Fizika számgyak zh1 gyakorló 2014

Átírás

1 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 EBBEN AZ ANYAGBAN UGYANAZOK AZ ANYAGOK VANNAK EGYBESZERKESZTVE, AMIK HETENKÉNT KI VOLTAK RAKVA, CSAK SZÜRKÉVEL MEG VANNAK JELÖLVE AZOK A RÉSZEK, AMIK NEM ZH SZINTŰ KÉRDÉSEK, A VÉGÉHEZ PEDIG MÉG NÉHÁNY RÉGI ZH-SORT CSATOLTUNK. Egy motorcsónak a folyón felfelé halad, és szembetalálkozik egy tutajjal. A találkozás után egy órával a motor elromlik. A javítás fél órát vesz igénybe, és utána a motorcsónak a folyón bekapcsolt motorral lefelé megy. Az első találkozás helyétől 7,5 km-re éri utol a tutajt. Mennyi a folyó sebessége? Tételezzük fel, hogy a motorcsónak a folyóhoz képest állandó sebességgel halad, a tutaj pedig a folyóval együtt mozog. A feladat azt demonstrálja, hogy a vonatkoztatási rendszer megfelelő választásával a megoldás menete egyszerűbb is lehet. Oldjuk meg (1) a parthoz rögzített, () a tutajhoz rögzített koordinátarendszerben felírva a mozgást. (1) A koordinátarendszerünk x tengelyét helyezzük el a parttal párhuzamosan; origója legyen ott, ahol a motorcsónak és a tutaj először találkoznak; az x tengely pozitív értékei legyenek azok, amerre a víz folyik. A folyó sebessége a parthoz képest v f. A motorcsónak sebessége a folyóhoz képest v cs, azaz a parthoz képest v f +v cs, ha a folyón lefelé megy, ill. v cs v f, ha a folyón felfelé megy. Írjuk fel a motorcsónak és a tutaj helyének x koordinátáját a második találkozásig: motorcsónak: 1 ( v cs v f ) + 0,5 v f + t (v cs + v f ) = 7,5 [km] ahol tehát v f [km/h] a folyó sebessége a parthoz képest (pozitív), v cs [km/h] a motorcsónak sebességének nagysága a parthoz képest (előjele pozitív ill. negatív attól függően, hogy a csónak az x tengelyen pozitív vagy negatív irányba mozog), t [h] az az idő, amíg a csónak a folyón lefelé halad bekapcsolt motorral. tutaj: (1 + 0,5 + t) v f = 7,5 [km] A 3 ismeretlenre csak egyenletünk van. Átrendezve őket (1 + 0,5 + t) v f + (t 1) v cs = 7,5 + (t 1) v cs = 7,5 t = 1 h, v f = 3 km/h A csónak sebessége tetszőleges lehet. () A koordinátarendszerünk origója legyen a tutajra rögzítve, az x tengely pozitív iránya mutasson arra, amerre az első órában távolodik a csónak a tutajtól. Ekkor a tutaj x koordinátája természetesen végig zérus, és a motorcsónak x koordinátáját írjuk fel a második találkozásig: 1 v cs t v cs = 0 Ebből azonnal látható, hogy egyrészt mivel a csónak először 1 órát távolodik a tutajtól v cs sebességgel és utána ugyancsak v cs sebességgel közeledik hozzá, így a közeledés ideje is 1 óra, másrészt hogy a csónak sebessége tetszőleges. VEKTOROK - összefoglaló Műveletek vektorokkal 3D Descartes-koordinátarendszerben legyen a = 1i j + 3k, b = 4i 5j 6k szorzás skalárral pl. λ = 4 λa = 4i 8j + 1k összeadás a+b = 5i 7j 3k kivonás a b = 3i + 3j + 9k, b a = 3i 3j 9k RAJZ (fizikában: megváltozás későbbi korábbi!) λ 1 a + λ b : lineáris kombináció; sík egyenlete szorzás skaláris szorzat általánosan: a b = cos merőleges két vektor a skalárszorzatuk zérus számolás Descartes-koordinátarendszerben: 1

2 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 a b = = 4 önmagával abszolút érték = = 14 3,74 egységvektor: e a = 1/ 14 i / 14 j + 3/ 14 k két vektor által bezárt szög cos = a b /( ) = 4/( ) 0,1 97 egyik vektor vetülete a másik irányára (fizikában: pl. munka számolásánál) pl. b vetülete e a -ra, azaz b-nek a-val párhuzamos vektorkomponense b a = b = (a b/ ) a = ( 4/14)(1i j + 3k) = /7 i + 4/7 j 6/7 k és b-nek a-ra merőleges komponense pedig b = b b a = 30/7 i 39/7 j 36/7 k vektoriális szorzat általánosan: nagysága = sin, iránya merőleges a két vektor által kifeszített síkra, és abba az irányba mutat, ahogy jobb kezünk középső ujja mutat, ha a hüvelykujjunk mutat a irányába és a mutatóujjunk b irányába (fizikában: pl. forgatónyomaték-vektor) párhuzamos két vektor a vektoriális szorzatuk zérus számolás Descartes-koordinátarendszerben: a b = (determináns kifejtésével) = = ( a y b z a z b y ) i + ( a z b x a x b z ) j + ( a x b y a y b x ) k = 7i + 18j + 3k ez merőleges az a és b vektorok síkjára, azaz λ 1 a+λ b -re: (λ 1 +4λ ) 7+( λ 1 5λ ) 18+(3λ 1 6λ ) 3=(7 36+9)λ 1 +( )λ = 0 FÜGGVÉNYEK független változó skalár / vektor ; függő változó skalár / vektor : PÉLDÁK! S S S V: helyvektor r(t) - térgörbe, paraméteres alakban pálya V S: vektortól függő skalár: szintfelületek V V: vektortól függő vektor: vektorvonalak D polár majd később homogén/inhomogén; stacionárius, statikus Két egymásra merőleges rezgés egyenlete: x = 3A sin t y = A cos + Rajzoljuk le az eredő rezgés pályáját! x(t)-ből kifejezve sin(πt/t) = x/(3a), y(t)-t átalakítva és sin(πt/t)-t behelyettesítve π π π x y = Acos t + = Asin t = A = x, T T 3A 3 a pálya az y = x/3 egyenesnek a P 1 (-3A,A) és P (3A,-A) pontok közötti szakasza. x t y t y x

3 . hét KINEMATIKA Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 DERIVÁLÁS S S: Egy ember a tóparton levő A pontból a legrövidebb idő alatt szeretne a B pontba érni. Milyen útvonalat válasszon, ha a maximális futási sebessége v f, úszási sebessége pedig v ú? A B D ez nem rutin zh feladat! Az út két szakaszból áll, először valameddig fut a parton: legyen ez az ábra jelölése szerint s x, majd ott beugrik a vízbe és egyenesen a B pont felé úszik; ez az út x + D. A teljes idő tehát t( x ) = t f + t ú s x = + v f x v annak függvénye, hogy hol kezdett el úszni. Azt az x értéket keressük, amelynél t-nek minimuma van (azaz ahol a t(x) függvény deriváltja zérus): d t 1 x = + = 0, d x v f vú x + D v amiből x = ú D. v v Látszik, hogy ez csak akkor megoldás, ha v f > v ú (vagyis ha valaki gyorsabban úszik, mint ahogy fut, akkor végig csak ússzon). [A t(x) függvény második deriváltja d t/dx = D /(v ú (x +D ) 3/ ) > 0, tehát a szélsőérték tényleg minimum.] Ellenőrizzük még, teljesül-e, hogy x s, azaz: v A v f ú v ú s D s x B D v v f ú D 1+ s Ez automatikusan nem teljesül; ez azt jelenti, hogy ha nem tudunk ennyivel gyorsabban futni, mint úszni, akkor is végig úszni kell. Analógia a Snellius-Descartes-törvénnyel súrló beesés esetén: v o f a dt/dx = 0 kifejezésből látható, hogy x + D 1 sin 90 = = = = n vú x sin sin ( a teljes visszaverődés határszöge) f s ú + ú D DERIVÁLÁS S V: érintő Descartes-ban komponensenként (az egységvektorok deriváltja 0!); polárban majd V S: parciális derivált; iránymenti derivált, gradiens V V: rotáció, divergencia 3

