Móri Tamás. Fıkomponens- és faktoranalízis

Átírás

1 Mór amás Fıompos- és fatoraalízs Elt Valószíőséglmélt és Statszta aszé 999

2 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs Fıompos- és fatoraalízs öbbdmzós adatsor: so változóra voatozóa vaa mgfgylés. A tárgyaladó többdmzós módszr céla lht példál: A változó számáa csötés d úgy hogy záltal a mgfgylésb rlı formácó csö léygs; léygmlés. hz mgadható fogalma pl. gazdaság flttség dfálása összttt mtatórdszrrl való llmzés útá. Osztályozás csoportosítás fladato: a csoportépzı smérv lölt változó m függtl és m azoos szórásúa zért m lht azoos súllyal v fgylmb ıt a változóat alaító özös fatoro alapá csoportosít.. A módszr llmzı: Számolásgéys számítógéps programcsomago sgítségévl hatható végr. öbbdmzós ormáls loszlású mgfgylés sté optmmtladoságoal rdlz d bármly más végs szórású mtaloszlás sté s gaz hogy trmészts dfált célfüggvéyt optmalzála. A lasszs módszr m robsztsa érzéy a gró és xtrém értér d létz mparamétrs robsztsabb változato s amly ragstatsztáal dolgoza. A továbbaba ét épszrő módszrrıl lsz szó: a fıompos-aalízsrıl és a fatoraalízsrıl. Ez özül a fıompos-aalízs matmata háttr a dolgozottabb a fatoraalízsb számos érdés mág scs mgygtatóa tsztázva. Ezért a fıompos-aalízs fıbb állításaa a bzoyítása s szrpl foga fltév ha m túl boyollta míg a fatoraalízsrıl szóló részb ább csa a módszr smrttésér rül sor. Fıompos-aalízs Lgy X EX 0 várható értéő és VarX D ovaracamátrxú dmzós véltl vtor. Az a cél hogy az dmzós térb olya ú oordátardszrt vzssü b amlyb a véltl vtor oordátá már orrlálatlao. Ismrts hogy X-t az ortoormált bázsba flírva az -d oordátáa Y X lsz vagys Y U X ahol U az oszlopoból álló ortoormált mátrx. Másépp modva X UY vagys X-t gy orrlálatla omposő véltl vtor lforgatottaét ívá lıállíta.

3 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs Lgy VarY Λ dagoáls mátrx aor azt ap hogy D UΛU z pdg épp D sptrállıállítása. E alapá a övtzı lvzést vztü b. Lgy VarX sptrállıállítása D UΛU 0. Eor az Y U X véltl vtort az X fıompos-vtoráa vzzü az Y vtor -d oordátáa Y X pdg az X -d fıompos. Vlágos hogy a fıompos vtora szté 0 várható értéő és a ovaracamátrxa dagoáls: Var Y U DU U UΛU U Λ vagys a fıompos pároét orrlálatlao és szórása mlyt az X aos szórásaa vzü épp D saátérté égyztgyö: DY. Vgyü észr hogy a fıompos-vtor forgatásvarás: ha V ortoormált mátrx X és VX fıompos-vtora mggyz. Valóba mvl VarVX VDV VUΛU V WΛW ahol W VU s ortoormált zért VX fıompos-vtora W VX U V VX U X. Az vszot már m tlsül hogy a fıompos-vtor sálavarás s l vagys a mértégység mgváltoztatása általába már mgváltoztata a fıompost. A sálatraszformácó gy dagoáls mátrxszal való szorzást lt és U X U X matt az varaca azt lté hogy Var X D sptrállıállításába az ortoormált mátrx U l z tóbb azoba rdszrt m s forgatás. Ha rag D aor csa az lsı fıompos ülöböz 0-tól. Lgy v V [v v ] mértő mátrx és Z a Z Y oordátából álló dmzós véltl vtor. Eor X VZ Z szórásmátrxa az gységmátrx és V olya mátrx mly oszlopa ortogoálsa és ormá rdr az X aos szórásaval gylı. Ezt az lıállítást X aos lıállításáa vzzü. Ha D saátérté md ülöböz a fıompos lıltıl lttv gyértlmő. Ha azoba gy saátérté többszörös aor a mgfllı saátvtoro m gyértlmő a saátaltérb ttszılgs lforgatható. A fıompos szmlélts ltés. Lgy ttszılgs gységvtor or X- az ráyára való vtült X és az ráyába sı szóráségyzt D X D. Ha és f ét gységvtor az ráyra sı vtült potosa aor orrlálatlao ha Df 0 gyas cov X f X E XX f Df. Ezért a övtzı állítás gazolható. A fıompos bvztéséél tttt ú oordátardszr lsı tgly ráyába a lgagyobb az X szórása az összs lhtségs dmzós ráy özül és z a maxmm épp az lsı aos szórás. Ezt a tglyt zért lsı fıtgly s vz. A másod oordátatgly ráya az lsır mrılgs ráyo özül az amlyr ézv X szórása a lgagyobb mégpdg épp a másod aos szórással gylı z a ráy a másod fıtgly és így tovább. Az X vtor vtült az az ú oordátatglyr a fıompos. Formálsa a övtzı összfüggést írhat fl:

