ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI. minimum tételek szóbeli vizsgához. Powered by Beecy

Átírás

1 ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI minimum tételek sóbeli isgáho Powered b Beec

2 Minimum tételek sóbeli isgáho 1. tétel. Írja fel a foltonossági tétel integrál alakját, és magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki. Hogan és milen feltételekkel alkalmaható e a alak áramcsõre? A foltonossági tétel integrál alakja: dv = da t V At a fiikai alapelet fejei ki, miserint tömeg nem keletkehet és nem tûnhet el. A bal oldal kifejei, hog V térfogatban (melet A felület határol) elhelekedõ tömeg másodpercenként mennit áltoik. [kg/s] A jobb oldal adja meg, hog a A felületen (mel V térfogatot határolja) menniel több tömeg áramlik ki, mint be. [kg/s] da felületi normális kifelé mutat, eért a hoá tartoó integrál poití értéke at jelenti, hog fog a tömeg a V térfogatban. Íg a másik integrálnak negatínak kell lennie. A A 1 A da α da α A p A áramonalakból álló áramcsõ A kontinuitás tétele áramcsõre a köetkeõképp írható fel: 1 1 A 1 = A ahol 1-es és -es indeek a be- és kilépõ kerestmetsetet jelölik. A kifejeés aonban sámos kritérium mellet an csak érénben. Eek: A be- és kilépõ kerestmetsetben a sebesség merõleges A 1 és A felületre, ag csak a merõleges komponensekkel sámolunk. Aa belépésnél cosα = -1, kilépésnél cosα = 1. A 1 és A kerestmetsetekben a sûrûségek ( 1, ) állandók.

3 Minimum tételek sóbeli isgáho. tétel. Írja fel a foltonossági tétel differenciálegenlet alakját. Ismertesse, hog milen fiikai alapelet feje ki a tétel, és magaráa el a egenlet eges tagjainak jelentését. Milen egserûbb alakját ismeri a tételnek, és e milen feltételek mellet érénes? A foltonossági tétel differenciálegenlet alakja: t ( ) + di = 0 At a fiikai alapelet fejei ki, miserint tömeg nem keletkehet és nem tûnhet el. Amenniben a áramlás stacionárius, de a köeg össenomható, a bal oldali tag érus les. E gakran megoldható, hisen soksor ehetjük köel állandónak a sûrûséget (cseppfolós köegeknél), de ha gáok nomása nem áltoik jelentõsen, akkor is sámolhatunk eel a köelítéssel. Ebbõl a köetkeik, hog a jobb oldali tag is érus les, aa: di = 0 (össenomhatatlan köeg, sûrûség állandó) Mind stacionárius és instacionárius áramlásokra iga. A kontinuitás tételének egserûbb alakja: 1 1 A 1 = A ahol 1-es és -es indeek a be- és kilépõ kerestmetsetet jelölik. A kifejeés aonban sámos kritérium mellet an csak érénben. Eek: A be- és kilépõ kerestmetsetben a sebesség merõleges A 1 és A felületre, ag csak a merõleges komponensekkel sámolunk. Aa belépésnél cosα = -1, kilépésnél cosα = 1. A 1 és A kerestmetsetekben a sûrûségek ( 1, ) állandók. 3

4 Minimum tételek sóbeli isgáho 3. tétel. Hogan sámolható ki eg csatornában haladó köeg térfogatárama a sebességmegoslás ismeretében? r D dr r ( r) R ma Hengersimmetrikus sebességmegoslás csõben Eg adott A kerestmetsetben egenletes sebességgel áramló köeg térfogatárama: q = A Miel a kerestmetsetben nem állandó a sebességmegoslás, eért -t egértelmûen meg kell határoni. E a fenti csõ példa esetében: r () r = 1 ma R n A ábrán látható r sugarú, dr astagságú, rπdr kerestmetsetû körgûrûn átáramló térfogatáram: dq = rπ (r)dr Et a kifejeést a csõ esetében a egés kör kerestmetsetre integrála kapjuk a égleges, keresett térfogatáram értékét: q R r = r π 1 ma R 0 n dr Ha a integrálást elégeük, a köetkeõ kifejeés adódik: n q = R π ma n + Másodfokú paraboloid esetén n=, aa a átlagsebesség a maimálisnak a fele. 4

