DIGITÁLIS JELFELDOLGOZÁS KF GAMFK AAI #171 1

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "DIGITÁLIS JELFELDOLGOZÁS KF GAMFK AAI #171 1"

Átírás

1 KF GAMFK AAI #7

2 . Jl, rdszr, iformáció. Folytoos idő rdszr KF GAMFK AAI #7

3 . Jl- rdszr iformáció Az iformációtchia alapfladatai: - az iformációmyiség mghatározása - az iformáció özlés - az iformáció tárolása - az iformáció fldolgozása - az iformáció algoritmusos védlm Jl: - iformációhordozó fiziai llmzı - matmatiailag mgadható függvéy -> digitális lfldolgozás KF GAMFK AAI #7

4 Rdszrmodll például: - liáris, idıivariás, folytoos idő rdszr - liáris, idıivariás, diszrét idő rdszr. Jl- rdszr iformáció Jlmodll például: - a folytoos idő l gy diffrciál-gylt mgoldása - a folytoos idő l sziusz- és osziusz-függvéy összg - a diszrét idő l gy diffrcia-gylt mgoldása - a diszrét idő l sziusz- és osziusz-sorozato összg A rdszr a l mővltt végz: - a bmı lbıl imı lt állít lı (fldolgozza) KF GAMFK AAI #7

5 A l csoportosítása (iformációtartalom): - agy iformációtartalmú (üzt) - is iformációtartalmú (lzés). Jl- rdszr iformáció A l csoportosítása (aalóg/digitális): - folytoos idő, folytoos értéészltő - folytoos idő, diszrét értéészltő - diszrét idő, folytoos értéészltő - diszrét idő, diszrét értéészltő A l csoportosítása (lmodll): - dtrmiisztius, sztochasztius, aotius KF GAMFK AAI #7

6 . Jl- rdszr iformáció KF GAMFK AAI #7

7 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (cél és rdméy) u R ( t) R i ( t) R Cél (ú rdszr alotása össztvı rdszribıl): u ( t) f ( u ( t),r( R,C, t) ) i b u b ( t) r( R,C, t) ( t) u i i ( t) C duc C dt ( t) Erdméy: ( R,C, t) h( t) ( t) u ( t) h( t) KF GAMFK AAI #7 7 r u i b RC RC t

8 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (az rdméyhz vztı út) A imıl mghatározása diffrciál-gylt mgoldásával u ( t) duc R C dt ( t) BE u C ( t) u i u i ( t) u ( t) u ( t) BE R ( t) i ( t) C R R ( t) R i ( t) ( t) C duc C dt R ( t) C A diffrciál-gylt a orét bmıl és a zdti fltétl ismrtéb oldható mg: u u BE C t ( t) U t RC t ( t) U RC t t KF GAMFK AAI #7 8 A módszrbıl általáosa érvéys lv hz olvasható i

9 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (az rdméyhz vztı út) A imıl mghatározása fiziai mgfotolásoal ha az R llálláso át C-t ig rövid t idı alatt hirtl U fszültségr töltü, mad R-t párhuzamosa apcsolu a C apacitással, és zutá a rdszrt magára hagyu aor az llálláso U/R áram idul, a odzátoro a t idı alatt U t/r töltés halmozódi fl, ami apcsai U t/rc fszültségt lt KF GAMFK AAI #7 9

10 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (az rdméyhz vztı út) A imıl mghatározása fiziai mgfotolásoal a odzátor fszültség az U t/rc értérıl csö pociálisa (isül): u C ( t) U t RC RC t továbbá, igaz, hogy ha U t miözb t, a fti épltb szrplı adato csa az R és a C értéibıl, vagyis az össztvı rdszr adataiból) számítható, így érdms bvzti KF GAMFK AAI #7

11 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (az rdméyhz vztı út) A imıl mghatározása fiziai mgfotolásoal a övtzı függvéyt: δ t ( t) t t < t gyébét U t δ t ( t) t lim δ t t ( t) δ( t) δ ( t ) dt (Dirac-dlta) KF GAMFK AAI #7

12 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (az rdméyhz vztı út) A imıl mghatározása fiziai mgfotolásoal a rdszrr llmzı függvéy lgy a Diracdltára adott válasz (szoásos v: súlyfüggvéy) δ ( t) h( t) A fti RC-tag stéb thát a súlyfüggvéy: RC RC t δ ( t) h( t) ( t) K δ( t) y( t) K h( t) Vao ttszılgs bmıl sté is alalmazható- a fti godolatmt? KF GAMFK AAI #7

13 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása (az rdméyhz vztı út) Liáris, idıivariás rdszr A bmıl özlíthtı pillaatérté összgét: δ ( t t) h t ( t t) Ha a válasz a t bmtr δ ~ ( t) ( t) δ ( t t) t t és a imt özlíthtı az alábbi összggl: y~ ( t) ( t) h ( t t) δ t t aor a határátmt utá adódi: ( t) ( τ) δ( t τ) dτ δ( t) h( t) Kovolúciós itgrál ( t) ( τ) h( t τ) KF GAMFK AAI #7 y dτ

14 . Folytoos idő rdszr Mggyzés: A Dirac-fél dlta függvéy éháy tuladosága δ ( t ) dt ( t) δ( t) δ( t) ( t) δ( t t ) ( t ) ( t) δ ( t) ( τ) δ( t τ) dτ ( t) δ( t τ) dτ KF GAMFK AAI #7

15 A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása. Folytoos idő rdszr A imıl mghatározása a ovolúciós itgrállal u BE t ( t) U uki( t) u KI ( tτ) RC BE dτ RC ( t) u ( τ) τ ( tτ) U RC dτ RC u KI ( t) U RC t RC t KF GAMFK AAI #7

16 . Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása A imıl mghatározása a ovolúciós itgrállal - grafiusa h at ( t) u( t) ( t) u( t) a > ( τ) ( τ) h( t τ) h( t τ) τ ( τ) h( t τ) τ t τ τ t τ ( t) ( τ) h( t τ) KF GAMFK AAI #7 y τ t dτ τ

17 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Folytoos idő rdszr A rdszr lírása és a rdszrválasz mghatározása A imıl mghatározása a ovolúciós itgrállal - számítással t u t a t u t h t a > τ τ τ τ τ t t a d d t h t y τ τ τ t h τ t [ ] t a t a t a t a t a t t a a a d d τ τ τ τ τ

18 KF GAMFK AAI #7 8 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Folytoos idő rdszr A priodius l Fourir-sora R t t t... t si B t si B... t cos A t cos A A t t l t l si B t cos A A l dt t l si t B dt t cos t A dt t A f Az alapharmoius frvciáa -> flharmoiuso f

19 . Folytoos idő rdszr A priodius l Fourir-sora ( t) ( t ) t R cos si ( t) C C ( t) t t dt A C C A B Alapharmoius flharmoiuso f C f arc( C ) Amplitúdó-sptrum Fázis-sptrum KF GAMFK AAI #7 9

20 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Folytoos idő rdszr Példa: ülölgs priodius l Fourir-sora δ t t t t dt t C C t dt t dt t dt t X t δ δ δ t t ω X ω

21 . Folytoos idő rdszr Az gyszri lfutású l Fourir-itgrála X ωt ( ω) ( t) dω ( t) X( ω) ωt dω t ω ( ω ) δ ω δ ( ) t δω ( t t ) ωt X( ω) ( τ) h( t τ) dτ X( ω) H( ω) KF GAMFK AAI #7

22 . Folytoos idő rdszr A liáris, idıivariás, folytoos idő rdszr imılé számítása a Fourir-traszformáltaal X ωt ( ω) ( t) dω ( t) X( ω) ωt dω y ( t) ( τ) h( t τ) dτ Y( ω) X( ω) H( ω) ( t) h( t) y( t) Az idıtartomáyba ovolúció, a frvciatartomáyba szorzás ( t) Y( ω) KF GAMFK AAI #7 y ω t dω

