Mérés és jelfeldolgozás,

Átírás

1 érés és elfeldolgoás 38 Vált érés és elfeldolgoás r Pdul Zoltá érés hbá sttst semotból Alo Sűrűségfüggvé Eloslásfüggvé Várhtó érté Sórás Sttst mt Átlg tuldoság ormáls eloslás Budest űs és Gdságtudomá Egetem Géésmérö Kr Hdrodm Redsere Tsé Budest űegetem r 3 é 334 Tel: F: htt://wwwhdsbmehu Vált Időbe váltoó mesége folmtos mérése folmtráítás lfeltétele Kofdectervllum becslése Váltoó öt csolt Potoásos redser eseté - rgorrelácó Legsebb égete módsere Fosám meghtároás Illestés óság Illestett egees örül hb Wld módser egees llestés Illesedés vsgált v éredő meség A ÉRÉSI EREÉY ALAKJA q { q} [ q] érősám (3 résből áll) vlód érté cs elmélet mert h smeré em ellee mérü Helette: leolvsott télegese mért érté h vg heles érté melet vl sám módsereel becslü A legvlósíűbb várhtó érté (µ) vg et legobb öelítő átlg ( ) A mérés cs or befeeett h hbsámítást s elvégetü! { h H ± } H smert redseres hbá eredőe Elméletbe: H v Gorltb: H h δ µ δ Etlo mértéegség botl eredetű véletle hbá eredőe Botlság trtomá űserövbe ± előellel serelő hb ÉRÉSI EREÉY KORREKT EGAÁSA Eredmé TÖBB ÉRÉSI SOROZAT ELVÉGZÉSE ESETÉ A TÍPUSÚ BECSLÉSSEL: Soroto átlg átlg H ± t s H ± t Eredő redseres hb s Átlg sórás egbíhtóság st ftor

2 érés és elfeldolgoás 38 EGJEEÍTÉSI FORA Absolút hb Hbs h Reltív hb mért érté h heles érté h Hrel mért érté sáléáb h Reduált hb H érés hbá elölése (egserűsítés) red h m Potosság ostál m H bs v PO ± ± % m m H X H X h X X X otos érté sttst mt mért A mérés mu eredméét dötőe ét hbtíus befolásol : Redseres hbá eredőe de mérés eredmét oos módo terhel (Ismert sámíthtó) Pl ullot meredeség lertás hsterés Véletle hbá Aoos örülmée öött eltérő eredmére veet (Cs becsülhető o és gság smeretle) Többsör méréssel csöethető -> sttst módsere Továbbb CSAK véletle hbá Eloslás A vlósíűség sámítás törtéet áttetése 64 úl 9 Pscl eg Fermt-ho írt levélbe vlósíűség sámítás első tudomáos géű tárglás olvshtó 7 8 A első vlósíűség defícó Beroull: A vlósíűség ol boosság fo mel úg vsoul teles boosságho mt rés egéshe Llce: Aoos vlósíűséggel beöveteő esemée eseté Kedveő esemée sám P Össes lehetséges esemé sám 8 9 Guss Posso rov stb A legfotosbb véletle folmto és vlósíűség elosláso uttás 933 Kolmogorov A vlósíűség elmélet hlmelmélet loo ugvó omtus megloás A vlósíűség e sert eg eseméhlmr ormált mérté udrb gártás Teredelem Eg dott otos értéhe (l mudrb mérete) többsör mérést végü eghtárou teredelmet: I m m m m X otos érté

3 érés és elfeldolgoás 38 Gorság Gorság I teredelmet felostu blról árt obbról tott (htárot hele egértelmű) réstervllumor em feltétel hog mde oos hossú lege (em ell evdstás felostás) eghtárou réstervllumob eső eleme sámát: E gorság: ν ν 4 3 ν r Gorság Gorság ábráolás ν 4 Láthtó hog ésserűbb les ν/ ábráolás mert övelésével ordát egebe ő! 4 ν r Gorság öveedő elemsámml em hsolíthtó össe Reltív gorság Jól eelhető össehsolíthtó mérése H em evdstás eloslás em láthtó hog hol mle sűrűséggel tlálhtó 3 ν ν/

4 érés és elfeldolgoás 38 Reltív gorság terestése Reltív gorság: ν Ossu el dott tervllum hossávl lege e ordát: f ( ) ν Grfo ltt terület: ν ν f ( ) ν -d tervllumb esés reltív gorság: ν f ( ) Több tervllum: f ( ) Tstlt sűrűségfüggvé f() Vlósíűség Vlósíűség és tuldoság tsámot övelve ( ) reltív gorság gdo eg sám örül E -d tervllumb esés vlósíűsége ele: P P tsám öveedésével csöe eltérés P Boos esemée beöveteéséhe trtoó sámérté Lege esemé ele: : Tuldoságo: P( A) P( I) btos esemé Egmást ároét áró esemée össegée vlósíűsége megege vlósíűsége össegével P A [ b) A P( A ) h A A obóoc Vlósíűség váltoó de oldl oos vlósíűségű P ( ) P( ) P( 3) P( 4) P( ) P( 6) 6 Ptolt oc vlmle úto módosítv Eg rögített tervllumb esés vlósíűsége esemétér elemehe redelt sámérté Jelölés: görög s betűel l: Lehet: Foltoos (l mérés eredmé éreés dő élettrtm) srét (l telefohíváso sám meghbásodás) 4

5 érés és elfeldolgoás 38 Eloslásfüggvé Váltoó ellemésére solgál: Itervllumb eső dtoál Tuldoságo: (váltos) ooto [ b] P( ) F < P( < ) em feltétle foltoos dfferecálhtó (törése) em feltétle foltoos (ugrás blról foltoos) F < < b b Eloslásfüggvé vlósíűség váltoó F() eloslás függvée t d meg hog mle vlósíűséggel ves fel -él sebb értéet F P( < ) Tuldoság ) mooto övevő F( ) h lm F( ) b) lm F c) d) Blról foltoos F > Eloslásfüggvé Sűrűségfüggvé defálás eloslásfüggvéel A A esemé eletse t hog értéére feáll P( A) P( < b) F ( b) F( ) < b ; eor sűrűségfüggvéée eveü f() függvét h F() eloslásfüggvé dfferecálhtó és: df f d F() b P( < ) F( ) P( < < b) F( b) F( ) P( < b) F( b) ebből övete f F ( t) dt Sűrűségfüggvé Sűrűségfüggvé Tuldoság: f Korább felrolt f () tstlt sűrűség-függvé (hstogrm) fomítv felostást f () f() h (em overgec) f d f () b 8 / 8 sűrűségfv fom felostás durv felostás 6 b 4 F(b) F() b f ()d

6 érés és elfeldolgoás 38 temt sttst ltétele Péld Glveo tétel: öveedésével F () emrus eloslásfüggvé egés sámegeese egeletese trt F() elmélet eloslásfüggvéhe: P lm su F < < F Vegü testmgsságot mt vlósíűség váltoót emberből álló csoorto Homogé eloslás Kevert eloslás F () f () } 4 4 Testmgsság reltív gorság Testmgsság hstogrm ν / f() m m ν ν / m m ν ν / f ( ) ν Testmgsság Eloslás Várhtó érté F A várhtó érté vlósíűség váltoó gdoásá öee } f ( T f ( ) ν ) Itervllum de egérdeette dee m m ν ν / f ( ) F ( ) f ν ν ν ν ν ν ν f d f ( ) Várhtó érté 6

7 érés és elfeldolgoás 38 7 Várhtó érté Sűrűségfüggvé ltt terület súlot mert ) ( f } d f T d f T s S Várhtó érté Tuldoság Addtív Kosts várhtó értée ömg Leárs várhtó értée ) ( b b b b ) ( ) ( ) ( ; osts Várhtó érté Áltláosítv: h és függetlee: Várhtó érté Lertás b b b b ) ( ) ( ) ( ; osts b b b b b b : : K K Várhtó érté Addtívtás (váltos) ζ ζ : : K K K Átlg várhtó értée A várhtó érté becslésére solgál átlg A átlg várhtó értée s eresett érté!? : K K

8 érés és elfeldolgoás 38 Sórás Sórás A vlósíűség váltoó várhtó értée örül gdoását sóródását mér sórás ee égete sóráséget ( ( )) ([ ( )] ) σ ( ) σ osts ( ) Átlgos égetes eltérés sóráséget A sóráséget otív égetgöe sórás Tuldoság: H vlósíűség váltoó sórás léte or b trsformált vlósíűség váltoó sórás ( ) ( ) σ σ H és függetle ; ( ) σ ( ) ( b) ( ) σ σ ; ; ( ) ( ) ( ) Össeg sórás Sórás tuldoság ; σ ; σ függetle!!!! ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ( ) ( ) ) (( ) ( ( ) ) ) [( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) ] [( ( ) ) ] [( ( ) )( ( ) )] ( ( ) ) ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ] Függetleség Sórás sámítás: Sórás sámítás sűrűségfüggvéből: ( ) ( ) ( ) [( ( ) ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f d f d d d Tstlt sóráséget Korrgált tstlt sóráséget drb mtelem átlg: s * s Ksebb mt esetébe σ obb öelítése Lásd sóráséget defícóát! Értée mdg 8

9 érés és elfeldolgoás 38 Testmgsság Sttst mt f Átlg: 7 Sórás: A sttst vsgált tárgát éeő egede össességét sttst soság eveü A mtvétel t elet hog sttst soságból sámú egedet véletleserűe válstu A mt oos eloslású függetle vlósíűség váltoó sorot A mt vsgáltá eredmééből övetetetü soságr Sttst mt grát: rereettív össetételébe évsele helese soságot melből vetté ( soságévl megegeő oos eloslás ) mteleme egmástól függetle vlósíűség váltoó (függetle) A mt mérete: elegedőe g hho hog mt lá levot övetetetése hsálhtó legee (ésőbb tárglu) mtellemő: átlg tstlt sórás tstlt eloslás és sűrűségfüggvé A g sámo törvée Beroull (73) g sámú ísérlet eseté reltív gorság trt esemé vlósíűségéhe ísérlete sám edveő esete sám esemé vlósíűsége lm P( < ε) A g sámo törvée g sámo törvée lm P ( < ε ) Stochstus overgec Átlg és várhtó érté csolt ε { ε { st m 9

10 érés és elfeldolgoás 38 Átlg drb mtelem _ A átlg várhtó érté becslése A átlg vrcá (sóráségete) és sórás: Ee vlósíűség váltoó ár átlgo s lehete! s A átlg sórás sorot sórás: s s ( ) Eg elemű mérés ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) s Átlg sűrűségfüggvée Sorot sűrűségfüggvée A átlg gdoás A átlg várhtó értée és sórás σ _ ( ) ( ) σ H eg mérés sorotból rom megbecsül X smeretle gságát or ee legobb becslése átlg mert várhtó értée eresett X és h övelem elemsámot sórás trt -ho Tstlt eloslásfüggvé A eloslásfüggvé defícó: F() P( < ) Hog becsülhető (öelíthető) mtából? Redeett mt: elemű mt elemű redeett mt * * * Tstlt eloslásfüggvé Tstlt eloslásfüggvé P(<) öelítése / reltív gorság -él sebb mteleme sám * < * * A tstlt (emrus) eloslásfüggvé ol lécsős függvé mel mde eges mtelem helé /-et ugr (H több () mt elem egbees or ugrás / ) Lécsősfüggvé

