Numerikus módszerek előadásvázlat /29. Numerikus módszerek előadásvázlat 1. Egy numerikus probléma tanulságai.

Átírás

1 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 Nukus ódszk lődásvázlt Egy ukus polé tulság Lgy fldtuk ghtáoz z x 00x 0 gylt vlós gyökt ásodfokú poloól v szó áltláos x x c 0 ly d gyütthtó vlós szá és z stl x s vlós száok között ksdő Ek polok kko vk vlós gyök h D c dszkás gtív Jllg 00 c zét ost dszkás D ( 00) 9996 > 0 thát vk vlós gyökök A D D gyökök votkozó foul x x Végzzük száításkt hogy áltlá szoktuk tzds tötkt hszálv ögzíttt száú étéks gy potossággl A száítógépk zsszáológépk s flépítésükől kövtkző ögzíttt száú (áltlá llző) étéks ggyl száolk Az étéks gyk száát ögzítsük oduk htk z utolsó gy stlg kkítv kkítés szályok szt Dfícó: Étéks gyk szá Egy vlós szá tötvsszős flíásá (pl tzds gykt hszálv tzdstöt) z étéks gyk száát úgy kphtuk g hogy flíás lól o hldv gkssük z lső zéus szágyt és zzl szággyl kzdv o hldv gszáoluk flít szágykt Ezk száát vzzük z étéks gyk száák (Fltétlzzük hogy z dott szá flít észé szágyk potosk lgfl z utolsó kkíttt) Rögzíttt száú étéks gyt hszálv éds száokt áltláos olzált lk flí Ez z íásód gköyít z étéks szágyk száák ghtáozását és kzlését A példá z étéks gykt láhúzássl lölük A űvltk végzés köz étéks gykkl tötét száítások déyt tkthtük étéks gykk (vétl vztő zéusok) Dfícó: Vlós szá olzált lk k Egy zéus vlós szá olzált lk 0 hol és k éték úgy válsztdó g hogy < 0 fállo köz k gész szá Ezt d vlós zéus szá sté gyétlű g lht t A olzált lk v tssz k v kktsztk hát ( 0 ) > 0 D D és x x Láthtó hogy z x ht étéks gy dódott íg x csk gytl étéks gyt ttlz tö kstt kvoásál (H étéks ggyl száoltuk vol kko z déyk D

2 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 x és x lék ost tktsük z lá táláztot ly z x 00x gylőség zt vzsgáluk hogy két oldlo külö-külö y z étéks gyk szá zz vzsgált étékkél háy gy sk gy Ez száolásuk potosságát gízhtóságát llz A űvltk déyét lgfl ht étéks ggyl tüttük fl kkítéssl x x 0 00 x x 9998 x x x 9999 x x x x x Összfoglló z lső oszlop utolsó két soá z - votkozó ht étéks gys gyzés tpsztlhtó íg tálázt közpé x -él z gyzés csupá gy étéks gy zz sokt vszítttük potosságól A tálázt o szélé z x ht étéks gy v gdv kkítéssl és záltl tt s gkpuk két utolsó so ht étéks gyű gyzését tötét közép? Az x kszáításko kvoásál z déy csk gytl étéks gy dt g A z hogy kvoásál gyáshoz gyo közl álló száok sté étéks gyk vszk l és z vsztség külhtő l z hlyétéks szádszk vláó A potos x goldást záltl kptuk g hogy ásodfokú gylt sté gyökök és z gyütthtók között st z összfüggés hogy gyökök szozt ggyzk kosts tg és égyzts tg gyütthtóák háydosávl Azz x x c / stük x x és x / x thát z dódk hogy x / ( ) á ht gy étéks kkítv Ez péld ávlágít hogy ét v szükség ukus ódszk tuláyozásá A száításkt tchk poléák tt tuduk potos lvégz zét s váhtuk potos déykt áltlá At thtük hogy gykszük potosságot gy dott szt tt stlg goldás ódsz gváltozttásávl vgy lglás cslést d hogy től lht gyo h x Vktook átxok lékzttő Vktok ( -dzós vkto -étű vkto) vzzük z száoszlopot A szöglts záólk között d vlós szá áll gyás ltt Oszlopvktok s szoktuk

3 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 od Az oszlop álló vlós száokt vkto koodáták vzzük Rövd lölés: kolvsv { } gy -től -g H vkto llgt szték hgsúlyoz kko lk íuk H étt dzószáot s fl kuk tütt zzl hogy koodáták vlós száok kko zt z R foá thtük g Az koodáták sod kötött A vktook v áltlá lt kstű koodátá pdg lt kstűk lhtőlg gfllő göög kstű H vkto koodátát záól gyás lltt sooluk fl kko sovktok vzzük E z st övd lölés z lkot hszáluk hol tű flső dx tszpoáltt lt és utl ásk ldzés ét vktot kko tktük zoosk h dkttő oszlopvkto vgy dkttő sovkto zoos dzószáuk (étük) és z zoos dxű koodáták d ggyzk Azt vktot lyk d koodátá zéus zéus vktok vzzük A zéus vkto l 0 Az zoos dzóú vktookkl űvltkt étlzük Az gyk űvlt két vkto összdás ásk pdg vkto vlós szál tötéő gszozás Az összdás z zoos dxű koodáták összdását lt és déyül gy hdk vktot d A vktook összdásák léül plusz lt () hszáluk A vktok szál tötéő gszozás koodátákét gszozást lt zz vkto d koodátáát gszoozzuk z dott vlós szál A szozás l pot () t gyk s íuk k Nézzük g zt dfálv s és példá s Összdás: például 0 0 Szozás szál: λ λ λ λ λ például ( ) 0 8 A vktooko étlzzük z úgyvztt tszpoálás űvltét zt lt hogy gy dott vktoól tszpoált vktot készítük A tszpoálás soá z oszlopvktot sovkto foáá íuk fl zz lól o sooluk fl koodátákt szöglts záólk között A tszpoálás l flső dx ít tű A tszpoálás sovktook s étlztt lyko sovktoól oszlopvktot készítük hát:

