ω ε R S Forgó tömegek kiegyensúlyozása Adott: A forgórész geometriája és a külső erőrendszer: G,

Átírás

1 5 Forgó tömegek kiegyensúlyoása l x F B B ε O R ξ ζ r G F y η dott: forgórés geometriája és a külső erőrendser: G ξ η ζ a serkeet (forgórés) ponti tehetetlenségi főtengelyei Feladat: támastóerők meghatároása F = ( F e + F e + F e ) F = ( F e + F e ) x x y y B Bx x By y Csapágyaás: helyen radax csapágy (pl golyós csapágy) a B helyen radiális csapágy (pl hengergörgős csapágy) van beépítve tömegkiegyensúlyoás célkitűése: nnak bitosítása hogy a forgás követketében ne lépjenek fel járulékos támastóerők a csapágyakban pont mogásjellemői: r = r = R + e = x e x + y e y + e v = R a = ε R R támastó erőrendser meghatároása: a) mpulus tétel: ma = G + F + F / e = G+ F B F = G b) Perdület tétel a pontra: ε + = + r G+ rb FB e / e e e e R G le F ε + = + + B e eε + e ( e e) = + e ( R G) + e ( le FB) RG FBle ( e) = F GR e e e B ( e ε e = ) l c) Perdület tétel a B pontra: ε + = B B + rb G+ rb F előővel megegyeő gondolatmenetből: F GR e e e ( e e = + ε + ) + Ge B B l

2 Kérdés: i a feltétele hogy a támastóerők ne függjenek a ε mogásjellemőktől? a) = F + FB + G akkor teljesül ha: a = E akkor teljesül ha a pont a forgástengelyre esik: R = tatikusan kiegyensúlyoott egy álló tengely körül forgó merev test (forgórés) ha a test pontja a forgástengelyre esik b) F GR B ( ) e l e ε e e e = = = c) F Ge GR ( ) e e e e e = + B ε + B = l = b) c) feltétel akkor teljesül ha e e és e B e Eek a feltételek csak akkor teljesülhetnek ha a forgástengely a forgórés tehetelenségi főtengelye: e = e = e = e B Dinamikusan kiegyensúlyoott egy álló tengely körül forgó merev test (forgórés) ha a forgástengely a merev test tehetetlenségi főtengelye egjegyés: Ha a tengely ponti tehetetlenségi főtengely akkor a tengely és B ponti tehetetlenségi főtengely tömegkiegyensúlyoás megvalósítása: Teljesítendő feltételek: - forgórés pontja legyen rajta a forgástengelyen - forgástengely legyen a forgórés tehetetlenségi főtengelye a)-c) feltételek más alakja: - R = feltétel helyett a mr = is írható ( forgórés tengelyre sámított statikai nyomatéka legyen érus) - e = e B = e = e feltétel helyett a = = vagy e ( e ) = e + e = is írható x y x x y y feltételek bitosítása/teljesítése: kiegyensúlyoatlan forgóréshe tömegeket adunk hoá vagy vesünk el Tömegek tömegpontok 3

3 tömegpontokkal kiegésített forgórés: m x x x x y R m x R B R y y m y y m tömegpont a xy pontho rögített m tömegpont a xy pontho rögített a) kiegésített/módosított forgórésnek a tengelyre sámított statikai nyomatéka legyen érus: mr + mr + m R = skalár egyenletek: mx + mx + mx= my + my + m y = b) kiegésített/módosított forgórésnek a tengely legyen a tehetetlenségi főtengelye: e ( e) = xex + yey + ( mx i i e i x + mi yi e i y ) = i= mr i i i kalár egyenletek: x + mx+ mx= + m y + m y = y a) és b) vektoriális feltétel négy (nemlineáris) skaláris algebrai egyenletet jelent m x y smeretlenek: nyolc skaláris mennyiség m x y egoldás: négy skalár ismeretlen önkényesen felvehető Átalakítás: a) egyenletet -vel majd -el besorova és kivonva belőle a b) egyenletet: mr = ( xex + yey mr ) = x ex+ y ey mr = ( xex + yey mr ) = e + e x x y y egoldási lehetőségek: - a) önkényes felvétel: m m -t önkényesen felvessük majd a rendelkeésre álló egyenletekből kisámítható R = R = - b) önkényes felvétel (pl autókerék kiegyensúlyoása): 4

4 Új váltoók: x y helyett R ϕ iletve x y helyett R ϕ R = xe + ye = R cosϕ e + sinϕ e R = xe + ye = R cosϕ e + sinϕ e ( ) x y ( x y) x y x y Önkényes felvétel: R R egyenletekből: m = + x mx + y my R ( ) ( ) = + ( x ) + ( y ) R m mx my tgϕ 6 Forgórések meghajtása és üemeltetése my my y y = tgϕ = x mx x mx a) meghajtás jellege: h forgórés e h - meghajtó nyomaték e - a ellenállás nyomatéka pl terhelés csapágysúrlódás tömítések súrlódása stb forgórésre felírt perdület-tétel: i π = / e = ε = = Ha ( ) h e > akkor a forgás gyorsul: ε > Ha < akkor a forgás lassul: ε < ( ) = függvény a meghajtó motor (belsőégésű motor villanymotor stb) jellemője meghajtás jellege: e h h e ( ) ( ) stabil instabil 5

5 tabil: a forgórés beáll a munkapontra nstabil: a rendser megsalad vagy leáll b) Forgórések egyenlőtlen járása: Egyenlőtlen járás (sögsebesség ingadoás): E akkor fordul elő ha ( ) = h e - = () t ismert: Periódusidő: T= t3 t Feltételeés: max kö min t t 3 t 3 T t t t 3 Perdület-tétel: π ( ) π ( ) ( ) T t t ( T ) ( ) t dt= (a tengely nem gyorsul) Köepes sögsebesség: min + max kö = Egyenlőtlenségi fok: δ + max min = t3 t3 t = t dt = + 3 = t t ( t) π ( t) = ( t) dt = ( ) π max min = t δkö δ = kö forgás (járás) egyenletessé tétele a δ csökkentésével érhető el egyenletes járás bitosításáho (a δ csökkentéséhe) a adott és előírt kö esetén -t kell növelni egoldás: lendítőkereket kell alkalmani - ( ϕ ) = ismert: Periódus: egy körbefordulás ϕ = π Feltételeés: a forgórés nem gyorsul π ( ϕ) dϕ = W + W3 = ϕ = 6

6 unkatétel: ( ϕ ) E E W dϕ ϕ = = ϕ W + = W δkö = ( ) kö δ = W kö max kö min W ϕ ϕ3 ϕ W3 ϕ ϕ π π ϕ 3 ϕ ϕ W δ = kö forgás (járás) egyenletessé tétele a δ csökkentésével érhető el egyenletes járás bitosításáho (a δ csökkentéséhe) a adott W és előírt kö esetén -ét kell növelni egoldás: lendítőkereket kell alkalmani 7 Testek ütköése n Két testből álló és síkmogást végő v = v rendser ütköését visgáljuk ( ) - a érintkeő pontok n - a ütköési normális ( ütköés létrejöttének feltétele: ) v n > v n v v - ütköés előtti sebességek és v = v sögsebességek V V Ω Ω - ütköés utáni jellemők Feltételeések: - ütköő testek valamilyen mértékben rugalmasak - ütköés igen rövid idő alatt játdódik le - rövid ideig tartó érintkeés alatt a testek helyetében nem követkeik be váltoás - ütköés követketében fellépő erők mellett a többi erő elhanyagolható 7

7 () ( ) n ( ) ( ) n ( ) ( ) n ütköés lefolyása Érintkeés Defor máció Elválás Köeledés Távolodás ütköés ostályoása: ) n ütköési normálisnak a ütköő testek i súlypontjaiho visonyított helyete alapján a) Centrikus ütköés: a n mindkét test i pontján átmegy b) Excentrikus ütköés: a n nem megy át mindkét test i pontján ) anyagváltoás jellege (a anyagi viselkedés) alapján Figyelembevétel: k ahol k - ütköési tényeő a) Tökéletesen rugalmas k = testek deformációjára fordított energiát teljes mértékben vissanyerjük b) Rugalmas-képlékeny < k < testek deformációjára fordított energiát rés- ben vissanyerjük c) Tökéletesen rugalmatlan k = testek deformációjára fordított energia nem nyerhető vissa 8 Centrikus ütköés () v v () n v v - ütköés előtti sebességek és sögsebességek a) Centrikus ferde ütköés: ponti sebességek nem a normális irányába mutatnak b) Centrikus egyenes ütköés: ponti sebességek a normális irányába mutatnak ( ) v F F n = F v ( ) n i (+) K = = F = mert = áll v - a rendser (+) pontjának sebessége mv + mv = mv + mv = 8

8 = ( m+ m) v = áll i ) K = = F = λ n dt t F ütköési normális irányába mutat t a ütköés időtartama λ skalár együttható = Fdt = λ dt n C skalár sám ( t) t C m v = m( V v) = Cn v - a () test sebességének megváltoása a ütköés során párhuamos a n ütköési normálissal i ) K = = F = F = λ n dt t m v = m( V v) = Cn () és () jelű testre kapott eredményeket össegeve: (a) m v = m v (b) D = π állandó = = π = =Ω (c) π = π állandó = =Ω axwel-féle ütköési diadram v mv + mv n v = m m+ m v V m( V v) = Cn m( V v) = Cn n Ütköési tényeő: v v V n vn Vn vn V k = = v n vn vn vn m v v n v n = vn = sámítható n 9

9 8 Excentrikus ütköés Legalább a egyik test pontja nem esik a n ütköési normálisra Feltételeés: ρ - a testek síkmogást végenek l - a ζ ζ a testek ponti η tehetet- lenségi főtengelyei K r n ütköési normális a D ( ) r v testek ponti tehetetlenségi D O fősíkjába esnek ξ feladatot vissa akarjuk veetni a centrális ütköés m ζ η F ( ) esetére elölések: O O- ütköési talppontok K (a pontokból m ζ v O mpulus tétel a () jelű testre: m V v = Fdt=Φ ( ) ( t) Perdület tétel a () jelű testre: Ω = r Fdt = r Φ ( ) ζ ( t ) () jelű test tetsőleges D pontjának sebessége: m ζ / V D = V +Ω r D egymásból kivonni m ζ / v D = v+ rd m ζ ( V ) ( ) ( ) D v D = m ζ V v + m ζ Ω r D ( ) ( ) m ζ V D vd = ζ Φ + m r Φ rd ( imptétel) perdtétel n ξ ( ) merőlegest bocsátunk a ütköési normálisra) K K- ütköési köéppontok (lökési köéppont) Értelmeés: testek aon pontjai amelyeknek a ütköés során nem váltoik a sebessége v = V v = V K K K K

10 m V v m r r ( D D) = ζ Φ+ ( Φ ) D ( r rd) Φ r ( Φ rd) ( D D) = ζ + ( D) Φ ( Φ D) ζ m ζ V v m r r m r r Keressük a () jelű testnek aokat a D pontjait amelyeknek a sebességváltoása párhuamos a n ütköési normálissal Ennek a feltételnek a η tengely pontjai tesnek eleget: r D =η e η r = l e η előő össefüggésbe behelyettesítve m ( VD vd) = ζ + ( r rd) ] Φ m( rd Φ) r ζ lη m ζ ( V ) D vd = ζ ml η Φ K ütköési köéppont meghatároása: V K v K = ζ ζ ml ρ= ρ = ηk = ml O ütköési talppont sebességváltoása ( a η tengelyen levő pont sebesség váltoására kapott össefüggést felhasnálva) m ζ ( V ) ( ) D vd = ζ + ml Φ v = v elölés: a ütköési talppontok sebességei V = v ζ ζ m ( V v) =Φ µ = - redukált tömeg E a össefüggés formálisan µ olyan mint a centrális ütköésnél kapott redukált tömeg képletének átalakítása ζ ζ ml ρ µ = m = m = m ml ζ + ml ρ + ml ζ mivel ρ = ζ = ρ ml így ml ml ρ mρ( ρ + l ) mρ + mρ l mρ + ζ K µ = m = m = = = m ( ρ + l ) m ρ + l ρ + l ρ + l ρ + l η tengelyen levő pontokra: ( η ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ugyaneel a gondolatmenettel a () jelű testre is megkapjuk a K ütköési köéppontot ρ = µ redukált tömeget és a

11 O ütköési talppont sebességváltoását (- előjellel) két testre kapott eredményeket össevetve ugyanat a össefüggést kapjuk mint a centrikus ütköésnél: µ ( V v ) =Φ= µ ( V v ) V v és V v - a ütköési talppontok sebességei µ µ - redukált tömegek exentrikus ütköés megoldásának gondolatmenete: ξ m l ρ µ K ( ) O O µ v ξ v K η η m l ρ ( ) n elölés: = ζ s s = ζ a mogás síkjára merőleges ponti tehetetlenségi főtengelyekre sámított tehetetlenségi nyomatékok a) redukált tömegek meghatároása: s s µ = m µ = m b) ütköési talppontok ütköés előtti sebességeinek meghatároása: v = v + ( le η ) v = v + ( le η ) c) axwll-féle ütköési diagramból a ütköési talppontok ütköés utáni sebességei nek meghatároása: V = V = d) ütköési köéppontok meghatároása: s s ρ = ρ = ml ml e) ütköési utáni sögsebességek meghatároása: ütköés előtt: vk = v + ρ vk = v + ρ ütköés után: vk = V K = V +Ω ( l + ρ ) e η Ω =

12 v = V = V +Ω ( l + ρ ) e η Ω = f) pontok ütköési utáni sebességeinek meghatároása: V = V +Ω le η V = V +Ω le η Kiindulás: v v m m s l l egoldás: V Ω V Ω K K 9 Példák forgórések dinamikájára és testek ütköésére ZKRODLO [] Csimadia B Nándori E: echanika mérnököknek tatika Nemeti Tankönyvkiadó 996 [] Égert : tatika iskolci Egyetemi Kiadó [3] NE echanikai Tansék unkaköössége: echanikai példatár Tankönyvkiadó Budapest 98 [4] Roberts : tatics and Dynamics with Background athematics Cambridge University Press 3 [5] Csimadia B Nándori E: echanika mérnököknek ilárdságtan Nemeti Tankönyvkiadó Budapest [6] Budinas RG: dvanced trength and pplied terss nalysis cgraw-hill nternational Edition 999 [7] enkins CH Khanna K: echanics of aterials Elsevier cademic Press 5 [8] Csimadia B Nándori E: echanika mérnököknek ogástan Nemeti Tankönyvkiadó Budapest 997 [9] Roberts P: tatics and Dynamics with Background athe-matics Cambridge University Press 3 [] NE echanikai Tansék unkaköössége: echanika Példatár Tankönyvkiadó Budapest 985 [] Király B:Dinamika iskolci Egyetemi Kiadó 99 3

13 [] Cleghorn W L: echanics of machines Oxford University Press 5 [3] Hibbeler R C: Engineering echanics tatics (Twelfth Edition in Units) Prentice Hall [4] Hibbeler R C: echanics of aterials (eventh Editions) Prentice Hall 8 [5] Hibbeler R C: Engineering echanics Dynamics (Twelfth Edition in Units) Prentice Hall 4