11 ^ érés és elfeldolgoás 38 Tstlt sűrűségfüggvé Kofdec tervllum A sűrűségfüggvé: A várhtó érté becslése átlg f () b f df d Tudu hog _ st ( ) X b P( b) f ()d b Becslést ru d eltérésre: ( )? Kofdec tervllum Kofdec tervllum 3 3 Kofdec tervllum Kofdec tervllum X X 3 3 ( )

12 érés és elfeldolgoás 38 Kofdec tervllum Kofdec tervllum Jelöle: Keresem értéét ( ) X X A tervllum véletle heletű cs esemé vlósíűsége dhtó meg: P( X ) P( X ) Svb: A átlg örül rolt sugrú tervllum mel dott vlósíűséggel trtlm X várhtó értéet Kérdés: Adott -he? sgfc st Kofdec tervllum Redeés: P( X ) Ostás: σ σ váltoó sórás ( smer ell! ) mérése sám X P( ) σ σ σ Kofdec tervllum Jelöle: X λ és σ σ Eel elöléssel: P( λ λ) ormáls eloslás ormáls eloslás A X vlósíűség váltoó ormáls eloslást övet - vg rövdebbe ormáls eloslású - otos or h sűrűségfüggvée Sűrűségfüggvé: Hstogrm és sűrűségfv hol m σ R σ > Jelölés: Eloslásfüggvée: A ormáls eloslást sotá Guss-eloslás s eve

13 érés és elfeldolgoás 38 Stdrd ormáls eloslás ormáls eloslás ellemő Secáls: h X ( ) or X-et stdrd ormáls eloslású (vg stederd ormáls eloslású) eveü Sűrűségfüggvé: Eloslásfüggvé: Smmetrus ( ) otr < φ φ ( ) φ Φ Φ Φ Stdrd ormáls eloslás függvée ( ) Φ (- λ ) Φ() Φ ( λ ) Φ ( λ ) Φ ( λ ) ormál eloslás A sttstáb legfotosbb és leggrbb llmott eloslás A ormáls eloslás göbéét elősör eg frc mtemtus Abrhm de ovre fedete fel és öölte le 733-b A ormáls eloslást tudomáos ét mtemtus-csllgás frc Perre-Smo Llce és émet Crl Fredrch Guss lot meg Többe úg vél hog Llce hoáárulás ormáls eloslás tuldoság tstáásáho eletősebb volt mt Gussé égs Guss utá eveté el ormáls eloslást Guss eloslás mutá Guss volt első ormáls eloslást égteste mogásár llmt A termésetbe orvostudomáb go so mért rméter ormáls eloslássl írhtó le mt éldául egée mgsság véromás súl stb A ormáls eleveés s rr utl hog mért dttól et váru mert e termésetes vseledésü Glto des Glto des 3

14 érés és elfeldolgoás 38 Jelölés: Kofdec tervllum Eel elöléssel: Tudu: Eel: X λ és σ σ P( λ λ) ( X σ ) X σ σ X ( ) (stdrdálás) Stdrd ormáls eloslás függvée - éld ( ) Φ (- λ ) Φ() Φ ( λ ) Φ ( λ ) Φ ( λ ) Kofdec tervllum P λ λ Φ λ Φ λ Φ ( λ ) Φ ( λ ) Adott -he λ megtlálhtó Φ ( λ ) Φ ( λ ) Φ() Φ ( λ ) Φ ( λ ) 6 Φ (- λ ) Φ() 4 3 Φ (- λ ) Allmás dott elemű mt és sgfc stet válstom 9%9 Ismert hog tából sámítom hog 97 σ mm 3 mm φ( λ ) λ 96 Allmás λ 96 σ σ mm A eredmé megdás: X ± % X 3 ± mm 9% * Vlós eset előre em smert sórás H σ em smert Becslés: s * ( ) A össefüggésébe eel feeéssel becsülü sórást X * * s em ormáls eloslású vlósíűség váltoó * s és mtt 4

15 érés és elfeldolgoás 38 Vlós eset előre em smert sórás Ismert és előre em smert sórású eset össehsolítás Boítottá hog * Studet eloslású vl váltoó (WGosset; Guess So & Co) Eértλλ st Studet eloslás táblátából ereshető meg λ λ st st A sgfc sttől és (mérése sám -) ( sbdság fotól) függ Hsolítsu össe λ és λ st értéet: Aoos sgfc sthe: λ < λ st ( gobb botlság ) Aoos sgfc stél eseté λ st λ Sámértée: 9% λ 96 λ st Q cm ford Allmás: (csvrsvttú geometr sállítás) Q Q * s ( Q Q ) 9% 3 cm 34 3 ford 38 cm 3 ford Allmás: (csvrsvttú geometr sállítás) 3 Q 3 cm ford * s 38 cm 9% 3 ford λ 9 st Q Q 3 ± 7 cm ford 9% Kofdec tervllum - össefogllás Kofdec tervllum serestése: P( X ) Adott -he eresem -t H sórás smert: σ Φ( λ) λ λ Glto des bomáls eloslás - vsstetés H sórás em smert: λ λ s * - st st s *

