17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

Átírás

1 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu f(x ). Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) iniu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ). A függvény (bszolút) iniu f(x ). A cíben szeeplő elei egoldás zt jelenti, hogy feldtok egoldás közben ne hsználjuk z nlízis eszközeit. A egoldás soán felhsználhtó ódszeek, ötletek:. ) Figyelebe vesszük vizsgálndó függvények ételezési ttoányát, étékkészletét és függvény enetét. b) Zát intevlluon ételezett függvényeknél egvizsgáljuk z ételezési ttoány végpontjibn felvett függvényétékeket is. c) Egy függvény szélsőétékhelye és típus ne változik, h függvényt egszoozzuk egy pozitív szál. d) Egy pozitív étékeket felvevő függvénynek és négyzetének szélsőéték helye és típus zonos.. Másodfokú függvények H vizsgált kifejezés felíhtó egy x iseetlen ásodfokú függvényeként, hol x tetszőleges vlós szá, kko f x) x u v ( lk hozás után egállpíthtó függvény szélsőétéke. A függvénynek iniu vn, h > 0, iniu étéke v, helye u, xiu vn, h < 0, xiu étéke v, helye u. H f ételezési ttoány ne teljes vlós száhlz, hne például egy intevllu, kko szélsőéték vizsgálthoz célszeű ábázolni függvényt.

2 . Tigonoetikus függvények Édees egvizsgálni, ne kpunk-e egyszeűbb kifejezést, h tigonoetikus zonosságokt lklzunk.. Az f függvény étékkészlete zon p száok hlz, elyeke z f(x) = p egyenletnek vn egoldás z f függvény ételezési ttoányán. Ezzel függvény szélsőétékének, illetve étékkészletének vizsgáltát, pétees egyenlet egoldásá vezethetjük vissz. 5. Szélsőéték-feldtok gykn egoldhtók nevezetes közepek közti egyenlőtlenségek lklzásávl is. Definíciók: Az,...,, n pozitív vlós száok szátni (it etiki)közepe: A(,,..., n ) =... n n, étni (geoetii) közepe: G(,,..., n ) = n... n honikus közepe: H(,,..., n ) = négyzetes (kvdtikus) közepe: Q(,,..., n ) = n n n... n Tétel: H,...,, n G(,,..., n ) A(,,..., n ) Q(,,..., n ). Egyenlőség kko és csk kko áll fenn, h... n teljesül. Következény: H n pozitív szá szozt állndó, kko z összegük kko iniális, h száok egyenlők. H n pozitív szá összege állndó, kko szoztuk kko xiális, h száok egyenlők. 6. Cuchy-Bunykovszkij-féle egyenlőtlenség (n = -) b b b b b b. Az egyenlőtlenség vektook skláis szoztánk definíciój, vlint skláis szozt koodinátákkl vló kifejezése lpján igzolhtó. Egyenlőség kko áll fenn, h ; ; és b b ; b b vektook páhuzosk, zz h vn olyn k szá, elye b ; k b k,, b k fennáll. (Az egyenlőtlenség áltlános lkj:

3 b b n bn n b b bn n dienziós vektook skláis szoztávl igzolhtó.) II. Kidolgozott feldtok. Adott keületű tégllpok közül elyiknek teülete xiális? I. A feldt szövege szeint tégllpok keülete k = ( + b) dott. Ebből k b. Keessük t k k ; 0 függvény xiuát. k k k t ; xiu helye k xiu étéke: 6 k (itt ételezve vn függvény; ekko b is. k ), Tehát z dott keületű tégllpok közül négyzet keülete xiális. II. Alklzzuk szátni és étni közép közötti összefüggést! k b b t, tehát t k állndó. t xiális, h t xiális. Ez kko áll fenn, h = b, tégllp egy oldlú négyzet, elynek teülete: t x k k. 6. Egy ptk ptján egy 00 ngyságú, tégllp lkú ketet szeetnénk elkeíteni vízi szánysink észée. Mekkoánk válsszuk tégllp éeteit, hogy legövidebb keítése legyen szükség? ( A ptkpton ne állítunk keítést.)

4 Jelöljük tégllp oldlit z áb szeint x-szel, ill. y-nl! ( x 0, y 0 ) A tégllp teülete xy = 00, keítés hossz k = x + y. Alklzzuk x-e és y- szátni és étni közép közötti összefüggést! x y xy A keítés iniális, h egyenlőség áll fenn zz, h x y. Ezt visszhelyettesítve teületképletbe, x 0 és y 80 dódik. Tehát iniális hosszúságú keítést igénylő tégllp oldli 0, ill. 80, és k in =60.. Az R sugú göbbe íhtó köhengeek közül elyiknek plástj legngyobb? I. Tekintsük henge és göb közös tengelyetszetét! Íjuk fel Pitgosz-tételt z ABC deékszögű háoszöge: R () A henge plástj: P, ez pont kko xiális, iko négyzete xiális.

