeket tartalma egségmátrisal történő sorás nem váltotatja meg a megsorott mátriot immetrikus mátri: T mátri elemei megegenek a főátlóra vett tükörképükkel Ferdesimmetrikus mátri: T mátri bármelik eleme megegeik a főátlóra vett tükörképének mínus egseresével Ebből a követkeik, hog a főátlóban csak érus elemek lehetnek 13 dja meg vektorok veges soratának értelmeését és kisámítási módjait! veges sorat értelmeése és jelölése: ( ab c) ( a b c) ( ab c) veges sorat kisámítása: - Elősör elvégeük a vektoriális sorást, majd a eredménvektort megsorouk skalárisan a veges soratban sereplő harmadik vektorral - Kisámítás determinánssal: a a a ( a b c) det b b b a ( b c c b ) a ( b c c b ) a ( b c c b ) c c c 14 dja meg vektorok diadikus soratának jelölését, értelmeését és kisámítását! Két vektor diadikus soratának jelölése: a b, elneveése: diád Két vektor diadikus soratát a sorás tulajdonságainak megadásával értelmeük: - a diadikus sorás és a skaláris sorás associatív (csoportosítható, aa sorások elvégésének sorrendje felcserélhető): ( a b) c a ( b c), - a diád a skaláris sorás sempontjából nem kommutatív (nem mindeg, hog eg diádot jobbról, vag balról sorunk meg skalárisan eg vektorral, mert más eredmént kapunk): c ( a b) ( a b) c Ha a sorás a fenti össefüggéseket kielégíti, akkor a sorás diadikus Két vektor diadikus soratának kisámítása jobbsodrású, deréksögű koordináta-rendserben: 15 Értelmee mátri sajátérték feladatát! a a b a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a b a b 4

5 Léteik-e olan n oslopmátri, amellel a négetes mátriot megsorova, a n oslopmátri valahánsorosát kapjuk: n n, ahol a skaláris menniség Ha léteik ilen n oslopmátri, akkor et a négetes mátri jobb oldali sajátvektorának, a skaláris menniséget pedig a mátri sajátértékének neveük 16 dja meg a tenor értelmeését és tulajdonságait! Értelmeés: tenor homogén, lineáris, vektor-vektor függvén által megvalósított leképeés (hoárendelés): w f v T v Tulajdonságok: Homogén, lineáris, ha v 0, akkor w 0 és ha a w1 f v1 és w f v jelölést beveetve, fennáll a alábbi össefüggés: w f v v f v f v w w dja meg a T tenor és a descartesi koordináta-rendserben! T T transportált tenor diadikus és mátrios értelmeését deréksögű Tenor diadikus előállítása: T a e b e c e, a transportált tenor: T T e a e b e c, ahol a a e, b a e, és c a e vektorok képvektorai a b c tenor mátria: T a b c a b c tenor mátriát a diadikus előállításban kijelölt diadikus sorások és a össeadások elvégésével kapjuk tenor mátriának oslopai a a, b, c képvektorok koordinátáit tartalmaák mátri első sorában a képvektorok koordinátái, a második sorban a képvektorok koordinátái, a harmadik sorban a képvektorok koordinátái állnak 18 i a mechanika tárg? Testek (anagi pontok, anagi pontrendserek) heletváltotató mogásainak és a eeket létrehoó hatásoknak (erőknek) a visgálata heletváltotatást általánosan értelmeük, e itt magában foglalja testek nugalmi állapotát és alakváltoását is 19 Írja le koncentrált erő megadásának lehetőségeit! a) megadási lehetőség: 5

6 b) megadási lehetőség: F F F F F ea F F e a, e a a erő irán egségvektora, F a erő e a iránú koordinátája (előjeles skalár sám), e cos e cos e cos e, e 1 cos cos cos F F e F e F e F F F, F F F, F, F a erő koordinátái (skalár), F, F, F a erő össetevői (vektor), F e, e, e a koordináta-rendser (KR),, iránú egségvektorai, 0 dja meg koncentrált erő pontra sámított nomatékának értelmeését! pontra sámított nomaték a erő eg adott pont körüli forgató hatása F P r F - a pontra sámított nomaték vektor menniség P nomaték nagsága: r F sin P r P F nomatékvektor merőleges a r P és a F vektorok által meghatároott síkra úg, hog a r P, F, és jobbsodratú vektorhármast alkotnak (jobbké sabál) 1 dja meg koncentrált erő tengelre sámított nomatékának értelmeését! tengelre sámított nomaték a erő eg adott tengel körüli forgató hatása a ea - a tengelre sámított nomaték (előjeles) skaláris menniség e a a a tengel irán egségvektora a tengelre sámított nomaték a tengel bármel pontjára sámított nomatéknak a tengelre eső (előjeles) vetülete dja meg eg koncentrált erő két pontra sámított nomatéka köötti össefüggést! 6

7 B B P r BP r B F r P rbp rb rp rb rp nomaték értelmeéséből: r F ( r r ) F r F r F B BP B P P B B rb F, vag B F rb F, vektorkettős ismeretében bármel B pontra sámított B nomaték meghatároható 3 dja meg a erőpár / a koncentrált nomaték értelmeését és tulajdonságait! Erőpár: két aonos nagságú ellentétes iránú, párhuamos hatásvonalú erő peciális erőrendser: F1 F, F F erőpár pontra sámított nomatéka: F h r F r F ( r r ) F B r P1 P 1 P P 1 P1 P 1 P1 P r r r r, h r sin 1 r F 1 B Erőpár nomatéka a tér bármel pontjára ugananni Erőpár homogén nomatéki vektorteret ho létre erőpár a tér bármel pontjáho köthető, a erőpár vektor nem váltoik 4 dja meg koncentrált erőrendser eredő / redukált vektorkettősének értelmeését! eredő vektorkettős: - eredő erő, - megadott pontra sámított eredő nomaték eredő vektorkettős jelölése: F, eredő vektorkettős kisámítása: n n, i i rp F i i i1 i1 F F F 5 dja meg két erőrendser egenértékűségének értelmeését! 1 Két erőrendser egmással egenértékű, ha aonos nomatéki vektorteret honak létre Jelölés: E E egik ER F r 1 r P másik ER a erőrendserek köötti egenlőség a nomatéki tér vonatkoásában áll fenn két erőrendsernek a tér minden eges pontjára sámított nomatéka ugana a vektor 6 dja meg két erőrendser egenértékűségének kritériumait! P Két erőrendser egenértékűsége három, egmástól független feltétel (rendser) teljesülése esetén áll fenn Eek köül bármelik feltétel teljesülése elegendő a egenértékűség fennállásáho 7

