A termodinamika alapvető, általános érvényű összefüggéseket szolgáltat a makroszkopikus testek tulajdonságairól.

Átírás

1 SAISZIKUS FIZIKA I A statsztus fza alapja Statsztus fza tárgya. A statsztus lírás szüségsség A trmodnama alapvtő általános érvényű összfüggést szolgáltat a maroszopus tst tulajdonságaról. Azonban a fnomnologus lírás nm lt a végső szó. Hányz: - a mroszopus magyarázat - a szrplő anyag állandó értlmzés A statsztus fza rr rányul tovább célja - flutuácó orrlácó számítása - új maroszopus jlnség magyarázata pl. szupravztés szuprfolyéonyság - olltív vsldés törvényn fldrítés - aotus rndszr vsldésén statsztus lírása Jllmző: ntrdszcplnárs flasználás matmata bológa szocológa özgazdaságtan ámaszodn fogun gyb mlltt a trmodnamára és a valószínűség-számításra. A maroszopus tst so ~ részcséből állna. A Laplac-démonna végtln nagy számítógép lln végtln osszú számítás művltz ráadásul végtln pontosan ll számoln a dnama nstabltás vagys a zdőfltétlr való érzénység matt. D azért próbálozun: a moluladnama szmulácóban - 6 részcs szrpl. z jön még a QM bzonytalanság. Mndz zárt rndszrbn van. A örnyzttl való tljsn nm üszöböltő ölcsönatás általában llnőrzttln. Részlgs az nformácó mrt: - a szabadság foo száma nagyon nagy - a örnyzttl való ölcsönatás nm üszöböltő tljsn - a mérés pontatlanság nformácóvsztést ooz - a rsz dnamalag nstabl A rngtg részcs pontos adata nm s érdln. Szüségün van a mértő maroszopus trmodnama jllmzőr P U C p C v κ stb. lltv z térbl és dőbl változására pl. Prt rt. Itt nm matmata pontba mutat az r anm s térfogatlmr ambn azért már nagyon so részcs van. Lt a statsztus fzát QM alapon flépítn d tt lőször csa a lasszus fzára fogun támaszodn. A vantum-fftusora a vantummcana tárgyalása után térün. Jlzn fogju ogy mly összfüggés általános érvényű és mly gaza csa lasszusan. A lasszus mcana néány rdményén összfoglalása A lasszus flépítész a lasszus mcana lvből ll nduln. lőször gy zárt rndszrt vgyün vagys gy olyat amly smmlyn ülső atásna nncsn tév a ülvlágtól töéltsn szgtlő falaal van lzárva. z az részcséből álló rndszr gy H Hamlton-függvénnyl jllmztő:

2 H q... q p... p p / m + q... q aol fltttü ogy a részcsé a q tömgözéppont Dscarts-oordnátáon és a p mpulzusoon ívül tovább szabadság fooal nm rndlzn. A anonus gynlt: H q p H p q lvbn mgatározzá a rndszrt töéltsn jllmző trajtórát a 6 dmnzós fázstérbn fltév ogy gy ttszőlgs zdt pllanatban smrt a oordnátá és az mpulzuso Laplac démon. Louvll tétl mondja ogy a a fázstér gy ttszőlgs tartományát mnt zdt fltétl almazát tntjü aor a trajtórá bármly t pllanatban gy ugyanlyn térfogatú almazt alotna vagys t. Louvll-tétl zt a anonus gynlt sgítségévl lt blátn. Lgyn vt a fázstérbl sbsségtér vagys a 6 dmnzós tér mndn pontjáoz rndljün gy 6 dmnzós vtort: v q p t aol q ll. p szmbolusan jlöl a omponnst. q p H H dv v + q p qp pq am a folyadéo dnamájából smrt fltétl az össznyomatatlanságna. agys a fázstér pontja dőfjlődésü során úgy vsldn mnta gy 6 dmnzós össznyomatatlan folyadéot alotnána és éppn zt fjz a Louvll-tétl. ntsü a fázstér pontjana ρqtpt sűrűségét am pontona t pllanatbl térfogatban való tartózodásából adód. Hogyan változ z a sűrűség dőbn? t t. ábra: a fázstérfogat alaulása

3 Mvl a Louvll-tétl értlmébn a fázstérfogat állandó a t és a térfogato pdg ugyananny pontot tartalmazna szn z az dőfjlődésből övtz a ét térfogatban a sűrűségn s mg ll gyzn: dρ dt A folyadéo dnamájában tanultaat most a 6 dmnzós térr alalmazva a tljs drvált átírató dρ ρ ρ + dv ρv + v grad ρ + ρ dv v dt t t aol az utolsó tag a Louvll-tétl matt ltűn vagys ρ + t ρ ρ ρ q + p + q p t ρ H q p ρ H p q Flasználva a Posson-zárójl dfnícóját: f g f g { f g} { g f } q p p q adód a Louvll-gynlt a fázstér-bl sűrűség mozgásgynlt: ρ { H ρ} t. Louvll-gynlt Fontos lsz arra mléznün ogy azon mnnység amlyn a Hamlton-függvénnyl épztt Posson-zárójl ltűn csa az addtív mozgásállandótól a tljs rndszr nrgájától mpulzusától és mpulzus-momntumától függtn. Maro- és mroállapoto. Állapotszám normál rndszr A maroszopus tstt trmodnama és drodnama jllmzől írju l. zn jllmző adott érté Pvrt rt stb. a rndszr gy maroszopus vagy maroállapotát atározzá mg. rmésztsn a tstt alotó részcsé lyzt sbsség állandóan változ még aor s a a maroállapot nm. A részcsé tljs mcana lírását a fázstér gy pontja adja mg éznfvő lnn a mroállapotoat az lyn pontoal azonosítan. zn gy cst lazítun bcsmpészv gy s vantummcana smrtt. A fázstrt s cllára osztju fl és azt mondju ogy ét mroállapot csa aor ülönböztttő mg a ülönböző cllába sn. A 6-dmnzós cllá mértét úgy választju mg ogy a formulá ésőbb összangban lgyn a vantummcana épltl. z a cllatérfogatot n célszrű választan. K fog drüln ogy a Planc-állandó d tt gyszrűn gy paramétrn vtő.

4 A fázscllá bvztésévl gy zárt rndszr ltségs állapotana száma mgatározatóvá vált. Dfnálju az Ω állapotszámot a zárt rndszr -nél sbb nrgájú állapotana számával: Ω dqdp állapotszám! H q p aol dqdp a 6 dmnzós fázstér lm térfogatát jlnt. Itt a orábban bvzttt fázscllatérfogat mlltt amn alalmazása dmnzótlanná tsz Ω -t még mgjlnt gy! ombnatora fator s. nn s vantummcana rdt van: Az azonos részcsét nm lt mgülönbözttn nm fsttő az gy argon atom prosra a más ér stb. zért az ndxcsré nm vztn új állapotooz vagys osztan ll az összs ltségs ndxprmutácóval. Érdms az állapoto számát gy örül nrgasávban s mgatározn: Ω δ Ω + δ Ω dqdp.! lt vztn az állapotsűrűségt: H q p + δ Ω δ ω δ aol ω dω / d. állapotsűrűség m jlöltü ülön d az állapotszám trmésztsn függ a rndszr térfogatától ll. a részcsé számától s. Általában gaz ogy a maroszopus rndszr állapotszáma változóna gyorsan növvő függvény. Ha a rndszr maroszopus aor célszrű az ú.n. trmodnama atárstt vagy trmodnama lmst DL amor a rndszrbn lévő részcsé számát végtlnz tartatju úgy ogy a sűrűség / / vagys az xtnzív mnnység és részcsszám ányadosa állandó maradna. ormál rndszrn ívju azoat a maroszopus rndszrt amlyr ln Ω φ/ / + O ln normál rndszr vagys DL-bn vztő rndg az állapotszám logartmusa a változóna lsőrndű omogén függvény. A tapasztalat szrnt mndn maroszopus rndszr lyn. Lt találn olyan részrndszrt pl. lézr amly nm normál rndszr d a valóságban z gyngén csatolva vanna örnyztüöz és az gész rndszr gyütt már normál rndszrént vsld. Pl Számítsu az részcséből álló dáls gáz állapotszámát! z smrtn tntjü - a d dmnzós r sugarú gömb térfogatát d / π d t z d r r aol Γ z Γ d / + t dt a gamma függvény Γ +! amlyr érvénys a - Strlng özlítés: ln Γ z z ln z z + Oln z Strlng formula 4