4 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Egy tömegpont helyvektora az időtől a következőképpen függ: r(t) = (at+b) i + (at b) j + ( ct +4at+5b) k, ahol a = 3 m/s, b = 10 m, c = 5 m/s. a/ Határozzuk meg a tömegpont sebességét és gyorsulását! b/ Mekkora a sebessége a t = 0 időpontban? c/ Milyen távol van a tömegpont az origótól az origótól a t = 0 időpontban? d/ Mely időpontban éri el a tömegpont az xy síkot? e/ Bizonyítsuk be, hogy a mozgás síkmozgás! Határozzuk meg a pálya síkját! a/ v(t) = r& (t) = a i + a j + ( ct+4a) k = 3 i + 3 j + ( 10t+1) k a(t) = v & ( t) = & r ( t) = c k = 10 k b/ v(0) = 3 i + 3 j + 1 k, nagysága v(0) = ,7 m / s c/ r(0) = 10 i 10 j + 50 k, távolsága az origótól d = m d/ az xy síkot akkor éri el, amikor z = 0, azaz 5 t + 1 t + 50 = 0 t 1 4,6 s (és t =, s ban is ott volt ) e/ A mozgás síkmozgás, ha Ax + By + Cz + D = 0 teljesül minden t-re, azaz A(at+b)+B(at b)+c( ct +4at+5b)+D=( Cc)t +(Aa+Ba+Ca)t+(Ab Bb+5Cb+D)=0, vagyis Cc = 0 C = 0 Aa + Ba = 0 B = A Ab Bb + D = 0 D = Ab Legyen A = 1, a sík egyenlete x y b = 0. Egy repülőgép mozgását az r(t) = a cos.. / 0 + a sin.. / j függvény írja le, ahol a = 00 m, t 0 = s. a/ Milyen pályán mozog a repülőgép? b/ Mekkora szöget zár be a sebességvektor a gyorsulásvektorral a t = 0 és a t = s időben? a/ x(t) = a cos (t/t 0 ) = 00 cos 0,5 t y(t) = a sin (t/t 0 ) = 400 sin 0,5 t Fejezzük ki az első egyenletből cos (t/t 0 )-t, a másodikból sin (t/t 0 )-t. Mivel cos t t 0 + sin t t 0 = 1, ezért x y + = 1, azaz egy ellipszisen mozog a repülőgép. a a x t y t y x b/ v(t) = r& (t) = a/t 0 sin (t/t 0 ) i + a/t 0 cos (t/t 0 ) j = 100 sin (t/) i + 00 cos (t/) j a(t) = v & ( t) = & r ( t) = a/t 0 cos (t/t 0 ) i a/t 0 sin (t/t 0 ) j = 50 cos (t/) i 100 sin (t/) j 4

5 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 t = 0 ban v(0) = 00 j, a(0) = 50 i, v(0) a(0) = 0 merőlegesek t = s ban v() = 100 sin 1 i + 00 cos 1 j = 84,15 i + 108,06 j, a() = 50 cos 1 i 100 sin 1 j = i 84,15 j, v() a() ( 84,15 ) ( 7,0) + ( 108,06) ( 84,15) cos = = = 0,58 v() a() 84, ,06 7,0 + 84,15 =,18 rad = 15 INTEGRÁLÁS S S: integrációs állandók! S V: kezdeti feltételek! határozott / határozatlan Egy csónak L szélességű folyón halad át a folyóra merőlegesen a vízhez képest állandó v sebességgel. A folyó vizének sebességeloszlása parabolikus: y 1 = a/ Határozzuk meg a csónak pályájának egyenletét! b/ Mennyivel viszi le a víz a csónakot, míg az egyik partról a másikra ér? L 0 u 0 x ez nem rutin zh feladat! a/ A csónak eredő sebessége mindig a pálya érintőjének irányába mutat. u = dx/dt és v = dy/dt (dy/dt)/(dx/dt) = v / u = dy / dx a pálya érintője. u függ y-tól, tehát az alábbi differenciálegyenletet kell megoldanunk, hogy a pálya egyenletét y(x) avagy x(y) alakban megkapjuk: <= =? A. / A BCD E D Szeparáljuk és integráljuk: = / H/? 1 G=DI4 = F IJ H D = J / G=L K4? MH DN OH/ [ Vagy: /? 1 G=D > / G=L P4? MH D 3 H G(O E D )L I4 = H FIJ J / D? és tudjuk, hogy x = 0 nál y = L/: 0 / 3 H G(O E D )L 6+S / H + S? MH D? M 6R / MH D? 4 G=L MH D+S G=L 4 + H a pálya egyenlete. MH D M vagyis S / H? M és J / G=L 4 + H. ]? MH D M b/ A csónak átér, ha y = L/, ezt behelyettesítve J = /? 5. (Vagy kihasználhatjuk, hogy y=0 t egyszerű behelyettesíteni az x(y) függvénybe: J(0) / a folyó sebességeloszlása szimmetrikus, a teljes lesodródás ennek kétszerese.) H? M és mivel 5

6 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Egy kipukkadt lufi sebességét az alábbi függvény adja meg: v(t) = 0, e 0,1t i,8 sin 4t j + (3 4t) k (Az időt másodpercekben, a távolságot méterben mérjük.) Kipukkadásakor, t = 0 s-ban a lufi az r = i + 1,4 j + 1,5 k pontból indult. a/ Hol lesz a lufi fél másodperc múlva? b/ A lufi egy olyan m-es szobában van, melynek egyik sarkához illesztettük a koordinátarendszerünket. Mikor, melyik fal (ill. plafon v. padló) melyik pontjának megy neki először? J = UV > I = U0,W,A. I = 0, 0,1 W,A. +X A = W,A. + X A a kezdeti feltételből = + k 1 k 1 = 0, tehát J = W,A. 4 = UV = I = U(,8Z[\4)I =,8 4 ]^Z4 + X = 0,7]^Z4 +X a kezdeti feltételből 1,4 = 0,7 + k k = 0,7, tehát 4 = 0,7(1+]^Z4) _ = UV`I = U(3 4)I = (3 )+X M a kezdeti feltételből 1,5 = 0 + k 3 k 3 = 1,5, tehát _ = 3 +1,5 a/ t = 0,5 s behelyettesítésével x = e 0,05,105 m, y = 0,7(1+cos) 0,4087 m, z = 3 0,5 0,5 +1,5 =,5 m tehát r(0,5) =,105 i + 0,4087 j +,5 k [m] b/ A szobát határoló síkok az x = 0, x = 3, y = 0, y = 3, z = 0 és z = 3 síkok; azt kell megvizsgálni, melyik feltétel mikor teljesül, és a legkisebb időt kiválasztani. x = e 0,1t = 0 : soha x = e 0,1t = 3 : t x 4,055 s y = 0,7(1+cos4t) = 0 : t y 0,785 s y = 0,7(1+cos4t) = 0: soha z = 3 t t +1,5 = 0 : t z 1,896 s z = 3 t t +1,5 = 3 : soha A lufi tehát t = 0,785 s-ban nekimegy az y = 0 egyenletű fal x(0,785) =,16 m, z(0,785) =,6 m pontjának. V kiszámolása: V skalárra visszavezetve V S: pl. inhomogén test tömege, térfogati integrál V V: vonalintegrál skalár értékű (fizikában: munka) ill. vektor értékű cirkuláció, rotáció felületi integrál (felület normálisa!) skalár értékű fluxus, divergencia Gyakorló feladatok a zárthelyire: Ágyúgolyó röppályájának egyenlete r(t) = (at + b) i + (gt + ct + d) k, ahol a = 5 m/s, b = 100 m, c = 10 m/s, d = 00 m, g = 5 m/s. a/ Honnan lőtték ki az ágyúgolyót? A kilövés t = 0 s-ban történt. b/ Mekkora volt a kezdősebessége? c/ Mekkora volt a gyorsulása? d/ Mikor és hol ér földet az ágyúgolyó? e/ Mikor és hol lesz merőleges a sebesség a gyorsulásra? 6