4 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 [ ] vgy íhtuk hogy [ ] Például [ ] [ ] ét zoos dzóú vkto között étlzzük sklás szoztot lyk l ( ) vgy vgy (ká z lsőt foguk hszál) z lá ódo ( ) Például: ( ) 0 0 hát sklás szozt két vktohoz gy vlós száot dl hozzá átxk vzzük z szátáláztot A átxot llz hogy háy so és háy oszlop v Ezt úgy lölük hogy átx ét öö zt íhtuk hogy A O O R A ásk lhtségs lölés: { } zz lk összsség hol gy -től -g pdg -től -g A átx v áltlá lt gytű íg szplő száok átx l lhtőlg gfllő göög kstűk A átx lt kttős lsó dxszl látuk l Az lső dx löl z l soát ásodk z l oszlopát Foáls z oszlopvktookt tkthtük oly átxk lyk csupá gytl oszlop v sovktot pdg oly átxk lyk

5 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 gytl so v Szpükt tktv zo két foglo őtls külöözk A átxok között s étlzzük z összgt y sok szá ggyzk és ugyz évéys z oszlopk száá s Ahogy vktook sté étlzzük gy átxk szál tötéő gszozását s öö löléssl z összdás szály íhtó kövtkző ódo: { } { } { } B A Példávl: ( ) B A B A A szál tötéő szozás szály: { } { } A λ λ λ Példávl: ( ) ( ) A A átxok sté s étlzzük tszpoálás űvltét Ez zt lt hogy tszpoálásko átx so oszlopok lszk z oszlopok pdg sook Az lső sot lső oszlopkét íuk l llé ásodk sot ásodk oszlopkét és így tová Vlágos hogy gy -s átxól tszpoálás utá -s átx lsz Például: 0 0 A A Egy átx foáls kzlhtő úgy s th z oszlop oszlopvktook lék és gyás llé lék kv Ugykko tkthtő úgy s th sovktook lék gyás lá kv [ ] A A Például: [ ] [ ] 0 A vgy 0 A Spcáls átx zéusátx Ek d l zéus Egy átxot égyztsk vgy kvdtkusk vzzük h sok és oszlopk szá ggyzk A kvdtkus átx sté szélhtük átx főátlóáól ly

6 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 6 -/9 átx l flső skáól o lsó ská vzt zz zo lk gyütts lykk zoos so és oszlopdx glítük éháy spcáls égyzts átx típust Egységátxk vzzük zt égyzts átxot lyk főátlóá csup gys áll tö l pdg zéus Dgoáls átxk vzzük zt égyzts átxot lyk d l zéus kvév stlg főátló lévőkt Alsó háoszög átxk vzzük zt égyzts átxot lyk főátló fölött összs l zéus Flső háoszög átxk vzzük zt égyzts átxot lyk főátló ltt összs l zéus Sztkus átxk vzzük zt égyzts átxot ly ggyzk sát tszpoáltávl zz z A átx sztkus h A A Fdé sztkusk vzzük égyzts átxot h d l sté z l -- szsét kpuk g h z l so- és oszlopdxét flcsélük (Eől kövtkzk hogy főátló lyko zéusok állk) átxok között étlzzük szozás foglát ét átx kko szoozhtó össz h z lső átx oszlopk szá ggyzk ásodk átx sok száávl Lgy z A átx ét x B ét xk Akko C AB átx ét xk lsz A űvltvégzés foulá: γ ll ; k l A átxok szozás kouttív d sszoctív Évéys hogy ( ) B A AB Négyzts átx dfáluk z vz átx foglát Egy égyzts átxk z vz átx z égyzts átx llyl z dt átxot lól vgy oól szoozv gységátxot kpuk Az A átx vzék l A hát z vz átx oly A - vl zoos étű átx hogy A A AA I gységátx N d égyzts átxk v vz Évéys hogy ( ) B A Évéys tszpoált átx vzé hogy AB ( A ) ( A ) Egy A égyzts átxot otogoáls átxk vzük h vz gysk tszpoáltávl zz h A A Fotos foglo átx dtás ly foglt csk égyzts átx étlzük A égyzts átxokhoz dtás gy vlós száot dl hozzá kövtkző ódo

7 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 7 -/9 Az A átx dtásák l dt ( A) H átx -s kko gytl szá lévé dtás g szá Lgy ost átx -s Ekko dtást úgy dfáluk hogy főátló lévő száok szoztáól kvouk llékátló álló száok szoztát (llékátlók vzzük o flső sokól l lsó sok ő átló lévő lk összsségét zz zokét lyk so és oszlopdxk összg ggyl gyo t z oszlopok szá) Foulávl dt gs étk sté dtás kszáítását vsszvztük lcsoy étű kftés szály szt A dtás flíásához szükségük v átxlhz ttozó észátx foglá Egy A átxk tktsük z lét Az lhz ttozó észátxk vzzük zt z A átxot ly z dt A átxól z l soák és oszlopák z ltávolítás utá d vssz ggyl kvs sot és oszlopot ttlz t z A átx Ezutá z A átx dtását kövtkző foulávl dfáluk t kftés szályk vzük ( A) ( ) dt( A ) dt vlly ögzíttt - (z so szt kftés) vgy ( A) ( ) dt( A ) dt vlly ögzíttt - ( oszlop szt kftés) Az lá példá lőszö ásodk sot válsztuk kftéshz d gsétlük kftést hdk oszloppl s (Az déyk ugyk kll l) dt ( A) ( ) dt ( ) 0dt ( ) ( ) 8 dt dt ( 8( ) ) 0 ( ( ) ( ) ) ( 8 ) 0 ( 6 ) ( 8 ) 0 ( 6 ) ( ) 96 98