16 érés és elfeldolgoás 38 Cetráls htáreloslás tétel Cetráls htáreloslás tétel hol A drb függetle vlósíűség váltoó össegée eloslás trt ormáls eloslásho: m lm P( < ) Φ( ) σ u Φ( ) e π du f f f 3 f Péld: Lege egeletes eloslású vlósíűség váltoó [)-be [)-be stb 3 4 Cetráls htáreloslás tétel éld Péld Követle mérés eredméet mutt öveteő sámsor: 7; 83; 97; 8; 87 ) Ad meg mérés eredméét átlg és 9%-os sthe trtoó hborlát láb b) Fogdu el hog ) otb sámolt orrgált tstlt sórás ó becslése sórás Ee lá sámol hog há mérést ell végee hho hog reltv hborlát % lá süllede Péld Péld - folttás λst ( ) ( ) * s * s λst ( - átl ) ( - átl ) s* 873 s* ls 873 λ St 7764 IVERZT(;4) 483 % X 846 ± % Próbálgtás: X 846 ± % ás megoldás Felülről becslem l: λ ( 9% ) St s κ λ ( 9% ) St s κ h > s s κ κ s κ 6 [ % ] [ % ] 846[ % ] λ(9%-) %

17 érés és elfeldolgoás 38 Becslés A becslés eloslás eg rméterét öelít Toríttl becslés Kostes becslés Toríttl és ostes becslés Toríttl becslés: Keresett rméter: Becsült rméter: α H ( α) A várhtó érté toríttl becslése átlg: ( ) ( ) ( ) m m Kostes becslés: α α α becslés sorot ostes h stochstus trt -ho Követett mérés em övetleül mért meség ére több meséget övetleül és bból sámolo Pl vllmos telesítmé: P U I vg htásfo: Áltláos ( váltoó): ω U I ( ) Követett mérés Keresem otos értéet de helette cs mérést vége övetle mérhető meségere les htás ee sámolt meségre? ( ) ére: Átlg várhtó érté becslése: X ( ) Y Követett mérés Tlor sor Potos érté: ( X Y ) Z Tlor sor: f ( X ) f f! f f ( ) 3 X X X K! 3! Helette cs e htárohtó meg: ~ ( ) Eltérés: ( X Y ) ( ) Z ~ Potos értéet róbálu becsül: Tlor sor örül ( ) Köelíte cs elsőredű tgog: f ( X ) f f ( X ) Több váltoó: rcáls dervált 7

18 érés és elfeldolgoás 38 8 Követett mérés Becslés otos értére: Eltérés: A: Y X Y X Z Y X Z ~ Y X Követett mérés hbá Vsgálu meg eltérés várhtó értéét! vel: és: Íg: Toríttl becslését om otos Z értée Becsülü hoá megbíhtóság tervllumot ost X Y X Y Kofdec tervllum övetett méréshe Kofdec tervllum sugr: Süség v sórásr λ σ Y X Y X Y X Idret mérés eredmée: Várhtó érté: Sóráséget: Áltláos esetbe: X Y ) ( K K Secáls eset Gr sort lú csolt: Pl: Eor dervált sert: C K K ) ( I U I U ω ω C K K Secáls eset ervált: Eor: Célserűbb felír reltív sórást: Sórásot σ-vl eölve: K K K σ σ

19 érés és elfeldolgoás 38 Követett mérés - éld Követett mérés - éld Allmását V hegertérfogt sórássámításá erestül muttu be tt heger térfogt: π h V 4 A heger átmérőét és mgsságot llomml megmérü Ksámolu átlgot vlmt orrgált tstlt sórásot h h s s ( h h h ) A V térfogt össefüggésbe átlgos átmérőt és átlgos mgsságot helettesítü be és u eg öees térfogtot: A V térfogt reltív sórásá sámításor és h sórásvl ell sámolu: s s s h h E feeéseet behelettesítve t u hog: s s s h s V V h π h V 4 Váltoó öött csolt vsgált Felvétel otsám-görgetett átlg - JF / II félév V-e csolt váltoó öött? (éldá: fetés-távolság; felvétel otsám - görgetett átlg) Felvétel ot [%] 9 8 /6 bertoott 6/7 bertoott 7/8 bertoott Kredt hldás [/félév] Kérdése: Korrelácós egütthtó V-e csolt váltoó öött? (éldá: fetés-távolság; felvétel otsám - görgetett átlg) Váls: orrelácós egütthtó A csolt léteése dott (l f) eressü csolt öelítő mtemt lát Regressó-lís ( l legsebb égete módsere) Adott ét váltoór votoó megfgelés-sorot: Átlgot sámolo és felrolom A tegelere mérem: ( ) ( ) 9

20 érés és elfeldolgoás 38 Korrelácós egütthtó Korrelácós egütthtó ( ) c c < c > c > c < C Korrelácós egütthtó A oto tedecá Korrelácós egütthtó A oto tedecá ( )( ) C < ( )( ) C > Korrelácós egütthtó Kovrc C Kovrc: S ( )( ) Hsoló sóráséget feeéséhe Egeletese elostott esetbe oos otív és egtív érté Sttstlg: S ( )( ( ) ) Problém: függ érté mtsámtól és értéetől s e: S ( ) Ossu el sórássl