7 a) t = 0 s-ban r(0) = b i + d k = 100 i + 00 k b) v(t) = r& (t) = a i + (bt + c) k = 5 i + ( 10t + 10) k, v(0) = 5 i + 10 k, v 0 = , m / s c) a(t) = v & ( t) = & r ( t) = b k = 10 k (azaz szabadesés) d) azaz a z = 0 síkot mikor éri el: gt + ct + d = -5t + 10t + 00 = 0 t 7,4 s e) a két vektor ott merőleges, ahol a skalárszorzatuk nulla: v a = ( 10t + 10) ( 10) = 100(t 1) = 0 t = 1 s, r(1) = 105 i + 05 k, ez a pálya csúcspontja. (gyorsabban megoldható a feladat a v z = 10t + 10 = 0 feltételből) Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Egy test gyorsulása a(t) = 4a sin (ωt+ϕ 0 ) i + 4b sin ωt j, ahol ω = s 1, ϕ 0 = π/. t 1 = π/4 s-ban a test a r 1 = a i b j pontban van és sebessége v 1 = a i. a/ Adjuk meg a test helyvektorát és sebességét t = 3π s-ban! ( r =?, v =? ) b/ Milyen pályán mozog a test? c/ Mely időpontokban van legközelebb a test az origóhoz? a x = 4a sin (t+π/) = 4a cos t = v& x v x = a sin t + k 1 t 1 = π/4 s-ban v 1x = a k 1 = 0, v x = a sin t = x& x = a cos t + k t 1 = π/4 s-ban x 1 = a k = a, x = a cos t + a a y = 4b sin t = v& y v y = b cos t + k 3 t 1 = π/4 s-ban v 1y = 0 k 3 = 0, v y = b cos t = y& y = b sin t + k 4 t 1 = π/4 s-ban y 1 = b k 4 = 0, y = b sin t a/ r(3π) = ( a cos 6π + a) i b sin 6π j = 0, v(3π) = a sin 6π i b cos 6π j = b j b/ x(t) = a a cos t cos t = (a x)/a y(t) = b sin t j sin t = y / b Felhasználva, hogy cos + sin = 1: a pálya a x y + = 1 a b HF1 01 Egy test gyorsulása a(t) = ( t + 1 ) i + π cos (3πt) j. A t = 0 s ban v = i + j. Mennyi lesz t = 4 s ban a) a sebesség nagysága? b) a sebességvektornak az x tengellyel bezárt szöge? 7 ellipszis A sebességet megkapjuk, ha integráljuk a gyorsulást a kezdősebességet is beírva: a x = vab = t + 1 v x (t) = t + t + k 1 mivel v x (0) =, így k 1 = k 1 =, azaz v x = t + t + a y = vac = π cos(3πt) v y (t) = π/3 sin(3πt) + k mivel v y (0) =, így π/3 sin(0) + k = k =, azaz v y = π/3 sin(3πt) + tehát v(t) = ( t + t + ) i + (π/3 sin(3πt) + ) j t = 4 s-ban v(4) = (4 +4+) i + (π/3 sin(1π) + ) j = i + j Ennek nagysága d(4) = 31,1 m/s ; az x tengellyel azaz az i egységvektorral bezárt szöge: d(g) 0 cosφ = = Af = Φ = 45 d(g) A A

8 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 HF1 013 Egy m = 5 kg tömegű test sebességét az alábbi függvény írja le: v = a sin(bt) i + c sin(dt) j ahol a = 1 m/s, b = s 1, c = m/s, d = 1 s 1. A test a t = 0 s-ban az r = 9 i + 3 j [m] pontban volt. a./ Milyen pályán mozog a test? Rajzoljuk is meg! b. / Mekkora szöget zár be a sebesség és a gyorsulás t = π/ s-ban? v = a sin(bt) i + c sin(dt) j = 1 sin(t) i sin(t) j a./ r = Fd dt x(t) = Fv b dt = F( 1sin(t))dt = 6 cos(t) + k 1 x(0) = 6 cos(0) + k 1 = 6 + k 1 = x 0 = 9 k 1 = 3 y(t) = Fv c dt = F( sin(t))dt = cos(t) + k y(0) = cos(0) + k = + k = y 0 = 3 k = 1 tehát a pálya paraméteres alakban: r(t) = [ 6 cos(t) + 3 ] i + [ cos(t) + 1 ] j [m] A pálya alakja: cos(t) = (x 3)/6, cos(t) = (y 1)/ cos(t) = cos (t) sin (t) = cos (t) [1 cos (t)] = cos (t) 1 tehát (x 3)/6 = [(y 1)/] 1 az x = 3y(y ) parabolának az a része, amire 3 x 9 ( és 1 y 3 ) vagy: y =±g bfm M + 1 b./ a = da = ab cos(bt) i + cd cos(dt) j = 4 cos(t) i cos(t) j v(π/) = 1 sin(π) i sin(π/) j = j [m/s] a(π/) = 4 cos(π) i cos(π/) j = 4 i [m/s ] merőlegesek Két légy mozgásának pályafüggvénye r 1 (t) = a t i + b t j + c k r (t) = i + d t j + e t k ahol a = 5 m/s, b = m/s, c = 5 m, d = 3 m/s, e = m/s. a/ Írjuk fel egymástól való távolságukat az idő függvényében! b/ Számítsuk ki a t = 10 s-ban a két légy sebességvektorát és sebességük nagyságát! Egy m = 5 kg tömegű test sebességét az alábbi függvény írja le: v = a sin bt i + c sin dt j (m/s) ahol a = 1 m, b = s 1, c = m, d = 1 s 1. A test a t = 0 s-ban az r = 9 i + 3 j (m) pontban volt. a/ Adjuk meg a testre ható erőt az idő függvényében! (Vektorként és a nagyságát is.) b/ Adjuk meg a test helyvektorát az idő függvényében! c/ Milyen pályán mozog a test? Rajzoljuk is meg! d/ Mekkora szöget zár be a sebesség és a gyorsulás t = π/ s-ban? Műrepülés közben két repülőgép pályája a következő pályafüggvényekkel adható meg: r 1 (t) = a cos 3ωt j + a sin 3ωt k r (t) = 3a cos (5ωt+π) i + 3a sin (5ωt+π) j ahol a = 100 m, ω = 0,1 s 1. a/ Milyen pályákon repülnek a repülőgépek? b/ Mekkora a távolság a két repülőgép között t = 0 s-ban? 8

9 Egyéb feladatok - pl. érdekesek Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 A és B város 84 km-re vannak egymástól. Két biciklis elindul egy időben, az egyikük A-ból B-be 16 km/h, a másik B-ből A-ba 1 km/h sebességgel. Egy fecske is elindul velük egy időben A városból B város felé, de amikor találkozik a B-ből jövő biciklissel, visszafordul A felé, majd amikor találkozik az A-ból jövő biciklissel, visszafordul B felé, és így tovább. Mekkora utat tesz meg a fecske a biciklisták találkozásáig? A fecske sebessége 50 km/h óra, és egy szempillantás alatt meg tud fordulni. A megoldást nem úgy keressük, hogy a fecske és az egyik ill. másik biciklista találkozásának helyét és idejét számoljuk ki és a fecske által megtett utakat összegezzük, hanem a két biciklista találkozásáig eltelt összes időt számoljuk ki, mert a fecske addig végig repül, így az idő ismeretében az általa megtett út könnyebben kiszámolható. A találkozásig eltelt idő - az egyik biciklistához rögzített koordinátarendszerben: mivel a biciklisták egymással szembe haladnak, a másik biciklista sebessége az origóban lévőhöz képest 16+1 = 8 km/h, kezdetben a távolság köztük 84 km, tehát t = 84 / 8 = 3 h. - az úthoz rögzített koordinátarendszerben: az origó A városban van, az onnan induló biciklista koordinátája x 1 = 16 t, a B városból indulóé pedig x = 84 1 t. Találkozáskor x 1 = x : 16 t = 84 1 t t = 3 h. A fecske által megtett út s = 3 50 = 150 km. A és B város vízparton helyezkednek el egymástól d távolságra. Egy motorcsónakkal, ami a vízhez képest v cs sebességgel tud menni, elmegyünk A-ból B-be, majd vissza B-ből A-ba. Megegyezik-e az oda-vissza út ideje, ha a víz folyó ill. tó? Ha a víz egy folyó és A-tól B felé folyik v f sebességgel, akkor A-ból B-be t AB = d /(v cs + v f ) idő alatt, B-ből A-ba t BA = d /(v cs v f ) idő alatt ér a csónak, tehát az összes idő t folyó = d/(v cs + v f ) + d/(v cs v f ). Ha a víz egy tó, akkor oda- ill. visszaút ideje is t = d / v cs, tehát t tó = d / v cs.. hijcó. ló = m f m nopqn h noprn h Dm = nop noprn h qnopqn h nop D rn h D D nop =? op D? op D O? h D > 1 [Hogyhogy? mert a folyó kevesebb ideig segíti a csónakot, mint akadályozza.] Egy villamosvonalon a villamosok T időközönként járnak c sebességgel. A pálya mellett gépkocsi halad v sebességgel. Mennyi időközönként találkozik a gépkocsi villamosokkal? Írjuk fel egy villamoshoz rögzített koordinátarendszerben az autó sebességét: ha az autó és a villamosok ellenkező irányba mennek: v rel = v + c ha az autó és a villamosok egy irányba mennek és v > c: v rel = v c ha az autó és a villamosok egy irányba mennek és v < c: v rel = c v A villamosok távolsága egymástól d = c T, ekkora távolságot kell megtenni az autónak, tehát az ehhez szükséges idő t = c T / (v + c), ha az autó és a villamosok ellenkező irányba mennek, t = c T / (v c), ha az autó és a villamosok egy irányba mennek és v > c, és t = c T / (c v), ha az autó és a villamosok egy irányba mennek és v < c. Lelépjük egy szekér hosszát menet közben: a szekérrel egy irányba menve a lépésnek mérjük, szembe menve pedig b lépésnek mérjük. Milyen hosszú a szekér? A szekér sebessége v sz, az emberé v e. Ha egy irányba mennek, akkor t 1 idő alatt ér el az ember a szekér végétől a szekér elejéig, ezalatt v e t 1 = a (1) lépést tesz meg, és v e t 1 = v sz t 1 + L () Ha szembe mennek, akkor a t idő alatt jut el az ember a szekér elejétől a végéhez, ezalatt v e t = b (3) lépést tesz meg, és (v e +v sz ) t = L (4) 9

10 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Ez 4 egyenlet 5 ismeretlennel, ügyesen kell rendezgetni. Pl. (1)-et behelyettesítve ()-be v sz t 1 = a L, másrészt (3)-at behelyettesítve (4)-be v sz t = L b, és a két egyenletet elosztva t 1 /t = (a L)/(L b). Ugyanakkor (1)-et elosztva ()-vel t 1 /t = a/b. Ezeket összevetve (a L)/(L b) = a/b, amiből L = tu tfu Egy R sugarú, ω szögsebességű kerék szíjáttétellel hajt egy R sugarú, tőle d távolságban levő kereket. Adjuk meg a két kerék azon pontjainak távolságát az idő függvényében, amelyek a t = 0 időpontban a legközelebb vannak egymáshoz! R sugarú autókerékre rátapadt egy kavics. t = 0 s-ban a kavics pont az úttesten van. Az autó sebessége v. Adjuk meg a kavics helyét, sebességét, gyorsulását az idő függvényében! Folyóvíz sebessége 3 m/s, és van egy csónakunk, ami a vízhez képest 4 m/s sebességgel tud menni. Mekkora legyen a folyó sodrával bezárt szög, ha a/ a legrövidebb idő alatt; b/ a legrövidebb úton szeretnénk átérni a túlpartra? a/ A csónak orra mutasson a túlsó part felé, b/ A csónak eredő sebessége legyen merőleges a azaz = 90. folyó sodrára, azaz a β = 138,6. y y L 0 v cs v e v f x L 0 v cs β v e v f x 3. hét: dinamika, hajítás 3/1. Egy m = 1 g tömegű test a t 1 = s időben az x tengely pozitív felén van az origótól x 1 = 10 cm-re, sebessége a +y tengely irányába mutat és nagysága v 1 = 10 cm/s. A test a t = 5 s időpontban a P ( 0,5 cm, 15 cm, 0) pontban van, a sebessége a x tengely irányába mutat és nagysága v = 7 cm/s. A testre állandó erő hat. a/ Mekkora az erő nagysága? b/ Mekkora a test sebessége a t 3 = 8 s időpontban, és hol lesz a test akkor? Állandó erő esetén a gyorsulás állandó: F/m = a = konst., azaz v& = konst., & r& = konst. integrálással a sebességvektor: v(t) = a t + v(0), és a helyvektor: r(t) = ½ a t + v(0) t + r(0). A feladatban adott volt a helyvektor és a sebességvektor - időben: t 1 = s: r() = 0,1 i [m], v() = 0,1 j [m/s], t = 5 s: r(5) = 0,005 i + 0,15 j [m], v(5) = 0,07 i [m/s]. A fenti általános képletekbe behelyettesítve tehát ½ a + v(0) + r(0) = 0,1 i, a + v(0) = 0,1 j ½ a 5 + v(0) 5 + r(0) = 0,005 i + 0,15 j, a 5 + v(0) = 0,07 i 3 ismeretlen vektorunk van: a, v(0) és r(0) és 4 egyenletünk, a feladat túlhatározott; v() és v(5) értékéből megkapjuk a és v(0) értékét, és bármelyik r -ből r(0)-at. a/ A gyorsulást megkapjuk a sebességekből: v(t ) v(t1) v v(5) v() 0,07 0,1 m a = = = = i j. t t t s 1 10

11 1 0,0149 Ennek nagysága a = 0,07 + 0,1 = 0,04 m / s, 3 3 a testre ható erő nagysága pedig F = ma 10 3 kg 0,04 m/s = N. 0,14 0,5 b/ A test kezdősebessége v( 0) = v(t1 ) at1 = v(t ) at = i + j, 3 3 tehát a test sebessége 0,07 0,14 0,1 0,5 v( t) = t + i + t + j t 3 = 8 s-ban v(8) = a 8 + v(0) = 0,14 i 0,1 j, ennek nagysága A test helyvektora t = 0 s-ban 0,16 0,80 r( 0) = r(t1) 1 at1 v(0) t1 = r(t ) 1 at v(0) t = i j, 3 3 tehát a test helyvektora 1 0,07 0,14 0,16 1 0,1 0,5 0,80 r(t) = t + t + i + t + t j t 3 = 8 s-ban r(8) = ½ a 8 + v(0) 8 + r(0) = = 0,3 i [m] Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 v(8) = 0,14 + 0,1 0,17 m / s. Megjegyzés: a fenti képletekbe a t = 0 s-hoz tartozó v(0) és r(0) értékeket írtuk be, de a v(t) és r(t) függvényeket felírhatjuk tetszőleges t 0 időhöz tartozó v(t 0 ) és r(t 0 ) értékekkel: v(t) = a (t t 0 ) + v(t 0 ), r(t) = ½ a (t t 0 ) + v(t 0 ) (t t 0 ) + r(t 0 ). Így kiszámolhatjuk v(8)-at és r(8)-at úgy is, hogy nem kell számolni v(0)-t és r(0)-t. Ráadásul esetünkben t 3 és t között ugyanannyi idő telik el, mint t és t 1 között, t = 3 s, és mivel a gyorsulás állandó, ezért ugyanannyit változik a sebesség is ( v = a t), azaz v(8) = v(5) + v = v(5) + [ v(5) v() ], vagy az is igaz, hogy v(8) = v() + v = v() + [ v(5) v() ]. A helyvektor számolásánál pedig r(8) = ½ a (8 5) + v(5) (8 5) + r(5) vagy r(8) = ½ a (8 ) + v() (8 ) + r(). Hajítás összefoglalás A testre állandó erő hat, így a gyorsulása is állandó: a = F/m = konst., méghozzá a = g. Mutasson a koordinátarendszerünk z tengelye az erővel ellentétes irányba: F/m = g k, így a = g k = v& v = g t k + v 0 = r& r = ½ g t k + v 0 t + r 0. Forgassuk úgy a koordinátarendszerünket a z tengely körül úgy, hogy a kezdősebességnek csak x és z irányú komponense legyen: v 0 = v 0x i + v 0z k = v 0 cos i + v 0 sin k ( a kezdősebességnek a vízszintessel bezárt szöge), ekkor v = v 0 cos i + (v 0 sin g t) k, vagyis v x = v 0 cos, v y = 0, v z (t) = v 0 sin gt. Ha lehet úgy választani, legyen r 0 = 0, akkor r = (v 0 cos) t i + ((v 0 sin) t ½ g t ) k, vagyis x(t) = (v 0 cos) t, y(t) = 0, z(t) = (v 0 sin) t ½ g t. A hajítás pályája: x(t) = (v 0 cos) t t = x /(v 0 cos), z(t) = (v 0 sin) t ½ g t, t-t behelyettesítve z(x) = tg x g x, a pálya tehát parabola. v0 cos A hajítás magassága: h = z max. Ekkor dz/dt = v z = 0: v 0 sin gt h = 0 t h = v 0 sin/g, 11

12 h = z(t h ) = (v 0 sin) (v 0 sin/g) ½ g (v 0 sin/g) = ( v sin ) 0. g (Vagy kiszámolhatjuk a pályából, a dz/dx=0 feltételből.) Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 A hajítás távolsága azonos z indulási és érkezési magasság esetén!: d = x(t d ), ahol z(t d ) = 0. t d = t h (mivel a pálya szimmetrikus), d = x(t d ) = (v 0 cos) ( v 0 sin/g) = 0 sin ; g (Vagy a pálya egyenletéből: z = 0, ha x = v 0 sin /g. A másik gyök, x = 0 a kiindulási pont). v 3/. Egy függőlegesen feldobott kő sebessége s múlva 4 m/s a/ felfelé, b/ lefelé. Mekkora volt a kezdősebesség, és milyen maximális magasságot ért el? g = 10 m/s (próbáljunk elszakadni attól, hogy külön írjuk fel a felfelé ill. a lefelé haladó mozgást!) A z tengely felfelé mutat, tehát a = g v = v 0 gt, ahol v és v 0 pozitív, ha felfelé mutat, ill. negatív, ha lefelé. v() = v 0 g = v 0 0 v 0 = v() + 0 [m/s] a/ v() = 4 m/s v 0 = 4 m/s és h = v 0 / (g) = 8,8 m b/ v() = 4 m/s v 0 = 16 m/s és h = 1,8 m 3/ km/h vízszintes sebességű, magasan repülő repülőgépről kiejtenek egy tárgyat. Milyen kezdősebességgel kell 10 s-mal később egy másik tárgyat utánadobni, hogy 14 s múlva találja el a kiejtett tárgyat? g = 10 m/s v r = 360 km/h = 100 m/s. Tegyük fel, hogy a gép az x tengely irányában repül: az első test helyvektora r 1 (t) = r 0 + v r t i ½ g t k = r t i 5 t k, a másodiké r (t) = r 0 + v r t i + [v(t 10) ½ g (t 10) ] k = r t i + [v(t 10) 5 (t 10) ] k. (A tárgy vízszintes sebessége nem változik, akár a gépen van, akár szabadon esik, mivel a közegellenállás elhanyagolható, tehát vízszintes irányú erő nem hat a testre.) Mivel r 1 (14) = r (14), 5 14 = v v = 5 m/s 3/4. Béni áll az emeleti erkélyen. Abban a pillanatban, amikor Frédi kilép az utcára sebessége v F = 1 m/s Béni v 0 = m/s sebességgel elhajít egy hógolyót. a/ Milyen szögben kell elhajítania, hogy a hógolyó Frédi fejére essék? b/ Mennyi idő múlva találja el? c/ A kaputól milyen távolságra találja el? d/ Frédi felmegy az utca másik oldalán lévő ház erkélyére és megcélozza a vele egy magasságban lévő barátját. Béni megijed, az elhajítás pillanatában leugrik az erkélyről (szabadesésnek vegyük!). Mi történik, ha Frédi v 0 = 0 m/s kezdősebességgel vízszintesen hajított? e/ Mekkora minimális v 0 * kezdősebességgel kell Frédinek vízszintesen hajítania, hogy még éppen eltalálja Bénit? B v 0 v 0 F h=5 m 1,5 m F v F 10 m 1

13 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 A hógolyó akkor esik Béni fejére, amikor a hógolyó és Frédi fejének helyvektora megegyezik. Frédi fejének magasságát vegyük z = 0 -nak(1,5 m-rel a járda fölött); Frédi fejének vízszintes komponense x F = v F t = 1 t (x=0 a kapunál van és az x tengely arra mutat, amerre Frédi megy); a hógolyó vízszintes komponense x h = (v 0 cos) t = ( cos) t; a hógolyó függőleges komponense z h = h + (v 0 sin) t ½ g t = 5 + ( sin ) t 5 t. a) A vízszintes komponensek (x F = x h ) egyenlőségéből cos = ½, = ±60. (Vegyük észre, hogy a hógolyó mindig Frédi feje fölött van.) A vízszinteshez képest 60 -os szögben kell eldobnia akár ferdén felfelé, akár ferdén lefelé. b) A függőleges komponensek egyenlőségéből: 5 + sin 60 t 5 t = 0 t 1,19 s, ha felfelé, ill. 5 sin 60 t 5 t = 0 t 0,84 s, ha lefelé dobja. c) Bármelyik vízszintes elmozdulásból x F = x h = 1,19 m ill. x = 0,84 m. d) Most Béni fejének és a másik hógolyónak a helyvektorát kell felírni: Béni feje: x B = 0, z B = h ½ g t = 5 5t, a második hógolyó: x h = d v 0 t = 10 0t, z h = 5 5t. Ekkor tehát Béni feje és a hógolyó mindig egy magasságban van a kérdés tehát az, hogy vízszintesen átére a hógolyó Béni fejéhez, mielőtt leesnének a z = 0-ra: 5 5t = 0 t 0 = 1 s alatt esnek le, de x h = 10 0t = 0 t = 0,5 s alatt a hógolyó már eléri Béni fejét és eltalálja z B = z h = 5 5t = 3,75 m magasságban. e) Ahhoz, hogy maximum t 0 = 1 s alatt x h = d v 0 * t = 0 legyen, v 0 * 10 m/s. 3/5. Két ferde hajítás kezdősebességének nagysága és a hajítás távolsága azonos. Az egyik hajítás maximális magassága a másik négyszerese. Számítsuk ki a hajítási idők arányát! A kezdősebességek megegyeznek: v 01 = v 0, a hajítás szöge 1 ill.. A két hajítás távolsága megegyezik: d 1 = v 01 sin 1 /g = d = v 0 sin /g [1] a maximális magasságok aránya 1:4 : h 1 = v 01 sin 1 /(g) = 4 h = 4 v 0 sin /(g) [] v01 sin 1 A [] egyenletből sin 1 = 4 sin t sin sin 1 = sin h 1 g 1 = = =. t v0 sin h sin g (Az[1] egyenletből kiindulva pedig meghatározható a két hajítás szöge is: sin 1 = sin 1 cos 1 = sin = sin cos cos 1 = cos 1 = 63,4, = 6,6, de ez nem volt kérdés.) Gyakorló feladatok 3/6. h = 40 m magas torony tetejéről 45 -os szög alatt (fölfelé) elhajítanak egy testet v 0 = 40 m/s kezdősebességgel. Mekkora a távolság a kiindulási és földre érkezési pont között? A test helyvektorának függőleges komponense: z(t) = h + v 0 sin t ½ g t = sin 45 t 5 t, földet éréskor z(t * ) = 0 t * = 6,83 s ; vízszintes komponense: x(t) = v 0 cos t = 40 cos 45 t, földet éréskor x(t * ) = 193,1 m. A távolság a kiindulási és földet érési pont között d = ,1 197, m 13

14 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 3/7. A hegyről lövik a síkságon lévő lőállásokat. A hegyen és a síkságon lévő ágyúk egyformák, az ágyúgolyók kezdősebessége v 0 = 500 m/s. A hegyen lévő ágyú csöve vízszintesen áll. A síkságon lévő ágyúból a golyót pont 1 s-mal azután lövik ki, hogy meglátták a hegyi ágyú torkolattüzét. Sikerül is az ágyúgolyót még a levegőben eltalálni és eltéríteni a céltól. Hol találja el egymást a két ágyúgolyó? Mekkora a síkságon lévő ágyú csövének a vízszintessel bezárt szöge? z v 0 00 m v 0 x 800 m A hegycsúcsról kilőtt ágyúgolyó helyvektora, ha az origó a hegy talppontjában van, az x tengely a síkságon lévő ágyú felé mutat, és az ágyúgolyót t = 0-ban lőtték ki: r 1 (t) = 500t i + (00 10/t ) k, a síkságon kilőtt ágyúgolyó helyvektora pedig r (t) = [ cos(t 1)] i + [500 sin(t 1) 10/(t 1) ] k A két ágyúgolyó helyvektora egyenlő kell legyen; komponensenként felírva: x koordináta: 500t = cos(t 1) z koordináta: 00 10/t = 500 sin(t 1) 10/(t 1) Az első egyenletből cos(t 1) = ( t)/500 = 1,6 t, a másodikból sin(t 1) = (05 10t)/500 = 0,41 0,0t. Ezeket négyzetre emelve és összeadva egy t-ben másodfokú egyenletet kapunk, aminek a megoldása t 1 1,4 s és t 3040 s. A t 1 -ből számolt szög 1 64,9, és az ágyúgolyók találkozásának helye x 1 (t 1 ) = 500 1,4 = x (t 1 ) = cos64,9 0,4 711 m z 1 (t 1 ) = ,4 = z (t 1 ) = 500 sin64,9 0,4 5 0,4 190 m r(t 1 ) = 711 i k [m]. A t -ből számolt szög 178,9, és az ágyúgolyók találkozásának helye x 1 (t ) = = x (t ) = cos178, , m z 1 (t ) = = z (t ) = 500 sin178, , m ami nem lehetséges, mert a föld felszínét (a z = 0-t) előbb elérik az ágyúgolyók. (Ha a Föld sokkal nagyobb lenne vagy a Föld lapos lenne -, és a homogén erőtér közelítés érvényes lehetne ekkora távolságon is, és az ágyúgolyók földet érési pontja előtt elkezdődne egy 4, m mély kráter, akkor lenne csak értelme ennek a megoldásnak.) 3/8. Milyen szög alatt kell vízszintes terepen elhajítani egy testet, hogy a hajítási magasság megegyezzen a hajítási távolsággal? h = d: v 0 sin / (g) = v 0 sin /g sin = sin tg = /9. A 00 m magas hegy talppontjától (a hegycsúcs alatti ponttól) 500 m-re lévő puska irányzékát milyen (legkisebb) szögre kell állítani, hogy átlőjön a hegycsúcs fölött? Mennyi idő telik el, amíg a puskagolyó a hegy csúcsa fölé érkezik? A puskagolyó kezdősebessége 1000 m/s. 14