4 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 3 { } { }. 0 : max : max D D D D < < Ez bzoyítása szrt tls dcóval törtéht. Az lsı -r mrılgs ráyo md b vaa az saátvtoro által grált varás altérb thát L L m m m m m m D és tt az gylıség tlsül ha. dmzós véltl vtor özlítés alacsoyabb dmzós változóval. Lgy < és L az olya dmzós Z valószíőség változó tr amly valószíőséggl gy lgflbb dmzós hprsíba vsz fl az értét más szóval rag Var Z. Krssü azt a Z L valószíőség vtorváltozót amly égyzts hbába a lgobba özlít X-t: m! Z X E A várható érté mmmtladosága matt EZ EX 0 zért Z gy lgflbb dmzós altérb s. Mvl abba az altérb az X-hz lgözlbb pot PX ahol P az altérr való mrılgs vtítés így szüségépp Z PX. Mvl X PX mrılgs PX-r a Ptagorasz-tétl matt PX X PX X thát a fladat: max! PX E D sptrállıállításával fzv P P P X P PX Var Var zért P P P PX PX tr tr Var E. Itt P és UU I matt. tr tr tr P P P P P P Eélfogva aor ap maxmmot ha P és P 0 a több saátvtorra. Ez azt lt hogy P épp az vtoro által fszíttt altérr

5 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 4 való vtítés: P a lgobba özlítı Z valószíőség vtorváltozó pdg az a vtor amly lsı oordátáa az ú oordátardszrb épp az lsı fıompos a több pdg 0: Z Y végül a égyzts hba mmáls érté: E X Z + + L+. Az E X tr D + L+ mységt az X vtorváltozó tls varacááa vz. Ez mggyz az Y U X fıompos-vtor tls varacáával hsz a forgatás ormatartó és az lsı fıompos sgítségévl flírt lgobba özlítı dmzós Z vtorváltozó tls varacáa E Z + L +. Ezt úgy modá hogy az lsı fıompos yt magyaráz mg az X tls varacáából. Ha z az érté már az X tls varacááa a túlyomó rész aor a több változó lhayagolható. Ezért mgválasztásához a háyados értéér támaszoda. + L+ ψ + L + Amor az lsı fıompost választ a özlítéshz aor D-t ét részr bot: D D + D ahol D Var Z az ú. rprodált mátrx az lvzés oa rd hogy ha az lsı fıompos már tls mgmagyarázza X tls varacáát aor vsszaap D-t D VarX Z v pdg: rzdáls ovaracamátrx. ormáls loszlás st Ha X többdmzós ormáls loszlású aor gyaz gaz a fıompos-vtorra s és a fıompos orrlálatlaságából övtz a függtlségü s. apasztalat fıompos Lgy adott gy dmzós loszlásból vtt lmő mta: X X X >. Dfál a tapasztalat loszlást a szoásos módo: z az az -dmzós dszrét loszlás amly / / súlyt valószíőségt hlyz a mgfgylés mdgyér. A valószíőségloszlásora dfált szoásos mység llmzıt pl. várható érté szórás mdá rr a tapasztalat loszlásra számítva a mység ú. tapasztalat mgfllıt ap. Általáosa alalmazható szabály hogy gy mység várható érté a tapasztalat loszlás szrt m más mt a mység a mtalm vtt átlaga. ly módo a tapasztalat várható érté az X -sal lölt mtaátlag a ovaracamátrx tapasztalat mgfllı pdg az S X X X X

6 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 5 tapasztalat ovaracamátrx. A tapasztalat ovaracamátrx S V Λ V sptrállıállítása sgítségévl dfálhat a mta tapasztalat fıompost aos szórásat és fıtglyt: most az -d tapasztalat fıompos gy dmzós vtor amly -d lmét úgy ap hogy a V mátrx -d oszlopáa lmvl súlyozva ad össz az X mtalm oordátát. Ezért a V ortoormált mátrx v: átvtl loadg mátrx oszlopat súlyvtoroa lmt pdg súlyoa vzzü. rmészts gaza marada a fıomposrıl ddg modott tétl tapasztalat mgfllı: az lsı fıtgly az az gys amly ráyába a lgagyobb a mta tapasztalat szórása a másod fıtgly az lsır mrılgs gys özül rdlz zzl a tladosággal és így tovább. Az lsı tapasztalat fıompos a mta tls varacáából tr S -bıl háyadot magyaráz mg ahol mmalzálható a X Z ˆ ˆ + L+ ψˆ ˆ + L + ˆ ˆ az S -d lgagyobb saátérté és sgítségül égyztösszg az összs olya Z Z vtor-s amly által -b fszíttt altér dmzóa lgflbb. Fıompos bcslés ormáls loszlású mta sté. Ismrts hogy lyor az loszlás D ovaracamátrxáa a maxmm-lhood bcslés az S tapasztalat ovaracamátrx. A maxmm llhood bcslés varacááa övtztéb S saátvtora és saátérté a D saátérté és saátvtoraa maxmm llhood bcslés. Ha azoba fltétlzzü hogy a saátérté mltplctása többszörös: q+ q+r aor mlltt maxmm llhood bcslés ˆ ˆ + L ˆ r. Mvl lyor a fıompos özül az z a q + + q+ r saátérté mgfllı m gyértlmő csa az q+ Yq+ +L + q+ ryq+ r összg az mégpdg X vtült a mgfllı saátaltérr zért a tapasztalat özlítéshz z a fıompos csa gyszrr haszálható. Külöös fotos aa a hpotézs a vzsgálata hogy az tolsó r saátérté mggyz-. A H 0 : r+ hpotézs tsztlésér lhood-háyados próbát végzhtü. A próbastatszta: rlog a log g ahol a az S tapasztalat ovaracamátrx lgsbb r saátértéé számta özp g pdg a mérta özp. Mgmtatható hogy H 0 tlsülés sté mlltt határloszlása f r + r / szabadságfoú χ -loszlás zért χ -próba végzhtı. A próba Bartltt-fél módosítása az hogy a próbastatsztába hlytt + /6 íradó z a határloszlást m bfolyásola d a próba smtás tladoságat avíta.