8 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 8 -/9 dt ( A) ( ) 8dt ( ) ( ) dt ( ) dt 0 0 ( ( ) 0( ) ) ( ( ) ( ) ) ( 0 ) ( 9 0) ( 6 ) ( 0 ) ( 9) ( ) ( ) 7 98 dt 0 Ezzl x-s dtás kszáítását d x-s dtás kszáításá vzttük vssz Egy x-s dtás kszáítás soá lőszö vsszvztük égy d x-s d zok dgykét háo d x-s zz összsségé d x-s dtást kll kszáít ég gyo átxok sté x-s átxok szá vszdls és éytlül ő gykoltlg lvégzhttlé tsz fldtot (Célszű h lht oly sot vgy oszlopot válszt ly sok zéus tlálhtó) A késők lát foguk gyos htékoy ódszt dtás kszáításá A kftés szály lpá láthtó hogy ( A ) dt( A) dt vlt hogy dgoáls és háoszög átxok sté dtás főátló lévő száok szozt évé dódk Évéys dt összfüggés Ez lpá íhtuk hogy ( AB) dt( A) dt( B) ( I ) dt( AA ) dt( A) dt( ) vgys dt( A ) dt A Láthtó z s továá hogy otogoáls átx sté ( A ) dt ± t A A tt dt ( ) ( I dt AA ) dt( AA ) dt( A) dt( A ) dt ( ) ( ) dt A Szgulásk vzzük égyzts átxot h dtás zéus és gulásk vgy szgulásk h dtás zéus Ivz csk k átxk lht lyk dtás zéus H átx x-s kko [ ] ( A)

9 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 9 -/9 és h A kko A dt A gs étk sté késő duk ódszt

10 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 0 -/9 Asztkt tk tkus té Dfícó: tkus té Egy hlzt tkus ték vzük h étlzv v z összs lpá gy d úgyvztt tk ly gy vlós száétékű függvéy kll hogy lgy z lá tuldoságokkl: d ( ) 0 gylőséggl kko és csk kko h (gtvtás) d ( ) d( ) (sztkusság) d d c d c c (háoszög gylőtlség) ( ) ( ) ( ) Péld: Lgy R vlós száok hlz Ekko tk lht például d R függvéy két vlós szá külöségék z szolút ( ) éték (Ellőzzük l z - tuldoságok tlsülését!) Péld: Lgy Q coáls száok hlz Ekko tk lht például d Q függvéy két vlós szá külöségék z szolút ( ) éték (Ellőzzük l z - tuldoságok tlsülését!) Péld: Lgy R vlós szásík Játszht tk szpét koodátgotáól st ukldsz távolság Lgy két pot koodátávl ( ) ( ) és d( ) ( ) ( ) x y x y (Ellőzzük l z - tuldoságok tlsülését!) R x x y y Péld: 0 h Lgy ttszőlgs hlz és lgy d( ) h (Izolált potok tká) (Ellőzzük l z - tuldoságok tlsülését!) Péld: Lgy { } -sk hlz vlly ögzíttt sté hol 0 poztív gész szá 0 szóluok (tk) dgyk 0 vgy (Ez t -sk hlz Lhtk például ó yt-ok h 8) Lgy ttszőlgs l sté d ( ) éték z z gész szá ly zt utt g hogy z zoos tpozícókt fgylv két l háy hly ték l tk gyástól (Ez Hg tk) (Ellőzzük l z - tuldoságok tlsülését!) Péld: Lgy zo folytoos vlós száétékű függvéyk hlz lyk [ 0 ;] zát tvlluo vk étlzv Lgy tk d( ) x ( x) ( x) (Ellőzzük l z - tuldoságok tlsülését!) x [ 0;]

11 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 A tk llz hlzlk ( potok ) gyástól vló távolságát és tétlz fl űvltkt hlzlk között Ez zo zá k zt hogy z lk között étlzv vk űvltk d zok glét szükségs A potok zo lhtk ttszőlgs tésztűk Száuk koodátákkl gdott potok vlt z sztkt ódo potokk tkttt függvéyk lszk fotosk A té (vlly stuktúávl dlkző hlz) léygs t gy dott poléához tásítuk és polé goldását té kssük A külööző polégoldó ódszk áltlá zol lső lépés tlálák g potos goldást (fltév hogy z gyáltlá létzk) h közlítő goldásoko ksztül utk l potos goldáshoz vgy k gy száuk klégítő potosságú közlé Dfícó: öyzt tkus té Egy tkus té vlly pot ε -sugú köyzték vzzük z té zo potk hlzát ly potok tlsül d ( ) < ε gylőtlség Itt ε poztív vlós szá Az ε -sugú köyzt yílt hlz zz d pot lső pot htápotok ttozk köyzthz Fotos foglo kovgc fogl Ako gy potos közlítük gy fldt potos goldását kko gy potsooztot kpuk édés hogy z potsoozt y közlít g potos goldást szolzáló potot Dfícó: ovgc tkus té Lgy potokk gy végtl soozt Azt oduk hogy soozt kovgál (kovgs tká) té vlly * potához h d poztív ε szá sté létzk soozt oly * N ldx (stlg ε -tól függő) hogy ály N dx d ( ) < ε fáll (Szvkkl: Az * pot ály ε -sugú köyztét vév soozt d tová l gy hlytől kzdv z köyzt sk) * Jlölés: l Dfícó: Cuchy soozt Lgy potokk gy végtl soozt Azt oduk hogy soozt Cuchy soozt (fudtáls soozt) h d poztív ε szá sté létzk soozt oly N ldx (stlg ε -tól függő) hogy ály N dx és ttszőlgs tészts szá fáll hogy d ( ) < ε Szásooztok sté d kovgs soozt Cuchy soozt és d Cuchy soozt kovgs vgys két foglo kvvls gyássl Asztkt tk z cs fltétlül így Dfícó: ls tkus té Egy tkus tt tlsk vzük h d Cuchy sooztk v htáéték zz h kovgs

12 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 A ft példák coáls száok hlz tls tkus té csk tkus té ls tkus té lgdő gy sooztól kutt hogy Cuchy soozt és z á ztosít kovgcát htáéték glétét Vktoté (lás té) Dfícó: Vktoté Az L hlzt (z R vlós száok fltt étlztt) vktoték vzzük h dfálv v gy összdásk () vztt és gy (vlós) szál vló szozásk () vztt űvlt lyk z lá tuldoságokkl dlkzk A hlz lt vktookk vzzük (A vktookt flül yílll lzzük szövgszksztő okok tt) Addtív tuldoságok: L (kouttvtás szt) ( ) c ( c ) c L (sszoctvtás) Létzk gy úgyvztt zéus l l 0 ly 0 0 L d L vktohoz létzk oly L vkto hogy 0 Ek lk v llttt vkto éyl okól lölés gyk övtkzéykét kpuk hogy d x x L gylt ly z x z stl gyétlű goldhtó ttszőlgs L sté és goldás x ( ) Az llttt vkto hozzádását tkthtük z dt vkto kvoás űvlték ultplktív tuldoságok: L R ( ) ( ) L R (szozás sszoctvtás) ( ) L R (dsztutvtás szál tötéő szozás) ( ) L R (dsztutvtás vkto összdás) A dfícó fltütttt tuldoságokt xóákk s szokás vz uldoképp gszák foul átlkítás szálykt A ft tuldoságok között szpl d zokól kövtkzk hogy 0 0 L 0 R zz vktok zéus szál tötéő szozás dg zéus vktot déyz vlt z s hogy ( ) L zz gy vktok íusz gy szál tötéő szozás vkto lltttét déyz (Fgylük zéus vlós szá ( 0 ) és zéus vkto ( 0 ) között fogl külöség!) Az lső észvétl z lák szt láthtó ( 0) 0 0 és szt 0 vkto oly vkto ly változtt g zt vktot lyhz hozzáduk zz zéusvkto thát 0 0

13 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 A ásodk észvétlük látás pdg: z ( ) 0 ( ) ( ) ( ( ) ) 0 évéys összfüggésől kdulv z lőző állítás szt zéusvkto Ekko zo ( ) vkto oly vkto ly z vktohoz hozzádv zéusvktot d vszot ly vkto csk z llttt vkto lht thát ( ) A dfícó z ktétl hogy d x x L gylt ly z x z stl gyétlű goldhtó ttszőlgs L sté á kövtkzk llttt l gkövtlt létzéséől Ugys lgy y L gy ásk z x L -től külööző goldás Akko z x és z y gyltkt kvov gyásól (dkét oldlo z lltttkt hozzádv) zt kpuk hogy ( x ) ( y ) 0 zz 0 x y thát x y D kko ásk goldás külöözht z lsőtől Dfícó: Lás koácó A λ λ λ kfzést z L vktook λ λ λ R gyütthtókkl képztt lás koácóák vzzük A kfzés tészts gy vktot d déyül Lgy fztük k λ λ λ Ekko vktot z vktook sgítségévl Dfícó: Vktoté lt Az L vktoté gy üs G észhlzát ( G L) z L vktoté lték vzzük h G vktoté ugyzo űvltkkl t z L A lgtváls és gyúttl lgszűk lté z gytl 0 vktoól álló észhlz A lgőv lté g z L Válsszuk k ost vlháy vktot vktotéől! épzzük zk összs lhtségs lás koácóát! Az így kpott hlz z dt vktoték lt lsz (Bzoyítsuk!) Dfícó: Gáló dsz Az L vktook összs lás koácó áltl lkotott hlz (lté) gáló dszék vzzük z L vktookt Az ltt pdg z L vktook áltl gált lték vzzük Egy ltt töfél gáló dsz s léthozht vgys z lté gáló dsz gyétlű Egy gáló dsz dg ővíthtő tová vktookkl ttól ég gáló dsz d lgfl gy őv ltt gál ggyzzük hogy gy gáló dsz áltl léthozott vkto lőállításá szplő gyütthtók fltétlül gyétlűk Ugyzt vktot h gyáltlá lőállíthtó lht hogy töfélképp s lő tuduk állít Lgy például háo vktouk L és lgy! Ekko például L vkto csk - gyütthtókkl állíthtó lő z vktookól lás koácóvl h például z lá ódo s:

14 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 ( ) 6 8 hát 6-8 gyütthtók s gfllk célk A dolog tükk z hogy kválsztott vktook között összfüggés áll f z gyk vkto tö sgítségévl kfzhtő volt Dfícó: Lás függtl dsz Az L vktook gyüttsét lás függtl dszk vzzük h gyk vkto s fzhtő k dsz tö vktoák lás koácókét Eköz z gytl vktoól álló dszt lás függtlk tktük h ő zoos zéus vktol A zéus vktot ögá dg lás függtl dszk tktük Dfícó: Lás függő dsz Az L vktook gyüttsét lás függő dszk vzzük h lás függtl dsz Az vktodsz lyk ttlzz zéus vktot ztos lás függő dsz (Bzoyítsuk!) ÉEL: A lás függtl dsz llzés Egy L vktodsz kko és csk kko lás függtl h zéus vkto vktodsz l sgítségévl csk és kzáólg zéus gyütthtókkl állíthtó lő (Bzoyítsuk!) A tétl tuldoképp lás függtl dsz dfícóák gy kvvls gfoglzását d Hsz áll hogy h gy L vktot flítuk vktook lás koácókét csup zéus gyütthtókkl és L vkto épp zéus vkto kko zoyosk lhtük hogy dsz lás függő ásészt h tuduk hogy dsz lás függtl és zéus vkto lás koácóvl lőállt kko zoyosk lhtük hogy z gyütthtók dgyk lás koácó zéus Eléggé ylvávló hogy gy lás függtl vktodszől áháy vktot lhgyuk kko z lás függtl dsz d fltév hogy gdt dsz üs Dfícó: Bázs Az L vktoték gy oly vktodszét lyk z L gáló dsz és gyúttl lás függtl dsz s z L vktoté ázsák vzzük A vktoté ázs gyétlű Sok ázs létzht ÉEL: A ázs tuldoság Az L vktoté d vkto gyétlű fzhtő k ázs sgítségévl (Bzoyítsuk!) Dfícó: Vktokoodáták dott ázs Lgy z L vktoté gy L vkto L ázssl

15 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 kfzv z lás koácó foáá Az vlós száokt z vkto ázshoz ttozó koodáták vzzük A ázs ögzítés utá koodáták gyétlűk ÉEL: A ázsok ét A vktoté d ázsá vktook összsség ugyoly száosságú (Bzoyítsuk!) Dfícó: Vktoté dzószá A vktoté ttszőlgs ázsá szplő vktook száát (száosságát) vktoté dzószáák övd dzóák vzzük A vktoté lht végs dzós és lht végtl dzós Végtl dzós vktoté h ály végs sok vktoól álló lás függtl vktodszét tová lht ővít ú vkto hozzávétlévl lás függtlség gőzésévl Az L vktoté dzószáát d( L) -ll lölük Végs dzós st ázs és ázsvktook sodék ögzítés utá gy dott vkto líhtó z L d koodátáávl Célszű zt gy száoszlop foáá ldz Így h kko íhtuk hogy zz vktok gfllttük gy száoszlopot L ázs sté Ez száoszlopot szokták oszlopvktok s vz Jlölés z vktotól vló gkülöözttés végtt z láhúzást foguk lklz z oszlopvkto zz ÉEL: oodáták gváltozás ázsváltozás sté végs dzós vktotk Lgy z L vktoté gy L vkto L ázssl kfzv z lás koácó foáá ~ ~ ~ Lgy té L gy ásk ázs E z ú ázs z L vkto z ~ ~ ~ ~ ~ ~ lk íhtó fl A ég ázs lévő ég koodáták és z ú ázs lévő ú koodáták között z lá összfüggés áll f: ~ ~ ~ τ τ τ τ ~ τ ~ τ ~ L ~ ~ ~ τ τ τ hol τ z ú ázs vktoák koodátá ég ázs flív H

16 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 6 -/9 τ száokt gy tálázt (átx) dzzük z lá ódo: τ τ L τ τ τ L τ O τ τ L τ kko z összfüggés töö íhtó z ~ foá hol hullá z ú ázskoodáták utl A átx oszlop épp z ú ázs vktoák koodátát ttlzz ég ázs flív H z ú koodáták vgyuk kívácsk égk évé kko vgy golduk ft gyltdszt hulláos lk ézv vgy pdg z vz flhszálásávl ~ lklzhtó Bzoyítás: A tétl kodásá hszált löléskt lklzv: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Az ú ázs vkto ég ázs τ τ τ Bív zkt z lőző foulá kpuk: ~ ( τ τ τ ) ~ τ τ τ ( ) ~ ( τ τ τ ) Bszoozv záólk és z zoos ázsvktook gyütthtót összgyűtv dódk hogy: ( ~ ~ ~ τ τ τ ) ~ ~ ~ τ τ τ ( ) ( ~ ~ ~ τ τ τ ) I láthtó hogy ázsvktook gyütthtó dák koodátákt zz z koodát τ ~ τ ~ τ ~ Dfícó: Lás opáto vktoté Lgy két vktoté L és L Azt z A lképzést ly z L vktoté lk gflltt z L vktoté lt (lképz) lás opátok vzzük h z gfllttés dlkzk z lá tuldosággl: A( ) A A L (ddtvtás tuldoság) A A( ) L R (hoogtás tuldoság) A két tuldoságot közös ltás tuldoságk szokták vz Azt hogy z A: L L opáto z L lk c L lt flltt g htását z c A foá íuk fl töö H összttt kfzés

17 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 7 -/9 ht z opáto kko zt záól tsszük gyékét záól lhgyhtó Úgy s odhtuk hogy z opáto z gyk té lét ásk té lé vsz át Az déyt z dt vkto képék s szoktuk vz Vgyük ész hogy lás opáto zéusvktot dg zéusvkto vsz át! A válsztott két vktoté lht zoos s Ilyko z opáto vktott sát gá képz l tgy átlkítv tt E z st lás opátot szokás lás tszfoácók s vz H z A opáto áltl léthozott összs képvktot kuk lí kko zt z A( L ) L foulávl lzhtük Az A ( L ) z A opáto képt z L té kép Ez képté z L ték lt Spcáls ká gy s sht L -vl A képté dzószáát z A opáto gák vzzük és k( A) -vl lölük A képté csk kko sht gy z L -vl h k ( A) d( L ) (ét?) Ekko két té dzószá s g kll hogy gyzz és lképzés gy-gy étlű zz d L -l vktok gfll gy L -l külööző vktook kép s külööző és d L -l vktok v gy dt (őskép) - H z tlsül kko g lht fodít gfllttés L áyát és lht étlz gy A : L L opátot lyt z A opáto vzék vzük és ly szté lás opáto Az L té zo vktot lyk zéus vkto képződk z A opáto gák vzzük Jlölés k( A) z gol kl szóól Ez hlz L -k lt A g dzószáát z A opáto dfktusák vzzük Az A opáto gák és dfktusák z összg épp ggyzk z L té dzóávl ÉEL: A lás opáto pztácó végs dzós vktotk sté Lgy A: L L lás opáto Lgy d( L ) d( L ) dkttő végs Lgy z L vktoté ázs L z L vktoté ázs c c c L E z st lás opátot tls ghtáozz gy soól és oszlopól álló A száátx (szátálázt átxot kétszs láhúzott tűvl lölük) Ezt átxot lás opáto pztácóák vzzük A átx csk kválsztott ázsoktól függ gváltozttv ázsokt átx s változk d z opáto Bzoyítás: Lgy z opáto htás z x L vktoo z y Ax L vkto dkét vktot flív sát t ázsávl íhtuk hogy x és y c c c γ γ γ Flhszálv z opáto htását ítuk hogy y Ax A( ) A( ) A( ) A( ) A A A L Azt kptuk hogy képvkto z -l ázsvktook képk lás koácóáól áll lő A ázsvktook kép z L té ázsvkto sgítségévl flíhtók Lgy ázsvkto képék lőállítás c c c L ázs A c c c Akko

18 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 8 -/9 y A A A ( c c c ) ( c c c ) ( c c c ) Összgyűtv z zoos ázsvktook gyütthtót kpuk: y ( ) ( ) ( ) γ c γ c γ c c c I láthtó hogy képvkto koodáták kszáítás z γ foulávl tötéht Az ; száokt gy c A L L O L szátálázt (átx) dzv gkptuk zt átxot ly z dott ázsok sté pztál z A: L L lás opátot Az A átx L oszlop d ttlzzák z ázsvktook képk koodátát z L ázsá Az s láthtó hogy köy ozálhtó z y Ax L képvkto koodáták kszáítás Egyszű z A átx lső oszlopá álló száokt z x L vkto lső koodátáávl kll véggszooz ásodk oszlopot ásodk koodátávl és így tová végül z utolsó oszlopot z utolsó koodátávl d z így kpott oszlopokt gyássl összdv dódk képvkto koodátá A vktookt z oszlopkkl hlyttsítv: y Ax 6ÉEL: Rpztácó változás ázsváltozás sté végs dzós vktotk Lgy A: L L lás opáto Lgy d( L ) d( L ) dkttő végs Lgy z L vktoté ázs L z L vktoté ázs c c c L Lgy L ú ázs ~ ~ ~ L és L ú ázs ~ c c~ c~ L Akko z A: L L lás opáto

19 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 9 -/9 Az ~ pztácó (átx) z ú ázsok lltt z ~ A S foul szt változk g hol z L S z L té ázsváltást líó átx Bzoyítás: Az y Ax lképzésk láttuk hogy gfll z y A x átx-oszlopvktoos foul ég ázsok flív Az ú ázsok z átgy z ~ y A ~~ x lk A gys tk vktook koodátá z ú ázsk gfllő z x ~ x vlt z y S ~ y szt töték hol és S z koodáták gváltozását líó átx z vlt z té fzv ~ y -ot: ~ y S y hlyttsítéssl kpuk hogy ~ y S y S Ax S A ~ x zz ~ A S A A L L A S A vszoy fállás sté z A és A ~ átxokt kvvls átxokk vzk ggyzzük hogy két zoos étű kvvls átxk zoos g és fodítv h zoosk gk kko kvvlsk s Ay lás opáto végs dzós vktott sát gá képz l kko pztáló átx változás spcáls stkét dódk: A ~ A hol ázsváltozást líó átx Az kvvlc z spcáls sté z A és A ~ átxokt hsoló átxokk vzk Az átlkító foulát hsolóság tszfoácók Ezzl kutttuk hogy végs dzós té ugyzo lás tszfoácó pztáló átx külööző ázsok sté ~ dt A dt A dt dt A dt dt A hsolók Láthtó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dfícó: Lás tszfoácó vás lt Az L lás vktoté L L lás ltét z A: L L lás tszfoácó vás lték vzzük h d x L vkto sté z A x L s fáll A tszfoácó z lté lt ugy z lté képz H z vás lté gydzós kko z zt gáló (ály) vktot lás opáto sátvktoák vzzük és utá z st fáll z Ax λx összfüggés thát sátvktot z opáto λ szoos yút λ yútás téyzőt sátvktohoz ttozó sátétékk vzzük A sátétékk tls vzsgáltához gyk vlós száok hlytt g kll gdük koplx száok hszáltát s Sátétékől tö s létzht külööző sátvktookhoz külööző vás ltk ttozk H tszfoácó átx sztkus kko dgyk sátéték vlós szá Évéys továá hogy hsoló átxokk zoosk sátétékk Dfícó: űvltk lás opátooko

20 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 0 -/9 Dfáluk háo űvltt z opátook között Lgy két vktoté L és L Lgyk A B lás opátook L - ől L - ét lás opáto összgék vzzük zt lás opátot ly összgz két opáto képt zz ( A B) A B L L Lgy két vktoté L és L Lgy A lás opáto L -ől L - Az opáto szál tötéő gszozás útá kpott opátok vzzük zt z ( A) opátot lyk htás kövtkző: ( A ) ( A ) L L Lgyk és L vktotk Lgyk A és B lás L L opátook A: L L B : L L ét lás opáto szozták vzzük zt lás opátot ly kttő szuppozícó zz ( BA ) B ( A ) L L (Vgyázt! Lht hogy BA étlzhtő d AB ) Az opátook szozásák űvlt sszoctív d kouttív Fállk továá kövtkző tuldoságok C A B CA CB ( ) ( A B) D AD BD ( A) B A( B) (AB) N héz lát hogy két opáto összgék pztácó két pztáló átx összg lsz (z zoos hlyk álló lk összg és z csk zoos étk sté végzhtő l) Az szál gszozott opáto zz z ( A) opáto pztás z A pztás átxák z szál vló gszozásávl dódó átx lsz (lkét szozás) Ugykko két opáto szozták pztácó két pztácós átxk szozt lsz ( szozás csk kko végzhtő l h z lső szozdók y oszlop v t háy so v ásodkk) 7ÉEL: A lás opátook vktot ktsük zo lás opátook hlzát lyk L -ől L - képzk ktsük z opátook összdásák űvltét vlt z opáto szál vló gszozásák űvltét Ezkkl űvltkkl gyütt lás opátook vktott lkotk Ugycsk lás vktott lkot lás opátookk gfllő pztás átxokk hlz kk gfllő ft tágylt űvltkkl Noált té A vktotk fogllkoztuk köyzt távolság (közlség) kovgc kédésévl N llztük vktookt gyságukkl hosszukkl Dfícó: Vkto oá Noák (vktoo) vzzük z oly száétékű függvéyt ly gy

21 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 L vktoté d léhz oly száot dl hozzá ly dlkzk z lá tuldoságokkl Az x vkto oáák l x x 0 gylőséggl csk zéus vkto sté λ x λ x d vlós λ szá és d x L sté x y x y d x y L A vktoo vktohossz foglák áltláosításkét foghtó föl Dfícó: Noált vktoté Az L vktott oált vktoték vzzük h t dfálv v gy o d oált vktoté gyúttl utotkus tkus té s vl d( ) foul dlkzk tk d tuldoságávl Ez zt lt hogy tkus tk d tuldoság átvhtő oált tk Bszélhtük thát gy pot ε -sugú köyztéől potsoozt kovgcááól (kovgc oá) A tls oált vktott Bch ték vzk A o töfélképp s vzthtő gy vktoté Péld: Noált té z L R vktoté ( vlós száok hlz) z L oávl (A vlós száokt vktok tktv d vlós szához hozzádlük z szolút étékét) Péld: Lgy L R vlós szá -sk hlz Ez gy -dzós vktoté Buttuk háo lhtségs vktooát Lgy o zz vkto koodátá szolút étékk z összg Ez z úgyvztt -s o oktdkus o Lgy gy ásk lhtségs o zz koodáták égyztösszgéől vot égyztgyök Ez z úgyvztt -s o ukldsz o gö o x x zz Lgy ost hdk o ( ) Péld: Lgy L C[ ; ] koodáták szolút éték közül lggyo éték Ez z úgyvztt végtl o -o xu o zz f folytoos vlós száétékű függvéyk hlz (vktoté) lyk z [ ;] zát tvlluo vk étlzv Lgy o kövtkző: f x f ( x) [ ; ] x Dfícó: Noák kvvlcá ét oát ( x és x ) gy dott L vktoté kvvlsk vzük h létzk két oly I c II c R poztív vlós kosts hogy

22 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 c x x c x x L I II I A oák kvvlcá zt lt hogy lvlg dgy hogy z kvvls oák közül lykt hszáluk t gyk áskkl és fodítv flülől (lulól) csülhtő ggyzzük hogy végs dzós vktoté ály két o kvvls A lás opátook lás tszfoácók s ktszthtő o fogl Az opátot tszfoácót pztálv átxávl foglo átxokét étlzhtő A oát z st célszű vktooávl gyztt zz vktoo gválsztás utá célszű vl kpcsoltos opátooát (átxoát) vzt Ilyko z opáto oáát vktoo ghtáozz dukál Az dukált opátoo zt utt g hogy z opáto lképzés soá lgfl háyszoos yút g vkto dt hosszát oáát Dfícó: Idukált opátoo átxo Az A opátoo l A és zt oduk hogy z opátoo z x Ax vktoo áltl dukált h A sup x 0 x Péld: Az dukált opátoo dfícó lpá lvzthtő hogy z gys vktooákhoz ly dukált opátoo ttozk foulát pztáló átx duk g Lgy L R L R A : L L pztácós átx A ét so és oszlop Lgy o z -s o zz Az áltl dukált úgyvztt -s átxo: A x (oszlopösszg o) Lgy vktoo -o zz x( ) x A k gfllő dukált úgyvztt A x (soösszg o) -átxokét dódk: N dukált átxo Fous o ly A x Az dukált opátoo átxo fotos t z st képvkto oáát flülől tuduk htékoy (zz éls) csül 8ÉEL: Az dukált átxoák gylőtlség Idukált átxoá tlsül hogy Ax A x AB A B Bzoyítás:

23 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 x x Ax Ax Ax A x x A x x A x x x sup x x 0 x ( AB) x A( Bx) A Bx A B x Losztv x -szl és szupéuot vév kpuk hogy AB sup x 0 ( AB) 9ÉEL: Az dukált átxo és sátétékk kpcsolt Lgy A gy A: L L lás tszfoácó átx vlly ázs és lgy vktoo ögzítv Akko dukált átxo sté évéys z lá gylőtlség: λ A hol λ átx ttszőlgs sátéték Bzoyítás: λ x λ x Ax A x és losztv z x -vl kpuk kívát gylőtlségt x x A A B Eukldsz té A oált té kvésk zoyul gy so got tuldoság líásá Ilyk például vktook áltl közzát szög vgy őlgsség fogl Dfícó: Sklás szozt vktoté Egy dott L vktoté sklás szoztk lső szoztk vzük gy vktopáoko étlztt vlós száétékű függvéyt h z dlkzk z lá tuldoságokkl A sklás szozt l ( ) éh övd vgy ( ) 0 gylőséggl csk zéus vkto sté (gtvtás) ( ) ( ) L (szt) ( λ ) λ( ) L (hoogtás) ( c ) ( c ) ( c ) c L (ddtvtás) A sklás szozttl oát s lht lkot kövtkző ódo: ( ) (Lássuk!) Dfícó: Eukldsz té Egy dott L vktott ukldsz ték vzük h étlzv v gy sklás szozt és o lyt foá dfáluk ( ) A végtl dzós tls ukldsz tt Hlt ték vzzük

24 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 0ÉEL: A Cuchy-Schwz-Buykovszk gylőtlség A sklás szozt fáll z úgyvztt Cuchy-Schwz-Buykovszk gylőtlség ly zt od k hogy vgy töö ( ) ( ) ( ) L ( ) L Bzoyítás: ktsük z kövtkző sklás szoztot ly vlós λ szá függvéy ( λ λ ) Flhszálv sklás szozt tuldoságt kpuk hogy ( λ λ ) ( λ λ) ( λ ) ( λ λ) ( λ) ( λ ) ( ) λ ( ) λ( ) ( ) λ ( ) λ Vgyük ész hogy kpott kfzés λ szt gy ásodfokú polo lyk z éték lht gtív lévé λ vkto oáák égyzt zz gyo t ull vgy gylő vl Ekko vszot λ - lht zéustól ltéő vlós gyök Ez pdg kko v h ásodfokú kfzés dszkás ks t zéus vgy gylő vl hát íhtuk hogy ( ) 0 I vszot zol ö z gylőtlség t zoyít klltt ( ) Dfícó: ét vkto áltl közzát szög ukldsz té Az vktook áltl közzát szögk vzzük zt ( ) ly cosϕ 0 ϕ π szögt A Cuchy-Schwz-Buykovszk gylőtlség étlé dfícó szplő töt dg [ ;] zát tvllu v thát vlly vlós szögéték koszusz lht Dfícó: őlgsség (otogoltás) Az vktookt gyás őlgsk otogoálsk vzzük h sklás szoztuk zéus Nzéus vktook dszét kko vzzük otogoáls dszk h ály két zoos vkto közülük otogoáls ÉEL: Otogoltás és lás függtlség Az otogoáls vktodsz dg lás függtl dsz s

25 000 Nukus ódszk lődásvázlt - -/9 Bzoyítás: Végs sok vkto stét zoyítuk Lgy otogoáls vktodsz gyük fl hogy lás függtl dsz Eől lltodás foguk ut H lás függtlk kko zéus vkto lőáll zoos zéus gyütthtókkl lás koácókét zz λ λ λ 0 Sklás szozást végzv z vktol sté z otogoltás khszálásávl kpuk hogy λ ( λ λ ) ( λ ) λ ( ) ( 0) 0 I pdg kövtkzk hogy d sté λ zéus Ez vszot lás függőség sté lhtségs zz dsz lás függtl Az otogoáls vktodszk ázs szpt s tölthtk h tls dszt lkotk zz h lás koácóvl lőállíták té összs vktoát Dfícó: Otooált dsz Az vktook dszét otogoáls oált dszk övd otooált dszk vzzük h h ( ) 0 h Egy zéus vktot oált vktok vzük h oá gységy Egy zéus vkto dg oálttá thtő kövtkző ódo: 0 ÉEL: Otogolzácós tétl (G Schdt otogolzácó) Lgy vlly ukldsz ték gy lás függtl vktodsz Akko flépíthtő té gy vktodsz ly otogoáls dsz és ly tlsül hogy 0 Bzoyítás: Lgy gyük fl ost hogy á k lőállt ft lk Egyk s lht zéusvkto t kko lás függtlség kduló dszk áll f ssük k vktot

26 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 6 -/9 γ lk A γ k k k k γ k γ k k k gyütthtókt z otogoltás fltétlől htáozzuk g Eől dódk hogy vl ( ) 0 ( ) 0 k k ( ) ( ) ( ) 0 k k zét k γ k ( k ) ( ) γ k k A kpott gyütthtókt ft kstt lk hlyttsítv dódk kstt vkto ly őlgs z összs lőző Ezutá z összs k hlyé hlyttsítv koá vktookkl flít lkt kpuk k vktot kfzv z k vktookkl A folytot folyttuk tová z összs vkto fldolgozáság ggyzésk: A tétll flépítés szkztéől látszk hogy kpott otogoáls dsz vktookk oákkl tötéő losztás utá otooált dszé válk d vkto lőáll t hát gy ukldsz té ázs dg otooálttá thtő Lgy ost dv gy ázs gy végs dzós ukldsz té Azt vzsgáluk g hogy hogy lht sklás szoztot kszáít vktook koodátá sgítségévl és t kll stlg ég z kívül gd száításhoz Dfícó: Vktodsz G átx Lgy gy -dzós vktoté ázs gdv z vktook áltl Lgy gy k vktodsz flív z dott ázsl koodátákkl épzzük z lá k k étű átxot: k γ γ G γ k γ γ γ k O γ k γ k γ kk γ hol ( ) k; k A kpott sklás szoztokól álló sztkus átxot vktodsz G átxák vzzük z dott ázs

27 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 7 -/9 H vktodsz otooált kko vlágos hogy G átx gységátx lsz k ÉEL: A sklás szozt kszáításáól Lgy gy -dzós ukldsz té dott gy ázs z vktook áltl Az és vktook sklás szozták kszáítás z ( ) γ foulávl tötéht hol γ ázsvktook dszéhz ttozó G átx l pdg z vkto koodátá vktoé gdott ázs Otooált ázs sté foul z gyszű ( ) lkot vsz fl Bzoyítás: Flíuk vktokt ázs sgítségévl: és A sklás szozt: ( ) ( ) d tgot d tggl szoozv és szozó koodátákt klv sklás szozt tuldoság lpá kpuk hogy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Itt foulá ázsvktook sklás szozt dtk lyk G átx l A foul töö ív épp z t tétl állít H otooált ázsuk v kko z zoos ázsvktook sklás szozt gységy külöözőké zéus és így kpuk tétl állítását A tétl lpá végs dzós vktoté sklás szozt gdásához ázs kválsztás utá lgdő ázsvktook G átxát flí z á gyétlű dfál sklás szozt kszáításák ódát

28 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 8 -/9 Dfícó: Poztív dft átx Egy -s sztkus { } h d A átxot poztív dftk vzük ξ vlós szá -s sté ξ ξ 0 zéus pdg kko és csk kko lht h ξ 0 A dfícó gd hogy sklás szozt dfálásához végs dzós vktoté ázsvktook G átxák poztív dftk kll l Évéys z állítás ly szt lás függtl vktodsz G átx dg poztív dft és fodítv h gy vktodsz G átx poztív dft kko vktodsz lás függtl

29 000 Nukus ódszk lődásvázlt - 9 -/9 ( ) FELADAO Lgy { pos fhé zöld kék ság} észítsük tkát té zz töltsük k z lá táláztot tk étékkkl thát lyk tlsül z - tuldoság! d pos fhé zöld kék ság pos fhé zöld kék ság Bzoyítsuk hogy vktoté sté 0 0 L 0 R! Bzoyítsuk hogy dott vktook összs lhtségs lás koácó lté! Bzoyítsuk hogy z vktodsz lyk ttlzz zéus vktot ztos lás függő dsz! Bzoyítsuk z ÉELt!