15 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 vízszintesen x = v 0 t cos : 500 = 1000 t cos t cos = 0,5 függőlegesen z = v 0 t sin ½ g t : 00 = 1000 t sin 5 t t sin = t /00 + 0, Felhasználva, hogy (t cos ) + (t sin ) = t, egy t -ben másodfokú egyenletet kapunk: 0,5 + t 4 / ,00 t + 0,04 = t, amiből t 1 = 0,539 s és t = 199,8 s. A megfelelő szögek: 1 = 1,93 (ez a minimális) és = 89,86 (ezt már veszélyes kipróbálni!) 3/10. Melyek azok a pontok, amelyekből elejtve az A golyót, az a 45 -os lejtőről rugalmasan ütközve éppen a lejtő aljára pattan? A golyó a lejtő fölött h magasságból indul, így a lejtőre érkezéskor v* (függőleges irányú) sebessége lesz: z = h = 1/ g t 1 t 1 = h g v* = gt 1 = gh. A lejtőről való elpattanáskor ez lesz a vízszintes irányú kezdősebessége, mivel a lejtő 45 -os. Egyenesen a lejtő aljába pattan, így vízszintesen x = v* t, függőlegesen z = ½ g t utat tesz meg, és mivel a lejtő 45 -os, x = z, azaz v* t = ½ g t. Ebből t = v*/g és x = z = v* / g, v*-t beírva x = z = 4h, azaz azok a pontok, ahonnan elejtve a golyót, az a lejtőn rugalmasan ütközve éppen a lejtő aljára pattan, a z = 5/4 x egyenes pontjai. 3/ m/s kezdősebességgel függőlegesen felfelé hajítanak egy tárgyat. Ugyanakkor 50 m magasról szabadeséssel leesik egy másik tárgy. Mikor és milyen magasan találkoznak? 3/1. Mekkora kezdősebességgel kell az origóból a vízszinteshez képest 60 -os szög alatt eldobni egy labdát, hogy az a P (4,3) pontba érkezzen? y 45 A x ÉS EGY HALADÓ FELADAT: A vízszinteshez képest mekkora szög alatt kell adott h magasságból adott v 0 kezdősebességgel elhajítani egy tárgyat, hogy az a lehető legmesszebb érjen földet? h magasságból indulva t d időben 0 legyen a z test koordinátája: z(t d ) = 0 = h + (v 0 sin) t d ½ g t d h = ½ g t d (v 0 sin) t d és eközben vízszintesen megtesz d távolságot: x(t d ) = d =(v 0 cos) t d. Ennek keressük a maximumát, ha változhat (v 0 adott). Rendezzük az egyenleteket úgy, hogy t d -t kifejezve az egyikből és áthelyettesítve a másikba felírjuk d-t függvényében, majd megkeressük a d() függvény szélsőértékét (deriváljuk szerint és megoldjuk a dd/d = 0 egyenletet). Tehát d-ből t d = d/(v 0 cos) h = ½ g/(v 0 cos) d (v 0 sin)/(v 0 cos) d, azaz d (v 0 /g) sin d h(v 0 /g)cos = 0 I(v) =? / D Z[\v + g? D / w w Z[\ v + h? D / w ]^Z v << = D <y? / w ]^Zv + z n/ D { }~y }yo zn / D { }~y ƒz n / D D{ D }~ D yf z n / D { }D y Hosszas rendezgetés után ebből megkapjuk, hogy = 0 és ] v = 1 + w? / D. 15

16 4. hét Dinamika Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Egy traktor két pótkocsit vontat nyújthatatlan drótkötelekkel. Mekkora erő feszíti a köteleket, ha indításnál a traktor 1 perc alatt gyorsít fel 40 km/h sebességre? A traktor tömege 3 t, a pótkocsik tömege - t, a gördülő ellenállási együttható 0,1, g = 9,81 m/s. m F F F 1 F 1 F tr m 1 m tr Mivel 1 perc alatt gyorsít a traktor 40 km/h sebességre állandó gyorsulással: a = v / t = (40/3,6 0) / 60 0,185 m/s. A mozgásegyenletek: traktor: m tr a = F tr F 1 µm tr g első pótkocsi: m 1 a = F 1 F µm 1 g második pótkocsi: m a = F µm g ahol F tr az út által az traktorra a mozgás irányába kifejtett erő, F 1 és F a két kötélerő. Ezekből sorra kiszámolható F = m (a+µg) = 000(0,185+0,1 9,81) = 33 N, F 1 = F + m 1 (a+µg) = (0,185+0,1 9,81) = 4664 N, F tr = F 1 + m tr (a+µg) = (0,185+0,1 9,81) = 8163 N. Mekkora erő szükséges ahhoz, hogy állandó gyorsulással s alatt nyugalmi helyzetből indulva felhúzzunk egy 6 kg tömegű testet egy 30 -os, 1 m magas lejtőn, ha a súrlódási együttható 0,? Lejtő: a mozgásegyenlet vektori alakban: ma = mg + F + F ny + F s. Merőleges komponensekre kell bontani, de nem függőleges és vízszintes, hanem lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensekre bonjuk. lejtővel párhuzamos (felfelé pozitív): ma = F mg sin µf ny lejtőre merőleges (kifelé pozitív): ma = F ny mg cos A gyorsulásnak csak lejtővel párhuzamos komponense lehet, ezért F ny = mg cos és a mozgásegyenlet a lejtővel párhuzamosan ma = F mg sin µmg cos (Ha lenne még olyan erő, aminek van a lejtőre merőleges komponense, akkor F ny és azzal együtt F s nagysága is változna; F s irányát pedig a sebesség szabja meg.) Tehát: a lejtő hossza, azaz a megtett út s = h / sin = m; v 0 = 0, így s = ½ a t a = s/t = 1 m/s. A mozgásegyenletből F = m (a+gsin+µgcos) = 6 (1+10 sin30 +0, 10 cos30 ) = 46,4 N. Csigán átvetett nyújthatatlan kötél egyik végén m 1 = kg, másik végén m = 1 kg tömegű test lóg. A kötél súrlódásmentesen mozoghat. Írjuk fel az egyes testek mozgásegyenleteit! Határozzuk meg a kötélben fellépő feszítőerőt, és az egyes testek gyorsulását! (A csiga tömege elhanyagolható.) 16

17 F k F k m 1 m Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Itt most látszik, hogy m 1 fog lefelé gyorsulni, de ha bonyolultabb a feladat, fel kell tételezni valamit. Mivel a kötél és a csiga tömege elhanyagolható és a csiga súrlódásmentes (és a kötél nyújthatatlan), ezért a kötélerő a kötél mentén állandó. Mivel a kötél nyújthatatlan, a két test gyorsulásának nagysága megegyezik. Szokás az előjeleket nem a függőlegesen felvett z tengelyhez viszonyítani, hanem a kötél mentén felvenni egy pozitív irányt, így a mozgásegyenletek: m g m 1 g m 1 a = m 1 g F k m a = F k m g Ebből = O D f D = w M = 3,7 ˆ/Z és = D f D = Gw M = 13,08 Š Vízszintes asztallapon kiskocsi mozog. A kiskocsit egy csigán átvetett kötélre akasztott súly mozgatja. m = 100 g esetén a kiskocsi 3 s alatt, m = 00 g esetén a kiskocsi 1 s alatt teszi meg az 1 m-es utat nyugalmi helyzetből kiindulva. Mekkora a kocsi tömege, és mekkora a súrlódási együttható? g = 10 m/s M m A mozgásegyenletek: Ma = Fk µ Mg ma = mg Fk M(a+µg) = m(g a) m 1 = 0,1 kg esetén a 1 = s / t 1 = 1 / 3 = /9 m/s : M(/9+10µ) = 0,1(10 /9) m = 0, kg esetén a = s / t = 1 / 1 = m/s : M(+10µ) = 0,(10 ) M = 0,35 kg, µ = 0,57 a/ Bizonyítsuk be: ha a testre ható erő mindig merőleges a test sebességére, akkor a test sebességének nagysága nem változik. b/ Bizonyítsuk be: ha a testre ható erő mindig egyező irányú a test sebességével, akkor a test sebességének iránya nem változik. ez nem zh-nak való feladat! Írjuk fel a test gyorsulását úgy, hogy deriváljuk a test sebességvektorát: = V Œ = a = Va Œ + V Œ a ( Œ a merőleges Œ -re ) a/ Ha az erő, azaz a gyorsulás merőleges a test sebességére, akkor az Œ irányú komponense zérus kell legyen, tehát Va = 0, V = X^\Z. b/ Ha az erő, azaz a gyorsulás egy irányú a sebességgel, vagyis az arra merőleges komponense zérus, akkor Œ a = 0, vagyis Œ = X^\Z. a/ másként: nézzük meg, mit ad, ha deriváljuk a sebességvektor önmagával vett skaláris szorzatát: < = < = =. <. <. Ha v és F merőlegesek, akkor a skaláris szorzatuk zérus, tehát < = 0 ; de tudjuk, hogy < a sebesség nagyságának négyzete állandó, azaz a sebesség nagysága állandó. <. <. = <?? <., vagyis 17

18 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 Vízszintes súrlódásmentes felületen m 1 = 3 kg tömegű test, kötéllel hozzákötve m = 7 kg tömegű test, kötéllel hozzákötve m 3 = 10 kg tömegű test, és azt húzzuk F = 100 N erővel vízszintesen. A kötelek nyújthatatlanok, a tömegük elhanyagolható. Mekkora a testek gyorsulása és mekkorák a kötélerők? m 1 m m 3 F Vízszintes asztalon m = kg tömegű test, az asztal szélén lévő csigán átvetett kötéllel hozzákötve m 1 = 0,5 kg tömegű test lóg függőlegesen. Mekkora a kötéllel egymáshoz kötött testek gyorsulása és a kötelet feszítő erő, ha az m tömegű test a/ a vízszintes felületen súrlódás nélkül csúszhat; b/ és a vízszintes felület közötti súrlódási együttható µ = 0,? m m 1 Mennyivel nyúlik meg a két test közé iktatott rugó, amikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló mozgásban van? Mindhárom test tömege m = 1 kg, a súrlódási együttható µ = 0,, a rugóállandó k = 4 N/cm, a csiga, a rugó és a kötelek tömege elhanyagolható, a csiga súrlódásmentes, a kötelek nyújthatatlanok. m m m m m F 1 F 1 F F F 3 F 3 F 4 F 4 m Kötélerők: egy-egy kötélszakasz két végén azonos nagyságú az erő, mert a kötelek tömege elhanyagolható. F 1 = F, mert a rugó tömege elhanyagolható (ha lenne tömege, a két kötélerő különbsége gyorsítaná a rugót). Ez a kötélerő lesz arányos a rugó megnyúlásával: F 1 = F = F r = k l. F 3 = F 4, mert a csiga tömege elhanyagolható és súrlódásmentes. A mozgásegyenletek (F 1 helyett is F -t, F 4 helyett is F 3 -at írva): a lógó testre ma = mg F 3 a középső testre ma = F 3 F F s = F 3 F µmg a bal oldali testre ma = F F s = F µmg Ezekből = woµ w = AOµ = AO, 10 = m/s. M M M A rugó megnyúlását F -ből számoljuk, azt pedig a bal oldali test egyenletéből kapjuk meg: F = ma + µmg = 1 (+0, 10) = 4 N l = F / k = 1 cm. 18

19 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 A kettős lejtő = 30 hajlásszögű oldalán m 1 = kg tömegű, a β = 45 hajlásszögű oldalán m = 1 kg tömegű test fekszik, a két test össze van kötve egy csigán átvetett kötéllel. A súrlódás elhanyagolható. Mekkora a testek gyorsulása? m 1 m m hajlásszögű lejtőre kötéllel összekötött két testet teszünk. A lejtő és az m 1 tömegű test közötti csúszási súrlódási együttható µ 1, az m tömegű testé pedig µ. Mi a feltétele annak, hogy a két test között a kötél feszes legyen? Mekkora a kötélerő? m 1 µ 1 µ m 1 a = m 1 g sin µ 1 m 1 g cos F k m a = m g sin µ m g cos + F k = KZ[\v f D D ]^ZvN és f = D ( D O ) ]^Zv D f D A kötél feszes, ha F k 0, azaz ha µ µ 1 (az egyenlőség esetén feszes kötéllel kell letenni) VAGY: gyorsabb megoldás, ha a mozgásegyenleteket felírjuk a kötélerő nélkül, és azt mondjuk, hogy ha az alsó test gyorsulása legalább akkora, mint a felső test gyorsulása, akkor a kötél feszes marad. m 1 a 1 = m 1 g sin µ 1 m 1 g cos a 1 = (sin µ 1 cos ) g, hasonlóan a = (sin µ cos ) g a 1 a : sin µ 1 cos sin µ cos µ µ 1 Mennyivel nyúlik meg a rugó? m 1 = kg, m = 3 kg, m 3 = 5 kg, µ 1 = 0,, µ = 0,06, k = 0,5 N/cm. A kötelek súlytalanok és nyújthatatlanok, a csiga súlytalan és súrlódásmentes, a lejtő nem tud elmozdulni. m µ m 1 m 3 µ 1 30 Állandó hajlásszögű egyenes lejtőn csúszunk lefelé a szánkónkkal v sz = 3 m/s állandó sebességgel. A súrlódási együttható µ = 0,14. A szánkó elején van egy csúzli, ami vízszintesen, v 0 = 16 m/s kezdősebességgel tud kilőni egy golyót. A lejtő végénél van egy céltábla. Milyen magasságban kell a mozgó szánkóból a csúzlit kilőni, hogy eltaláljuk a céltáblát? 19

20 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 A lejtő hajlásszögét abból tudjuk kiszámolni, hogy a szánkó amit gyorsít a nehézségi erőnek a lejtővel párhuzamos komponense és fékez a súrlódási erő állandó sebességgel csúszik, vagyis a (lejtővel párhuzamos) gyorsulása zérus: ma = mg sin µ F ny = 0. A lejtőre merőleges mozgásegyenletből: ma = F ny mg cos tudjuk, hogy F ny = mg cos, és így a lejtővel párhuzamos mozgásegyenlet ma = mg sin µmg cos = 0 µ = 0,14 = tg = arc tg 0,14 8. A szánkó sebességének vízszintes komponense v sz,x = v sz cos,971 m/s, függőleges komponense v sz,z = v sz sin 0,416 m/s. A kilőtt golyó sebességének vízszintes komponense v g0,x = v sz,x + v 0, = 18,971 m/s, kezdősebességének függőleges komponense v g0,z = v sz,z 0,416 m/s. z v 0 h v sz 0 x A koordinátarendszert az ábra szerint választva a golyó az x = 0, z = h pontból indul és az x = h/tg, z = 0 pontba kell megérkezzen, tehát x: ( v sz,x + v 0 ) t = h / tg z: h v sz,z t ½ g t = 0. Az elsőből h-t kifejezve és átírva a másodikba ( v sz,x + v 0 ) t tg v sz,z t ½ g t = 0, amiből t = v 0 tg / g 0,448 s és visszahelyettesítve h = v 0 tg ( v sz sin + v 0 tg ) / g 1,19 m. Az ábra szerint elhanyagolható tömegű nyújthatatlan kötéllel egymáshoz kötünk egy M, m 1 és m tömegű testet és 38 -os hajlásszögű lejtőre tesszük. A lejtő tetején egy ideális (súrlódásmentes, elhanyagolható tömegű) csiga van. Az m 1 és m tömegű testek és a lejtő közötti csúszási súrlódási együttható µ = 0,08. a.) Mekkora a testek gyorsulása és mekkorák a kötélerők? b.) Ha az M tömegű testet eltávolítjuk, mekkora erővel kell húzni a kötelet, hogy az m 1 és m tömegű testek gyorsulása ne változzon? c.) Hányszorosára nő a testek gyorsulása, ha az M tömeg kétszeresére nő? (a kötelet nem húzzuk) 38 m µ m 1 µ M M = 7 kg m 1 = 5 kg m = 3 kg µ = 0,08 g = 10 m/s 0

21 Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 F ny1 F k1 38 m F ny F s µ m g F k F k m 1 F s1 µ m 1 g a.) Az m 1 -re ill. m -re a lejtő által kifejtett nyomóerő F ny1 = m 1 g cos38 ill. F ny = m g cos38 (ezt megkaphatjuk a lejtőre merőleges komponensből: ma = F ny mg cos38 = 0), így a súrlódási erők F s1 = µ F ny1 = µ m 1 g cos38 ill. F s = µ F ny = µ m g cos38. A lejtővel párhuzamosan F k1 M Mg M a = Mg F k1 m 1 a = F k1 F k m 1 g sin38 F s1 = F k1 F k m 1 g sin38 µ m 1 g cos38 m a = F k m g sin38 F s = F k m g sin38 µ m g cos38 Ezekből a = O( f D )( M O š M ) g 1,047 m/s f D f és a kötélerők: F = D(Af M f š M ) f D f g 3,50 N; F A = ( f D )(Af M f š M ) g 6,67 N. f D f Megjegyzés: Itt a súrlódási erők irányát úgy vettük fel, hogy feltettük, hogy az M tömeg lefelé gyorsul. A gyorsulásra pozitív érték jött ki, ebből tudjuk, hogy tényleg ebbe az irányba gyorsulnak a testek. Ha azt feltételezve indulunk el, hogy az M tömeg felfelé gyorsul, akkor a gyorsulásra negatív számot kapunk, a = 1,7 m/s jönne ki. Ilyenkor nem elég mindennek az előjelét megváltoztatni, merthogy a gyorsulás nagysága is más lesz amiatt, hogy a súrlódási erők iránya megváltozik, ezért az egyenleteket újra fel kell írni a másik irányt tekintve pozitívnak. A pozitív irány kiválasztásában az segíthet, hogy megnézzük, súrlódási erők nélkül merre kezdene gyorsulni a rendszer: itt jobbra Mg = 70 N, balra (m 1 +m )g sin38 49,5 N hat a csigánál, tehát jobbra gyorsul. b.) Ha m 1 és m marad és a gyorsulásuk változatlan, akkor a kötélerők is változatlanok. Ez azt jelenti, hogy a kötelet a fent kiszámolt F k1 6,67 N nagyságú erővel kell húzni. Megjegyzés: Azért nem Mg = 70 N nagyságú erővel, mert az az erő ahhoz volt szükséges, hogy mindhárom testet gyorsítsa, de most kisebb az össztömeg. Az Mg F k1 7,33 N erő magát az M tömegű testet gyorsítja, így lesz annak is 7,33/7 1,047 m/s nagyságú gyorsulása. [Az F k1 m 1 g sin38 F s1 m g sin38 F s 8,38 N erő gyorsítja az m 1 +m tömegeket (8,38/8 1,047m/s ), az F k1 m 1 g sin38 F s1 F k 5,4 N az m 1 tömeget (5,4/5 1,047m/s ) és az F k m g sin38 F s 3,14 N az m tömeget (3,14/3 1,047m/s ).] c.) A gyorsulás nem kétszeresére nő, mert ugyan Mg értéke kétszeresére nő, de az m 1 és m testekre ható ellentétes irányú erők változatlanok. Az a.) pontban felírt egyenletekbe M = 14 kg-ot behelyettesítve a* 3,896 m/s, ez ~3,7-szerese az előző gyorsulásnak. Egy = 30 hajlásszögű, h = 1,6 m magas lejtő tetejéről elengedünk egy ládát. Ugyanebben az időpontban a lejtő tetejéről egy labdát úgy dobunk el, hogy az a lejtő legalján éppen a ládába essen. Mekkora és milyen irányú kezdősebességgel kell a labdát eldobni? A láda és a lejtő közötti súrlódási együttható µ = 3 / 8. 1

22 A láda súrlódással csúszik lefelé a lejtőn, a mozgásegyenlete lejtőre merőlegesen: ma = 0 = F ny mg cos lejtővel párhuzamosan: ma = mg sin µf ny tehát a gyorsulása a lejtő síkjában Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 a = a = (sin µcos) g = (sin30 M M cos30 ) 10 = (0,5 M ) 10 = 3,15 m/s. Zérus kezdősebességről indulva s = h / sin = 1,6 / sin30 = 3, m-t tesz meg a láda a fenti gyorsulással: s = t t = g } = g M, 1,43 Z alatt ér le a láda. M,A Ennyi idő alatt kell a labdának ugyanabba a pontba érkeznie, azaz ha az origóból indul, vízszintesen h / tg = 1,6 / tg30,77 m-t tesz meg és az x,77 [m] pontba, függőlegesen h = 1,6 m-t tesz meg és a z = 1,6[m] pontba érkezik. azaz x = (v 0 cos) t = (v 0 cos) 1,43 =,77 z = (v 0 sin) t g/ t = (v 0 sin) 1,43 g/ 1,43 = 1,6 v 0 6,34 m/s, 7,. NEM ZH-FELADATOK: m tömegű tömegpont mozog az xy síkban. A tömegpontra a sebességével arányos és arra merőleges erő hat, az arányossági tényező β. Az erő is benne van az xy síkban. Írjuk fel a test mozgásegyenletét! Milyen pályán mozog a test? (egyszerűbb polárkoordinátában!) Két anyagi pont, A és B kölcsönhatásban van egymással. Az A pontra még egy, az A-t és B-t összekötő egyenesre merőleges F 1 erő is hat. A B pont gyorsulása a B. Mekkora az A pont gyorsulása? 5. hét Körpálya Asztalon m = 0,5 kg-os golyót l = 0,5 m-es fonálon v 0 = 5 m/s kezdősebességgel meglökünk. (A kezdősebesség merőleges a fonálra.) Mekkora lesz s múlva a golyó sebessége és a fonálerő? µ = 0, Körpályán mozgó test gyorsulása tangenciális, azaz érintőirányú és radiális, azaz sugárirányú komponensekre bontva:. = Va, = = V /. A testre két erő hat: a kötélerő, ami sugár irányban befelé mutat, és a súrlódási erő, ami érintő irányú, és a sebességgel ellentétes irányba mutat, tehát ˆ. = ˆVa = } = ˆ, ˆ = ˆ =?D =. Az első egyenletből V = V. behelyettesítve v() = 5 0, 10 = 1 m/s ; és a második egyenletből F k = 0,5 1 /0,5 = 1 N. Egy R = 10 cm sugarú gömb belsejében a sugár fele magasságában elhelyezkedő vízszintes síkban egy golyó kering. Számítsuk ki a keringési időt!

23 A centripetális erő a (függőleges) nehézségi erő és a (gömb adott pontbeli érintősíkjára merőleges, tehát a gömb középpontja felé mutató) nyomóerő eredője. Legyen a nyomóerőnek a függőlegessel bezárt szöge. A geometriai feltételekből látható, hogy cos = ½R / R = ½, tehát = 60. Az erőket felrajzolva látható, hogy F cp = mg tg. Másrészt F cp = mrω, ahol r a körpálya sugara (a keringés síkjában): r = R sin 60 = 3/ R. Tehát F cp = mrω = m R sin 60 ω = mg tg 60 ω = g / R T = π / ω 0,44 s. mg Fizika számgyak zh1 gyakorló 014 F ny F cp R R R/ r = 3/ R R/ Az y = (0,5cm 1 )x egyenletű parabola y tengely körüli forgatásával nyert paraboloid belsejében az y = cm és az y = 4,5 cm magasan elhelyezkedő síkokban két golyó kering. a/ Milyen sebességgel keringenek? b/ Mennyi idő alatt tesznek meg egy fordulatot? a) A centripetális erő a (függőleges) nehézségi erő és a forgási paraboloid adott pontbeli érintősíkjára merőleges nyomóerő eredője. A mértékegységek miatt írjuk fel a parabola egyenletét úgy, hogy bevezetünk egy a paramétert: y = ax, és tudjuk, hogy a = 0,5 cm 1. Behelyettesítéskor erre figyelni kell; legegyszerűbb cm-ben számolni, de akkor g-t is át kell számolni cm/s -be: g = 1000 cm/s. A parabola érintője dy/dx, ahol tehát dy/dx = d(ax )/dx = ax, vagyis az érintőnek az x tengellyel bezárt szögére tg = dy/dx = ax. Az erőket felrajzolva látható, hogy F cp = mg tg ; másrészt F cp = mv /r. A körpálya sugara mindig az adott y magasság felhasználásával a parabola egyenletéből visszaszámolható x érték, azaz x 1 = cm, x = 3 cm. Ezekből F cp = mv /r = mv /x = mg tg = mg ax v = ax g v 1 63, cm/s, v 94,9 cm/s. b) ω = v/r = v/x = ag = π/t T = π / ag 0, s a keringés helyétől függetlenül. mg F ny F cp y r = x x Kúpinga hossza l, a kúpszög. Mekkora a keringési idő? mg F k x F cp A centripetális erő a (függőleges) nehézségi erő és a kötélirányú húzóerő eredője. Ezeket felrajzolva látható, hogy F cp = mg tg, másrészt F cp = mrω. A körpálya sugara r = lsin. Tehát F cp = mrω = m lsin ω = mg tg ω = l T = π g cos π = T l cos g 3