7 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 6 A özlítéshz flhaszált fıompos számáa mgállapításához szüségs lht a tls varacából magyarázott ψ háyadra voatozó hpotézs vzsgálata lltv am matmatalag zzl gyértéő ofdcatrvallm ostrálása. Blátható ψˆ ψ határloszlása 0 várható értéő és hogy szóráségyztő ormáls loszlás ahol tr D τ ψ hψ + h tr D + L+ h. + L + / E alapá pl. a ψ-r voatozó α aszmptots mgbízhatóság sztő ofdcatrvallm végpota: ψˆ ± cα ˆ τ ahol a ˆ a mgfllı mység / tapasztalat bcslését löl c α / pdg a stadard ormáls loszlás flsı α/-vatls. Fıompos stadardzált mtából Elıfordl hogy a fıompos számítása lıtt a mtát oordátáét stadardzálá: az X mtalmt úgy traszformálá hogy az X X oordátát rdr losztá a tapasztalat ovaracamátrx átlós lm a égyztgyöévl. Ez aa fll mg hogy m a ovaracamátrx ham a orrlácós mátrx sptrálflbotását haszál vagys átsálázást alalmaz amlyrıl látt már hogy m hagya a fıompost változatlal. Az így számított fıomposl való özlítés m a ét mta mgfllı lm özött égyzts ltérés összgét mmalzála ham gy olya súlyozott összgt amlyb az -d oordátára változóra voatozó hbaégyzt-összgt loszt a szóbaforgó változóra voatozó mgfgylés tapasztalat szóráségyztévl vagys a agyobb szórású változóál fllépı ltérést sbb súllyal vsszü fgylmb. E a célfüggvéy s lht létogosltsága. Fatoraalízs A fatoraalízs modlléb fltétlzzü hogy a mgfgylt orrlált változó m mgfgylhtı hpotts háttérváltozó ú. fatoro lárs ombácóaét írható l. E fatoroat hatás szrt a övtzıépp szotá osztályoz:. özös fator: amly több mgfgylt változót s bfolyásol. Ez özött lht. általáos fatoro z md mgfgylt változót bfolyásolá lltv. csoportfatoro amly éháy gyél több d m az összs mgfgylt változóra hata.. gyd fator: csa gytl változót bfolyásol. Ez részb vagy gészéb származhat mérés hbából amlyt hbafatora s szota vz d m ülöíthtı l a más forrású gyd fatortól. Fltétlzzü hogy a fatoro orrlálatlao és 0 várható értéő.

8 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 7 E mgfllı a fatoraalízs modll: X AY + W + m ahol X a mgfgylt változóból álló dmzós véltl vtor Y a özös fatoro dmzós véltl vtora < W az gyd fatoro dmzós véltl vtora A a gy mértő rögzíttt mátrx a v most s átvtl loadg mátrx lm pdg a fatorsúlyo végül m rögzíttt dmzós vtor. Fltétl szrt EY 0 EW 0 továbbá VarY I és VarW dagoáls mátrx átlóába a ψ 0 lml végül covy W EYW 0. Azt mod hogy X lírható a - fatormodlll ha loszlása lıállítható a ft alaba. Vlágos hogy EX m és VarX : D AA +. Spcálsa az -d változó szóráségyzt d : D X h + ψ ahol a h a mységt ommaltása a ψ részt pdg gyd varacáa vz. A továbbaba fltsszü hogy m 0. X potosa aor írható l -fatormodlll ha létz olya mgatív lmő dagoáls mátrx amllyl D lgflbb ragú poztív szmdft mátrx. Mt látt z a fltétl szüségs d lgdı s mrt gy lgflbb ragú -s poztív szmdft mátrx mdg flírható AA alaba ahol A -as mátrx ha gyas az lıállítadó mátrx sptrálflbotása +L + aor v löléssl A [v v ] mgfllı lsz. Ezért or olya + dmzós Z véltl vtort rsü amly oordátá orrlálatlao és gységy szórásúa és X flírható X [A / ]Z alaba. Ismrts hogy z mgthtı mrt D [A / ][A / ]. Ha X lírható -fatormodlll aor z átsálázás tá s gaz marad rá gyas ha dagoáls mátrx aor X AY + W és tt W oordátá lévé W oordátáa ülöfél számszorosa továbbra s orrlálatlao gymással és Y-al. Észrvhtü hogy a özös fatoro vtora és az átvtl mátrx m gyértlmő: a özös fatoroat ttszılgs G ortoormált mátrxszal lforgatva GY továbbra s lgt tsz a özös fatorotól mgövtlt ovaracafltétl és az X AG GY + W lıállítás s mgfll a -fatormodll vagys az lforgatott özös fatorohoz vsszaforgatott átvtl mátrx tartoz. A mátrxo szglársérté-flbotását alalmazva vszot már mgmtatható hogy -t rögzítv A forgatástól lttv gyértlmő mghatározott: ha A és B mért mggyz és AA BB aor létz olya U ortoormált mátrx amllyl B AU. Az gyértlmőség léréséhz A-ra tovább fltétlt szota t. Lawly avasolta hogy olya átvtl mátrxot rssü amlyr A A dagoáls valamly lır mg-

9 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 8 adott mgatív lmő dagoáls mátrxra. -tól azt s mgövtlü hogy az átló lm mooto csöı sorrdb övtzz gymás tá. I sté A A dagoáls mátrx azaz A oszlopa pároét ortogoálsa lyor A-t ortogoáls átvtl mátrxa vzzü. Eor fıfator-aalízsrıl fıfator-modllrıl bszélü. A választás ormáls loszlású -fatormodll sté gyszrősít a maxmm llhood bcslés számítását. A mgfgylt változó sorrdét prmtálva lérhtü hogy ψ ψ ψ tlsülö. Más lhtıség: -t választhat a D mátrx fıátlóából épztt dagoáls mátrx vrzé: dag/d /d /d. Mvl a fatormodll sálavarás gyaor szoás a változóat stadardzál az lmzés lıtt. Ez / -dl való sálázást lt zért az átsálázott átvtl mátrx ortogoaltása az rdt modllb épp az A A mátrx dagoaltását lt. m smrts általáos módszr aa mgállapítására hogy gy dmzós X véltl vtor mor írható l -fatormodlll. A D AA + összfüggésb + smrtl és +/ gylt va a Lawly-fél fltétl pdg tovább / gyltt lt. Ezért a flírható gylt és az smrtl számáa ülöbség: Ha z poztív m várható hogy az gyltrdszr va mgoldása. Más fotos d m tls mgoldott probléma az dtfácó érdés. Azt mod hogy a modll dtfálható ha adott sté D gyértlmő mghatározza -t és forgatástól lttv A-t. Egy részrdméy példál a övtzı: ha az A mátrx bármly sorát lhagyva a mgmaradt soroat úgy lht ét csoportra oszta hogy a mgfllı ét mátrx raga gyarát aor D AA + dtfálható. Ha ovrgs bcslés lárásoat pl. maxmm llhood módszr alalmaz aor lég agy lmő mtára már lvárható hogy A és bcslés már llı özl vaa a bcsüldı mátrxohoz. Ezért az dtfálhatóság hlytt mglégdhtü A és loáls dtfálhatóságával s am azt lt hogy va olya ldsz öryztü amlyb már tlsül az gyértlmőség. Err voatozóa a övtzı modható: ha A A dagoáls és a AA A A mátrx lm a égyztébıl álló mátrx mszglárs aor A és loálsa dtfálható. Maxmm llhood bcslés ormáls loszlású modllb gyü fl hogy a özös és az gyd fatoro függtl és ormáls loszlásúa or X s ormáls loszlású. Ebbıl az loszlásból áll rdlzésür gy lmő mta: X X X >. Fltsszü hogy D és mszglárs továbbá A A dagoáls. Ismrt hogy a 0 várható értéő és D AA + ovaracamátrxú dmzós ormáls loszlásból vtt mta logllhood-függvéy.

10 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 9 L A F A + ost. alaú ahol F A log dt D + tr D és S a tapasztalat ovaracamátrx. A S maxmm llhood bcsléshz FA-t ll mmalzál. F-t A lltv szrt dffrcálva és a drváltaat 0-val gylıvé tév ap a llhood-gyltt: F F A a D D S D A F ψ [ D D S D ]. Ezt trácóval oldá mg: lıbb rögzíttt sté az lsı gyltbıl A-t fz mad zzl az A-val a másod gyltrdszrbıl mghatározzá -t ztá smét rögzíttt mlltt mmalzála A-ba stb. Az lsı gylt mgoldása vagys az átvtl mátrx maxmm llhood bcslés smrt mszglárs mátrx sté a S / / mátrx sptrálflbotása sgítségévl apható mg. Lgy / / S VΛV ahol a Λ dagoáls mátrx fıátlóába a ˆ saátérté sorrd mooto fogyó. Lgy V a V lsı oszlopából álló mértő mátrx és Q Ezzl A maxmm llhood bcslés: ˆ + ˆ + dag[ K ]. A ˆ / V Q. Az trácó ovrgcáát bfolyásola az dló mgválasztása. Jörsog avaslata: ψ s ahol s az S mátrx fıátlóáa -d lm. A özös fatoro bcslésér ét módszr haszálatos. A Bartltt-fél bcslés abból dl hogy smrt A és sté X fltétls loszlása Y- ra ézv AY várható értéő és ovaracamátrxú dmzós ormáls loszlás. Ezért a fltétls logllhood-függvéy L Y X X AY X AY + ost. amly maxmmhlyét Y szrt drválással aphat mg: L Y X AY A 0

11 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 0 bbıl ˆ Y A A Ezt más úto s lvzthtü ha észrvsszü hogy Y értéét rögzítv a fatormodll orrlált hbáú ormáls lárs modllb mgy át ahol mt smrts az Y paramétr maxmm llhood bcslés mggyz a lgsbb égyzts bcsléssl. Látható hogy a Bartltt-fél bcslés torzítatla. A özös fatoro bcslésé hompso-fél módszr Y-t olya paramétr tt amly a pror loszlása stadard ormáls ztá Y-ra Bays-bcslés adható. égyzts vsztségfüggvéy mlltt a Bays-bcslés épp az a postror loszlás várható érté. Az a postror sőrőségfüggvéy a Bays-tétlll A X. { } { X AY X AY xp Y Y } f Y X ost X xp ahol ostx m függ Y-tól. A tvıb álló mység a / szorzó lhagyásával a övtzıépp alaítható át: bvztv a B I + A A lölést X AY X AY + Y Y B A Y Y X BY X B Y B A AY Y A X + ost X. X + X X Errıl lolvasható hogy az a postror loszlás s dmzós ormáls várható értél és B ovaracamátrxszal. Ezért Y Bays-bcslés B A X ˆ I A A A + Y Bár z a hompso-bcslés torzított az átlagos égyzts hbáa sbb mt a Bartlttbcslésé. A fatoro forgatása Az átvtl mátrxa Lawly módszrévl törtéı gyértlmővé tétl a bcslés láráso matmata lmzését sgít d az az ára hogy a apott özös fatoro gyara csa hz értlmzhtı. Alalmas lforgatással stlg szmléltsbb ltést adhat a fatoroa. Ha példál a fatorsúlyo özött csa 0-hoz özl vagy aráylag agy érté fordla lı aor a változó csoportosítható aa alapá hogy mly fator mly változóba átsz fotos szrpt szrcsés stb a változó halmaza aár dszt osztályora s botható. A fatorsúlyo forgatására ülöfél módszrt haszála a lgsmrtbb z özül a varmax forgatás. E az a céla hogy mél több 0-hoz özl fatorsúlyt állítso lı. A módszr léyg gy alalmas vadrats célfüggvéy maxmalzálása amt trácóval valósítaa mg. A fladat olya A a átvtl mátrx lıállítása gymás tá forgatásoal amlyr a ommaltásoal ormált fatorsúly-égyzt szóráségyzt maxmáls vagys a maxmalzáladó célfüggvéy X. b b b b

12 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs ahol b a h b b. Mvl a forgatáso az átvtl mátrx soraa ormát m változtatá mg az gész lárás sorá a ommaltáso változatlao marada. A foozatos maxmalzálás törtéht példál úgy s hogy md lépésb csa gy-gy fatorpárt forgat l: ha a m párt választ < m aor csa az a és a m fatorsúlyo változa: a a cosϕ a sϕ a a sϕ + a m m m cosϕ ahol ϕ az lforgatás szög; z lépését csa gyváltozós szélsıérté-fladat mgoldását lt. Md clsba végghalad md páro összs / pár va és a cls végé llırzzü a célfüggvéy változását. Aor áll mg ha már csa lhayagolható mértéb változ. Fıfator-aalízs A fıfatoro módszré alalmazásáál gyara fltétlz az gyd fatoro tls háyát. Így a fladat olya özös fatoro mghatározására rdálód amly pároét ortogoálsa a lhtı lgagyobb mértéb árla hozzá az összs változó tls ommaltásához azaz a h E X tls varacához lltv amlyl a rprodált mátrx lhtı lgobba mgözlít D-t a lgsbb égyzt lv értlméb. Formálsa z mggyz a fıomposaalízsb vzsgált fladattal így most m tárgyal. Ha az gyd fatoroat s blvsszü a modllb d valahoa smré -t vagy am zzl gyértéő a ommaltásoat aor a fladat smét fıompos-aalízs d az X W véltl vtoro amt a D mátrx sptrállıállítása sgítségévl végzhtü l. Szoás zért a lıbb a ommaltásoat ülöfél módoo bcsül. Amor már lızts stadardzált változóból dla a D ovaracamátrx voltaépp orrlácós mátrx. A h ommaltás lggyaorbb bcslés az -d változóa az összs több változóra voatozó többszörös orrlácós gyütthatóáa égyzt. Ez a többszörös orrlácós gyüttható dfícó szrt a maxmáls orrlácó amly az -d változó és a több változó ttszılgs lárs ombácóa özött lıfordl. Igazolható hogy z a bcslés a övtzı módo s mgapható: ˆ h d ahol d a D mátrx fıátlóáa -d lm. Dwyr mgmtatta hogy z mdg sbb vagy gylı mt a ommaltás valód érté.

13 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs Irodalom Élttı Ödö Mszéa György Zrma Margt: Sztochaszts módszr és modll Közgazdaság és Jog Köyvadó Bdapst 98. Fazas Istvá szr.: Bvztés a matmata statsztába gytm gyzt Kossth Egytm Kadó Dbrc 997. Füstös László Mszéa György Smoé Mosolygó óra: A sováltozós adatlmzés statszta módszr Aadéma Kadó Bdapst 986. Mór F. amás Szély J. Gábor. szr.: öbbváltozós statszta aalízs Mősza Köyvadó Bdapst 986. Dr. Sváb Jáos: öbbváltozós módszr a bomtrába Mzıgazdaság Kadó Bdapst 979. Zrma Margt Mchaltzy György: Idısoro fatoraalízs. Szgma XXVI

14 Mór amás: Főompos- és fatoraalízs 3 EX D X Függlé: Jlölés tdvaló az X valószíőség vtorváltozó várható érté az X valószíőség változó szóráségyzt Var X az X valószíőség vtorváltozó ovaracamátrxa covx Y az X és az Y valószíőség vtorváltozó ovaracáa a A tr A az a vtor ll. az A mátrx traszpoálta az A égyzts mátrx yoma az átlóba álló lm összg a tr függvéy lárs: tr ca c tr A tr A + B tr A + tr B a tr függvéy clsa varás: tr AB Z tr B ZA szmmtrs mátrx yoma gylı a saátérté az összgévl I I az dmzós gységmátrx dag[a a ] olya ú. dagoáls mátrx amly fıátlóába az a a lm álla a fıátló ívül lm pdg 0-val gylı. procó: lárs altérr való mrılgs vtítés ll. aa mátrxa P potosa aor procó ha szmmtrs P P és dmpots P P tr P rag P dm Im P Ortoormált mátrx forgatás: U égyzts mátrx amlyr U U más szóval U sora ll. oszlopa gyarát ortoormált rdszrt alota Sptrállıállítás: Az A -s szmmtrs mátrx sptrállıállítása: A UΛU ahol U az oszlopoból álló ortoormált mátrx Λ dagoáls mátrx az átlóába álló számo az A mátrx saátérté pdg a saátértéhz tartozó saátvtor. Mvl gy dmzós altérr való vtítés darab saátérté va a több 0 zért az altérr való P vtítés sptrállıállítása: P ahol az Im P altér ortoormált bázsa.