5 A rndszr Hamlton-függvény: H q... q p... p p / m mvl a ölcsönatás a részcsé özött lanyagolató. Ω / / dqdp d p m!!! Γ / + H q p p m aol a d dmnzós r m sugarú gömb térfogatára vonatozó éplttl számoltun. Mvl nagy alalmazató a Strlng formula: / 5 lnω ln + ln + + lnπm / + ln πm / át az dáls gáz normál rndszr. A trmodnama gynsúly. Soaságo átlago Ha gy rndszrt magára agyun a mgfgylés szrnt lgndőn osszú dő után a maroszopus állapotjlző már nm változna: báll a trmodnama gynsúly D. Itt számos érdés mrül fl: Mt jlnt ogy lgndőn soág? M a magára agyás pontos lírása? z ráadásul gymásna llntmondó fltétln tűnn: Ha túl soág várun a magára agyás nm fog tljsüln alójában arról van szó ogy a rndszrr jllmző folyamato dősálá szétválna és záltal lt olyan dőtartományoat dfnáln ogy a trmodnama jllmző jó özlítésbn n változzana. Pl. gy cspp tj a csész forró ávéban: lőször lvrd a tj a ávéval azután a ávé flvsz a szoba őmérséltét majd lpárolog a csészéből. Az zt a folyamatoat jllmző dő özött nagyságrnd ülönbség vanna: << << nap. Az dősálá és a ozzáju rndltő osszúságsálá lyn szétválása tsz ltővé ogy dfnálju a már mlíttt ly- és dőfüggő őmérsélt nyomás stb. trt mvl z bvztéséz lgalábbs rövd dősálán és s térfogatlmr b ll álln az ú.n. loáls trmodnama gynsúlyna. A továbbaban sznt zárólag gynsúly statsztus fzával foglalozun am a D-ra vonatoz. A célun ogy a maroszopus jllmzőt vsszavzssü a mroszopusara d úgy ogy n lljn a trajtórá számításána lttln fladatát lvégzn. Ha smrnén a zárt rndszr fázstérbl trajtóráját aor lgalábbs a dnama mnnység gynsúly értéén számítása a mérést jól mgözlítő módon ltségssé válna: A lm A q t p t dt dőátlag zt a fjzést az A mnnység dőátlagána nvzzü. A mérésor lénygébn zt vzsgálju trmésztsn nm atárstbn d lgndőn osszú dg. A fnt ntgrál számításáoz a qtpt trajtóra smrt szüségs. m mndn mnnység írató fl lyn dőátlagént. Pl. fontos maroszopus jllmző a rndszr ntrópája am nm gy dnama mnnység átlaga. π / 5

6 Szrtnén az dőátlago lytt gy olyan átlagépzést asználn amz nncs szüség a trajtóra smrtér. z ll találnun a fázstérbn gy ρqp valószínűségsűrűségfüggvényt amr nézv az átlagépzés ugyanazt rdményz mnt az dőátlag: A A q p ρ q p dqdp soaságátlag Az utóbb éplt értlmzését az ú.n. Gbbs-soaságo adjá. Képzljün l gy maroszopus tstt D-ban mgfllő maro jllmzől. z nagyon so ülönböző mroállapot tartoz amly a mgfllő qp fázsclláoz tartozna. A ülönböző fázscllána mroállapotona ülönböző súlya lt. lőállítju az azonos maroállapotoz tartozó ülönböző mroállapotú rndszr gy soaságát úgy ogy az gy adott mroállapot az átlagépzésnél mgívánt valószínűségsűrűségn mgfllő súllyal lgyn épvslv. z a súly prsz valójában attól függ ogy a trajtóra az dő ányadrészét tölt az adott cllában és tt fltétlzzü ogy a trajtóra mndn lvbn mgngdtt cllát mglátogat vagys a rndszr rgodus. A zárt rndszrr vonatozó Gbbs-soaságot mroanonus soaságna nvz. Mroanonus soaság Amor áttérün a soaságátlagra mgfldztün a trajtóráról; fladatun csupán ogy mgtalálju a mgfllő ρ-t. rr mnt fázstér-bl sűrűségr érvénys a Louvlltétl: ρ { H ρ} t. Mvl gynsúly loszlást rsün ρ/t vagys ρ csa az addtív mozgásállandótól függ. Alalmas oordnátarndszr választásával a rndszr tljs mpulzusát és mpulzusmomntumát lt transzformáln így azt a fontos rdményt apju ogy a zárt rndszr valószínűség-sűrűségfüggvény amt pongyolán loszlásna s szota nvzn csa a rndszr nrgájától függ: ρ q p ρ q p. alójában a zárt rndszr nrgáját sm lt tljsn élsn mgatározn. alamnny bzonytalanság a mérés pontatlanságból és mnt látn fogju a vantummcana lvből s övtz. zért a fladatot úgy fogalmazzu át ogy rssü azt a ρ loszlást am az és +δ nrgasávval jllmztő zárt rndszrt lírja. zt az loszlást tljsn általánosan alapvtő lvből nm tudju lvztn zért a statsztus fza gy saroövént posztulálju az gynlő valószínűség lvét: ρ q p Ω δ a H q p + δ ρ q p ülönbn. gynlő vsz. lv 6

7 z a mroanonus loszlás. gys rndszr stébn lt számítan d általában lmondató ogy a fnt posztulátumra flépíttt statsztus fza a tapasztalatoal gyzésbn van. A továbbaban úgy járun l ogy dfnálun a statsztus fzában trmodnama mnnységt majd blátju rólu ogy azo ténylgsn azonosítató a trmodnama mnnységl. Az lső lyn mnnység az ntrópa: S ln Ω δ oltzmann-összfüggés z a fjzés az ntrópára vonatozó oltzmann-összfüggés am azt fjz ogy gy zárt rndszr ntrópáját a rndszr mroállapota számána a logartmusa adja mg. A 8 X - J/K oltzmann állandó a statsztus fza ntrópa mértégységét és sáláját gazítja a trmodnamaoz. rmésztsn b ll majd látnun ogy z jó dfnícó. A statsztus fza ntrópa tulajdonsága S spontán folyamatoban növsz: spontán Ω Ω A nagyobb térfogat matt nylván Ω < Ω Izolált rndszrr S addtív: Ω + δ + δ Ω δ Ω δ amből S ln Ω δ matt S " " S " + " " " S Ω+δ függ -től és paramétrént -től és -től. Így S trmészts változó és csaúgy mnt az S trmodnama ntrópána. Zavaró a δ-függés! DL-bn: Ω δ ω δ amből ln Ω δ lnω + lnδ ormál rndszr stén az lső tag ~ míg a másod még δ maroszopus választása stén s csa ~ ln rndű. Gomtralag vlágos ogy 7

8 Ω δ < Ω < ω amből lnω < lnω < lnω + ln övtz. Mvl az utolsó tag mgnt lgfljbb ln rndű a DL-bn lanyagolató. Így nyrjü a övtző asznos összfüggést: S / ln Ω ln Ω ln ω amn oa ogy a d >> dmnzós gömb térfogata és flült özl gynlő. v rmus ölcsönatás: Hővztő fal A tljs zárt rndszr nrgája. gynsúlyban és átlagos nrgá alaulna az gys alrndszrbn. Ha az rő atótávolsága rövd és a rndszr nagy aor flülttl arányos ölcsönatás nrgá lanyagolató és + mndg fltétlztő nm csa gynsúlyban δ Ω δ ω δ ω ω dd < + < + δ amből lolvasató az f valószínűségsűrűség f δ ω ω d ω ω ω ω mvl a fnt alapján ω d. ω Az f sűrűségfüggvény nagyon éls csúccsal rndlz mrt az ω az -n normál rndszrbn nagyon gyorsan növvő függvény. Az lyn éls loszlásona nagy jlntőségü van a statsztus fzában. Mt jlnt az ogy gy loszlás éls? Azt ogy járuléána döntő ányadát a maxmuma örnyééről vsz és nn mgfllőn a maxmum 8

9 ~ ly és a várató érté özl lszn gymásoz. stünbn: aol a várató ~ értét pdg a maxmum lyét jlöl. Más szóval az gynsúly állapotoat lyttsítn lt a lgvalószínűbb állapottal! f ω ω ω ω ~ ~ át a mértő értét am mgfll a várató értét lyttsíttjü a ~ ~ maxmumllyl vagys olyan ll. valósul mg ogy lnω + lnω max S + S max S S + gynsúly fltétl S S vztv a lnω / statsztus fza őmérsélt jlölést és zn rsztül dfnálva a statsztus fza őmérséltt: / azt apju ogy a zárt rndszr őátrsztő fallal lválasztott rész alrndszr özött a trmodnama gynsúly bálltána a fltétl vagys a ét alrndszr statsztus fza őmérsélt mggyz am mgfll a trmodnamából smrt gynsúly fltétln. Az f függvényn nylván maxmuma van z a stabltás rtéruma: 9

10 ln ln < + ω ω am a S " " " " " " ln ω matt " " " " > + Alara ozató. ormál rndszrbn ~ ~ lnω vagys ~ / ln ω O és ~ / ln ω O/. át > + b a fjzész jutun. Lgyn amből " " > vagys normál rndszrbn a statsztus fza őmérsélt az nrga monoton növvő függvény más szóval az állandó térfogaton mért statsztus fza őapactás poztív: " " " " > C stabltás fltétl gyü fl ogy az f sűrűségfüggvény a maxmum özlébn Gauss-loszlással özlíttő: / ~ ~ f aol ~ " " " " b a S S t smét végtlnz tartva azt apju ogy ~ tát a rlatív szórás: ~ vagys fltétlzésün a csúcs élsségéről llntmondásmnts. zsgálju mg ogy trmus ölcsönatás stén ogyan növsz spontán folyamatban az ntrópa!