5 Fejezzük ki z () összefüggésből et és helyettesítsük P képletébe: P (R ), (0<< R ). A kpott függvény -ben ásodfokú, elynek zéushelyei 0 és R, szélsőétékét zéushelyek szátni közepén veszi fel. Az -ben ásodfokú tg előjele negtív, ezét függvénynek xiu vn z R helyen. A xiális plástú henge gsság xiális plástú henge plástj II. R, sug R P R. x. Az R sugú göbbe ít A henge plástj kko xiális, iko xiális. Alklzzuk szátni és étni közép közötti összefüggést, vlint z () egyenlőséget: R, i állndó. A plást pontosn kko xiális, h zz, h. Így () szeint R, R, R, z R sugú göbbe ít xiális plástú henge plástj P R. x. Adott R sugú göbbe ít egyenes kökúpok közül elyiknek legngyobb téfogt? 5

6 Adott R sugú göbbe ít sugú kúpok közül nnk ngyobb téfogt, elyiknek gsság göb sugánál ne kisebb, ezét elég ezzel fogllkozni. Tekintsük göb és beít kúp közös tengelyetszetét! Thlész tétele szeint z ADC háoszög deékszögű, ezét lklzhtó á gsságtétel: x R (Ugynezt z összefüggést egkpjuk z AEO háoszöge felít Pitgosz- tételből is. ) A beít kúp téfogt R V. A szátni és étni közép közti összefüggést lklzhtjuk z, R száok ( 0 R ).., pozitív 6V R R, i állndó. A beít kúp téfogt xiális, h egyenlőség áll fenn, i R esetén teljesül. A xiális téfogtú kúp gsság: R téfogt: V. 8 R, z lpkö sug: R, 5. Adjuk eg z dott b oldlélű szbályos négyoldlú gúlák közül xiális téfogtút! 6

7 I. H gúl oldléle szöget zá be z lpsíkkl, kko gsság M bsin, lpéle b cos, téfogt: V b sin cos. Mivel b dott állndó, következő függvény xiuát keessük: sin cos f, hol 0 < <90. Ez ott xiális, hol négyzete : f sin cos cos xiális. A szátni és étni közép közötti összefüggés kko lklzhtó, h szoztbn szeeplő (pozitív) tényezők összege állndó. Ez könnyen egvlósíthtó, h z első tényezőt, s így szoztot -vel egszoozzuk. sin cos cos f. sin cos f. f kko xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez pedig kko teljesül, h tényezők egyenlők, zz sin cos. Mivel hegyesszög, ebből ctg, sin, cos, így xiális téfogtú gúl lpéle b, 7

8 gsság M b b, téfogt V. 7 II. (Szögfüggvények nélkül) Íjuk fel pios háoszöge Pitgosz-tételt! M V xiális, h 9V xiális. b = állndó; V M 9V M M ne állndó, de M b étni közép közötti összefüggés. 6V állndó; lklzhtó szátni és b M. Így 6V, s ezzel V is kko xiális, h M zz, h M, it visszhelyettesítve M b, és b b, xiális téfogt pedig Vx dódik Htáozzuk eg x 7 x kifejezés legkisebb és legngyobb étékét! A kifejezés [; 7] intevlluon ételezett. A szátni és négyzetes közép közti egyenlőtlenség szeint: x 7 x x 7 x. Egyenlőség kko áll fenn, h x 7 x, zz h x = 5. Az f ( x) x 7 x nenegtív étékeket felvevő függvény helyett vizsgálhtjuk négyzetét: f ( x) x 7 x. Egyenlőség kko áll fenn, h x = vgy x = 7. Összefogllv: A vizsgált kifejezés legngyobb étéke, ezt z x = 5 helyen veszi fel, legkisebb étéke, it z x = és z x = 7 helyeken vesz fel. 8

9 7. ) Egy iskolábn két, szélességű folyosó eőlegesen keesztezi egyást. Mekko z leghosszbb lét, elyet vízszintes helyzetben - létát függőleges síkbn ttv - z egyik folyosóól ásik át lehet vinni? b)* Hogy ódosul válsz, h két folyosó szélessége 8 illetve 7 hosszúságegységű? ) A endelkezése álló helyet kko hsználjuk ki legjobbn, h lét éinti folyosó sokélét, felülnézetben létát szeléltető AC (A C ) szksz illeszkedik B pont. Az AC = x + y szksz hosszánk iniuát keessük (A lét ne lehet ennél hosszbb.) α = β egyállású szögek segítségével kifejezhető x és y: x =, cos α y =, sinα Alklzzuk honikus és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget = pozitív száok, és hsználjuk fel, hogy cos α + sin α =, és = sin, =, cos, sin cosα,, =, ezét, x + y,. Egyenlőség pontosn kko áll fenn, h cosα = sinα, zz, h α = 5. (Tehát legövidebb hosszúság 5 -os szögnél jön léte.) A leghosszbb lét, ellyel ezen folyosón be lehet fodulni ( lét vízszintes helyzetében), 6, hosszú. b) Ebben z esetben két szksz x =, y =. H isét fenti közepek közötti egyenlőtlenséget, vlint cos α + sin α = zonosságot szeetnénk lklzni, kko x-et illetve y-t nnyi egyenlő tg kell bontni, hogy négyzetes közép képletében szeeplő cos α és sin α együtthtój egegyezzen. 9

10 tg 8 cosα = cosα + cosα + + cosα tg 7 sin α = sin α + sin α + + sin α Ee 78 tg lklzzuk honikus és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget: 9 cos α cos α 78 cos sin 78 cosα cosα sin α + + sin α + sin α + + sin α = 6cos α + sin α 78 = 6 kifejezés xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez kko teljesül, h cos α = sin α, zz, h tg α =,5, α 56,. x+y= cos + iniális, h tg α =,5 (α 56, ). sin A lét tehát ne lehet hosszbb = egységnél. Megjegyzés: A feldt fentihez hsonló ódon oldhtó eg, h két egyás eőleges folyosó szélességének ány két egész szá hánydosánk köbével egyenlő. x 8. Htáozzuk eg z f ( x), x x R függvény legkisebb és legngyobb étékét! Egy f függvény étékkészlete indzon p vlós száok hlz, elyeke z f(x) = p egyenletnek vn egoldás. H eghtáozzuk kifejezés étékkészletét, kko nnk legkisebb, ill. legngyobb elee (h vn) egyben vizsgált kifejezés iniu, ill. xiu is. Ezzel kifejezés szélsőétékének eghtáozását visszvezetjük egy pétees egyenlet egoldásá. x p x px x p 0 0

11 p 0 esetén, x p 0 esetén, ásodfokú egyenletnek kko vn vlós egoldás, h D 0. D p p p 8p p 8p 0, h 7 7 p ( p 0 ) 6 6 Összegezve két esetet, kpott egyenletnek kko vn vlós egoldás, h 7 7 p fennáll. 6 6 Így vizsgált függvény legkisebb étéke 6 7, legngyobb étéke 6 7. (A függvény szélsőétékhelyeit egkpjuk, h egoldjuk ásodfokú egyenletet p legngyobb és legkisebb étékée. Ezeke ásodfokú egyenlet diszkiináns 0, z egyenlet gyökei: x, =. A függvény iniuhelye: = 7, xiuhelye: = + 7.) 9. Adott sugú göb köé íhtó fogáskúpok közül elyiknek legkisebb téfogt? Tekintsük kúp és göb közös tengelyetszetét!

12 Az AFC és OEC deékszögű háoszögek hsonlók, et ACF = FCB, egfelelő oldlik ány egyenlő: R R ( > ). A nevezőkkel szozás és négyzete eelés után kpjuk: + R = R R + R. Ebből R. Ezt behelyettesítjük kúp téfogtképletébe: R V. (*) Az első két tényező konstns, elég hdik tényezőt vizsgálni. Végezzük el következő átlkítást:. Az összeg hdik tgj konstns. = állndó. Ezét szátni és étni közép közötti egyenlőtlenség lklzhtó.

13 A vizsgált összeg iniális, h, zz, h, R. 8 Az sugú göb köé íhtó iniális téfogtú kúp téfogt V. A (*) egyenlettől ásként: Vizsgáljuk, hogy z ilyen étékeket vehet fel. Adjuk eg, hogy z feltéve, hogy >. p pétees egyenletnek, ely p száok vn egoldás, Az egyenlet ekvivlens z pp 0egyenlettel. Ennek kko vn egoldás, h diszkiináns nenegtív. D p 8p. A feltétel szeint p > 0, így p 8. Ezzel egkptuk kifejezés iniuát, i 8. 8 Így z sugú göb köé íhtó iniális téfogtú kúp téfogt V. 0. Htáozzuk eg következő függvény étékkészletét, h xεr! f ( x) 5sin x cos x 5 f ( x) sin x cos x sinx, hol 67,8. cos 5, és sin, ez fennáll, h Mivel sin inden -e, ezét f ( x). (Az f függvény -, illetve étékeket felveszi, például α, illetve α helyeken; vlint közbenső étékeket is, et folytonos. ) A vizsgált függvény étékkészlete [-; ].

14 . ) Adjuk eg log sin x cos x kifejezés H ételezési ttoányát! log sin x cos x b) Htáozzuk eg H hlzon ételezett szélsőétékeit! / Felvételi 00. ájus / f x függvény ) A kifejezés zok z x vlós száok ételezett, elyeke: sin cos x sin x 0 x sin x. Ebből sin x, zz x k, hol k Z; H = R \ k b) A fentiek szeint z ételezési ttoány x eleeie 0 sin x. (**) Felhsználv, hogy z -nél kisebb lpú logitusfüggvény szigoún onoton csökken, log sin log x. A egdott függvénynek iniuétéke, it sinx = lpján, x k ; (k Z) helyeken vesz fel. A függvénynek nincs xiu, et z + sin x kifejezés tetszőlegesen kis pozitív szá lehet, h sin x egközelíti -et. Egy ilyen szá lpú logitus tetszőlegesen ngy pozitív étéket vehet fel. Másként: Adjuk eg, hogy p péte ely étékei esetén vn egoldás z lábbi egyenletnek log sin x cos x p. Definíció szeint sin x cos x p. A (**) egyenlőtlenség lpján 0, iből p p, és lpú exponenciális függvény szigoún onoton növekedése lpján p, z f függvény iniu..

15 (Mivel sin x 0-tól vló távolság tetszőlegesen kicsi lehet, ezét étéket felvehet, így z f függvény felülől ne kolátos, nincs xiu.) p tetszőlegesen ngy. Htáozzuk eg z lábbi függvény szélsőétékeit! f: [0; 5] R; x f ( x) x 9x 5x 6 / Felvételi 000. ájus / I. x 9x x 5x 6 x átlkítás lpján x f ( x). x 6x x 6 (A egdott ételezési ttoány inden eleée fennáll z egyenlőség.) Ábázoljuk függvényt! Mivel x szigoún onoton csökken z dott intevllubn, ezét f-e is ez teljesül. 5

16 f függvény xiu f ( 0), iniu f ( 5). 6 II. Megoldás Htáozzuk eg ilyen p péte esetén vn egoldás következő egyenletnek x x 9x p 5x 6 0 ;5 intevlluon! A feltétel szeint x és x 6 következővel: x 9x p( x 5x 6). A kijelölt szozást elvégezve és endezve kpjuk:, ezét egyenletünk vizsgált intevlluon ekvivlens x 9 5px 6p 0 p. p esetén x = 0 egyenletet kpjuk, elynek egoldás x =, i nincs z ételezési ttoánybn, ezét p. nenegtív. p esetén kko vn ásodfokú egyenletnek vlós gyöke, h diszkiináns 9 5p p 6p 9p 8p 69 7 p D, tehát D 0 inden p pétee teljesül. (Minden p ásodfokú egyenletnek.) vlós szá esetén vn egoldás Vegyük figyelebe, hogy olyn p vlós száokt keesünk, elyeke z egyenlet gyökei [0 ; 5] intevllub esnek! Ehhez htáozzuk eg ásodfokú egyenlet gyökeit! A egoldóképletből 6p x, x dódik. p Mivel nincs egdott intevllubn, ezét olyn p száokt keesünk, elyeke 6p 0 5 p fennáll. 6p 6 p, így p p 6 ; p ( innen látszik, hogy p<). 6

17 p 6 Felhsználv, hogy z csökken, x x függvény negtív száok hlzán szigoún onoton p dódik. 6 (Megjegyzés: Ennél feldtnál ez z utóbbi egoldás több bukttóvl ját, és hosszdlsbb is volt.). Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c=. Adjuk eg + + b + + c + kifejezés xiuát! Tekintsük z x(; ; ) és z y egdott kifejezés. ; b ; c vektookt. Ezek skláis szozt éppen Másészt skláis szozt definíciój és cosinus függvény étékkészlete lpján: x y x y cos x y. A két vekto bszolútétéke: x, illetve y b c 5. Így vizsgált összeg xiális étéke 5, it kko vesz fel, h két vekto egyiányú ( cos, 0 ), i pontosn kko teljesül, h b c.. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt szigoún onoton nő: n Bizonyítndó, hogy n n n n. 7

18 A bl oldlon álló szoztot -gyel szoozv, lklzhtjuk z n+ szá szátni és étni középe közötti egyenlőtlenséget : n n n n. n n n n n n Ennek n+-edik htvány bizonyítndó egyenlőtlenség. (Egyenlőség ne áll fenn, et tényezők ne (ind) egyenlők.) III. Ajánlott feldtok:. Bizonyítsuk be, hogy báely negtív szánk és ecipokánk összege legfeljebb ( )!. Az A, B és C váosok egyástól vló távolság AB= 600 k, BC=800 k, AC=800 k. A-ból B- be és B-ből C-be egy időben indul egy-egy epülőgép. A gépek ugynkko sebességgel, zonos gsságbn, egyenes vonlbn kitéő nélkül epülnek. Hány k-es út egtétele után lesz epülők közötti távolság legkisebb? / Felvételi 000. áj./ 8. Adjuk eg z f ( x) sin x cos x függvény szélsőétékeit!. Adott teületű tégllpok közül elyiknek keülete iniális? 8 5. Htáozzuk eg z b szozt xiuát, h 0, b 0 és 5 7b! 6. Htáozzuk eg z jelölnek! bb cc bc kifejezés iniuát, h, b és c pozitív száokt 7. Oldjuk eg -es (kidolgozott) feldtot nevezetes közepek felhsználásávl! Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c =. Htáozzuk eg b c kifejezés xiuát! 8. Azok közül tégltestek közül, elyek téfogt felszínük kétszeese, elyiknek legkisebb téfogt? /OKTV 000./ x y 9. Bizonyítsuk be, hogy 8, feltéve, hogy x, y! (OKTV 99-9) y x 0. Htáozzuk eg z f: R R, f x x x függvény iniuát!. Egy 0 c oldlú négyzet négy skából vágjunk le egybevágó négyzetet úgy, hogy lp négy szélének felhjtásávl lehető legngyobb téfogtú dobozt kpjuk. Adjuk eg ennek téfogtát!. Adott felszínű fedetlen hengeek közül htáozzuk eg legngyobb téfogtút! 8

19 . Egy hútpéz keesztetszetű vályú övidebbik lpj és szái d hosszúk. Htáozzuk eg ezek közül nnk tpéznk szögeit, elynek teülete legngyobb!. Htáozzuk eg z x ; x x f x R függvény szélsőétékeit! x 5. Htáozzuk eg x x 8x 6x 0 kifejezés iniuát! 6. Htáozzuk eg következő függvény szélsőétékét! f ( x) sin x sin xcosx cos x, x R 7. Htáozzuk eg következő kifejezés iniuát, h sinx 0 és cosx 0 K= sin x sin x cos x cos 8. Mutssuk eg, hogy K = 5x x log y + log y kifejezés étéke ngyobb -nél! x--x / Felvételi 996. ájus/ 9. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt felülől kolátos! n Megjegyzés: x Ebből és. kidolgozott feldtból következik, hogy z n n soozt konvegens. n A soozt htáétékét e-vel jelöljük Eule svájci tetikusól. e,788) Az jánlott feldtok egoldási. Bizonyítsuk be, hogy báely negtív szánk és ecipokánk összege legfeljebb ( ). Legyen < 0 vlós szá. Az állítás:. 9

20 Legyen b = > 0. Alklzzuk b-e és egyenlőtlenséget: -e szátni és étni közép közti b b b. b b Visszhelyettesítve b helyée ( )-t, bizonyítndó egyenlőtlenséget kpjuk. Egyenlőség kko és csk kko áll fenn, h b =, zz =. (Megjegyzés: H ekvivlens átlkításokkl egy igz állítást kpunk, kko ez z eedeti állítás is teljesül. H z egyenlőtlenséget z < 0 szál szoozzuk, jd endezzük, kko z egyenlőtlenséget kpjuk, i inden szá fennáll.). Az A, B és C váosok egyástól vló távolság AB= 600 k, BC=800 k, AC=800 k. A-ból B- be és B-ből C-be egy időben indul egy-egy epülőgép. A gépek ugynkko sebességgel, zonos gsságbn, egyenes vonlbn kitéő nélkül epülnek. Hány k-es út egtétele után lesz epülők közötti távolság legkisebb? / Felvételi 000. áj./ Tegyük fel, hogy gépek y k-t epültek. A két gép közötti d távolság négyzete z EBD háoszöge felít koszinusztétellel kiszáolhtó: d y 600 y y600 y 8, ivel cos. 8 Ebből endezés után két gép távolságánk négyzetée következő ásodfokú függvényt kpjuk: f y y 650y , hol 0 y

21 Teljes négyzetté kiegészítés után leolvshtó z f függvény szélsőétékhelye és étéke. f y y f iniuhelye y = 00. A két gép közti távolság 00 k egtételeko iniális. Ekko távolságuk 500 k 5, k. 8. Adjuk eg z f ( x) sin x cos x függvény szélsőétékeit! Végezzük el z lábbi átlkításokt: sin x cos x sin x cos x f ( x) sin x cos x Alklzzuk következő zonosságot: sin x cos x sin x cos x sin x x cos. Így f ( x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 8 x sin Jelöljük sin x -et -vl és vizsgáljuk z lábbi ásodfokú függvényt: g() = + ; (0 ). x Teljes négyzetté kiegészítéssel g() = ( ) dódik.

22 Ez függvény ( [0; ] intevlluon) szigoún onoton csökken, xiu g(0) =, iniu g() =. Az f függvény xiuhelyét sin x=0, iniuhelyét sin x = egyenletek egoldási dják. Az f függvény xiuhelyei: n ; n Z, étéke:, iniuhelyei: + n ; n Z, étéke:.. Adott teületű tégllpok közül elyiknek keülete iniális? Útuttó: t b dott. k b Az. kidolgozott feldt II. egoldásábn felít b t kpjuk, hogy z dott teületű tégllpok közül négyzet keülete legkisebb: összefüggésből zt k in t. Megjegyzés: Feleülhet, hogy h fent elített feldtbn sikeült ásodfokú függvény szélsőétékének eghtáozásávl egoldni feldtot, kko tlán ez poblé is egoldhtó így. t Itt zonbn k, 0 függvény szélsőétéke dj egoldást. Ez pedig ne ásodfokú függvény.

23 5. Htáozzuk eg z b szozt xiuát, h 0, b 0 és 5 7b! Útuttó: Alklzzuk szátni és étni közép közti összefüggést z 5 és 7 b száok! Az b kifejezés xiális, h és 0 b, xiu étéke: Htáozzuk eg z jelölnek! Útuttó: bb cc bc kifejezés iniuát, h, b és c pozitív száokt Szoozzuk össze z (; b), (b; c) és (c; ) szápáok felít szátni és étni közepeke vontkozó egyenlőtlenségeket! A kifejezés iniu 8, it = b = c esetén vesz fel. 7. Legyenek, b és c -nél ngyobb száok és +b+c =. Htáozzuk eg b c kifejezés xiuát! Alklzzuk szátni és négyzetes közép közti egyenlőtlenséget! b c b c Ezt -l szoozv kpjuk: b c A kifejezés xiu 5 és ezt = b = c = esetén veszi fel. 8. Azok közül tégltestek közül, elyek téfogt felszínük kétszeese, elyiknek legkisebb téfogt? /OKTV 000./ A feltétel szeint V bc b bc c. Alklzzuk szátni és étni közép közötti egyenlőtlenséget z b, bc, c szoztok!

24 V b bc c b bc c egyenlő, zz, h b c. V, hol egyenlőség kko áll fenn, h háo szozt Tehát V V V V, iből V dódik. Egyenlőség pontosn kko teljesül, h = b = c, ezét feltételnek egfelelő tégltestek közül egység élű kockánk legkisebb téfogt. x y 9. Bizonyítsuk be, hogy 8, feltéve, hogy x, y! (OKTV 99-9) y x Vezessük be következő jelöléseket: x, b y. Bizonyítndó: b b 8. Alklzzuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenséget z pozitív száok. b és b b b b b b b b b b A z > 0 szá z z lpján, jobb oldlon álló szozt étéke leglább z z, így vizsgált kifejezés étéke leglább 8. Ezt z étéket = b = esetén veszi fel. (Ekko inden helyett = áll.) Az eedeti egyenlőtlenség inden x, y -nél ngyobb szá teljesül. x y 8, h x = y =. y x

25 0. Htáozzuk eg z f: R R, f x x x függvény iniuát! Útuttó: Alklzzuk x, x x, pozitív száok szátni és étni közép közti egyenlőtlenséget. A függvény iniu étéke:, helye:.. Egy 0 c oldlú négyzet négy skából vágjunk le négy egybevágó négyzetet úgy, hogy lp négy szélének felhjtásávl lehető legngyobb téfogtú dobozt kpjuk. Adjuk eg ennek téfogtát! Az áb jelöléseit hsználv doboz téfogt: V V 0 x x; 0 x 0 x0 x x 5 Mivel 0 x 0 x x 60 konstns, ezét lklzhtó szátni és étni közép közötti összefüggés: 60 0 x 0 x x 0 V V xiális, h 0 x = x, zz, h x = 5. A doboz xiális téfogtú, h 5x5 c -es négyzeteket vágunk le, és V x = 0 0 5c = 000 c. 5

26 . Adott felszínű fedetlen hengeek közül htáozz eg legngyobb téfogtút! A dott, V Elég xiuát eghtáozni. Ez pontosn kko lesz xiális, iko négyzete xiális. H szátni és étni közép közötti összefüggést szeetnénk lklzni, kko kell töekedni, hogy tényezők összege állndó legyen. Itt ne állndó, de szozt következő átlkításávl: á tényezők összege konstns lesz: A szátni és étni közép közti összefüggés szeint: A. V A = állndó. A felül nyitott henge téfogt xiális, h egyenlőség áll fenn. Ez kko teljesül, h zz =, henge gsság z lpkö sugávl egyenlő.,. Egy hútpéz keesztetszetű vályú övidebbik lpj és szái egység hosszúk. Htáozz eg ezek közül nnk tpéznk szögeit, elynek teülete legngyobb! 6

27 Az hegyesszögű tpéz gsság sin, hosszbbik lpj cos, teülete sin cos. Elég sin cos Alklzzuk sin cos cos közötti egyenlőtlenséget z cos, cos, cos, cos szozt négyzetének xiuát eghtáozni. cos cos cos cos összefüggést, jd szátni és étni közép 6 kifejezéseke. A tpéz teülete xiális, h tpéz szögei 60, 60, 0, 0. cos cos, iből cos, 60 dódik,. Htáozz eg z x ; x x f x R függvény szélsőétékeit! x Egy f függvény étékkészlete indzon vlós száok hlz, elye z f(x) = p egyenletnek vn egoldás. Vizsgáljuk eg ilyen p vlós száok vn egoldás z x x p x egyenletnek. A nevezővel ( 0) szoozv, és endezve kpjuk: p x x p 0. H p =, kko x = p = 0, vn egoldás z egyenletnek; H p, kko egyenletünk ásodfokú, elynek pontosn kko vn vlós gyöke, h diszkiináns nenegtív. Megoldndó z 0 Innen p 8p 0. p egyenlőtlenség. 7

28 A p 8p =0 egyenlet gyökei: egyenletnek kko vn vlós gyöke, h Összegezve:, és. A feltételt is figyelebe véve ásodfokú p ; \. Az eedeti egyenletnek kko vn egoldás ( vlós száok hlzábn), h p ;. Ebből következik, hogy vizsgált függvény iniu, xiu. (A függvény iniuhelye x =, xiuhelye x =.) 5. Htáozz eg x x 8x 6x 0 kifejezés iniuát! Útuttó: Htáozzuk eg zokt p vlós száokt, elyeke egyenletnek vn vlós egoldás! p ; kifejezés iniu. x 8x x 6x 0 p 6. Htáozzuk eg következő függvény szélsőétékeit! f ( x) sin x sin x cos x cos x, x R I. Alklzzuk z ddíciós tételeket: cos x cos x f ( x) sin x sin x cos x. sin cos x x sin x. Felhsználv, hogy sin x, kpjuk f ( x), tehát függvény iniu, xiu pedig. 8

29 (A függvény iniuhelyei sin x egyenlet gyökei: xiuhelyei sin x egyenlet gyökei: + kπ, k Z.) + nπ, n Z, II. Htáozzuk eg zokt p péteeket, elyeke z lábbi egyenletnek vn egoldás! sin x sin xcos x cos x p! p pcos x psin x felhsználásávl kpjuk: p x sin xcosx pcos x 0 sin. p esetén z egyenlet cos xsin x cos x 0 lk hozhtó, elynek egoldási cos x 0 és tg x egyenlet gyökei. Ezét p = elee függvény étékkészletének. p esetén cosx 0 ne egoldás, (et ez esetben sinx=0 is fennálln, i lehetetlen sin x + cos x = zonosság itt,) így cos x-szel oszthtunk és egyenletünk következő lesz: p x tg x p 0 tg. Ez feltétel szeint (tgx)-ben ásodfokú, s kko vn egoldás, h p p 0 D. A p-e kpott ásodfokú egyenlőtlenség egoldás ; + intevllu. Mivel fenti intevllunk p= elee, ezét ez egyben függvény étékkészlete, és így függvény iniu, xiu pedig,. 7. Htáozzuk eg következő kifejezés iniuát, h sinx 0 és cosx 0 K= sin x cos x! sin x cos x Az első ötlet z lehetne, hogy lklzzuk tetszőleges pozitív szá vontkozó egyenlőtlenséget: sin x cos x 8. sin x cos x Kédés, hogy K-nk iniu-e 8, vgyis vn-e olyn x vlós szá, elye kifejezés étéke 8. Egyenlőség kko álln fenn, h sin x cos x, i ne lehetséges. Ezét bá vizsgált kifejezés étéke leglább 8, ne 8 iniu. 9

30 Ennek ok z, hogy ne vettünk figyelebe egy fontos feltételt: sin x cos x. Alklzzuk négyzetes és szátni közép közötti összefüggést b b, hol sin x sin, és x cos x! () cos x b sin x cos x K sin cos sin cos x x x x sin x A () egyenlőtlenséget 0 sin x egyenlőtlenségből kptuk. Négyzete eelés után K 5 dódik. 5. A 5 kko iniu kifejezésnek, h vn olyn x vlós szá, elye egyenlőség áll fenn. A () egyenlőtlenség kko válik egyenlőséggé, h sin x, zz h sin x =, k x (k Z). Ebben z esetben ()-nél is egyenlőség áll fenn, ugynis ezeke z 5 x-eke sin x = cos x = s így ezeke z x vlós száok sin x cos x K=, 5. Tehát K kifejezés iniu,5. 8. Mutssuk eg, hogy K = 5x x log y + log y x--x kifejezés étéke ngyobb -nél! Állpítsuk eg, hogy kifejezés változók ely étékeie ételezett! x: Meghtáozzuk x + 5x 0 és x + x > 0 egyenlőtlenségek közös egoldásit. < x < ; y: y > 0 ; y (ezeke log y > 0 és log > 0). 0

31 Mivel fenti hlzon indkét tg pozitív étékű, lklzhtó szátni és étni közép közötti egyenlőtlenség: log K = 5x x y log y + x--x 5x x x--x (Figyelebe vettük z log = zonosságot.) A száláló és nevező szozttá lkításávl kpjuk: (x ) ( x) K (x ) ( x) = x. Vizsgáljuk z f(x) = ; xε]; [ függvényt. Az f függvény szigoún onoton nő, x > itt > + =, így K > =, it bizonyítni ktunk. 9. Igzoljuk szátni és étni közép közti egyenlőtlenség felhsználásávl, hogy z n n soozt felülől kolátos! n

32 Útuttó: Igzoljuk, hogy soozt egyik felső kolátj. Ehhez fenti n tényezős szoztot szoozzuk -del, jd lklzzuk z így kpott n+ szá szátni és étni közép közötti egyenlőtlenséget. IV. Ellenőző feldtok:. Mekkoák z oldlú szbályos háoszögbe ít xiális teületű tégllp oldli?. Adjuk eg z x 5 tgx + 0 ctgx függvény étékkészletét!. Htáozz eg z f: ]0; ] R; f(x) = x(6 x) függvény xiuát!. Vn-e xiális, ill. iniális téfogtú d lkotójú fogáskúpok között? H vn, ekko sug, gsság és téfogt? 5. Az 5 c felszínű hengeek közül elyiknek téfogt xiális? Adj eg xiális téfogtú henge sugát, gsságát és téfogtát! 6. Adott fogáskúpb íhtó fogáshengeek közül elyiknek legngyobb téfogt? 7. Állpítsuk eg z x x 6x 6 f függvény szélsőétékeit. x x 5 Az ellenőző feldtok egoldási. Mekkoák z oldlú szbályos háoszögbe ít xiális teületű tégllp oldli?,. Adjuk eg z x 5 tgx + 0 ctgx függvény étékkészletét! ]- ; -0] [0; [. Htáozz eg z f: ]0; ] R; f(x) = x(6 x) függvény xiuát! A xiu étéke, helye :.. Vn-e xiális, ill. iniális téfogtú d lkotójú fogáskúpok között? H vn, ekko sug, gsság és téfogt? Miniális nincs, xiális téfogtú fogáskúp gsság d, sug 6 d,

33 téfogt d. 5. Az 5 c felszínű hengeek közül elyiknek téfogt xiális? Adj eg xiális téfogtú henge sugát, gsságát és téfogtát! A xiális téfogtú henge sug c, gsság 6c, téfogt 5π c. 6. Adott fogáskúpb íhtó fogáshengeek közül elyiknek legngyobb téfogt? Az R sugú, M gsságú kúpb íhtó xiális téfogtú henge lpköének R sug:, gsság: M, Vx R M Állpítsuk eg z x x 6x 6 f függvény szélsőétékeit. x x 5 Miniu:, xiu: