KOORDINÁTATRANSZFORMÁCIÓK MEGOLDÁSA SZÁMÍTÓGÉPES

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSAKI ÉS GADASÁGTUDOMÁNI EGETEM ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR ÁLTALÁNOS- ÉS FELSŐGEODÉIA TANSÉK KOORDINÁTATRANSFORMÁCIÓK MEGOLDÁSA SÁMÍTÓGÉPES ALGEBRA ÉS NEURÁLIS ÁLÓATOK FELASNÁLÁSÁVAL Ph.D. értekeés ALETNIK PIROSKA okl. földmérő és térnformatka mérnök Témaveetők: Dr. Völges Lajos egetem docens a MTA doktora BME Általános- és Felsőgeodéa Tansék Dr. Palánc Béla egetem tanár a MTA doktora BME Fotogrammetra és Térnformatka Tansék BUDAPEST, 7

2 Tartalomjegék. BEVEETÉS SÁMÍTÓGÉPES ALGEBRA ALGEBRAI EGENLETRENDSEREK MEGOLDÁSA SÁMÍTÓGÉPES ALGEBRA DION REULTÁNS... 7 FELASNÁLÁSÁVAL. A TÉRBELI D ELMERT ASONLÓSÁGI TRANSFORMÁCIÓ SIMBOLIKUS MEGOLDÁSA..... TÉRBELI TRANSFORMÁCIÓS MODELLEK..... A TÉRBELI ELMERT TRANSFORMÁCIÓ PARAMÉTEREINEK MEGATÁROÁSÁRA SOLGÁLÓ..... SIMBOLIKUS MEGOLDÁS A EGENLETEK REDUKÁLÁSÁVAL NUMERIKUS SÁMÍTÁSOK NUMERIKUS SÁMÍTÁSOK ALAPÁN LEVONATÓ KÖVETKETETÉSEK... EGENLETEK FELÍRÁSA. A 9 PARAMÉTERES TÉRBELI D AFFIN TRANSFORMÁCIÓ SIMBOLIKUS MEGOLDÁSA A PARAMÉTEREK MEGATÁROÁSÁRA SOLGÁLÓ EGENLETEK FELÍRÁSA... SIMBOLIKUS MEGOLDÁS EGVÁLTOÓS POLINOMRA TÖRTÉNŐ REDUKÁLÁSSAL Eltolás paraméterek kküsöbölése smeretlenes algebra egenletrendser redukálása egenletre A méretarán téneőt tartalmaó egenletrendser redukálása egenletre 9.. Eg méretarán téneőt tartalmaó polnom előállítása és megoldása..... A TRANSFORMÁCIÓ PARAMÉTEREINEK MEGATÁROÁSA..... Méretarán téneők meghatároása..... Forgatás mátr elemenek meghatároása..... Eltolás paraméterek meghatároása..... A NUMERIKUS SÁMÍTÁSOK EREDMÉNEI TÉRBELI TRANSFORMÁCIÓ MEGOLDÁSA N PONT ESETÉRE A LEGKISEBB NÉGETEK MÓDSERÉNEK KÖVETLEN ALKALMAÁSÁVAL MEGOLDÁS A CÉLFÜGGVÉN PARAMÉTEREK SERINTI SIMBOLIKUS DERIVÁLÁSÁVAL Térbel hasonlóság transformácó n pont esetében Térbel affn transformácó n pont esetében NUMERIKUS VISGÁLATOK 8 PONT ALAPÁN A 7 paraméteres transformácó megoldása 8 pont alapján A 9 paraméteres transformácó megoldása 8 pont alapján A NUMERIKUS MEGOLDÁS KONVERGENCIÁA A SIMBOLIKUS SÁMÍTÁSOKBAN SEREPLŐ PONTÁRMASOK GEOMETRIAI... 5 ELELEKEDÉSÉNEK ATÁSA 6. VÍSINTES D TRANSFORMÁCIÓ WGS8-EOV RENDSEREK KÖÖTT ELKÜLÖNÜLŐ VÍSINTES ÉS MAGASSÁGI TRANSFORMÁCIÓK D D VÍSINTES TRANSFORMÁCIÓ A OGPS PONTOK VISGÁLATA WGS8 EOV KOORDINÁTATRANSFORMÁCIÓ ALGEBRAI POLINOMOKKAL WGS8 EOV KOORDINÁTATRANSFORMÁCIÓ NEURÁLIS ÁLÓATOKKAL ÖSSEFÜGGÉS A NEURÁLIS ÁLÓATOK ÉS A POLINOMOKAT ALKALMAÓ MODELLEK APPROIMÁCIÓS TULADONSÁGAI KÖÖTT 7. MAGASSÁGI TRANSFORMÁCIÓ D KOMBINÁLT GPS, SINTEÉSI ÉS GRAVIMETRIAI ADATOK FELASNÁLÁSÁVAL GPS GEOID ÉS GRAVIMETRIAI GEOID KOMBINÁCIÓA KORREKCIÓS FELÜLET ASNÁLATÁVAL KORREKCIÓS FELÜLET MODELLEK A ADATOK ELŐKÉSÍTÉSE... 77

3 A MODELLEK ATÉKONSÁGVISGÁLATÁNAK MÓDSERE A ALKALMAOTT MODELLEK EREDMÉNEI ELTÉRÉSEK VISGÁLATA A TEST PONTOKBAN A OGPS PONTOK MAGASSÁGI TRANSFORMÁCIÓÁNAK VISGÁLATA... 8 ÖSSEFOGLALÁS, EREDMÉNEK ASNOSÍTÁSI LEETŐSÉGEI IRODALOMEGÉK MELLÉKLETEK MELLÉKLET 7 PARAMÉTERES TRANSFORMÁCIÓ CÉLFÜGGVÉNÉNEK PARAMÉTEREK SERINTI SIMBOLIKUS DERIVÁLTAI EGSÉGSÚLOK ALKALMAÁSA ESETÉN MELLÉKLET A 7 PARAMÉTERES TRANSFORMÁCIÓ CÉLFÜGGVÉNÉBŐL PARAMÉTEREK SERINTI SIMBOLIKUS DERIVÁLÁSSAL ELŐÁLLÍTOTT 7 EGENLET EGÜTTATÓI N PONTRA VONATKOTATVA, EGSÉGSÚLOKAT ALKALMAVA MELLÉKLET A 7 PARAMÉTERES TRANSFORMÁCIÓ SÚLOÁSSAL ELŐÁLLÍTOTT CÉLFÜGGVÉNE ÉS PARAMÉTEREK SERINTI SIMBOLIKUS DERIVÁLÁSA N PONTRA VONATKOTATVA.... MELLÉKLET A 9 PARAMÉTERES TRANSFORMÁCIÓ CÉLFÜGGVÉNÉBŐL PARAMÉTEREK SERINTI SIMBOLIKUS DERIVÁLÁSSAL ELŐÁLLÍTOTT 9 EGENLET EGÜTTATÓI N PONTRA VONATKOTATVA, EGSÉGSÚLOKAT ALKALMAVA MELLÉKLET A D7 ÉS ETRS89 RENDSEREK KÖÖTTI 7 PARAMÉTERES TRANSFORMÁCIÓ MEGOLDANDÓ EGENLETEI 8 KÖÖS PONT ALAPÁN MELLÉKLET A D7 ÉS ETRS89 RENDSEREK KÖÖTTI 9 PARAMÉTERES TRANSFORMÁCIÓ MEGOLDANDÓ EGENLETEI 8 KÖÖS PONT ALAPÁN... -RE 7. MELLÉKLET A TÉRBELI AFFIN TRANSFORMÁCIÓ SIMBOLIKUS MEGOLDÁSA SORÁN KAPOTT EGISMERETLENES POLINOM MELLÉKLET RADIÁLIS BÁISÚ INTERPOLÁCIÓ SÓRT PONTOKRA EDWARD. KANSA ALAPÁN

4 Kösönetnlvánítás Seretném megkösönn elsősorban két konulensem segítségét, Dr. Völges Lajosét, aknek kösönhetem, hog a geodéának és a nformatkának aal a érdekes határterületével kedtem foglalkon, amel magába foglalja mnd a mesterséges neuráls hálóatok, mnd a sámítógépes algebra geodéa alkalmaását, és ak aóta s folamatosan segített sakma tanácsaval és Dr. Palánc Béláét, ak sntén tanácsokkal látott el már a kutatás munkám kedete óta elsősorban nformatka és matematka kérdéseket lletően. Kösönöm nek a hhetetlen türelmét, tanácsat, javaslatat, a sakma vtákat, határdőket és a bátorítást, amelet kaptam tőle. Sntén kösönetet seretnék mondan Erk W. Grafarend professornak, ak három hónapos stuttgart kutatóutamon a konulensem volt és ak Dr. oseph L. Awange-val egütt segített a geodéában felmerülő nemlneárs algebra egenletek smbolkus megoldás lehetőségenek tanulmánoásában. És termésetesen kösönöm a Magar Állam Eötvös Östöndíj anag támogatását s, amvel lehetővé tette et a kutatóutat. Kösönettel tartoom még a Általános- és Felsőgeodéa Tanséken dolgoó kollégámnak és Dr. Ádám ósef tansékveetőnek, hog segítettek a dolgoatom megírására fordítható dő előteremtésében, és Dr. Keneres Ambrusnak, hog bekapcsolódhattam eg a BME és a FÖMI Penc Komkus Geodéa Observatóruma által köösen végett kutatás munkába, lletve Dr. Krchner Istvánnak, ak ebben a projektben sntén sokat segített a végeselem módserrel végett vsgálatok softveres hátterét lletően. Kösönöm még Dr. Popper Görg matematkusnak, hog átnéte a dssertácómat és segített a matematka nelveet heles hasnálatát llető kérdésekben. Végeetül, de termésetesen nem utolsósorban kösönöm a népes családom és barátam segítségét, és a bítatást, amt kaptam tőlük.

5 . Beveetés A értekeés témájául válastott koordnátatransformácó a geodéa egk gakran felmerülő feladata, kösönhetően a több különböő koordnáta-rendser, vetület egdejű alkalmaásának. A technka fejlődésével egütt folamatosan új átsámítás feladatok megoldása válk sükségessé. Íg például a GPS alkalmaók sámának növekedésével a haa geodéának a egk legaktuálsabb feladatává vált a GPS koordnáta-rendseréből, a globáls, ellpsod WGS8 rendserből, a lokáls, ferdetengelű, süllestett hengervetületre, a Egséges Orságos Vetületre történő átsámítás EOV, vags a globáls és lokáls rendserek köött transformácó. A téma fontossága matt termésetesen már korábban s sokan foglalkotak koordnátatransformácóval és több modellt dolgotak k a probléma megoldására. A nformatka fejlődésével aonban újabb esköök kerültek felhasnálásra, lehetővé téve a transformácók gorsabb, hatékonabb, pontosabb elvégését. A egk len új eskö a sámítógépes algebra rendserek megjelenése, melek ntegrálják a legkorserűbb numerkus és smbolkus matematka algortmusokat, programohatóságot és magas sntű grafkus megjelenítést lásd pl. Freeman 99, elton and Merno 998, Bellomo et al. and Romen, és végül eg nterneten elérhető publkácó: Gnsburg et al: The stor of the Calculus and the Development of Computer Algebra Sstems. A sámítógépes algebra renserek Computer Algebra Sstem - CAS nag mennségű beépített matematka tudást tartalmanak, repreentálva a ma matematka smereteket, algortmusokat. Nag segítséget nújtanak a kutatások végéséhe s, leegserűsítve és meggorsítva sámos matematka probléma megoldását. Segítségükkel smbolkusan megoldható sok nemlneárs probléma, lletve jól hasnálhatóak globáls és lokáls sélsőértékek megkereséséhe s. A geodéa sámos területén alkalmaták hatékonan eeket a rendsereket aneberg, Awange és Grafarend 5. Nemetkö snten a Stuttgart Egetem Geodéa és Geonformatka Tansékén folnak kutatások a geodéában előforduló nemlneárs, elsősorban algebra, egenletrendserek smbolkus megoldására vonatkoóan, neves sakemberek köreműködésével. 6 decemberétől 7 februárjág, eg három hónapos kutató östöndíjat elnerve, a Magar Állam Eötvös Östöndíj támogatásával módomban állt een a tanséken a fent témakörben kutatásokat foltatn. Eg másk, újnak teknthető nformatka eskö, a mesterséges neuráls hálóatok alkalmaása, sntén korserű és hatékon megoldást jelenthet a koordnátatransformácóval össefüggő nemlneárs problémákra. Mesterséges neuráls hálóatok geodéa alkalmaásával kapcsolatban a tansékünkön s több éve folnak kutatások. Én -ben kedtem el foglalkon eel a területtel eg Tudomános Dákkör Dolgoat keretében és később a dplomamunkámat s ebből a témából írtam. A koordnátatransformácó aktualtását a s mutatja, hog haa snten s több kutatóhelen foglalkonak a eel össefüggő mérések, sámítások, hatékonabbá, pontosabbá tételének vsgálatával. A taval évben rést vettem tansékünknek a FÖMI Penc Komkus Geodéa Observatórumával köösen végett kutatás munkájában, ahol a magasság transformácóho hasnálható korrgált geodfelület előállításának módseret vsgáltuk. 5

6 Kutató munkám célja egrést a hagománosan legnkább elterjedt térbel hasonlóság és affn transformácó új smbolkus megoldásának kdolgoása volt, annak érdekében, hog a egenletek hagomános megoldásánál alkalmaott lnearálás és a sokásos elhanagolások alkalmaása sükségtelenné váljon. A jelenleg hasnálatos modellek paraméterenek meghatároásánál ugans többnre olan egserűsítő feltételeésekkel élnek, hog a forgatás sögek ks értékűek, lletve a méretarán téneő eghe köel értékű, és íg a forgatás sögek és a mérataránténeő váltoásának sorata elhanagolhatóak, lletve a sögfüggvének egserűbb össefüggésekkel helettesíthetőek. Ám eek a feltételeések sámos esetben nem állják meg a helüket. Ma a leggakrabban a hasonlóság és affn transformácókat alkalmaák, bár a WGS8 - EOV transformácót lletően többnre csak lokálsan, mvel a egés orságra egséges paraméterkéslet alkalmaása a mamáls fél méteres hbával nem btosítja a geodéa pontosságot. Éppen eért a kutatás másk célja a volt, hog a WGS8 EOV átsámításokra meghatároak eg olan transformácót, mel megfelelő pontossággal egségesen hasnálható a orság egés területére mnd vísntes, mnd magasság értelemben. Ehhe a FÖMI-től kapott 5 OGPS pontot hasnáltam fel, ameleknek koordnátá mndkét rendserben smertek voltak. A megfelelő pontosságú megoldásho külön vísntes és magasság transformácót határotam meg, a hagománosnál jóval több paramétert alkalmaó modellek segítségével. A hasonlóság és affn transformácó paraméterenek meghatároására solgáló algebra egenletrendserek megoldásáho Gröbner básokat és Don reultánst alkalmatam. A OGPS pontjanak felhasnálásával előállított vísntes és magasság transformácók megvalósítására pedg különböő sok paraméteres modelleket vsgáltam meg, mnt például algebra polnomokat, neuráls hálóatokat, support vector machnes-t, végeselem módsert és splne nterpolácót. A vsgálatokat a Mathematca sámítógépes algebra rendser felhasnálásával végetem lásd Wessten: MathWorld nevű nternetes smertetőjét. 6

7 . Sámítógépes algebra.. Algebra egenletrendserek megoldása sámítógépes algebra felhasnálásával A földtudománokban gen gakorak a nemlneárs, általában algebra egenletrendserre veető problémák. Ilen például a GPS-sel történő helmeghatároás, előmetsés, hátrametsés és termésetesen a koordnátatransformácó s. Sámos len nemlneárs feladat megoldására találhatunk példát a geodéa sakrodalomban: Bancroft 985; Grafarend és Shan 996; Snger et al. 99; Kleusberg 99, ; Lchtenegger 995; Awange és Grafarend 5. E utóbb különböő módsereket smertet a fent feladatok megoldására, mnt például Gröbner bások, Slvester reultáns és multpolnomáls reultáns Macaula és Strumfels formula hasnálata. Eg másk sámítógépes algebra megköelítése a problémának, amel korábban eddg nem serepelt a geodéa sakrodalomban, a Don reultáns módsere. A dolgoatom első felében alapvetően eel a módserrel lletve ennek a Gröbner básokkal való össehasonlításával fogok foglalkon a térbel koordnátatransformácók vonatkoásában. Mvel a Gröbner bások elve és alkalmaás lehetősége a külföld rodalomban résletesen megtalálható Buchberger 985; Awange és néhán haa munkában s előfordul Popper ; ávot 5, eért csak a Don reultáns elvét és módserét smertetem résletesen, amelnek nncs magar nelvű sakrodalma és amelnek, mnt at említettem, a geodéa alkalmaása újserű Palánc et al. 7a, b; aletnk et al 7b. A sámítógépes algebra módserek lénege, hog a többváltoós algebra egenletrendserek megoldásakor, ahol a egenletek n és a váltoók m sáma egenlő egmással mn, a váltoók és íg termésetesen a egenletek sámát s gekenek m-ről -re csökkenten. Eután a kapott egsmeretlenes, de rendsernt magas foksámú algebra polnom, mnt egenlet már numerkusan megoldható, aa göke numerkusan meghatárohatók. Een a elven alapul a két fent említett módser Gröbner bás, Don reultáns alkalmaása s. Termésetesen mndkét eljárásnak vannak előne és hátrána s. Bonos esetekben a Gröbner bások a hatékonabbak, más esetekben pedg a Don reultáns. Általában mndkét módserrel uganarra a eredménre jutunk, de léneges különbségek lehetnek a sámítás dőgén tekntetében. A dolgot még bonolíthatja, hog mnd a Gröbner bások mnd a Don reultáns előállítása s különböő algortmusokkal lehetséges, lásd, pl. Buchberger ll. Gröbner-walk algortmus a Gröbner bások előállítására Quoc-Nam Tran... Don reultáns A nemlneárs algebra egenletek megoldására solgáló Don reultáns 98-ból sármak Don 98. Don általánosította Cale formuláját Cale 865 a Beout módserre vonatkoóan, két algebra egenlet megoldásáról három egenletre. A módser újabb általánosítását Kapur, Saena és ang adta meg Kapur, Saena és ang 99. Legen f és g két polnom, független váltoóval. Legen deg egenlő f és g mamáls foksámával, a pedg legen eg segédváltoó. Ekkor a követkeő 7

8 össefüggést, amel eg smmetrkus polnom -re és a-ra és foksáma egenlő deg--gel, f és g Don polnomjának neveük: f g δ, a.. a f a g a δ, a értéke f és g köös érushelenél mndg nulla les, függetlenül a-tól. Ebből követkek, hog a δ, a kfejeésben, a polnomok köös gökenél a a mnden hatvánának egütthatója a egenlő nullával Nakos és Wllams 997. Mátros alakban et felírva: M [deg deg] deg [deg ],. [deg ] ahol M mátr oslopaban a egüttható serepelnek, deg-. E eg homogén lneárs egenletrendserhe veet ha a,,, deg- váltoók helett v, v,, v deg váltoókat veetjük be: M v v... v deg deg... deg deg,.. deg, A egenletrendsernek csak akkor van a trválstól eltérő megoldása, ha a M mátr D determnánsa érus. D-t a f és g polnomok Don reultánsának nevek, M pedg a megfelelő Don mátr. A előbbekből követkek, hog a Don reultáns érus értéke sükséges feltétel a f és g köös érushelének léteésére. E a Beout módser Cale-féle formulája. Don et általánosította smeretlenes egenletből álló egenletrendserre. Magaráatul néünk néhán konkrét példát..példa f g. Megoldás: A Don polnom a követkeő: δ, a a a a a a a a a a a a a 8.5 8

9 Össegűjtve a, a, a egütthatót a fent Don polnomban, a köös érushel léteése esetén a követkeő össefüggéseknek kell teljesülne: 8.6 Tehát a megfelelő Don mátr és Don reultáns a követkeő les: 8 M, és D.7 Mvel a egenleteknek van köös göke a Don reultáns értékének a sükséges feltétel sernt nullának kell lenne, am ga s. Aonban a gök értékére nem kapunk nformácót, hsen D aonosan egenlő nullával. Néünk eg másk példát paraméter hasnálatával.. példa Néünk két egsmeretlenes polnomot π paraméterrel: g f π π π.8 Írjuk fel a Don polnomjukat: , a a a a a a a a a a a a a a a a a a π π π π π π π π π π π π δ.9 A f és g köös gökének léteése esetén a polnom független a -től, tehát a egüttható aonosan egenlők nullával. a : π π a :. 8 π π π a : π π π Mátros alakban írva uganet: π π π π π π π π. E a egenletrendser,, váltoóra homogén lneárs. A Don mátr: 9

10 π π π π π π π π M. A egenletrendsernek akkor van a trválstól eltérő megoldása, ha M mátr determnánsa, a Don reultáns D értéke nulla, amel most a π paraméter alább polnomja 8 8 π π π D. Ennek a egsmeretlenes polnomnak a érushelet meghatárova megkapjuk a π paraméter aon értéket, amkor a egenletrendserben sereplő f és g polnomnak köös érushele van. π, π, π. Et a elvet lehet felhasnáln a kétváltoós, két egenletből álló algebra egenletrendser megoldásakor, amkor a egk váltoót elmnáljuk a rendserből és a másk váltoóra mnt a példában a paraméterre kapott egsmeretlenes polnom érushelet meghatárova megkapjuk a algebra egenletrendser megoldását. Don általánosította Cale formuláját egenletre Don 98. Tekntsük a követkeő három háromváltoós polnomot:,,,,,, h g f.5 A Don polnom defnícója három váltoóra:,,,,,,,,,,,,,,,,,, det,,,, h g f h g f h g f ξ ξ ξ ξ ξ δ..6 ahol, ξ segédváltoók..példa Néük a követkeő háromváltoós egenletrendsert: h g f.7 A Don polnomja a követkeő:

11 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ δ det,,,,.8 Elmnáljuk a váltoót a egenletrendserből. Ehhe rendeük a Don polnomot a alább alakra, kemelve és csoportosítva j egütthatót, j :,,,, ξ ξ ξ δ.9 A egenletrendser egüttható a követkeőek lesnek: ξ ξ ξ ξ A ennek megfelelő Don mátr: M,. a determnánsa, aa a Don reultáns pedg: D Néük meg grafkusan a eredet egenletrendser megoldásat a. ábrán, ahol a eges egenleteknek megfelelő hengerek metséspontja adják a megoldást.. ábra A egenletrendser megoldása

12 A Don reultáns segítségével redukáltuk a feladatot egsmeretlenes polnom érushelenek a meghatároására, lásd. ábra.. ábra A megoldás koordnátájának értéke A fent eljárás a több váltoóra vonatkoóan értelemserűen, hasonlóan megsmételhető. Don bebonította, hog három másodfokú polnom köös érushele léteésének sükséges feltétele, hog a Don reultáns értéke nulla legen. Don módsere és annak bonítása tovább általánosítható n darab n-ed fokú, n smeretlenes polnom köös érushelenek léteésére résletekre vonatkoóan lásd Kapur, Saena és ang 99.

13 . A térbel D elmert hasonlóság transformácó smbolkus megoldása.. Térbel transformácós modellek A geodéában gen fontos feladat a koordnátatransformácó, melnek sokféle módsere alakult k a dők folamán. A koordnáta-rendserek dmenója sernt lehetnek kétdmenós síkbel vag háromdmenós térbel transformácók, lehet globáls eg egés orságra, nagobb régóra kterjedő vag lokáls, hel transformácó, de a alkalmaott paraméterek sámát lletően s többféle transformácós modellt smerünk. ó áttekntést találhatunk eekről a transformácókról pl. a Műholdas helmeghatároás című könvben Ádám et al. A legelterjedtebb koordnátatransformácó a hasonlóság vag elmert transformácó, síkkoordnátáknál, térbel koordnáták esetében pedg 7 paraméterrel eltolás, elforgatás és eg méretarán téneő. A hasonlóság transformácó paraméterenek a meghatároására több modell s smert, len pl. a Burša Wolf modell Burša 967, Wolf 96, a Mologenskj Badekas modell Molodenskj et al 96, Badekas 969, a Ves modell Ves 96, a Krakwsk Thomson modell Krakwsk, Thomson 97 vag a Wells Vanček modell Wells, Vanček 975. Eek a modellek a 7 paraméteres transformácó felírásakor sámos egserűsítéssel élnek, - pl. feltételek a forgatás sögek ks értéket és a méretarán téneő csekél mértékű eltérését a egtől - amelek aután a modell lnearálását eredmének. Mndeekről magar nelven almos 98 ckkében találhatunk eg össefoglaló leírást. Bonos esetekben a hagomános térbel 7 paraméteres hasonlóság transformácó nem nújt kelégítő pontosságot a két rendser köött nagmértékű torulások matt. A maradék eltérések csökkentése érdekében eért hétnél több paraméteres modelleket s soktak alkalman. A 9 paraméteres térbel affn transformácó a 7 paraméteres transformácó általánosítása, amkor a egetlen méretarán téneő helett különböő méretarán téneőt alkalmanak a koordnátatengel ránában. Späth a maradék eltérések vektorának numerkus mnmalálásával határota meg a 9 paramétert, Papp és Sűcs 5 a 7 paraméteres Burša-Wolf modellt terjestette k 9 paramétere. Watson 6 kmutatta, hog a Gauss-Newton módser lletve váltoata hatékonan alkalmahatóak a 9 paraméteres transformácóra s, a váltoók sétválastásával és a forgatás sögekre önállóan alkalmaott terácóval, mköben a több paraméter a legksebb négetek módserével sámítható a lnearálást követően. Megemlítendő még, hog a 9 paraméteres térbel affn transformácó néhán GPS hasnálók sámára kfejlestett koordnátatransformácós softverben s alkalmaásra kerül lásd. Mathes és Fröhlch és Bröker. Létenek klencnél több paramétert tartalmaó modellek s. Wolfrum 99 a előő klenche még eg tedk paramétert adott, a méretarán téneő eg vísntes ránú mamáls torulását. Grafarend és Kampmann 996 eg paraméteres sögtartó dátum transformácót dolgoott k, a paraméterek legnagobb valósínűségű numerkus becslését alkalmava.

14 A előbbeken kívül vannak lénegesen több paramétert alkalmaó modellek s, például polnomokkal történő transformácók Völges et al 996, és Ca, Grafarend és mesterséges neuráls hálóatokkal dolgoó modellek Bars 999, aletnk. A követkeőkben a térbel hasonlóság és affn transformácó megoldására mutatok be eg-eg új módsert, ameleket a sámítógépes algebra nújtotta lehetőségeket felhasnálva dolgotam k. A módserek legnagobb előne a korábbakho képest, hog bármekkora forgatás sögekre, méretarán téneőre alkalmahatóak, mvel nem tartalmanak egserűsítéseket, elhanagolásokat, sem a egenletek lnearálását, íg nem génlk a paraméterek értékenek eg köelítő, előetes becslését sem. Elősör köös pont smeretében adok smbolkus megoldást mndkét nemlneárs algebra problémára, majd bemutatom a n > pont esetére, a legksebb négetek módserének követlenül a nemlneárs modellre történő alkalmaásával kdolgoott módsert, sntén a sámítógépes algebrát felhasnálva... A térbel elmert transformácó paraméterenek meghatároására solgáló egenletek felírása Tekntsük a elmert-féle 7 paraméteres térbel hasonlóság transformácót amt a nemetkö sakrodalomban gakran C 7 rövdítéssel jelölnek a Conformal 7 parameter D transformaton-nek megfelelően, amel három eltolás paraméter,,, három tengel körül forgatás α, β, γ és eg m méretarán téneő alkalmaásával transformálja a koordnátákat a egk rendserből a máskba lásd. ábra. m R [ ],. ahol R a forgatás mátr, m a méretarán téneő,,, pedg a három eltolás paraméter és,, lletve,, a P pont koordnátá a első és a másodk koordnáta-rendserben.

15 P. ábra Térbel D koordnátatransformácó A forgatás mátrra fenn kell állna a követkeő össefüggésnek: T I R R,. ahol I a háromdmenós egségmátr. A R forgatás mátr előállítható eg ferdén smmetrkus S mátr segítségével hang 99, Csepreg, Somog 969: a b a c b c S. S I S I R. aa c b a c b a c b a bc a c b a ac b c b a bc a c b a c b a c b a c ab c b a ac b c b a c ab c b a c b a R..5 A transformácót jellemő egmást követő tengel körül forgatás sög α, β, γ vssaállítható a forgatás mátr smeretében lásd a alább kegésítést Kegésítés: A három egmást követő tengel körül forgatásokat leíró három söget eges sakrodalmak Euler-sögeknek Korn és Korn 975 mások Cardan sögeknek nevek Awange és Grafarend 5. Eekkel a sögekkel a forgatás mátrot a követkeőképpen írhatjuk fel: 5

16 γ β α R R R R,.6 ahol cos sn, cos sn, cos sn sn cos γ γ γ β β β α α α α α R R R sn cos sn cos γ γ β β,.7 aa β α γ α γ β α γ α γ β α β α γ α γ β α γ α γ β α β γ β γ β γ β α cos cos cos sn sn sn cos sn sn cos sn cos cos sn cos cos sn sn sn sn cos cos sn sn sn sn cos cos cos,, R..8 A ferdén smmetrkus mátr segítségével felírt forgatás mátr elemenek felhasnálásával a forgatás sögek s ksámíthatóak: arctan, arctan, arctan r r r r r r r γ β α,.9 ahol r,j a forgatás mátr eleme. A tengel körül forgatás sögek hasnálata nagon semléletes, de felírásuk nehékes, matematkalag neheebben keelhetők. A smbolkus megoldásnál a ferdén smmetrkus mátr alapján felírt forgatás mátrot hasnáljuk. A. és a. alapján: S I S I m.. Mndkét oldalt taggal besorova, majd nullára rendeve kapjuk: S I S I S I m S I,. aa a b a c b c a b a c b c m a b a c b c.. A 7 paraméter a, b, c, m,,, meghatároásáho 7 egenlet felírására van sükség. Eg köös pont felhasnálásával, melnek a térbel deréksögű koordnátá mndkét rendserben smertek, egenlet írható fel a. sernt, tehát 6

17 a össes paraméter meghatároásáho legalább köös pontra van sükség. Ekkor 9 egenletet tudunk felírn. Neveük f -vel a nullára rendeett egenleteket. Eek a egenletek a 7 smeretlenre néve algebra, nemlneárs egenletek. f f f f f f f f f c b b b c c c a c c a a b a b b a a m mc mb m m mb mb mc mc mc m mc mc ma m m ma ma mb ma m mb mb m m ma ma c b b b c c c c c a a a b a b b a a... Smbolkus megoldás a egenletek redukálásával A 7 paraméter meghatároásáho 7 egenletre van sükség. A smbolkus megoldásho tehát k kell válastan 7 egenletet a 9-ből 9 f, f, f, f, f 5, f6, f7, f 8, f 9, e 6 módon lehetséges. A kválastott 7 darab 7 egenletet meg kell oldan, mnd a 6 esetben, és a megoldások súloott átlaga les a eredmén. A súloást a Gauss-acob kombnatorkus megoldásnak megfelelően sámíthatjuk Awange, ávot 5. A megmaradt 7 egenletben 7 smeretlen serepel. Néhán különbségképéssel a,, eltolás paraméterek aonban kküsöbölhetőek a. tábláat elemenek megfelelően. f -f f -f 5 f -f 6 f -f 7 f -f 8 f -f 9 f -f 7 f 5 -f 8 f 6 -f 9. tábláat Eltolás paraméterek kküsöbölése Néük meg a smbolkus megoldást eg kválastott esetre. A fent klenc egenletből válassuk k például a követkeő hetet: f, f, f, f, f 5, f 7, f 9 A kválastott hét egenletből a követkeő különbségképésekkel küsöbölhetjük k a eltolás paramétereket: r r r r f f f f f f f f

18 A megmaradt nég egenlet csupán nég smeretlent tartalma a, b, c, m: r r r r c b c b c c a c c a b a b b a b m mc m mb m mc m mb mc mc m mc ma m mc ma mb ma mb m mb ma mb m.5 A egenletrendser felírása tovább egserűsíthető néhán új állandó beveetésével a koordnáták különbségere, meleket a későbbekben relatív koordnátáknak neveek: j j,, j j j j, j, j j j j j, j {,, }, j.6 A új relatív koordnátákkal a egenletrendser felírás egserűsödk: r r r r c b c c a b b a m m mc mb mc mc m ma mb mb m ma.7 A fent egenletben ugan már csak nég smeretlen serepel: a, b, c és m, eek aonban nem csak lneárs össefüggésekben serepelnek, íg a egenletrendser smbolkus megoldásáho sükség van olan eljárásra, amellel megoldhatjuk a többváltoós polnomokból álló egenletrendsert. Mvel Awange et al és ávot 5 vsgálta a fent probléma megoldását a Gröbner bások alkalmaásával, a továbbakban eért csak a általam javasolt Don reultáns felhasnálásával történő megoldást smertetem. Tekntsük a eltolás paraméterek kküsöbölése után, a. egenletrendserből a f, f, f, f, f 5, f 7, f 9 válastásával és a új, relatív koordnáták beveetésével kapott egenletből álló.7 algebra egenletrendsert, ahol r,. A egenletrendser megoldása vssaveethető a alább negedfokú algebra polnom egenlet gökenek meghatároására: h h m h m h m h m,.8 ahol a egütthatók: h h 8

19 h b j j c k k h h. A fent egsmeretlenes egenlet göke köül a egetlen valós, nem negatív megoldás adja meg a méretarán téneő értékét. A méretarán smeretében a, b, c paraméterek s megadhatóak Don reultánsokkal, elsőfokú polnomok formájában lásd.9,.,.. A a paraméterre vonatkoó egenlet: a,.9 ahol a egütthatók a alább össefüggésekkel adhatóak meg: m m m m m m m m m m m m m asonlóan a b és c paraméterre,. ahol a egütthatók: m m m m m m m j m m m m j,. 9

20 ahol a egütthatók: k m m m m m m m k m m m m m m m A polnomok a egenletrendsernek a megfelelő a, b, c paraméterekre, mnt váltoókra vonatkoó Don reultánsa, amelek ebben a esetben megegenek a megfelelő redukált Gröbner básokkal lásd ávot 5, f, f, f, f, f 5, f 6, f 9 esetére történő megoldását. A forgatás mátr elemenek és a méretarán téneőnek a smeretében a eltolás paraméterek smbolkus alakban, a eredet,,,,, koordnáták függvéneként a követkeők lesnek: a m b c a b ab c c b ac a ab c b a bc c a bc a b ac b c... Numerkus sámítások A fent eredmének alapján numerkus sámítást végetem magarorság pont felhasnálásával, meleknek smertek voltak a koordnátá mnd a hel D7,,,.. rendserben, mnd a európa ETRS89-ben,,,... tábláat. A transformácó a ETRS89 rendserből történt a D7 rendserbe. Pont [m] [m] [m] [m] [m] [m] tábláat Köös pontok koordnátá a ETRS89 és a D7 rendserben A fent pont adatanak a felhasnálásával a f, f, f, f, f 5, f 7, f 9 válastása esetén a.8,.9,. és. egenletek hatvánaval egserűsített egüttható és göke a. tábláatban találhatók.

21 egenlet egütthatók gökök.8 h h m h m h m h m h h h. 7 h h m. 766 m. 95 m m m a a j b j j j b k c k k 9. 9 k c tábláat A Don reultánsok egüttható és göke A. tábláat tartalmaa a. alapján ksámolt eltolás paramétereket méterben, valamnt a forgatás sögeket a, b, c értékekből tengel körül forgatás sögekre sámolva, másodpercben kfejeve és a méretarán téneő váltoását k mllomod résben kfejeve mk.

22 -77.5 m.86 m -5. m k.766 ppm α -.95 β γ tábláat A ksámolt 7 paraméter.5. Numerkus sámítások alapján levonható követketetések A javasolt Don módser és a hagomános Gröbner básokkal történő megoldás össehasonlítása érdekében kterjedt numerkus vsgálatokat végetem. Ennek eredméneként a követkeő megállapításokat tettem: A Don reultánssal való sámítás a tapastalatam sernt legalább eg nagságrenddel gorsabb, mnt a Buchberger algortmust hasnáló Gröbner básokkal történő megoldás. Lásd 5. tábláat. Amíg a redukált Gröbner bással való sámítás deje jelentősen függött a éppen kválastott egenletektől a 9-ből kválastott 7 egenlettől, addg a Don reultáns segítségével való megoldás erre nvaránsnak teknthető, lásd 5. tábláat. kválastott 7 db egenlet futás dő Gröbner bás esetében futás dő Don reultáns esetében f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f 6, f 7, f 8 f 5, f 8, f 9 f 5, f 7, f 9 f 6, f 8, f 9.9 s.688 s.985 s 7.69 s.6 s.6 s.6 s.6 s 5. tábláat Futás dők néhán kválastott hetes kombnácó esetében A már kválastott 7 egenlet esetén a a, b, c paraméterek elmnálásának sorrendje, melet a redukált Gröbner bások alkalmaásánál defnáln kell, jelentős hatással volt a sámítások dejére. Bonos sorrendek esetében, a Gröbner básokkal Buchberger algortmus hasnálatával, a mérnök sámításoknál praktkusan elvárható dőn belül nem kaptam eredmént lásd 6. tábláat. Sajnos a váltoók elmnálásának deáls sorrendje előre nem smert, íg Gröbner básokkal történő sámításoknál e jelentősen növelhet a megoldás dejét. Ilen tekntetben a Don reultáns sokkal robustusabb, aa nvaránsnak bonult erre a sorrendre s, nem csak a kválastott hetes kombnácókra.

23 Kválastott hetes kombnácók Váltoók elmnálás sorrendje f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f, f 6, f 7, f 8 f 5, f 8, f 9 f 5, f 7, f 9 f 6, f 8, f 9 a,b, c.9 s.688 s.985 s 7.69 s a, c, b.6 s 5.9 s.67 s 6.75 s b, a, c.5 s.9 s.765 s 7.8 s b, c, a s.57 s.985 s.8 s c, a, b.79 s 5.8 s.56 s 8. s c, b, a 7.57 s.75 s s.5 s 6. tábláat Gröbner básokkal történő megoldások futás deje a váltoók elmnálás sorrendjének függvénében A relatív koordnátáknak neveett új állandók beveetése kedveő hatással volt a futás dőkre. A 7. tábláatban a eredet koordnátákkal és a relatív koordnáták beveetésével történő megoldások futás dő láthatóak a Don reultáns esetére. A kválastott kombnácó éppen a egk krtkus kombnácó volt a Gröbner bások alkalmaását lletően lásd. tábláat utolsó oslopa. Gröbner bások hasnálatával több órás futás dő elteltével sem skerült meghatáron a megoldást a relatív koordnáták beveetése nélkül. f, f, f, f 5, f 6, f 8, f 9 kombnácó Eredet koordnáták hasnálata Új, relatív koordnáták ha snálata Don reultáns.5 s.6 s 7. tábláat Futás dők a eredet koordnáták és a beveetett relatív koordnáták hasnálatával Mután a fent tábláatokban absolút dők serepelnek, eért a egértelműség érdekében meg kell jegeem, hog a sámításokat Mathematca 5. softverrel végetem, eg P w sámítógépen, Wndows P operácós rendser alatt, G P Intel processorral és GB RAM-mal. A redukált Gröbner básokkal történő sámítások a Mathematca beépített moduljával, míg a Don reultánssal való sámítás Nakos és Wllams 997, által a Mathematcáho mplementált modullal történt. A fent eredméneket és megállapításokat a alábbakban foglalhatjuk össe: Előállítottam a elmert-féle 7 paraméteres térbel hasonlóság transformácó paraméterenek smbolkus meghatároására solgáló Don reultánst, amel bár formalag egek a Gröbner básokkal kapható alakkal, aal semben, a kterjedt numerkus vsgálatok alapján, a követkeő előnökkel rendelkek: előállítása eg nagságrenddel rövdebb dőt génel, a előállítás deje nvaráns mnd a kválastott egenletek, mnd pedg a elmnálandó paraméterek, mnt váltoók sorrendjére, meghatároása nem génl a relatív koordnáták beveetését.

24 . A 9 paraméteres térbel D affn transformácó smbolkus megoldása.. A paraméterek meghatároására solgáló egenletek felírása A elmert-féle 7 paraméteres térbel hasonlóság transformácó általánosítása a 9 paraméteres térbel affn transformácó. Térbel affn transformácó esetében a három eltolás paraméter,,, három tengel körül forgatás α, β, γ mellett méretarán téneő m, m, m kerül alkalmaásra a három koordnátatengel ránában, semben a hasonlóság transformácó egetlen méretarán téneőjével. A 9 paraméteres affn transformácó alkalmaásával ksebb maradék ellentmondásokat kaphatunk, mnt a 7 paraméteres hasonlóság esetében Papp, Sűcs 5. Ebben a esetben a transformácó matematka alakja: M R [ ] [ ],. ahol,, lletve,, a P pont koordnátá a első és a másodk referenca rendserben, R a forgatás mátr,,, a három eltolás paraméter, M pedg a méretarán téneőket tartalmaó dagonál mátr: m M m.. m A forgatás mátrot tt s a ferdén smmetrkus S mátr alapján állítjuk elő, lásd.,.,.5. A smbolkus megoldásho veessük be a követkeő váltoókat:,,, Ω M m m m [ ] [ ], aa Ω.. A fent váltoók segítségével és a ferdén smmetrkus S mátr felhasnálásával felírt forgatás mátrsal. alapján a. egenlet felírható a követkeő alakban:

25 Ω S I S I. Mndkét oldalt taggal balról besorova, majd nullára rendeve kapjuk: Ω S I Ω Ω S I S I S I,.5 aa a b a c b c a b a c b c a b a c b c.6 A 9 paraméter a, b, c,,,,,, meghatároásáho 9 egenlet felírására van sükség. Eg köös pont felhasnálásával, melnek a térbel deréksögű koordnátá mndkét rendserben smertek, egenlet írható fel a.6 sernt, tehát a össes paraméter meghatároásáho legalább köös pontra sükség van. Ekkor 9 egenletet tudunk felírn. Neveük f -vel a nullára rendeett egenleteket. Eek a egenletek a 9 smeretlenre néve algebra, nemlneárs egenletek, mvel a smeretlenek sorata s serepelnek bennük a a b b a b f a a c c a c f b b c c b c f a a b b a b f a a c c a c f b b c c b c f a a b b a b f a a c c a c f b b c c b c f.7.. Smbolkus megoldás egváltoós polnomra történő redukálással A fent 9 egenlet megoldása vssaveethető eg egsmeretlenes polnom érushelenek a megkeresésére. Ennek a polnomnak a meghatároása a követkeő lépésekben lehetséges aletnk, Palánc 7: 5

26 . A 9 egenletből különbségképésekkel kküsöbölhetők a eltolás paraméterek,,, a íg megmaradó 6 egenlet már csak 6 smeretlent tartalma a, b, c,,,, eek aonban nem csak lneárs össefüggésekben serepelnek.. A megmaradt 6 nemlneárs egenletből Don reultáns vag Gröbner bások hasnálatával kküsöbölhetők a a, b, c paraméterek, íg marad algebra egenlet, amben már csak,, smeretlenek a három méretarán téneő recproka serepelnek.. A méretarán téneő recprokát tartalmaó egenletrendser új egütthatók beveetésével, a Don reultáns vag a Gröbner bások hasnálatával tovább egserűsíthető két egenletből álló, méretaránténeő recprokát, mnt smeretlent tartalmaó egenletrendserré.. A megmaradt egenletből Don reultáns alkalmaásával kküsöbölhető a egk smeretlen és eg egváltoós polnomot kapunk -re... Eltolás paraméterek kküsöbölése 9 6 A.7 egenletrendserből a követkeő hat különbségképéssel kküsöbölhetőek a,, eltolás paraméterek: g g g g g g 5 6 f f f f f f 5 6 f f f f f f c c c b c b a a b a b a.8 A megmaradt hat egenlet már csak hat smeretlent tartalma a, b, c,,,. A egenletrendser felírása tovább egserűsíthető uganaon állandók beveetésével, mnt amt a hasonlóság transformácó megoldásakor alkalmatunk.6 relatív koordnáták. A új relatív koordnátákkal a egenletrendser egütthatónak felírása tovább egserűsödk: g g g g g g 5 6 c c c b b c b c c c a b a a b b c a a a b b a a.9 6

27 .. 6 smeretlenes algebra egenletrendser redukálása egenletre 6 A fent hat egenletrendser követlen redukálása egetlen monomálra eg lépésben nem járt skerrel semben a 7 paraméteres transformácó megoldásával, vsont több lépésben megoldható a probléma. A hat egenletet redukáln lehet elősör eg háromsmeretlenes három egenletből álló algebra egenletrendserre. Ehhe a eredet 6 egenletből háromsor - független egenletet kell kválastanunk. Eg len kválastott néges -ből, akár a Don, akár a Gröbner módser segítségével elmnálhatjuk a a, b, c váltoókat. Végeredménül darab algebra egenletet kapunk, amelek már csak a,, smeretleneket tartalmaák. A.9 egenletrendserből a háromsor darab egenlethe elősör a - egenleteket, majd a -5, majd a -6 egenleteket válastottam. A három darab egenlet néges mndegkéből Don reultánssal kküsöböltem a a, b, c paramétereket. Íg három darab háromsmeretlenes polnomot kaptam, melek a követkeőek: A g,,, g g g válastása esetében: ,. ahol a egütthatók a követkeők: A g,,, g g g 5 válastása esetében: ,. 7

28 ahol a egütthatók a követkeők: A válastása esetében: 6 5 g g g g,,, K K K K K K K K K ,. ahol a egütthatók a követkeők: K K K K K K K K K. 8

29 .. A méretarán téneőt tartalmaó egenletrendser redukálása egenletre A.,. és.-os egenletekben eredetleg sereplő relatív koordnáták hasnálatával nem skerült sem a Gröbner bások, sem a Don reultáns alkalmaásával tovább egserűsíten a egenleteket. A tovább redukálásáho sükséges volt beveetn a,, K állandókat a egenletek egütthatóra és íg végen el egesével a váltoók elmnálását. Első lépésben két-két egenletet válastottam k a fent háromból. és. lletve. és. egenleteket és elmnáltam belőlük -t. Íg két polnomból álló algebra egenletrendsert kaptam, melek már csak, smeretleneket tartalmaták. A kapott kétváltoós polnomok a követkeők lesnek: U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V és. egenlet egüttható K K U V K K U 5 V 5 K K K U 5 5 V K U 5 5 V 5 K U 5 V 5 5 K K U 5 5 V 5 6 K K U 6 6 V K K K U V 8 K U V 5 9 K U V K K K U V K K K U 9 5 V 9

30 U 8 K 5K6 K7 K 8 V 6 U K7 V U 5K7 V U 5 6 K 5 V U 6 7 K 5 V6 6 U 7 8 K 5 V U 8 6 K 8 V U 9 7 K 8 V U 8 K 8 8. tábláat. és. egenlet egüttható.. Eg méretarán téneőt tartalmaó polnom előállítása és megoldása A egetlen smeretlent tartalmaó polnom előállítása a utolsó lépés a smbolkus megoldásho. Ehhe a fent két egenletből Don reultáns segítségével elmnálhatjuk -at, új állandókként hasnálva U, V egütthatókat. Íg eg 9. fokú polnomot kapunk -re: W W W W W W W 7 W W 9 7 W W W 8 W W 8 W W W 9 5 W 9 5 W W 6 W 6 W 7 W W W W 8 W W 7 9 W 5 7 W 5.5 A egenlet egütthatót, melek U -k és V -k függvéne, csak a mellékletben adom meg, mvel sorat alakban, kfejtés nélkül s gen nag méretű kfejeésről van só. A megoldásho meg kell keresnünk a.5 egenlet göket. Ellentétben a 7 paraméteres transformácóval, tt a potív valós gökök megkeresése után s több megoldás marad. A egk lehetőség, hog eek mndegkét vssahelettesítjük és megkeressük a megfelelő megoldást. Ennél gorsabb megoldást tes lehetővé aonban a a tén, hog a megmaradt smeretlen a egk méretarán téneő recproka, amre jó köelítő értéket tudunk adn. A fotogrammetra rodalomból smert a egetlen méretarán téneő meghatároására solgáló össefüggés, amhe elősör k kell sámoln a súlpont koordnátát mndkét rendserben, majd a pontok súlponttól való távolságössegenek hánadosa megadja a méretarán téneőt Albert és Krelng 975, Somog 969:

31 n n s s s s s m,.6 s ahol,, és,, a súlpont koordnátá a két koordnátarendserben, koordnátá. s s s,,,,, s s s pedg a mndkét rendserben smert köös pontok A.6-as össefüggés eg méretarán téneőre vonatkok, aonban a ösefüggést módosíthatjuk, és a tengelránú méretarán téneő kedet értékének megadásáho hasnálhatjuk a adott tengelek ránába eső súlpont távolságössegek hánadosát. E a tengel ránába eső m esetében a követkeő les: m n n s s,.7 A kedet érték, ke det / m meghatároása után a másodrendű konvergencát btosító Newton-Raphson módser alkalmaásával megkereshetjük a algebra polnom megfelelő érushelét -re. A keresett méretarán téneő ennek a recproka les. A Mathematca alatt a numerkus megoldás tetsőleges, de véges pontossággal előállítható... A transformácó paraméterenek meghatároása.. Méretarán téneők meghatároása Mután -et meghatárotuk, mnt a egsmeretlenes polnom megfelelő érushelét, vssafelé haladva a több paraméter értéke s megadható. Vssatérve a, smeretleneket tartalmaó. polnomho, a alább össefüggésből sámítható: P P P P P,.8 ahol a egütthatók: P P P P P U U U U U U U U U U U U U U U U U U 5 6 U 7 U 8 9 U.

32 A fent egsmeretlenes negedfokú algebra egenlet göke köül értéke a egetlen potív valós megoldás les. A harmadk méretarán téneő értéke, smeretében meghatároható a követkeő össefüggésből, vssatérve a.-es egenlethe: Q Q,.9 ahol a egütthatók: Q Q A fent másodfokú egváltoós egenlet két göke köül a potív les értéke... Forgatás mátr elemenek meghatároása A,, smeretében a.9-as egenletrendserből a a, b, c paraméterek s ksámolhatók, méghoá lneárs össefüggések alapján. A lneárs össefüggéseket Don reultánssal megadhatjuk, hasonlóan a térbel hasonlóság transformácóho. A a paraméter a követkeő lneárs egenlet alapján határoható meg.: a,. ahol a egütthatók:. asonlóan a b és c paraméter a.,. egenletek alapján adható meg. j j b,. ahol a egütthatók: j j és k k c,.

33 ahol a egütthatók: k k... Eltolás paraméterek meghatároása A forgatás mátr elemenek és a méretarán téneők recprokanak a smeretében a eltolás paraméterek smbolkus alakban, a eredet koordnáták,,,,, függvéneként a követkeők lesnek: Ω c b a bc a ac b bc a c b a c ab ac b c ab c b a c b a R R M / / /... A numerkus sámítások eredméne A fent eredmének alapján numerkus sámítást végetem magarorság pont felhasnálásával, meleknek smertek voltak a koordnátá mnd a hel D7 rendserben, mnd a európa ETRS89-ben. tábláat. A transformácó a ETRS89 rendserből történk a D7 rendserbe...,,,..,,, A fent három pont adatanak a felhasnálásával megadhatóak a,, smeretleneket tartalmaó egenletrendser.,.,. egenletek hatvánaval egserűsített numerkus egüttható lásd 9. tábláat.

34 . egüttható. egüttható. egüttható K K K K K K K K K tábláat.,. és. egenletek numerkus egüttható A előő egenletből leveethető. és. egenletek hatvánaval egserűsített numerkus egüttható a. tábláatban találhatók.. egüttható. egüttható U. 66 U 5. 5 V V 5. 6 U. 9 U. 878 V V. 75 U U V V. 895 U 5. 5 U V V. 686 U U V V. 686 U 5. 7 U V V U 6. 5 U V V U U V V U 8. 6 U V V U U V V U tábláat. és. egenletek numerkus egüttható A. és. egenletek egütthatóval állíthatóak elő a.5-es egenlet egüttható, melek segítségével meghatárohatjuk -et. A.5-es

35 egenlet egütthatónak hatvánával egserűsített numerkus értéke a. tábláatban találhatóak. W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W tábláat.5 egenlet numerkus egüttható meghatároásáho A.5 egenletből a Newton-Raphson módserrel, a.7 képlettel sámolt kedet értékkel meghatároható értéke: smeretében s megadható a.8 egenlet potív, valós megoldásának megkeresésével: k: és smeretében a.9 egenlet potív megoldásaként sámítható , íg.567. A forgatás mátr eleme a.,. és. egenletek alapján sámíthatóak k. A egenletek egütthatót és a forgatás mátr ksámolt elemet a. tábláat tartalmaa. 5

36 egenlet egütthatók gökök. a a j b j j j. 855 b k c k k k.599 c tábláat Egütthatók a forgatás mátr elemenek a meghatároásáho és a ksámolt értékek,,, a, b, c paraméterek smeretében a eltolás paraméterek a. egenlet alapján sámíthatóak. A. tábláat tartalmaa a ksámolt eltolás paramétereket méterben, a forgatás sögeket a, b, c értékekből tengel körül forgatás sögekre sámolva lásd. sakasban lévő kegésítés másodpercben kfejeve és a méretarán téneők váltoását k mllomod résben kfejeve m k. k k k -.8 m 6.85 m. m 5.8 ppm -.56 ppm -.78 ppm α.87 β -.6 γ -.8. tábláat A ksámolt 9 paraméter 6

37 A fentek eredméneket a követkeőkben foglalhatjuk össe: A Don reultáns és a Gröbner bások felhasnálásával a 9 paraméteres affn transformácó paraméterenek meghatároására solgáló 9 egenletből álló algebra egenletrendsert redukáltam eg egsmeretlenes magas foksámú polnomra. E a polnom smeretlenként csak a egk méretarán téneőt tartalmaa, mel a Newton Raphson-féle másodrendű konvergencát btosító eljárással hatékonan megoldható a jól becsülhető kedet feltételnek kösönhetően. A smbolkus megoldás alapján eek után ksámolható mnd a 9 paraméter. A eljárás gorsasága matt jól hasnálható akár a n pont esetében alkalmaható Gauss-acob megoldásnál s, de jó kedet értékeket solgáltathat a hagomános lnearálással történő megoldásho, vag a későbbekben smertetett, a célfüggvén paraméterek sernt smbolkus derválását alkalmaó megoldás esetén s. 7

38 5. Térbel transformácó megoldása n pont esetére a legksebb négetek módserének követlen alkalmaásával 5.. Megoldás a célfüggvén paraméterek sernt smbolkus derválásával 5.. Térbel hasonlóság transformácó n pont esetében A. fejeetben smbolkus megoldást adtam a térbel hasonlóság koordnátatransformácó aon esetére, amkor köös pont koordnátát smerjük a két rendserben. A geodéában aonban általában háromnál több köös pont áll rendelkeésünkre n darab és eekhe határouk meg kegenlítéssel a transformácó paraméteret. A kegenlítést általában a legksebb négetek módserével végk, bár robustus kegenlítés eljárások len célú alkalmaásával s találkohatunk, pl. koordnátatransformácó L normában ávot 999, Kratochvlla. A legksebb négetek módserének len célra történő alkalmaásának két módja terjedt el. A egk esetben mndkét rendserben hbával terheltnek tételek fel a adott koordnátákat, ekkor a kegenlítés mért mennségeket és paramétereket tartalmaó feltétel egenletekkel történk, a másk esetben a egk rendserben adott koordnátákat hbátlannak tekntk, ekkor a kegenlítés követítő egenletekkel történk Detrekő 99. A továbbakban, a sámítógépes algebra felhasnálásával, a követítő egenletekkel történő kegenlítéssel egenértékű, de a hagomános megoldás módsertől lénegesen eltérő eljárást adok a 7 paraméteres transformácóra. A kndulásként adjuk meg a P pontra felírható egenleteket, a. fejeetben smertetett ferdén smmetrkus mátr hasnálatával felírt forgatás mátr segítségével 5.. áromnál több pont felhasnálásakor a egenletekhe javításokat kell hoárendelnünk. A íg kapott egenleteket a kegenlítő sámításokkal foglalkoó sakrodalomban javítás egenleteknek nevek. v v v c b c b a a m mc mb mc mb m ma ma m c b c a b a, 5. ahol a, b, c a forgatás mátr eleme, m a méretarán téneő,,, a három eltolás paraméter,,, lletve,, a P pont koordnátá a első és a másodk koordnáta-rendserben, v v, v pedg a P pontho tartoó javítások., A legksebb négetek módserének alapelve sernt a javítások súloott négetössegét mnmalálják: v T P LL v mn, 5. T ahol v v, v, K, v, v v, v, v -k a javítások, PLL pedg a súlmátr, mel a n kovaranca-mátrsal arános súlkoeffcens-mátr nvere Detrekő 99. 8

39 A P LL súlmátr független mérések esetében dagonálmátr, P LL < p, p,... p >, független és aonos pontosságú méréseknél pedg egségmátr. Független mérések esetében íg a mnmalálandó függvén: p mn. 5. v Független és egségsúlú mérésekre pedg: v mn. 5. A nemetkö gakorlatban a 7 paraméteres koordnátatransformácóra egségsúlokat soktak alkalman. Kratochvlla Kratochvlla össehasonlította 8 magarorság pontot felhasnálva a ETRS89 és a D7 rendser köött koordnátatransformácót mnd egségsúlokkal, mnd hbaellpssek alapján meghatároott súlokkal. A ő vsgálata s at támastották alá, hog a nemetkö gakorlatban alkalmaott, egségsúllal kapható megoldás a két rendser köött hétparaméteres transformácó sámításakor elegendő pontosságot btosít, vags nem volt sámottevő különbség a kétféle megoldás köött. Íg a továbbakban én s a egségsúlokkal adódó megoldást alkalmaom. A követítő egenletekkel történő hagomános kegenlítésben lnearálják a javítás egenleteket, ha a mért mennségek és a meghatároandó paraméterek kapcsolata nemlneárs Detrekő 99. Mnt látn fogjuk, a általam javasolt megoldásban nncs sükség a egenletek lnearálására. Mndg a alkalmaott paraméterek sámával megegeő sámú nemlneárs egenletet kell megoldan numerkusan, függetlenül a köös pontok sámától. A megoldandó nemlneárs egenletek a 5.-es képlet sernt felírt célfüggvén mnmalálásával állíthatók elő. 5. sernt eg köös pontra darab javítás egenletet írhatunk fel, n pont esetében értelemserűen n -et. A mnmalálandó célfüggvén n pont esetében a n darab javítás négetössege: n u v v v, 5.5 ahol a elmert transformácó esetén u f a, b, c, m,,,. 5.6 A u függvén sélsőértékének sükséges feltétele, hog a sélsőérték helén valamenn parcáls dervált értéke érus legen: f, f, f, f, f, f, f. 5.7 a b c m Mvel több függvén össegének derváltja egenlő een függvének derváltjanak össegével, íg felcserélhető a össegés művelete a derválással. Elegendő a össegést a egütthatók előállításánál alkalman. A derválandó célfüggvén ekkor a követkeő les: 9

40 u v v v. 5.8 A 5.8-ba behelettesítve a 5.-es egenletekből v, v, értékét, majd elvégeve a négetre-emelést, össeadást a követkeő hétváltoós célfüggvént kapjuk, melnek a mnmumhelét keressük: v. 5.9 Smbolkusan derválva a fent függvént a, b, c,,, és m sernt hét össefüggést kapunk, melek mndegkének a sükséges feltétel sernt egenlőnek kell lenne érussal. A smbolkus derválással kapott hét egenletet lásd a. mellékletben. Et a egenletrendsert egserűsítve, majd a hét váltoó hatvánanak egütthatót megkeresve és elvégeve a össegést n pontra a követkeő hét egenletet kapjuk 5., ahol f,... 7 : 5.

41 A egütthatók A, B, C, D, F, G, a sámítógépes algebra felhasnálásával egserűen előállíthatóak össegéssel a köös pontok koordnátá alapján, még nag sámú köös pont felhasnálása esetén s lásd. melléklet. A megoldandó egenletrendser mndg csak 7 egenletből áll, függetlenül a rendelkeésre álló adatok sámától. Nncs sükség nag méretű mátrokkal történő sámításokra. A 7 nemlneárs egenlet megoldható numerkusan a már korábban s említett Newton-Raphson módserrel, a megoldásho köel kedet értékek smerete esetén a smbolkus megoldás ennél a egenletrendsernél nem veetett eredménre. A eljárás ugan másodrendűen konvergál, aonban a konvergenca sebessége erősen függ a kedet értékektől Bronstejn et al 6. Megfelelő kedet értékeket pedg a 7 paraméteres transformácó. fejeetben smertetett smbolkus megoldása solgáltathat. Uganeel a módserrel megoldható a a eset s, amkor független, de nem egségsúlú mérésenk vannak. A súlmátr smeretében mnden javításho rendelhető súl. A mnmalálandó célfüggvén ekkor a követkeő les: n u p v p v p v. 5. A fent célfüggvén előállítására solgáló 7 egenlet megtalálható a. mellékletben..

42 5.. Térbel affn transformácó n pont esetében A előő pontban leírtakkal analóg módon a 9 paraméteres térbel affn transformácó megoldása s megadható n pontra. Termésetesen most mások lesnek a javítás egenletenk: v v v b c c b a c c b b a c c a a, 5. b b a a ahol,, lletve,, a P pont koordnátá a első és a másodk koordnátarendserben, a, b, c a forgatás mátr eleme,,, a három eltolás paraméter,, pedg a méretarán téneők recproka., A mnmalálandó célfüggvén független és egségsúlú méréseket feltételeve: n u v v v, 5. ahol most u f a, b, c,,,,,,. 5. A u függvén sélsőértékének sükséges feltétele, hog een a helen valamenn parcáls dervált eltűnjön: f, fb, f c, f, f, f, f, f f a,. 5.5

43 A célfüggvén a P pontra: 5.6 A 9 paraméter sernt smbolkusan derválva u függvént, majd a kapott függvéneket egenlővé téve érussal és elvégeve a össegést n pontra, a követkeő megoldandó egenletrendsert kapjuk 5.7: 5.7

44 A 5.7 egenletrendser A, B, C, D, F, G,,, K egüttható a sámítógépes algebra segítségével sntén egserűen sámíthatóak lásd. melléklet, továbbá a megoldandó egenletrendser s mndg csak 9 egenletből áll, függetlenül a rendelkeésre álló köös pontok sámától, vags ebben a esetben sncs sükség nag méretű mátrokkal történő sámításokra. A 9 nemlneárs egenlet megoldható numerkusan a már korábban s említett Newton-Raphson módserrel jó kedet értékek smerete esetén a smbolkus megoldás ennél a egenletrendsernél nem veetett eredménre. Megfelelő kedet értékeket pedg most a 9 paraméteres transformácó. fejeetben smertetett smbolkus megoldása adhat. Uganeel a módserrel termésetesen megoldható a a eset s, amkor független, de nem egségsúlú mérésenk vannak, hasonlóan a 7 paraméteres esethe.

45 angsúlon seretném, hog a smertetett modellek előállítását a sámítógépes algebra alkalmaása tette lehetővé, amel nélkül, ké előállítás bonolultsága matt, e lehetetlen lett volna. 5.. Numerkus vsgálatok 8 pont alapján A numerkus vsgálatokat a magarorság D7 térbel geodéa koordnáta-rendser és a GPS vonatkoás rendsere, a ETRS89 köött végetem. A elsőrendű vísntes alaphálóatunk pontja köül 8 pont rendelkek a D7 rendserbel koordnátákon kívül ETRS89 rendserbel koordnátákkal, íg a kegenlítéssel végett transformácóban e a 8 köös pont serepel. ábra.. ábra A 8 köös pont Kratochvlla A transformácó eg lokáls és eg globáls koordnáta-rendser köött történk. A magarorság vísntes alaphálóat vonatkoás ellpsodja a IUGG67. A ellpsod a Sőlőheg nevű pontban smul a ottan geod felülethe. A vonatkoás rendser kedőpontja a ellpsod köéppontja, -tengele a Greenwch- merdánsík és a egenlítő sík metsésvonalának ránával párhuamos, a -tengel a ellpsod fél kstengelével aonos, és a -tengel pedg úg helekedk el, hog a tengelhármas jobbsodrású rendsert alkosson. E a elheleés a D7 ungaran Datum 97 néven elneveett geodéa vonatkoás rendser. A orságos GPS hálóatunk referenca rendsere a európa tábláho rögített ETRS89 European Terrestral Reference Sstem 989, mel a WGS8 rendsert megvalósító Európa Föld Vonatkotatás Rendser. Megjegeük, hog a GPS mérések vonatkoás rendsere a WGS8 World Geodetc Sstem 98 és a európa ETRS89 rendser köött eltérés csupán néhán cm-re tehető. Íg a geodéa alkalmaások többségében a WGS8 rendser hasnálata s elegendő, a ETRS89 koordnátákho vsonított eltérések elhanagolhatók Ádám ósef 5. E a vonatkoás rendser geocentrkus elheleésű, és sntén jobbsodrású 5. ábra. 5

46 5. ábra A WGS8 térbel deréksögű vonatkoás rendsere A két rendser köött transformácó sámítását elvégetem, mnd a 7 paraméteres térbel hasonlóság, mnd a 9 paraméteres térbel affn transformácóval, a nemetkö gakorlatban s hasnált egségsúloással. A transformácó 7 lletve 9 paraméterén kívül meghatárotam a hoájuk tartoó javításokat, vags a eges koordnáták maradék ellentmondásat és a lneárs eltéréseket a köös pontokban v l. l v v v v 5.8 A transformácó a ETRS89 rendserből történt a D7 rendserbe. A javításokat a D7 rendserbel koordnátákho rendeltem hoá. 5.. A 7 paraméteres transformácó megoldása 8 pont alapján Felírtam a rendelkeésre álló 8 pont alapján a 7 paraméteres hasonlóság transformácóra megoldandó egenleteket a 5.-nek megfelelően. A megoldandó egenletrendser numerkus alakja a 5. mellékletben található. A egenletrendser numerkus megoldása a Newton-Raphson módserrel történt. E a módser megfelelő kedet értékek esetén nagon gorsan konvergál, kulcsfontosságú tehát a kedet értékek heles megválastása, amre a. fejeetben smertetett smbolkus megoldás ad lehetőséget. A numerkus sámításoknál hasnáljuk most kedőértéknek a. sakasban ksámolt paramétereket, hsen a ott lévő pont s ebbe a 8 pontba tartoott bele. A Newton-Raphson módserrel, egségsúlok alkalmaásával meghatároott 7 paramétert a. tábláatban találjuk. A első oslopban a smbolkus sámítások során alkalmaott paraméterek vannak, a eltolás vektor eleme, a ferdén smmetrkus mátr eleme a forgatás mátrho és a méretarán téneő. Geodéában általában a eltolás vektort adják meg, a tengel körül forgatás sögeket másodpercben és a méretarán téneő eltérését eghe képest mllomod résben. Eek a értékek találhatóak a. tábláat. oslopában. 6

47 A meghatároott 7 paraméter A 7 paraméter átsámítva a sokásos geodéa paraméterekké 59.8 m 59.8 m 7.5 m 7.5 m.979 m.979 m m k -.77 ppm a α -.68 b.8-7 β -. c γ -.5. tábláat A térbel hasonlóság transformácó meghatároott 7 paramétere 8 pont esetén A 5. tábláatban a transformácó után maradék ellentmondások és, lneárs eltérések statstka jellemő találhatóak a 8 pontra. Δ [m] Δ [m] Δ [m] lneárs eltérés Δ Δ átlag.... sórás mamum mnmum Δ 5. tábláat A 7 paraméteres transformácó után maradék ellentmondások, lneárs eltérések 8 pontra Kratochvlla Kratochvlla, een 8 pont alapján a hagomános 7 paraméteres transformácós modelleket vsgálta a legksebb négetek módserével és L norma alapján történő becsléssel. A általam kapott eredmének egenek a hagomános követítő egenletekkel történő kegenlítéssel kapott eredménevel. Ő a Burša-Wolf-féle modellt alkalmata, amel jelentős egserűsítéseket, lnearálásokat hasnál. Feltétele, hog a forgatás sögek ks értékek, íg sn, cos helettesítésekkel élhetünk, lletve feltétele, hog a méretarán téneő értéke kevéssé tér el egtől, ekkor k értéke s ks sám és ennek sorata a forgatás sögekkel, lletve a forgatás sögek egmással való sorata elhanagolható. E a megoldás csak akkor alkalmaható, ha élhetünk een köelítésekkel és mnd a forgatás sögek ks értékűek, mnd a méretarán téneő egtől való eltérése ks sám. A általam bemutatott megoldás előne, hog bármekkora forgatás sögekre és méretarán téneőre alkalmaható és nem tartalma elhanagolásokat, egserűsítéseket. Néük meg uganet a módsert a 9 paraméteres transformácót lletően. 7

48 5.. A 9 paraméteres transformácó megoldása 8 pont alapján Felírtam a rendelkeésre álló 8 pont alapján a 9 paraméteres hasonlóság transformácóra megoldandó egenleteket a 5.7-nek megfelelően. A megoldandó egenletrendser numerkus alakja a 6. mellékletben található. A egenletrendser numerkus megoldása ebben a esetben s a Newton- Raphson módserrel történhet, ahol a kulcsfontosságú kedet értékeket a. fejeetben smertetett smbolkus megoldással állítottam elő lásd a. sakas numerkus sámításat. A meghatároott 9 paraméter A 9 paraméter átsámítva a sokásos geodéa paraméterekké -8.6 m -8.6 m 7.9 m 7.9 m 5. m 5. m k.5 ppm.868 k ppm.79 k -.79 ppm a.66-7 α -.6 b.6-7 β -.5 c.9-7 γ tábláat Térbel affn transformácó 9 paramétere 8 pont esetén A Newton-Raphson módserrel, egségsúlok alkalmaásával meghatároott 9 paramétert a 6. tábláatban találjuk. A első oslopban a smbolkus sámítások során alkalmaott paraméterek vannak: a eltolás paraméterek, a méretarán téneők recproka és a ferdén smmetrkus mátr eleme a forgatás mátrho. A. oslopban pedg eek a értékek vannak átsámítva a geodéában sokásos paraméterekre: eltolás paraméterek, a tengel körül forgatás sögek másodpercben és a méretarán téneők egtől való eltérése mllomod résben kfejeve. 8

49 A 7. tábláatban a transformácó után maradék ellentmondások és lneárs eltérések statstka jellemő találhatóak a 8 pontra vonatkoóan. Δ [m] Δ [m] Δ [m] lneárs eltérés Δ Δ átlag....9 sórás mamum mnmum Δ 7. tábláat A 9 paraméteres transformácó után maradék ellentmondások, lneárs eltérések 8 pont esetén A 5. és 7. tábláatok értékenek össehasonlításából ktűnk, hog a 9 paraméteres modell mnden statstka jellemőben jobbnak bonult a hagomános 7 paraméteres modellnél. 5.. A numerkus megoldás konvergencája A Newton-Raphson módser nem mnden kedet érték esetén konvergens. Nem mndeg, hog a rendelkeésre álló n pont köül melk -at válastjuk a kedet értékek smbolkus meghatároásáho. a megvsgálnánk például a numerkus példában s alkalmaott 8 pontot és mnden hármas kombnácóra elvégenénk a sámításokat például a 9 paraméteres transformácó esetére, akkor at tapastalnánk, hog nagon eltérő eredmének adódnak a 9 paraméter értékére a különböő ponthármasok válastásakor. Válassunk k most a korábbaktól eltérő két ponthármast 6. ábra és határouk meg a paraméterek értéket a smbolkus megoldással előállított össefüggés alapján, majd eeket válastva kedőértéknek vsgáljuk meg a Newton-Raphson módser konvergencáját a n 8 pontra vonatkoó egenletrendser esetében. 6. ábra Két válastott ponthármas a 8 pontból a smbolkus megoldásho 9

50 A első ponthármas válastásakor 6. ábra bal oldala a követkeő paramétereket kaptam a smbolkus megoldásból:. A másodk ponthármas válastásakor 6. ábra jobb oldala a smbolkus megoldás eredménére a követkeőket kaptam:. Most néük meg a Newton-Raphson módser konvergencáját a első esetben kapott értékek, mnt kedet értékek esetén, a térbel affn transformácó megoldásakor a 8 pontho felírt 9 egenletet megoldva. A sámítás gen gorsan konvergál, már lépés után befejeődk. A 7. ábrán a első válastott ponthármas esetében a egk paraméter értéket látjuk a Newton-Raphson módser eges lépésenek függvénében. 7. ábra értéké a Newton-Raphson módser eges lépéseben a első ponthármas válastásakor, amkor 5.5 5

51 Néük meg uganet a másodk ponthármast válastva 8. ábra: 8. ábra értékének váltoása, a terácó lépésenek függvénében, a Newton-Raphson módserrel a másodk ponthármas válastásakor, amkor 5.6 E utóbb esetben at tapastaljuk, hog a Newton-Raphson módser még lépés után sem konvergál. Nem mndeg tehát, hog hogan válastjuk k a kedet értékek meghatároására solgáló ponthármast. 5.. A smbolkus sámításokban sereplő ponthármasok geometra elhelekedésének hatása A 5. sakasban vsgált két ponthármas köül a első jó kedet értéket solgáltatott a Newton-Raphson módser sámára, míg a másodk esetben a megoldás nem konvergált. Vessünk még eg pllantást a 6. ábrára. Itt feltűnhet a pontok elhelekedésének vsgálatakor, hog a másodk esetben a pont nagjából eg egenes mentén helekedk el. Több len ponthármast megvsgálva arra a eredménre jutunk, hog aokban a esetekben nem kapunk megfelelő kedet értékeket a Newton-Raphson módser sámára, amkor a válastott pont köelítően eg egenesre esk. Tapastalatank sernt a deálsho legköelebb abban a esetben járunk, ha a kválastott pont geometra elrendeése mnél nkább hasonlít eg sabálos háromsögre. A legkedveőtlenebb eset a egeneshe köel elrendeés. 9. ábra Felül eg kedveőtlen, alul eg kedveő geometra elrendeésű ponthármas A geometra elrendeés sámserűsítése céljából beveettem eg mértéket arra vonatkoóan, hog mennre nem esnek eg egenesre a pontok, vags, hog mennre nem-kollneársak. Neveük et most geometra ndenek. Mnél nagobb 5

52 e a nde, a három pont elrendeése annál jobban hasonlít eg sabálos háromsögre. A geometra ndeet, vags a geometra elhelekedést a háromsög legksebb sögének snusával jellemetem. Vags mnél nkább eg egenes mentén helekednek el a pontok, annál ksebb les a általuk alkotott háromsög legksebb söge és ennek a snusa s. A mamáls értéket akkor ér el a nde, amkor mnden sög 6 fokos, ekkor a snus értéke /. 866, mután bármel háromsög legksebb sögének mamuma nem lehet nagobb 6 foknál. A általam beveetett nde értéke tehát és.866 köött váltok. A 5. sakasban válastott két ponthármas köül a első geometra ndee, amelk jó kedőértéket adott,.59, a máské pedg, amelk ross kedet értéket solgáltatott,. volt. Néük meg, hogan váltonak pl. a 9 paraméteres térbel affn transformácónál a smbolkus megoldással meghatároott paraméter értéke, a különböő ponthármasok válastásakor, és melkhe mlen geometra nde tartok. a a 8 pontból mnden lehetséges kombnácóban k akarjuk válastan a 8 ponthármasokat, akkor 85 kombnácót kell megvsgálnunk. A smbolkus derválással előállított 9 egenletből a Newton-Raphson módserrel meghatároott értéke 5. m lett a 8 pontra vonatkoóan. A össes ponthármas egenként megoldása aonban lénegesen eltérhetnek ettől a értéktől. elen esetben például volt olan ponthármas, amkor értéke m-re adódott! Een ponthármasho tartoó geometra nde értéke., tehát e a pont majdnem pontosan eg egenesre esk lásd.ábra.. ábra A 8 pontból kválastott egk ponthármas, amre a legnagobb eltérést kaptuk értékére m, 5. m helett 5

53 Néük meg most eg ábrán, hog hogan váltok értéke a geometra nde függvénében sorba rendeve, a 8 pont esetében lehetséges 85 kombnácóban. ábra. kombnácójára. ábra értéke a geometra nde alapján sorba rendeve, a 8 pont össes -as A. ábra függőleges tengelén, a ponthármasokho a smbolkus sámítással kapott össefüggés alapján meghatároott értéket ábráoltam, a vísntes tengelen pedg a geometra ndeeket, lletve pros vonallal feltüntettem kegenlített értékét s. A ábra a jobb ábráolás érdekében eg knagított résletet mutat a függőleges tengelen ábráolandó értékek össességében és köött váltonak!. A nagon eltérő értékek. geometra nde alatt találhatóak, és mnél nkább hasonlít a pont elhelekedése a sabálos háromsögre, vags mnél nagobb a geometra nde, a tendencát tekntve, annál jobb köelítő értéket kapunk a Newton-Raphson módserhe, a n > pont esetére történő sámításho. Nagon fontos tehát a smbolkus megoldásho hasnált ponthármas kválastásakor, hog odafgeljünk a geometra elhelekedésre s és kerüljük a olan ponthármas kválastását, amelnél a pontok köelítően eg egenes mentén helekednek el. A fenteket össefoglalva:. A sámítógépes algebra felhasnálásával új eljárást dolgotam k n pont esetére, megoldva a 7 lletve 9 paraméteres transformácók paraméterbecslés problémáját a legksebb négetek módserének követlen alkalmaásával, a mnmalálandó célfüggvén paraméterek sernt smbolkus derválásával. A általam javasolt megoldásban nncs sükség a egenletek lnearálására. Mndg a alkalmaott paraméterek sámával megegeő sámú nemlneárs egenletet kell megoldan numerkusan, függetlenül a köös pontok sámától.. A smbolkus derválással kapott kfejeésekben sereplő 7 lletve 9 nemlneárs egenlet, mnt egenletrendser, numerkusan megoldható a Newton-Raphson módserrel. A eljárás ugan másodrendűen konvergál, aonban a konvergenca sebessége erősen függ a kedet 5

54 értékektől. Megfelelő kedet értékeket pedg a. lletve. fejeetben smertetett smbolkus megoldások solgáltathatnak.. Numerkus vsgálatokat végetem a Newton-Raphson módser konvergencáját lletően. Beveettem eg geometra ndenek neveett mértéket, amellel mnősíten lehet a kválastott ponthármas geometra elhelekedését, elkerülendő a kedveőtlen kedet értékeket solgáltató, köel eg egenes mentén elhelekedő ponthármasokat, amelek dvergencát eredménehetnek a numerkus megoldás során. Mndeek alapján tehát a.,., 5. fejeetben új eljárást adtam a elmert-féle 7 paraméteres térbel hasonlóság transformácó, valamnt a 9 paraméteres térbel affn transformácó paraméterenek meghatároására n köös pont esetén. A módser a n darab nemlneárs javítás egenlet súloott négetössegének paraméterek sernt smbolkus derválásával adódó 7 lletve 9 nemlneárs egenletből álló egenletrendser Newton Raphson módserrel történő numerkus megoldásán alapsk. A numerkus sámítás konvergencája sempontjából krtkus megfelelő kedet feltételek meghatároása a pont esetére kapott smbolkus megoldások alapján können előállítható. Iránadóként a megfelelő konvergencát btosító ponthármas kválastására vonatkoóan eg geometra ndeet veettem be. 5

55 6. Vísntes D transformácó WGS8-EOV rendserek köött 6.. Elkülönülő vísntes és magasság transformácók D D A eddgekben térbel D transformácóról volt só, méghoá annak 7 paraméteres hasonlóság lletve 9 paraméteres affn megoldásáról. A bemutatott két ETRS89 D7 transformácó köül a affn transformácó valamvel pontosabbnak bonult. Sajnos aonban a orság egés területére egségesen alkalmaott paraméterkéslettel, a geodéa munkák többségénél elvárható centméteres pontosságot 5 cm-en belül maradék ellentmondások, még eel sem skerült elérn. A mamáls eltérések mnteg fél méterre adódtak, a eges koordnáták maradék ellentmondásanak köéphbájára sórására pedg -8 cm-t kaptunk. A GPS és a hel rendserek köött átsámításoknál a 7 paraméteres hasonlóság és a 9 paraméteres affn transformácókat geodéa alkalmaások során többnre lokáls esetekben hasnálják. Nem geodéa, hanem például térnformatka célra aonban elég a globáls transformácóval elérhető mnteg fél méteres pontosság s, eért van jelentősége a orságra egségesen meghatároott hasonlóság lletve affn transformácó paraméterkésletenek s. Een kívül e a pontosság elegendő a ks, ké navgácós GPS vevőket hasnálók sámára s, hsen een vevők pontossága eleve 5-5 m körül moog. Mvel e a két transformácó a legelterjedtebb, eért ha a paraméterek smertek, a legtöbb térnformatka lletve GPS feldolgoó softverben alkalmahatók. Vsgáljuk meg, mvel lehetne csökkenten a maradék ellentmondásokat, hog a egés orságra érvénes, egséges transformácós modellt tudjunk meghatáron, mellel btosítan lehet a geodéában elvárható pontosságot. A első nlvánvaló megoldás több paraméteres modelleket alkalman, mnt például a polnomokkal vag a neuráls hálóatokkal történő köelítések. Érdemes lehet een kívül megvsgáln a korább eredméneket a hagomános hel hálóat és a GPS globáls rendsere köött transformácókra vonatkoóan. Akár Papp, Sűcs 5, eredménet néük a térbel hasonlóság és affn transformácóra a globáls WGS8 és a hel EOV rendserek köött, akár Bars 999 neuráls hálóatokkal történő térbel transformácóját, mndkét esetben at látjuk, hog a vísntes és a magasság koordnáták maradék ellentmondása lénegesen eltérnek. A magasságok transformácójának pontossága kb. felére tehető a vísntes koordnáták pontosságának. E felvet, hog a pontosság növelése érdekében esetleg célserű lehet a térbel D transformácót két résre bontan és külön vsgáln a vísntes D és a magasság D transformácókat. A transformácó len sétválastását a előbbeken kívül több dolog s ndokolja. A egk len ok a eltérő magasság rendserek alkalmaása. Míg a GPS esetében tstán geometra jellegű, ellpsod felett magasságokat hasnálunk, addg a hel rendserben fka magasságról van só, hsen Magarorságon a Föld nehéség erőterében értelmeett tengersnt felett magasságokkal dolgounk. A másk ok a hagománosan egmástól elkülönült vísntes és magasság alapponthálóatok és a GPS háromdmenós alapponthálóata köött különbség. A hagomános hálóatok geometrája kötött: a somsédos vísntes alappontok össelátást génelnek és a deáls sabálos háromsöget köelítő elrendeést, míg a snteéssel meghatároott magasság alappontok jó megköelíthetőséget, íg 55

56 een utóbbak rendsernt kölekedés útvonalak mentén helekednek el. A műholdas helmeghatároás eel semben nem génel semmlen geometra kötöttséget, csak sabad klátást a égboltra Krauter. Eek a különbségek s ndokolják, hog ne egséges térbel háromdmenós koordnátatransformácóval oldjuk meg a GPS és a hagomános rendserek köött átsámítást, hanem elkülönülten keeljük a vísntes D és a magasság D transformácót. A cél tehát olan geodéa pontosságú koordnátatransformácós módser kdolgoása volt, melet egségesen lehet a orság egés területén alkalman geodéa pontossággal. A pontosság növelése érdekében íg a említett okok matt egrést különválastottam a vísntes és a magasság transformácót, másrést a 7 lletve 9 paraméternél lénegesen több paraméteres modelleket alkalmatam. A követkeőkben a len modellekkel végett vsgálatam eredménet smertetem. Előtte aonban néük a térbel transformácó sétválastásának módját, lletve a paraméterbecsléshe felhasnálandó adatállomán előkésítésének sempontjat, amelek jelentősen befolásolhatják bármel modell alkalmaásának skerességét. 6.. Vísntes transformácó Néük meg elősör a két rendsert, amelek köött a transformácót vísntes értelemben végeük A WGS-8 World Geodetc Sstem 98 eg nemetköleg hasnált globáls vonatkoás rendser. A rendsert meghatároa a alapfelületként válastott a és b féltengel-hossúságú ellpsod. A koordnáta-rendser tengele a ellpsod kstengele, egbeesk a Föld köepes forgástengelével, a és tengel pedg a egenlítő síkjában helekedk el, a greenwch kedő merdán síkjában, pedg merőleges rá.. ábra Ellpsod földraj koordnáta-rendser Krauter

57 Ellpsod koordnáta-rendserben íg a WGS-8 ellpsod rendserben s eg pont helmeghatároó adata a követkeők: ϕ P ellpsod földraj geodéa sélesség, λ P ellpsod földraj geodéa hossúság és h P ellpsod felett magasság. A ϕ P, λ P, h P koordnáták árt matematka össefüggésekkel átsámíthatóak térbel deréksögű koordnátákká a ellpsod adatanak smeretében. Mvel a jelen vsgálatnál csak a vísntes helmeghatároó adatokkal sámolunk, íg a két felhasnált helmeghatároó adat a ϕ és a λ lesnek. 975-ben veették be Magarorságon a Egséges Orságos Vetület Rendsert EOV, amel a új magarorság Gauss-gömb ferdetengelű süllestett redukált hengervetülete. A redukált vetítésre aért volt sükség, hog a orság egés területe ábráolható legen egetlen vetület síkon, anélkül, hog a hosstorulás túllépne eg megengedett értéket. A vetítés két lépésben történk, elősör a ellpsodról vetítenek gömbre, majd gömbről síkra. A síkkoordnáta-rendser tengele a Gellértheg kedőmerdán képe, tengele pedg a segédegenlítő képe. A koordnáta-rendser ésakkelet tájolású. Aért, hog kküsöböljék a negatív koordnátákat és meg tudják különbötetn ránéésre a és koordnátákat, eltolták a koordnátarendser kedőpontját mndkét ránban. Íg a koordnáták mndg ksebbek km-nél, a koordnáták pedg nagobbak km-nél. A új koordnátaértékek a követkeőképp sámíthatóak: EOV. m, EOV 65. m.. ábra Egséges Orságos Vetület EOV Krauter

58 A két átsámítandó rendserben eltérő adatokat hasnálunk, a Egséges Orságos Vetület Rendserben, síkkoordnátákkal dolgounk, a WGS-8 rendserben pedg ellpsod ϕ és λ koordnátákkal. Eek köött kell koordnátatransformácós kapcsolatot felállítan a rendelkeésre álló köös pontok alapján. Felmerül még, hog vajon a magasság adatnak van-e hatása a vísntes koordnáták transformácójára. Et Papp és Sűcs 5 vsgálta geodmodell alkalmaásával lletve a nélkül. A ő eredmének alapján a magasságoknak a pontok vísntes transformácójára nncs jelentős hatása a OGPS pontjat lletően - mm eltéréseket kaptak magasságok fgelembe vételével, lletve a nélkül. Adottak tehát mndkét rendserben a össetartoó pontpárok koordnátá:, és ϕ,λ. Feladatunk tehát meghatáron a F és G függvéneket, ahol: ϕ F, F, λ F, 6. lletve G ϕ, λ G ϕ, λ. 6. G ϕ, λ Össesen tehát transformácós össefüggést kell előállítanunk vísntes értelemben, kettőt a EOV WGS8 transformácóra F, F és kettőt a nver transformácóra G, G. Melőtt aonban meghatáronánk eeket a transformácós össefüggéseket célserű megvsgáln a rendelkeésre álló adatokat, köös pontokat, nem tartalmanak-e durva hbákat, ameleket előbb k kell sűrnünk. 6.. A OGPS pontok vsgálata A magarorság OGPS Orságos GPS álóat össesen 5 pontból áll. ábra. Eeknek a pontoknak smertek mnd a WGS8, mnd a EOV koordnátá, ám e utóbbak mnteg másfél-két nagságrenddel pontatlanabbak Krauter. E a pontosságkülönbség nlvánvaló nehéségeket oko valahánsor a műholdas helmeghatároásból kapott koordnátákat át kell sámítan a állam alappontok orságos koordnáta-rendserébe, eért s sükséges több paraméteres modelleket alkalman, ám a esetleges durva hbákat eek a modellek sem tudják kküsöböln, eért erre vonatkoóan előetesen eg sűrést kell végeünk. 58

59 . ábra A OGPS hálóatunk 5 pontja A 5 pontból álló állomán esetleges durva hbának ksűrése érdekében határounk meg eg egséges transformácót a össes pont bevonásával és néük meg a maradék ellentmondásokat sntvonalas térképen ábráolva. Ehhe a BME Általános- és Felsőgeodéa Tansékén késült VETULET elneveésű softvert hasnáltam, mel polnomokkal történő köelítést hasnál a adott transformácóra, eg segédvetület rendser köbektatásával Völges et al 996. A eredmének alapján néhán pontban durva hba volt feltételehető. Eeknél a pontoknál a transformácó a pont körneetében jól működött ks maradék ellentmondásokat kaptunk a körneetben, csupán a adott pontban volt kugróan magas a hba értéke lásd 5. ábra. 5. ábra Néhán valósínűleg durva hbás pont maradék eltérése a körneetükhö képest cm-es sntvonalakkal ábráolva 59

60 Megvsgáltam többféle transformácó esetében s eeket a pontokat és körneetüket, a polnomokkal történő transformácót alkalmaó VETULET softveren kívül alkalmava a FÖMI oldaláról elérhető lokáls, térbel hasonlóság transformácót hasnáló ET nevű softvert s. Mndkét módser esetében hasonló eredméneket kaptam, am megerősítette, hog nem a alkalmaott modell hbájáról van só, hanem feltételehetően a adatok köött durva hbáról. E matt össesen 5 pont khagtam a transformácóból. A 6. ábra a khagott 5 pont elhelekedését mutatja ábra Khagott pontok A fent eredmének alapján végül a transformácós modellek meghatároásáho csak 8 pont került felhasnálásra a 5-ból. 6.. WGS8 EOV koordnátatransformácó algebra polnomokkal Mután durva hba sűrést végetünk a rendelkeésre álló köös pontokon, néük meg, hog mlen több paraméteres modellel lehetne javítan a hasonlóság és affn transformácóval elért eredméneken. Meg kell jegeem, hog bonos elképelések sernt a adott problémára csak hasonlóság transformácót lenne sabad hasnáln, mvel lneárs rendserek köött transformácóról van só. Bár a lneárs rendser nem tűnk épp heltállónak, ha arra a kösmert ábrára gondolunk, mel a két rendser köött orságosan egséges paraméterekkel elvégett elmert transformácó maradék ellentmondásat mutatja Vrág 999. A egk len lehetséges több paraméteres modell a már említett algebra polnomokkal történő transformácó. Ca és Grafarend Baden-Württemberg tartománra másodfokú polnomokat alkalmaott koordnátatransformácóra, a magasság adatok transformácója nélkül. A már említett VETULET softver s polnomokat hasnál a WGS8-EOV transformácóra, íg kéenfekvőnek tűnt, hog 6

61 a rendelkeésemre álló OGPS pontok alapján meghatároott transformácó pontosításáho én s megvsgáljam et a módsert. A polnomokkal történő regressó esetében különböő foksámú polnomok a básfüggvének. Eg másodfokú kétváltoós algebra polnom általános alakja a követkeő 6.: A 6. A A A A A5 Itt a meghatároandó smeretlen paraméterek: A,,..., 5. Mvel többnre több egenletünk van, mnt ahán smeretlen, íg a paraméterek meghatároása eg túlhatároott lneárs egenletrendser megoldásával elvégehető lneárs paraméterbecslés. A 8 OGPS pontot felhasnálva, különböő foksámú polnomok alkalmaását vsgáltam. A legjobban lleskedő modellt 5. fokú polnomokkal skerült előállítan, e paraméter meghatároását jelent polnomonként. A 6. és 6. össefüggéseknek megfelelően darab ötödfokú polnomot határotam meg, kettőt a WGS8 ϕ, λ koordnáták EOV, koordnátákká történő transformácójáho, kettőt pedg a nver transformácóho. Magasabb foksámú polnomok alkalmaása nem járt skerrel, mvel ebben a esetben rossul kondconált egenletrendsert kaptam. A ötödfokú polnommal végrehajtott WGS8 EOV transformácó után maradék eltérések és a ksámolt vísntes eltérések statstka jellemőt a 8. tábláat tartalmaa. A koordnáták, ránú maradék eltérésenek sórása -5 cm körül, a mamáls hba pedg - cm. Papp és Sűcs Papp, Sűcs 5 uganeekkel a adatokkal vsgálta a térbel hasonlóság és affn transformácókat. Eekkel a hagománosnak teknthető modellekkel -6 cm körül sórást kaptak a vísntes koordnátákra, mnteg -5 cm-es mamáls hbával. A polnomokkal történő transformácó alkalmaásával tehát lénegesen csökkenten lehetett a maradék ellentmondások értékét, a hasonlóság és affn transformácóval elérhető értékek mnteg felére-harmadára. Polnomokkal történő transformácó maradék ellentmondása sórás Potív hba mamum Negatív hba mamum Δ. m,5 m -.99 m Δ. m,5 m -.9 m Δ Δ. m,55 m 8. tábláat Polnomokkal történő transformácó maradék ellentmondása Néük meg a maradék eltéréseket sntvonalas térképen ábráolva a alkalmaott sntvonalkö cm! 6

62 7. ábra Polnommal végett transformácó eltérésenek sntvonalas térképe A fent térkép a 8 pont maradék vísntes eltéréseből nterpolált eltérések sntvonalas térképe. Fehér és sárga sínekkel vannak jelölve a 5 cm alatt hbájú területek, ölddel a 5- cm kööttek és barnával a een érték felettek. Látsk, hog ugan sok helen skerült elérn a 5 cm alatt hbát, vags a geodéa pontosságot, de még mndg nag területek maradtak, ahol nem teljesül a elvárt pontosság, hába a hasonlóság transformácóho képest két-háromsor pontosabb megoldás. Eg másk, a hasonlóság transformácónál lénegesen több paramétert hasnáló megoldás a neuráls hálóatokkal történő koordnátatransformácó Bars 999, aletnk b, Mn an et al. Néük meg, hog lehet-e esetleg tovább pontosítan a eredméneket, aa tovább csökkenten a hbát, a len típusú modellek alkalmaásával WGS8 EOV koordnátatransformácó neuráls hálóatokkal A mesterséges neuráls hálóatok paraméterenek meghatároása lénegesen eltér a polnommal történő transformácónál megsmert lneárs paraméterbecslésétől. Itt a aonos felépítésű neuronok alkotnak eg hálóatot, különböő rétegekbe rendeve, és een neuronokho rendelhetőek hoá a aktvácós függvének. Bár eg rétegen belül mnden eges neuron más néven csomópont - aonos felépítésű, aonban a meghatároandó paraméterek, súlok többnre nncsenek lneárs kapcsolatban a kmenet váltoókkal bővebben lásd orváth 995. Néünk meg eg két bemenettel, és eg kmenettel rendelkeő, eg rejtett rétegű, a rejtett rétegben n csomópontot tartalmaó, a kmenet rétegen lneárs össegést megvalósító neuráls hálóatot, ahol a, mellett a bement rétegben található még eg konstans bemenetet eltolást, bas -t btosító plus neuron lásd 8. ábra. 6

63 Bemenet réteg fnet w w w b fnet fnet fnet n Rejtett réteg net w w w b w w Kmenet réteg 8. ábra Alkalmaott neuráls hálóat felépítése Nemlneárs leképeés csak a rejtett rétegben történk, valamlen f aktvácós függvén sernt. A rejtett réteg neuronjanak bemenete a követkeő össefüggéssel adható meg: net w w w 6. ahol b, a hálóat két bemenete, w, w, w pedg a rejtett réteg -edk csomópontjáho tartoó bemenetek súla meghatároandó paraméterek. Eeknek össegett értéke net módosul eután a aktvácós függvénnek megfelelően. A két leggakrabban alkalmaott aktvácós függvén a neuráls hálóatok esetében a sgmod aktvácós függvén 6.5 és a radáls bású függvén RBF, ennek a egk váltoata a 6.6 egenlet sernt lásd még 9. ábra. f 6.5 e b f e j c j, 6.6 ahol eg Eukldes távolság a függvén köéppontjától, c pedg a j függvén lapultságára jellemő paraméter. j j 6

64 9. ábra Sgmod és radál bású aktvácós függvének A neuráls hálóat kmenetét leíró össefüggés a 8. ábra alapján tehát a követkeő, ahol sgmod aktvácós függvén esetében f -re a 6.5 képlet alkalmaandó: n w w f net 6.7 ahol n a rejtett rétegbel neuronok sáma, w és w... n pedg a kmenet réteghe tartoó meghatároandó paraméterek súlok. A hálóatban a meghatároandó súlok 6. és 6.7 alapján: w, w, w, w... n és. b w A össefüggésekből látsk, hog ebben a esetben a paraméterekre súlokra, eg nemlneárs egenletrendsert kapunk nemlneárs paraméterbecslés. Itt a hbafüggvén mnmalálást a gradens módser eg specáls, a neuráls hálóatokra kfejlestett váltoatával a ún. back-propagaton algortmus segítségével végehetjük el lásd pl. orváth 995. A neuráls hálóatokkal történő regressó esetében a adatokat két ostálba soroljuk. A egk adatállomán les a ún. tanító adathalma, amelet felhasnálunk a hálóat paraméterenek meghatároásáho, a másk állománt pedg a eredmének általánosíthatóságának ellenőrésére hasnáljuk fel, eek a ún. test pontok. Erre a neuráls hálóatoknál esetlegesen fellépő túltanulás elkerülése végett van sükség. Túltanulás esetében túlottan lleskedk a felület a tanuló adatokra, ematt a tanító pontok köött testpontokban nag mértékű hbák léphetnek fel, uganúg, mnt, amkor magas foksámú polnomot llestünk kevés adatra. Megjegeük, hog a túltanulás elkerülésére különböő egéb technkák s smertek, mnt a pl. a regularácó vag a stopped search eljárások, ameleket skerrel alkalmatak más geodéa problémák megoldásánál s, pl. aletnk, Moghtased-Aar 7. A tanítás folamat hatékonsága erősen függ attól, hog a tanító pontok mennre jól repreentálják a egés halmat, eért a neuráls hálóatoknál nagon fontos a tanító és test halma deáls megválastása. Ehhe eg lehetséges módser a repreentatvtás nde Coeffcent of Representatvt - CR hasnálata Palánc et al 6. 6

65 A továbbakban vsgáljuk meg a fent típusú neuráls hálóatoknak, mnt több paraméteres modelleknek a alkalmaás lehetőségét a WGS8 és a EOV rendserek köött transformácóra. Bars 999 térbel D transformácóra alkalmata a neuráls hálóatokat 7 köös pont felhasnálásával, rejtett rétegbel neuronnal, RBF aktvácós függvénnel. A össes pont kétharmadát, 8 pontot hasnált a tanításho és a maradék 9-et pedg a testeléshe. A mamáls eltérésre cm-t, a átlagos eltérésre pedg 6-7 cm-t kapott. Néük meg, hog a általam vsgált vísntes transformácóval a OGPS 8 pontját hasnálva mlen eredméneket tudunk elérn, javíthat-e esetleg a eredméneken más aktvácós függvéntípus és eltérő neuronsám alkalmaása. A vsgálatot tt s csak a vísntes koordnáták transformácója köött vsgáltam, magasságokat nem vontam be a transformácóba a korábban már említett okok matt. A vsgálatnál a 8 köös pont kétharmadát hasnáltam a neuráls hálóatok tanítására, a maradék egharmadot pedg a testelésre lásd.,. ábra. A tanító és testpontok egenletes elhelekedése teljesül, e fontos feltétele a jó paraméterkéslet meghatároásának.. ábra Tanító pontok elhelekedése 65

66 . ábra Test pontok elhelekedése A koordnátatransformácó során megvsgáltam a két leggakorbb aktvácós függvént, a radáls bású RBF és a sgmod aktvácós függvén alkalmaását s, amelek köül a utóbb bonult hatékonabbnak a adott feladatra. A eltérő aktvácós függvéneken kívül különböő neuronsámú hálóatokat vsgáltam, különböő normalálás eljárásokkal aletnk b,. A legjobban lleskedő hálóat, eg két bemenettel és eg kmenettel rendelkeő, sgmod aktvácós függvénű, eg rejtett rétegű, a rejtett rétegben csomópontot tartalmaó, a kmenet rétegen lneárs össegést megvalósító neuráls hálóat volt. E a hálóat a követkeő össefüggéssel adható meg: w 6.8 e w w w wb Ebben a esetben össesen nég hálóat került meghatároásra a transformácóho. Kettő a WGS8 EOV transformácóra, kettő pedg a nver feladatra. A koordnátatransformácó neuráls hálóatokkal történő köelítése a be és kmenő adatok skáláásával, normalálásával volt a legeredménesebb. Többféle skáláás módser köül aletnk a,b, a leghatékonabb a a lneárs skáláás eljárás volt, amkor a skáláandó értékből kvontam a eredet adatok köépértékét, és et elostottam a adatok sórásával:, 6.9 ahol a eredet érték, a eredet adatok átlagértéke, a sórása, pedg a normalált érték. A tanító és test adatok maradék ellentmondása a WGS8 EOV transformácóra a 9. tábláatban találhatóak. A testelés eredméne bonítja, hog a hálóatnak jó a általánosító képessége, és nem csak a tanítópontokban ad megfelelő eredmént, hanem aok köött s, mvel nncs nag eltérés a tanító és a testpontok eredméne köött. 66

67 Maradék ellentmondások a tanító pontokban neuráls hálóatokkal végett transformácó sórás Potív hba mamum Negatív hba mamum Δ.8 m, m -. m Δ.9 m,88 m -.9 m Maradék ellentmondások a test pontokban sórás Potív hba mamum Negatív hba mamum Δ.6 m, m -.7 m Δ. m,6 m -. m 9. tábláat Tanító és testpontok maradék ellentmondása WGS8 EOV transformácó esetében Vsgáljuk meg a vísntes eltérések statstka jellemőt a össes pontra és hasonlítsuk össe a eredméneket a polnomokkal történő transformácóval, %-nak véve a polnomokkal kapott értékeket. tábláat. köéphba WGS8 EOV ma. hba Polnom,cm % 5,5cm % Neuráls,6cm 78.8% 6,8cm 65,8% köéphba EOV WGS8 ma. hba Polnom,5 %, % Neuráls, 7,%,7 6,%. tábláat Maradék vísntes eltérések 8 pontra ábra. A semléletesség kedvéért néük meg a eltérések hstogramjat s.. ábra Polnomokkal balra és neuráls hálóatokkal történő jobbra transformácó vísntes eltérésenek Δ Δ hstogramja a áttanulmánouk a fent tábláat eredménet, akkor látsk, hog a neuráls hálóatok mnteg 5-%-kal jobb eredmént solgáltattak a polnomokkal 67

68 történő transformácóho képest. E a javulás elég jelentősnek teknthető. a a vísntes eltéréseket néük, akkor a EOV esetében a mamáls hbák 6 cm-ről kb. 7 cm-re csökkentek és a köéphbák s ksebbek lettek kb. cm-rel. Most néük meg a maradék eltéréseket sntvonalas térképen ábráolva!. ábra, a alkalmaott sntvonalkö cm. ábra Neuráls hálóatokkal történő transformácó eltérésenek sntvonalas térképe A fent ábrán fehér és sárga sínnel vannak jelölve a 5 cm alatt hbájú területek. Látsk, hog a hbák majdnem a egés orság területén ksebbek 5 cmnél, vags megfelelnek a elvárt geodéa pontosságnak, cm-nél nagobb hbák barna sínnel jelölve pedg csak elvétve eg-eg ks területen fordulnak elő, míg ugane nem mondható el a polnomokkal történő transformácóról lásd 7. ábra. A legnagobb eltérések a Ésak-köéphegség területén találhatóak. Érdemes eg tábláatba össefoglaln a 8 pont maradék ellentmondásat, különböő hba kategórákba sorolva őket, mnd a polnomok, mnd a neuráls hálóatok esetében. hba [cm] polnomokkal történő transformácó Össesen 8 pont % transformácó neuráls hálóatokkal < 5 6 pont 55% 88 pont 7% 5- pont 6% 6 pont % < pont 9% 7 pont %. tábláat Transformácók hbá kategóránként Feltételeve, hog eg-eg pont nagjából aonos területet repreentál, a neuráls hálóatokkal végett transformácó esetében a orság területének kb. 7%-án teljesül a 5 cm-en belül pontosság, cm-en felül eltérésekkel pedg 68

69 mndösse %-n területen találkohatunk. E a gakorlat felhasnálásho már nagon jól megfelel. A koordnátatransformácó megoldása során a Mathematca softvert és a ehhe tartoó Neural Networks kegésítő modult hasnáltam. A neuráls hálóatok tekntetében a Mathematca előne a legtöbb neuráls hálóatokkal dolgoó softverrel semben, hog nem csak numerkus, hanem smbolkus sámításra s képes. Míg a legtöbb rendser fekete dobo -ként működk a neuráls hálóatokkal történő sámítások során, vags a bemenő adatok megadása után a program megadja a numerkus értékeket, addg a Mathematcaban a bemenő adatok lehetnek smbolkus váltoók s pl., és lenkor eredménként a leképés függvénének analtkus alakját kapjuk meg f,, amt később máshol s követlenül felhasnálhatunk. A kapott függvén követlenül átalakítható a Mathematcában a C programoás nelv sntaktkájára, e pedg können tovább alakítható például a ava nelvben hasnálatos formába, mvel a kettő serkeete nagon hasonló. Ahho, hog a meghatároott transformácós össefüggések bárk sámára egserűen hoáférhetőek legenek kéenfekvőnek tűnt, hog Interneten tegem köé a eredméneket. Ehhe késítettem eg nternetes ava alkalmaást, ún. Applet-et aletnk 5. E a alkalmaás bárk sámára elérhető a BME Általános- és Felsőgeodéa Tansékének honlapjáról, a on-lne solgáltatások menüpont alól Össefüggés a neuráls hálóatok és a polnomokat alkalmaó modellek appromácós tulajdonsága köött Korább polnomokkal és neuráls hálóatokkal végett vsgálatam alapján úg tűnk, hog egértelmű össefüggés mutatható k a rendelkeésre álló adatok sáma és a válastott módser hatékonsága köött. Bonos esetekben polnomokkal skerült jobb, robustusabb megoldást adn eg adott problémára, más esetekben pedg a neuráls hálóatokkal Lásd aletnk, Völges, Palánc ; aletnk ; aletnk 6a; aletnk, Moghtased-Aar 7. Vsgáljuk meg a meghatároandó paraméterek sámát a polnomokkal és a neuráls hálóatokkal történő regressó során. A meghatároandó paraméterek sáma polnomokkal történő regressó esetében a polnom foksámától függ. Kétváltoós r-ed fokú polnom paraméterenek a sáma a követkeő össefüggéssel adható meg: r r p. 6. Eg sntén kétváltoós vags két bemenettel és eg kmenettel rendelkeő, eg rejtett rétegű, a rejtett rétegben n csomópontot tartalmaó, a kmenet rétegen lneárs össegést megvalósító sgmod aktvácós függvénű neuráls hálóat paraméterenek a sáma pedg 6. és 6.7 alapján: p n, 6. Eg d váltoós, r-ed fokú polnom repreentálható eg eg rejtett rétegű és eg kmenettel rendelkeő neuráls hálóattal. A neuráls hálóatok polnomköelítés 69

70 képességével kapcsolatban Scarsell és Ah Chung Tso Scarsell, Ah Chung Tso 998 a követkeő tételt bonította eg rejtett rétegű és eg kmenettel rendelkeő, hálóatokra vonatkoóan: a g eg d váltoós algebra polnom, amelnek foksáma nem nagobb, mnt r, továbbá : R R függvén r-ser foltonosan derválható a c pont nílt körneetében, valamnt tegük fel, hog c ga mnden r esetére, akkor mnden nem negatív valós ε-ho létek eg fent defnált típusú neuráls hálóat aktvácós függvénnel és r d r 6. d sámú rejtett rétegbel csomóponttal és eg b küsöbértékkel bas úg, hog g f < ε, 6. ahol f repreentálja a neuráls hálóat által megvalósított függvént. E sernt, a 6. alapján megkaphatjuk, hog hán rejtett rétegbel csomópontot kell alkalmanunk a neuráls hálóatban, ahho, hog eg r-ed fokú polnomot tökéletesen köelítsünk. 5. fokú és kétváltoós polnom köelítése esetében tehát ennek alapján: neuront kell alkalman. Néük meg még egser a OGPS pontokra végett koordnátatransformácókra kapott eredméneket. A polnomokkal történő transformácónál 5. fokú polnomot alkalmatunk, a neuráls hálóatokkal végett transformácónál pedg neuront a rejtett rétegben. Scarsell és Ah Chung Tso tétele sernt a ötödfokú polnom pont eg rejtett rétegbel neuront tartalmaó hálóattal köelíthető tetsőleges pontossággal. a aonban a eredméneket néük, akkor a derül k, hog a neuráls hálóatokkal végett köelítés mégs 5- %-kal jobb eredmént adott, mnt a polnomokkal való köelítés. Ennek magaráata a, hog a neuráls hálóatokkal nem magát a polnomot köelítettük, hanem a adatokat. A egrétegű, sgmod aktvácós függvénű neuráls hálóattal, mnd sokparaméteres modellel kapott eredmének ndokolják Scarsell és Ah Chung Tso tételének, a gakorlat alkalmaás sempontjából eg fontos átfogalmaását. Neveetesen, abból, hog Scarsell és Ah Chung Tso tétele sernt eg r-ed fokú polnom tökéletesen köelíthető eg a rejtett rétegben n csomóponttal neuronnal rendelkeő, sgmod aktvácós függvént alkalmaó neuráls hálóattal, a követkek, hog a köelítendő adatok sempontjából, e a neuráls hálóat legalább olan jó köelítését adja eeknek a adatoknak mnt a r-ed fokú polnom, aa esetenként akár jobb köelítést s btosíthat, hasonló módon a általunk kapott eredménhe. 7

71 Ábráoljuk a meghatároandó paramétereket eg kétváltoós polnom foksámának a függvénében valamnt a Scarsell és Ah Chung Tso tétele sernt ennek megfelelő neuráls hálóatok paramétersámát. A r-ed fokú kétváltoós d polnomot köelítő neuráls hálóat meghatároandó paraméterenek a sáma a 6. és 6. össefüggés alapján: r p r r r 6. A kétváltoós r-ed fokú polnom paraméterenek a sáma 6. össefüggés sernt adható meg. A. ábrán a polnom foksámának függvénében ábráoltam a meghatároandó paramétersámot a polnomok kékkel jelölve és a őket köelítő neuráls hálóatok prossal esetében. A ábrán látható, hog a polnomok paraméterenek a sáma lénegesen kevesebb, mnt a nekk megfelelő neuráls hálóatok paramétersáma a polnom egés foksámának megfelelő dskrét pontokat a jobb megjelenítés érdekében össekötöttem.. ábra Különböő foksámú, kétváltoós polnomok és a őket köelítő neuráls hálóatok paraméterenek a sáma, a polnom foksámának a függvénében Et fgelembe véve, belátható, hog a neuráls hálóatok akkor hasnálhatóak eredménesebben a polnommal történő transformácónál, amkor kellően sok adat áll a rendelkeésünkre. Egrést Scarsell és Ah Chung Tso tétele sernt eg uganolan pontosságú becsléshe jóval több paraméter sükséges a neuráls hálóatok esetében, mnt a nekk megfelelő polnomoknál lásd. ábra, másrést a neuráls hálóatok eleve több adatot génelnek amatt, hog a adatokat külön tanuló és test halmaokba kell soroljuk. A fenteket llustrálandó, néünk meg rövden eel kapcsolatban két másk függvénköelítés alkalmaás példát a geodéa területéről. A első sntén eg koordnátatransformácós feladat, a másodk pedg a magarorság geodfelület köelítése. Ennél a koordnátatransformácós feladatnál kderült, hog kevés sámú adat esetén megfelelőbb polnomokat alkalman, mnt neuráls hálóatokat aletnk. Ebben a esetben sntén EOV-WGS8 rendserek köött transformácót sámítottam, de a transformácóho ekkor csupán eg köös pontból álló 7

72 állomán állt rendelkeésemre. A transformácóho, a vetület sabálatnak megfelelő 5. fokú polnomokat alkalmatam, amelek meghatároásáho paraméter sükséges. Másrést neuráls hálóatokkal s próbálkotam, ám a ellenőréshe hasnált oda-vssa transformácó eltérése tt több méteres hbákat eredménetek, semben a polnomokkal történő köelítés centméteres hbával. E perse a korábbak értelmében nem s meglepő, hsen eg ötödfokú polnomnak megfelelő, csomópontot tartalmaó, neuráls hálóat előállításáho smeretlen meghatároására lenne sükség, holott csak adat állt rendelkeésre. Mnt láttuk a 5 köös pontból álló állomán esetében vsont már mnteg % javulást lehetett elérn a neuráls hálóatokkal a polnomokho képest. Eg másk geodéa alkalmaás példa a magarorság geodfelületet köelítése polnomokkal és neuráls hálóatok teleskópkus soroatával aletnk, Völges, Palánc. E a adatbás több mnt pontot tartalmaott. Ebből a neuráls hálóatok tanításáho 8 adatot, testeléshe pedg a össes adatot felhasnáltam. A íg kapott eredmének alapján a legjobban lleskedő polnommal való köelítéshe képest a alkalmaott neuráls hálóatok soroata már mnteg 7%-os javulást eredméneett. A geodéában felmerülő kétváltoós regressó-sámítás feladatoknál alkalmaandó módser kválastásában tehát a döntő sempont a rendelkeésre álló adatok mennsége. Vsonlag kevés rendelkeésre álló adat esetében a robustus becslés matt célserűbb a egserűbb polnomokat hasnáló modellt válastan. A pontosság növelése érdekében meg lehet próbáln a polnom foksámát növeln, aonban tekntetbe kell vegük at a tént, hog a polnommal történő felületllestés bonos foksám felett már rossul kondconált egenletrendsert eredméne. Rossul kondconált esetben a megoldás rendkívül éréken a hbákra íg a numerkus megoldás eredméne gakorlatlag megbíhatatlan, követkeésképpen a regressó pontosságának növelése nem érhető el a foksám növelésével. A polnomot alkalmaó regressó többnre 7-8. fok esetében már rossul kondconált feladatot eredméne. Eg 8. fokú polnomnak megfelelő neuráls hálóat 89 smeretlen meghatároását jelent, íg ekkora adatmennség esetén már bonosan jobb eredmént érhetünk el neuráls hálóatokkal. A fent eredméneket össefoglalva: Kmutattam, hog eg egrétegű sgmod aktvácós függvénnel rendelkeő neuráls hálóat, mnt több paraméteres modell alkalmaása a smertetett EOV WGS8 transformácó megoldására lénegesen kedveőbb, hatékonabb, mnt a eddg hagománosan alkalmaott hasonlóság, affn vag akár polnommal történő transformácó, mután a neuráls hálóattal még a eek köül legpontosabb polnommal való transformácónál s mnteg 5-%-kal jobb eredmént skerült elérn. A neuráls hálóatokkal végett transformácó, egséges paraméterkéslettel a egés orságra, a 5 cm alatt pontosságot a orság mnteg 7%-án btosítja. Megállapítható, hog a geodéában felmerülő kétváltoós regressósámítás feladatoknál alkalmaandó módser kválastásában a döntő sempont a rendelkeésre álló adatok mennsége. Kmutattam, hog a neuráls hálóatok akkor hasnálhatóak eredménesebben a polnomokkal történő transformácónál, amkor kellően sok adat áll a rendelkeésünkre. Két okból s több adatra van sükség: résben amatt, hog a neuráls hálóatokkal történő regressó során a adatokat két csoportba kell soroln: tanuló és test halmaokba, résben pedg amatt, hog 7

73 Scarsell és Ah Chung Tso tétele alapján bonított, hog eg adott foksámú polnomot tökéletesen köelítő neuráls hálóat sokkal több paramétert génel. Scarsell és Ah Chung Tso tételéhe a gakorlat alkalmaás sempontjából fontos kegésítést tettem, msernt a mérés adatokra néve, a tétel által meghatároott neuronsámú hálóattal legalább olan pontos köelítést tudunk elérn, mnt a nek megfelelő polnommal. E at jelent, hog a megfelelő neuronsámú neuráls hálóat len értelemben akár jobb eredmént s nújthat, mnt a polnomokkal történő köelítés, hasonlóan a általam kapott eredménekhe. A neuráls hálóat modell alapján meghatároott transformácós össefüggések gakorlat alkalmaások sámára való hoáférhetősége érdekében eg nternetes ava alkalmaást késítettem. 7

74 7. Magasság transformácó D kombnált GPS, snteés és gravmetra adatok felhasnálásával A egés orságra egségesen hasnálható, geodéa pontosságú WGS8 EOV transformácó előállítása vísntes értelemben sem egserű eset, aonban a GPS-sel meghatároott magasságok hel magasság rendserbe EOMA Egséges Orságos Magasság Alaphálóat történő transformácójánál újabb problémát vet fel a két rendserben teljesen eltérő jellegű magasságok hasnálata. A WGS8 rendserében tstán geometra jellegű, ellpsod felett magasságokat hasnálunk, míg a hel magasságok a Föld nehéség erőterében értelmeett tengersnt felett magasságok, neveetesen Balt tengersnt felett magasságok. A kettő köött kapcsolatot geod modell hasnálatával teremthetjük meg. A két rendser köött átsámításho, transformácóho, megfelelő pontosságú geodmodell alkalmaására van sükség. Magarorságon sámos különböő módserrel és különböő kutatóhelen végenek geod-meghatároásokat lásd Völges et al. 5. Centméteres pontosságú, a terep geodéa sámára s hasnálható geod megoldás kombnált GPS-gravmetra geoddal érhető el, amkor a gravmetra geodot kombnáljuk a GPS - snteés mérésekből meghatároott GPS geoddal, felhasnálva a kettő köött kapcsolatot leíró ún. korrekcós felületet. Eért fontos feladat, mnd a gravmetra geodmodell pontosítása, mnd a GPS - snteés pontok sűrítése, és a kettő kapcsolatát leíró optmáls modell kválastása és a megfelelő sámítás eljárás kdolgoása. elen vsgálatamnál e utóbbval foglalkotam. Célom a volt, hog megadjam a korrekcós felület előállításának hatékon eljárását. Ennek érdekében különböő módsereket vsgáltam meg, előállítva a magasság transformácóho hasnálható korrgált GPS-gravmetra geodot a rendelkeésre álló adatok alapján aletnk et al 7a. 7.. GPS geod és gravmetra geod kombnácója korrekcós felület hasnálatával GPS mérésekből ellpsod felett magasságot határounk meg, geodéa gakorlatban vsont tengersnt geod felett magasságokkal dolgounk, ameleknek a meghatároása snteéssel történk. A dő- és költséggénes snteést aonban megfelelő geodmodell alkalmaásával GPS mérésekkel s helettesíthetjük, hsen a geodundulácó értéke a geod-ellpsod távolságát adja meg. A átsámításho a követkeő egserű össefüggést hasnálhatjuk: h N 7. ahol h a ellpsod felett, a tengersnt felett magasság és N a geodundulácó értéke. Termésetesen a 7. össefüggés nem csupán a GPS magasságok hel rendserbe történő átsámításáho alkalmaható. a rendelkeésünkre állnak olan pontok, ahol nem csak a gravmetra geodmagasság értékét smerjük, hanem GPS mérés és snteés s történt, akkor eel testelhetjük a gravmetra geod pontosságát. Aonban általában megállapítható, hog a 7. össefüggés sámos téneő matt nem teljesül. a eeket a eltéréseket e-vel, jelöljük, akkor a 7.-es össefüggés íg módosul: 7

75 h N e 7. A nemetkö gakorlatban eeket a eltéréseket ún. korrekcós felület megadásával sokták modellen. E a korrekcós felület teremt kapcsolatot eg globáls vag lokáls gravmetra geodmodell és a GPS ll. snteés adatokból meghatároható GPS geod köött. A eltérések oka Fotopoulos-Featherstone-Sders vsgálata sernt a követkeők lehetnek: a háromféle magasság adat véletlen hbá, dátum eltérések, a adatok mérés módsereből, a modelleéséből, a kegenlítéséből adódó sabálos hbák és torulások elsősorban a hossúhullámú geodeltérések a alkalmaott geopotencáls modellből adódóan, sabálos hbák a snteés adatokban, rossul modelleett GPS hbák - pl. troposférkus javítások -, snteés hálóatok kegenlítéséből keletkeő torulások, és termésetesen a referenca pontok dőbel nstabltása s de tartok. A korrekcós felülettel elsősorban a dátum eltéréseket és a sabálos hbákat lehet modellen. Tekntsünk most el a gravmetra geod lletve a GPS és a snteés adatok sabálos hbától, és csak a dátum eltérésekre össpontosítsunk. A 5. ábra alapján látható, hog a korrekcós felület ebben a esetben s kettős serepet tölt be ΔN, ΔE. A ΔN eltérés lehet a hel magasság rendser jelen esetben pl. a Balt alapsnt és a alkalmaott geodmodell sntje köött mndkettő a Föld nehéség erőterének eg-eg különböő potencál sntfelülete, lletve ΔE a GPS mérések referenca ellpsodja és a geodundulácók vonatkotatás ellpsodja köött eltérés. Eek a eltérések általában nem írhatóak le eg konstans eltolással, csak valamlen bonolultabb össefüggéssel. 5. ábra Lehetséges dátumeltérések Érdekes megfgeln, hog a gravmetra geodok fejlődésével, hogan váltonak a korrekcós felülettel modelleendő hbák. Erre jó példa a EUVN_DA adatbás, amel több mnt európa nagpontosságú GPS - snteés pont adatat tartalmaa. Eekből sámíthatóak a eltérések különböő gravmetra geodoktól. A újabb geodmodellek alkalmaásával jelentős mértékben, bonos területeken felére, harmadára csökkentek a eltérések Keneres et al

76 7.. Korrekcós felület modellek A korrekcós felületek többnre valamlen paraméteres modellel írhatók le: a T GPS grav N N 7. ahol a a vektor tartalmaa a modell smeretlen paraméteret, pedg a kválastott modell alakvektora a modell básfüggvéne, pl. másodfokú kétváltoós polnom T T GPS esetén,,,,, és a a, a, a, a, a, a5, a6. A N a GPS - snteés adatokból sámítható GPS geod, a N grav pedg a gravmetra geod rövdítése. A nemetkö sakrodalomban korrekcós felületként sámos különböő paraméteres modell alkalmaásával találkohatunk, a egserű síkllestéstől kedve, a polnomllestésen, hasonlóság transformácókon, splne-okon, Fourersorokon, waveleteken kerestül egésen a végeselem módser alkalmaáság. A megfelelő modell kválastása nem trváls feladat, függ a adott terület sajátosságatól, a mérés pontok sűrűségétől és eloslásától. A kválastásnál serepet játshat a a sempont s, hog a kapott eredmén analtkus formában legen megadható. Ebben a esetben ugans a formula egserűen felhasnálható valamlen magas sntű - például C vag ava - nelvben, amelek rendkívül gorsak és a program helgéne s messe ksebb, mnt a teljes adatmennség tárolásáho sükséges tárkapactás. A téma népserűsége matt nehé felsoroln a össes megoldást, de aért álljon tt a teljesség géne nélkül néhán jellemő példa: Kollokácó Forsberg and Madsen, 99 Különböő foksámú polnomok Shretha et al 99 Fourer sorok aagmans et al 998 Splne nterpolácó Featherstone, Végeselem módser äger and Schned, Waveletek Soltanpour et al, Kombnált legksebb négetek sernt kegenlítés Fotopoulos, 5. A magarorság korrekcós felület alkalmahatóságának vsgálatáho snteett GPS pontból álló adatállomán állt rendelkeésre. Ennek a hbája néhán centméterre tehető, de sok durva hbás pont s volt a állománban. Remélhetőleg dővel, újabb GPS - snteés kampánok jóvoltából rendelkeésre fog álln ennél nagobb pontosságú adatállomán s. A durva hbák sűrése után a pontból pont maradt a adatbásban Keneres-Seeman, 999. A vsgálatomho a GPSsnteés adatokkal javított GTUB gravmetra geodmodellt hasnáltam fel Tóth-Rósa,, és a GPS snteés pont eltéréset modelletem a alább módserek alkalmaásával: különböő foksámú polnomok, mesterséges neuráls hálóatok, support vector machnes, köbös splne nterpolácó, végeselem módser vékonleme splne. 76

77 A végeselem módserhe a FEM-Desgn softvert aletnk et al 7c, a több sámításáho a Mathematca softvert hasnáltam aletnk et al 7a. A FEM-Desgn softver elsősorban mechanka sámítások céljára késült, de mnt a példánkból látjuk a geodéa feladat mechanka problémává történő átfogalmaása után een a területen s jól alkalmaható. 7.. A adatok előkésítése A snteett OGPS ponton kívül rendelkeésre állt a sámításokho a GTUB gravmetra geodmodell, am 68 pontban, Δϕ és Δλ 5 felbontással, tehát köel km-es rácsháló sarokpontjaban tartalmaa a geodundulácó értéket. A korrekcós felülettel modellen kívánt eltérések ksámításáho uganaokban a pontokban kell smernünk mnd a GPS - snteés, mnd a gravmetra geod magasságokat. Ehhe valamlen nterpolácós technkával meg kell határon a kérdéses pontban a gravmetra geod értékét, majd a említett különbségek a 7. össefüggés alapján sámíthatók. Mután köel klométerenként vannak a pontok és een belül a geod jó megköelítéssel síknak teknthető, íg a egk lehetőség lokáls blneárs nterpolácó alkalmaása somsédos pont alapján. a valamlen függvénnel seretnénk nterpoláln, analtkus formában megadva a geodot, akkor erre jó lehetőséget nújt a splne nterpolácó. Esetünkben a geod 88 pontjára lleskedő radáls bású, köbös, kétváltoós splne nterpolácót alkalmava Kansa 999, lásd még 8. melléklet, a 68 pontból álló teljes geodot gen jól - cm hbával köelítő analtkus formulát állítottunk elő, a követkeő alakban: n ϕ ϕ λ N ϕ, λ w w λ 7. ahol w és w a korrekcós felület paramétere, ϕ, λ a smert pontok koordnátá, n pedg a felhasnált tanuló pontok sáma. A blneárs és a splne nterpolácós módser eredméne nag pontossággal egetek, a eltérések sórása mndösse mm volt. A gravmetra geod értéke a GPS - snteés pontban végül splne nterpolácóval került meghatároásra. Eeknek a GPS geodtól való eltéréset mutatja a 6. ábra, a. tábláatban pedg a adatok statstka jellemőt láthatjuk. 77

78 6. ábra GPS geod és gravmetra geod eltérése pontban Átlag Sórás Mn Ma 6.8 cm 8.7 cm -7. cm.5 cm. tábláat A pontbel GPS-gravmetra geod eltérésenek statstka jellemő 7.. A modellek hatékonságvsgálatának módsere Matematka sempontból a korrekcós felület előállítása nem más, mnt eg kétváltoós függvén köelítése sabáltalanul elhelekedő mérés adatok ϕ, λ, e alapján. A köelítés hatékonságának becslésére a egk fontos paraméter a maradék hbák vsgálata, e aonban nem nújt támpontot a modell általánosító képességére. Magas foksámú polnomok és más sok paraméteres modellek esetében felléphet a 7. ábrán semléltetett ún. túlparamétereés, vag túltanulás jelensége, amkor a llestéshe hasnált pontoktól eltérő pontokban megnő a hba nagsága. 7. ábra Túltanulás jelensége A ún. túltanulás elkerülése végett a rendelkeésre álló mérés adatokat tanuló halmara és test halmara osthatjuk, mnt a történt korábban a neuráls hálóatokkal végett koordnátatransformácó esetében s. A tanuló halma alapján végeük el a köelítő függvén előállítását és ennek általánosíthatóságát a test halmaal ellenőrük. Már e a első lépés s több problémát vet fel. Mvel a mérések elrendeődése nem sabálos és kevés s van belőlük esetünkben 78

79 mndösse darab nem egserű feladat a test halma elemenek a kválastása, hsen ha eeket ügetlenül válastjuk meg, a megmaradó tanuló halma alkalmatlan lehet a megfelelő köelítés előállítására a 5 pontos OGPS állománnál a vísntes koordnátatransformácónál e nem okoott nag problémát, mvel sok és a tartománt egenletesen lefedő adat állt rendelkeésre. A egk lehetséges megköelítés a probléma megoldására, ha a test halmat egelemű halmanak válastjuk, úg, hog mndg más-más pontra kerül a válastás. E at jelent, hog n mérés adat esetén n-ser oldjuk meg a feladatot, tanulóhalmaként a aktuáls n- darab pontra vonatkoóan. A egelemű testhalmaokra kapott hbák alapján, aokat súlova becsüljük a köelítés hbáját Fotopoulos-Sders, 5. A eljárás lénegében eg specáls Gauss - acob módsernek teknthető Awange-Grafarend, 5. E a módser aonban nem ad arra támpontot, hog amennben tovább GPS mérés adatokkal rendelkenénk, a adott köelítés mennre lenne megfelelő. Erre sokkal nkább megfelel a mesterséges ntellgenca területén alkalmaott tanuló/test halma módser, aa a modell általánosító képességét a tanuló és a testhalmaon adódó hbák hánadosával mérjük. A kérdés aonban továbbra s a, hog mként állítjuk elő eeket a halmaokat. A aktuáls feladatnál javasolt és alkalmaott megoldás lénege, hog a testhalma elemet úg határouk meg, hog a eredet mérés adatok halmaában lévő köel mérés pontok eltérő vag a tanuló-, vag a testhalmaba kerüljenek. Esetünkben a 8. ábra semléltet a tanulóhalma és a testhalma elemet. A eredet mérések /-a került a tanuló és /-a testhalmaba. 8. ábra Tanulópontok háromsögek és testpontok körök 7.5. A alkalmaott modellek eredméne A korrekcós felület típusának megválastása nem egértelmű feladat, célserű több módsert s megvsgáln és a adott feladatho a legjobban lleskedő megoldást válastan. A össehasonlítás végett geketem mnél több felülettípust alkalman mnd a llestés pontossága tekntetében maradék ellentmondások a tanuló pontokban, 79

80 mnd a modell általánosító képességének a vsgálata sempontjából eltérések a testpontokban. A. tábláat tartalmaa a erre vonatkoó eredméneket, mnd a tanuló, mnd a test adatokra, cm mértékegségben. A tábláatban megtalálható a eltérések átlaga, sórása, valamnt eek mnmáls és mamáls értéke. A alkalmaott módserek köött voltak.. és. fokú polnomokkal történő köelítések valamnt neuráls hálóatok radál bású aktvácós függvénekkel, e utóbb megoldásnak eg módosított váltoatában eg ún. regularácós tag s alkalmaásra került, melet a neuráls hálóatok túltanulásának elkerülése végett soktak alkalman. Een kívül a FEM-Desgn softver alkalmaásával végeselem módser vékonleme splne aletnk et al 7c, support vector machnes aletnk et al 7d és a gravmetra geod köelítésekor s már felhasnált köbös splne került alkalmaásra. A. tábláatban a tanuló és testhalma sórásat tekntve csökkenő sorrendben soroltam fel a módsereket. Feltűnő, hog a utolsó két módser esetében a felület tökéletesen, mm alatt hbával, lleskedett a tanuló pontokra, ennek ellenére a len esetekben várható túltanulás jelenség mégsem követkeett be. Ennek a magaráata, abban rejlk, hog míg a első 5 módser globáls köelítést valósít meg, addg e utóbbak lokálsan köelítk, alacson foksámú felületekkel a egés területet. Megjegeem, hog a végeselem alkalmaásánál bár a modell, a vékonleme splne globáls, de ennek végeselem megoldásánál már lokáls felbontással, véges elemekkel történk a sámítás. Íg e utóbb két módser adja még a testpontok esetében s a legksebb maradék eltérést. Módser Tanulóhalma eltérése[cm] Testhalma eltérése[cm] átlag sórás mn ma átlag sórás mn ma. fokú polnom fokú polnom fokú polnom Support vector machne Regularált neuráls hálóat Neuráls hálóat Végeselem FEM köbös splne tábláat Korrekcós felületek maradék eltérése a tanuló és a testpontokban Ábráoljuk sntvonalas térképen a legjobban lleskedő köbös splne nterpolácóval előállított korrekcós felületet 9. ábra, cm-es sntvonalköökkel. 8

81 9. ábra Köbös splne nterpolácóval előállított korrekcós felület. A ovonalak értékköe. m 7.6. Eltérések vsgálata a test pontokban A. tábláatban feltűnő, hog a testhalmaon a negatív eltérések mamuma lénegesen mnteg,5-,5-ser nagobb, mnt a potív eltérések mamuma, mnd a splne nterpolácó, mnd a több módser esetében, uganakkor a átlag körnékén van. Eeket a eltéréseket okohatja például néhán durva hbás pont s. Vsgáljuk meg eért a eltérések hstogramját. ábra! A. ábrán látható, hog mndösse 5 pont okoa eeket a kugró értékeket, a össes több eltérés cm alatt van. Feltételeve, hog a modell általánosító képessége kelégítő, ebből akár arra s követketethetnénk, hog durva hbás pontok maradtak a adatankban. Aonban érdemes még megnén e hbás pontok terület elhelekedését s. A. ábrán a eredet eltéréseket semléltető ábrából knagítva látható eg réslet, ahol len pont található lásd a határ köelében lévő bekarkáott pontokat, a ábra alsó rése pedg a tanuló-testpontok elhelekedését mutató ábrának uganeen résletét mutatja. A ábra alapján megállapítható, hog nem durva hbáról van só, csupán arról, hog e testpontok ellenőrése esetén etrapolácó történt, nterpolácó helett. Mndhárom pontban eredetleg s lénegesen nagobbak voltak a gravmetra geodtól való eltérések, mnt a körneetében lévő pontokban, íg nem s várhatjuk, hog eeken a heleken kelégítő eredmént kapjunk. 8

82 . ábra Köbös splne nterpolácóval kapott maradék eltérések hstogramja a testpontokban. ábra Durva hbásnak vélhető testpontok Látjuk, hog mennre fontos a adatok egenletes eloslása, durvahba sűrése és a módserek testelése sempontjából a tanuló és a testhalma deáls sétválastása. E utóbb feladat megoldására dőköben más módsereket s vsgáltunk, melekkel esetleg hatékonabban kküsöbölhetőek lennének a etrapolácós problémák, lletve egenletesebb ponteloslást lehetne btosítana a tanuló halmaban Palánc et al. 6. Eel kapcsolatban termésetesen a s 8

83 léneges kérdés, hog a különböő tanuló halma válastása esetén mennre térnének el egmástól a felületllestés után kapott eredmének A OGPS pontok magasság transformácójának vsgálata A eddg vsgálatok alapján a magarorság korrekcós felület előállítására a köbös splne nterpolácó bonult a legeredménesebbnek. A tanuló és test halmaokkal végett vsgálatok at mutatták, hog a alacson foksám matt nem lép fel a túltanulás problémája. A pontosabb eredménekhe eért végül a össes pont bevonásával állítottam elő splne nterpolácóval a korrekcós felületet. Et hoáadva a alkalmaott gravmetra geodho megkapjuk a korrgált GPS-gravmetra geodot, amelet már felhasnálhatunk a GPS-sel meghatároott ellpsod felett magasságok tengersnt felett magassággá történő transformácójáho 7.5. h N, 7.5 ahol a tengersnt felett magasság, h a ellpsod felett magasság, N pedg a geodundulácó értéke. A OGPS össes pontjának van tengersnt felett magassága, am többségében nem snteéssel meghatároott magasság, hanem kvá snteett magasság. Ennek meghatároását a FÖMI-ben végeték GPS-gravmetra geod előállításával, de nem globálsan, hanem lokálsan, ksebb területeken llestve a gravmetra geodot másodfokú polnommal a geodho Keneres, Seeman 999. Megvsgáltam a OGPS pontjaban a magasságok transformácóját a általam előállított korrgált geoddal. A vísntes transformácó során 5 pontot khagtam a 5 OGPS adatbásból, a magasság transformácó vsgálatába sem vontam be eeket a pontokat. Een a 5 ponton kívül a magasságoknál eg pontban merült fel durva hba ganúja, ugans ennek a eg pontnak a magassága mnteg fél méterrel eltért a körneetétől. Íg tehát össesen 6 pontot hagtam k a eredet állománból, tehát a transformácót 7 pontra végetem el. Néük meg a transformácó pontosságát eekben a pontokban, mnd a korrgálatlan GTUB gravmetra geoddal, mnd a előállított korrgált GPS/gravmetra geoddal! OGPS pontok magasság transformácójának eltérése átlag sórás mn ma korrgálatlan gravmetra geoddal 6.9 cm 8. cm -7. cm.7 cm korrgált GPS-gravmetra geoddal. cm. cm -8.9 cm 8.5 cm. tábláat OGPS pontok magasság transformácójának eltérése A. tábláat tartalmaa a OGPS pontok magasság transformácója után maradék ellentmondásokat a kétféle geoddal végett sámítások esetén. Néük meg a eredmének hstogramját s: 8

84 . ábra A korrgálatlan bal oldalt és a korrgált geoddal jobb oldalt végett magasság transformácó maradék ellentmondásanak hstogramja a OGPS pontjaban Mnd a. tábláat alapján, mnd a. ábráról jól látható a korrekcós felülettel elérhető javulás. A korrgált geodfelülettel végett transformácóval a OGPS 7 pontjából 6-ban, vags a pontok 99%-ban absolút értékben 5 cm alatt maradék ellentmondásokat kaptunk, tehát a modell kválóan alkalmaható a gakorlat életben s a transformácó elvégésére. Végeetül a. ábra a köbös splne nterpolácóval meghatároott korrgált geodfelületet mutatja.. ábra A korrgált geodfelület A kapott megoldás megadható analtkus formában, hsen mnd a gravmetra geod köelítésénél, mnd a korrekcós felület köelítésénél a köbös splne nterpolácó került alkalmaásra, mel a 7. össefüggés sernt analtkus formulával leírható. A jövőben célserű lenne eel a transformácóval kegésíten a vísntes transformácóra késített ava appletet. A appletnek most s van eg olan váltoata a tansék honlapján, amel tartalma magasság transformácót s, e aonban eg lénegesen pontatlanabb megoldással késült, ebben a gravmetra geod neuráls hálóatokkal van köelítve, a korrekcós felület pedg polnommal aletnk 6b. A jobb gakorlat alkalmahatóság érdekében et seretném a jövőben lecseréln a most megadott modellre. 8