23 Aalóg szőrı Y ( ω) X( ω) H( ω). Folytoos idő rdszr az aalóg szőrı olya folytoos idő, liáris, idıivariás rdszr, amly a bmı l Fourirtraszformáltát a szorzás mővltévl módosíta a súlyfüggvéy Fourir-traszformálta szrit Fıbb típusai: alulátrsztı szőrı, sávszőrı, flülátrsztı szőrı X( ω) H( ω) ω ω X( ω) H( ω) ω ω X( ω) H( ω) ω ω Y( ω) ω Y( ω) ω Y( ω) ω KF GAMFK AAI #7

24 . Folytoos idő rdszr Aalóg szőrı Y ( ω) X( ω) H( ω) az aalóg szőrı olya folytoos idő, liáris, idıivariás rdszr, amly a bmı l Fourirtraszformáltát a szorzás mővltévl módosíta a súlyfüggvéy Fourir-traszformálta szrit Fıbb típusai: alulátrsztı szőrı, sávszőrı, flülátrsztı szőrı Digitális szőrı: - szőbb értlmb vtt fladatu az aalóg szőrı sptrummővlti mgflltthtı sptrummódosításo lvégzés a folytoos idő lbıl lıállított számoal és mgfllı algoritmussal (stlg az lıírt sbsségő végrhatására alalmas archittúrával) - tágabb értlmb vév mid olya mővlt, ami a bmı számsorozatból algoritmussal imı számsorozatot állít lı, digitális szőrés KF GAMFK AAI #7

25 . Folytoos idő rdszr A folytoos idő (aalóg) lbıl thát számoat ll lıállítau az algoritmussal való (számítógépi) fldolgozáshoz ( t) ( t ) ( t ) ( t ) MEMÓRIA FDA t t t t t CÍM FC DE KF GAMFK AAI #7

26 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás KF GAMFK AAI #7

27 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás Whittar yquist Kotylyiov Shao E.. Whittar, O th fuctios which ar rprstd by th pasio of th itrpolatio thory, Proc. Roy. Soc. Ediburgh, sc. A, (9), 8-9. H. yquist: Crtai topics i tlgraph trasmissio thory. ras. AIEE, vol. 7. pp. 7-. (Apr. 98) V. Kotl'iov, O th carryig capacity of th ``thr" ad wir i tlcommuicatios, matrial for th first All-Uio Cofrc o Qustios of Commuicatios, Izd. Rd. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, Russia (9). C. E. Shao, A mathmatical thory of commuicatio, Bll Systm ch. J. 7 (98), 79-. KF GAMFK AAI #7 7

28 ( t) ( t). Mitavétlzés, vatálás, ódolás, F, BA m ( t) Mitavétlzés Kvatálás Kódolás Cél: a mitavtt l sptrumáa mghatározása.lépés: matmatiai mitavétlzés (a sptrális viszoyo számítása idalizált stb, amior a valóságos mitavvı impulzussorozatot priodius Dirac-dlta-sorozattal modllzzü),. lépés: valóságos mitavétlzés (amior a priodius égyszögl Fourir-traszformáltát vsszü figylmb) [. lépés: mgvalósítási érdés (S/H, A/D és D/A szözö, mőödésü, az átalaítás hibái és iüszöbölésü) más tatárgy] KF GAMFK AAI #7 8

29 ( t) ( t) ( t) d ( t). Mitavétlzés, vatálás, ódolás matmatiai mitavétlzés d ( t) δ( t ) ( t) ( t) d ( t) ( t) δ( t ) ( ) δ( t ) az idıtartomáyba szorzás, a frvciatartomáyba ovolúció D ω δ ω X ( ω) X( ω) D ( ω) X( ω) δ( ω ω ) X( ( ω ω )) KF GAMFK AAI #7 9

30 X ( t) ( t) ( t) d ( t) d. Mitavétlzés, vatálás, ódolás matmatiai mitavétlzés ( t) δ( t ) szmlélttés ( ω) X( ω) D ( ω) X( ω) δ( ω ω ) X( ( ω ω )) X ( ω) Az összgzés miatt ω ω H X ( ω) ω H ω ω ω H ω H KF GAMFK AAI #7 ω

31 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás X ( ω) X( ( ω ω )) matmatiai mitavétlzés szmlélttés Ha ω H icsi, sptrum-átlapolódás lsz, és az összgzés miatt az rdti sptrum shol sm marad mg potosa a mitavtt l sptrumába. sptrumátlapolódás X( ω). összgzés ω ω H X ( ω) ω H ω ω ω H ω H KF GAMFK AAI #7 ω

32 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás X ( ω) X( ( ω ω )) matmatiai mitavétlzés szmlélttés Ha ω H lég agy, sptrum-átlapolódás m lsz, és az összgzés llér az rdti sptrum potosa mgmarad a mitavtt l sptrumába. ics sptrumátlapolódás X( ω). Az összgzés llér ω ω H X ( ω) ω H ω ω ω H ω H KF GAMFK AAI #7 ω

33 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás X ( ω) X( ( ω ω )) matmatiai mitavétlzés szmlélttés ω H határstb: ω < ω H Mitavétli szabály X( ω) ω ω H X ( ω) ω H ω ω ω H ω H KF GAMFK AAI #7 ω

34 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás X ( ω) X( ( ω ω )) matmatiai mitavétlzés szmlélttés ω H határstb: ω < ω H X( ω) Az rdti l (sptruma) töélts visszaállítható a mitáiból ω ω H X ( ω) ω H ω ω ω H H( ω) ω H ω Idális alulátrsztı szőrı ω KF GAMFK AAI ω H #7 ω H

35 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás X ( ω) X( ( ω ω )) matmatiai mitavétlzés A visszaállítás a frvcia-tartomáyba h H ( ω) ω ω ω > ω A visszaállítás az idıtartomáyba ( t) si t t H H X ( ω) H( ω) X( ω) ( t) ( t) h( t) ( ) δ( t ) ( ) ( t ) ( t ) KF GAMFK AAI #7 si si t t

36 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás A vatálás értlmzés A mitavtt l vatálása ( ) q i vatáló d i ( ) < di qi ε( ) qi ( ) Kvatálási hiba (vatálási za) ε ( ) ( ) qi KF GAMFK AAI #7

37 Példa. A vatálási hiba gylts vatálásor, ha a vatálási szit száma -hatváy: M. Mitavétlzés, vatálás, ódolás A mitavtt l vatálása d i di qi B A h U pp M h < ε ( ) < h KF GAMFK AAI #7 7

38 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás A mitavtt l vatálása Az optimális vatálás lv: alalmas ritérium-függvéy szélsıértéé mghatározása (gyara a égyzts hiba miimalizálása) E i d i d i ( q ) f d mi i Mggyzés: az optimális vatáló sté mid a vatálási itrvallum, mid a vatálási szit a lamplitúdó valószíőségi sőrőségfüggvéyétıl függ, vagyis lfüggı. Bszédl átvitl sté haszált mgoldáso: A-aratrisztia, vagy µ-aratrisztia szriti vatálás KF GAMFK AAI #7 8

39 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás A vatált érté ódolása A gyaorlatba a vatálási szit száma -hatváy, így az adott vatálási szit sorszáma hatéoya ódolható biárisa. A szoásos st: tiszta biáris ód, ofszt biáris ód, tts omplms ód, lıl és abszolút-értés ód. KF GAMFK AAI #7 9