5 Minimum tételek sóbeli isgáho 4. tétel. Írja fel a hidrostatika alapegenletét. Magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki a egenlet. Mutassa meg a egenlet megoldását össenomhatatlan köegre onatkoó konkrét feladat esetében. A hidrostatika alapegenlete: gradp = g A egenletet a Euler-egenletbõl kapjuk ol módon, hog a sebességáltoásra onatkoó tag helére 0-t írunk, hisen hidrostatikáról léén só nem lépnek fel csústatófesültségek. A Euleregenlet alóságos (súrlódásos) foladékok esetén is pontos eredmént ad. At a fiikai alapelet fejei ki, hog: a nomás leggorsabb áltoásának irána a térerõsség iránába mutat. a nomás áltoásának rohamossága a térerõsség absolút értékéel és a köeg sûrûségéel arános. Néük a egenlet megoldását eg ieshordó példáján kerestül: Adatok: H = m = 10 3 kg/m 3 g = -10 k p 0 1 a) a = 0 b) a = m/s Kérdés: mekkora a túlnomás pontban? p A p 0 =? H a a) Nincs gorsulás, a példa hidrostatikai. A sûrûség állandó: gradp = g g = gradu p grad gradu = p grad U + = 0 p á ll + U = Megj.: Ha alaminek a gradiense 0, at jelenti, hog a adott alami állandó. 5

6 Minimum tételek sóbeli isgáho A kiadódott egenletet felírjuk és 1 pontok köött: p p + U = + U A 1 A 1 p A p 0 = (U 1 - U A ) Miel a köegre csak a graitációs erõtér hat, eért a potenciálja: U g = g + áll. Ebbõl adódik a égeredmén: p A p 0 = (g 1 g A ) = gh b) A példa nem hidrostatikai, de aá tehetõ: ha a liftben leõ koordináta rendserbõl semlélem. Ekkor egségni tömegre -a gorsulás hat. U = U t + U g U t = a + áll. U = g + a + áll. Innen: p A p 0 = (g 1 g A ) + (a 1 a A ) = (g+a) H 6

7 Minimum tételek sóbeli isgáho 5. tétel. Soroljon fel nomásmérõ mûsereket, és magaráa el aok mûködési elét. 1. Kis nomások mérése 1.1. A U-csõ A B A U-csõ nomáskülönbség mérésére solgáló berendeés. A ábrán látható módon mérjük A és B pont köötti nomáskülönbséget. A eetékben í áramlik, a U-csõ mérõfoladéka legen higan. A mérõfoladék nem keeredik a mérni kíánt köeggel, íg a felsín határoottan megállapítható. Ha a két felületre aonos nomás hatna, a felsínek eg alapsintben lennének. A keresendõ nomáskülönbség a köetkeõképp sámítható: p A p B = ( m ) g (h b + h j ) h b h j Ví esetében nem hanagolható el. E 8% hibát jelentene. Leegõ esetében elég m -el sámolni. C m D 1.. A mikromanométerek. A U-csõnél pontosabb, kis nomások mérésére alkalmas esköök, hisen megnöelhetjük a foladékfelsín elmodulásának mértékét a alapsinttõl, alamint fokohatjuk a leolasás absolút pontosságát. A mikromanométerekkel semben támastandó köetelmének: a két foladék (mérõ-, és mért-) ne keeredjenek képeenek éles határfelsínt, mel hossú idõ elteltéel sem álhat biontalanná diffúió miatt a foladék és a csõ fala köt fellépõ kapilláris hatások a felsín gors elmodulása esetén se aarják a bitosan leolasható felsín kialakulását Ferdecsöes mikromanométer (ábra) Lénege, hog a leolasás pontosítható a csõ elforgatásáal, íg eg elõre meghatároott konstans soróal egésül ki a nomáskülönbség képlete: p = m g l sinα a sinα tagot általában eg a sám tartalmaa. Bionos mûsereknél e a sám a sûrûséget is tartalmaa. A mérõköeg általában alkohol. 7

