5 j függvény írja le,

Átírás

1 Fizika 1 Mechanika órai eladatok megoldása. hét /1. Eg tömegpont helektora az időtől a köetkezőképpen ügg: r(t) = (at+b) i + (at b) j + ( ct +4at+5b) k, ahol a = 3 m/s, b = 1 m, c = 5 m/s. a) Milen táol an a tömegpont az origótól a t = időpontban? b) Milen táol an a kiindulási ponttól a t = s -ban? A test t = -ban indult. c) Határozzuk meg a tömegpont sebességét és gorsulását! d) Mekkora a sebessége a t = időpontban? e) Mel időpontban éri el a tömegpont az - síkot? a) A konstansokat behelettesíte r(t) = (3t+1) i + (3t 1) j + ( 5t +1t+5) k [m]. t = ban az r() = 1 i 1 j + 5 k [m] pontban an a test, aminek a táolsága az origótól d = () = r() = 1 " +1 " +5 " 51,96 m. b) t = s-ban az r() = 16 i 4 j + 54 k [m] pontban an a test. Az elmozdulásektor a t = t1 = s interallumban r = r() r() = 6 i + 6 j + 4 k [m], ennek nagsága = 6 " +6 " +4 " 9,381 m. c) (t) = '(t) = a i + a j + ( ct+4a) k = 3 i + 3 j + ( 1t+1) k [m/s] a(t) = ('(t) = )(t) = c k = 1 k [m/s ] d) () = 3 i + 3 j + 1 k [m/s], nagsága () = 3 " +3 " +1 " 1,73 m/s. e) az - síkot akkor éri el, amikor z =, azaz 5 t + 1 t + 5 = t1 4,58 s (és t,18 s -ban is ott lett olna) és még eg kérdés: (ez nem zh-eladat) ) izonítsuk be, hog a mozgás síkmozgás! Határozzuk meg a pála síkját! A mozgás síkmozgás, ha A + + C z + D = teljesül minden t-re. Most = at+b, = at b, z = ct +4at+5b, tehát A(at+b)+(at b)+c( ct +4at+5b)+D=( Cc)t +(Aa+a+Ca)t+(Ab b+5cb+d)=, amiből Cc = és Aa+a+Ca = és Ab b+5cb+d=. Cc = C = Aa + a = = A Ab b + D = D = Ab A = 1 álasztással a sík egenlete: b =. /. Eg repülőgép mozgását az (t) = a cos a sin 3 5 j üggén írja le, ahol a = m, t = s. a) Milen pálán mozog a repülőgép? b) Mekkora szöget zár be a sebességektor a gorsulásektorral a t = ill. a t = s időben? a) (t) = a cos(t/t) = cos(t/) (t) = a sin(t/t) = 4 sin(t/) Fejezzük ki az első egenletből cos(t/t)-t, a másodikból sin(t/t)-t. Miel cos t t + sin t t = 1, ezért + = + = 1, a a 4. hét /1

2 azaz eg ellipszisen mozog a repülőgép (pozití orgásiránban). [ Miel T/ = π, a periódusidő T = 4π 1,57 s. ] t t b) (t) = '(t) = a/t sin(t/t) i + a/t cos(t/t) j = 1 sin(t/) i + cos(t/) j a(t) = ('(t) = )(t) = a/t cos(t/t) i a/t sin(t/t) j = 5 cos(t/) i 1 sin(t/) j t = s -ban () = j [m/s], a() = 5 i [m/s ] látható, hog a két ektor merőleges. [A test az tengel (, ) pontjában an; a sebesség + irán, azaz előreelé mutat az ellipszis érintőjének iránában; a gorsulás az origó elé mutat, merőleges a sebességre, agis ebben a pillanatban állandó nagság sebességgel kanarodik.] t = s -ban () = 1 sin(1) i + cos(1) j = 84,15 i + 18,1 j [m/s], a() = 5 cos(1) i 1 sin(1) j = 7, i 84,15 j [m/s ]. A két ektor által bezárt szög nagságát skalárszorzattal számolhatjuk ki: általánosan: a b = 8 : cosα, itt () a() = (() 8() cosα () a() ( 84,15) ( 7,) + ( 18,1) ( 84,15) 6819,7 cos α = = = () a() 84, ,1 7, + 84,15 136,96 88,377 =,5634 α =,169 rad = 14,3 [t = s-nál ϕ = / = 1 rad 57,3, ekkora szöget zár be a helektor az tengellel; a sebesség érintő irán; a gorsulás beelé, az origó elé mutat, ami ebben a pillanatban a sebességre merőleges iránhoz képest hátraelé an, agis ebben a pillanatban lassula kanarodik.] Skalárszorzattal t = esetében: () a() = merőlegesek. /3. Eg kipukkadt lui sebességét az alábbi üggén adja meg: (t) =, e,1t i,8 sin(4t) j + (3 4t) k [m/s] (Az időt másodpercekben, a táolságot méterben mérjük.) Kipukkadásakor, t = s-ban a lui az r = i + 1,4 j + 1,5 k [m] pontból indult. a) Hol lesz a lui él másodperc mla? b) A lui eg olan m-es szobában an, melnek egik sarkához illesztettük a koordinátarendszerünket. Mikor, melik al (ill. plaon. padló) melik pontjának meg neki először? Keressük azt az r(t) üggént, amire teljesül, hog - deriáltja a ent megadott (t) üggén: '(t) = ((t) és - helettesítési értéke megelel az adott eltételnek; speciálisan t = esetén r() = r. Ezt a üggént határozott ag határozatlan integrállal is előállíthatjuk.. hét /

3 Határozott integrállal: (t) = (t < )+= ((τ) dτ 4, koordinátánként (t) = (t < )+=? (τ) dτ; (t) = (t < (τ) dτ; z(t) = z(t 4 < )+= A (τ) dτ 4 4. Esetünkben t =, (t ) = () = = m ; (t ) = () = = 1,4 m ; z(t ) = z() = z = 1,5 m. (t) = (t < )+=? (τ) dτ = +=,e <,τ dτ = +,C D4,Eτ 4 < F <, = +(e <, 1) = e <, ; < cos (4τ) (t) = (t < (τ) dτ = 1,4+H,8 sin (4τ) dτ = 1,4,8I J = 4 < 4 < = 1,4+,7(cos (4t) 1) =,7(1+cos (4t)); z(t) = z(t < )+= A (τ) dτ = 1,5+= (3 4τ)dτ = 1,5+[3τ τ " ] 4 < < = 1,5+3t t " ; azaz r(t) = e,1t i +,7(1+cos(4t)) j + (1,5+3t+t ) k [m]. Határozatlan integrállal: (t) = H? dt = H,e <, dt =,,1 e<, +k = e <, +k A k1 konstans értékének meghatározásához az r ektorból kiolassuk értékét: = ; ezzel kell egenlő legen az (t) értéke t=-ban, amihez az (t) üggénbe t= -t helettesítünk: ()= L <, < +M = +M és elírjuk, hog () = : + k1 = k1 =, tehát (t) = e <,. = dt = =,8 sin (4t) dt = ",N cos (4t)+k O " =,7 cos (4t)+k ", a kezdeti eltételből,7cos + k =,7 + k = 1,4 k =,7, tehát (t) =,7(1+cos (4t)). z = = A dt = =(3 4t) dt = (3t t " )+k P, a kezdeti eltételből + k3 = 1,5 k3 = 1,5, tehát z(t) = 3t t " +1,5. a) t =,5 s behelettesítéséel = e,5,13 m, =,7(1+cos()),487 m, z = 3,5,5 +1,5 =,5 m, tehát r(,5) =,13 i +,487 j +,5 k [m]. b) A szobát határoló síkok az =, = 3, =, = 3, z = és z = 3 síkok; azt kell megizsgálni, melik eltétel mikor teljesül, és a legkisebb időt kiálasztani. = e,1t = : soha = e,1t = 3 : t 4,55 s =,7(1+cos(4t)) = : t,7854 s =,7(1+cos(4t)) = 3: soha z = 3 t t +1,5 = : tz 1,896 s z = 3 t t +1,5 = 3 : soha A lui tehát t =,7854 s-ban nekimeg az = egenletű al (,7854) =,163 m, z(,7854) =,6 m pontjának. /4. Eg test gorsulása a(t) = ( t + 1 ) i + π cos (3πt) j [m/s ]. A t = s -ban a test sebessége = i + j [m/s]. Menni lesz t = 4 s -ban a) a sebesség nagsága? b) a sebességektornak az tengellel bezárt szöge? c) Hol lesz a test t = 4 s -ban, ha t = 1 s-ban r(1) = j + k [m]?. hét /3