8 1 F F, pont a tér eg tetsőleges, rögített pontja B C,, B 3 i i C, (i=1,,,6) 7 dja meg eg erőrendser egensúlának értelmeését!, B, C a tér három, nem eg egenesre eső (nem kolineáris) pontja Hat tetsőleges, de lineárisan független tengelre sámított nomaték egenlő Eg erőrendser egensúli, ha érus nomatéki vektorteret ho létre E 0 erőrendsernek a tér minden eges pontjára sámított nomatékvektora érus 8 dja meg eg erőrendser egensúlának kritériumait! Erőrendser egensúla három, egmástól független feltétel (rendser) teljesülése esetén áll fenn Eek köül bármelik feltétel teljesülése elegendő a egenértékűség fennállásáho 1 F 0, 0 0, 0, B 0 C pont a tér eg tetsőleges, rögített pontja, B, C a tér három, nem eg egenesre eső (nem kolineáris) pontja 3 i 0, (i=1,,,6) Hat tetsőleges, de lineárisan független tengelre sámított nomaték egenlő 9 dja meg erőrendser centrális egenesének értelmeését! 1 definíció: Erőrendser centrális egenese aon pontok mértani hele, amelekben a erőrendser eredő erővektora és eredő nomatékvektora egmással párhuamos definíció: Erőrendser centrális egenese aon pontok mértani hele, amelekben a eredő nomatékvektornak a eredő erővektorra merőleges össetevője érus 30 Írja fel erőrendser centrális egenesének egenletét! 8

9 F centrális egenes egenlete: F rp 0 F egenes sokásos egenlete: a ( r r0 ) 0, F ahol a F és r 0 rc F ismert (rögített) pont éppen a centrális egenesnek a - ho legköelebb lévő C pontja, mert r C helvektor merőleges a egenes F iránvektorára centrális egenes egenletének Plücker vektoros alakja: a r b 0 1 F r F F F 1 a F, b F ( F) F P ( ) 0, ahol 31 dja meg centrális eg pontjának helvektorát! Ha a centrális egenes leveetésénél a pontba redukált F, eredő vektorkettős helett a erőrendser pontba redukált F, eredő vektorkettősét hasnáljuk fel, akkor: F F F rp 0 r F D F árójelben álló kifejeés második tagja a pontból a ce D pontjába mutató helvektor: F ce D pont a centrális egenesnek a pontho legköelebb lévő pontja 3 Hogan határoható meg térfogaton megosló erőrendser eredő vektorkettőse? V F r C r P ce C F dv P df qdv r P, F df q dv P r D F D P V r df r q dv V 33 Hogan határoható meg felületen megosló erőrendser eredő vektorkettőse? 9

10 r d d n d n df p d, F df p d r df r p d 34 Hogan határoható meg vonal mentén megosló erőrendser eredő vektorkettőse? s l df f ds r ds, F df f ds l r df r f ds l 35 Hogan definiáljuk test súlpontját! Test súlpontja: a test térfogatán megosló súlerő rendser K köéppontja súlpont helvektora: r K r V V r g dv g dv össefüggésben r a koordináta-rendser kedőpontjából a dv térfogatelemhe mutató helvektor 36 Hogan definiáljuk test tömegköéppontját? Test T tömegköéppontja: a testnek a a T pontja, amelre sámított statikai nomaték érus mr 0 mérnöki feladatoknál T T, r m V T rt g állandónak tekinthető, eért T r r T V V r dv dv V r dv dv 37 Hogan kell kisámítani egenes vonal mentén megosló párhuamos erőrendser eredő vektorkettősét? 10

11 f () ce df f ( ) d e erőrendser eredő erővektora: F f d f ( ) d e F e, ( l) ( l) erőrendser pontra sámított nomatékvektora: r fd e f ( ) e d f ( ) d e e ( l) ( l) ( l) 38 Hogan kell kisámítani egenes vonal mentén megosló párhuamos erőrendser centrális egenese C pontjának helvektorát? erőrendser centrális egenesének a koordináta-rendser kedőpontjáho legköelebb lévő C pontjának helvektora: F ( Fe ) ( e) rc e Ce F F F egenes vonal mentén megosló párhuamos erőrendsereknél a centrális egenes origóho legköelebb levő pontja: 39 dja meg a impson formulát és tulajdonságait! C l f d l F f d ábrán látható f () függvén h intervallumra vonatkoó határoott integráljának köelítő értéke a impson-formulával: f ( 0) f ( l) r e d l j f f k f b h b f b C k h h f ( ) d fb 4 fk f j 6 össefüggésben sereplő b, k, j inde a intervallum baloldali, köépső és jobboldali pontjára utal f fk () f j j 11

12 Tulajdonság: bban a estben, ha a f () függvén legfeljebb harmadfokú polinom, akkor a formula a integrál pontos értékét adja meg Ellenkeő esetben (ha a f () nem polinom, vag harmadfokúnál magasabb foksámú polinom) köelítő értéket kapunk 40 dja meg a rúd és a rúd modell értelmeését! Rúd: olan test, amelnek egik mérete lénegesen nagobb, mint a másik kettő Rúd modell: a rudat eg vonallal helettesítjük és mechanikai viselkedésére jellemő menniségeket ehhe a vonalho kötjük 41 dja meg a rúd kerestmetsetének és köépvonalának értelmeését! Kerestmetset: a rúd legnagobb méretére merőleges metset Köépvonal / súlponti sál: a kerestmetsetek pontjai által alkotott vonal 4 dja meg a primatikus rúd definícióját! Primatikus rúd: kerestmetsetei aonos alakúak és térbeli elhelekedésűek (a kerestmetsetek állandók és a rúd köépvonala mentén párhoamos eltolással egmásba tolhatók) 43 dja meg a fesültség és a igénbevétel értelmeését! Fesültség: a felületen megosló belső erőrendser sűrűségvektora: N/m Pascal Pa Igénbevétel: a rúd kerestmetsetén megosló, sűrűségvektorú belső erőrendser pontba redukált vektorkettősének skaláris koordinátái 44 dja meg a igénbevételek előjelének értelmeését térbeli ábrán! igénbevételek (a skaláris koordináták) előjelének értelmeése: T 0 N 0 h c 0 0 F T e T e N e N - rúderő, T, T - níróerők T 0 h e e e h h c c - csavaró nomaték, h, h - hajlító nomatékok 0 1

13 45 emléltesse a igénbevételek előjelét elemi rúdsakason!,, N 0 d c d 0 T 0 h 0 d d T 0 h 0 d d 46 Írja fel rudak egensúli egenleteinek differenciális és integrál alakját és a egenletek jelentését, geometriai tartalmát! - Első egensúli egenlet: Differenciális alak: dt d f Integrál alak: 0 níróerő ábra 0, sakason történő megváltoása egenlő a f terhelésábra integráljával - ásodik egensúli egenlet: d h Differenciális alak: d T T f d 0 T h h 0 T d Integrál alak: nomatéki ábra 0, sakason történő megváltoása egenlő a T níróerő ábra negatív integráljával 0 47 Ismertesse rudak igénbevételi ábrái megrajolásának gondolatmenetét! - támastó erőrendser meghatároása - inden terhelés redukálása a tartó köépvonalába - köépvonalba redukált erőrendser felbontása és síkba eső résekre - N és c ábrák megrajolása (eek függetlenek a erőrendser felbontásától) 13