21 érés és elfeldolgoás 38 Korrelácós egütthtó C függ megfgelése sámától: váltoó sórásától: s s ( )( ) ρ( ) s s tstlt orrelácós egütthtó ( )( ) ( )( ) s s Tstlt orrelácós egütthtóból orrelácós egütthtó: ( )( ) ρ( ) s s ( )( ( ) ) r( ) σ σ A orrelácós egütthtó tuldoság: smmetrus: értée: lertás: r ( ) ± ( ) r( ) r ( ) r b H értée ± or ét váltoó öött csolt leárs r r ± b A orrelácós egütthtó defícóából: ( ) r Korrelácós téeő leárs csolt boítás ( ) ( ( ))( ( )) σ σ σ σ Korrelácós téeő leárs csolt boítás * Eel: ( ) σ és * * * σ Korrelácós téeő leárs csolt boítás Belátu hog * * σ ( * ) σ ( ) σ

22 érés és elfeldolgoás 38 Korrelácós téeő leárs csolt boítás Belátu hog * * σ σ tudu: Íg: Korrelácós téeő leárs csolt boítás ( *) ( * ) * Ktu hog * ( ) * * ( * ) * Korrelácós téeő leárs csolt boítás Hsoló módo láthtu hog * és * Korrelácós téeő leárs csolt boítás Eddg tu: Vsgálu meg: * ( ) ( * ) * * feltétel sert * *? * * * * ( ) * * * * ( ) ( ) ( ) Korrelácós téeő leárs csolt boítás * * * * σ σ σ σ σ σ b Korrelácós téeő leárs csolt boítás Eddg t láttu hog: ± r b Vssfelé s g: b A boítás sol egserűbb Idulás orrelácós egütthtó defícóából: r ( ) ±

23 érés és elfeldolgoás 38 Korrelácós téeő leárs csolt boítás r ( ) ( ( ))( ( )) σ σ Tudu hog: b ( b) ( ) b A sórás: σ ( b ) σ A várhtóérté: Korrelácós téeő leárs csolt boítás Behelettesítü é össefüggéseet defícób: ( ) ( ) b b r ( ) σ σ σ σ Ku: ( )( ) r ( ) σ σ r ( ) ( ) ( ( )) σ Korrelácós téeő tuldoságo Eddg t láttu hog r ( ) ± b A orrelácós egütthtó leárs csolt sorosságát mér H orrelácós egütthtó érus: orreláltlo váltoó H orreláltlo és ormáls eloslású or függetlee R < -6 erőtle csolt R 7- footos erősödő leárs össefüggés Korrelácós egütthtó várhtó értée és ofdec t Korrelácós egütthtó: Tstlt orrelácós eh: Torított becslés: Kofdec tervllum: ( )( ( ) ) r( ) σ σ ( )( ) ρ( ) s s r ( r ) ρ r ρ ρ ( ρ ) ρ ± λ Korrelácós téeő - elleéld Felvétel otsám-görgetett átlg Lege egeletes (-)-be c < c > A csolt determstus fucoáls mégs orrelácós egütthtó érus felvétel otsám ρ görgetett átlg 3

24 érés és elfeldolgoás 38 JF 7/8 II félév JF / II félév Felvétel otsám Elem: 4 Évfolmátlg: 3 Sórás: 38 4 Fel otsám átlg: 4 3 Sórás: 74 Kofdec tervllum 3 átlg 74 otsám 469 Ebbe %-os Évf átlg: 863% Felv otsám: 83% Korrelácó: 39 Várhtó értée: 39 Kof tervllum: 4 r39± Görgetett átlg Elem: 4 Évfolmátlg: 39 Sórás: Fel % átlg: 884 Sórás: 68 Kofdec tervllum átlg 987 otsám 9 Ebbe %-os Évf átlg: 96% Felv otsám: 978% dettő : 939% Korrelácó: 7 Várhtó értée: 74 Kof tervllum: 898 r74±898 JF 9 tvs JF tvs R47 Korrelácó: 44 Korrelácós egütthtó - éld ár vífogstás - hőmérsélet véletle sámo w függvécsolttl Korrelácós egütthtó: w? ρ ρ ρ ( ) ( ) ( w) r(q-tm) r(q- T3) r(q-cs) má ú úl ug má-ug R(q-Tm-Cs)

25 érés és elfeldolgoás 38 Ecel függvée ormáls eloslás eloslásfüggvé Stdrd ormáls eloslás eloslásfüggvé Ecel függvée - ovrc Ecel függvée orrelácós egütthtó Serm féle rgorrelácó A megfgelt ét váltoó dsrét (l sorred rgsorolás subetív) Kérdés: v e csolt ét sorred öött (hog értéel sűr?) Rgsám: sorb redeü dtot Rgsám sorb-redeett elem sorsám Serm féle rgorrelácó orrelácós egütthtó rgsámo öött Serm féle rgorrelácó t: A B C rgsám 3 4 rgsám 3 4 Rgsámo ülöbsége: d - r 6 d Serm féle rgorrelácó: ( ) H ét sorred oos: r H ét sorred egmás elletette: r - H em so öü v egmásho: r ~

26 érés és elfeldolgoás 38 Serm féle rgorrelácó - éld Serm féle rgorrelácó - éld Borversee vgu Adott 4 féle bor Jelölü őet egserűe betűel A ét sűrtg más-más edűt tlál obb Hsolítsu össe ott mele ée láthtó A rgsámot vou egmásból (d ) Helettesítsü be Serm-életbe: r 6 d ( ) 4 ( 4 ) 6 r r -át tu eredméül Íg t láthtu cs csolt ét sűrtg vélemée öt Úr ell óstol Több sűrtg eseté ároét végehető el vsgált Korrelácós egütthtó - Össefogllás Serm féle rgorrelácó Korrelácós egütthtó ( )( ( ) ) r( ) σ σ A váltoó öött leárs csolt sorosságát mér Legfotosbb tuldoság: r ( ) ± b Két sorred (sorb redeett mt) össehsolításár solgál (foltoos váltoór sorbredeéssel llmhtó) Rgsámo ülöbsége: d - 6d ( ) r H ét sorred oos: r H ét sorred egmás elletette: r - Legsebb égete módsere Al-ötlet: Krl Fredrch Guß (777-8) Legsebb égete módsere A váltoó öött csolt (legegserűbb esetbe) leárs: o vlósíűségsámítás háttér: Adre rov (86-9) legtöbb rogrmcsomg beéített elárásét trtlm Cél: mérés sorot lá meghtáro o és rmétere becslését α és α o Potos érté becslés 6

27 érés és elfeldolgoás 38 Legsebb égete módsere érés oto: { } Egees: Legsebb égete módsere α o α Legsebb égete módsere Sámolu mérés ot és egees függőleges eltérését: δ δ ( ) α α J o A eltérése égetössege: Keressü éget-össeg mmumát: A Legsebb égete módsere α α α α o ( α α ) ( α α ) o α sert dervált: α o és o o α ( α α ) o A Legsebb égete módsere α sert dervált: ( α α ) o Egserűsítése és redeés utá étsmeretlees leárs egeletredsert u: α o α α o α Jelölü: Legsebb égete módsere A egeletredser megoldás: α ( ) ( ) ( ) α α és ( ) 7

28 érés és elfeldolgoás 38 Legsebb égete módsere A első egeletből: Guss rov tétel A és váltoó öött olomáls függvécsolt v: α α o α α $ $ o A egees átmeg othlm súlotá A értée otos mérés eredmée ; ormáls eloslású ull várhtó értéű véletle hb terhel ( ) ( σ ) ε ε 3 mérés eredmée függetle vlósíűség váltoó ( ) Guss rov tétel A Guss-rov tétel állítás: legsebb égete módserével becsülü smeretle rmétereet ( α o α α értée becslés α α α ) or (α ) o (α ) (α ) A állítás tovább rése: s ( ) s σ toríttl becslése α Guss rov tétel Boítás (u úg mt egserű esetbe): mlálu éget-össeget: ( αo α α ) α A mmum loáls helét rcáls dervált ull hele d erválu α sert ( ): α α Guss rov tétel egelet smeretlees leárs egeletredser: α Vegü mdét oldl várhtó értéét: α Hsálu hog: ( ) Guss rov tétel α E cs or g bármel és értére h ( α ) 8

29 érés és elfeldolgoás 38 Legsebb égete módsere előe Legsebb égete módsere - hátráo módser elteredt mde mtemt - sttst rogrmcsomg trtlm felhsáló-brát feldolgoásb Formáls s tud hsál em smer mtemt hátteret A első feltétel: vsgált váltoó öött csolt olomáls E feltétel műs gorltb ste soh sem trthtó be g mrd tétel or s h függvécsolt l: ϕ tt telese smert függvé ϕ H folmt leírás öelítő or legsebb égete módsere öelítést öelít Legsebb égete módsere - hátráo A másod feltétel: eg váltoót otos mérés hb cs más váltoót terhel E műs gorltb rtá fordul elő A gorlt esete ömébe mdét váltoót hb terhel A feltétel-elemés eredmée: tétel mtemt feltételet műs oldlról legrtább esetbe tudu betrt Íg értées sttst állítást s cs rtá tudu hsál A esete többségébe ert öelítő függvét cs vuáls tudu értéel Legsebb égete módsere ϕ mláldó függvé: ϕ telese smert függvé αϕ ( ) Keresem becslését (α ) sélsőérté roblém l eg rs ϕ α αϕ ( ) ( ) Legsebb égete módsere - llmás Legsebb égete módsere - llmás A váltoó öött csolt: 3 α? Adott megfgelése eredmée: Felrolu otot: 9

30 érés és elfeldolgoás 38 Legsebb égete módsere - llmás Becslés legsebb égete módserével: erválás: 3 ( α ) α ( α ) 3 3 Legsebb égete módsere - llmás Redeés: α α Eredmé: α Legsebb égete módsere - mgrát Vsstérü elölt egelethe: Guss féle ormál-egelete: α α α α α α 3 α α α α Kfetü et formát: Guss féle ormálegelete: α α α α Guss féle ormál-egelete: és megfgeléseből dott summá sámíthtó Legsebb égete módsere - llmás érés eredmée A smeretlee α α α egütthtó smeretle egelet megoldhtó Amor vlmel rogrmcsomgb olom llestést htu végre or háttérbe ee egeletredsere megoldás l le Hád foú olomot válssu? 3

31 érés és elfeldolgoás 38 Legsebb égete módsere - llmás Legsebb égete módsere - llmás ásodfoú olom Hrmdfoú olom Legsebb égete módsere - llmás Legsebb égete módsere - llmás egedfoú olom Ötödfoú olom Hog ell fosámot megválst? Hog ell fosámot megválst? ódser: Rlsto Köelítés elsőfoú olomml α α egütthtó meghtároás rdó sóráséget: ( αo α ) Ugíg másodfoú öelítésre: α α α s rdó sórás váltoás srét oto össeötés váltoás tedec ól láthtóvá tétele Htár: hol eletős csöeés léett fel mrdó sórásb mrdó sórás rdó sóráséget s ( α α α ) Esetübe 4! fosám 3

32 érés és elfeldolgoás 38 Korrelácós de érés sorot: Köelítés: Jelölés: Korrelácós de: Tstlt orrelácós de: Jó öelítés: I ( )( )( f ( o r ) Ecelbe tredvolho R elöléssel ) H ( ) Y ) ) ( ) ( ) ( ( H Y ) I( H Y ) ( H ) ( ( H Y ) ( ) ( ) h Korrelácós de - Péld 4 3 ( q) q 4q 3q q q q Köelítés fo 4 3 hrmd eged ötöd Legsebb égete módsere - össefogllás A módser cél: egelítő függvé llestése hbávl terhelt megfgelésehe Sámítás módser: egelítő függvé és megfgelése öött δ eltérést sámítom és mmlálom eeet égetössegét Elő: mde eresedelm rogrm-csomgb ése áll llmásr Hátrá: o cs eg váltoó hbáát eel o sttst tétel feltételet gr em tudu betrt (vuáls értéelés) Wld módser Abrhm Wld moder mtemt sttst eg megloó 9-be Kolosvár Prst Főgmáumb érettségett Ameráb dolgoott Cs egees llestés Réstervllumor botás Khsálu LK módserél bemuttott tuldoságot: erestül meg súloto Wld módser érés oto: { } Wld módser Két réscsoortr botu otot dettő súlotát ( és átlgo) meghtárou A ét súlot lehetőleg ó távol lege egmástól A llestett egees ét súlot össeötéséből dód 3

33 érés és elfeldolgoás 38 Wld módser érés oto: { } Wld módser A ott egees átmeg egés othlm súlotá s Súlot Súlot Wld módser Wld módser éld Egees: Egees meredesége: Átmeg súloto: Ebből: b b b Allm Wld módserét lább othlmr llestett egees és b egütthtó meghtároásár! Wld módser tl -4 tl -486 tl 333 tl 7793 tl -833 tl 467 Péld: Legsebb égete módsere Allm LK módsert lább othlmr llestett egees és b egütthtó meghtároásár! Wld átl átl átl átl átl b átl

34 érés és elfeldolgoás 38 Péld: Legsebb égete módsere α ( ) α α és (- átl ) (- átl ) (- átl )* Péld: Legsebb égete módsere - LK LK és Wld módser össehsolítás egbíhtóság tervllum regressós egeesre - LK Wld egvsgálu hog mere ó regressós egees Bármel otho regressóvl: α α α értéét súlotból htárou meg: Eel: α ( ) α α Rögített mellett hog ésíthető megbíhtóság tervllum -re? Boítottá hog: α és függetle vlósíűség váltoó Sámolhtu várhtó értéet és sórást egbíhtóság tervllum regressós egeesre Várhtó érté: Potos értéel ege: becslés toríttl ( ) ( ) ( α ) ( α ) ( α) ( α ) ( ) ( α α ) ( α ) ( α) ( ) ( ) egbíhtóság tervllum regressós egeesre Sóráséget: α em terhelt hbávl (LK) ( ) α meghtároás: α ( ) Süséges α sóráségete: ( ) σ α ( ( ) ) ( ( ) ) σ α ( ) 34

35 érés és elfeldolgoás 38 egbíhtóság tervllum regressós egeesre Sóráséget: Sórás becslés ( rméter becsült!): Kofdec tervllum ( sgfcst mellett): α t Studet eloslásból ( ) ( ) ( ) ( α) σ ( ) σ ( ) σ s ( ) Y < α t ( ) α t α ( ( α α )) - átl ( - átl ) ( - átl ) * egbíhtóság tervllum regressós egeesre érés dto Súlot Regressós egees Regressós egees - éld Regressós egees - éld - átl ( - átl ) ( - átl )* ( - ) ( ) t*( ) s* érés dto Súlot Hbsáv Regressós egees Studet 78 (9% ) Kofdec sáv l - lehet o? Két tg göel ltt: ( ) ( ) ( ) t t σ Kosts eltérés súlotál Súlottól vló távolságtól függő tg egees söghb Kofdec sáv l - lehet o? Vsgálu meg másod tg hbá mt elehet E volt α sóráségete 4 3 érés dto Súlot Hbsáv Regressós egees Sórássl terhelt meredeség

36 érés és elfeldolgoás 38 Péld Wld módserrel uge Péld Wld módser 7 94 átl 6 átl átl átl átl 3 átl 4443 m 743 b érés dto Teles súlot Súlot Súlot Illestett egees Wld LK össehsolítás 9 Allmás Illesedés vsgált: χ rób Elmélet 8 Kérdés: Adott r sámú esemé 7 sbálos-e dobóoc? A A A r érés dto Teles súlot Wld módser Legsebb égete (mde lár oos vlósíűséggel es-e?) Egmást áró esemée: r A I H o : P(A ) dott r r Illesedés vsgált: χ rób Illesedés vsgált: χ rób Lege sámú ísérlet A ν -ser A ν -sör A r ν r -ser övete be (gorságo) r Sttst: ( ν ) χ h-éget r ( ν ) χ grát: ν bomáls eloslású várhtó értée H H o g or ( ) em ves fel túl g értéet Boíthtó hog summ χ eloslású vlósíűség váltoó (r-) rméterrel 36

37 érés és elfeldolgoás 38 Illesedés vsgált: χ rób χ eloslás táblátából: Illesedés vsgált: χ rób Allmás Elmélet ( ) χ χ ε rt r -ε sgfc st r esemée sám A rób: Ksámítu χ tuáls értéét H o hotést elfogdu h χ < χ t rt Sbálos-e dobóoc? A A A 6 6 H o : P(A )/ Adott r sámú esemé A A A r Egmást áró esemée: r A I H o : P(A ) r r Illesedés vsgált: χ rób 84 ísérlet obás eredmée: ν 4 ν ν 3 3 ν 4 48 ν ν 6 34 H : /6 /6 3 /6 4 /6 /6 6 /6 r ( ν ) χ t χ t9 Lege 9% r6 Illesedés vsgált: χ rób χ rt(9% ) χ χ < t rt H (9%) ( ) χ χ ε r rt -ε sgfc st r esemée sám A rób: Ksámítu χ tuáls értéét H o hotést elfogdu h χ < χ t rt Illesedés vsgált: χ rób egegés: A (r-) rméterű χ eloslás várhtó értée (r-) H feállás eseté rób-sttst eredmée megugttó h χ tuáls értée öel v várhtóértéhe ásét: redserese smételve róbát χ tuáls értée várhtó érté örül gdo Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté Adott F()-he vló llesedést vgálu Kérdése: Hog defálu eseméeet? Hog htárou meg eseméehe trtoó vlósíűségeet? (l ormltás vsgált) H F() telese smert (várhtóérté és sórás dott) or tst llesedésvsgált H mtából becsülü rmétereet: becsléses llesedésvsgált 37

38 érés és elfeldolgoás 38 Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté Esemée és vlósíűsége defálás mtából válst legsebb és leggobb elemet: m m( ) m m( ) réstervllumor bot [ m m ] tervllumot (mt tstlt sűrűségfüggvé serestésél) A tervllumo sám lege r A tervllum-htáro: r Esemé: tervllumb esés 3 eghtáro eges rés-tervllumob esés gorságát: ν ν ν r 4 eghtáro eges rés-tervllumob esés vlósíűségét: r H : mt F() eloslásból sárm A vlósíűsége: F( )-F( ) F( )-F( ) Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté r F( r )-F( r- ) Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté ormltás vsgáltál: stdrd ormálsr trsformálu hog táblátot hsálhssu Pl becsléses esetbe: Φ Φ s* s* ert: P ( ) s s s P * * * () Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté s s s P * * * s s Φ Φ * * ν és smeretébe rób végrehtás ug úg törté mt dsrét váltoó esetébe Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Allmás: rboló gée mm hossú drbot állít elő 7 drb ltrés hossméretée megmérése utá hossméret eloslásá ormltását vsgálu Átlgot és tstlt sórást sámolu (becsléses llesedés-vsgált): * m m s 3 9 m m Réstervllumo htár: - mm 4 mm 7 mm 8 38

39 érés és elfeldolgoás 38 Itervllumo - - v Z (Z ) K Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z ) K gorság Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z ) K 4-38 Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z ) K * s A stdrd ormáls eloslás táblátából Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z ) K Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z ) K Φ Φ Z Z ( ν ) ( ν 7 ) K

40 érés és elfeldolgoás 38 Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Illesedés-vsgált foltoos váltoó eseté - éld Itervllumo - - v Z (Z ) K χ t388 χ eloslás rmétere: (r--becsült rmétere sám)8-- χ rt(9% ) Ho (9%) Össefogllás Össefogllás Teredelem gorság reltív gorság tstlt sűrűségfüggvé Vlósíűség vlósíűség váltoó Eloslásfüggvé sűrűségfüggvé tstlt eloslás és sűrűségfüggvé temt sttst ltétele tstlt és elmélet eloslásfüggvé csolt Várhtó érté átlg várhtó értée Sórás tstlt sóráséget orrgált tstlt sóráséget átlg sórás Sttst mt Átlg és várhtó érté csolt átlg ó tuldoság Kofdec tervllum és becslése ormáls eloslás stdrd ormáls eloslás eloslás- és sűrűségfüggvé tuldoság Cetráls htáreloslás tétele Toríttl és ostes becslés Össefogllás 3 Össefogllás 4 Váltoó öt csolt vsgált ovrc és orrelácós egütthtó Serm féle rgorrelácó Legsebb égete módsere tuldoságo regressós görbe llestés Fosám meghtároás: Rlsto módsere orrelácós de Guss-féle ormálegelete Egees örül ofdec tervllum serestése Wld módsere egees llestésére Illesedés vsgált - χ rób 4

41 Y X Y X Y X l Wld érés és elfeldolgoás 38 LK - Wld Legsebb égete módsere Poto: 3 Y (- )* (- ) ( ) ( ) 633 b 38 Össeg Átlg X Legsebb égete módsere Wld - módser X ( ) ( ) b b Wld módser LK és Wld b

42 Y X Y X l Wld Y X érés és elfeldolgoás 38 LK és Wld otos oto egbíhtóság tervllum regressós egeesre b Potos 7 LK Wld Sóráséget: Sórás becslés ( rméter becsült!): ( ) ( ) ( ) ( α) σ ( ) σ ( ) σ s ( ( α α )) Kofdec tervllum ( sgfcst mellett): α t Studet eloslásból ( ) Y < α t ( ) α t α Kofdec sáv Kofdec sáv Példá: Példá: A és váltoó öött leárs függvécsolt áll fetudu hog: () σ és () σ Htáro meg b egelet és b egütthtóát! A omást öveteő össefüggéssel sámolu: ρ g h Sámol omás σ sórását és reltv sórását lább dtol: gorsulás: g98 m/s sűrűség: ρ36 g/m 3 σ ρ g/m 3 térés: h 6 m σ h 8 m légomás: /m σ o /m 4

43 érés és elfeldolgoás 38 9-be felvette felvétel otsámá eloslás 43