4 Keressük azt a (t) üggént, amire teljesül, hog - deriáltja a ent megadott a(t) üggén: ('(t) = 8(t) és - helettesítési értéke megelel az adott eltételnek; speciálisan t = esetén () =. Határozott integrállal:? (t) =? (t < )+= a? (τ) dτ = += (τ+1) dτ = +[τ " +τ] 4 < < = +t " (t) (t < )+= (τ) dτ = += π " cos (3πτ) dτ = +π " C TUV(Pπτ) π F 4 < = + sin (3πt) Pπ < P Határozatlan integrállal: a = '? = t + 1 (t) = t + t + k1 miel () =, íg + + k1 = k1 =, azaz = t + t + ; a = '@ = π cos(3πt) (t) = π/3 sin(3πt) + k miel () =, íg π/3 sin() + k = k =, azaz = π/3 sin(3πt) + ; tehát (t) = ( t + t + ) i + (π/3 sin(3πt) + ) j [m/s]. t = 4 s-ban (4) = (4 +4+) i + (π/3 sin(1π) + ) j = i + j [m/s]. Ennek a) nagsága ((4) = 31,11 m/s ; b) az tengellel azaz az i egségektorral bezárt szöge: ((O) 6 cosφ = = "" W"" < = " Φ = π/4 rad = 45. ((O) "" " " c) Az integrálásnál arra kell igelni, hog most t. Határozott integrállal: (t) = (1)+=? (τ) dτ = C τx + τy +τf P " = X (t) = (τ) dτ = += (τ " +τ+)dτ + Y P " +t5 X + Y +5 = X + Y P " P " +t Z [ = = += + π sin(3πτ)5 dτ = +Cτ+ π P P (\]^T(Pπτ)) = +t cos _ (3πt)5 + 5 = _ t _ cos(3πt) _ z(t) = z(1)+= A (τ) dτ = += dτ = Határozatlan integrállal: r(t) = ( t 3 /3 + t / + t + k4 ) i + ( 1/9 cos(3πt) + t + k5 ) j + k6 k [m]. k4, k5, k6 értékét most t = 1 behelettesítéséel kapjuk meg: (1) = 1 3 /3 + 1 / k4 = 17/6 + k4 = k4 = 17/6; (1) = 1/9 cos(3π 1) k5 = 1/9 + + k5 = k5 = 1/9; z(1) = k6 = k6 = ; tehát r(t) = ( t 3 /3 + t / + t 17/6 ) i + ( 1/9 cos(3πt) + t 1/9 ) j + k [m]. t = 4 s -ban r(4) = 34,5 i + 79/9 j + k 34,5 i + 87,78 j + k [m]. Pπ F = Gakorló eladatok a zárthelire: /5. Ággoló röppálájának egenlete r(t) = (at + b) i + (gt + ct + d) k, ahol a = 5 m/s, b = 1 m, c = 1 m/s, d = m, g = 5 m/s. a) Honnan lőtték ki az ággolót? A kilöés t = s-ban történt. b) Mekkora olt a kezdősebessége? c) Mekkora olt a gorsulása? d) Mikor és hol ér öldet az ággoló? A koordinátarendszer origója a öldön an. e) Mikor és hol lesz merőleges a sebesség a gorsulásra?. hét /4

5 a) t = s-ban r() = b i + d k = 1 i + k [m]. b) (t) = '(t) = a i + (bt + c) k = 5 i + ( 1t + 1) k, () = 5 i + 1 k, = 5 " +1 " 11,18 m/s. c) a(t) = ('(t) = )(t) = b k = 1 k [m/s ] (azaz a gorsulás konstans, 1 m/s leelé, ami a szokásos közelítő érték g-re, csak most a képletben ennek a ele olt g-el jelöle) d) azaz a z = síkot mikor éri el: gt + ct + d = 5t + 1t + = t 7,43 s (a másik gök negatí, 5,43 s) e) a két ektor ott merőleges, ahol a skalárszorzatuk nulla: a = 5 + ( 1t + 1) ( 1) = 1(t 1) = t = 1 s, r(1) = 15 i + 5 k [m], ez a pála cscspontja. (Gorsabban megoldható a eladat a z = 1t + 1 = eltételből.) /6. Eg test gorsulása a(t) = 4a sin (ωt+ϕ) i + 4b sin ωt j, ahol ω = s 1, ϕ = π/. t1 = π/4 s-ban a test az r1 = a i b j [m] pontban an és sebessége 1 = a i [m/s]. a) Adjuk meg a test helektorát és sebességét t = 3π s-ban! ( r =?, =? ) b) Milen pálán mozog a test? c) Mel időpontokban an legközelebb a test az origóhoz? a = 4a sin (t+π/) = 4a cos t = '? = a sin t + k1 t1 = π/4 s-ban 1 = a k1 =, = a sin t = ' = a cos t + k t1 = π/4 s-ban 1 = a k = a, = a cos t + a a = 4b sin t = '@ = b cos t + k3 t1 = π/4 s-ban 1 = k3 =, = b cos t = ' = b sin t + k4 t1 = π/4 s-ban 1 = b k4 =, = b sin t (t) = (a sin t) i (b cos t) j [m/s], r(t) = (a a cos t) i (b sin t) j [m]. a) r(3π) = ( a cos 6π + a) i b sin 6π j = [m], (3π) = a sin 6π i b cos 6π j = b j [m/s]. b) (t) = a a cos t cos t = (a )/a (t) = b sin t sin t = / b Felhasznála, hog cos α + sin α = 1: a pála a + = 1 a b c) (t) =, ha t = k π; (t) =, ha t = k π/ ; azaz t = k π esetén a test táolsága az origótól zérus. ellipszis /7. Eg m = 5 kg tömegű test sebességét az alábbi üggén írja le: = a sin(bt) i + c sin(dt) j, ahol a = 1 m/s, b = s 1, c = m/s, d = 1 s 1. A test a t = s-ban az r = 9 i + 3 j [m] pontban olt. a) Milen pálán mozog a test? Rajzoljuk is meg! b) Mekkora szöget zár be a sebesség és a gorsulás t = π/ s-ban?. hét /5

6 = a sin(bt) i + c sin(dt) j = 1 sin(t) i sin(t) j [m/s] a) r = =( dt (t) = =? dt = =( 1sin(t))dt = 6 cos(t) + k1 () = 6 cos() + k1 = 6 + k1 = = 9 k1 = 3 (t) = dt = =( sin(t))dt = cos(t) + k () = cos() + k = + k = = 3 k = 1 tehát a pála paraméteres alakban: r(t) = [ 6 cos(t) + 3 ] i + [ cos(t) + 1 ] j [m] A pála alakja: cos(t) = ( 3)/6, cos(t) = ( 1)/ cos(t) = cos (t) sin (t) = cos (t) [1 cos (t)] = cos (t) 1 tehát ( 3)/6 = [( 1)/] 1 az = 3( ) parabolának az a része, amire 3 9 ( és 1 3 ), ag =±e?wp P +1 b) a = (' = ab cos(bt) i + cd cos(dt) j = 4 cos(t) i cos(t) j [m/s ] (π/) = 1 sin(π) i sin(π/) j = j [m/s] a(π/) = 4 cos(π) i cos(π/) j = 4 i [m/s ] merőlegesek /8. Két lég mozgásának pálaüggéne r1(t) = a t i + b t j + c k r(t) = i + d t j + e t k ahol a = 5 m/s, b = m/s, c = 5 m, d = 3 m/s, e = m/s. a) Írjuk el egmástól aló táolságukat az idő üggénében! b) Számítsuk ki a t = 1 s-ban a két lég sebességektorát és sebességük nagságát! a) d(t) = ( g h ) " = ( " ) " +( " ) " +(z " z ) " = = (1 at " ) " +(dt bt) " +(et " c) " = (1 5t " ) " +( 5t) " +(t " 5) " = b) 1 (t) = at i + b j + k = 1t i + j [m/s]; 1 (1) = 1 i + j [m/s] (t) = i + d j + et k = 3 j + 4t k [m/s]; (1) = 3 j + 4 k [m/s] abszolt érték /9. Eg m = 5 kg tömegű test sebességét az alábbi üggén írja le: = a sin bt i + c sin dt j, ahol a = 1 m, b = s 1, c = m, d = 1 s 1. A test a t = s-ban az r = 9 i + 3 j [m] pontban olt. a) Adjuk meg a testre ható erőt az idő üggénében! (Vektorként és a nagságát is.) b) Adjuk meg a test helektorát az idő üggénében! c) Milen pálán mozog a test? Rajzoljuk is meg! d) Mekkora szöget zár be a sebesség és a gorsulás t = π/ s-ban? a) a = ab cos(bt) i + cd cos(dt) j = 4 cos(t) i cos(t) j [m/s ] F = m a = 1 cos(t) i 1 cos(t) j [N] abszolt érték. hét /6

7 b) r = ( a/b cos(bt) + k ) i + ( c/d cos(dt) + k ) j = (6 cos(t) + 3) i + ( cos(t) + 1) j [m] c) = 6 cos(t) + 3 = 1 cos (t) 3 ; = cos(t) + 1 = 3 ( 1) 3 parabola d) (π/) = j [m/s] ; a(π/) = 4 i [m/s ] ; (π/) a(π/) =, merőlegesek /1. Műrepülés közben két repülőgép pálája a köetkező pálaüggénekkel adható meg: r1(t) = a cos 3ωt j + a sin 3ωt k r(t) = 3a cos (5ωt+π) i + 3a sin (5ωt+π) j ahol a = 1 m, ω =,1 s 1. a) Milen pálákon repülnek a repülőgépek? b) Mekkora a táolság a két repülőgép között t = s-ban? a) = 1 : 1 m sugar kör; r (t) = 3a cos(5ωt) i 3a sin(5ωt) j ; + = 3 : 3 m sugar kör b) r 1 () = 1 i ; r () = 3 i, d = 4 m. hét /7

8 Egéb eladatok (nem zh-eladatok) /11. Eg ember a tóparton leő A pontból a legröidebb idő alatt szeretne a pontba érni. Milen tonalat álasszon, ha a maimális utási sebessége, szási sebessége pedig? A D A s Az t két szakaszból áll, először alameddig ut a parton: legen ez az ábra jelölése szerint s, majd ott beugrik a ízbe és egenesen a pont elé szik; ez az t t( ) = t + t + s = + D. A teljes idő tehát annak üggéne, hog hol kezdett el szni. Azt az értéket keressük, amelnél t-nek minimuma an (azaz ahol a t() üggén deriáltja zérus): d t 1 = + =,amiből d = D. + D Látszik, hog ez csak akkor megoldás, ha (agis ha alaki gorsabban szik, mint ahog ut, akkor égig csak sszon). [A t() üggén második deriáltja d t/d = D /( ( +D ) 3/ ), tehát a szélsőérték ténleg minimum.] Ellenőrizzük még, teljesül-e, hog s, azaz: D s D 1+ s Ez automatikusan nem teljesül; ez azt jelenti, hog ha nem tudunk enniel gorsabban utni, mint szni, akkor is égig szni kell. Analógia a Snellius-Descartes-törénnel srló beesés esetén: a dt/d = kiejezésből látható, ο hog + D 1 sin9 = = = = n (α a teljes isszaerődés határszöge) sin α sin α /1. Eg csónak L szélességű olón halad át a olóra merőlegesen a ízhez képest állandó sebességgel. A oló izének sebességeloszlása parabolikus: j = j < k1 4l" m " n a) Határozzuk meg a csónak pálájának egenletét! b) Menniel iszi le a íz a csónakot, míg az egik partról a másikra ér? a) A csónak eredő sebessége mindig a pála érintőjének iránába mutat. u = d/dt és = d/dt (d/dt)/(d/dt) = / u = d / d a pála érintője. u ügg -tól, tehát az alábbi dierenciálegenletet kell megoldanunk, hog a pála egenletét () aag () alakban megkapjuk: pq pr = s t 4. uy w Y Szeparáljuk és integráljuk: q = t 4 /" s 1 OqY5l = = z Y < r z = t q 4 OqX Cl s P YF = t 4 \/" s {l OqX k O(\ w Y )X n = t 4 P Y " P Y s l OqX + 5 a pála P Y P egenlete. s α α D L u + D Vag: = t 4 OqY 1 s 5l = =z z = t 4 Y s l OqX P Y5+}. hét /8

9 és tudjuk, hog = nál = L/: = t 4 k O(\ w Y )X n+} = t 4 +} s " P Y s P agis } = t 4 s P és z = t 4 OqX l + 5. s P Y P b) A csónak átér, ha = L/, ezt behelettesíte z = " P t 4 s m. /13. A és áros 84 km-re annak egmástól. Két biciklis elindul eg időben, az egikük A-ból -be 16 km/h, a másik -ből A-ba 1 km/h sebességgel. Eg ecske is elindul elük eg időben A árosból áros elé, de amikor találkozik a -ből jöő biciklissel, isszaordul A elé, majd amikor találkozik az A-ból jöő biciklissel, isszaordul elé, és íg toább. Mekkora utat tesz meg a ecske a biciklisták találkozásáig? A ecske sebessége 5 km/h óra, és eg szempillantás alatt meg tud ordulni. A megoldást nem g keressük, hog a ecske és az egik ill. másik biciklista találkozásának helét és idejét számoljuk ki és a ecske által megtett utakat összegezzük, hanem a két biciklista találkozásáig eltelt összes időt számoljuk ki, mert a ecske addig égig repül, íg az idő ismeretében az általa megtett t könnebben kiszámolható. A találkozásig eltelt idő - az egik biciklistához rögzített koordinátarendszerben: miel a biciklisták egmással szembe haladnak, a másik biciklista sebessége az origóban léőhöz képest 16+1 = 8 km/h, kezdetben a táolság köztük 84 km, tehát t = 84 / 8 = 3 h. - az thoz rögzített koordinátarendszerben: az origó A árosban an, az onnan induló biciklista koordinátája 1 = 16 t, a árosból indulóé pedig = 84 1 t. Találkozáskor 1 = : 16 t = 84 1 t t = 3 h. A ecske által megtett t s = 3 5 = 15 km. /14. Eg illamosonalon a illamosok T időközönként járnak c sebességgel. A pála mellett gépkocsi halad sebességgel. Menni időközönként találkozik a gépkocsi illamosokkal? Írjuk el eg illamoshoz rögzített koordinátarendszerben az autó sebességét: ha az autó és a illamosok ellenkező iránba mennek: rel = + c ha az autó és a illamosok eg iránba mennek és c: rel = c ha az autó és a illamosok eg iránba mennek és < c: rel = c A illamosok táolsága egmástól d = c T, ekkora táolságot kell megtenni az autónak, tehát az ehhez szükséges idő t = c T / ( + c), ha az autó és a illamosok ellenkező iránba mennek, t = c T / ( c), ha az autó és a illamosok eg iránba mennek és c, és t = c T / (c ), ha az autó és a illamosok eg iránba mennek és < c. /15. Lelépjük eg szekér hosszát menet közben: a szekérrel eg iránba mene a lépésnek mérjük, szembe mene pedig b lépésnek mérjük. Milen hossz a szekér? A szekér sebessége sz, az emberé e. Ha eg iránba mennek, akkor t 1 idő alatt ér el az ember a szekér égétől a szekér elejéig, ezalatt e t 1 = a (1) lépést tesz meg, és e t 1 = sz t 1 + L () Ha szembe mennek, akkor a t idő alatt jut el az ember a szekér elejétől a égéhez, ezalatt e t = b (3) lépést tesz meg, és ( e + sz ) t = L (4) Ez 4 egenlet 5 ismeretlennel, ügesen kell rendezgetni. Pl. (1)-et behelettesíte ()-be sz t 1 = a L, másrészt (3)-at behelettesíte (4)-be sz t = L b, és a két egenletet eloszta t 1 /t = (a L)/(L b). Uganakkor (1)-et eloszta ()- el t 1 /t = a/b. Ezeket összeete (a L)/(L b) = a/b, amiből L = " W /16. Folóíz sebessége 3 m/s, és an eg csónakunk, ami a ízhez képest 4 m/s sebességgel tud menni. Mekkora legen a oló sodráal bezárt szög, ha a) a legröidebb idő alatt; b) a legröidebb ton szeretnénk átérni a tlpartra? a) A csónak orra mutasson a tlsó part elé, azaz α = 9. b) A csónak eredő sebessége legen merőleges a oló sodrára, azaz a β = 138,6. L cs α e L cs β e. hét /9