11 ~ ~ A baloldal ábrán a ét alrndszr tljsn l van szgtlv gymástól. A rndszr tljs nrgája + és tljs ntrópája " S " " S" + " S" aol a ndx a zdt állapotra utal. z után ővztővé alaítju a falat. Spontán folyamato játszódna l majd ~ ~ báll az gynsúly. A végállapotban rövd atótávolságú rő stén +. Ugyanaor azt várju ogy végállapotban az gynsúlyban már smmlyn atása nncsn anna ogy ővztő- a fal vagys smét azt várju ogy az ntrópa addtív lsz: ~ ~ S v " " S " + " S ". Származtassu az ntrópát az állapotsűrűségből! " ω δ ω ω δ δ ~ ~ ωv δ δ ω ω d δω ω aol az utolsó lépést azért lttt mgtnn mrt az loszlás éls. A fjzés logartmusát vév DL-bn látsz ogy az ntrópa valóban addtív a végállapotban. fω ~ A nyla jlz a spontán folyamatban bövtző változásoat. rmésztsn az nrgaváltozás a ét alrndszrbn llntéts lőjlű. Az ntrópa-változás azonban poztív. Ugyanaor az s látsz ogy a statsztus fza ntrópána zárt rndszrbn spontán folyamatoban bövtző növdés valószínűség jlntés. Azonban a csúcs élsség matt maroszopus rndszrbn lanyagolató anna a valószínűség ogy mgfgyltün ntrópa-csönéssl járó folyamatoat.

12 A statsztus fza őmérsélt tulajdonsága. " S" lnω ω' Mvl normál rndszrbn ω > ω' > lynor " " ω >.. " S" ϕ / vagys az ntrópa változóna lső rndű omogén függvény /" " " S"/ ϕ' / nulladrndű omogén függvény. gynsúlyban majdnm bztosan. 4. Az gynsúly stabltása " S "/ < vagys " "/ >. A őmérsélt az nrga monoton növvő függvény C >. ~ ~ 5. Ha zdtbn < és > aor gynlítődés játszód l: ~ ~ " < " " " " < " " a monotontás matt. " 6. ormál rndszrbn Ω ~ α tát S"~ ln " α amből őmérsélt ozzávtőlgsn az gy részcsér jutó nrga. " " ~ vagys a 7. A fnt normál rndszrr vonatozta. anna nm normál rndszr s pl. amor a rndszrt alotó lm csa végs számú állapotban ltn spn lézr. Ilynor nm lt a rndszrb gyr több nrgát adagoln és Ω tlítésb mgy. S és formálsan számolató d furcsa rdmény jönn. Ω "S" "" max max max ngatív őmérsélt Pl. Kétállapotú rndszr. Álljon a rndszrn rögzíttt lm mágnsből spn -ből µ momntummal amly özött a ölcsönatást lanyagolju és fltsszü ogy csa étfél bállás ltségs: fl vagy l. Lgyn a ülső tér nagysága és mutasson

13 flflé. gy spn nrgája + ε µ a a spn llntéts a tér rányával és ε µ tljs nrga Mε aol M arányos a mágnszttséggl: M + és + a térrl llntéts pdg a páruzamos spn száma + +. Innn. A + + M és M Az összs nrgájú mroállapot száma: Ω!!!! + M! + M! " S" lnω + M ln + M ln + M + M M ln M M M M M ln + ln " S" " S" " " ε M + M ln M M ln ln ε + M ε ln + Látsz ogy a ogy csa > + stén poztív a statsztus fza őmérsélt. A populácó nvrzó vagys amor < + ngatív őmérséltz vzt. ovább furcsaság ogy a ngatív őmérséltű rndszrn nagyobb az nrgája bármly poztív őmérséltű állapotnál. Invrz populácót állítana lő a lézrnél az ú.n. pumpálással. rmésztsn a ngatív őmérséltt nm lt őmérővl mérn! alójában arról van szó ogy a maroszopus rndszr gy jól szgtlt részrndszr vszonylag soág nmgynsúly állapotban van. Ha apcsolatba rül normál rndszrrl aor báll a trmodnama gynsúly. Kapcsolat a trmodnamával Látsz ogy normál rndszrbn a statsztus fza ntrópa és őmérsélt olyan tulajdonságoal rndlz amlynt a trmodnama mgfllő alapján lvárun ltntv attól ogy a trmodnamában dtrmnsztusna tnttt összfüggés tt valószínűségé válta. z a valószínűség jllg jól llszd az anyag dszrét szrztéz apcsolódó lrülttln flutuácóoz. s lln azonban látn ogy valóban azonosítató a statsztus fza mnnység a trmodnamaaal. érjün vssza aoz az stz amor a zárt rndszrünt ét alrndszrr bontottu d most általánosan tgyü fl ogy valamlyn X ntnzív paramétr változását ngd mg az alrndszrt lválasztó fal. A orábboz tljsn asonló mgfontolással mondatju ogy anna a PX valószínűség ogy az. alrndszr az X értét vsz fl gy gn éls csúccsal rndlz így az X várató érté és maxmumly azonosna vtő. gynsúlyban tát

14 P X max fltétln ll tljsüln. Lgyn az állapotsűrűség az. alrndszrbn azon állapotora amlynél éppn X érté valósul mg ω X. Ha mgngdjü az nrga és X csréjét aor ~ ~ lnω X lnω X X X ~ ~ ~ X X és X X X X ntnzív mnnység gynlőség Itt a ~ lnω X / X az X xtnzív mnnységz onjugált ntnzív mnnység.. Láttu ogy a csa az nrga csréj mgngdtt aor a mgfllő ntnzív mnnység a őmérsélt rcproa: lnω. " ". X választás stén: γ lnω " P" " " aol P a nyomás amnt azt mndjárt blátju. Innn: " P" " S" " " Az gynsúly fltétlér pdg az P P és gynsúl fltétl mcana ölcsönatásnál összfüggés adódna. A váraozásona mgfllőn smét a trmodnamána mgfllő összfüggésr jutottun. ntsü a övtző lrndzést: z z 4

15 A baloldal alrndszr térfogata Az aol A az dény z rányra mrőlgs alaptrült. A ét alrndszrt lválasztó falat dugattyút a. rndszrbn lévő rugó mozgatja. A rndszr tljs nrgája + U z aol U a rugónrga. A jobboldal. a rndszrn gytln szabadság foa van zért Ω z mndg nncs ntrópája. Ω z f z Ω z z és U. A lgvalószínűbb állapotban z d lnω z dz lnω z d z " " lnω z + z - F rugórő ~ Itt F a rugórő nagyságát jlnt. agys lnω z z ~ F " " vagys lnω ~ P " " zzl srült az lső jltől mgszabadulnun! P P. és P nyomás " S" aol fltüntttü ogy az S statsztus fza ntrópa nm változ a a dugattyút lgndőn lassan gynsúly állapotoon rsztül mozgatju. z valóban flttő szn a dugattyú sbsségétől az ntrópa lgalacsonyabb rndbn négyztsn függ: d" S" dz A dt dt mvl S gynsúlyban staconárus és maxmuma van tát a nulladrndű és az lsőrndű tag ltűn. Innn d" S" d" S" dt dz dz dt dz A dt vagys d" S" dz dz A dt. át d " S" / dz ttszőlgsn csvé ttő dz / dt csöntésévl.. álasszu most X t. Most mlltt 5

16 α lnω fog gynlítődn. nn sgítségévl bvzttjü a µ éma potncált: " µ " " S" α " " " " Az gynsúly fltétl tát: µ µ és. gynsúly fltétl anyag ölcsönatásnál Kapcsolat a trmodnamával A trmodnama főtétl a övtző:. nrgamgmaradás du δ Q + δw. lső főtétl U a rndszr blső nrgája. Mgváltozása vagyδ Q őmnnység btáplálásával vagy a rndszrn végzttδ W mcana munával értő l állandó részcsszám mlltt. A változásoat gynsúly állapotoon rsztül vztv δ W Pd. Ilynor a őmnnység mgváltozásáoz s lt találn gy ntgráló osztót z a abszolút őmérsélt. Így jln mg a trmodnamában az S ntrópa: d ds Pd ntrópa bvztés vagys gynsúly folyamatora: ds δq /. Kéznfvő az U blső nrgát a zárt rndszr tljs nrgájával ll. részrndszr stén az nrga várató értéévl azonosítan. Láttu tát ogy P S Korábban vszont mgmutattu ogy: P. " S" Amor a statsztus fza mnnységl írju fl a blső nrga mgváltozását aor ugyanúgy mgjln a fnt ét tag. Az gyről a mcana munáról éppn bláttu ogy azonos a orábban bvztttl szn zt fjz a P P. A más tag ntgráló 6

17 osztója nm lt más mnt a őmérsélt. Ugyanaor láttu ogy állandó térfogaton és részcsszám mlltt d " " d" S" vagys a s ntgráló osztó amből övtz " " és " S " S. Látju tát ogy nmcsa a éplt formáls mgfllttéséről van szó anm a bvzttt statsztus fza mnnység valóban mgflln a trmodnamaana. zt a gondolatmntt értlmszrűn lt trjsztn az anyag ölcsönatás stér amből övtz ogy " µ " µ vagys az dézőjlt a éma potncálnál s l lt agyn. A trmodnama másod főtétl. alószínűség értlmzés A trmodnama másod főtétl szrnt az ntrópa zárt rndszrbn spontán folyamato révén nm csönt és gynsúlyban maxmáls értét vsz fl. m gynsúly folyamatban őözlés stén δq ds >. másod főtétl Fontos azonban angsúlyozn ogy az ntrópa mélybb statsztus értlmzésévl az s gyütt jár ogy a másod főtétlll apcsolatos a trmodnamában dtrmnsztusna tnttt jlntés valószínűségé válna. A maroszopus tstnél az ntrópa csönésén olyan roppant csély a valószínűség ogy az soa nm fgyltő mg az állapotjlzőön. Azonban a maroszopus rndszrbn ljátszódó flutuácós jlnség valamnt a sbb rndszr mgfgylés gazolja ogy a statsztus fza dfnícó a lys. A statsztus fzána öszöntőn ézzlfogató értlmzést nyr az ntrópa. Zárt rndszrbn a mgngdtt állapoto valószínűség gynlő. Az ntrópa növdés anna fll mg ogy a spontán folyamat az állapotszám növdésévl jár. A mgnövdtt mgngdtt állapottérn s gynltsn a valószínűség vagys gy adott morállapotban való mgtalálás valószínűség lcsön a rndszr rndztlnbbé vál. zért mondató ogy az ntrópa a rndztlnség mérté. Az ntrópa növdésén törvény jlöl az dő rányát. A mroszopus folyamatoat líró gynlt nvaránsa az dőtürözésr vagys a trajtóra fordítottja s ugyanolyan jó mgoldása a anonus gynltn mnt az rdt. zzl szmbn a mgfgylt maroszopus vlágban a folyamato nm fordítató mg. Spontán módon nm szűül l az lértő állapoto tr a rndztlnségből spontán zárt rndszrbn nm tud rnd alauln. zt azzal lt magyarázn ogy az gynsúly állapoto száma lsöprőn nagyobb mnt a nm-gynsúlyaé. Amor ndulun gy prparált nm-gynsúly zdt fltétlből aor gy lyn csély valószínűségű állapotot valósítun mg d a rndszr az gynsúlyban már a nagy valószínűségn mgfllő állapotoban tartózod. nn gyszrű példája az íróasztalon raosgatással alauló rndtlnség. lvbn a lég soat raosgatun véltlnül még rnd s alaulatna d zt lgalábbs nálam soa nm lt mgfgyln. 7

18 A trmodnama. főtétl A trmodnama armad főttlént szoás mlgtn a övtző összfüggést rnsttétl: gy gynsúlyban lévő tst ntrópája -ra onstansoz tart. Pontosabban a tst állandó nyomáson vagy térfogaton mért őapactása bbn a lmsbn ltűn amből az S S C + p d ' ' összfüggés matt már látsz a fnt állítás: lgndőn s -r a másod tag ltűn. A vantummcanából nmcsa az övtz ogy a fajő onrét stbn valóban -oz tart stén anm az s ogy omogén rndszrbn S. Fundamntáls gynlt Az S ntrópa most már nm ll ozzátnnün ogy trmodnama vagy statsztus fza az nrga térfogat és részcsszám függvény. Mvl S S P S µ mgapju az ntrópa tljs mgváltozására vonatozó fundamntáls gynlt dffrncáls alaját: P µ ds d + d d vagy átrndzv az nrgára: d ds Pd + µ d. ormál rndszrbn az ntrópa változóna omogén függvény vagys S λ λ λ λs Amből övtz ulr tétl: S λ λ λ S λ λ λ λ S + λ λ λ S + λ amből λ -t vév övtz a fundamntáls gynlt: λ λ S P µ S + lltv S S P + µ fundamntáls. 8

19 Összasonlítva az bből az gynltből gyszrű drválással nyrtő d ds + Sd Pd dp + µ d + dµ dffrncáls alaot a dffrncáls fundamntáls gynlttl nyrjü a Gbbs-Dum rlácót: Sd dp + dµ Gbbs-Duam amből fontos trmodnama összfüggést lt apn. A valamlyn anyagra érvénys ú.n. állapotgynlt az lső drváltara vonatoz pl. P vagy µ. Pl Az dáls gáz állapotgynlt: rmésztsn normál rndszrbn DL-bn P lnω ugyanúgy érvénys mnt az Ω δ -r vonatozó asonló éplt. Láttu ogy az dáls gáz állapotszáma 5 / ln Ω + ln π m / amből drválással apju a Kanonus soaság P állapotgynltt. A trmodnamában az nrgán ll. az ntrópán ívül még számos trmodnama potncált szoás bvztn. z célszrű asználata attól függ ogy a vzsgált rndszr mlyn apcsolatban van a örnyztévl. Zárt rndszrbn az S nrgát lltv az S ntrópát célszrű trmodnama potncálna választan és tt fltüntttü a potncálo trmészts változót. Ha gy ővztő fallal llátott dényt apcsolatba ozun gy őtartállyal vagys gy a rndszrz épst nagyon nagy állandó őmérséltű tartállyal aor az dényb zárt vzsgált rndszr nrgája nm lsz állandó vszont a tapasztalat szrnt osszú dő múlva gynsúlyba rül a örnyztévl vagys a őtartállyal és flvsz anna őmérséltét. Az lyn rndszr vszonyana lmzéséz gy új trmodnama potncál az F szabadnrga vzsgálata bzonyul célszrűn amt az nrga Lgndr-transzformácója sgítségévl nyrün úgy ogy az ntrópa változót csréljü a őmérséltr: F S P + µ. Az gynsúly fltétl az lyn rndszrbn a szabadnrga mnmuma. 9

20 A statsztus fzában lő ll állítan a mgfllő Gbbs-soaságot. ntsün gy R nagyon nagy zárt rndszrt amlybn van gy soal sbb d még mndg maroszopus A alrndszr. Az alrndszr a maroszopus rndszrtől őátrsztő fallal van lszgtlv: R\A A Fltsszü ogy A soal sbb mnt R továbbá szoás szrnt azt ogy a rndszrt alotó részcsé özött rő rövd atótávolságú vagys a ölcsönatás nrga lanyagolató a térfogatoz épst. R A R\A R + << R R R + << R R Az R\A alrndszr tát olyan nagy ogy érzétln arra m történ az A alrndszrbn vagys őtartályna tnttő. Az általun vzsgált alrndszr az A és soaságun nn azonos maroállapotat mgvalósító mroállapotoat fogja tartalmazn a mgfllő súlyoal. Az lyn lyztt mgvalósító soaságot anonus soaságna nvzzü. Az R rndszr zárt tát alalmazatju rá a orábban tanultaat vagys az gynlő valószínűség lvét. Krssü anna a valószínűségét ogy az általun vzsgálta A alrndszr valamlyn qp mroállapotban van: Ω' R q p ρ q p. Ω R R Mvl q p << R lnω' ln ρ q p onst + lnω' R + q p + O R R O A onstansoal nm érdms foglalozn majd a normálásból adódna. lnω' lnω' ' ' R ' vagys mgjln a örnyzt őmérsélt. A örnyzt soal nagyobb a vzsgált rndszrnél zért anna nrgája és őmérsélt a rndszrtől függtlnn tnttő vagys a örnyzt őtartályént vsld. ρ q p C ' q p. anonus loszlás

21 Aol C normálás állandó. Szoásos jlöléssl C/Z ' q p dqdp Z ' ' q p. állpotösszg! mndn állapotra Z a némt Zustandssumm zdőbtűj. A magyar lnvzés az nn mgfllő állapotösszg angolul partton functon. Z a statsztus fza özpont mnnység az gynsúly statsztus fza számításo jlntős rész a mgatározására rányul. gyü észr ogy a lvztésnél gytln pontban asználtu ogy a vzsgált A rndszr maroszopus: amor lanyagoltu a ölcsönatás nrgát. Ha a ölcsönatás más oból lanyagolató pl. dáls rndszrnél aor a vzsgált rndszr cs aár gy részcséből álló s lt. Ha a vzsgált rndszr maroszopus aor az gynsúly bállta után őmérsélt mg fog gyzn a őtartályéval: ' ll. '. A továbbaban nn mgfllőn lagyju a őtartályt jlző vsszőt. Az nrga flutuácója Mvl az általun vzsgált rndszr nm zárt az nrga nm állandó dőbn flutuál. A soaságo nylvén z azt jlnt ogy a soaság lmn más és más lt az nrgája. A mgfgylt mértő értét a várató értél azonosítju d ugyanaor lsz az nrgána szórása s. dqdp q p dqdp q p q p Z Z ln Z. A flutuácó jllmzésér a négyzts szórást asználju: < Z >< > < > >< < > Z Z Z aol < A > A az átlagépzés más jlölés. Ugynzt számítatju máséppn: < ln Z Z Z Z Z Z Z Másrészt ln Z < > < > C amből > C > <. őapactás és flutuácó.

22 Az utóbb épltből lolvasató ogy a C állandó térfogaton mért őapactás nm lt ngatív. A trmodnamából smrt stabltás rtérum a statsztus fzában trmésztsn adód. Függtln rndszr stébn az állapoto függtlnség matt az állapotösszg összszorzódna: A Z A A Z A A + Z A A aol a mgfllő alrndszr állapotara való összgzést szmbolusan jlztü Ha dáls ölcsönatásmnts rndszrün van aor a vzsgált rndszr állat aár gytln részcséből s. Ilynor önnyű flírn az részcs-rndszr állapotösszgét: Z Z a a részcsé mgülönböztttő ll. Z Z /! a mgülönbözttttln. Pl Függtln rögzíttt lnárs oszcllátoro A rögzítttség matt az oszcllátoro mgülönböztttő: Z Z. Z p mω q q p m dqdp dqdp. Ismrt ogy x dx π. Innn Z π m mω _ Aol / π. _ ω Z Z _ ω ln Z ln Z ln/

23 aonnan drválással szórásnégyzt: C vagys a őapactás függtln a őmérsélttől. Az nrga > C < > <. Ha db részcsén van aor a rlatív szórás /. gy részcs stén vszont éppn. át a rlatív szórás a részcsé nagy száma matt vál csvé. nrga szrnt loszlás a soaságo gynértéűség ddg azt vzsgáltu ogy m anna a valószínűség ogy a s rndszr gy adott állapotban van. Lgyn P d anna a valószínűség ogy a s rndszr nrgája éppn az + d ntrvallumba s: ' ω d P d ρ ω d Z aol ω az állapotsűrűség am -n gyorsan növvő függvény. P ' ω Ismét gy éls loszlást fgyltün mg. Kvétlsn smét jlöltü ogy a anonus loszlásban a őtartály őmérsélt szrpl. A lgvalószínűbb lyn: ~ ' + lnω ~ max lnω ' + vagys ' ~. ~ át maroszopus alrndszr stén a őmérsélt valóban báll a őtartály őmérséltér. Az loszlásra Gauss-özlítésbn P onst ~ / C adód vagys az loszlás valóban éls.

24 P δ anonus mroanonus agy alrndszr stén azonosítató δ -vl. A s alrndszrt l lt zárn gy δ sávny flutuácót mgngdő fallal és úgy lt blől zárt rndszrt észítn ogy nm lsz észlltő ülönbség. A soaságo vvalns. A szabadnrga Láttu ogy F S Kasználva ogy d ds Pd + µ d df ds Pd + µ d ds Sd Sd Pd + µ d A szabadnrga statsztus fza dfnícója: " F" ln Z ntsü az állapotösszg övtző fjzését: Z ω d vagys az állapotösszg az állapotsűrűség Laplac-transzformáltja. Mvl Laplac-transzformált létz. Az éls csúcs matt Z ω d ω amből " F" ln Z S ω ~ vagys " F " F. A őtartállyal apcsolatban lévő rndszr gynsúly fltétl a szabadnrga mnmuma am d stén a df d d S ds ds Sd gynltből adód. a 4

25 Az vpartícó tétl Lgyn gy rndszr Hamlton függvény H α x + f x... x. 6 Az αx rész várató érté: αx αx αx < α x > dx dx mvl a több változóra való ntgrálo sn. Flasználva a Gauss-ntgráloat: n + Γ x Gauss ntgral n ax dx n+ a Ha n páros aor az ntgrálást lt trjsztn - -től + -g és a baloldal étszrsét ll vnn. Γ < α x > α. Γ α Mndn az nrgában négyztsn szrplő trmodnama szabadság fora átlagosan / nrga jut vagys az nrga a szabadság foo özött gynltsn van loszlatva: z az vpartícó tétl. A lnárs oszcllátoro vagy az dáls gáz orább példá összangban vanna az vpartícó tétlévl. Ha a rstályrácsot úgy épzljü l mnt gynsúly lyztü örül rzgő atomo gyüttsét aor a mcanában a s rzgés lméltébn tanulta alapján b lt vztn normáloordnátáat. Mndn rzgő módusoz trmodnama szabadság fo tartoz és gy atom rstály stén lyn módus van. át a szlárd tst nrgájána várató érté ll. őapactása C. Ilyn őapactást srült s mgfgyln z az ú.n. Dulong-Ptt szabály. Fontos ogy az vpartícó matt bonyolultabb str s azt apnán ogy a őapactás függtln a őmérsélttől. z llntmond a trmodnama. főtétlén ll. a tapasztalatona. Az vpartícó tétl nm általános érvényű csa a lasszus statsztában alalmazató. Pl A Maxwll-fél sbsségloszlás a részcs állapotösszg: 5

26 6 / / / m m p qd d Z m p π π Anna a valószínűség-sűrűség ogy gy részcs mpulzusa éppn p: / / / m p d q d p d Z p d P m p m p π p. gyrészcs p-o. Mvl a oordnátára való ntgrálás aor s s a van csa a oordnátától függő ölcsönatás z a éplt érvénys mndn lasszus rnszrr! A mdv dp összfüggés matt v d m v d P mv / π v A sbsség abszolút értéér vonatoz a Maxwll loszlás: Ismét angsúlyozzu ogy z az összfüggés mndn lasszus rndszrr gaz aol a ölcsönatás nm függ az mpulzustól. Számítsu az loszlás jllmzőt! A v ~ maxmumlyr: max / v mv fltétl adód. A fltétl logartmusána drváltját nullával gynlóvé tév apju: ~ ~ + v mv -t aonnan m v ~. A sbsség abszolút értéén várató értéér a övtző számítás vzt: v v ~ > < v > < v dv v m dv v P mv / / 4 π π Pv

27 7 m m m dv v m vdv v P v mv π π π π π / / > < égül az vpartícó tétlből: v m > < aonnan m v > <. Látsz tát ogy az gy részcsér vonatozó loszlás nm éls a jllmző özött ltérés a aratrsztus sbsség nagyságrndjéb sn. Az ddg mgfontoláso általában érvénys lasszus rndszrr. Idáls gázra gaz ogy a tljs nrga a rndszr ntus nrgájával gynlőn vtő. gy részcs nrgája / mv mvdv d m v d mv d m dv d d m m m d P / / / / 4 π π π π A maxmumlyr: max ln + fltétlből ~. A várató értét smét az vpartícó lvből apju: A szórásra: / ln ln Z > < vagys a rlatív szórás tt s nagy aogyan az gy részcs stén várató s. P ~

28 nagyszámú részcs stén: P d ω d ~ d / Z Z >> stén éls az loszlás. Z Z /! amből mπ ln Z ln + ln / ln Z aogy azt az vpartícó alapján vártu. A szórásra < > C < > adód vagys ~ O < >. Az F fundamntáls gynlt: F mπ ln Amből az állapotgynlt: F P. / agyanonus és P soaságo Láttu ogy a örnyztévl mnt őtartállyal apcsolatban lévő rndszr lírásáoz célszrű a szabadnrgát trmodnama potncálna választan. Ha a őátadáson ívül még a részcsé s csrélődtn a rndszr és örnyzt özött vagys a örnyzt részcstartályént s műöd aor gy tovább Lgndr-transzformácóval Φ µ S µ P adód az ú.n. nagyanonus potncál. ljs mgváltozása d Φ Sd Pd µ d. 8

29 Az lyn lrndzésn mgfllő Gbbs-soaság az ábrán bmutatott nagy zárt rndszrből és a soal sbb d általában még mndg maroszopusna fltétlztt alrndszrből áll pontosabban lyn soaságát tartalmazza. Az utóbb az általun tanulmányozott rndszr am trmus és anyag ölcsönatásban van a örnyztévl. A nagyanonus loszlás számítása analóg a anonuséoz. Lgyn ρ q p anna a valószínűség ogy a rndszrbn részcs van és a qp-vl jlztt fázscllána mgfllő mroállapotban van: Ω' R q p R ρ q p Ω lnω' ln ρ q p onst + R R R R lnω' q p + R R aonnan ρ q p ' q p α '. Z Itt Z a nagyanonus állapotösszg: dpdq ' q p α ' α '! Z Z aol Z az részcsét tartalmazó rndszr anonus állapotösszg és mgjlnt a örnyzt őmérséltér és éma potncáljára jllmző ' / ' lltv α' ' µ ' µ '/ '. Mvl gynsúly stén a maroszopus rndszr flvsz a őtartályra jllmző őmérséltt és éma potncálja báll a részcstartályra jllmző értér a továbbaban lagyju a vsszős jlölést. agyanonuus potncál A statsztus fza dfnícó: " Φ " lnz. Áttérv az nrga szrnt loszlásra és flasználva az loszláso élsségét DL-bn: 9

30 α α S / Z dω. aonnan: " Φ " lnz µ S Φ. Az gynsúly fltétl lynor a Φ nagyanonus potncál mnmuma. Pl Az dáls gáz nagyanonus állapotösszg: µ Z Z µ µ πm xp πm! Φ µ πm P amből smrős formuláoz jutun: Φ Φ P /. µ P-soaság A övtző mgvzsgálandó lrndzést mndjárt a soaság sgítségévl vztjü b: át a vzsgált rndszrün am gy nagyon nagy zárt rndszr rész ő és mcana apcsolatban áll a örnyztévl tát sm nrgája sm térfogata nm állandó; az utóbbt gy dugattyúval érzéltttü. A mgfllő trmodnama potncál a szabadntalpa vagy Gbbs-fél szabadnrga: G P S + P µ lltv dffrncálsan: dg Sd + dp + µ d. Anna a ρ q p valószínűség ogy a rndszrün térfogata és a qp fázscllával azonosított mroállapotban van:

31 p q Y p q γ ρ p q d d dqdp d P Y γ γ ω! aol P γ és Y a P-állapotösszg. A G szabadntalpa: Y P G ln amn blátását az olvasóra bízzu. Az gynsúly fltétl lynor a G szabadntalpa mnmuma. A térfogat várató értéér ln ln P Y Y γ szórására pdg P Y κ γ > < ln adód aol flasználtu ogy P κ az zotrm omprsszbltás. Látsz ogy κ adód am mgnt a trmodnamából smrt stabltás rtérum. Lgyn n/ a részcsszám-sűrűség. Ha rögzíttt aor n szórásnágyztér n n n n κ 4 > < > < > > < >< <. Ugyanzt az rdményt ll apnun aor s a a térfogat állandó és a részcsszám flutuál: n n κ > < > < amből a részcsszám-flutuácóra adód: n κ > <.

32 Másflől a nagyanonus soaság alapján: < > µ. A fnt ét fjzés összvtéséből apju a övtző trmodnama összfüggést: µ n κ amt ssé örülménysn trmodnama átalaításoal s l lt vztn. Korrlácó szórásísérlt és válaszfüggvény ddg nm foglaloztun azzal ogy a vzsgált maroszopus rndszrbn lyfüggő flutuácó s ltn. Lgyn gy X xtnzív mnnység loáls sűrűség xr. ylván: d rx r X. A orrlácós függvény dfnícója: C xx r r' < x r x x r' x > C r r' aol az utolsó gynlőség omogén rndszrbn érvénys. Kntgrálva a orrlácós függvényt C xx r d r d r' d r < x r x x r' x > < X X X X > < X >. Sűrűségflutuácó n r j < δ R j r > n r d r n C nn r r' j < δ R j r δ R r' > n g r r' aol R j a j-d részcs lyvtora és gr r nv párorrlácós vagy radáls loszlásfüggvény. Fza jlntés ogy 4π r ng r dr anna a várató érté ogy ány részcs van gy r sugarú dr vastagságú gömbéjban a az orgóban van részcs. d rd rc ' nn d rd r' C r r' < >< > < >. nn r r' n n d r [ g r ] < > < > < > < > < >.

33 Láttu ogy < > n κ vagys d r[ g r ] κ. n Dfnálju az F sztatus szrzt fatort a övtzőéppn: [ r ] F + n d r r g am lénygébn a párorrlácós függvény Fourr-transzformáltja. A fntből övtz ogy lm F n κ. A sztatus szrzt fator lnvzés onnan származ ogy z a függvény jln mg a rugalmas szórásísérlt atásrsztmtszténél. nn mgmutatásáoz lőször alaítsu át F-t: F n j < R j R d rd r' j < δ R > nδ + j r δ R j < r' > R j R rr' nδ + > nδ < n n > nδ aol az utolsó lépésbn asználtu ogy a szumma alatt fjzés csa a lyvtoro ülönbségétől függ és az gy ndxr összgzv -t apun. Szórásísérltbn valamlyn ullámot ltromágnss nutron stb bocsátana az anyagra am azzal ölcsönatásba lép. A részcsén történő szóródás mcanzmusát nm vzsgálju. ϑ forrás j R R j R j R dttor Dfnálju a vtort és számítsu szórás fázstényzőt: ϕ R j R ϕ R j R aonnan ϕ ϕ R j R.

34 A szórás dffrncáls atásrsztmtszt az atom szórásra és a szrztr jllmző tényzőből áll. Az atom szórás atásrsztmtszt σ ϑ f ϑ aol mgjlnt az smrtn fltétlztt atom szórás ampltúdó abszolút érté négyzt. A dffrncáls atásrsztmtsztr R j R σ ϑ σ ϑ < > σ ϑ F j adód ltntv a drt nyalábna mgfllő δ -s tagtól. álaszfüggvény ddg spontán flutuácóal foglaloztun. M történ a az gynsúly átlagtól való s ltérést ülső atás ozza létr? ntsü a övtző prturbácót: H H FX aol az F ülső rő az X xtnzív mnnységn rsztül apcsolód az nrga fjzéséz. Példaént a mágnszttségr ll. a mágnss nducó vtorra lt gondoln. Fl fogju tnn ogy F csny és nn mgfllőn a atása a prturbácóra adott válasz s csnyn tnttő: X X χf aol bvzttü a χ általánosított szuszcptbltást. Fgylm: a prturbácó bapcsolása után mgvárju az új gynsúly bálltát és az gynsúly értébn bövtztt változást tntjü válaszna. H + X dqdpx H + X H + X X dqdp dqdpx dqdpx χ H + X F F dqdp dqdp χ < X > H + X H + X A fgylmr méltó rdmény azt jlnt ogy a s ülső atásra adott válasz csa a prturbálatlan rndszr jllmzőn rsztül függ a rndszrtől. z ltővé tsz ogy s trl tanulmányozzu a prturbálatlan rndszr sajátosságat. A apott összfüggés mléztt a orábban már nyrt flutuácós épltr és nylvánvaló gynlőtlnségt jlnt a szuszcptbltásra. A orábban lvzttt összfüggés alapján: χ Cxx r d r < X >. 4

35 vztv a r C C r d r xx Fourr-transzformáltat azt apju ogy χ C. rmésztsn lt lyfüggő prturbácót s alalmazn. Ha az r F F r d r Fourr-omponnsl írju l a lyfüggést az rdmény gn gyszrű lsz: X X X χ F aol χ C az gynsúly válaszfüggvény. Az ddgbn fltétlztü ogy ugyananna a mnnységn a mgváltozására vagyun íváncsa amn rsztül a prturbácó a rndszr nrgájáoz csatolód. lőfordulat ogy gy prturbácó más mnnység mgváltozását s magával ozza. Pl. az ltromos térrősség a polarzácón rsztül csatolód d oozat térfogat-változást s. Ilynor értlmszrűn az ú.n. rszt-orrlácós függvényből ll nduln: C yx r r' < y r y x r' x >. nn flasználásával Y χ YX F és χ C r d r < Y Y X X >. YX yx Kölcsönató rndszr fázsátalauláso oltzmann-fél rndződés lv Általános tapasztalat ogy a maroszopus rndszr ülső paramétr pl. őmérsélt változtatásával rtln átalaulásoon mnn át. Ilynor fázsátalaulásról bszélün. Pontosabb dfnícót a trmodnama sgítségévl lt adn: a paramétrtérn azon tartománya amlyn a szabadntalpa analtus gy fázst jlöl. A lggyszrűbb fázso a almazállapoto. ntsün gy gyszrű atomos gázt amlyn részcsé özött ölcsönatás van. A rndszr szabadnrgája: F S. A blső nrga függ a ölcsönatástól: 5

36 p + U r + j U m < j r j r j r +... aol r j az -d és j-d részcsé özött távolság U a párölcsönatás és gyaran csa zt vsszü fgylmb. A párpotncál alaját mgatározza ogy rövd távolságon taszító nagy távolságon pdg vonzó ölcsönatás uralod. Ur ε σ r Soszor alalmazzá az ú.n. Lnnard-Jons potncált: 6 σ σ U r 4ε r r am ét paramétrrl jllmz a potncált. Flmrül a érdés ogy mért alaulna ülönböző fázso. rr valtatív választ a oltzmann-fél rndződés lv ad nagy S nagy özps S özps cs S cs gynsúlyban a rndszr a szabadnrgájána mnmumára törsz. Magas őmérséltn mvl az F S fjzésbn az ntrópa mg van szorozva a őmérsélttl zt a mnmumot úgy lt lérn ogy az ntrópát nagyna állítja b a rndszr még azon az áron 6

37 s ogy az nrgája nagy szn a részcsé távol vanna gymástól vagys nm a potncálvölgy mnmuma örnyéén tartózodna. Ha a őmérséltt csöntjü lérün gy pontot amor már érdms lsz az ölcsönatás nrga tagot s jóval alacsonyabbna választan d trmésztsn lynor az ntrópa sbb lsz. égül lgndőn alacsony őmérséltn már az s mgér a rndszrn ogy a részcsét szabályos rndb állítsa vagys az ntrópa gn alacsony lsz d az nrgatag csönés zt ompnzálja. A almazállapot-változáso a lggyarabban vzsgált fázsátalauláso d számos más sttl s találozun: frromágns-paramágns átalaulás során a mágnss rnd változ a szrzt átalaulásonál a rstályos rnd változ az ötvözt rnd-rndztln átalaulásánál pdg az ötvözt gymásban való oldatósága változ mg. A fázsátalauláso osztályozása lsőrndű átalauláso rnfst vztt b a övtző osztályozást: Ha a fázsátalaulásnál a G szabadntalpána lső drváltja nm folytonos aor lsőrndű a a másod drvált nm folytonos aor másodrndű a fázsátalaulás. lvbn és modllbn magasabb rndű átalauláso s ltségs d z jlntőség lnyésző. Az lsőrndű átalaulásonál látns ő lép fl. z azonnal látsz a övtző dagramon: G G I II S II S I P I S S I II S II P P G G Itt flasználtu ogy és S. A ülönböző fázsoat fázsatáro P P választjá l amlyt a fázsdagram sgítségévl lt ábrázoln. Ha csa a almazállapotváltozásoat vzsgálju a övtző fázsdagramot apju: 7

38 P szlárd szublmácós görb fagyásgörb folyadé rtus pont ármaspont A fázsdagramon a nvzts ponto és vonala s fl vanna tünttv. A folyadé és a gőzfázs valójában csa a gőznyomás görbén ülönböztttő mg aol a ét fázs gyütt létz ogzsztál. A gőznyomás görb ugyans a rtus pontban végt ér tát a gázfázs és a folyadéfázs a szaggatott vonallal jlztt úton gymásba átalaítató úgy ogy özbn a szabadntalpa végg analtus marad vagys fázsátalaulás nélül. Határozzu mg a fázsatáro dffrncálgynltét! A fázsatáron a ét fázs gyütt van jln lynor az gynsúly fltétl ogy a éma potncálo mggyzzn. Mvl G µ a szabadntalpána s mg ll gyzn és z gaz a fázsatár mntén történő lmozdulásra s: dg I dg II. Állandó részcsszám mlltt d : dp S d dp S d vagys dp Sd I I II amből adód a Clausus-Clapyron gynlt: dp d S H II gáz gőznyomás görb aol H S az átalaulásoz apcsolódó látns ő. A van dr Waals lmélt Az dáls gáz lmélt és gyszrű prturbatív gészítés nm ad számot a fázsátalaulásoról. Az lső srs próbálozás van dr Waalsé volt a az dáls gázra érvénys P n állapotgynlt lytt a övtzőt javasolta: n P bn an. z a éplt gy fza mgfontoláson és nm lvztésn alapsz. A részcsé özött ölcsönatást úgy vsszü fgylmb ogy a potncál rövdtávú taszító magja révén a 8

39 részcsé számára rndlzésr álló térfogat csön zt írja l a b paramétr. A potncál vonzó rész a nyomást csönt amt az a paramétr sgítségévl vszün fgylmb. A taszításnál a sűrűséggl arányos a zárt térfogat a vonzó tagnál a sűrűség négyzt szrpl mvl tt ét részcs ölcsönatását ll fgylmb vnn. A fnt gynltből átrndzéssl P b a b adód amt -bl bszorozva -r armadfoú gynltt apun. nn mgfllőn a övtző zotrmáat nyrjü: P P zonyos őmérsélt alatt mgjlnn tát olyan zotrmá amlynél > vagys az zotrm omprsszbltás ngatív. z a ponto nm flln mg a trmodnama stabltás fltétlén. Maxwll mutatta mg ogy lyn stbn m fza zotrmá mgatározásána módszr. Itt s abból ndulun ogy ogzsztnca stén az gy részcsér ső g szabadntalpána mg ll gyzn. Mvl zotrmát vzsgálun nmcsa d anm d s. v A D C g D C F F A P P 9

40 g vdp aol v az gy részcsér ső térfogat. A fnt ábrából övtz a Maxwllonstrucó: a vízsznts zotrmát úgy ll búzn ogy az alatta és a fölött lévő trült mggyzzn. A vízsznts szaasz fza jlntés érttő: amíg ogzsztnca van a rndszr térfogatána változtatása nm változtatja mg a nyomást anm csa a folyadé gáz arányt. A vízsznts szaasszal az zotrma nm-analtussá vál tát a fázsatárt az ábrán jlztt arang alaú ogzsztnca görb jlöl. A rtus pont mgatározásáoz észr ll vnn ogy tt az zotrma lső és másod drváltja ltűn. A van dr Waals gynlttl gyütt z éppn árom gynlt árom smrtlnr amn mgoldása: a P c 7b n c b c 8a 7b aonnan nc P c c 8. z azt sugallja ogy mndn valód gáz rtus paramétrn fnt ombnácója unvrzáls állandóoz vzt. A rtus paramétrl dmnzótlanná tév a van dr Waals gynltt anyag állandótól mnts állapotgynltz jutun: P + n 8 n aol P P / Pc n n / nc és / c. z a mgfllő állapoto tétl névn smrt összfüggés azt mondja ogy az ú.n. rduált mnnység flasználásával mndn valód gáz azonos alaú állapotgynlttl írató l. Azonban z nm tétl anm a van dr Waals özlítés övtzmény amt ísérltlg llnőrzn ll. Mglpő módon valam gazság van bnn! alóban a rtus pont özlébn a P * n * * függvény azonos alara ozató z azonban ülönböz a van dr Waals gynltből övtző összfüggéstől. Pl. a ogzsztnca görb a van dr Waals lméltbn parabolus a valóságban nnél jóval laposabb. Spnrndszr. Frromágnss fázsátalaulás Mgfllő örülmény özött ölcsönató spn maroszopus rndszrébn ltségs gy olyan átalaulás amn révén a ülső tér nélül spontán mágnszttség jön létr. Mlőtt nn a tárgyalásába fognán tntsü a nm ölcsönató rácspontooz rögzíttt spn rndszrét! Az gyszrűség dvéért tgyü fl ogy az lm mágnsn spnn csa ét bállásu lt fl vagy l. Külső tér nélül a spn rndztlnül állna a ülső tér atására gyzn a térrl páruzamosan bálln am rdő mágnszttségz vzt. Csa őmérséltn áll azonban mndn spn páruzamosan a térrl z az alapállapot magasabb őmérséltn z a töélts rnd valamlyst zavart sznvd végül végtln magas őmérséltn ltűn a mágnszttség és a spn tljsn rndztlnül állna. A rndszr Hamlton-függvény: 4

41 4 H σ σ µ aol csa a tér nagyságát jlöltü és µ az lm mágns momntuma az σ változó pdg + vagy értét vt fl. zsgálju zt a rndszrt a anonus soaság sgítségévl! { } { } j j j j j σ σ σ σ ρ anna a valószínűség ogy a spnonfgurácóból éppn a { } σ -val jlztt valósul mg. Számítsu a őmérséltű rndszrbn a mágnszttség várató értéét! z lég mgatározn gytln spn várató értéét: t σ σ σ σ σ σ + > < ± ± ; Az rdmény trmésztsn nm függ -től. Innn t M M µ σ µ > < > <. Az zotrm szuszcptbltást a dfnícó alapján számítju: + c t t t M M M M M µ µ µ µ χ. bből a épltből adód a µ χ M alaú Cur törvény am azt mondja ogy paramágnss anyagonál aol a ölcsönatás az lm mágns özött lanyagolató a zérus ülső tér mlltt zotrm szuszcptbltás a őmérsélt nvrzévl arányos: χ

42 ntsün most már gy frromágnss anyagot. Ilynor az lm mágns özött ölcsönatás matt spontán ülső tér nélül mágnszttség alaulat az anyagban. Az gyszrűség dvéért tntsün gy rősn anzotrop csa étfél bállást mgngdő mágnst. A mgfllő fázsdagram a övtző: c A vastag vonal a fázsatár amlyn ét oldálán ülönböző rányú spontán mágnszttségt tapasztalun és az gyről a másra való átugrás nylván nm analtus függvénnyl írató l. Ugyanaor azt s látju ogy analógában a folyadé-gáz átalaulással a fázsatár tt s gy rtus pontban végződ c -bn. nnél ú.n. Cur-őmérséltnél magasabb őmérséltn nncsn spontán mágnszttség. zt a pontot mgrülv l. a szaggatott vonalat analtus út mntén l lt jutn az gy rányú mágnszttségből a más rányúba. Érdms a mágnszttség őmérsélt dagramot s flvnn: M/M max c A spn özött ölcsönatás lírásána lggyszrűbb mroszopus modllj az Isngmodll: H J σ σ σ j < j > aol < j > azt jlnt ogy az lső szomszéd párora ll összgzn a rácsban vagys rövd atótávolságú ölcsönatást vzttün b J a ölcsönatás amt csrélődés ntgrálna s szota nvzn utalva a mágnss ölcsönatás vantummcana rdtér. Alapvtő 4

43 érdés ogy alaulat- lyn rövd atótávolságú rndszrbn osszú távú rnd. Aoz ogy ülső tér nélül rdő spontán mágnszttség lgyn a rndszrn lyn osszú atótávolságú rndr van szüség szn a végs mértű aár gy rányban álló spncsoporto domén a DL-bn oltjá gymást. lmzzü a fnt mágnss modllt ülső tér nélül a oltzmann-fél rndződés lv alapján! A lgalacsonyabb nrgájú ú.n. alapállapotban mndn spn gy rányba mutat. Ilyn állapotból ttő van az gy spnr ső ntrópa a DL-bn ltűn. Alacsony őmérséltn a szabadnrga mnmumát az nrga-tag uralja és a spn többség gy rányba mutat. A őmérsélt mlésév gyr fontosabbá vál az ntropus tag gyr jobban szétzlálód a rnd míg végül a Cur-pontban. agy érdés ogy mora őmérsélt ll aoz ogy szétzlálódjé a rnd rről a fnt valtatív mgfontolás nm mond smmt. Lt ogy már ttszőlgsn s poztív őmérsélt lég? Az gydmnzós modllt vszonylag önnyn mg lt oldan és drül ogy ott valóban z a lyzt: nncsn > -ra spontán mágnszttség. rmésztsn az gydmnzós spnlánc rndjét a lgönnybb lrontan. M a lyzt a étdmnzós modlll? z már nm gyszrű probléma d a matmata fza gy nagy dadalaént Onsagrn srült. Kdrült ogy a étfmnzós Isng modlln van nmtrváls Cur pontja! zt a számítást nm övtjü anm gy széls örbn alalmazató ú.n. átlagtér özlítéssl fogju lírn a frromágnss átalaulást. A frromágnss átalauláso stébn zt Wss-lméltn ívjá. érjün vssza a tljs Isng Hamlton-függvényz. gyü észr ogy az átírató a övtző alara: H J σ + σ j j + nn aol a másod összgzés az -d spn lső szomszédara trjd. z a fjzés úgy olvasató ogy a σ spnr gy ff J + σ j j + nn fftív tér at vagys a ülső térn ívül a szomszédos spn loáls vagy molulárs tr. A özlítés abban áll ogy zt a trt átlagosan vsszü fgylmb Wss-fél átlagtér lmélt: mf J Jz + < σ > + < σ > j + nn j aol z a oordnácós szám és mgjlnt az lvbn a probléma mgoldásából adódó spn várató érté. Úgy tszün mnta már smrnén zt az értét! or gy függtln spnből álló rndszrz jutottun amn Hamlton függvény: H σ mf. nn a mgoldását azonban smrjü: 4

44 Jz < σ > t mf t + < σ > am most gy mplct gynlt < σ > -r vagys a mágnszttségr M µ < σ >. A mgoldást célszrű grafusan szmlélttn. t Jz < σ > < σ > Az ábrán az y < σ > gynst s ábrázoltu. A grafus mgoldás nn az gynsn és a t görbén a mtszéspontjaból adód. Látsz ogy / értéétől függőn lt vagy mgoldás z mléztt a van dr Waals állapotgynltr!. A t függvény drváltja Jz az orgóban. Magas őmérséltn a drvált sbb mnt és csa mgoldás létz. Alacsony őmérséltn a drvált nagyobb mnt vagys mgoldás létz. z özül az gy a < σ > -oz tartozó nstabl amnt azt ésőbb b fogju látn. Az l nm tűnő mágnszttségt jlntő mgoldáso mutatjá ogy frromágnss fázssal van dolgun. A Cur-pontnál a drvált éppn vagys c adód. Jz gyü észr ogy bbn a fjzésbn nm szrpl a rndszr dmnzója csa a oordnácós szám pdg láttu ogy pl. gy dmnzóban nncsn > stén frromágnss rnd. ntsü a övtző váz-gydmnzós lrndzést: z a létra gy végtln rács darabja amlyn a oordnácós szám ugyanúgy 4 mnt a négyztrácson vagys az átlagtér lmélt ugyanazt a rtus pontot rdményz. Mg lt azonban gzatul mutatn ogy gy lyn végtln létrán a trmus flutuácó ugyanúgy 44

45 lromboljá a frromágnss rndt mnt az gydmnzós végtln láncon. agys alacsony dmnzóban az átlagtér özlítéssl baj van. M nn az oa? Az alalmazott özlítés lényg ogy a vzsgált σ spn örül szomszédos spnt nm gzatul anm csa átlagosan vsszü fgylmb vagys lanyagolju a flutuácóat. D éppn a flutuácó fllős a rnd szétzlálásáért! Mnél alacsonyabb a dmnzó annál nagyobb jlntőség van a flutuácóna. Látju ogy gyzésbn a étdmnzós gzat rdménnyl valamnt a magasabb dmnzós numrus számításoal az átlagtér lmélt fázsátalaulásoz vzt > Cur-őmérsélttl. ézzü mg m adód a szuszcptbltásra! lőször fjzzü a trt a < σ > vagys lénygébn a mágnszttség sgítségévl! Jz art < σ > < σ > < σ > χ M < σ > µ < σ > µ. Látsz ogy -oz > c stén gy < c -nél árom mgoldás tartoz összangban a orábbaal. udju ogy a flutuácó és a szuszcptbltás özött apcsolat révén χ tát az alacsony őmérsélt fázsban az zotrmáon trmodnamalag nm stabl állapoto jlnn mg tljs analógában a van dr Waals lmélttl. zért mondattu ogy a < σ > mgoldás a frromágnss fázsban nstabl. A Maxwllszrsztés tt a szmmtra matt nagyon gyszrű: a tnglyn ll a ét stabl mgoldást függőlgsn összötn vastag vonal. Számítsu ogyan függ a spontán mágnszttség a őmérsélttől a rtus pont özlébn. Ilynor a mágnszttség cs és a t függvényt σ-ban armadrndg sorba fjtjü és fgylmb vsszü ogy c s cs: t Jz Jz Jz c < σ > < σ > < σ > < σ > < σ > < σ > c aonnan 45