40 . Mitavétlzés, vatálás, ódolás A digitális frvcia és a digitális örfrvcia ω D ω ω ω f D f f ω D ω ω F ω -> D -> ω ω ( ) ω ; D A számsorozathoz rdlt sptrum sté haszos llmzı f D ; KF GAMFK AAI #7

41 . Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció.. Számsorozato Fourir-traszformálta. A diszrét rdszr frvcia-aratrisztiáa.. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció.. Diszrét ortogoális traszformáció. KF GAMFK AAI #7

42 . Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. A fıbb ltípuso és az alapmővlt diszrét idő lél δ ( t) lim δ t ( t) δ t t δ t ( t ) dt δ u ( t) t t < ( t) u t u < δ u ω t cos ( ω t) si( ω t) Im R ωd cos ( ω ) si( ω ) D D KF GAMFK AAI #7

43 . Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. a b y y ( τ) y( t τ) dτ m ( ) ( ) ( m) y( m) [] b[] y[] y a y( ) b -ay[-] b -a z - y[-] y[] KF GAMFK AAI #7

44 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. b y a y a a b y [ ] [ ] [ ] a a b a a b a b a b h y m m m m m diffrcia-gylt mgoldással liáris ovolúcióval

45 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. b y a y Mgoldása z-traszformációval z X z u a z a z a z u a X z z a X z Példa: < gyébét a a a z a z z z a z a z a z X z Példa:

46 y. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. a y( ) b Mgoldása z-traszformációval a a X( z) a X ( z) a A z-traszformáció éháy tuladosága ( M) z M X( z) ( ) X z X( z) X ( z) KF GAMFK AAI #7

47 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. b y a y Mgoldása z-traszformációval b y a y z a b z a a ab z z a b Y z z b Y z z a Y z a a b u a b u a a ab y a.. példa rdméyét is flhaszálva

48 . Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. a M y( ) b ( ).. A diffrciagylt általáos alaa.. y a a a y ( ) M b a ( ) Y( z) a z Y( z)... a z Y( z)... a z Y( z) M b X( z) b z X( z)... b z X( z)... b( M) z X( z) Az impulzusválaszfüggvéy z- traszformálta H z Y z X z M b a z z KF GAMFK AAI #7 8

49 . Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. a M y( ) b ( ).. A diffrciagylt általáos alaa FIR szőrı a... H( z) a Y z X z M b z b.. M y h ( ),,,... h M FIR-szőrés: liáris ovolúció KF GAMFK AAI #7 9

50 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. Példa: a liáris ovolúció számítása,...,, h y M Lgy ()δ() δ (-), () δ () δ (-) δ (-), számítsu i az ()()*() sorozat mitáit 8 7

51 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. Példa: a liáris ovolúció számítása,...,, h y M Lgy ()δ() δ (-), () δ () δ (-) δ (-), számítsu i az ()()*() sorozat mitáit

52 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét idő, liáris idıivariás rdszr, fıbb tuladoságai. Lírás a z-tartomáyba. Diffrcia-gylt és mgoldása. A liáris és a ciruláris ovolúció. Példa: a ciruláris ovolúció számítása 9 7 9

53 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Számsorozato Fourir-traszformálta. A diszrét rdszr frvcia-aratrisztiáa. ω ω X ω ω ω d X ω ω z X z X α ω α ω gyébét H Példa: si d h α α α α α ω α α α α α α ω α α ω

54 . Számsorozato Fourir-traszformálta. A diszrét rdszr frvcia-aratrisztiáa. ( ω ) ω ω ω X ω X d a ( ω) ( ω a X a X ) a ωm ( ω) ( m) X X ω ( ωω ) y ( ω ) ( ω X Y ) y ϕ ωϕ X Y dϕ KF GAMFK AAI #7

55 . Számsorozato Fourir-traszformálta. A diszrét rdszr frvcia-aratrisztiáa. ( ω ) ω ω ω X ω X d ω Példa: ( ( ωω )) X Mi törtéi, ha az idális alulátrsztı szőrıél mgismrt traszformáltat -vl ltolu? H ( ω ) LP HP ( ω ) ( ( ω) ) H H h HP h LP h LP LP KF GAMFK AAI #7

56 . Számsorozato Fourir-traszformálta. A diszrét rdszr frvcia-aratrisztiáa. ( ω ) ω ω ω X ω X d Példa: ω X cos α ω ω < α > gyébét α ω α cos cos( α ω) α ω ω cos d ω α si si α α α α α KF GAMFK AAI #7

57 . Számsorozato Fourir-traszformálta. A diszrét rdszr frvcia-aratrisztiáa. ( ω ) H a diszrét rdszr frvciaaratrisztiáa ( ( ω ) H amplitúdóaratrisztia arc H ( ω ) fázisaratrisztia y a y( ) b ( ) a z b X( z) Y z H z Y z X z b a z ( ω ) b ω H ω H arch a b a ω a b a cos ω ω ω Im { H( )} a si ω arcta arcta ω R{ H( )} a cosω KF GAMFK AAI #7 7

58 X. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. ( ) ( ),,,..., ( ) X ( ),,,..., X ( ω) ( t) MÉRÉS t t ωt dt MÉRÉS f X ~ ( ω) ( ) f MÉRÉS f f f ; f ; f f KF GAMFK AAI #7 8

59 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. mérés ( t) t ( t) mérés t. A mért lszaasz priodiussá tétl KF GAMFK AAI #7 9

60 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. ( t) mérés t X( f ) mérés f. A priodius l voalas sptruma va KF GAMFK AAI #7

61 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. ( t) mérés t X( f ) mérés f. A mitavétlzés sorá priodius sptrum ltzi KF GAMFK AAI #7

62 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. X. A DF mitához rdl traszformált értét KF GAMFK AAI #7

63 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF fıbb tuladoságai a X a X a ( m) a m X ( ) l X ( l) m m m ( m) y( m) y l l l X X Y ( l) Y( l) KF GAMFK AAI #7

64 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF számítása özvtlül (a dfiíció alapá),,,..., X [ ] si r cos i si i cos r si cos i r X

65 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF számítása özvtlül (a dfiíció alapá) [ ] i r i r X si r cos i si i cos r X si r cos i si i cos r X

66 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF számítása özvtlül (a dfiíció alapá - példa) δ δ δ X si si si cos cos cos si cos X X

67 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF számítása özvtlül (a dfiíció alapá) void dft(doubl *r, doubl *i, doubl *Xr, doubl *Xi, it ){ doubl r, im; it, ; for(; <; ){ r; im; for(;<;){ rrr[]*cos(*pi**/)i[]*si(*pi**/); imimi[]*cos(*pi**/)-r[]*si(*pi**/); } Xr[]r; Xi[]im; } } KF GAMFK AAI #7 7

68 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF számítása mátri-szorzással a ( a, b) b. d salárszorzat A vtoro omposi ( ) y,d,,,..., X db salárszorzat, d y D Mátri-szorzás KF GAMFK AAI #7 8

69 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. Az IDF számítása mátri-szorzással, d y D D ( ) ( ) y D D D KF GAMFK AAI #7 9

70 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF és IDF mátria sté (példa), d 8 D si cos si cos 8

71 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF és IDF mátria sté (példa), d D D D D D D D

72 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. Számsorozat DF- mátri-szorzással (példa) δ δ δ,, llırzés

73 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A DF ortogoalitása (páros ) l l, l d d m l l l,d d Ha, aor, zért az összg l m l Ha, aor a mgfllı tago párosításával m m m m Végrdméyb ortogoalitás

74 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A gyors Fourir-traszformáció (a poto száma -hatváy) A) A számításo lbotása a Dailso-Láczos lmma alapá { } { },,..., m,,,..., m DF p m DF p p p p p p X p ps

75 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A gyors Fourir-traszformáció (a poto száma -hatváy) B) A számításo lvégzés (flépítés) alulról flflé haladva X, X Az potos DF számítása az / potos DF alapá X X X ( ) ( ) ( ) KF GAMFK AAI #7 7

76 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A gyors Fourir-traszformáció (a poto száma -hatváy) X X () DF - () X() * () DF - () * X() KF GAMFK AAI #7 7

77 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A gyors Fourir-traszformáció (a poto száma -hatváy) () () DF ()() * X() p [ ] X [ ] () () () () lırdzés fordított bitsorrdő idléssl () () DF- ()-() ()() ()-() p KF GAMFK AAI #7 77 * * * X() p X() p X()

78 KF GAMFK AAI #7 78 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A gyors Fourir-traszformáció (a poto száma -hatváy) FF-pillagó W B W A B A Y B W A B A X A B * * X Y A B X Y p p W X X X Y

79 . A diszrét Fourir-traszformáció. A DF mátri alaa, számítása, a gyors Fourir-traszformáció. A gyors Fourir-traszformáció (a poto száma -hatváy) Jlfolyamábra az 8 potos FF algoritmushoz () X() KF GAMFK AAI #7 79

80 KF GAMFK AAI #7 8 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Walsh Hadamard-traszformáció W y i, E, i v i u i, E w log u... u... u u i v... v... v v

81 . Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Walsh Hadamard-traszformáció w i, E ( i, ) E( i, ) u( i) v W w w w w sorid sorid biárisa oszlopid oszlopid biárisa a bitvtoro salárszorzata a mátrilm érté a mátrilm hly i u v u v (-) uv w i, w w w - w KF GAMFK AAI #7 8

82 A diszrét Walsh Hadamard-traszformáció. Diszrét ortogoális traszformáció. W w w w w w w w w w w w w w w w w sor-id sorid biárisa oszlopid oszlop id biárisa a bitvtoro salárszorzata a mátri lm érté a mátri lm hly i u u v v u v u v (-) uv w i, w w w w KF GAMFK AAI #7 8

83 KF GAMFK AAI #7 8 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Walsh Hadamard-traszformáció W W W W W W W W W W W W y W W W W y

84 A diszrét Walsh Hadamard-traszformáció. Diszrét ortogoális traszformáció. y - y - y - - y - y - - y - - y y 7 KF GAMFK AAI #7 8

85 KF GAMFK AAI #7 8 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Haar-traszformáció < < < < < gyébét s s s s h H gyébét 8 8 h H gyébét h H gyébét h H h H h H r r r r r r r s s r

86 . Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Haar-traszformáció KF GAMFK AAI #7 8

87 KF GAMFK AAI #7 87 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Haar-traszformáció H H H H y y H

88 . Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét Haar-traszformáció y - y - y - y - y - y - y 7 - y 7 KF GAMFK AAI #7 88

89 KF GAMFK AAI #7 89 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét osziusz-traszformáció,,..., cos C X C,,..., cos X C C,,..., C,,,...,, cos c,

90 KF GAMFK AAI #7 9 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét osziusz-traszformáció,,..., C,,,...,, cos c, C C C

91 KF GAMFK AAI #7 9 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét osziusz-traszformáció,,..., C,,,...,, cos c, C C C

92 . Diszrét ortogoális traszformáció. A diszrét osziusz-traszformáció. C,. 8. C,. 8. C,. 8 KF GAMFK AAI #7 9

93 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DF-vl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DFvl. 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. KF GAMFK AAI #7 9

94 IIR-szőrı 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Cél: adott átvitli aratrisztiáú aalóg szőrıt özlítsü az IIR-szőrıvl. módszr: az IIR-szőrı impulzusválasz-függvéy miél potosabba özlíts mg az aalóg szőrı súlyfüggvéyét. módszr: az aalóg rdszrt líró álladó gyütthatós, liáris diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl Erdméy: ltérı llmzıő IIR-szőrı azoos aalóg szőrı sté. KF GAMFK AAI #7 9

95 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl ( t). duc u BE ( t) R C uc ( t). dt.. H s BE s R C UC ( s) R C U ( s) R C s h ( t ) általáos stb H s P a s s s a ( s) R C U ( s) U ( s) KF GAMFK AAI #7 9 s U BE C R C h t RC t t a s lsıfoú alaptag és súlyfüggvéy C

96 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl A s a s lsıfoú alaptago D a bz A h t ( t) a s D h a ( b) u súlyfüggvéy impulzusválasz-függvéy Lgy t or a súlyfüggvéy mitái h s a ami, ha b s az impulzusválaszfüggvéy KF GAMFK AAI #7 9

97 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl a lépzés általáosa az s-síról a z-síra: z s P P a a s s s H( z) H s z s a s b s a bz KF GAMFK AAI #7 97

98 KF GAMFK AAI #7 98 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl Példa: a diszrét idő rdszr amplitúdóaratrisztiáa az lsıfoú alaptag sté s D F z a z H s s s a s H ω σ ω ω z D s F z H s H Cél a iszámítása és összhasolítása: F a a s a H σ ω ω ω σ ω ω ω s D cos a a a H σ σ ω ω σ ω ω ω ω

99 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl Példa: a diszrét idő rdszr amplitúdóaratrisztiáa az lsıfoú alaptag sté ωf ω H ~ ( ω) H( ω ω ) H( ω) ( ω) H ~ ω ω H F ( s) H ( z) ω s ω D z összhasolítása KF GAMFK AAI #7 99

100 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl Példa: orét str alalmazva H( s) RC σ ω s RC RC H F ω ω HD ( ) RC ω RC RC ( ) RC cos ( ω) RC db H F( ω) log ω H ( ) RC ω RC D db log RC RC cos ω RC KF GAMFK AAI #7

101 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl Példa: orét str alalmazva H F ω ( ω) H ( ) a ω D RC RC RC H D ω ( ) db log a RC RC cos ω RC ormalizálás a folytoos és a diszrét stb az gymása mgfllı frvciá értélü i a függvéyt: KF GAMFK AAI #7

102 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl Példa: orét str alalmazva (RC s, a poto számára, a mitavétli idı,7 RC,7 s) HA i HD i i of KF GAMFK AAI #7

103 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A súlyfüggvéy özlítés az impulzusválasz-függvéyl Példa: az IIR-szőrı diffrcia-gylt (RC s,,7 RC) y h α y( ) β β( α) h a ( b) H s a s s RC s RC b a s s RC RC a bz b.7rc RC β a α b a b, 987 y.987 y( ) KF GAMFK AAI #7

104 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl y dy a dt y y y ( t) t b y ( t) c ( t) t ( ) ( t) y ( t) dt y( t ) t ( ) y ( ) y [( ) ] ( ) ( ) y( ) c a b a y ( t) ( t) y( t) KF GAMFK AAI #7 y c a t b a [( ) ] trapéz-szabály ( ) ( ) y( ) [ ( ) ] y[ ( ) ] y[ ( ) ] c a b a c a b a

105 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl [ ] [ ] [ ] y y a b a c y a b a c y [ ] [ ] y y a b a c y y b z z a c z a b z z a c X z Y z H z

106 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl dy a dt ( t) a sy s b y ( t) c ( t) by( s) cx( s) H s c a s b Y s X s s z z H z Y z X z a c z z b biliáris lépzés KF GAMFK AAI #7

107 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl z z s Példa a biliáris lépzés alalmazására RC s RC H s RC a z d c z b z a a z a a z z a H z d cos d c c cos b b d c b H ω ω ω ω ω. cos RC RC cos RC H ω ω ω F RC RC H ω ω

108 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl Példa a biliáris lépzés alalmazására (RC s,,7 RC) H F ( ω) RC ω RC ω cos ( ω) H RC RC RC cos ( ω). HA i HD i 8 idoa KF GAMFK AAI #7 8

109 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A diffrciálgylt özlítés diffrciagylttl Példa a biliáris lépzés alalmazására (RC s,,7 RC), mgvalósítás az lsıfoú diffrciagylt lgáltaláosabb alaával a y( ) b b ( ) y H b b z a z ( z) b b c b b c a d c H b ( z ) z b RC c d z,7 c,7 RC d,987 RC KF GAMFK AAI #7 9

110 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. FIR-szőrı. példa h a δ bδ( ) bδ( ) a δ( ) ω ω ω ω ω ( ) h b cos a cos H. példa ω ω ω h c b cos( ω) a cos( ω) H h a δ bδ( ) cδ( ) bδ( ) a δ( ). példa h a δ bδ( ) bδ( ) a δ( ) ω ω ω ω ω ( ) h b si a si H. példa h a δ bδ( ) δ( ) bδ( ) a δ( ) ω ω ω h b si( ω) a si( ω) H KF GAMFK AAI #7

111 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. FIR-szőrı A példá általáosítható, pl. páros szimmtria és páros értér: ω h H cos ω Látható, hogy a szimmtrius stb: { ( ω )} arc H ω ϕ ω az atiszimmtrius stb: { ( ω )} ϕ ω arc H ω Mgállapítás: a fázis a digitális örfvcia liáris függvéy, zért az ily FIR-szőrıt liáris fázisúaa vzzü. KF GAMFK AAI #7

112 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A FIR-szőrı trvzés az idıtartomáyba ablafüggvéyl A trvzés lépési:. Az idális st mgfllı, végtl sor mghatározása. Az potszám mgválasztása (tipiusa páratla szám). Az ablafüggvéy iválasztása. Az idális impulzusválasz-függvéy ltolása - mgfllı. A ω ω H ~ H ltérés iértélés. Ha az ltérés m lfogadható, GOO, gyébét SOP. KF GAMFK AAI #7

113 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A FIR-szőrı trvzés az idıtartomáyba ablafüggvéyl Példa alulátrsztı szőrı trvzésér h LP si α α α Z végs so tag h ( ) h ( ) w ( ) ω w W E ( ) gyébét ( ω ) ( ω ) ( ω ) H W LP E si ω ω si H ~ w LP KF GAMFK AAI #7 ω E arc{ WE ( )} ω ~ LP LP mgválasztása: - Hammig-abla - Haig-abla - Dolph-Csbisv-abla - Kaisr-abla... E

114 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A FIR-szőrı trvzés az idıtartomáyba ablafüggvéyl Példa: Alulátrsztı szőrı Hammig-ablaal.... hlp whm. hlp XLPHMM m XLPHMMdB m. m. Ṁ m. Ṁ KF GAMFK AAI #7

115 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Gördülı (rurzív) DF A fladat: a llgi mitával számolt potos DF ismrtéb hogya ll az ú, (). mitát is tartalmazó potos sorozat DF-ét mghatározi? Mgoldás: X m gyü fl, hogy az m-di lépéshz (idıpothoz) rdlt DF-t az (m), (m), (m-) mitáal számítottu i. Az ú, (m) mita érzés utá a fladat az X m DF mghatározása KF GAMFK AAI #7

116 KF GAMFK AAI #7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Gördülı (rurzív) DF [ ] [ ] m m X m m m... m m m m m m... m... m m m... m... m m X m m

117 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Gördülı (rurzív) DF X m [ X ( m ) ( m) ] m KF GAMFK AAI #7 7

118 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Sptrumbcslés DF-vl, ablafüggvéy A égyszöglts abla -> idıtartomáybli szorzás -> frvciatartomáybli ovolúció -> lgést -> csötés -> ablafüggvéy Ismrt: - égyszöglts-abla, - Hammig-abla, - (Hah) Haig-abla, - Dolph Csbisv-abla, - Kaisr-abla ovábbi: - Bartltt-abla, - Blacma Harris-abla. KF GAMFK AAI #7 8

119 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Sptrumbcslés DF-vl, ablafüggvéy - Bartltt-abla, w B,,,...,,..., - Blacma Harris-abla. w BH cos cos,,..., KF GAMFK AAI #7 9

120 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Sptrumbcslés DF-vl, ablafüggvéy Példa: Határozzu mg az amplitúdósptrumát aa az összttt l, amly amplitúdóú 7 Hz frvciáú,, amplitúdóú 9 Hz frvciáú és, amplitúdóú 7 Hz frvciáú sziuszl összg, és idıtartama ms Hz mitavétli frvcia sté! Mgoldás: s a si a si a si f f f f f f,8 Hz f f KF GAMFK AAI #7

121 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Sptrumbcslés DF-vl, ablafüggvéy égyszöglts abla log( S ) df log ( S ) KF GAMFK AAI #7 df Hah-abla

122 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. mitából áll: (); M mitából áll: y(); a sorozato liáris ovolúcióa M- mita //liáris ovolúció for(;<m-;) z[].; for(;<m-;){ } zv.; for(;<;){ } z[]zv; if( (-<) (->M-) ) yv; ls yvy[-]; zvzv[]*yv; z y( ),,..., M KF GAMFK AAI #7

123 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. mitából áll: (); mitából áll: y(); a sorozato ciruláris ovolúcióa mita z~ ~ y~ z~ ~ y~ ( ),,..., DF{ } DF{ } X ~ ~ Y ~ { } z~ IDF X ~ Y ~ y~ KF GAMFK AAI #7

124 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Példa: Lgy az () sorozat (,,), az y() sorozat (,,)! Határozzu mg a ciruláris ovolúcióval apott sorozatot DF-vl! Mgoldás D..8i..8i D..8i..8i i.7.89i..7.89i.7.89i X..8i Y..8i..98i..98i Z..i..i KF GAMFK AAI #7 z 9 7

125 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Példa: Határozzu mg az (,) és az y (,,) sorozato liáris ovolúcióát a ciruláris ovolúcióval a özvtl számolás módszrévl és DF-vl! Mgoldás: Midét módszr sté szüségs a -al való folytatólagos igészítés. A sorozat hossza a liáris ovolúció sté L M-, hisz () mitából, y() M mitából áll. hát ()-t L-- darab -val, y()-t L- M- darab ullával ll igészítü. Lgy thát ()(,,,) és y()(,,,). KF GAMFK AAI #7

126 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. A priodiussá ttt sorozatoal lvégzv a ciruláris ovolúciót: Az rdméysorozat gy priódusa: (,7,,8), z thát az () és y() sorozat liáris ovolúcióa (azoos azzal, amit a. fztb láttu). KF GAMFK AAI #7

127 7. Digitális szőrı (FIR, IIR). Gördülı (rurzív) DF. Sptrumbcslés DFvl, ablafüggvéy. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. Ciruláris és liáris ovolúció számítása DF-vl. i i D D i i......i..i......i..i i X Y i 8 i i Z i i L M L K 8 KF GAMFK AAI #7 7 z 7

128 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. KF GAMFK AAI #7 8

129 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. Z ( ω, ω ) z(, y) p ( ω ω y) X Y ddy X Y z X Y X Y dωxdω Y (, y) Z( ω, ω ) p( ( ω ω y) ) f X p ωx f Y ωy - ill- y-iráyú sífrvciá ( ( ω ω y) ) cos( ω ω y) si( ω ω y) X Y X Y X λ Y X f X λ Y f Y síhullámo ϕ XY f arctg f X Y a síhullám iráya a D l sávhatárolt, ha XY X f f f Y H X, ω ω ω, a síhullám frvciáa H ( Y ) X X Y Y Z ω ω ω KF GAMFK AAI #7 9

