Áramlástan feladatgyűjtemény. 3. gyakorlat Hidrosztatika, kontinuitás

Átírás

1 Áramlástan feladatgyűjtemény Az energetikai mérnöki BSc és gépészmérnöki BSc képzések Áramlástan című tárgyához 3. gyakorlat Hidrosztatika, kontinuitás Összeállította: Lukács Eszter Dr. Istók Balázs Dr. Benedek Tamás BME GPK Áramlástan Tanszék, 09

2 FOGÓ EDÉNY Egy henger alakú edényben, nyugalmi helyzetben H magasságig állt a víz. Amikor az edényt középtengelye körül forgatni kezdjük, a vízfelszín alakja megváltozik: a közepén lecsökken, míg a szélén megnő a vízfelszín magassága. z r Mekkora szögsebességgel kell forgatni, hogy a közepén h-ig csökkenjen a magasság? H h Adatok: h = 0, m; H = 0,3 m; = 0, m; ρvíz=000 kg/m 3 Kezdeti megfontolások: a feladat az edénnyel együtt-forgó koordináta-rendszerből tekinthető hidrosztatikai problémának ekkor a fellépő centrifugális erőtér (g c ) hatásával számolnunk kell Ezért a folyadék felszíne a nehézségi és a centrifugális erőtér együttes hatására másodfokú paraboloid lesz Egy másodfokú paraboloid felület a szimmetriatengelyével egybeeső befoglaló henger térfogatát pontosan felezi, ezért a nyugalmi állapothoz képest a felszín lesüllyedése és felemelkedése azonos lesz (ld. Magyarázat)! feltételezhető, hogy a folyadék felszínén a nyomás légköri az összes folyadék az edényben marad, nem csordul túl a peremen A hidrosztatika alapegyenlete az - pontok között, nehézségi és centrifugális erőterek figyelembevételével: p + ρu = p + ρu U = U n + U c = gz r ω p + ρ (gz r ω ) = p + ρ (gz r ω ) r = 0, r = Mivel az -es és -es pont is szabad felszínen van: p = p = p 0 Egyszerűsítve és ω-ra rendezve: ω = g(z z ) () A legnagyobb megengedhető felemelkedés H-h, tehát az () egyenlet jobb oldalán a magasság-különbség (z z ) maximális értéke enned a duplája. z z = (H h) () Az () és () egyenletekből a szögsebesség számolható:

3 ω = g(z z ) g(h h) 0 (0,3 0,) = 4 = 4 0, = 0 s (3) MAGYAÁZAT: Az () egyenletből látszik, hogy ha a () pontot a folyadékfelszín tetszőleges sugárhoz tartozó pontjában vesszük fel, annak magassága a sugárral négyzetesen nő, azaz a folyadékfelszín alakja egy másodfokú forgási paraboloid lesz. z z = ω g (4) Egy z(r) = k r másodfokú forgási paraboloid térfogata a következőképpen számolható: π V = zda = kr 0 0 r dr dφ = π k 4 4 = π z() (5) Tehát a (3) egyenlet alapján másodfokú forgási paraboloid térfogata az azonos szimmetriatengelyű, őt magába foglaló henger térfogatának fele. Jelen esetben a másodfokú forgási paraboloidunkat magába foglaló hengert V térfogatú levegő és V térfogatú víz tölti ki az alábbi ábrán látható módon. A térfogata pedig a következőképpen számolható ((6)- egyenlet): V = (z z ) π = V + V (6) z H z 0 h Álló edény Forgó edény A forgási paraboloidot felülről levegő tölti ki, melynek térfogata a fentiek alapján: V = V (7) A (4) és (5) egyenletekből következően: V = V = (z z ) π (8) Azaz a felemelkedés és a lesüllyedés mértéke azonos!

4 GYOSULÓ U-CSŐ Az ábrán látható üvegcsőben víz és benzin található a bemutatott nyugalmi elrendezésben. Határozza meg a bal oldali benzinoszlopnak a vízszintes csőszakasz feletti felső szintjét, a) nyugalmi helyzetben b) ha az üvegcső a=3m/s gyorsulással mozog a megadott irányban. Adatok: h = 8 mm; H = 55 mm; L = 00 mm; ρvíz = 000 kg/m 3 ; ρbenzin = 700 kg/m 3 ; g = 0 N/kg; a = 3 m/s h benzin L a h víz H a) a folyadékszint meghatározása nyugalmi helyzetben, kezdeti megfontolások: a feladat hidrosztatikai probléma, kizárólag a nehézségi erőtér hat a pontok felvételekor ügyelnünk kell rá, hogy a hidrosztatika alapegyenletének egyszerűsített formája csak állandó sűrűségű közegek esetén írható fel külön a benzinben és külön a vízben Felírva a hidrosztatika alapegyenletét az - pontok közé a benzinben: p + ρ b U = p + ρ b U - p = p 0 - U = gz ; U = gz U U = g(z z ) = gh h h L 3 H p = p + ρ b (U U ) = p 0 + ρ b gh () Felírva a hidrosztatika alapegyenletét a -3 pontok közé a vízben: p + ρ v U = p 3 + ρ v U 3 - a folyadék felszínén a nyomás légköri: p 3 = p 0 - U = gz ; U 3 = gz 3 U 3 U = g(z 3 z ) = g(h h ) p = p 3 + ρ v (U 3 U ) = p 0 + ρ v g(h h ) () Az () és () egyenletekből: p 0 + ρ b gh = p 0 + ρ v g(h h ) h = ρ vh ρ b h = = 4,4mm ρ v 000

5 A benzinoszlop vízszintes csőszakasz feletti felső szintje tehát: h + h = 4,4 + 8 = 60, 4mm b) a vízszint meghatározása gyorsulás esetén, kezdeti megfontolások: a feladat az U-csővel együtt gyorsuló koordináta-rendszerből tekinthető hidrosztatikai problémának tehetetlenségi erőtér (g t ) a koordináta-rendszert az U-cső bal alsó sarkához rögzítjük, az x-tengely a gyorsulás-vektor irányába mutat a tehetetlenségi erőtér hatására a jobb oldali szárban h-val megemelkedik, míg a bal oldali szárban h-val lecsökken a folyadékszint. A felemelkedés és lecsökkenés egyenlősége a kontinuitás és a csőátmérő állandóságának folyománya. a benzinoszlop teljes egészében a függőleges szárban marad 3 Δh Δh a x z Felírva a hidrosztatika alapegyenletét a -3 pontok közé a vízben: p + ρ v U = p 3 + ρ v U 3 - a folyadék felszínén a nyomás légköri: p 3 = p 0 - p az a) feladatrészben leírt módon számítható, mivel a tehetetlenségi erőtér a z-tengely irányában nem végez munkát: p = p 0 + ρ b gh - U = gz + ax = g(h h); U 3 = gz 3 + ax 3 = g(h + h) + a( L) A -3 pontok közé felírt hidrosztatikai alapegyenlet a behelyettesítés után tehát a következőképpen alakul: p 0 + ρ b gh + ρ v g(h h) = p 0 + ρ v [g(h + h) + a( L)] h = [ρ b h + h ρ H + a v g L] = [ , ] = 30mm 0 A benzinoszlop vízszintes csőszakasz feletti felső szintje gyorsuló U-cső esetén tehát: h + h h = 4, = 30, 4mm Az eredményt visszaellenőrizve a benzinoszlop valóban teljes egészében az U-cső függőleges szárában marad.

6 MUNKAHENGE Egy hidraulikus emelőben két munkahenger és egy tartály található. A kisebb átmérőjű munkahenger () a tartályból (0) szívja és a nagyobb munkahengerbe () szállítja az olajat. A visszaáramlást visszacsapó szelepek akadályozzák meg. 0 a) Mekkora lesz a nagyobb munkahenger sebessége abban az esetben, ha a kisebb munkahenger v sebességgel mozog lefele? b) A lökethosszok (l) ismeretében határozza meg, hányszor kell a kisebb hengert működtetni a nagyobb teljes kimozdításához! c) Mekkora erőt ad le a nagyobb munkahenger, ha a kisebbiket F erővel nyomjuk? Adatok: d = 0 mm; d = 60 mm; l = 90mm; l = 90mm; v = 6 mm/s; F = 00 N a) Kontinuitás összenyomhatatlan közeg esetén (ρ = áll.): v A = v A d π v 4 = v d π 4 v = v ( d ) = 6 ( 0 d 60 ) = 0, 7 mm s b) Egy működtetéssel benyomott mennyiség: V = l A = l d π 4 = 90 0 π 4 = 7069mm3 A szükséges működtetések száma: n = V = l ( d ) = 90 V l d 90 (60 0 ) = 36 c) A hengerekben a hidrosztatikából származó nyomáskülönbségeket elhanyagolva a nyomás állandó: p = F A = p = F A A F = F = F A ( d ) = 00 ( 60 d 0 ) = 3600N

7 KOMPESSZO Levegő nyomásának növelésére kompresszort használunk, melynek szívócsövében 7-edfokú paraboloid írja le a sebesség eloszlását. v =? Az ismert adatok alapján határozzuk meg a nyomócsőben az átlagos sebességet! Adatok: p = bar; p = 3,5 bar; D = 80 mm; D = 90 mm; T = 300K; T = 380K; = 87J/(kgK); vmax, = 30 m/s; n = 7 v p, D, T p, D, T A kontinuitás alapján a tömegáram állandó, a szívó- és nyomócsonkon megegyezik: q m = v ρ A = v ρ A - v és v rendre a szívó- és nyomócsonkon kialakuló átlagsebességek - A és A rendre a szívó- és nyomócsonk-keresztmetszetek: A = D π 4 - a sűrűség az ideális gáztörvényből: ρ = p T p π p q m = v D T 4 = v D T 4 v = v p T ( D ) p T D π A v átlagsebesség kiszámításához írjuk fel a sebességprofilra jellemző 7-edfokú parabola általános képletét és a hozzá tartozó peremfeltételeket: v = a + b r n r - r = 0 v = v max a = v max - r = v = 0 0 = v max + b n b = v max n v = v max v max ( r n ) = v max [ ( r n] ) vmax v

8 A csőben kialakuló térfogatáram: q V = vda = v πr dr = v max [ ( r n] ) πr dr = v max π [r rn+ ] dr n 0 0 = v max π [ r n + rn+ n ] 0 = n π v max [ n + ] = A v n max [ n + ] = v max π [ 0 n + n+ n ] Ebből az átlagsebesség a szívócsőben: v = q v n = v A max [ n + ] = 30 [ ] = 3,3 m s Átlagsebesség a nyomócsőben a kontinuitás alapján: v = v p T ( D ) p T D = 3,3 3, (80 90 ) = 33, 8 m s

9 K..50. A K..50. előadóterem téglalap alakú nyitott ablakán 45 -os szögben fúj be a hűvös, őszi szél. A teremben ülő 00 hallgató és a fűtés miatt a levegő 5 C-os hőmérséklet-növekedés után a folyosóra áramlik ki. A folyosó a terem falára merőleges tengelyű, téglalap keresztmetszetű csatornának tekinthető. A terem mindenhol máshol zárt. v szél t külső A ablak α Δt=5 C v folyosó A folyosó Határozza meg: a) a beáramló levegő térfogatáramát! b) a termen átáramló levegő tömegáramát! c) a folyosón áramló levegő térfogatáramát! d) a folyosón áramló levegő átlagsebességét! Adatok: Aablak = 6m3m; Afolyosó = mm; α = 45 ; tkülső = 0 C; Δt = 5 C; vszél = 3km/h; = 87J/(kgK); p0 = bar a) az ablakon beáramló szél térfogatárama, figyelembe véve a ferde megfúvást: q v,szél = v szél A ablak cos α = 3 3,6 6 3 cos 45 = 0, 6 m3 s b) a tömegáram számításához szükséges a beáramló levegő sűrűségének számítása, mely az ideális gáztörvényből: ρ szél = p 0 = 05 kg =,3 T szél m 3 A termen átáramló tömegáram: q m = q v,szél ρ szél = 0,6,3 = 3, kg s c) a folyosón áramló levegő térfogatáramához szükséges a kiáramló levegő sűrűsége (a ρ ki = tömegáramok megegyeznek): p 0 (T szél + T) = 0 5 kg =,3 87 (83 + 5) m 3 q v,folyosó = q m = 3, m3 =, ρ ki,3 s d) a folyosón áramló levegő átlagsebessége: v folyosó = q v,folyosó =,6 A folyosó =, 9 m s