14 - síkbeli terheléshe tartoó, - síkbeli terheléshe tartoó, T igénbevételi ábrák megrajolása h T igénbevételi ábrák megrajolása h 48 ivel foglalkoik a silárdságtan? silárdságtan a terhelés előtt és után is tartós nugalomban lévő, alakváltoásra képes testek kinematikája, dinamikája és anagserkeeti viselkedése 49 it neveünk terhelésnek? általunk visgált rendserhe (testekhe) nem tartoó testekről sármaó ismert nagságú hatás E a hatás silárd halmaállapotú testeknél általában felületi érintkeéssel valósul meg Terhelés ismert külső erőrendser (ER) 50 dja meg, hog eg test (alkatrés, serkeet) milen feltételek teljesülése esetén van tartós nugalomban! - a testre ható erőrendser egensúli, - a test megtámastása nem enged meg merevtestserű elmodulást 51 i a alakváltoás? test pontjai terhelés hatására egmásho képest elmodulnak és eért a test anagi geometriai alakatai (hossak, sögek, felületek, térfogatok) megváltonak 5 ivel foglalkoik a kinematika a silárdságtanban? kinematika a silárdságtanban leírja a terhelés hatására a testben bekövetkeő elmodulásokat és alakváltoásokat 53 ivel foglalkoik a dinamika a silárdságtanban? dinamika a silárdságtanban leírja a terhelés hatására a testben fellépő erőrendsert 54 it értünk anagserkeeti viselkedésen a silárdságtanban? anagserkeeti viselkedés a silárdságtanban megadja a alakváltoást jellemő menniségek és a belső erőrendser köötti kapcsolatot 55 dja meg a mechanikai test modell értelmeését! lan, idealiált tulajdonságokkal rendelkeő test, amel a valóságos testnek a visgálat sempontjából leglénegesebb tulajdonságait tükröi test lénegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lénegtelennek ítélt tulajdonságokat pedig elhanagoljuk 56 dja meg a merev test értelmeését! C B merev test eg olan test modell, amelben bármel pont távolsága állandó, a pontok távolsága a terhelés hatására sem váltoik meg test pontjai (rései) egmásho képest terhelés hatására sem modulnak el Pl a B, C, BC távolságok és a sög nem váltonak 14

15 57 dja meg silárd test értelmeését! C B silárd test olan test modell, amel alakváltoásra képes silárd test pontjainak távolsága, egeneseinek egmással beárt söge terhelés hatására megváltoik test felületeinek és térfogatainak alakja és nagsága is megváltoik Pl a B, C, BC távolságok és a sög is megváltoik 58 ilen esetben besélünk rugalmas, illetve képléken alakváltoásról? Rugalmas a alakváltoás, ha a terhelés hatására alakváltoott test a terhelés megsüntetése (a tehermentesítés) után vissaneri eredeti alakját Képléken a alakváltoás, ha a terhelés hatására alakváltoott test a tehermentesítés után nem neri vissa eredeti alakját 59 dja meg a kis elmodulások és a kis alakváltoások értelmeését! Kis elmodulás esetén a test pontjainak elmodulása nagságrendekkel kisebb a test jellemő geometriai méreteinél Kis alakváltoások esetén a test alakváltoását jellemő menniségek lénegesen kisebbek, mint eg: 1, 1 60 Két erőrendser statikai sempontból mikor egenértékű egmással? Két erőrendser statikailag egenértékű, ha aonos nomatéki vektorteret honak létre 61 Két erőrendser silárdságtani sempontból mikor egenértékű egmással? Két, uganarra a testre ható erőrendser silárdságtani sempontból egenértékű, ha aok a test kis résétől (a terhelés követlen körneetétől) eltekintve a testnek uganat a alakváltoási állapotát hoák létre 6 Ismertesse a aint-venant elvet! ilárd test alakváltoásakor a test valamel uganaon kis felületén ható, nomatéki terük vonatkoásában egenértékű erőrendserek a kis felület követlen körneetének kivételével- jó köelítéssel uganat a alakváltoási állapotot hoák létre 63 dja meg a test eg pontja elemi körneetének definícióját! Elemi körneetnek / tömegpontnak / elemi tömegnek a silárdságtanban eg olan kis testrést tekintünk, amelnek méretei a test méreteihe képest elhanagolhatóan kicsik elemi körneet silárdságtani állapotait a elemi körneet eg pontjáho (a köéppontjáho) kötött menniségekkel írjuk le 64 i a elemi triéder? P pontban felvett, terhelés előtt egmásra merőleges e, e, e egségvektor hármas Feltételeük, hog a elemi triéder a P pont elemi körneetén belül helekedik el 65 ilen résekre bontható silárd test P pontja elemi körneetének elmodulása? - párhuamos eltolásra és - fajlagos relatív elmodulásra 15

16 66 ilen menniséggel adható meg egértelműen test P pontja elemi körneetének fajlagos, relatív elmodulási állapota? dja meg a jellemő menniséget diadikus alakban! P pont elemi körneetének fajlagos, relatív elmodulási állapotát a derivált tenor jellemi egértelműen D u e u e u e, derivált tenor diadikus értelmeése: ahol a u, a u és a u a e, e, e elemi triéder végpontjainak fajlagos, relatív elmodulás-vektorai és a diadikus sorás jele 67 dja meg a derivált tenor simmetrikus és ferdesimmetrikus résének kinematikai tartalmát! 1 T 1 T derivált tenor felbontása: D D D D D, ahol a simmetrikus rés a alakváltoási tenor és a ferdesimmetrikus rés a forgató tenor 68 dja meg a alakváltoási jellemők értelmeését! a),, - fajlagos núlások Pl a a egségni, iránú hossnak a terhelés hatására bekövetkeő megváltoása akkor poitív, ha a egségni hoss a terhelés hatására megnöveksik b),, - fajlagos sögtorulások (sögváltoások) o Pl a a egmással 90 -os söget beáró és iránok sögének a terhelés hatására bekövetkeő megváltoása o akkor poitív, ha a 90 -os sög a terhelés hatására csökken 69 dja meg a alakváltoási tenor definícióját diadikus alakban és írja fel a alakváltoási tenor mátriát deréksögű descartesi koordináta-rendserben! a) alakváltoási tenor diadikus alakban: e e e, ahol a alakváltoási vektorok a alábbi alakúak: e e e, e e e, e e e és a diadikus sorás jele b) alakváltoási tenor mátria: emléltesse a alakváltoási tenort a elemi triéderen! 16

17 1 e e 1 P Hogan sámíthatók a alakváltoási tenorból a adott n és m n m 0 megadott iránokho tartoó fajlagos núlások és sögtorulások? fajlagos núlások sámítása: n n, m m n fajlagos sögtorulások sámítása: 1 1 nm mn n m m n össefüggésekben a skaláris sorás jele m egségvektorokkal 7 i a fesültség? fesültségvektor a testben terhelés hatására fellépő, felület mentén megosló belső erőrendser sűrűségvektora 73 Hogan sámíthatók ki a fesültségvektor össetevői? össetevőkre bontást ábrán is semléltesse! n normál fesültségi össetevő: n n n n n 1 1 e n n n d P ln mn n m csústató fesültségi össetevő: n n n n n n n l 74 Hogan sámíthatók ki a fesültségvektor koordinátái? koordinátákra bontást ábrán is semléltesse! n normál fesültség koordináta: m n n n n n n n mn ln csústató fesültségi koordináták: mn m, n m n ln l n l n l 17

18 75 dja meg a fesültségi tenor definícióját diadikus alakban és írja fel a fesültségi tenor mátriát deréksögű descartesi koordináta-rendserben! a) fesültségi tenor diadikus alakban: F e e e, ahol a fesültségi vektorok a alábbi alakúak: e e e, e e e, e e e b) fesültségi tenor mátria: F 76 emléltesse a F fesültségi tenort a elemi kockán! P 77 Hogan sámíthatók ki a fesültségi tenorból a adott n normálisú síkon fellépő n és mn fesültség koordináták? normál fesültségi koordináta: n n n n F n csústató fesültségi koordináta: mn nm m n n F m m F n össefüggésekben a skaláros sorás jele 78 dja meg a fesültségi főiránok és főfesültségek értelmeését! Ha a e egségvektorra elemi felületen n 0 fesültségi főtengel (fesültségi főirán) és e egjegések: - e is lehet érus e 0 és ebből követkeően e e e -re elemi felület síkja főfesültségi sík, akkor a e - inden P pontban léteik legalább három főirán, amelek kölcsönösen merőlegesek egmásra 79 Írja fel a fesültségi tenor főtengel problémáját sajátérték feladatként! Kérdés: Van-e olan e irán, amelre fennállnak a alábbi össefüggések? e, F e E e, e e e F E e 0 e 18

19 Válas: mindig van legalább három ilen e irán Elneveés: e főirán/főtengel irán egségvektora, e főfesültség 80 Írja fel a fesültségi tenor főtengel (sajátérték) feladatának karakteristikus egenletét és adja meg a fesültségi tenor skalár invariánsait! 3 Karakteristikus egenlet: F F F 0 e I e II e III fesültségi tenor első skalár invariánsa: FI fesültségi tenor második skalár invariánsa: F 11 fesültségi tenor harmadik skalár invariánsa: F Értelmee a F fesültségi tenor és a a) fesültségi deviátor tenor: F F k E, F I ahol k a köepes fesültség 3 3 b) alakváltoási deviátor tenor: k E, I ahol k a köepes núlás 3 3 d d alakváltoási tenor deviátor tenorait! 8 Ismertesse a fesültségi és a alakváltoási tenor deviátoros és gömbi résre történő felbontását dja meg a eges rések fiikai (geometriai) tartalmát és a fesültségi deviátor fontos tulajdonságait! Felbontás: F F E, E d k d k F és deviátoros rések a alakváltoás tista torulási rését jellemik d d és E k gömbi rések a alakváltoás tista térfogat váltoási rését jellemik k E fesültségi deviátor tenor első skalár invariánsa érus: FdI 0 83 dja meg a fajlagos alakváltoási energia értelmeését, kisámítását, fiikai tartalmát és legfontosabb tulajdonságát! Értelmeés és kisámítás: 1 u r F p e p e p e a e a e a e 1 1 p a p a p a ahol a a kétseres skaláris sorás jele ur fajlagos alakváltoási energia megadja a test r helén levő egségni térfogatban felhalmoott alakváltoási energiát Tulajdonság: a u r fajlagos alakváltoási energia poitív skalár menniség 19

20 84 dja meg a fajlagos alakváltoási energia felbontását tista torulási és tista térfogat váltoási résre és ismertesse a eges rések kisámítási módját! Felbontás: ur ut uv fajlagos torulási energia: 1 u T 6 0 1G v fajlagos térfogat váltoási energia: uv I FI FI 0 6 1G 1 v 85 Ismertesse a mechanikai energia tétel alkalmaását rugalmas testek silárdságtani feladataira! mechanikai energia tétel: E E1 W1 WK WB, ahol: - E 1 a rendser (test) mogási (kinetikai) energiája a terhelés előtt, - E a rendser (test) mogási (kinetikai) energiája a terhelés után, - W 1 a külső és belső erők munkája a terhelés során (a 1 és állapot köött), - W K a külső erők munkája a terhelés során (a 1 és állapot köött), - W B a belső erők munkája a terhelés során (a 1 és állapot köött) silárdságtanban: E1 E 0, eért: W1 WK WB 0, aa WK W B U WD, ahol: - U a rendserben (testben) felhalmoott rugalmas alakváltoási energia és - W D a dissipációs (elnelt) energia Rugalmas alakváltoás esetén: WD 0, eért: WK U 86 dja meg a lineárisan rugalmas, iotróp anag definícióját! Lineárisan rugalmas: a alakváltoások és a fesültségek köött lineáris függvénkapcsolat van Iotróp: a anagi viselkedés irántól független (Például a fémek esetében) 87 Írja fel a általános Hooke törvén mindkét tenoros alakját és adja meg a egenletekben sereplő menniségek jelentését! általános Hooke- törvén két, egmással egenértékű alakja: 1 F ) I F E, ) I F G E G 1 1 egenletekben sereplő menniségek jelentése: G csústató rugalmassági modulus anagjellemők, Poisson téneő F I I a fesültségi tenor a alakváltoási tenor 88 i a méreteés, ellenőrés célkitűése? első skalár invariánsa, E a egségtenor 0

21 nnak elérése, hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal a adott terhelést elviselje anélkül, hog benne károsodás lépne fel 89 i történik a fesültségcsúcsra történő méreteés, ellenőrés esetén? serkeet veséles pontjában kisámított, a tönkremenetelre jellemő redukált fesültséget hasonlítjuk össe aal a megengedett fesültséggel, amelnél már károsodás lép fel 90 dja meg a redukált (egenértékű) fesültség definícióját! lan fesültség, amel a pontbeli fesültségi állapotot tönkremenetel sempontjából egértelműen jellemi redukált fesültség beveetésével a tetsőleges térbeli fesültségi állapotot egtengelű fesültségi állapotra veetjük vissa 91 Ismertesse a Coulomb-féle tönkremeneteli elméletet! Coulomb elmélet serint eg fesültségi állapot akkor nem oko károsodást, ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb normál fesültség kisebb a anag sakítósilárdságánál Coulomb elméletet rideg anagok esetén sokás alkalmani Coulomb-féle redukált fesültség: red Coulomb ma ma 1, 3 ahol: 1 a legnagobb, 3 pedig a legkisebb főfesültség Coulomb elmélet serint a pontbeli fesültségi állapotot károsodás sempontjából a legnagobb absolút értékű normál fesültség jellemi 9 Ismertesse a ohr-féle tönkremeneteli elméletet! Hogan értelmeük a ohr-féle redukált fesültséget? ohr elmélet serint eg fesültségi állapot akkor nem oko károsodást, ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb normál ohr-kör átmérője kisebb, mint a megengedett fesültség ohr elméletet alakítható anagok esetén sokás alkalmani ohr, ohr-féle redukált fesültség: red 1 3 ahol: 1 a legnagobb, 3 pedig a legkisebb főfesültség ohr serint a pontbeli fesültségi állapotot károsodás sempontjából a legnagobb ohr kör átmérője jellemi 93 Ismertesse a Huber-ises-Henck-féle tönkremeneteli elméletet! Hogan értelmeük a Huber- ises-henck-féle redukált fesültséget? Huber-ises-Henck-féle elmélet serint két fesültségi állapot károsodás sempontjából akkor egformán veséles, ha torulási alakváltoási energiájuk megegeik Huber-ises- Henck-féle elméletet alakítható anagok esetén sokás alkalmani Huber-ises-Henck-féle redukált fesültség: 1 red HH , vag 1 red HH 6, ahol: 1,, 3 főfesültségek,,, normál fesültségek, 1

22 ,, csústató fesültségek Huber-ises-Henck-féle redukált fesültség arános a u T fajlagos torulási energiával 94 Ismertesse a méreteés, ellenőrés gondolatmenetét rúdserkeetek esetén! - rúdserkeet veséles kerestmetsetének megkeresése, meghatároása veséles kerestmetset a, ahol legnagobbak a igénbevételek - veséles kerestmetseten a veséles pontok megkeresése, meghatároása veséles pontok aok, ahol legnagobb a red redukált fesültség - veséles pontokban a méreteés, ellenőrés elvégése: ma 95 íkgörbe rudak Grashof-féle elméleténél hogan értelmeük a görbületi sugár előjelét? s e P n e 0 0 t red köépvonal mentén a pontokat a s ívkoordinátával aonosítjuk - ha a ívkoordináta mérésének iránában haladva a görbületi köéppont jobbkére esik, akkor 0 0, - ha a ívkoordináta mérésének iránában haladva a görbületi köéppont balkére esik, akkor 0 0 meg 96 Ismertesse a Grashof-hipotéist! - alakváltoás után a kerestmetsetek síkok maradnak és merőlegesek maradnak a deformálódott köépvonalra, - a alakváltoás során a 0 sugarú, körív alakú köépvonal sugarú körívvé görbül a nomaték hatására 97 dja meg a Grashof-formulát és a benne sereplő menniségek jelentését! I h h 0 Grashof - formula: Ir 0 r 0 0 d - a kerestmetset tengelére sámított redukált másodrendű nomaték (általában Ir I 0 ) ( ) h h - a hajlító nomaték, - a kerestmetset területe, 0 - a rúd köépvonalénak görbületi sugara, - annak a pontnak a helkoordinátája, amelben a fesültséget meg akarjuk határoni 98 dja meg a Grashof - elmélet alkalmahatósági tartománait! 0 Ha 3 4, akkor a Grashof formulát és a I r t hasnáljuk e ma 0 Ha , akkor a Grashof formulát és a Ir I-t hasnáljuk e ma

23 Ha 0 h 810, akkor a görbe rúd egenes rúdként keelhető : e I ma 99 Írja le a Grashof-elmélet általánosításának feltételeit és a általánosításnál hasnált össefüggéseket! Tapastalatok serint a Grashof-féle elmélet akkor is jó köelítésként hasnálható, ha - a síkgörbe rúd igénbevétele tetsőleges síkbeli igénbevétel: N, T, h - a köépvonal nem körív, de feltételeük hog a görbületi sugár csak kismértékben és lassan váltoik a rúd köépvonala mentén, - a rúd nem primatikus, de feltételeük hog a kerestmetset alakja, vag geometriai elhelekedése csak kismértékben és lassan váltoik a rúd köépvonala mentén Köelítő megoldás (superpoíció): h h 0 Hajlítás:, I Húás/nomás: Nírás: 0 r 0 N T I a 100 ikor statikailag határoott eg rúdserkeet? egenes rudakra vonatkoó össefüggés - Ha a serkeet támastóerői egértelműen meghatárohatók statikai egensúli egenletek segítségével - Ha a ismeretlen támastóerő koordináták sáma megegeik a rendelkeésre álló statikai egensúli egenletek sámával 101 ikor statikailag határoatlan eg rúdserkeet? - serkeet támastóerői nem határohatók meg kiárólag statikai egensúli egenletek felhasnálásával - Ismeretlen támastóerő koordináták sáma nagobb, mint a rendelkeésre álló statikai egenletek sáma 10 Hogan sámítható ki rúdserkeet alakváltoási energiája? egés rúdserkeet alakváltoási energiája: U U N U H UC UT húás- hajlítás csavarás nírás nomás Rúdserkeeteknél legtöbb esetben: UT 0, ( UT UN, UH, U C ) 1 N h h c alakváltoási energia résletesen kiírva: U ds l E I E I E I pg, a kerestmetset tehetetlenségi főtengelei, l a rúdserkeet köépvonalának hossa 3

24 103 Ismertesse a rúdserkeetek alakváltoásának sámítására alkalmas Castigliano-tételt! U U U Castigliano-tétel: elmodulásokra: ui, vi, wi F F F i i i U U U sögelfordulásokra: i, i, i i i i - serkeetet terhelő F i erő P i támadáspontjának F i iránába eső elmodulása egenlő a serkeet belső energiájának a F i erő serinti parciális deriváltjával - serkeetet terhelő i nomaték P i támadáspontjában levő kerestmetsetnek a nomaték irána (tengele) körüli sögelfordulása egenlő a serkeet belső energiájának a nomaték serinti parciális deriváltjával i 104 dja meg a rugalmas test állapotát jellemő meőket! u u,, elmodulási vektormeő,,, alakváltoási tenormeő, F F,, fesültségi tenormeő, u u,, fajlagos alakváltoási energiameő 105 Írja fel a silárd testre vonatkoó egensúli egenletet koordináta rendsertől független vektoriális alakban és adja meg a skaláris egenleteket,, deréksögű descartesi koordinátarendserben! Vektoriális alak: F q 0 ahol: F a fesültségi tenor, a Hamilton-féle differenciál operátor és q a térfogati terhelés sűrűségvektora kaláris egenletek,, koordináta-rendserben: q 0, q 0, q Veesse le a silárd testre vonatkoó egensúli egenlet koordináta-rendsertől független vektoriális alakját! leveetéshe késítsen magaráó ábrát! Térfogati erők: df qdv, felületi erők: df d F nd V árt térfogatra ható erők egensúla: F 0 qdv F nd V i 4

25 Gauss-strogradskij-féle integrált álalakítási tétel: F q F dv Et felhasnálva: 0 V F nd F dv V egensúl bármel V válastás mellett teljesül, eért: F q dja meg a derivált tenormeő és a elmodulásmeő, a alakváltoási tenormeő és a elmodulásmeő, valamint a forgató tenormeő és a elmodulásmeő kapcsolatát koordináta rendsertől független alakban! derivált tenor: D u alakváltoási tenor: 1 u u forgató tenor: 1 u u ahol: u a elmodulási vektormeő, a Hamilton-féle differenciál operator és a diadikus sorás jele 108 Írja fel a alakváltoási jellemők és a elmodulás-koordináták köötti kapcsolatot skaláris alakban! u u v,, v w v,, w u w, 109 Veesse le a E rugalmassági modulus és a G csústató rugalmassági modulus köötti kapcsolatot! Egtengelű fesültségi állapot esetén: v egserű Hooke törvén: E általános Hooke törvén: v v G G v G v G 1 v 1 v 1 v E G 1 v egserű és a általános Hooke törvént össevetve: 110 Írja fel a dinamikai és a kinematikai peremfeltételeket koordináta-rendsertől független alakban! u n d p 0 p Dinamikai peremfeltétel: F n p0 a p n Kinematikai peremfeltétel: u u0 a u -n p 0 ismert felületi terhelés, a u 0 ismert elmodulás p - a test felületének a a rése, ahol a felületi terhelés ismert u - a test felületének a a rése, ahol a elmodulás ismert 5

26 111 dja meg a rugalmasságtan egenletrendsere esetén a egakt és a köelítő megoldás fogalmát! Egakt megoldás esetén a keresett u,, F meők a egenletrendser és a peremfeltételek minden egenletét kielégítik Köelítő megoldás esetén a keresett u,, F meők a egenletrendser és a peremfeltételek nem minden egenletét elégítik ki 11 dja meg a kinematika és a kinetika értelmeését! Kinematika: anagi pontok és a merev testek mogásának leírása Kinetika: anagi pontokra (tömegpontokra) és a merev testekre ható erők, nomatékok és a mogás kapcsolatának tistáása mogás okainak leírása 113 Írja le anagi pont mogásfüggvénének definícióját! ogásfüggvén: a anagi pont heletét meghatároó P 0 r t 0 P 1 rt 1 értékegsége: m (méter) pálagörbe rt P Pálagörbe: r r t helvektor-idő függvén 1 definíció: a térgörbe, melen a anagi pont a mogás során végighalad definíció: r r t mogásfüggvén által meghatároott térgörbe 114 Hogan adható meg anagi pont mogásfüggvéne? - Vektoriális alak DDKR-ben: r( t) ( t) e ( t) e ( t) e, HKR-ben: r( t) R( t) e ( t) e, ahol e cose sine R R - kaláris alak DDKR-ben: () t, HKR-ben: R R() t, () t, () t, () t, () t 115 dja meg a e, n, b termésetes koordináta-rendser értelmeését: P Ívkoordináta: a pálagörbén eg kedőponttól mért előjeles s e ívhoss (előjeles távolság) s b Kísérő triéder: e, n, b a görbe termésetes koordinátarendserének egségvektorai n dr - Érintő iránú egségvektor: e, e 1 ds de 1 - Főnormális egségvektor: n n, n 1 ds 6

27 ( a térgörbe görbülete a P pontban, a térgörbe görbületi sugara a P pontban) - Binormális egségvektor: b e n, b dja meg a sebességvektor, a pillanatni sebességvektor és a pálasebesség értelmeését és tulajdonságait! ebességfüggvén: a mogásfüggvén idő serinti első deriváltja d r() t v( t) r( t) értékegsége: m/s dt Pillanatni sebességvektor: a sebességfüggvén eg adott t 1 időpillanatban felvett értéke v v( t ) 1 1 Tulajdonságai: - vektor menniség, - irána aonos a pálagörbe érintőjével d r d r ds d s() t Bionítás: v( t) e e v( t) v( t) e dt ds dt dt d s() t Pála menti sebesség (pálasebesség): vt () dt Tulajdonságai: - a sebességvektor érintő iránú koordinátája, - előjeles skalár menniség, - előjelét a s ívkoordináta iránítása határoa meg 117 dja meg a köepes sebesség értelmeését! P 1 r 1 r 1 r P pálagörbe elmodulásvektor: r1 r r1 r( t) r( t1) köepes sebesség: mindig eg megadott időintervallumra vonatkoik t, t 1 időintervallumra vonatkoó köepes sebesség: v k r( t ) r( t ) r r r t t t t t i a hodográf? v t 1 a 1 v 1 vt hodográf v t a Hodográf: a görbe, amit a vt () sebességvektorok végpontja ír le a v, v, v koordináta-rendserben gorsulásvektorok a hodográfgörbe érintői v v v 119 dja meg a gorsulásvektor, a pillanatni gorsulásvektor, valamint a pálagorsulás és a normális gorsulás értelmeését és tulajdonságait! Gorsulásfüggvén: a sebességfüggvén idő serinti első deriváltja 7

28 d v( t) d r( t) at () dt dt értékegsége: m/s Pillanatni gorsulásvektor: a gorsulásfüggvén eg adott t 1 időpillanatban felvett értéke a a( t ) 1 1 Tulajdonságai: - vektor menniség, - a pálagörbe simulósíkjába esik, - érintő- és főnormális iránú össetevőkből áll () Pála menti gorsulás (pálagorsulás): () dv t ae t dt ae () t a sebességvektor nagságának megváltoásából adódik Normális gorsulás: vt () a () n t an () t a sebességvektor iránának megváltoásából adódik 10 dja meg merev test / anagi pont sabadságfokának értelmeését és a sabadságfok értékét síkmogás és térbeli mogás esetére! abadságfok: test (merev test, anagi pont) heletét (mogását) egértelműen megadó, egmástól független skaláris függvének (skaláris koordináták / paraméterek) n sáma íkmogás esetén anagi pontra: n, merev testre: n 3 Térbeli mogás esetén anagi pontra n 3, merev testre: n 6 11 Értelmee merev test sebességállapotát és merev test gorsulásállapotát! erev test sebességállapota: testet alkotó pontok eg adott időpillanatbeli sebességeinek össessége (halmaa) erev test gorsulásállapota: testet alkotó pontok eg adott időpillanatbeli gorsulá-sainak össessége (halmaa) 1 dja meg merev testhaladó mogásának és forgó mogásának értelmeését! erev test haladó mogása: test önmagával párhuamosan modul el test minden pontjának aonos a elmodulása erev test forgómogása: test pontjai a test két nugalomban lévő pontját össekötő tengel, a forgástengel körül koncentrikus köríveken modul-nak el 13 ilen esetben besélünk merev test elemi mogásáról és véges mogásáról? erev test elemi mogása: test végtelenül rövid idő alatt bekövetkeő (eg időpillanatban történő) mogása erev test véges mogása: test hossabb, t1, t időintervallum alatt végbemenő mogása 14 Hogan lehet megadni merev test heletét? 8

29 merev test helete: r r t, r t r t, P P P P P 3 lin független 3 lin független függvén függvén merev test helete (a merev test tetsőleges P pontjának hele) mindig 33 6 független skaláris koordinátával (skaláris függvénnel) adható meg erev test heletét mindig eg haladó és eg forgó mogás superpoíciójával kapjuk meg: - merev test haladó mogása / translációja a pont elmodulásvektorával jellemehető: r t r t r t - P pont forgó mogásból sármaó elmodulása: P r t t, résletesen kiírva P r t 0 r t P P 0 P r P t P cos, cos, cos, P P cos, cos, cos, P P cos, cos, cos, P 15 Hogan adható meg merev test sebességállapota? 0 r t tetsőleges P pont sebességvektora / sebességfüggvéne: v P t, r t P P P,, r t r t r t t t t P P P P,,, v t r t v t v t P P P P P P P r P t pillanatni pillanatni haladó mogás forgó mogás, 9

30 - Ha P rögített (állandó), akkor a rögített P pont (P tömegpont) hodográfját kapjuk:, áll v t v t P P P - Ha t rögített (állandó), akkor a test sebességállapotát, össes P pontjának sebességvektorát kapjuk eg rögített időpillanatban: v t áll, v v v P P P P P P P P 16 dja meg a össefüggést merev test két pontjának sebessége köött! vb v rb v B nalógia (tatikából): B F rb r v, ismeretében a merev test bármel pontjának sebessége B v B meghatároható erev test sebességállapota egértelműen megadható, v redukált vektorkettőssel erev test két különböő pontjának sebessége általában nem egenlő Kivétel : - 0, - rb 17 dja meg a elemi nugalom, a elemi haladómogás, a elemi fogómogás és a pillanatni forgástengel értelmeését! Elemi nugalom: adott időpillanatban a test minden pontjának érus a sebessége: v v 0 Elemi haladómogás: adott időpillanatban a test minden pontjának aonos a sebessége: v vb vc vp Elemi forgómogás: adott időpillanatban a test minden pontjának sebességvektora merőleges a test 0 sögsebességére: 0 pillanatni forgástengelt a test P aon pontjai alkotják, ameleknek érus a sebessége: v 0 P 18 dja meg a elemi csavarmogás és a pillanatni csavartengel értelmeését! Elemi csavarmogás: adott időpillanatban a test minden pontjának sebességvektora nem merőleges a test 0 sögsebességére: 0 pont sebességének van a sögsebességre eső vetülete Pillanatni csavartengel: a test P aon pontjai alkotják, ameleknek a sebessége párhuamos a v sögsebesség vektorral: v P 0 19 dja meg a pillanatni forgástengel / csavartengel eg pontjának meghatároására solgáló össefüggést! csavartengel / forgástengel pontho legköelebb levő D pontjának helvektora rd : v P 30

31 r D v 130 dja meg a elemi síkmogás és a sebességpólus mindkét értelmeését! Elemi síkmogás: 1 definíció: Ha a test bármel pontjának sebessége merőleges -ra, aa párhuamos a -ra merőleges síkokkal definíció: test pontjai eg alapsíkkal (eg -ra merőleges alapsíkkal) párhuamos síkokban moognak ebességpólus: 1 definíció: síknak a a P pontja, amelnek érus a sebessége - vp 0 definíció: pillanatni forgástengelnek a P döféspontja a mogás síkján 131 i a sebességábra? ilen esetben rajolható sebességábra? ebességábra: Eg adott időpillanatban köös kedőpontból felmérjük a test jellemő pontjainak sebességvektorait sebességállapot elemi síkmogás esetén semléltethető sebességábrával (ebességábra csak elemi síkmogás esetén rajolható) 13 dja meg merev test két pontjának gorsulása köötti össefüggést általános (térbeli) és síkbeli esetben! merev test és B pontjának gorsulása köötti össefüggés általános (térbeli mogás) esetén: a r B B a B a a r r B B B d a merev test söggorsulása dt a egés merev testre jellemő menniség értékegsége: rad/s Tétel: a merev test gorsulásállapota (bármel B pontjának gorsulása) a a, és a menniségekkel adható meg egértelműen gorsulások köötti össefüggés síkmogás esetén: Ha a mogás síkja: e, e rb RB B e B e B e B e, 133 dja meg tömegpontrendser és merev test pontra sámított statikai nomatékának értelmeését és mértékegségét! 31

32 m 1 m i r 1 B m r B r i m 3 m dm dv B r B r Tömegpontrendser pontra sámított statikai nomatéka: n r m i i i1 erev test pontra sámított statikai nomatéka: r dm r dv ( m) ( V) a merev test anagának tömegsűrűsége (a egségni térfogatban levő tömeg) a B pontból a dm elemi tömeghe mutató helvektor statikai nomaték mértékegsége: kgm 134 dja meg merev test súlponti tehetetlenségi tenorának diadikus és mátrios előállítását! m dm tehetetlenségi tenor diadikus előállítása: J ( ) E dm ( m) e e e, E a egségtenor értékegsége: tehetetlenségi tenor mátrios előállítása: J J J J J J J J J J kgm simmetrikus tenor 135 dja meg a tengelre sámított tehetetlenségi nomatékok értelmeését és elneveését! J ( ) dm ( m) J dm ( m) ( ) 0 J ( ) dm ( m) J a merev test tengelre sámított tehetetlenségi nomatéka, J a merev test tengelre sámított tehetetlenségi nomatéka, J a merev test tengelre sámított tehetetlenségi nomatéka 136 dja meg a síkpárra sámított (centrifugális) tehetetlenségi nomatékok értelmeését! 3

33 J J dm ( m) J J dm 0 ( m) J J dm ( m) J J J J a testnek a - síkpárra sámított tehetetlenségi nomatéka, J a testnek a - síkpárra sámított tehetetlenségi nomatéka, J a testnek a - síkpárra sámított tehetetlenségi nomatéka 137 Írja fel a tehetetlenségi nomatékokra vonatkoó teiner tételt tenoros és skalár alakban! r e e e,,, és a,, koordináta-rendser tengelei párhuamosak:,, tétel tenor alakja: J J J m r tétel skalár alakja: J J m J J m ( ),, J J m J J m ( ),, J J m J J m ( ), 138 dja meg merev test esetén a impulus vektorrendser eredő vektorkettősének értelmeését és a vektorkettős vektorainak mértékegségét! m Test impulusának értelmeése: dm I v I v dm vdv Impulus nomaték (perdület) értelmeése: értékegség: kg m Ns m s ( m) ( V) m értékegsége: kg Ns s a merev test anagának tömegsűrűsége r v dm r vdv ( m) ( V) 139 Veesse le a értelmeésből kiindulva merev test esetén a impulus vektorrendser ponti eredő vektorkettősének kisámítását! erev test impulusának kisámítása: ( m) ( V) I v dm v v dm r di v dm v dm ( m) ( V) v dm dm T 0 33

34 I mv v a merev test súlpontjának sebessége erev test pontra sámított perdületének kisámítása: v dm v dm dm dm J, ( m) ( m) m m J m dm T 0 v J a ponti, vag a pontra sámított tehetetlenségi (inercia) / másodrendű nomatéki tenor 140 Veesse be merev test ponti tehetetlenségi tenorát és adja meg a tenor mechanikai tartalmát! dm J m atematikai átalakítás: Beveetve a egségtenort: E, ahol m m dm dm E Felhasnálva a diadikus sorás értelmeését: dm E dm m m m E dm J J E dm m J a tehetetlenségi tenor simmetrikus echanikai tartalom: tehetetlenségi tenor a merev testnek a forgó mogás megváltoásával sembeni tehetetlenségét / ellenállását fejei ki, a test tömegeloslásának dinamikai jellemője J tehetetlenségi tenor független a mogástól (a test sögsebességétől és sebességeitől), csak a test alakjától és tömegeloslásától függ 141 Hogan sámítjuk ki merev testnek a forgástengel eg pontjára sámított perdületét? 34

35 v r P pillanatni forgástengel r I J r mv P P P P P J r r m J J J P P P J P teiner-tétel J, P a test pill forg tengelének pontja P P vp 0 14 dja meg merev test esetén a kinetikai vektorrendser eredő vektorkettősének értelmeését és a vektorkettős vektorainak mértékegségét! Test kinetikai vektora: K a dm a dv m V m értékegsége: kg =N s Test pontra sámított kinetikai nomatéka: D r a dm r a dv m V értékegsége: Nm 143 dja meg merev test esetén a kinetikai vektorrendser ponti eredő vektorkettősének kisámítását! merev test kinetikai vektorának kisámítása: K ma merev test ponti kinetikai nomaték vektorának kisámítása: D J 144 dja meg a impulus és a kinetikai vektorrendser ponti erdő vektorkettőse köötti kapcsolatot! eredő vektorok köötti kapcsolat: I mv mv ma K eredő ponti nomatékvektorok köötti kapcsolat: d v dm r r v dm v dm dt D K m m m v v 0 v v dm v v dm a dm a dm D m m m m D r dm a m mv dk a dm 145 dja meg merev test kinetikai energiájának értelmeését, mértékegségét és kisámítását! 35

36 v dm r m v 1 Értelmeés: E v dm értékegsége: ( m ) Kisámítás pontho kötött menniségekkel: 1 E v I Kisámítás pontho kötött menniségekkel: s E v I mv J m kg s Nm=J 146 dja meg merev testre ható erőrendser teljesítménének kisámítási lehetőségeit! erőrendser ponti redukált vektorkettősét felhasnálva: P F v erőrendser ponti redukált vektorkettősét felhasnálva: P F v erőrendsert alkotó erőkkel és nomatékokkal: n P F v m i i j j i1 j1 v i a F i erő támadáspontjának sebessége, n a testre ható koncentrált erők sáma, j annak a merev testnek sögsebessége, amelre a j nomaték hat, m aoknak testeknek a sáma, amelre koncentrált nomaték hat, a nomatékok sáma 147 dja meg erőrendser munkájának értelmeését és mértékegségét! Erőrendser munkájának értelmeése: W 1 t P dt, mértékegsége: Ws=J t1 merev testre ható erőrendser t1, t időtartam alatt végett munkája egenlő a erőrendser P teljesítménének t 1, t határok köött vett idő serinti integráljával munka nem eg időpillanatho, hanem eg időtartamho kötött menniség 148 dja meg tömegpontra ható erőrendser munkájának kisámítási módját! t t r v W1 P dt F vdt F dr m F t t1 t1 dr r1 t1 r 1 r r 1 pálagörbe Ha dr a tömegpont elemi elmodulása F állandó, akkor W1 F r1 149 dja meg merev testre ható általános erőrendser és a súlerő-rendser munkájának kisámítási módját! 36

37 1 t t1 t1 t W P dt F v dt unka a síkkal párhuamos síkmogás esetén: 1 t R, ahol W P dt F dr e d t1 R1 1 i1, és állandó unka a síkkal párhuamos síkmogás és állandó ER esetén: 1 t t1 W P dt F r r R e e e e, i i i i súlerőrendser munkája merev test esetén: WG 1 Gr mg Ismertesse Newton I törvénét! 1 megfogalmaás: inden tömegpont megmarad a nugalom, vag a egenes vonalú egenletes (állandó sebességű) mogás állapotában, amíg a rá ható erők ennek a állapotnak a megváltotatására nem kénserítik megfogalmaás: Zárt rendser (amelben nincs külső erőhatás) impulusa állandó 151 Ismertesse Newton II törvénét! I állandó anagi pont impulusának váltoása arános a tömegpontra ható erővel és a váltoás irána megegeik a erő iránával (ha a anagi pont tömege nem váltoik) d I mv ma F dt Newton II törvéne a fénsebességhe köeli sebességű mogások esetén nem érvénes, mert eeknél m állandó 15 Ismertesse a dinamika alaptörvénét és a egenértékűség 1 kritériumát! Inercia rendserben bármel tömegpontrendser, merev test, vag serkeet kinetikai vektorrendsere (VR-e) egenértékű a tömegpontrendserre, merev testre, vag serkeetre ható külső ER-rel egenértékűség 1 kritériuma: K F, D, ahol a test súlpontja V V K F, D, ahol a tér tetsőleges pontja K 153 Ismertesse a impulustétel differenciális és integrál alakját! F 37

38 Differenciális alak: K I ma F merev test impulusának idő serinti deriváltja egenlő a testre ható külső erők eredőjével Integrál alak: 1 t t1 I I F t dt merev test impulusának a t1, t időintervallum alatti megváltoása egenlő a testre ható külső erők eredőjének t 1, t határok köötti idő-integráljával 154 Ismertesse a perdülettétel differenciális alakját általános és két speciális esetre! Általános eset: J J mr a mv v - 1 speciális eset: D J, a test súlpontja merev test pontjára sámított kinetikai nomatékvektor (a pontra sámított perdületvektor idő serinti deriváltja) egenlő a testre ható külső erőrendsernek a test súlpontjára sámított nomatékával - speciális eset: P, P a test pillanatni sebességpólusa, vag álló pont D v I P P P P 0 merev test P pontjára ( vp 0 ) sámított kinetikai nomatékvektor (a P pontra sámított perdületvektor idő serinti deriváltja) egenlő a testre ható külső erőrendsernek a test P pontjára sámított nomatékával 155 Ismertesse a energiatételt és a munkatételt! Nem új, független tételek, a impulustételből leveethetők Differenciális alak energiatétel: E P erev test kinetikai energiájának idő serinti deriváltja egenlő a testre ható külső erőrendser teljesítménével Integrál alak munkatétel: erev test esetén: W1 WK 1 WB 1 WK 1 t E P / dt t1 E E1 W K 1 t E E P dt W, 1 1 t1 0 erev test kinetikai energiájának a t1, t időintervallum alatt történő megváltoása egenlő a testre ható külső erőrendser t 1, t időpillanat köött végett munkájával 156 dja meg konervatív erőtér értelmeését és írja fel a munkatételt konervatív erőtérben! Értelmeés: a erőtér konervatív, ha léteik olan U U r skalár függvén (a U potenciális energia), amelből a erő negatív gradiensképéssel állítható elő 38