130 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. Kétdimziós l mitavétlzés, vatálása és ódolása z (, y) z (,m y) y f X f Y H f X fx H fy fy y KF GAMFK AAI #7

131 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. Ha a rdszr súlyfüggvéy h, y, a ovolúció a éptartomáyba: u (, y) z( ξ, η) h( ξ, y η) U dξdη ( ω, ω ) Z( ω, ω ) H( ω ω ) X Y X Y X, Y u ( m,) z( i, ) h( m i, ) i m, Z KF GAMFK AAI #7

132 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: z M ( m,) ( i, ) y( m i, ) i covd ( X, Y) : M rows( X) K L for Z for cols( X) rows( Y) cols( Y) m.. M K.. L zv for for i.. M.. m,,...,m K,,..., L yv if ( m i < ) ( m i > K ) ( < ) ( > L ) yv Y mi, zv zv X yv i, Z zv m, othrwis KF GAMFK AAI #7

133 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z türözés. ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7

134 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7

135 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, KF GAMFK AAI #7

136 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, KF GAMFK AAI #7

137 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, KF GAMFK AAI #7 7

138 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( ) KF GAMFK AAI #7 8

139 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7 9

140 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7

141 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7

142 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7

143 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, KF GAMFK AAI #7

144 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( ) KF GAMFK AAI #7

145 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 7) KF GAMFK AAI #7

146 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 7) 8 KF GAMFK AAI #7

147 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 9) 8 KF GAMFK AAI #7 7

148 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 9) KF GAMFK AAI #7 8

149 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( ) KF GAMFK AAI #7 9

150 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( ) KF GAMFK AAI #7

151 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 7) 9 KF GAMFK AAI #7

152 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 7) KF GAMFK AAI #7

153 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 9) KF GAMFK AAI #7

154 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 9) KF GAMFK AAI #7

155 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) KF GAMFK AAI #7

156 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) 7 KF GAMFK AAI #7

157 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, ( ) ( 7) 8 KF GAMFK AAI #7 7

158 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, 7 KF GAMFK AAI #7 8

159 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, 9 KF GAMFK AAI #7 9

160 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, 9 KF GAMFK AAI #7

161 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, KF GAMFK AAI #7

162 8. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció. A ovolúció számítása a éptartomáyba: X Y 7 9 Z ltolás a mgfllı pozícióba és számítás Z, KF GAMFK AAI #7

163 9. D DF és számítása gydimziós DF-vl. Kétdimziós l digitalizálása. Kétdimziós liáris ovolúció.. D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. KF GAMFK AAI #7

164 D DF és D IDF M z( m,) Z,l m p 9. D DF és számítása gydimziós DF-vl. m l,,...,m l,,..., M z M M ( m,) Z(,l) l m l p M,,..., m,,...,m dftd( X) M rows( X) : lıször rdr mid oszlopvtor D DF-ét számítu i, mad rdr a apott cols( X) mátri sorvtoraia DF-ét vév adódi a for.. mátri D DF- Y Y Y for Y m Y Y Y CFF X m.. M CFF Y m VAGY lıször rdr mid sorvtor D DF-ét számítu i, mad rdr a apott mátri oszlopvtoraia DF-ét vév adódi a mátri D DF- KF GAMFK AAI #7

165 9. D DF és számítása gydimziós DF-vl. D DF és D IDF Példa: Határozzu mg az X mátri D DF-ét! Mgoldás: X : : M : :.. m :.. M Y CFF X : Y.77i.77i.77i.77i Y : Y Y.77i.77i.77i.77i Y m CFF Y m : Y : Y Y KF GAMFK AAI #7..77i.77i.

166 D DC számítása Z C (,l) C C( l). D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. m z ( m,) cos,l,,..., C C( i) ha i,,..., - ( m ) l( ) cos Példa. Számítsu i az X és Y mátrio liáris ovolúcióát D DF-vl! X Y 7 9 KF GAMFK AAI #7

167 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. Példa. Számítsu i az X és Y mátrio liáris ovolúcióát D DF-vl! X 9 7 Y X : Y 7 9 :. Az X és Y mátrio igészítés -al

168 . D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. Példa. Számítsu i az X és Y mátrio liáris ovolúcióát D DF-vl! X Y 7 9. D DF számítása (FF-vl) FX..7.i..i..i.7.i.8.i.9.88i.8.i.7.i..9i..i..7i.7.i..8i.8.9i...i.8.9i.8.9i..i..i.8.9i..8i.7.i..7i.8.i..9i.7.i.8.i.9.88i FY.7..87i.78.i.78.i..87i.78.8i..i.7.i.7.97i.8.98i..97i.7.i..i..9i..8i..9.9i..8i..8i.7.97i.9.9i.7.i..8i..9i..i.78.8i..97i.8.98i.7.i..i KF GAMFK AAI #7 8

169 . D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. Példa. Számítsu i az X és Y mátrio liáris ovolúcióát D DF-vl! X Y 7 9. A ét traszformált mátri azoos idő omposi szorzata FZ.7.8.i.8.i.8.i.8.i.89.i.8.8i..7i..9i.9.i.7.i.9.7i.9.9i.7.i..i..7.8i..8i..8i.7.8i.7.i..i.7.i.9.9i.9.7i.89.i.9.i..9i..7i.8.8i KF GAMFK AAI #7 9

170 . D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. Példa. Számítsu i az X és Y mátrio liáris ovolúcióát D DF-vl! X Y 7 9. A szorzás utá apott mátri ivrz D DF-é M-szorosa (az rdméy azoos a éptartomáybli liáris ovolúcióval apott rdméyl) Z KF GAMFK AAI #7 7

171 KF GAMFK AAI #7 7 DIGIÁLIS JELFELDOLGOZÁS. D DC és számítása gydimziós DC-vl. Alalmazáso. Szüráryalatos ép szőrés Alulátrsztı szőrı 9 H 9 H Flülátrsztı szőrı Gradis-szőrı H

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk.

1. Vizsgazárthelyi megoldásokkal 1997/98 tél I. évf tk. . Vizsgazárthlyi mgoldásokkal 997/98 tél I. évf..-8.tk.. Döts l, hogy fáll mid A és B halmaz sté a A B) \ B A összfüggés! Ha m, adjo szükségs és légségs fltétlt arra, hogy mikor áll f! A B) \ B A iff A

Részletesebben

ELTE I.Fizikus 2004/2005 II.félév. KISÉRLETI FIZIKA Elektrodinamika 13. (IV.29 -V.3.) Interferencia II. = A1. e e. A e 2 = A e A e * = = A.

ELTE I.Fizikus 2004/2005 II.félév. KISÉRLETI FIZIKA Elektrodinamika 13. (IV.29 -V.3.) Interferencia II. = A1. e e. A e 2 = A e A e * = = A. omplx lírás: ELTE I.izius 004/005 II.félév + cos ϕ R ϕ KISÉRLETI IZIK Eltrodinamia 3. (IV.9 -V.3.) Intrfrncia II. [ ]; sin ϕ Im [ ] * i cosϕ + i sinϕ ; cosϕ isinϕ * ; cos ϕ R [ ] f cos ( ω t + ϕ) ; f cos

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013.

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013. Iterpoláció Korszerű matematiai módszere 2013. Tartalom Iterpolációs eljáráso Klasszius iterpoláció Általáosított iterpoláció Eltolt lieáris iterpoláció Iterpoláció feladata alappoto: x,, 0, 1,..., ahol

Részletesebben

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T

u u IR n n = 2 3 t 0 <t T IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2 ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i

Részletesebben

Vezetéki termikus védelmi funkció

Vezetéki termikus védelmi funkció Budaps, 011. április Bvzés A vzéki rmikus védlmi fukció alapvő a hárm miavélz fázisáram méri. Kiszámlja az ffkív érékk, és a hőmérsékl számíásá a fázisáramk ffkív érékér alapzza. A hőmérséklszámíás a rmikus

Részletesebben

I nyílt intervallum, ( ) egyenletet közönséges (elsõrendû explicit) differenciálegyenletnek nevezzük. Az

I nyílt intervallum, ( ) egyenletet közönséges (elsõrendû explicit) differenciálegyenletnek nevezzük. Az 8 Közöségs diffriálgltk umrikus mgoldása 8 Dfiíió g Ω IR tartomá IR I ílt itrvallum f : I Ω IR foltoos függvé Az : I IR diffriálató függvékr voatkozó f ( ( I gltt közöségs (lsõrdû pliit diffriálgltk vzzük

Részletesebben

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Szabó Tamás egy. doc., Triesz Péter egy. ts.

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Szabó Tamás egy. doc., Triesz Péter egy. ts. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTAN ÉS ECHANIKA TANSZÉK. ECHANIKA STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Szabó Tamás g. doc., Trisz Pétr g. ts. Erőrndszr rdő vtorttős, párhuzamos rőrndszr, vonal mntén mgoszló

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x.

Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x. Valós váltoós omplx üggvéy, t x t yt rt cost st r t t, t dt b Ft C, t dt F t FbFa a t x t y t b. x, y görb gylt omplx alaba: x, y. a Komplx váltoós omplx üggvéy u x, y v x, y, ahol x y, Drválás: ( ) lm

Részletesebben

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ

n 1 1 n sehova szám (DÖNTETLEN) 1 0 k n n n 1 IZÉ HA a sorozat is lim akkor n NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE IZÉ NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI HA KONKRÉT SZÁM - q q q q q q shov IZÉ HA IZÉ IZÉ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKE TÉTEL: H és sorozt ovrgs és ovrgs és A B A és B or sorozt is AZ ÖSSZEG HATÁRÉRTÉKÉNEK ESETE A? B A

Részletesebben

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)

Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum) Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m

SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS. m n=0 ca n = lim c m SOROK, FÜGGVÉNYSOROK SIMON ANDRÁS TARTALOMJEGYZÉK. Numrikus sorok.. limsup és limif 3.. Gyök- és háyadoskritérium 4.3. További kovrgciakritériumok 5.4. Példák 6.5. Zárójl, átrdzés 8. Függvéysorozatok,

Részletesebben

A szelepre ható érintkezési erő meghatározása

A szelepre ható érintkezési erő meghatározása A szlpr ható érintkzési rő mghatározása Az [ 1 ] műbn az alábbi fladatot találtuk. A fladat: Adott az ábra szrinti szlpmlő szrkzt. Az a xcntricitással szrlt R sugarú bütyök / körtárcsa ω 1 állandó szögsbsséggl

Részletesebben

Rácsrezgések.

Rácsrezgések. ácsrzgésk http://physics-imtis.cm/physics/glish/ph_txt.htm ácsrzgésk gitális hllám rúb Nwt II F x x F x V t F F x A x V x x x x x x A hllámszám értlmzési trtmáy végs mért prióiks htárfltétl Br-Kármá t

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

1. A radioaktivitás statisztikus jellege

1. A radioaktivitás statisztikus jellege A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a

Részletesebben

PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA. A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők).

PONTRENDSZEREK MECHANIKÁJA. A pontrendszert olyan tömegpontok alkotják, amelyek nem függetlenek egymástól, közöttük kölcsönhatás van (belső erők). PONTRENDSZEREK ECHANIKÁJA A potrdszrt olya tögpotok alkotják, alyk függtlk gyástól, közöttük kölcsöhatás va (blső rők). F F F F F F F F Blső rők: F Külső rők: F F Nwto III.: rő-llrő párok F F F F A potrdszr

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Fourier transzformáció

Fourier transzformáció a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos

Részletesebben

Metrikus terek. továbbra is.

Metrikus terek. továbbra is. Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Numerikus módszerek 1. Alapvető fogalmak és összefüggések. Hogyan mérjük azt, hogy egy függvény nagy vagy kicsi?

Numerikus módszerek 1. Alapvető fogalmak és összefüggések. Hogyan mérjük azt, hogy egy függvény nagy vagy kicsi? umrus módszr. Apvtő ogm és összüggés Hog mérü zt hog g üggvé g vg cs? P. C[ ] - z [ ] trvumo otoos üggvé tré g : m C mmum-orm vg C-orm Eg más htőség: : d -orm Eg hrmd htőség: L és még számt más htőség

Részletesebben

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL

SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL SIKALAKVÁLTOZÁSI FELADAT MEGOLDÁSA VÉGESELEM-MÓDSZERREL ADOTT: Az ábrán látható db végslmből álló tartószrkzt gomtriája, mgfogása és trhlés. A négyzt alakú síkalakváltozási végslmk mért 0 X 0 mm. p Anyagjllmzők:

Részletesebben

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j) Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Kvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba

Kvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba Kvatummechaika gyakorlo felaatok - Megolások felaat: z eltolás operátoráak megtalálásával teljese aalóg móo fejtsük Taylor-sorba a hullámfüggvéyt a változójába: ψr θ ϕ + ϕ ψr θ ϕ + ψr θ ϕ ϕ + ψr θ ϕ ϕ

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális!

13. gyakorlat Visszacsatolt műveletierősítők. A0=10 6 ; ω1=5r/s, ω2 =1Mr/s R 1. Kérdések: uki/ube=?, ha a ME ideális! . gyakorlat Visszacsatolt művltirősítők.) Példa b (s) 6 ; r/s, Mr/s kω, 9 kω, kω, ( s )( s ) Kérdésk: /b?, ha a ME ális! Mkkora lgyn érték ahhoz, hogy az /b rősítés maximális lapos lgyn ( ξ ). Mkkora a

Részletesebben

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata 53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási

Részletesebben

r tr r r t s t s② t t ① t r ② tr s r

r tr r r t s t s② t t ① t r ② tr s r r tr r r t s t s② t t ① t r ② tr s r r ás③ r s r r r á s r ② s ss rt t s s tt r t r t r P s ② Pá③ á ② Pét r t rs t② t② r t ② s s ás t r s ② st s t t r t t r s t s t t t t s s s str t r r t r t ① r t r

Részletesebben

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2

RSA. 1. Véletlenszerűen választunk két nagy prímszámot: p1, p2 RS z algoritmus. Véltlnszrűn választunk két "nagy" prímszámot: p, p, p p. m= pp, φ ( m) = ( p -)( p -)., < φ( m), ( φ( m ),) = - 3. d = ( mod φ( m) ) 4. k p s = ( m,), = ( d, p, p ) k. Kódolás: y = x (

Részletesebben

Operatív döntéstámogatás módszerei

Operatív döntéstámogatás módszerei ..4. MSKOLC YM azaságtuomáyi Kar Üzlti formációgazálkoási és Mószrtai tézt Számvitl tézti aszék Opratív ötéstámogatás mószri Dr. Musiszki Zoltá Opratív ötéstámogatás mószri Statisztikai, matmatikai mószrk

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus

Részletesebben

TARTALMAZÓ TECHNIKAI RENDSZEREK DINAMIKAI MODELLEZÉSE

TARTALMAZÓ TECHNIKAI RENDSZEREK DINAMIKAI MODELLEZÉSE GIÁTOT TTLMZÓ TEHNIKI ENDSZEEK DINMIKI MODELLEZÉSE IEZOELEKTOMOS GYOSULÁSÉZ ZÉKELŐ LÉGUGÓ HIDULIKUS ÉS S NEUMTIKUS MUNKHENGE KIEGÉSZÍTÉS MEHTONIK I. T NYGHOZ ENEGI ÁTLKÍTÓ ODÍTÓ ÁLTÓ (GIÁTO) IEZOELEKTOMOS

Részletesebben

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye.

A peremeloszlások. Valószínőségszámítás elıadás III. alk. matematikus szak. Példa. Valószínőségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye. y Valószíőségszámítás elıaás III. alk. matematkus szak 4. elıaás, szeptember 30 A peremeloszlások (X,Y) eloszlásából (elevezés: együttes eloszlás) következtethetük az egyes változók eloszlására: P(X)P(X,Y0)+P(X,Y)+P(X,Y2)

Részletesebben

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék

Széchenyi István Egyetem. Alkalmazott Mechanika Tanszék Széchnyi István Egytm Alkalmazott Mchanika Tanszék Végslm analízis Elmélti kérdésk gytmi mstrképzésbn (MSc) résztvv járm mérnöki, mchatronikai mérnök és logisztikai mérnök szakos hallgatók számára 0. októbr

Részletesebben

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév

Áringadozások elıadás Kvantitatív pénzügyek szakirány 2012/13 2. félév Árigadozások elıadás Kvatitatív pézügyek szakiráy 01/13. félév Heti óra elıadás + óra gyakorlat Elıadás: fıleg modellek, elemzési módszerek Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számokérés 50%: beadadó

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.

A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok.

Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok. Karakriszikus függvéy Valószíűségszámíás. lőadás 07..05 Kompl érékű valószíűségi válozók: Z=+iY, ahol és Y is valószíűségi válozók. Z):=)+iY). (valós) valószíűségi válozó karakriszikus függvéy: ():= i

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Heart ra te correc ti on of t he QT interva l d ur i ng e xercise

Heart ra te correc ti on of t he QT interva l d ur i ng e xercise Heart ra te correc ti on of t he QT interva l d ur i ng e xercise Gáb or Andrássy, Attila S zab o, 1 Andrea Duna i, Es zter Sim on, Ádá m T a hy B u d a p e s t i S z e nt Ferenc Kó r há z, K a r d io

Részletesebben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben

f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

4. Differenciálszámítás

4. Differenciálszámítás . Diffrnciálszámítás.. Írja fl a diffrnciahányadost a mgadott pontban és határozza mg a határértékét!... f...... f..7. f, f,,..9. f... f... f... f...... f..7...9. f...... f... f... f...,..6. f,,,, f,..8.

Részletesebben

Á ö ľľ ĺ Ú ö źů í źĺ ö íľ üö ľ ľ ź ľ ĺ í Ą ĺ í ľ ü í í ź ź í í ľ ź üö í ö ę ĺ ú ö ö ö ű ö ö ľ Ĺ í ü ę ĺ í ĺĺľ í ľ ĺ ľ ľ ö ľ ľ öľ ę ľ í ź ľ üö ü ľ í Ĺ ę Ĺ đ í ę ľ ű ö ĺ ű ö Ä ü ĺ ú ö ę ę ű ö ź í Ä ĺ ű ö

Részletesebben

Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) Adatpótlás (interpoláció)

Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) Adatpótlás (interpoláció) lorjlzés (prdikció vagy xrapoláció) Adapólás (inrpoláció) kompozíciós vagy drminiszikus modllk. A rndfüggvény A ciklikus haás A szzonális haás A zaj (hibaag) 3-3 4 5 6 7 8 9 Az idõsor 3 - - - 3 4 5 6 7

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

Ö ü ź ü Ő Ű Ü ü ú ĺ ü ü í í ö ú ö ĺ í ü ĺ Ú Ö Ü ü ü í í ĺ Ü í ö í í Ü ź ö íĺ ö í ĺ ĺ í í ĺ ź ö ą ö í í ĺ ĺ Í í í í ĺ ĺ ö í ĺ ą ü ö í í í ĺ ĺĺ í í ű ź í í ĺ ź ĺ ĺ í í ĺ ĺ ĺ ü ĺ í ź ö í ĺ ö ö ü í ö ö ú Í

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Apnoés oxigenizáció a sürgősségi légútbiztosításban

Apnoés oxigenizáció a sürgősségi légútbiztosításban Apé xgzácó ügőég légúbzíáb D. Eő Al Mgy Légő Npf Kf. Sz I Egy Okókóház AITO XIII. MSTOKE Kgz, Szg 2014. vb 8. 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 H l vl ég pá ápc... D. Eő - Apé xgzácó 3.5 évylégőrsi (fllgzág:

Részletesebben

Andai Attila: november 13.

Andai Attila: november 13. Adai Attila: Aalízis éháy fejezete bizoyításokkal Óravázlat 006. ovember 13. Ebbe az óravázlatba az órá elhagzott defiíciókat és a bizoyított tételeket gyűjtöttem össze. i Elemi sorok és függvéyek 1 1.

Részletesebben

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.

(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3. . feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi

Részletesebben

Atomok mágneses momentuma

Atomok mágneses momentuma Kvantuchanikai pályaontu: A pályaontu gységkbn kvantált. Az abszolút érték kvantuszáai: l! ( n ) 0,,... l l,, Lˆ rˆ pˆ [ Lˆ x,lˆ y] i! Lˆ z, [ Lˆ y,lˆ z ] i! Lˆ x, [ Lˆ z,lˆ x ] i! Lˆ y L l( l +)! L z

Részletesebben

Kalkulus II., második házi feladat

Kalkulus II., második házi feladat Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,

Részletesebben

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása)

Kisfeszültség villamosenergia-elosztó rendszer vezetékeinek méretezése (szükséges keresztmetszet meghatározása) Kisfszütség viamosrgia-osztó rdszr vztéi mértzés (szüségs rsztmtszt mghatározása) vzté mértzés iiduásaor ismrt ftétzzü: a btápáás fszütségét (), az áti ívát fogyasztó áramfvétét (), a fogyasztóra jmz fázistéyzt

Részletesebben

Híradástechikai jelfeldolgozás

Híradástechikai jelfeldolgozás Híradástechikai jelfeldolgozás 1. előadás 2015. február 13. 2015. február 13. Budapest Dr. Gaál József BME Hálózati Redszerek és SzolgáltatásokTaszék gaal@hit.bme.hu Bemutatkozás Dr Gaál József doces BME

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2009. jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2009. jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapst, 2009. jú l us 30., csütörtök 108. szám Ára: 1125 Ft TARTALOMJEGYZÉK 158/2009. (VII. 30.) Korm. rn d lt A mzõgazdaság trmékk és az éllmszrk, valamnt a szszs

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben

Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Demeter Gábor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, RMI Demeter Gábor (MTA Wigner RCP... / 4 Bevezetés / Motiváció

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

6. előadás Véges automaták és reguláris nyelvek

6. előadás Véges automaták és reguláris nyelvek Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm 6. lőadás Végs automaták és rguláris nylvk dr. Kallós Gábor 2017 2018 Formális nylvk és automaták Széchnyi István Egytm Tartalom Zártsági tulajdonságok

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

Híradástechikai jelfeldolgozás

Híradástechikai jelfeldolgozás Híadástechikai jelfeldolgozás 14. lőadás 015. 04. 7. Jeldigitalizálás és ekostukció. 015. május 4. Budapest D. Gaál József doces BM Hálózati Redszeek és Szolgáltatásokaszék gaal@hit.bme.hu Nomalizált kvatáló

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)

5. MECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETE ALKALAZOTT ECHANIKA TANSZÉK. ECHANIKA STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Trisz Pétr, g. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Síkbli rőrndszr rdő vktorkttős, vonal mntén mgoszló rőrndszrk..

Részletesebben

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1

Stabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1 Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2

Részletesebben

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT) 6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben