4.GYAKORLAT (8. oktatási hét)

Átírás

1 4.GYAKORLAT (8. oktatási hét) Lehetséges témakörök a 8. heti 4. gyakorlatra: - izoterm atmoszféra - Bernoulli-egyenlet instacioner áramlásokra (=0, =áll., instac., pot.erőtér, ❶->❷ áramvonal) PÉLDA (izoterm atmoszféra) Öt barátja elutazott ötfelé (lásd alábbi helyek). Mind az öten az alábbi hotelekben pont egy-egy 0. emeleti szobát kapnak. A hotelek földszintjének z 0 =0m tengerszint feletti z i [m] magasságai ismertek: z i DO IT! Nepál Hotel Kathmandu 98 m Zimbabwe Hotel Harare 480 m USA Hotel Denver 65 m Svájc Hotel Alpine 700 m Mexikó Hotel Tequila 6 m 8340,33436 Tudjuk, hogy a hotelek emeletei mindenhol 3m magasak. Egyikük a mellékelt képet, a saját 0. emeleti hotelszoba ablakából készített fotót küldi Önnek a mai fak-zh-ra bíztatásul. Tudja, hogy az okostelefonjára mindenkinek fel van telepítve az izoterm atmoszféra nevű ingyenes app, amely a GPS és I.S.A. adatok alapján a helyi p[pa] légnyomást kiszámítja és öt tizedesjegy-pontossággal ráteszi a fotó bal alsó sarkára. ADATOK: Az I.S.A. (Int.Stand.Atm.) adatok: p 0 = 035 Pa; T 0 = 88 K; R = 87 J/(kgK); g = 9,8 N/kg KÉRDÉS: Izoterm atmoszféra feltétellel számítással indokolja, honnan küldte Önnek a fotót az egyik barátja! MEGOLDÁS (A lap túloldalán is folytathatja a megoldást) Izotermikus atmoszféra feltétel esetén a p=f(z) függvény ismert: p(z) = p 0 e g(z z 0) RT 0 A fénykép alapján ismert a p(z)=8340,33436 Pa nyomás értéke, ehhez keressük a z magasságot. Fenti alakot rendezve z-re kapjuk: azaz: behelyettesítve: z = ln p p 0 = g(z z 0) RT 0 z = RT 0 g ln p p ln 8340,33436 = 656,5m 9,8 035 Tehát a fotó z = 656,5 m tengerszint-feletti magasságban készült valamelyik hotelben. Bármelyik hotel 0. emeletén állva és a fényképezőgépet kb.,5m magasságban tartva a fotókészítés tengerszint-feletti magassága z = z i +0 3m +,5m = z i + 3,5 m. Ebből z i = z - 3,5m, vagyis z i = 656,5-3,5 = 65 m, azaz a barátja a fotót a Hotel Denver (USA) 30. emeletén készítette. YOU CAN

2 PÉLDA(izoterm atmoszféra) Ön a Magas-Tátra hegység 63m magas Lomnici-csúcsáról utazik lefelé lanovkával a 90m tengerszintfeletti magasságban fekvő Tátralomnicra. A csúcson indulás előtt kiitta a teát az literes termoszából, aztán a kupakot hermetikusan lezárta és nem is nyitotta ki az utazás alatt. A) Tátralomnicra érve mekkora a nyomáskülönbség a termosz belső tere és a külső környezeti nyomás között? Ha kinyitja a termoszkupak szelepét, akkor azon keresztül kifelé vagy befelé kezd el áramlani a levegő? Az A) kérdés során a p=f(z) számítása során izoterm atmoszférát tételezzen fel, melyhez az adatok: z 0 =0m, p 0 =035Pa; T 0 =88K; R=87 J/(kgK), g=9,8 N/kg. B) Mekkora lenne a termosz belső tere és a külső környezeti nyomás között ez a nyomáskülönbség Tátralomnicra érkezéskor, ha nem izoterm atmoszféra, hanem a z 0 =0m tengerszinti =állandó feltétellel számolná a p=f(z) környezeti nyomást? MEGOLDÁS A) Izoterm atmoszféra feltételt használva bármely z i magasságon a p i nyomás az alábbi p=f(z) kifejezéssel számítható: p i = p 0 e g (z i z 0 ) R T 0 Esetünkben z i = 63m (fent) és 90m(lent) ismeretében a nyomások: fent: p CSÚCS =7440 Pa lent: p TÁTRALOMNIC =9095 Pa A nyomáskülönbség p= p TÁTRALOMNIC p CSÚCS,= 9095Pa 7440Pa = 68 Pa Mivel p TÁTRALOMNIC > p CSÚCS, így ha kinyitjuk a kupakszelepet, akkor kintről befelé áramlik a levegő. B) A 0 =áll. feltételt használva: Mivel z 0 =0m tengerszinten a nyomás p 0 =035Pa és T 0 =88K=áll. adatok ismertek, így a 0 =,58638kg/m 3 (,6kg/m 3 ) álladó sűrűség ismeretében bármely z i magasságon a p i nyomás felírható: p i = p 0 ρ 0 g (z i z 0 ) = p 0 ρ 0 g z i fent: p CSÚCS =69673 Pa lent: p TÁTRALOMNIC =9038 Pa A nyomáskülönbség p= p TÁTRALOMNIC p CSÚCS,= 9038Pa 69673Pa = 0709Pa Mivel p TÁTRALOMNIC > p CSÚCS, így ha kinyitjuk a kupakszelepet, akkor 0 =áll. feltételt használva is kintről befelé áramlik a levegő, de nagyobb a nyomáskülönbség, mint izoterm atmoszféra feltétel esetén.

3 PÉLDA(izoterm atmoszféra) Mexico City repülőterének z=50m tengerszint feletti magasságban fekvő kifutópályáján az indulásra váró repülőgép utasterében a nyomás a C helyi környezeti nyomás, a hőmérséklet pedig 5ºC. C belső Felszállás után a repülőgép rövid idő alatt eléri a z=0500m-es utazómagasságot. Az utazómagasságon az utastér nyomását 0, Pa értéken tartják, miközben az utastér hőmérséklete 5ºC marad, mert nem működik tökéletesen a klímaberendezés. ADATOK: I.S.A. adatok: z 0 =0m, p 0 =035Pa, B T 0 =88K. Ebben a példában g=9,8n/kg értékkel számoljon! levegőre R=87 J/(kgK) A 0 0 p [Pa]. Izoterm atmoszféra feltétellel határozza meg, hogy utazómagasságon mekkora és milyen irányú az utastér 5cm40cm téglalap alakúnak tekinthető ablakára ható erő!. Rajzolja fel a diagramba a környezeti nyomás magasság szerinti változását izoterm atmoszféra feltétel esetén! Jelölje a diagramban az A) tengerszinten, B) repülőtéren és C) utazómagasságon (repülőgépen kívül és belül) a pontokat a (z,p) koordinátákkal!.3 Hány kg levegőnek kell távoznia a 850m 3 térfogatú utastérből, mire a repülőgép eléri az utazómagasságot?. Ha z 0 =0m tengerszinten a nyomás p 0 =035Pa és T 0 =88K=áll. adatok ismertek, akkor bármely z i magasságon a p i nyomás az izoterm atmoszféra képlettel számítható: p i = p 0 e g (z i z 0) R T0 Esetünkben z i = 0500m ismeretében a külső nyomás p külső kiszámítható: p külső =p 0 0, =94 Pa Ezzel a nyomáskülöbség p=p belső -p külső = =45859Pa Az ablakra ható erő: F ablak =p A ablak =48859Pa (0,5 0,4)=4585,9N z [km]. Lásd ábra. tengeszinten (z A =0m) reptéren (z B =50m) utazómagasságon (z C =0500m) p=p 0 =035Pa p=77579pa p=94pa.3 A repülőtéren (z B =50m) az utastér 850m 3 -e tele van a helyi nyomású és hőmérsékletű levegővel, melynek sűrűsége: B =p B /(R T B )=77579/(87 88)=0, kg/m 3 ezzel az utastér levegőjének össztömege: m B = B V=797,79 kg Az utazómagasságon (z C =0500m) az utastér 850m 3 -e tele van a belső nyomású (75000Pa) és 5 C hőmérsékletű levegővel, melynek sűrűsége: C =p C /(R T C )=75000/(87 88)=0, kg/m 3 ezzel a tömege: m C = C V=77,7 kg Tehát m= m B - m C =6,5kg tömegű levegőt kellett kiengedni.

4 PÉLDA (Instacioner Bernoulliegyenlet) Egy p =,5bar nyomású, vízzel töltött zárt fedelű tartályhoz csatlakozó vízszintes tengelyű csővezeték végén egy alapállapotban teljesen zárt szelep található. FELTÉTELEK: =0; =áll.; A tartály >>A cső ; a tartályt a csővel és a csőszakaszokat egymással elhanyagolható hosszú csőidomok kötik össze, a szelep hossza is elhanyagolható. A csővégi szelep be- és kilépő keresztmetszetei a d átmérőjű csőével azonosak. ADATOK: 5 3 p0 0 Pa = 000kg/m g=0 N/kg H=5m d 50mm d 5mm 0m 5m A 7m a)mekkora a víz A pontbeli kezdeti gyorsulása a nyitás t 0 =0s időpillanatában? b)mekkora a víz A pontbeli gyorsulása sebessége abban az időpillanatban, amikor a kiáramlási sebesség a stacioner kiáramlási sebességnek épp a háromnegyede? a) Az instacioner esetre felírt Bernoulli-egyenlet az és pont közötti áramvonalon: p + ρ v + ρ g z = p + ρ v + ρ g z + ρ v t ds A z=0m referencia szintet bárhova felvehetjük, most legyen z=0m az alsó csőtengelyben. =tartály vízfelszín =csővég, a szelep utáni kiáramlási keresztmetszet p [Pa] Pa p 0 =00 000Pa v [m/s] v =0 (tartály) v =0 (nyitás pillanata!) z [m] 5m 0m Az és pontok közötti folyadék gyorsításához szükséges többletnyomás, azaz a ρ v ds tag t kiszámítása: Mivel A tartály >>A cső, és az átmeneti idomok hossza elhanyagolható és a csőkeresztmetszet változik, de szakaszonként állandó (a A =a A ), a csőhosszak pedig L =0m és L =5m így: ρ v = ρ a L + ρ a ds t L. (Itt az ill. alsó index az -es ill. csőszakaszra utal!) Az instacioner Bernoulli-egyenlet a nyitás időpillanatában (azaz a maximális értékű) a A =a gyorsulásra rendezhető: a A =. a = p p + ρ g (z z ) ρ (L + L A = ) A 000 (0 + 5 ( 50 = ) 30 = 0m/s ) b) A t= stacioner kiáramlási sebesség a stacioner Bernoulli-egyenletből rendezve meghatározható: v,stac = (p p ) + g(z ρ z ) = = 600m/s A Bernoulli-egyenlet instacioner alakja abban a t időpillanatban ( t 0 <t< ) felírva, amelyben v a v,stac háromnegyede (azaz 0,75 600m/s), ismét csak az a gyorsulás ismeretlen: =tartály vízfelszín =csővég, a szelep utáni kiáramlási keresztmetszet p [Pa] Pa p 0 =00 000Pa v [m/s] v =0 (tartály) v =0,75 600m/s z [m] 5m 0m Az instacioner Bernoulli-egyenlet fenti adatokkal rendezhető: a= a = p p ρ v + ρ g z ρ g z ρ (L + L A A ) = 50 68, = 3, 5 30 = 4, 375m/s

5 PÉLDA(Instacioner Bernoulli-egyenlet) A vízszintes tengelyű óriásfecskendőben víz p d van. A megfigyelt t F d v időpillanatban (t 0 <t< ) d v ki ismert a dugattyú a d a ki sebessége és gyorsulása L l v d =m/s a d =m/s 0 A dugattyú baloldalán és a fecskendő kiáramlási keresztmetszetében a nyomás p 0 =0 5 Pa. Feltételek: Ideális közeg. A ød ill. ød átmérőjű, és L ill. l hosszúságú csőszakaszok közötti átmeneti idom (konfúzor) hossza a csőhosszakhoz képest elhanyagolható. ADATOK: L=500mm; l=500mm; ød=50mm; ød=5mm, víz =0 3 kg/m 3 ; p 0 =0 5 Pa a)mekkora ekkor a szabadba kiáramló vízsugár sebessége és gyorsulása? v ki =? a ki =? b)mekkora akkor a dugattyú belső felületén a nyomás? p d =? c)mekkora F d erővel kell hatni a dugattyúra ebben a pillanatban? F d =? a) A csőkeresztmetszet változik, de szakaszonként állandó, a gyorsulásokra alkalmazható folytonosság-tétel (a A =a A ) miatt a =a dug =m/s, ezzel a =4 a =8m/s. A sebesség hasonló (v A =v A ) módon v =v dug =m/s alapján v =4 v =8m/. b) Az instacioner esetre felírt Bernoulli-egyenlet az (dugattyú belső felszíne) és (csővég) pont közötti áramvonalon: p + ρ v + ρ g z = p + ρ v + ρ g z + ρ v t ds A z=0m referencia szintet bárhova felvehetjük, most legyen z=0m az alsó csőtengelyben. p [Pa] p belső =p =? p 0 =00 000Pa v [m/s] v =v dug =m/s v =4 v =8m/s (folytonosság!) z [m] 0m 0m Az és pontok közötti folyadék gyorsításához szükséges többletnyomás, azaz a ρ v ds tag t kiszámítása: Mivel az átmeneti idom hossza elhanyagolható és a csőkeresztmetszet változik, de szakaszonként állandó, a csőhosszak pedig L =0,5m és L =0,5m így: ρ v ds = ρ a t L + ρ a L. (Itt az ill. alsó index az -es ill. csőszakaszra utal!). Ezzel a keresett nyomás p = p 0 + ρ v ρ v + ρ a L + ρ a L = = 35000Pa b) F dug =p A dug =(p -p 0 ) A dug = 35000Pa (0,05 0,05 /4) = 68,7 N