A geometriai transzformációk egy speciális esete, a külső tájékozás

Átírás

1 DIMENIÓK Mtemtk Kölemének II. kötet 4 A geometr trnsormáók eg seáls esete külső táékoás ávot Jóse MTA CSFK GGI vot@ggk.hu ÖSSEFOGLALÓ. A geometr külső táékoás rméteret ontok kékoordnátá és hoáuk trtoó tárg- vg terekoordnáták köött ennálló mtemtk össeüggésől lehet meghtáron. A eldt megoldásár gkorltn már ól evált köelítő módsereket létenek. Eek mtemtk modellek évtedek ót hsnáltn vnnk. Een kken vsltot tesünk eldt eg úserű egkt megoldásár. ABSTRACT. The rmeters o geometr eteror orentton n e determned rom the mthemtl relton etween the mge oordntes o the onts nd the oet or terrn oordntes elongng to them. There est romton methods or the soluton o ths rolem whh hve or dedes een suessull led n the rte. In ths work we roose new nd et soluton o the rolem.. Beveetés A terméseten léteő össeüggéseket törvéneket áltlán nemlneárs egenletekkel lehet leírn meleket gkorltn lnerálv teráóvl sokás megoldn. A mtemtk rolémák lnerálásár teráóvl történő megoldásár sámtln éldát tlálunk ávot 999 dolgotán. Bonos eseteken előordulht hog nemlneárs eldtokr egkt korrekt megoldásokt lehet dn lnerálás nélkül s. Awnge és Grrend tnulmánkn D 7 rméteres hsonlóság trnsormáór dtk egkt nemlneárs megoldást melet ávot 5 és ávot és Jnsó 6 kkek módosítv továelestettek. Btth és ávot 9 9 tová nemlneárs geodé eldtokt oldottk meg nltkusn. A geometr külső táékoás nemlneárs megoldásávl Jnsó és ávot ávot és Frtsh tnulmán s ogllkotk.. A külső táékoás mtemtk modelle A geometr külső táékoás térel kékoordnát-rendserének tárgkoordnátrendsere történő trnsormáó ht rméterrel roekós köont koordnátá és tengel körül elorgtás söge dhtó meg. Eg kéontnk ersektív lekéése tárgkoordnát-rendsere Luhmnn lán lá egenlettel írhtó le R

2 4 ávot J. hol - [ ] T tárgont koordnátá - [ ] T vetítés köont koordnátá - mnden ontr eged smeretlen méretrán - R ϕ ω κ orgtás mátr - [ ] T kévektor és kmerállndó - [ ] T redukált kéont-koordnáták hol kéőont koordnátá. A R orgtás mátr három üggetlen értékkel rméterehető mel három koordnát-tengel körül smeretlen sögekkel történő elorgtásól dódk. A Awnge és Grrend tnulmánukn D 7 rméteres hsonlóság trnsormáó megoldás során R orgtás mátrot erdén smmetrkus S mátr elhsnálásávl követkeő módon eeték k I S I S R hol I D egségmátr. A S mátr és rméterekkel lá módon rmetrálhtó S. A és össeüggéseket een tnulmánn s elhsnáluk.. A méretrán-téneők meghtároás A smeretlen rméterek megoldását három léésen kívánuk elvégen elsőként méretrán-téneőket htárouk meg. A össeüggés gelemevételével egenletet lról I S mátrsl lról sorov dódk követkeő ormul A 4 össeüggést íruk el különöő ontr.. 4

3 A geometr trnsormáók eg seáls esete külső táékoás Össesen vn klen smeretlenünk és klen egenletünk íg eldt megoldhtónk tűnk. A nehéség n relk hog eldt smeretleneket tekntve nem lneárs. A megoldás olmán sorotosn elmnáluk smeretleneket. A vetítés köont koordnátát megelelő egenletek kvonásávl kküsöölhetük hol lá elöléseket veettük e ; mod. 7 A egenletekől rmétert lletve egenletekől rmétert keeve dódnk lá kéletek [ ] [ ] [ ] [ ] / / ; mod. 8 A egenleteket íg írhtuk el ; mod. 9 Helettesítsük 8 egenleteket 9 össeüggéseke néhán elem átlkítás után követkeő ormulákho utunk [ ] [ ] [ ] ; mod. Tová egserűsítések után lá egenletek dódnk ; mod.

4 6 ávot J. A össeüggéseket résletesen kírv lá homogén másodokú egenletrendser oldndó meg és smeretlenekre. A egenletrendsert vg nltkusn vg numerkusn kell megoldn. Plán kkéen egenletrendser megoldását árt lkn állított elő. Btth és ávot 9 tnulmán Slvester-reultáns elhsnálásávl dt meg hsonló serkeetű nemlneárs egenletrendser megoldását. Numerkus lgortmussl éldául Mthemt rogrmrendserrel megoldások megkhtók. Tová nehéség merülhet el egenletrendser nemlnertás mtt egserre tö megoldás s dódht. Tö megoldás esetén rméterek elentése mtt komle gököket és negtív megoldásokt k lehet árn. A nemlneárs egenletrendser otív göke köül heles megoldás kválstás seáls geometr meggondolásokt génel. Külön tnulmán og tárgln módser áltlánosítását tetsőleges sámú ontr. 4. A orgtás mátr rméterenek meghtároás Másodk léésen orgtás mátr rméterenek megoldását íruk le. Ennek megelelően een eeet külső táékoás normálegenletenek leveetését tárgl. Mután smeretlenekre eg nemlneárs egenletrendsert veettünk le és egenletrendsert numerkusn megoldottuk követkeőken méretrán-téneőket smertnek teknthetük. Eel külső táékoás eldtot lneárs egenletekre veettük vss. A 6 össeüggések elhsnálásávl smeretlen rméterekre elírhtók lá követítő egenletek [ ] [ ] [ ]. A ent egenletek lán külső táékoás normálmátránk elemet lá kéletekkel dhtuk meg

5 A geometr trnsormáók eg seáls esete külső táékoás 7 [ mod mod mod mod mod ] mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod mod [ mod mod mod mod mod ] mod mod mod mod mod [ mod mod mod mod mod mod ] Ismert hog normálmátr smmetrkus. A külső táékoás eldtáho trtoó normálvektor mátr-elmélet megontolásokkl hsonló módon állíthtó elő [ mod mod mod mod mod ] [ mod mod mod mod mod ] [ ] mod mod mod mod mod mod A normálegenlet-rendser megoldásár sámos módser smert skrodlomn. A gkorlt sámítások során sngulárs értékek dekomoóán luló sngulr vlue deomoston SVD módser megelelőnek onult megoldás előállításár A vetítés köont koordnátánk meghtároás A hrmdk léésen vetítés köont koordnátát htárouk meg. A vetítés köont még smeretlen [ ] T rméteret s méretrán-téneő és orgtás mátr és már meghtároott értékevel össeüggés elhsnálásávl nerhetük. s s s s s s A 6 össeüggésen s nde mnd kékoordnáták mnd tárgkoordnáták esetéen dtrendser súlontár vontkok. Vlóán mndhárom ontr 6 egenleteket megolduk és koordnátákr kott értékek átlgát vessük. Vlmenn rméter megdásávl külső táékoás leldt megoldottnk teknthető. 6

6 8 ávot J. 6. Össeoglló A tnulmánn megdtunk eg ú mtemtk megoldást külső táékoás rméterenek meghtároásár. Ahog hgomános elárásnál s megoldás ontok kékoordnátá és hoáuk trtoó tárg- vg terekoordnáták köött ennálló lekéeés össeüggésenek elhsnálásán nugsk úg ú megoldásnk s l ontok kékoordnátá és hoáuk trtoó tárg- vg terekoordnáták köött ennálló ksolt. A tnulmánn tárglt elárás hgomános megoldás módser helett ú mtemtk megoldás menetet d meg. Fő eltérés ú és hgomános módser köött méretránténeők keeléséen vn míg rég módser ndrekt keel nem hsnál méretránokt ú módser mnden ont esetén elte meghtáro eged méretránténeőket. A külső táékoásr úonnn kdolgoott elárás hgomános megoldás módsereknél htékon gors lgortmusr éül rég módser nehéséget kküsööl nem génel sem Tlor-soretést sem köelítő értékeket sem teráót. A módser továelestése külső táékoás evonhtó ontok sámánk növelése érdekéen nemlneárs egenletrendserek megoldásánk keeléséen kéelhető el. Irodlomegék [] Awnge JL. Grrend EW. Lnered Lest Squres nd nonlner Guss-Jo omntorl lgorthm led to the 7 rmeter dtum trnsormton C7 rolem etshrt ür Vermessungswesen [] Awnge JL. Grrend EW. Closed orm soluton o the overdetermned nonlner 7 rmeter dtum trnsormton Allgemene Vermessungsnhrhten [] Btth L. ávot J. Soluton o the nterseton rolem the Slvester-resultnt nd omrson o two solutons o the D smlrt trnsormton At Geod. Geoh. Hung [4] Btth L. ávot J. A előmetsés rolém és D hsonlóság trnsormáó Geomtk Kölemének II [5] Jnsó T. Külső táékoás elemek meghtároás követlen nltkus módserrel Geodé és Krtográ [6] Jnsó T. Durvh-sűrés otogrmmetr hátrmetsés kegenlítése előtt kedőértékek megdás nélkül Geomtk Kölemének VII [7] Luhmnn T. Nherehshotogmmetre Herert-Whmnn Verlg Hedelerg 57. [8] Plán B. Don-reultáns lklmás otogrmmetr külső táékoás megoldás során Geomtk Kölemének V [9] ávot J. A geodé korserű mtemtk módsere Geomtk Kölemének II [] ávot J. A 7 rméteres D trnsormáó egkt megoldás Geomtk Kölemének VIII [] ávot J. Jnsó T. The soluton o the 7-rmeter dtum trnsormton rolem wth- nd wthout the Gröner ss At Geod. Geoh. Hung [] ávot J. A otogrmmetr külső táékoás eg ú lterntív megoldás Geomtk Kölemének IV/ [] ávot J. Frtsh D. A rst ttemt t new lger soluton o the eteror orentton o hotogrmmetr Geod. Geoh. Hung