8 Minimum tételek sóbeli isgáho 1... A görbecsöes mikromanométer (ábra) Hasnálata, és a leolasott értékbõl történõ nomáskisámítás lénegesen egserûbb, miel a skáláás elõre úg an megállapíta, hog a leolasott érték íoslop milliméter (.o.mm). Íg a leolasott l értéket csak g-el kell besoroni: p = l g. Nag nomások mérése.1. Elektronikus nomásmérõk A elektronikus nomásmérõk egre sélesebb körben terjednek el, hisen a kimenõ jelek sámítógépes feldolgoása egserûen megoldható, erre pedig mind nagobb sükség an. Két típusa léteik: Vannak, amelek a elõõekhe hasonlóan foladéksint-elen mûködnek, de eeket elektromos jellé alakítják. Mások esetében nomás hatására eg rugalmas elem (membrán) deformálódik, et mérik elektromos úton. 8

9 Minimum tételek sóbeli isgáho 6. tétel. Írja fel és magaráa a foladék teljes gorsulását Euler-féle írásmódban. A Euler-egenlet: d dt = + t D A Euler-egenlet csak súrlódásmentes köegre érénes! Értelmeés: A substanciális gorsulás értéke egenlõ a lokális gorsulás, alamint a konekí gorsulás össegéel. A jobboldal elsõ tagja a lokális gorsulás, a második a konektí. D: deriálttenor. D = 9

10 Minimum tételek sóbeli isgáho 7. tétel. Írja fel a Euler-egenletet. Magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki a egenlet, és milen feltételek teljesülése mellett érées. A Euler-egenlet: d dt = g 1 gradp Fiikai alapel: Newton II. aiómája értelmében egségni tömegre ható erõk eredõjéel egeik meg a mogásmenniség idõegségre jutó megáltoása. másképpen: Egségni tömegû foladékrés gorsulása egenlõ uganarra a foladékrésre ható erõ, alamint a rá ható nomásból sármaó erõk össegéel. Feltételek: A Euler-egenlet csak súrlódásmentes köegre érénes. Sem a sûrûségre, sem a erõtérre nem kell kikötést tennünk. 10

11 Minimum tételek sóbeli isgáho 8. tétel. Írja fel a Euler-egenletet stacioner áramlás esetén termésetes koordináta-rendserben érintõ és normális iránban. Milen köetketetések onhatók le a normális iránban felírt egenletbõl? A Euler-egenlet e (érintõ) iránban: n e = g e 1 p e b e A Euler-egenlet n (normális) iránban: 1 p = g n R n E utóbbi normális iránú egenletbõl a köetkeõ köetketetések onhatók le: párhuamos áramlásra merõlegesen a nomás nem áltoik, mert: R = áramonalra merõlegesen a görbületi köépponttól kifelé a nomás nõ: R p n = poití p n = 0 11

12 Minimum tételek sóbeli isgáho 9. tétel. Írja fel a Bernoulli egenlet általános alakját. Elemee a eges tagok jelentését, illete mutassa be elhagásuk és átalakításuk feltételeit. A Bernoulli-egenlet általános alakja: 1 t s grad 1 d + d s rot d s = gd s gradp ds 1 1 I. II. III. IV. V. A egserûsítés lehetõségeit tagonként isgáljuk: I. tag: 0, ha a áramlás stacionárius. II. tag: minden toábbi feltétel nélkül: III. tag: 0, ha a köetkeõ feltételek alamelike teljesül: a sebesség érus rot = 0, aa a áramlás potenciálos a ds a és rot által kifesített síkba esik ds, aa áramonal mentén integrálunk ds rot, aa örénonalon integrálunk rot, ún. Beltrami áramlás. IV. tag: A g = gradu helettesítéssel: (U U 1 ) V. tag: ha = áll.: p p ha = (p): p p1 dp ( p) Tehát amenniben: a áramlás stacionárius áramonal mentén integrálunk g = gradu = áll. A Bernoulli-egenlet: 1 p1 p U1 U + + = + + 1

13 Minimum tételek sóbeli isgáho 10. tétel. Írja fel a Euler-turbinaegenletet, és magaráa el a jelentését. A Euler-turbinaegenlet: : absolút u: kerületi (sállító) sebesség. p ö id = ( u u 1u u 1 ) A Euler-turbinaegenlet nem csak radiális, de aiális átömlésû áramlástechnikai gépekre is alkalmaható. p ö id ideális össnomás-nöekedést jelöl, mert súrlódásmentességet feltételeünk. Ha a entillátor nugó térbõl sí, 1u = 0, íg: p ö id = u u A Euler-turbinaegenlet elileg a turbina lapát elõtti és mögötti nomáskülönbséget adja meg. Miel aonban a lapát mögött és a nomócsonk, alamint a lapát elõtt és a síócsont köt nincs jelentõs nomáskülönbség, ehetjük úg, hog a fenti össefüggés a nomó- illete síócsonk köti nomáskülönbséget adja meg. 13

14 Minimum tételek sóbeli isgáho 11. tétel. Írja fel a impulus-tétel általános alakját. Magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki a tétel. A impulus-tétel általános alakja: t dv + ( ) = dv da g pda V A V A A impulus-tétel eg mogásegenlet, amel a foladékra ható erõk és a foladék mogásállapota köött teremt kapcsolatot. A impulus-tétel alkalmaásánál eg, a koordináta-rendserhe képest rögített, árt A felületet, a ellenõrõ felületet kell felenni. (E esi körül V térfogatot.) Íg kisámolhatók a integrálok, melekbõl erõektorok adódnak. A bal oldali térfogati integrál érus, amenniben a áramlás stacionárius. A jobb oldali térfogati integrál a ellenõrõ felületben léõ foladékra ható erõt fejei ki. 14

15 Minimum tételek sóbeli isgáho 1. tétel. Ismertesse a áramlásba heleett test felhajtóerõ- és ellenálláserõ-téneõjének definícióját. Valóságos (súrlódásos) áramló köegbe heleett testre ható erõ két komponensre bontható. A aartalan (áramlási) sebességre merõleges F f felhajtóerõre, alamint a sebességgel párhuamos F e ellenálláserõre. Eáltal pedig beeethetõ a áramlásba heleett testre onatkoó felhajtóerõténeõ c f, alamint a ellenálláserõ-téneõ c e : c f = Ff A c e = F e A A kifejeésben sereplõ a testtõl táoli, aartalan áramlási sebességet jelöli. A felület pedig tompa testeknél a test aartalan áramlásra merõleges legnagobb kerestmetsete, ag sárn esetén a alapterület. (húrhoss soroa a sárn hossal) 15

16 Minimum tételek sóbeli isgáho 13. tétel. Ismertesse a Newton-féle iskoitási törént. Newton iskoitási töréne: d τ µ µ γ d = = d dt Newton iskoitási töréne meghatároa, hog adott deformáció-sebességhe mekkora csústatófesültség tartoik. Látható, hog a csústatófesültség (τ ) és a deformáció-sebesség ( d γ ) dt köött egenes aránosság áll fenn. A aránossági téneõ µ [kg/ms] dinamikai iskoitás. 16

17 Minimum tételek sóbeli isgáho Áramlástan alapjai tétel. Írja fel a Naier-Stokes egenletet. Magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki a egenlet. A Naier-Stokes egenlet: d dt g gradp g gradp rotrot = + = 1 1 υ υ A utolsó tag (mindkét esetben) érus, ha a alóságos köeg áramlása potenciálos ha a rotáció nem áltoik a hel függénében A Naier-Stokes egenlet kisámítása még sámítógéppel is sok esetben bonolult feladat. A Naier-Stokes egenlet nem ektoriális (sétbontott) alakban: υ t p g = υ t p g = υ t p g = Adott 3 egenlet, 4 ismeretlen. A hiánó negedik egenlet a foltonosság. A legfelsõ egenletbõl látható, hog a Naier-Stokes egenlet hasonlít a Euler-egenletre, kiegésíte eg nem potenciálos, illete nem állandó örénességi taggal (utolsó tag). Amenniben eek a feltételek nem adottak, a egenletünk megegeik a Euler-egenlettel. Ennek figelembe ételéel: Fiikai alapel: Newton II. aiómája értelmében egségni tömegre ható erõk eredõjéel egeik meg a mogásmenniség idõegségre jutó megáltoásának, alamint a súrlódás hatását kifejeõ tagnak a össegéel.

18 Minimum tételek sóbeli isgáho 15. tétel. Ismertesse, hog mit jelent két áramlás hasonlósága, és mutassa meg össenomhatatlan köeg esetén két áramlás hasonlóságának feltételét. Kisminta kísérletekre aért an sükségünk, mert mind sámításilag, mind kiiteleésben sok esetben nagon nehékes megalósítani a alós méretû áramlási körülméneket (pl. autóbus). Áramlások hasonlósága: A kisminta körüli áramlás akkor hasonló a nag kiitel körüli áramlásho, ha megegeõ függének írják le a nag kiitel és a kisminta sebesség- és nomáseloslását, termésetesen a nag kiitel és a kisminta megfelelõ fiikai paramétereiel dimeniótlanított formában. A hasonlóság feltétele össenomhatatlan köeg esetén: Két áramlás hasonló, ha a) aonos dimeniótlanított differenciálegenletnek kell leírnia mindkét áramlást. b) aonosak a kedeti és peremfeltételek. Hasonlósági sámok: Froude-sám: Fr = 0 gl 0 Renolds-sám: Re = l 00 υ Hasonlóságuk elengedhetetlen a két áramlást leíró dimeniótlanított differenciálegenlet-rendser megegeéséhe. Srouhal-sám: Str f l = 0 0 Ahol f a frekencia. Hasonlósága elengedhetetlen ahho, hog a kedeti- és peremfeltételek megegeenek a kis- és nagminta esetén. Ebbõl a feltételbõl már meghatároható a modell lengetésének periódusideje. Euler-sám: Eu = p p 0 Hasonlósága esetén a nomás, mint peremfeltétel bitosított. 0 18

19 Minimum tételek sóbeli isgáho Weber-sám: C We = l 0 0 Hasonlósága különösen fontos aon modellkísérleteknél, amelekben a felületi fesültségnek fontos serepe an. (pl. porlastás) 19

20 Minimum tételek sóbeli isgáho 16. tétel. Definiálja a csõsúrlódási téneõt, és mutassa be, miként függ a Re sámtól és a csõfal érdességétõl. A csõsúrlódási esteség (nomáskülönbség) a köetkeõképp definiálható: p' = λ l d A kifejeésben sereplõ, Re Renolds sámtól függõ λ téneõt csõsúrlódási téneõnek neeük. Renolds-sámtól aló függése: Amenniben a áramlás lamináris, aa Re < 300, akkor iga a köetkeõ össefüggés: λ lam = 64 Re Amenniben Re értéke et meghaladja, λ már csak r/k, aa a érdesség függéne les. Ebben a tartománban (4000 < Re < 10 5 ) a Blasius képletet hasnáljuk a csõsúrlódási téneõ meghatároásáho: λ turb = 0, Re 0

21 Minimum tételek sóbeli isgáho 17. tétel. Írja le a energiaegenletet. Magaráa el, milen feltételek mellett alkalmaható, és milen alapelet feje ki a egenlet. A energiaegenlet: + c = á. ll p T A energiaegenlet súrlódásmentes, hõsigetelt köeg stacionárius áramlása esetén at fejei ki, hog a gá kinetikai energiájának és entalpiájának össege a áramonal mentén állandó. 1

22 Minimum tételek sóbeli isgáho 18. tétel. Mi a különbség a Venturi- és a Laal-csõ köött? Venturi-csõ: ramlású köegben a nomás alacso- rés gökéel les arános. A enturi-csö- térfogatáram mérésére hasnálják, geo- rögítettek. (ld. ábra) A enturi csõ eg sabános térfogatáram mérésére solgáló eskö. Mûködésének alapja a kontinuitás, alamint a a tén, hog gorsabb á- nabb. A térfogatáram a kitéet cseppfolós foladékok metriai adatai sabánban D konfúor diffúor D d Laal-csõ: (aag gáok kiömlése) A Laal-csõ geometriája nagban hasonlít a Venturi-csõ geometriájára. Eg elõsör sûkülõ, majd bõülõ kerestmetsetû csõtoldat, amit Laal-csõnek neeünk. Laal-csöet gá halmaállapotú foladékok áramlásánál alkalmaunk. Tartálból aló kiáramlás esetén eg egserû níláson kerestül a maimális kiáramlási sebesség, melet eg kritikus nomáskülönbségnél érhetünk el, a hangsebesség. Et a nomáskülönbség nöeléséel sem nöelhetjük, mert a információáramlás sebessége is behatárolt (hangsebesség). A Laal-csõ lénege, hog a D kritikus nomáskülönbség köelében a bõülõ kerestmetsetben a áramlás nem lelassul, hanem felgor- d sul. Íg érhetünk el a hangsebességnél gorsabb kiáramlást. Alkalmauk például rakétáknál, de sok más esetben is, ahol nag kiáramlási sebességre an sükségünk. diffúor

23 Minimum tételek sóbeli isgáho 19. tétel. Írja fel a hang terjedési sebesség képletét légnemû köegre, és elemee a össefüggést. A hang terjedési sebessége légnemû köegben, gáokban: a dp = = κ R T d A össefüggésbõl kiehetõ, hog nagobb sûrûségû köegekben lassabban terjed a hang. Uganakkor nagobb nomáson gorsabban terjed. A terjedési sebesség egenesen arános a hõmérséklettel. 3

24 Minimum tételek sóbeli isgáho 0. tétel. Soroljon fel áramlási sebességmérõ berendeéseket, és magaráa el aok mûködési elét. 1. Pitot-csõ A össnomás mérésére hasnáljuk. A Pitot-csõ eg, a áramlással sembefordított csõ, amelnek a másik égét eg nomásmérõ mûserhe (pl. U-csõhö) csatlakotatjuk. Mérhetünk ele dinamikus nomást is, ha a U-csõ másik sáráho csatlakotatunk eg olan csöet, amel a áramlási térbõl a statikus nomást eeti ki. (ld. ábra) A sebesség a köetkeõ képlettel határoható meg: = pöss p ( ) stat. Prandtl-csõ A Pitot-csõhö hasonló eskö, uganúg a áramlással fordítjuk sembe, de megbíhatóbb eredmént solgáltat, mert a statikus nomást és a össnomást köel aonos helen méri. Két, koncentrikusan elheleett csõbõl áll. A csõ orrán a belsõ csõ sabad ége található. Ebben a pontban méri a össnomást. A csõ égétõl sabános táolságban, ahol a áramonalak köel párhuamosak, a oldalon furatok mérik a statikus nomást. A kettõ különbsége adja a dinamikus nomást, amibõl a sebességet a fent leírt módon sámíthatjuk. A Prandtl-csõ isonlag iránéréketlen, 0 ig elhanagolható a hiba mértéke. 4

25 Minimum tételek sóbeli isgáho 1. tétel. Soroljon fel térfogatáram-meghatároási módsereket, és hasonlítsa õket össe. 1. Venturi-csõ. konfúor nabb. A térfogatáram a kitérés göké- et cseppfolós foladékok térfogatáram riai adatai sabánban rögítettek. (ld. ábra) A enturi csõ eg sabános, térfogatáram mérésére solgáló eskö. Mûködésének alapja a kontinuitás, alamint a a tén, hog gorsabb áramlású köegben a nomás alacsoel les arános. A enturi-csömérésére hasnálják, geomet- D diffúor D d q V ( Hg ) D π gh = 4 4 D 1 d Hátrána, hog bionos foladékok esetén, és bionos üemidõ elteltéel a sûk kerestmetset felülete kopik, érdes les, e pedig meghamisítja a mérést. Ilenkor a esköt cserélni kell.. Mérõperem üemállapotára. A mérõ- ségéel sámítható: E esetben a sûkítõelem eg, a csõ tengeléel koncentrikus, kör alakú Dcsõ nílás. Sokkal olcsóbb, mint a Venturicsõ, miel könnebb a elkésítése. Akkor hasnálható, ha hossú, egenes csõsakas elõi meg, és röidebb köeti at. Hátrána, hog (egaránt a Venturi-csõ, de a mérõperem különösképp) jelentõs áramlási esteségeket oko, ami kihatással an a mért berendeés perem által mért térfogatáram a köetkeõ képlet segít- d mp q V = ε α d mp 4 π p mp 5